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Lúcia Dinis Setembro Mecânica dos Sólidos não Linear 1ªAula 1 Sumário e Objectivos Sumário: Vectores, Tensores. Operações Com Vectores e Tensores de 2ª Ordem. Tensores de ordem superior à 2ª. Mudança de Base. Valores e Vectores Próprios. Campos Escalares, Vectoriais e Tensoriais. Objectivos da Aula: Familiarização com as notações Indicial e Tensorial. Realização de Operações com Vectores e Tensores tirando partido das notações referidas.

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Lúcia DinisSetembro

Mecânica dos Sólidos não Linear1ªAula

1

Sumário e Objectivos

Sumário: Vectores, Tensores. Operações Com Vectores e Tensores de 2ª Ordem. Tensores de ordem superior à 2ª. Mudança de Base. Valores e Vectores Próprios. Campos Escalares, Vectoriais e Tensoriais.

Objectivos da Aula: Familiarização com as notações Indicial e Tensorial. Realização de Operações com Vectores e Tensores tirando partido das notações referidas.

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Vector de Posição

( )321 x,x,x=x

VectorComponentes

negrito Letra normal com um índice correspondente ao número da componente

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3

Simbologia das Grandezas

As quantidades físicas relevantes são por vezes, grandezas escalares que podem ser representadas por caracteres, como a,b,c…ou a,b,g,… como é o caso da massa, da densidade e da temperatura. Grandezas físicas como a força, a velocidade e a aceleração são em geral representadas por vectores para os quais se usam letras minúsculas em negrito, u,v,w… ou para as suas componentes a notação indicial. As tensões, as deformações, etc…, são quantidades representadas em geral por tensores de segunda ordem, para os quais se usa a simbologia A,B,C… ou a notação indicial associada às componentes do tensor. Os tensores de 2ª ordem ao longo do texto são em geral referidos simplesmente como Tensores. Para algumas grandezas podem ter de utilizar-se tensores de 3ª ordem para a sua representação, sendo a notação utilizada A,B,C…, ou eventualmente tensores de ordem superior á 3ª para os quais se utiliza a notação A,B,C….

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4

Vector

u

B

A

Um vector é geometricamente um segmento de recta, ao qual foi atribuído um sentido no espaço, por exemplo, na figura, está representado um vector, u, este vector pode identificar a posição do ponto B relativamente ao ponto A, considerado como a origem do sistema de referência. Neste caso o vector u, é um vector de posição.

{ }321Tu,u,u=ui

Notação indicialNotação Tensorial

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5

Vector

Um vector no espaço Euclidiano tridimensional pode ser representado pelas suas componentes relativamente a uma base de vectores. Designando por a base de vectores, o vector u pode ser escrito como uma combinação linear dos vectores de base, ou seja

{ }321 ,, eee

332211 uuu eeeu ++=

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6

Vector

23

22

21 uuu ++=u

Grandeza do Vector

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7

ADIÇÃO DE VECTORES

A soma do vector u com o vector v é o vector w que se obtém adicionando os dois vectores vuw +=As componentes do vector w obtém-se por adição das componentes dos vectores u e v:

111 vuw += 222 vuw += 333 vuw +=A subtracção de dois vectores também é possível e processa-se adicionado um dos vectores ao vector que se obtém considerando o outro vector com o sinal negativo. ( )vuw −+=

111 vuw −= 222 vuw −= 333 vuw −=

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Adição Geométrica de Vectores

A adição e subtracção de vectores no espaço tridimensional pode fazer-se geometricamente, recorrendo à lei do paralelogramo, como se representa na figura. A adição de vectores é comutativa e é associativa.

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Produto de um Escalar por um Vector

No caso de se considerarem vectores no espaço a n dimensões a adição processa-

se de modo análogo ao referido sendo as componentes iii vuw += . Podem somar-se

α vezes o mesmo vector obtendo-se um vector que é w = α u e que corresponde ao

produto de um escalar por um vector. A adição do vector u com o vector (-u) conduz ao

vector nulo designado por o.

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Produto Escalar ou Produto Interno

O produto escalar ou produto interno de dois vectores costuma representar-se por u ⋅v e é:

( ) ( )222

21,cos uvvuvuvuvu −−+==⋅ θ

ij

n

1jji

n

1i

n

1iii vuvu δ∑∑=∑=⋅

===vu

é o símbolo de Kronecker

jiji

sese

01

ij ≠=

⎩⎨⎧

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Produto Escalar

A grandeza resultante do produto escalar de dois vectores é uma grandeza escalar, no caso de serem dois vectores ortogonais entre si, o produto escalar, u.v, tem o valor zero. No caso de se usar a convenção dos índices repetidos, inventada por Einstein, o sinal de somatório pode ser omitido e a equação anterior toma a forma:

∑ ==⋅=

n

1iiiii vuvuvucontraccão

A partir de dois vectores obtém-se um escalar

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Exemplo 1.1

Considere as expressões seguintes e expanda-as tendo em conta a convenção dos índices repetidos.

e jjii wvua) b) ee ijijδ =

a) Somando primeiro em i e depois em j obtém-se:

( )( )eee 332211332211 wwwvuvuvu ++++

b) Somando em j para o 1º membro da igualdade obtém-se :

j i1 1 i2 2 i3 3ijδ = + +δ δ δe e e e

Para i=1 j 11 1 12 2 13 3 11 1 11jδ = + + = =δ δ δ δe e e e e e Etc.

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Produto Vectorial

O produto vectorial de dois vectores u e v é um vector que é ortogonal aos vectores u e v e é representado por u × v. O comprimento de u × v é definido como sendo igual à área do paralelogramo por eles formado no espaço tridimensional, como se representa na figura.

u

v

u×v A=||u×v||

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Produto Vectorial

O Produto vectorial dos vectores base é tal que:

321 eee =×

13 eee2 =×

213 eee =×

312 eee −=×

123 eee −=×

231 eee −=×

O produto Vectorial de dois vectores pode ser calculado do seguinte modo ( ) ( ) ( )jijijjii vuvu eeeevu ×=×=×

( ) ( ) ( ) 312212311312332 vuvuvuvuvuvu eeevu −+−+−=×

1

1 2 3

1 2 3

u u uv v v

det⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

2 3e e e=

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Exemplo 1.2

)( uvvu ×−=×Mostre que

( )jiji

3

1jjj

3

1iii vuvu eeeevu ×=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛∑×⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛∑=×

==

( ) ( ) ( ) 312212311312332 vuvuvuvuvuvu eee −+−+−=

( )jiji

3

1jjj

3

1iii uvuv eeeeu)(v- ×−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛∑×⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛∑−=×

==

( ) ( ) ( )[ ] =−+−+−−= 312212311312332 uvuvuvuvuvuv eee

( ) ( ) ( ) 312212311312332 vuvuvuvuvuvu eee −+−+−=

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Produto Escalar Triplo

( ) ( ) ( )+−+−× 3113223321 vuvuwvuvuw=w.vu ( )12213 vuvuw −

1 2 3

1 2 3

1 2 3

w w wdet u u u

v v v

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

=

w

w . nv

u

c/ ×=

×u vnu v

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Produto Escalar Triplo

A representação do produto escalar triplo pode ser simplificada recorrendo ao chamado símbolo permutador que é representado por , tensor de 3ª ordem, o qual pode ser definido do seguinte modo:

ijkε

( )( )( )

1 se for i, j, k em ordem cíclica e c m i, j, k distintos0 se for i, j, k t

1 se for i, j, k i, j, k distintos e em ordem cíclica

oal que i j ou i k ou j kijk

nãoε

⎧⎪= = = =⎨⎪−⎩

( ).i j k ijkε× =e e e

As ordens cíclicas de (i, j, k) com i = 1, 3 e k = 1, 3 são (1, 2, 3); (2, 3, 1) e (3, 1, 2). As ordens não cíclicas de (i, j, k) são (3, 2, 1); (1, 3, 2) e (2, 1, 3).

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Exemplo 1.3

ijkε pqkε δ δ δ δjq iq jpip −=Mostre que

( )⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

⎡=×=

δδδδδδδδδ

det.ε

3k2k1k

3j2j1j

3i2i1i

kjiijk eee

)δδδδ(δ)δδδδ(δ)δδδδ(δ 1k2j2k1j3i1k3j3k1j2i2k3j3k2j1i −+−−−

=

=

etc

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Produto Vectorial Triplo

( ) eew)(vu knmimnjkijknmmnjiijk wvuεεwvεuε ==××

( ) eknmiimkninkm wvuδδδδ −

ee kkmmknkn wvuwvu −

= (u.w) v-(u.v) w

=

=

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Produto Tensorial de dois vectores

é um tensor de 2ª ordem u v⊗ este tensor pode actuar num vector w.

A definição de produto tensorial está incluída na igualdade seguinte [ ] ( )uwvwvu ⋅=⊗

1. A cada para de vector ( )vu, com u∈E e v∈F, está associado um elemento

FE ⊗ , chamado produto tensorial de u por v e designado por vu ⊗ , de tal

modo que

a) ( ) 2121 v⊗+⊗=+⊗ uvuvvu (Lei Distributiva)

b) ( ) vuvuvuu ⊗+⊗=⊗+ 2121 "

c) ( ) ( ) ( )vuvuvu λ⊗=⊗λ=⊗λ (Lei Associativa)

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Produto Tensorial de dois vectores

2. Se { }p1 ..., ee for uma base de vectores de E e { }q1 ..., ff for uma base de

vectores de F, os pq vectores α⊗ fei constituem uma base de FE ⊗ (espaço

de dimensão pq).

As condições 1a) b) c) e 2 permitem-nos concluir que, com iiu eu = e

ααv fv = , o elemento vu⊗ do produto se pode escrever na forma

( ) ( ) ( )αααα ⊗=⊗=⊗ fefevu iiii vuvu

Base Tensorial

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Produto Tensorial de dois vectores

O produto tensorial dos vectores de base ji e ee do espaço tridimensional,

ji ee ⊗ representa um conjunto de tensores de 2ª ordem. Uma vez que o número de

vectores base é 3, existem 9 combinações de produtos tensoriais entre eles.

Os 9 tensores, ji ee ⊗ , constituem uma base adequada para representar as

componentes de um tensor de 2ª ordem e tem uma função semelhante aos vectores

base ie em relação aos vectores.

O produto tensorial de três vectores dá origem a um tensor de 3ª ordem e é:

wvu ⊗⊗=R

O produto tensorial é em geral não comutativo.

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Exemplo 1.5

O tensor A é um tensor cartesiano de ordem 2. Mostre que a projecção de A na base

ortogonal de vectores ei é definida de acordo com a relação seguinte

e.Ae jiijA =

onde Aij são as nove componentes do tensor A.

O produto eA j , de acordo com a definição de tensor de 2ª ordem, pode escrever-se

com a seguinte forma

( )eeeeA jnmmnj A ⊗=

De acordo com a definição [ ] ( )u v w v w u⊗ = . o segundo membro da equação

anterior pode ser alterado

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Exemplo 1.5

( ) ( ) eeeeeeeeeA mmjmnjmnmjnmnjnmmnj AAAA ==⋅=⊗= δ

Multiplicando escalarmente por ei ambos os membros da equação anterior obtém-se:

AAAA ijimmjmmj imi mjji ==⋅=⋅=⋅ δeeeeeAe

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Tensor de 2ª Ordem

O tensor de 2ª ordem T, pode ser expresso em termos das componentes Tij

relativas à base tensorial ji ee ⊗ , como sendo:

ou tendo em conta a convenção dos índices repetidos [ ]jiijT eeT ⊗= .

[ ]jiij

3

1j

3

1iT eeT ⊗= ∑∑

==

Nestas condições as quantidades Tij são valores escalares que dependem da base

escolhida para a sua representação. A parte tensorial de T está ligada à base de tensores

ji ee ⊗ .

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Tensor de 2ª Ordem

À semelhança do que acontece com os vectores, o tensor T, ele próprio não

depende do sistema de coordenadas escolhido, mas as suas componentes Tij dependem.

O tensor é completamente caracterizado pela sua acção nos três vectores base. A acção

do tensor T no vector base ke é: [ ] kjiijk T eeeeT ⊗=

[ ] ( ) ijkikjkji . eeeeeee δ==⊗iijk T eeT =

ijij vT evT = ( ) jiji vT=vTAcção do Tensor sobre um vector

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Adição de Tensores

A adição de vectores é uma operação já conhecida e já foi referida, a soma dos vectores resultantes do produto de um tensor de 2ª ordem por um vector, v, pode escrever-se com a seguinte forma

[ ] vPTvPvT

tensoresdesoma

+=+ [ ] jijijjijjij vPTvPvT +=+Ou

Consequentemente a soma dos tensores T + P referidos à mesma base tensorial é facilmente calculada da seguinte forma:

[ ] ijijij PT +=+PTÉ comutativa

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Multiplicação por um Escalar

A multiplicação de um vector, Tv, por um escalar, α, também é possível, sendo

[ ] [ ]α αT v T v= ou seja [ ] ijij TT αα =

A multiplicação por um escalar é uma operação distributiva

[ ] ijijij PT ααα +=+ PT

uTvvTu T⋅=⋅

A operação produto escalar seguinte não é comutativa

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Produto de Dois Tensores

[ ] [ ]PT v P T v=

[ ] [ ] ( ) ( ) ijkmmjikmjmjkiikijij vTPvTPv eeeeePT δ=⊗=

[ ]PT ij ik kjP T=

kjkiij

T TP=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ TP ( ) vTP.uvTP.uvT.uP TT

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡==

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Tensor Identidade

A norma do tensor A é designada por A é um valor não negativo que é igual à

raiz quadrada de A:A.

Tensor Identidade ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ⊗δ=⊗= jiijiiI eeee

O tensor T, tem um inverso, 1−T , tal que

( ) vvTT =−1 e ( ) vvTT =−1 sendo ITTTT 11 == −−

ijkj1

ik TT δ=−ij

1kjki TT δ=−

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M ostre que o ten sor A pode se r considerado igu a l à som a de um tenso r sim étrico com

um tensor an ti-sim étrico do segu in te m odo:

22AAAAA

TT −+

+=

Exemplo 1.6

Considere-se que a decomposição é feita de tal modo que A=B+C sendo 2

AABT+

= e

2AAC

T−= e pretende-se mostrar que B é simétrico e C anti-simétrico.

BB2

AA2

AA2

AAB T

ijji

Tjijijiij

Tijij

ij ==+

=+

=+

=

Consequentemente B é um tensor simétrico.

CC2

AA2

AA2

AAC T

ijji

Tjijijiij

Tijij

ij −=−=−

−=−

=−

=

Consequentemente C é um tensor anti-simétrico.

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Traço

O traço de um tensor A, é um escalar designado por trA que é igual à soma dos

elementos da diagonal da forma matricial do tensor de 2ª ordem,

trA= AAA 332211ii ++=A .

Em notação indicial a contracção significa, identificar dois índices e somar considerando os índices mudos. Em notação simbólica é caracterizada por um ponto entre os dois vectores. Além da contracção simples já referida, é possível considerar a contracção dupla de dois tensores A e B, caracterizada por dois pontos, da qual resulta um escalar. A contracção dupla pode ser definida em termos do traço do seguinte modo:

ABABBAABBABA :)(tr)(tr)(tr)(tr: TTTT =====

ABBA ijijijij =

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Propriedades da Contracção Dupla

I:A=trA=A:I

B:C)A(C:A)B((BC):A TT ==

A:v)(uAvuv)(u:A ⊗=⋅=⊗

y)w)(vuy)(w:v)(u ⋅⋅=⊗⊗ (

δδ( jlik=⋅⋅=⊗⊗ )ee)(ee)ee(:)ee( ljkilkji

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Exemplo 1.7

Mostre a partir da definição (1.34) que:

a) ( ) ABAB 111 −−− = b) ( ) ( )AAT 1 T1 −− =

Solução:

a) Multiplicando AB à esquerda por AB 11 −− , obtém-se:

IBBBIBBAAB === −−−−− 11111

consequentemente ( ) ABAB 111 −−− = .

b) ( ) ( ) IIAAAA TT11 T === −− T

Consequentemente ( ) ( )AAT 1 T1 −− =

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Produto Triádico

u⊗v⊗w

(u⊗v)⊗w=u⊗v⊗w

(u⊗v⊗w)x=(w⋅x)u⊗v

(u⊗v⊗w):(x⊗y)=(v⋅x)(w⋅y)u

(u⊗v⊗w):I=(v⋅w)u

Propriedades do Produto Triádico

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Contracção Dupla

A contracção dupla de um tensor de 3ªordem, A com um tensor de 2ª ordem,

B produz um vector, como se pode verificar:

( ) ( )eeeeeB mlkji ⊗⊗⊗= :B: lmijkAA

= ( )( )eeeee imklj ⋅⋅BlmijkA

= eiδδ kmjllmijk BA

= eiBjkijkA

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Mudança de Base

v e g= =v vj j j j'

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38

Mudança de Base

( ) 'jijiii

'iii vQvou.vv === geve

( ) iijjjij vv.v =δ=ee

jiijQ ge ⋅=Tensor de Transformação

[ ] [ ]jiijji'ij TT eeggT ⊗=⊗=

( ) ( )njmiijmnnm T'TT gegegg ⋅⋅==⋅

ijnjmi'mn TQQT =

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Invariantes

( ) ( )ijkjik TfT,Q,Qf =Os invariantes são tais que

Os invariantes do tensor, T, considerados fundamentais são

iiT TI =

jiijT TTII =

kijkijT TTTIII =

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Valores e Vectores Próprios

Tu = v vuT jjij = T.n = v vnT ijij =

T.n =λ n nnT ijij λ=sendo a direcção n chamada de direcção principal ou vector próprio de T e o escalar l chamado de valor principal ou valor próprio de T. As equações 1.53constituem um sistema de equações a que se pode dar a forma

0n)T( jijij =λ− δ

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Equação Característica

|T-λ I | = 0 0T ijij =λ− δ

0IIIIII TT2

T3 =−λ+λ−λ

iiT TtrI == T

( )[ ] [ ]jiijjjii22

T TTTT21)(trtr

21

II −=−= TT

k3j2i1ijkT TTTdetIII ε== T

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Campos Escalares, Vectoriais e Tensoriais

Um campo corresponde essencialmente a uma função que é definida num domínio contínuo. Uma função tensorial é uma função cujos argumentos são uma ou mais variáveis tensoriais cujos valores são escalares, vectores ou tensores. Um campo escalar está associado a uma função cujo valor para umponto x do domínio contínuo é um escalar, um campo vectorial está associado a um função cujo valor num ponto é um vector e um campo tensorial está associado a uma função cujo valor num ponto é um tensor. As funções f(A), u(A) e T(A) são exemplos de funções escalares, vectoriais e tensoriais de um tensor variável A. O tensor variável pode ser visto duma forma geral e pode ser um escalar, um vector ou um tensor de ordem superior.

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Gradiente de uma Função Escalar

( ) ( ) xxgradxxxxx d)(fdfde

xfdf j

j

⋅=⋅∇=⋅∂∂

=

Gradiente de uma função Escalar

Gradiente de uma função vectorial

eevv jij

ix x

vgrad ⊗∂∂

=⊗∇=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

=

xu

xu

xu

xu

xu

xu

xu

xu

xu

grad

3

3

2

3

1

3

3

2

2

2

1

2

3

1

2

1

1

1

x v

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Divergência de um vector

( )lim 1div d

0=

→ ∫x v.nvSV V

s

( ) ( ) )grad(trxv

xdiv ji

i

ji

i

veeexvxv x=⋅∂∂

=∂∂

=

Teorema da Divergência

∫∫ =Sv

dAdVdiv n.vv