Caderno de Exercícios

Eratostenes Produção: profª Maria Cristina Kessler prof. Claudio Gilberto de Paula

1ª 1ª aulaaula

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Neste caderno de exercícios você pode escrever nestas caixas.

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Bom trabalho!

A palavra Trigonometria tem origem grega:

Etimologicamente, significa Etimologicamente, significa medida de triângulos. medida de triângulos.

A origem da trigonometria é incerta. Entretanto, pode-se dizer que o início do desenvolvimento da trigonometria se deu principalmente devido aos problemas gerados pela Astronomia, Agrimensura e Navegações, por volta do século IV ou V a.C., com os egípcios e babilônios. É possível encontrar problemas envolvendo a cotangente no Papiro Rhind e também uma notável tábua de secantes na tábula cuneiforme babilônica Plimpton 322.

Fundo: papiro Rhind

Pitãgoras

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A altura da maré é uma função periódica, pois oscila regularmente entre maré alta e baixa. A altura (em metros) no porto de Boston é aproximada pela fórmula abaixo, em que t é o tempo em horas desde a meia-noite de 10 de fevereiro de 1990.

Atualmente a trigonometria não se limita a estudar os triângulos.. Encontramos aplicações na mecânica, eletricidade, acústica, música, astronomia, engenharia, medicina, enfim, em muitos outros campos da atividade humana.

y = f(t)= 1,5 + 1,4 cos ( )t6

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Algumas aplicações das relações Algumas aplicações das relações do triângulo retângulo...do triângulo retângulo...

Os ajustes na altura de um painel solar:

Determinação da altura de um farol:

O triângulo retângulo é um triângulo que possui um ângulo reto e outros dois ângulos agudos, conforme figura ao lado.

A

C B

O lado do triângulo que se opõe ao ângulo reto é denominado de hipotenusa

Os outros lados são chamados de catetos.

Vamos estudar a seguir algumas relações que se estabelecem entre lados e ângulos deste triângulo.

.

Vejamos então ...

A

C B

é chamadoEm relação ao ângulo de CB

cateto oposto.

Logo

hipotenusa

ângulo ao oposto cateto sen =

AB

CBsen =

SENO

A

C B

Logo,

COSSECANTE

ânguloaoopostocateto

hipotenusa

csc =CB

AB

csc

O inverso de um número é outro número

que, multiplicado pelo primeiro, resulta 1.

Se chamarmos este número de x o

inverso deste número será

O inverso de um número é outro número

que, multiplicado pelo primeiro, resulta 1.

Se chamarmos este número de x o

inverso deste número será

A

C B

Observando estas razões:

ânguloaoopostocateto

hipotenusacsc =

hipotenusa

ângulo ao oposto cateto sen =

se pode concluir que o valor da cossecante de um ângulo é o inverso do valor do seno deste mesmo ângulo. Se o valor do seno for ½ o valor da cossecante será 2.

se pode concluir que o valor da cossecante de um ângulo é o inverso do valor do seno deste mesmo ângulo. Se o valor do seno for ½ o valor da cossecante será 2.

pois x .

x

1

= 1.

Este número pode ser escrito por x-1.

x

1

1) Com o auxílio de uma calculadora responda: Observações

sen(35°) = sen(35°) =

csc(35°) =csc(35°) =

sen(82°) = sen(82°) =

csc(82°) =csc(82°) =

A

C B

é chamadoEm relação ao ângulo de

cateto adjacente.

Logo

AC

COSSENOhipotenusa

ânguloaoadjacentecateto cos =

cos =

AB

AC

A

C B

Logo: Logo:

sec =

ângulo aoadjacentecateto

hipotenusa

AC

AB

sec

SECANTE

Observando essas razões (cosseno e secante)

A

C B

Cosseno

AB

AC

hipotenusa

ânguloaoadjacentecateto

AC

AB

ângulo aoadjacentecateto

hipotenusa

Secante

se pode concluir que o valor da secante de

um ângulo é o inverso do valor do cosseno

deste mesmo ângulo. Se o valor do cosseno

for - 1/3 o valor da secante será -3.

se pode concluir que o valor da secante de

um ângulo é o inverso do valor do cosseno

deste mesmo ângulo. Se o valor do cosseno

for - 1/3 o valor da secante será -3.

A

C B

Ainda em relação ao triângulo ABC se pode afirmar:

ângulo ao adjacente cateto

ângulo ao oposto catetotan

tan

AC

CB

Logo:

TANGENTE

A

C B

cot

ângulo ao opostocateto

ângulo ao adjacentecateto

cot

Logo:

Ainda em relação ao triângulo ABC se pode afirmar:

CB

AC

COTANGENTE

A

C B

Observando essas razões, tangente e cotangente

se pode concluir se pode concluir que o valor

da tangente de um ângulo é o inverso do

valor da cotangente deste mesmo ângulo.

se pode concluir se pode concluir que o valor

da tangente de um ângulo é o inverso do

valor da cotangente deste mesmo ângulo.

ângulo ao adjacente cateto

ângulo ao oposto catetotan

cot

ângulo ao opostocateto

ângulo ao adjacentecateto

2) Com o auxílio do aplicativo disponível em http://www.malhatlantica.pt/mat/razoes.htm observe as variações que ocorrem nas funções seno, cosseno e tangente quando se altera os lados do triângulo retângulo e responda

a) Quando o ângulo aumenta o seno deste ângulo aumenta ou diminui?

b) E com o cosseno deste ângulo, o que acontece?

E com a tangente?

3) Construa um triângulo retângulo em que um dos ângulos agudos é de 20°. Calcule as razões trigonométricas (seno, cosseno e tangente) para o ângulo de 20°. Calcule as razões trigonométricas para o ângulo de 70°. Compare os resultados obtidos. Você observa alguma relação entre os valores encontrados?Escreva suas observações no espaço abaixo.

4) Calcule o valor de x no triângulo representado abaixo:

30

cm

x

35º

5) Calcule a área do triângulo retângulo abaixo:

18cm

x

25º

6) Uma pessoa de 1,65 m de altura observa o topo de um farol sob um ângulo de 35º.

Determine a altura do farol sabendo que essa pessoa está a uma distância de 50 m dele.

7) A rampa da figura abaixo apresenta diferentes inclinações. Determine :

a) a altura (em relação ao solo) em que se encontra uma pessoa no ponto A desta rampa;

b) o comprimento da rampa.

2,5m

A

18º

15º

1,5m

8) A figura 1 abaixo mostra um painel solar de 3 m de largura equipado com um ajustador hidráulico (ver esquema-Fig. 2). À medida que o Sol se eleva, o painel é ajustado automaticamente de modo que os raios de Sol incidam perpendicularmente nele. Considere esse enunciado para as três questões seguintes.

Fig. 1

Fig. 2

Para = 60º, determine o valor de x (em metros).

Para = 60º, determine o valor de y (em metros).

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2)Agora é só salvar.

Escreva no espaço ao lado suas dúvidas e dificuldades.

Lembre-se:

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2 – Salvar.

Registre ao lado suas dificuldades. Explicite quais os conceitos que não compreendeu bem, exercícios que não conseguiu resolver, etc.