Escola Básica de Paços de Ferreira

Fibonacci

Ano Letivo:2011/2012Disciplina: MatemáticaProfessora Anabela Tomé

Trabalho realizado por:

Alexandra Coutinho nº1, 7ºC

Ana Pacheco nº2, 7ºC

Vera Martins nº21, 7ºC

Índice:Tema Página

Quem é Fibonacci? 4

Sequência de Fibonacci 7

Número de ouro a Fibonacci 8

Matemática e os números de Fibonacci 9

Problema dos coelhos 10

Pintura e arte 13

Moluscos 14

Plantas 15

Música 16

Introdução:

Neste trabalho foi elaborado no âmbito da disciplina de Matemática, na qual iremos abordar a vida e o longo processo de trabalho de Leonardo de Pisa mais conhecido por Fibonacci.

Quem é Fibonacci?O seu nome completo era Leonardo de Pisa.

Ficou conhecido como Fibonacci, devido ao facto de Fibonacci ser um diminutivo de fillius Bonacci, que queria provavelmente dizer filho de Bonacci.

Nasceu em Pisa (Itália) por volta de 1175.

Desde muito jovem Leonardo visitou o Oriente e o Norte de África, onde o sistema de numeração hindu era já largamente usado.

Ao longo das suas viagens conheceu a obra de al-Khwarismi e assimilou numerosas informações aritméticas e algébricas que compilou no seu primeiro livro " Liber Abacci" (o livro dos ábacos), que teve uma enorme influência para a introdução na Europa do sistema de numeração hindu-Árabe.

Foi neste livro que Fibonacci introduziu o conceito dos números de Fibonacci e da sucessão de Fibonacci, tema do nosso trabalho.

Escreveu depois " Pratica Geometriae " onde analogamente descreve as suas recolhas sobre Geometria e Trigonometria.

Difundiu nos seus livros, os saberes matemáticos de origem indiana e árabe e estudou as operações elementares, assim como os números naturais, a decomposição de números em factores primos, as fracções e as equações entre outros.

Mas a concepção que Fibonacci apresentou no seu livro "Liber abacci" conhecido agora como os números de Fibonacci foi o que  mais o popularizou entre os outros matemáticos da sua época.

Pensa-se que Fibonacci terá morrido em 1250 em Pisa.

Sequência de FibonacciA sequência de Fibonacci resulta de um problema apresentado no livro Liber Abaci, escrito em 1202, por Leonardo de Pisa, um italiano que viajou pelo Oriente como mercador.

Essa sequência tem uma lei de formação simples: cada elemento, a partir do terceiro, é obtido somando-se os dois anteriores. Veja: 1+1=2, 2+1=3, 3+2=5 e assim por diante.

Desde o século XIII, muitos matemáticos, além do próprio Fibonacci, dedicaram-se ao estudo da sequência que foi proposta, e foram encontradas inúmeras aplicações para ela no desenvolvimento de modelos explicativos de fenómenos naturais.

Número de ouro e Fibonacci

O fascínio pelo número de ouro, data de há mais de 2 000 anos.  Os "antigos" aperceberam-se que a arte e a arquitectura baseadas na razão de ouro, eram invulgarmente agradáveis à vista. A razão de ouro começou por ser definida em termos geométricos

O número de ouro pode ser encontrado através da razão da largura e do comprimento de um rectângulo de ouro ( este quando é dividido em duas partes e em que uma dessas partes seja um quadrado, então o que resta terá que ser um rectângulo com as mesmas proporções do rectângulo inicial).

Matemática e os números de Fibonacci

A sucessão de Fibonacci se represente frequentemente por: F(n)=F(n+1)+F(n+2) com n natural, existem diversas fórmulas e propriedades relacionadas com esta sucessão.

Também existem ciclos formados com os últimos dígitos dos números de Fibonacci, assim como algumas propriedades interessantes relativamente aos seus múltiplos.

O triângulo de Pascal e o triângulo de Pitágoras também se relacionam com os números desta sucessão. 

O problema dos coelhos

No livro a que nos referimos anteriormente, Líber Abaci, Fibonacci introduziu um problema por ele formulado que veio dar origem posteriormente a uma sucessão. Essa sucesão ficou conhecida na história como a Sucessão de Fibonacci e teve lugar no ano de 1202, quando Fibonacci se interessou pela reprodução dos coelhos. Ele criou então um cenário imaginário com as condições ideais, sob as quais os coelhos se poderiam então procriar.

Exemplo:No primeiro mês temos um coelho macho e um coelho fêmea. Estes dois coelhos acabaram de nascer. Um coelho só atinge a maturidade sexual ao fim de um mês. O período de gestação de um coelho dura um mês. Ao atingirem a maturidade sexual, a fêmea irá dar à luz todos os meses. A mãe irá dar todos os meses um coelho macho e um coelho fêmea. Os coelhos nunca morrem.

Ao fim de um ano (12 meses) Fibonacci concluiu que:

Mês 0 - No início da experiência existe apenas um par de

coelhos.Mês #1 – Após um mês, os coelhos acasalaram mas ainda

não deram à luz (portanto existe somente um par de coelhos).

Mês 2 – Neste mês já a fêmea deu à luz um par de coelhos. Existem

agora dois pares de coelhos.

Mês 3 – Depois de 3 meses, o par inicial de coelhos dá à luz mais um

par de coelhos. No entanto, o segundo par acasala. Isto faz então um

total de três pares.

Mês 4 – Aos 4 meses, o par original tem mais um par de coelhos. O

par nascido no mês 2 também dá à luz. O par de coelhos nascido no

mês 3 acasalam, mas ainda não dão à luz. Isto faz um total de cinco

pares.

Mês 5 – Aos 5 meses, todos os pares que nasceram até há dois meses

dão à luz. Isto totaliza oito pares.

Pintura e arte

Muitos artistas que viveram depois de Phidias usaram a proporção Áurea em seus trabalhos. Da Vinci chamava-a: Divina Proporção e usou-a em muitos dos seus trabalhos. Na Mona Lisa observa-se a proporção Áurea em várias situações.

Por exemplo, ao construir um retângulo em torno de seu rosto, veremos que este possui a proporção do retângulo Áureo.

MoluscosAnexando dois quadrados com lado=1, teremos um retângulo 2x1, sendo o lado maior igual à soma dos lados dos quadrados anteriores. Anexamos agora outro quadrado com lado=2 (o maior lado do retângulo 2x1) e teremos um retângulo 3x2. Continuamos a anexar quadrados com lados iguais ao maior dos comprimentos dos retângulos obtidos no passo anterior. A sequência dos lados dos próximos quadrados é: 3,5,8,13,... que é a sequência de Fibonacci.

Plantas

Certas plantas mostram os números de Fibonacci no crescimento dos seus galhos. Suponhamos que nasça um novo broto de um galho a cada mês, sendo que um broto leva dois meses para produzir o seu primeiro broto.

Existem várias plantas cujo crescimento se parecem com o descrito aqui. A planta Achillea ptarmica possui estas características.

MúsicaOs amantes da música podem ficar, a saber, que mesmo Stradivarius utilizava o número de Ouro na construção dos seus famosos violinos.

A banda TOOL tem uma música projetada com a sucessão de Fibonacci, designada de Lateralus.

O Número de Ouro está presente nas famosas sinfonias n.º 5 e na Sinfonia n.º 9, de Ludwig van Beethoven.

O baterista de jazz Max Roach, incorporou a Proporção Áurea nas suas músicas.

Resolução das páginas 134 e 135• 1)

• 1.1) O triângulo de Pascal é um triângulo aritmético formado por números que têm diversas relações entre si. Muitas dessas relações foram descobertas pelo próprio Pascal, o que justifica o nome que lhe é dado.

• Este triângulo forma-se de forma recursiva, ou seja, as diagonais de fora são formadas por 1's, os restantes números são a soma dos números acima. Como exemplo podemos dizer que: 10=4+6 (10-linha 5; 4 e 6-linha 4).

1.2) 1; 6; 15; 20; 15; 6; 1; 1; 7; 21; 35; 35; 21; 7; 1; 1; 8; 28; 56; 70; 56; 28; 8; 1;

1.3)

1.4)

• 2)

2.1) 1 ano------------1) x2;

2 anos----------2) x2;

3 anos---------4) x2;

4 anos---------8) x2;

5 anos---------16) x2;

6 anos--------32) x2;

7 anos--------64) x2;

8 anos--------128) x2;

9 anos--------256) x2;

10 anos------512) x2

R: ao fim de 10 anos terá 512 ramos.

• 2.2)

Porque a sequência do número de ramos a partir do primeiro é uma potência de base 2, logo é par.

• 3)

3.1)

1 de janeiro- 3km

2 de janeiro- 5km

3 de janeiro- 7km

4 de janeiro- 11km

5 de janeiro- 13km

6 de janeiro-15km

R: no dia 6 de janeiro.

• 3.2)

1 de janeiro- 3km;

2 de janeiro- 5 km;

3 de janeiro- 7km;

4 de janeiro- 9km;

5 de janeiro- 11km;

6 de janeiro-13km

31-6=25x15=375+3+5+7+9+11+13=423

• 4)

• 4.1)

1+1=2;

1+2=3;

2+3=5

3+5=8

5+8=13

8+13=21….

R: o alex, durante o mês de janeiro correu 423 km.

…

13+21=34;

21+34=55;

34+55=89;

55+89=144;

144+233=377;

• 5)

1+1+1=3

1+1+3=5

1+1+5=9

1+1+9=17

R: haverá 377 casais de coelhos ao fim de 14 meses.

R: a sequência é continuada somando-se sempre os três últimos termos para obtermos o termo seguinte.

• 6)

7

1 7

1 1 1 7

3 1 1 7

1 1 1 3 1 2 2 1 1 7

3 1 1 3 1 1 2 2 2 1 1 7

Fim