Números de Fibonacci e a RazãoDourada

O Problema dos coelhos

- Cada par de coelhos gera outro par a cada mês

- Um par recém nascido leva um mês para amadurecer e dar cria

- Nenhum coelho morre no período em estudo

Quantos coelhos haverao no mes k?

n(k) = n(k-1) + n(k-2) � NÚMEROS DE FIBONACCI

Mês Número de coelhos

1 12 13 24 35 56 87 138 219 3410 55...

Número de Pétalas em Flores

1

2

3

5

8

13

21

34

MARGARIDAS

O número de espirais em cada direção, 21 e 34, são números de Fibonacci.

Existe uma explicação para o aparecimento desses números?

Em primeiro lugar notamos que a razão entre dois números de Fibonacciconsecutivos tende a um valor constante, chamado de razão dourada:

1/2 = 0.52/3 = 0.666...3/5 = 0.65/8 = 0.6258/13 = 0.6154... 13/21 = 0.6190...21/34 = 0.6176.......

Existe uma explicação para o aparecimento desses números?

Em muitos casos, uma flor é composta por pequenas sementes que são produzidas no centro e depois migram para a parte externa, até completar todo o espaço disponível. Cada nova semente surge a um certo ângulo em relação àsemente anterior. Por exemplo, se o ângulo é 90 graus, ¼ de volta, o resultado depois de várias gerações seria com na figura 1 do próximo slide:

Claramente essa não é a maneira mais eficiente de preencher o espaço! Para obtermos maior sucesso temos que escolher o ângulo como um múltiplo irracional de 360 graus. Na figura do meio o ângulo é 137.6 e na última 137.5,que corresponde ao ângulo dourado:

360 x 0.6180 = 222.5 como o resultado é maior que 180, tomamos seu complemento:

360 – 222.5 = 137.5

90 graus

137.6

137.5 --- ângulo dourado

Hurricane Sandy – outubro de 2012