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ROGÉRIO AUGUSTO FERREIRA
SEQÜÊNCIA DE FIBONACCI
OSASCO
2007
ROGÉRIO AUGUSTO FERREIRA
SEQÜÊNCIA DE FIBONACCI
Trabalho apresentado à disciplina de Pesquisa em
Matemática II, do Curso de Matemática Bacharelado
e Licenciatura do Centro UNIFIEO.
Orientadora Profª. Drª. Elvia Mureb Sallum.
OSASCO
2007
“É necessário apenas saber, e haverá asas”.
Leonardo da Vinci
RESUMO
FERREIRA, Rogério A. Seqüência de Fibonacci, UNIFIEO, São Paulo, v.01, p.14, 2006.
Apresentamos a História de Leonardo Pisano (Fibonacci) mostrando sua formação e inclinação
matemática, enumerando todas as suas obras até chegarmos ao seu mais famoso título publicado
o Líber Abaci, onde é apresentado o problema cuja resolução foi intitulada com a seqüência de
Fibonacci.
Desta seqüência, são mostradas suas principais propriedades, demonstrando a formula de Binet
onde prova a relação da seqüência de Fibonacci com o Número de ouro.
Da teoria para a prática, é dado algumas aplicações da seqüência de Fibonacci nos mais diversos
campos, como a previsão do comportamento de ações nas bolsas de valores, solução de
problemas de ópticas de raios de luz, até a resolução de enigmas matemáticos.
Palavras-chave: Seqüência de Fibonacci, Sucessão de Fibonacci, Fórmula de Binet, Seqüência
de Lucas, Líber Abaci.
ABSTRACT FERREIRA, Rogério A. Seqüência de Fibonacci, UNIFIEO, São Paulo, v.01, p.14, 2006.
I present the History of Leonardo Pisano (Fibonacci) showing to its formation and mathematical
inclination, enumerating all its workmanships until arriving at its more famous published heading
the Líber Abaci, where the problem is presented whose resolution was intitled with the sequence
of Fibonacci.
Of this sequence, its main properties are shown, demonstrating formulate it of Binet where it
proves the relation of the sequence of Fibonacci with the gold Number.
Of the theory for the practical, it is given some applications of the sequence of Fibonacci in the
most diverse area, as the forecast of the behavior of stock exchange, solution of problems of
optics of light, until the resolution of mathematical puzzle.
Key words: Fibonacci Numbers, Fibonacci Series, Binet formula, Lucas Series, Líber Abaci.
SUMÁRIO
INTRODUÇÃO .................................................................................................................... 1 CAPÍTULO 1 – A HISTÓRIA ............................................................................................ 2
1.1. História de Leonardo Fibonacci .............................................................................2
1.2. As Obras de Fibonacci: ..........................................................................................4
1.3. O Liber Abacci .......................................................................................................4
1.4. O problema da reprodução dos coelhos..................................................................6
CAPÍTULO 2 – PROPRIEDADES MATEMÁTICA E CURIOSIDADES DA SEQUÊNCIA DE FIBONACCI.......................................................................................... 9
2.1. Periodicidade da seqüência de Fibonacci ...............................................................9
2.2. Divisores dos números de Fibonacci ....................................................................10
2.3. 89 e o 1/89 ............................................................................................................11
2.4. Soma dos números da seqüência. .........................................................................11
2.5. Somas dos números de Fibonacci de ordem ímpar ..............................................12
2.6. Somas dos números de Fibonacci de ordem par...................................................13
2.7. Soma dos quadrados dos números de Fibonacci ..................................................13
2.8. Fibonacci Pitagórico .............................................................................................14
2.9. A Seqüência de Lucas...........................................................................................15
2.10. A Formula de Binet ..............................................................................................19
CAPÍTULO 3 – A SEQÜÊNCIA DE FIBONACCI E O NÚMERO DE OURO ......... 23 3.1. A história do número de ouro ...............................................................................23
3.2. Seção Áurea..........................................................................................................24
3.3. A Seqüência de Fibonacci e o número de Ouro ...................................................25
3.4. A Seqüência de Fibonacci e o Retângulo Áureo. .................................................27
CAPÍTULO 4 – APLICAÇÕES DA SEQÜÊNCIA DE FIBONACCI.......................... 29 4.1. O Mercado Financeiro, Ondas de Elliot e a Seqüência de Fibonacci...................29
4.2. O Enigma de Jigsaw Fibonacci, a brincadeira que 64=65...................................33
4.3. A Seqüência de Fibonacci aplicada na Física.......................................................35
1
INTRODUÇÃO
O trabalho foi realizado com a idéia de mostrar a história da seqüência de Fibonacci, desde o
surgimento do problema de reprodução de coelhos, até a sua ligação com o número de ouro.
Apresentou-se a atenção dispensada por diversos matemáticos sobre o assunto, aonde mostramos
algumas fórmulas, curiosidades e propriedades relacionadas com essa seqüência, até quando
tratamos da aplicação prática dela, apresentamos mais um estudioso que dedicou e criou uma
teoria baseada nesse assunto.
Procuramos centrar a pesquisa em algumas propriedades e curiosidades da seqüência,
principalmente nas que foram necessárias para desenvolver sua relação com o número de ouro.
Nas aplicações práticas, foram encontradas as mais diversas apresentações da seqüência, mas foi
mostrado a aplicação em áreas totalmente distintas como economia, física óptica e um simples
desafio matemático, onde foi possivel, alem da apresentação visual, desenvolver algum raciocínio
matemático na sua justificativa.
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CAPÍTULO 1 – A HISTÓRIA
“Arquimedes será lembrado enquanto Ésquilo foi esquecido, porque os idiomas morrem
mas as idéias matemáticas permanecem.” Imortalidade “pode ser uma idéia tola, mas
provavelmente um matemático tem a melhor chance que pode existir de obtê-la.”
G. H. Hardy
1.1. História de Leonardo Fibonacci
Fig. 1 - Leonardo de Pisa ou FIbonacci
O seu nome completo é Leonardo de Pisa ou Leonardo Pisano e nasceu em Pisa na
Toscânia (Itália) por volta de 1175, e ficou conhecido como Leonardo Fibonacci, devido
ao fato de Fibonacci ser um diminutivo de fillius Bonacci, que queria dizer filho de
Bonacci, e o nome de seu pai era , Guilielmo Bonnacci. Ocasionalmente, ele também
assinava como Leonardo Bigollo (na Toscania, Bigollo significava viajante).
No início do século XII, Pisa era um dos grandes centros comerciais italianos, tais como
Gênova e Veneza, e tinha vários entrepostos comerciais espalhados pelos portos do
Mediterrâneo.
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Fig.2 - Mapa com a localização de Pisa.
O pai de Leonardo ocupou o lugar de chefe de um desses entrepostos, no norte da costa de
África (Bugia, atualmente Bejaia na Argélia), foi lá que Leonardo iniciou os seus estudos
de matemática com professores islâmicos.
Viajou pelo Mediterrâneo (Egito, Síria, Grécia, Sicília, Provença), onde o sistema de
numeração hindu era já largamente usado, encontrando-se com estudiosos islâmicos em
cada um dos locais que visitava e adquirindo, assim, o conhecimento matemático do
mundo árabe. Entrou em contato com os procedimentos matemáticos orientais, com os
métodos algébricos árabes e os numerais indo-arábicos, conheceu a obra de al-Khwarismi
e assimilou numerosas informações aritméticas e algébricas.
Em 1200 Leonardo regressa a Pisa e passa os 25 anos seguintes escrevendo trabalhos
onde incorpora os conhecimentos que tinha adquirido com os árabes. O seu livro mais
conhecido, um tratado de aritmética e álgebra elementar, Líber Abaci (Livro de cálculo)
foi escrito em 1202. Em 1220 escreveu Pratica Geometriae e em 1225, Líber Quadratorum
e Flos.
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1.2. As Obras de Fibonacci:
Fibonacci escreveu cinco obras: quatro livros e uma que foi preservada como carta, Os
quatro livros de Fibonacci:
• Líber abacci (1202): Foi revisto em 1228. Foi neste livro que Fibonacci falou pela
primeira vez do problema dos coelhos.
• Practica geometriae (1220): Onde descreve seus conhecimentos sobre Geometria e
Trigonometria.
• Flos (1225): Neste Manuscrito Fibonacci apresenta as soluções de três problemas que
lhe tinham sido colocados por João de Palermo, um membro da corte do Imperador
Frederico II.
• Liber quadratorum (1225): É o maior livro que Fibonacci escreveu, no qual
aproxima raízes cúbicas, obtendo uma aproximação correta até a nona casa decimal.
1.3. O Liber Abacci
Liber Abacci (o Livro do Ábaco ou do Cálculo) foi escrito por Fibonacci em 1202, e foi
baseado na aritmética e "Álgebra" que Fibonacci aprendeu durante as suas viagens pelo
Mediterrâneo. Em 1228 o livro foi de novo publicado após uma revisão.
Foi muitas vezes imitado, ou mesmo copiado, servindo de modelo a praticamente todas
as aritméticas comercias da época medieval e renascentista. Foi um dos primeiros a
introduzir os numerais indo-árabes na Europa. O livro tem uma forte influência árabe,
contém não apenas as regras para cálculo com os numerais indo-árabes, mas também
diversos problemas, que incluem questões, certamente muito úteis aos mercadores, como
o cálculo de juros, conversões monetárias, medidas, e outros tipos de problemas que
Fibonacci resolve recorrendo a diversos algoritmos e métodos, entre eles o método da
falsa posição e a resolução de equações quadráticas.
Está dividido em 15 capítulos:
5
• Capítulo 1: De cognitione novem figurarum indorum et qualiter cum eis omnis
numerus scribatur; et qui numeri, et qualiter retineri debeant in manibus, et de
introductionibus abbaci - Leitura e escrita dos números no sistema indo-árabe ;
• Capítulo 2: De multiplicatione integrorum numerorum - Multiplicação de números
inteiros;
• Capítulo 3: De additione ipsorum - Adição de números inteiros;
• Capítulo 4: De extractione minorum numerum ex maioribus - Extração do menor
número pelo maior (subtração);
• Capítulo 5: De divisione integrarum numerorum per íntegros - Divisão de números
inteiros;
• Capítulo 6: De multiplicatione integrarum numerorum cum ruptis atque ruptorum
sine sanis - Multiplicação de números inteiros por frações;
• Capítulo 7: De additione ac extractione et divisione numerorum integrarum cum
ruptis atque partium numerorum in singulis partis reductione - Adição, subtração e
divisão de frações;
• Capítulo 8: De emptione et venditione rerum venalium et similium - Aquisição e
venda de mercadorias e similares;
• Capítulo 9: De baractis rerum venalium et de emptione bolsonalie et quibusdam
regulis similibus – Comércio;
• Capítulo 10: De societatibus factis inter consócios - Regra das companhias;
• Capítulo 11: De consolamine monetarum atque eorum regulis que ad consolamen
pertinent - Liga de moedas;
• Capítulo 12: De solutionibus multarum positarum questionum quas erraticas
appellamus - Ad soluções de problemas diversos;
• Capítulo 13: De regula elcatayam qualiter per ipsam fere omnes erratices questiones
solvantur - A regra da falsa posição;
• Capítulo 14: De reperiendi radicibus quadratis et cubitis ex multiplicatione et
divisione seu extractione earum in se et de tractatu binomiorum et recisorum et eorum
radicum - Raízes quadradas e raízes cúbicas;
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• Capítulo 15: De regulis proportionibus geometrie pertinentibus: de questionibus
aliebre et amulchabale - A regra da proporção geométrica e questões de álgebra e
comparações;
Há aplicações envolvendo permuta de mercadorias, sociedades e geometria métrica. Há
também uma farta coleção de problemas, dentre os quais o que deu origem à importante
seqüência de Fibonacci.
1.4. O problema da reprodução dos coelhos
No Livro Líber Abacci, é apresentado no capítulo 12, De solutionibus multarum
positarum questionum quas erraticas appellamus (A solução de problemas diversos), o
problema mais famoso, entre todos tratados por Fibonacci :
“Um homem pôs um par de coelhos num lugar cercado por todos os lados por um muro.
Quantos pares de coelhos podem ser gerados a partir desse par em um ano se,
supostamente, todo mês cada par dá à luz um novo par, que é fértil a partir do segundo
mês.”
Esse problema, aparentemente de solução simples, está relacionado a uma das mais
importantes descobertas da matemática.
Iniciamos com um par jovem, após o primeiro mês, esse par já está adulto e fértil.
No segundo mês, esse primeiro par dá à luz a outro par, ficando com 2 pares.
No terceiro mês, o par adulto dá à luz a outro par jovem, enquanto o par de filhotes se
torna fértil, portanto ficamos com 3 pares.
No quarto mês, cada um dos dois pares adultos dá a luz a um par jovem e o terceiro par se
torna adulto e fértil.
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A figura 3 mostra a reprodução dos coelhos até o 7º mês.
Fig. 3 – Simulação da reprodução de coelhos
A solução do problema nos dá uma seqüência: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ...
Podemos examinar somente o número de pares adultos em um determinado mês, e
podemos observar que esse número é formado também pela soma dos pares adultos dos 2
meses anteriores, e a mesma experiência vale para os pares jovens.
No Século XIX essa seqüência foi devidamente chamada de seqüência de Fibonacci pelo
matemático francês Edouard Lucas (1842-1891).
Seqüências de números nas quais a relação entre termos sucessivos pode ser expressa por
uma fórmula matemática são conhecidas como recursivas. A Seqüência de Fibonacci foi à
primeira dessas seqüências recursivas conhecida na Europa.
8
Podemos representar essa seqüência por: nnn FFF += 1+2+ , e essa notação foi introduzida
em 1634 pelo Matemático Albert Girard.
A seqüência de Fibonacci não está limitada somente à reprodução de coelhos, outras
utilidades para essa seqüência serão abordadas no capítulo 4.
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CAPÍTULO 2 – PROPRIEDADES MATEMÁTICA E CURIOSIDADES DA
SEQUÊNCIA DE FIBONACCI Quem para de aprender envelhece, tenha 20 anos ou 80 anos. Quem continua aprendendo
mantém-se jovem.
Henry Ford
2.1. Periodicidade da seqüência de Fibonacci
Os números de Fibonacci se tornam grandes rapidamente, porque sempre se somam dois
números sucessivos para formar o seguinte. Enquanto o 5º número de Fibonacci é 5, o
125º é 59.425.114.757.512.643.212.875.125, e é interessante notar que o dígito da
unidade aparece com uma periodicidade de 60 (isto é, a cada 60 números o digito se
repete). Por exemplo, o segundo número é 1, e o sexagésimo segundo é
4.052.739.537.881 (também terminado em 1), e o 122º número,
14.028.366.653.498.915.298.923.761, também termina em 1; o mesmo vale para o 182º, e
assim por diante. De mesmo modo, o 14º número é 377, e o 74º é 1.304.969.544.928.657,
também termina com 7, e assim por diante.
Esta propriedade foi descoberta em 1774 pelo matemático francês nascido da Itália Joseph
Louis Lagrange (1736-1813), que é responsável por muitos trabalhos em Teoria dos
Números e em Mecânica, e que também estudou a estabilidade do sistema solar.
Os últimos dois dígitos (por exemplo, 01, 01, 02, 03, 05, 08, 13, 21, ...) se repetem na
seqüência com uma periodicidade de 300, e os três últimos dígitos com uma peridiocidade
de 1.500. Em 1963, Stephen P. Geller usou um computador IBM 1620 para mostrar que
os últimos 4 dígitos se repetem a cada 15.000 vezes, e os últimos 5, a cada 150.000 vezes,
e finalmente, após o computador rodar por quase 3 horas, uma repetição dos últimos 6
dígitos ocorreram no 1.500.000 número do Fibonacci. Sabendo que um teorema geral
referente à periodicidade dos últimos dígitos poderia ser provado, Geller comentou: “Não
parece existir ainda um modo de adivinhar o período seguinte, mas talvez um novo
programa para a máquina que permita a inicialização em qualquer ponto da seqüência
para um teste irá reduzir o tempo de computação suficiente para que mais dados possam
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ser coletados”. Mas pouco tempo depois, o matemático israelenses Dov Jarden mostrou
que se pode provar rigorosamente que para qualquer número com últimos dígitos acima
de três, a periodicidade é simplesmente: )1(1015 nx , onde n é o número dígitos que são
repetidos.
A demonstração da prova feita por Dov Jarden é muito extensa e não será apresentada
nesse trabalho.
2.2. Divisores dos números de Fibonacci
Uma propriedade interessante dos números de Fibonacci é se adotarmos 2 índices n e m e
esses 2 índices forem divisíveis entre si, o número de Fibonacci desses índices também
serão divisíveis entre si.
Agora analisemos a tabela abaixo:
i 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ...
F(i) 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 ...
2=F(3) ...
3=F(4) ...
5=F(5) ...
8=F(6) ...
F(k) ... …
Pondo isto em palavras nós temos:
Para i múltiplo de 3 o número de Fibonacci é um múltiplo de 2, isto é um múltiplo de F(3)
Para i múltiplo de 4 o número de Fibonacci é um múltiplo de 3, isto é um múltiplo de F(4)
Para i múltiplo de 5 o número de Fibonacci é um múltiplo de 5 isto é um múltiplo de F(5)
Para i múltiplo de 6 o número de Fibonacci é um múltiplo de 8 isto é um múltiplo de F(6);
E sugere a régua geral:
Cada número de Fibonacci do k é um múltiplo de F (k)
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Ou, expressado matematicamente,
F(nk) é um múltiplo de F (k) para todos os valores para qualquer n, k >1
2.3. 89 e o 1/89
A Seqüência de Fibonacci contém um número absolutamente notável – o décimo primeiro
número, 89. O valor de 1/89 na representação decimal é igual a 0,01123595 ... Suponha
que você organize os números de Fibonacci 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ... como frações
decimais da seguinte maneira:
0,01 0,001 0,0002 0,00003 0,000005 0,0000008 0,00000013 0,000000021 ....
Em outras palavras, o dígito das unidades do primeiro número de Fibonacci esta na
segunda casa decimal, e do segundo está na terceira casa decimal, e assim por diante (o
dígito das unidades do n-ésimo número de Fibonacci esta na (n+1)-ésima casa decimal).
Agora se somarmos todos os números, iremos obter 0,01123595 ... que é igual a 1/89.
Essa curiosidade foi descoberto por Cody Birsner, um estudante na universidade de
Oklahoma, em 1994.
2.4. Soma dos números da seqüência.
A soma de todos os números de Fibonacci do primeiro ao n-ésimo é simplesmente igual
ao (n+2)-ésimo número menos 1. Por exemplo, a soma dos 10 primeiros números, 1 + 1 +
2 + 3 + 5 + 8 + 13 + 21 + 34 + 55 = 143, é igual ao décimo segundo número (144) menos
1. A soma dos primeiros 78 números de Fibonacci é igual ao 80º menos 1, e assim por
diante.
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F1 = F3 - F2
F2 = F4 – F3
F3 = F5 – F4
.... .....
Fn-1 = Fn+1 – Fn
Fn = Fn+2 – Fn+1
Se somarmos todos os membros teremos:
F3 - F2 + F4 – F3 + F5 – F4 + ..... + Fn+1 – Fn + Fn+2 – Fn+1
Cancelando todos os membros que se anulam teremos:
Fn+2 – F2
Sabendo que F2 =1 temos:
F1 + F2 + F3 + F4 + ..... + Fn -1 + Fn = Fn+2 – 1 .
CQD
2.5. Somas dos números de Fibonacci de ordem ímpar
Agora seguindo a mesma idéia do item anterior, vamos somar somente os números de
Fibonacci de ordem impar:
Sabemos que:
F2 = F1 => F1 = F2
F4 = F3 + F2 => F3 = F4 – F2
F6 = F5 + F4 => F5 = F6 – F4
… …
F2n = F2n-1 + F2n-2 => F2n-1 = F2n – F2n-2
A soma dos números de Fibonacci de ordem impar é:
F1 + F3 + F5 + F7 + … + F2n-1
Substituindo os números impares pelas igualdades acima teremos:
F2 + F4 – F2 + F6 – F4 + ... + F2n – F2n-2
13
Cancelando todos os membros que se anulam teremos:
F1 + F3 + F5 + F7 + … + F2n-1 = F2n
CQD
2.6. Somas dos números de Fibonacci de ordem par
Como a soma de todos os números de Fibonacci até a ordem 2n é:
F1 + F2 + F3 + F4 + ..... + F2n -1 + F2n = F2n+2 – 1
E a soma dos números de Fibonacci de ordem ímpar até 2n-1 é:
F1 + F3 + F5 + F7 + … + F2n-1 = F2n
Então, subtraindo membro a membro as duas igualdades, restará somente a soma dos
números de Fibonacci de ordem par no primeiro membro e no segundo membro:
F2 + F4 + F6 + F8 +.... + F2n = F2n+2 – F2n –1
Sabemos que :
F2n+2 = F2n+1 + F2n => F2n+1 = F2n+2 - F2n
Temos então:
F2 + F4 + F6 + F8 +.... + F2n = F2n+1 –1
CQD
2.7. Soma dos quadrados dos números de Fibonacci
Para definirmos a soma dos quadrados dos números de Fibonacci, primeiramente
precisamos desenvolver um conceito, observando que para todo k natural, temos:
Fk . Fk+1 – Fk . Fk-1 = Fk (Fk+1 – Fk-1) = Fk . Fk = Fk2
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Assim temos:
F12 = F1 F2
F22 = F2 F3 - F2 F1
F32 = F3 F4 - F3 F2
F42 = F4 F5 - F4 F3
F52 = F5 F6 - F5 F4
...
Fn2 = Fn Fn+1 - Fn Fn-1
Partindo da soma dos quadrados:
F12 + F2
2 + F32 + F4
2 + F52 + ... + Fn
2
E substituindo pelos valores obtidos acima, teremos:
F1 F2 + F2 F3 - F2 F1 + F3 F4 - F3 F2 + F4 F5 - F4 F3 + …+ Fn Fn+1 - Fn Fn-1
Cancelando todos os membros que se anulam teremos:
F12 + F2
2 + F32 + F4
2 + F52 + ... + Fn
2 = Fn Fn+1
CQD
2.8. Fibonacci Pitagórico
Os números de Fibonacci também estão relacionados às triplas pitagóricas. Estas últimas,
como podemos recordar, são triplas de números que podem servir como comprimentos
dos lados de um triângulo retângulo (como os números 3, 4 e 5). Tome quaisquer quatro
números consecutivos de Fibonacci, como 1, 2, 3, 5. O produto dos números de fora,
1x5=5, duas vezes o produto dos números de dentro, 2 x 2 x 3 = 12, e a soma dos
quadrados dos termos de dentro, 22 + 32 = 13, formam as 3 pernas da tripla pitagórica 5,
12, 13 (52 + 122 = 132). Mas isso não é tudo. Note que o terceiro número, 13 é, ele
próprio, um número de Fibonacci. Esta propriedade foi descoberta pelo matemático
Charles Raine.
15
2.9. A Seqüência de Lucas
Fig.4 – Edouard Lucas (1842-1891)
O matemático François-Édouard-Anatole Lucas (1842-1891) (o mesmo que deu o nome
de “Números de Fibonacci” para a seqüência escrita por Leonardo Pisano), estudou uma
segunda seqüência de números: 2, 1, 3, 4, 7, 11, 18, ... Chamada de seqüência de Lucas
em sua homenagem. Iremos verificar algumas propriedades e sua relação com a seqüência
de Fibonacci.
A definição para a seqüência de Fibonacci temos:
10
1
1
0
11
==
>+=+
FFn
FFF nnn
Para a Seqüência de Lucas, que iremos denotar por Ln é a seguinte:
1=2=
1>+=
1
0
21
LLn
LLL nnn
A seguir temos a comparação dos resultados dos valores da seqüência de Lucas com o
resultados dos valores da seqüência de Fibonacci:
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n: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ...
Fn: 0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 ...
Ln: 2 1 3 4 7 11 18 29 47 76 123 ...
2.9.1. Duas formulas relacionadas entre as seqüências de Lucas e de Fibonacci
Suponha que para qualquer n>1 você somasse o respectivos números de Fibonacci
laterais: Fn-1 + Fn+1, o resultado dessa soma é o número de Lucas correspondente a n,
exemplo:
n: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ...
Fn: 0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 ...
Ln: 2 1 3 4 7 11 18 29 47 76 123 ...
Com isso temos a primeira formula de relação entre as duas seqüências:
Ln = Fn-1 + Fn+1 , para qualquer n>1
Agora vamos fazer ao contrário, para qualquer n>1 vamos somar os respectivos números
de Lucas laterais: Ln-1 + Ln+1, exemplo:
n: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ...
Fn: 0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 ...
Ln: 2 1 3 4 7 11 18 29 47 76 123 ...
A soma de L2=3 com L4=7 não é F3=2, mas observe essa seqüência:
L1 = 1 e L3 = 4 e a soma é 5, mas F2 = 1;
L2 = 3 e L4 = 7 e a soma é 10, mas F3 = 2;
L3 = 4 e L5 = 11 e a soma é 15, mas F4 = 3;
L4 = 7 e L6 = 18 e a soma é 25, mas F5 = 5;
Você observou alguma regra nos exemplos acima ?
17
Pois temos a segunda formula da relação entre as duas seqüência:
5 Fn = Ln-1 + Ln+1, para qualquer n>1
2.9.2. Relação entre números de Lucas e índices múltiplos dos números de Fibonacci
Como vimos na propriedade dos divisores dos números de Fibonacci, se adotarmos os
índices n e 2n, todos os números de F2n serão divisíveis por F2, que é 1, o que o torna nada
interessante, mas todos F2n serão divisíveis por Fn, e olhando a tabela abaixo, vamos ver o
quanto isso é interessante:
n Fn 2n F2n k=F2n/Fn
1 1 2 1 1
2 1 4 3 3
3 2 6 8 4
4 3 8 21 7
5 5 10 55 11
6 8 12 144 18
7 13 14 377 29
Observando os números da coluna em laranja, eles lhe parecem familiar ?
Sim, são todos números de Lucas, e portanto temos mais uma propriedade:
F2n = Fn x Ln
18
2.9.2.1. Um Caso Especial
Vamos olhar aqueles números de Fibonacci com um número de índice, n, cujo único fator
é 2, isto é, aqueles nos números de índice 2, 4=22, 8=23, 16=24, 32=25, 64=26, e assim por
diante.
Pela fórmula acima:
F4 = F2 x L2 como F2=1 temos:
F4 = L2
Agora vamos encontrar o F8:
F8 = F4 x L4 Como F4 = L2 temos:
F8 = L2 x L4
Agora veremos o F16
F16 = F8 x L8 Como F8 = L2 x L4 temos:
F16 = L2 x L4 x L8
Você já consegue observar algum padrão nessa seqüência ?
Um número de Fibonacci com um número de índice na série da potencia de 2: 2, 4, 8, 16,
32, 64,… são um produto de todos os números de Lucas com números de índice antes
dele na mesma série, ou matematicamente:
F2n = L2 x L22 x ... x L2n-1
19
2.10. A Formula de Binet
Fig. 5 – Jacques Binet (1786-1856)
Em meados do século XIX, o matemático francês Jacques Phillipe Marie Binet (1786-
1856) redescobriu uma fórmula que, aparentemente, era conhecida no século XVIII pelo
matemático Leonard Euler (1707 -1783) e pelo matemático francês Abraham de Moivre
(1667-1754). A fórmula permite que se encontre o valor de qualquer número de
Fibonacci, Fn , se seu lugar na seqüência, n, for conhecido.
Fig. 6 - Leonard Euler (1707 -1783)
20
Fig. 7 - Abraham de Moivre (1667-1754)
Esta propriedade nos garante que para obter todas as soluções da equação recursiva de
Fibonacci:
Fn+1 = Fn-1 + Fn
válida para todo inteiro n>1, basta obter quaisquer duas soluções não proporcionais, assim
pela propriedade linear da multiplicação por escalar, podemos escolher uma seqüência de
Fibonacci cujo primeiro termo seja igual a 1.
Vamos considerar então a seqüência Wn que seja uma progressão geométrica com W1=1 e
a razão não nula q, isto é:
Wn = qn-1
Para que esta seqüência seja de Fibonacci, devemos ter que:
Wn-1 + Wn = Wn+1
Ou seja
qn-2 + qn-1 = qn
Que se reduz a:
1 + q = q2
21
Resolvendo esta equação do segundo grau obtemos as duas raízes:
2)5-1(
2)51(
2
1
=
+=
q
q
Observando que
q1 + q2 = 1
q1 q2 = -1
Para cada raiz, obtemos uma seqüência de Fibonacci, logo podemos construir {Vn} e
{Wn} através de:
Vn = q1n-1
Wn = q2n-1
E {Un} pode ser escrita como combinação linear de {Vn} e {Wn}, isto é: 1-1
25-1(.
251(...
nn
nnn baWbVaU
+
+=+=
−
E esta é a forma mais geral possível para uma seqüência de Fibonacci, logo se tomarmos
em particular:
a + b = 1
a q1 + b q2 = 1
Teremos que:
e substituindo na expressão de Un, obtemos a Fórmula de Binet:
52)5-1(
52)51(
−=
+=
b
a
22
( ) ( )nn
n
nn
n
nn
n
U
U
baU
−−
+
++
=
++=
+
+=
−−
25-1.
512
2)5-1(
51
251.
512.
2)51(
51
⇒2
5-152
)5-1( -2
51.52
)51(
⇒2
5-1.2
51
11
1-1-
nn
nU
−
+=
251
51-
251
51
CQD
23
CAPÍTULO 3 – A SEQÜÊNCIA DE FIBONACCI E O NÚMERO DE OURO
Os padrões criados pelo matemático, como os do pintor ou do poeta, devem ser belos; as
idéias, como as cores ou as palavras, devem se encaixar de um modo harmonioso. A
beleza é o primeiro desafio: não existe lugar permanente no mundo para a matemática
feia.
G. H. Hardy
3.1. A história do número de ouro
Cercado de muitas lendas e controvérsias, o número de ouro é o número irracional mais
misterioso e enigmático. Símbolo da proporcionalidade, ele aparece na natureza, nas
grandes construções realizadas pelos homens, na música e na arte.
O número de ouro é representado pela letra Φ, em homenagem a Fídias (Phideas), famoso
escultor grego, por ter usado a proporção de ouro em muitos dos seus trabalhos.
A divisão de um segmento feita segundo essa proporção denomina-se divisão áurea, a que
Euclides chamou divisão em média e extrema razão, também conhecida por secção divina
pelo matemático Luca Pacioli ou secção áurea segundo Leonardo da Vinci.
A contribuição de Fibonacci para o número de ouro está relacionada com a solução do seu
problema dos coelhos publicado no seu livro Liber Abaci, a seqüência de números de
Fibonacci. É que as sucessivas razões entre um número e o que o antecede vão-se
aproximando do número de ouro.
Outro matemático que contribuiu para o estudo e divulgação do número de ouro foi
Pacioli. Publicou em 1509 uma edição que teve pouco sucesso, com o título De Divina
Proportione. Este trabalho dizia respeito a polígonos regulares e sólidos e a razão de ouro.
Uma contribuição que não pode ser deixada de referir foi à contribuição de Leonardo Da
Vinci (1452-1519). A excelência dos seus desenhos revela os seus conhecimentos
matemáticos bem como a utilização da razão áurea como garante de uma perfeição, beleza
e harmonia únicas.
É lembrado como matemático apesar da sua mente irrequieta não se concentrar na
aritmética, álgebra ou geometria o tempo suficiente para fazer uma contribuição
24
significativa. Representa bem o homem tipo da renascença que fazia de tudo um pouco
sem se fixar em nada. Leonardo era um gênio de pensamento original que usou
exaustivamente os seus conhecimentos de matemática, nomeadamente o número de ouro,
nas suas obras de arte. Um exemplo é a tradicional representação do homem em forma de
estrela de cinco pontas de Leonardo, que foi baseada nos pentágonos, estrelado e regular,
inscritos na circunferência.
3.2. Seção Áurea
Também chamada de proporção áurea, foi estudada pelos gregos antes do tempo de
Euclides de Alexandria que descreveu esta seção em sua proposição "dividir um segmento
de reta em média e extrema razão". Diz-se que o ponto C divide o segmento AB em média
e extrema razão, se a razão entre o menor e o maior dos segmentos é igual à razão entre o
maior e o segmento todo, isto é, AB/BC = BC/AC. Usando a notação moderna, podemos
escrever esta relação assim:
( )xax
xa
−=
25
3.2.1. Resolução da equação da Seção Áurea
( )xax
xa
−=
22 xaxa =−
02 =−+ aaxx Resolvendo a equação do 2º grau
( ) 222 5.1.4 aaa =∆⇒−−=∆
25 2aax ±
= Descartando a raiz negativa teremos
618034,12
51≈
+= ax
A raiz positiva 1,618034..., muitas vezes é indicada pelo símbolo φ (fi) e às vezes por τ (tau).
3.3. A Seqüência de Fibonacci e o número de Ouro
Para mostrar a relação da seqüência de Fibonacci e o número de ouro, vamos partir que a seqüência é dada por: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, ... Vamos tomar a definição desta seqüência para todo n natural, como: F(1)= 1 , F(2)=1 Fn+1 = Fn-1 + Fn Esta seqüência não é limitada superiormente, mas existe um fato interessante: Tomando as razões (divisões) de cada termo pelo seu antecessor, obtemos uma outra seqüência numérica cujo termo geral é dado por:
( )( )
( )nFnF
nU1+
=
26
que é uma seqüência limitada. (Se considerarmos a seqüência de Fibonacci como um conjunto da forma {1,1,2,3,5,8,13,...) e a divisão de cada número pelo seu antecessor, obteremos outra seqüência}:
;.....619,1=2134
;615,1=1321
;625,1=8
13;6,1=
58
...;66,1=35
;5,1=23
;2=12
;1=11
E se colocarmos essas razões em um gráfico teremos:
Fig. 8 – Gráfico das razões entre os termos consecutivos de Fibonacci
As razões vão se aproximando do Número de Ouro (Número Áureo). Quando n tende a infinito, o limite é exatamente Phi, o número de ouro.
3.3.1. Justificativa
Como já sabemos podemos definir da seqüência de Fibonacci como:
nnn FFF += ++ 12 (1) Vamos supor que exista uma razão constante e positiva entre dois números consecutivos de Fibonacci, que chamaremos de x, e então teremos:
xF
FFF
n
n
n
n == +
+
+ 1
1
2 (2)
Vamos dividir a equação (1) pelo Termo Fn+1:
11
1
1
2
1
1
1
2
++
+
+
+
+
+
+
+
+=
⇒+
=
n
n
n
n
n
n
n
nn
n
n
FF
FF
FF
FFF
FF
27
Substituindo os valores que definimos em 2 temos:
1
11
2 +=
+=
xxx
x
E como definimos acima, a raiz positiva para essa equação de 2º grau é :
( ) 618033989,12
51≅
+=x
3.4. A Seqüência de Fibonacci e o Retângulo Áureo.
Fig. 9 – O Retângulo Áureo e os quadrados de Fibonacci.
Se reparar no desenho acima, qualquer momento em que pare na construção , tem sempre
um retângulo. O quadrado seguinte é sempre determinado pelo atual retângulo. Se
reparamos no retângulo temos que:
12+12+22+32+52+82+132 = 13x21
Nos outros retângulos temos que:
12+12 = 1x2
12+12+22 = 2x3
28
12+12+22+32 = 3x5
12+12+22+32+52 = 5x8
12+12+22+32+52+82 = 8x13
Pode-se então deduzir:
12+12+22 +...+F2n = Fn × Fn+1, n natural
Realmente isto se verifica para todo o número natural superior a 1.
3.4.1. Justificativa
Para definirmos a soma dos quadrados dos números de Fibonacci dentro do retângulo
áureo, primeiramente precisamos desenvolver um conceito, observando que para todo k
natural, temos:
Fk . Fk+1 – Fk . Fk-1 = Fk (Fk+1 – Fk-1) = Fk . Fk = Fk2
Assim temos:
F12 = F1 F2
F22 = F2 F3 - F2 F1
F32 = F3 F4 - F3 F2
F42 = F4 F5 - F4 F3
F52 = F5 F6 - F5 F4
...
Fn2 = Fn Fn+1 - Fn Fn-1
Partindo da soma dos quadrados:
F12 + F2
2 + F32 + F4
2 + F52 + ... + Fn
2
E substituindo pelos valores obtidos acima, teremos:
F1 F2 + F2 F3 - F2 F1 + F3 F4 - F3 F2 + F4 F5 - F4 F3 + …+ Fn Fn+1 - Fn Fn-1
Cancelando todos os membros que se anulam teremos:
F12 + F2
2 + F32 + F4
2 + F52 + ... + Fn
2 = Fn Fn+1
CQD
29
CAPÍTULO 4 – APLICAÇÕES DA SEQÜÊNCIA DE FIBONACCI
“A matemática, corretamente observada, possui não somente a verdade, mas suprema
beleza”.
(Bertrand Russel, 1872-1970, in Ensaios Filosóficos).
4.1. O Mercado Financeiro, Ondas de Elliot e a Seqüência de Fibonacci
Fig. 10 - Ralph Nelson Elliott
Brilhante e persistente, Elliott (1.851/1.948), trabalhou por muito tempo como contador
numa empresa de Estrada de Ferro Internacional para a América Central. Em 1.924, foi
transferido para a Nicarágua assumir o cargo de Contador Geral. Em 1.926, Elliott foi
para Guatemala assumir outra posição mais elevada. Nesta ocasião, Elliott fazia sucesso
com seus livros editados nos EUA sobre os problemas sócios econômicos da América
Latina.
Nesta fase de transição, Elliott começou a sentir os efeitos da doença que contraída na
Guatemala. Isso fez com que abreviasse seu retorno. Volta então aos EUA, em busca de
um melhor tratamento.
Informado logo ao chegar sobre os efeitos futuros de sua doença (Entamoeba histolytica),
procurou alguma ocupação. Com pouco a que se ocupar além da revisão dos seus livros
30
escritos, Elliott interessou-se pela Teoria de Dow. Estudioso e seguidor em muitos
conceitos, desenvolveu sua própria Teoria. Em maio de 1.934 Elliott fazia suas primeiras
observações Técnicas sobre o mercado Acionário; catalogou 13 padrões comportamentais
humano-coletivo. Definiu alguns conceitos, classificou os ciclos de Dow como “ondas
movimento” - grandes, médias e pequenas. Hoje o termo científico para as observações de
Elliott, são os “fractais”, matéria em vogue na Física moderna.
Pouco depois, em 1.936 Elliott escrevia relatórios Técnicos. Em 1.938, Elliott escreveu
artigos para a o mundo financeiro sobre seu trabalho. Com esses artigos, passou a ser
respeitado na comunidade Financeira.
Em 1.940, concluído sua Teoria sobre a “Lei da Natureza - O segredo do universo”,
Elliott tinha descreve padrões repetitivos nos mercados como Dow. É claro que Elliott
sabe que não significaria muito dizer que o Índice Dow Jones se movimenta em ciclos
(ondas). O que ele precisa compreender é como caracterizar os tipos de ciclos (ondas), e
buscar seus padrões internos. Ele percebe que essa compreensão permitiria que
investidores alertas previssem o aumento de preços num mercado “touro” ou o declínio de
um mercado “urso”, antecipar grandes quebras de tendência, como a de outubro de 1929
ou 1987.
Não bastava demonstrar que seus padrões e conceitos são repetitivos no “humano-
coletivo” do mercado, tinha que provar. Amarrou seus testes do comportamento humano-
coletivo, a leis da natureza, brindando as leis de Fibonacci- “Phi ou números dourados”
4.1.1. Teoria de Elliott
- O público age de forma emocional, subjetiva e impulsivamente, tomando decisões em condições de ignorância e incerteza, na maioria das vezes assumindo a chamada “atitude manada” - O Mercado não é movido pelas notícias, mas sim pela psicologia das massas que evolui de forma repetitiva de acordo com o ciclo de Elliott (12345abc)
31
Fig. 11 – Movimento das Ondas de Elliott
4.1.2. As proporções da seqüência de Fibonacci
Como já verificamos, na seqüência de fibonacci se aplicarmos a proporção entre 2 termos consecutivos encontramos a razão 1,618 ou 0,618. Também sabemos e essa razão, também conhecida pelo número de ouro, seria uma proporção universal de crescimento da natureza. Estudos também mostraram que o homem, que também faz parte da natureza, cresce e pensa de acordo com a proporção 1.618. Logo, o homem raciocina de acordo com as razão presentes na seqüência de Fibonacci.
4.1.3. Proporções de Fibonacci & Teoria de Elliott
Como as duas teorias estão relacionadas ao comportamento humano, nada melhor do que trabalhar com as duas ferramentas. Abaixo segue uma relação das proporções de Fibonacci (derivadas da razão 1,618) mais importantes: 1,618 1,000 0,750 0,618 0,500 0,382
32
Fig. 12 – Método para medir o término de onda 5
Fig. 13 – Método para medir o término de onda C
33
Podemos também notar que o movimento de uma onda de alta, também chamada por Elliott de onda impulsiva, se dá em cinco movimentos, que é o 5º número da seqüência de Fibonacci. E o movimento de onda de baixa, chamado por Elliott de onda Corretiva, se dá em 3 movimentos, que é o 4º número da seqüência de Fibonacci.
4.2. O Enigma de Jigsaw Fibonacci, a brincadeira que 64=65
Fig. 14 – Enigma de Jigsaw
O quadrado 8x8 azul na figura acima pode ser cortado acima em 4 partes que, quando
rearranjadas, fazem o retângulo vermelho 5x13. Mas o quadrado azul contem 8x8=64
quadrados pequenos, e o retângulo vermelho contem 5x13=65. De onde esse pequeno
quadrado extra veio?
Temos nesse problema o numero de Fibonacci 8 elevado ao quadrado (8x8=64), que
difere por 1 do produto de seus dois números de Fibonacci adjacentes (13x5=65), essa
propriedade foi descoberta pro Kepler e pode ser aplicada a qualquer seqüência de 3
números de Fibonacci consecutivos, e maiores que F(4), e a diferença sempre será 1 entre
os 2 produtos resultantes, vejamos outro exemplo na seqüência 8,13 e 21, onde
13x13=169, e o produto dos números de Fibonacci adjacentes é 168 (8x21=168), nesse
caso o quadrado do termo central é maior que o produto dos seus adjacentes.
34
4.2.1. Justificativa
Mas como, geometricamente isso é possível ? iremos mostrar que na verdade, as figuras
recortadas no quadrado 8x8 não se encaixam perfeitamente no retângulo 13x5, e que na
verdade se encontra um espaço encoberto pela grossa linha diagonal que corta a figura.
Observemos a figura abaixo, que é o retângulo 13x5 de área 65, formado pelas figuras
recortadas do quadrado 8x8.
Os comprimentos dos segmentos são:
AC = 8
CD = 3
AB = 5
BC = 3
BE = 2
E podemos notar que o triangulo ABE ~ ACD
Fig. 15 – Solução do Enigma de Jigsaw
Pelas propriedades de congruência entre triângulos temos:
CDAC
BEAB
=
Agora utilizando as medidas encontradas na figura, vamos determinar o tamanho do
segmento BE, logo:
875,1=
815
=⇒38
=5
⇒=
BE
BEBECD
ACBEAB
Portanto temos BE = 1,875 e diferente do visualizado na figura, ou seja, há um espaço
entre as peças, e essa espaço tem a área de medida 1, exatamente igual à diferença da área
entre as figuras.
35
4.3. A Seqüência de Fibonacci aplicada na Física
Vamos agora ver a seqüência de Fibonacci surgindo na física, mais precisamente na ótica
dos raios de luz.
Tomemos duas placas de vidro, com índices de refração diferentes, justapostas uma sobre
a outra. Um raio de luz que incida sobre esse conjunto pode sofrer reflexões e desvios.
Vamos contar o número de caminhos possíveis de um raio de luz aumentando,
gradualmente, o número de reflexões nesses caminhos.
Fig. 16 – reflexões de luz sobre placas de vidros
Olhando a figura, podemos ver que o número de caminhos segue a seqüência de
Fibonacci. Representando o número de reflexões, chamado de "geração", pela letra n, o
número de caminhos será F(n), um número de Fibonacci. Por exemplo, a geração n = 4
leva a F(4) = 8 caminhos.
Os raios de luz podem passar diretamente sem refletir em nada, ou podem ter uma
reflexão interna, duas reflexões internas, e assim por diante – potencialmente um número
infinito de reflexões internas antes de emergir. Todos esses são caminhos permitidos pelas
leis da ótica
36
BIBLIOGRAFIA
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Brasília : Editora Universidade de Brasília, 1985. 178p.
2. LIVIO, Mario. The Golden Ratio, New York: Broadway Books, 2003. 277p
3. LOPES, Luís. Manual de Progressões, Rio de Janeiro: Editora Interciência, 1998. 126p.
4. CALLIOLI, Carlos A. DOMINGUES, Hygino H. COSTA, Roberto C. F. Álgebra Linear e
Aplicações. São Paulo: Atual, 1990, 6ª ed. 352p.
5. ÁVILA, Geraldo. Retângulo Áureo, Divisão Áurea e Seqüência de Fibonacci. Revista do
Professor de Matemática, São Paulo, n. 06, pág. 09-14, 1985.
6. CARVALHO, João Pitombeira de. Um Problema de Fibonacci. Revista do Professor de
Matemática, São Paulo, n. 17, pág. 04,
7. AZEVEDO, Alberto. Seqüências de Fibonacci. Revista do Professor de Matemática, São
Paulo, n. 45, pág. 44-47, 2001
8. http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm99/icm41/
9. http://www.ime.usp.br/~leo/imatica/historia/fibonacci.html
10. http://www.interaula.com/matweb/alegria/fibon/seqfib1.htm
11. http://pascal.iseg.utl.pt/~ncrato/Expresso/FiFibonacci_Expresso_20041009.htm
12. http://www.malhatlantica.pt/mathis/Europa/Medieval/fibocacci/Fibonacci.htm
13. http://www.mcs.surrey.ac.uk/Personal/R.Knott/Fibonacci/lucasNbs.html
14. http://www.searadaciencia.ufc.br/donafifi/fibonacci/fibonacci6.htm
15. http://www.mcs.surrey.ac.uk/Personal/R.Knott/Fibonacci/fibpuzzles2.html
16. http://www.tcx.com.br/index.php?option=com_content&task=view&id=46&Itemid=72
17. http://www.akhilesh.in/science/articles/003.php