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9/10/15 V.W.Setzer – Fibonacci - ilustrações 1 A SEQUÊNCIA E A ESPIRAL DE FIBONACCI, A RAZÃO E A ESPIRAL ÁUREAS E SUAS OCORRÊNCIAS NA NATUREZA (ILUSTRAÇÕES) Uma aula do Projeto Embaixadores da Matemática do Instituto de Matemática e Estatística da USP Valdemar W. Setzer Dept. de Ciência da Computação do IME www.ime.usp.br/~vwsetzer

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9/10/15V.W.Setzer – Fibonacci - ilustrações 1

A SEQUÊNCIA E A ESPIRAL DE FIBONACCI, A RAZÃO E A ESPIRAL ÁUREAS

E SUAS OCORRÊNCIAS NA NATUREZA(ILUSTRAÇÕES)

Uma aula do Projeto Embaixadores da Matemáticado Instituto de Matemática e Estatística da USP

Valdemar W. SetzerDept. de Ciência da Computação do IME

www.ime.usp.br/~vwsetzer

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9/10/15V.W.Setzer – Fibonacci - ilustrações 2

ONE-MINUTE PAPER:

NO FIM DA AULA, ESCREVER NUM PEDAÇO DE PAPEL:1. O QUE APRENDI DE MAIS IMPORTANTE?2. QUAL A MAIOR DÚVIDA QUE FICOU?3. COMENTÁRIOS

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9/10/15V.W.Setzer – Fibonacci - ilustrações 3

Espiral de Arquimedes (passo constante)

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9/10/15V.W.Setzer – Fibonacci - ilustrações 4

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9/10/15V.W.Setzer – Fibonacci - ilustrações 5

Fibonacci, de autor desconhecido

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9/10/15V.W.Setzer – Fibonacci - ilustrações 6Trecho do original do Liber Abaci

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9/10/15V.W.Setzer – Fibonacci - ilustrações 7

Essa sequência já era conhecida por matemáticos hindus desde o séc. VI. Fibonacci escreveu a sequência até o 13º elemento, 233.

No livro, na página vista, ele descreveu e resolveu o problema da multiplicação dos coelhos, com as seguintes regras fictícias:1. No início, nasce um casal de coelhos.2. Os coelhos nascidos levam 1 mês para atingir a maturação sexual e se acasalarem.3. O tempo de gestação é de 1 mês.4. Cada casal maduro produz um casal de novos coelhos a cada mês.

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9/10/15V.W.Setzer – Fibonacci - ilustrações 8

Recém nascidos: cinza; férteis: rosa

Os coelhos cinzas tornam-se rosas na linha seguinte; se há m coelhos rosas em uma linha, a seguinte é aumentada por m coelhos cinzas; se há um total de n coelhos numa linha, na linha seguinte haverá n coelhos rosas. Sequência de Fibonacci!Quantos casais de coelhos haverá depois de um ano?f12 !

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9/10/15V.W.Setzer – Fibonacci - ilustrações 9Estátua em Pisa

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9/10/15V.W.Setzer – Fibonacci - ilustrações 10

Camposanto, Pisa

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9/10/15V.W.Setzer – Fibonacci - ilustrações 11

A sequência de Fibonacci aparece em muitas áreas da matemática, como no triângulo de Pascal:

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9/10/15V.W.Setzer – Fibonacci - ilustrações 12

1,6180...

Convergência das curvas (exponenciais!)

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9/10/15V.W.Setzer – Fibonacci - ilustrações 13

1,6180...

Considerando as duas curvas, na verdade há uma oscilação em torno do valor de convergência “amortecimento exponencial”). Ex: amortecedor.

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9/10/15V.W.Setzer – Fibonacci - ilustrações 14

Espiral de Fibonacci

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9/10/15V.W.Setzer – Fibonacci - ilustrações 15

Proporções áureas: cabelo→queixo/olhos→queixo, olhos→queixo/nariz→queixo

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9/10/15V.W.Setzer – Fibonacci - ilustrações 16

30. Retângulo áureo, com lados proporcionais a 1 e Φ, aproximadamente 8 e 5, ou a 13 e 8. Proporções bonitas?

1; 5; 81; 5; 8

Φ (1,618...); 8; 13

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9/10/15V.W.Setzer – Fibonacci - ilustrações 17

https://www.youtube.com/watch?v=kKWV-uU_SoI

(Acionar vídeo)

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9/10/15V.W.Setzer – Fibonacci - ilustrações 18

Aparelho usado por pintores

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9/10/15V.W.Setzer – Fibonacci - ilustrações 19

Dois triângulos com dois lados proporcionais (a/a') e um ângulo igual (α) são semelhantes. Portanto

a/a' = ϕ b/b'= ϕ

a

a'

b

b'

a

a'

•

•

• • a'

α

αα

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9/10/15V.W.Setzer – Fibonacci - ilustrações 20Aparelho usado por dentistas para deduzir o tamanho de implante

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9/10/15V.W.Setzer – Fibonacci - ilustrações 21

Partenon, Atenas, com retângulos áureos

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9/10/15V.W.Setzer – Fibonacci - ilustrações 22

Notar a construção de retângulos áureos a partir de um retângulo áureo adicionando-se quadrados:

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9/10/15V.W.Setzer – Fibonacci - ilustrações 23Verde: espiral com arcos de círculo; vermelha: espiral áurea; amarelo: coincidentes.

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9/10/15V.W.Setzer – Fibonacci - ilustrações 24

vermelho vermelho verde azul ––––––––– = ––––––––– = ––––––– = –––––––– = ϕ amarelo verde azul magenta

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9/10/15V.W.Setzer – Fibonacci - ilustrações 25

32. Como desenhar um segmento dividido na proporção áurea:

____ __a2 = 12 + ½2 = 1 + ¼= 5/4 a = √ 5/4 a = ½√ 5

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9/10/15V.W.Setzer – Fibonacci - ilustrações 26Lápide do túmulo de Jacob Bernoulli (†1708), na catedral de Basel, Suíça

“EADEM MUTATA RESSURGO”“Apesar de mudada, ressurjo”

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9/10/15V.W.Setzer – Fibonacci - ilustrações 27

Um triângulo áureo:

1

ϕ

A partir dele pode-se construir uma sequência de triângulos áureos

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9/10/15V.W.Setzer – Fibonacci - ilustrações 28

Uma sequência de triângulos áureos:

1ϕ

1+ϕ 1+2ϕ2+3ϕ

3+5ϕ

5+8ϕ

A partir dessa sequência pode-se construir uma espiral áurea,ligando-se um vértice de cada base

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9/10/15V.W.Setzer – Fibonacci - ilustrações 29

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9/10/15V.W.Setzer – Fibonacci - ilustrações 30

Caramujo do Tapajós

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9/10/15V.W.Setzer – Fibonacci - ilustrações 31

Caramujo do Tapajós

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9/10/15V.W.Setzer – Fibonacci - ilustrações 32Caramujo de Montségur, na região dos Cátaros, sudeste da França

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9/10/15V.W.Setzer – Fibonacci - ilustrações 33Caramujo de Montségur, na região dos Cátaros, sudeste da França

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9/10/15V.W.Setzer – Fibonacci - ilustrações 34

Nautilus pompiliusNotar a mesma forma das

câmaras (dimensões proporcionais)

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9/10/15V.W.Setzer – Fibonacci - ilustrações 35Margarida

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9/10/15V.W.Setzer – Fibonacci - ilustrações 36

← 34 21 → (Margarida)

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9/10/15V.W.Setzer – Fibonacci - ilustrações 37← 55 34 → (Girassol) ← 55 34 → (Girassol)

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9/10/15V.W.Setzer – Fibonacci - ilustrações 38← 8 13 →

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9/10/15V.W.Setzer – Fibonacci - ilustrações 39

Brócoli Romanesco

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9/10/15V.W.Setzer – Fibonacci - ilustrações 40Brócoli Romanesco

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9/10/15V.W.Setzer – Fibonacci - ilustrações 41

← 34 55 → Pinha de Araucária

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9/10/15V.W.Setzer – Fibonacci - ilustrações 42Furacão

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9/10/15V.W.Setzer – Fibonacci - ilustrações 43

Galáxia

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9/10/15V.W.Setzer – Fibonacci - ilustrações 44

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9/10/15V.W.Setzer – Fibonacci - ilustrações 45

A SEQUÊNCIA E A ESPIRAL DE FIBONACCI, A RAZÃO E A ESPIRAL ÁUREAS

E SUAS OCORRÊNCIAS NA NATUREZA(ILUSTRAÇÕES)

Uma aula do Projeto Embaixadores da Matemáticado Instituto de Matemática e Estatística da USP

Valdemar W. SetzerDept. de Ciência da Computação do IME

www.ime.usp.br/~vwsetzer

F I M

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9/10/15V.W.Setzer – Fibonacci - ilustrações 46

ONE-MINUTE PAPER

ESCREVER NUM PEDAÇO DE PAPEL:1. O QUE APRENDI DE MAIS IMPORTANTE?2. QUAL A MAIOR DÚVIDA QUE FICOU?3. COMENTÁRIOS


Curiosidades Fibonacci

Espiral 35

Classificador espiral

9/10/15 V.W.Setzer – roteiro da aula sobre Fibonacci e espirais 1 A SEQUÊNCIA E A ESPIRAL DE FIBONACCI, A RAZÃO E A ESPIRAL ÁUREAS E SUAS OCORRÊNCIAS NA

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A ESPIRAL DE FIBONACCI E A ESPIRAL ÁUREA Valdemar W. Setzer Dept. de Ciência da Computação da USP vwsetzer

2 fibonacci-7ºb

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10 fibonacci-7ºa

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4 fibonacci-7ºb

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SEQÜÊNCIA DE FIBONACCI - Leandro A. da Silva FERREIRA, Rogério A. Seqüência de Fibonacci, UNIFIEO, São Paulo, v.01, p.14, 2006. I present the History of Leonardo Pisano (Fibonacci)