diálogos com professores do ensino...
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2 Volume 6Dilogoscom Professores do Ensino MdioViso Alm do Alcance+ Danando conformea msica
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2Dilogos com Professoresdo Ensino MdioVolume 6Viso Alm do Alcance + Danando conforme a msica
FIRJAN FEDERAO DAS INDSTRIAS DO ESTADO DO RIO DE JANEIRO
PresidenteEduardo Eugenio Gouva Vieira
Vice-Presidente ExecutivoRicardo Maia
Superintendente do SESIAlexandre dos Reis
Diretora de EducaoAndrea Marinho de Souza Franco
Gerente de Educao BsicaGiovanni Lima dos Santos
Gerente de Cursos e RecursosAllain Jos Fonseca
FICHA TCNICA
2018 - Programa de Educao Continuada para Professores de Matemtica
Gerncia de Educao Bsica - GEBGiovanni Lima dos Santos
Coordenao Geral - DICEBHelio Frana Braga
Coordenao de ProduoFernando Celso Villar Marinho Filipe Irio da Silva
Elaborao tema 11Fernando Celso Villar Marinho Filipe Irio da SilvaLuana S de Azevedo
Elaborao tema 12Fernando Celso Villar Marinho Filipe Irio da SilvaLuana S de Azevedo
Produo de Recursos TecnolgicosAndr Luiz Souza Silva
Leitor CrticoVictor Giraldo
Reviso Pedaggica Rodrigo Ferreira Abraho
Reviso GramaticalRoberto Mauro Facce
Reviso TcnicaVincius do Nascimento Silva Mano
Projeto GrficoLiliane Duarte
Produo EditorialFellipe Camara Branco D'Oliveira Luis Gustavo GamaLuiz Felipe da Silva Ferreira Alexandre Figueiredo da Conceio
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2Dilogos com Professoresdo Ensino MdioVolume 6Viso Alm do Alcance + Danando conforme a msica
FICHA CATALOGRFICA
Firjan SESI
Diviso de Normas e Documentao - Biblioteca
S474s
Firjan SESISESI Matemtica formao de professores : 2 ano do
ensino mdio / Firjan SESI. Rio de Janeiro : [s.n], 2018.157 p. : il., color. (Formao de professores ; Mdulo 6)
Inclui bibliografia e ndice remissivoISBN: 978-85-98246-10-9 1. Matemtica 2.Treinamento de pessoal3. SESI Matemtica SENAI I.Ttulo II. Srie
CDD 510
Firjan SESI
Av. Graa Aranha, 1 - Centro - Rio de Janeiro
Cep: 20030-002
SUMRIO
Apresentao ......................................................................................................................................7
Tema 11 Viso Alm do Alcance ........................................................................ 15Introduo ....................................................................................................17Sala de Professores ................................................................................... 18
Dilogo. .................................................................................................. 18Razes Trigonomtricas no Tringulo Retngulo ..................... 19
Aprofundamento ....................................................................................... 19Relaes entre Seno, Cosseno e Tangente de ngulos Agudos ............................................................................22Seno e Cosseno da Soma de ngulos Agudos ............................24ngulos Notveis .................................................................................28Medindo Distncias Inacessveis .....................................................33
Atividades Prticas .................................................................................. 46Experincias com Objetos ou Situaes da Vida Real ............. 46Investigao de erros .........................................................................53
Matemtica e Suas Tecnologias ............................................................58Recurso 1 Calculadora de Razes Trigonomtricas ................59Recurso 2 Demonstrao Interativa ............................................63
Caracterizao das razes trigonomtricas no tringulo retngulo..................................................................67
Ampliando Ideias ......................................................................................67Leitura Recomendada ........................................................................67Sugestes de Materiais Didticos ...................................................68
Histria da trigonometria ...........................................................68Referencial curricular ...................................................................68
Sugesto de Recursos Educacionais Digitais ............................. 69Bibliografia Consultada ......................................................................71
Tema 12 Danando conforme a msica.............................................................75Introduo ...................................................................................................77Sala de Professores ...................................................................................78
Dilogo. ..................................................................................................78
Aprofundamento .......................................................................................79Lei dos Cossenos ............................................................................... 80Lei dos Senos ........................................................................................82A Trigonometria e a Msica ..............................................................83A Trigonometria e o Sistema Massa-mola ....................................86Do ngulo para a Circunferncia ou da Circunferncia para o ngulo?.........................................................86A Trigonometria no Crculo Unitrio ............................................. 91Uma Forma Diferente para Demonstrar o Cosseno e o Seno da Soma e da Diferena de Dois Arcos ....................... 96Grficos de Funes Trigonomtricas .......................................... 99
Atividades Prticas .................................................................................106Experincias com Objetos ou Situaes da Vida Real ............106Investigao de Erros ........................................................................ 113
Matemtica e Suas Tecnologias ........................................................... 118Recurso 1 Senoides e Som............................................................120Recurso 2 Senide parte 1 ............................................................ 132Recurso 3 Senide parte 2 .......................................................... 137Recurso 4 Lei dos Senos e dos Cossenos ................................144
Caracterizao das funes trigonomtricas ..................... 153
Ampliando Ideias .................................................................................... 153Leitura Recomendada ...................................................................... 153
Uma aplicao das funes trigonomtricas na msica...154Funes trigonomtricas ........................................................... 155A matemtica da msica .......................................................... 155Aplicativos Interativos ................................................................ 155
Sugesto de Recursos Educacionais Digitais ............................ 155Bibliografia Consultada ................................................................... 156
ndice Remissivo ............................................................................................................................158
Apresentao
A magia e a beleza da Matemtica nos encantam e surpreendem a cada dia. Somos professores apaixonados por essa rea do saber humano e reconhecemos na educao o espao para reflexo e melhoria do ser humano e, consequentemente, da sociedade. A transformao social requerida para um mundo com mais harmonia e paz se instancia em cada um de ns, professores ou alunos, cidados ou governantes, e depende da compreenso da complexidade da realidade. A Matemtica nos oferece ferramentas conceituais importantes para promover essa compreenso e a consequente transformao social. Esse fato, por si s, j justificaria a sua presena nos currculos escolares, mas acreditamos que o encantamento surpreendente da relao entre a abstrao e a realidade corresponda verdadeira inspirao para seu estudo na educao bsica.
O pblico-alvo dessa coleo so todos que, como ns, so apaixonados por essa cincia e, diariamente, contribuem para apresentar s novas geraes as belezas da Matemtica. Ns escrevemos esse material para voc, colega professor, de modo a refletirmos sobre conceitos matemticos e propostas pedaggicas.
Toda jornada comea com o primeiro passo.Lao-Tse
Li Er ou Lao
Dan, mais
conhecido
como Lao-tse
que em chins
significa velho
mestre, uma
das maiores
personalidades
da filosofia
oriental.
Reza a lenda
que ele viveu
por volta do
sculo VI antes
de Cristo, na
poca das Cem
Escolas de
Pensamento.
Foi atribudo
a Lao-Tse a
autoria do Tao
Te King ou Livro
do Caminho e
da Virtude, um
dos livros mais
traduzidos do
mundo, ficando
atrs apenas
da Bblia.
Em nossa concepo, a autonomia pedaggica docente essencial para a promoo de uma aprendizagem efetiva. Portanto, esse material foi concebido como um ponto de partida para reflexes sobre o ensino da Matemtica e do papel dessa cincia na integrao com os diversos campos do saber.
O primeiro passo...
Professor, a coleo Dilogos com Professores do Ensino Mdio, do SESI Matemtica, foi escrita por professores de matemtica atuantes na educao bsica e superior, nas redes municipal, estadual e federal, e que participaram de vrios projetos de formao continuada em diferentes Estados do Brasil. As diferentes realidades vivenciadas nessas experincias nos motivaram a escrever esse material tendo como foco a sala de aula real, com professores e alunos reais e no os ideais.
O professor real tem muito interesse na aprendizagem dos alunos e pouco tempo para preparar e criar aulas novas. O aluno real est imerso em um mundo tecnolgico com muitos atrativos e que precisa ser motivado e apresentado s belezas e encantamentos da Matemtica. Por isso, pensamos em um texto que agregue reflexes sobre a nossa sala de aula e que busque na Matemtica a magia capaz de aguar a mente e despertar nos estudantes o mesmo interesse que nos encantou.
Os desafios da sala de aula real so complexos e, por isso, preciso mais do que o conhecimento Matemtico para que os docentes consigam obter sucesso no ensino dessa cincia. No entanto, tal conhecimento fundamental. Nossa proposta no apresentar exaustivamente os conceitos matemticos, pois acreditamos que voc, professor,
j os tm e, caso necessite consultar alguma literatura, poder recorrer aos muitos materiais j existentes para este fim.
Nossa proposta se baseia na exposio e debate de ideias a fim de refletirmos sobre os aspectos pedaggicos da sala de aula real, os contedos matemticos e os recursos tecnolgicos disponveis, como se esse espao fosse a sala de professores na qual pudssemos compartilhar experincias e, aps esse dilogo, sairmos recarregados com a beleza e o encantamento da Matemtica, prontos para provocar, desafiar e motivar os estudantes.
Agradecemos por acreditar que juntos, nessa jornada, podemos fazer algo extraordinrio.
Obrigado por ter se aventurado nessa profisso magistral e por fazer diferena na sociedade!
Um grande abrao, Equipe Sesi Matemtica.
Caractersticas da Coleo Dilogos com Professores do Ensino Mdio
Os doze livros da coleo abordam contedos do ensino mdio sem, necessariamente, seguir a diviso curricular tradicional, mas buscando estabelecer relaes entre eles. Cada livro foi dividido em temas sobre conceitos matemticos e redigido como um dilogo entre os autores e os leitores. Por sua vez, os temas so divididos em quatro sees:
Atividades Prticas
Na Sala de Professores, apresentam-se dilogos entre personagens fictcios: professores que se encontram na hora do recreio ou em tempos vagos e conversam sobre como ensinar um determinado contedo da matemtica.
A seo Atividades Prticas pode se dividir em duas subsees:
Experincias com objetos ou situaes da vida real
Exemplos de atividades com objetos fsicos ou anlises de situaes cotidianas cujo objetivo abordar o contedo matemtico destacado na seo anterior. So situaes de fcil compreenso, criativas e motivadoras, que propiciam uma interao colaborativa entre alunos e professores.
Investigao de erros
Aprofundamento do debate sobre os conceitos matemticos abordados a partir da anlise e discusso de exemplos de erros e equvocoscomuns.
Na seo Matemtica e Suas Tecnologias so apresentados pelo menos dois recursos digitais elaborados especialmente para cada Tema, bem como orientaes metodolgicas de uso e algumas aplicaes pedaggicas para explorao dos conceitos matemticos abordados.
A seo Ampliando ideias poder se dividir em quatro subsees:
Leitura Recomendada
Textos comentados para aprofundamentos so-bre os conceitos matemticos abordados.
Sugesto de Materiais Didticos
Articulao do tema aos materiais disponibili-zados pelo programa SESI Matemtica.
Sugesto de Recursos EducacionaisDigitais
Apresentadas de forma resumida outras sugestes de uso de recursos digitais disponveis: em sites de universidades; no Portal do Professor; no Portal da TV Escola; no Portal Domnio Pblico; na plataforma de jogos on-line, etc; alm daqueles comentados na seo Matemtica e suas tecnologias.
Referncias bibliogrficas utilizadas na elabo-rao do tema.
TEMA
ano2 1
3
Mdulo 5 Mdulo 6 Mdulo 7 Mdulo 8
Danando conforme a msica
Viso Alm do Alcance
Viso Alm do Alcance11O que est em cima...
Do Piau ( ao i)...
As bases da computao grfica
Um conceito determinante...
AlgoogleritmoTouch screen, Mouse e Matemtica
Introduo
O ser humano sempre esteve cercado pela natureza e suas grandiosas obras. As enormes rvores, as gigantescas montanhas, a imensido do mar, a quantidade incontvel de estrelas, os inmeros tipos de seres vivos, tudo parece demasiadamente grande quando comparado com o minsculo homem.
Em seus anseios por transpor obstculos, escalando rvores ou atravessando cordilheiras, o homem criou mecanismos de medir aquilo que nem os ps e nem as mos podiam alcanar, mas que podiam ser transpostos por sua mente.
O homem, muito antes de ir Lua, j sabia que a Terra se assemelhava a uma esfera flutuando no espao, concluindo, mais de 200 anos antes da era crist, que a circunferncia da Terra seria aproximadamente 40.000 km. Uma medida cujo erro, nos padres atuais de preciso, inferior a 80 km.
Na nossa natureza humana reside a curiosidade e a necessidade de subjugar desafios, de ir alm. Nossos alunos, apesar de nascerem em uma sociedade moderna, com inmeros recursos, possuem, em sua essncia, a mesma chama que fez com que os nossos antepassados explorassem o mundo ao seu redor deixando suas ideias como legado. Hoje, algumas
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s
18Mdulo 6
de nossas rvores so prdios, algumas de nossas montanhas so condomnios, alguns dos nossos mares possuem ponte, mas o desejo pelo conhecimento sempre estar presente, sempre habitar o ser humano.
Sala de Professores
Dilogo.
Teodolito
Instrumento ptico de preciso para medir posies relativas ngulos horizontais e verticais utilizado em navegao, meteorologia, topografia e trabalhos geodsicos.
19Mdulo 6
Aprofundamento
Pedro e Francisco conversavam sobre formas de medirem distncias inacessveis a partir de razes que relacionam os ngulos e os lados de tringulos retngulos semelhantes.
Observe que na conversa eles se utilizam da semelhana de tringulos retngulos com medidas conhecidas, como o caso do tringulo formado pela altura e sombra do rapaz para encontrarem uma medida desconhecida, que a altura da rvore. Essa estratgia e muitas outras podem ser usadas em diversos casos para encontrarmos medidas de distncias inacessveis e, como sabemos, a Trigonometria no tringulo retngulo um conceito-chave para isso.
Razes Trigonomtricas no Tringulo Retngulo
Uma ideia natural que surge a partir da semelhana entre tringulos retngulos tabelar a razo entre seus lados para os diversos valores de seus ngulos agudos.
Isto remete s chamadas razes trigonomtricas.
Seja um tringulo ABC retngulo em A e com ngulos agudos e nos vrtices B e C, respectivamente.
Como sabemos, a hipotenusa o lado oposto ao ngulo reto e os catetos so os outros dois lados do
tringulo retngulo. Observe o exemplo a seguir.
20Mdulo 6
A
C
B
ba
c
Para cada ngulo agudo, por exemplo , existem seis combinaes possveis entre as razes de dois lados distintos do tringulo ABC: um lado para ser o numerador trs possibilidades e um lado diferente do anterior para ser o denominador duas possibilidades.
Cada uma dessas razes chamada de trigonomtrica e possui um nome especfico.
As trs principais so:
Seno de : razo do cateto oposto a para a hipotenusa. No tringulo ABC: .
Cosseno de : razo do cateto adjacente a para a hipotenusa. No tringulo ABC: .
Tangente de : razo do cateto oposto a para o cateto adjacente a . No tringulo ABC: .
21Mdulo 6
As outras trs razes so as inversas das anteriores:
Cossecante de : razo da hipotenusa para o cateto oposto a . No tringulo ABC: .
Secante de : razo da hipotenusa parao cateto adjacente a . No tringulo ABC: .
Cotangente de : razo do cateto adjacente a para o cateto oposto a . No tringulo ABC: .
As razes trigonomtricas so totalmente determinadas pelo ngulo, sendo iguais para qualquer par de tringulos retngulos semelhantes.
De fato, dado qualquer tringulo retngulo com um de seus ngulos internos iguais a , a razo entre os seus lados ser, por semelhana de tringulos, a mesma razo encontrada no tringulo ABC, mesmo que esse tringulo retngulo seja muito maior ou muito menor.
Na verdade, podemos pensar na razo trigonomtrica do ngulo, sem um
tringulo retngulo especfico!
22Mdulo 6
Clique para ver a animao
Percebemos que os professores Francisco e Pedro ressaltaram esta propriedade ao afirmarem que qualquer pessoa poderia adotar a estratgia feita pelo rapaz para descobrir a altura da rvore, j que o ngulo de incidncia do Sol num dado horrio o mesmo.
Relaes entre Seno, Cosseno e Tangente de ngulos Agudos Aplicando-se o Teorema de Pitgoras ao tringulo retngulo ABC, obtm-se a2 = b2 + c2. Ento:
Esta a chamada relao fundamental da trigonometria. Para qualquer ngulo agudo , tem-se: sen2 + cos2 = 1.
23Mdulo 6
Podemos explorar outras relaes que envolvem seno, cosseno e tangente de ngulos agudos.
Observando o tringulo retngulo ABC conclumos que e so complementares, ou seja, + = 90, visto que a soma dos ngulos internos de um tringulo qualquer 180 e o terceiro ngulo reto. Logo, = 90 e = 90 .
Desta forma, a partir das razes trigonomtricas definidas
anteriormente, temos:
Assim, o seno de um ngulo agudo igual ao cosseno do
seu complemento e o cosseno de um ngulo agudo igual
ao seno do seu complemento. J a tangente de um ngulo
agudo igual ao inverso da tangente do seu complemento.
24Mdulo 6
Professor, teceremos alguns comentrios sobre notao.
O primeiro diz respeito ausncia de padro na incluso da unidade de medida de ngulo na representao do seno e do cosseno.
Por exemplo, o smbolo introduzido em sen 1, mas o smbolo rad no costuma ser usado em sen (1 rad), ou seja, quando a medida do ngulo 1 rad, representamos simplesmente sen 1. J a igualdade (sen )2 = sen2, assim convencionada, apesar da aparente simplicidade, no costuma ser facilmente interpretada pelos estudantes. Trata-se de um problema de representao uma vez que no usada assim em outros casos.
Por exemplo, a expresso ((x))2 diferente de 2(x). A primeira representa o quadrado da imagem de x por , enquanto a segunda costuma representar a imagem de x pela funo composta .Nos dois casos, os alunos devem ser alertados para se evitar problemas de interpretao.
Seno e Cosseno da Soma de ngulos Agudos
A demonstrao que ser apresentada vlida somente se:
0 < , , + < 90
Vamos ver uma forma interessante de demonstrar simultaneamente as frmulas do seno e do cosseno da soma de dois ngulos agudos?
Para isso faremos as seguintes construes:
1. Considere um tringulo retngulo com um ngulo agudo e a hipotenusa medindo 1 (uma unidade de comprimento).
25Mdulo 6
2. Gire esse tringulo de modo que o cateto do ngulo seja girado segundo um ngulo , em relao reta que o continha inicialmente.
3. Trace o retngulo com um dos vrtices coincidindo com o vrtice do ngulo , com um lado formando o ngulo + com a hipotenusa e que circunscreva o tringulo retngulo.
A imagem a seguir ilustra essa situao.
AD
1
EF C
B
Note que:
por construo, o ngulo FB = + ;
por outro lado, como so alternos internos, A D=FB;
alm disso, como os ngulos FC e ACF so complementares, assim como BCE e ACF, tem-se BCE = .
26Mdulo 6
Aplicando as razes trigonomtricas no tringulo retngulo ABC, obtemos:
BC = sen e AC = cos
Esses valores passam a ser as hipotenusas dos tringulos BEC e AFC, respectivamente.
Vamos obter as medidas dos catetos desses tringulos?
1. Tringulo BEC
e , ou seja...
EB = sen sen e CE = sen cos
2. Tringulo AFC
e , ou seja...
FC = sen cos e AF = cos cos
3. Tringulo ADF AD = sen( + ) e BD = cos( + )
27Mdulo 6
Como os lados opostos de um retngulo possuem a mesma medida, segue que:
sen( + ) = sen cos + sen coscos cos = cos( + ) + sen sen
Diante de todos esses fatos chegamos figura a seguir.
A D
1
EF C
B
+
sen
cos
cos cos cos cos
sen sen
sen cos
sen cos
sen cos
sen cos
sen ( + )
sen ( + )
cos ( + )
sen sen
cos ( + )
Logo,
sen( + ) = sen cos + sen coscos( + ) = cos cos sen sen
Na seo Matemtica e Suas Tecnologias apresentamos essa demonstrao de forma interativa.
Aproveite-a para suas aulas!
28Mdulo 6
ngulos Notveis
Voc j se perguntou qual a medida, em graus, dos ngulos agudos do tringulo pitagrico de lados 3, 4 e 5? Conhecemos todas as razes trigonomtricas desse tringulo, mas e as medidas de seus ngulos?
H alguns anos, o professor Carlos Gustavo T. de A. Moreira
(Gugu), do IMPA, demonstrou em aula que tais medidas so
dadas por nmeros irracionais. No est em nossos planos
apresentar tal demonstrao, mas apenas reforar a ideia de
que as razes trigonomtricas no devem se restringir aos
chamados ngulos notveis: 30, 45 e 60.
Apesar deste comentrio inicial, o estudo das razes
trigonomtricas de ngulos notveis no deve ser suprimido,
mas destacado como exemplo de demonstraes simples
que podem ser feitas no ensino bsico.
Para abordar esse tema com os alunos, voc pode comear perguntando em que figura geomtrica h um ngulo de 60.
Espera-se que os alunos cheguem concluso de que os tringulos equilteros tm essa propriedade e, consequentemente, traando-se uma altura, que nesse caso tambm mediana e bissetriz, obtm-se um tringulo retngulo com ngulos agudos de 30 e 60.
29Mdulo 6
h11
12
A
DCB 60
3030
60
12
Do tringulo retngulo ABD podemos concluir que:
importante que os alunos percebam que a medida do lado do tringulo equiltero indiferente porque cancelada nas razes anteriores.
30Mdulo 6
A pergunta inicial pode ser estendida.
Em que figura geomtrica h um ngulo de 45?
Possivelmente, com o auxlio de dicas do professor, os alunos podem concluir que tal ngulo aparece ao se traar a diagonal em um quadrado, dividindo-o em dois tringulos retngulos issceles.
A imagem a seguir representa um desses tringulos.
11
E
F
G45 45
No tringulo retngulo issceles EFG de lado l, tem-se:
a2 = l2 + l2 a = l
tg45 = l / l = 1
31Mdulo 6
Assim, a partir de figuras geomtricas conhecidas, os alunos so capazes de deduzir os valores das razes trigonomtricas dos ngulos notveis.
No entanto, sabemos que na vida real temos que ter muita sorte para trabalharmos com tringulos em que seus ngulos sejam os notveis; na maioria das vezes encontraremos ngulos com medidas muito variadas.
Como determinar as razes trigonomtricas de ngulos no notveis?
Use uma calculadora cientfica! A maioria dos celulares e tablets hoje em dia possuem aplicativos de calculadoras
cientficas. Por que no utiliz-los nas salas de aula, j que no dia a dia os utilizamos com frequncia?
Uma atividade interessante a ser feita determinar valores aproximados do seno e do cosseno de um ngulo agudo construdo com auxlio de um transferidor e de uma rgua.
Suponha, por exemplo, que em um exerccio seja solicitado resolver o tringulo retngulo a seguir.
b
cA
C
B27
32Mdulo 6
Resolver um tringulo significa determinar todas as suas medidas, os trs lados e os trs ngulos, conhecendo apenas algumas delas.
Se soubssemos, por exemplo, o valor de sen 27, seria mais fcil determinar as medidas desconhecidas do tringulo. Uma aproximao para o valor de sen 27 pode ser obtida ao se tomar um tringulo retngulo com um ngulo de 27, mas no qual seja possvel medir seus lados.
Isso pode ser feito com o auxlio da rgua e do transferidor.
1. Desenhe um segmento de reta para ser a base do tringulo retngulo.
2. Em um dos extremos do segmento desenhe, com a ajuda do transferidor e da rgua, uma semirreta perpendicular ao segmento.
3. No outro extremo do segmento desenhe uma semirreta que forme um ngulo de 27 com este segmento.
4. Marque o terceiro vrtice do tringulo na interseo das suas semirretas desenhadas anteriormente, como a seguir.
27A
C
B
7.73.5
33Mdulo 6
5. Pronto! Agora, com o auxlio da rgua, s medir o cateto oposto ao ngulo de 27 e a hipotenusa do tringulo e calcular a razo entre essas duas medidas para encontrar uma aproximao para o sen 27.
Observe que, a partir da construo geomtrica, obtivemos
uma aproximao do valor de sen 27 sem recorrer famosa tabela trigonomtrica.
O mesmo procedimento poderia ser feito com auxlio de um
software de geometria dinmica.
Mesmo que sejam utilizados softwares ou intrumentos profissionais de medio, em geral, os valores obtidos para as razes trigonomtricas so aproximaes!
Medindo Distncias Inacessveis
O clculo de distncias inacessveis um exemplo da
capacidade de uso da mente humana para superao de
limites fsicos do corpo.
A seguir sero apresentados exemplos de problemas deste tipo
nos quais o uso das razes trigonomtricas fundamental.
34Mdulo 6
Problema 1: A Altura do Po de Acar
Um observador est em um ponto A do Aterro do Flamengo, no Rio de Janeiro, e v o Po de Acar segundo um ngulo de 10 com o plano horizontal (medido com o teodolito). Ele anda em direo ao Po de Acar at um ponto B distante 650 m de A e agora v o Po de Acar segundo um ngulo de 14 de B. Qual a altura do Po de Acar em relao ao plano de observao?
Lima et al. (2005)
Um esboo esquemtico da situao descrita no problema o que segue, onde OP a altura do Po de Acar e BO a distncia do observador em seu segundo ponto de observao at o p da altura do Po de Acar.
A 650m x
P
B
h
1410
35Mdulo 6
Primeiramente busquemos razes que envolvam os lados em questo.
Os valores de tangente de 10 e 14 podem ser obtidos com o auxlio de uma calculadora cientfica ou usando construes geomticas
como a realizada anteriormente.
Depois, manipulamos algebricamente essas razes para encontrarmos o valor de x e h.
e
h = (650 + x)tg 10 = x tg 14 x(tg 14 tg 10) = 650 tg 10
x 1570,03 m h 391,45 m
Logo, o cume do Po de Acar est, aproximadamente, a 391 m acima da
altura dos olhos do observador.
Problema 2: Simulando o 3-D
Como o nosso crebro traduz uma imagem em 3-D? Como os cinemas e aparelhos tecnolgicos atuais conseguem dar a sensao de visualizao de uma imagem em 3-D para uma imagem com apenas duas dimenses?
3-D - Segundo o Dicionrio Houaiss: Formato
tridimensional, que inclui a ideia de profundidade.
36Mdulo 6
No temos a resposta para a primeira pergunta. Tal situao
corresponde a um complexo de sinapses e reaes que
acontecem no crebro e que at hoje esto em pauta nos
artigos cientficos.
Contudo, a segunda pergunta nos instiga a investigar como
conseguimos enganar o crebro e transmitir para ele a
sensao de uma imagem em trs dimenses, quando na
verdade temos apenas duas.
Na busca por uma resposta para essa pergunta, que tambm complexa, a trigonometria ocupa um papel importante.
O crebro humano pode ser iludido a interpretar imagens bidimensionais
como sendo tridimensionais e a trigonometria auxilia nesse processo.
Vamos ver melhor como isso funciona?
37Mdulo 6
Clique para ver a animao
Um dos processos para a obteno dessas informaes o clculo da distncia do nosso rosto ao objeto avistado e para isso podemos enganar o nosso crebro fazendo uso da trigonometria, uma vez que o crebro interpreta os ngulos em que nossos olhos esto virados e a distncia entre eles, como mostra a figura ao lado.
Saiba um pouco mais sobre esse assunto assistindoao vdeo do matemtico Rogrio Martins, disponvelno link < http://youtu.be/MCTg5SsQwVg >.
http://youtu.be/MCTg5SsQwVg
38Mdulo 6
Claro que o nosso crebro usa uma srie de outras informaes
para que possamos visualizar um objeto com todas as suas
caractersticas. Porm, neste processo a anlise feita com o
uso deste tringulo essencial e a partir disso os estudiosos
conseguiram criar um mtodo eficaz para enganar o nosso
crebro na visualizao de uma imagem em 2-D que ser
interpretada por ele como uma imagem em 3-D.
Clique para ver a animao
Estudos indicam que para se obter a visualizao 3-D desejada, o ngulo mximo formado entre as semirretas que partem do
objeto em direo aos olhos deve ser 5. (HARTUNG, 2010)
Na imagem a seguir podemos visualizar um esquema
representando as relaes para se criar uma fotografia 3-D
de uma rvore.
39Mdulo 6
D
d
A
5
D
AB CD=10m
2.52.5
d2
d2
O esquema anterior representa uma rvore no ponto D a uma distncia de 10 m de um ponto C equidistante de dois pontos A e B, pontos focais para a foto, de modo que ACD = BCD = 900.
Logo:
d = 20 tg 2,5 0,87 m = 87 cm
Ento, para se construir duas imagens que enganem o crebro, deve-se tirar duas fotos da rvore em D com distncia mxima de d = 87 cm entre as fotos, como mostra o esquema da figura anterior.
Feito isso, podemos construir uma imagem, no computador, que ao ser observada por um culos anglifo, enganar o nosso crebro nos
transmitindo uma sensao tridimensional.
40Mdulo 6
Atualmente, diversos culos 3-D das TVs digitais utilizam
uma tecnologia baseada nesses culos e suas lentes
so polarizadas para bloquear cores vermelhas no olho direito
e azuis no olho esquerdo.
Os culos anglifos so usados na visualizao de imagens 3-D. Possuem a lente esquerda vermelha e a lente direita azul. Este filtro na frente de cada olho faz com que a luz polarizada utilizada na imagem do outro olho seja bloqueada, sendo assim cada imagem atinge apenas o olho de destino.
Para construir seus prprios culos anglifos faa, com papel carto, culos adequados ao tamanho do seu rosto como o modelo a seguir e use papel celofane vermelho e azul paras as lentes.
possvel construir essa imagem especial com qualquer software de edio de imagens; sugerimos o tradicional Adobe Photoshop, o Paint Net ou Gimp os dois ltimos so gratuitos.
A foto tirada no ponto A, lado esquerdo do objeto, deve ficar avermelhada, para no ser vista pelo olho direito, que, usualmente, nos culos anglifos tem cor vermelha do lado direito.
Para avermelhar a foto, em qualquer um dos softwares, basta procurar por uma opo, usualmente, chamada nveis em
41Mdulo 6
geral, encontrada no menu denominado ajustes que expe os tons de azul, vermelho e verde da imagem.
Como queremos avermelhar a foto, basta zerar os tons de verde e azul atravs dos botes dessa opo.
O mesmo deve ser feito na foto tirada no ponto B, lado direito do objeto. O processo anlogo, mas esta deve ficar azulada; nesse caso zeraremos na opo nveis apenas os tons de vermelho.
Com as duas fotos no mesmo arquivo, em camadas distintas,
basta salv-las no formato JPEG observando a opo de entrelaamento que aparece no momento do salvamento.
Pronto! Agora s usar culos anglifos e curtir a sua imagem em 3-D!
Problema 3: Medindo o Raio da Terra
Voc j pensou em medir o raio da Terra?Observe uma estratgia para isso.
Uma pessoa do alto do Corcovado, no Rio de Janeiro, avista o horizonte por um ngulo de 0,85. Se a altura do Corcovado de aproximadamente 703 m, em relao ao nvel do mar, qual valor aproximado para o raio da Terra?
42Mdulo 6
O ngulo de 0,85 formado pela linha horizontal que passa pelos olhos da pessoa e o horizonte, como mostra a figura a seguir.
horizonte
P
C
0,85
0,85
R
703m
R
Observe que + 0,85 = 90 = 89,15, logo o ngulo com vrtice em C tambm mede 0,85.
Desta forma o raio da Terra pode ser assim obtido:
cos 0,85 = R 6.387,8 m
Claro que a medida encontrada para o raio da Terra aproximada, uma vez que ignoramos alguns fatos, que expomos a seguir, para facilitar nossos clculos.
A superfcie da Terra no tem formato esfrico, mas como sua superfcie se aproxima muito de uma esfera a consideramos assim.
43Mdulo 6
A altura do Corcovado tambm est aproximada.
O ngulo de 0,85 uma aproximao do ngulo real medido por um equipamento especializado, por exemplo, um teodolido.
O clculo de cos 0,85 tambm foi feito de forma aproximada.
Medir um processo de aproximao e est sujeito a erros!
No possvel medir o mundo real de forma exata, pois sempre existiro erros oriundos dos instrumentos utilizados e das capacidades fisiolgicas do observador.
Apesar disso chegamos em um valor bastante prximo da medida moderna do raio da Terra que de 6.371 km, o que bastante legal!
Problema 4: Distncia em Perspectiva
J percebeu que quando um objeto ou uma pessoa se encontra muito distante de ns, o vemos bem pequeno? Ser que temos como calcular a distncia que estamos deste objeto, se conhecermos o tamanho desse objeto?
Quando observamos um objeto de perto ele ocupa um espao muito maior no nosso campo de viso do que quando o observamos de longe, conforme ilustram os ngulos azul e vermelho na imagem a seguir.
44Mdulo 6
d1 d2
As distncias d1 e d2 chamam-se distncias ngulares. perceptvel que quanto menor a distncia ngular maior o ngulo de viso.
A razo entre a medida da rvore e da distncia angular exatamente a tangente do ngulo de viso, ou seja:
, onde:
o ngulo de viso; h a altura do objeto; d a distncia angular.
Esse valor, tg , conhecido como dimetro angular.
Existe uma forma prtica de encontrar uma aproximao para o ngulo de viso
utilizando somente a nossa mo!
O processo simples...
45Mdulo 6
1. Feche um dos seus olhos e mire o objeto.
2. Tente comparar o tamanho do objeto com o tamanho dos dedos da sua mo.
3. Descubra o seu ngulo de viso aproximado de acordo com a imagem a seguir.
Agora s explorar vontade!
Use a sua mo para comparar a altura e o ngulo de viso de objetos ou pessoas cuja altura seja conhecida.
Faa tambm o contrrio: tente descobrir a altura de objetos ou pessoas, afastando-se dos mesmos uma distncia conhecida.
1510 2551
46Mdulo 6
Brinque vontade com esses conceitos e proporcione um
aprendizado significativo aos seus alunos!
E, j que falamos tanto em instrumentos de medio de ngulos e distncias, vamos nos
despedindo da Sala dos Professores para fazer nossas experincias prticas. Volte sempre!
Atividades Prticas
Experincias com Objetos ou Situaes da Vida Real
Professor, a atividade a seguir tem como objetivo calcular distncias inacessveis com o auxlio das razes trigonomtricas.
Os alunos devero construir seus prprios instrumentos de medio.
Atividade: Construindo instrumentos para mediro inalcanvel
Material necessrio:
02 pedaos de papelo grosso, um de 40 x 40 cm e o outro de 10 x 10 cm;
010
2020
3030
40
40
5050
6060
7070 80
80
9090
10
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Brinque vontade com esses conceitos e proporcione um
aprendizado significativo aos seus alunos!
E, j que falamos tanto em instrumentos de medio de ngulos e distncias, vamos nos
despedindo da Sala dos Professores para fazer nossas experincias prticas. Volte sempre!
Atividades Prticas
Experincias com Objetos ou Situaes da Vida Real
Professor, a atividade a seguir tem como objetivo calcular distncias inacessveis com o auxlio das razes trigonomtricas.
Os alunos devero construir seus prprios instrumentos de medio.
Atividade: Construindo instrumentos para mediro inalcanvel
Material necessrio:
02 pedaos de papelo grosso, um de 40 x 40 cm e o outro de 10 x 10 cm;
010
2020
3030
40
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5050
6060
7070 80
80
9090
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rgua, compasso, transferidor e uma fita mtrica;
fita adesiva vermelha, cola e tesoura;
barbante;
porca grande ou peso de metal;
canudo com 5 mm de dimetro;
fotocpia de um transferidor meia lua (imagem ao lado).
Objetivo: Construir uma trena de roda, um inclinmetro e medir a altura de construes ou rvores aplicando conceitos de trigonometria no tringulo retngulo.
Descrio: Metade da turma construir a trena de roda enquanto os demais devem construir um inclinmetro, conforme as instrues a seguir.
Construo de uma trena de roda
Incentive seus alunos a pesquisarem na Internet a definio de trena de roda!
A trena de roda um instrumento de medio que possui uma roda cuja circunferncia do crculo representado pela parte externa da roda mede 1 metro.
48Mdulo 6
As trenas de roda vendidas comercialmente
possuem contadores mecnicos ou digitais.
Problematize a situao e questione os alunos sobre qual deve ser o raio desta roda para que seu permetro tenha 1 metro.
C = 2 R R = 1/2 0,159 m =15,9 cm
Em seguida, inicie a construo, de acordo com o passo a passo a seguir:
1. Pegue o pedao de papelo de tamanho 40 x 40 cm e com o auxlio da rgua e do compasso desenhe uma circunferncia de raio 15,9 cm.
2. Recorte essa circunferncia e marque um ponto de incio da medio colando um pedao de fita vermelha neste ponto.
49Mdulo 6
3. Com a ajuda do transferidor, trace dois dimetros perpendiculares e escreva as marcaes 0/100, 25, 50 e 75.
4. Fure o papelo no centro da circunfncia e coloque neste furo um lpis.
Pronto! Agora s usar e com a ajuda de uma trena tradicional ou uma fita mtrica conferir se a trena de roda est precisa o bastante.
0
Construo de um inclinmetro
De forma anloga ao que foi feito com o outro grupo, incentive os alunos a pesquisarem sobre esse intrumento de medio de ngulos relativos a inclinaes!
50Mdulo 6
0 102020
30 30
4040
50 50
6060
10
Durante a pesquisa seus alunos devem perceber que o teodolito
o instrumento de medio de ngulos mais utilizado.
Como vimos anteriormente, o teodolito um instrumento ptico de medio de
ngulos, tanto horizontais quanto verticais.
A montagem de um teodolito caseiro um pouco mais complexa e seu uso deve ser mais cuidadoso, mas pode render tambm muitos aprendizados.
Veja no link a seguir como montar um teodolito com os seus alunos:
< http://portaldoprofessor.mec.gov.br/
fichaTecnicaAula.html?aula=12635 >
Para a construo do inclinmetro seus alunos devem estar atentos aos seguintes passos:
http://portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnicaAula.html?aula=12635http://portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnicaAula.html?aula=12635
51Mdulo 6
1. Cole a fotocpia do transferidor no pedao de papelo de tamanho 10 x 10 cm.
2. Faa um furo na origem do transferidor e passe o barbante por este furo dando um n grande em uma de suas pontas, de forma que no seja possvel o barbante escapulir por esse furo.
3. Na outra ponta do barbante amarre a porca ou algum peso de metal.
4. Com a fita adesiva prenda o canudo no inclinmetro como mostrado na figura abaixo.
Est pronto! Para usar o inclinmetro basta posicion-lo na direo horizontal, ou seja, paralelamente ao solo, de forma que o barbante fique posicionado no ngulo 0 e depois gir-lo at avistar pelo canudo um ponto de referncia para a medio do ngulo pretendido.
52Mdulo 6
Pea a um amigo para ver qual ngulo o barbante marca no quadrante do inclinmetro.
Medindo o inalcanvel
Professor, agora que seus alunos j esto com os intrumentos prontos hora de pr a mo na massa.
Forme duplas nas quais cada aluno fique responsvel por manejar um dos instrumentos:
quando um aluno da dupla estiver com a trena de roda, o outro o auxilia anotando os valores encontrados;
quando o segundo aluno estiver manejando o inclinmetro (ou o teodolito, se assim preferir), o outro observa o ngulo formado e anota os valores encontrados.
53Mdulo 6
Comee com distncias acessveis para que os alunos possam
comprovar seus clculos ao final, medindo com a fita mtrica
a distncia que determinaram. Um bom comeo medir o p
direito da sala, por exemplo. Depois disso, explore todos os
cantos do colgio; se tiver oportunidade, leve seus alunos para
uma volta no bairro.
Essa experincia sempre muito interessante e motivadora. Divirta-se com o aprendizado deles!
Investigao de erros
Silva e Neto (2006) e Fortes (2012), em pesquisas feitas com
alunos da 2 srie do Ensino Mdio de escolas pblicas
distintas, relatam que os erros dos alunos nas questes
envolvendo razes trigonomtricas so na sua maioria
devido dificuldade destes em identificar os elementos do
tringulo retngulo, ou seja, confundem o cateto oposto
com o adjacente a um ngulo, assim como confundem a
hipotenusa e um cateto.
Apresentam tambm erros na definio de cada uma das
razes trigonomtricas e principalmente na passagem da
representao verbal de um problema para a representao
geomtrica.
54Mdulo 6
Questo 1
Na pequisa de Fortes (2012) uma das questes disponibilizada aos alunos foi:
Um avio decola e inicia a subida num ngulo constante de 10 com a horizontal. Qual a distncia horizontal percorrida por esse avio quando atinge 528 m de altura? (o cos (100) era dado no problema)
cos . 10 = CAh
cos . 0,98 = 528
0,98 . 528 = cc=5,1744
c
c
528
10
Erro I
O aluno sente dificuldade na representao geomtrica do problema e no sabe relacionar as medidas informadas com os lados do tringulo retngulo.
Erro II
O aluno confunde a hipotenusa do tringulo com o cateto adjacente ao ngulo de 10.
Questo 2
Mota (2013) relata os erros cometidos por alunos na tentativa de indentificar os elementos do tringulo retngulo.
55Mdulo 6
b
b
c
ca
a
B
A
C
b
c
a
Hipotenusa a.
Cateto adjacente c.
Cateto oposto a e b. Hipotenusa. Hipotenusa.
Triangulo Retangulo. Cateto Adjacente.
Cateto oposto.C ateto oposto.
b
c
a
b
c
a
Figura 1 resposta aluno A1 Figura 2 resposta aluno A2 Figura 2 resposta aluno A24
Erro I
Observe que o aluno A1 no percebe que o cateto oposto e adjacente dependem de qual ngulo tomamos como referencial e a hipotenusa independe deste ngulo.
Erro II
O aluno A2 chama o cateto oposto de tringulo retngulo.
Erro III
O aluno A3 troca o cateto oposto pelo cateto adjacente.
Ca
56Mdulo 6
Ainda nesta questo, veja a resposta de um aluno quando questionado sobre
qual o seno do ngulo BC.
Sen 1e
A=
Erro IV
Em uma questo cuja resposta deveria ser algbrica o aluno apresenta um valor numrico como resposta para o seno do ngulo pedido. O valor apresentado corresponde ao seno de um ngulo notvel, 300, indicando que, provavelmente, esse aluno no compreendeu que o seno uma propriedade do ngulo, variando, assim, para cada ngulo agudo diferente.
Questo 3
Fortes (2012) faz o seguinte questionamento aos seus alunos:
(Unicamp-SP) Para medir a largura AC de um rio, um homem usou o seguinte procedimento: localizou um ponto B de onde podia ver na margem oposta o coqueiro C, de forma que o ngulo ABC fosse 60; determinou o ponto D no prolongamento de CA de forma que o ngulo CBD fosse de 90. Medindo AD = 40 m, achou a largura do rio. Qual a medida dessa largura?
A DC
B30
60
40
57Mdulo 6
Erro I
Um aluno calculou corretamente a hipotenusa do tringulo ABD por meio do seno de 30, mas errou considerando que a hipotenusa do tringulo ABC, encontrada por meio do cosseno de 60, fosse a largura do rio.
Um erro bastante comum de interpretao dos dados contidos na imagem relativos
s nomenclaturas trigonomtricas.
Erro II
Dois alunos usaram proporo para determinar a medida do segmento AC.
Um deles respondeu:
ABD forma um ngulo de 30 e tem 40 m; ABC tem um ngulo de 60. Como 60 o dobro de 30 a medida ser 80 m.
Um erro baseado no pensamento proporcional que tambm bastante comum na percepo
do aluno sobre as aplicaes matemticas.
A grande quantidade de identidades trigonomtricas que podem ser deduzidas costuma assustar os estudantes que imaginam ser necessrio decor-las.
58Mdulo 6
Os alunos devem ser orientados a compreender as demonstraes e dedues em vez de memorizar uma grande lista de frmulas.
Na prxima seo apresentamos alguns recursos tecnolgicos desenvovidos especialmente para o estudo das razes trigonomtricas que podem ser aliados importantes para os estudantes na compreenso e assimilao dos contedos abordados neste tema.
Matemtica e Suas Tecnologias
Professor, esta seo foi especialmente preparada para voc e seus alunos! Aproveitamos o que a tecnologia nos possibilita para que vocs vivam importantes momentos de reflexo.
O primeiro applet uma calculadora geomtrica de senos e cossenos que est incrementada com uma simulao para a determinao de distncias inacessveis.
O segundo applet uma ferramenta que incentiva prticas pouco comuns sala de aula. Ele prope demonstraes de cunho geomtrico para a determinao de frmulas do seno e cosseno da soma ou subtrao de ngulos que variam no intervalo de 0 a 90.
Applets - Programa utilitrio que produz
pequenas aes ou funcionalidades simples.
59Mdulo 6
Podemos entender que este applet adianta um momento didtico que geralmente na sala de aula acontece quando os alunos
comeam a pensar na trigonometria tendo os arcos do crculo como referncia.
Recurso 1 Calculadora de Razes Trigonomtricas
Este applet uma ferramenta muito simples, cujo uso se concentra na determinao geomtrica dinmica dos valores das razes seno e cosseno para ngulos que variam de 0 a 90.
O applet est dividido em duas reas: a calculadora e outra com um problema de determinao de distncias por meio das razes trigonomtricas.
Observe o passo a passo a seguir.
Em Resumo...
Isso significa que voc poder estar intervindo na sequncia de aprendizado em trigonometria de modo a construir justificativas para a transposio da trigonometria mtrica para a analtica.
60Mdulo 6
1. Para utilizar uma consulta a um valor especfico da calculadora, basta mover o controle deslizante at que este atinja o valor desejado do ngulo.
Este controle varia de um em um grau. Caso o ngulo desejado no tenha, em graus, medida inteira, o usurio pode utilizar as caixas de texto que esto localizadas logo abaixo do controle deslizante.
Na opo, Graus, a caixa de texto determina a medida em graus, utilizando o sistema misto de notao, ou seja, considerando o sistema de numerao decimal.
J na opo Radiano o ngulo dado em radianos, mas, obviamente limitado a /4 rad.
importante ressaltar que apesar de a informao numrica prestada por esse applet ser equivalente de uma calculadora, a forma de acesso conduz argumentao geomtrica que, justamente por se mostrar insuficiente, a base da construo dos elementos de trigonometria mtrica e analtica.
61Mdulo 6
Esta calculadora tambm pode ser til quando os alunos j tiverem contato com os ngulos em radianos!
Eles podem utiliz-la para confirmar a equivalncia entre as medidas e a permanncia do valor das razes trigonomtricas.
2. Informaes adicionais tambm so produzidas por este applet.
A primeira, o valor do ngulo em graus, sem o uso da notao decimal.
A segunda o valor da tangente do ngulo, assinalada em um texto de cor rosa.
3. J na segunda rea deste applet, o que temos uma simulao do uso que est um pouco esquecido nos
livros didticos das razes trigonomtricas para a
determinao de distncias inacessveis.
Nesta rea est disposta uma fotografia da Ponte Rio-Niteri
e sobre ela um tringulo escaleno onde esto determinadas as
medidas dos trs ngulos e de um dos catetos.
Este applet utiliza uma escala, mensurada atravs da distncia
entre as vigas do vo central da ponte Rio-Niteri que de aproximadamente 300 m.
Ponte Rio-Niteri - Oficialmente nomeada Ponte Presidente
Costa e Silva, possui 13 km de extenso e liga o municpio
do Rio de Janeiro ao municpio de Niteri.
62Mdulo 6
Assim, podemos determinar apenas com razes simples todas as distncias reais entre os vrtices desse tringulo considerando a medida dos seus
lados e a medida linear desse vo na foto.
Outrossim, o applet simula a hiptese de os ngulos e o cateto c terem sido medidos com um teodolito.
O usurio, necessariamente, deve conhecer:
a Lei dos Senos;
a Frmula trigonomtrica da Mediana;
outros recursos trigonomtricos para determinar as distncias solicitadas por este applet.
O problema que est subjacente imagem o da determinao da distncia do ponto mais extremo da pista de pouso do Aeroporto Internacional Santos Dumont (ponto C) at a Ponte Rio-Niteri (pontos A e B).
63Mdulo 6
To importante quanto os clculos a explorao da dinamicidade permitida pelo applet.
Voc, professor, poder oferecer outros problemas para seus alunos, alm deste da determinao da distncia do aeroporto ponte.
importante que os alunos a todo instante utilizem os valores de senos e cossenos obtidos na calculadora do applet.
Fique atento, pois a calculadora no identifica essas razes! Cabe ao aluno identificar quais dos segmentos representa geometricamente o valor algbrico da razo seno e da razo cosseno.
Clique aqui para acessar o Recurso 1:
Calculadora de Razes Trigonomtricas
Recurso 2 Demonstrao Interativa
Este segundo recurso permite que voc e seus alunos sigam o passo a passo da demonstrao de cunho geomtrico para a determinao de frmulas para o seno e cosseno da soma de ngulos agudos.
http://formacao.sesimatematica.com.br/modulo-revisao/mod6/recursos/Tema_11_Recurso_01/
64Mdulo 6
1. O applet inicia com a disposio de um retngulo ADEF circunscrito a um tringulo retngulo de hipotenusa unitria.
A demonstrao decorre da determinao dos lados desse retngulo em funo das razes trigonomtricas dos ngulos (, , + ) assinalados no interior do retngulo.
Para utiliz-lo voc e seus alunos s precisam de dois botes:
um de avano;
outro para reiniciar.
2. Cada vez que o boto de avano acionado, uma animao coloca em evidncia um tringulo da figura e uma interrogao aparece sobre um dos lados desse tringulo.
65Mdulo 6
No mesmo momento uma afirmao aparece para ser completada com a escolha de uma das razes dispostas no quadro que fica na parte inferior direita da tela do applet.
O usurio deve assinalar uma dessas razes como forma de completar a afirmao feita pelo applet. Caso a alternativa seja a correta, o applet completa a afirmao, oculta tal razo e exibe uma imagem de confirmao.
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3. Para continuar basta clicar no boto de avano.
Observe que cada vez que o usurio acerta, a medida do lado do tringulo passa a fazer parte da imagem original.
Da mesma forma, ficam sobrando cada vez menos opes para completar as afirmaes.
4. Ao final, a concluso da demonstrao obtida pessoalmente por meio de uma comparao animada entre as medidas dos lados opostos do retngulo, determinadas no decorrer da demonstrao com o applet.
67Mdulo 6
Clique aqui para acessar o Recurso 2:
Demonstrao Interativa
Ampliando Ideias
Leitura Recomendada
Relao de textos comentados para aprofundamentos sobre os conceitos matemticos abordados.
Caracterizao das razes trigonomtricas no tringulo retngulo
LIMA, Elon L. et. al. Temas e Problemas Elementares. Sociedade Brasileira de Matemtica (Coleo do Professor de Matemtica), Rio de Janeiro, 2005.
http://formacao.sesimatematica.com.br/modulo-revisao/mod6/recursos/Tema_11_Recurso_02/
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No Captulo 6 deste livro os autores abordam as razes trigonomtricas como uma propriedade de um dado ngulo agudo no tringulo retngulo, sendo essas razes de semelhanas entre os lados do tringulo.
Histria da trigonometria
ROQUE, T., PITOMBEIRA, J. B. Tpicos de Histria da Matemtica. Sociedade Brasileira de Matemtica (Coleo PROFMAT), Rio de Janeiro, 2013.
Neste texto os autores abordam a histria do surgimento da trigonometria como medida para estudar posies de corpos celestes e comentam sobre os problemas estudados pelos principais precursores da trigonometria.
Referencial curricular
GIGANTE, A. M. B. et.al. Referencial Curricular de Matemtica no Ensino Mdio. Governo do Estado do Rio Grande do Sul, Rio Grande do Sul, 2009, pp. 232-238.
Este um referencial curricular da Secretaria Estadual de Educao do Rio Grande do Sul e apresenta uma sequncia didtica para o ensino de razes trigonomtricas no tringulo retngulo compatveis com as abordadas no presente texto.
Sugestes de Materiais Didticos
Nesta seo, busca-se articular o tema aos materiais disponibilizados na Sala SESI Matemtica.
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Sugesto de Recursos Educacionais Digitais
Vdeo 1: Razes Trigonomtricas - Eduardo Wagner - 2009
No vdeo Razes Trigonomtricas, gravado em 28/01/2009,
o Professor Eduardo Wagner faz uma abordagem sobre as
razes trigonomtricas com aplicaes reais e o uso de
softwares de Geometria Dinmica.
Disponvel em:
Esse vdeo tambm est disponvel no Youtube em:
Vdeo 2: Histria da Matemtica para Professores 9 - Trigonometria
Na vdeo-aula Histria da Matemtica do Mestrado PROFMAT,
publicado em 03/01/2015, o Professor Joo Bosco Pitombeira
faz uma abordagem sobre o surgimento da trigonometria
plana a partir de necessidades da astronomia e demonstra
resultados de grandes precursores da trigonometria.
Disponvel em:
.
http://video.impa.br/index.php?page=janeiro-de-2009https://www.youtube.com/watch?v=Imgz5O2WOt0https://www.youtube.com/watch?v=qCaHRkRGvGU
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Vdeo 3: Isto Matemtica T04E05 O 3D e a Trigonometria
No vdeo O 3D e a Trigonometria, publicado em 19/08/2013, o matemtico Rogrio Martins fala da relao entre a trigonometria e a nossa capacidade de visualizao em 3D.
Disponvel em: .
Vdeo 4: Isto Matemtica T07E11 Dimetro Angular e Cenas Anamrficas
No vdeo Dimetro Angular e Cenas Anamrficas, publicado em 24/06/2014, o matemtico Rogrio Martins fala sobre dimetro ngular e anamorfose, mostrando que para calcular a distncia em perspectiva de um objeto podemos nos valer da tangente do dimetro ngular.
Disponvel em:.
Vdeo 5: Matemtica em Toda Parte II Ep. 02: Matemtica na Cidade
No vdeo Matemtica na Cidade, publicado em 16/08/2013, o professor Leo Akio Yokoyama conversa com o grafiteiro Marcelo Jou e demonstra como a geometria projetiva permite explorar outras formas de visualizar o mundo.
Disponvel em:.
https://www.youtube.com/watch?v=MCTg5SsQwVghttps://www.youtube.com/watch?v=mpa4wLVjP08https://www.youtube.com/watch?v=pOk-n0PVtlc
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Bibliografia Consultada
DANTE, L. R. Trigonometria. Editora tica - Coleo Matemtica: Contexto & Aplicaes, Volume nico, 1a Edio, So Paulo, 2001, pp. 9-30.
FORTES, A. W. B. Razes Trigonomtricas no Tringulo Retngulo: Uma Anlise de Erros no Ensino Mdio. Dissertao de Mestrado, UNIFRA, Santa Maria, 2012.
HARTUNG, G. E. Aferio de Distncias Inacessveis, 2010. Disponvel no site , acessado em 26/01/15.
HARTUNG, G. E. Razes Trigonomtricas com Desenho Geomtrico, 2011. Disponvel no site , acessado em 26/01/15.
HARTUNG, G. E. A Trena de Roda, 2010. Disponvel no site , acessado em 26/01/15.
HARTUNG, G. E. Criando Fotografias em Trs Dimenses, 2010. Disponvel no site , acessado em 26/01/15.
http://portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnicaAula.html?aula=22970http://portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnicaAula.html?aula=22970http://portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnicaAula.html?aula=28536http://portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnicaAula.html?aula=28536http://portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnicaAula.html?aula=22331http://portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnicaAula.html?aula=22331http://portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnicaAula.html?aula=25111http://portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnicaAula.html?aula=25111
72Mdulo 6
IEZZI, G. et al. Matemtica, Volume nico. Editora Atual, 1a Edio, So Paulo, 1997, pp. 250-262.
LIMA, E. L. et. al. Temas e Problemas Elementares. Sociedade Brasileira de Matemtica (Coleo do Professor de Matemtica), 1a Edio, IMPA, Rio de Janeiro, 2005.
MACHADO, R. F. G. et al. Medindo Alturas Inacessveis: Aplicao da Trigonometria Construo e Utilizao do Teodolito, 2009. Disponvel no site , acessado em 09/01/15.
MOTA, T. B. et al. Uma Anlise de Erros nas Relaes Trigonomtricas no Tringulo Retngulo. Anais do XI ENEM, Curitiba, 2013.
ROQUE, T., PITOMBEIRA, J. B. Tpicos de Histria da Matemtica. Sociedade Brasileira de Matemtica (Coleo PROFMAT), 1a Edio, IMPA, Rio de Janeiro, 2013.
SILVA, D. M. M. et al. Conhecimentos de Estudantes do Ensino Mdio sobre Razes Trigonomtricas no Tringulo Retngulo. Anais do SIPEMAT, Pernambuco, 2006.
http://portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnicaAula.html?aula=12635http://portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnicaAula.html?aula=12635
73Mdulo 6
TEMA
ano2 1
3
Mdulo 5 Mdulo 6 Mdulo 7 Mdulo 8
Danando conforme a msica
Viso Alm do Alcance
Danando Conforme a Msica12O que est em cima...
Do Piau ( ao i)...
As bases da computao grfica
Um conceito determinante...
AlgoogleritmoTouch screen, Mouse e Matemtica
Introduo
Existe uma estreita relao entre a msica e a Matemtica. Os elementos musicais so combinados para formarem melodias que nos transmitem sensaes e nos remetem a enredos e histrias sobre momentos marcantes em nossas vidas.
Uma trilha sonora glamourosa ressalta os elementos de um filme nos transmitindo sentimentos de medo, aflio, paz, amor, gentileza e outras sensaes que complementam as imagens que vemos na tela.
Em geral, a msica composta de tempos organizados em compassos que se repetem e que ditam o ritmo das notas, traduzindo em melodia e refres que se alternam.
Ho
ria
Var
lan
h
ttp
s://
ww
w.fl
ickr
.co
m/p
ho
tos/
ho
riav
arla
n/4
32
99
08
160
78Mdulo 6
Assim como a msica, diversos fenmenos naturais podem
ser considerados peridicos e podem ser observados sob
este prisma.
A mente humana tima em reconhecer padres, e a
matemtica uma lente que auxilia na traduo da observao
dos fenmenos de natureza peridica, oscilatria ou vibratria
tais como: movimento de planetas, som, corrente eltrica
alternada, circulao do sangue ou batimentos cardacos,
entre outros.
Sala de Professores
Dilogo.
79Mdulo 6
Windows Media Player
Software oficial da Microsoft que reproduz arquivos de udio e vdeo.
Aprofundamento
importante deixar claro para os nossos alunos que h duas trigonometrias definidas conceitualmente de modo diferente:
a Trigonometria no Tringulo Retngulo;
a Trigonometria no Crculo Unitrio.
Apesar da grande diferena nas definies em cada uma
delas, a Trigonometria no Crculo Unitrio estende a
Trigonometria no Tringulo Retngulo no sentido de
coincidir com a primeira para ngulos agudos, mas na qual faz
sentido, por exemplo, a expresso sen (190).
A grande vantagem do uso da Trigonometria no Crculo Unitrio permitir o estudo das funes trigonomtricas com um domnio definido em todo conjunto .
Francisco e Pedro tentaram traduzir essa importncia para os seus alunos de forma ldica, primeiro atravs dos desafios de Francisco levando eles a perceberem que necessrio estender a trigonometria no tringulo retngulo para trabalharmos com
80Mdulo 6
ngulos maiores ou iguais a 90. E depois mostrando um exemplo da aplicao das funes trigonomtricas na msica, mas ainda sem falar nelas diretamente.
A importncia das funes trigonomtricas foi grandemente reforada com a descoberta de Joseph Fourier, em 1822, de que toda funo peridica (com ligeiras e naturais restries) uma soma (finita ou infinita) de funes do tipo acos(nx) + bsen(nx).
Lima et. al. (2012)
Como Dizem
No tema anterior conversamos sobre o uso da trigonometria no tringulo retngulo para resolver problemas da vida real, mas ser que nos problemas cotidianos sempre trabalharemos com tringulos retngulos?
Sabemos que no! E para isso precisamos estender a trigonometria para trabalharmos
em um tringulo qualquer.
Isso pode ser feito de forma intermediria entre a trigonometria no tringulo retngulo e a trigonometria no crculo unitrio.
Essa extenso costuma ser feita para realizar estudos envolvendo a Lei dos Cossenos.
Lei dos Cossenos
Dado o tringulo ABC, sejam a, b, e c as medidas dos lados BC, AC e AB, respectivamente. Seja ainda h = a altura
81Mdulo 6
baixada de A sobre o lado BC, conforme as duas possibilidades mostradas na figura a seguir.
hh
a
x
x
a - x
bc
a
bc
DPC CB
B
AA
No primeiro caso, temos x = c cos e aplicando-se o Teorema de Pitgoras nos tringulos ABP e APC:
c2 = x2 + h2,b2 = h2 + (ax)2
=h2 + a2 2ax + x2
Substituindo na segunda igualdade x = c cos e c2 = x2 + h2, chegamos chamada Lei dos Cossenos, que tem como caso particular o Teorema de Pitgoras, quando um ngulo reto.
b2 = a2 + c2 2ac cos
Observe que esta igualdade tambm pode ser encontrada se o tringulo for obtusngulo, como no segundo caso. Neste tringulo, x = c cos( ) = c cos .
Note que essa ltima igualdade definida de modo a dar significado ao cosseno de um ngulo obtuso.
82Mdulo 6
Pelo Teorema de Pitgoras aplicado aos tringulos ABP e APC, obtemos:
c2 = x2 + h2,b2 = h2 + (a+x)2
=h2 + a2 + 2ax + x2
Novamente temos b2 = a2 + c2 2ac cos . De forma anloga, podemos mostrar que:
a2 = b2+c2 2bc cos c2 = a2 + b2 2ab cos
Lei dos Senos
A partir das mesmas figuras, temos:
Por outro lado, se baixarmos a altura ( ) do vrtice B sobre o lado AC, obtemos:
83Mdulo 6
Desta forma, obtemos a chamada Lei dos Senos que diz que em todo tringulo, a razo entre o lado e o seno do ngulo oposto a esse lado constante.
Agora, vamos conhecer algumas aplicaes cotidianas das funes trigonomtricas que podem ser usados para motivar o estudo da
Trigonometria no Crculo Unitrio. Preparados?
A Trigonometria e a Msica
O som definido por trs propriedades:
I. A altura consiste na maior ou menor elevao (no sentido de mais grave ou mais agudo) do som, e depende do maior ou menor nmero de vibraes num dado tempo.
II. A intensidade consiste no grau de fora com que se apresenta o som, e depende da amplitude das vibraes.
III. O timbre a personalidade do som, ou seja, se ouvirmos a mesma nota musical produzida por instrumentos diferentes o timbre nos faz diferenciar qual instrumento que a produziu.
Priolli (1987)
Como Dizem
84Mdulo 6
Quando Pedro mostra a Francisco o grfico com o comportamento da onda sonora possvel de identificar:
a altura do som atravs da anlise da frequncia de vibraes;
a intensidade do som atravs da amplitude da onda;
o timbre gerado pela orquestra atravs do chamado espectro na onda, que o que determina quais frequncias compem o som e quais as suas intensidades.
Desta forma, a onda que descreve o movimento sonoro pode ser representada por uma funo peridica neste caso, uma combinao de funes trigonomtricas.
Vamos ver um exemplo?
Uma nota pura pode ser descrita por uma onda senoidal dada pela funo g(x) = A sen(Bx).
Lembre-se de que A modifica a amplitude da onda sonora enquanto B est intimamente ligado com o perodo P da funo g e com a frequncia do som.
Sabemos que:
a frequncia o inverso do perodo, ou seja, = ;
Nota Pura - Nota sem superposio de sons.
85Mdulo 6
como o perodo da funo h(x) = A sen(x) 2, ento o perodo da funo g(x) = A sen(Bx)
P = ;
no caso da nota pura L, a frequncia = 440Hz.
Vamos descobrir o valor de B correspondente?
Assim, considerando-se a amplitude unitria, a onda sonora da nota L pode ser expressa pelo grfico da funo:
g(x) = sen(2 440 x)
A nota L utilizada comumente para a afinao de instrumentos musicais.
86Mdulo 6
A Trigonometria e o Sistema Massa-mola
Uma outra aplicao interessante das funes trigonomtricas
nos sistemas do tipo massa-mola.
Clique para ver a animao
Muitos outros fenmenos oscilatrios no campo da mecnica e da eletricidade, por exemplo, podem ser usados para motivar o estudo das funes trigonomtricas. Mas, em todos estes casos importante estar atento para o fato de que as funes trigonomtricas no envolvem diretamente a medida de um ngulo.
Do ngulo para a Circunferncia ou da Circunferncia para o ngulo?
Uma das unidades de medidas de ngulos mais utilizadas nas
salas de aula o grau. Esta se baseia em dividir a circunferncia
em 360 partes iguais.
87Mdulo 6
Outra unidade de medida de ngulo que usa o mesmo princpio
do grau o grado. Neste caso a circunferncia subdividida
em 400 partes iguais. Logo, uma circunferncia possui
360 graus e 400 grados.
A unidade grado traz alguns inconvenientes. Por exemplo, se tentarmos expressar em grado os ngulos internos de um tringulo equiltero
iremos obter grados, uma medida racional, mas no inteira como
a expressa em graus.
Essas duas unidades de medidas se utilizam da subdiviso da circunferncia em partes iguais.
J no caso do radiano a subdiviso feita tomando como base na medida do raio da circunferncia.
Clique para ver a animao
88Mdulo 6
No nosso tema anterior conversamos sobre a aplicabilidade das razes trigonomtricas no clculo de distncias inacessveis, e tambm sobre alguns instrumentos de medio de ngulo.
Mas, ser que no nosso cotidiano vamos nos deparar, por exemplo, com um ngulo de 1.260?
Parece-nos bastante seguro dizer que no...
Ento, qual o sentido de pedirmos aos nossos alunos que faam converses de ngulos como este para radianos?
Atentemos para exerccios repetitivos e que no mostram a real necessidade deles para uma aplicao na vida real.
Deixemos claro para os nossos alunos que a medio em graus faz sentido apenas em casos em que realmente dependemos de um ngulo para a soluo do nosso problema, mas que estes ngulos na nossa vida real esto sempre entre 0 e 360.
Porm, precisamos usar a trigonometria em outras situaes, pelo carter peridico de suas funes,
quando estas no dependem diretamente de ngulos.
O radiano a unidade de medida mais natural para o domnio das funes trigonomtricas definidas tomando como ponto de partida a funo de Euler E: R C, que relaciona cada nmero real t ao ponto E(t) = (x, y) da circunferncia unitria C centrada na origem cuja equao x2 + y2 = 1.
Algumas propriedades da funo de Euler so:
E(0) = (1, 0), ou seja, vamos adotar como origem o ponto (1, 0) do plano cartesiano.
89Mdulo 6
Se t > 0 partimos do ponto (1, 0) percorrendo um caminho sobre a circunferncia no sentido anti-horrio de comprimento de t unidades.
Se t < 0 partimos do ponto (1, 0) percorrendo um caminho sobre a circunferncia no sentido horrio de comprimento de |t| unidades.
A funo de Euler pode ser pensada como um modo de enrolar a reta sobre esta circunferncia unitria de modo que a origem da reta real corresponda ao ponto (1, 0) C.
Logo, se marcarmos na reta real um ponto t, sua imagem E(t) corresponde a caminharmos um comprimento t em C, como ilustra a figura a seguir.
x
y
t
E(t) = (x , y)
E(0) = (1 , 0)O
t
Podemos citar mais algumas propriedades importantes da Funo de Euler.
A primeira delas decorrente do fato de a circunferncia unitria ter comprimento 2, portanto se tomarmos t' = t + 2 ento E(t') = E(t).
90Mdulo 6
Isso significa que vamos dar uma volta inteira na circunferncia e parar na mesma imagem, o que ocorre para qualquer nmero de voltas que possamos dar, no sentido positivo ou negativo.
natural pensarmos agora o que ocorre com a imagem de t + , ou seja, darmos meia volta a partir da imagem de t. E tambm o que ocorre com a imagem t + , ou seja,
percorremos um quarto de volta a partir da imagem de t.
Observe as figuras a seguir.
x-x
y
-y
t
E(t) = (x , y)
E(0) = (1 , 0) x
x
y
-y
t
E(t) = (x , y)
E(0) = (1 , 0)
E(t + ) = (-y , x)2
Estamos tratando de valores de t positivos, mas se quisermos tratar a imagem de -t, ou seja, andarmos o mesmo comprimento no sentido horrio, ocorre o exposto na figura a seguir.
x
y
-y
t
-t
E(t) = (x , y)
E(-t) = (x , -y)
E(0) = (1 , 0)
91Mdulo 6
A Trigonometria no Crculo Unitrio
Seja R o vetor raio que corresponde a uma rotao do vetor (1, 0) por um ngulo radianos no sentido anti-horrio.
Voc sabia que o sentido anti-horrio tambm pode ser chamado de trigonomtrico?
Observe a imagem a seguir:
(1 , 0)(-1 , 0)
(0 , 1)
(0 , -1)
Em Resumo...
Propriedades importantes da funo de Euler so:
E(t + 2k) = E(t), k E(t) = (x, y) E(t + k) = (x, y), k E(t) = (x, y) E(t + k /2) = (y, x), k E(t) = (x, y) E(t) = (x, y)
92Mdulo 6
Para cada R, definimos:
(R)=(x, y)=(cos , sen )
Note que definimos a abscissa e a ordenada de R como sendo o cosseno e o seno, respectivamente, do arco dado pela funo de Euler.
Tal definio substancialmente diferente daquela dada para seno e cosseno no tringulo retngulo. No entanto, veremos que ela engloba essa ltima, no sentido de coincidir conceitualmente.
Como R obtido pela rotao de um vetor unitrio, ele mesmo um vetor unitrio, ou seja, |R | = 1. Considerando dado pela funo de Euler, o conjunto formado por todos os
vetores R pode ser representado por uma circunferncia de centro na origem do sistema de coordenadas e raio unitrio.
Assim, a relao fundamental da trigonometria uma
consequncia imediata desse fato:
|R| = 1 (x2 + y2) = 1 x2 + y2 = 1
cos2 + sen2 = 1
93Mdulo 6
No caso em que 0 < < /2, ao se projetar ortogonalmente o vetor R sobre o eixo das abscissas, forma-se um tringulo retngulo em que o cateto oposto a y e o cateto adjacente x. Como a hipotenusa igual a 1, tem-se pela trigonometria no tringulo retngulo que:
Felizmente, como pde ser visto anteriormente, a partir das definies dadas na trigonometria do tringulo retngulo para seno e cosseno, chega-se aos mesmos valores arbitrados na trigonometria no crculo unitrio.
Mantendo a coerncia entre as duas trigonometrias, pode-se definir a tangente da seguinte forma:
cos = x e sen = y tg =
A vantagem da trigonometria no crculo unitrio possibilitar que as razes trigonomtricas, seno e cosseno, possam ser vistas como funes definidas para todos os nmeros reais:
94Mdulo 6
Os exemplos a seguir ilustram que a Trigonometria no crculo unitrio coincide com a trigonometria no tringulo retngulo para ngulos no 1 quadrante.
Vamos agora marcar no crculo unitrio o vetor raio que no se encontra no primeiro quadrante.
95Mdulo 6
x
y
R
(1 , 0)(-1 , 0)
(0 , 1)
(0 , -1)
3
3
6
Observando o tringulo retngulo formado vemos que:
Fazendo esse tipo de anlise, que costuma ser chamada de reduo ao 1 quadrante, possvel determinar valores para os senos, cossenos e tangentes de arcos do 2, 3 ou 4 quadrantes.
Esses valores tambm podem ser determinados a partir do uso das propriedades da funo de Euler.
Em Resumo...Seja e k, ento:
E( + 2k) = E() = (x, y), ou seja, cos( + 2k) = cos e sen( + 2k) = sen
E() = (x, y) E( + k) = (x, y), ou seja, cos( + k) = cos e sen( + k) = sen
E() = (x, y) E( + k /2) = (y, x), ou seja, cos( + k /2) = sen e sen( + k /2) = cos
E() = (x, y ) E(-) = (x, y), ou seja, cos(-) = cos e sen() = sen
96Mdulo 6
Uma Forma Diferente para Demonstrar o Cosseno e o Seno da Soma e da Diferena de Dois Arcos
Vamos demonstrar, de uma forma diferente da que foi feita no Tema 11, as frmulas do cosseno e do seno da soma e da diferena de dois arcos.
Para isso vamos assumir dois sistemas de eixos perpendiculares.
1. O sistema usual xOy
Sejam P e Q dois pontos do crculo unitrio que esto associados aos ngulos centrais e , respectivamente.
x
dQP
y
Q
P
Desta forma, por definio:
Q = (cos , sen );
P = (cos , sen ).
97Mdulo 6
Calculando a distncia entre P e Q, temos:
dQP = (cos cos )2 + (sen sen )2
dQP= 2 2 cos cos 2 sen sen
2. Os sistema de eixos perpendiculares uOv
Neste caso, um dos eixos tem como origem do crculo trigonomtrico o ponto Q, ou seja, no sistema de coordenadas uOv, temos:
Q = (1, 0)
P = (cos ( ), sen( )).
x
udQP
yv
Q
P
A distncia entre P e Q dada por:
dQP = (cos ( ) 1)2 + (sen ( ) 0)2
dQP = 2 2 cos ( )
98Mdulo 6
Como a mudana de coordenadas no modifica a posio dos pontos no plano, a distncia entre P e Q coincide nos dois sistemas de eixos perpendiculares, ento:
2 2 cos cos 2 sen sen ) = 2 2 cos ( ) cos ( ) = 2 cos cos + 2 sen sen
Para demonstrarmos a frmula para o cosseno da soma de dois arcos, basta considerarmos que:
cos ( + ) = cos ( ()), cos () = cos ();
sen () = sen ().
Assim:
cos ( + ) = cos ( ()) =cos cos () + sen sen ()cos ( + ) = cos cos sen sen
Para demonstrarmos a frmula para o seno da soma de dois arcos, devemos lembrar que:
sen = cos ( 2
);
cos = sen ( 2
).
Logo:
99Mdulo 6
sen( + ) = cos + =cos + =
=cos cos sen sen
sen( + ) = cos sen + sen cos
E, de forma anloga ao que foi feito para o cosseno, tem-se:
sen ( ) = sen ( + ())==cos sen() + sen cos()
sen( )= sen cos cos sen
Grficos de Funes Trigonomtricas
As funes cos e sen , chamadas de funo cosseno e funo seno respectivamente, so definidas pondo-se, para cada t , E(t) = (cos t, sen t).Noutras palavras, cosseno e seno so respectivamente a abscissa e a ordenada do ponto E(t) do crculo unitrio.
Dante (2001)
Como Dizem
Em Resumo...cos ( + ) = cos cos sen sen cos ( ) = cos cos + sen sen
sen ( + ) = cos sen + sen cos sen ( ) = sen cos cos sen
100Mdulo 6
As funes seno e cosseno tm propriedades importantes que auxiliam na interpretao
dos grficos dessas funes.
Seno e cosseno so funes peridicas de perodo 2, pois sen (x + 2k) = sen x e cos (x + 2k) = cos x, k .
Os valores imagem das funes seno e cosseno esto no intervalo real [-1, 1].
Seno um funo mpar, pois sen (x) = sen x.
Cosseno um funo par, pois cos (x) = cos x.
A partir dessas propriedades e dos valores de seno e cosseno definidos anteriormente para 0, , , , 2 radianos
possvel obter o seguinte esboo para o grfico dessas funes.
2
1
-1
-2
-3
00
f(x) = sen(x)
2
1
-1
-2
-3
00
g(x) = cos(x)
101Mdulo 6
Uma propriedade importante das funes seno e cosseno que o grfico de uma pode ser obtido a partir do grfico de outra, por meio de translaes horizontais.
Por exemplo:
sen = cos ou cos = sen +
Pela primeira igualdade, o grfico do seno pode ser obtido a partir de uma translao horizontal do grfico de cosseno de /2 para a direita.
Pela segunda igualdade, o grfico do cosseno pode ser obtido a partir de uma translao horizontal do grfico de seno de /2 para a esquerda.
Por isso, tanto o grfico do seno como o grfico do cosseno so chamados de senoide.
Grficos de funes do tipo (x) = cos (2x), g(x) = cos (x/3) e h(x) = 4sen (x + /4), tambm podem ser obtidos por meio de transformaes dos grficos de seno e cosseno.
As tranformaes podem ser classificadas como:
translaes; contraes;
expanses; reflexes.
102Mdulo 6
O grfico da funo , por exemplo, uma contrao horizontal do grfico do cosseno. Por outro lado o grfico da funo g uma expanso horizontal do grfico do cosseno seguida de uma reflexo em torno do eixo Ox.
Nessas duas funes, as transformaes horizontais feitas alteram o perodo dessas funes, que j no so mais 2, como na funo cos x.
Para calcular o novo perodo necessrio observar as transformaes ocorridas, no caso da funo a contrao de duas unidades faz com que o seu perodo seja 2 / 2 =
e para a funo g o perodo = 6, j que neste caso
ocorreu uma expanso de 3 unidades.
Os grficos de e g so:
-3
cos(x)
2
1
-1
-2
00
f(x) = cos(2x)
cos(x)
2
1
-1
-2
-3
00
g(x) = -cos( )x3
103Mdulo 6
No caso da funo h as transformaes ocorridas so:
uma translao horizontal de /4 unidades para a esquerda;
uma dilatao vertical que quadruplica o comprimento do segmento de reta representativo do conjunto imagem dessa funo.
Em ambos os casos, o perodo da funo seno no alterado.
A seguir, os grficos das funes h(x) = 4sen (x + /4) e sen(x):
sen(x)
2
1
-1
-2
-4
3
-3
00
h(x) = 4sen(x - )4
A funo tgD chamada de funo tangente definida por tg t= , para cada t D = {t | t
+ k, k }.Como Dizem
A funo tangente no est definida em t=k+/2, com kZ, j que para estes valores cos t = 0.
Cabe destacar que, apesar de no ser possvel traar o grfico da funo tangente sem tirar o lpis do papel, ela contnua.
104Mdulo 6
O perodo da funo da tangente igual a , como pode ser observado em seu grfico:
tg(x)
2
1
-1
-2
3
-3
00
As funes cossec: D1 , sec: D2 e cotg: D3 , chamadas de funo cossecante, funo secante e funo cotangente, respectivamente, so definidas pondo-se, para cada t no domnio da funo, o nmero real cossec t = 1/sen t , sec t = 1/cos t e cotg t = cos t/sen t, onde D1 = { t | t k, k }, D2 = {t | t /2 + k, k } e D3 = {t | t k, k }.
Como Dizem
Os grficos dessas funes so os que seguem:
cossec(x) 2
1
-1
-2
3
-3
00
105Mdulo 6
sec(x)
2
1
-1
-2
3
-3
00
cotg(x)
2
1
-1
-2
00
As funes cossecante, secante e cotangente no so as funes inversas das funes seno, cosseno e tangente. As primeiras so obtidas pelas razes inversas das segundas, o que no as definem como funes inversas, como vimos nas nossas conversas anteriores.
Observem que as funes trigonomtricas seno, cosseno e tangente no so bijetoras, logo no admitem inversa quando tratamos de todo o seu domnio. Mas, se tomarmos intervalos em que essas funes sejam montonas (crescente ou decrescente), ento, para estes intervalos, elas so bijetoras e, portanto, possvel definir suas funes inversas arco-seno, arco-cosseno e arco-tangente, denotadas por arcsen(x), arccos(x) e arctg(x), inversas das funes seno, cosseno e tangente, respectivamente.
Agradecemos a sua visita em nossa Sala de Professores, e esperamos pelo seu retorno para mais um caf com ideias!
106Mdulo 6
Atividades Prticas
Experincias com Objetos ou Situaes da Vida Real
A atividade a seguir busca, de forma ldica e com o uso de materiais concretos de fcil acesso, construir os principais conceitos das funes trigonomtricas seno e cosseno.
Atividade 1: Enrolando a reta e desenrolando o crculo
Material necessrio:
barbante;
tesoura;
rgua;
compasso;
esquadro ou transferidor;
papel milimetrado.
Objetivo: Construir o conceito de radiano e construir os grficos das funes seno e cosseno.
Descrio:
Leia atentamente o passo a passo para a atividade.
107Mdulo 6
1. Separe a turma em pequenos grupos de 3 a 4 alunos para facilitar o trabalho e a construo dos conhecimentos.
2. Pea que, em posse do papel milimetrado e do compasso, os alunos desenhem um crculo marcando seu centro e um ponto O para ser a origem do crculo trigonomtrico.
O=(1.0)C
O comprimento escolhido para ser o raio do crculo ser a unidade de medida.
3. Pea agora que cortem um barbante do tamanho deste raio (unidade de medida) e enrole-o no crculo a partir do ponto O, marcando na extremidade final do barbante, sobre o crculo, o ponto A.
O=(1.0)
A
C
108Mdulo 6
Os alunos devem repertir esse processo at quase completarem o crculo.
O=(1.0)
A
B
G
F
E
DC
4. Faa com que os alunos percebam que usaram 6 barbantes do tamanho da unidade e precisam de mais um pedao de barbante para completar o crculo.
Desafie seus alunos perguntando a eles qual a frao da unidade que o ltimo barbante deve ter.
Para isso eles devem:
medir com a rgua o comprimento do barbante unidade;
medir o comprimento do barbante que falta para completar o crculo;
aps medio, usar uma regra de trs simples.
109Mdulo 6
Onde u o comprimento da unidade (raio), c o comprimento do barbante que falta para completar o crculo e x a frao da unidade que o barbante de comprimento c representa.
Levando em conta pequenos erros na medio e no arredondamento das contas importante que os alunos percebam que mesmo com crculos de raios diferentes todos os grupos devem ter encontrado um valor prximo de 6,28 unidades de raio para o comprimento deste crculo.
Defina junto com eles que essas unidades de raio so chamadas radianos e que um crculo qualquer tem 2 radianos, que aproximadamente o valor
encontrado por eles medindo com barbantes!
O prximo passo desta atividade a construo dos grficos das funes seno e cosseno tomando por base este crculo unitrio que foi construdo.
5. Pea que cada grupo tome seus crculos unitrios e desenhe com a ajuda da rgua e do esquadro:
uma reta horizontal passando pelo centro e pelo ponto O esta representar o eixo das abscissas;
uma reta perpendicular ao eixo das abscissas passando pelo centro do crculo;
110Mdulo 6
uma reta perpendicular ao eixo das abscissas passando pelo ponto O esta representar o eixo das ordenadas.
O
1
y
x
-1
C
6. Os alunos devem tomar um barbante de tamanho qualquer e, a partir do ponto O, enrol-lo, sobre a circunferncia, marcando um ponto P na extremidade oposta do barbante.
O
1
y
x
-1
C
P
7. Agora eles devem manter o barbante preso na extremidade O e estic-lo sobre o eixo das abscissas, marcando o ponto P neste eixo.
111Mdulo 6
O
1
y
x
-1
C
P Q
8. Para marcar o ponto Q o grupo deve usar o esquadro e a rgua ou se basear pela marcao do papel milimetrado para traar uma perpendicular ao eixo das abscissas que passe pelo ponto P e uma perpendicular ao eixo das ordenadas que passe pelo ponto P, de forma que o ponto Q se encontre na interseo destas ltimas duas retas traadas.
Faa com que os alunos percebam que se desenharmos o retngulo CPD, mostrado na figura a seguir, temos
= sen x, onde x a medida em radianos do arco OP.
Desta forma o segmento QP tambm mede sen x.
O
1
y
x
-1
C
PN
D
Q
x
sen xsen x
x radianos
1
112Mdulo 6
9. Instrua os alunos a repetirem esse processo de marcar pontos no crculo e depois desenrol-lo sobre a reta OX marcando pontos Q1, Q2, Q3 etc.
Ligando esses pontos eles devem obter uma imagem como esta.
0
1
-1
0
Sabemos que o grfico anterior no corresponde senoide porque uma poligonal; no entanto, os alunos tendem a ligar os pontos por segmentos de reta.
Por isso, recomenda-se fortemente que sejam representados mais pontos de modo a obter uma aproximao melhor da senoide.
Esse processo pode ser feito em uma placa de isopor na qual so colocadas tachinhas para marcar os pontos do grfico. Se aumentarem a quantidade de pontos escolhidos sobre o
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crculo e repetirem o mesmo processo iro visualizar de forma cada vez melhor o grfico da funo seno.
0
1
-1
0
O grfico da funo cosseno pode ser obtido por uma translao do grfico do seno ou ainda adaptando esta atividade para marcar o segmento QP de forma a coincidir com o comprimento do segmento CD.
Investigao de Erros
Uma das maiores dificuldades dos alunos quando ampliam a trigonometria no tringulo retngulo por meio da trigonometria no crculo unitrio a diferena entre a medida angular, feita em graus, e a medida linear, feita em radianos.
Esta converso muitas vezes decorada e no compreendida, dando origem
a muitos erros conceituais.
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Questo 1
Seja C uma circunferncia de raio 5 cm, contendo um ngulo central AOB de 36, que intersecta C nos pontos A e B.
O
A
B5 cm
38
Qual o comprimento do arco AB em radianos?
Este racioconio pode no ser to simples para os alunos que no entenderam bem o conceito de radiano e s