Álgebra linear e geometria analíticaw3.ualg.pt/~mpires/alga/decima aula10-11.pdf · geometria...
TRANSCRIPT
Álgebra Linear e
Geometria Analítica
10ª aula
Vectores no plano
Vectores no espaço
Vectores em ℜn
(v1,v2)
(u1+v1, u2+v2)
(u1,u2)
(u ,u )
(ku1,ku2)
ku
(u1,u2)
u
Produto interno
• u = (u1, u2); v = (v1,v2)
• u . v = u1v1 + u2 v2
Produto interno e norma
• u = (u1, u2); v = (v1,v2)
• u . v = u1v1 + u2 v2
2
2
2
1. uuuuu +== 21. uuuuu +==
Produto interno em ℜn
• u = (u1, u2, u3, u4 . . . , un);
• v = (v1, v2, v3, v4 . . . , vn);
• u . v = u1v1 + u2 v2 + u3v3 + u4 v4 + . . .+ un vn
∑=
=n
i
iivuvu1
.
Propriedades do produto interno
• u . v = v . u
• u . (v + w) = u . v + u . w
• α ( u . v ) = (α u) . v = u . (α v)
• u . u ≥ 0 • u . u ≥ 0
• u . u = 0 ⇔ u = 0
Produto interno e norma em ℜn
• u = (u1, u2, u3, u4 . . . , un);
2222. uuuuuuu ++++== L
22
3
2
2
2
1. nuuuuuuu ++++== L
EXEMPLOS
• u = (1, 6, 0, -1, 0, 2)
• v = (-1, 0, 1, 1, 10, -2)
• u . v = 1×(-1) + 6×0 + 0×1 + (-1)×1 + 0×10 + 2 ×(-2) =
= -1 + 0 + 0 -1 + 0 -4 = -6= -1 + 0 + 0 -1 + 0 -4 = -6
EXEMPLOS
• u = (1, 6, 0, -1, 0, 2)
• v = (-1, 0, 1, 1, 10, -2)
• u . v = 1×(-1) + 6×0 + 0×1 + (-1)×1 + 0×10 + 2 ×(-2) =
= -1 + 0 + 0 -1 + 0 -4 = -6= -1 + 0 + 0 -1 + 0 -4 = -6
•
( ) 222222201061 ++−+++=u
EXEMPLOS
• u = (1, 6, 0, -1, 0, 2)
• v = (-1, 0, 1, 1, 10, -2)
• u . v = 1×(-1) + 6×0 + 0×1 + (-1)×1 + 0×10 + 2 ×(-2) =
= -1 + 0 + 0 -1 + 0 -4 = -6= -1 + 0 + 0 -1 + 0 -4 = -6
•
( )
4241361
201061222222
=+++=
++−+++=u
Propriedades da norma
uu
uu
=
=⇔=
>⇒≠
00
00
αα
vuvu
vuvu
uu
+≤
+≤+
=
.
αα
Desigualdade triangular
Desigualdade Cauchy-Schwartz
v
u
v
||v||
||u||
||u+v||
uDesigualdade triangular
v
||v||
u+v
u||u||
v
||v||
u+v
u||u||Se os vectores são perpendiculares, pelo teorema de Pitágoras:
v
||v||
u+v
u||u||Se os vectores são perpendiculares, pelo teorema de Pitágoras:
222vuvu +=+
( )( )( )vuvvuu
vvuvvuuuvuvu
vu
.2..
.....
2
=++=
=+++=++=
=+
( )
( )vuvu
vuvvuu
.2
.2..
22++=
=++=
Ortogonalidade:
• Definição: Dois vectores são ortogonais se o seu produto interno for nulo
Ortogonalidade:
• Definição: Dois vectores são ortogonais se o seu produto interno for nulo
• Exemplo:• Exemplo:
• u = (1, 2, 3, 4) ; v = (-4, -3, 2, 1)
• u . v = -4 -6 + 6 + 4 = 0
v
u
v
v
u
vαv
v
u
vα v
α v é a projecção do vector u sobre v
v
uw
vα v
B
A = tB + CC
BtB
v
u = α v + ww
vα v
u . v = (α v + w) . v = α v . v + w . v = α v.v
v
u = α v + ww
vα v
u . v = (α v + w) . v = α v . v + w . v = α v.v
2
.
.
.
v
vu
vv
vu==α
v
u = α v + ww
θ vαv
θ
v
u = α v + ww
θ vαv
θ
u
v
u
v ααθ ==cos
v
u = αv + ww
θ vα v
θ
vu
vu
u
v
u
v .cos ===
ααθ
Definição de projecção de um vector sobre outro:
Sejam u e v vectores de ℜn
A projecção de u sobre v é o vector α v sendo
vu.=α
vv
vu
.
.=α
Definição de ângulo de dois vectores:
Sejam u e v vectores não nulos de ℜn
O ângulo entre os vectores u e v é θ tal que
vu.
vu
vu.cos =θ
Definição de ângulo de dois vectores:
Sejam u e v vectores não nulos de ℜn
O ângulo entre os vectores u e v é θ tal que
vu.
vu
vu.cos =θ
vu
vu.arccos=θ
Limites do valor de cosθ
vu
vu.cos =θ
1.
. ≤⇒≤vu
vuvuvu
vu
1.
1 ≤≤−vu
vu
Exemplo:
( )
( )39243.
0,6,1,1,1
1,0,1,1,1
====−=
−−−=
=
vuvu
v
u
Exemplo:
( )
( )39243.
0,6,1,1,1
1,0,1,1,1
====−=
−−−=
=
vuvu
v
u
2
1
32
3cos
39243.
−=×
−=
====−=
θ
vuvu
Exemplo:
( )
( )39243.
0,6,1,1,1
1,0,1,1,1
====−=
−−−=
=
vuvu
v
u
πθ
θ
3
2
2
1
32
3cos
=
−=×
−=
Produto externo
• Só se define produto externo em ℜ3
( ) ( )( )
321321
,,
,,,,
vuvuvuvuvuvuvu
vvvvuuuu
−−−=×
==||u × v||2 = ||u||2 ||v||2 sen2θ( )
122131132332 ,, vuvuvuvuvuvuvu −−−=×||u × v||2 = ||u||2 ||v||2 sen2θ
Produto externo
• Só se define produto externo em ℜ3
( ) ( )( )
122131132332
321321
,,
,,,,
vuvuvuvuvuvuvu
vvvvuuuu
−−−=×
==
( )122131132332 ,, vuvuvuvuvuvuvu −−−=×
( ) ( ) ( )
213
132
321
321 1,0,00,1,00,0,1
eee
eee
eee
eee
=×
=×
=×
===
Regra prática:
( ) ( ) ( )
=×
===
321
321
321
det""
1,0,00,1,00,0,1
vvv
uuu
eee
vu
eee
321
vvv
Regra prática:
( ) ( ) ( )( ) ( )
==
===
6,5,43,2,1
1,0,00,1,00,0,1
321
321
eee
vu
eee
=×
654
321det""vu
Regra prática:
( ) ( ) ( )( ) ( )
321
321
321det""
6,5,43,2,1
1,0,00,1,00,0,1
eee
vu
vu
eee
=
=×
==
===
32154
21det
64
31det
65
32det
654
321det""
eee
vu
+
−
=
=
=×
Regra prática:( ) ( ) ( )( ) ( )
321det""
6,5,43,2,1
1,0,00,1,00,0,1
321
321
=
=×
==
===
eee
vu
vu
eee
( ) ( ) ( )1,0,030,1,0)6(0,0,13
54
21det
64
31det
65
32det
654
321
−−−−=
=
+
−
=
eee
Regra prática:
( ) ( ) ( )( ) ( )
321det""
6,5,43,2,1
1,0,00,1,00,0,1
321
321
=
=×
==
===
eee
vu
vu
eee
( ) ( ) ( )( )3,6,3
1,0,030,1,0)6(0,0,13
54
21det
64
31det
65
32det
654
321det""
321
−−=
=−−−−=
=
+
−
=
=
=×
eee
vu
Propriedades do produto externo:
• u × v = - (v × u)
• u × (v + w) = u × v + u × w
• α (u × v) = (α u) × v
• u . (u × v) = 0• u . (u × v) = 0
• v . (u × v) = 0
• ||u × v||2 = ||u||2 ||v||2 – (u . v)2
• u × v = 0 ⇔ u e v linearmente dependentes
Propriedades do produto externo:
• O produto externo não é associativo!
• Exemplo:
( ) eeeeee −=×=×× ( )231211 eeeeee −=×=××
Propriedades do produto externo:
• O produto externo não é associativo!
• Exemplo:
( ) −=×=×× eeeeee ( )( ) 00 2211
231211
=×=××
−=×=××
eeee
eeeeee
Propriedades do produto externo:
• u e v linearmente independentes
• {u, v, u×v} linearmente independente
• Qualquer vector ortogonal a u e a v é múltiplo de u×v
Propriedades do produto externo:
• u e v linearmente independentes
• {u, v, u×v} formam base de ℜ3
Propriedades do produto externo:
• ||u × v||2 = ||u||2 ||v||2 – (u . v)2
Propriedades do produto externo:
• ||u × v||2 = ||u||2 ||v||2 – (u . v)2
• u . v = ||u|| ||v|| cosθ
Propriedades do produto externo:
• ||u × v||2 = ||u||2 ||v||2 – (u . v)2
• u . v = ||u|| ||v|| cosθ
• (u . v)2 = ||u||2 ||v||2 cos2θ
Propriedades do produto externo:
• ||u × v||2 = ||u||2 ||v||2 – (u . v)2
• u . v = ||u|| ||v|| cosθ
• (u . v)2 = ||u||2 ||v||2 cos2θ
• ||u × v||2 = ||u||2 ||v||2 – ||u||2 ||v||2 cos2θ• ||u × v||2 = ||u||2 ||v||2 – ||u||2 ||v||2 cos2θ
Propriedades do produto externo:
• ||u × v||2 = ||u||2 ||v||2 – (u . v)2
• u . v = ||u|| ||v|| cosθ
• (u . v)2 = ||u||2 ||v||2 cos2θ
• ||u × v||2 = ||u||2 ||v||2 – ||u||2 ||v||2 cos2θ• ||u × v||2 = ||u||2 ||v||2 – ||u||2 ||v||2 cos2θ
• ||u × v||2 = ||u||2 ||v||2 (1 – cos2θ)
Propriedades do produto externo:
• ||u × v||2 = ||u||2 ||v||2 – (u . v)2
• u . v = ||u|| ||v|| cosθ
• (u . v)2 = ||u||2 ||v||2 cos2θ
• ||u × v||2 = ||u||2 ||v||2 – ||u||2 ||v||2 cos2θ• ||u × v||2 = ||u||2 ||v||2 – ||u||2 ||v||2 cos2θ
• ||u × v||2 = ||u||2 ||v||2 (1 – cos2θ)
• ||u × v||2 = ||u||2 ||v||2 sen2θ
u
θ
||u||senθ
v
θ
u
θ
||u||senθ
v
θ
Área do paralelogramo:
:||u × v|| = ||u|| ||v|| senθ
Produto misto
• O produto misto só se define em ℜ3
• u, v, w ∈ ℜ3
• O produto misto de u, v e w é:
• u . (v × w)• u . (v × w)
Regra prática para calcular o produto misto
• u, v, w ∈ ℜ3
=×
321
det).( vvv
uuu
wvu
=×
321
321det).(
www
vvvwvu
Propriedades do produto misto
• u, v, w ∈ ℜ3
• u . (v × w) = 0 ⇔ {u, v, w} linearmente dependente
• u . (v × w) = (u × v) . w• u . (v × w) = (u × v) . w
• u . (v × w) = v . (w × u)
• u . (v × w) = - u . (w × v) = - v . (u × w)
Interpretação geométrica:
• (u × v) . w dá o volume do paralelepípedo determinado por u, v e w.
Interpretação geométrica:
• (u × v) . w dá o volume do paralelepípedo determinado por u, v e w.
• Se u e v definem a base, ||u×v || é a área da • Se u e v definem a base, ||u×v || é a área da base
Interpretação geométrica:
• (u × v) . w dá o volume do paralelepípedo determinado por u, v e w.
• Se u e v definem a base, ||u×v || é a área da • Se u e v definem a base, ||u×v || é a área da base
• ||w||cosϕ dá a altura, sendo ϕ o ângulo entre w e u×v
Interpretação geométrica:
• |(u × v) . w| dá o volume do paralelepípedo determinado por u, v e w.
• Se u e v definem a base, ||u×v || é a área da • Se u e v definem a base, ||u×v || é a área da base
• ||w|||cosϕ| dá a altura, sendo ϕ o ângulo entre w e u×v
• Volume = ||u×v || ||w|||cosϕ| = |(u × v) . w|
w
u
v
w
u
v
w
u × v
u
v
w
u × v
altura
u
v
w
u × v
Altura = ||w|| cosϕ
u
v
ϕ
w
u × v
Altura = ||w|| cosϕ
u
v
ϕ
Área da base = ||u×v||
Bases ortonormadas
• Um conjunto de vectores diz-seortogonal se os vectores foremortogonais dois a dois.ortogonais dois a dois.
• Um conjunto de vectores diz-seortonormado se for ortogonal etodos os vectores tiverem normaunitária
Bases ortonormadas
• Um vector que tiver norma igual aum diz-se unitário.
• Dado um qualquer vector não nulo u,• Dado um qualquer vector não nulo u,é possível construir um vectorunitário a partir de u fazendo:
uu
1
Como obter uma base ortogonal?
• Seja {u1, u2, . . . , un} uma base de um espaço
vectorial de dimensão n.
• Obtém-se a partir daqui uma base ortogonal {v , v , . . . , v } aplicando o chamado processo {v1, v2, . . . , v
n} aplicando o chamado processo
de ortogonalização de Gram-Schmidt que consiste em:
Ortogonalização de Gram-Schmidt
11 uv =
Ortogonalização de Gram-Schmidt
12
1
1222
11
.v
v
vuuv
uv
−=
=
1
Ortogonalização de Gram-Schmidt
2313
12
1
1222
11
..
.
vvu
vvu
uv
vv
vuuv
uv
−−=
−=
=
22
2
23
12
1
13
33
..v
v
vuv
v
vuuv −−=
Ortogonalização de Gram-Schmidt
vuvu
vv
vuuv
uv
−=
=
12
1
12
22
11
..
.
j
n
jj
jn
nn vv
vuuv
vv
vuv
v
vuuv
∑−
=
−=
−−=
1
1
2
22
2
23
12
1
13
33
.
..
M