Vectores Livres no Plano e no Espaço

uu

O vector livre representa todosos segmentos orientados que têm:

a mesma direcção

o mesmo sentido

o mesmo comprimento

O vector livre representa todosos segmentos orientados que têm:

a mesma direcção

o mesmo sentido

o mesmo comprimento

• Operações com vectores

1. Adição

u v

Regra do paralelogramo

u

v

vu

Regra do Triângulo:

u

v

vu

u

v

uv

Casos particulares• Mesma direcção e sentido

• Mesma direcção e sentido oposto

Propriedades da adição

u

v

vu

u

v

uv

• Propriedade Comutativa

uvvu

• Propriedade Associativa

wvuwvu

u

v

vu

w

wvu

u

v

wv

w

wvu

• Elemento Neutro

vovvo

• Simétrico

ovvvv

)()(

Nota:O vector nulo

tem direcção e sentido

indeterminados

Vectores Equipolentes: São vectores que têm a mesma

direcção, o mesmo sentido e o mesmo comprimento

Norma de um vector – Chama-se norma de um vector á medida de comprimento do vector e representa-se por || u ||

2. Produto de um número por um vector

Produto de um número k por um vector é um vector com:

• a mesma direcção de • a norma

• sentido

• Se ou então

v

v

vk

0 se - de

0 se de

kv

kv

0k ov

ovk

u

u

2

u

3

u

2

u

2

1

Propriedades

• Distributiva em relação à adição de vectores

vkukvuk

v

u

vu

vu

3

u

3

vu

33

v

3

Propriedades

• Distributiva em relação à adição de números

uhukuhk

u uuu

3232

u

5

u

2

u

3

uu

32

Propriedades

• Associativa

ubauba

u uu

623

u

2

u

6

u

6

3. Soma de um ponto com um vector

Au

u

B

BuA

uAB

A soma de um pontocom um vector é

um ponto

A diferença de dois pontos é um

vectorABAB

Dois vectores não colineares constituemUma base, porque é possível exprimir

Qualquer outro vector a partir destes dois

Dois vectores não colineares constituemUma base, porque é possível exprimir

Qualquer outro vector a partir destes dois

ef

Dois vectores não colineares constituemuma base, porque é possível exprimir

qualquer outro vector a partir destes dois

Dois vectores não colineares constituemuma base, porque é possível exprimir

qualquer outro vector a partir destes dois

ef

v

vfv

2

ev

1

fvevv

21

21 ,vvv

ef

v

v

fv

2

ev

1

fvevv

21

21 ,vvv

ef

v

v

fv

2

ev

1

fvevv

21

21 ,vvv

ef

v

vfv

2

ev

1

fvevv

21

21 ,vvv

ef

v

f

0 ev

1

fevv

01

0,1vv

v

01 v

ef

v

f

0

ev

1

fevv

01

0,1vv

v

01 v

ef

v

fv

2

e

0

fvev

20

2,0 vv

v

02 v

ef

v

fv

2 e

0

fvev

20

2,0 vv

v

02 v

ij

2,3v

P(3,2)

Norma de um VectorA norma de um vector é a medida de

comprimento desse vector e é dada por:

• Plano – sendo o vector u=(u1,u2) vem

|| u || =

• Espaço – sendo u=(u1,u2,u3,) vem

|| u || =22

22

1 3uuu

22

21 uu

e

f

Bases Ortonormadas

Referencial Ortonormado

1, fefefe

1,,0 fefefe

Só vectores

Pontos e vectores

NO PLANO

1e2e

Bases Ortonormadas

Referencial Ortonormado

Só vectores

Pontos e vectores

NO ESPAÇO

1,, 321321321 eeeeeeeee

1,,, 321321321 eeeeeeeeeO

3e

ij

BvA

A(-2,-2)

B(4,1)

A soma de um ponto com um vector é um ponto

1,43,62,2 BvA

Para somar um ponto com um vector,somam-se as respectivas coordenadas

1,43,62,2

ij

2,21,4 ABAB

A(-2,-2)

B(4,1)

3,621,24

A diferença de dois pontos é um vector

ij

vuw

A soma de dois vectores numa base

4,73,21,5 wvu

3,2v

1,5u

4,73,21,5

Para somar dois vectores, basta somarordenadamente as coordenadas

Propriedades da adição numa base ji ,

juiuu

21 jvivv

21

Propriedade Comutativa

juvivjuiuvu

2121

jvjuiviu

2211

jvuivu

2211

juviuv

2211

uv

uvvu

Verificam-se todas as propriedades da adição de vectores

ij

Produto de um número por um vector

v

6,92,333

2,3

vv

3 9

2

6

Para multiplicar um vector por um número,multiplica-se esse número pelas coordenadas