Álgebra linear e geometria analítica 10ª aula. vectores no plano vectores no espaço vectores em...

Álgebra Linear e

Geometria Analítica

10ª aula

Vectores no plano

Vectores no espaço

Vectores em n

(u1,u2)

(v1,v2)

(u1+v1, u2+v2)

(u1,u2)

(ku1,ku2)

ku

u

Produto interno

• u = (u1, u2); v = (v1,v2)

• u . v = u1v1 + u2 v2

Produto interno e norma

• u = (u1, u2); v = (v1,v2)

• u . v = u1v1 + u2 v2

22

21. uuuuu

Produto interno em n

• u = (u1, u2, u3, u4 . . . , un);

• v = (v1, v2, v3, v4 . . . , vn); • u . v = u1v1 + u2 v2 + u3v3 + u4 v4 + . . .+ un vn

n

iiivuvu

1

.

Propriedades do produto interno

• u . v = v . u• u . (v + w) = u . v + u . w• ( u . v ) = ( u) . v = u . ( v)• u . u 0 • u . u = 0 u = 0

Produto interno e norma em n

• u = (u1, u2, u3, u4 . . . , un);

223

22

21. nuuuuuuu

EXEMPLOS

• u = (1, 6, 0, -1, 0, 2)• v = (-1, 0, 1, 1, 10, -2)• u . v = 1(-1) + 60 + 01 + (-1)1 + 010 + 2 (-2) =

= -1 + 0 + 0 -1 + 0 -4 = -6

EXEMPLOS

• u = (1, 6, 0, -1, 0, 2)• v = (-1, 0, 1, 1, 10, -2)• u . v = 1(-1) + 60 + 01 + (-1)1 + 010 + 2 (-2) =

= -1 + 0 + 0 -1 + 0 -4 = -6•

222222 201061 u

EXEMPLOS

• u = (1, 6, 0, -1, 0, 2)• v = (-1, 0, 1, 1, 10, -2)• u . v = 1(-1) + 60 + 01 + (-1)1 + 010 + 2 (-2) =

= -1 + 0 + 0 -1 + 0 -4 = -6•

4241361

201061 222222

u

Propriedades da norma

vuvu

vuvu

uu

uu

uu

.

00

00

Desigualdade triangular

Desigualdade Cauchy-Schwartz

B

A

||A||

||B||

||A+B||

Desigualdade triangular

A||A||

B

||B||||A+B||

A+B

A||A||

B

||B||||A+B||

A+B

Se os vectores são perpendiculares, pelo teorema de Pitágoras:

A||A||

B

||B||||A+B||

A+B

Se os vectores são perpendiculares, pelo teorema de Pitágoras:

222BABA

BABA

BABBAA

BBABBAAABABA

BA

.2

.2..

.....

22

2

Ortogonalidade:

• Definição: Dois vectores são ortogonais se o seu produto interno for nulo

Ortogonalidade:

• Definição: Dois vectores são ortogonais se o seu produto interno for nulo

• Exemplo:• u = (1, 2, 3, 4) ; v = (-4, -3, 2, 1)• u . v = -4 -6 + 6 + 4 = 0

B

A

tB

B

A

tB

tB é a projecção do vector A sobre B

B

A

tB

C

B

A = tB + C

tB

C

B

A = tB + C

tB

C

A . B = (tB + C) . B = t B . B + C . B = t B.B

B

A = tB + C

tB

C

A . B = (tB + C) . B = t B . B + C . B = t B.B

2

.

.

.

B

BA

BB

BAt

B

A = tB + C

tB

C

B

A = tB + C

tB

C

A

Bt

A

tBcos

B

A = tB + C

tB

C

BA

BA

A

Bt

A

tB .cos

Definição de projecção de um vector sobre outro:Sejam u e v vectores de n

A projecção de u sobre v é o vector v sendo

vv

vu

.

.

Definição de ângulo de dois vectores:

Sejam u e v vectores não nulos de n

O ângulo entre os vectores u e v é tal que

vu

vu.cos

Definição de ângulo de dois vectores:

Sejam u e v vectores não nulos de n

O ângulo entre os vectores u e v é tal que

vu

vu.cos

vu

vu.arccos

Limites do valor de cos

vu

vu.cos

1.

. vu

vuvuvu

1.

1 vu

vu

Exemplo:

39243.

0,6,1,1,1

1,0,1,1,1

vuvu

v

u

Exemplo:

2

1

32

3cos

39243.

0,6,1,1,1

1,0,1,1,1

vuvu

v

u

Exemplo:

3

22

1

32

3cos

39243.

0,6,1,1,1

1,0,1,1,1

vuvu

v

u

Produto externo

• Só se define produto externo em 3

122131132332

321321

,,

,,,,

vuvuvuvuvuvuvu

vvvvuuuu

||u v||2 = ||u||2 ||v||2 sen2

Produto externo

• Só se define produto externo em 3

122131132332

321321

,,

,,,,

vuvuvuvuvuvuvu

vvvvuuuu

213

132

321

321 1,0,00,1,00,0,1

eee

eee

eee

eee

Regra prática:

321

321

321

321

det""

1,0,00,1,00,0,1

vvv

uuu

eee

vu

eee

Regra prática:

654

321det""

6,5,43,2,1

1,0,00,1,00,0,1

321

321

eee

vu

vu

eee

Regra prática:

321

321

321

54

21det

64

31det

65

32det

654

321det""

6,5,43,2,1

1,0,00,1,00,0,1

eee

eee

vu

vu

eee

Regra prática:

1,0,030,1,0)6(0,0,13

54

21det

64

31det

65

32det

654

321det""

6,5,43,2,1

1,0,00,1,00,0,1

321

321

321

eee

eee

vu

vu

eee

Regra prática:

3,6,3

1,0,030,1,0)6(0,0,13

54

21det

64

31det

65

32det

654

321det""

6,5,43,2,1

1,0,00,1,00,0,1

321

321

321

eee

eee

vu

vu

eee

Propriedades do produto externo:

• u v = - (v u)• u (v + w) = u v + u w• (u v) = ( u) v • u . (u v) = 0• v . (u v) = 0• ||u v||2 = ||u||2 ||v||2 – (u . v)2

• u v = 0 u e v linearmente dependentes


• O produto externo não é associativo!• Exemplo:

231211 eeeeee


• O produto externo não é associativo!• Exemplo:

00 2211

231211

eeee

eeeeee


• u e v linearmente independentes

• {u, v, uv} linearmente independente• Qualquer vector ortogonal a u e a v é múltiplo

de uv


• u e v linearmente independentes

• {u, v, uv} formam base de 3


• ||u v||2 = ||u||2 ||v||2 – (u . v)2


• ||u v||2 = ||u||2 ||v||2 – (u . v)2

• u . v = ||u|| ||v|| cos


• ||u v||2 = ||u||2 ||v||2 – (u . v)2

• u . v = ||u|| ||v|| cos• (u . v)2 = ||u||2 ||v||2 cos2


• ||u v||2 = ||u||2 ||v||2 – (u . v)2

• u . v = ||u|| ||v|| cos• (u . v)2 = ||u||2 ||v||2 cos2• ||u v||2 = ||u||2 ||v||2 – ||u||2 ||v||2 cos2


• ||u v||2 = ||u||2 ||v||2 – (u . v)2


• ||u v||2 = ||u||2 ||v||2 (1 – cos2)


• ||u v||2 = ||u||2 ||v||2 – (u . v)2


• ||u v||2 = ||u||2 ||v||2 (1 – cos2)

• ||u v||2 = ||u||2 ||v||2 sen2

B

A

||A||sen

B

A

||A||sen

Área do paralelogramo::||A B|| = ||A|| ||B|| sen

Produto misto

• O produto misto só se define em 3

• u, v, w 3 • O produto misto de u, v e w é:• u . (v w)

Regra prática para calcular o produto misto• u, v, w 3

321

321

321

det).(

www

vvv

uuu

wvu

Propriedades do produto misto

• u, v, w 3 • u . (v w) = 0 {u, v, w} linearmente

dependente• u . (v w) = (u v) . w• u . (v w) = v . (w u) • u . (v w) = - u . (w v) = - v . (u w)

Interpretação geométrica:

• (u v) . w dá o volume do paralelepípedo determinado por u, v e w.



• Se u e v definem a base, ||uv || é a área da base




• ||w||cos dá a altura, sendo o ângulo entre w e uv




• ||w||cos dá a altura, sendo o ângulo entre w e uv

• Volume = ||uv || ||w||cos = (u v) . w

u

v

w

u

v

w

u v

u

v

w

u v

altura

u

v

w

u v

Altura = ||w|| cos

u

v

w

u v

Altura = ||w|| cos

Área da base = ||uv||

Bases ortonormadas

• Um conjunto de vectores diz-se ortogonal se os vectores forem ortogonais dois a dois.• Um conjunto de vectores diz-se

ortonormado se for ortogonal e todos os vectores tiverem norma unitária

Bases ortonormadas

• Um vector que tiver norma igual a um diz-se unitário.• Dado um qualquer vector não nulo u,

é possível construir um vector unitário a partir de u fazendo:

uu

1

Como obter uma base ortogonal?

• Seja {u1, u2, . . . , un} uma base de um espaço vectorial de dimensão n.

• Obtém-se a partir daqui uma base ortogonal {v1, v2, . . . , vn} aplicando o chamado processo de ortogonalização de Gram-Schmidt que consiste em:

Ortogonalização de Gram-Schmidt

11 uv


12

1

1222

11

.v

v

vuuv

uv


22

2

2312

1

1333

12

1

1222

11

..

.

vv

vuv

v

vuuv

vv

vuuv

uv


j

n

jj

jnnn v

v

vuuv

vv

vuv

v

vuuv

vv

vuuv

uv

1

12

22

2

2312

1

1333

12

1

1222

11

.

..

.

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