Prof. Ilydio Pereira de S UERJ - USS

INTRODUODurante muito tempo os artistas devem se ter perguntado qual era a mais perfeita e harmoniosa maneira de se dividir um objeto em duas partes iguais.

Tambm devem se ter perguntado qual a relao entre as partes que constituem um objeto para que ele seja considerado belo.

Um objeto pode ser dividido ao meio ou de forma que uma parte seja o dobro da outra ou mesmo que uma parte seja igual a da outra...podemos at dizer que podemos fazer qualquer partio ou diviso de um objeto.

Na antiguidade clssica, o grego Plato observou uma forma de dividir um segmento de uma forma harmnica e agradvel vista. Ele a chamou de A Seo.

Cerca de 300 anos antes de Cristo, outro grego, Euclides, encontrou geometricamente a forma de se fazer essa diviso harmnica e agradvel vista. Ele a chamou de Seo urea.Euclides

Euclides escreveu em seus Elementos:

Para que um segmento seja dividido em seo urea, a razo entre o segmento e a parte maior deve ser igual razo entre a parte maior e a parte menor.

Vamos agora ver como foi que Euclides definiu tal diviso:Temos um segmento AB que foi dividido, pelo ponto C, em duas partes iguais: AC e CB. Vamos supor que AC > CB.Euclides descobriu que essa diviso mais harmoniosa vista ocorre quando a razo entre o segmento todo e a parte maior a mesma que existe entre a parte maior e a parte menor.

Essa forma de particionarmos um segmento constituiu-se na base para a arte e a arquitetura grega.

Vamos agora determinar o valor dessa razo urea, conhecida como nmero de ouro.Para essa determinao vamos usar a definio de Euclides, associada uma equao do segundo grau.

Vamos representar o segmento AB e as partes da diviso da seguinte forma: AC = a, CB = b, AB = a + b. CB = b o segmento menor dessa diviso.

Pela definio de Euclides, teremos:

Pelo teorema fundamental das propores, teremos:Ou ainda:

Vamos resolver essa equao na incgnita b.Arrumando seus termos, teremos:

Aplicando a frmula de Bskara, teremos:operando,

Colocando o termo a em evidncia, teremos:ou ainda:Ou dividindo amos os membros da igualdade por a:

Ou ainda, invertendo a razo obtida:

Temos duas solues:ou

Teremos: um nmero POSITIVO um nmero NEGATIVOComo estamos lidando com medidas de segmentos de reta, a soluo negativa no nos interessa.

Este valor, que se chama razo ou nmero de outro, ficou representado pela letra grega (phi).(se pronuncia Fi) Essa escolha foi uma homenagem ao escultor e arquiteto grego Fdeas, que construiu o Partenon usando a razo de ouro.

ONDE ENCONTRAMOS A RAZO DE OURO?O Homem Vitruviano-Leonardo Da Vinci-

Vejamos alguns exemplos em pessoas famosas:

J conhecemos o valor da razo urea;J sabemos dividir um segmento na razo de ouro;Podemos tambm construir qualquer figura geomtrica onde exista tambm essa razo;Usando alguns conhecimentos de geometria podemos construir a mais famosa dessas formas que o RETNGULO DE OURO.

CONSTRUO DO RETNGULO DE OUROUm retngulo de ouro simplesmente um retngulo cuja razo entre o lado maior e o lado menor o nmero de ouro ab

COMO PODEMOS CONSTRU-LO?

Quer ver a justificativa matemtica?

Onde podemos encontrar o nmero de ouro?Na vida cotidiana:Tambm so bem prximas do retngulo de ouro algumas telas das modernas TVs de LCD.

Mona Lisa-Leonardo Da Vinci-Seo urea- Mondrian-A RAZO DE OURO NA ARTE

Duas composies com retngulos de ouro de Piet Mondrian

Em muitas obras de artistas do Renascimento eles usaram a razo de ouro.O nascimento de Venus-Boticelli-

O Partenn

Os gregos usaram a razo urea como base arquitetnica de monumentos e prdios em honra de seus Deuses.O Partenn, templo dos Deuses gregosNa fachada do Prtenon temos um retngulo de ouro.Em Monumentos e arquitetura

4) Na naturezaA espiral maravilhosa Existe, por exemplo, na concha do caracol Nautilus. Fica formada a partir de arcos de circunferncia concordantes, construdos a partir de sucessivos retngulos de ouro.

Na natureza:Na concha do cefalpode marinho Nautilus