matemÁtica e suas tecnologias - matemática ensino médio, 1ª série relaÇÕes mÉtricas no...

MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS - MatemáticaEnsino Médio, 1ª Série

RELAÇÕES MÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO1

MATEMÁTICA, 1 º AnoRelações Métricas no Triângulo Retângulo

Olá, pessoal ! Eu sou o famoso filósofo e

matemático Pitágoras

Vamos estudar juntos, nesta aula, as Relações Métricas no Triângulo

Retângulo

São estas Relações que nos levam ao mais famoso Teorema da

história da matemática...

O incrível Teorema de Pitágoras que, claro, leva meu nome porque fui eu

quem o descobriu...

Mas antes, deem uma olhadinha na história de

como tudo isso começou...

Vamos fazer um viagem ao passado em que as descobertas levavam

séculos para acontecer...

Apertem os cintos ...

2Imagem: Vatican Museum / Public Domain.


É quase uma unanimidade entre os historiadores que Pitágoras viveu no séc. VI a.C., na Grécia, entre os anos 583 e 507. Acredita-se que ele nasceu numa ilha chamada Samos, daí ele se chamar Pitágoras de Samos.

Fixou residência numa cidade no sul da Itália chamada Crotona. Lá fundou a chamada Escola Pitagórica, onde se estudava Filosofia, Matemática, Música dentre outras Ciências.

Grandes descobertas são atribuídas aos pitagóricos, entre elas o sistema de numeração decimal e o mais conhecido e aplicado teorema que leva o seu nome, o Teorema de Pitágoras.

Os pitagóricos tinham várias superstições. Uma delas relacionada à Matemática, cujo símbolo, o pentagrama, segundo eles, os protegia do mal.

Existem inúmeras demonstrações para o Teorema de Pitágoras. Um matemático americano chamado Elisha Scott Loomis conseguiu organizar um total de 367 demonstrações diferentes, todas reunidas em um livro chamado The Pythagorean Proposition. 3

MATEMÁTICA- 1º AnoRelações Métricas no Triângulo Retângulo

Chegou a hora de estudar todas as

relações métricas das quais falamos...

Vocês vão ver que todas estão interligadas e que, com elas,

conseguimos encontrar todas as medidas de qualquer segmento

em um triângulo retângulo.

Começa aqui, então, outra viagem. Agora

vamos aos triângulos retângulos...

Boa viagem e bom estudo!

4Imagem: Vatican Museum / Public Domain.

Imagem: Vatican Museum / Public Domain.

ˆ

Ângulo de 90º


Conforme vocês já sabem, a soma dos ângulos internos de qualquer triângulo é 180º. Logo, se Â = 90º, a soma dos outros dois ângulos (B e C) é igual a 90º.

Observe o triângulo ABC ao lado:

Note que ele é retângulo em Â, isto é, a medida de Â é 90º.

Logo, os ângulos B e C são ditos complementares.

5

h

A

B C

b

nm

H

c

a


ˆ

Observe que, entre os triângulos ABH e ABC, existem em comum o ângulo reto e o ângulo no vértice B (amarelo), além do lado AB = c. Entre ACH e ABC, existem em comum o ângulo reto e o ângulo no vértice C (vermelho), além do lado AC = b. Por semelhança do tipo A.L.A. nos dois casos, podemos concluir que

Se dividirmos o triângulo ABC pela altura relativa a sua hipotenusa a, surgem dois triângulos ABH e ACH, retângulos em Ĥ. Sendo assim, dividimos o ângulo Â nos dois ângulos já conhecidos do triângulo ABC, que são C e B.

ABH ~ ACH ~ ABC6

h

A

B C

b

nm

ch

A

H HTriângulo ABH Triângulo ACH


Semelhança entre ∆ABH e ∆ACH

Vamos destacar a semelhança da tela anterior:

7

C

h

A

B

b

nm

ch

A

H H


Semelhança entre ∆ABH e ∆ACH

Vamos destacar a semelhança da tela anterior:

8

h

A C

b

n

A

H

B

mc

hH


Vamos fazer algumas observações sobre os lados do ABC:

O lado AB vai do ângulo de 90º até o ângulo amarelo.

O lado AC vai do ângulo de 90º até o ângulo pintado de vermelho.

O lado BC vai do ângulo pintado de amarelo até o ângulo pintado de vermelho.

Lado AB

Lado BC

Lado AC

9

c

B C

b

a

A

H

Ângulo de 90º


B

H A

m

h

c

A

B

Cb

ac

ABH ~ ACH ~ ABC Como já vimos, é verdade que

Vamos analisar a semelhança entre ABC e ABH.

Essa semelhança garante também a proporcionalidade entre seus lados. Sendo assim, observem as relações que podemos estabelecer entre eles.

10


B

H A

m

h

c

A

B

Cb

ac

Lados do Δ ABC

Lados do Δ ABH

11

a = b = c c h m


Da proporção que obtivemos, e trabalhando com as razões duas a duas, temos:

12

a = b = cc h m

a = b c h

b = c h m

a = c c m

a . h = b. c

b . m = c. h

c² = a . m


Vamos analisar a semelhança entre ABC e ACH.

Também pela semelhança, a proporcionalidade entre os lados desses dois triângulos determinam as seguintes relações:

13

B

H A

mc

A

B

Cb

ac


A

B

Cb

ac

Lados do Δ ABC

Lados do Δ ACH

14

a = b = c b n h

A

H C

hb

n


Dessa nova proporção, a partir das razões duas a duas, teremos:

15

a = b = c b n h

a = b b n

b = c n h

a = c c m

b² = a . n

b . h = c. n

a . h = b . c


Por último, vamos analisar a semelhança entre ABH e ACH.

A semelhança está mantida e dela vêm as seguintes relações:

B

H A

m

h

c

16

nH

A

bh

C


Lados do Δ ABH

Lados do Δ ACH

B

H A

m

h

c

17

A

H C

h

n

b

c = h = mb n h


Dessa última proporção e comparação das razões duas a duas, vem:

18

c = h = m b n h

c = h b n

h = m n h

c = m b h

c . n = b . h

h² = m. n

c . h = b . m


Agora, um relação muito importante é a da hipotenusa com as projeções do catetos sobre ela. Observe o ABC inicial que trabalhamos:

Veja que, sobre a hipotenusa a, estão determinados dois segmentos:

CH = nBH = m

Esses segmentos recebem o nome de projeções.

Seria como se o sol surgisse sobre os catetos...

... e produzisse “sombra” sobre a hipotenusa. Essas sombras são então as projeções.

19

h

A

B C

b

nm

c



Teorema de Pitágoras

Chegou a hora dele... o meu

teorema...

Vamos começar com sua definição e, em seguida, demonstraremos o mais

famoso Teorema da história da Matemática

20


21

Os lados de um triângulo retângulo recebem nomes especiais. São eles:

O lado oposto ao ângulo reto é denominado de hipotenusa.

Os outros dois, opostos aos ângulos agudos do triângulo, são chamados de catetos.

Aqui vale a pena destacar uma propriedade: a hipotenusa sempre será o lado de maior medida de um triângulo retângulo.

A

B

Cb

ac


22

O quadrado da medida da hipotenusa é igual a soma dos quadrados da medida dos catetos.

O enunciado do Teorema de Pitágoras é o seguinte:

a2 = b2 + c2

Nesse caso, com as denominações de a, b e c, respectivamente para a hipotenusa e os catetos, teremos:

A

B

Cb

ac


23

Apenas para verificar essa relação, observem os seguinte triângulos retângulos:

.

6

8

x

Quanto deve medir a hipotenusa designada por x?

É bem simples: basta lançar os valores na expressão do Teorema. Ou seja:

x2 = 62 + 82

x2 = 36 + 64

x2 = 100

x = 10


24

.y

12

15

E agora? Quanto deve medir o cateto y?

É tão simples quanto o anterior: lançando também os valores na expressão do teorema. Ou seja:

152 = y2 + 122

225 = y2 + 144

y2 = 225 – 144

y = 9

y2 = 81


25

Chegou a hora de reunir todas as relações que descobrimos juntos para analisá-las a partir da observação do triângulo.

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

A relação (1) pode ser definida como:

“A hipotenusa multiplicada pela altura relativa a ela é igual ao produto dos catetos”.

As relações (2) e (3) podem ser definidas como:

“Cada cateto multiplicado pela altura relativa à hipotenusa é igual ao produto do outro cateto pela projeção do primeiro”.

h

A

B

b

nm

c

H

a . h = b. c

c² = a . m

b . h = c . n

h² = m. n

c . h = b . m

b² = a . n


26

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

As relações (4) e (5) podem ser definidas como:

“Cada cateto é a média geométrica entre a hipotenusa e a sua projeção sobre ela”.

A relação (6) pode ser definida como:

“A altura relativa à hipotenusa é a média geométrica entre as projeções dos catetos”.

Chegou a hora de reunir todas as relações que descobrimos juntos para analisá-las a partir da observação do triângulo.

h

A

B

b

nm

c

H

a . h = b. c

c² = a . m

b . h = c . n

h² = m. n

c . h = b . m

b² = a . n

Imag

em: V

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n.


27

Como vocês podem ver, as relações simplesmente permitem que sejam encontradas todas as medidas de um triângulo retângulo.

Todas são importantes, como já dissemos, mas o Teorema de Pitágoras é o mais aplicado deles, pois há muito mais relação com situações práticas, como poderemos observar daqui a pouco.

Vamos fazer uma demonstração que vocês poderão fazer em sala de aula, junto com o professor. Peguem o material e mãos à obra ! Vocês vão ver como será divertido provar que Pitágoras e seus seguidores estavam certos.

A sugestão dada é que este triângulo a ser usado seja o de medidas 3, 4 e 5. É mais simples e fácil de construir.

Sigam os passos um a um e vocês verão

como é legal a demonstração !!


28

• Construam 4 triângulos retângulos de hipotenusa a e catetos b e c.

• Construam também 1 quadrado cujo lado tenha medida b + c.

ab

c

ab

c

ab

c

ab

c

b + c

b + c


29

• No quadrado e a partir de cada um de seus vértices, coloquem cada um dos 4 triângulos iniciais que vocês construíram.

Como os 4 triângulos são idênticos e sua hipotenusa mede a, temos então um quadrado menor de área a2 dentro do quadrado maior de área (b + c)2.

a a

aa


30

Desenvolvendo a expressão da área do quadrado maior, que é um produto notável, temos:

(b + c)2 = b2 + 2 . b . c + c2

Mas a área do quadrado maior pode ser vista também como a soma das áreas dos 4 triângulos iniciais que construímos somada com a área do quadrado menor. Podemos então definir essa mesma área da seguinte forma:

Área do quadrado menor + 4 . Área do triângulo

a2 + 4 . 2

b.c

Simplificando 4 com 2, temos:

a2 + 2 . b . c

(1)

(2)

Como as expressões são iguais, pois representam a mesma figura, teremos:


31

(1) = (2)

b2 + 2 . b . c + c2 = a2 + 2 . b . c

Ao simplificar 2 . b . c dos dois lados, a expressão restante é:

b2 + c2 = a2

As medidas a, b e c que aparecem nessa expressão final são exatamente a medida dos lados do triângulo inicial, exatamente como queríamos mostrar.

Logo, a relação descoberta pelos pitagóricos vale, então, para qualquer triângulo retângulo.

Que tal, agora, nós vermos uma outra demonstração desse Teorema ??? Vamos assistir a um vídeo bem legal que traz esta outra demonstração. É só visitar o link abaixo...

http://www.youtube.com/watch?v=GMy5z3nhVeQ

http://www.youtube.com/watch?v=GMy5z3nhVeQ


32

Agora que vocês são especialistas em

Relações Métricas, especialmente no meu

Teorema ...

... vamos meter bronca nos exercícios, inclusive

aplicações do Teorema na Geometria. Vamos lá ?!?

...depois é com vocês. Se houver alguma dificuldade,

o professor vai dar uma ajudinha. Sucesso !!

Pitágoras está certo... Agora é exercitar. Primeiro, vamos resolver alguns para vocês

observarem como é...


Imagem: Clip-art do Power Point.

Resolução:Seja um quadrado de lado 5 cm.

A diagonal de um quadrado nada mais é do que a hipotenusa de um triângulo retângulo, em que seus catetos são dois dos lados do quadrado. Isso faz os catetos serem medidas iguais. Observe: Chamando a diagonal (hipotenusa) de x, e usando o Teorema de Pitágoras, teremos:x2 = 52 + 52 x2= 25 + 25 x2 = 50 x = 5Logo, fica clara a generalização para o cálculo da diagonal de qualquer quadrado:


33

EXERCÍCIOS

Qual é a medida da diagonal de um quadrado cujo lado mede 5 cm?

1ª Questão

5 cm

5 cm

x

d = l 2

Resolução:Seja um triângulo equilátero de lado 10cm.

A altura desse triângulo é um dos catetos do triângulo em destaque. Observe:Chamando a altura (que é um dos catetos do triângulo destacado) de x e usando o Teorema de Pitágoras, teremos:

102 = x2 + 52 O outro cateto mede 5cm, pois a altura divide a base ao meio e um destes novos segmentos será o outro cateto. Logo:

100 = x2 + 25 x2 = 100 – 25 x = 75 x = 5

Logo, fica clara a generalização para o cálculo da altura de qualquer triângulo equilátero:


34

Determine a altura de um triângulo equilátero cujo lado mede 10cm.

2ª Questão

10cm

10cm 10cm

.


35

Resolução:Observando a figura, notamos que a fixação faz a torre estar perpendicular ao chão. Isso quer dizer que os pontos A da fixação de um dos cabos e B e C da torre formam entre si um triângulo retângulo.A distância entre o ponto A de fixação do cabo e B da fixação da torre ao chão, formam o cateto menor, que mede 15m, conforme mostra a figura.A distância entre B e C na torre mede 20m, sendo este o outro cateto.O comprimento do cabo AC, portanto, é a hipotenusa (que chamaremos de x).Por essas informações e usando o Teorema de Pitágoras, temos:

x2 = 152 + 202

x2 = 225 + 400x2 = 625x = 25

(UFRS) Uma torre vertical é presa por cabos de aço fixos no chão, em um terreno plano horizontal, conforme mostra a figura. Se A está a 15m da base B da torre e C está a 20m de altura, determine o comprimento do cabo AC.

3ª QuestãoC

BA


36

Resolução:A hipotenusa na figura é o lado BC, que chamaremos de a.Como vimos nas relações, cada um dos catetos será a média geométrica entre sua projeção e a hipotenusa. Logo, vamos determinar inicialmente a hipotenusa.Por Pitágoras, vem :

a2 = 82 + 62 a2 = 64 + 36 a2 = 100 a = 10Agora que temos a hipotenusa, podemos usar a relação acima para cada cateto e sua projeção. Assim, teremos:

c2 = a . m 62 = 10 . m 36 = 10 . m m = 36/10 m = 3,6cm

b2 = a . n 82 = 10 . n 64 = 10 . n n = 64/10 m = 6,4cm

Os catetos do triângulo retângulo ao lado medem: AB = c = 6cm e AC = b = 8cm. Determine a medida da projeção dos catetos sobre a hipotenusa e a altura (h) relativa a ela.

4ª Questão

h

A

B C

b

nm

c

H


37

(UFPE) Em um triângulo retângulo, as projeções dos catetos sobre a hipotenusa medem 16cm e 9cm. Calcule o perímetro desse triângulo.

5ª Questão

Resolução:Com a medida das projeções, imediatamente determinamos a medida da hipotenusa, pois sua medida é a soma das medidas das projeções. Logo: a = m + n a = 9 + 16 a = 25cmPara o perímetro, nos falta a medida dos catetos. Usando a relação da questão anterior, teremos:

b2 = a . n b2 = 25 . 16 b2 = 400 b = 20 cm

c2 = a . m c2 = 25 . 9 c2 = 225 c = 15 cm

Agora, basta somarmos a medida dos lados que acabamos de encontrar.

a + b + c = 25 + 20 + 15 = 60cm

A

B C

h

H

.9 cm 16 cm


38

Chegou a hora de vocês assimilarem de vez as relações. Não deixem

nenhum exercício para trás, ok?!?

EXERCÍCIOS

1. Determine a medida x em cada um dos triângulos retângulos a seguir:

a) b) c)

4

x

82x

6 5

12

13

x

Imagem: Clip-art do Power Point.


39

2. (MOJI-SP) Uma escada mede 4m e tem uma de suas extremidades apoiada no topo de um muro, e a outra extremidade dista 2,4m da base do muro, conforme figura a seguir. Determine a altura do muro.

3. (Fuvest – SP) Qual a medida da hipotenusa de um triângulo retângulo isósceles cujo perímetro é igual a 2?

4. Na figura ao lado, determine as medidas a, h, m e n .

h

A

B C

4

nm

3

H

4m

2,4m


40

1. Um marceneiro cortou uma tábua retangular de 75cm de comprimento por 20cm de largura, separando-a em dois trapézios congruentes. Sabendo que o comprimento do corte foi de 25cm, calcule a medida da base menor de um dos trapézios.

2. O lampião representado na figura ao lado está suspenso por duas cordas perpendiculares entre si presas ao teto. Sabendo que essas cordas medem 1/6 e 2/5, determine a distância do lampião ao teto.

3. Em um terreno plano e horizontal, um topógrafo marcou um ponto M a 9m do centro H da base de uma torre vertical. A seguir, marcou um ponto N na semirreta oposta de HM, a 16m de H, observando que os pontos M, N e o pico da torre determinavam um triângulo retângulo. Qual a altura da torre?

20cm 25cm

75cm

M 9m H 16m N

41

Slide Autoria / Licença Link da Fonte Data do Acesso

2, 3 e 20

Vatican Museum / Public Domain. http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Pythagoras_Bust_Vatican_Museum_(cropped).jpg

18/04/2012

27 Vatican Museum / Public Domain. http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Pythagoras_Bust_Vatican_Museum_(cropped).jpg

18/04/2012

32b e 38

Clip-art do Power Point 18/04/2012

32a Vatican Museum / Public Domain. http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Pythagoras_Bust_Vatican_Museum_(cropped).jpg

18/04/2012

Tabela de Imagens

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