trigonometria no triângulo retângulo · pdf filetrigonometria no triângulo...

TRIGONOMETRIA

1º Bimestre

Aula 2Trigonometria no Triângulo Retângulo

Professor Luciano Nóbrega

Maria Auxiliadora

Elementos de um triângulo retângulo

A

C

B

a

b

c

a

Hipotenusa(Lado oposto ao ângulo reto)

catetob

cateto

c

º180ˆˆˆ CBA

º180ˆˆº90 CB

º90ˆˆ CB Os ângulos agudos de um triângulo retângulo são complementares.

oposto ao ângulo ß

adjacente ao ângulo ßß

Lembre-se: A soma das medidas dos ângulos internos de qualquertriângulo resulta sempre em 180º.

2

Razões Trigonométricas

3

4

5

TERNA PITAGÓRICA

Este triângulo merece um destaque ESPECIAL.

Observe que as medidas dos seus lados, atende ao TEOREMA DE PITÁGORAS:

5² = 3² + 4²Ou seja, 25 = 9 + 16

Se multiplicarmos as medidas dos lados deste triângulo por um mesmo número real positivo diferente de 1, obteremos outro triângulo retângulo semelhante a este.

8

10

6

2,5

2

1,5

α

3


3

α

5

8

10

6

2,5

2

1,5

Vamos fazer algumas comparações nesses três triângulos sobrepostos:

_cateto oposto ao ângulo α_hipotenusa

=_1,5_2,5

= _3_5

= _6_10

= 0,6sen α =

_cateto adjacente ao ângulo α_hipotenusa

=_2_2,5

= _4_5

4

= _8_10

= 0,8cos α =

_cat. op. a α_cat. Adj. a α

=_1,5_2

= _3_4

= _6_8

= 0,75tg α =

4


A

C

B

a

b

c

a

seno do ângulo B =cateto oposto ao ângulo B

hipotenusa

seno de um ângulo =cateto oposto ao ângulo

hipotenusa

seno do ângulo C = cateto oposto ao ângulo C

hipotenusa

sen B = b/a

sen C = c/a

5


A

C

B

b

c

a

cosseno do ângulo B = cateto adjacente ao ângulo B

hipotenusa

cosseno de um ângulo =cateto adjacente ao ângulo

hipotenusa

cosseno do ângulo C = cateto adjacente ao ângulo C

hipotenusa

cos B = c/a

cos C = b/a

6


A

C

B

b

c

a

tangente do ângulo B =cateto oposto ao ângulo B

tangente do ângulo C =cateto oposto ao ângulo C

tangente de um ângulo =cateto oposto ao ângulo

cateto adjacente ao ângulo

cateto adjacente ao ângulo B

cateto adjacente ao ângulo C

tg B = b/c

tg C = c/b

7

Consequências das definições

a

b

a

c

A

C

B

a

b

c

a

b

c

sen B =

tg C =

cos B = cos C =

sen C =

tg B =c

b

a

b

a

c

b

c

_

1ª CONSEQUÊNCIA - Como B e C são ângulos complementares,podemos observar que o seno de um é igual ao cosseno do outro;

2ª CONSEQUÊNCIA - Observamos também que a tangente de umângulo é igual ao inverso da tangente do outro. tg B = 1/tg C

sen B = cos C sen C = cos B

8

Consequências das definições

A

C

B

a

b

c

a

b

c

3ª CONSEQUÊNCIA(Relação fundamental da trigonometria)

sen²α + cos²α = 1DEMONSTRAÇÃO:sen B = b/a

cos B = c/a

Elevando os membros ao quadrado:sen² B = (b/a)²

cos² B = (c/a)²

Somando as duas equações: sen² B + cos² B = (b/a)² + (c/a)²

Desenvolvendo o 2º menbro: sen² B + cos² B = b²/a² + c²/a²

sen² B + cos² B = (b² + c²)/a²

sen² B + cos² B = (a²)/a² = 1 9Ora, mas b2 + c2 = a2 (Teorema de Pitágoras),então:

4ª CONSEQUÊNCIA

DEMONSTRAÇÃO:sen B = b/a

cos B c/a

sen B = b . a

cos B a . c

sen B = b

cos B c= tg B

Ângulos Notáveis

2l

l

Razões Trigonométricas do ângulo de 45º

A B

CDsen 45º = sen 45º =

Considere o quadrado ABCD, com lado de medida ℓ.

ℓ

ℓ

d = ℓ 2

A diagonal AC desse quadrado mede d = ℓ .2Destaquemos do quadrado o triângulo ABC.

Temos: 1

2

1

45º

sen 45º =2

2

2l

lcos 45º =

1

2

2

l

ltg 45º = tg 45º = 1

Observe que os valores das razões trigonométricas não dependem da medida do lado do quadrado.

=

10

Ângulos NotáveisRazões Trigonométricas do ângulo de 30º

Considere agora o triângulo eqüilátero ABC, com lado de medida ℓ .

A

B C

ℓ

A altura AH do triângulo mede2

3lh .

H.

h

Destaquemos do ABC o AHC.

Temos:

sen 30º =

30º

ℓ2

l

l

2 sen 30º =ℓ2

1ℓ

. sen 30º = 12

cos 30º =l

l

2

3

cos 30º = cos 30º =1ℓ

.ℓ2

3

2

3

tg 30º =

23

2

l

l

tg 30º =ℓ2

.

ℓ

2

3 tg 30º =

3

31

11

Ângulos NotáveisRazões Trigonométricas do ângulo de 60º

Destaquemos novamente o AHC, temos:

cos 60º =l

l

2 cos 60º = ℓ2

1ℓ

. cos 60º = 12

sen 60º =l

l

2

3

sen 60º = sen 60º =1ℓ

.ℓ2

3

2

3

tg 60º =

2

23

l

l

tg 60º = tg 60º = 3

1

A

B C

ℓ

H.

h

60º

ℓ2

ℓ2

3 2ℓ

.

12

ResumoVamos colocar numa tabela os valores encontrados:

Ângulo 30º 45º 60º

seno

cosseno

tangente

2

1

2

1

2

3

2

3

2

2

2

2

3

331

13

Música Dos Ângulos Notáveis“1, 2, 3... 3, 2, 1...Coloca o “2” embaixo de todo mundoE raiz onde não tem “1”

3, 1, 3... Coloca raiz no “3”E divide o primeiro por 3”

EXEMPLO:

No triângulo retângulo abaixo, qual é o

valor do cosseno de ?

X

10cm8cm

10² = 8² + x²

Cos =

10

6

5

3_x_ =

10

HIP ² = CAT ² + CAT ²

14

SOLUÇÃO:

_C. A._ =

HIP

Mas, como descobrir o valor de x ?

100 = 64 + x²

36 = x²

x = 6

EXEMPLO:

Uma escada de 12m de comprimento esta apoiada em

um prédio fazendo com este um ângulo de 60º. Qual é

a altura do prédio?

h

Sen 30º =

HIP

C.O

HIP

C.O

12

h

2

1

0º 30º 45º 60º 90º

SEN 0 2

1

2

2

2

3 1

COS 1 2

3

2

2 2

1 0

TAN 0 3

3 1 3

12m

2h=12 h=6m

60º

30º

15

SOLUÇÃO:

Inicialmente, façamos um esboço que

represente a situação descrita.

16

1 – (UFRN) Observe a figura a seguir e determine a altura “h” do edifício, sabendo que AB mede 25m e cos Θ = 0,6 .

TESTANDO OS CONHECIMENTOSGABARITO: 1) 20 m

2 – (UFCE) Em certa hora do dia, os raios do Sol incidem sobre um local plano com uma inclinação de 60º em relação à horizontal. Nesse momento, o comprimento da sombra de uma construção de 6m de altura será, aproximadamente:A) 10,2 mB) 8,5 mC) 5,9 mD) 4,2 mE) 3,4 m

17

3 – (UFPA) A figura representa um barco atravessandoum rio, partindo de A em direção ao ponto B. A forte correntezaarrasta o barco em direção ao ponto C, segundoum ângulo de 60º. Sendo a largura do rio de 120m, adistância percorrida pelo barco até o ponto C, é:A) 240 √3 mB) 240 mC) 80 √3 mD) 80 mE) 40 √3 m

TESTANDO OS CONHECIMENTOS

4 – (UFPA) Para permitir o aceso a um monumento que está em umpedestal de 2m de altura, vai ser construída uma rampacom inclinação de 30 com o solo, conforme a ilustração.O comprimento da rampa será igual a:A) √3/2 mB) √3 mC) 2 mD) 4 mE) 4√3 m

18

5 – (UFRN) Um observador, no ponto O da figura, vê umprédio segundo um ângulo de 75°. Se esse observador

está situado a uma distância de 12m do prédio e a 12mde altura do plano horizontal que passa pelo pé do prédio,então a altura do prédio, em metros, é:A) 4(3 + √3).B) √3.C) √3/2.D) 6(√2 + 2).E) ½.


6 – (UFRS) Uma torre vertical é presa por cabos de aço fixos no chão, em um terreno plano horizontal, conforme mostra a figura. Se A está a 15m da base B da torre e C está a 20m de altura, comprimento do cabo AC é:A) 15 m B) 20 m C) 25 m

D) 35 m E) 40 m

19

7 – Uma pessoa na margem de um rio vê, sob um ângulo de 60º, o topo de uma torre na margem oposta. Quando ela se afasta 40 metros perpendicularmente à margem do rio, esse ângulo é de 30º.a) Qual a largura do rio?

b) Qual a altura da árvore?

TESTANDO OS CONHECIMENTOSGABARITO: a) 20 m b) 20√3

20

Do livro:8 – Página 58 _ Questão 17 e 18


9 – Página 59 _ Questão 21 e 23

10 – Página 63 _ Questão 30



13 – Página 69 _ Questão 37, 38 e 39




Vá correndo acessar...Você só paga R$ 5,00(Brincadeirinha... É de graça!)

trigonometria no triângulo retângulo · pdf filetrigonometria no triângulo...

Documents