GEOMETRIA -10º ANO

Vectores:

Definição Operações Propriedades Exemplos

Noções básicas Segmentos orientados equipolentes – são segmentos com a

mesma direcção, o mesmo comprimento e o mesmo sentido.

Nota: [A,B] é o segmento orientado de origem em A e extremidade em B, o que é diferente de [B,A].

Exemplo: [A,B] e [T,U] ou [B,M] e [D,O]

Não são exemplos válidos: [L,M] e [O,N]

Vector (ou vector livre)

Um vector livre é um ente matemático caracterizado por uma

direcção um sentido e um comprimento.

Colecção de segmentos equipolentes

Todos estes segmentos orientados

representam o mesmo vector

Carimbamos esta colecção

com o nome de vector

EXEMPLOOs segmentos orientados [Q,R], [S,T], [A,B], [I,J], etc,

representam o mesmo vector que podemos representar

por qualquer um dos seus representantes do seguinte

modo: ou ou por uma

letra minúscula como por exemplo:

AB

IJ

u

RESUMINDO

Para ter definido um vector interessa saber:

DIRECÇÃO SENTIDO COMPRIMENTO

Não te esqueças: não interessa o ponto de aplicação, o vector só depende daquelas três variáveis.

Termos Básicos e são vectores colineares se

Exemplos:

u

u

v

,u kv k

3u

2u

Se k<0 então os vectores têm sentidos diferentes.

Se k>0 então os vectores têm o mesmo sentido.

Se -1<k<1 então o comprimento (norma) de é superior ao de .

Se k<-1 ou k>1 então a norma de é menor que a de .

Se k=-1 os vectores são simétricos.

Se k=1 os vectores são o mesmo.

u

v

u

v

1

2u u

u

Vectores simétricos

Adição de vectores colineares

Quando os vectores têm o mesmo sentido é só adicionar os seus comprimentos e manter o sentido.

Se os sentidos forem diferentes o vector soma fica com um comprimento igual à diferença do comprimento dos dois vectores e o sentido é o do vector de maior norma.

u

v

u v

w

v

v w u

Adição de vectores – Regra do paralelogramo

u

v

u v

Atenção!!! É necessário que os vectores estejam

aplicados no mesmo ponto

Regra do triânguloCuidado, para aplicar esta regra é que necessário que a extremidade de um dos vectores coincida com a origem do outro:

A regra a utilizar depende do problema em causa, mas podes “quase sempre” aplicar as duas regras cabe-te a ti escolheres a mais adequada.

u

v u v

Exemplo de aplicação

E agora que fazer para adicionar estes dois vectores???

u

Como nos vectores não interessa o ponto de aplicação consideramos outro

representante aplicado ou na mesma origem do outro vector ou na extremidade conforme a regra que se queira aplicar!!

Regra do paralelogramo

v

v

u v

Exemplo de aplicação

O mesmo exemplo mas com a aplicação da regra do triângulo

Como nos vectores não interessa o ponto de aplicação consideramos outro

representante aplicado na extremidade do outro vector!!

Regra do triângulo

u v

u

v

v

Subtracção de vectores

Subtrair é o mesmo que adicionar com o simétrico, ou seja,

v

u v u v

u

v

v

u v

Regra do paralelogramo

Soma de um ponto com um vector

Ponto A

Ponto B

AB

Então:

A AB B

ou seja

AB B A

Transladaram a estátua do pirata do ponto A para o ponto B, ou seja, associado ao vector AB

Vectores dos eixos coordenadosNo plano:

O eixo Ox tem a direcção do vector O eixo Oy tem a direcção do vector

No espaço ocorre o mesmo com os três eixos Ox, Oy e Oz

O eixo Ox tem a direcção do vectorO eixo Oy tem a direcção do vectorO eixo Oz tem a direcção do vector

2 (0,1,0)e

1 (1,0)e

3 (0,0,1)e

2 (0,1)e

1 (1,0,0)e

Componentes de um vector

1 2 3

1

2

x

y

u

1 23 2u e e

Como o referencial em causa é ortonormado, assim neste referencial pode-se escrever

3,2u

O mesmo se pode fazer com referenciais o.n. no espaço.

1e2e

EXERCÍCIO

AB HN

2

3BD AQ

2A TU

MN OT

AB PO

AB AC

AG

BO

AD

C

RN

0

Exercício

3,0a

0, 3b

1,2c

2,5d

5, 3f

4, 4g

6,6h