Fibonacci e a Seção Áurea

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Na matemática, os Números de Fibonacci são uma seqüência (sucessão, em Portugal) definida como recursiva pela fórmula abaixo:

Na prática: você começa com 0 e 1, e então produz o próximo número de Fibonacci somando os dois anteriores para formar o próximo. Os primeiros Números de Fibonacci (sequência A000045 em OEIS) para n = 0, 1,... são

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946...

Fibonacci e a Seção Áurea

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Por que esse número é tão apreciado por artistas, arquitetos, projetistas e músicos? Porque a proporção áurea, como o nome sugere, está presente na natureza, no corpo humano e no universo.

Este número, assim como outros, por exemplo o Pi, estão presentes no mundo por uma razão matemática existente na natureza.

Essa seqüência aparece na natureza, no comportamento da refração da luz, dos átomos, do crescimento das plantas, nas espirais das galáxias, dos marfins de elefantes, nas ondas no oceano, furacões, etc.

Fibonacci e a Seção Áurea

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Um retângulo áureo é facilmente obtido com compasso e régua por este método:

1. Construir um quadrado 2. Desenhar a linha do ponto central de um lado para um dos cantos no lado oposto 3. Usar essa linha como raio de uma circunferência para definir a altura do rectângulo 4. Completar o retângulo

Fibonacci e a Seção Áurea

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Figuras Geométricas

Um decágono regular, inscrito numa circunferência, tem os lados em relação dourada com o raio da circunferência.

O pentagrama é obtido traçando-se as diagonais de um pentágono regular. O pentágono menor, formado pelas interseções das diagonais, está em proporção com o pentágono maior, de onde se originou o pentagrama. A razão entre as medidas dos lados dos dois pentágonos é igual ao quadrado da razão áurea.

Quando Pitágoras descobriu que as proporções no pentagrama eram a proporção áurea, tornou este símbolo estrelado como a representação da Irmandade Pitagórica. Este era um dos motivos que levava Pitágoras a afirmar que a natureza segue padrões matemáticos.

Fibonacci e a Seção Áurea

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Vegetais

● Semente de girassol – A proporção em que aumenta o diâmetro das espirais sementes de um girassol é a razão áurea.● Achillea ptarmica – Razão do crescimento de seus galhos.● Folhas das Árvores – A proporção em que se diminuem as folhas de uma arvore à medida que subimos de altura.

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Animais

● População de Abelhas – A proporção entre abelhas fêmeas e machos em qualquer colméia.● Concha do Caramujo Nautilus – A proporção em que cresce o raio do interior da concha desta espécie de caramujo. Este molusco bombeia gás para dentro de sua concha repleta de câmaras pra poder regular a profundidade de sua flutuação.● O phi está também nas escamas de peixes, presas de elefantes, cauda de vários animais etc...

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Corpo Humano

● A altura do corpo humano e a medida do umbigo até o chão.● A altura do crânio e a medida da mandíbula até o alto da cabeça.● A medida da cintura até a cabeça e o tamanho do tórax.● A medida do ombro à ponta do dedo e a medida do cotovelo à ponta do dedo.● O tamanho dos dedos e a medida da dobra central até a ponta.● A medida da dobra central até a ponta dividido e da segunda dobra até a ponta.● A medida do seu quadril ao chão e a medida do seu joelho até ao chão. ● Essas proporções anatômicas foram bem representadas pelo "Homem Vitruviano", obra de Leonardo Da Vinci.

Fibonacci e a Seção Áurea

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Aplicação na Arte

A proporção áurea foi muito usada na arte, em obras como O Nascimento de Vênus, quadro de Botticelli, em que Afrodite está na proporção áurea. Esta proporção estaria ali aplicada pelo motivo do autor representar a perfeição da beleza. Em O Sacramento da Última Ceia de Salvador Dalí, as dimensões do quadro (aproximadamente 270 cm × 167 cm) estão numa Razão Áurea entre si. Na história da arte renascentista a perfeição da beleza em quadros foi bastante explorada com base nesta constante. Vários pintores e escultores lançaram mão das possibilidades que a proporção os dava de retratar a realidade com mais perfeição.

A Mona Lisa de Leonardo da Vinci utiliza o número áureo nas relações entre seu tronco e cabeça, e também entre os elementos do rosto.

Fibonacci e a Seção Áurea

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Arquitetura

O Parténon é o mais perfeito e conhecido exemplo da utilização da proporção áurea na arquitetura. Os Egípcios fizeram o mesmo com as pirâmides. Por exemplo, cada bloco da pirâmide era 1,618 vezes maior que o bloco do nível a cima. As câmaras no interior das pirâmides também seguiam essa proporção, de forma que os comprimentos das salas são 1,618 vezes maior que as larguras.

O mesmo ocorre na arquitetura de Gaudí na Catalunha (especialmente a Catedral da Sagrada Família) e com a obra de Le Corbusier.

Fibonacci e a Seção Áurea

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Literatura, Música e Cinema

Na literatura o número de ouro encontra sua aplicação mais notável no poema épico grego Ilíada, de Homero, que narra os acontecimentos dos último dias da Guerra de Tróia. Quem o ler notará que a proporção entre as estrofes maiores e as menores dá um número próximo ao 1,618, o número de ouro.

Virgílio em sua obra Eneida, construiu a razão áurea com as estrofes maiores e menores.

O número de ouro está presente nas famosas sinfonias Sinfonia nº 5 e a Sinfonia nº 9 de Ludwig van Beethoven e em outras diversas obras.

O diretor russo Sergei Eisenstein se utilizou do número Phi no filme O Encouraçado Potemkin para marcar os inícios de cenas importantes da trama, medindo a razão pelo tamanho das fitas de película.

Formato A

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O "formato A" usado em papéis e como "modelo" para outros objetos foi definido pela ISO - International Standarts Organisation e começa em "A0" com dimensões de "1189mm x 841mm", que corresponde a 1 metro quadrado. A relaçao entre o lado maior e o lado menor é sempre "raiz de 2". Na prática, o lado maior é dividido por dois e o menor é repetido.

* A0: 1189mm x 841mm (cabem 2 folhas A1 em um A0) * A1: 841mm x 594mm (cabem 2 folhas A2 em um A1) * A2: 594mm x 420mm (cabem 2 folhas A3 em um A2) * A3: 420mm x 297mm (cabem 2 folhas A4 em um A3) * A4: 297mm x 210mm (cabem 2 folhas A5 em um A4) * A5: 210mm x 148,5 (cabem 2 folhas A6 em um A5) * A6: 148,5mm x 105mm

e assim por diante...

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Grades

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O formato define as dimensões externas de umapágina (retrato, paisagem ou quadrado)já suas dimensões internas são definidas atravésda grade.

Em relação à página a grade pode se apresentarde forma simétrica ou assimétrica.

Grades

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Área de texto definida através de uma moldura simples, sempre tomando cuidadocom o correto espaçamento com relação a canaleta central.

Desenhando uma grade com formato e caixas de texto com proporções constantes.