MATEMÁTICA 3

GEOMETRIA PLANA

MÓDULO 11Semelhança de Triângulos e Relações Métricas no

Triângulo Retângulo

Professor Renato Madeira

1. DIVISÃO DE SEGMENTOS

Um ponto divide um segmento AB internamente na razão k> 0, quando M pertence ao segmento AB e

AMk

MB

EXEMPLO:Um ponto M divide o segmento AB, de 18 cm, internamente narazão 2/7. Calcule MA e MB.

MA 2kMA 2 MA MBk

MB 7kMB 7 2 7

AB MA MB 18 2k 7k 18 k 2

MA 2k 2 2 4 e MB 7k 7 2 14

1.2. DIVISÃO EXTERNA

Um ponto N divide um segmento AB externamente na razão 0 < k ≠1, quando N pertence à reta suporte do segmento AB, mas não aopróprio segmento, e

NAk

NB

EXEMPLO:Um ponto N divide o segmento AB, de 18 cm, externamente narazão 4/7. Calcule NA e NB.

NA 4 NA NB NB NA AB 186

NB 7 4 7 7 4 3 3

NA 4 6 24 e NB 7 6 42

1.3. DIVISÃO HARMÔNICA

Os pontos M e N dividem um segmento AB harmonicamentena razão 0 < k ≠ 1, quando os pontos M e N dividem osegmento AB, respectivamente, internamente eexternamente na mesma razão k, ou seja,

AM NAk

MB NB

1.3. DIVISÃO HARMÔNICA (CONT.)

2

2dkAB d 0 k 1 MN

k 1

EXEMPLO:

Os pontos M e N dividem o segmento AB, de 10 cm,harmonicamente na razão2/3. Calcule MN.

AM 2 AM MB AM MB AB 102

MB 3 2 3 2 3 5 5

AM 2 2 4 MB 3 2 6

NA 2 NA NB NB NA AB10

NB 3 2 3 3 2 1

NA 2 10 20 NB 3 10 30

MN NA AM 20 4 24

EXEMPLO (CONT.):

2 2

2 402 102dk 40 93 3MN 24

5 3 5k 1 21 93

Solução alternativa:

EXEMPLO (CONT.):

1.4. DIVISÃO DE UM SEGMENTO EM MÉDIA EEXTREMA RAZÃO (DIVISÃO ÁUREA)

Um ponto P divide internamente um segmento de reta ABsegundo uma razão áurea () quando a primeira parte estápara a segunda parte assim como o segmento todo está paraa primeira parte, ou seja,

PA AB

PB PA

1.4. DIVISÃO DE UM SEGMENTO EM MÉDIA EEXTREMA RAZÃO (DIVISÃO ÁUREA) (CONT.)

PA AB a a b a b1

PB PA b a b a

0 1 5

2

21

1 1 0

2. TEOREMA DE TALESUm feixe de retas paralelas determina sobre duas secantesquaisquer segmentos correspondentes proporcionais.

1 2 3 n 1 nr r r r r

2 31 2 n 1 n

1 2 2 3 n 1 n

A AA A A A

B B B B B B

EXEMPLO:Determine o valor de x, sendo r, s e t retas paralelas.

x 6 4 6x 3

4 8 8

Determine os valores de x e y, sendo r, s e t retas paralelas.

3 2 y 2 5 10 3 6 18x y

5 x 6 3 3 5 5

EXEMPLO:

3.1. TEOREMA DA BISSETRIZ INTERNAA bissetriz interna de um dos ângulos de um triângulo divide o ladooposto internamente em segmentos proporcionais aos ladosadjacentes.

BD DC

AB AC

Em um triângulo ABC de lados AB = 12, AC = 8 e BC = 10, determine omaior segmento que a bissetriz interna do ângulo A determinasobre o lado BC.

12 8120 12x 8x

x 10 x20x 120 x 6

EXEMPLO:

3.2. TEOREMA DA BISSETRIZ EXTERNAA bissetriz externa de um dos ângulos de um triângulo divide o ladooposto externamente em segmentos proporcionais aos ladosadjacentes.

BE CE

AB AC

Em um triângulo ABC de lados AB = 12, AC = 8 e BC = 10,determine a distância entre o pé da bissetriz externa do ângulo A eo vértice mais próximo do lado BC.

12 812x 80 8x

10 x x4x 80 x 20

EXEMPLO:

3.3. DIVISÃO HARMÔNICA PELOS PÉS DAS BISSETRIZES

As bissetrizes interna e externa que partem de um mesmo vértice deum triângulo dividem o lado oposto harmonicamente na razão doslados adjacentes ao vértice.

BD BE AB

DC CE AC

4. CIRCUNFERÊNCIA DE APOLÔNIUS

A circunferência de Apolônius dos pontos A e B na razão 0 < k ≠ 1 éo lugar geométrico dos pontos do plano cuja razão das distânciasaos pontos A e B é igual a k.

APA

P C kPB

A 2

dkr

k 1

5. SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS

Se dois triângulos possuem lados respectivamente proporcionais,então são semelhantes.

Dois triângulos são semelhantes se, e somente se, seus ângulossão respectivamente congruentes.

Dois triângulos de lados respectivamente paralelos sãosemelhantes.

Se dois triângulos são semelhantes, então a razão entre duaslinhas homólogas é igual à razão de semelhança.

5.1. CASOS DE SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS

1° caso: (A.A.) Se dois triângulos possuem dois ângulos respectivamente congruentes, então são semelhantes.

ˆ ˆB B'ABC A'B'C'

ˆ ˆC C'

5.1. CASOS DE SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS (CONT.)

2° caso: (LpALp) Se dois triângulos possuem dois lados proporcionaisadjacentes a ângulos congruentes, então são semelhantes.

b c

b' c' ABC A'B'C'ˆ ˆA A'

5.1. CASOS DE SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS (CONT.)

3° caso: (LpLpLp) Se dois triângulos possuem os três lados respectivamente proporcionais, então são semelhantes.

a b cABC A'B'C'

a' b' c'

Considere os quadrados da figura de lados a e b (a > b). Calcule x.

2a b b bx

b x a b

O triângulo 1 e o triângulo 2 sãosemelhantes.

EXEMPLO:

6. RELAÇÕES MÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO

a h b c 2b a m

2c a n

2h m n

2 2 2

1 1 1

h b c 2 2 2a b c

Teorema de Pitágoras