Escola Básica e Secundária Mouzinho da Silveira

Matemática A – 11.º AnoCondições com Vectores

Circunferência de diâmetro [AB]

A circunferência de diâmetro [AB] é o conjunto dos pontos do plano tais que

ExemploDetermine-se a equação cartesiana de uma circunferência a partir da sua condição vetorial.

Por exemplo, num referencial o.n. do plano, dada a circunferência de centro na origem e diâmetro , com e , um ponto pertence à circunferência sse satisfaz a condição

Assim, se tem-se:

E

�⃗�𝑃 ⋅ �⃗�𝑃=0⇔ (𝑥+1 ; 𝑦−1 ) ⋅ (𝑥−1 ;𝑦+1 )=0

⇔ (𝑥+1 ) (𝑥−1 )+( 𝑦−1 ) ( 𝑦+1 )=0

⇔𝑥2−1+𝑦 2−1=0

⇔𝑥2+𝑦2=2

A equação obtida é a equação da circunferência com centro em e raio

Superfície esférica de diâmetro [AB]

A superfície esférica de diâmetro [AB] é o conjunto dos pontos do espaço tais que

ExemploDetermine-se uma equação da superfície esférica da qual o segmento de reta é um diâmetro, sendo ) e

Sendo um ponto qualquer da superfície esférica, sabe-se que ocorrerá

Então:

E

�⃗�𝑃 ⋅ �⃗�𝑃=0⇔ (𝑥−1 ;𝑦−2 ; 𝑧+3 )⋅ (𝑥−4 ;𝑦 ; 𝑧+1 )=0

⇔ (𝑥−1 ) (𝑥−4 )+( 𝑦−2 ) 𝑦+(𝑧+3)(𝑧+1 )=0

⇔𝑥2−5 𝑥+ 𝑦2−2 𝑦+𝑧 2+2𝑧+7=0

Esta última é uma condição que define a superfície esférica de diâmetro .

é uma condição que define a esfera com o mesmo diâmetro.

Reta tangente a uma circunferência num dado ponto.Consideremos uma circunferência de centro no ponto e uma reta tangente à circunferência no ponto .

Sendo um ponto da reta tangente, temos , pelo que (condição que se verifica ainda que ). Então:

A reta tangente a uma circunferência de centro , no ponto , é o conjunto dos pontos do plano que satisfazem a condição

ExemploVejamos, agora, como determinar uma equação da reta tangente a um circunferência num dos seus pontos, conhecida a equação da circunferência.

Por exemplo, num referencial o.n. se considerarmos a circunferência centrada em e raio , a sua equação é

Por exemplo, as coordenadas de um ponto satisfazem a equação, pelo que pertence à circunferência. Determinemos uma equação da reta tangente à circunferência nesse ponto.

Ora, dado um ponto genérico da reta tangente, :

�⃗� 𝑃=𝑃−𝑇¿ (𝑥 ; 𝑦 )−(−1;7)¿ (𝑥+1; 𝑦−7 )

�⃗�𝑇=𝑇 −𝐶¿ (−1 ;7 )−(−4 ;3)¿ (3 ; 4 )

E

�⃗�𝑇 ⋅ �⃗�𝑃=0⇔3 (𝑥+1 )+4 ( 𝑦−7 )=0

⇔3𝑥+3+4 𝑦−28=0⇔4 𝑦=−3 𝑥+25

⇔ 𝑦=− 34 𝑥+254

Em conclusão, a equação reduzida da reta tangente à circunferência de equação no ponto de coordenadas é:

Plano tangente a uma superfície esférica num dado pontoO plano tangente a uma superfície esférica de centro no ponto é o conjunto dos pontos do espaço que satisfazem a condição