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Da Geometria Euclidiana aos Vectores Livres

Armando Machado

Índice

Introdução 2

1. Primeiras no 5ções básicas e primeiros axiomas

2. Axioma de separação do plano 14

3. Ângulos 20

4. Triângulos 36

5. Isometrias e Aplicações 64

6. Quadriláteros e Paralelogramos 77

7. Paralelismo e o Axioma das Paralelas 85

8. Teorema de Thales e semelhança 96

9. Outros resultados sobre isometrias; Translações e vectores 105

10. Ângulo de vectores, ortogonalidade, produto interno 133

11. Geometria da Circunferência 150

Apêndice 1. As funções trigonométricas dos Analistas 161

Novembro de 2005

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Introdução

Este texto é um ensaio de desenvolvimento da Geometria Euclidiana,do ponto de vista axiomático, tendo em vista chegar a uma definição dosvectores livres e ao estudo das suas propriedades algébricas. A via axiomáticaseguida é a introduzida por Moïse, E. E., Elementary Geometry from anAdvanced Standpoint, Addison-Wesley, 1990, e que se caracteriza pelaintrodução de axiomas métricos para os comprimentos e os ângulos (o axioma darégua e o do transferidor), baseados no preconhecimento das propriedades dosnúmeros reais.

Também baseados na via seguida por Moïse, existem pelo menos maisdois textos em língua portuguesa, o livro de Paulo Ventura Araújo, Curso deGeometria, publicado pela Gradiva em 1998, e o de A. J. Franco Oliveira,Geometria Euclidiana, publicado pela Universidade Aberta em 1995. O nossotexto difere destes em vários pontos. Em primeiro lugar é bastante menosambicioso, tendo como objectivo essencial chegar à noção de vector livre e aalgumas aplicações dos vectores livres à Geometria. Em segundo lugar ébastante mais detalhado nas demonstrações e nas referências a resultadosanteriores. Esta segunda característica torna-o mais pesado e, eventualmente,aborrecido, se for estudado na forma tradicional de um texto impresso, maspoderá ser útil se, como temos em vista, ele for utilizado no monitor docomputador, como ficheiro pdf, com as referências associadas a “links” queenviam, com possibilidade de retorno à origem, para os resultados citados.

Destacamos a seguir alguns pontos em que a nossa opção foi diferenteda tomada por Moïse e pelos autores portugueses atrás referidos.

Relativamente aos axiomas métricos, pareceu-nos pouco natural(apesar de perfeitamente legítimo do ponto de vista formal) ser dada como noçãoprimitiva uma função distância que associa a cada par de pontos do espaço umnúmero real. A existência de uma tal função distância privilegiada corresponde àideia de uma unidade de medida dada a priori, quando é certo que a nossaexperiência geométrica nos diz que uma tal unidade não existe. Preferimos assimtomar, em vez disso, como noção primitiva um conjunto “completo” de funçõesdistância, cada uma múltipla de qualquer outra, correspondendo às diferentesunidades de medida que é possível escolher. Se é verdade que disso resultouuma ligeira complicação para alguns enunciados, pareceu-nos ter ganho algumacoisa na compreensão geométrica do espaço e, mais geralmente com oestabelecimento de relações com a problemática dos diferentes tipos de grandezaem Física. Em particular um comprimento não é um número real mas umafamília de números reais indexada no conjunto das funções distância, família quedeve verificar uma condição de homogeneidade natural, e torna-se evidente quenunca pode ter significado geométrico, por exemplo, um resultado que afirme a

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igualdade de um comprimento com um produto de dois comprimentos. A partirde certa altura torna-se naturalmente conveniente, para não cair em exageros deformalismo, pressupor a fixação de uma função distância, por exemplo quandose discute o produto interno de dois vectores, mas pensamos que nessa altura jáserá claro para o leitor como se poderia proceder se se fizesse questão de nãofixar uma tal unidade de medida.

Escolhemos enunciar o axioma de separação do plano através daexigência de que uma certa relação no complementar duma recta num plano é deequivalência e tem duas classes de equivalência, que vão ser os semiplanosabertos. Esse enunciado pareceu-nos preferível àquele que afirma que ocomplementar referido é união de dois convexos verificando uma certa condiçãoe que são então os semiplanos abertos, por este último escamotear a necessidadede justificar que uma tal decomposição é única. Também constatámos que oresultado correspondente para a separação do espaço por um plano é um teoremae não necessita assim de ser tomado como um novo axioma.

Preferimos definir ângulo como um conjunto de duas semirrectas coma mesma origem, contidas em rectas distintas, em vez da união dessassemirrectas. Evitámos assim a necessidade de mostrar que os lados dum ângulosão semirrectas bem definidas. Dentro do mesmo espírito, preferimos definirtriângulo como um triplo ordenado de três pontos não colineares, o que nospermite simplificar o enunciado dos resultados envolvendo a congruência detriângulos.

Relativamente aos axiomas de medida dos ângulos, preferimos utilizarcomo unidade de medida o ângulo recto, em vez do grau. Se é verdade que omais cómodo a prazo seria utilizar desdo o início o radiano, partindo do número1 definido de forma analítica, isso pareceu-nos pouco natural, tal como nospareceu a utilização do grau. Constatámos também que um dos axiomas sobre amedição dos ângulos, aquele que afirma que a soma das medidas de dois ângulosadjacentes é igual a dois rectos, é de facto um teorema.

Apresentamos um estudo elementar das isometrias, definidas numarecta, num plano ou no espaço, e de algumas das suas propriedades, sempreocupações de fazer a classificação destas. Como exemplos fundamentais,começamos por apresentar as inversões, relativamente a um ponto, a uma rectaou a um plano, e utilizamo-las no estudo da perpendicularidade entre uma recta eum plano.

As translações são definidas como as isometrias que se podem obtercomo compostas de duas inversões pontuais e as suas propriedades fundamentaissão estabelecidas, em particular a de uma translação ficar bem definida quandose dá arbitrariamente a imagem de um ponto do espaço e o facto de o conjuntodas translações ser um grupo comutativo relativamente à operação decomposição. Os vectores livres são identificados com as translações e nãodefinidos como classes de equivalência de segmentos orientados, embora aposteriori a relação entre os dois modos de aproximação a esta noção fique clara

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e seja o espírito da segunda aproximação aquele que está presente quando sedefine o produto de um vector por um núero real. Em particular o vector éEF

Ä

definido como a única translação que aplica em , nomeadamente a compostaE Fda inversão relativamente a seguida da inversão relativamente ao ponto médioEdo par . São estudadas as propriedades de espaço vectorial nos vectoresÐEßFÑlivres e os subespaços vectoriais próprios e diferentes de são identificadosÖ!×como as rectas e os planos vectoriais. O prodto interno de vectores é definido,primeiro para vectores colineares e depois para vectores arbitrários, utilizandonesse caso a projecção ortogonal do segundo vector sobre a recta vectorialdefinida pelo primeiro, sendo provada a comutatividade e as propriedades debilinearidade.

O cosseno, primeiro de um par de vectores não nulos, e depois de umângulo, é definido a partir do produto interno, o que leva a alguma simplificaçãona discussão da questão do sinal. O seno é definido a partir do cosseno e sãoestabelecidas as fórmulas para o cosseno da soma de dois ângulos e, a partirdesta, para o cosseno da metade de um ângulo. Essa fórmulas são utilizadas, emparticular para relacionar as funções trigonométricas assim definidas com asdefinidas de modo analítico. Uma das definições analíticas das funçõestrigonométricas é apresentada num apêndice.

Referimos enfim que este trabalho necessitaria de uma revisão maiscuidada se o objectivo fosse o de uma publicação mais formal. Em particulartemos a consciência de que algumas notações alternativas são introduzidas, semque venham a ser utilizadas no seguimento, e que alguma propriedades técnicassão estabelecidas sem que a sua utilidade se viesse a confirmar posteriormente.

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1. Primeiras noções básicas e primeiros axiomas.

1.1 Supomos dados, como no(Primeiras noções primitivas) ções primitivas, umconjunto , cujos elementos são chamados , um conjunto deX eT pontospartes de , cujos elementos são chamados , um conjunto de partesX c< rectasde , cujos elementos são chamados , e um conjunto de aplica-X ! Yplanosções , cujos elementos são chamados ,.À ‚ Ä Ò!ß_ÒX X funções distânciasupondo-se verificados os axiomas que iremos descrevendo a seguir:

1.2 (Definições) Um conjunto (ou família) de pontos diz-se colinear(respectivamente ) se existir uma recta (respectivamentecomplanar < − eum plano ) que contenha todos os seus elementos. Dois subconjuntos! c−de dizem-se se a sua intersecção é um conjunto unitário .X concorrentes ÖT×

1.3 (Axiomas de incidência)a) O conjunto é não vazioX .b) Quaisquer que sejam , e são colineares e, no caso em queT ßU − T UXT Á U < − T ßU − < existe uma, e uma só, recta tal que .ec) Qualquer que seja a recta , existem com .< − T ßU − < T Á Ued) Quaisquer que sejam , , e são complanares e, no casoT ßUßV − T U VXem que eles não são colineares, existe um, e um só, plano ! c− , tal queT ßUßV − !.e) Qualquer que seja o plano , existe não colineares.! c !− T ßUßV −f) Quaisquer que sejam e , ou , ou , ou e são< − − < œ g < § <e ! c ! ! !concorrentes.g) Se então e não são concorrentes.! " c ! "ß −h) Existem não complanares.T ßUßVß W − X

Vamos agora tirar algumas consequências simples dos axiomas deincidência que agrupamos para uma melhor sistematização.

1.4 Sejam (Planaridade das rectas) ! c !− T ßU − T Á U um plano, com e< − T ßU − < < §e ! tal que . Então .Dem: Uma vez que e e não são concorrentes, resulta do< Á g <! !axioma que f) em 1.3 < § Þ!

1.5 (Os pontos são distintos)a) Se são não colineares, então são três pontos distintos.T ßUßVb) Se T ßUßVß W são não complanares, então são quatro pontos distintos.Dem: Se dois dos três pontos são iguais, resulta do axioma quea) b) em 1.3os pontos são colineares.b) Se dois dos quatro pontos são iguais, resulta do axioma que osd) em 1.3pontos são colineares.

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1.6 (Resultados de existência)a) Para cada , existe uma recta e um plano T − < −X e ! c− tais queT − < T − e . Em particular, e! xistem rectas e existem planos ( ee Á gc Á g).b) Para cada recta e cada , existe com .< − T − < U − < U Á Tec) Para cada recta , existe um plano < − e ! c !− < § Þ tal que d) Para cada recta e plano , existe com .< − − T − T  <e ! c !e) Para cada plano , existe com ! X !T − T  Þf) Para cada plano ! c ! !− T − >ß < § T − > e cada , existem rectas com eT  <.Dem: Trata-se de uma consequência de ser não vazio e dos axiomas a) X b) ed) em 1.3 (no primeiro caso com e no segundo com ).U œ T U œ V œ Tb) Pelo axioma , existem com , pelo que bastac) em 1.3 VßW − < V Á Wtomar para um destes dois pontos.Uc) Sejam com . Tendo em conta o axioma , existeT ßU − < T Á U d) em 1.3um plano contendo os pontos e resulta então de que .! !T ßUßU < §1.4d) Se isso não acontecesse, qualquer subconjunto de estava contido em ,! <sendo assim colinear, o que contrariava o axioma .e) em 1.3e) Se isso não acontecesse, qualquer subconjunto de estava contido em ,X !sendo assim complanar, o que contrariava o axioma .h) em 1.3f) Sejam, pelo axioma , não colineares, em particulare) em 1.3 UßVß W − !todos distintos. Um deles, por exemplo , é distinto de e, sendo aU T > − eúnica recta tal que (cf. o axioma ), resulta de queT ßU − > b) em 1.3 1.4> § !. Mais uma vez pelo axioma , podemos considerar a únicab) em 1.3recta tal que e a única recta tal que , rectas< − UßV − < = − Uß W − =e epara as quais, mais uma vez por , se tem e . Tem-se ,1.4 < § = § < Á =! !sem o que eram colineares, e portanto, por ser , a parte deUßVß W T Á Uunicidade no axioma implica que não pode pertencer a ambas asb) de 1.3 Trectas e , por exemplo .< = T  <

1.7 (Resultados de inclusão e de intersecção)a) , tem-se .Dados com <ß = − <e § = < œ =b) Dados com , tem-se .! " c ! " ! "ß − § œc) Dados , com , e , então e são concorrentes.<ß = − < Á = < = Á g < =ed) Dados com e , tem-se que é uma recta.! " c ! " ! " ! "ß − Á Á g Dem: Pelo axioma , podemos considerar em , e portantoa) c) em 1.3 T Á U <em , e então resulta do axioma que .= < œ =b) em 1.3b) Pelo axioma , podemos considerar não colineares em ,e) em 1.3 T ßUßV !e portanto em , e então resulta do axioma que ." ! "d) em 1.3 œc) Sendo , se as rectas não fossem concorrentes, existia ,T − < = U Á Tcom , então, pelo axioma , tinha-se .U − < = < œ =d) em 1.3d) Suponhamos que e seja . Pelo axioma ! " ! " Á g T − g) em 1.3existe com . Pelo axioma , existe uma única rectaU − T Á U! " b) em 1.3< T ßU − < < § tal que e, por , tem-se então . Se não fosse1.4 ! "< œ V − V  < <! " ! ", existia tal que . Uma vez que é a única recta

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que contém e , segue-se que são não colineares e portanto, peloT U T ßUßVaxioma , vinha .d) em 1.3 ! "œ

1.8 (Outras formas de “definir” um plano)a) Se e , então existe um, e um só < − T  <e ! c ! !− < § T − tal que e .b) Se concorrentes, tal que e .<ß = − − < § = §e ! c ! ! há um, e um só Dem: Sejam com . Uma vez que é a única recta quea) UßV − < U Á V <contém e e , segue-se que são não colineares e assim,U V T  < T ßUßVpelo axioma , existe um único plano que contém .d) em 1.3 ! c− T ßUßVPor , tem-se e a unicidade de contendo e resulta de que1.4 < § < T! !qualquer plano nessas condições também contém e .U Vb) Seja . Pelo axioma , existe com . Do< = œ ÖT× U − < U Á Tc) em 1.3mesmo modo, existe com . O facto de ser implicaV − = V Á T < = œ ÖT×que . Pelo que vimos em a), existe um único plano tal que eV  < < §! !V − = §! ! e, por , tem-se também . A unicidade resulta da unicidade em1.4a) e de que qualquer plano que contivesse e , continha também .< = V

Vamos agora introduzir os axiomas que fazem intervir a classe deYfunções-distância.

1.9 (Axiomas métricos)a) (Primeiro axioma da conformalidade) Quaisquer que sejam .ß .w − Y ,existe em tal que , isto é, , quaisquer- ! . œ -. . ÐT ßUÑ œ -.ÐT ßUÑ‘ w w

que sejam .T ßU − Xb) (Segundo axioma da conformalidade) Quaisquer que sejam e. − Y- ! . œ -. − em , .‘ Yw

c) (Axioma de régua graduada) Para cada recta , existe uma bijecção< − e0 À < Ä . −‘ Y tal que, para um certo , se tenha, quaisquer que sejamT ßU − .ÐT ßUÑ œ l0ÐUÑ 0ÐT ÑlX, .

1.10 (Definição) A uma bijecção , que verifique as condições do0 À < Ä ‘axioma , damos o nome de da recta ou, sec) em 1.9 sistema de coordenadas <quisermos ser mais precisos, o de . Ao ponto.-sistema de coordenadasS œ 0 Ð!Ñ" dá-se o nome de do sistema de coordenadas.origem

1.11 (Propriedades das funções-distância) Cada função-distância . − Yverifica as propriedades e ..ÐT ßUÑ œ .ÐUß T Ñ .ÐT ßUÑ œ ! Í T œ U 1

Dem: Dados , podemos escolher uma recta com , e umT ßU − < T ßU − <X. 0 À < Ä .w w-sistema de coordenadas . Para a função distância , a igualdade‘. ÐT ßUÑ œ l0ÐUÑ 0ÐT Ñl . ÐT ßUÑ œw w implica imediatamente que se tem . ÐUß T Ñ . ÐT ßUÑ œ ! Í T œ Uw w e . O facto de as mesmas propriedadesserem verificadas por qualquer função distância é uma consequência.imediata do axioma a) em 1.9.

1Repare-se que, tendo em conta o axioma a), se uma das funções-distância verifica esta.propriedade, o mesmo acontece com todas as outras.

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1.12 Sejam (Mudança de sistema de coordenadas I) 0 À < Ä .‘ um -sistemade coordenadas. Tem-se então:a) Se , então a bijecção definida por é- − Ï Ö!× 1À < Ä 1ÐT Ñ œ -0ÐT Ñ‘ ‘um -sistema de coordenadas com a mesma origem. Em particular, paraÐl-l .Ñ

cada , a recta admite um -sistema de coordenadas.. − < .s sYb) Se , então a bijecção definida por é um+ − 2À < Ä 2ÐT Ñ œ 0ÐT Ñ +‘ ‘. 0 Ð+Ñ-sistema de coordenadas com origem ."

Dem: De ser , sai ainda e vemos quea) 0ÐSÑ œ ! 1ÐSÑ œ !

l1ÐUÑ 1ÐT Ñl œ l-Ð0ÐUÑ 0ÐT Ñl l-ll0 ÐUÑ 0ÐT Ñl œ l-l .ÐT ßUÑ.

A última afirmação resulta de que qualquer é da forma , para algum. − -.s Y- !.b) Tem-se e2Ð0 Ð+ÑÑ œ 0Ð0 Ð+ÑÑ + œ !" "

l2ÐUÑ 2ÐTÑl œ l0ÐUÑ + 0ÐT Ñ +l œ l0ÐUÑ 0ÐT Ñl œ .ÐT ßUÑ.

1.13 Seja (Lema) : ‘ ‘ :À Ä Ð!Ñ œ ! uma aplicação tal que e que, quaisquerque sejam , . Tem-se então que ou Bß C − l ÐBÑ ÐCÑl œ lB Cl œ M.‘ : : : ‘

ou .: œ M.‘Dem: Para cada , vemB − ‘

l ÐBÑl œ l ÐBÑ Ð!Ñl œ lB !l œ lBl: : : ,

e portanto, ou ou . É claro que, para tem-se: :ÐBÑ œ B ÐBÑ œ B B œ !simultaneamente e , pelo que, se não fosse : : :ÐBÑ œ B ÐBÑ œ B œ M.‘nem , existiam e tais que e .: : :œ M. B Á ! C Á ! ÐBÑ œ B ÐCÑ œ C‘

Podíamos então escrever

lB Cl œ l ÐBÑ ÐCÑl œ lB Cl: : ,

portanto, ou ou ; no primeiro caso vinha B C œ B C B C œ C B C œ !e no segundo vinha , pelo que, em ambos os casos, chegámos a umB œ !absurdo.

1.14 Sejam uma recta,(Mudança de sistema de coordenadas II) < − e

.ß .s − 0À < Ä .Y ‘ duas funções-distância, um -sistema de coordenadas e0 À < Ä . - − Ï Ö!× + −s s‘ ‘ ‘ um -sistema de coordenadas. Existem então e únicos tais que, qualquer que seja ,T − <

0ÐT Ñ œ -0ÐT Ñ +s ,

tendo-se então .. œ l-l .s

Dem: Seja tal que e ponhamos . Seja- ! . œ - . + œ 0Ð0 Ð!ÑÑs sw w "

: ‘ ‘À Ä a aplicação definida por

:ÐBÑ œ 0Ð0 Ð ÑÑ +s B

-"

w.

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Tem-se e:Ð!Ñ œ !

l ÐBÑ ÐCÑl œ l0Ð0 Ð ÑÑ + 0Ð0 Ð ÑÑ +l œs sB C

- -

œ l0Ð0 Ð ÑÑ 0Ð0 Ð ÑÑl œ .Ð0 Ð Ñß 0 Ð ÑÑ œs sB C B C

- - - -s

œ - .Ð0 Ð Ñß 0 Ð ÑÑ œ - l B C B C

- - - -

: : " "w w

" " " "w w w w

w " " ww w w w

l œ lB Cl.

Podemos assim concluir, pelo lema precedente, que, ou , ou: œ M.‘: œ M. - œ - T − <‘. No primeiro caso, pondo , vem, para cada ,w

considerando ,B œ - 0ÐT Ñw

-0ÐT Ñ œ B œ ÐBÑ œ 0ÐT Ñ +s: ,

isto é, . No segundo caso, pondo , vem, para cada0ÐT Ñ œ -0ÐT Ñ + - œ -s w

T − < B œ - 0ÐT Ñ, considerando ,w

-0 ÐT Ñ œ B œ ÐBÑ œ 0ÐT Ñ +s: ,

isto é, . Tem-se assim, em ambos os casos, 0ÐT Ñ œ -0ÐT Ñ + 0ÐT Ñ œs s

-0ÐT Ñ + l-l œ - . œ l-l .s, com , e portanto . Quanto à unicidade, se forw

0 ÐT Ñ œ -0ÐT Ñ + T + œ 0Ð0 Ð!ÑÑs s, para todo o , tem-se necessariamente "

e, escolhendo tal que , tem-se necessariamente .T 0ÐT Ñ Á ! - œ 0ÐT Ñ+s

0ÐT Ñ

1.15 Sejam uma recta e com . Existe então um, e um só,< − SßT − < S Á Te

sistema de coordenadas 0s sÀ < Ä S 0ÐT Ñ œ "‘ com origem e tal que (osistema de coordenadas de por ).< S Tde origem determinadoDem: Seja um sistema de coordenadas arbitrário. Tendo em conta0 À < Ä ‘1.12 1.14 e , existe uma correspondência biunívoca entre pares Ð-ß +Ñ −Ð Ï Ö!×Ñ ‚ < Ð-ß +Ñ‘ ‘ e sistemas de coordenadas de , que a cada associa osistema de coordenadas definido por . As0 À < Ä 0ÐUÑ œ -0ÐUÑ +s s‘

condições de ser a origem de e de se ter são assimS 0 0ÐT Ñ œ "s s

equivalentes a e , condições que implicam! œ -0ÐSÑ + " œ -0ÐT Ñ +que , portanto , e daqui-Ð0ÐT Ñ 0ÐSÑÑ œ " - œ "

0ÐT Ñ0ÐSÑ

+ œ -0ÐSÑ œ 0ÐSÑ

0ÐT Ñ 0ÐSÑ.

Por outro lado, se tomarmos

- œ + œ " 0ÐSÑ

0ÐT Ñ 0ÐSÑ 0ÐT Ñ 0ÐSÑ, ,

tem-se efectivamente e .-0ÐSÑ + œ ! -0ÐT Ñ + œ "

1.16 Dada uma recta , diz-se que uma(Ordens lineares numa recta) < − erelação de ordem total em é uma se, para algum sistemaŸ < ordem linear

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de coordenadas , vem, para cada , 0 À < Ä T ßU − < T Ÿ U Í‘0ÐT Ñ Ÿ 0ÐUÑ.Existem então em duas, e só duas, ordens lineares e , uma oposta da< Ÿ Ÿ w

outra, isto é, com .T Ÿ U Í U Ÿ Tw

Dem: Fixado um sistema de coordenadas , podemos definir uma0 À < Ä ‘ordem total em por transporte da ordem total usual de , isto é, pondoŸ < ‘T Ÿ U Í 0ÐT Ñ Ÿ 0ÐUÑ. Considerando o novo sistema de coordenadas0À < Ä Ÿ‘ (cf. ), obtemos, a partir dele uma nova ordem linear ,1.12 w

para a qual se tem

T Ÿ U Í 0ÐT Ñ Ÿ 0ÐUÑ Í 0ÐUÑ Ÿ 0ÐT Ñ Í U Ÿ Tw ,

sendo assim a ordem inversa da primeira. Sendo agora um sistema0 À < Äs ‘de coordenadas arbitrário, sabemos, por , que existe e 1.14 - − Ï Ö!× + −‘ ‘

tais que . Tem-se então, se ,0ÐT Ñ œ -0ÐT Ñ + - !s

0ÐT Ñ Ÿ 0ÐUÑ Í 0ÐT Ñ Ÿ 0ÐUÑ Í T Ÿ Us s

e, se ,- !

0ÐT Ñ Ÿ 0ÐUÑ Í 0ÐUÑ Ÿ 0ÐT Ñ Í U Ÿ Ts s ,

pelo que, em qualquer caso, a ordem linear associada a é a ordem ou a0 Ÿs

sua oposta.

1.17 Por defini(Propriedades das ordens lineares) ção, uma ordem linear deuma recta é isomorfa à ordem usual de e, consequentemente, goza das< ‘propriedades que aquela tem. Por exemplo, fixada uma ordem linear de :<a) Para cada , existe com e ;T − < UßV − < U T T Vb) Dados , com , existe tal que .T ßU − < T Á U V − < T V U

1.18 (Definições) a) Dados com , notamos , ou a únicaT ßU − T Á U TU TUÇ

Xrecta tal que .< T ßU − <b) Dados com , podemos considerar a única ordem linear naT ßU − T Á UXrecta para a qual e definimos a < œ TU T U Tsemirrecta de de origem<determinada por determinada pela ordem linear (ou referida), queU

notamos ou , como sendo o conjunto dos tais que .•TU TU V − < T Ÿ VÛ

c) Dados com , podemos considerar a única ordem linear naT ßU − T Á UXrecta para a qual e definimos o de< œ TU T U segmento de rectaextremidades e , notado ou , como sendo o conjunto dosT U ÒT ßUÓ TUpontos tais que .V − < T Ÿ V Ÿ UPara cada , definimos também , embora não chamemosT − ÒT ß T Ó œ ÖT×Xsegmento de recta a este conjunto.d) Dados pontos , vamos notar a família .T ßU − lTUl Ð.ÐT ßUÑÑX .−Y

1.19 Dada uma recta e um ponto ,(Propriedades das semirrectas) a) < T − <existem duas, e só duas, semirrectas de de origem . Fixada uma ordem< Tlinear em , essas semirrectas são respectivamente o conjunto dosŸ < <

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V − < T Ÿ V < V − < V Ÿ T tais que e o conjunto dos tais que (a primeira

é a associada a essa ordem linear e a segunda a associada à ordem linearoposta) . Dado com , a semi-recta 2 U − < T Á U TU

Û é a única semirrecta de< U que contém .b) Dada uma recta e um ponto , a intersecção das duas semirrectas de< T − << T ÖT× < de origem é o conjunto e a sua união é .c) Um mesmo conjunto não pode ser semirrecta de mais que uma recta e aorigem de uma semirrecta é um elemento bem definido.d) Se é uma semirrecta de origem e se é uma fun< S . − Y ção distância,então, para cada em , existe um, e um só, tal que+   ! T − <‘

.ÐSß T Ñ œ + T ßU − < T − ÒSßUÓ. Além disso, dados , tem-se se, e só se

.ÐSß T Ñ Ÿ .ÐSßUÑ.Dem: As conclusões de a) e de b) resultam imediatamente das definições. Ofacto de um mesmo conjunto não poder ser semirrecta de mais que uma rectaresulta de que uma semirrecta tem pelo menos dois pontos. O facto de aorigem de uma semirrecta ser um elemento bem definido vem de que, fixadauma ordem linear na recta correspondente, ou a origem é um elementomínimo da semirrecta e esta não tem máximo, ou a origem é um elementomáximo da semirrecta e esta não tem mínimo. Quanto a d), tendo em conta aalínea a) de , podemos fixar um -sistema de coordenadas da1.12 . 0 À < Ä ‘recta que contém e então, substituindo eventualmente por , é< < 0 0 <

formado pelos pontos tais que . Considerando em aU − < 0ÐUÑ   0ÐSÑ <ordem linear determinada por (cf. ), o único ponto nas condições0 T1.16pedidas é e tem-se se, e só se, se,0 Ð0ÐSÑ +Ñ T − ÒSßUÓ 0ÐT Ñ Ÿ 0ÐUÑ"

e só se, . .ÐSß T Ñ œ 0ÐT Ñ 0ÐSÑ Ÿ 0ÐUÑ 0ÐSÑ œ .ÐSßUÑ

1.20 Dada uma recta e (Propriedades dos segmentos de recta) a) < T ßU − <com , tem-seT Á U

ÒT ßUÓ œ ÒUß T Ó œ TU UTÛ Û .

b) Tem-se , em particular um segmento de recta está contidoT ßU − ÒT ßUÓnuma única recta.c) Fixada uma ordem linear da recta , tem-se que, ou é o mínimo doTU Tsegmento e é o seu máximo, ou é o máximo do segmento ÒT ßUÓ U T ÒT ßUÓe é o seu mínimo. Em particular, as dum segmento de rectaU extremidadessão pontos bem definidos, embora não esteja bem definido qual a“extremidade esquerda” e qual a “extremidade direita”.d) Dada uma recta e três pontos distintos de , verifica-se< − T ßUßV <euma, e uma só, das propriedades seguintes: , ,T − ÒUßVÓ U − ÒT ßVÓV − ÒT ßUÓ.e) Dados , tem-se VßW − ÒVß WÓTU § TU

Û Û .

2Repare-se que só é possível escolher qual a semirrecta notada e qual a notada se< <

fixarmos uma das ordens lineares em ; se trocarmos a ordem linear, as duas notações<vêm trocadas.

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f) Dados , tem-se VßW − ÒT ßUÓ ÒVß WÓ § ÒT ßUÓ.g) Se , com , então = .V − TU V Á T TU TV

Û Û Û

h) Dados e , com , tem-se .T Á U V − ÒT ßUÓ V Á U VU § TUÛ Û

i) Dado , tem-se , com V − ÒT ßUÓ ÒT ßUÓ œ ÒT ßVÓ ÒVßUÓ ÒT ßVÓ ÒVßUÓœ ÖV×Þ

Dem: Trata-se de consequências imediatas das definições.

1.21 Dados , tem-se se, e só se, existe umaT ßUßVß W − lTUl œ lVWlX

fun tal que . Mais geralmente, tem-seção-distância . − .ÐT ßUÑ œ .ÐVß WÑs s sYlTUl Ÿ lVWl .ÐT ßUÑ Ÿ .ÐVß WÑ . (no sentido de ser , para cada se, e só se,)existe uma fun tal que e, dadoção-distância . − .ÐT ßUÑ Ÿ .ÐVß WÑs s sY+   ! lTUl œ +lVWl .ÐT ßUÑ œ + .ÐVß WÑ, tem-se (no sentido de ser , paracada ) se, e só se, existe uma fun tal que . . − .ÐT ßUÑ œ +ção-distância s sY

.ÐVß WÑs .Dem: Trata-se de consequências imediatas de, dadas duas funções-distância.ß . − - ! . œ -.s sY , existir uma constante tal que .

1.22 Dados , diz-se que os(Congruência de pares de pontos) T ßUßVß W − Xpares ordenados e são se se tem .ÐT ßUÑ ÐVß WÑ lTUl œ lVWlcongruentes

1.23 Tendo em conta a definição de congruência e a propriedade , é1.11imediato que a relação de congruência entre pares ordenados de pontos de Xé uma relação de equivalência e que e são sempreÐT ßUÑ ÐUß T Ñcongruentes. Tendo em conta o mesmo axioma, vemos também que se temlTT l œ ! (no sentido de se tratar da família constante com todos os termos! ÐT ßUÑ ÐVßVÑ T œ U) e que é congruente a se, e só se, .3

1.24 Diz-se que dois segmentos de recta e são se osÒT ßUÓ ÒUßVÓ congruentespares de pontos e forem congruentes.ÐT ßUÑ ÐUßVÑRepare-se que esta definição faz sentido uma vez que, como vimos, umsegmento de recta determina o conjunto das suas extremidades e que ÐT ßUÑe são congruentes.ÐUß T Ñ

1.25 Sejam e (As funções-distância restritas a uma recta) . − < −Y efixadas. Dados , com , para cada são equivalentes asT ßU − < T Á U V − <propriedades:1) ;V − ÒT ßUÓ2) .ÐT ßUÑ œ .ÐT ßVÑ .ÐVßUÑà

3) , isto é, , para todo olTUl œ lTVl lVUl .ÐT ßUÑ œ .ÐT ßVÑ .ÐVßUÑs s s

.s − Y .Além disso, quando , tem-se mesmo V Â ÒT ßUÓ lTUl lTVl lVUl, istoé, , para todo o .ÐT ßUÑ .ÐT ßVÑ .ÐVßUÑ .s s s s − Y .Dem: A equivalência entre 2) e 3) é uma consequência imediata do axioma

3Pelo contrário, quando , não é uma família contante, e portanto não podeT Á U lTUlser caracterizado como um número real.

– 13–

a) em 1.9, tal como o facto de se ter lTUl lTVl lVUl se for.ÐT ßUÑ .ÐT ßVÑ .ÐVßUÑ ., para algum − Y . Consideremos então,para fixar ideias, um -sistema de coordenadas de , tal que. < 0 À < Ä ‘0ÐT Ñ œ ! 0ÐUÑ œ " V − ÒT ßUÓ ! Ÿ 0ÐVÑ Ÿ " e (cf. ). Se , tem-se , e1.15então

.ÐT ßUÑ œ " œ 0ÐVÑ Ð" 0ÐVÑÑ œ .ÐT ßVÑ .ÐVßUÑ.

Por outro lado, se , ou , ou . No primeiro casoV Â ÒT ßUÓ 0ÐVÑ " 0ÐVÑ !tem-se

.ÐT ßUÑ œ " 0ÐVÑ œ .ÐT ßVÑ Ÿ .ÐT ßVÑ .ÐVßUÑ,

e, no segundo caso, tem-se

.ÐT ßUÑ œ " " 0ÐVÑ œ .ÐVßUÑ Ÿ .ÐT ßVÑ .ÐVßUÑ.

1.26 Sejam e com .(O ponto médio de um segmento) < − T ßU − < T Á UeExiste então um, e um só, ponto tal que (condiQ − < lQT l œ lQUl çãoequivalente à de se ter , para algum ). Tem-se.ÐQßT Ñ œ .ÐQßUÑ . − YQ − ÒT ßUÓ lQT l œ lTUl, e portanto . Para cada sistema de coordenadas"

#

0 À < Ä 0ÐQÑ œ‘, tem-se .0ÐT Ñ0ÐUÑ#

Nas condições anteriores diz-se que é o do par (ou doQ ÐT ßUÑponto médiosegmento de recta ). Por extensão, quando , definimos o ÒT ßUÓ T œ U pontomédio do par como sendo , que verifica trivialmenteÐT ßUÑ Q œ T œ Uainda as propriedades , e, para cadaQ − ÒT ßUÓ œ lTUllQT l œ lQUl "

#

sistema de coordenadas , .0 À < Ä 0ÐQÑ œ‘ 0ÐT Ñ0ÐUÑ#

Dem: A equivalência entre a condição de se ter lQT l œ lQUl e a de se ter.ÐQßT Ñ œ .ÐQßUÑ . −, para algum , é uma consequência imediata doYaxioma a) em 1.9. Seja um -sistema de corrdenadas. A condição0 À < Ä .‘.ÐQßT Ñ œ .ÐQßUÑ é então equivalente a

l0 ÐQÑ 0ÐT Ñl œ l0ÐQÑ 0ÐUÑl,

ou seja, à verificação de alguma das condições

0ÐQÑ 0ÐT Ñ œ 0ÐQÑ 0ÐUÑ

0ÐQÑ 0ÐT Ñ œ 0ÐUÑ 0ÐQÑ.

A primeira condição é impossível, uma vez que , pelo que0ÐT Ñ Á 0ÐUÑficamos reduzidos à condição que é, de0ÐQÑ 0ÐT Ñ œ 0ÐUÑ 0ÐQÑfacto, verificada por um único , a saber, o definido porQ

0ÐQÑ œ0ÐT Ñ 0ÐUÑ

#.

Esta condição implica que, se , então e0ÐT Ñ 0ÐUÑ 0ÐT Ñ 0ÐQÑ 0ÐUÑque, se , então , em qualquer caso0ÐUÑ 0ÐT Ñ 0ÐUÑ 0ÐQÑ 0ÐT Ñ

– 14–

tem-se . Em particular, pelo resultado precedente, tem-seQ − ÒT ßUÓ

lTUl œ lTQl lQUl œ #lQT l,

portanto .lQT l œ lTUl"#

2. Axioma de separação do plano.

2.1 Seja um subconjunto de . Definimos então uma(A relação segmental) V Xrelação em (a que damos o nome de em ) , pondoµ V Vrelação segmental 4

T µ U Í ÒT ßUÓ § V (cf. a alínea ).c) de 1.18Esta relação é trivialmente reflexiva e simétrica (lembrar que eÒT ß T Ó œ ÖT×que ) mas só em casos particulares será uma relação deÒT ßUÓ œ ÒUß T Óequivalência.

2.2 Dizemos que um conjunto V § X V é se a relação segmental em forconvexoa relação universal, isto é, se, quaisquer que sejam , tem-seT ßU − VÒT ßUÓ § V.Repare-se que, para verificar que um conjunto é convexo basta trivialmenteVverificar que, para em , tem-se .T Á U ÒT ßUÓ §V V

2.3 (Propriedades dos conjuntos convexos)a) O espaço todo , o vazio e um conjunto unitário são conjuntosX g ÖT×convexos.b) Uma intersecção arbitrária de conjuntos convexos é um conjunto convexo.c) Um plano é um conjunto convexo.! c−d) Uma recta é um conjunto convexo.< − e

e) Uma semirecta é um conjunto convexo.TUÛ

f) Um segmento de recta é um conjunto convexo.ÒT ßUÓDem: as alíneas a) e b) são triviais, no caso do conjunto unitário atendendo àobservação no segundo parágrafo de . A alínea c) resulta de que, dados2.2T Á U < œ TU em , concluímos de que a recta está contida em , e! !1.4portanto . A alínea d) resulta de que, dados em ,ÒT ßUÓ § < § T Á U <!

4Reparar que esta relação depende do conjunto .V

– 15–

tem-se . As alíneas e) e f) resultam das alíneas homónimas daÒT ßUÓ § <propriedade .1.20

2.4 Dizemos que um conjunto V § T −X X é cónico relativamente a um pontose se tem e, para todo o com , .T − U − U Á T TU §V V V

Û

2.5 (Propriedades dos conjuntos cónicos)a) Dado , o espaço todo e o conjunto unitário são cónicosT − ÖT×X Xrelativamente a .Tb) Uma intersecção arbitrária de conjuntos cónicos relativamente a é umTconjunto cónico relativamente a .Tc) Um plano é um conjunto cónico relativamente a qualquer ponto .! !T −d) Uma recta é um conjunto cónico relativamente a qualquer ponto .< T − <

e) Uma semirrecta é um conjunto cónico relativamente a .TU TÛ

Dem: Trata-se de consequências imediatas das definições se recordarmos,para a alínea c), que dado em , a recta está contida em .U Á T TU! !

2.6 (Quando a relação segmental é de equivalência) Seja um conjuntoV X§cuja relação segmental associada seja de equivalência. Tem-se então que ascorrespondentes classes de equivalência são conjuntos convexos.Dem: Basta atender a que, se estão numa mesma classe deT ßU − Vequivalência, tem-se , portanto e então também estáT µ U ÒT ßUÓ § ÒT ßUÓVcontido na classe de equivalência, visto que, para cada , tem-seV − ÒT ßUÓÒT ßVÓ § ÒT ßUÓ § T µ VV (cf. a alínea ), e portanto .f) de 1.20

2.7 Sejam uma recta e um(Teorema de separação da recta) < − S − <eelemento fixado. Sejam e as duas semirrectas de de origem (cf.< < < S

1.19). Tem-se então que:a) A relação segmental em é uma relação de equivalência com duas< Ï ÖS×classes de equivalência, os conjuntos e .< Ï ÖS× < Ï ÖS×

b) Se e , então .T − < Ï ÖS× U − < Ï ÖS× S − ÒT ßUÓ

Dem: Fixemos em uma das suas duas ordens lineares e sejam e as< < <

semirrectas constituídas respectivamente pelos pontos com e porT S Ÿ Taqueles com . Sendo , portanto e ,T Ÿ S T ßU − < Ï ÖS× S T S U

tem-se trivialmente , para cada , portanto S V V − ÒT ßUÓ ÒT ßUÓ §< Ï ÖS× T µ U , o que mostra que . Analogamente se verifica que, paraT ßU − < Ï ÖS× T µ U T − < Ï ÖS× U − < Ï ÖS× se tem . Por fim, se e ,tem-se e , portanto , em particular .T S S U S − ÒT ßUÓ T µÎ U

2.8 Sejam (Axioma da separação do plano) ! c e− < − um plano e umarecta com . Tem-se então que a relação segmental em é uma< § Ï <! !relação de equivalência, com duas classes de equivalência eÐ Ï <Ñ!

Ð Ï <Ñ <! !, a que damos o nome de de com bordo .semiplanos abertos 5

5Como anteriormente, nenhum dos semiplanos é privilegiado pelo que os índices e são de atribuição arbitrária.

– 16–

Chamamos de com bordo aos subconjuntos de semiplanos ! !<

! ! ! ! œ Ð Ï <Ñ < œ Ð Ï <Ñ <, .

2.9 (Definição) Sejam uma recta e um ponto, tais que .< − T − T Â <e XConsiderando o único plano que contém e (cf. a alínea ),! < T a) de 1.8notamos o semiplano de de bordo que contém o ponto .<T < T

Û!

2.10 Nas hipóteses de , se e , então 2.8 T − Ð Ï <Ñ U − Ð Ï <Ñ ÒT ßUÓ < Á g! !

e as rectas e são concorrentes (isto é, têm intersecção reduzida a= œ TU <um ponto) e portanto também e são concorrentes.ÒT ßUÓ <

PQ

r

s

Dem: Uma vez que e , vem . UmaÒT ßUÓ § Ï < ÒT ßUÓ § ÒT ßUÓ < Á gÎ ! !vez que as rectas e são distintas, por a segunda não conter (nem= œ TU < TU) e que têm um ponto comum, basta agora aplicarmos .c) de 1.7

2.11 (Teorema de separação do espaço )6 Seja um plano. Tem-se então! X§que a relação segmental em (cf. ) é uma relação de equivalênciaµ ÏX ! 2.1com duas classes de equivalência e , a que damos o nomeÐ Ï Ñ Ð Ï ÑX ! X !

de com bordo . Chamamos com bordo semiespaços abertos semiespaços! !7

aos subconjuntos de X

X X ! ! X X ! ! œ Ð Ï Ñ œ Ð Ï Ñ , .

Dem: 1) Comecemos com a seguinte observação que teremos ocasião deutilizar adiante. Dado um plano tal que seja uma recta e dados" X " !§ <dois pontos , tem-se também e vem , para\ß] − Ï < \ß ] − Ï \ µ ]" X !a relação segmental em se, e só se, , para a relação segmentalX !Ï \ µ ]em . Para justificar esta afirmação basta reparar que se tem sempre" Ï <Ò\ß ] Ó § Ò\ß ] Ó" ! e que um ponto de que esteja em está também em! " œ <.2) Uma segunda observação que nos será útil é a de que, dados três pontosEßFßG − Ï ÒEßFÓ ÒFßGÓX !, tais que pelo menos um dos conjuntos , e

6Comparar com e .2.7 2.87Como habitualmente, nenhum dos semiespaços é privilegiado pelo que os índices e são de atribuição arbitrária.

– 17–

ÒGßEÓ T − § contenha um ponto , então existe um plano , contendo os! " Xtrês pontos e tal que seja uma recta . Para justificar esta afirmação," ! <separamos os casos em que não são colineares e em que o são. NoEßFßGprimeiro caso tomamos para o único plano que contém os pontos ," EßFßGreparando que e que contém o ponto (cf. a alínea )." ! " !Á T d) de 1.7No segundo caso consideramos a única recta que contém os três pontos=(uma tal recta contém necessariamente , que é distinto de ),T EßFßGtomamos uma recta arbirária de tal que e tomamos para o único< T − <! "plano que contém as rectas e (cf. a alínea ).< = b) de 1.83) Mostremos agora que a relação segmental é uma relação de equiva-µlência em . Sejam então tais que e eX ! X !Ï EßFßG − Ï E µ F F µ Gtentemos provar que . Suponhamos, por absurdo, que isso nãoE µ Gacontecia, e portanto que existia . Como vimos em 2), existeT − ÒEßGÓ !um plano contendo os três pontos e tal que seja uma recta e, tendo" " ! <em conta o que vimos em ) vem, para a relação segmental em , ," Ï < E µ F"F µ G E µÎ G e , o que é absurdo, tendo em conta .2.84) Mostremos agora que admite pelo menos duas classes de equivalência.µConsideremos então arbitrário e arbitrário. Sendo a rectaE − Ï T − =X ! !que contém e , fixemos a ordem linear de para a qual eE T = E Treparemos que . Seja enfim tal que . Tem-se assim= œ ÖT× F − = T F!F − Ï T − ÒEßFÓ E µ FX ! ! e , o que mostra que não se tem .5) Mostremos enfim que não pode ter mais que duas classes deµequivalência, isto é, que, se são tais que e ,/ /EßFßG − Ï E µ F F µ GX !então . Para isso, tendo em conta o que vimos em 2), consideramosE µ Gum plano contendo os três pontos e tal que seja uma recta e, tendo" " ! <em conta o que vimos em ) vemos que, para a relação segmental em ," Ï <"tem-se ainda e donde, por , e portanto também/ /E µ F F µ G E µ G2.8E µ G Ï para a relação segmental em , tendo em conta o que vimos emX !1).

2.12 Sejam (Semiplanos e semirrectas) ! ! um plano e uma recta e< §consideremos os correspondentes semiplanos abertos e eÐ Ï <Ñ Ð Ï <Ñ! !

os semiplanos associados e . Seja . Tem-se então:! ! T − <a) Se , e se , tem-se então que , é aU − Ð Ï <Ñ = œ TU = < œ ÖT× = ! !

semirecta e é a outra semirrecta de de origem .TU = = TÛ

!

b) Se é uma recta contida em e com , então e = Á < T − = = = ! ! !

são as duas semirectas de de origem .= Tc) Um semiplano de bordo é cónico relativamente a qualquer ponto! <T − <.Dem: O facto de se ter é uma consequência de , umaa) = < œ ÖT× c) de 1.7vez que , por ser e . Além disso tem-se , tendo em= Á < U − = U  < = § !conta . Escolhamos em a ordem linear para a qual se tem .1.4 = T USuponhamos que é tal que . Tem-se e , uma vezV − = V T V  < V µÎ Uque , donde , e portanto . FixandoT − ÒVßUÓ ÒVßUÓ § Ï < V − Ð Ï <ÑÎ ! !

agora um tal que , vemos que, para cada tal queV − = V T W − =! !

– 18–

T W ÒV ß WÓ § Ï < T − ÒV ß WÓ V µÎ WÎ, tem-se , uma vez que , portanto ,! ! !!o que implica que . Uma vez que , concluímosW − Ð Ï <Ñ T − = ! !

portanto que é o conjunto dos tais que , isto é, é a= W − = T Ÿ W!

semirecta . Por outro lado, é constituído pelo único ponto deTU = TÛ

!

= < = Ð Ï <Ñ e pelos pontos de que estão em , isto é, que não estão em ,! !

sendo assim o conjunto dos tais que , sendo assim a outraX − = X Ÿ Tsemirrecta de origem .T

Q

r

sPR R

S

α

α

+

−

0

b) Temos uma consequência imediata de a), uma vez que e= < œ ÖT×portanto, considerando arbitrário com , ou ouU − = U Á T U − Ð Ï <Ñ!

U − Ð Ï <Ñ! .c) Se , já verificámos em a) que . Por outroU − Ï < œ Ð Ï <Ñ TU §! ! !

Û

lado se , com , tem-se .X − < X Á T TX § < §Û

!

2.13 Sejam uma recta, e uma(Nova notação para semiplanos) < − T − < =e

semirrecta de origem cuja recta associada seja distinta de . QuaisquerT = <que sejam UßUw w

− = T UßU Â < distintos de , tem-se então e os semiplanos<U <UÛ Û e (cf. ) coincidem, o que nos permite definir a notaçãow 2.9

<= œ <UÛ Û ,

onde é um elemento arbitrário de distinto de . Trata-se de umU = T

semiplano de bordo do único plano que contém e . O outro semiplano< < =!de de bordo é então , onde é a outra semirrecta de .! Û< <= = =

Dem: Uma vez que e são rectas distintas com o ponto comum, elas são< = Tconcorrentes, e portanto existe um único plano que contém e . Sendo! < =

! !Û

œ <U < U o semiplano de de bordo que contém , resulta da alínea a) de2.12 que , em particular , pelo que é também= œ TU § U − Ï <

wÛ! ! !

o semiplano de de bordo que contém , isto é . O facto de ! !Û Û< U œ <U <=w w

– 19–

ser o outro semiplano de de bordo resulta de que, também pela alínea ! < a)de 2.12, os pontos de distintos de estão em .= T Ï < œ Ð Ï <Ñ ! !

2.14 Sejam (Os semiplanos são convexos) ! ! um plano e uma recta e< §consideremos os correspondentes semiplanos e de , de bordo .! ! ! <Tem-se então que estes semiplanos são conjuntos convexos.Dem: Suponhamos que , com . Três casos são possíveis:T ßU − T Á U!

1) . Nesse caso , porque os semipla-T ßU − Ð Ï <Ñ ÒT ßUÓ § Ð Ï <Ñ §! ! !

nos abertos são conjuntos convexos (cf. ).2.62) . Nesse caso , porque as rectas são conjuntosT ßU − < ÒT ßUÓ § < § !

convexos (cf. a alínea d) de 2.3).3) Um dos pontos, por exemplo pertence a e ou outro, , pertence aT < UÐ Ï <Ñ! . Nesse caso, concluímos a partir da alínea quea) de 2.12ÒT ßUÓ § TU §

Û!.

2.15 Sejam (Rectas que passam num ponto dum semiplano aberto) ! umplano e uma recta e consideremos os correspondentes semiplanos e< § ! !

! ! ! ! ! de , de bordo . Seja e seja uma recta< S − Ï < œ Ð Ï <Ñ = §com . Qualquer que seja a ordem linear de existem então pontosS − = =T ßU − = Ð Ï <Ñ T S U! com .Dem: Suponhamos, em primeiro lugar, que . Qualquer que seja= < œ gV − = ÒSßVÓ < œ g, tem-se então, em particular, , donde, tendo em conta2.10, , pelo que podemos tomar para e pontos arbitráriosV − Ð Ï <Ñ T U!

de com .= T S USuponhamos agora que , portanto, uma vez que se trata de rectas= < Á gdistintas, por ser , , para um certo ponto . Fixemos aS  < = < œ ÖE× Eordem linear de para a qual . Tendo em conta a alínea ,= E S a) de 2.12tem-se que é a semirecta pelo que, escolhendo pontos = ES T ßU − =!

Û

com , tem-se e , donde E T S U T ßU − ES T ßU Â < T ßU −Û

Ð Ï <Ñ =! . No caso de a ordem linear considerada em ser a oposta desta,basta trocar os papéis de e .T U

2.16 Sejam (Os semiplanos determinam o plano e a recta) ! c− um plano e< − < § <e ! ! ! uma recta com e seja um dos semiplanos de com bordo .

Tem-se então:a) Existem em três pontos não colineares, em particular é o único plano! !

que contém .!

b) Dado , tem-se se, e só se, quaisquer que sejam a rectaS − S Â <!

= § S − = = T ßU − = ! ! com , e a ordem linear de , existem com

T S U ß. Em particular o semiplano não pode ter mais que uma!

recta como bordo.Dem: Sejam e , com . Sendo a rectaa) T − Ð Ï <Ñ UßU − < U Á U = §! !

w w

TU = < œ ÖU× = , resulta da alínea que e que é aa) de 2.12 !

semirrecta . Considerando a ordem linear de tal que , podemosUT = U TÛ

considerar pontos tais que , pontos que não pertencemVßW − = W V U

à semirecta , ou seja, não pertencem a , pelo que pertencem aUTÛ

!

– 20–

Ð Ï <Ñ = § TU! !w w. Do mesmo modo, sendo a recta , podemos considerar

X − = Ð Ï <Ñw em .!

P

r

ss'

QQ'

RS

T

α

α

+

−

Uma vez que , tem-se , e portanto as rectas e são= < œ ÖU× U  = = =w w

distintas. Uma vez que , segue-se que , e portantoT − = = = = œ ÖT×w w

X Â = = V W. Uma vez que é a única recta que contém os pontos distintos e ,concluímos que são pontos não colineares em , em particularVßWß X Ð Ï <Ñ!

também em .!

b) No caso em que , resulta de que, quaisquer que sejam a rectaS Â < 2.15= § S − = = T ßU − = ! ! com , e a ordem linear de , existem com

T S U Ð Ï <Ñ § S − < (reparar que ). Suponhamos agora que .! !

Escolhendo . podemos considerar na recta aU − Ð Ï <Ñ = œ SU §! !

ordem linear para a qual e resulta então da alínea queS U a) de 2.12= œ SU T S = T Â! !

Û , em particular, para cada em , .

2.17 Sejam (Teorema de Pasch) ! ! um plano, uma recta e< §EßFßG − Ï < <! três pontos distintos. Se tem intersecção não vazia com umdos segmentos , e , então tem intersecção não vazia comÒEßFÓ ÒFßGÓ ÒEßGÓdois, e só dois, destes segmentos.Dem: Suponhamos que . Então para a relação queÒEßFÓ < Á g E µÎ Fdefine os semiplanos abertos de de bordo , pelo que, nomeando-os! <convenientemente, tem-se e . Tem-se então queE − Ð Ï <Ñ F − Ð Ï <Ñ! !

ou , ou . No primeiro caso, como éG − Ð Ï <Ñ G − Ð Ï <Ñ Ð Ï <Ñ! ! !

convexo (cf. ), , donde e, por outro lado2.6 ÒEßGÓ § Ð Ï <Ñ ÒEßGÓ < œ g!

G µÎ F ÒFßGÓ < Á g , e portanto . Analogamente, no segundo caso,ÒFßGÓ < œ g ÒEßGÓ < Á g e .

3. Ângulos.

3.1 (Definição) Vamos chamar (não orientado) a um conjunto ângulo Ö< ß = ×

de duas semirrectas com uma mesma origem , cujas rectas e corres-S < =pondentes sejam distintas (em particular ). Dizemos que é a< = œ ÖS× S

– 21–

origem vértice ou do ângulo e que as semirrectas e são as suas< =

extremidades.

3.2 Dado um ângulo Ö< ß = × < = , existe um único plano que contém e (a!que damos o nome de ) e esse plano contém mesmo as rectasplano do ângulo< = e correspondentes às semirrectas.Dem: Uma vez que uma semirrecta contém sempre mais que um ponto,resulta de que qualquer plano que contenha e contém também e1.4 < = <

= < =. Mas e são rectas concorrentes e portanto, pela alínea , existeb) de 1.8um único plano contendo e , esse plano contendo, em particular, e! < = <=.

3.3 Consideremos um ângulo (O sector angular) Ö< ß = × S com vértice eplano e sejam e as rectas que contém e . Podemos considerar o! < = < =

semiplano de de bordo (cf. ), que coincide com o semiplano ,<= < <TÛ !

Û 2.13com ponto arbitrário de distinto de e, do mesmo modo, o semiplanoT = S

=< = =U UÛ !

Û de de bordo que coincide com o semiplano , com pontoarbitrário de distinto de . Definimos então o conjunto , a< S nÖ< ß = × § !que damos o nome de , ou sector angular associado ao ângulo dado tendo assemirrectas e como bordo< = , como sendo a intersecção daqueles doissemiplanos:

nÖ< ß = × œ <= =< Û Û .

r

s

+

+

Q

P

O

3.4 Nas condi(O conteúdo e o plano continente dum sector angular) çõesanteriores, o sector angular é um conjunto convexo, cóniconÖ< ß = ×

relativamente a , que contém as semirrectas e e não intersecta osS < =

conjuntos e . Em particular um sector angular está contido< Ï ÖS× = Ï ÖS×

num único plano.Dem: O facto de se tratar dum conjunto convexo, cónico relativamente a ,Sresulta de termos a intersecção de dois conjuntos convexos, cónicosrelativamente a , a saber, dois semiplanos com nos respectivos bordos. OS Sfacto de o sector angular conter as semirrectas e resulta de que isso< =

– 22–

acontece com cada um dos semiplanos considerados. O facto de o sectorangular ter intersecção vazia com, por exemplo, o conjunto vem de< Ï ÖS×

que, por , este conjunto está contido no semiplano aberto distinto do que2.12contém , e portanto não intersecta .U =U

Û

3.5 Nas condi(Intersecção de um sector angular com uma recta) çõesanteriores, notando o plano que contém o sector angular :! nÖ< ß = ×

a) Sejam , com , e , com . Sendo ,T − = T Á S U − < U Á S > œ TU § !tem-se que , e . Em> nÖ< ß = × œ ÒT ßUÓ > < œ ÖU× > = œ ÖT×

particular, tem pontos que não estão em nem em > nÖ< ß = × < = Þ

b) Seja uma recta com . Tem-se então que ou > § S − > > nÖ< ß = × œ!

ÖS× > nÖ< ß = × > S, ou é uma semirrecta de com origem .

c) Seja tal que e . Quaisquer que sejam aV − nÖ< ß = × V Â < V Â =

recta com e a ordem linear de , existem > § V − > > EßF − > nÖ< ß = ×!

tais que .E V F

Dem: Tendo em conta a alínea , e ,a) a) de 2.12 > <T œ UT > =U œ TUÛ Û Û Û

tal como e , pelo que podemos concluir que> < œ ÖU× > = œ ÖT×

> nÖ< ß = × œ > Ð<T =UÑ œ UT TU œ ÒT ßUÓ Û Û Û Û .

Em particular, concluímos que os pontos , distintos de e de ,V − ÒT ßUÓ T Usão pontos de que não estão em nem en nÖ< ß = × < = Þ

b) Suponhamos que e escolhamos em> nÖ< ß = × Á ÖS× V Á S

> nÖ< ß = × V − < V − = > œ < > œ = . Se ou , tem-se ou , respectiva-mente, pelo que resulta de que é ou , respectiva-3.4 > nÖ< ß = × < =

mente, portanto uma semirrecta de de origem . Vejamos enfim o que> Ssucede e . Mais uma vez por , e , pelo queV Â < V Â = V Â < V Â = 3.4resulta da alínea que, com e escolhidos nas condições da a),a) de 2.12 T U

> <T > =U SV >Û Û Û e são ambos iguais à semirrecta de , e portanto também

> nÖ< ß = × œ > Ð<T =UÑ SV Û Û Û é igual à semirrecta .

c) Como anteriormente, resulta de que e , com nos3.4 V Â < V Â = V

semiplanos e . Fixada uma das ordens lineares em , resulta da alínea<T =U >Û Û

b) de 2.16 a existência de em e de emE V F > <T E V Fw w ww wwÛ

> =U E E E F FÛ . Sejam o maior dos pontos e e o menor dos pontos ew ww w

F EßF − > E V Fww. Tem-se assim que são tais que e o facto de se terE − ÒE ßVÓ ÒE ßVÓ F − ÒVßF Ó ÒVßF Ó <T =Uw ww w ww e e de os semiplanos e Û Û

serem convexos (cf. ) implica que se tem também 2.14 EßF − <T =U œÛ Û

nÖ< ß = × .

3.6 Não pode haver dois ângulos que(O sector angular determina o ângulo)determinem o mesmo sector angular.Dem: Já verificámos em que um sector angular está contido num único3.4plano . Tudo o que temos que fazer é apresentar uma caracterização das!semirrectas e que constituem o ângulo a partir do conjunto ,< = nÖ< ß = ×

para o que utilizaremos as conclusões das diferentes alíneas de .3.5

– 23–

Em primeiro lugar o vértice , origem comum das semirrectas, ficaSdeterminado pelo conjunto . De facto é o único pontonÖ< ß = × S

V − nÖ< ß = × > § V que tem a propriedade de qualquer recta contendo !intersectar em ou numa semirecta de de origem . ComnÖ< ß = × ÖV× > V

efeito, pela alínea b), o ponto tem essa propriedade, pela alínea a) qualquerSponto de ou de distinto de não a verifica, por existir uma rectaV < = S

> § V nÖ< ß = ×! contendo que intersectada com é igual a um segmento de

recta, tendo como uma das extremidades, e, pela alínea c), qualquer pontoVV nÖ< ß = × < = de que não pertença a nem a também não a verifica, visto

que, para qualquer recta , com , não é uma semir-> § V − > V nÖ< ß = ×!

recta de origem , por conter pontos menores e pontos maiores que .V VO raciocínio feito atrás mostra também que os pontos de de V < =

distintos de ficam determinados pelo conjunto : São,S nÖ< ß = ×

nomeadamente, os pontos com a propriedade de, paraV − nÖ< ß = ×

alguma recta com , o conjunto ser um segmento> § V − > > nÖ< ß = ×!

de recta com como uma das extermidades.VPor fim, as próprias semirrectas e que constituem o ângulo, ficam< =

determinadas pelo conjunto , por se tratar das duas semirrectas denÖ< ß = ×

origem que contêm algum ponto de distinto de .S < = S

3.7 Sejam (Ângulos adjacentes e verticalmente opostos) ! um plano eÖ< ß = × S < = um ângulo de vértice contido em . Sendo e as rectas que!contêm as semirrectas e , respectivamente, e sendo e as< = < =

semirrectas opostas, chamamos do ângulo aosângulos adjacentes Ö< ß = ×

ângulos e , que têm uma semirrecta comum e a outraÖ< ß = × Ö< ß = ×

semirrecta oposta, e do ângulo aoângulo verticalmente oposto Ö< ß = ×

ângulo , definido pelas duas semirrectas opostas.Ö< ß = ×

3.8 Nas condi(O plano em quatro partes) ções anteriores:a) O plano é a união dos quatro sectores angulares , ,! nÖ< ß = × nÖ< ß = ×

nÖ< ß = × nÖ< ß = × e .b) A intersecção dos sectores angulares correspon-nÖ< ß = × nÖ< ß = ×

dentes a ângulos adjacentes é a semirrecta comum .<c) A intersecção dos sectores angulares correspon-nÖ< ß = × nÖ< ß = ×

dentes a ângulos verticalmente opostos é o conjunto .ÖS×Dem: Uma vez que o plano é trivialmente a união dos dois semiplanos!com uma dada recta como bordo, os quais têm essa recta como intersecção,podemos escrever, tendo em conta 2.13

! Û Û Û Û

! Û Û Û Ûœ <= <= <= <= œ <

œ =< =< =< =< œ =

, ,, .

Das igualdades na primeira coluna resulta que é a reunião dos quatro!conjuntos

– 24–

<= =< œ nÖ< ß = × <= =< œ nÖ< ß = ×

<= =< œ nÖ< ß = × <= =< œ nÖ< ß = ×

Û Û Û Û

Û Û Û Û, ,, .

Podemos agora notar que, pela alínea ,a) de 2.12

nÖ< ß = × nÖ< ß = × œ Ð<= <= Ñ =< œ < =< œ < Û Û Û Û

e que

nÖ< ß = × nÖ< ß = × œ Ð<= =< Ñ Ð<= =< Ñ œ < = œ ÖS× Û Û Û Û ,

o que termina a demonstração,

3.9 Seja (O teorema da barra cruzada) Ö< ß = × S um ângulo de vértice contido no plano . Seja com e e! V − nÖ< ß = × V Â < V Â =

consideremos a recta e a semirrecta de . Tem-se> œ SV § > œ SV >!Û

então:a) A recta é distinta de e de , tem-se , a semirrecta > < = > œ > nÖ< ß = × <

está contida num dos semiplanos de tendo como bordo e a semirrecta ! > =está contida no outro semiplano de com o mesmo bordo.!b) Dados pontos arbitrários e , a semirrectaT − = Ï ÖS× U − < Ï ÖS×ww ww

> ÒT ßU Óww ww é concorrente com o segmento .

c) Tem-se

nÖ< ß = × œ nÖ< ß > × nÖ> ß = ×

nÖ< ß > × nÖ> ß = × œ >

.

d) tem-se e .< § nÖ> ß = × = § nÖ< ß > ×

Dem: Tendo em conta , tem-se mesmo e e daqui resultaa) 3.4 V  < V  =que a recta é distinta de e de . O facto de ser resulta> < = > œ > nÖ< ß = ×

da alínea . Fixemos pontos e . Consi-b) de 3.5 T − = Ï ÖS× U − < Ï ÖS×

deremos em , e as ordens lineares para as quais , e< = > S U S TS V U − < T − = V − >, respectivamente e fixemos pontos , e tais quew w w

U S T S V Sw w w, e .

r

s

+

+

t+

P

Q

R

R'

P'

Q'

O

– 25–

Tendo em conta a alínea , é o semiplano de de bordo a) de 2.12 <T <wÛ!

diferente de e é o semiplano de de bordo diferente de . Tendo<T =U = =UÛ Û

!Ûw

em conta o mesmo resultado, os elementos de pertencem a> œ SVÛ

<T =U > œ SV <T =UÛ Û Û Û Û, os elementos de pertencem a e, em ambos os

w w w

casos, com a excepção de , não pertencem a nem a . Por outro lado, eS < = T

U =U <Tw w pertencem ambos a pelo que, uma vez que os semiplanos sãoÛ Û

convexos, . Podemos assim concluir que os elementos deÒT ßU Ó § =U <Tw wÛ Û

ÒT ßU Ó S < =w (que não incluem , senão as rectas e coincidiam ambas comU T > =U =Uw w

) não podem estar em (senão estariam em e não estariamÛ Û

em ) nem em (senão estariam em e não estariam em ) e= > <T <T <wÛ Û

portanto não podem estar em . Tem-se assim que e pertencem ao> T Uw

mesmo semiplano aberto de de bordo . Mas, uma vez que ! > ÒUßU Ów

intersecta em , e pertencem a semiplanos abertos distintos de de> S U Uw !bordo , pelo que podemos concluir que e pertencem a semiplanos> T Uabertos distintos de de bordo . Mais uma vez pelo mesmo resultado que! >

temos vindo a aplicar, a semirrecta está contida num dos< œ SUÛ

semiplanos de de bordo e a semirrecta no outro semiplano de ! !Û

> = œ ST

com o mesmo bordo.b) Uma vez que e são elementos de e de , respectivamente, queT U = <ww ww

não pertencem a , o que vimos em a) implica que e pertencem a> T Uww ww

semiplanos abertos de de bordo distintos, pelo que intersecta ! > ÒT ßU Ó >ww ww

num ponto . O facto os sectores angulares serem convexos implica queVww

V − > nÖ< ß = × V Á Sww ww que, pela alínea , uma vez que contém ,b) de 3.5

é uma semirrecta de de origem , e portanto é a semirrecta . O> S SV œ >Û

facto de se ter vem de que se tem mesmo> ÒT ßU Ó œ ÖV ×ww ww ww

> T U œ ÖV × > / T Uww ww ww ww ww por as rectas serem distintas (por exemplo,T  > > Á =ww porque ).c) Fixemos pontos e . Tendo em conta b),T − = Ï ÖS× U − < Ï ÖS×

podemos considerar . Vem (senão eramW − > ÒT ßUÓ W Á S T ßSßU

colineares e ) e e (senão seria uma das rectas e , ao< œ = W Á T W Á U > < =contrário do que vimos em a)).

r

s

t

+

+

+

O

Q

P

RS

– 26–

Suponhamos agora que , com . Tem-se então que a\ − nÖ< ß > × \ Á S

semirrecta intersecta num ponto , que não é mais do que aS\ ÒUß WÓ \Û w

intersecção das rectas e ; com efeito, isso é evidente nos casos emS\ UTque (então ) e em que (então ) e, caso\ − < \ œ U \ − > \ œ W

w w

contrário, temos uma consequência de b). Resulta daqui que se tem\ − ÒUßT Ó œ UT nÖ< ß = ×w

(cf. a alínea ) e daqui resulta quea) de 3.5\ − nÖ< ß = × \ − S\ nÖ< ß = ×

w, uma vez que e é cónico relativamenteÛ

a .S

Por simetria dos papéis de e , se , com , então < = \ − nÖ= ß > × \ Á S S\ Û

intersecta num ponto , que não é mais do que a intersecção dasÒT ß WÓ \w

rectas e , e tem-se também .S\ UT \ − nÖ< ß = ×

O que vimos nos dois parágrafos anteriores, mostra que se e\ Á S\ − nÖ< ß > × nÖ= ß > × \ S\ UT

w, então a intersecção das rectas e ésimultaneamente a intersecção de com e com , sendo assimS\ ÒUß WÓ ÒT ß WÓ

Û

\ œ W \ − SW œ >w, portanto .Û

Uma vez que pertence a todos os sectores angulares envolvidos e àSsemirrecta , o que vimos até agora mostra que ,> nÖ< ß > × § nÖ< ß = ×

que , dondenÖ= ß > × § nÖ< ß = ×

nÖ< ß > × nÖ> ß = × § nÖ< ß = ×

e que , e podemos dizer que se tem mesmonÖ< ß > × nÖ> ß = × § >

nÖ< ß > × nÖ> ß = × œ > > , uma vez que está contido nos dois sectoresangulares e .nÖ< ß > × nÖ> ß = ×

Resta-nos mostrar que , para o quenÖ< ß = × § nÖ< ß > × nÖ> ß = ×

consideramos , que podemos já supor distinto de . Tem-se\ − nÖ< ß = × S

então que a semirrecta intersecta num ponto , que não é maisS\ ÒUßT Ó \Û w

do que a intersecção das rectas e ; com efeito, isso é evidente nosS\ UTcasos em que (então ) e em que (então ) e,\ − < \ œ U \ − = \ œ T

w w

caso contrário, temos uma consequência de b). Uma vez que ÒUß T Ó œÒUß WÓ ÒWß T Ó \ − ÒUß WÓ œ UW nÖ< ß > × \ − ÒWß T Ó œ, tem-se ou w w

WT nÖ> ß = × \ − nÖ< ß > × \ − nÖ> ß = × w w, em particular ou (cf. a

alínea ) e daqui resulta que ou , umaa) de 3.5 \ − nÖ< ß > × \ − nÖ> ß = ×

vez que e os sectores angulares são cónicos relativamente a .\ − S\ SwÛ

d) Uma vez que a semirrecta está contida num dos semiplanos de tendo< !> = como bordo e a semirrecta está contida no outro semiplano de com o !mesmo bordo e uma vez que, por , a semirrecta está contida no2.12 =semiplano de de bordo distinto do que contém a semirrecta , segue-se! > =que . Por outro lado o facto de se ter < § >= > § nÖ< ß = × § =<

Û Û

implica que , e portanto . Tem-se assim=< œ => < § => Û Û Û

< § >= => œ nÖ> ß = × Û Û

e a outra inclusão resulta da simetria dos papéis de e .< =

– 27–

3.10 Seja (Corolário) Ö< ß = × S um ângulo de vértice contido no plano . Seja!V − nÖ< ß = × V  < V  = > œ SV § com e e consideremos a recta e!

a semirrecta de . Tem-se então que a recta é distinta de e e:> œ SV > > < =Û

a) as semirrectas e estão contidas no mesmo semiplano de de bordo< = !>.b) Se , então e , e portantoU − < Ï ÖS× U − nÖ= ß > × U Â = >

nÖ= ß > × œ nÖ= ß < × nÖ< ß > ×

nÖ= ß < × nÖ< ß < × œ <

.

r

s

+

+

P

Q

P'

Q'

O

t+

R

Dem: Aplicando a alínea às semirrectas e , concluímos quea) a) de 3.9 < =

a recta é distinta das rectas e , que a semirrecta está contida num dos> < = <semiplanos de tendo como bordo e a semirrecta está contida no outro! > =semiplano de com o mesmo bordo. Basta agora reparamos que, pala alínea!a) de 2.12, a semirecta está contida no semiplano de de bordo distinto= > !daquele que contém , e portanto no mesmo que contém a semirrecta .= <

b) Pela conclusão de a), tem-se , e portanto, por ser , vem>< œ >= U − >< Û Û Û

também . Por outro lado, por hipótese, , peloU − >= V − nÖ< ß = × § =< Û Û

que , donde, por ser , vem também . Tem-se=< œ => U − =< U − => Û ÛÛ Û

assim e o facto de ser vem de queU − >= => œ nÖ= ß > × U  = > Û Û

U Â = U Â > < = > e , por a recta ser distinta das rectas e . O resto da conclusãode b) resulta agora da alínea .c) de 3.9

3.11 (Relação de ordem total nas semirrectas) Seja uma semirrecta de=origem e contida num plano e escolhamos um dos semiplanos de S ! ! !

cujo bordo é a recta que contém . Fica então definida uma ordem total no= =conjunto das semirrectas de origem contidas em e com recta< S !continente , por< Á =

– 28–

> £ < Í nÖ= ß > × § nÖ= ß < × Í > § nÖ= ß < × Í > § <= Û .

Dem: Tomamos a primeira equivalência como definição da relação . É£evidente que, se , então e, recipro-nÖ= ß > × § nÖ= ß < × > § nÖ= ß < ×

camente, se , ou , caso em que se tem trivialmente> § nÖ= ß < × > œ <

nÖ= ß > × § nÖ= ß < × > Á < , ou e então, aplicando depois de3.9escolher em , concluímos queV > Ï ÖS×

nÖ< ß = × œ nÖ< ß > × nÖ> ß = × ,

em particular . Ficou assim provada a segundanÖ= ß > × § nÖ= ß < ×

equivalência no enunciado. A terceira equivalência do enunciado é umaconsequência de que e de que, por hipótese, tem-senÖ= ß < × œ <= =<

Û Û

sempre .> § œ =< ! Û

A definição da relação implica trivialmente que ela é transitiva e que£verifica , para cada . Por outro lado, se e ,< £ < < > £ < < £ >

podemos concluir que e portanto, por , .nÖ= ß > × § nÖ= ß < × < œ > 3.6Consideremos enfim e tais que não se tenha . Tem-se assim< > > £ <

> § <= > § <=Î Û Û e portanto como os semiplanos são cónicos, e portanto

> § <= =< œ nÖ= ß < × Û Û ,

com (porque ) e (porque ). Podemos então> Á < > § <= > Á = > Á =Î Û

aplicar , depois de escolher em , para deduzir que3.10 V > Ï ÖS×

nÖ= ß > × œ nÖ= ß < × nÖ< ß > × ,

em particular , ou seja, .nÖ= ß < × § nÖ= ß > × < £ >

3.12 Nas condi(Corolário) ções anteriores, se notarmos a relação de ordem£ w

total que se obtém no mesmo conjunto de semirrectas de origem quando seSutiliza a semirrecta no lugar de , tem-se= =

> £ < Í < £ > w

(as ordens totais são opostas uma da outra).Dem: Por simetria dos papéis das semirrectas e , basta mostrarmos que,= =

se , então . Ora, isso é evidente se e caso contrário,> £ < < £ > > œ < w

vem , donde (senão , donde ) e> § <= > § <= > § < œ < > œ <Î Û Û !

portanto não é , sendo assim .> £ < < £ >

3.13 (Os intervalos para a relação )£ Seja uma semirrecta de origem e= S

contida num plano e escolhamos um dos semiplanos de cujo bordo é! ! !

a recta que contém e consideremos a correspondente ordem total= =definida em no conjunto das semirrectas de origem contidas em e3.11 S !

de recta continente distinta de . Sejam, no referido conjunto, , com= > £ <

> Á < ? S . Seja uma semirrecta de origem contida em e de recta!continente distinta de . Tem-se então que se, e só se,= ? § nÖ> ß < ×

> £ ? £ < .

– 29–

O

s

r

t

u

+

+

+

+

Dem: Tem-se , com distinto de e de pelo que,> § nÖ= ß < × > = <

tendo em conta a alínea ,c) de 3.9

nÖ= ß < × œ nÖ= ß > × nÖ> ß < ×

nÖ= ß > × nÖ> ß < × œ >

.

Resulta daqui que, se e , tem-se e portanto? £ > ? Á > ? § nÖ= ß > ×

? § nÖ> ß < × > £ ? £ < ? § nÖ= ß < ×Î e que, se , tem-se e, poroutro lado, ou , donde . Por fim, se? œ > ? § nÖ= ß > × ? § nÖ> ß < ×Î

< £ ? < Á ? £ w e , tem-se, para a ordem oposta que, por é a asso-3 12Þ

ciada à semirrecta , donde, como vimos atrás,= ? £ < £ > w w

? § nÖ< ß > ×Î .

3.14 Consideremos um(Os sectores angulares são “angularmente convexos”)ângulo de vértice contido no plano Ö< ß = × S ! e sejam duas> Á ?

semirrectas de origem contidas no sector angular . Tem-se entãoS nÖ< ß = ×

nÖ> ß ? × § nÖ< ß = × .

Dem: Examinemos os diferentes casos possíveis:1) Suponhamos que cada uma das semirrectas e é igual a alguma das> ?

semirrectas e . Uma vez que, em cada caso, temos pares de semirrectas< =

distintas, tem-se então mesmo .nÖ> ß ? × œ nÖ< ß = ×

O

s

r

t

u

+

+

+

+

2) Suponhamos que uma das semirrectas e é igual a alguma das> ?

– 30–

semirrectas e e a outra não é. Por simetria dos papéis de e e por< = > ?

simetria dos papéis de e , podemos já supor que e que é< = > œ < ?

distinto de e de . Resulta então de que< = 3.9

nÖ< ß = × œ nÖ< ß ? × nÖ? ß = × ,

em particular, nÖ> ß ? × œ nÖ< ß ? × § nÖ< ß = ×Þ

3) Suponhamos que ambas as semirrectas e são distintas das> ?

semirrectas e . Consideremos no plano que contém o< = Ö< ß = × !semiplano e a correspondente ordem total associada à! Û

œ =< £semirrecta (cf. ). Por simetria dos papéis das semirrectas e ,= > ? 3.11podemos já supor que se tem . Tem-se então pelo> £ ? > § nÖ= ß ? ×

que, aplicando duas vezes , obtemos3.9

nÖ= ß < × œ nÖ= ß ? × nÖ? ß < × œ

œ nÖ= ß > × nÖ> ß ? × nÖ? ß < ×

,

em particular .nÖ> ß ? × § nÖ< ß = ×

3.15 Seja (O plano em três partes) Ö< ß = × S um ângulo de vértice contido noplano . Seja com e e consideremos a recta! V − nÖ< ß = × V Â < V Â =

> œ SV § > œ SV > >!Û e a semirrecta de . Tem-se então que a recta é

distinta de e e:< =a) Escolhendo e , tem-se ,T − = Ï ÖS× U − < Ï ÖS× T − nÖ> ß < ×

U − nÖ= ß > × T U < , com e não pertencentes a nenhuma das semirrectas ,= > e .

s

r

t

+

+

+ R O

P

Q

b) A semirrecta está contida num dos semiplanos de de bordo e a< > !semirrecta está contida no outro semi-plano de com o mesmo bordo.= !c) Tem-se

! œ nÖ< ß = × nÖ= ß > × nÖ> ß < ×

nÖ< ß = × nÖ= ß > × œ =

nÖ= ß > × nÖ> ß < × œ >

nÖ> ß < × nÖ< ß = × œ <

,,,.

Dem: O facto de a recta ser distinta de e resulta de aplicar àsa) e b) > < = 3.9

– 31–

semirrectas e . Tendo em conta , para as semirrectas e , a< = < = 3.9semirrecta está contida num dos semiplanos de de bordo e a< > !semirrecta está contida no outro semiplano de com o mesmo bordo.= !Daqui resulta, tendo em conta a alínea , que a semirrecta estáa) de 2.12 <contida no mesmo semiplano de de bordo que a semirrecta e a! > =semirrecta está contida no mesmo semiplano de de bordo que a= > !semirrecta . Em particular e . Por outro lado, como< U − >= T − ><

Û Û

V − nÖ< ß = × § <= > § <= <> œ <= Û Û ÛÛ, sai , donde , e portanto

T − <= œ <> T − <> >< œ Û Û Û Û, o que nos permite concluir que

nÖ> ß < × T − = Ï ÖS× T Â = T . O facto de ser implica que e nãopertence a nem a , uma vez que, por as rectas serem distintas, e< > T Â <

T Â >. Analogamente (ou por simetria dos papéis) se verifica queU − nÖ= ß > × U < = > e não pertence a nenhuma das semirrectas , e .c) Aplicando , primeiro a e a , e depois a e a , deduzimos que3.10 < = < =

nÖ= ß > × œ nÖ= ß < × nÖ< ß > ×

nÖ< ß > × œ nÖ< ß = × nÖ= ß > ×

,,

com e . Aplican-nÖ= ß < × nÖ< ß > × œ < nÖ< ß = × nÖ= ß > × œ =

do a e a , vem3.9 < =

nÖ< ß = × œ nÖ< ß > × nÖ> ß = × ,

com . Tendo agora em conta , vemnÖ< ß > × nÖ> ß = × œ > 3.8

! œ nÖ< ß = × nÖ< ß = × nÖ< ß = × nÖ< ß = × œ

œ nÖ< ß = × nÖ< ß = × nÖ< ß = × nÖ< ß > × nÖ> ß = × œ

œ nÖ< ß = × nÖ< ß = × nÖ> ß = × nÖ< ß = × nÖ< ß >

× œ

œ nÖ< ß = × nÖ< ß > × nÖ= ß > × .

Podemos agora escrever

(*) nÖ= ß > × nÖ> ß < × œ

œ ÐnÖ= ß < × nÖ< ß > ×Ñ ÐnÖ< ß = × nÖ= ß > ×Ñ œ

œ ÐnÖ= ß < × nÖ< ß = ×Ñ ÐnÖ= ß < × nÖ= ß > ×Ñ

ÐnÖ< ß > × nÖ< ß = ×Ñ ÐnÖ<

ß > × nÖ= ß > ×Ñ.

Tendo em conta , tem-se e, aplicando 3.8 3.9nÖ= ß < × nÖ< ß = × œ ÖS×

a e a , vem . Tendo em conta , aplicado< = nÖ< ß > × nÖ= ß > × œ > 3.9a e a , e , vem< = 3.8

nÖ= ß < × nÖ= ß > × § nÖ= ß < × nÖ< ß = × œ < ,

onde , o que, por sernÖ= ß > × < § nÖ= ß > × nÖ< ß > × œ >

< > œ ÖS× nÖ= ß < × nÖ= ß > × œ ÖS×, implica que . Analogamente (ou

por simetria dos papéis de e ), . Da< = nÖ< ß > × nÖ< ß = × œ ÖS×

igualdade (*) acima deduzimos assim que . AsnÖ= ß > × nÖ> ß < × œ >

outras igualdades na alínea c) do enunciado, envolvendo intersecções,

– 32–

resultam da simetria dos papéis de , e , tendo em conta o que vimos< = >

em a).

3.16 Supomos dada uma aplica(Nova noção primitiva) ção do conjunto dosângulos no conjunto , que a cada ângulo associa umÓ!ß #Ò § Ö< ß = ב

número real do intervalo , chamado e notadoÓ!ß #Ò amplitude do ângulo8

.( ). Dizemos que dois ângulos são quando têm aÖ< ß = × congruentesmesma amplitude.

3.17 (Axiomas angulares)a) Sejam ! ! ! um plano, uma semirrecta de de origem e um dos< S

semiplanos de cujo bordo é a recta que contém . Para cada ,! )< < − Ó!ß #Ò

existe uma, e uma só, semirrecta de , de origem e com recta distinta= S = !de , tal que e que .< = § ÐÖ< ß = ×Ñ œ ! . )

+r

α

α

+

-

3/2

3/2

s+

s'+

O

b) Seja um ângulo de vértice dum plano e seja umaÖ< ß = × S > !semirrecta de origem contida no sector angular e distinta de S nÖ< ß = × <

e de .=

O

r

s

t

+

++

θ

θ θ+θ' '

Tem-se então que

8A escolha do intervalo tem algo de arbitário e corresponde, intuitivamente, a dizerÓ!ß #Òque estamos a tomar o ângulo recto como unidade de medida.

– 33–

. . .ÐÖ< ß = ×Ñ œ ÐÖ< ß > ×Ñ ÐÖ> ß = ×Ñ ,

em particular e .. . . .ÐÖ< ß > ×Ñ ÐÖ< ß = ×Ñ ÐÖ> ß = ×Ñ ÐÖ< ß = ×Ñ

3.18 Sejam (Ordem e amplitude) ! ! um plano, uma semirrecta de de<origem e um dos semiplanos de cujo bordo é a recta que contémS <! !

< = > S . Sejam e duas semirrectas de de origem , ambas contidas em ! !e cujas rectas associadas e são ambas diferentes de . Tem-se então que= > <> § nÖ< ß = × > £ = (ou seja, , para a relação de ordem definida em ,3.11a partir da semirrecta ) se, e só se, .< ÐÖ< ß > ×Ñ Ÿ ÐÖ< ß = ×Ñ . .Dem: O axioma garante que, se e , entãob) em 3.17 > § nÖ< ß = × > Á =

. .ÐÖ< ß > ×Ñ ÐÖ< ß = ×Ñ > Á < (tem-se uma vez que, por hipótese,> Á < > œ = ÐÖ< ß > ×Ñ œ). Por outro lado, se , tem-se, evidentemente, ..ÐÖ< ß = ×Ñ > § nÖ< ß = ×Î . Resta-nos mostrar que, supondo , tem-se. .ÐÖ< ß > ×Ñ ÐÖ< ß = ×Ñ . Ora isso resulta do que vimos no início, uma vezque, não sendo , tem-se, por , e .> £ = = £ > = Á > 3.11

3.19 Dados dois ângulos adjacentes(Teorema dos ângulos adjacentes)Ö< ß = × Ö< ß = × S e , de origem e contidos no plano , tem-se!

. .ÐÖ< ß = ×Ñ ÐÖ< ß = ×Ñ œ # .

Dem: Seja o semiplano de de bordo que contém e notemos a! ! < = £relação de ordem total definida em , a partir da semirecta . Uma vez3.11 <que , existe tal que. &ÐÖ< ß = ×Ñ − Ó!ß #Ò !

& . & ÐÖ< ß = ×Ñ # .

Seja arbitrário nessas condições. Tendo em conta o axioma ,& ! a) em 3.17podemos considerar semirrectas e de origem , contidas em e de> ? S !rectas associadas distintas de , tais que e < ÐÖ< ß > ×Ñ œ ÐÖ< ß ? ×Ñ œ. & .

# &.

O rr

s

tu

+

+

+

+

-

Tendo em conta , tem-se , com distinto de e 3 18Þ > £ = £ ? > = =

distinto de , em particular e e, tendo em? > § nÖ< ß = × = § nÖ< ß ? ×

conta , . Vem, para a ordem total oposta, que, por ,3.13 3.12= § nÖ> ß ? ×

é a definida pela semirrecta , , portanto e< ? £ = £ > ? § nÖ< ß = × w w

– 34–

? § nÖ< ß > × ? = > , em que além de ser distinto de e de , é tambémdistinto de (por ter recta associada distinta de ). Podemos assim aplicar o< <

axioma para garantir queb) em 3.17

. . . & .

. . .

. . .

& . .

ÐÖ< ß = ×Ñ œ ÐÖ< ß > ×Ñ ÐÖ> ß = ×Ñ œ ÐÖ> ß = ×Ñ

ÐÖ< ß = ×Ñ œ ÐÖ< ß ? ×Ñ ÐÖ? ß = ×Ñ

ÐÖ< ß > ×Ñ œ ÐÖ< ß ? ×Ñ ÐÖ? ß > ×Ñ

# œ ÐÖ< ß ? ×Ñ œ

,,,

ÐÖ< ß = ×Ñ ÐÖ= ß ? ×Ñ

ÐÖ> ß ? ×Ñ œ ÐÖ> ß = ×Ñ ÐÖ= ß ? ×Ñ

.

. . .

,.

Resulta daqui que

. . . . &ÐÖ< ß = ×Ñ ÐÖ< ß = ×Ñ   ÐÖ< ß = ×Ñ ÐÖ? ß = ×Ñ œ #

e, por outro lado,

. .

& . . .

& . .

& . &

ÐÖ< ß = ×Ñ ÐÖ< ß = ×Ñ œ

œ ÐÖ> ß = ×Ñ ÐÖ< ß ? ×Ñ ÐÖ? ß = ×Ñ œ

œ ÐÖ> ß ? ×Ñ ÐÖ< ß ? ×Ñ œ

œ ÐÖ< ß > ×Ñ Ÿ #

.

Das desigualdades

# Ÿ ÐÖ< ß = ×Ñ ÐÖ< ß = ×Ñ Ÿ # & . . &

e da arbitrariedade de deduzimos finalmente que&

. .ÐÖ< ß = ×Ñ ÐÖ< ß = ×Ñ œ # .

3.20 Dois ângulos verticalmente opostos têm a mesma amplitude.(Corolário)Dem: Sendo e os ângulos verticalmente opostos, eles vãoÖ< ß = × Ö< ß = ×

ser ambos adjacentes do ângulo pelo que, pelo axioma ,Ö< ß = × b) em 3.17tem-se

. .

. .

ÐÖ< ß = ×Ñ ÐÖ< ß = ×Ñ œ #

ÐÖ< ß = ×Ñ ÐÖ< ß = ×Ñ œ #

,

o que implica que .. .ÐÖ< ß = ×Ñ œ ÐÖ< ß = ×Ñ

3.21 Dado um ângulo de vértice num plano (O ângulo recto) Ö< ß = × S !,diz-se que ele é se , que ele é serecto agudo.ÐÖ< ß = ×Ñ œ "

. .ÐÖ< ß = ×Ñ " ÐÖ< ß = ×Ñ "Þ e que ele é se obtuso

3.22 Dados dois ângulos adjacentes e , tem-se que eles sãoÖ< ß = × Ö< ß = ×

congruentes se, e só se, (e portanto ) é recto. CasoÖ< ß = × Ö< ß = ×

contrário, um é agudo e o outro é obtuso.Dem: Trata-de de uma consequência imediata da igualdade

Ö< ß = × Ö< ß = × œ # .

– 35–

3.23 Sejam e duas rectas concorrentes. Sendo , notemos e < = < = œ ÖS× < <

as duas semirrectas de de origem e e as duas semirrectas de de< S = = =

origem . Diz-se que as rectas e são (ou ) seS < = perpendiculares ortogonaisum dos quatro ângulos , , e , e portantoÖ< ß = × Ö< ß = × Ö< ß = × Ö< ß = ×

também os outros três, for um ângulo recto.Dem: Reparar que se um desses ângulos é recto, dois dos outros três sãoadjacentes, e portanto rectos, e o terceiro é verticalmente oposto, e portantotambém recto.

3.24 Seja (O plano em três partes) Ö< ß = × S um ângulo de vértice contido noplano . Seja com e e consideremos a recta! V − nÖ< ß = × V Â < V Â =

> œ SV § > œ SV > >!Û e a semirrecta de . Tem-se então que a recta é

distinta de e e< =

. . .ÐÖ< ß = ×Ñ ÐÖ= ß > ×Ñ ÐÖ> ß < ×Ñ œ % .

Dem: Tem-se e, tendo em conta a alínea > § nÖ< ß = × œ <= =< Û Û a) de

3.15, tem-se também e < § nÖ> ß = × œ >= => = § nÖ< ß > × œ Û Û

<> >< <ß =ß > Û Û , com as rectas todas distintas.

s

r

t

+

+

+ R O

P

Q

Deduzimos daqui, lembrando , que , que2.12 > § <= =< œ nÖ< ß = × Û Û

< § >= => œ nÖ> ß = × = § <> >< œ nÖ< ß > × Û Û Û Û e que . Tendo em

conta o axioma , podemos escreverb) em 3.17

. . .

. . .

. . .

ÐÖ< ß > ×Ñ œ ÐÖ< ß = ×Ñ ÐÖ= ß > ×Ñ

ÐÖ= ß > ×Ñ œ ÐÖ= ß < ×Ñ ÐÖ< ß > ×Ñ

ÐÖ= ß < ×Ñ œ ÐÖ= ß > ×Ñ ÐÖ> ß < ×Ñ

,,.

Tendo em conta , tem-se3.19

# œ ÐÖ< ß = ×Ñ ÐÖ< ß = ×Ñ

# œ ÐÖ= ß < ×Ñ ÐÖ= ß < ×Ñ

. .

. .

,,

e daqui resulta que

– 36–

% œ ÐÖ< ß = ×Ñ ÐÖ< ß = ×Ñ ÐÖ= ß < ×Ñ ÐÖ= ß < ×Ñ œ

œ ÐÖ< ß = ×Ñ ÐÖ< ß = ×Ñ ÐÖ= ß < ×Ñ ÐÖ= ß > ×Ñ ÐÖ> ß < ×Ñ œ

œ ÐÖ< ß = ×Ñ ÐÖ< ß > ×Ñ ÐÖ

. . . .

. . . . .

. . .

= ß > ×Ñ ,

como queríamos.

4. Triângulos.

4.1 Vamos chamar a um triplo ordenado de pontos de ,triângulo ÐEßFßGÑ Xconstituindo um conjunto não colinear (em particular todos distintos).Chamamos do triângulo ao único plano plano continente ! que contém ostrês pontos, do triângulo aos pontos , do triângulo aosvértices ladosEßFßGpares , e , ou aos segmentos de recta , eÐEßFÑ ÐFßGÑ ÐGßEÑ ÒEßFÓ ÒFßGÓÒGßEÓ, contidos no plano continente , e (ou ) do! ângulos ângulos internostriângulo aos ângulos

FEG œ ÖEFßEG× EFG œ ÖFEßFG× FGE œ ÖGFßGE×w w wÛ Û Û ÛÛ Û, , ,

todos contidos no plano continente , e que, quando o triângulo estiver!

implícito serão notados mais simplesmente por , e , respectiva-E F Gw w w

mente.

4.2 Dado um triângulo , a intersecÐEßFßGÑ ção dos seus sectores angularesnE nF nG <E =F >Gw w w Û Û Û, e coincide com a intersecção dos semiplanos , e ,

onde , e . A estas intersecções damos o nome de< œ FG = œ EG > œ EFsegmento triangular associado a e notamo-lo .ÐEßFßGÑ ÒEßFßGÓEste conjunto, também contido em também as “caracteriza!, admite çõesmistas”:

ÒEßFßGÓ œ nE <E œ

œ nF =F œ

œ nG >G Þ

w Û

w Û

w Û

A

B

C

r

s

t

– 37–

Dem: Trata-se de uma consequência de se ter

nE œ >G =F

nF œ >G <E

nG œ <E =F

w Û Û

w Û Û

w Û Û

,,.

4.3 Apesar de considerarmos, por exemplo, os triângulos e(Nota) ÐEßFßGÑÐEßGßFÑ como distintos, os correspondentes segmentos triangularesÒEßFßGÓ ÒEßGßFÓ e já são iguais. Mais precisamente, dados dois triângulosÐEßFßGÑ ÐE e w w w w w wß F ß G Ñ ÖEßFßG× œ ÖE ßF ßG × tais que , tem-seÒEßFßGÓ œ ÒE ßF ßG Ów w w .Dem: Trata-se de uma consequência imediata da caracterização

ÒEßFßGÓ œ <E =F >GÛ Û Û

e do facto de se ter , e .FG œ GF EG œ GE EF œ FE

4.4 Se é um triângulo, então o correspondente segmento triangularÐEßFßGÑÒEßFßGÓ E F G é um conjunto convexo que contém os vértices , e , eportanto também contém os lados , e .ÒEßFÓ ÒFßGÓ ÒGßEÓDem: O facto de se tratar de um conjunto convexo vem de que temos aintersecção de três conjuntos convexos e o facto de conter os três vérticesresulta de que cada um dos sectores angulares contém os três vértices (um é asua origem e os outros dois pertencem às semirrectas bordo).

4.5 (Intersecção com uma recta de origem num vértice) Seja umÐEßFßGÑtriângulo e seja . Considerando então a recta , tem-seH − ÒFßGÓ ? œ EH

? ÒEßFßGÓ œ ÒEßHÓÞ

A

B

C

r

s

t

D u

No caso em que é distinto de e , os pontos de distintos de eH F G ÒEßHÓ EH ÒEßFßGÓ são pontos de que não pertencem a nenhum dos lados dotriângulo. Em particular tem sempre pontos que não pertencem aÒEßFßGÓ

– 38–

nenhum dos lados.Dem: Tendo em conta , tem-se . Pela alínea 4.4 b)H − ÒEßFßGÓ § nFEG

w

de 3.5 tem-se que é uma semirrecta de origem ? nE œ ? nFEG Ew w

que, por conter o ponto , tem que ser a semirrecta . Por outro lado, umaH EHÛ

vez que as rectas e são distintas, por não conter (senão ), elas? < < E = œ >

são concorrentes com intersecção pelo que, por , é umaÖH× ? <E2.12 Û

semirrecta de de origem , e portanto é a semirrecta . Tendo em conta? H HEÛ

4 2Þ , obtemos então

? ÒEßFßGÓ œ ? nE <E œ Ð? nE Ñ Ð? <E Ñ œ

œ EH HE œ ÒEßHÓ

w wÛ Û

Û Û .

Supondo que é diferente de e , a recta é distinta de e de , pelo queH F G ? = >os pontos de distintos de não pertencem a nem a , em particular não? E = >pertencem aos lados e . Por outro lado, como , osÒEßGÓ ÒEßFÓ ? < œ ÖH×pontos de distintos de não pertencem a , em particular nãoÒEßHÓ H <pertencem a .ÒFßGÓ

4.6 Sejam um triângulo e(De um ponto interior para um vértice) ÐEßFßGÑ\ − ÒEßFßGÓ, que não pertença a nenhum dos lados do triângulo. Tem-seentão que a recta E\ ÒFßGÓ H F intersecta o lado num ponto distinto de ede e vem , com distinto de e de .G \ − ÒEßHÓ \ E H

A

B

C

r

s

t

X D

Dem: Sendo , a recta é distinta das rectas e ,? œ E\ ? = œ EG > œ EFvisto que, por , e . Uma vez4.5 = ÒEßFßGÓ œ ÒEßGÓ > ÒEßFßGÓ œ ÒEßFÓ

que , deduzimos da alínea que intersecta o\ − nÖEGßEF× ?Û Û b) de 3.9

segmento num ponto que terá que ser distinto de e de , por ÒFßGÓ H F G ?ser distinta de e de . Mais uma vez por , = > \ − ? 4.5 ÒEßFßGÓ œ ÒEßHÓ.

4.7 Sejam (O triângulo é o envólucro convexo dos seus vértices) V § X umconjunto convexo e não colineares. Tem-se entãoEßFßG − VÒEßFßGÓ § V.Dem: Por definição de convexidade tem-se , eÒEßFÓ § ÒFßGÓ §V V

– 39–

ÒGßEÓ § \ − ÒEßFßGÓV. Resta-nos verificar o que se passa com um ponto que não pertence a nenhum dos lados do triângulo. Ora, por , existe4.6H − ÒFßGÓ \ − ÒEßHÓ tal que pelo que, por convexidade, tem-sesucessivamente e .H − \ −V V

4.8 Sejam um triângulo(De um ponto interior para os três vértices) ÐEßFßGÑe , que não pertença a nenhum dos lados do triângulo.\ − ÒEßFßGÓ

Consideremos as semirrectas ? œ \E @ œ \F A œ \GÛ Û Û, e , de origem

\ ? @ A, e notemos , e as semirectas opostas. Tem-se então que as rectas

continentes , e são todas distintas e? @ A

? § nÖ@ ßA × @ § nÖA ß ? × A § nÖ? ß @ × , , .

Dem: Para ver que as três rectas são distintas, basta, por simetria dos papéisdos três pontos, mostrar que . Ora, se fosse , vinha ,@ Á A @ œ A \ − FGdonde ), contra o que suposéramos.\ − FG ÒEßFßGÓ œ ÒFßGÓ (cf. 4.5Do mesmo modo, por simetria dos papéis dos três pontos, basta provarmos ainclusão .? § nÖ@ ßA ×

A

B

C

r

s

t

X Du

v

w

+

+

+

Tendo em conta , a recta intersecta num ponto , distinto4.6 ? œ E\ ÒFßGÓ Hde e , e tem-se , com distinto de e de . Uma vez queF G \ − ÒEßHÓ \ E HFßG − nÖ@ ßA × \ e que um sector angular de vértice é convexo e cónicorelativamente a , concluímos que\

? œ \H § nÖ@ ßA × œ @A A@ Û Û Û

e portanto, por ,2.12

? § @A A@ œ nÖ@ ßA × Û Û .

– 40–

4.9 Sejam um triângulo(Rectas que passam por um ponto interior) ÐEßFßGÑe , que não pertença a nenhum dos lados do triângulo. Sejam \ − ÒEßFßGÓ !o plano que contém e uma recta tal que . Tem-se então:EßFßG B \ − B § !a) Se , então intersecta num ponto distinto de e de ;E − B B ÒFßGÓ F Gb) Se , então intersecta num ponto distinto de e de ;F − B B ÒGßEÓ G Ec) Se , então intersecta num ponto distinto de e de ;G − B B ÒEßFÓ E Fd) Se nenhum dos pontos pertence a , então intersecta dois, e sóEßFßG B Bdois, dos três lados , e .ÒFßGÓ ÒGßEÓ ÒEßFÓ

A

B

C

r

s

t

X Du

v

w

+

+

+

x+

Dem: A conclusão de a) está contida em e as conclusões de b) e c)4.6resultam de a) por simetria dos papéis dos vértices. Suponhamos que severifica a hipótese em d) e utilizemos , assim como as respectivas nota-4.8ções. Sendo uma das semirrectas de de origem , a alínea B B \ c) de 3.15garante-nos que se verifica uma das três condições ,B § nÖ@ ßA ×

B § nÖA ß ? × B § nÖ? ß @ × e e concluímos então, da alínea b) de 3.9que , e portanto , intersecta um dos três segmentos B B ÒFßGÓ ÒGßEÓ, eÒEßFÓ B. O facto de intersectar então dois, e só dois, destes segmentos já foiprovado no teorema de Pasch ( ).2.17

4.10 Seja(O segmento triangular determina o conjunto dos vértices)ÐEßFßGÑ um triângulo e seja ! o único plano que contém o segmentotriangular (o único que contém os três vértices)ÒEßFßGÓ . Tem-se então:a) Existe uma recta ? § ? ÒEßFßGÓ œ ÖE×! tal que .b) Qualquer que seja , distinto de , de e de , e qualquer\ − ÒEßFßGÓ E F Gque seja a recta com , tem mais que um elemento.? \ − ? ? ÒEßFßGÓEm particular, se dois triângulos têm o mesmo sector triangular, então têm omesmo conjunto de vértices.Dem: Notando e escolhamos tal quea) EF œ < EG œ = V − nÖ< ß = ×

Û Û

V  < V  = e (por exemplo, por e pela alínea ). Sendo3.4 a) de 3.5? œ EF ? < = ? § nÖ< ß = × œ <= =<

Û Û Û, vem distinta de e de e , donde? § <= =< œ nÖ< ß = ×

Û Û e daqui resulta, pela alínea , queb) de 3.8

– 41–

? nÖ< ß = × œ ÖE× ? ÒEßFßGÓ œ ÖE× , e portanto também .b1) Suponhamos que pertence a um dos lados , e mas\ ÒEßFÓ ÒFßGÓ ÒGßEÓnão coincide com nenhum dos vértices . Suponhamos, para fixarEßFßGideias, que , e seja uma recta com . Se algum dos\ − ÒEßFÓ ? § \ − ?!vértices pertence a , então , contendo e esseEßFßG ? ? ÒEßFßGÓ \vértice, tem mais que um elemento. Caso contrário, o teorema de Pasch (cf.2.17) garante que intersecta algum dos lados ou e portanto,? ÒFßGÓ ÒGßEÓmais uma vez, tem mais que um elemento.? ÒEßFßGÓb2) Suponhamos que mas não pertence a nenhum dos\ − ÒEßFßGÓ \lados , e . Se é uma recta de com , a recta ÒEßFÓ ÒFßGÓ ÒGßEÓ ? \ − ? ?!está nas condições de alguma das alíneas , em qualquer casoa) a d) de 4.9? ÒEßFßGÓ tem mais que um elemento.

4.11 Diz-se que dois triângulos e(Triângulos congruentes) ÐEßFßGÑÐEw w w w w wß F ß G Ñ ÐEßFßGÑ ¸ ÐE ßF ßG Ñ são , e escreve-se , se oscongruenteslados e os ângulos “homólogos” são congruentes, isto é, se ,lEFl œ lE ßF lw w

lFGl œ lF ßG l lGEl œ lG E lß ÐE Ñ œ ÐE Ñ ÐF Ñ œ ÐF Ñw w w w w w, , e. . . .w w ww

. .w wÐG Ñ œ ÐG Ñw .

A

B

C

A'

B'

C'

4.12 Se e e (Nota trivial de utilização frequente) ÐE ßE ßE Ñ ÐE ßE ßE Ñ" # $ " # $w w w 5 é

uma permutação de , então Ö"ß #ß $× ÐE ßE ßE Ñ ÐE ßE ßE Ñ" # $ " # $ e são con-w w w

gruentes se, e só se, e sãoÐE ßE ßE Ñ ÐE ßE ßE Ñ5 5 5 5 5 5Ð Ð Ðw w wÐ Ð Ð"Ñ #Ñ $Ñ "Ñ #Ñ $Ñ

congruentes.

4.13 Sejam e (O Axioma LAL) ÐEßFßGÑ ÐEw w wß F ßG Ñ dois triângulos tais quelEFl œ lE F l lEGl œ lE G l ÐE Ñ œ ÐE Ñw w w w w, e (dois lados e o ângulo por. .

w w

eles formado). Tem-se então que os triângulos são congruentes, isto é, tem-setambém , e .lFGl œ lF G l ÐF Ñ œ ÐF Ñ ÐG Ñ œ ÐG Ñw w w w. . . .

w w ww

4.14 Sejam e (Lema L AL)w dois triângulos tais queÐEßFßGÑ ÐEw w wß F ßG Ñ

lEFl lE F l lEGl œ lE G l ÐE Ñ œ ÐE Ñw w w w w, e . Tem-se então. .w w

. .w wÐG Ñ ÐG Ñw .

– 42–

A

B

C

A'

B'

C'

Dem: Seja tal que (cf. a alínea ).F − ÒEßFÓ lEF l œ lE F lww ww w w d) de 1.19

A

B

C

A'

B'

C'

B"

Pelo mesmo resultado, tem-se e . Uma vez que sãoF Á F F Á E EßFßGww ww

não colineares, não pertence à recta , o que mostra queG EF œ EFww

EßF Gww também são não colineares. Tendo em conta a convexidade dossectores angulares, tem-se , com não pertencente àsF − nÖGEßGF× Fww wwÛ Û

semirrectas e (por não serem colineares). Uma vez que osGE GF EßFßGÛ Û

sectores angulares são cónicos relativamente ao seu vértice, resulta assim doaxioma que . Mas o axiomab) em 3.17 . .

Û ÛÛ ÛÐÖGEßGF×Ñ ÐÖGEßGF ×Ñww

LAL (cf. ) garante que os triângulos e são4.13 ÐEßF ßGÑ ÐE ßF ßG Ñww w w w

concgruentes, e portanto, em particular

. . . .w Û ÛÛ wÛÐG Ñ œ ÐÖGEßGF ×Ñ ÐÖGEßGF×Ñ œ ÐG Ñw ww

4.15 Sejam e (Teorema ALA) ÐEßFßGÑ ÐEw w wß F ßG Ñ dois triângulos tais quelEGl œ lE G l ÐE Ñ œ ÐE Ñ ÐG Ñ œ ÐG Ñw w w w, e (um lado e os dois. . . .

w w ww

ângulos adjacentes). Tem-se então que os dois triângulos são congruentes.Dem: Tendo em conta o axioma LAL (cf. ), o resultado ficará provado4.13se verificarmos que . Ora, se isso não acontecesse, oulEFl œ lE F lw w

lEFl lE F l lEFl lE F lw w w w ou e, nesse caso, ter-se-ia respectivamente,

– 43–

tendo em conta o lema , ou ,4.14 . . . .w ww wÐG Ñ ÐG Ñ ÐG Ñ ÐG Ñw w

contrariando a hipótese .. .w wÐG Ñ œ ÐG Ñw

4.16 Se é um triângulo, tem-se (Corolário) ÐEßFßGÑ lEFl œ lGFl se, e só se,. .w wÐE Ñ œ ÐG Ñ (dois lados são congruentes se, e só se, os ângulos opostos o

forem).Dem: Se , resulta do que os triângulos lEFl œ lGFl ÐEßFßGÑaxioma LALe são congruentes, em particular . Reciprocamente,ÐGßFßEÑ ÐE Ñ œ ÐG Ñ. .

w w

se , resulta do que os triângulos e. .w wÐE Ñ œ ÐG Ñ ÐEßFßGÑteorema ALA

ÐGßFßEÑ lEFl œ lGFl são congruentes, em particular .

4.17 (Defnição) Um triângulo diz-se se verifica asÐEßFßGÑ isósceles em Fduas condições equivalentes no corolário precedente. Ele diz-se seequiláterofor isósceles nos três vértices, isto é, se verifica qualquer das seguintespropriedades equivalentes: , .lEFl œ lFGl œ lGEl ÐE Ñ œ ÐF Ñ œ ÐG Ñ. . .

w w w

Ele diz-se se não for isósceles em nenhum dos vértices.escaleno

4.18 Dado um triângulo , chamam-se ao ângulosÐEßFßGÑ ângulos externosadjacentes a cada um dos ângulos E F G

w w w, e .

Existem assim seis ângulos externos, dois correspondentes a cada vértice e osângulos externos correspondentes a um mesmo vértice são verticalmenteopostos, em particular com a mesma amplitude. Aliás, tendo em conta , a3.19amplitude dos ângulos externos de vértice, por exemplo é .E # ÐE Ñ.

w

4.19 Seja um triângulo. Tem-se(Teorema pobre do ângulo externo) ÐEßFßGÑ

então que a amplitude dos ângulos externos de vértice é maior que G .wÐE Ñ

e que (os ângulos internos não adjacentes)..wÐF Ñ

Dem: Por simetria dos papéis dos vértices, basta mostrarmos que a amplitudedos ângulos externos de vértice é maior queG e, tendo em conta a.

wÐF Ñ

igualdade da amplitude dos dois ângulos externos de vértice , podemosG

considerar aquele que é determinado pela semirrecta e pela semirrectaGFÛ

oposta à semirrecta .GEÛ

A

B

C

A

B

C

M

D

– 44–

Seja o ponto médio do par (cf. ) e consideremos naQ − ÒFßGÓ ÐFßGÑ 1.26semirrecta o ponto definido pela condição de se ter EQ H lEHl œ #lEQl

Û

(cf. a alínea ), ponto para o qual se tem então ed) de 1.19 Q − ÒEßHÓportanto, por , , donde .1.25 lEHl œ lEQl lQHl lEQl œ lQHl

Uma vez que os ângulos e são verticalmenteÖQFßQE× ÖQGßQH×Û ÛÛ Û

opostos, e portanto com a mesma amplitude, podemos utilizar o axioma LAL(cf. ) para garantir que os triângulos e são4.13 ÐEßQßFÑ ÐHßQßGÑcongruentes, e portanto que

. . . .w Û ÛÛ Û ÛÛÐF Ñ œ ÐÖFEßFG×Ñ œ ÐÖFEßFQ×Ñ œ ÐÖGHßGQ×Ñ.

Notemos a recta , e a semirrecta oposta. Notemos a, EG , œ GE , + Û

recta e . O ângulo externo considerado é assim . UmaFG + œ GF Ö+ ß , × Û

vez que , vem , em particular e tem-se ,Q − ,+ EQ § ,+ H − ,+ H Â , Û Û ÛÛ

uma vez que, por ser , . Por outro lado, por serQ  , EQ , œ ÖE×

E − +E œ +, E  + HÛ Û

e , vai pertencer ao semiplano oposto, portantoH − +, H  + H − ,+ +, œ nÖ+ ß , ×

Û Û Û e . Tem-se assim . Podemosagora aplicar o axioma para garantir queb) em 3.17

. . . .w Û Û ÛÐF Ñ œ ÐÖGHßGQ×Ñ œ ÐÖGHß + ×Ñ ÐÖ+ ß , ×Ñ .

4.20 Seja um triângulo. Então (Corolário) ÐEßFßGÑ . .w wÐF Ñ ÐG Ñ #.

Dem: Pelo resultado precedente, é menor que a amplitude dos ângulos.wÐF Ñ

externos de vértice , as quais são iguais a .G # ÐG Ñ.w

4.21 Seja um triângulo. Existe então um triângulo(Lema) ÐEßFßGÑ

ÐEw w w w w wß F ß G Ñ ÐE Ñ ÐF Ñ ÐG Ñ œ ÐE Ñ ÐF Ñ ÐG Ñ tal que e. . . . . .w w w w w w

. .w wÐE Ñ Ÿ ÐE Ñw "

# .Dem: Como na demonstração de , seja o ponto médio do4.19 Q − ÒFßGÓ

par e consideremos na semirrecta o ponto definido pelaÐFßGÑ EQ HÛ

condição de se ter , ponto para o qual se tem entãolEHl œ #lEQlQ − ÒEßHÓ lEHl œ lEQl lQHl lEQl œ lQHl e portanto , donde .

A

B

C

M D

Uma vez que os ângulos e são verticalmenteÖQFßQE× ÖQGßQH×Û ÛÛ Û

– 45–

opostos, e portanto com a mesma amplitude, podemos utilizar o axioma LAL(cf. ) para garantir que os triângulos e são4.13 ÐEßQßFÑ ÐHßQßGÑcongruentes, e portanto que

. . . .w Û ÛÛ Û ÛÛ

. . . .Û Û ÛÛ ÛÛ w

ÐF Ñ œ ÐÖFEßFG×Ñ œ ÐÖFEßFQ×Ñ œ ÐÖGHßGQ×Ñ

ÐÖEFßEQ×Ñ œ ÐÖHGßHQ×Ñ œ ÐÖHGßHE×Ñ œ ÐH Ñ

,.

Tendo em conta a convexidade dos sectores angulares, tem-seQ − nÖEFßEG× Q − nÖGEßGH× Q

Û Û Û Û e e não pertence a nenhuma dasrectas , e pelo que, aplicando o axioma ,EF EG GH b) em 3.17

. . . . .w Û Û Û Û Û Ûw

. . . . .Û ÛÛ Û Û Û w w

ÐE Ñ œ ÐÖEFßEQ×Ñ ÐÖEQßEG×Ñ œ ÐH Ñ ÐÖEHßEG×Ñ

ÐÖGEßGH×Ñ œ ÐÖGEßGQ×Ñ ÐÖGHßGQ×Ñ œ ÐG Ñ ÐF Ñ

,.

Da primeira igualdade resulta que ou ou. .w wÐH Ñ ÐE Ñ"

#

. .Û Û w

ÐÖEQßEG×Ñ ÐE Ñ"# . Além disso, obtemos

. . . . . .w w ww Û Û Û ÛÐE Ñ ÐF Ñ ÐG Ñ œ ÐH Ñ ÐÖEHßEG×Ñ ÐÖGEßGH×Ñ,

pelo que basta tomarmos para no primeiro caso o triânguloÐEw w wß F ßG ÑÐHßGßEÑ ÐEßGßHÑ e no segundo caso o triângulo .

4.22 Seja um triângulo.(A soma dos ângulos internos pobre) ÐEßFßGÑ

Tem-se então . . .w w wÐE Ñ ÐF Ñ ÐG Ñ Ÿ 2.

Dem: Suponhamos que isso não acontecia. Tinha-se então, para um certo$ . . . $

w w w ! ÐE Ñ ÐF Ñ ÐG Ñ œ # , . Tendo em conta o lema

precedente, podemos construir recursivamente triângulos ÐE ßF ßG Ñ8 8 8 , comÐE ßF ßG Ñ œ ÐEßFßGÑ" " " ,

. . . $w w w

ÐE Ñ ÐF Ñ ÐG Ñ œ # 8 8 8

e . . . $w w w

ÐE Ñ Ÿ ÐE Ñ 8 ÐE Ñ 8 8"#8 . Podemos assim escolher tal que , donde

# œ ÐE Ñ ÐF Ñ ÐG Ñ ÐF Ñ ÐG Ñ $ . . . . . $w w ww w8 8 8 8 8 ,

portanto , o que é absurdo, tendo em conta o corolário. .w w

ÐF Ñ ÐG Ñ #8 8

4.20.

4.23 Se é um triângulo, então pelo menos dois dos(Corolário) ÐEßFßGÑ

ângulos internos E F Gw w w

, e são agudos.Dem: Se isso não acontecesse, dois dos ângulos tinham amplitude maior ouigual a , pelo que a soma das suas duas amplitudes seria maior ou igual a e" #portanto a soma das três amplitudes seria maior que .#

4.24 Seja um triângulo.(Teorema melhorado do ângulo externo) ÐEßFßGÑTem-se então que a amplitude dos ângulos externos de vértice é maior ouG

igual a . .w wÐE Ñ ÐF Ñ (a soma dos ângulos internos não adjacentes).

– 46–

Dem: Tendo em conta , tem-se pelo que4.22 . . .w w wÐE Ñ ÐF Ñ Ÿ # ÐG Ñ

tudo o que temos que reparar é que é precisamente a amplitude# ÐG Ñ.w

dos ângulos externos de vértice .G

4.25 Seja um triângulo. Tem-se então(Maior lado e maior ângulo) ÐEßFßGÑ

que se, e só se, lEFl lEGl . .w wÐG Ñ ÐF Ñ (a um lado maior opõe-se um

ângulo maior e reciprocamente).Dem: Suponhamos que Tendo em conta a alínea ,lEFl lEGl. d) de 1.19podemos considerar , distinto de e de , tal que H − ÒEßFÓ E F lEFl œ lEGl.

A

B

CD

Considerando agora o triângulo , resulta de queÐEßHßGÑ 4.16

. .Û ÛÛ Û

ÐÖHEßHG×Ñ œ ÐÖGEßGH×Ñ.

Uma vez que e são semirrectas opostas de origem , éHE HF H ÖHEßHG×Û ÛÛ Û

um dos ângulos externos de vértice do triângulo , resulta de H ÐFßHßGÑ 4.19que

. . . .w Û Û Û ÛÛ ÛÐF Ñ œ ÐÖFHßFG×Ñ ÐÖHEßHG×Ñ œ ÐÖGEßGH×Ñ.

Por outro lado, a convexidade dos sectores angulares garante queH − nÖGEßGF× F GF GE

Û Û e portanto, como não pertence às rectas e e ossectores angulares são cónicos relativamente ao respectivo vértice,concluímos do axioma queb) em 3.17

. . .Û ÛÛ Û w

ÐÖGEßGH×Ñ ÐÖGEßGF×Ñ œ ÐG Ñ,

pelo que temos efectivamente .. .w wÐF Ñ ÐG Ñ

Suponhamos, reciprocamente, que . Então não pode ser. .w wÐF Ñ ÐG Ñ

lEFl lEGl ÐEßGßFÑ, porque então, aplicando o anterior ao triângulo ,vinha , porque então, por ,. .

w wÐG Ñ ÐF Ñ, nem pode ser lEFl œ lEGl 4.16

vinha .. .w wÐG Ñ œ ÐF Ñ. Concluímos assim que lEFl lEGl

– 47–

4.26 Sejam (A perpendicular a uma recta num dos seus pontos) ! um plano,< § S − < = §! ! uma recta e . Existe então uma, e uma só recta , comS − = = <, tal que seja perpendicular a (cf. a definição em ). Diremos que3.23= < S é a a .perpendicular pelo ponto no plano !Dem: Sejam uma das semirectas de de origem e a outra. Seja < < S < !um dos semiplanos de de bordo . Tendo em conta o axioma ,! < a) de 3.17podemos considerar a única semirrecta de de origem , contida em = S ! !e com recta , tal que e então, por definição, a recta= Á < ÐÖ< ß = ×Ñ œ ".

= § S <! contém e é perpendicular a . Quanto à unicidade, suponhamos que> § S − > > Á <! ! é uma recta com perpendicular a . Em particular e, tendoem conta a alínea , é uma semirrecta de de origemb) em 2.12 > œ > > !S ÐÖ< ß > ×Ñ œ ", para a qual se terá . Pela parte de unicidade no axioma . a)de 3.17, tem-se assim , e portanto .> œ = > œ =

4.27 Sejam (Um primeiro lugar geométrico) ! ! um plano e em .E Á FTem-se então que o conjunto dos pontos tais que é a\ − l\El œ l\Fl!recta do plano perpendicular a que contém o ponto médio do= < œ EF Q!par (cf. ).ÐEßFÑ 1.26Dem: Comecemos por lembrar que, como se viu em , é o único ponto1.26 Qde tal que e que . Suponhamos agora \ − < l\El œ l\Fl Q − ÒEßFÓ \ − =é tal que , e portanto .\ Á Q \  <

A BM

X

r

Podemos então considerar os triângulos e , para osÐEßQß\Ñ ÐFßQß\Ñ

quais se tem , e. .Û Û Û Û

ÐÖQEßQ\×Ñ œ " œ ÐÖQ\ßQF×Ñ lQEl œ lQFllQ\l œ lQ\l pelo que, pelo , aqueles triângulos sãoaxioma LALcongruentes, e portanto .l\El œ l\FlSuponhamos, reciprocamente, que é tal que e ,\ − \ Á Q l\El œ l\Fl!e portanto . Podemos então aplicar ao triângulo para\  < ÐEßFß\Ñ4.16garantir que

. . . .Û Û Û Û Û Û Û Û

ÐÖEQßE\×Ñ œ ÐÖEFßE\×Ñ œ ÐÖFEßF\×Ñ œ ÐÖFQßF\×Ñ

– 48–

e daqui deduzimos, pelo , que os triângulos eaxioma LAL ÐEßQß\Ñ

ÐFßQß\Ñ ÐÖQEßQ\×Ñ œ ÐÖQ\ßQF×Ñ são congruentes, e portanto .. .Û Û Û Û

Uma vez que e são ângulos adjacentes, e portantoÖQEßQ\× ÖQ\ßQF×Û Û Û Û

. . .Û ÛÛ Û Û Û

ÐÖQEßQ\×Ñ ÐÖQ\ßQF×Ñ œ # ÐÖQEßQ\×Ñ œ ", segue-se que ,e portanto é a recta , em particular .Q\ = \ − =

4.28 Sejam uma recta e .(Perpendicular por um ponto exterior) < \  <Existe então um, e um só, ponto tal que a recta seja perpendicularE − < \Eà recta (dizemos que é o de para ).< E \ <pé da perpendicularDem: Comecemos por provar a unicidade, para o que supomos que existiamE Á F < \E \F < em tais que as rectas e fossem ambas perpendiculares a .Considerando o triângulo , vinha assim , emÐEß\ßFÑ ÐE Ñ œ ÐF Ñ œ ". .

w w

particular, a amplitude dos ângulos externos em também era , o queF "contrariava o facto de essa amplitude dever ser maior que , por ." 4.19Passemos agora à prova da existência.

r

X

O A

Ys+

Seja o plano que contém e e fixemos um ponto , podendo já! < \ S − <supor-se que a recta não é perpendicular a , sem o que se tomava\S <E œ S < < S. Seja uma das semirrectas de de origem . Tendo em conta o

axioma , notando o semiplano de de bordo que contém ea) em 3.17 ! ! < \! o semiplano oposto, existe uma semirrecta de origem , contida em= S!, com , tal que= Á <

. .Û

ÐÖ= ß < ×Ñ œ ÐÖS\ß < ×Ñ .

Tendo em conta a alínea , podemos considerar tal qued) em 1.19 ] − =lS\l œ lS] l \ß ] <. Uma vez que não pertencem a e estão em semiplanosopostos de com bordo , existe . Vem que e são!

Û Û< E − Ò\ß ] Ó < E\ E]

semirrectas opostas da recta e daqui resulta, em particular, que ,\] E Á S

sem o que e eram ângulos adjacentes com aÖS\ß < × ÖS] ß < × œ Ö= ß < ×Û Û

mesma amplitude, portanto de amplitude , contrariando a hipótese de " \Snão ser perpendicular a . Podemos agora considerar os triângulos < ÐSßEß\Ñ

– 49–

e , para os quais se tem e e os ângulosÐSßEß ] Ñ lS\l œ lS] l lSEl œ lSEl

ÖS\ßSE× ÖS] ßSE×Û ÛÛ Û e têm a mesma amplitude, uma vez que eles são

ÖS\ß < × ÖS] ß < × œ Ö= ß < × SE œ <Û Û Û

e , se , ou adjacentes destesângulos, se . Podemos assim aplicar o para garantirSE œ <

Û axioma LAL

que os triângulos e são congruentes, e portanto que osÐSßEß\Ñ ÐSßEß ] Ñ

ângulos e , têm a mesma amplitude. Uma vez queÖE\ßES× ÖE] ßES×Û Û Û Û

estes ângulos são adjacentes, e portanto com a soma das amplitudes igual a ,#concluímos que , e portanto a recta é perpendicular à.

Û ÛÐÖE\ßES×Ñ œ " \E

recta .<

4.29 Sejam uma recta, e o pé da(O pé está próximo) < \ Â < E − <perpendicular de para . Para cada , com , tem-se então\ < F − < F Á El\Fl l\El < \ (o pé da perpendicular é o ponto de mais próximo de ).Dem: Considerando o triângulo , o facto de ser perpendicularÐ\ßFßEÑ \E

a implica que . Tendo em conta , tem-se e< œ EF ÐE Ñ œ " ÐF Ñ ". .w w4.23

resulta então de que 4.25 l\Fl l\El.

4.30 Dada uma recta e , definimos a de a , , por< \  < \ < l\<l !distâncial\<l œ l\El E \ <, onde é o pé da perpendicular de para . No caso em que\ − < l\<l œ !, pomos .

4.31 Sejam uma recta, e o pé da(Longe da vista, longe do pé) < \  < E − <perpendicular de para . Dados \ < FßG − < l\Fl l\Gl, tem-se se, e só selEFl lEGl l\Fl œ l\Gl lEFl œ lEGl e se, e só se .Dem: Comecemos por reparar que, se , então .lEFl œ lEGl l\Fl œ l\GlCom efeito, isso é evidente no caso em que e, caso contrário, é oF œ G Eponto médio do par (cf. ) e portanto a igualdade ÐFßGÑ l\Fl œ l\Gl1.26resulta de .4.27Vamos agora mostrar que, se , então , podendo jálEFl lEGl l\Fl l\Glsupor-se que , sem o que tínhamos uma consequência de .G Á E 4.29Podemos também examinar apenas o caso particular em que pertence àF

semirrecta , visto que, caso contrário, aplicávamos esse caso particular aoEGÛ

ponto dessa semirrecta tal que , para o qual, como vimosG lEG l œ lEGlw w

atrás, .l\G l œ l\Glw

X

A C Br

– 50–

O facto de se ter com e na mesma semirrecta de origemlEFl lEGl F GE G − ÒEßFÓ G E, implica, pela alínea , que , com diferente de ed) de 1.19de . Aplicando ao triângulo , onde ( , ,F ÐEßGß\Ñ ÖEG E\×Ñ œ "4.23 .

Û Û

concluímos que ( , e portanto, para o ângulo adjacente,.Û Û

ÖGE G\×Ñ "

.Û Û( , . Mais uma vez por , aplicado agora ao triânguloÖGF G\×Ñ " 4.23

ÐGßFß\Ñ ÖFG F\×Ñ " ÖGF G\×Ñ, concluímos que ( , ( , e daqui. .Û Û ÛÛ

deduzimos, por , que , como queríamos.4.25 l\Fl l\GlAplicando o que acabamos de mostrar com os papéis de e trocadosF Gvemos que, se , então .lEFl lEGl l\Fl l\GlUma das coisas estabelecidas atrás diz-nos que, se , entãolEFl lEGll\Fl l\Gl l\Fl l\Gl. Reciprocamente, se , não pode serlEFl lEGl l\Fl l\Gl lEFl œ lEGl, sem o que , nem , sem o quel\Fl œ l\Gl lEFl lEGl, e portanto tem que ser .Do mesmo modo, se , não pode ser , sem o quel\Fl œ l\Gl lEFl lEGll\Fl l\Gl lEFl lEGl l\Fl l\Gl, nem pode ser , sem o que , eportanto .lEFl œ lEGl

4.32 Sejam uma recta, e o pé da perpendicular(Onde está o pé) < \ Â < E − <de para . Dado , com , existe uma, e uma só, semirrecta \ < S − < S Á E <de de origem tal que o ângulo < S ÖS\ß < ×

Û seja agudo e tem-se então

E − <.Dem: Sendo e as duas semirrectas de de origem , os ângulos< < < S

ÖS\ß < × ÖS\ß < × "Û Û

e são adjacentes e com amplitude diferente de (senãoS ÐÖS\ß < ×Ñ ÐÖS\ß < ×Ñ œ # seria o pé da perpendicular) pelo que ,. .

Û Û

o que implica que, dos números e um é maior. .Û Û

ÐÖS\ß < ×Ñ ÐÖS\ß < ×Ñ

que e o outro é menor que . Trocando eventualmente os nomes às" "

semirrectas, podemos chamar àquela para a qual , e< ÐÖS\ß < ×Ñ " .Û

portanto . O facto de se ter vem de que, caso.Û

ÐÖS\ß < ×Ñ " E − <

contrário, tinha-se e então no triângulo tinha-seE − < ÐEßSß\Ñ

. .w Û Û

. . .w Û ÛÛÐE Ñ œ ÐÖE\ßES×Ñ œ "

ÐS Ñ œ ÐÖS\ßSE×Ñ œ ÐÖS\ß < ×Ñ "

,,

o que era absurdo, tendo em conta .4.23

4.33 Seja um triângulo tal que o ângulos (Corolário) ÐEßFßGÑ E Fw w e sejam

agudos. Tem-se então que o pé da perpendicular , de para a recta ,\ G EFpertence ao segmento e é distinto das suas extremidades.ÒEßFÓ

Dem: O facto de ser distinto de e resulta de que os ângulos e \ E F E Fw w

não são rectos. Aplicando duas vezes o resultado precedente vemos agoraque pertence simultaneamente às semirrectas e e portanto\ EF FE

Û Û

pertence à sua intersecção, igual ao segmento .ÒEßFÓ

4.34 Sejam e (Teorema LLL) ÐEßFßGÑ ÐEw w wß F ßG Ñ dois triângulos tais quelEFl œ lE F l lFGl œ lF ßG l lGEl œ lG ßE lw w w w w w, e . Tem-se então que os

– 51–

dois triângulos são congruentes.

A B

C

A' B'

C'

Dem: Tendo em conta , podemos já supor, se necessario fazendo uma4.23mesma permutação nos vértices dos triângulos, que os ângulos e sãoE F

w w

ambos agudos. Sejam o plano que contém os pontos , o! !EßFßG

semiplano de de bordo que contém e o outro semiplano de ! ! !EF G

com o mesmo bordo. Tendo em conta o axioma , podemosa) em 3.17considerar a única semirrecta de de origem , com , tal que= E = Á EF !

. .Û Û Û

ÐÖEFß = ×Ñ œ ÐÖE F ßE G ×Ñw w w w . Tendo em conta a propriedade d) em

1.19, podemos considerar o único ponto tal queG − =ww

lEG l œ lE G l œ lEGlww w w .

A B

C

A' B'

C'

C"s+

Aplicando o , podemos agora concluir que os triângulosaxioma LALÐEßFßG Ñ ßF ßG Ñww w w w e são congruentes, em particular que se tem tambémÐElFG l œ lF G l œ lFGl G Gww w w ww. Uma vez que e são pontos distintos do plano! (por estarem em semiplanos distintos de bordo e não pertencerem aEFesta recta), o facto de tanto como serem equidistantes de e F E G Gww

implica, por , que a recta é a perpendicular à recta que passa4.27 EF GGww

pelo ponto médio do par . Em particular é o pé daQ ÐGßG Ñ Qww

perpendicular de para a recta e portanto, pelo facto de os ângulos eG EF Ew

– 52–

F Q − ÒEßFÓ Q Ew serem agudos e tendo em conta , e é distinto de e4.33de . Tendo em conta o facto de os sectores angulares serem convexos eF

cónicos relativamente aos respectivos vértices, concluímos que GQ œ GGÛ Û ww

está contida no sector angular , sendo distinta das respectivasnÖGEßGF×Û Û

semirrectas bordo, e que está contida no sector angularG Q œ G Gww wwÛ Û

nÖG EßG F×ww wwÛ Û , sendo distinta das respectivas semirrectas bordo.

A B

C

A' B'

C'

C"s+

M

Pelo axioma ,b) em 3.17

. . .Û ÛÛ Û Û Û

. . .Û Û Û Û Û Û

ÐÖGEßGF×Ñ œ ÐÖGEßGQ×Ñ ÐÖGQßGF×Ñ

ÐÖG EßG F×Ñ œ ÐÖG EßG Q×Ñ ÐÖG QßG F×Ñ

,

.ww ww ww ww ww ww

Resulta de que os triângulos e são isósceles em4.16 ÐEßGßG Ñ ÐFßGßG Ñww ww

E F e , respectivamente, e portanto que

A B

C

A' B'

C'

C"s+

M

. . . .Û ÛÛ Û Û Û Û Û

. . . .Û Û Û Û Û Û Û Û

ÐÖGEßGQ×Ñ œ ÐÖGEßGG ×Ñ œ ÐÖG EßG G×Ñ œ ÐÖG EßG Q×Ñ

ÐÖGFßGQ×Ñ œ ÐÖGFßGG ×Ñ œ ÐÖG FßG G×Ñ œ ÐÖG FßG Q×Ñ

ww ww ww ww ww

ww ww ww ww ww

– 53–

e portanto . Mais uma vez pelo . .Û Û Û Û

ÐÖGEßGF×Ñ œ ÐÖG EßG F×Ñww ww axiomaLAL, vemos agora que o triângulo é congruente ao triânguloÐEßFßGÑÐEßFßG Ñ ÐE ßF ßG Ñww w w w, e portanto também ao triângulo .

4.35 Sejam e (O teorema LAA) ÐEßFßGÑ ÐEw w wß F ßG Ñ dois triângulos tais quelEFl œ lE F l ÐF Ñ œ ÐF Ñ ÐG Ñ œ ÐG Ñw w w w, e . Tem-se então que os. . . .

w w ww

dois triângulos são congruentes.9

A B

C

A' B'

C'

Dem: Tendo em conta o teorema ALA (cf. ), o resultado ficará provado4.15se verificarmos que . Suponhamos que isso não acontecia. SelFGl œ lF G lw w

necessário trocando o papel dos triângulos, tinha-se assim lFGl lF G lw w

pelo que, tendo em conta a alínea , podemos escolher ,d) de 1.19 H − ÒF ßG Ów w

com diferente de e de , tal que .H F G lFGl œ lF Hlw w w

A B

C

A' B'

C'

D

Tendo em conta o , os triângulos e sãoaxioma LAL ÐEßFßGÑ ÐE ßF ßHÑw w

congruentes, em particular

. . .Û Û Û ÛÛ Û

ÐÖHE ßHF ×Ñ œ ÐÖGEßGF×Ñ œ ÐÖG E ßG F ×Ñw w w w w w .

Mas isto é absurdo, tendo em conta , uma vez que é um dos4.19 ÖHE ßHF ×w wÛ Û

ângulos externos de vértice do triângulo , que tem o ânguloH ÐE ßHßG Ñw w

ÖG E ßG F × œ ÖG E ßG H×w w w w w w wÛ Û Û Û como um dos ângulos internos.

9É claro que, se conhecêssemos o resultado que diz que a soma dos ângulo internos dequalquer triângulo é igual a , este resultado podia ser deduzido simplesmente da igual-#

dade , tendo em conta o teorema ALA. .w wÐF Ñ œ ÐF Ñ Þw

– 54–

4.36 Repare-se que não devemos esperar a existência de um teorema(Nota)LLA, isto é, não é verdade que dados dois triângulos e ÐEßFßGÑ ÐEw w wß F ßG Ñ

tais que , e , os triânguloslEGl œ lE G l lFGl œ lF G l ÐF Ñ œ ÐF Ñw w w w w. .w w

tenham que ser congruentes. Um contraexemplo pode ser o sugerido na figu-ra a seguir.

A B

C

B'

C'

A'

Há, no entanto, casos particulares em que esta conclusão pode ser tirada.Limitamos-nos a examinar em seguida um desses casos particulares deutilização mais frequente.

4.37 (Num triângulo rectângulo, aumentando os catetos, aumenta a hipote-nusa) Sejam e ÐEßFßGÑ ÐEw w w w wß F ß G Ñ lEFl lE F l dois triângulos tais que ,lFGl Ÿ lF G l ÐF Ñ œ ÐF Ñ œ " lEGl lE G lw w w w w e . Então .. .

w w

A B

C

A' B'

C'

1 1

Dem: Consideremos na semirrecta um ponto tal que FG G lFG l œ lF G lÛ ww ww w w

e na semirrecta um ponto tal que .FE E lFE l œ lF E lÛ ww ww w w

A B

C=C"

1A"

A B1

A"

C

C"

– 55–

Pelo , os triângulos e são congruentes,axioma LAL ÐE ßF G Ñ ÐE ßFßG Ñw w w ww ww

em particular .lE G l œ lE G lw w ww ww

No caso em que vem e, uma vez que ,lFGl œ lF G l G œ G E − ÒE ßFÓw w ww ww

com , resulta de que .E Á E lEGl lE Gl œ lE G l œ lE G lww ww ww ww w w4.31No caso em que , tem-se e , comlFGl lF G l E − ÒE ßFÓ G − ÒG ßFÓw w ww ww

E Á E G Á Gww ww e , pelo que, aplicando duas vezes , obtemos também4.31

lEGl lE Gl lE G l œ lE G lww ww ww w w .

4.38 Sejam(Corolário — Caso de congruência de triângulos rectângulos)ÐEßFßGÑ ÐE e w w w w wß F ß G Ñ lEGl œ lE G l dois triângulos tais que ,lFGl œ lF G l ÐF Ñ œ ÐF Ñ œ "w w w e . Tem-se então que estes triângulos são. .

w w

congruentes.

1 1

A

C

A' B'

C'

B

Dem: Tem que ser visto que, pelo resultado precedente, selEFl œ lE F lw w

fosse , vinha , e, se fosse , vinhalEFl lE F l lEGl lE G l lEFl lE F lw w w w w w

lEGl lE G lw w .O resultado é agora uma consequência do teorema LLL (cf.4.34).

4.39 Seja um triângulo. Tem-se(Desigualdade triangular estrita) ÐEßFßGÑentão que

lEFl lEGl lGFl

(qualquer lado é menor que a soma dos outros dois).10

Dem: Podemos já supor que é maior que e , sem o que alEFl lEGl lGFldesigualdade é trivial (uma das parcelas do segundo membro seria maior ouigual a e a outra seria maior que ). Podemos então considerar umlEFl !ponto , distinto de e de , tal que .H − ÒEßFÓ E F lHFl œ lGFl

Tendo em conta , tem-se , em4.16 . .Û Û Û Û

ÐÖGHßGF×Ñ œ ÐÖHGßHF×Ñ

particular, por , . Uma vez que é4.23 .Û ÛÛ Û

ÐÖHGßHF×Ñ " ÖHGßHE×

adjacente de , e portanto a soma das respectivas amplitudes é ,ÖHGßHF× #Û Û

segue-se que ..Û Û

ÐÖHGßHE×Ñ "

10Reparar que podemos aplicar o resultado a qualquer triângulo que se obtenha porpermutação dos vértices.

– 56–

A B

C

D

Mais uma vez por ,4.23

. .Û ÛÛ Û

ÐÖGHßGE×Ñ " ÐÖHGßHE×Ñ,

pelo que deduzimos de que , donde, finalmente,4.25 lEGl lEHl

lEFl œ lEHl lHFl œ lEHl lGFl lEGl lGFl.

4.41 Sejam pontos arbitrários. Tem-se(Desigualdade triangular geral) EßFßGentão sempre

lEFl Ÿ lEGl lGFl,

vindo se, e só se, .lEFl œ lEGl lGFl G − ÒEßFÓ 11

Dem: No caso em que , o resultado é trivial, uma vez que o primeiroE œ Fmembro é e o segundo é maior que 0, salvo no caso em que e! G œ EG œ F !, caso em que esse segundo membro é também . No caso em que ostrês pontos são não colineares, eles definem um triângulo, pelo que temosuma consequência do resultado precedente, uma vez que não se pode terevidentemente . No caso em que mas os três pontos sãoG − ÒEßFÓ E Á Fcolineares, temos uma consequência de .1.25

4.42 As diferentes fun(Corolário) ções distância definem métricas no. − Yconjunto dos pontos do espaço, todas elas conformemente equivalentesXentre si, e portanto definindo uma mesmo topologia de (a X topologiacanónica de ).X

4.43 Sejam (Um segundo lugar geométrico) ! um plano e e duas semir-< =

rectas de origem , com rectas associadas distintas e , e consideremos oS < =sector angular corrrespondente . Tem-se então que o conjunto dosnÖ< ß = ×

pontos tais que (cf. ) é uma semirrecta \ − nÖ< ß = × l\<l œ l\=l > 4.30de de origem , nomeadamente a única semirrecta de de origem ,! !S > S

contida no semiplano e com para a qual se tem<= > Á <Û

11Lembrar que, se , define-se , embora este conjunto não seja consi-E œ F ÒEßFÓ œ ÖE×derado um segmento de recta.

– 57–

. .ÐÖ< ß > ×Ñ œ ÐÖ< ß = ×Ñ"

# .

Dizemos que é a do ângulo .> Ö< ß = × bissectrizDem: A existência e unicidade de uma semirrecta nas condições do>enunciado é uma consequência do axioma , resultando de quea) em 3.17 3.18se tem e, evidentemente, diferente de e de .> § nÖ< ß = × > < =

Observemos também que, pelo axioma , tem-seb) em 3.17

. . .ÐÖ< ß = ×Ñ œ ÐÖ< ß > ×Ñ ÐÖ> ß = ×Ñ ,

donde também

. . .ÐÖ> ß = ×Ñ œ ÐÖ< ß = ×Ñ œ ÐÖ< ß > ×Ñ"

# ,

em particular .. .ÐÖ> ß = ×Ñ œ ÐÖ< ß > ×Ñ "

Suponhamos que . Se , tem-se , pelo que nos\ − > \ œ S l\<l œ ! œ l\=l

resta examinar o que acontece se , e portanto e . Sejam\ Á S \ Â < \ Â =E F \ < = e os pés das perpendiculares de para e , respectivamente, ereparemos que, por , e , com e .4.32 E − < F − = E Á S F Á S

O

X

A

B

r

s t

+

++

Uma vez que

. . . .Û Û ÛÛ

. .Û Û Û Û

ÐÖS\ßSF×Ñ œ ÐÖ> ß = ×Ñ œ ÐÖ< ß > ×Ñ œ ÐÖSEßS\×Ñ

ÐÖFSßF\×Ñ œ " œ ÐÖESßE\×Ñß

,

deduzimos do teorema LAA (cf. ) que os triângulos e4.35 ÐSß\ßFÑÐSß\ßEÑ são congruentes, em particular

l\<l œ l\El œ l\Fl œ l\=l.

Suponhamos, reciprocamente, que é tal que e\ − nÖ< ß = × l\<l œ l\=l

tentemos provar que , para o que podemos já supor que , e\ − > \ Á S

portanto o valor comum das distâncias não é ( ), ou seja, ! < = œ ÖS× \  <e . Notemos, como antes, e os pés das perpendiculares de para\  = E F \

– 58–

< = e , respectivamente.O nosso primeiro problema é mostrar que, como antes, tem-se forçosamenteE − < Ï ÖS× F − = Ï ÖS× e . Suponhamos que isso não acontecia, porexemplo que .F − =

O A r+B

X

s+t +

s -

Y

Uma vez que com e que pertence ao semiplano\ − <= \ Â < F − = Û

oposto com bordo de , vai existir . Vem então< <= ] − < Ò\ßFÓÛ

l\<l œ l\=l œ l\Fl   l\] l   l\<l,

o que implica, em particular, que , donde , e tambéml\Fl œ l\] l ] œ Fque , donde , portanto , isto é, , e daquil\] l œ l\<l ] œ E ] − < = ] œ Sresulta que é simultaneamente perpendicular a e a , o\S œ \E œ \F < =que é absurdo, por e serem rectas distintas (cf. ).< = 4.26Ficou assim estabelecido que se tem efectivamente eE − < Ï ÖS×

F − = Ï ÖS× .

O A r

s t

+

++

X

B

Uma vez que e ,lF\l œ lE\l ÐÖFSßF\×Ñ œ " œ ÐÖESßE\×Ñ. .Û Û Û Û

deduzimos de que os triângulos e são congruentes4.38 ÐSß\ßEÑ ÐSß\ßFÑe portanto que

. . . .Û Û Û Û ÛÛ

ÐÖ< ßS\×Ñ œ ÐÖSEßS\×Ñ œ ÐÖSFßS\×Ñ œ ÐÖ= ßS\×Ñ .

Uma vez que, pelo axioma ,b) em 3.17

– 59–

. . .Û Û

ÐÖ< ß = ×Ñ œ ÐÖ< ßS\×Ñ ÐÖ= ßS\×Ñ ,

concluímos que donde, pelo. . .Û

ÐÖ< ßS\×Ñ œ ÐÖ< ß = ×Ñ œ ÐÖ< ß > ×Ñ "#

axioma , , portanto , como queríamos.a) em 3.17 S\ œ > \ − >Û

4.43 Sejam um triângulo e tal que(Euclides I-21) ÐEßFßGÑ \ − ÒEßFßGÓ\ Á E \ Â ÒFßGÓ e . Tem-se então

l\Fl l\Gl lEFl lEGl,. .

Û Û Û ÛÐÖ\Fß\G×Ñ ÐÖEFßEG×Ñ.

Dem: a) Comecemos por examinar o caso especial em que pertence a um\dos segmentos ou , podendo já supor-se que , seÒEßFÓ ÒEßGÓ \ − ÒEßFÓnecessário substituindo o triângulo ÐEßFßGÑ ÐEßGßFÑ pelo triângulo .Tendo em conta a desigualde triangular em , vem4.39

l\Fl l\Gl l\Fl lE\l lEGl œ lEFl lEGl

A

B

C

X

e, tendo em conta o facto de Ö\Fß\G×Û Û ser um dos ângulos externos de

vértice do triângulo , deduzimos de que\ ÐEßGß\Ñ 4.19

. . .Û Û Û Û Û Û

ÐÖ\Fß\G×Ñ ÐÖE\ßEG×Ñ œ ÐÖEFßEG×Ñ.

b) Passemos ao caso em que não pertence a nenhum dos segmentos \ ÒEßFÓe .ÒEßGÓ

A

B

CXY

Tendo em conta , intersecta o lado num ponto 4.6 a recta G\ ÒEßFÓ ]distinto de e de e vem , com distinto de e de .E F \ − ÒGß ] Ó \ G ]

– 60–

Aplicando o que já verificámos em a), ao ponto , vemos que, pela]desigualdade triangular,

l\Fl l\Gl l\] l l] Fl l\Gl œ l] Gl l] Fl lEFl lEGl

e que, pelo facto de ser um dos ângulos externos de vértice do Ö\Fß\G× \Û Û

triângulo ,Ð] ßFß\Ñ

. . . .Û Û Û ÛÛ Û Û Û

ÐÖ\Fß\G×Ñ ÐÖ]\ß ] F×Ñ œ ÐÖ] Gß ] F×Ñ ÐÖEFßEG×Ñ,

como queríamos.

4.45 (Euclides I-24 — Quem abre as pernas, mesmo se coxo, afasta os pés)Sejam e ÐEßFßGÑ ÐEww ww ww ww wwß F ß G Ñ lEFl œ lE F l dois triângulos tais que ,lEGl œ lE G l ÐÖEFßEG×Ñ ÐÖE F ßE G ×Ñww ww ww ww ww ww e . Tem-se então. .

Û Û Û Û

lFGl lF G lww ww .Dem: Consideremos no semiplano de bordo que contém umaEG Fsemirrecta de origem , com recta distinta de , tal que< E < EG

. . .Û Û ÛÛ Û

ÐÖ< ßEG×Ñ œ ÐÖE F ßE G ×Ñ ÐÖEFßEG×Ñww ww ww ww

(cf. o axioma ) e, nessa semirrecta, um ponto tal que a) em 3.17 F lEF l œw w

lE F l œ lEFl ÐEßF ßGÑww ww w. Pelo axioma LAL (cf. ), os triângulos e4.13ÐEww ww ww w ww wwß F ß G Ñ lF Gl œ lF G l são congruentes, em particular .Tendo em conta , tem-se , com a recta distinta3.18 EF § nÖEFßEG× EFw wÛ Û Û

da recta , além de como já dissémos, distinta da recta . ExaminemosEF EGagora o que se passa em cada uma das três possibilidades sobre a posição deFw, ilustradas nas figuras seguintes.

A

B

C

B'

A

B

C

B'X

A

B

CB'

– 61–

a) pertence à recta . Tendo em conta a alínea , tem-seF FGw b) de 3.9F − ÒFßGÓ F F G lF Gl lFGlw w w, com distinto de e de , donde , portantolF G l œ lF Gl lFGlww ww w .b) não pertence à recta e pertence ao semiplano, tendo esta rectaF FGw

como bordo, oposto àquele que contém . Neste caso o segmento E ÒEßF Ów

intersecta a recta num ponto que, pela alínea , pertence aFG \ b) de 3.9ÒFßGÓ F G e é distinto de e de . Tendo em conta o facto de os sectoresangulares serem convexos e cónicos relativamente aos respectivos vértices,Concluímos que , sendo distinta de e , eF\ œ FG § nÖFEßFF × FE FF

Û Û Û ÛÛ Ûw w

que , sendo distinta de e , de ondeF \ œ F E § nÖF FßF G× F F F Gw w w w w wÛ Û Û Û Û Û

resulta, tendo em conta o axioma , queb) em 3.17

. .Û ÛÛ Û

. .Û Û Û Û

ÐÖFF ßFG×Ñ ÐÖFF ßFE×Ñ

ÐÖF FßF E×Ñ ÐÖF FßF G×Ñ

w w

w w w w

e portanto, uma vez que, por ser , tem-se, tendo em conta ,lEF l œ lEFlw 4.16. .

Û Û ÛÛÐÖFF ßFE×Ñ œ ÐÖF FßF E×Ñw w w , deduzimos que

. .Û Û ÛÛ

ÐÖFF ßFG×Ñ ÐÖF FßF G×Ñw w w .

Aplicando enfim , deduzimos que , também4.25 lF G l œ lF Gl lFGlww ww w

neste caso.c) não pertence à recta e pertence ao semiplano, tendo esta rectaF FGw

como bordo, que contém . Por outras palavras, pertence ao segmentoE Fw

triangular e não pertence a nenhum dos lados do triânguloÒEßFßGÓÐEßFßGÑ. Tendo em conta e , tem-se4.8 3.24

. . .Û Û Û Û Û Û

ÐÖF EßF F×Ñ ÐÖF FßF G×Ñ ÐÖF GßF E×Ñ œ %w w w w w w

e daqui resulta, uma vez que a amplitude de um ângulo é sempre menor que#, que

. .Û Û Û Û

ÐÖF EßF F×Ñ ÐÖF FßF G×Ñ #w w w w .

Por outro lado, pelo axioma , tem-seb) em 3.17

. . .Û ÛÛ Û Û Û

ÐÖFEßFF ×Ñ ÐÖFF ßFG×Ñ œ ÐÖFEßFG×Ñ #w w

e portanto

. . . .Û Û Û Û Û Û ÛÛ

ÐÖFEßFF ×Ñ ÐÖFF ßFG×Ñ ÐÖF EßF F×Ñ ÐÖF FßF G×Ñw w w w w w .

Uma vez que , donde, , porlEF l œ lEFl ÐÖFEßFF ×Ñ œ ÐÖF EßF F×Ñw w w w. .Û Û Û Û

4.16 4.25, deduzimos que e portanto, por ,. .Û Û ÛÛ

ÐÖFF ßFG×Ñ ÐÖF FßF G×Ñw w w

lF G l œ lF Gl lFGlww ww w , também neste caso.

– 62–

Vamos agora utilizar resultados sobre a geometria do triângulo para obterum resultado cuja natureza ultrapassa o âmbito da Geometria Plana,nomeadamente a possibilidade de definir o ângulo de dois semiplanoscom a mesma recta como bordo. Começamos com um lema ainda da Geo-metria Plana.

4.46 Sejam (Lema) ! ! um plano, uma recta e com .< § T ßU − < T Á USejam e os dois semiplanos de de bordo e e! ! ! ! < E − Ï <F − Ï < TE UF <! dois pontos tais que as rectas e sejam ortogonais a eque . Tem-se então:lTEl œ lUFla) O segmento intersecta a recta num ponto , que éÒEßFÓ < Qsimultaneamente o ponto médio dos pares e (cf. ).ÐEßFÑ ÐT ßUÑ 1.26b) Os triângulos e são congruentes.ÐEß T ßQÑ ÐFßUßQÑ

1

1PQ

A

B

M

Dem: O facto de intersectar num ponto é uma consequência de ÒEßFÓ < Q Ee estarem em semiplanos abertos opostos de de bordo .F <!Tem-se , sem o que e portanto eraQ Á U EF œ EQ œ EU œ FU EUperpendicular a , o que contrariava a unicidade de uma perpendicular a < <passando por e por um ponto de (cf. ). Tem-se também porE < Q Á T4.28simetria dos papéis de e .E F

Aplicando aos triângulos e , cujos ângulos e4.23 ÐEß T ßQÑ ÐFßUßQÑ Tw

U ÖQTßQE× ÖQUßQF×w Û ÛÛ Ûsão rectos, deduzimos que os ângulos e sãoambos agudos, em particular não podem ser adjacentes (cf. ). Uma vez3.19que, por pertencer ao segmento , e são semirrectasQ ÒEßFÓ QE QF

Û Û

opostas, concluímos que as semirrectas e não podem coincidir,QT QUÛ Û

sendo assim também semirrectas opostas, e portanto . Os ângulosQ − ÒT ßUÓ

ÖQT ßQE× ÖQUßQF×Û ÛÛ Û e são assim verticalmente opostos, e portanto com

a mesma amplitude (cf. ). Tendo em conta o teorema podemos3.20 4.35concluir que os triângulos e são congruentes e issoÐEß T ßQÑ ÐFßUßQÑimplica que e , o que mostra que é simul-lEQl œ lFQl lTQl œ lUQl Qtaneamente o ponto médio dos pares e .ÐEßFÑ ÐT ßUÑ

– 63–

4.47 Sejam uma recta e < ! " e dois semiplanos de bordo , cujos planos<continentes e sejam distintos. Sejam com , sejam e! " T ßU − < T Á U => T U a semirrectas de contidas em , de origens e respectivamente,! !cujas rectas continentes e são ortogonais a (cf. e ) e sejam e= > < ?4.26 2.12

@ T U a semirrectas de contidas em , de origens e respectivamente," "cujas rectas continentes e são ortogonais a . Tem-se então? @ <

. .ÐÖ= ß ? ×Ñ œ ÐÖ> ß @ ×Ñ .

Dem: Fixemos pontos arbirários , com , e , comE − = E Á T \ − ?

\ Á T > @ U >. Consideremos as semirrectas e de origem opostas de e

@ , que estão assim contidas nos semiplanos e , opostos de e de! " !" , e sejam e tais que e . TendoF − > ] − @ lUFl œ lTEl lU] l œ lT\lem conta 4.46, o ponto médio do par é simultaneamente o pontoQ ÐT ßUÑmédio dos pares e .ÐEßFÑ Ð\ß ] Ñ

Uma vez que os ângulos e são verticalmenteÖQ\ßQE× ÖQ] ßQF×Û Û ÛÛ

opostos, tem-se . De se ter . .Û Û ÛÛ

ÐÖQ\ßQE×Ñ œ ÐÖQ] ßQF×Ñ lQEl œlQFl lQ\l œ lQ] l e deduzimos assim, do axioma , que os triângulos4.13ÐQßEß\Ñ ÐQßFß ] Ñ lE\l œ lF] l e são congruentes, e portanto . Peloteorema LLL ( ), os triângulos e são congruentes.4.34 ÐEß T ß\Ñ ÐFßUß ] Ñ

– 64–

Resulta daqui, reparando que os ângulos e sãoÖUFßU] × Ö> ß @ ×Û Û

verticalmente opostos, que

. . . .Û Û Û Û

ÐÖ= ß ? ×Ñ œ ÐÖTEßT\×Ñ œ ÐÖUFßU] ×Ñ œ ÐÖ> ß @ ×Ñ ,

como queríamos.

4.48 Nas condições precedentes, define-se a amplitude do ângulo dos doissemiplanos ! " . ! " . e , como sendo o valor , notada ÐÖ ß ×Ñ ÐÖ= ß ? ×Ñcorrespondente à escolha de um ponto arbitrário de e dasT <correspondentes semirrectas e , valor esse que o resultado precedente= ?

garante não depender de .T

5. Isometrias e Aplicações.

5.1 Seja V § À ÄX F V X um conjunto. Diz-se que uma aplicação é isométricase, quaisquer que sejam , .EßF − l ÐEÑ ÐFÑl œ lEFlV F F

5.2 Se F V X FÀ Ä é uma aplicação isométrica, então é injectiva e, sendoW F V F W Xœ Ð Ñ À Ä, também é uma aplicação isométrica."

Dem: Se , vem , donde . ParaF F F FÐEÑ œ ÐFÑ lEFl œ l ÐEÑ ÐFÑl œ ! E œ FGßH − l ÐGÑ ÐHÑl œ l Ð ÐGÑÑ Ð ÐHÑÑl œ lGHlW F F F F F F, vem ." " " "

5.3 Se F V X V V V XÀ Ä § 0 À Ä é uma aplicação isométrica e , então éw wÎVw

trivialmente também uma aplicação isométrica.

5.4 (Aplicações isométricas numa recta) Seja uma recta e seja < § À < ÄX F Xuma aplicação isométrica. Tem-se então que é uma recta e,F XÐ<Ñ = §fixada uma das duas ordens lineares de , existe uma das duas ordensŸ <lineares de tal que seja um isomorfismo de ordem, isto é, que seŸ =w Ftenha, para , se, e só se, .\ß] − < Ð\Ñ Ÿ Ð] Ñ \ Ÿ ]F Fw

Dem: Fixemos uma das ordens lineares de e dois pontos distintosŸ <EßF − < E F ÐEÑ Á ÐFÑ, com . Tem-se então , pelo que podemosF Fconsiderar a única recta tal que .= ÐEÑß ÐFÑ − =F F1) Comecemos por mostrar que se tem , para o que consideramosFÐ<Ñ § =\ − < E F arbitrário, que podemos já supor distinto de e de . Verifica-seassim uma das três propriedades , e .E \ F \ E F E F \No primeiro caso tem-se donde, tendo em conta ,\ − ÒEßFÓ 4.41

l ÐEÑ ÐFÑl œ lEFl œ lE\l l\Fl œ l ÐEÑ Ð\Ñl l Ð\Ñ ÐFÑlF F F F F F

o que, pelo mesmo resultado, implica que , emF F FÐ\Ñ − Ò ÐEÑß ÐFÑÓparticular . No segundo caso tem-se portantoFÐ\Ñ − = E − Ò\ßFÓ

l Ð\Ñ ÐFÑl œ l\Fl œ l\El lEFl œ l Ð\Ñ ÐEÑl l ÐEÑ ÐFÑlF F F F F F

donde , em particular e no terceiro casoF F F FÐEÑ − Ò Ð\Ñ ÐFÑÓ Ð\Ñ − =

– 65–

tem-se portantoF − ÒEß\Ó

l ÐEÑ Ð\Ñl œ lEß\l œ lEFl lF\l œ l ÐEÑ ÐFÑl l ÐFÑ Ð\ÑlF F F F F F

donde , em particular . Em qualquer dosF F F FÐFÑ − Ò ÐEÑ Ð\ÑÓ Ð\Ñ − =casos tem-se portanto .FÐ\Ñ − =2) Vamos agora mostrar que se tem mesmo , para o queFÐ<Ñ œ =consideramos arbitrário, que podemos já supor diferente de .] − = ÐEÑFTem-se então e, tendo em conta a alínea , existeml] ÐEÑl !F d) de 1.19dois pontos distintos de tais que \ ß\ − < E l\ El œ l\ El œ l] ÐEÑlw ww w ww F(um em cada uma das duas semirrectas de de origem ). Tem-se então que< EF FÐ\ Ñ Ð\ Ñ =w ww e são dois pontos distintos de para os quais

l Ð\ Ñ ÐEÑl œ l\ El œ l] ÐEÑl œ l\ El œ l Ð\ Ñ ÐEÑlF F F F Fw w ww ww

pelo que, uma vez que existem apenas dois pontos de a uma distância=estritamente positiva de (um em cada semirrecta de origem ),F FÐEÑ ÐEÑconcluímos que ou , em qualquer caso .] œ Ð\ Ñ ] œ Ð\ Ñ ] − Ð=ÑF F Fw ww

3) Consideremos agora um sistema de coordenadas tal que, para0 À < Ä ‘\ß] − \ Ÿ ] 0Ð\Ñ Ÿ 0Ð] Ñ . −‘ Y, se, e só se, (cf. ). Sendo tal que1.16.Ð\ß ] Ñ œ l0Ð\Ñ 0Ð] Ñl ^ß[ − =, vemos agora que, para ,

l0 ‰ Ð^Ñ 0 ‰ Ð[Ñl œ .Ð Ð^Ñß Ð[ÑÑ œ .Ð^ß[ÑF F F F" " " " ,

portanto é também um sistema de coordenadas e, sendo 0 ‰ À = Ä ŸF ‘" w

a relação de ordem linear em associada a este, tem-se=

F F F F F FÐ\Ñ Ÿ Ð] Ñ Í 0 ‰ Ð Ð\ÑÑ Ÿ 0 ‰ Ð Ð] ÑÑ Í

Í 0Ð\Ñ Ÿ 0Ð] Ñ Í \ Ÿ ]

w " "

,

como queríamos.

5.5 (Corolário) Sejam uma recta, uma aplicação isométrica e< § À < ÄX F X= œ Ð<Ñ T ßU − < T Á UF F a recta imagem. Dados , com , tem-se então que aplica a semirrecta de sobre a semirrecta de e o segmentoTU < ÐT Ñ ÐUÑ =

ÛF F

Û

de recta de sobre o segmento de recta de .ÒT ßUÓ < Ò ÐT Ñß ÐUÑÓ =F FDem: Sendo a ordem linear de para a qual , a ordem linear Ÿ < T U Ÿ w

de para a qual é um isomorfismo de ordem é aquela para a qual= FF FÐT Ñ ÐUÑ, bastando agora lembrar a definição das semirrectas e dossegmentos de recta em termos das ordens lineares consideradas (cf. as alíneasb) e c) de 1.18).

5.6 (Aplicações isométricas num plano) Sejam um plano e ! X F ! X§ À Äuma aplicação isométrica. Tem-se então que é um plano de .F ! " XÐ ÑDem: Sejam uma recta fixada e um ponto fixado. Sejam < § E − Ï <! ! !

o semiplano de de bordo que contém e o outro semiplano de com! ! !< E

o mesmo bordo. Tendo em conta , sabemos que é uma recta e a5.4 = œ Ð<ÑFinjectividade de implica que e podemos assim definir um planoF FÐEÑ Â =" F como sendo o único que contém e (cf. a alínea ).= ÐEÑ a) de 1.8

– 66–

1) Comecemos por mostrar que se tem , ou seja, que, se ,F ! " !Ð Ñ § \ −então . Isso é trivial no caso em que . Vejamos o que sucedeF "Ð\Ñ − \ − <se . Tem-se então que o segmento intersecta num ponto\ − Ï < ÒEß\Ó <!

T ET \, em particular a recta contém o ponto e portanto, mais uma vez por5.4, é uma recta que contém o ponto . Mas, uma vez queF FÐETÑ Ð\ÑF F F "ÐETÑ ÐEÑ ÐT Ñ contém os pontos distintos e em , ela está contida em" F ", em particular . Resta-nos examinar o que se passa no caso emÐ\Ñ −que . Para isso, tomamos e, uma vez que já sabemos\ − Ï < F − Ï <! !

que , repetimos o raciocínio anterior: O segmento intersectaF "ÐFÑ − ÒFß\Ó< U FU \ num ponto , em particular a recta contém o ponto e portantoF FÐFUÑ Ð\Ñ é uma recta que contém o ponto e que contém os pontosdistintos e em , pelo que está contida em , em particularF F " "ÐFÑ ÐUÑF "Ð\Ñ − .2) Vamos agora mostrar que se tem mesmo , isto é, que, para cadaF ! "Ð Ñ œ] − \ − Ð\Ñ œ ] ]" ! F, existe tal que . Isso é trivial no caso em que pertence à recta . Notemos o semiplano de de bordo que= œ Ð<Ñ =F " "

contém e o outro semiplano de com o mesmo bordo. Vejamos oF " "ÐEÑ

que se passa quando . Nesse caso o segmento intersecta] − Ï < Ò ÐEÑß ] Ó" F

a recta num certo ponto, que será da forma , com , e portanto = ÐT Ñ T − < ]Fpertence à recta , que não é mais do que a imagem por da rectaF F FÐEÑ ÐT ÑET § ] Ð\Ñ! F, o que implica que é da forma para um certo\ − ET § ] − Ï <! ". Resta-nos examinar o que se passa quando . Para

isso começamos por fixar um ponto de , que já sabemos poder ser" Ï =escrito na forma , para um certo . O segmento F ! FÐGÑ G − Ò ÐGÑß ] Óintersecta a recta num certo ponto, que será da forma , com , e= ÐUÑ U − <Fportanto pertence à recta , que não é mais do que a imagem por] ÐGÑ ÐUÑF FF ! F da recta , o que implica que é da forma para um certoGU § ] Ð\Ñ\ − GU § !.

5.7 Sejam (Corolário) ! X F ! X§ À Ä um plano, uma aplicação isométrica e" F ! !œ Ð Ñ < § o plano imagem. Dada uma recta cuja imagem é a recta= œ Ð<Ñ § <F " ! ! ! e sendo e os semiplanos de de bordo , tem-se então

que e são os semiplanos de de bordo .F ! F ! "Ð Ñ Ð Ñ =

Dem: A restrição de é uma bijecção de sobre pelo que, notandoF ! "Ï < Ï =µ as relações segmentais nestes dois conjuntos (cf. ), tudo o que temos2.1

que verificar é que, para , tem-se em se, e só se,EßF − Ï < E µ F Ï <! !F F "ÐEÑ µ ÐFÑ Ï = em . Ora, isso é uma consequência de se terF F FÐÒEßFÓÑ œ Ò ÐEÑß ÐFÑÓ, tendo em conta .5.5

5.8 Sejam (Conservação dos ângulos) ! X F ! X§ À Ä um plano, uma aplica-ção isométrica e o plano imagem. Sendo e duas semirrectas" F !œ Ð Ñ < =

contidas em , com a mesma origem e com rectas continentes distintas e! T <= Ð< Ñ Ð= Ñ, tem-se então que e são duas semirrectas contidas em com aF F "

mesma origem e com rectas continentes distintas e e vemF F FÐT Ñ Ð<Ñ Ð=Ñ

. F F .ÐÖ Ð< Ñß Ð= Ñ×Ñ œ ÐÖ< ß = ×Ñ .

– 67–

Dem: e são rectas distintas de e, tendo em conta , F F F ! FÐ<Ñ Ð=Ñ Ð Ñ Ð< Ñ5.5

e são semirrectas daquelas rectas com origem e evidentementeF FÐ= Ñ ÐT Ñ

contidas em . Consideremos pontos e , com " F !œ Ð Ñ E − < F − = E Á T

e . Tem-se que são não colineares, e portantoF Á T EßFß TF F FÐEÑß ÐFÑß ÐT Ñ são também não colineares e o facto de se ter

l ÐEÑ ÐFÑl œ lEFl l ÐFÑ ÐT Ñl œ lFT l l ÐT Ñ ÐEÑl œ lTElF F F F F F, , ,

implica, pelo teorema LLL (cf. ) que os triângulos 4.34 Ð ÐEÑß ÐFÑß ÐT ÑÑF F Fe são congruentes, e portantoÐEßFß T Ñ

. F F . F . .w w

ÐÖ Ð< Ñß Ð= Ñ×Ñ œ Ð ÐT ÑÑ œ ÐT Ñ œ ÐÖ< ß = ×Ñ .

5.9 (Aplicações isométricas no espaço) Seja uma aplicação isomé-F X XÀ Ätrica. Tem-se então e diz-se também que é uma de .F X X F XÐ Ñ œ isometriaDem: Sejam um plano fixado e um ponto fixado. Tendo! X X !§ E − Ïem conta , sabemos que é um plano e a injectividade de 5.6 " F ! Fœ Ð Ñimplica que . Sejam o semiespaço de bordo que contém F " X " FÐEÑ Â ÐEÑ

e o outro semiespaço com o mesmo bordo (cf. ). O que temos queX 2.11provar é, que, para cada , existe tal que . Isso é] − \ − Ð\Ñ œ ]X X Ftrivial no caso em que pertence ao plano . Vejamos o que se] œ Ð Ñ" F !passa quando . Nesse caso o segmento intersecta o] − Ï Ò ÐEÑß ] ÓX " F

plano num certo ponto, que será da forma , com , e portanto " F !ÐT Ñ T − ]pertence à recta , que não é mais do que a imagem por da rectaF F FÐEÑ ÐT ÑET ] Ð\Ñ \ − ET §, o que implica que é da forma para um certo .F XResta-nos examinar o que se passa quando . Para isso começamos] − ÏX "

por fixar um ponto de , que já sabemos poder ser escrito na formaX " ÏF X F "ÐGÑ G − Ò ÐGÑß ] Ó, para um certo . O segmento intersecta o plano numcerto ponto, que será da forma , com , e portanto pertence àF !ÐUÑ U − ]recta , que não é mais do que a imagem por da recta , o queF F FÐGÑ ÐUÑ GUimplica que é da forma para um certo .] Ð\Ñ \ − GU §F X

5.10 Sejam (Corolário) F X X ! XÀ Ä § um isometria e um plano, cuja imagemé o plano . Sendo e os semiespaços de bordo , tem-se" F ! X X X !œ Ð Ñ §

então que e são os semiespaços de bordo .F X F X "Ð Ñ Ð Ñ

Dem: A restrição de é uma bijecção de sobre pelo que,F X ! X "Ï Ïnotando as relações segmentais nestes dois conjuntos (cf. ), tudo o queµ 2.1temos que verificar é que, para , tem-se em se, eEßF − Ï E µ F ÏX ! X !só se, em . Ora, isso é uma consequência de se terF F X "ÐEÑ µ ÐFÑ ÏF F FÐÒEßFÓÑ œ Ò ÐEÑß ÐFÑÓ, tendo em conta .5.5

5.11 O conjunto das isometrias (O grupo das isometrias) F X XÀ Ä constituium subgrupo do grupo de todas as bijecções , em particularX XÄM. À ÄX X X é uma isometria.Dem: Trata-se de uma consequência imediata da definição de aplicaçãoisométrica e de as isometrias serem bijectivas.

– 68–

5.12 Seja um ponto fixado.(A inversão relativamente a um ponto) S − XDefinimos então uma aplicação , a que daremos o nome de38@ À ÄS X Xinversão relativamente a , do seguinte modo: ; para cadaS 38@ ÐSÑ œ SS

T Á S < œ ST < œ ST, consideramos a recta , a semirrecta e a semirrectaÛ

oposta e definimos como sendo o único ponto de para o qual< 38@ ÐT Ñ < S

se tem . Equivalentemente, para cada , é olS 38@ ÐT Ñl œ lST l T 38@ ÐT ÑS S

único ponto tal que seja o ponto médio de .S ÐT ß 38@ ÐT ÑÑS

5.13 Nas condi( é isometria)38@S ções anteriores, a aplicação é38@ À ÄS X Xuma isometria , isto é, que verifica .involutiva 38@ ‰ 38@ œ M.S S X

Dem: Comecemos por reparar que o facto de se ter ,38@ Ð38@ ÐT ÑÑ œ TS S

para cada é uma consequência imediata da definição, uma vez que aT − Xsemirrecta oposta da semirrecta de origem que contém é aS 38@ ÐT ÑS

semirrecta . Resta-nos mostrar que, quaisquer que sejam ,ST T ßU −Û

Xtem-se , o que faremos começando por examinarl38@ ÐT Ñ 38@ ÐUÑl œ lTUlS S

casos particulares:1) A conclusão é trivialmente válida, pelo modo como a aplicação foidefinida, no caso em que ou . Supomos assim nas alíneasT œ S U œ Sseguintes que e .T Á S U Á S2) Suponhamos que são colineares e notemos a recta que os con-SßT ßU <tém. Consideremos um -sistema de coordenadas de , de origem. < 0 À < Ä ‘S 0ÐSÑ œ ! > − > Á ! 0 Ð>Ñ, isto é, tal que (cf. ). Se , com , os pontos 1.15 ‘ "

e estão em semirrectas opostas de de origem e são tais que0 Ð>Ñ < S"

.Ð0 Ð>Ñß SÑ œ .Ð0 Ð>Ñß 0 Ð!ÑÑ œ l> !l œ l> !l œ

œ .Ð0 Ð>Ñß 0 Ð!ÑÑ œ .Ð0 Ð>ÑßSÑ

" " "

" " " ,

o que mostra que , igualdade que é trivialmente38@ Ð0 Ð>ÑÑ œ 0 Ð>ÑS" "

também verificada para . Vem então> œ !

0Ð38@ ÐT ÑÑ œ 0Ð38@ Ð0 Ð0ÐT ÑÑÑÑ œ 0Ð0 Ð0ÐT ÑÑÑ œ 0ÐT ÑS S" "

e, do mesmo modo , portanto0Ð38@ ÐUÑÑ œ 0ÐUÑS

.Ð38@ ÐT Ñß 38@ ÐUÑÑ œ l0Ð38@ ÐT ÑÑ 0Ð38@ ÐUÑÑl œ

œ l0ÐT Ñ 0ÐUÑl œ l0ÐT Ñ 0ÐUÑl œ .ÐT ßUÑS S S S

,

o que implica que .l38@ ÐT Ñ 38@ ÐUÑl œ lTUlS S

3) Examinemos enfim o caso em que são não colineares e portantoSßT ßUas rectas e são distintas. Por construção, os ângulos< œ ST = œ SU

ÖST ßSU× ÖS38@ ÐT ÑßS38@ ÐUÑ×Û Û Û Û e são verticalmente opostos, e portantoS S

com a mesma amplitude e tem-se e lS 38@ ÐT Ñl œ lST l lS 38@ ÐUÑl œS S

lSUl ÐSß 38@ ÐT Ñß 38@ ÐUÑÑ pelo que, pelo axioma , os triângulos e4.13 S S

ÐSß T ßUÑ são congruentes, o que implica, também neste caso, que se teml38@ ÐT Ñ 38@ ÐUÑl œ lTUlS S .

– 69–

5.14 Seja uma recta fixada.(A inversão relativamente a uma recta) < § XDefinimos então uma aplicação , a que daremos o nome de38@ À Ä< X Xinversão relativamente a , do seguinte modo: Para cada ,< T − <38@ ÐT Ñ œ T E  < T E< ; Para cada , consideramos o pé da perpendicular de sobre (cf. ) e definimos (cf. ).< 38@ ÐEÑ œ 38@ ÐEÑ4.28 5.12< T

5.15 Nas condi(Lema) ções anteriores, seja um plano tal que .! X !§ < §Tem-se então que a restrição de a é uma aplicação isométrica que38@< !toma valores em .!Dem: O facto de, para cada , ser é evidente no caso emE − 38@ ÐEÑ −! !<

que e, caso contrário, resulta de que, sendo o pé da perpendicular deE − < TE < TE T E sobre , a recta está contida em , por ter dois pontos distintos e !em . Resta-nos mostrar que, quaisquer que sejam , tem-se! !EßF −l38@ ÐEÑ 38@ ÐFÑl œ lEFl< < , o que faremos começando por examinar casosparticulares:1) O resultado é trivial no caso em que e .E − < F − <2) Examinemos o caso em que, dos pontos e , um pertence a e o outroE F <não. Se necessário trocando os papéis de e , suponhamos que eE F E − <F  < E. Duas situações podem acontecer: Na primeira é o pé daperpendicular de para e então temos simplesmenteF <

l38@ ÐEÑ 38@ ÐFÑl œ lE 38@ ÐFÑl œ lEFl< < E ;

Na segunda, o pé da perpendicular de para é diferente de e então,T F < Enotando , podemos considerar os triângulos eF œ 38@ ÐFÑ ÐEß T ßFÑw

T

ÐEß T ßF Ñ 38@wT, para os quais, tendo em conta a definição de ,

vem e . Pelo axioma. .Û ÛÛ Û

ÐÖTEßTF×Ñ œ " œ ÐÖTEßTF ×Ñ lTFl œ lTF lw w

LAL (cf. ) os triângulos em questão são congruentes e portanto4.13

l38@ ÐEÑ 38@ ÐFÑl œ lEF l œ lEFl< <w .

3) Examinemos agora o caso em que e têm o mesmo pé daE Â < F Â <perpendicular sobre a recta . Neste casos, tendo em conta o facto de T < 38@Tser uma isometria, vem, mais uma vez

– 70–

l38@ ÐEÑ 38@ ÐFÑl œ l38@ ÐEÑ 38@ ÐFÑl œ lEFl< < T T .

4) Examinemos enfim o caso que nos falta, aquele em que e E Â < F Â <têm pés da perpendicular e sobre a recta , com . Notemos T U < T Á U E œw

38@ ÐEÑ œ 38@ ÐEÑ F F 38@ ÐFÑ œ 38@ ÐFÑ< T < Uw, o ponto, de entre e , que está

no mesmo semiplano de com bordo que e o outro daqueles dois! !ww< E F

pontos.

Reparemos que as rectas e não se intersectam, tendo em conta aEE F Fw w ww

afirmação de unicidade da definição do pé da perpendicular em , e daqui4.28resulta que e pertencem ao mesmo semiplano de de bordo queE E F Fw w ww!

T E − nÖUT ßUF × E − nÖUT ßUF ×, e portanto que e .Û ÛÛ Ûw w ww

Tendo em conta o axioma , tem-se assimb) em 3.17

– 71–

" œ ÐÖUT ßUF ×Ñ œ ÐÖUT ßUE×Ñ ÐÖUEßUF ×Ñ

" œ ÐÖUT ßUF ×Ñ œ ÐÖUT ßUE ×Ñ ÐÖUE ßUF ×Ñ

. . .Û ÛÛ ÛÛ Û

. . .Û ÛÛ Û Û Û

w w

ww w w ww

,

.

Uma vez que, pelo axioma LAL (cf. ) os triângulos e4.13 ÐT ßUßEÑÐT ßUßE Ñ lEUl œ lE Ulw w são congruentes, sabemos que e que. .

Û ÛÛ ÛÐÖUT ßUE×Ñ œ ÐÖUT ßUE ×Ñw e desta última igualdade e das igualdades

acima destacadas resulta que . Aplicando. .Û Û Û Û

ÐÖUEßUF ×Ñ œ ÐÖUE ßUF ×Ñw w ww

de novo o , deduzimos agora que . Pelo teoremaaxioma LAL lEF l œ lE F lw w ww

LLL (cf. ) podemos agora garantir que os triângulos e4.34 ÐEßUßF Ñw

ÐE ßUßF Ñw ww são congruentes, o que implica que

. . . .Û Û Û Û Û Û Û Û

ÐÖF EßF F ×Ñ œ ÐÖF EßF U×Ñ œ ÐÖF E ßF U×Ñ œ ÐÖF E ßF F ×Ñw w ww w w ww w ww ww w ww w .

Mais uma vez o implica agora que os triângulos eaxioma LAL ÐF ßF ßEÑw ww

ÐF ßF ßE Ñ lEF l œ lE F lww w w ww w w são congruentes, e portanto que . As duasigualdades e mostram-nos finalmente que,lEF l œ lE F l lEF l œ lE F lw w ww ww w w

quer se tenha , e portanto , ou , e portantoF œ F 38@ ÐFÑ œ F F œ Fw ww ww<

38@ ÐFÑ œ F<w, tem-se sempre

l38@ ÐEÑ 38@ ÐFÑl œ lE 38@ ÐFÑl œ lEFl< < <w .

5.16 Nas condi( é isometria)38@< ções de , a aplicação é uma5.14 38@ À Ä< X Xisometria involutiva, isto é, verifica , para cada ,38@ Ð38@ ÐEÑÑ œ E E −< < XDem: Comecemos por reparar que o facto de se ter , para38@ Ð38@ ÐEÑÑ œ E< <

cada resulta de que, afastando já o caso trivial em que , sendo E − E − < TXo pé da perpendicular de para , é também o pé da perpendicular deE < T38@ ÐEÑ <T para , bastando portanto ter em conta o facto de a simetriarelativamente a ser uma involução. Resta-nos mostrar que, quaisquer queTsejam , tem-se , o que faremos come-EßF − l38@ ÐEÑ 38@ ÐFÑl œ lEFlX < <

çando por examinar casos particulares:1) Se existir um plano tal que , e , a igualdade! ! ! !< § E − F −pretendida é uma consequência do lema .5.152) Afastamos de seguida o caso particular referido em 1), o que implica, emparticular, que e . No caso em que e têm o mesmo pé daE Â < F Â < E Fperpendicular sobre a recta , ficamos com uma consequência de serT < 38@Tuma isometria (cf. ):5.13

l38@ ÐEÑ 38@ ÐFÑl œ l38@ ÐEÑ 38@ ÐFÑl œ lEFl< < T T .

4) Passemos enfim ao caso que nos falta e que é o de justificação maiselaborada, nomeadamente aquele em que e têm pés daE Â < F Â <perpendicular e sobre a recta , com e em que, sendo o planoT U < T Á U !que contém e e o plano que contém e , tem-se . Notemos < E < F Á" ! " !

e o semiplanos de e de , em ambos os casos com bordo , tais que" ! " <E − F −! " ! " e e sejam e os semiplanos opostos daqueles.

– 72–

Notemos e .E œ 38@ ÐEÑ œ 38@ ÐEÑ F œ 38@ ÐFÑ œ 38@ ÐFÑw w< T < U

Consideremos ainda uns pontos auxiliares: Na recta do plano que passa por!U < \ \ e é perpendicular a , definimos dois pontos e , respectivamente emw

! ! e em , pela condição de se ter

lU\l œ lU\ l œ lTEl œ lTE lw w ,

tendo-se então . Notamos ainda o ponto médio do par\ œ 38@ Ð\Ñ QwU

ÐT ßUÑ Q e lembramos que, tendo em conta o lema , é também o ponto4.46médio dos pares e .ÐEß\ Ñ ÐE ß\Ñw w

Começamos por reparar que, uma vez que é uma isometria, tem-se38@UlF\ l œ lF \l 38@w w

<. Por outro lado, uma vez que as restrições de a e a ! "são isometrias, pelo lema , tem-se também e 5.15 lQF l œ lQFl lQ\ l œw w

lQ\l. Pelo teorema LLL (cf. ), concluímos que os triângulos4.34ÐQßFß\ Ñ ÐQßF \Ñw w e são congruentes, e portanto

. .Û ÛÛ Û

ÐÖQFßQ\ ×Ñ œ ÐÖQF ßQ\×Ñw w .

Uma vez que os ângulos e são adjacentes, e oÖQFßQ\ × ÖQFßQE×Û ÛÛ Ûw

mesmo acontece aos ângulos e , deduzimosÖQF ßQ\× ÖQF ßQE ×w w wÛ Û ÛÛ

agora de que se tem também3.19

. .Û Û Û Û

ÐÖQFßQE×Ñ œ ÐÖQF ßQE ×Ñw w .

Uma vez que as restrições de a e a são isometrias, tem-se38@< ! "

– 73–

lQF l œ lQFl lQE l œ lQElw w e e daqui deduzimos, pelo axioma , que4.13os triângulos e são congruentes, e portanto, vemÐQßEßFÑ ÐQßE ßF Ñw w

l38@ ÐEÑ 38@ ÐFÑl œ lE F l œ lEFl< <w w , como queríamos.

Como aplicação do resultado precedente vamos examinar a noção deperpendicularidade entre uma recta e um plano.

5.17 Sejam uma recta e < ! ! um plano e suponhamos que e são concorrentes,<com . Diz-se que e são perpendiculares se a recta é< œ ÖT× < <! !perpendicular a todas as rectas tais que .? § T − ?!

5.18 Sejam uma recta e (Lema) < ! ! um plano tais que . Tem-se< œ ÖT×então que e são perpendiculares se, e só se, (e portanto< 38@ Ð Ñ §! ! !<

38@ Ð Ñ œ< ! !).12

Dem: O facto de a condição implicar é uma38@ Ð Ñ § 38@ Ð Ñ œ< <! ! ! !consequência de que, uma vez que é uma isometria, é um plano38@ 38@ Ð Ñ< < !(cf. ). Suponhamos que e são perpendiculares e mostremos que5.6 < !38@ Ð Ñ § E −< ! ! !, para o que tomamos , que podemos já supor diferente deT TE. Tem-se então que a recta está contida em , e portanto é!perpendicular à recta , o que implica que é o pé da perpendicular de < T Epara , donde . Suponhamos,< 38@ ÐEÑ œ 38@ ÐEÑ − TE §< T !reciprocamente, que Sendo uma recta, com ,38@ Ð Ñ œ Þ ? § T − ?< ! ! !podemos escolher com (portanto ) e, sendo o pé daE − ? E Á T E  < Uperpendicular de para , tem-se , pelo que E < 38@ ÐEÑ œ 38@ ÐEÑ − U< U !pertence à recta que contém os pontos distintos e , que está contidaE 38@ ÐEÑ<

em , donde , portanto , donde é! !U − < U œ T ? œ ET œ EUperpendicular a , o que mostra que e são perpendiculares.< < !

5.19 Sejam e < ! ! uma recta e um plano perpendiculares, com .< œ ÖT×Tem-se então que qualquer recta perpendicular a , com , está= < T − =contida em ; em particular é a união de todas as rectas perpendiculares a! ! =< T − =, com .Dem: Seja uma recta perpendicular a , com . Seja o plano que= < T − = "contém as rectas concorrentes e , com . Como , porque< = < = œ ÖT× Á" !< § T − ?Î ! ! " " !, e , segue-se que é uma recta (cf. a alínea d) de1.7), com . Mas então e são duas rectas de contendo eT − ? ? = T"perpendiculares a e portanto, por , , donde . O que< ? œ = = §4.26 !acabamos de mostrar mostra que a união de todas as rectas perpendiculares=a , com , esta contida em e esta união é mesmo visto que, para< T − = ! !cada , já com , a recta está contida em e contém e , eE − E Á T ET T E! !portanto é perpendicular a .<

12A hipótese de e serem concorrentes é essencial: Lembrar que, se , então< < §! !38@ Ð Ñ œ << ! ! ! (cf. ) e, no entanto não é perpendicular a .5.15

– 74–

5.20 (Condição suficiente de perpendicularidade) Sejam um plano, e! !T −=ß > § = > œ ÖT× < T − <! duas rectas com . Se é uma recta, com ,simultaneamente perpendicular a e a , então é perpendicular a .= > < !Dem: Comecemos por reparar que não pode ser , tendo em conta .< § ! 4.26Uma vez que , segue-se que . Sejam e ,T − < < œ ÖT× E − = F − >! !com . Uma vez que é então o pé da perpendicular de e de EßF Á T T E Fsobre , segue-se que<

38@ ÐEÑ œ 38@ ÐEÑ − = §

38@ ÐFÑ œ 38@ ÐFÑ − > §< T

< T

!

!

,.

Por outro lado, . Uma vez que não são colineares38@ ÐT Ñ œ T − T ßEßF< !e que é uma isometria involutiva, resulta de que 38@ 38@ ÐT Ñß 38@ ÐEÑß< < <5.438@ ÐFÑ< também são não colineares. Tendo em conta , sabemos que5.638@ Ð Ñ< ! ! é um plano pelo que, por conter três pontos não colineares de ,tem-se . Pelo lema , e são perpendiculares.38@ Ð Ñ œ << ! ! !5.18

5.21 (Existência e unicidade do plano perpendicular num ponto duma recta)Sejam uma recta e . Existe então um, e um só, plano < T − < ! ! tal que T −e e sejam perpendiculares.< !Dem: A unicidade resulta de , uma vez que não pode deixar de ser a5.19 !união da rectas perpendiculares a que pasam por .< TPara provar a existência, comecemos por mostrar que se podem considerardois planos e , com . Para isso tomamos um ponto ," # " # œ < F  <definimos como sendo o único plano que contém e , consideramos um" < Fponto (cf. a alínea ) e definimos como sendo o único planoG  " #e) de 1.6que contém e ; uma vez que e que , tem-se< G Á < § " # " #efectivamente (cf. as alíneas )." # œ < a) e d) de 1.7Sejam agora a recta perpendicular a com e a recta= § < T − = > §" #perpendicular a com . Uma vez que e , vem< T − > = < œ ÖT× > < œ ÖT×= > œ ÖT× = > pelo que podemos considerar o plano que contém e . Vem!T − <! ! e, tendo em conta , e são perpendiculares.5.20

5.22 (Existência e unicidade da recta perpendicular num ponto dum plano)Sejam ! ! um plano e . Existe então uma, e uma só, recta tal queT − <T − < < e e sejam perpendiculares.!Dem: Comecemos por provar a unicidade para o que, supomos que existiamrectas distintas , com e tanto como perpendiculares a .<ß = T − < = < = !Escolhamos , com e , com , em particular e E − < E Á T F − = F Á T E Fnão pertencem a e não são colineares (senão ). Seja o! "EßFß T < œ =plano que contém e que é portanto distinto de e contém as rectas EßFß T <!e . Uma vez que , segue-se que é uma recta , com .= T − > T − >! " ! "Por definição e são perpendiculares a todas as rectas de que passam por< = !T >, em particular são perpendiculares a , o que é absurdo, tendo em conta4.26, uma vez que se trata de duas rectas de ."Passemos agora à prova da existência. Sejam e duas rectas contidas em ? @ !e tais que (tomar para uma recta de contendo e para ? @ œ ÖT× ? T @!

– 75–

uma recta que contenha e algum ponto de não pertencente a ). Sejam T ?! #e os planos que contêm o ponto e são perpendiculares a e a ,$ T ? @respectivamente (cf. ). Tem-se , tendo em conta a unicidade de5.21 # $Áuma recta perpendicular a um plano passando por um dos seus pontos, quedemonstrámos no início, e, uma vez que , concluímos que éT − # $ # $uma recta , que contém o ponto (cf. a alínea ). Uma vez que é< T ?d) de 1.7perpendicular a todas as rectas de que passam por , é perpendicular a # T ? <e, uma vez que é perpendicular a todas as rectas de que passam por , é@ T @$perpendicular a . Concluímos agora de que é perpendicular a .< <5.20 !

5.23 Sejam (Perpendicular a um plano por um ponto exterior) ! um plano e\ Â E − \E! !. Existe então um, e um só, ponto tal que a recta sejaperpendicular ao plano (dizemos que é o de para! E \pé da perpendicular!).Dem: 1) Comecemos por provar a unicidade, para o que supomos aexistência de dois pontos em tais que as rectas e sejamE Á E \E \Ew w!ambas perpendiculares a . Tem-se então que, sendo a recta que! !< §contém e , vem, por definição de perpendicularidade entre uma recta eE Ew

um plano, que as rectas e são ambas perpendiculares a , o que é\E \E <w

absurdo, tendo em conta .4.282) Vamos, nesta e nas próximas alíneas, provar a existência de um ponto Enas condições pedidas. Seja um ponto arbitrário. Se a recta F − = œ \F!fosse perpendicular a a existência estava provada. Vamos assim examinar!o que se passa no caso em que não é perpendicular a .= œ \F !3) Mostremos a existência de uma recta , com , tal que e sejam> § F − > = >!perpendiculares.Para isso, consideramos o plano perpendicular a tal que (cf. )," "= F − 5.21atendemos a que (porque não é perpendicular a ) e a que" ! !Á =F − >! " ! ", pelo que é uma recta (cf. a alínea ), que contémd) de 1.7F = e está contida em e que é perpendicular a , por estar contida em que é! "um plano perpendicular a .=

– 76–

4) Seja a recta perpendicular a tal que (cf. ) e reparemos? § > F − ?! 4.26que não é perpendicular a , senão , sendo perpendicular às recta= œ \F ? =distintas e de que passam por seria perpendicular a .> ? F! !5) Seja o plano que contém as rectas concorrentes e e seja o pé da# = ? Eperpendicular de para (cf. ), que é diferente de , por não ser\ ? F =4.28perpendicular a . Vamos verificar nas próximas alíneas que é o ponto? Eprocurado, isto é, que a recta que, por construção, é perpendicular à@ œ \Erecta , é mesmo perpendicular ao plano ? !

6) Note-se que a recta está contida no plano , por conter os pontos e @ \ E#de . Seja a semirrecta de de origem tal que . Seja a# #@ @ E \ − @ A §

recta que contém e é perpendicular a (cf. ) e seja a semirrecta deF ? A4.26

A F ? de origem que está contida no mesmo semiplano de , com bordo ,# #

que a semirrecta . Fixemos um dos semiplanos de , de bordo , e seja@ ? ! !> > F a semirrecta de de origem que está contida em . Reparemos que a!recta é perpendicular ao plano , por ser perpendicular às rectas> #concorrentes e de (cf. ) e que portanto é também perpendicular à= ? ># 5.20recta de . Seja a recta que passa por e é perpendicular a e sejaA D § E ?# !D D E a semirrecta de de origem que está contida em . Tendo em conta!4.47, vemos que

. .ÐÖD ß @ ×Ñ œ ÐÖ> ß A ×Ñ œ " ,

– 77–

e portanto a recta , que já sabíamos ser perpendicular a , é também@ ?perpendicular a . Tendo em conta , é perpendicular ao plano , comoD @5.20 !queríamos.

5.24 Seja um plano fixado.(A inversão relativamente a um plano) ! § XDefinimos então uma aplicação , a que daremos o nome de38@ À Ä! X Xinversão relativamente a , do seguinte modo: Para cada ,! !T −38@ ÐT Ñ œ T \  E! ; Para cada , consideramos o pé da perpendicular de!\ 38@ Ð\Ñ œ 38@ Ð\Ñ sobre (cf. ) e definimos (cf. ).! 5 23 5.12Þ ! E

5.25 Nas condi( é isometria)38@! ções anteriores, a aplicação é38@ À Ä! X Xuma isometria involutiva, isto é, verifica , para cada38@ Ð38@ Ð\ÑÑ œ \! !

\ − X,Dem: Comecemos por reparar que o facto de se ter ,38@ Ð38@ Ð\ÑÑ œ \< <

para cada resulta de que, afastando já o caso trivial em que ,\ − \ −X !sendo o pé da perpendicular de para , é também o pé daE \ E!perpendicular de para , bastando portanto ter em conta o facto de38@ Ð\ÑE !a simetria relativamente a ser uma involução. Resta-nos mostrar que,Equaisquer que sejam , tem-se , podendo\ß] − l38@ Ð\Ñ 38@ Ð] Ñl œ l\] lX ! !

já afastar-se o caso trivial em que . Dois casos são possíveis:\ œ ]1) A recta é perpendicular a , com . Nesse caso= œ \] = œ ÖE×! !tem-se e , pelo que a igualdade38@ Ð\Ñ œ 38@ Ð\Ñ 38@ Ð] Ñ œ 38@ Ð] Ñ! !E E

l38@ Ð\Ñ 38@ Ð] Ñl œ l\] l 38@ À Ä! ! resulta de ser uma isometria (cf.E X X5.13).2) A recta não é perpendicular a . Nesse caso seja o pé da= œ \] E!perpendicular de para , se , e , se , e, do mesmo\ \  E œ \ \ −! ! !modo, seja o pé da perpendicular de para , se , e , seF ] ]  F œ ]! !] − > œ EF E Á F!, e consideremos a recta (reparemos que ). No caso emque a recta , sendo perpendicular a , é também perpendicular a\  \E! !> œ EF E \ >, pelo que é também o pé da perpendiicular de para , donde38@ Ð\Ñ œ 38@ Ð\Ñ œ 38@ Ð\Ñ! E > e esta igualdade vale ainda trivialmente nocaso em que . Do mesmo modo se vê que . A\ − 38@ Ð] Ñ œ 38@ Ð] Ñ! ! >

igualdade é assim uma consequência del38@ Ð\Ñ 38@ Ð] Ñl œ l\] l! !

38@ À Ä> X X ser uma isometria (cf. ).5.16

6. Quadriláteros e Paralelogramos

6.1 Vamos chamar a uma quadra ordenada de pontosquadrilátero ÐEßFßGßHÑconstituindo um conjunto complanar e tal que nenhum dos conjuntosÖEßFßG× ÖFßGßH× ÖGßHßE× ÖHßEßF×, , e seja colinear. As condiçõesanteriores implicam que os quatro pontos são todos distintos eEßFßGßHque existe um único plano contendo aqueles quatro pontos, a que daremos!o nome de . Chamamos vértices do quadrilátero aosplano do quadriláteroquatro pontos , deste aos pares EßFßGßH ÐEßFÑß ÐFßGÑß ÐGßHÑßlados

– 78–

ÐHßEÑ ÒEßFÓ ÒFßGÓ ÒGßHÓ ÒHßEÓ ou aos segmentos de recta , , e e ângulosdeste aos ângulos

HEF œ ÖEHßEF× EFG œ ÖFEßFG×

FGH œ ÖGFßGH× GHE œ ÖHGßHE×

w wÛ Û Û Û

w Û Û Ûw Û, ,, ,

que serão notados simplesmente , , e quando o quadriláteroE F G Hw w ww

estiver implícito (comparar com ).4.1

A

B

CD

A

B

C D

A

BC

D

6.2 Diz-se que um quadrilátero , com plano ÐEßFßGßHÑ !, é se, paraconvexocada lado, os vértices que o definem pertencem ao mesmo semiplano de !cujo bordo é a recta definida pelos restantes dois vértices, por outraspalavras, se se verificam as quatro condições seguintes:1) e estão no mesmo semiplano de de bordo .G H EF!2) e estão no mesmo semiplano de de bordo .H E FG!3) e estão no mesmo semiplano de de bordo .E F GH!4) e estão no mesmo semiplano de de bordo .F G HE!

6.3 Como consequência imediata da definição precedente, vemos que, apesar dese tratar de quadriláteros distintos, se é um quadrilátero, oÐEßFßGßHÑmesmo acontece aos, obtidos por permuta ,ção circular, ÐFßGßHßEÑÐGßHßEßFÑ ÐHßEßFßGÑ e e, se um destes quatro quadriláteros é convexo,o mesmo aconte aos outros três (os lados são os mesmos).Do mesmo modo, se é um quadrilátero, também o é o, obtidoÐEßFßGßHÑpor inversão da ordem, e o primeiro é convexo se, e só se, oÐHßGßFßEÑsegundo o é (os lados são os mesmos, com a ordem dos vértices invertida).13

Repare-se que, no caso das três figuras acima, temos três quadriláteros,dos quais só o primeiro é convexo. O segundo transforma-se numquadrilátero convexo por reordenação dos vértices, por exemplo noquadrilátero , mas o mesmo já não se consegue fazer com oÐEßFßHßGÑterceiro.O resultado seguinte dá uma caracterização mais simples dosquadriláteros convexos, que mostra que podemos tomar para os três pri-

13No entanto, se é um quadrilátero, apesar de o mesmo acontecer, porÐEßFßGßHÑexemplo, a já não é verdade que a convexidade de um tenha alguma coisa aÐEßGßFßHÑver com a convexidade do outro, uma vez que os lados são distintos.

– 79–

meiros vértices pontos arbitrários não colineares e caracterizar a convexi-dade por uma condição envolvendo apenas o quarto vértice.

6.4 Sejam pontos não colineares(Caracterização pelo quarto vértice) EßFßGe ! ! o plano que os contém. Dado , tem-se que é umH − ÐEßFßGßHÑquadrilátero convexo se, e só se, se verificam as condições seguintes:a) e não pertence a nenhuma das semirrectas eH − nÖFEßFG× H FE

Û ÛÛ

FGÛ .

b) e pertence ao semiplano de de bordo oposto àquele queH Â EG H EG!contém .F

A

BC

zona D

Dem: 1) Comecemos por supor que é um quadrilátero conve-ÐEßFßGßHÑxo.

A

B

CD

O facto de estar no mesmo semiplano de de bordo que e de estarH EF G!no mesmo semiplano de de bordo que diz-nos que! FG E

H − nÖFEßFG× HÛ Û e o facto de não pertencer a nenhuma das semirrectas

FE FG EFH FGHÛ Û e resulta de que e são não colineares, por termos um

quadrilátero. O facto de se ter resulta de serem nãoH Â EG GßHßEcolineares, mais uma vez por termos um quadrilátero. O facto de estar noEmesmo semiplano de de bordo que e estar no mesmo semiplano de! GH F

!Û Û de bordo que implica que e, como anteriormente,FG H E − nÖGFßGH×

pelo facto de termos um quadrilátero, não pertence às semirrectas eE GFÛ

GHÛ . Aplicando a , concluímos que alínea a) do teorema da barra cruzada 3.9H EG F pertence ao semiplano de de bordo oposto àquele que contém .!2) Suponhamos, reciprocamente, que as condições a) e b) do enunciado sãoverificadas. Elas implicam, em particular que não pertence a nenhuma dasH

– 80–

rectas e (cf. ) pelo que, uma vez que, por hipótese, e nãoFG FE H F3.4pertencem à recta , concluímos que é um quadrilátero. OEG ÐEßFßGßHÑ

facto de pertencer a mostra que e estão no mesmoH nÖFEßFG× H EÛ Û

semiplano de de bordo e que e estão no mesmo semiplano de ! !FG H Gde bordo .FE

AB

CD

s-

Notemos a semirrecta de origem oposta à semirrecta . O facto de = G GF HÛ

estar no mesmo semiplano de de bordo que e estar no semiplano de! FG E! de bordo oposto ao que contém , e portanto no mesmo que contémEG F

= H − nÖGEß = × , implica que . Tendo em conta a alínea ,Û d) de 3.9deduzimos que , em particular e estão no mesmoGE § nÖGHßGF× E F

Û Û Û

semiplano de de bordo . Aplicando a conclusão a que acabamos de! GHchegar ao quadrilátero , que também verifica as condições a) eÐGßFßEßHÑb) no enunciado, vemos que e estão no mesmo semiplano de de bordoF G !EH ÐEßFßGßHÑ. Terminámos assim a prova de que o quadrilátero éconvexo.

6.5 Embora não tenhamos de momento inten(Nota) ção de o utilizar, a provaanterior mostra-nos que, para termos a certeza que um quadriláteroÐEßFßGßHÑ é convexo, basta verificar as condições 1), 2) e 3) na definição6.2, a condição 4) sendo portanto uma consequência daquelas três. Comefeito, apenas utilizámos as condições 1), 2) e 3) para estabelecer aspropriedades a) e b) na parte 1) da demonstração e, na parte 2) desta,verificámos que as condições a) e b) implicam as alíneas 1), 2), 3) e 4) dadefinição.Pelo contrário, é claro do exemplo na figura seguinte que as condições 1) e2) não são suficientes para implicar que um quadrilátero é convexo.

A

B

CD

– 81–

6.6 Dado um quadrilátero , chamamos aos segmentos deÐEßFßGßHÑ diagonaisrecta e .ÒEßGÓ ÒFßHÓRepare-se que, como se constata imediatamente, um quadriláteroÐEßFßGßHÑ ÐFßGßHßEÑ tem as mesmas diagonais que os quadriláteros ,ÐGßHßEßFÑ ÐHßEßFßGÑ e , tal como tem as mesmas diagonais

6.7 (Caracterização da convexidade pelas diagonais) Um quadriláteroÐEßFßGßHÑ, contido no plano , é convexo se, e só se, as suas diagonais!ÒEßFÓ ÒGßHÓ e são concorrentes (cf. ).1.2Dem: 1) Comecemos por supor que o quadrilátero é convexo.ÐEßFßGßHÑTendo em conta a alínea , Os pontos e estão em semiplanosb) de 6.4 F Hopostos de de bordo , o que implica que o segmento e a recta! EG ÒFßHÓEG \ têm um ponto em comum. Aplicando esta conclusão ao quadriláteroconvexo , concluímos que o segmento e a recta têmÐFßGßHßEÑ ÒEßGÓ FHum ponto em comum. Uma vez que, por termos um quadrilátero, as rectas]EG FH e são distintas, e portanto não podem ter mais que um ponto emcomum, concluímos que é o único ponto comum às diagonais \ œ ] ÒEßFÓe , e portanto que estas são concorrentes.ÒGßHÓ2) Suponhamos, reciprocamente, que as diagonais e são con-ÒEßFÓ ÒGßHÓcorrentes num ponto .\

AB

CD

X

Atendendo a que o sector angular é convexo e cóniconÖFEßFG×Û Û

relativamente a (cf. ) concluímos sucessivamente que o ponto , queF \3.4pertence ao segmento , pertence a e que o ponto , queÒEßGÓ nÖFEßFG× H

Û Û

pertence à semirrecta , por pertencer a , pertence também aF\ \ ÒFßHÓÛ

nÖFEßFG× HÛ Û . O facto de o ponto não pertencer a nenhuma das semirrectas

FE FGÛ Û e resulta de termos um quadrilátero. Este último facto implica

também que não pertence à recta e o facto de e estarem emH EG F Hsemiplanos opostos de de bordo resulta de ser um ponto de no! EG \ EGsegmento . Podemos agora deduzir de que é umÒFßHÓ ÐEßFßGßHÑ6.4quadrilátero convexo.

6.8 Seja um quadrilátero convexo contido no plano . Tem-seÐEßFßGßHÑ !então que existe um, e um só, conjunto convexo que contenha os quatroVpontos e que esteja contido em qualquer conjunto convexo queEßFßGßHcontenha esses pontos. Esse conjunto convexo, que chamaremos de segmentoquadrangular associado a e que será notado ÐEßFßGßHÑ ÒEßFßGßHÓ

– 82–

(comparar com e lembrar e ), admite as duas caracteriza4.2 4.4 4.7 çõesseguintes:

A

B

CD

a) , onde ÒEßFßGßHÓ œ ÒEßFßGÓ ÒEßHßGÓ ÒEßFßGÓ ÒEßHßGÓ œÒEßGÓ.b) .ÒEßFßGßHÓ œ nÖFEßFG× nÖHEßHG×

Û ÛÛ Û

Dem: Comecemos por mostrar que . Em1) ÒEßFßGÓ ÒEßHßGÓ œ ÒEßGÓprimeiro lugar, tendo em conta a convexidade dos segmentos triangulares,tem-se e , portanto ÒEßGÓ § ÒEßFßGÓ ÒEßGÓ § ÒEßHßGÓ ÒEßGÓ §ÒEßFßGÓ ÒEßHßGÓ. Por outro lado, lembrando a caracterização dossegmentos triangulares em , vemos que, se ,4.2 \ − ÒEßFßGÓ ÒEßHßGÓentão pertence simultaneamente aos semiplanos de de bordo que\ EG!contêm respectivamente e , semiplanos esses que são opostos, pelaF H

condição , pelo que , e portanto ,b) em 6.4 \ − EG \ − EG nÖFEßFG×Û Û

isto é , pela alínea .\ − ÒEßGÓ a) de 3.52) Vamos agora verificar que

ÒEßFßGÓ ÒEßHßGÓ œ nÖFEßFG× nÖHEßHG×Û ÛÛ Û .

Tem-se que e, tendo em conta a alínea ,EßFßG − nÖFEßFG×Û Û a) de 6.4

também . Tendo em conta o facto de serH − nÖFEßFG× nÖFEßFG×Û ÛÛ Û

convexo, deduzimos de que4.7

ÒEßFßGÓ § nÖFEßFG× ÒEßHßGÓ § nÖFEßFG×Û ÛÛ Û, ,

e portanto

ÒEßFßGÓ ÒEßHßGÓ § nÖFEßFG×Û Û ;

Aplicando a mesma conclusão ao quadrilátero convexo ,ÐGßHßEßFÑconcluímos que se tem também

ÒEßFßGÓ ÒEßHßGÓ § nÖHEßHG×Û Û ,

donde concluímos que

– 83–

ÒEßFßGÓ ÒEßHßGÓ § nÖFEßFG× nÖHEßHG×Û ÛÛ Û .

Suponhamos, reciprocamente, que \ − nÖFEßFG× nÖHEßHG×Û ÛÛ Û . Tendo

em conta o facto de os semiplanos de de bordo que contêm e ! EG F Hserem opostos, pertence a um desses semiplanos. No caso de pertencer\ \

ao semiplano que contém , o facto de ser implica queF \ − nÖFEßFG×Û Û

\ − ÒEßFßGÓ \ H e no caso de pertencer ao semiplano que contém , o factode ser implica que , em qualquer dos casos\ − nÖHEßHG× \ − ÒEßHßGÓ

Û Û

vem .\ − ÒEßFßGÓ ÒEßHßGÓ3) Tendo em conta o que vimos em 2), podemos definir

ÒEßFßGßHÓ œ ÒEßFßGÓ ÒEßHßGÓ œ nÖFEßFG× nÖHEßHG×Û ÛÛ Û .

A segunda caracterização mostra que se trata de um conjunto convexo, porser a intersecção de dois conjuntos convexos, e a primeira caracterizaçãomostra que se tem . Por outro lado, qualquerEßFßGßH − ÒEßFßGßHÓconjunto convexo, que contenha , contém também, por EßFßGßH 4.7,ÒEßFßGÓ ÒEßHßGÓ ÒEßFßGßHÓ e e portanto contém , tendo em conta aprimeira caracterização. A unicidade de um conjunto nas condições doenunciado é uma consequência de que, a existirem dois, cada um deles teriaque estar contido no outro, e portanto teriam que ser iguais.

6.9 Vamos chamar a um(Paralelogramos sem paralelas) paralelogramoquadrilátero convexo tal que e (osÐEßFßGßHÑ lEFl œ lGHl lFGl œ lHEllados opostos são conguentes).

A B

CD

6.10 Seja um paralelogramo. Tem-se então:ÐEßFßGßHÑ

a) . . . .w w w wÐE Ñ œ ÐG Ñ ÐF Ñ œ ÐH Ñ e (os ângulos opostos são congruentes);

b) Tem-se , onde é o ponto médio tanto de ÒEßGÓ ÒFßHÓ œ Ö\× \ ÐEßGÑcomo de (as diagonais bissectam-se).ÐFßHÑDem: Considerando a diagonal ,ÒEßGÓ

A B

CD

– 84–

podemos aplicar o teorema LLL (cf. ) para garantir que os triângulos4.34ÐEßFßGÑ ÐGßHßEÑ ÐF Ñ œ ÐH Ñ e são congruentes, e portanto que ,. .

w w

. . . .Û Û Û Û Û ÛÛ Û

ÐÖEGßEH×Ñ œ ÐÖGEßGF×Ñ ÐÖEFßEG×Ñ œ ÐÖGHßGE×ÑÞ,

Aplicando o que acabamos de concluir ao paralelogramo ,ÐFßGßHßEÑ

vemos que, considerando também a diagonal , tem-se ,ÒFßHÓ ÐE Ñ œ ÐG Ñ. .w w

. . . .Û Û Û ÛÛ ÛÛ Û

ÐÖFHßFE×Ñ œ ÐÖHFßHG×Ñ ÐÖFGßFH×Ñ œ ÐÖHEßHF×ÑÞ,

Lembremos que, tendo em conta , tem-se , onde 6.7 ÒEßGÓ ÒFßHÓ œ Ö\× \não pertence a nenhuma das rectas e , por termos um quadrilátero.EH FG

A B

CD

X

O facto de se ter ,lEHl œ lGFl

. . . .Û Û Û Û ÛÛ Û Û

. . . .Û ÛÛ Û Û ÛÛ Û

ÐÖEHßE\×Ñ œ ÐÖEHßEG×Ñ œ ÐÖGFßGE×Ñ œ ÐÖGFßG\×Ñ

ÐÖHEßH\×Ñ œ ÐÖHEßHF×Ñ œ ÐÖFGßFH×Ñ œ ÐÖFGßF\×Ñ

,,

implica, pelo teorema ALA (cf. ), que os triângulos e4.15 ÐEßHß\ÑÐGßFß\Ñ lH\l œ lF\l lE\l œ lG\l são congruentes, e portanto que e , oque mostra que é o ponto médio tanto de como de .\ ÐEßGÑ ÐFßHÑ

6.11 (Existência e construção de paralelogramos) Sejam e rectas< =concorrentes, com . Sejam em e em tais que< = œ Ö\× E Á G < F Á H =lE\l œ lG\l lF\l œ lH\l \ ÐEßGÑ e (portanto é o ponto médio tanto de como de ). Tem-se então que é um paralelogramo.ÐFßHÑ ÐEßFßGßHÑDem: As nossas hipóteses implicam, em particular, que é diferente de\EßFßGßH FßH  EG EßG  FH e daqui que e , o que mostra queÐEßFßGßHÑ \ − ÒEßGÓ ÒFßHÓ é um quadrilátero. O facto de se ter implica, por , que o quadrilátero é convexo. Tem-se6.7 ÐEßFßGßHÑ\  EH H  E\ œ EG \  FG, uma vez que , e , uma vez queG  F\ œ FH ÐEß\ßHÑ. Podemos então considerar os triângulos eÐGß\ßFÑ ÐÖ\Eß\H×Ñ œ ÐÖ\Gß\F×Ñ, para os quais se tem (ângulos. .

Û Û ÛÛ

verticalmente opostos), e pelo que o axiomal\El œ l\Gl l\Hl œ l\FlLAL (cf. ) garante que aqueles triângulos são congruentes, e portanto4.13que . A mesma conclusão, aplicada à quadra , quelFGl œ lHEl ÐFßGßHßEÑverifica as mesma hipóteses com os papéis de e trocados, implica que< =lGHl œ lEFl, pelo que temos efectivamente um paralelogramo.

6.12 Note-se que, tal como referimos para os quadriláteros em , se6.3ÐEßFßGßHÑ é um paralelogramo, o mesmo acontece trivialmente aos,

– 85–

obtidos por permuta , e ,ção circular, ÐFßGßHßEÑ ÐGßHßEßFÑ ÐHßEßFßGÑassim como ao obtido por inversão da ordem .ÐHßGßFßEÑ

7. Paralelismo e o axioma das paralelas

7.1 Diz-se que duas rectas <ß = § < = œ gX são se eestritamente paralelasexiste um plano tal que e . Diz-se que e são ! X ! !§ < § = § < = paralelasse ou e são estritamente paralelas.< œ = < =

7.2 Sejam (Condição suficiente de paralelismo) ! X !§ > § um plano, umarecta e , com . Sejam e os dois semiplanos de deEßF − > E Á F ! ! !

bordo . Sejam duas rectas, com , e> <ß = § < > œ ÖE× = > œ ÖF×!notemos e as semirrectas de e de , com origens e , que estão< = < = E F

contidas em e e as semirrectas opostas. Suponhamos que! < =

. .Û Û( ) ou, o que é equivalente, que se temÖEFß < × ÐÖFEß = ×Ñ œ #

. .Û Û( ) Tem-se então que as rectas e sãoÖEFß < × œ ÐÖFEß = ×ÑÞ < =

estritamente paralelas.14

t

r

s

+

+

A

B

a+

Dem: Comecemos por reparar que ( ) é equi-. .Û Û

ÖEFß < × ÐÖFEß = ×Ñ œ #

valente a ( ) e a ( ). . .Û Û Û

ÖEFß < × ÐÖFEß = ×Ñ œ # ÖEFß < × œ

.Û

ÐÖFEß = ×Ñ , uma vez que, por termos ângulos adjacentes, tem-se. . . .

Û Û Û Û( ) ( ) e .ÖEFß < × œ # ÖEFß < × ÐÖFEß = ×Ñ œ # ÐÖFEß = ×Ñ

Suponhamos que e não eram paralelas, e portanto, por serem rectas< =distintas e complanares, que . Vem pelo que, ou ,< = œ ÖG× G  > G − !

ou pertence ao semiplano oposto . Considerando o triângulo G ÐEßFßGÑ!

tem-se então, no primeiro caso,

. . . .w w Û ÛÐE Ñ ÐF Ñ œ ÖEFß < × ÐÖFEß = ×Ñ œ #( )

14Os ângulos e são chamados usualmente de ÖEFß < × ÖFEß = ×Û Û

internos do mesmolado da secante alternos internos e os ângulos e são ditos .ÖEFß < × ÖFEß = ×

Û Û

– 86–

e, no segundo caso,

. . . .w w Û ÛÐE Ñ ÐF Ñ œ ÖEFß < × ÐÖFEß = ×Ñ œ #( )

pelo que, em ambos os casos, chegamos a um absurdo, tendo em conta ocorolário .4.20

7.3 Sejam (Corolário — Duas rectas perpendiculares a uma terceira) ! X§um plano, uma recta e . Sejam duas rectas, com> § EßF − > <ß = §! !< > œ ÖE× = > œ ÖF× >, , ambas perpendiculares a . Tem-se então que asrectas e ão paralelas.< =Dem: Se , trata-se de um caso particular do resultado precedente, seE Á Frecordarmos que a perpendicularidade de duas rectas concorrentes éequivalente ao facto de a medida do ângulo de duas semirrectas ser e que,"esse facto não se altera quando se substitui alguma, ou ambas as semirrectaspelas suas opostas. Se temos o resultado sobre a uniciade de umaE œ Fperpendicular a uma recta passando por um ponto dado e contida num dadoplano (cf. ).4.26

7.4 Sejam uma recta e . Existe então uma recta(Existência de paralela) < F Â <= < F − = estritamente paralela a tal que .Dem: Seja o plano que contém e . Seja o pé da perpendicular de ! < F E Fpara (cf. ). Sendo a recta , podemos considerar uma recta< > § EF4.28 != § F − = = > < =! com e perpendicular a (cf. ). Tendo em conta , e 5.22 7.3são estritamente paralelas.

7.5 Seja um paralelogramo. Tem-se(Porquê “paralelogramo”) ÐEßFßGßHÑentão que as rectas e são paralelas e as rectas e sãoEF GH HE FGparalelas (os lados opostos são paralelos).Dem: Seja o plano que contém os vértices do paralelogramo e considere-!mos a recta , lembrando que, pela , e estão emEG F Halínea b) de 6 4Þsemiplanos opostos de de bordo .! EG

A B

CD

Tendo em conta o teorema LLL (cf. ), os triângulos e4.34 ÐEßFßGÑ

ÐGßHßEÑ ÐÖEGßEF×Ñ œ são congruentes, donde, em particular, .Û Û

.Û Û

ÐÖGEßGH×Ñ EF. Podemos agora aplicar para garantir que as rectas e7.2GH são paralelas e, aplicando esta conclusão ao paralelogramoÐFßGßHßEÑ FG HE, vemos que as rectas e também são paralelas.

– 87–

7.6 Diz-se que uma recta e um plano (Paralelismo de recta com plano) < ! sãoestritamente paralelos paralelos se e que e são se forem< œ g <! !estritamente paralelos ou .< § !

7.7 (Condição de paralelismo de uma recta com um plano) Uma recta é<paralela a um plano se, e só se, existe uma recta paralela a . Mais! != § <precisamente, se a recta é paralela ao plano , então, para cada ,< T −! !existe , com e paralela a .= § T − = =! !Dem: 1) Comecemos por supor a existência de uma recta tal que = § <!seja paralela a . Queremos provar que é paralela a , para o que podemos= < !já afastar o caso em que , deduzindo, em particular, que . Seja < § < Á =! "um plano contendo e . Vem (porque ) e , pelo que/< = Á < § = § " ! ! " !" ! œ = (cf. as alíneas ). Vem entãoa) e d) de 1.7

< § < œ < = œ g! " ! ,

o que mostra que é paralela a .< !2) Suponhamos agora que é paralela a e seja e tentemos provar a< T −! !existência de uma recta paralela a , com .= < T − = § !Se e , basta tomar .< § T − < = œ <!Se e , sabemos, por , que existe paralela a , com e< § T  < = < T − =! 7.4tem que ser , uma vez que é o único plano que contém e , e= § < T! !portanto não pode haver outro que contenha e .< =Se . vem , em particular , pelo que podemos considerar< § < œ g T  <Î ! !o único plano que contém e , plano que é diferente de , pelo que," " !< Tpor ser , resulta da alínea que é uma recta , queT − =! " ! "d) de 1.7contém e é paralela a , por ser complanar com e verificar T < < < = § < !œ gÞ

7.8 Sejam uma recta, uma(Recta e plano perpendiculares a uma recta) > <recta perpendicular a , com , e > < > œ ÖT× ! um plano perpendicular a ,>com . Tem-se então que a recta é paralela ao plano .! ! > œ ÖU× <Dem: Seja o plano que contém as rectas concorrentes e . Uma vez que" > <U − Á > § =Î! " ! " ! e que , porque , segue-se que existe uma recta talque . Tem-se pelo que, por ser perpendicular a , é! " ! ! œ = U − = § > >perpendicular a . As rectas e são duas rectas do plano , ambas= < = "perpendiculares a pelo que, por , e são paralelas o que, por ,> < =7.3 7.7implica que a recta é paralela ao plano .< !

7.9 Sejam (Duas rectas perpendiculares a um plano) ! um plano e duas<ß =rectas perpendiculares a . Tem-se então que e são rectas paralelas.! < =Dem: Sejam e . Se , resulta de que! ! < œ ÖT× = œ ÖU× T œ U 5.22< œ = < = T Á U, em particular e são paralelas. Suponhamos então que .Sejam e as rectas do plano perpendiculares à recta e tais que? @ TU!T − ? U − @ < e . Notemos o plano que contém as rectas concorrentes e"TU < ? TU. A recta , sendo perpendicular a , é perpendicular a e a pelo que!a amplitude do ângulo entre dois semiplanos de e de de bordo é! " TUigual a (cf. e , o facto de a amplitude ser faz com que seja" "4.46 4.47

– 88–

indiferente quais os semiplanos considerados). Sendo a recta de =w "perpendicular a e tal que , tem-se, por , que também éTU U − = =w w4.47perpendicular a , e portanto ao plano (cf. ) donde, pela unicidade da@ ! 5.20perpendicular a um plano passando por um ponto deste (cf. ), vem5.22= œ = = <w , e portanto a recta também está contida no plano , que contém ."Uma vez que e são ambas perpendiculares à recta de , deduzimos< = TU "de que as rectas e são paralelas.7.3 < =

Vamos agora introduzir um último axioma, aquele que distingue a Geo-metria Euclidiana da não Euclidiana.

7.10 Dada uma recta e um ponto , não existe(Axioma das paralelas) < F Â <mais do que uma recta paralela a , tal que .= < F − = 15

7.11 A rela(Transitividade do paralelismo) ção de paralelismo entre rectas éuma relação de equivalência.Dem: A relação é trivialmente reflexiva e simétrica. Seja então uma recta,<simultaneamente paralela às rectas e , e provemos que e são paralelas,= > = >para o que podemos já supor que . Seja , com e seja o= Á > E − = E Â > !único plano que contém e . Tendo em conta , a recta é paralela aoE > <7.7plano e, pelo mesmo resultado, existe uma recta com e ! != § E − = =w w w

paralela a . Tendo em conta o axioma das paralelas , tem-se ,< = œ =7.10 w

portanto . As rectas e são assim complanares pelo que, para= § = >!verificarmos que são efectivamente paralelas, basta verificar que .= > œ gOra, se isso não acontecesse, existia , e éramos conduzidos a umF − = >absurdo pela unicidade da paralela a que passa por garantida pelo< Faxioma das paralelas .7.10

7.12 Se a recta é paralela ao plano (Transitividade recta, recta, plano) = ! e arecta é paralela a , então a recta é também paralela ao plano .< = < ! 16

Dem: Tendo em conta , existe uma recta tal que seja paralela a e7.7 > § = >!então também é paralela a , o que, pelo mesmo resultado, implica que é< > <paralela a .!

7.13 Sejam duas rectas paralelas e (Recíproco de )7.2 < Á = ! o único plano queas contém (único por não haver mais que um que contenha a primeira e umponto escolhido da segunda). Seja uma recta tal que e > > < œ ÖE× > = œÖF× > §, para a qual se tem assim . Seja um dos semiplanos de de! ! !

bordo e notemos e as semirectas de e de , de origens e , que> < = < = E F

estão contidas em e e as semirrectas opostas. Tem-se então! < =

15É claro que, se , tembém existe uma única paralela a tal que ,F − < = < F − =nomeadamente .= œ <16É claro que, se duas rectas e são ambas paralelas a um plano , e não têm que< = < =!ser paralelas.

– 89–

. .Û Û( )ÖEFß < × ÐÖFEß = ×Ñ œ #

(os ângulos internos do mesmo lado da secante são suplementares) e

. .Û Û( )ÖEFß < × œ ÐÖFEß = ×Ñ

(os ângulos alternos internos são iguais).

t

r

s

+

+

A

B

a+

Dem: Tendo em conta o axioma , podemos considerar uma semir-a) em 3.17recta de origem tal que= § Fw

!

. .Û Û( )ÖEFß < × ÐÖFEß = ×Ñ œ #

w

e, sendo a recta que contém , resulta de que as rectas e são= § = < =w w w! 7.2

paralelas. Pelo axioma das paralelas, tem-se , e portanto , de= œ = = œ =w w

onde resulta que se tem efectivamente

. .Û Û( ) .ÖEFß < × ÐÖFEß = ×Ñ œ #

Se repararmos que e são ângulos adjacentes, e portantoÖFEß = × ÖFEß = ×Û Û

que , a igualdade anterior implica que se. .Û Û

ÐÖFEß = ×Ñ œ # ÐÖFEß = ×Ñ

tem também ( ) .. .Û Û

ÖEFß < × œ ÐÖFEß = ×Ñ

7.14 (Corolário — recta paralela a uma recta perpendicular a uma recta)Sejam uma recta perpendicular à recta e uma recta paralela a e< > = <concorrente com . Tem-se então que é perpendicular a .> = >Dem: Se , trata-se de um caso particular do resultado precedente, se< Á =repararmos que o facto de a amplitude do ângulo ser faz com que sejam"indiferentes quais as semirrectas que se consideram. Se o resultado é< œ =trivial.

7.15 Sejam uma(Recta paralela a uma recta perpendicular a um plano) <recta perpendicular a um plano ! e uma recta paralela a . Tem-se então= <que é perpendicular ao plano .= !Dem: A recta não é paralela ao plano , senão seria paralela a , por= <! !7.12. Tem-se assim e podemos considerar a recta ! = œ ÖT× =w

perpendicular a tal que . Tendo em conta , tal como é uma! T − = = =w w7.9

– 90–

recta paralela a passando por , pelo que , e portanto é< T = œ = =w

perpendicular ao plano .!

7.16 Sejam (Recta paralela a um plano perpendicular a uma recta) ! umplano perpendicular a uma recta e uma recta paralela ao plano e< = !concorrente com . Tem-se então a resta é perpendicular à recta .< = <Dem: Sendo , podemos considerar uma recta paralela a , tal! < œ ÖT× > =que (cf. ). Como é perpendicular a , vem perpendicular aT − > § < <! !7.7> = > < = e portanto, como é paralela a e concorrente com , resulta de que 7.14é perpendicular a .<

7.17 Seja(Teorema do ângulo externo e soma dos ângulos internos)ÐEßFßGÑ um triângulo. Tem-se então que a amplitude dos ângulos externosde vértice (cf. ) é igual a G 4.18 . .

w wÐE Ñ ÐF Ñ (a soma das amplitudes dos

ângulos internos não adjacentes). Em consequência, tem-se também17

. . .w w wÐE Ñ ÐF Ñ ÐG Ñ œ #. 18

A

B

C

s

bb

+

-

+

Dem: Tendo em conta a igualdade da amplitude dos dois ângulos externos devértice , podemos considerar aquele que é determinado pela semirrecta G GF

Û

e pela semirrecta oposta à semirrecta . Consideremos o, , œ GE Û

semiplano de bordo que contém o ponto e, tendo em conta o! , œ EG Faxioma , consideremos a semirrecta de origem contida ema) em 3.17 = G

! . .w

tal que . Uma vez que, tendo em conta ,ÐÖ, ß = ×Ñ œ ÐE Ñ 4.19. . .

w Û ÛÐÖ, ß = ×Ñ œ ÐE Ñ ÐÖ, ß GF×Ñ = § nÖ, ßGF× , resulta de que 3.18

e portanto, pelo axioma ,b) em 3.17

. . .Û Û

ÐÖ, ß GF×Ñ œ ÐÖ, ß = ×Ñ ÐÖ= ß GF×Ñ .(#)

Uma vez que os ângulos e são adjacentes, vemÖ, ß = × Ö, ß = ×

17Comparar com e .4.19 4.2418A soma dos ângulos internos dum triângulo é , comparar com .# 4.22

– 91–

. . . .Û Û Û

ÐÖGEß = ×Ñ œ ÐÖ, ß = ×Ñ œ # ÐÖ, ß = ×Ñ œ # ÐÖEGßEF×Ñ

pelo que, por , a recta é paralela à recta que contém . Como o7.2 EF = =ponto , e portanto a semirrecta está no semiplano de de bordo E FE FG

Û!

oposto àquele que contém (porque ), deduzimos de = = § nÖ, ßGF× Û 7.13

que . Substituindo na fórmula (#). . .Û ÛÛ w

ÐÖ= ß GF×Ñ œ ÐÖFEßFG×Ñ œ ÐF Ñ

acima, obtemos finalmente . A fórmula. . .Û w w

ÐÖ, ß GF×Ñ œ ÐE Ñ ÐF Ñ

. . .w w w ÛÐE Ñ ÐF Ñ ÐG Ñ œ # Ö, ß GF× resulta agora de que os ângulos e

Ö, ß GF× œ GÛ w

são adjacentes, e portanto verificam a igualdade. .w Û( ) .G œ # ÐÖ, ß GF×Ñ

7.18 Seja um quadrilátero convexo. Tem-se então que a soma dosÐEßFßGßHÑseus ângulos é igual a :%

. . . .w w wwÐE Ñ Ð F Ñ Ð G Ñ ÐH Ñ œ % .

Dem: Seja o plano que contém o quadrilátero. O facto de e estarem! F Gno mesmo semiplano de de bordo e de e estarem no mesmo! EH G H

semiplano de de bordo , diz-nos que , tendo que !Û Û

EF H − nÖEFßEH× Hnão pertence a nem a , por termos um quadrilátero.EF EH

A

B

C

D

Podemos assim deduzir do axioma que se tem b) em 3.17

. . . .w Û Û Û Û Û ÛÐE Ñ œ ÐÖEFßEH×Ñ œ ÐÖEFßEG×Ñ ÐÖEGßEH×Ñ.

Aplicando esta conclusão ao quadrilátero convexo , obtemosÐGßHßEßFÑ

. . . .w Û Û Û ÛÛ ÛÐG Ñ œ ÐÖGHßGF×Ñ œ ÐÖGHßGE×Ñ ÐÖGEßGF×Ñ.

Por outro lado, aplicando aos triângulos e , vemos7.17 ÐEßFßGÑ ÐEßHßGÑque

. . .w Û Û ÛÛ

. . .w Û Û ÛÛÐF Ñ ÐÖGEßGF×Ñ ÐÖEFßEG×Ñ œ #

ÐH Ñ ÐÖEGßEH×Ñ ÐÖGHßGE×Ñ œ #

,.

– 92–

Podemos assim escrever

. . . .w w ww

. . .Û Û Û Û ÛÛ

. . .Û Û w w

ÐE Ñ Ð F Ñ Ð G Ñ ÐH Ñ œ

œ ÐÖEFßEG×Ñ ÐÖEGßEH×Ñ ÐÖGHßGE×Ñ

ÐÖGEßGF×Ñ Ð F Ñ ÐH Ñ œ

œ # # œ %

.

œ

7.19 (Caracterização dos paralelogramos pelo paralelismo) SejamEßFßGßH EF GH quatro pontos distintos tais que as rectas e sejamestritamente paralelas e as rectas e sejam estritamente paralelas.FG HETem-se então que é um paralelogramo.ÐEßFßGßHÑDem: O facto de e serem estritamente paralelas implica a existênciaEF GHde um plano contendo os quatro pontos a o facto de cada terno de pontos!ÐFßGßHÑ ÐGßHßEÑ ÐHßEßFÑ ÐEßFßGÑ, , e ser não colinear, pelo queÐEßFßGßHÑ G H é um quadrilátero. Esse mesmo paralelismo implica que e estão no mesmo semiplano de de bordo (se a recta tem! EF GHintersecção vazia com , o segmento também não intersecta ) eEF ÒGßHÓ EFque e estão no mesmo semiplano de de bordo . Do mesmo modo,E F GH!o paralelismo das rectas e implica que e estão no mesmoFG EH E Hsemiplano de de bordo e que e estão no mesmo semiplano de ! !FG F Gde bordo . Concluímos assim que o quadrilátero é convexo.HE ÐEßFßGßHÑ

A B

CD

O facto de termos um quadrilátero convexo implica, pela alínea ,b) de 6.4que e estão em semiplanos opostos de de bordo pelo que oF H EG!

paralelismo das rectas e implica, por , que EF GH ÐÖEGßEF×Ñ œ7.13 .Û Û

.Û Û

ÐÖGEßGH×Ñ FG HE e o paralelismo das rectas e implica, pelo mesmoresultado, que . Podemos agora aplicar o. .

Û Û Û ÛÐÖEGßEH×Ñ œ ÐÖGEßGF×Ñ

teorema ALA (cf. ) para garantir que os triângulos e4.15 ÐEßFßGÑÐGßHßEÑ lEHl œ lFGl lEFl œ lGHl são congruentes e portanto que e , oque mostra que o quadrilátero convexo é um paralelogramo.ÐEßFßGßHÑ

7.20 (Outra caracterização dos paralelogramos) Seja umÐEßFßGßHÑquadrilátero convexo tal que as rectas e sejam paralelas e queEF GHlEFl œ lGHl ÐEßFßGßHÑ. Tem-se então que é um paralelogramo.Dem: O facto de termos um quadrilátero convexo implica, pela alínea b) de6.4, que e estão em semiplanos opostos de de bordo pelo que oF H EG!

paralelismo das rectas e implica, por , que EF GH ÐÖEGßEF×Ñ œ7.13 .Û Û

.Û Û

ÐÖGEßGH×Ñ.

– 93–

A B

CD

Tendo em conta o axioma , os triângulos e são4.13 ÐEßFßGÑ ÐGßHßEÑcongruentes e portanto tem-se também , o que nos permitelEHl œ lFGlconcluir que o quadrilátero convexo é um paralelogramo.ÐEßFßGßHÑ

7.21 (Ainda outra) Seja um quadrilátero convexo tal que as rectasÐEßFßGßHÑ

EF GH ÐH Ñ œ ÐF Ñ e sejam paralelas e que . Tem-se então que. .w w

ÐEßFßGßHÑ é um paralelogramo.

A B

CD

Dem: O facto de termos um quadrilátero convexo implica, pela alínea b) de6.4, que e estão em semiplanos opostos de de bordo pelo que oF H EG!

paralelismo das rectas e implica, por , que EF GH ÐÖEGßEF×Ñ œ7.13 .Û Û

.Û Û

ÐÖGEßGH×Ñ.Podemos então aplicar o teorema LAA (cf. ) para4.35garantir que os triângulos e são congruentes e portantoÐEßFßGÑ ÐGßHßEÑtem-se e , o que nos permite concluir que olEHl œ lFGl lEFl œ lGHlquadrilátero convexo é um paralelogramo.ÐEßFßGßHÑ

7.22 Seja(E mais uma) um quadrilátero convexo tal que os ân-ÐEßFßGßHÑ

gulos opostos sejam congruentes, isto é, e . . . .w w w wÐE Ñ œ ÐG Ñ ÐH Ñ œ ÐF ÑÞ

Tem-se então que é um paralelogramo.ÐEßFßGßHÑ

A B

CD

Dem: Tendo em conta , , portanto7.18 . . . .w w wwÐE Ñ ÐF Ñ ÐG Ñ ÐH Ñ œ %

# ÐE Ñ # ÐH Ñ œ % ÐE Ñ ÐH Ñ œ #. . . .w ww w, ou seja, . Uma vez que, por

termos um quadrilátero convexo, e estão no mesmo semiplano do planoF Gdo quadrilátero com bordo , resulta de que as rectas e sãoEH EF GH7.13paralelas. Aplicando esta conclusão ao quadrilátero convexo ,ÐFßGßHßEÑ

– 94–

que verifica as mesmas hipóteses, vemos que as rectas e tambémEH FGsão paralelas pelo que, por , é um paralelogramo. 7.19 ÐEßFßGßHÑ

Vamos terminar esta secção examinando mais uma noção de paralelismo,agora a de paralelismo de dois planos.

7.23 Diz-se que dois planos ! " ! " e são se e queestritamente paralelos œ geles são se forem estritamente paralelos ou .paralelos ! "œ

7.24 Sejam ! " e dois planos paralelos. Tem-se então:a) Se é uma recta, então é paralela a ;< § <! "b) Se é uma recta paralela a e , então = = Á g = § Þ" ! !Dem: Suponhamos . Se , tem-se , e portanto é paralela1) ! " ! "œ < § < § <a . Se é paralela a e , então é paralela a , e portanto ." " ! ! != = Á g = = §2) Suponhamos que é estritamente paralelo a , portanto que .! " ! " œ gSe é uma recta, tem-se também , e portanto é paralela a .< § < œ g <! " "Seja agora uma recta paralela a tal que exista . Tem-se ,= T − = T Â" ! "portanto , o que implica que . Fixemos um ponto arbitrário= § = œ gÎ " "U − = U" # # ! e seja o plano que contém e . Tem-se que é distinto de e de" " ! # ! # ", uma vez que e e tem-se e , pelo queT  U  T − U − existem rectas e tais que e .> ? > œ ? œ # ! # "

Tanto como são rectas complanares com (plano ) e que não= > ? #intersectam , a primeira por ser e a segunda por ser , e? = œ g > §" !portanto também . Uma vez que , o axioma das paralelas> œ g T − = >"(cf. ) garante que , donde , como queríamos.7.10 = œ > = § !

– 95–

7.25 Sejam (Corolário) ! " ! ! e planos paralelos e . Tem-se então que é aT −união de todas as rectas paralelas a tais que .= T − ="Dem: Tendo em conta a alínea , cada recta paralela a tal queb) de 7.24 = "T − = U − < § está contida em . Se , podemos considerar um recta tal! ! !que (a recta se e qualquer recta de contendo seT ßU − < TU T Á U T!T œ U <) e então, pela alínea , é paralela a .a) de 7.24 "

7.26 Sejam (Condição suficiente de paralelismo de planos) e dois planos! "tais que existem duas rectas concorrentes , ambas paralelas a .<ß = § ! "Tem-se então que e são planos paralelos.! "Dem: Seja .ÖT× œ < =Comecemos por examinar o caso em que : Uma vez que e T − < ="intersectam em , tem que ser e pelo que, tendo em conta a" " "T < § = §unicidade de um plano contendo duas rectas concorrentes, vem , e! "œportanto e são paralelos.! "Podemos assim supor, a partir de agora, que . Tem-se assim eT  < §Î" "= § < œ g = œ gÎ " " ", pelo que e . Queremos mostrar que se tem ainda! " e paralelos para o que vamos supor, por absurdo que não o eram,portanto que , para uma certa recta (cf. a alínea ). Vinha! " œ > > d) de 1.7então e pelo que e eram duas rectas concorrentes< > œ g = > œ g < =ambas paralelas a (estão todas contidas em ). Chegámos assim a um> !absurdo, tendo em conta o axioma das paralelas (cf. ).7.10

7.27 Sejam (Transitividade recta, plano, plano) ! " e dois planos paralelos. Se< < é uma recta paralela ao plano , então é também paralela ao plano .! "Dem: Tendo em conta , existe uma recta tal que seja paralela a .7.7 = § < =!Tendo em conta a alínea , é paralela a e daqui decorre, pora) de 7.24 = "7.12, que é paralela a .< "

7.28 A rela(Transitividade do paralelismo de planos) ção de paralelismo entreplanos é uma relação de equivalência.Dem: A relação é trivialmente reflexiva e simétrica pelo que nos restaverificar a tansitividade. Suponhamos então que é paralelo a e que é! " "paralelo a . Consideremos três pontos não colineares em e, a# !EßFßGpartir daí, as rectas concorrentes e . Tendo em< œ EF § = œ EG §! !conta a alínea , e são paralelas a e portanto, tendo em contaa) de 7.24 < = "7.27 7.26, também são paralelas a . Podemos agora deduzir de que é# !paralelo a .#

7.29 (Existência e unicidade de um plano paralelo passando por um ponto)Sejam " ! um plano e um ponto. Existe então um, e um só, plano paraleloTa e tal que ." !T −Dem: A unicidade é uma consequência de : o plano não pode deixar7.25 !de ser a união de todas as rectas paralelas a que passam por ." TConsideremos agora três pontos não colineares em e sejam e asEßFßG < ="rectas que passam por e são respectivamente paralelas a e a ,T EF EGrectas que são distintas, e portanto concorrentes, sem o que e eramEF EG

– 96–

paralelas a distintas e passando por . Sendo o plano que contém e ,< E < =!tem-se e é paralelo a , tendo em conta .T − ! ! " 7.26

7.30 Sejam (Dois planos perpendiculares a uma recta) ! " e dois planosperpendiculares a uma recta . Tem-se então que e são paralelos.< ! "Dem: Seja . Sejam tais que seja não coli-! ! < œ ÖT× T ß T − T ß T ß Tw ww w ww

neares. Tem-se então que as rectas e são rectas de perpendicu-TT TTw ww !lares a pelo que, tendo em conta , as rectas e são ambas< TT TT7.8 w ww

paralelas ao plano . Pdemos agora deduzir de que os planos e são" ! "7.26paralelos.

7.31 Sejam (Plano paralelo a um plano perpendicular a uma recta) ! umplano perpendicular a uma recta e um plano paralelo a . Tem-se então< " !que o plano é perpendicular à recta ." <Dem: A recta não é paralela ao plano , senão seria também paralela ao< "plano (cf. ). Tem-se portanto , para um certo ponto , e,! "7.27 < œ ÖT× Ttendo em conta , podemos considerar o plano perpendicular a tal que5.21 "w <T − <" ! "w w. Tem-se então que e são dois planos perpendiculares à recta pelo que, por , e são planos paralelos e daqui decorre, por , que7.30 7.28! "w

os planos e são paralelos. Uma vez que segue-se que ," " " " " "w w wT − œe portanto é perpendicular a ." <

8. Teorema de Thales e semelhança

8.1 Seja um triângulo, seja , distinto de e de .(Lema) ÐEßFßGÑ \ − ÒEßFÓ E FTem-se então:1) Existe um único tal que a recta seja paralela a e então] − ÒEßGÓ \] FG

] E G é diferente de e de e .. .Û Û ÛÛ

ÐÖGFßGE×Ñ œ ÐÖ]\ß ] E×Ñ

A

B C

X Y

2) Existe um único tal que a recta seja paralela a e então^ − ÒGßFÓ ] ^ EF

^ F G é diferente de e e . .Û Û Û Û

ÐÖEFßEG×Ñ œ ÐÖ] ^ß ] G×Ñ.3) é um paralelogramo, e portanto e ÐFß^ß ] ß\Ñ lF^l œ l\] l lF\l œl^] l l\] l lFGl. Em particular .

– 97–

A

B C

X Y

Z

Dem: 1) Seja o plano que contém . Uma vez que , por ser! EßFßG \  FGEF FG œ ÖF× < FG \, vemos que a única recta , paralela a e contendo , éestritamente paralela a , em particular e não pertencem a . Tem-seFG F G <também , sem o que que não é estritamente paralela a .E  < < œ EF FGPodemos assim aplicar o teorema de Pasch para garantir que , que não2.17 <intersecta , por ser estritamente paralela a , intersecta numÒFßGÓ FG ÒEßGÓponto , forçosamente distinto de e de . Por outras palavras, é o único] E G ]ponto de tal que seja a recta , isto é, tal que seja paralela aÒEßGÓ \] < \]FG \ F EG. O facto de e estarem no mesmo semiplano de de bordo !implica, por , que7.13

. . .Û Û Û ÛÛ Û

ÐÖGFßGE×Ñ œ ÐÖGFßG] ×Ñ œ # ÐÖ]\ß ] G×Ñ,

portanto, considerando o ângulo adjacente, .. .Û Û ÛÛ

ÐÖGFßGE×Ñ œ ÐÖ]\ß ] E×Ñ2) Aplicando a primeira parte da conclusão de 1) ao triângulo ,ÐGßEßFÑgarantimos a existência de um único tal que a recta seja^ − ÒGßFÓ ] ^paralela a e então é diferente de e . Aplicando a segunda parte daEF ^ F Gconclusão de 1) ao triângulo , e uma vez que é o único elementoÐGßFßEÑ ]

de tal que seja paralelo a , concluímos que ÒEßGÓ ^] FE .Û Û

ÐÖEFßEG×Ñ œ

.Û Û

ÐÖ] ^ß ] G×Ñ.3) Tendo em conta , é um paralelogramo, e portanto7.19 ÐFß^ß ] ß\ÑlF^l œ l\] l lF\l œ l^] l e . Em particular, tem-se

lFGl œ lF^l l^Gl œ l\] l l^Gl,

donde .l\] l lFGl

8.2 Sejam um triângulo e tal que, para um certo(Lema) ÐEßFßGÑ \ − ÒEßFÓnatural , . Seja o ponto definido pela5   # lEFl œ 5lE\l ] − ÒEßGÓcondição de ser paralela a (cf. o lema ). Tem-se então\] FG 8.1

lEGl œ 5lE] l lFGl œ 5l\] l, .

Dem: Vamos fazer a demonstração por indução em , começando por1) 5examinar o caso em que .5 œ #

– 98–

A

B C

X Y

Tendo em conta o lema , podemos considerar o ponto tal que8.1 ^ − ÒFßGÓ] ^ EF F G lF\l œ seja paralela a , o qual é distinto de e de , e tem-se l^] l lF^l œ l\] l, ,

. . .Û Û Û Û ÛÛ

. . .Û Û Û Û Û Û

ÐÖG^ßG] ×Ñ œ ÐÖGFßGE×Ñ œ ÐÖ]\ß ] E×Ñ

ÐÖE\ßE] ×Ñ œ ÐÖEFßEG×Ñ œ ÐÖ] ^ß ] G×Ñ

,.

O facto de se ter

#lE\l œ lEFl œ lE\l lF\l

implica que . Podemos agora aplicar o teorema l^] l œ lF\l œ lE\l 4.35para garantir que os triângulos e são congruentes,ÐEß\ß ] Ñ Ð] ß ^ßGÑdonde e . Podemos daqui deduzir quel] Gl œ lE] l l^Gl œ l\] l œ lF^llEGl œ lE] l l] Gl œ #lE] l lFGl œ lF^l l^Gl œ #l\] l e , comoqueríamos.2) Vamos agora supor o resultado verdadeiro para um certo e que se5   #tem .lEFl œ Ð5 "ÑlE\l

A

B C

B' C'

C"

X Y

Consideremos o ponto para o qual se tem (cf. aF − ÒEßFÓ lEF l œ 5lE\lw w

alínea ) e os pontos definidos pela condição de d) de 1.19 ] ßG − ÒEßGÓ \]w

e serem rectas paralelas a . Consideremos o ponto F G FG G − ÒFßGÓw w ww

definido pela condição de a recta ser paralela a . Tendo em conta oG G EFw ww

– 99–

lema , tem-se , ,8.1 lFF l œ lG G l lFG l œ lF G lw ww w ww w w

. . .Û Û Û Û ÛÛ

. . .Û Û Û Û Û Û

ÐÖGG ßGG ×Ñ œ ÐÖGFßGE×Ñ œ ÐÖ]\ß ] E×Ñ

ÐÖE\ßE] ×Ñ œ ÐÖEFßEG×Ñ œ ÐÖG G ßG G×Ñ

ww w

w ww w

,

.

Uma vez que

Ð5 "ÑlE\l œ lEFl œ lEF l lF Fl œ 5lE\l lF Flw w w ,

deduzimos que . Deduzimos de que os triângu-lE\l œ lFF l œ lG G lw ww w 4.35los e são congruentes, e portanto que eÐEß\ß ] Ñ ÐG ßG ßGÑ lE] l œ lG Glw ww w

l\] l œ lG Glww . Por outro lado, pela hipótese de indução, tem-selEG l œ 5lE] l lF G l œ 5l\] lw w w e . Podemos finalmente concluir que

lEGl œ lEG l lG Gl œ 5lE] l lE] l œ Ð5 "ÑlE] l

lFGl œ lFG l lG Gl œ lF G l lG Gl œ 5l\] l l\] l œ Ð5 "Ñl\] l

w w

ww ww w w ww

,,

o que termina a demonstração por indução.

8.3 Seja um triângulo e seja ,(Versão interior de Thales) ÐEßFßGÑ \ − ÒEßFÓdistinto de . Existe então um único tal que a recta sejaE ] − ÒEßGÓ \]paralela a , e, sendo o definido por , vem ,FG + ! lE\l œ +lEFl + Ÿ "

lE] l œ +lEGl l\] l œ +lFGl, , . .Û Û ÛÛ

ÐÖFGßFE×Ñ œ ÐÖ\] ß\E×Ñ e. .

Û Û ÛÛÐÖGFßGE×Ñ œ ÐÖ]\ß ] E×Ñ.

A

B C

X Y

Dem: 1) O facto de se ter + " é uma consequência imediata de se ter! lE\l Ÿ lEFl (cf. a alínea ). No caso em que , ed) de 1.19 \ œ Fportanto , é o único tal que é paralelo a , uma+ œ " G ] − ÒEßGÓ \] FGvez que , e é trivial que verifica todas as condiçõesFG EG œ ÖG× ] œ Gdo enunciado.Podemos assim supor em seguida , portanto que \ Á F lE\l lEFl e que+ ".2) A existência e unicidade de tal que seja paralela a foi] − ÒEßGÓ \] FGestabelecida no lema 8.1 tal como o foi o facto de ser diferente de e de] E

G ÐÖGFßGE×Ñ œ ÐÖ]\ß ] E×Ñ e a igualdade . Aplicando a mesma con-. .Û Û ÛÛ

– 100–

clusão ao triângulo e reparando que é o único elemento deÐEßGßFÑ \ÒEßFÓ ] \ GF tal que seja paralela a , concluímos que se tem também aigualdade .. .

Û Û ÛÛÐÖFGßFE×Ñ œ ÐÖ\] ß\E×Ñ

3) Resta-nos mostrar as igualdades lE] l œ +lEGl l\] l œ +lFGl, . Faremosessa prova nesta alínea no caso particular em que é racional,! + "portanto da forma , onde e são naturais com , podendo já+ œ : ; " Ÿ : ;:

;

afastar-se o caso em que , caso em que a conclusão está contida no: œ "lema . Sejam o ponto para o qual se tem ,8.2 ^ − ÒEß\Ó lE^l œ lE\l"

:

portanto também e o único ponto tal que lE^l œ lEFl [ − ÒEß ] Ó ^[";

seja paralela a. , e portanto a .\] FG

A

B C

X Y

Z W

Aplicando duas vezes o lema , concluímos que se tem ,8.2 lE] l œ :lE[ll\] l œ :l^[l lEGl œ ;lE[l lFGl œ ;l^[l, e , donde

lE] l œ :

l\] l œ :

‚ lEGl œ +lEGl"

;

‚ lFGl œ +lFGl"

;

,

.

4) Vamos enfim examinar o caso mais geral em que é um real! + "arbitrário. Sejam +w ww w ww e racionais arbitrários tais que .+ ! + + + "

A

B C

X YX'

X"

Y'

Y"

Sejam , distintos de e de os pontos definidos por\ ß\ − ÒEßFÓ E Fw ww

lE\ l œ + lEFl lE\ l œ + lEFlw w ww ww e , pontos para os quais se tem assim

– 101–

\ − ÒEß\Ó \ − ÒEß\ Ó ] ß ] − ÒEßGÓw ww w ww e (cf. a alínea ). Sejam d) de 1.19os únicos pontos para os quais as rectas e são paralelas a ,\ ] \ ] FGw w ww ww

pontos para os quais se tem (o único ponto tal que] − ÒEß ] Ó ] − ÒEß ] Ów w

\ ] \] ÒEßGÓ \ ] FGÑw w w w é paralela a é um ponto de tal que é paralela a e] − ÒEß ] Ó lE] l lE] l lE] lww w ww (justificação análoga). Tem-se assim e,tendo em conta o lema , . Tendo em conta o8.1 l\ ] l l\] l l\ ] lw w ww ww

caso particular tratado em 3), tem-se , ,lE] l œ + lEFl l\ ] l œ + lFGlw w w w w

lE] l œ + lEFl l\ ] l œ + lFGl ,ß -ww ww ww ww ww e , pelo que sendo os números reaisdefinidos por e , tem-se elE] l œ ,lEFl l\] l œ -lFGl + , +w ww

+ - + + +w ww w ww. Tendo em conta a arbitrariedade dos racionais e ,concluímos finalmente que e ., œ + - œ + 19

8.4 Seja um triângulo.(Versão completa do recíproco de Thales) ÐEßFßGÑ

Sejam \ − EF ] − EG + ! lE\l œ +lEFlÛ Û e tais que, para um certo , e

lE] l œ +lEGl \] FG. Tem-se então que a recta é paralela à recta .Dem: Comecemos por examinar o caso em que , e portanto! + Ÿ "\ − ÒEßFÓ ] − ÒEßGÓ E e são diferentes de . Tendo em conta , existe um8.3único tal que a recta seja paralela a e então ] − ÒEßGÓ \] FG lE] l œw w w

+lEGl œ lE] l ] ], o que implica, por e estarema na mesma semirrecta dew

origem , que , e portanto a recta é paralela a .E ] œ ] \] FGw

Vejamos agora o que se passa no caso em que . Uma vez que + " Eß\ß ]são não colineares, podemos considerar o triângulo , para o qual seÐEß\ß ] Ñ

tem , , e , onde ,F − E\ G − E] lEFl œ lE\l lEGl œ lE] l ! "Û Û " " "

+ + +

pelo que, aplicando o caso estudado anteriormente, concluímos que a rectaFG \] é paralela à recta .

A

B

X

C

Y

8.5 Seja um triângulo e seja ,(Versão completa de Thales) ÐEßFßGÑ \ − EFÛ

distinto de . Existe então um único tal que a recta sejaE ] − \]EGÛ

paralela a , e, sendo o definido por , vemFG + ! lE\l œ +lEFl

lE] l œ +lEGl l\] l œ +lFGl, , . .Û Û ÛÛ

ÐÖFGßFE×Ñ œ ÐÖ\] ß\E×Ñ e

19Um número real que é menor que todos os racionais maiores que e maior que todos os+racionais menores que tem que ser .+ +

– 102–

. .Û Û ÛÛ

ÐÖGFßGE×Ñ œ ÐÖ]\ß ] E×Ñ.Dem: O caso em que \ − ÒEßFÓ + Ÿ " ou, o que é o mesmo, aquele em que ,já foi estabelecido em (em rigor aí apenas se afirmou a unicidade de 8.3 ]em , mas não pode haver mais que um tal que sejaÒEßGÓ ] − EG E]paralela a ). Resta examinar o caso em que , isto é, em queFG \  ÒEßFÓ

+ " F − ÒEß\Ó lEFl œ lE\l ] −, caso em que se tem e . Sendo "+ EG

Û odefinido por , resulta de que a recta é paralela a lE] l œ +lEGl \] FG8.4e, é claro que é mesmo o único elemento da recta com esta] EG

propriedade, em particular é o único elemento de para o qual issoEGÛ

acontece. É claro que é também o único elemento de tal que sejaG E] FGparalela a , pelo que, aplicando \] 8.3 ao triângulo e ao pontoÐEß\ß ] Ñ

F − ÒEß\Ó concluímos que . .Û Û ÛÛ

ÐÖ\] ß\E×Ñ œ ÐÖFGßFE×Ñ e. .

Û Û ÛÛÐÖ] \ß ] E×Ñ œ ÐÖGFßGE×Ñ.

8.6 Diz-se que dois triângulos e ÐEßFßGÑ ÐEw w wß F ßG Ñ são se sesemelhantestem , e e existe tal. . . . . .

w w w ww wÐE Ñ œ ÐE Ñ ÐF Ñ œ ÐF Ñ ÐG Ñ œ ÐG Ñ + !w w w

que , e . Diz-se então que lE F l œ +lEFl lF G l œ +lFGl lG E l œ +lGEl +w w w w w w

é a (do primeiro triângulo para o segundo).razão de semelhança

8.7 A relação de semelhnça entre triângulos é uma relação de equivalência. Maisprecisamente:1) Os triângulos e são semelhantes, com razão deÐEßFßGÑ ÐEßFßGÑsemelhança ."2) Se são semelhantes, com razão de sememelhançaÐEßFßGÑ ÐE e w w wß F ß G Ñ+ ! ßF ßG Ñ, então e ÐE ÐEßFßGÑw w w são semelhantes, com razão de seme-lhança ."

+

3) e ÐEßFßGÑ ÐEw w wß F ßG Ñ + são semelhantes, com razão de semelhança , eÐE ÐE ßF ßG Ñ ,w w w ww ww wwß F ß G Ñ e são semelhantes, com razão de semelhança ,então e ÐEßFßGÑ ÐEww ww wwß F ß G Ñ são semelhantes, com razão de semelhança+,.Dem: Trata-se de uma consequência imediata da definição.

8.8 Dois triângulos e ÐEßFßGÑ ÐEw w wß F ßG Ñ são congruentes (cf. a definição4.11) se, e só se, são semelhantes, com razão de semelhança ."

8.9 Sejam e (Critério LAL de semelhança) ÐEßFßGÑ ÐEw w wß F ßG Ñ dois triân-gulos tais que e que exista tal que e. .

w wÐE Ñ œ ÐE Ñ + ! lE F l œ +lEFlw w w

lE G l œ +lEGlw w . Tem-se então que os dois triângulos são semelhantes, comrazão de semelhança .+Dem: Consideremos e tais que\ EF ] − EG−

Û Û

lE\l œ lE F l œ +lEFl lE] l œ lE G l œ +lEGlw w w w, .

Tendo em conta o axioma LAL (cf. ), os triângulos e4.13 ÐEß\ß ] ÑÐE ßF ßG Ñ \]w w w são congruentes. Tendo em conta , a recta é paralela à8.4recta e podemos então aplicar para garantir queFG 8.5

– 103–

lF G l œ l\] l œ +lFGl

ÐF Ñ œ ÐÖ\] ß\E×Ñ œ ÐÖFGßFE×Ñ œ ÐF Ñ

ÐG Ñ œ ÐÖ]\ß ] E×Ñ œ ÐÖGFßGE×Ñ œ ÐG Ñ

w w

w

w

,

,

,

. . . .w Û Û ÛÛ w

. . . .w Û Û ÛÛ w

donde o resultado.

8.10 Sejam e (Critério AA de semelhança) ÐEßFßGÑ ÐEw w wß F ßG Ñ dois triân-gulos tais que e . Tem-se então que os dois. . . .

w w wwÐE Ñ œ ÐE Ñ ÐF Ñ œ ÐF Ñw w

triângulos são semelhantes.Dem: Seja tal que . Tendo em conta , podemos\ EF lE\l œ lE F l−

Û w w 8.5considerar ] − \] FG + !EG

Û tal que a recta seja paralela a , e, sendo odefinido por , vem , ,lE\l œ +lEFl lE] l œ +lEGl l\] l œ +lFGl

. . . .Û ÛÛ Û Û ÛÛ Û

ÐÖFGßFE×Ñ œ ÐÖ\] ß\E×Ñ ÐÖGFßGE×Ñ œ ÐÖ]\ß ] E×Ñ e . Asigualdades ,lE\l œ lE F lw w

. . .Û Û w w

. . . .Û Û ÛÛ w w

ÐÖE\ßE] ×Ñ œ ÐE Ñ œ ÐE Ñ

ÐÖ\] ß\E×Ñ œ ÐÖFGßFE×Ñ œ ÐF Ñ œ ÐF Ñ

w

w

,

,

implicam, pelo teorema ALA (cf. ), que os triângulos e4.15 ÐEß\ß ] ÑÐE ßF ßG Ñw w w são congruentes. Tem-se assim

. . . . .w Û ÛÛ Û ÛÛ wÐG Ñ œ ÐÖGFßGE×Ñ œ ÐÖ]\ß ] E×Ñ œ ÐÖG F ßG E ×Ñ œ ÐG Ñ

lE F l œ lE\l

lE G l œ lE] l

lF ßG l œ l\] l

w w w w w

w w

w w

w w

,œ +lEFl

œ +lEGl

œ +lFGl

,,

,

o que mostra que os dois triângulos são semelhantes.

8.11 Sejam e (Critério LLL de semelhança) ÐEßFßGÑ ÐEw w wß F ßG Ñ dois triân-gulos tais que, para um certo , , e+ ! lE F l œ +lEFl lF G l œ +lFGlw w w w

lG E l œ +lGElw w . Tem-se então que os dois triângulos são semelhantes.Dem: Fixemos um ponto arbitrário e duas semirrecta e de origemE < =ww

E Ð< ß = Ñ œ ÐE Ñ F − < G − =ww ww ww tais que . Consideremos pontos e . .

w

tais que e . Tendo emlE F l œ lE F l œ +lEFl lE G l œ lE G l œ +lEGlww ww w w ww ww w w

conta o critério LAL de semelhança (cf. ), os triângulos e8.9 ÐEßFßGÑÐE ßF ßG Ñ lF G l œww ww ww ww ww são semelhantes, em particular tem-se também +lFGl œ lF G lw w . Tendo em conta o teorema LLL (cf. ), vemos que os4.34triângulos e são congruentes, em particularÐEw w w ww ww wwß F ß G Ñ ÐE ßF ßG Ñsemelhantes e daqui decorre, por transitividade, que ÐEßFßGÑ ÐE e w w wß F ß G Ñsão semelhantes.

8.12 Seja um triângulo tal que (Teorema de Pitágoras) ÐEßFßGÑ .wÐE Ñ œ "

(um triângulo em ). Tem-se entãorectângulo E

– 104–

lFGl œ lEFl lEGl# # #

(a soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa) .20

Dem: Para simplificar o formalismo, vamos fixar , reparando que nos. − Ybastará provar que se tem , isto é,.ÐFßGÑ œ .ÐEßFÑ .ÐEßGÑ# # #

+ œ - , + œ .ÐFßGÑ - œ .ÐEßFÑ# # #, onde, como é habitual, se nota , e, œ .ÐEßGÑ.Uma vez que , vem , em. . . . .

w w ww wÐE Ñ ÐF Ñ ÐG Ñ œ # ÐF Ñ ÐG Ñ œ "

particular e . Consideremos o pé da perpendicular . .w wÐF Ñ " ÐG Ñ " H

de para a recta (cf. ) e reparemos que, tendo em conta ,E FG 4.28 4.33tem-se , com diferente de e de . Notemos eH − ÒFßGÓ H F G B œ .ÐFßHÑC œ .ÐHßGÑ H − ÒFßGÓ e reparemos que, por ser , resulta de que1.25

+ œ .ÐFßGÑ œ .ÐFßHÑ .ÐHßGÑ œ B C.

A

B CD

1

11a

bc

x y

Reparemos agora que, tendo em conta , os triângulos e8.10 ÐHßFßEÑÐHßEßGÑ ÐEßFßGÑ são ambos semelhantes ao triângulo , no primeiro casopor ser

. .Û ÛÛ Û Û Û Û Û

ÐÖHFßHE×Ñ œ " œ ÐÖEFßEG×Ñ ÖFHßFE× œ ÖFEßFG×, ,

e no segundo caso por ser

. .Û Û Û Û ÛÛ Û Û

ÐÖHEßHG×Ñ œ " œ ÐÖEFßEG×Ñ ÖGHßGE× œ ÖGEßGF×, .

Da primeira semelhança deduzimos que a da segunda que .B - ,- + , +

Cœ œ

Deduzimos destas duas igualdades que e , donde- œ B+ , œ C+# #

- , œ B+ C+ œ ÐB CÑ+ œ +# # #,

como queríamos.

8.13 Seja um triângulo tal que (Corolário) ÐEßFßGÑ .wÐE Ñ " (respectiva-

mente ). Tem-se então (respectivamente.wÐE Ñ " lFGl lEFl lEGl# # #

20Lembrar que, por exemplo, é a família dos , indexada nas distânciaslFGl .ÐFßGÑ. − lFGl .ÐFßGÑY . A notação refere-se asim, naturalmente à família dos .# #

Analogamente, o segundo membro é uma soma de duas famílias indexadas em e,. − Ycomo tal, é naturalmente uma família indexada em .. − Y

– 105–

lFGl lEFl lEGl# # #). Em consequência, se ÐEßFßGÑ é um triângulo talque lFGl œ lEFl lEGl ÐE Ñ œ "# # #, então ..

w

Dem: Escolhamos um ponto arbitrário e duas semirrectas e deE < =w

origem tais que . Escolhamos pontos e E Ð< ß = Ñ œ " F − < G − =w w w .

tais que e e reparemos que, por , tem-selE F l œ lEFl lE G l œ lEGlw w w w 8.12lF G l œ lE F l lE G l ÐE Ñ " œ ÐE Ñw w # w w # w w # w. Supondo (respectiva-que . .

w w

mente que ), resulta de que (respec-. .w wÐE Ñ " œ ÐE Ñ lFGl lF G lw w w4.44

tivamente que ) e portantolFGl lF G lw w

lFGl lF G l œ lE F l lE G l œ lEFl lEGl# w w # w w # w w # # #

(respectivamente

lFGl lF G l œ lE F l lE G l œ lEFl lEGl# w w # w w # w w # # #).

Por fim, se , então,ÐEßFßGÑ é um triângulo tal que lFGl œ lEFl lEGl# # #

pelo que vimos atrás, não pode ser nem , e portanto. .w wÐE Ñ " ÐE Ñ "

vem ..wÐE Ñ œ "

9. Outros resultados sobre isometrias; Translações e vectores

9.1 Seja fixado e consideremos a inversão relativamente a ,S − SX38@SÀ ÄX X, que sabemos ser uma isometria (cf. e ). Tem-se então:5.12 5.13a) Para cada recta , tem-se que é uma recta paralela a ,< § = œ 38@ Ð<Ñ <X S

tendo-se se, e só se, .= œ < S − <b) Para cada plano , tem-se que é um plano paralelo a ,! X " ! !§ œ 38@ Ð ÑS

tendo-se se, e só se, ." ! !œ S −Dem: Seja uma recta. Já sabemos que é uma recta (cf.a) < § = œ 38@ Ð<ÑX S

5.4). No caso em que , podemos considerar em e então, porS − < T Á S <construção pelo que a recta , contendo os pontos distintos38@ ÐT Ñ − < =S

S œ 38@ ÐSÑ 38@ ÐT Ñ < <S S e tem que ser igual a , em particular paralela a .Resta-nos mostrar que, se , e são estritamente paralelas. EmS  < < =primeiro lugar, sendo e pontos distintos de , podemos considrar oT U <plano que contém e, por construção, vem ainda! SßT ßU38@ ÐT Ñß 38@ ÐUÑ − < =S S !, o que implica que as rectas e , tendo cada umaum par de pontos distintos em , estão contidas em , e portanto são! !complanares. Note-se que se tem ainda , sem o que, lembrando queS  =38@ ‰ 38@ œ M.S S X ,

S œ 38@ ÐSÑ − 38@ Ð=Ñ œ 38@ Ð38@ Ð<ÑÑ œ <S S S S .

Se e não fossem estritamente paralelas, existia e então, por< = V − < =construção,

– 106–

38@ ÐVÑ − SV 38@ Ð<Ñ œ SV = œ ÖV×S S ,

o que era absurdo, uma vez que e é trivialmente o único ponto fixoV Á S Sde .38@Sb) Seja um plano. Já sabemos que é um plano (cf. ).! X " !§ œ 38@ Ð ÑS 5.6No caso em que , podemos considerar tais que S − T ßU − SßT ßU! !sejam não colineares (dados três pontos não colineares, basta tomar um deles,T S U, que seja diferente de e depois um segundo, , que não pertença à rectaST < œ ST = œ SU) e então, considerando as rectas concorrentes e ,contidas em , tem-se que contém as rectas concorrentes! " !œ 38@ Ð ÑS

< œ 38@ Ð<Ñ = œ 38@ Ð=Ñ œS S e , pelo que , em particular é paralelo a ." ! " !Resta-nos mostrar que, se , e são estritamente paralelos. Note-seS  ! ! "que se tem ainda , sem o que, lembrando que ,S  38@ ‰ 38@ œ M." S S X

S œ 38@ ÐSÑ − 38@ Ð Ñ œ 38@ Ð38@ Ð ÑÑ œS S S S" ! !.

Se e não fossem estritamente paralelos, existia e então, por! " ! "V − construção,

38@ ÐVÑ − SV 38@ Ð Ñ œ SV œ ÖV×S S ! " ,

o que era absurdo, uma vez que e é o único ponto fixo de .V Á S S 38@S

9.2 Sejam (Isometrias de uma recta com um ponto fixo) < § X uma recta eF X FÀ < Ä Ð<Ñ § < uma aplicação isométrica tal que e que, para um certoS − < ÐSÑ œ S œ M. <, . Tem-se então que, ou , ou é a restrição a daF F F<

inversão .38@SEm particular, se existir , com , tal que (se existiremT − < T Á S ÐT Ñ œ TFdois pontos fixos), tem-se .F œ M.<Dem: Tendo em conta , é uma recta, e portanto . Tendo em5.4 F FÐ<Ñ Ð<Ñ œ <conta , sendo e as duas semirrectas de de origem , e5.5 < < < S Ð< Ñ FF F FÐ< Ñ < œ Ð<Ñ S œ ÐSÑ são semirrectas de de origem , pelo que duascoisas podem acontecer: Ou e , ou eF F FÐ< Ñ œ < Ð< Ñ œ < Ð< Ñ œ <

FÐ< Ñ œ < \ − < . Em qualquer dos casos, para cada , tem-se

l Ð\ÑSl œ l Ð\Ñ ÐSÑl œ l\SlF F F .

Vejamos o que sucede no caso em que e . NesseF FÐ< Ñ œ < Ð< Ñ œ <

caso, para cada em , pertence à mesma semirrecta de origem\ Á S < Ð\ÑFS \ l Ð\ÑSl œ l\Sl Ð\Ñ œ \ que , pelo que, por ser , tem-se , o queF Fmostra que .F œ M.<Vejamos o que sucede no caso em que e . NesseF FÐ< Ñ œ < Ð< Ñ œ <

caso, para cada em , pertence à semirrecta de origem \ Á S < Ð\Ñ SFoposta à que contém , pelo que, por ser , tem-se\ l Ð\ÑSl œ l\SlFF FÐ\Ñ œ 38@ Ð\Ñ 38@ <S S, o que mostra que é a restrição de a .No caso em que existe em tal que , tem-seT Á S < ÐT Ñ œ TFF FÐT Ñ Á 38@ ÐT Ñ < 38@S S, pelo que não é a restrição a de , e portantoF œ M.<.

– 107–

9.3 Sejam (Corolário) < § ß À < ÄX F G X uma recta e duas aplicaçõesisométricas tais que existam em com eS Á T < ÐSÑ œ ÐSÑF GF G F GÐT Ñ œ ÐT Ñ œ. Tem-se então .Dem: Tendo em conta e , e são rectas e e são5.2 5.4 = œ Ð<Ñ > œ Ð<ÑF G F Gbijecções de sobre estas rectas. Uma vez que e contêm os pontos< = >distintos e , tem-se . Podemos assimF G F GÐSÑ œ ÐSÑ ÐT Ñ œ ÐT Ñ = œ >considerar a aplicação isométrica , para a qual se temG F" ‰ À < Ä <G F G F G F" " "

<‰ ÐSÑ œ S ‰ ÐT Ñ œ T ‰ œ M. e , pelo que , o queimplica que .G Fœ

9.4 Sejam (Isometrias dum plano com dois pontos fixos distintos) ! X§ umplano e uma aplicação isométrica tal que e que existamF ! X F ! !À Ä Ð Ñ §E Á F ÐEÑ œ E ÐFÑ œ F œ M. em com e . Tem-se então que, ou ,! F F F !

ou, notando , é a restrição a da inversão (cf. ).< œ EF 38@F ! < 5.14Em particular, se existir , com tal que (se existiremG − G  < ÐGÑ œ G! Ftrês pontos fixos não colineares), tem-se .F œ M.!Dem: Tendo em conta , é um plano, e portanto . Sendo5.6 F ! F ! !Ð Ñ Ð Ñ œ< œ EF Ð<Ñ, resulta de que é uma recta, a qual vai conter os pontos5.4 FF F FÐEÑ œ E ÐFÑ œ F Ð<Ñ œ < e , o que implica que e, tendo em conta ,9.2que a restrição de a é a aplicação identidade de . Tendo em conta ,F < < 5.7sendo e os dois semiplanos de de bordo , tem-se que e! ! ! F ! < Ð ÑF ! F ! ! FÐ Ñ Ð Ñ œ Ð<Ñ œ < são os dois semiplanos de de bordo , pelo queduas coisas podem acontecer: Ou e , ouF ! ! F ! !Ð Ñ œ Ð Ñ œ

F ! ! F ! ! !Ð Ñ œ Ð Ñ œ \ − Ï < e . Em qualquer dos casos, para cada ,podemos considerar o pé da perpendicular de sobre (cf. ) e entãoE \ < 4.28o facto de a recta ser perpendicular a implica, por , que a rectaE\ < 5.8F F F FÐEÑ Ð\Ñ E Ð\Ñ Ð<Ñ œ <, igual a , é perpendicular a (em particularE\ œ E Ð\Ñ E Ð\ÑF F) e portanto é também o pé da perpendicular de sobre<, tendo-se além disso

l Ð\ÑEl œ l Ð\Ñ ÐEÑl œ l\ElF F F .

Vejamos o que sucede no caso em que e . NesseF ! ! F ! !Ð Ñ œ Ð Ñ œ

caso, para cada , e estão no mesmo semiplano de de\ − Ï < \ Ð\Ñ! F !bordo , e portanto estão na mesma semirrecta de de origem< E\ œ E Ð\ÑFE l Ð\ÑEl œ l\El (cf. a alínea ), o que, por ser , implica queb) de 2.12 FF FÐ\Ñ œ \ œ M.. Tem-se assim .!Vejamos o que sucede no caso em que e . NesseF ! ! F ! !Ð Ñ œ Ð Ñ œ

caso, para cada , e estão em semiplanos opostos de de\ − Ï < \ Ð\Ñ! F !bordo , e portanto estão em semirrectas opostas de de< E\ œ E Ð\ÑForigem (cf. a alínea ), o que, por ser , implicaE l Ð\ÑEl œ l\Elb) de 2.12 Fque . Tem-se assim que é a restrição a deF F !Ð\Ñ œ 38@ Ð\Ñ œ 38@ Ð\ÑE <

38@<.No caso em que existe tal que , tem-se trivialmenteG − Ï < ÐGÑ œ G! FF F !ÐGÑ Á 38@ ÐGÑ 38@< <, pelo que não é a restrição de a , e portantoF œ M. Þ!

– 108–

9.5 Sejam (Corolário) ! X F G ! X§ ß À Ä um plano e duas aplicaçõesisométricas tais que existam em , não colineares, comEßFßG !F G F G F G F GÐEÑ œ ÐEÑ ÐFÑ œ ÐFÑ ÐGÑ œ ÐGÑ œ, e . Tem-se então .Dem: Tendo em conta e , e são planos e e 5.2 5 6Þ " F ! # G ! F Gœ Ð Ñ œ Ð Ñsão bijecções de sobre estes planos. Uma vez que e contêm os pontos! " #não colineares , e , tem-seF G F G F GÐEÑ œ ÐEÑ ÐFÑ œ ÐFÑ ÐGÑ œ ÐGÑ" # G F ! !œ ‰ À Ä. Podemos assim considerar a aplicação isométrica ,"

para a qual se tem , e ,G F G F G F" " "‰ ÐEÑ œ E ‰ ÐFÑ œ F ‰ ÐGÑ œ Gpelo que , o que implica que .G F G F" ‰ œ M. œ!

9.6 Seja(Isometrias do espaço com três pontos fixos não colineares)F X X XÀ Ä EßFßG − uma isometria tal que existam não colineares tais queF F F FÐEÑ œ E ÐFÑ œ F ÐGÑ œ G œ M., e . Tem-se então que, ou , ou,X

notando o plano que contém , (cf. ).! FEßFßG œ 38@! 5.24Em particular, se existir tal que (se existirem quatroH  ÐHÑ Á H! Fpontos fixos não complanares), tem-se .F œ M.XDem: Tendo em conta , tem-se . Sendo o plano que contém os5.9 F X X !Ð Ñ œpontos , resulta de que é um plano, o qual vai conter osEßFßG Ð Ñ5.6 F !pontos , e , o que implica que e,F F F F ! !ÐEÑ œ E ÐFÑ œ F ÐGÑ œ G Ð Ñ œtendo em conta , que a restrição de a é a aplicação identidade de .9.4 F ! !Tendo em conta , sendo e os dois semiespaços de bordo (cf.5.10 X X !

2.11), tem-se que e são os dois semiespaços de de bordoF X F X XÐ Ñ Ð Ñ

F ! ! F X XÐ Ñ œ Ð Ñ œ, pelo que duas coisas podem acontecer: Ou e

F X X F X X F X XÐ Ñ œ Ð Ñ œ Ð Ñ œ , ou e .Em qualquer dos casos, para cada , podemos considerar o pé da\ − ÏX !perpendicular de sobre (cf. ). O facto de a recta serE \ \E! 5.23perpendicular ao plano , implica que, escolhando duas rectas distintas!<ß = § \ − < = \E < =! com , é perpendicular a e a , e portanto, tendo emconta , a recta é perpendicular às rectas e5.8 F F F FÐ\ÑE œ Ð\Ñ ÐEÑ Ð<Ñ œ <F FÐ=Ñ œ = Ð\ÑE, o que implica, por , que a recta é também perpendi-5.20cular ao plano (em particular, por , ) e portanto é! F5.22 Ð\ÑE œ \E Etambém o pé da perpendicular de sobre , tendo-se, além dissoF !Ð\Ñ

l Ð\ÑEl œ l Ð\Ñ ÐEÑl œ l\ElF F F .

Vejamos o que sucede no caso em que e . NesseF X X F X XÐ Ñ œ Ð Ñ œ

caso, para cada , e estão no mesmo semiespaço de de\ − Ï \ Ð\ÑX ! F Xbordo , e portanto estão na mesma semirrecta de de origem! FE\ œ E Ð\ÑE Ò\ß Ð\ÑÓ E (o segmento não intersecta , e portanto não contém ), o que,F !por ser , implica que . Tem-se assim .l Ð\ÑEl œ l\El Ð\Ñ œ \ œ M.F F F !

Vejamos o que sucede no caso em que e . NesseF X X F X XÐ Ñ œ Ð Ñ œ

caso, para cada , e estão em semiespaços opostos de de\ − Ï \ Ð\ÑX ! F Xbordo , e portanto estão em semirrectas opostas de de! FE\ œ E Ð\Ñorigem (o segmento intersecta , necessariamente no ponto ),E Ò\ß Ð\ÑÓ EF !o que, por ser , implica que .l Ð\ÑEl œ l\El Ð\Ñ œ 38@ Ð\Ñ œ 38@ Ð\ÑF F E !

Tem-se assim .F œ M.!

– 109–

No caso em que existe tal que , tem-se trivialmenteH − Ï ÐHÑ œ HX ! FF F FÐHÑ Á 38@ ÐHÑ 38@ œ M. Þ! ! X, pelo que não é igual a , e portanto

9.7 Sejam(Corolário) duas isometrias tais que existam F G X Xß À Ä EßFßGßHnão complanares, com , , eF G F G F GÐEÑ œ ÐEÑ ÐFÑ œ ÐFÑ ÐGÑ œ ÐGÑF G F GÐHÑ œ ÐHÑ œ. Tem-se então .Dem: Tendo em conta e , . Podemos assim5.2 5.9 F X G X XÐ Ñ œ Ð Ñ œconsiderar a aplicação isométrica , para a qual se temG F X X" ‰ À ÄG F G F G F G F" " " "‰ ÐEÑ œ E ‰ ÐFÑ œ F ‰ ÐGÑ œ G ‰ ÐHÑ œ H, , e ,pelo que , o que implica que .G F G F" ‰ œ M. œX

Vamos agora definir outras isometrias do espaço, as translações, por umprocesso que, embora pareça talvez artificial, tem a vantagem de nãoexigir definições diferenciadas para as imagens dos diferentes tipos depontos. Estudaremos a seguir como propriedades, outras caracterizaçõesalternativas, mais intuitivas mas que necessitam de separar os diferentestipos de pontos.

9.8 Sejam e notemos o ponto médio do par (cf. ).EßF − Q ÐEßFÑX 1.26Definimos então a translação associada ao par , comoÐEßFÑ À Ä7 X XFßE

sendo a isometria (composta de duas isometrias).7FßE EQœ 38@ ‰ 38@

9.9 Nas condições anteriores, para cada recta , é uma recta< § = œ Ð<ÑX 7FßE

paralela a e, para cada plano , é um plano paralelo a .< § œ Ð Ñ! X " 7 ! !FßE

Dem: Trata-se de uma consequência de e da transitividade da relação de9.1paralelismo entre rectas e entre planos (cf. e ).7.11 7.28

9.10 Para , a isometria E œ F 7 X XEßEÀ Ä é a aplicação identidade Id .XDem: Uma vez que o ponto médio de é e que é umaÐEßEÑ E 38@ À ÄE X Xinvolução, obtemos .7EßE E Eœ 38@ ‰ 38@ œ M.X

9.11 Tem-se 7FßEÐEÑ œ F.Dem: O resultado é trivial se e, caso contrário, basta reparar que,E œ Fsendo o ponto médio de , tem-se , dondeQ ÐEßFÑ 38@ ÐEÑ œ FQ

7FßE EQ QÐEÑ œ 38@ Ð38@ ÐEÑÑ œ 38@ ÐEÑ œ F.

9.12 Sejam em . Para cada (Teorema do paralelogramo) E Á F EX w  EF,tem-se então que , onde é o único ponto de tal que7 XFßE

w w wÐE Ñ œ F FÐEßFßF ßE Ñw w seja um paralelogramo.

A B

A' B'

Dem: Seja o plano que contém ! EßFßE Þw

– 110–

Comecemos por mostrar que, sendo , é um7FßEw w w wÐE Ñ œ F ÐEßFßF ßE Ñ

paralelogramo. Em primeiro lugar, lembrando que é uma7 X XFßEÀ Äisometria, em particular injectiva, e que , concluímos que7FßEÐEÑ œ FF Á F FF œ ÐEE Ñw w w

FßE e, tendo em conta , que é uma recta paralela a9.9 7EEw, em particular está contida em , sendo mesmo estritamente paralela,!uma vez que , já que . Em particular, podemos jáF Â EE E Â EFw w 21

concluir que os pontos são todos distintos. NotemosEßFßF ßEw w

\ œ 38@ ÐE Ñ − F  EE œ \E E ßF ß\Ew w w w w w! e reparemos que , pelo que

são não colineares. Notemos o ponto médio de , tendo-se portantoQ ÐEßFÑF œ 38@ Ð\Ñw

Q .

B

A' B'

MA

X

Tem-se assim que é o ponto médio de e é o ponto médio deE Ð\ßE Ñ Qw

Ð\ßF Ñ E − Ò\ßE Ó Q − Ò\ßF Ó l\El œ l\ßE l l\Ql œw w w w"#, e portanto , , e

"#

wl\F l. Tendo em conta o recíproco do teorema de Thales em , concluí-8.4mos que a recta é paralela a , sendo mesmo estritamenteEQ œ EF E Fw w

paralela, por ser . Podemos agora aplicar para concluir queE Â EFw 7.19ÐEßFßF ßE Ñw w é efectivamente um paralelogramo.Resta-nos provar a unicidade de nas condições do enunciado, para o queFw

supomos que é tal que seja um paralelogramo. UmaF − ÐEßFßF ßE Ñww ww wXvez que, tendo em conta , , tal como é paralela a e contém7.5 E F E F EFw ww w w

E E F œ E Fw w w w ww, o axioma das paralelas implica que . O facto de termosparalelogramos implica que e que e estãolE F l œ lEFl œ lE F l F Fw w w ww w ww

ambos no semiplano de de bordo que contém e portanto estão! EE Fw

ambos na mesma semirrecta de de origem . ConcluímosE F œ E F Ew w w ww w

daqui finalmente que , o que prova a unicidade pretendida.F œ Fww w

O resultado precedente não caracteriza completamente a translação7 X XFßEÀ Ä uma vez que apenas nos diz o que é a imagem por estaisometria dos pontos que não pertencem a . O próximoE < œ EFw

resultado dá uma caracterização da imagem por dos pontos que estão7FßE

21Também podíamos concluir que , mas não utilizamos esse facto paralFF l œ lEE lw w

provar que temos um paralelogramo.

– 111–

em , que infelizmente tem um espírito completamente diferente< œ EFdo anterior.

9.13 Sejam em e consideremos na recta a ordem linear E Á F < œ EF ŸXpara a qual (cf. ). Para cada E F E1.16 w − <, tem-se então que7FßE

w w w w wÐE Ñ œ F F < E F, onde é o único ponto de tal que elE F l œ lEFl 0 À < Ä + œ 0ÐEÑw w . Se é um sistema de coordenadas e se ,‘, œ 0ÐFÑ + œ 0ÐE Ñ 0ÐF Ñ œ + Ð, +ÑÞ e , tem-se w w w w

Dem: Seja um sistema de coordenadas. Lembrando a caracteri-0 À < Ä ‘zação de como o único ponto tal que seja o ponto médio de38@ ÐHÑ GG

ÐHß 38@ ÐHÑÑG (cf. ), assim como a caracterização do ponto médio em5.12termos dum sistema de coordenadas em , vemos que, sendo ,1.26 + œ 0ÐEÑ, œ 0ÐFÑ + œ 0ÐE Ñ 0ÐQÑ œ e , tem-se ,w w +,

#

0 Ð38@ ÐE ÑÑ œ + Ð+ +Ñ œ #+ +Ew w w

(uma vez que ), e portantoÐ#++ Ñ+#

w w

œ +

0Ð ÐE ÑÑ œ 0Ð38@ Ð38@ ÐE ÑÑÑ œ

œ Ð#+ + Ñ œ + Ð, +Ñ+ , + ,

# #

7FßE Ew w

Q

w w

(reparar que ). Escolhendo agora o" +,# #

w wÐÐ#+ + Ñ Ð+ Ð, +ÑÑÑ œ

sistema de coordenadas de forma a definir a ordem linear (cf. ),Ÿ 1.16tem-se , donde+ ,

0Ð ÐE ÑÑ œ + Ð, +Ñ + œ 0ÐE Ñ7FßEw w w w ,

portanto , e, por outro ladoE ÐE Ñw wEßF7

lE ÐE Ñl œ l0Ð ÐE ÑÑ 0ÐE Ñl œ , + œ lEFlw w w wFßE FßE7 7 .

Quanto à unicidade de um ponto nas condições de , basta repararF ÐE Ñw wFßE7

que a condição de se ter implica que está numa certa semirrectaE F Fw w w

de de origem e que, numa tal semirrecta, existe um único ponto a uma< Ew

distância dada de .Ew

As duas propriedades precedentes, apesar de terem um espírito distinto,permitem apresentar uma propriedade do valor da translação 7FßE

wÐE Ñ(onde ) que, embora não o defina univocamente, é válida tanto noE Á Fcaso em que como naquele em que .E − EF E Â EFw w

9.14 Sejam , com , e EßF − E Á F EX w w wFßE− F œ ÐE ÑX 7. Notando então ,

tem-se e as rectas e são paralelas. Em particular,lE F l œ lEFl EF E Fw w w w

para cada , (a translação não tem pontos fixos).E − ÐE Ñ Á Ew w wFßEX 7

Dem: No caso em que , a caracterização de em E  EF F œ ÐE Ñw w wFßE7 9.12

– 112–

diz-nos que é um paralelogramo e portanto, por definição,EFF Ew w

lE F l œ lEFl EF E Fw w w w e, tendo em conta , as rectas e são paralelas. No7.5caso em que , a caracterização de em diz-nosE − EF F œ ÐE Ñw w w

FßE7 9.13que , em particular , e que , portantolE F l œ lEFl ! F Á E F − EFw w w w w

E F œ EF EF E Fw w w w, em particular e são rectas paralelas.

9.15 (Norma de uma translação) Suponhamos fixada uma função distância. − Y 7 7. Dada uma translação , definimos a de (ou simplesmente.-normanorma de , se estiver implícito) como sendo o número real ,7 7. .ÐE ß ÐE ÑÑw w

com ponto arbitrário de , número real que não depende de , tendo emE Ew wXconta e o facto de ser a aplicação identidade. A norma referida será9.14 7EßE

notada , ou simplesmente se estiver implícito.m m m m .7 7.

9.16 Dadas duas funções distância , tais que , para um certo.ß . − . œ -.w wY- ! m m œ -m m, tem-se, para cada translação , .7 7 7. .w

9.17 Suponhamos fixada uma fun(Propriedades da norma) ção distância. − Y . Tem-se então:a) .m m œ .ÐEßFÑ7FßE

b) , sendo se, e só se, .m m   ! m m œ ! œ M.7 7 7 X

Dem: A alínea a) resulta da definição e do facto de se ter . A7FßEÐEÑ œ Falínea b) resulta de a) e de se ter .M. œX 7EßE

9.18 Seja (Um lema elementar mas útil) ! X§ um plano. Existem entãopontos não complanares, nenhum deles pertencente a .EßFßGßH !Dem: Seja (se não existisse, todo o conjunto seria complanar). Seja E  ! "o plano paralelo a tal que (cf. ), plano esse que é mesmo! "E − 7.29estritamente paralelo por ser . Consideremos sucessivamente um pontoE  !F − F Á E G − G  EF" " tal que e um ponto tal que (se não existisse,todo o subconjunto de seria colinear). Tem-se assim que são" "EßFßG −não colineares e , por e serem estritamente paralelos.EßFßG  ! ! "Escolhamos um ponto arbitrário e escolhamos enfim ,\ − H − \E!distinto de e (por exemplo o ponto médio do par ). Tem-se que\ E Ð\ßEÑ\E \E œ Ö\× não está contida em nem em , donde e! " !\E œ ÖE× H  H  EßFßGßH" ! " e daqui resulta que e , portanto sãonão complanares.

9.19 Sejam , com , (Lema) EßF − E Á F EX w w w wwFßE− F œ ÐE Ñ EX 7 e . Dado

 E F ÐE Ñ œ ÐE Ñw w ww wwFßE F ßE, tem-se então .7 7 w w

A' B'

A" B"

Dem: Notemos . Tendo em conta , Tem-se ,F œ ÐE Ñ F Á Eww ww w wFßE7 9.14

– 113–

F Á E E F E F EFww ww w w ww ww e as rectas e são ambas paralelas à recta , logoparalelas entre si (cf. ), sendo mesmo estritamente paralelas, uma vez7.11que . Em particular, os pontos são todos distintos.E Â E F E ßF ßE ßFww w w w w ww ww

Por outro lado, tendo em conta , a recta é paralela à9.9 F F œ ÐE E Ñw ww w wwFßE7

recta , portanto estritamente paralela, uma vez que , já queE E F Â E Ew ww w w ww

E  E F ÐE ßF ßF ßE Ñww w w w w ww ww . Podemos assim aplicar para garantir que é7.19um paralelogramo o que, por , implica que .9.12 F œ ÐE Ñww ww

F ßE7 w w

9.20 Sejam (Teorema Fundamental das Translações) EßFßEw w− F œX e 7 7 7FßE FßE F ßE

wÐE Ñ œ. Tem-se então .w w

Dem: No caso em que , tem-se , portanto , dondeE œ F œ M. F œ E7FßEw w

X

7 7F ßE FßEw w œ M. œ E Á FX . Suponhamos agora que . Tendo em conta olema , as isometrias coincidem no complementar de9.19 7 7 X XFßE F ßEß À Äw w

E Fw w em . Uma vez que esse complementar contém quatro pontos nãoXcolineares (aplicar o lema , depois de considerar um plano arbitrário 9.18 !contendo ), deduzimos de que .E F œw w

FßE F ßE9.7 7 7 w w

9.21 Dados pontos (Corolário) Ew wß F − X, existe uma, e uma só, translação7 X X 7 7À Ä ÐE Ñ œ F tal que , a saber a translação .w w

F ßEw w

Dem: Já sabemos que a translação aplica em (cf. ) e o7F ßEw w

w w E F 9.11resultado precedente diz-nos que qualquer translação que verifique essa7FßE

propriedade é igual a .7F ßEw w

9.22 (A inversa duma translação) Dados , tem-se que a isometriaEßF − Xinversa da translação é a translação .7 X X 7 X XFßE EßFÀ Ä À Ä

Dem: No caso em que , o resultado é trivial, uma vez que é aE œ F 7EßE

identidade, e portanto inversa de si mesmo. Suponhamos assim que .E Á FTudo o que temos que mostrar é que a isometria é a7 7 X XEßF FßE‰ À Äidentidade. Comecemos por considerar . Tendo em conta ,E Â EFw 9.12tem-se , onde é o único ponto de tal que 7 XFßE

w w w w wÐE Ñ œ F F ÐEßFßF ßE Ñseja um paralelogramo.

A B

A' B'

Mas então também é um paralelogramo (cf. , passandoÐFßEßE ßF Ñw w 6.12pelo paralelogramo ), pelo que, mais uma vez pelo esmoÐE ßF ßFßEÑw w

resultado, tem-se , portanto .E œ ÐF Ñ ‰ ÐE Ñ œ Ew w w wEßF EßF FßE7 7 7

Considerando agora quatro pontos não complanares nãoE ßE ßE ßEw w w w" # $ %

pertencentes a (aplicar , depois de considerar um plano arbitrário EF 9.18 !

– 114–

contendo ), verificamos que a isometria tem quatro pontosEF ‰7 7EßF FßE

fixos não complanares e portanto, por , .9.6 7 7EßF FßE‰ œ M.X 22

9.23 (Outra caracterização da inversa duma translação) Sejam uma recta e<0 À < Ä EßF − <‘ um sistema de coordenadas. Dados , tem-se que a inversada translação é a translação , onde , e7 X X 7 X XFßE F ßE E

wÀ Ä À Ä F œ 38@ ÐFÑw

portanto também pode ser caracterizado pela condição de ser o pontoF Ew

médio do par ou pela de se terÐFßF Ñw

0 ÐF Ñ œ 0ÐEÑ Ð0ÐFÑ 0ÐEÑÑ œ #0ÐEÑ 0ÐFÑw .

Dem: Tendo em conta , tem-se . Tendo em conta e9.22 9.207 7FßE"

EßFœ

9.13, vem também , donde , portanto7 7 7FßE" w

F ßE EßFœ F œ ÐEÑw

0 ÐF Ñ œ 0ÐEÑ Ð0ÐEÑ 0ÐFÑÑ œ #0ÐEÑ 0ÐFÑw .

Desta igualdade sai que o que, por , implica que é0ÐEÑ œ E0ÐFÑ0ÐF Ñ#

w

1.26o ponto médio de , ou seja, que .ÐFßF Ñ F œ 38@ ÐFÑw w

E

9.24 Sejam e o ponto médio do par . Tem-se então(Lema) EßF − Q ÐEßFÑX

38@Q ‰ 38@ œ œ 38@ ‰ 38@E FßE F Q7 .

Dem: Sabemos que e que .7 7FßE E EßF Fœ ‰ 38@ œ ‰ 38@38@ 38@Q Q

Podemos então aplicar para garantir que9.22

M. œ ‰ œ ‰ 38@ ‰ ‰ 38@X 7 7EßF FßE EF38@ 38@Q Q ,

donde, lembrando que as inversões relativamente a um ponto são involutivas,

38@ ‰ 38@ œ 38@ ‰ 38@ ‰ M. œ

œ 38@ ‰ 38@ ‰ ‰ 38@ ‰ ‰ 38@ œ

œ ‰ 38@

F Q F Q

F Q F E

E

X

38@ 38@

38@Q Q

Q .

9.25 (A composta de duas translações) Sejam duas translações.7 5 X Xß À ÄTem-se então que é uma translação. Em consequência, se 5 7 X X 7‰ À Ä œ7 5 7 5 7 7FßE GßEGßF e , tem-se .œ ‰ œ

Dem: Sejam tais que . Tendo em conta , existe EßF − œ G −X 7 7 XFßE 9.20tal que , nomeadamente . Sejam o ponto médio do par5 7 5œ G œ ÐFÑ QGßF

ÐEßFÑ Q ÐFßGÑ e o ponto médio do par . Tendo em conta e o facto dew 9.24as inversões relativamente a um ponto serem involutivas, tem-se

5 7‰ œ 38@ ‰ 38@ ‰ 38@ ‰ 38@ œ 38@ ‰ 38@Q F F Q Q Qw w ,

o que mostra que é uma translação, nomeadamente a translação ,5 7 7‰ Q ßQww

22Esta parte do argumento também podia ser substituída pela verificação directa,utilizando depois de fixar um sistema de coordenadas da rcta , de que, para9.13 EFE − EF ‰ ÐE Ñ œ Ew w w

EßF FßE, ainda se tem 7 7

– 115–

onde (uma vez que é então o ponto médio do parQ œ 38@ ÐQÑ Qww wQw

ÐQßQ Ñ ‰ œwwGßE). O facto de se ter também resulta mais uma vez de5 7 7

9.20, uma vez que .5 7 5‰ ÐEÑ œ ÐFÑ œ G

9.26 O conjunto das transla(Corolário) ções é um subgrupo do grupo7 X XÀ Ä

das isometrias . Esse subgrupo será notado X X XÄ ÞÄ

Dem: Trata-se de uma consequência de , e .9.10 9.22 9.25

9.27 Suponhamos fixada uma fun(Outras propriedades da norma) çãodistância . A norma das translações tem então, além das propriedades. − Ya) e b) em 9.17, ainda as propriedades:c) .m m œ m m7 7"

d) m ‰ m Ÿ m m m mÞ5 7 5 7Dem: A alínea c) vem de que tem

m m œ .Ð ÐE Ñß Ð ÐE ÑÑÑ œ .Ð ÐE ÑßE Ñ œ m m7 7 7 7 7 7" w " w w w .

Quanto a d), temos, pela desigualdade triangular em ,4.41

m ‰ m œ .Ð Ð ÐE ÑÑßE Ñ Ÿ .Ð Ð ÐE ÑÑß ÐE ÑÑ .Ð ÐE ÑßE Ñ œ m m m m5 7 5 7 5 7 7 7 5 7w w w w w w .

9.28 Sejam (Precomutatividade) EßFßEw wFßE E ßE− ÐE Ñ œ ÐFÑX 7 7. Então .w

Dem: No caso em que , tem-se e, naqueleE œ F ÐE Ñ œ E œ ÐFÑ7 7FßE E ßEw w

w

em que , tem-se .E œ E ÐE Ñ œ F œ ÐFÑw wFßE E ßE7 7 w

Tratemos agora o caso em que e . Há duas situaçõesE Á F E Á Ew

possíveis:1) Suponhamos que , e portanto também . TendoE − < œ EF F − EE œ <w w

em conta , tem-se então e e, tomando um9.13 7 7FßE E ßEwÐE Ñ − < ÐFÑ − <w

sistema de coordenadas e pondo , e ,0 À < Ä + œ 0ÐEÑ , œ 0ÐFÑ - œ 0ÐGÑ‘vem

0Ð ÐE ÑÑ œ + Ð, +Ñ œ , Ð+ +Ñ œ 0Ð ÐFÑÑ7 7FßE E ßEw w w

w ,

donde .7 7FßE E ßEwÐE Ñ œ ÐFÑw

2) Suponhamos que , portanto também . Tendo em contaE Â EF F Â EEw w

9.12, tem-se , onde é o único ponto de tal que7 XFßEw w wÐE Ñ œ F F

ÐEßFßF ßE Ñw w seja um paralelogramo.

A B

A' B'

Mas então também é um paralelogramo (cf. , passandoÐEßE ßF ßFÑw w 6.12pelo paralelogramo ) o que, pelo mesmo resultado, garante queÐE ßF ßFßEÑw w

7E ßEw

w ÐFÑ œ F .

– 116–

9.29 (Comutatividade do grupo das translações)XÄ

Quaisquer que sejam astranslações , tem-se .5 7 X X 5 7 7 5ß À Ä ‰ œ ‰Dem: Sejam tais que e seja tal que ,EßF − œ E − œX 7 7 X 5 7FßE E ßE

ww

nomeadamente (cf. ).E œ ÐEÑw 5 9.20

A B

A' B'

t

t

s s

Sendo , vem, por , e, tendo em conta ,F œ ÐE Ñ œw wFßE F ßE7 7 79.20 9.28w w

tem-se também , donde . Podemos agora aplicar F œ ÐFÑ œwE ßE F ßF7 5 7w w 9.25

para garantir que

5 7 7 7 7 7 7 7 5‰ œ ‰ œ œ ‰ œ ‰F ßF FßE F ßE F ßE E ßEw w w w w .

9.30 (Translações duma recta e dum plano) Seja uma translação.7 X XÀ ÄDada uma recta (respectivamente um plano ), diz-se que < ! 7 é umatranslação da recta translação do plano (respectivamente ) se se tem< !7 7 ! !Ð<Ñ § < Ð Ñ § (respectivamente ).Repare-se que é trivialmente uma translação de qualquer recta e deM.Xqualquer plano.

9.31 (Notações alternativas) 1) Às translações daremos também o nomeX XÄde , ou simplesmente . Quando usamos este ponto devectores livres vectoresvista ( ), é costume usar, para notar um vector, uma letranotação vectorialencimada de uma seta, como, por exemplo ? ÞÄ

2) Dados a translação , que aplica em , será notada . AEßF − E F EFÄ

X 7FßE

uma translação de uma recta (respectivamente de um plano ) dá-se< !também o nome de (respectivamente ).vector da recta vector do plano< !3) Sendo e duas translações (vectores), a translação 7 5 5 7œ ? œ @ ‰ œÄ Ä

7 5‰ ? @Ä Ä será notada . A propriedade em pode assim ser escrita na9.25forma .EF FG œ EG

Ä ÄÄ

4) A translação identidade será representada, em notação vectorial, porM.X

! ! œ EE E −Ä Ä Ä

. Tem-se assim , para cada .X5) Se é a notação vectorial para a translação , a translação inversa ?Ä 7 7"

será notada . Trata-se assim do simétrico de relativamente à estrutura? ?Ä Ä

de grupo abeliano dos vectores (translações), ou seja, . A? Ð? Ñ œ !Ä Ä Ä

propriedade em pode assim ser escrita na forma .9.22 EF œ FEÄ Ä

6) Se é a notação vectorial para a translação , para cada o valor? E −Ä 7 X

7ÐEÑ E ? E EF œ FÄ Ä é notado também . Tem-se assim .

– 117–

7) Dados , o vector é por vezes notado , esta notaçãoEßF − EF F EÄ

Xsendo explicada pelo facto de se tratar do único vector tal que ? E ? œ FÄ Ä

(cf. ).9.218) As propriedades das normas em e tomam o aspecto mais habi-9.17 9.27tual: ; , sendo se, e só se, ;a) b)mEFm œ .ÐEßFÑ m?m   ! m?m œ ! ? œ !

Ä Ä Ä Ä Ä

c) d) ; .m?m œ m?m m? @ m Ÿ m?m m@ mÄ Ä Ä Ä Ä Ä

9) Um vector é frequentemente representado numa figura por um? œ EFÄ Ä

segmento de extremidades e , com uma seta colocada em (umaE F F“flecha”). Essa representação já foi aliás utilizada na figura atrás, na demons-tração de .9.29

9.32 Seja uma recta. Se , um vector< E − < é um vector da recta se, e sóEF <Ä

se, . O conjunto dos vectores da recta é um subgrupo próprio doF − < <

grupo comutativo das translações, que notaremos , e que contém estrita-XÄ

<Ä

mente o subgrupo trivial .Ö! ×Ä

A um conjunto da forma , para alguma recta , damos o nome de < <Ä rectavectorial direcção ou o de . Como sinónimo de uma expressão ,? − <Ä Ä

também diremos que do vector . Dizemos também que< ?Ä Ä é uma direcção< <Ä é .a direcção da rectaDem: Se é um vector da recta , então . Recipro-EF < F œ EFÐEÑ − <

Ä Ä

camente, se , então, ou e é trivialmente umF − < F œ E EF œ ! œ M.Ä Ä

X

vector de , ou e então, para cada , tem-se , pela< F Á E E − < EFÐE Ñ − <Ä

w w

caracterização em , o que mostra que , ou seja, é um9.13 EFÐ<Ñ § < EFÄ Ä

vector de . Já referimos que é trivialmente um vector (translação)< ! œ M.Ä

X

de . Fixemos . Se são vectores de , tem-se , com< E − < ? ß @ < ? œ EFÄÄ Ä Ä

F œ ?ÐEÑ − < ? œ FE < @ œ FGÄ Ä ÄÄ Ä, donde, por , é um vector de , e ,9.22

com , donde, tendo em conta , é um vectorG œ @ ÐFÑ − < ? @ œ EGÄ Ä Ä Ä9.25

de . Ficou assim provado que é efectivamente um subgrupo do grupo< <Ä

comutativo dos vectores, sendo um subgrupo próprio, uma vez que nãoXÄ

contém os vectores , com . O facto de conter estritamente EG G  < < Ö! ×Ä Ä Ä

resulta de que, sendo em , pertence a .F Á E < EF Á ! <Ä Ä Ä

9.33 Dadas duas rectas e , tem-se < = <Ä Äœ = < = se, e só se as rectas e sãoparalelas e, caso contrário, tem-se . Em particular, se e são< = œ Ö! × < =Ä Ä Ä ÄÄ

rectas vectoriais tais que , então .< § = < œ =Ä Ä Ä Ä

Podemos assim dizer que duas rectas são paralelas se, e só se, têm a mesmadirecção.Dem: Suponhamos que e são paralelas. Se tem-se evidentemente< = < œ =< œ = < =Ä Ä. Caso contrário e são estritamente paralelas e, para mostrarmosque , basta, por simetria dos papéis das duas rectas, mostrar que< œ =Ä Ä

< § = ? − < !Ä Ä Ä Ä Ä. Seja então , que podemos já supor diferente de , portanto

– 118–

? œ EF E Á F <Ä Ä, com em . Tendo em conta e , escolhendo então9.20 9.12

E − = ? œ E F FÄ Äw w w w, tem-se também , onde é o único ponto de tal queX

ÐEßFßF ßE Ñ E Fw w w w seja um paralelogramo, tendo-se então que é uma rectaque, tal como , contém e é paralela a , portanto, pelo axioma das= E < œ EFw

paralelas , , donde e , como queríamos.7.10 E F œ = F − = ? œ E F − =Ä ÄÄw w w w w

Ficou assim provado que , em particular .< œ = < = œ < Á Ö! ×Ä Ä Ä Ä Ä Ä

Suponhamos agora que , portanto que existe em .< = Á Ö! × ? Á ! < =Ä Ä Ä Ä ÄÄ Ä

Existem então em e em tais que . EmE Á F < E Á F = ? œ EF œ E FÄ Ä Äw w w w

particular,

F œ E F ÐE Ñ œ EFÐE ÑÄ Äw w w w w ,

donde, por a recta é paralela à recta .9.14 < œ EF = œ E Fw w

9.34 Dada um vector(Corolário) , existe uma, e uma só recta vectorial? Á !Ä Ä

< ? − < ? <Ä Ä Ä Ä Ä tal que , por outras palavras admite uma única direcção .Dizemos que é a pelo vector ou que é < ? Á ! <Ä Ä ÄÄ

recta vectorial gerada adirecção do vector .? Á !Ä Ä

É claro que o vector admite qualquer direcção , pelo que não se pode! <Ä Ä

falar de direcção do vector .a !Ä

Dem: A unicidade decorre do resultado precedente. Quanto à existência,sendo , com , basta tomar (cf. ).? œ EF E Á F < œ EFÄ Ä

9.32

9.35 Diz-se que um conjunto (ou família) de vectores é se existir umacolinearrecta vectorial ao qual todos eles pertençam (comparar com ), por<Ä 1.2outras palavras, se todos admitirem uma direcção comum. Comopropriedades desta noção temos:1) O conjunto vazio ou um conjunto com um único vector é sempre colinear.2) Se ou , então e são colineares.? œ ! @ œ ! ? @Ä Ä Ä ÄÄ Ä

3) Se e , então e são colineares se, e só se, as rectas? Á ! @ Á ! ? @Ä Ä Ä ÄÄ Ä

vectoriais que eles determinam (cf. ) coincidem, isto é, se, e só se, têm a9.34mesma direcção.4) Se e , então e são colineares se, e só se, ? œ EF @ œ EG ? @ EßFßGÄ Ä Ä ÄÄ Ä

são colineares.Dem: As propriedades 1), 2) e 3) são triviais. Quanto a 4), se tivermos emconta a conclusão de 2) e o facto de dois pontos serem sempre colineares,vemos que basta examinar o caso em que e . Se foremE Á F E Á G EßFßGcolineares, existe uma recta tal que e então e ,< EßFßG − < ? − < @ − <Ä Ä Ä Ä

pelo que e são colineares. Reciprocamente, se e são colineares,? @ ? @Ä Ä Ä Ä

então, sendo e , tem-se , pelo que, tendo em conta< œ EF = œ EG < œ =Ä Ä

9.33, e são paralelas e portanto, por terem o ponto em comum, tem-se< = E< œ = EßFßG e são colineares.

– 119–

9.36 Seja um plano. Se , um vector! ! !E − é um vector do plano se, e sóEFÄ

se, . O conjunto dos vectores do plano é um subgrupo próprio doF − ! !

grupo comutativo dos vectores, que notaremos , e que contém estrita-X !Ä Ä

mente cada subgrupo, , com recta contida em .< <Ä !A um conjunto da forma , para algum plano , damos o nome de ! !Ä planovectorial.Dem: Se é um vector do plano , então . Recipro-EF F œ EFÐEÑ −

Ä Ä! !

camente, se , então, ou e é trivialmente umF − F œ E EF œ ! œ M.Ä Ä

! X

vector de , ou e então, para cada , tem-se , pela! ! !F Á E E − EFÐE Ñ −Ä

w w

caracterização em se e pela caracterização em se9.13 9.12E − EFw

E Â EF EFÐ Ñ § EFÄ Ä

w , o que mostra que , ou seja, é um vector de . Já! ! !

referimos que é trivialmente um vector (translação) de . Fixemos! œ M.Ä

X !

E − ? ß @ ? œ EF F œ ?ÐEÑ −ÄÄ Ä ÄÄ! ! !. Se são vectores de , tem-se , com ,

donde, por , é um vector de , e , com9.22 ? œ FE @ œ FGÄ ÄÄ Ä!

G œ @ ÐFÑ − ? @ œ EGÄ Ä Ä Ä!, donde, tendo em conta , é um vector de9.25

! !. Ficou assim provado que é efectivamente um subgrupo do grupoÄ

comutativo dos vectores e o facto de ser um subgrupo próprio resulta deXÄ

que, sendo , . No caso em que é uma recta, podemosG  EG  < §Ä Ä! ! !

escolher e então, para cada , tem-se , comE − < ? − < ? œ EFÄ Ä Ä Ä

F œ ?ÐEÑ − < § ? −Ä Ä Ä! !, portanto e, por outro lado, podemos escolharG − Ï < @ œ EG − @  <Ä Ä Ä Ä ÄÄ

! ! ! e então e , o que mostra que contém estri-tamente .<Ä

9.37 Dados uma recta e um plano < ! !, tem-se se, e só se, a recta é< § <Ä Ä

paralela ao plano . Naquele caso está contido estritamente em e, no! !<Ä Ä

caso contrário, tem-se . Em particular, um mesmo conjunto não< œ Ö! ×Ä Ä Ä!

pode ser simultaneamente recta vectorial e plano vectorial.Dem: Suponhamos que a recta é paralela ao plano . Existe assim uma< !recta tal que as rectas e sejam paralelas (cf. ) e então, tendo em= § < =! 7.7conta e , tem-se , onde esta inclusão é estrita, em parti-9.33 9.36 < œ = §Ä Ä Ä!

cular .< œ < Á Ö! ×Ä Ä Ä Ä!

Suponhamos agora que , portanto que existe em .< Á Ö! × ? Á ! < Ä Ä Ä Ä ÄÄ Ä! !

Existem então em e em tais que . EmE Á F < E Á F ? œ EF œ E FÄ Ä Äw w w w!

particular, sendo , tem-se donde, por , as rectas= œ E F § ? − < =Ä Ä Äw w ! 9.33< = < e são paralelas o que, mais uma vez por , implica que a recta é7.7paralela ao plano .!

9.38 Dados dois planos ! " ! " ! " e , tem-se se, e só se e são paralelos.ÄœÄ

Caso contrário, existe uma recta tal que e Em< œ < œ <Ä ÄÄ! " ! "

particular se . e são planos vectoriais com , então .! " ! " ! "Ä Ä ÄÄ Ä Ä§ œ

– 120–

Dem: Suponhamos que os planos e são paralelos. Para mostrarmnos que! "

! " ! "Ä Äœ §Ä Ä

, basta mostrarmos que , tendo em conta a simetria do papéisde e . Seja então , podendo já supor-se . Tem-se então ! " !? − ? Á ! ? œÄ Ä Ä ÄÄ

EF EßF − < œ EFÄ

, com , e portanto, sendo que é uma recta contida em!

! " ", e portanto paralela a (cf. a alínea ), tem-se (cf.a) de 7.24 ? − < §Ä Ä Ä

9.37). Ficou assim provado que , como queríamos.! "ħÄ

Suponhamos reciprocamente que os planos e não são paralelos. Tem-se! "assim e , pelo que existe uma recta tal que (cf.! " ! " ! "Á Á g < œ <a alínea ). O facto de se ter e implica que ed) de 1.7 < § < § < §Ä Ä! " !

< § < § ? − Ä Ä Ä Ä ÄÄ Ä Ä" ! " ! " (cf. ), portanto . Seja arbitrário. Fixado9.36

E − < E − E − F ? œ EFÄ Ä, tem-se e , pelo que, sendo tal que , tem-se! "

F − F − F − < ? œ EF − <Ä ÄÄ! " e (cf. ), ou seja , o que implica que 9.36

(cf. ). Ficou assim provado que , em particular 9.32 ! " ! "Ä Ä Ä œ < ÁÄ Ä

(lembrar que, por , está contido estritamente em .9.36 <Ä Ä!

9.39 Sejam (Primeira soma directa) <Ä Ä Ä Ä= < Á = e duas rectas vectoriais, com .Existe então um único plano vectorial tal que e e tem então! ! !Ä Ä Ä Ä Ä< § = §lugar a soma directa de grupos comutativos .!Ä Ä Äœ < Š =Dem: Fixemos e reparemos que, se necessário substituindo pelaE − < =recta paralela a que passa por (o que não altera a recta vectorial , tendo= E =Ä

em conta ), pode-se já supor que se tem também . Uma vez que9.33 E − =< Á = < Á = < =Ä Ä, por ser , as rectas e são concorrentes e podemos assimconsiderar o único plano tal que e . Tem-se então e! ! ! !< § = § < §Ä Ä

= § < = §Ä Ä Ä Ä Ä Ä! ! !, portanto, por ser um subgrupo, , inclusão que tambémpode ser escrita na forma , uma vez que se tem (cf.< Š = § < = œ Ö! ×Ä Ä Ä Ä Ä Ä

!

9.33). Seja agora arbitrário, portanto , para um certo .A − A œ EG G −Ä Ä Ä Ä! !

Seja a recta paralela a tal que , recta para a qual (se ,< < G − < < § G − <w w w !< œ < G  < < Gw , se , é o único plano que contém e ).!

A

Cr

s

r'

B

A recta não é paralela a , senão também o era, pelo que, por se tratar de< = <w

duas rectas do plano , e são concorrentes, portanto , para! < = < = œ ÖF×w w

um certo . Tem-se então que , eF − ? œ FG − < œ < @ œ EF − =Ä ÄÄ ÄÄ Ä Ä! w

A œ EG œ EF FG œ @ ?Ä Ä ÄÄ Ä Ä,

– 121–

o que mostra que se tem efectivamente .!Ä Ä Äœ < Š =

Quanto à unicidade, se é um plano vectorial tal que e , o" " "Ä Ä Ä

< § = §Ä Ä

facto de ser um subgrupo implica que e portanto, tendo" ! "Ä ÄÄ Ä Äœ < Š = §

em conta , .9.38 ! "ÄœÄ

9.40 Se (Corolário) ?Ä Ä@ e são vectores não colineares, então existe um únicoplano vectorial tal que e .! ! !Ä Ä Ä Ä Ä? − @ −

Dem: Tem que ser e e, sendo e as únicas rectas vectoriais? Á ! @ Á ! < =Ä Ä Ä ÄÄ Ä

tais que e , dizer que e equivale a dizer que? − < @ − = ? − @ −Ä Ä Ä Ä Ä Ä Ä Ä! !

< § = § < § < œ Ö! ×Ä Ä Ä Ä Ä Ä Ä ÄÎÄ

! ! ! ! e (lembrar que, por , se , então , e9.37analogamente para ).=Ä

9.41 Diz-se que um conjunto (ou família) de vectores é complanar se existir umplano vectorial ao qual todos eles pertençam (comparar com ). Como!Ä 1.2propriedades desta noção temos:1) O conjunto vazio ou um conjunto com um ou dois vectores é semprecomplanar.2) Se e são vectores colineares, então, qualquer que seja o vector , os? @ AÄ Ä Ä

vectores , e são complanares.? @ AÄÄ Ä

3) Se e são não colineares e é o único plano vectorial que os contém? @Ä Ä Ä!(cf. o corolário ), então são complanares se, e só se, .9.40 ? ß @ ß A A −ÄÄ Ä Ä Ä!

4) Se , e , então são complanares se, e só? œ EF @ œ EG A œ EH ? ß @ ß AÄ Ä Ä ÄÄ ÄÄ Ä Ä

se, são complanares.EßFßGßHDem: Para a propriedade 1), basta repararmos que qualquer recta vectorialestá contida num plano vectorial e, no caso de dois vectores não colineares,termos em conta o corolário . Quanto a 2), sendo uma recta vectorial9.40 <Ä

que contenha e e uma recta vectorial que contenha , existe sempre? @ = AÄ Ä Ä Ä

um plano vectorial que contenha e (trivialmente se e por !Ä Ä Ä Ä Ä< = < œ = 9.39caso contrário). A propriedade 3) é trivial. Verifiquemos enfim a propriedade4). Se são complanares, existe um plano que os contém e entãoEßFßGßH !

? œ EF @ œ EG A œ EHÄ Ä Ä ÄÄ Ä Ä, e pertencem a , o que mostra que estes três!

vectores são complanares. Suponhamos, reciprocamente, que os três vectoressão complanares. Se e são colineares, já vimos, na alínea , que? @Ä Ä 4) de 9.35existe uma recta tal que e então, sendo um plano que< EßFßG − < !contenha e (cf. a alínea , se , caso contrário qualquer< H H Â <a) de 1.8plano que contenha ), tem-se e os quatro pontos são< EßFßGßH − !complanares. Se e não são colineares, o resultado citado diz-nos que? @Ä Ä

EßFßG não são colineares, pelo que existe um único plano que contém!estes três pontos e portanto é o único plano vectorial que contém e !Ä Ä Ä? @(cf. ) pelo que, por serem complanares, tem-se , donde9.40 ? ß @ ß A A −ÄÄ Ä Ä Ä!H − EßFßGßH! e portanto são complanares.

9.42 Sejam (Segunda soma directa) !Ä Ä< um plano vectorial e uma recta vecto-rial tais que . Tem então lugar a soma directa .< § œ Š <Ä Ä Ä ÄÎ

Ä! X !

– 122–

Dem: Tendo em conta , tem-se , o que nos permite utilizar9.37 !Ä Ä < œ Ö! ×Ä

a notação , e e não são paralelos, portanto , para um! ! !Ä ÄŠ < < < œ ÖE×

certo . Seja arbitrário e seja tal que . Seja aE − A − G − A œ EG <Ä ÄÄ ÄX X X w

recta paralela a tal que .< G − <w

Tem-se ainda que não é paralela a (cf. ) e portanto ,< < œ ÖF×w w! !7.12para um certo . Tem-se entãoF − X

A œ EG œ EF FGÄ Ä Ä Ä,

onde e , o que mostra que se tem efectivamenteEF − FG − < œ <Ä Ä ÄÄ Ä

! w

X !Ä

œ Š <Ä Ä.

9.43 Sejam (Corolário) ?ÄÄ Äß @ ßA três vectores não complanares. Em particularestes vectores são diferentes de e, sendo as rectas vectoriais que os! < ß = ß >

Ä ÄÄÄ

contêm, tem-se .XÄ

œ < Š = Š >Ä Ä Ä

Dem: Tendo em conta a alínea e a alínea , e são2) de 9.41 1) de 9.35 ? @Ä Ä

não colineares, em particular diferentes de . Sendo e as rectas! < =Ä Ä Ä

vectoriais que contêm e , respectivamente, tem-se portanto, por? @ < Á =Ä Ä Ä Ä

9.39, sendo o único plano vectorial que contém e , tem-se .! !Ä Ä Ä Ä Ä Ä< = œ < Š =

Mas , senão eram complanares, e portanto, tendo em conta> § ? ß @ ß AÄ

Î Ä ÄÄ Ä!9.42, vem

X !Ä

œ Š > œ Ð< Š = Ñ Š > œ < Š = Š >Ä Ä Ä Ä ÄÄ Ä Ä.

Vamos agora verificar como se pode definir uma noção de sentido para osvectores não nulos. Começamos, para isso, por definir uma relação deequivalência na classe dos pares ordenados de pontos distintos de ,Xrelação a cujas classe de equivalência vamos chamar sentidos.

– 123–

9.44 Consideremos a relação na classe dos pares ordenados de pontosµ ÐEßFÑdistintos de definida por se, e só se, a isometria (trans-X ÐEßFÑ µ ÐGßHÑ

lação) aplica a semirrecta sobre a semirrecta (lembrar que,7Û Û

GßE EF GH

tendo em conta e , aplica a semirrecta da recta sobre5.4 5.5 7Û

GßE EF EFuma semirrecta da recta de origem ). Tem-se então:7 7GßE GßEÐEFÑ ÐEÑ œ G

a) A relação é de equivalência.µb) Dados pontos e , tem-se , com .E Á F G ÐEßFÑ µ ÐGßHÑ H œ ÐFÑ7GßE

Se , então .EF œ GH Á ! ÐEßFÑ µ ÐGßHÑÄ Ä Ä

c) Se , então as rectas e são paralelas.ÐEßFÑ µ ÐGßHÑ EF GHd) Se é diferente de e de , então se, e só se, e E F F ÐEßFÑ µ ÐEßF Ñ F Fw w w

estão numa mesma semirrecta de origem (em particular, as rectas eE EFEFw coincidem).Dem: O facto de se ter é uma consequência de ser aa) ÐEßFÑ µ ÐEßFÑ 7EßE

identidade e aplicar assim a semirrecta sobre ela mesma. Supondo queEFÛ

ÐEßFÑ µ ÐGßHÑ EF, a translação aplica a semirrecta sobre a7Û

GßE

semirrecta e portanto a sua inversa que, tendo em conta , é ,GHÛ

79.22 EßG

aplica sobre , o que mostra que . Por fim, seGH EF ÐGßHÑ µ ÐEßFÑÄÛ

ÐEßFÑ µ ÐGßHÑ ÐGßHÑ µ ÐIß JÑ e a translação aplica a semirrecta7GßE

EF GH GHÛ Û Û

7 sobre a semirrecta e a translação aplica a semirrecta sobreIßG

a semirrecta pelo que, tendo em conta 9.25, aplica aIJ œ ‰Û

7 7 7IßE GßEIßG

semirrecta sobre a semirrecta , isto é, .EF IJ ÐEßFÑ µ ÐIß JÑÛ Û

b) Uma vez que , se então a translação G œ ÐEÑ H œ ÐFÑ7 7 7GßE GßE GßE

aplica a recta sobre a recta e a semirrecta sobre a semirrectaEF GH EFÛ

GH ÐEßFÑ µ ÐGßHÑ EF œ GH Á !Ä Ä ÄÛ , o que mostra que . Supondo que , em

particular e , tem-se (cf. ) portanto, porE Á F G Á H H œ ÐGÑ7FßE 9.219.28, vem também donde, como acabamos de verificar,H œ ÐFÑ7GßE

ÐEßFÑ µ ÐGßHÑ.c) Uma vez que a isometria aplica a semirrecta sobre a semirrecta7

ÛGßE EF

GH EF EF GHÛ ÛÛ, a imagem da recta , que contém , é uma recta que contém , e

portanto é a recta . Basta agora lembrarmos que, por , a imagem porGH 9.97GßE da recta é uma recta paralela a .EF EF

d) Trata-se de uma consequência imediata da definição e do facto de atranslação ser a identidade.7EßE

9.45 Vamos chamar em a uma classe de equivalência de pares orde-sentido Xnados de pontos distintos de para a relaÐEßFÑ X ção definida em . Aµ 9.44classe de equivalência do par ordenado será notada .ÐEßFÑ ÒÐEßFÑÓµ

9.46 Chamamos direcção de um sentido ÒÐEßFÑÓ <ĵ à recta vectorial associadaà recta , recta vectorial essa que está bem definida uma vez que,< œ EFtendo em conta a alínea , se , então as rectasc) de 9.44 ÒÐEßFÑÓ œ ÒÐGßHÑÓµ µ

< œ EF = œ GH < œ =Ä Ä e são paralelas, e portanto .

– 124–

9.47 Cada direcção é direcção de dois, e só dois, sentidos.<Ä

Dado um sentido, chamamos ao outro sentido que tem asentido opostomesma direcção que o primeiro.Dem: Fixemos e sejam distintos de e em semirrectas de E − < FßF − < E <w

distintas de origem . Tem-se então que que e sãoE ÒÐEßFÑÓ ÒÐEßF ÑÓµ µw

sentidos cuja direcção é e são sentidos distintos uma vez que é a<Ä 7EßE

identidade e aplica assim a semirrecta sobre ela mesma, que é distinta daEFÛ

semirrecta . Suponhamos, enfim que é um sentido cujaEF ÒÐGßHÑÓwµ

Û

direcção é , e portanto que é uma recta paralela a . Podemos< = œ GH <Ä

então considerar , tendo-se portanto que a translação F œ ÐHÑwwEßG EßG7 7

aplica a semirrecta sobre a semirrecta , donde GH EF ÒÐGßHÑÓ œÛ Ûww

µ

ÒÐEßF ÑÓ EF < <ww wwµ e portanto a recta também é paralela a , logo igual a por

ter o ponto em comum. Tem-se assim que pertence a uma dasE Fww

semirrectas ou , ou seja é uma das semirrectas ou eEF EF EF EF EFÛ ÛÛ Û Ûw ww w

portanto, mais uma vez por ser a identidade, é7EßE µ µwwÒÐGßHÑÓ œ ÒÐEßF ÑÓ

um dos sentidos ou .ÒÐEßFÑÓ ÒÐEßF ÑÓµ µw

9.48 Dado um vector ?Ä Ä ÄÁ ! ? œ EF ?Ä Ä

, com , chamamos ao sentidosentido deÒÐEßFÑÓµ, sentido esse que está vem definido, tendo em conta a alínea b) de9.44.Repare-se que, como decorre das definições em e , a direcção de um9.34 9.46vector é igual à direcção do sentido de .? Á ! ?Ä ÄÄ

9.49 Dado um vector ?Ä ÄÁ ! ?Ä

, o vector tem a mesma direcção mas sentidodistinto do de (por outras palavras, tem sentido oposto ao de ) e portanto,? ?Ä Ä

sendo a direcção de qualquer vector tem o sentido de ou< ? @ − < Ï Ö! × ?Ä Ä Ä Ä ÄÄ

o de .?Ä

Dem: Escolhendo , tem-se , para um certo , e então,E − < ? œ EF F − <Ä Ä

tendo em conta , tem-se , onde é um ponto de9.23 ? œ EF F œ 38@ ÐFÑÄ Äw w

E

< < F <Ä na semirrecta de oposta à que contém e portanto é também adirecção de e o seu sentido é distinto do sentido de? ÒÐEßF ÑÓ ÒÐEßFÑÓÄ w

µ µ

? œ M. EFÄ (a translação aplica a semirecta sobre ela mesma, que é7Û

EßE X

diferente de ). Por fim, qualquer vector em tem que ter um dosEF @ Á ! <Ä ÄÄwÛ

dois sentidos cuja direcção é (cf. ), e portanto o seu sentido tem que<Ä 9.47ser o de ou o de .? ?Ä Ä

9.50 (Caracterização dos vectores por sentido e comprimento) Suponhamosfixada uma função distância . Dado um sentido e um real. − ÒÐEßFÑÓY µ

+ ! ? − Ï Ö! ×Ä Ä Ä existe um, e um só, vector com aquele sentido e tal queX

m?m œ +Ä .Dem: Fixado , qualquer vector pode escrever-se de maneira únicaE ? Á !Ä Ä

na forma , com e um tal vector tem o sentido se, e sóEF F Á E ÒÐEßFÑÓÄ

w wµ

– 125–

se, a translação aplicar a semirrecta sobre a semirrecta 7Û Û

EßEwœ M. EF EFX

ou seja, se, e só se, pertence à semirrecta . Ficamos assim reduzidosF EFw Û

ao facto conhecido que existe um, e um só elemento da semirrecta talF EFw Û

que ..ÐEßF Ñ œ +w

Como acontece com qualquer grupo abeliano, com notação aditiva, oconjunto dos vectores livres fica a ser automaticamente um módulo sobreo anel dos inteiros, onde a acção de associa a cada e a cada™ ™ ™8 −vector um vector . Lembramos que o vector , com , pode? 8? 8? 8   !Ä Ä Ä

ser definido indutivamente por e (em parti-! ? œ ! Ð8 "Ñ? œ 8? ?Ä Ä Ä ÄÄ

cular ) e que, para , define-se (para " ? œ ? 8 Ÿ ! 8? œ Ð8Ñ? 8 œ !Ä Ä Ä Ä

as duas caracterizações dão o mesmo resultado, nomeadamente ), em!Ä

particular . Lembremos ainda que se tem , para cada? œ Ð"Ñ? 8! œ !Ä Ä Ä Ä

8 − ™.O nosso próximo objectivo é mostrar que o conjunto dos vectores livrestem mesmo uma estrutura de espaço vectorial real, cuja soma é a definidaanteriormente. A multiplicação pelos reais estende então automaticamentea multiplicação pelos inteiros referida atrás.

9.51 Sejam ?Ä Ä+ − +? um vector e . Define-se então um vector , produto do real‘+ ?Ä pelo vector , do seguinte modo:a) Se ou , então .+ œ ! ? œ ! +? œ !Ä ÄÄ Ä

b) Se e , então, fixado , é o único vector com o+ ! ? Á ! . − +?Ä ÄÄY

mesmo sentido que e tal que (constata-se então que, para? m+?m œ +m?mÄ Ä Ä. .

cada , tem-se ainda , pelo que o resultado não. − m+?m œ +m? mÄ Äw. .Y w w

depende da fixação de )..

c) Se e , então, fixado , é o único vector com o+ ! ? Á ! . − +?Ä ÄÄY

sentido oposto ao de e tal que (constata-se então que,? m+?m œ l+lm? mÄ Ä Ä. .

para cada , tem-se ainda , pelo que o resultado não. − m+?m œ l+lm? mÄ Äw. .Y w w

depende da fixação de )..

9.52 Como consequência imediata da definição anterior, vemos que, fixada umafunção distância e considerando a norma associada, tem-se, para cada. − Y

? − + − m+?m œ l+lm? mÄ Ä ÄÄX ‘ e , .

9.53 Fixemos uma fun(Lema) ção distância e seja uma recta e . − < 0 À < ÄY ‘um -sistema de coordenadas com origem , portanto com .. S − < 0ÐSÑ œ !

Dados vectores , com e , tem-se então:? ß @ − < ? œ SE @ œ SFÄÄ Ä Ä ÄÄ Ä

a) Tem-se , onde ;? œ SE 0ÐE Ñ œ 0ÐEÑÄ Äw w

b) Tem-se , onde ;? @ œ SG 0ÐGÑ œ 0ÐEÑ 0ÐFÑÄ Ä Ä

c) Para cada , tem-se , onde .+ − +? œ SH 0ÐHÑ œ +0ÐEÑÄ Ä‘

Dem: Temos uma consequência de , tendo em conta o facto de sera) 9.230ÐSÑ œ !.

– 126–

b) Começamos por reparar que b) é trivial no caso em que (ou seja,? œ !Ä Ä

E œ S @ œ ! F œ SÄ Ä) ou (ou seja, ) pelo que basta examinar o caso em que

? Á ! @ Á ! @ œ EGÄ Ä ÄÄ Ä Ä e . Tendo em conta , tem-se também , onde9.20

G œ ÐFÑ7ES , e portanto, por ,9.13

0ÐGÑ œ 0ÐFÑ Ð0ÐEÑ 0ÐSÑÑ œ 0ÐEÑ 0ÐFÑ.

Basta agora atendermos que se tem, por ,9.25

? @ œ SE EG œ SGÄ Ä Ä Ä Ä.

c) Começamos por reparar que a conclusão é trivial no caso em que + œ !

(vem ) e naquele em que (vem , donde eH œ S ? œ ! E œ S 0ÐHÑ œ !Ä Ä

H œ S + Á ! ? Á !Ä Ä). Podemos assim supor já que se tem e . Supondo que

+ ! 0ÐHÑ 0ÐEÑ 0ÐSÑ œ ! H E, e têm o mesmo sinal ou seja, por ser , e estão na mesma semirrecta de origem e portanto os vectores e S SH SE

Ä Ä

têm o mesmo sentido, pelo que, por ser

mSHm œ .ÐSßHÑ œ l0ÐHÑ 0ÐSÑl œ l0ÐHÑl œ +l0ÐEÑl œÄ

œ +l0ÐEÑ 0ÐSÑl œ + .ÐSßEÑ œ +mSEmÄ

.

.,

tem-se efectivamente . Supondo agora que , eSH œ +SE œ +? + ! 0ÐHÑÄ Ä Ä

0ÐEÑ 0ÐSÑ œ ! H E têm sinais distintos ou seja, por ser , e estão em semir-rectas opostas de origem e portanto os vectores e têm sentidosS SH SE

Ä Ä

opostos, pelo que, por ser

mSHm œ .ÐSßHÑ œ l0ÐHÑ 0ÐSÑl œ l0ÐHÑl œ l+ll0 ÐEÑl œÄ

œ l+ll0 ÐEÑ 0ÐSÑl œ l+l .ÐSßEÑ œ l+lmSEmÄ

.

.,

tem-se efectivamente .SH œ +SE œ +?Ä Ä Ä

9.54 (Primeiras propriedades da multiplicação pelos reais) Dados e+ß , − ‘

? ß @ −ÄÄ ÄX que sejam colineares, tem-se:

a) 0 , , e ;† ? œ ! + † ! œ ! " † ? œ ? Ð"Ñ † ? œ ?Ä Ä Ä Ä ÄÄ Ä Ä

b) ;Ð+ ,Ñ? œ +? ,?Ä Ä Ä

c) ;Ð+,Ñ? œ +Ð,? ÑÄ Ä

d) .+Ð? @ Ñ œ +? +@Ä Ä Ä Ä

Dem: As propriedades em a) resultam imediatamente da definição em .9.51Para as restantes alíneas, fixemos um função distância , uma recta tal. − <Yque e um -sistema de coordenadas com origem e? ß @ − < . 0 À < Ä S − <ÄÄ Ä ‘

consideremos tais que e . Aplicando as diferentesEßF − < ? œ SE @ œ SFÄ ÄÄ Ä

conclusões do lema , vemos que se tem e , com9.53 +? œ SE ,? œ SEÄ ÄÄ Äw ww

0 ÐE Ñ œ +0ÐEÑ 0ÐE Ñ œ ,0ÐEÑ +? ,? œ SG 0ÐGÑ œÄ Ä Äw ww e , donde , com

– 127–

+0ÐEÑ ,0ÐEÑ œ Ð+ ,Ñ0ÐEÑ +? ,? œ Ð+ ,Ñ?Ä Ä Ä, o que mostra que . Domesmo modo, de ser , com , deduzimos que,? œ SE 0ÐE Ñ œ ,0ÐEÑÄ Ä

ww ww

+Ð,? Ñ œ SH 0ÐHÑ œ +0ÐE Ñ œ +,0ÐEÑ +Ð,? Ñ œÄ ÄÄ, com , o que mostra que ww

Ð+,Ñ? ? @ œ EG 0ÐGÑ œ 0ÐEÑ 0ÐFÑÄ Ä Ä Ä. Quanto a d), sabemos que , com ,

donde , com e, por+Ð? @ Ñ œ EG 0ÐG Ñ œ +0ÐGÑ œ +0ÐEÑ +0ÐFÑÄ Ä Äw w

outro lado, e , com e +? œ SE +@ œ SF 0ÐE Ñ œ +0ÐEÑ 0ÐF Ñ œ +0ÐFÑÄ ÄÄ Äw w w w

donde resulta finalmente que .+? +@ œ EG œ +Ð? @ ÑÄ Ä Ä ÄÄw

9.55 O conjunto (Espaço vectorial) XÄ

dos vectores do espaço, com a soma devectores e a multiplicação de um vector por um número real atrás definidas, éum espaço vectorial.Dem: A única propriedade que nos falta estabelecer é a igualdade+Ð? @ Ñ œ +? +@ ? @Ä Ä Ä Ä Ä Ä, no caso em que os vectores e não são colineares,em particular são ambos diferentes de . Podemos também já supor que!

Ä

+ ! ! œ ! !Ä Ä Ä

, uma vez que a igualdade se reduz a , no caso em que+ œ ! + ! + !, e que o caso em que se reduz àquele em que , tendo emconta que se , pode-se escrever+ !

Ð+ÑÐ? @ Ñ œ +ÐÐ"ÑÐ? @ ÑÑ œ +ÐÐ? @ ÑÑ œ +ÐÐ? Ñ Ð@ ÑÑ œÄ Ä Ä Ä Ä Ä Ä Ä

œ +Ð? Ñ +Ð@ Ñ œ +ÐÐ"Ñ? Ñ +ÐÐ"Ñ@ Ñ œÄ Ä Ä Ä

œ Ð+Ñ? Ð+Ñ@Ä Ä.

Depois de termos mostrado que basta considerar o caso em que ,+ !reparemos agora que basta considerar o caso em que . Com efeito,! + "se a igualdade pretendida é trivial ( ) e, se tivermos+ œ " ? @ œ ? @Ä Ä Ä Ä

provado a igualdade no caso em que vemos que, para , tem-se+ " + ""+ ", e portanto

+Ð? @ Ñ œ +ÐÐ +Ñ? Ð +Ñ@ Ñ œ +Ð Ð+? Ñ Ð+@ ÑÑ œÄ Ä Ä Ä Ä Ä" " " "

+ + + +

œ +Ð Ð+? +@ ÑÑ œ Ð+ ÑÐ+? +@ Ñ œ +? +@" "

+ +Ä Ä Ä Ä Ä Ä.

Passemos então à demonstração no caso em que . Escolhamos pontos+ "

EßF ? œ EF G @ œ FG ? @Ä Ä Ä ÄÄ Ä tais que e um ponto tal que . O facto de e não

serem colineares implica que não são colineares e tam-se entãoEßFßG

+? œ E\ \ − ÒEßFÓ E FÄ Ä, onde é distinto de e de e definido pela condição

de se ter . Podemos então aplicar o lema para considerar olE\l œ +lEFl 8.1único ponto tal que a recta seja paralela a , ponto esse] − ÒEßGÓ \] FGque é diferente de e de , e o único ponto tal que a recta E G ^ − ÒGFÓ ] ^seja paralela a , ponto esse que é diferente de e de , tendo-se entãoEF F Gque é um paralelogramo.ÐFß^ß ] ß\Ñ

– 128–

A

B C

X Y

Z

Pelo teorema de Thales em , tem-se também e8.3 lF^l œ l\] l œ +lFGl

lE] l œ +lEGl E] œ +EGÄ Ä

, a última igualdade implicando que e a primeiraque . Por outro lado, tendo em conta e , tem-seF^ œ +FG œ +@

Ä Ä Ä 9.12 9.20F^ œ \] \] œ +@Ä Ä Ä Ä, e portanto também . Podemos agora escrever, tendo

em conta , , donde9.25 EG œ EF FG œ ? @Ä Ä Ä Ä Ä

+Ð? @ Ñ œ E] œ E\ \] œ +? +@Ä Ä Ä ÄÄ Ä Ä.

9.56 Se < § <ÄX é uma recta, então a correspondente recta vectorial é umsubespaço vectorial de dimensão de e qualquer subespaço vectorial de"

ÄX

dimensão de é deste tipo."ÄX

Dem: Fixemos uma função distância e seja um -sistema de. − 0À < Ä .Y ‘

coordenadas com origem . Uma vez que, para cada , eS − E − SE − <Ä Ä‘ ‘

que qualquer vector se escreve de modo único na forma , com? − < SEÄ Ä Ä

E − < À < ÄÄ, podemos definir uma bijecção pela condição de, para cada: ‘

? œ SE Ð? Ñ œ 0ÐEÑ À Ä <Ä Ä ÄÄ se ter . Tendo em conta , a bijecção : : ‘9.53 "

é linear, o que implica que é, tal como , um espaço vectorial de dimensão<Ä ‘

" "Ä

. Por fim, se fosse um espaço vectorial de dimensão , podíamosZ

considerar uma base de e pondo , com , podemos@ @ œ EF E Á FÄ ÄÄ ÄZ

considera a recta para a qual se tem , donde e portanto,< œ EF @ − < § <Ä Ä ÄÄZ

por se tratar de espaços com a mesma dimensão, .ZÄ

œ <Ä

9.57 Se ! X !§ Ä é um plano, então o correspondente plano vectorial é umsubespaço vectorial de dimensão de e qualquer subespaço vectorial de#

ÄX

dimensão de é deste tipo.#ÄX

Dem: Sejam três pontos não colineares de . Podemos entãoEßFßG !considerar as rectas concorrentes e contidas em , tendo< œ EF = œ EG !assim que as rectas vectoriais associadas e estão contidas em e são< =Ä Ä Ä!distintas. Tendo em conta , tem lugar a soma directa de grupos9.39comutativos , pelo que, uma vez que estes são espaços vectoriais!Ä Ä Äœ < Š =de dimensão , é um subespaço vectorial de dimensão . Por outro lado, se" #Ä!

– 129–

ZÄ

# fosse um subespaço vectorial de dimensão , podíamos considerar umabase de , que eram assim não colineares e portanto, por , existia@ ß AÄ Ä Ä

Z 9.40um plano vectorial contendo e , de onde duduzimos que ,! Z !Ä Ä Ä Ä@ A §

Ä

donde , por se tratarem de subespaços vectoriais com a mesmaZ !Ä

π

dimensão.

9.58 O espaço vectorial XÄ

$ tem dimensão .Dem: Sejam pontos não complanares de . Tendo em conta ,EßFßGßH X 9.41os vectores , e são não complanares e portanto,? œ EF @ œ EG A œ EHÄ Ä ÄÄ Ä Ä

por , sendo , e as rectas vectoriais que contêm aqueles três9.43 < = >Ä Ä Ä

vectores, tem lugar a soma directa de subgrupos abelianosXÄ

œ < Š = Š >Ä Ä Ä

que são subespaços vectoriais de dimensão , o que mostra que é um"ÄX

espaço vectorial de dimensão .$

Vamos agora examinar alguns exemplos de utilização da Álgebra Linearde ao estudo da Geometria.X

Ä

9.59 Sejam uma recta e (Caracterização vectorial dos pontos da recta) < EßFdois pontos distintos de . Tem-se então que os pontos são< \ − <

exactamente aqueles para os quais se tem E\Ä Ä

œ >EF > −, para um certo .‘Um tal é então único e, sendo e a semirrecta oposta de origem> < œ EF <

Û

E \ − < >   ! \ − < > Ÿ !, tem-se se, e só se, e se, e só se, .

Dem: Sabemos que os pontos são exactamente aqueles para os quais\ − <

E\ − <Ä Ä pelo que a primeira afirmação, tal como aquela sobre a unicidade de> EF

Ä resulta simplesmente de que é um vector não nulo, e portanto uma base

do subespaço vectorial de dimensão . Afastando agora o caso trivial em< "Ä

que , que pertence a ambas as semirrectas e para o qual , vemos\ œ E > œ !

que se, e só se, os vectores e têm o mesmo sentido o que,\ − < E\ EFÄ Ä

tendo em conta a definição da multiplicação dos vectores pelos números reaisem , equivale a .9.51 > !

9.60 (Combinações afins de pontos) Sejam uma família finita deÐE Ñ4 4−N

pontos e uma família de números reais tal que . Existe entãoÐ> Ñ > œ "4 4−N 44

!um, e um só, ponto , que notaremos com a propriedade de, para\ > E!

44 4

qualquer ponto , se ter .S S\ œ > SEÄ Ä!

44 4

Dem: A unicidade de um ponto nas condições pedidas é imediata. Para\provarmos a existência, o que temos que repararar é que, escolhendo eS

definindo pela condição de se ter , então dado outro\ S\ œ > SEÄ Ä!

44 4

– 130–

ponto , tem-seSw

S \ œ S S S\ œ > S S > SE œÄ Ä ÄÄ Ä

œ > ÐS S SE Ñ œ > S EÄ ÄÄ

w w w

4 4

4 4 4

4 4

4 4 4 4w w

" "" " .

9.61 É comum utilizar nota(Nota) ções alternativas para (quando se tem!4

4 4> E

!4

4> œ ") que são claramente entendidas como sinónimas. Ninguém terá

dúvidas em entender, por exemplo, o que queremos significar ao escrever=E >F = > œ " = E â = E = â = œ " (se ) ou (se )." " 8 8 " 8

Note-se que, como caso particular trivial, tem-se .E œ "E

9.62 (Caracterização afim dos pontos duma recta, duma semirrecta e dumsegmento de recta) Sejam uma recta e dois pontos distintos de .< EßF <Tem-se então que os pontos são exactamente aqueles para os quais se\ − <tem , com , os reais estando então univocamente\ œ =E >F = > œ " =ß >determinados por . Tem-se então , e, para \ E œ "E !F F œ !E "F \

com a decomposição referida, se, e só se, , se, e só\ − EF >   ! \ − FEÛ Û

se, (ou, o que é equivalente, ) e portanto se, e só se,=   ! > Ÿ " \ − ÒEßFÓ>   ! =   ! > − Ò!ß "Ó e (ou, o que é equivalente, ).Dem: A caracterização dos pontos como os que se podem escrever na\ − <forma ção\ œ =E >F = > œ ", com , e a unicidade de uma tal decomposiresultam de , uma vez que, escolhendo como ponto auxiliar o ponto ,9.59 E

aquela igualdade é equivalente a , isto é a ,E\ œ =EE >EF E\ œ >EFÄ Ä Ä Ä Ä

igualdade que, para cada é verificada para um único , o qual determina \ > =pela condição . É evidente que e que= œ " > "E !F œ "E œ E

!E "F œ "F œ F \ − EF >   !. O facto de se ter se, e só se, é umaÛ

consequência de uma vez que, como já referido, 9.59 \ œ =E >F éequivalente a E\ œ >EF E F

Ä Ä. Por simetria dos papéis de e , tem-se

\ − FE =   ! > Ÿ " > œ " =ÞÛ se, e só se, , o que é equivalente a , por ser

Por fim, sabemos que se, e só se, pertence simultaneamente às\ − ÒEßFÓ \

semirrectas e , o que é equivalente a e , e portantoEF FE >   ! =   !Û Û

também a uma vez que, como já referido, é equivalente a> − Ò!ß "Ó =   !> Ÿ ".

9.63 Sejam (Caracterização vectorial dos pontos do plano) um plano, ! !< §uma recta, e notemos o semiplano de de bordo que contémG − Ï < <! ! !

G EßF e o outro semiplano com o mesmo bordo. Sejam pontos distintos!

de . Tem-se então que os pontos são exactamente os pontos de < \ − ! Xpara os quais se pode escrever

– 131–

E\ œ =EF >EGÄ Ä Ä

,

com . Um tal par de números reais é então único e tem-se=ß > − Ð=ß >Ñ‘\ − < > œ ! \ − >   ! \ − se, e só se, , se, e só se, e se, e só se,! !

> Ÿ !.Dem: Sabemos que os pontos são exactamente aqueles para os quais\ − !

E\ −Ä Ä! pelo que a primeira afirmação, assim como a unicidade do parÐ=ß >Ñ EF EG

Ä Ä, resultam de que, por , e são vectores não colineares, logo9.35

linearmente independentes, do espaço vectorial de dimensão , e portanto!Ä #uma base deste espaço. A caracterização dos pontos em \ − < 9.59mostra-nos que, para um tal ponto , tem-se se, e só se, . Seja\ \ − < > œ !

agora , portanto com . Tendo em conta\ − Ï < E\ œ =EF >EG > Á !Ä Ä Ä

!a caracterização dos segmentos de recta em , os pontos são9.62 ] − ÒGß\Óaqueles para os quais, para um certo ,? − Ò!ß "Ó

E] œ Ð" ?ÑEG ?E\ œ Ð" ? ?>ÑEG ?=EFÄ Ä Ä Ä Ä

.

Se , tem-se, para todo o , portanto , o> ! ? − Ò!ß "Ó " ? ?> ! ] Â <que mostra que o segmento de recta não intersecta , e portanto ÒGß\Ó < \está no mesmo semiplano de bordo que , ou seja, . Suponhamos< G \ − !

agora que . Podemos então considerar o valor , para o> ! ? œ − Ò!ß "Ó"">

qual se tem , pelo que o ponto definido por" ? ?> œ ! ] − ÒGß\Ó

E] œ Ð" ?ÑEG ?E\ < G \Ä Ä Ä

pertence a , o que mostra que e estão emsemiplanos opostos de bordo , ou seja, .< \ − !

9.64 Sejam (Corolário) ! ! um plano e três pontos não colineares de eEßFßG

consideremos as semirrectas e de origem e o< œ EF = œ EG E Û Û

correspondente sector angular . Tem-se então que um pontonÖ< ß = × § !

\ − E\ œ ?EF @EG nÖ< ß = × ?   !Ä Ä Ä

!, com , pertence a se, e só se, e

@   !.Dem: Trata-se de uma consequência de , se nos lembrarmos que9.63nÖ< ß = × EF G é a intersecção do semiplano de de bordo que contém !com o semiplano de de bordo que contém .! EG F

9.65 (Caracterização afim dos pontos dum plano, dum semiplano, dumsector angular e dum segmento triangular) Sejam um plano e ! EßFßGtrês pontos não colineares de . Tem-se então que os pontos são! !\ −exactamente aqueles para os quais se tem

\ œ =E >F ?G ,

com e, para cada ponto nessas condições, o triplo = > ? œ " \ Ð=ß >ß ?Ñfica univocamente determinado. Além disso, para um ponto nessas\condições, tem-se que pertence à recta se, e só se , pertence\ EF ? œ ! \ao semiplano de de bordo que contém se, e só se, , pertence! EF G ?   ! \

– 132–

ao sector angular se, e só se, e e pertence aonÖEFßEG× >   ! ?   ! \Û Û

segmento triangular se, e só se, e .ÒEßFßGÓ =   !ß >   ! ?   !Dem: A caracterização dos pontos como os que se podem escrever na\ − !forma , com \ œ =E >F ?G = > ? œ ", e a unicidade de uma taldecomposição resultam de , uma vez que, escolhendo como ponto9.63auxiliar o ponto , aquela igualdade é equivalente aE

E\ œ =EE >EF ?EGÄ Ä Ä Ä

,

isto é a , igualdade que, para cada é verificada paraE\ œ >EF ?EG \Ä Ä Ä

um único par , o qual determina pela condição . AsÐ>ß ?Ñ = = œ " > ?condições referidas no enunciado para que pertença à recta , ao\ EF

semiplano de de bordo que contém e ao sector angular !Û Û

EF G nÖEFßEG×resultam das correspondentes condições em e e a condição para9.63 9.64que pertença ao segmento triangular resulta de que isso é\ ÒEßFßGÓ

equivalente a pertencer simultaneamente ao sector angular e\ nÖEFßEG×Û Û

ao semiplano de de bordo que contém .! FG E

9.66 (Caracterização vectorial dos pontos do espaço) Sejam um plano e!H Â H! X ! X e notemos o semiespaço de bordo que contém e o outro

semiespaço com o mesmo bordo (cf. ). Sejam pontos não2.11 EßFßG

colineares de . Tem-se então que, para cada , o vector escreve-se! X\ − E\Ä

de modo único na forma

E\ œ =EF >EG ?EHÄ Ä Ä Ä

,

tendo-se então que se, e só se, , se, e só se, e\ − ? œ ! \ − ?   !! X\ − ? Ÿ !X se, e só se, .Dem: Uma vez que são não complanares, resulta de que osEßFßGßH 9.41vectores , e são não complanares, portanto linearmente indepen-EF EG EH

Ä Ä Ä

dentes, logo uma base de , o que mostra que, para cada ponto , o vectorXÄ

\

E\ E\ œ =EF >EG ?EHÄ Ä Ä Ä Ä

escreve-se de modo único na forma , com=ß >ß ? − \ − ? œ !‘ !. O facto de se ter se, e só se, é uma consequência dacaracterização dos pontos de em . Seja agora , portanto! X !9.63 \ − Ï

E\ œ =EF >EG ?EH ? Á !Ä Ä Ä Ä

com . Tendo em conta a caracterizaçãodos segmentos de recta em , os pontos são aqueles para os9.62 ] − ÒHß\Óquais, para um certo ,@ − Ò!ß "Ó

E] œ Ð" @ÑEH @E\ œ Ð" @ @?ÑEH @=EF @>EGÄ Ä Ä Ä Ä Ä

.

Se , tem-se, para todo o , portanto , o? ! @ − Ò!ß "Ó " @ @? ! ] Â !que mostra que o segmento de recta não intersecta , e portanto ÒGß\Ó \!está no mesmo semiespaço de bordo que , ou seja, . Suponhamos! XG \ −

agora que . Podemos então considerar o valor , para o? ! @ œ − Ò!ß "Ó""?

qual se tem , pelo que o ponto definido por" @ @? œ ! ] − ÒGß\Ó

– 133–

E] œ Ð" @ÑEH @E\ G \Ä Ä Ä

pertence a , o que mostra que e estão em!semiespaços opostos de bordo , ou seja, .! X\ −

9.67 (Caracterização afim dos pontos do espaço e dum semiespaço) Sejam !um plano e e notemos o semiespaço de bordo que contém eH Â H! X !

X o outro semiespaço com o mesmo bordo. Sejam pontos nãoEßFßGcolineares de . Tem-se então que qualquer ponto se escreve de modo! X\ −único na forma

\ œ =E >F ?G @H,

com , tendo-se se, e só se, , se, e só= > ? @ œ " \ − @ œ ! \ −! Xse, e se, e só se, .@   ! \ − @ Ÿ !XDem: O facto de qualquer ponto se poder escrever na forma\ − X\ œ =E >F ?G @H = > ? @ œ ", com , e a unicidade de uma taldecomposição resultam de , uma vez que, escolhendo como ponto9.66auxiliar o ponto , aquela igualdade é equivalente aE

E\ œ =EE >EF ?EG @EHÄ Ä Ä Ä Ä

,

isto é a , igualdade que, para cada é verificadaE\ œ >EF ?EG @EH \Ä Ä Ä Ä

para um único triplo , o qual determina pela condiçãoÐ>ß ?ß @Ñ == œ " > ? @ \. As condições referidas no enunciado para que pertençaa , a e a resultam das correspondentes condições em .! X X 9.66

10. Ângulo de vectores, ortogonalidade, produto interno.

10.1 Existe uma única aplicação que a cada par de vectores e não.s ? @Ä Ä

colineares (em particular não nulos) associa tal que, sempre.sÐ? ß @ Ñ − Ó!ß #ÒÄÄ

que e , se tenha (cf. ).? œ EF @ œ EG Ð? ß @ Ñ œ ÐÖEFßEG×ÑÄ Ä ÄÄÄ Äs. .

Û Û 3.16Dizemos que é a do dos vectores e ..sÐ? ß @ Ñ ? @ÄÄ Ä Äamplitude ânguloDem: A unicidade de uma aplicação nas condições pedidas é uma.sconsequência de que, fixado , existem pontos únicos e tais queE F G

? œ EF @ œ EG EßFßG EF EGÄ ÄÄ Ä e e então são não colineares, pelo que e Û Û

são semirrectas com a mesma origem determinando rectas distintas. Paraterminar a demonstração, tudo o que temos que verificar é que, se fortambém e , então tem-se? œ E F @ œ E GÄ ÄÄ Ä

w w w w

. .Û Û Û Û

ÐÖEFßEG×Ñ œ ÐÖE F ßE G ×Ñw w w w . Ora, por , uma vez que9.28F œ ÐE Ñ F œ ÐFÑw w w

FßE E E7 7, tem-se também e, do mesmo modow

G œ ÐGÑ E œ ÐEÑw wE E E E7 7w w e, evidentemente, . Tendo em conta o facto de

7 X XE Ew À Ä ser uma isometria, deduzimos agora de que se tem5.8efectivamente .. .

Û Û Û ÛÐÖEFßEG×Ñ œ ÐÖE F ßE G ×Ñw w w w

– 134–

10.2 Extendemos a definição anterior definindo, quando e são vectores não? @Ä Ä

nulos colineares, a , se os vectores tiveremamplitude do ângulo .sÐ? ß @ Ñ œ !ÄÄ

o mesmo sentido, e , se os vectores tiverem sentidos diferentes..sÐ? ß @ Ñ œ #ÄÄ

10.3 Quaisquer que sejam os vectores não nulos ?ÄÄß @ + ! e , tem-se:a) ;. .s sÐ? ß @ Ñ œ Ð@ ß ? ÑÄÄ ÄÄ

b) ;. .s sÐ+? ß @ Ñ œ Ð? ß @ ÑÄÄ ÄÄ

c) .. .s sÐ? ß @ Ñ œ # Ð? ß @ ÑÄÄ ÄÄ

Dem: A alínea a) resulta trivialmente das definições em e . Quanto10.1 10.2a b), no caso em que os vectores são colineares, temos uma consequência de? +?Ä Ä e terem o mesmo sentido e, no caso em que não são colineares, bastarepararmos que, sendo e , tem-se , onde, por? œ EF @ œ EG +? œ EFÄ Ä ÄÄ Ä Ä

w

EF EF EF EFÄ Ä

w w ter o mesmo sentido que , as semirrectas e coincidem.Û Û

Qanto a c), no caso em que os vectores são colineares, temos umaconsequência de e terem sentidos opostos e, no caso em que não são? ?Ä Ä

colineares, basta repararmos que se tem , onde as semirrectas ? œ EF EFÄ Äww Û

e são opostas, e portanto os ângulos e sãoEF ÖEFßEG× ÖEF ßEG×w wwÛ ÛÛ Û Û

adjacentes.

10.4 Os resultados precedentes tornam possível definir, sem dificuldade,(Nota)a amplitude do ângulo de duas semirrectas, não necessariamente com amesma origem, de tal modo que quando elas tenham a mesma origem etenham rectas continentes distintas, se reencontre a noção em .3.16

10.5 Dizemos que dois vectores , ou ?Ä Ä@e são , eortogonais perpendicularesescrevemos , se pelo menos um deles for ou, sendo ambos não? ¼ @ !Ä Ä Ä

nulos, for ..sÐ? ß @ Ñ œ "ÄÄ

10.6 A relação de ortogonalidade verifica as seguintes condições:a) Se , então ;? ¼ @ @ ¼ ?Ä Ä Ä Ä

b) Se , então, para cada , .? ¼ @ + − ? ¼ +@Ä Ä Ä Ä‘Dem: Trata-se de uma consequência imediata de se repararmos que,10.3afastando já os casos triviais em que ou , se , então? œ ! @ œ ! Ð? ß @ Ñ œ "Ä Ä ÄÄÄ Ä

s.tem-se também , donde, para ,. .s sÐ? ß@ Ñ œ # Ð? ß @ Ñ œ " + !Ä Ä ÄÄ

. . . .s s sÐ? ß +@ Ñ œ Ð? ß @ Ñ œ " + ! Ð? ß +@ Ñ œ Ð? ß@ Ñ œ "Ä Ä ÄÄ Ä Ä Ä Ä, para , e, para+ œ ! +@ œ ! ? ¼ +@Ä Ä ÄÄ

, , donde .

10.7 Seja (O complementar ortogonal de um conjunto) T §ÄX um conjunto

de vectores. Define-se então o de como sendo ocomplementar ortogonal T

conjunto dos vectores tais que para qualquer .T X T¼ ? − ? ¼ @ @ −Ä Ä Ä ÄÄ

10.8 Tem-se:a) Para cada , T !

Ä− T¼;

b) Se T § ¨U T U, então ;¼ ¼

c) g π

¼ X

– 135–

d) Ö! × œÄ Ä

¼ X

e) .XÄ

œ Ö! ×ļ

Dem: As alíneas a) e d) resultam de se ter , para todo o . As alíneas! ¼ @ @Ä Ä Ä

b) e c) são triviais. A alínea e) resulta de a) e de que, se , então não se? Á !Ä Ä

tem ( ) e portanto .? ¼ ? Ð? ß ? Ñ œ ! ? ÂÄ Ä ÄÄ ÄsÄ

. X ¼

10.9 (O complementar ortogonal de um vector não nulo e de uma rectavectorial) Sejam ?Ä Ä Ä ÄÁ ! < ? − <

Ä um vector e a única recta vectorial tal que

(cf. ). Tem-se então que é um plano vectorial , para o qual9.34 Ö?× œ <Ä Ä Ä¼ ¼ !

se tem . Mais precisamente, escolhendo , pode-se tomarX !Ä

œ < Š T − <Ä Ä

para o plano perpendicular a que passa por (cf. ).! < T 5.21Dem: Uma vez que é um espaço vectorial de dimensão que contém o< "Ä

vector não nulo , segue-se que todo o vector de é da forma com? < +?Ä Ä Ä

+ − ?Ä‘ e portanto qualquer vector ortogonal a é ortogonal a todos osvectores de , o que mostra que se tem . Escolhamos , seja< Ö?× œ < T − <Ä Ä Ä¼ ¼

U − < ? œ TU < TÄ Ä tal que e seja o plano perpendicular a que passa por .!

Cada vector é perpendicular a visto que, supondo-o já diferente de@ − ?Ä Ä Ä!

! @ œ TE E − T TEÄ Ä Ä

, tem-se , com distinto de e então as rectas e!TU œ < Ð? ß @ Ñ œ "sÄÄ são perpendiculares (cf. ), em particular .5.17 .

Reciprocamente, se é perpendicular a , então visto que,@ − ? @ −Ä Ä Ä ÄÄX !

supondo já , podemos escrever , para um certo e então@ Á ! @ œ TF F −Ä ÄÄ ÄX

a recta é perpendicular à recta donde, por , , emTF TU œ < TF §5.19 !

particular . Ficou assim provado que e o facto de ter@ œ TF − œ <Ä Ä Ä ÄÄ! !

lugar a soma directa resulta, por exemplo, de , uma vez queX !Ä

œ < ŠÄ Ä 9.42< œ Ö! × !Ä Ä Ä Ä

! , já que um vector diferente de nunca é perpendicular a simesmo.

10.10 O complementar ortogonal de qualquer conjunto (Corolário) T §ÄX é um

subespaço vectorial de , e portanto é , ou , ou uma recta vectorial ,X XÄ Ä

Ö! × <Ä Ä

ou um plano vectorial .!Ä

Dem: Já sabemos que e, se , é trivialmente a intersecçãog œ Á gÄ

¼ ¼X T Tdos , com e portanto, sendo uma intersecção de subespaçosÖ?× ? −Ä Ä¼ T

vectoriais é um subespaço vectorial. Basta agora reparar que, uma vez que XÄ

tem dimensão , os seus subespaços vectoriais só podem ter dimensão , , $ ! " #

ou , no primeiro caso sendo igual a , no segundo sendo uma recta$ Ö! ×Ä

vectorial (cf. ), no terceiro sendo um plano vectorial (cf. ) e no<Ä 9.56 9.57quarto sendo igual a .X

Ä

10.11 Dado um plano(O complementar ortogonal de um plano vectorial)vectorial ! !Ä Ä Ä<, tem-se que é uma recta vectorial , para a qual se tem¼

X ! !Ä

œ Š < T − <Ä Ä. Mais precisamente, escolhendo , pode-se tomar para a

– 136–

recta perpendicular a que passa por (cf. ).! T 5.22Dem: Escolhamos e seja a recta perpendicular a que passa por .T − < T! !

Cada vector é ortogonal a , visto que, supondo já , podemos@ − < @ Á !Ä Ä Ä Ä Ä!

escrever com distinto de e então é ortogonal a qualquer@ œ TU U − < T @Ä ÄÄ

vector visto que, supondo já , tem-se , para um certo? − ? Á ! ? œ TEÄ Ä Ä ÄÄ Ä!

E − T TE! ! distinto de e então a recta está contida em portanto, pordefinição, é perpendicular a , em particular .< œ TU TE Ð? ß @ Ñ œ "sÄÄ.

Suponhamos, reciprocamente, que é ortogonal a e mostremos que@ −Ä ÄÄX !

@ − < @ Á ! @ œ TUÄ Ä Ä ÄÄ Ä, para o que podemos já supor , portanto , para um

certo distinto de . Para cada recta com , podemosU − T = § T − =X !

considerar distinto de e então é ortogonal ao vector ,E − = T @ TE −Ä ÄÄ!

pelo que a recta é perpendicular à recta . Ficou assim< œ TU = œ TEw

provado que é perpendicular a todas as rectas de que passam por , ou< Tw !seja é perpendicular ao plano o que, por , implica que , e< < œ <w w! 5.22portanto . O facto de se ter é uma consequência de@ œ TU − < œ Š <Ä Ä Ä ÄÄ Ä

X !10.9, uma vez que é o plano perpendicular a que passa por .! < T

Vamos agora definir o produto interno de vectores do espaço, associado auma função distância que se suporá fixada. Começamos, para isso, porconsiderar o caso mais simples em que os vectores são colineares.

10.12 Consideremos fixada uma função distância e notemos. − Ysimplesmente a norma dum vector , associada a (cf. e am?m m?m ? .Ä Ä Ä

. 9.15alínea ). Dados dois vectores colineares e , definimos o seu8) em 9.31 ? @Ä Ä

produto interno , ou simplesmente , se estiverØ? ß @ Ù − Ø? ß @ Ù − .ÄÄ ÄÄ. ‘ ‘

implícito, do seguinte modo:1) Se ou , definimos ;? œ ! @ œ ! Ø? ß @ Ù œ !Ä Ä ÄÄÄ Ä

2) Se e tiverem o mesmo sentido (cf. ), definimos? Á ! @ Á !Ä ÄÄ Ä9.48

Ø? ß @ Ù œ m?mm@ mÄÄ Ä Ä .3) Se e tiverem sentidos opostos (cf. e ), definimos? Á ! @ Á !Ä ÄÄ Ä

9.48 9.47Ø? ß @ Ù œ m?mm@ mÄÄ Ä Ä .

10.13 Dadas duas funções distância , com , para um certo.ß . − . œ -.w wY- ! ? ß @ Ø? ß @ Ù œÄÄ ÄÄ, tem-se, quaisquer que sejam os vectores colineares , .w

- Ø? ß @ ÙÄÄ#..

Dem: Trata-se de uma consequência imediata da definição, tendo em conta acorrespondente propriedade para as normas em .9.16

10.14 Consideremos fixada uma fun(Corolário) ção distância . Qualquer. − Yque seja o vector , tem-se .? Ø? ß ? Ù œ m?mÄ ÄÄ Ä #

Dem: Se , temos uma consequência da alínea . Se? Á !Ä Ä2) da definição

? œ ! !Ä Ä, ambos os membros da igualdade são .

– 137–

10.15 Consideremos fixada uma fun(Lema) ção distância e sejam uma. − <Yrecta e um d-sistema de coordenadas de origem . Quaisquer0 À < Ä S − <‘

que sejam , tem-se então .EßF − < ØSE ßSFÙ œ 0ÐEÑ0ÐFÑÄ Ä

Dem: Uma vez que , a igualdade anterior é trivial no caso em que0ÐSÑ œ !

um dos vectores e é (tem-se então ou ). AfastandoSE SF ! E œ S F œ SÄ Ä Ä

já este caso trivial reparamos que se tem

mSEm œ .ÐSßEÑ œ l0ÐEÑ 0ÐSÑl œ l0ÐEÑlÄ

e, do mesmo modo, pelo que, para concluirmos o resultado,mSFm œ l0ÐFÑlÄ

basta repararmos que os vectores e têm o mesmo sentido se, e só se,SE SFÄ Ä

E F < S e pertencem à mesma semirrecta de de origem , o que, uma vez que0 < transporta uma das ordens lineares de sobre a ordem usual de , é‘equivalente a e terem o mesmo sinal, ou seja, o seu produto ser0ÐEÑ 0ÐFÑpositivo.

10.16 Consideremos(Bilinearidade do produto interno numa recta vectorial)fixada uma função distância . Dada uma recta , a aplicação. − <Y< ‚ < Ä Ð? ß @ Ñ Ø? ß @ ÙÄ Ä ÄÄ ÄÄ‘ que a associa é bilinear e simétrica.Dem: Seja um -sistema de coordenadas de origem . Sejam0 À < Ä . S − <‘

? @ @ < + − ? œ SE @ œ SFÄÄ Ä Ä Ä ÄÄ Ä, e vectores de e . Podemos então escrever , w ‘

e , para pontos . A igualdade resulta@ œ SF EßFßF − < Ø? ß @ Ù œ Ø@ ß ? ÙÄ ÄÄ ÄÄÄw w w

imediatamente da caracterização do produto interno no lema . Tendo10.15em conta esse mesmo lema, assim como o lema :9.531) Tem-se , onde , portanto@ @ œ SF 0ÐF Ñ œ 0ÐFÑ 0ÐF ÑÄ Ä Ä

w ww ww w

Ø? ß @ @ Ù œ 0ÐEÑÐ0ÐFÑ 0ÐF ÑÑ œ 0ÐEÑ0ÐFÑ 0ÐEÑ0ÐF Ñ œÄÄ Ä

œ Ø? ß @ Ù Ø? ß @ ÙÄÄ ÄÄ

w w w

w .

2) Tem-se , onde , portanto+@ œ SG 0ÐGÑ œ +0ÐFÑÄ Ä

Ø? ß +@ Ù œ 0ÐEÑ0ÐGÑ œ +0ÐEÑ0ÐFÑ œ +Ø? ß @ ÙÄ Ä ÄÄ .

Ficou assim provada a linearidade na segunda variável a a linearidade na pri-meira variável resulta daquela e da simetria do produto interno.

10.17 Consideremos fixada uma(O produto interno de vectores arbitrários)fun Sejam ção distância . e dois vectores arbitrários de . Defi-. − @Ä Ä Ä

Y X?ne-se então o produto interno (ou simplesmente ) doØ? ß @ Ù − Ø? ß @ ÙÄÄ ÄÄ

. ‘seguinte modo:1) Se , então .? œ ! Ø? ß @ Ù œ !Ä ÄÄÄ Ä

2) Se , considera-se a única recta vectorial que contém ,? Á ! < ?Ä Ä ÄÄ

considera-se a aplicação linear , primeira projecção associada à1 X<ÄÀ Ä <Ä Ä

soma directa (cf. ) e define-seXÄ

œ < Š <Ä Ä¼ 10.9

– 138–

Ø? ß @ Ù œ Ø? ß Ð@ ÑÙÄÄ Ä Ä1<Ä .

Repare-se que esta definição extende a definição apresentada anteriormentepara o caso dos vectores colineares. Com efeito, isso acontece trivialmenteno caso em que e, se , basta repararmos que, se e são? œ ! ? Á ! ? @Ä Ä Ä ÄÄ Ä

colineares, tem-se , e portanto .@ − < Ð@ Ñ œ @Ä Ä Ä Ä1<Ä

10.18 Dadas duas funções distância , com , para um certo.ß . − . œ -.w wY

- ! ? ß @ −ÄÄ Ä, tem-se, quaisquer que sejam os vectores ,X

Ø? ß @ Ù œ - Ø? ß @ ÙÄÄ ÄÄ. .

#w .

Dem: Trata-se de uma consequência imediata da definição e da correspon-dente propriedade para o caso dos vectores colineares em .10.13

10.19 Consideremos fixada uma fun(Comutatividade do produto interno) çãodistância . Quaisquer que sejam os vectores , tem-se. − ? ß @ −ÄÄ Ä

Y X

Ø@ ß ? Ù œ Ø? ß @ Ù ? @ !ÄÄ ÄÄ Ä Ä Ä. Além disso, no caso em que e são diferentes de ,

tem-se se (cf. e ), seØ? ß @ Ù ! Ð? ß @ Ñ " Ø? ß @ Ù œ !ÄÄ ÄÄ ÄÄs. 10.1 10.2. .s sÐ? ß @ Ñ œ " Ø? ß @ Ù ! Ð? ß @ Ñ "ÄÄ ÄÄ ÄÄ e se .Dem: Comecemos por reparar que decorre imediatamente da definição em10.17 que se tem , sempre que ou (no segundoØ? ß @ Ù œ ! ? œ ! @ œ !ÄÄ Ä ÄÄ Ä

caso, fora da situação trivial em que , tem-se, por linearidade,? œ !Ä Ä

1<ÄÐ! Ñ œ !Ä Ä

). Basta assim demonstrar a igualdade do enunciado no caso emque e . No caso em que os vectores e são colineares, a? Á ! @ Á ! ? @Ä Ä Ä ÄÄ Ä

comutatividade já foi estabelecida em e, tendo em conta e ,10.16 10.2 10.12sabemos que, ou e , ou e .. .s sÐ? ß @ Ñ œ ! Ø? ß @ Ù ! Ð? ß @ Ñ œ # Ø? ß @ Ù !ÄÄ ÄÄ ÄÄ ÄÄ

Examinemos agora o caso em que e não são colineares. Escolhamos um? @Ä Ä

ponto e sejam tais que e . Sejam e as rectasS EßF ? œ SE @ œ SF < =Ä ÄÄ Ä

SE SF e , respectivamente.Se , os vectores e são pependiculares, pelo que o facto de se.sÐ? ß @ Ñ œ " ? @ÄÄ Ä Ä

ter (cf. ) implica que , e portanto @ − < Ð@ Ñ œ ! Ø? ß @ Ù œÄ Ä Ä ÄÄļ<Ä10.9 1

Ø? ß Ð@ ÑÙ œ !Ä Ä1<Ä e, por simetria dos papéis dos dois vectores, tem-se tambémØ@ ß ? Ù œ !ÄÄ .Suponhamos agora que , portanto que o ângulo é.

Û ÛsÐ? ß @ Ñ " ÖSEßSF×ÄÄ

agudo. Sejam o pé da perpendicular de para a recta s e o pé daT E œ SF Uperpendicular de para a recta (cf. ), pontos que são distintosF < œ SE 4.28de , por e não serem perpendiculares, e que, tendo em conta S SE SF 4.32pertencem respectivamente às semirrectas e .SF SE

Û Û

O facto de se ter , com e perpendicular a@ œ SF œ SUUF SU − < UFÄ ÄÄ Ä Ä Ä Ä

SU < SU œ Ð@ Ñ ST œÄ Ä ÄÄ Ä, e portanto a , implica que e, do mesmo modo, 1<Ä

1=ÄÐ? ÑÄ . Podemos assim concluir que

– 139–

Ø? ß @ Ù œ Ø? ßSUÙ œ .ÐSßEÑ ‚ .ÐSßUÑ !ÄÄ Ä Ä

Ø@ ß ? Ù œ Ø@ ßSTÙ œ .ÐSßFÑ ‚ .ÐSß T Ñ !ÄÄ Ä Ä,

.

O A

BP

Q

Mas, uma vez que e ÖSEßST× œ ÖSFßSU× ÐÖUSßUF×Ñ œ " œÛ Û Û Û Û Û

.

.Û Û

ÐÖTSßTE×Ñ ÐUßSßFÑ, o teorema garante que os triângulos e8.10ÐT ßSßEÑ œ são semelhantes, e daqui deduzimos que , donde.ÐSßFÑ .ÐSßEÑ

.ÐSßUÑ .ÐSßT Ñ

Ø? ß @ Ù œ .ÐSßEÑ ‚ .ÐSßUÑ œ .ÐSßFÑ ‚ .ÐSß T Ñ œ Ø@ ß ? ÙÄÄ ÄÄ .

Examinemos enfim o caso em que , portanto em que o ângulo.sÐ? ß @ Ñ "ÄÄ

ÖSEßSF× T EÛ Û é obtuso. Sejam o pé da perpendicular de para a recta

s e o pé da perpendicular de para a recta , pontos que sãoœ SF U F < œ SEdistintos de , por e não serem perpendiculares, e que, tendo emS SE SF

conta pertencem respectivamente às semirrectas opostas a e a .4.32 SF SEÛ Û

O A

B

P

Q

O facto de se ter , com e perpendicular a@ œ SF œ SUUF SU − < UFÄ ÄÄ Ä Ä Ä Ä

SU < SU œ Ð@ Ñ ST œÄ Ä ÄÄ Ä, e portanto a , implica que e, do mesmo modo, 1<Ä

1=ÄÐ? ÑÄ . Podemos assim concluir que

Ø? ß @ Ù œ Ø? ßSUÙ œ .ÐSßEÑ ‚ .ÐSßUÑ !ÄÄ Ä Ä

Ø@ ß ? Ù œ Ø@ ßSTÙ œ .ÐSßFÑ ‚ .ÐSß T Ñ !ÄÄ Ä Ä,

.

Mas, uma vez que , por se tratar de ângulos. .Û Û Û Û

ÐÖSEßST×Ñ œ ÐÖSFßSU×Ñ

– 140–

verticalmente opostos, e , o teorema. .Û Û Û Û

ÐÖUSßUF×Ñ œ " œ ÐÖTSßTE×Ñ8.10 garante que os triângulos e são semelhantes, eÐUßSßFÑ ÐT ßSßEÑ

daqui deduzimos que , donde.ÐSßFÑ .ÐSßEÑ.ÐSßUÑ .ÐSßT Ñœ

Ø? ß @ Ù œ .ÐSßEÑ ‚ .ÐSßUÑ œ .ÐSßFÑ ‚ .ÐSß T Ñ œ Ø@ ß ? ÙÄÄ ÄÄ .

10.20 Consideremos fixada uma fun Dois(Corolário) ção distância . . − Y

vectores ?ÄÄ ÄÄß@ − Ø? ß @ Ù œ !ÄX são ortogonais se, e só se, .

Dem: Se os vectores forem ambos diferentes de , a conclusão já foi referida!Ä

em . Se um dos vectores for tem-se, por definição e pela comutati-10.19 !Ä

vidade, e os vectores são, por definição, ortogonais (cf. ).Ø? ß @ Ù œ !ÄÄ 10.5

10.21 Consideremos fixada uma fun(Bilinearidade do produto interno) çãodistância . ção , , é bilinear.. − ‚ Ä Ð? ß @ Ñ È Ø? ß @ Ù

Ä Ä ÄÄ ÄÄY X X ‘A aplicaDem: Tendo em conta a comutatividade em , basta mostrarmos que,10.19para cada fixado, a aplicação é linear. Ora, isso é trivial? − @ È Ø? ß @ ÙÄ Ä ÄÄX

se , por termos uma aplicação identicamente nula, e, no caso em que? œ !Ä Ä

? Á ! < ?Ä Ä ÄÄ, consideramos a recta vectorial que contém e atendemos a que,

por se ter , a linearidade é consequência da linearidadeØ? ß @ Ù œ Ø? ß Ð@ ÑÙÄÄ Ä Ä1<Ä

da projecção ortogonal e da bilinearidade em .1 X<ÄÀ Ä <Ä Ä 10.16

10.22 Consideremos fixada uma(A norma de uma projecção ortogonal) função distância . Sejam uma recta vectorial, o plano. − < œ <Ä Ä ÄY ! ¼

vectorial complementar ortogonal e a projecção associada à soma1 X<ÄÀ Ä <Ä Ä

directa (cf. ). Para cada vector , tem-se entãoX ! XÄ Ä

œ < Š ? −Ä Ä Ä10.9m Ð? Ñm Ÿ m?m m Ð? Ñm œ m?m ? − <Ä Ä Ä Ä Ä Ä1 1< <Ä Ä, tendo-se se, e só se, .Dem: Tem-se , com e , e portanto? œ @ A @ œ Ð? Ñ − < A −Ä Ä Ä Ä Ä Ä Ä Ä1 !<Ä

Ø@ ß AÙ œ !Ä Ä . Resulta daqui que

m?m œ Ø? ß ? Ù œ Ø@ Aß @ AÙ œ Ø@ ß @ AÙ ØAß @ AÙ œÄ ÄÄ Ä ÄÄ Ä ÄÄ Ä ÄÄ Ä

œ Ø@ ß @ Ù Ø@ ß AÙ ØAß @ Ù ØAßAÙ œ m@ m mAmÄÄ Ä Ä ÄÄ Ä Ä Ä Ä

#

# #,

portanto , tendo-se se, e só se, , isto é,m?m   m@ m m?m œ m@ m mAm œ !Ä Ä Ä Ä Ä# # # # #

A œ ! ? − <Ä Ä ÄÄ, isto é, .

10.23 Dados dois vectores não nulos ?Ä Ä@ e , fica bem definido um número realcosÐ? ß @ ÑÄÄ , pela condição de se ter, qualquer que seja a função distância. − Y ,

cosÐ? ß @ Ñ œÄÄ Ø? ß @ ÙÄÄ

m?m m@ mÄ Ä.

. .

.

Dem: Tudo o que temos que reparar é que, dadas duas funções distância

– 141–

.ß . − - ! . œ -.w wY , existe tal que e então, tendo em conta e ,10.13 9.16

Ø? ß @ Ù - Ø? ß @ Ù Ø? ß @ ÙÄÄ ÄÄ ÄÄ

m?m m@ m -m?m -m@ m m?m m@ mÄ Ä Ä Ä Ä Äœ œ. . .

. . . . . .

#w

w w

.

10.24 A função , no conjunto dos pares de vectores não nulos, verifica ascosseguintes propriedades:a) ;cos cosÐ? ß @ Ñ œ Ð@ ß ? ÑÄÄ ÄÄ

b) Se , então ;+ ! Ð? ß + @ Ñ œ Ð? ß @ ÑÄ Ä ÄÄcos cosc) Se , então ;+ ! Ð? ß + @ Ñ œ Ð? ß @ ÑÄ Ä ÄÄcos cosd) , sendo se, e só se, e têm o mesmocos cosÐ? ß @ Ñ − Ò"ß "Ó Ð? ß @ Ñ œ " ? @ÄÄ ÄÄ Ä Ä

sentido (em particular são colineares) e se, e só se, e cosÐ? ß @ Ñ œ " ? @ÄÄ Ä Ä

têm sentidos opostos (em particular são colineares).e) se, e só se, os vectores e são ortogonais.cosÐ? ß @ Ñ œ ! ? @ÄÄ Ä Ä

Dem: Fixemos uma função distância A alínea a) é uma consequência. − ÞYdirecta da simetria do produto interno. Quanto a b) e a c) basta repararmosque, tendo em conta a bilinearidade do produto interno e , tem-se, para9.52cada + Á !

cos cosÐ? ß + @ Ñ œ œ œ Ð? ß @ ÑÄ Ä ÄÄØ? ß +@ Ù + Ø? ß @ Ù +Ä Ä ÄÄ

m?mm+ @ m m?mm@ mÄ Ä Ä Äl+l l+l.

Quanto a d), tem-se, por definição, sendo a recta vectorial que contém , e< ?Ä Ä

tendo em conta ,10.22

lØ? ß @ Ùl œ lØ? ß Ð@ ÑÙl œ l„m?mmß Ð@ Ñml Ÿ m?mm@ mÄÄ Ä Ä Ä Ä Ä Ä1 1< <Ä Ä ,

tendo-se se, e só se, isto é, e são colineares,lØ? ß @ Ùl œ m?mm@ m @ − < ? @ÄÄ Ä Ä Ä Ä Ä Ä

e, nesse caso, sabemos, por definição que , se e têm oØ? ß @ Ù œ m?mm@ m ? @ÄÄ Ä Ä Ä Ä

mesmo sentido, e , se e têm sentidos opostos. AØ? ß @ Ù œ m?mm@ m ? @ÄÄ Ä Ä Ä Ä

conclusão de e) resulta imediatamente de .10.20

10.25 Para cada par de vectores não nulos ?ÄÄ ÄÄß@ Ð? ß @ Ñ − Ò!ß "Ó, define-se porsin

sin cosÐ? ß @ Ñ œ " Ð? ß @ ÑÄÄ ÄÄÉ # .

Por definição, tem-se sempre .sin cos# #Ð? ß @ Ñ Ð? ß @ Ñ œ "ÄÄ ÄÄ

10.26 Sejam três pontos, com e distintos(Teorema Pitagoróide) EßFßG F Gde . Dada uma funE ção distância , tem-se então. − Y

.ÐFßGÑ œ .ÐEßFÑ .ÐEßGÑ #.ÐEßFÑ.ÐEßGÑ ÐEFßEGÑÄ Ä# # # cos .

Dem: Uma vez que , vem . LembrandoEF FG œ EG FG œ EG EFÄ Ä Ä ÄÄ Ä

que , podemos agora escrevercosÐEFßEGÑ œÄ Ä ØEFßEGÙ

Ä Ä

mEFmmEGmÄ Ä

– 142–

.ÐFßGÑ œ mFGm œ ØFGßFGÙ œ ØEG EFßEG EFÙ œÄ Ä Ä Ä Ä Ä Ä

œ ØEGßEGÙ ØEGßEFÙ ØEFßEGÙ ØEFßEFÙ œÄ Ä Ä Ä Ä Ä Ä Ä

œ mEFm mEGm #ØEFßEGÙ œÄ Ä Ä Ä

œ mEFm mEGm #mEÄ Ä

# #

# #

# # FmmEGm ÐEFßEGÑ œÄ Ä Ä Ä

œ .ÐEßFÑ .ÐEßGÑ #.ÐEßFÑ.ÐEßGÑ ÐEFßEGÑÄ Ä

cos

cos# # ,

como queríamos.

10.27 Sejam ?ÄÄ Ä Äß@ ? ß @ e dois pares de vectores não nulos. Tem-se entãow w

. .

. .

s sÐ? ß @ Ñ œ Ð? ß @ Ñ Ê Ð? ß @ Ñ œ Ð? ß @ ÑÄÄ Ä Ä ÄÄ Ä Ä

s sÐ? ß @ Ñ Ð? ß @ Ñ Ê Ð? ß @ Ñ Ð? ß @ ÑÄÄ Ä Ä ÄÄ Ä Ä

w w w w

w w w w

cos coscos cos

,.

(cf. as definições de ângulo de vectores em e ).10.1 10.2Dem: Fixemos uma função distância . Tendo em contas as alíneas . − Y a) eb) de 10.3 a) e b) de 10.24 e as alíneas , vemos que, se necessário substituindo? ß @ ß ? ß @ ? ß @ ß ? ß @ÄÄÄ Ä Ä Ä Ä Äw w w w" " " "

m?m m@m m?m m@ mÄ Ä Ä Ä respectivamente por , o que não alteraw w

os valores de , podemos já suporcos cosÐ? ß @ Ñß Ð? ß @ Ñß Ð? ß @ Ñß Ð? ß @ ÑÄÄ Ä Ä ÄÄ Ä Äs sw w w w. .que se tem .m?m œ m@ m œ m? m œ m@ m œ "Ä Ä Ä Äw w

Se repararmos que são colineares e do mesmo sentido (respectivamente? ß @ÄÄ

colineares e com sentidos opostos) se, e só se, 1 (respectiva-cosÐ? ß @ Ñ œÄÄ

mente 1) se, e só se 0 (respectivamentecosÐ? ß @ Ñ œ Ð? ß @ Ñ œÄÄ ÄÄs..sÐ? ß @ Ñ œ # ? ß @ " Ð? ß @ Ñ "ÄÄ ÄÄ ÄÄ) e que, se são não colineares, ecos! Ð? ß @ Ñ #sÄÄ. (cf. , e a alínea ) assim como nos10 1 10.2 d) de 10.24Þfactos análogos para , constatamos que basta provar as implicações? ß @Ä Äw w

apenas no caso em que tento como são não colineares.? ß @ ? ß @ÄÄ Ä Äw w

Escolhamos pontos tais que e e pontos EßFßG ? œ EF @ œ EG E ßF ßGÄ ÄÄ Äw w w

tais que e . Temos assim dois triângulos e? œ E F @ œ E G ÐEßFßGÑÄ ÄÄ Äw w w w w w

ÐE ßF ßG Ñ .ÐEßFÑ œ .ÐEßGÑ œ " .ÐE ßF Ñ œ .ÐE ßG Ñ œ "w w w w w w w com e , peloque a igualdade em dá10.26

.ÐFßGÑ œ # # ÐEFßEGÑÄ Ä

.ÐF ßG Ñ œ # # ÐE F ßE G ÑÄ Ä

#

w w # w w w w

cos

cos

,

.

Se , vem donde,. . . .Û Û Û Û

s sÐ? ß @ Ñ œ Ð? ß @ Ñ ÐÖEFßEG×Ñ œ ÐÖE F ßE G ×ÑÄÄ Ä Äw w w w w w

pelo axioma , os triângulos são congruentes, em particular 4.13 .ÐFßGÑ œ.ÐF ßG Ñw w o que, pelas fórmulas anteriores, implica que

cos cos cos cosÐ? ß @ Ñ œ ÐEFßEGÑ œ ÐE F ßE G Ñ œ Ð? ß @ ÑÄÄ Ä ÄÄ Ä Ä Äw w w w w w .

Se , vem donde, por. . . .Û Û Û Û

s sÐ? ß @ Ñ Ð? ß @ Ñ ÐÖEFßEG×Ñ ÐÖE F ßE G ×ÑÄÄ Ä Äw w w w w w

4.45, o que, mais uma vez pelas fórmulas acima,.ÐFßGÑ .ÐF ßG Ñw w

– 143–

implica que

cos cos cos cosÐ? ß @ Ñ œ ÐEFßEGÑ ÐE F ßE G Ñ œ Ð? ß @ ÑÄÄ Ä ÄÄ Ä Ä Äw w w w w w .

10.28 Fica bem definida uma aplicação pela condição de secoss À Ò!ß #Ó Ä Ò"ß "Óter, quaisquer que sejam os vectores não nulos ,? ß @ÄÄ

cos coss Ð Ð? ß @ ÑÑ œ Ð? ß @ ÑsÄÄ ÄÄ. . 23

Dem: Trata-se de uma consequência da primeira implicação em , desde10.27que reparemos que, para cada , existem vectores não nulos tais+ − Ò!ß #Ó ? ß @ÄÄ

que . Ora, para e basta tomar um vector não nulo.sÐ? ß @ Ñ œ + + œ ! + œ #ÄÄ

arbitrário e tomar respectivamente e e, para ,? @ œ ? @ œ ? + − Ó!ß #ÒÄ Ä Ä Ä Ä

podemos tomar duas semirrectas s com a mesma origem , com rectas< / E

correspondentes tais que (cf. o axioma ) e< Á = ÐÖ< ß = ×Ñ œ +. a) em 3.17escolhendo então e , ambos distintos de , tem-se, comF − < G − = E

? œ EF @ œ EG Ð? ß @ Ñ œ ÐÖ< ß = ×Ñ œ +Ä Ä ÄÄÄ Äs e , .. .

10.29 A aplicação é contínua, estritamente decrescente ecoss À Ò!ß #Ó Ä Ò"ß "Ósobrejectiva. Tem-se , e . Tem-se ainda,cos cos coss s sÐ!Ñ œ " Ð"Ñ œ ! Ð#Ñ œ "para cada , .+ − Ò!ß #Ó Ð# +Ñ œ Ð+Ñs scos cosDem: O facto de ela ser estritamente decrescente é uma consequência dasegunda implicação em . Consideremos agora uma função distância10.27. − < =Y e, em duas semirrectas perpendiculares e com a mesma origem

E F − < G − = .ÐEßFÑ œ .ÐEßGÑ œ ", dois pontos e com . Sendo

? œ EF A œ EG Ø? ßAÙ œ ! m?m œ mAm œ "Ä Ä Ä Ä Ä ÄÄ Ä e , tem-se assim e . Dado

agora , podemos tomar e, tomando o vector , − Ò"ß "Ó - œ " , @ œÄÈ #

,? -AÄ Ä, vem

m@ m œ Ø@ ß @ Ù œ Ø,? -Aß ,? -AÙ œÄ ÄÄ Ä Ä Ä Ä

œ , Ø? ß ? Ù ,-Ø? ßAÙ ,-ØAß ? Ù - ØAßAÙ œÄÄ Ä Ä ÄÄ Ä Ä

œ , m?m - mAm œ , - œ "Ä Ä

#

# #

# # # # #

e, por outro lado,

Ø? ß @ Ù œ Ø? ß ,? -AÙ œ ,Ø? ß ? Ù -Ø? ßAÙ œ ,m?m œ ,ÄÄ Ä Ä Ä ÄÄ Ä Ä Ä # ,

donde

cos coss Ð Ð? ß @ ÑÑ œ Ð? ß @ Ñ œ œ ,sÄÄ ÄÄ Ø? ß @ ÙÄÄ

m?mm@ mÄ Ä. .

23A razão do símbolo ^ em cima de é a necessidade de distinguirmos esta função dacosfunção dos analistas (cf. o ). Veremos adiante uma relaçãocosÀ Ä Ò"ß "Ó‘ apêndice 1entre estas duas funções.

– 144–

A continuidade da função resulta de um teoremacoss À Ò!ß #Ó Ä Ò"ß "Óelementar de Análise Real que garante que toda a função real cujo domínio éum intervalo de , que seja crescente ou decrescente (mesmo que apenas no‘sentido lato) e cuja imagem seja um intervalo de , é uma aplicação‘contínua. Quanto aos valores indicados para a função , basta repararmoscossque

cos cos coscos cos coscos cos cos

s sÐ!Ñ œ Ð Ð? ß ? ÑÑ œ Ð? ß ? Ñ œ Ø? ß ? Ù œ "sÄÄ ÄÄ ÄÄ

s sÐ"Ñ œ Ð Ð? ßAÑÑ œ Ð? ßAÑ œ Ø? ßAÙ œ !sÄ Ä Ä Ä Ä Ä

s sÐ#Ñ œ Ð Ð? ß? Ñ œ Ð? ß? Ñ œ Ø?sÄ Ä Ä Ä

.

.

.

,,

Ä Äß?Ù œ ".

A igualdade é verdadeira, por inspecção directa doscos coss sÐ# +Ñ œ Ð+Ñvalores, nos casos em que e . Mostremo-la então para .+ œ ! + œ # + − Ó!ß #ÒPara isso, retomando as notações do início da demonstração, seja naGw

semirrecta de origem oposta de e também com ,< E < .ÐEßG Ñ œ " w

tendo-se assim . Seja uma semirrecta de origem tal que? œ EßG > EÄ Äw

.ÐÖ< ß > ×Ñ œ + (cf. o axioma ) e reparemos que, por , tem-sea) em 3.17 3.19

.ÐÖ< ß > ×Ñ œ # + H − > .ÐEßHÑ œ " D œ EHÄ Ä . Seja tal que e seja , para

o qual se tem assim . Podemos então escrevermD m œ "Ä

cos cos coscos cos cos

s sÐ# +Ñ œ Ð Ð? ß D ÑÑ œ Ð? ß D Ñ œ Ø? ß D Ù œ Ø? ß D Ù œs ÄÄ ÄÄ ÄÄ ÄÄ

œ Ð? ß D Ñ œ Ð Ð? ß D ÑÑ œ Ð+ÑÄÄ ÄÄs ss

.

. .

10.30 Definimos também uma aplicação contínua , porsins À Ò!ß #Ó Ä Ò!ß "Ó

sin coss Ð+Ñ œ " Ð+ÑsÉ # .

É claro que, por construção, tem-se, para todo o ,+ − Ò!ß #Ó

cos sins Ð+Ñ Ð+Ñ œ "s# #.

Além disso, das propriedades correspondentes em , para a função ,10.29 cossdeduzimos que

sin sin sinsin sin

s s sÐ!Ñ œ ! Ð"Ñ œ " Ð#Ñ œ !

s sÐ# +Ñ œ Ð+Ñ

, ,,

e da definição em deduzimos que, para e vectores não nulos,10.25 ? @Ä Ä

sin sins Ð Ð? ß @ ÑÑ œ Ð? ß @ ÑsÄÄ ÄÄ. .

10.31 Sejam tais que . Tem-se(O cosseno da soma) +ß , − Ò!ß #Ó + , − Ò!ß #Óentão

cos cos cos sin sins s sÐ+ ,Ñ œ Ð+Ñ Ð,Ñ Ð+Ñ Ð,Ñs s .

– 145–

Dem: O resultado é verdadeiro se , uma vez que se reduz a fórmula+ œ !

cos cos sins sÐ,Ñ œ " ‚ Ð,Ñ ! ‚ Ð,Ñs ,

e, por simetria dos papéis, ele é também verdadeiro se . No caso em que, œ !+ , œ # , œ # +, portanto , uma vez que vem

cos cos sin sin cos sin coss s s sÐ+Ñ Ð,Ñ Ð+Ñ Ð,Ñ œ Ð+Ñ Ð+Ñ œ " œ Ð+ ,Ñs s s# #.

Resta-nos verificar o resultado no caso em que , e .+ ! , ! + , #Fixemos um ponto e uma semirrecta de origem e consideremos umaE < E

semirrecta de origem tal que e, sendo a recta= E ÐÖ< ß = ×Ñ œ + , < .que contém , uma semirrecta de origem contida no mesmo< > E

semiplano de bordo que a semirrecta e tal que . Tendo< = ÐÖ< ß > ×Ñ œ + .em conta , tem-se , com distinta de e de , e3.18 > § nÖ< ß = × > < =

portanto, pelo axioma , .b) em 3.17 .ÐÖ> ß = ×Ñ œ ,

A r

s t+

+

+

u

v w

B

C D

ab

Fixada uma função distância , escolhamos pontos , e. − F − < G − =Y

H − > .ÐEßFÑ œ .ÐEßGÑ œ .ÐEßHÑ œ " ? œ EF @ œÄ ÄÄ tais que . Pondo ,

EG A œ EH m?m œ m@ m œ mAm œ "Ä ÄÄ Ä Ä Ä e , tem-se assim e, tendo em conta

9.64, tem-se , com e (se algum fosse , estariaA œ -? . @ - ! . ! ! HÄ Ä Ä

numa das semirrectas e ). Reparemos agora que se pode escrever< =

" œ ØAßAÙ œ Ø-? . @ ß -? . @ Ù œ - Ø?ß ?Ù . Ø@ ß @ Ù #-.Ø? ß @ Ù œÄ Ä Ä Ä Ä Ä ÄÄ ÄÄ

œ - . #-. Ð+ ,Ñs

# #

# # cos .

Por outro lado, vem também

cos coscos coss sÐ+Ñ œ ØAß ? Ù œ Ø-? . @ ß ? Ù œ - .Ø@ ß ? Ù œ - . Ð+ ,ÑÄÄ Ä ÄÄ ÄÄ

s sÐ,Ñ œ ØAß @ Ù œ Ø-? . @ ß @ Ù œ . -Ø? ß @ Ù œ . - Ð+ ,ÑÄÄ Ä ÄÄ ÄÄ ,

donde sai, por um lado,

cos cos cos coss s s sÐ+Ñ Ð,Ñ œ -. -. Ð+ ,Ñ Ð- . Ñ Ð+ ,Ñ# # # ,

e, por outro lado,

– 146–

sin cos cos coscos cos

cos sin

s Ð+Ñ œ " Ð+Ñ œ " - . Ð+ ,Ñ #-. Ð+ ,Ñ œs s s

œ " - . #-. Ð+ ,Ñ . Ð" Ð+ ,ÑÑ œs s

œ " " . Ð" Ð+ ,ÑÑ œ . Ð+ ,Ñs s

# # ## #

# # # #

# ## #

tal como

sin cos cos coscos cos

cos sin

s Ð,Ñ œ " Ð,Ñ œ " . - Ð+ ,Ñ #-. Ð+ ,Ñ œs s s

œ " - . #-. Ð+ ,Ñ - Ð" Ð+ ,ÑÑ œs s

œ " " - Ð" Ð+ ,ÑÑ œ - Ð+ ,Ñs s

# # ## #

# # # #

# ## #,

portanto

sin sin sin sins s s sÐ+Ñ œ . Ð+ ,Ñ Ð,Ñ œ - Ð+ ,Ñ, .

Podemos agora escrever

cos cos sin sin

cos cos sincos cos

cos

s sÐ+Ñ Ð,Ñ Ð+Ñ Ð,Ñ œs s

œ -. -. Ð+ ,Ñ Ð- . Ñ Ð+ ,Ñ -. Ð+ ,Ñ œs s s

œ #-. Ð+ ,Ñ Ð- . Ñ Ð+ ,Ñ œs s

œ Ð+ ,ÑÐ- . #-s

# # ##

# # #

# # . Ð+ ,ÑÑ œ Ð+ ,Ñs scos cos .

10.32 Seja . Tem-se então(Corolário) + − Ò!ß "Ó

cos cos sin coss s sÐ#+Ñ œ Ð+Ñ Ð+Ñ œ # Ð+Ñ "s# ##.

10.33 Seja . Tem-se então(Corolário) , − Ò!ß #Ó

coscos

s Ð Ñ œ, " Ð,Ñ

# #

sÊ .

Dem: Do corolário anterior podemos deduzir que

cos coss sÐ,Ñ œ # Ð Ñ ",

## ,

portanto

coscos

s Ð Ñ œ, " Ð,Ñ

# #

s# ,

bastando enfim atender a que, por ser , tem-se 0, ,# #Ÿ " Ð Ñ   Þscos

10.34 (Relação entre os cossenos e senos geométrico e analítico) Seja+ − Ò!ß #Ó. Tem-se então

– 147–

cos cos sin sins Ð+Ñ œ Ð Ñ Ð+Ñ œ Ð Ñ+ +

# #s1 1

, ,

onde nos segundos membros estão as funções trigonométricas definidasanaliticamente no apêndice 1.Dem: Começamos por notar que, se para um certo se verifica a+ − Ò!ß #Óprimeira igualdade do enunciado, então também se verifica a segunda. Comefeito, tem-se , donde e, tendo em conta a definição1 1+ +

# #− Ò!ß Ó Ð Ñ   !1 sinde e , tem-se entãosins Ð+Ñ Ap1.8

sin cos cos sins Ð+Ñ œ " Ð+Ñ œ " Ð Ñ œ Ð Ñs+ +

# #É Ê# #

1 1

Reparemos agora que a primeira igualdade, e portanto a segunda, é válidapara , uma vez que 2 . Suponhamos a primeira+ œ # Ð Ñ œ " œ Ð Ñscos cos 1igualdade, e portanto a segunda é válida para um certo . Uma vez+ − Ò!ß #Óque , e portanto , resulta de e da fórmula1 1 1+ +

% # %− Ò!ß Ó Ð Ñ   !cos 10.33análoga em ,Ap1.12

cos coscos cos

s Ð Ñ œ œ œ Ð Ñ+ " Ð+Ñ +

# # # %

s " Ð ÑÊ Ê 1+# 1

,

pelo que a primeira igualdade, e portanto a segunda, é também válida para .+#

Resulta daqui, por indução, que, para cada , a primeira igualdade, e8   !portanto a segunda, é válida para cada da forma . Observamos agora que,+ #

#8

se a primeira igualdade, e portanto a segunda, é válida para valores+ß , − Ò!ß #Ó + , − Ò!ß #Ó tais que a primeira igualdade, e portanto asegunda, é também válida para , uma vez que podemos escrever, tendo+ ,em conta e 10.31 Ap1.11

cos cos cos sin sin

cos cos sin sin cos

s s sÐ+ ,Ñ œ Ð+Ñ Ð,Ñ Ð+Ñ Ð,Ñ œs s

œ Ð Ñ Ð Ñ Ð Ñ Ð Ñ œ Ð Ñ+ , + , Ð+ ,Ñ

# # # # #

1 1 1 1 1.

Resulta daqui, por indução em , que, para cada e cada , a: 8   ! " Ÿ : Ÿ #8

primeira igualdade, e portanto a segunda, é válida para . Mas o+ œ #:#8

conjunto dos desta forma é denso em e portanto, uma vez que ambos+ Ò!ß #Óos membros da primeira igualdade são funções contínuas de , concluímos+que esta, e portanto a segunda, são válidas para qualquer .+ − Ò!ß #Ó

10.35 As fun(Corolário) ções são deriváveis em todos oscos sins ß À Ò!ß #Ó Äs ‘pontos e tem-se

cos sin sin coss sÐ+Ñ œ Ð+Ñ Ð+Ñ œ Ð+Ñ# #

s sw w1 1, .

Dem: Trata-se de uma consequência de , tendo em conta as fórmulas de10.34derivação em .Ap1.10

– 148–

10.36 Para além da propriedade em , valem ainda as seguintes:(Corolário) 10.31a) Sejam tais que . Tem-se então+ß , − Ò!ß #Ó + , − Ò!ß #Ó

sin sin cos cos sins s sÐ+ ,Ñ œ Ð+Ñ Ð,Ñ Ð+Ñ Ð,Ñs s .

b) Sejam em . Tem-se então, Ÿ + Ò!ß #Ó

cos cos cossin

s s sÐ+ ,Ñ œ Ð+Ñ Ð,Ñ Ð+Ñ Ð,Ñs s

s s sÐ+ ,Ñ œ Ð+Ñ Ð,Ñ Ð+Ñ Ð,Ñs s

sin sinsin cos cos sin

,.

Dem: Trata-se de uma consequência de , tendo em conta as fórmulas10.34em e .Ap1.11 Ap1.9

10.37 Suponhamos que . Tem-se então:(Corolário) ! Ÿ + Ÿ "

cos sins sÐ" +Ñ œ Ð+Ñ Ð" +Ñ œ Ð+Ñs ssin cos, .

Suponhamos que . Tem-se então" Ÿ + Ÿ #

cos sins sÐ+ "Ñ œ Ð+Ñ Ð+ "Ñ œ Ð+Ñs ssin cos, .

Dem: Trata-se de uma consequência das fórmulas na alínea .b) de 10 36Þ

10.38 Seja um triângulo(Trigonometria do triângulo rectângulo) ÐEßFßGÑ

tal que .sÐÖFEßFG×Ñ œ " FÄ Ä

(um ). Fixada umatriângulo rectângulo emfunção distância , tem-se então. − Y

A B

C

cos sinÐEFßEGÑ œ ÐEFßEGÑ œÄ Ä Ä Ä.ÐEßFÑ .ÐGßFÑ

.ÐEßGÑ .ÐEßGÑ, .

Dem: Vem , onde, por ser eEG œ EF FG ÐÖFEßFG×Ñ œ "Ä Ä ÄÄ Ä

s.

EF œ FE ÐÖEFßFG×Ñ œ "Ä Ä Ä

sÄ

, tem-se também (cf. ). Concluímos. 10.3daqui que, sendo , tem-se , e portanto .< œ EF FG − < EF œ ÐEGÑ

Ä Ä Ä Ä¼

<Ä1

Deduzimos daqui que , e portantoØEFßEGÙ œ .ÐEßFÑÄ Ä

#

cosÐEFßEGÑ œ œ œÄ Ä ØEFßEGÙ .ÐEßFÑ .ÐEßFÑ

Ä Ä

mEFmmEGmÄ Ä .ÐEßFÑ.ÐEßGÑ .ÐEßGÑ

#

,

donde a primeira igualdade do enunciado. Aplicando o que acabamos de

– 149–

deduzir ao triângulo , resulta queÐGßFßEÑ

cosÐGFßGEÑ œ œÄ Ä .ÐGßFÑ .ÐGßFÑ

.ÐGßEÑ .ÐEßGÑ,

bastando agora reparar que, uma vez que a soma das amplitudes dos ângulosinternos dum triângulo é igual a , tem-se#

. .s sÐÖGFßGE×Ñ œ " ÐÖEFßEG×ÑÄ Ä Ä Ä

,

donde, tendo em conta ,10.37

sin sin cos cosÐEFßEGÑ œ Ð ÐÖEFßEG×ÑÑ œ Ð ÐÖGFßGE×ÑÑ œ ÐGFßGEÑÄ Ä Ä Ä Ä Äs s ss

Ä Ä. . ,

o que nos dá a segunda igualdade do enunciado.

10.39 Seja um triângulo e consideremos fixada uma funÐEßFßGÑ ção distância. − Q G EFY . Seja o pé da perpendicular de para a recta (cf. ).4.28Tem-se então

.ÐGßQÑ œ .ÐFßGÑ ÐFEßFGÑÄ Ä

sin .

Dem: Separemos três casos, conforme o ângulo seja recto, agudoÖFEßFG×Û Û

ou obtuso.

C

A B=M

C

MA B B

C

MANo caso em que o ângulo em questão é recto, tem-se eF œ Q

sin cosÐFEßFGÑ œ " ÐFEßFGÑ œ "Ä ÄÄ ÄÉ # ,

pelo que a igualdade é trivial. No caso em que o ângulo é agudo, resulta de4.32 10.38 que , portanto , pelo que, aplicando aoQ − FE FE œ FQ

Ä Û Û

triângulo ,ÐFßQßGÑ

sin sin sin

sin

ÐFEßFGÑ œ Ð ÐÖFEßFG×ÑÑ œ Ð ÐÖFQßFG×ÑÑ œÄ Ä s s

œ ÐFQßFGÑ œÄ Ä .ÐGßQÑ

.ÐFßGÑ

. .Û Û ÛÛ

,

donde a igualdade do enunciado. Por fim, examinemos o caso em que oângulo é obtuso. Resulta de que pertence à semirrecta de de4.32 Q EF

– 150–

origem oposta a , pelo que, aplicando ao triângulo ,F FE ÐFßQßGÑÄ

10.38

sin sin sin

sin sin

ÐFEßFGÑ œ Ð ÐÖFEßFG×ÑÑ œ Ð# ÐÖFQßFG×ÑÑ œÄ Ä s s

œ Ð ÐÖFQßFG×ÑÑ œ ÐFQßFGÑ œs Ä Ä .ÐGßQÑ

.ÐFßGÑ

. .Û Û ÛÛ

.Û Û ,

o que implica, mais uma vez, a igualdade do enunciado.

10.40 Seja um triângulo e(Corolário — Lei dos senos) ÐEßFßGÑconsideremos fixada uma função distância . Tem-se então. − Y

.ÐFßGÑ .ÐEßGÑ .ÐEßFÑ

ÐEFßEGÑ ÐFEßFGÑ ÐGEßGFÑÄ Ä Ä Äœ œÄ Ä

sin sin sin.

Dem: Aplicando aos triângulos e , vemos que,10.40 ÐEßFßGÑ ÐFßEßGÑsendo o pé da perpendicular de para a recta , tem-seQ G EF

.ÐFßGÑ ÐFEßFGÑ œ .ÐGßQÑ œ .ÐEßGÑ ÐEFßEGÑÄ Ä ÄÄ

sin sin ,

donde a primeira igualdade do enunciado. A segunda resulta de aplicar aprimeira ao triângulo .ÐFßGßEÑ

11. Geometria da Circunferência.

11.1 Em toda esta secção vamos supor fixada uma função distância e um. − Yplano . Dados e , define-se a de e! ! 3 VG − ! Gcircunferência centroraio como sendo o conjunto dos pontos tais que . Esta3 ! 3\ − .ÐGß\Ñ œcircunferência será também notada .V3ÐGÑ

11.2 Seja a circunferência de centro e raio (Lema) V G 3 ! e seja em .T Á GTem-se então que na recta existem dois, e só dois pontos em < œ GT EßF Ve, para esses pontos, tem-se ..ÐT ßEÑ Á .ÐT ßFÑ

Dem: Vem . Um ponto pertence à recta mGTm œ .ÐGß T Ñ œ + Á ! \ − <Ä

!

se, e só se, , para um certo e, para um tal ponto, tem-seG\ œ ?GT ? −Ä Ä

‘

\ − œ mG\m œ l?lmGTm œ l?l+ l?l œÄ Ä

V 3 se, e só se, , isto é, se, e só se, ,3+o que mostra que há efectivamente dois, e só dois pontos nessas\condições, nomeadamente os pontos definidos porEßF

GE œ GT GF œ GTÄ

+ +

Ä Ä Ä3 3, .

Tem-se então

– 151–

.ÐT ßEÑ œ mTEm œ mGE GTm œ mÐ "ÑGTm œ l "lmGTm œ l +lÄ Ä Ä Ä Ä

+ +

.ÐT ßFÑ œ mTFm œ mGF GTm œ mÐ "ÑGTm œ l "lmGTm œ l +lÄ Ä Ä Ä Ä

+ +

3 33

3 33

,

,

pelo que só se teria se fosse ou.ÐT ßEÑ œ .ÐT ßFÑ + œ +3 33 3 3 + œ + Á ! + Á !, o que não pode acontecer, por ser e .

11.3 O centro e o raio de uma circunferência estão bem definidos.VDem: Se é uma circunferência de centro e raio , o lema precedenteV 3Gmostra que, para cada , não é uma circunferência de centro (temT Á G TVdois pontos e a distâncias distintas de ) e o facto de ser um conjuntoE F T Vnão vazio (por exemplo também pelo lema precedente) implica que não éß Vcircunferência com nenhum raio distinto de .3

11.4 Dada uma circunferência , de centro e raio V G 3, diz-se que um pontoE − ! está (respectivamente no interior da circunferência no exterior dacircunferência) se (respectivamente ..ÐGßEÑ .ÐGßEÑ Ñ3 3 24

Por exemplo, o próprio centro está no interior da circunferência.G

11.5 Seja uma circunferência de centro e raio V G 3. Sejam um ponto noHinterior da circunferência e uma recta com . Tem-se então que a recta< H − << EßF tem dois, e só dois, pontos pertencentes a .VDem: No caso em que , temos uma consequência de . tomandoG − < 11.2para qualquer ponto de distinto de .T < G

C

MB

A

r

D

Supomos então que e consideramos o pé da perpendicular de G  < Q Gpara (cf. ). Tendo em conta , tem-se .< .ÐGßQÑ Ÿ .ÐGßHÑ 4.28 4.29 3Tendo em conta o teorema de Pitágoras , para um ponto , distinto8.12 \ − <de , tem-se , pelo que se, e sóQ .ÐGß\Ñ œ .ÐGßQÑ .ÐQß\Ñ \ −# # # Vse, se, e só se, , o que mostra que.ÐGß\Ñ œ .ÐQß\Ñ œ .ÐGßQÑ3 3È # #

há efectivamente dois, e só dois, pontos nessas condições, um em cada\uma das semirrectas de de origem .< Q

11.6 Seja uma circunferência de centro e raio V G 3. Sejam pontosEßFdistintos de e a recta . Tem-se então que e o conjuntoV V< EF < œ ÖEßF×dos pontos de que estão no interior de é .< ÒEßFÓ Ï ÖEßF×V

24As palavras “interior” e “exterior” não são usadas aqui no seu sentido topológico.

– 152–

Dem: Comecemos por examinar o caso em que , caso em que, por serG − <.ÐGßEÑ œ œ .ÐGßFÑ G ÐEßFÑ3 , é o ponto médio do par , em particularG − ÒEßFÓ \ − < (cf. ). Tendo em conta a alínea um ponto 1.26 d) de 1.19está no interior de , isto é, verifica se, e só se, pertence aV 3.ÐGß\Ñ ÒGßFÓ Ï ÖF× ÒGßEÓ Ï ÖE× ou pertence a , isto é, se, e só se, pertence aÒEßFÓ Ï ÖEßF× E F. Tendo em conta , e são os únicos pontos de na11.5 Vrecta .<Passemos agora ao caso em que e seja o pé da perpendicular de G  < Q Gpara (cf. ). Tendo em conta , tem-se ,< .ÐGßQÑ .ÐGßFÑ œ4.28 4.29 3portanto está no interior de , o que implica já, por , que e sãoQ E FV 11.5os únicos pontos de em . Além disso, por , e uma vez que < .ÐGßEÑ œV 4.273 œ .ÐGßFÑ Q ÐEßFÑ Q − ÒEßFÓ, é o ponto médio do par , em particular (cf. ).1.26

C

MB

A

r

X

Tendo em conta , um ponto está no interior de , isto é, verifica4.31 \ − < V.ÐGß\Ñ œ .ÐGßFÑ œ .ÐGßEÑ .ÐQß\Ñ .ÐQßFÑ œ3 se, e só se. .ÐQßEÑ \ o que, mais uma vez pela alínea , é equivalente a d) de 1.19pertencer a um dos conjuntos ou , o que equivaleÒQßFÓ Ï ÖF× ÒQßEÓ Ï ÖE×a pertencer a .\ ÒEßFÓ Ï ÖEßF×

11.7 Seja uma circunferência de(Recta tangente a uma circunferência) Vcentro e raio G 3 V. Sejam e uma recta com . Tem-se então queE − < E − <V V < œ ÖE× < E (caso em que se diz que a recta é ) se, e sótangente a emse, a recta é perpendicular à recta se, e só se, a recta não tem pontos< GE <no interior de .V

C

Ar

– 153–

Dem: Comecemos por supor que a recta é perpendicular à recta , em< GEparticular que é o pé da perpendicular de para . Tendo em conta ,E G < 4.29para cada com tem-se , portanto\ − < \ Á E .ÐGß\Ñ .ÐGßEÑ œ 3\  \ < œ ÖE×V V V e não está no interior de ; ficou assim provado que eque não tem pontos no interior de .< VSuponhamos, reciprocamente, que não é perpendicular a . Se ,< GE G − <então é um ponto de no interior de . Se , podemos considerar o péG < G  <Vda perpendicular de sobre , tendo-se donde, por ,Q G < Q Á E 4.29.ÐQßGÑ .ÐEßGÑ œ < Q3, o que mostra que tem o ponto que é interior aV V. Em qualquer dos casos, a existência em de um ponto interior a <assegura, por que é um conjunto com dois elementos, em11.5 < Vparticular é diferente de .ÖE×

11.8 Seja uma circunferência de centro e raio V G 3. Em cada semirrecta de<origem , existe um, e um só ponto em e existem pontos tanto no interiorG Vde como no exterior de .V VDem: Trata-se de uma consequência imediata da alínea .d) de 1.19

11.9 Seja uma circunferência de centro e raio V G 3. Seja uma recta que não<tem nenhum ponto em . Tem-se então que todos os pontos de estão noV <exterior de .VDem: Basta atender a que, se tivesse um ponto no interior de , então tinha< Vdois pontos em (cf. ).V 11.5

C

A

r

11.10 Seja uma circunferência de centro e raio V G 3. Seja um ponto exteriorEa e seja a recta perpendicular à recta e que contém o ponto .V < GE ETem-se então que todos os pontos de são pontos exteriores a . Além disso,< Vqualquer recta cujos pontos sejam todos exteriores a pode ser obtida deste= Vmodo.Dem: Por definição, é o pé da perpendicular de para pelo que, tendoE G <em conta , para cada , tem-se , portanto4.29 \ − < .Ð\ßGÑ   .Ð\ßEÑ 3\ = está no exterior de . Reciprocamente, se é uma recta cujos pontos estãoVtodos no exterior de , podemos considerar o pé da perpendicular de V F Gpara e então está no exterior a e é a recta perpendicular a que= F = GFVcontém o ponto .F

– 154–

11.11 Sejam (Intersecção de duas circunferências) em e notemosG Á Gw !+ œ .ÐGßG Ñ ! !w w. Sejam e e consideremos as circunferências , de3 3 Vcentro e raio , e , de centro e raio . Tem-se então:G G3 V 3w w w

a) Se , então é um conjunto com dois elementos.l l + 3 3 3 3 V Vw w w

C C'

b) Se ou , então é um conjunto com um único+ œ l l + œ 3 3 3 3 V Vw w w

elemento.

C C' C C'

c) Se ou , então .+ l l + œ g3 3 3 3 V Vw w w

CC' C C'

Dem: Seja tal que seja ortogonal a e que .H − GH GG .ÐGßHÑ œ "! w

Notemos e , vectores para os quais se tem assim? œ GG @ œ GHÄ ÄÄ Äw

Ø? ß ? Ù œ m?m œ + Ø@ ß @ Ù œ m@ m œ " Ø? ß @ Ù œ !ÄÄ Ä ÄÄ Ä ÄÄ# # #, , .

Podemos considerar uma correspondência biunívoca entre pontos do plano\! e pares de números reais, que cada associa o par definidoÐ,ß -Ñ \ Ð,ß -Ñ

pela condição de se ter .G\ œ , ? - @Ä Ä Ä

– 155–

uvC C'

X

D

Para um tal ponto , tem-se , donde \ G\ œ ? G \ G \ œ G\ ? œÄ ÄÄ ÄÄ Ä

w w

Ð, "Ñ ? - @Ä Ä e tem-se

mG\m œ Ø, ? - @ ß , ? - @ Ù œ , Ø? ß ? Ù - Ø@ ß @ Ù #,-Ø? ß @ Ù œÄ Ä Ä Ä Ä ÄÄ ÄÄ ÄÄ

œ , + -

# # #

# # #

e, do mesmo modo,

mG \m œ Ð, "Ñ + -Äw # # # #.

A condição de se ter é assim equivalente à de os correspondentes\ − V Vw

,ß - verificarem as condições

3

3

# # # #

w # ##

œ , + -

œ Ð, "Ñ - .

Subtraindo membro a membro estas igualdades vemos que estas condiçõessão equivalentes às condições

3

3 3

# # # #

# w ##

œ , + -

œ Ð#, "Ñ+ ,

a segunda das quais é equivalente a

, œ +

#+

3 3# w ##

#.

Substituindo este valor de na primeira condição do sistema atrás, vemos,assim que o número de pontos em é igual ao número de reais para\ -V Vw

os quais se tem

33 3# # # ## w ##

#œ Ð Ñ + -

+

#+,

isto é,

- œ Ð + Ñ

%+# #

# w # ##

#3

3 3

– 156–

que é sucessivamente equivalente a

- œÐ# +Ñ Ð + Ñ

%+

œÐ# + + ÑÐ# + + Ñ

%+

- œÐÐ +Ñ ÑÐ Ð +Ñ Ñ

%+

- œÐ + ÑÐ + ÑÐ +ÑÐ +

## # w # ##

#

## # w # # w# #

#

## w w ## #

#

#w w w w

3 3 3

3 3 3 3 3 3

3 3 3 3

3 3 3 3 3 3 3 3

,

c ,

,

Ñ

%+

- œÐÐ Ñ + ÑÐ+ Ð Ñ Ñ

%+

#

#w # # # w #

#

,

.3 3 3 3

Uma vez que, por ser e , tem-se , vai3 3 3 3 3 3 ! ! Ð Ñ Ð Ñw w # w #

existir um, e um só, que verifica a igualdade anterior se, e só se, o segundo-membro é (a solução é então ) isto é, se, e só se ou! - œ ! + œ l l3 3w

+ œ -3 3w, vão existir dois, e só dois, que verificam a igualdade (umsimétrico do outro) se, e só se o segundo membro é maior que , isto é, se, e!só se, e não vai existir nenhum que verifica al l + -3 3 3 3w w

igualdade, caso contrário.

11.12 Dada uma circunferência , de centro e raio V G 3, diz-se que dois pontosEßF − EFV são se são distintos e a recta contémdiametralmente opostosG .Repare-se que, dado , existe um, e um só, tal que e sejamE − F − E FV Vdiametralmente opostos, nomeadamente o ponto de distinto de (cf.EG EV11.5).

11.13 Sejam uma circunferência, de centro(Ângulo inscrito num diâmetro) VG e raio 3 V, e dois pontos diametralmente opostos. Para cada pontoEßF −

H − E F HE HFÄ Ä

V, distinto de e de , tem-se então que os vectores e sãoortogonais.Dem: Sendo , o facto de se ter com? œ GE .ÐEßGÑ œ œ .ÐFßGÑÄ Ä

3

E Á F ? œ GF H − E FÄ Ä, implica que . Sendo agora , distinto de e de ,V

em particular com , obtemos, pondo ,.ÐGßHÑ œ A œ GHÄ Ä3

C

A

B

D

u

-uw

– 157–

ØHEßHFÙ œ Ø? Aß? AÙ œ Ø? ß ? Ù Ø? ßAÙ ØAß ? Ù ØAßAÙ œÄ Ä Ä Ä Ä Ä ÄÄ Ä Ä ÄÄ Ä Ä

œ œ !3 3# # ,

o que mostra que os vectores e são ortogonais.HE HFÄ Ä

11.14 Sejam uma circunferência, de(Ângulo inscrito no caso não trivial) Vcentro e raio G 3 V, e dois pontos distintos, não diametralmenteEßF −opostos. Para cada ponto , distinto de e de , tem-se então:H − E FV

1) Se , entãoH Â nÖGEßGF×Û Û

. .Û ÛÛ Û

ÐÖHEßHF×Ñ œ ÐÖGEßGF×Ñ"

#.

2) Se , entãoH − nÖGEßGF×Û Û

. .Û ÛÛ Û

ÐÖHEßHF×Ñ œ # ÐÖGEßGF×Ñ"

#.

C

A

D

u

wBvx

x/2C

Au w

Bv

D

x 2-x/2

Dem:25 Notemos , e , vectores para os quais se? œ GE @ œ GF A œ GHÄ Ä ÄÄ Ä Ä

tem assim . Uma vez que são não colineares,m?m œ m@ m œ mAm œ EßFßGÄ Ä Ä 3os vectores são também não colineares, e portanto uma base do plano? ß @ÄÄ

vectorial associado ao plano . Existem assim tais que! ! ‘Ä +ß , −

A œ + ? , @Ä Ä Ä

e, tendo em conta , tem-se se, e só se, e ,9.64 H − nÖGEßGF× +   ! ,   !Û Û

caso em que se tem mesmo e (senão pertenceria a uma das+ ! , ! H

semirrectas e e teria que ser respectivamente ou por estar àGE GF E FÛ Û

mesma distância de que estes), e portanto se, e só se,G H Â nÖGEßGF×Û Û

+ ! , ! ou .Notemos

25Também existe uma demonstração puramente geométrica e intuitivamente mais claradeste resultado, que evita os detalhes algébricos mas que exige que se examinem separa-damente várias situações possíveis “para a figura”.

– 158–

B œ ÐÖGEßGF×Ñ œ ÐGEßGFÑ œ Ð? ß @ Ñ − Ó!ß #Òs sÄ Ä ÄÄ. . .

Û Û .

Tem-se assim , por outras palavras,cos coss sÐBÑ œ Ð? ß @ Ñ œ œ Ø? ß @ ÙÄÄ ÄÄØ?ß@ÙÄÄ

m?mm@mÄ Ä"3#

Ø? ß @ Ù œ ÐBÑÄÄ s3# cos , e daqui deduzimos uma relação fundamental entre oscoeficientes : De+ß ,

3

3 3 3

# # #

# # # # #

œ ØAßAÙ œ Ø+? ,@ ß +? ,@ Ù œ + Ø? ß ? Ù , Ø@ ß @ Ù #+,Ø? ß @ Ù œÄ Ä Ä Ä Ä Ä ÄÄ ÄÄ ÄÄ

œ + , #+, ÐBÑscos ,

deduzimos que

+ , #+, ÐBÑ œ "s# # cos .(*)

Daqui se deduz, em particular, que , ondeÐ+ ,Ñ œ " #+,Ð" ÐBÑÑs# cos" ÐBÑ ! H − nÖGEßGF× + ! , !scos e portanto, se , tem-se e ,Û Û

donde , e, se , tem-se ou , donde+ , " H Â nÖGEßGF× + ! , !Û Û

+ , " + , l+ ,l (reparar que e que a desigualdade é trivial se umdos números e for menor que e o outro menor ou igual a porque então+ , ! !é mesmo ).+ , !Reparemos agora que, uma vez que

Ø? ß AÙ œ +Ø? ß ? Ù ,Ø? ß @ Ù œ Ð+ , ÐBÑÑÄ Ä ÄÄ ÄÄ s

Ø@ ßAÙ œ +Ø@ ß ? Ù ,Ø@ ß @ Ù œ Ð, + ÐBÑÑÄ Ä ÄÄ ÄÄ s

3

3

#

#

coscos

,,

e que , obtemoscos coss sÐBÑ œ # Ð Ñ "B#

ØHEßHFÙ œ Ø? Aß @ AÙ œ Ø? ß @ Ù Ø? ßAÙ ØAß @ Ù ØAßAÙ œÄ Ä Ä ÄÄ Ä ÄÄ Ä Ä ÄÄ Ä Ä

œ Ð ÐBÑ + , ÐBÑ , + ÐBÑ "Ñ œs s s

œ Ð" + ,ÑÐ" ÐBÑÑ œ # Ð" + ,Ñs

3

3 3

#

# #

cos cos cos

cos coss Ð ÑB

## .

Analogamente,

mHEm œ Ø? Aß ? AÙ œ Ø? ß ? Ù ØAßAÙ #Ø? ßAÙ œÄ Ä ÄÄ Ä ÄÄ Ä Ä Ä Ä

œ # Ð" + , ÐBÑÑs

#

#3 cos ,

mHFm œ Ø@ Aß @ AÙ œ Ø@ ß @ Ù ØAßAÙ #Ø@ ß AÙ œÄ Ä ÄÄ Ä ÄÄ Ä Ä Ä Ä

œ # Ð" , + ÐBÑÑs

#

#3 cos ,

donde, aplicando várias vezes a fórmula fundamental (*) e, de novo, aigualdade ,cos coss sÐBÑ œ # Ð Ñ "B

#

– 159–

mHEm mHFm œ % Ð" + + ÐBÑ , , ÐBÑ + ÐBÑ Ä Ä

s s s

, ÐBÑ +, +, ÐBÑÑ œs s

œ % Ð" #+ Ð Ñ #, Ð Ñ + ÐBÑ s s sB B

# #

, Ðs

# # % #

# #

% ## #

#

3

3

cos cos coscos cos

cos cos cos

cos

œ

œ BÑ +, ÐBÑ + ÐBÑ , ÐBÑÑ œ" " "

# # #s s s

œ % Ð" #+ Ð Ñ #, Ð Ñ + ÐBÑ s s sB B "

# # #

, ÐBÑ +, ÐBÑ œ" "

# #s s

œ % Ð" #+ ÐsB

#

cos cos cos

cos cos cos

cos cos

cos

# #

% ## #

#

% #

3

3

œ

Ñ #, Ð Ñ + Ð Ñ + s sB B "

# # #

, Ð Ñ , +, Ð Ñ Ñ œs sB " B "

# # # #

œ % Ð #+ Ð Ñ #, Ð Ñ + Ð Ñ " B B B

# # # #s s s

, Ð Ñ sB "

# #

cos cos

cos cos

cos cos cos

cos

# ## #

# ## #

% ## # #

# #

œ

œ

3

+, ÐBÑ +, Ð ÑÑ œs sB

#

œ % Ð#+ Ð Ñ #, Ð Ñ + Ð Ñ s s sB B B

# # #

, Ð Ñ #+, Ð Ñ Ð ÑÑ œs s sB B B

# # #

œ % Ð ÑÐ" + , #+sB

#

cos cos

cos cos cos

cos cos cos

cos

#

% ## # #

# # # #

% # ##

3

3

œ

#, #+,Ñ œ

œ % Ð ÑÐ" + ,ÑsB

#3% ##cos .

Reparando que , e portanto , deduzimos que! " Ð Ñ !sB B# #cos

mHEmmHFm œ # Ð Ñl" + ,lÄ Ä

sB

#3#cos ,

e portanto

ØHEßHFÙ BÄ Ä

mHEmmHFmÄ Ä œ „ Ð Ñs

#cos ,

onde o sinal é quando , isto é, , e é quando + , " H Â nÖGEßGF× Û Û

+ , " H − nÖGEßGF×, isto é, , tendo-se assim no primeiro casoÛ Û

. .Û ÛÛ Û

ÐÖHEßHF×Ñ œ ÐÖHEßHF×Ñ œ # B B# # e, no segundo .

11.15 Seja (Potência de um ponto relativamente a uma circunferência) Vuma circunferência, de centro e raio G 3 !. Dado um ponto , chama-seT −potência de relativamente a ao número real Pot .T ÐT Ñ œ .ÐGß T Ñ V 3V

# #

Repare-se que, por definição, tem-se que Pot se, e só se, ,VÐT Ñ œ ! T − V

– 160–

Pot se, e só se, está no interior de e Pot se, e só se, V VÐT Ñ ! T ÐT Ñ ! TVestá no exterior de .V

11.16 Seja uma circunferência, de centro e raio V G 3 !. Sejam e umaT − <recta contida em , com . Suponhamos que , com ! VT − < < œ ÖEßF× EßFnão necessariamente distintos (admitimos assim que possa ser tangente a<V). Tem-se então

Pot ,VÐT Ñ œ ØTEßTFÙ œ „.ÐT ßEÑ.ÐT ßFÑÄ Ä

onde o sinal é se está no exterior de e é se está no interior de . T TV V

C

A

B

P C

A

B

P

Dem:26 Podemos afastar já o caso trivial em que , visto que entãoT − Vtem-se ou e os três membros da igualdade são iguais a .T œ E T œ F !

Reparemos agora que basta mostrarmos que se tem Pot ,VÐT Ñ œ ØTEßTFÙÄ Ä

uma vez que a outra igualdade resulta então da definição do produto internode vectores colineares e do facto de a potência ser positiva ou negativaconforme o ponto esteja no exterior ou no interior de .T V

Notemos , e procuremos uma caracterização para osA œ GT ? œ GEÄ ÄÄ Ä

pontos que pertencem a , isto é, para aqueles para os quais se temF < V

.ÐGßFÑ œ EF œ +ET + − + œ !Ä Ä

3 ‘ e , para um certo (para temos o pontoE @ œ GF + −Ä Ä

). Notando , procuramos os valores de tais que, sendo‘@ ? œ +ÐA ?Ñ Ø@ ß @ Ù œÄ Ä Ä Ä ÄÄ, tem-se , ou seja,3#

3

3

#

#

# #

œ Ø? +ÐA ?Ñß ? +ÐA ?ÑÙ œÄ Ä Ä Ä Ä Ä

œ Ø? ß ? Ù #+Ø? ßA ? Ù + ØA ? ßA ? Ù œÄÄ Ä Ä Ä Ä Ä Ä Ä

œ #+Ø? ßA ? Ù + ØA ? ßA ? ÙÄ Ä Ä Ä Ä Ä Ä ,

pelo que obtivémos uma equação em que tem a solução+

+ œ#Ø? ßA ? ÙÄ Ä Ä

ØA ? ßA ?ÙÄ Ä Ä Ä ,

26Como em , é também possível apresentar uma demonstração alternativa com um11.14espírito geométrico e não analítico.

– 161–

como única solução que pode ser distinta da solução . Para esse valor+ œ !de , tem-se então+

ØTEßTFÙ œ Ø? Aß @ AÙ œ Ø? Aß Ð@ ? Ñ ÐA ?ÑÙ œÄ Ä Ä ÄÄ Ä Ä Ä Ä Ä Ä Ä

œ ØA ? ßA ?Ù + ØA ? ßA ? Ù œÄ Ä Ä Ä Ä Ä Ä Ä

œ ØA ? ßA ?Ù #Ø? ßA ? Ù œÄ Ä Ä Ä Ä Ä Ä

œ ØA ? ßA ?Ù œÄ Ä Ä Ä

œ ØAßAÙÄ Ä ØAß ? Ù Ø? ßAÙ Ø? ß ? Ù œÄÄ Ä Ä ÄÄ

œ mAm œ ÐT ÑÄ # #3 Pot .V

Apêndice 1: As funções trigonométricas dos Analistas.

Ap1.1 Sejam e espaços vectoriais de(Diferenciabilidade do limite) I Jdimensão finita, Y § I Ð0 Ñ um aberto e uma família de funções de8 8−

classe , , tal que existam aplicações eG 0 ÀY Ä J 0ÀY Ä J"8

-À Y Ä PÐIàJÑ 0 ÐBÑ Ä 0ÐBÑ B − Y tais que , para cada , e que8

H0 Ä B − Y 0ÀY Ä J8 BB - uniformemente para . Tem-se então que é declasse e, para cada , .G B − Y H0 œ"

B B-Dem: Comecemos por notar que, uma vez que cada éH0 ÀY Ä PÐIàJÑ8

contínua e que o limite uniforme da aplicações contínuas é uma aplicaçãocontínua, podemos concluir que é uma aplicação contínua.-À Y Ä PÐIàJÑSeja arbitrário. Seja arbitrário. Seja tal que a bola abertaB − Y ! < !! $F ÐB Ñ Y B − F ÐB Ñ m m Ÿ< ! < ! B B # esteja contida em e que, para cada , .- -

!

$

Pela convergência uniforme, seja tal que, sempre que e ,8 8   8 B − Y! !

mH0 m Ÿ 8   8 B − F ÐB Ñ8 B ! < !B #- $ . Para cada e , tem-se assim

mH0 m Ÿ mH0 m m m Ÿ8 B 8 B B BB B- - - - $! !

.

Podemos agora aplicar o teorema da média à aplicação ,:À F ÐB Ñ Ä J< !

definida por , para a qual se tem: -ÐBÑ œ 0 ÐBÑ ÐBÑ8 B!

mH m œ mH0 m Ÿ: - $B 8 BB !,

para deduzir que, para cada e ,8   8 B − F ÐB Ñ! < !

m0 ÐBÑ 0 ÐB Ñ ÐB B Ñm œ m ÐBÑ ÐB Ñm Ÿ mB B m8 8 ! B ! ! !- : : $!

,

pelo que, passando ao limite em , vem também8

m0ÐBÑ 0ÐB Ñ ÐB B Ñm œ m ÐBÑ ÐB Ñm Ÿ mB B m! B ! ! !- : : $!

,

o que mostra que é diferenciável em e com .0 B H0 œ! B B! !-

– 162–

Ap1.2 Tendo em conta a convergência uniforme da série, em qualquer bola decentro , deduzimos do resultado anterior que tem lugar uma aplica! ção declasse , a , definida porG ß À Ä" exp ‚ ‚ aplicação exponencial

expÐDÑ œ / œ " D D D D â" " "

# $x %xD # $ % ,

aplicação para a qual se tem e que, portanto, é mesmo deexp expwÐDÑ œ ÐDÑclasse .G_

Ap1.3 A aplicação exponencial verifica as seguintes propriedades:a) ,expÐ!Ñ œ "b) , em particular tem-se ;exp exp expÐDÑ ‚ ÐDÑ œ " ÐDÑ Á !c) .exp exp expÐD AÑ œ ÐDÑ ‚ ÐAÑDem: A conclusão de a) resulta de substituir por na expressão da sérieD !definidora. Para provarmos b), consideramos uma função definida: ‚ ‚À Äpor e reparamos que, tendo em conta a expressão:ÐDÑ œ ÐDÑ ‚ ÐDÑexp expda derivada da função , saiexp

:wÐDÑ œ ÐDÑ ‚ ÐDÑ ÐDÑ ‚ ÐDÑ œ !exp exp exp exp

pelo que a função é constante, portanto . Para provarmos: : :ÐDÑ œ Ð!Ñ œ "c), consideremos fixado e definamos uma função porA − À Ä‚ < ‚ ‚

<ÐDÑ œÐDÑ ‚ ÐAÑ

ÐD AÑ

exp expexp

.

Obtemos então

<w#

ÐDÑ œ œ !ÐDÑ ‚ ÐAÑ ‚ ÐD AÑ ÐDÑ ‚ ÐAÑ ‚ ÐD AÑ

ÐD AÑ

exp exp exp exp exp expexp

pelo que a função é constante e portanto , o que< < <ÐDÑ œ Ð!Ñ œ œ "expexp

ÐAÑÐAÑ

implica que .exp exp expÐD AÑ œ ÐDÑ ‚ ÐAÑ

Ap1.4 A restrição da aplicação exponencial a é um difeomorfismo‘estritamente crescente de sobre .‘ Ó!ß_ÒDem: Começamos por notar que, para cada , o facto de termos uma>   !série de termos reais latamente positivos implica que , assimexpÐ>Ñ   " !como , o que implica que . Para cadaexp lim expÐ>Ñ   " > Ð>Ñ œ _

>Ä_

> Ÿ ! >   ! Ð>Ñ œ Ð>Ñ !, o facto de se ter e implica que eexp exp"Ð>Ñexp

que . O facto de a restrição de a ser estritamentelim exp exp>Ä_

Ð>Ñ œ ! ‘

crescente resulta de que . O conhecimento dos limitesexp expwÐ>Ñ œ Ð>Ñ !de quando e quando implica agora que oexp > Ä _ > Ä _contradomínio de é e portanto que é uma bijecçãoexp expÓ!ß_Òestritamente crescente de sobre e o facto de se ter ‘ Ó!ß_Ò Ð>Ñ Á !expw

implica, pelo teorema da função inversa, que a função inversa de éexptambém de classe .G_

– 163–

Ap1.5 Define-se a função como sendo ologaritmo neperiano lnÀ Ó!ß_Ò Ä ‘difeomorfismo inverso do difeomorfismo , difeomorfismoexpÀ Ä Ó!ß_Ò‘para o qual se tem .lnw "

=Ð=Ñ œ

Dem: Pelo teorema da função inversa, tem-se

lnexp ln exp ln

ww

Ð=Ñ œ œ œ" " "

Ð Ð=ÑÑ Ð Ð=ÑÑ =.

Ap1.6 Para cada complexo , tem-se . Em consequência, seD ÐDÑ œ ÐDÑexp expD œ D D œ ,3 , −, isto é, se , para um certo ‘, então .l ÐDÑl œ "expDem: A primeira afirmação resulta da série definidora da aplicaçãoexponencial, tendo em conta o facto de a conjugação ser uma aplicação linearreal e o de o conjugado de um produto ser o produto dos conjugados (eportanto, por indução, o conjugado de uma potência de expoente é a8potência de expoente do conjugado). Quando , podemos assim8 D œ Descrever

l ÐDÑl œ ÐDÑ ‚ ÐDÑ œ ÐDÑ ‚ ÐDÑ œ "exp exp exp exp exp# .

Ap1.7 Definimos funções trigonométricas , pela igualdadecos sinß À Ä‘ ‘

exp cos sinÐ3>Ñ œ Ð>Ñ Ð>Ñ 3.

Ap1.8 Tendo em conta , tem-se , portanto, para cada ,Ap1.6 l 3>Ñl œ " >exp

cos sin# #Ð>Ñ Ð>Ñ œ ",

em particular e , isto é, 1 e cos sin cos sin# #Ð>Ñ Ÿ " Ð>Ñ Ÿ " Ð>Ñ − Ò ß "Ó Ð>Ñ −Ò"ß "Ó.

Ap1.9 Lembrando que , podemos escreverexp exp expÐ3>Ñ œ Ð3>Ñ œ Ð3>Ñ

cos sin cos sinÐ>Ñ Ð>Ñ 3 œ Ð>Ñ Ð>Ñ 3,

portanto

cos cos sin sinÐ>Ñ œ Ð>Ñ Ð>Ñ œ Ð>Ñ, .

Ap1.10 Por derivação da igualdade , obtemoscos sin expÐ>Ñ Ð>Ñ 3 œ Ð3>Ñ

cos sin exp sin cosw wÐ>Ñ Ð>Ñ 3 œ 3 Ð3>Ñ œ Ð>Ñ Ð>Ñ 3,

portanto

cos sin sin cosw wÐ>Ñ œ Ð>Ñ Ð>Ñ œ Ð>Ñ, .

– 164–

Ap1.11 Da fórmula exp expÐ3Ð= >ÑÑ œ Ð3=Ñ ‚ Ð3>Ñexp , deduzimos que

cos sin cos sin cos sincos cos sin sin cos sin sin cosÐ= >Ñ Ð= >Ñ 3 œ Ð Ð=Ñ Ð=Ñ 3ÑÐ Ð>Ñ Ð>Ñ 3Ñ œ

œ Ð Ð=Ñ Ð>Ñ Ð=Ñ Ð>ÑÑ Ð Ð=Ñ Ð>Ñ Ð=Ñ Ð>ÑÑ 3,

de onde deduzimos as fórmulas

cos cos cos sin sinsin sin cos cos sin

Ð= >Ñ œ Ð=Ñ Ð>Ñ Ð=Ñ Ð>Ñ

Ð= >Ñ œ Ð=Ñ Ð>Ñ Ð=Ñ Ð>Ñ

,.

Ap1.12 Como casos particulares de , temos, tendo em conta ,Ap1.11 Ap1.8

cos cos sin cos sinsin sin cos

Ð#>Ñ œ Ð>Ñ Ð>Ñ œ # Ð>Ñ " œ " # Ð>Ñ

Ð#>Ñ œ # Ð>Ñ Ð>Ñ

# # # # ,.

e portanto também, pondo ,> œ =#

coscos

Ð Ñ œ „= " Ð=Ñ

# #Ê .

Ap1.13 Partindo da série definidora da aplicação exponencial, vemos que, com aconvenção ,! œ "!

cos sin expÐ>Ñ Ð>Ñ 3 œ Ð3>Ñ œ Ð3>Ñ œ"

5x

œ 3 > 3 > œ" "

Ð#8Ñx Ð#8 "Ñx

œ > > 3Ð"Ñ Ð"Ñ

Ð#8Ñx Ð#8 "Ñx

"" "" "

5œ!

_5

8œ! 8œ!

_ _#8 #8 #8" #8"

8œ! 8œ!

_ _8 8#8 #8" ,

pelo que, comparando as partes reais e as partes imaginárias, obtemos aséries definidoras das funções trigonométricas,

cos

sin

Ð>Ñ œ > œ " âÐ"Ñ > > >

Ð#8Ñx #x %x 'x

Ð>Ñ œ > œ > âÐ"Ñ > > >

Ð#8 "Ñx $x &x (x

""8œ!

_ 8 # % '#8

8œ!

_ 8 $ & (#8"

,

.

Ap1.14 (Algumas avaliações das funções trigonométricas) Tem-se cosÐ!Ñ œ "e . Para cada , tem-se e . Tem-sesin cos sinÐ!Ñ œ ! ! Ÿ > Ÿ " Ð>Ñ   Ð>Ñ   >" &

# '

cosÐ#Ñ !.Dem: Os valores das funções trigonométricas em resultam imediatamente!da substituição nas séries. Suponhamos agora que . Tem-se então! Ÿ > Ÿ "que e são também caracterizados pelas séries de termoscos sinÐ>Ñ Ð>Ñlatamente positivos

– 165–

cos

sin

Ð>Ñ œ Ð" Ñ Ð Ñ Ð Ñ â> > > > >

#x %x 'x )x "!x

Ð>Ñ œ Ð> Ñ Ð Ñ Ð Ñ â> > > > >

$x &x (x *x ""x

# % ' ) "!

$ & ( * ""

de onde deduzimos que

cos

sin

Ð>Ñ   "   " œ> " "

# # #

Ð>Ñ   > œ >Ð" Ñ   >Ð" Ñ œ >> > " &

' ' ' '

#

$ #

,

.

Em particular, tem-se , donde, por ,sinÐ"Ñ   &' Ap1.12

cos sinÐ#Ñ œ " # Ð"Ñ Ÿ " !&!

$'# .

Ap1.15 Existe um mínimo para o conjunto dos tais que ,> >   ! Ð>Ñ œ !! costendo-se , tendo-se então , para cada ." > # Ð>Ñ ! ! Ÿ > >! !cosDem: A existência de tal que é uma consequência de se! Ÿ > # Ð>Ñ œ !coster e . O conjuntos do tais que écos cos cosÐ!Ñ œ " ! Ð#Ñ ! >   ! Ð>Ñ œ !assim fechado não vazio e minorado pelo que admite um mínimo (o seuínfimo) . O facto de se ter resulta de que, como referimos, existe um> > #! !

elemento no conjunto referido e o facto de se ter resulta de que,> # > "!

para cada , tem-se . O facto de se ter ! Ÿ > Ÿ " Ð>Ñ   !cos "# cosÐ>Ñ !,

para cada , resulta de que a existir um tal com ,! Ÿ > > > Ð>Ñ Ÿ !! cospodíamos aplicar mais uma vez o teorema do valor intermédio para garantir aexistência de tal que , o que contrariava o facto de ser= − Ò!ß >Ó Ð=Ñ œ ! >cos !

o mínimo nessas condições.

Ap1.16 Definimos o número real 1 como sendo o dobro do número real >!referido em . Tem-se assim, por aquele resultado, .Ap1.15 # %1 27

Ap1.17 A restrição da função ao intervalo é uma bijecção estritamentesin Ò!ß Ó1#crescente deste intervalo sobre o intervalo e a restrição da função aoÒ!ß "Ó cosintervalo é uma bijecção estritamente decrescente deste intervalo sobreÒ!ß Ó1#o intervalo . Em particular, e .Ò!ß "Ó Ð Ñ œ ! Ð Ñ œ "cos sin1 1

# #

Dem: Por definição de , tem-se e , para cada1 cos cosÐ Ñ œ ! Ð>Ñ !1#

> − Ò!ß Ò Ð>Ñ œ Ð>Ñ1#

w. Uma vez que , segue-se que a restrição de asin cos sinÒ!ß Ó Ð!Ñ œ !1

# é estritamente crescente, em particular injectiva, e, por ser ,sintem-se , para cada . Da igualdade ,sin sin cosÐ>Ñ ! > − Ó!ß Ó Ð Ñ Ð Ñ œ "1 1 1

# # ## #

resulta que , e portanto . A imagem da restrição dasin sin## #Ð Ñ œ " Ð Ñ œ "1 1

função a é o intervalo , visto que contém esse intervalo, pelosin Ò!ß Ó Ò!ß "Ó1#

27É uma informação um pouco pobre, mas é melhor do que nada…

– 166–

teorema do valor intermédio, e está contida nesse intervalo, por serestritamente crescente. Uma vez que , tem-se, para cadacos sinwÐ>Ñ œ Ð>Ñ> − Ó!ß Ó Ð>Ñ ! Ò!ß Ó1 1

# #w, , o que implica que a restrição de a écos cos

estritamente decrescente, em particular injectiva e com valores no intervaloÒ!ß "Ó. Como antes, o teorema do valor intermédio garante que a imagem porcos do intervalo é precisamente o intervalo .Ò!ß Ó Ò!ß "Ó1

#

Ap1.18 As igualdades a) cos sinÐ Ñ œ ! Ð Ñ œ "1 1# # e podem ser traduzidas por

expÐ 3Ñ œ 31# .

b) De a) resulta que ( ), oexp expÐ 3Ñ œ Ð 3Ñ œ 3 œ "1 1#

# # fórmula de Eulerque pode ser traduzido por e .cos sinÐ Ñ œ " Ð Ñ œ !1 1c) De a) também resulta que , o que podeexp expÐ 3Ñ œ Ð 3Ñ œ 3 œ 3$

# #$ $1 1

ser traduzido por e .cos sinÐ Ñ œ ! Ð Ñ œ "$ $# #1 1

d) De b) resulta que , o queexp exp expÐ# 3Ñ œ Ð 3Ñ œ Ð"Ñ œ " œ Ð!Ñ1 1 # #

pode ser traduzido por e .cos cos sin sinÐ# Ñ œ " œ Ð!Ñ Ð# Ñ œ ! œ Ð!Ñ1 1

Ap1.19 As funções são periódicas, admitindo comocos sinß À Ä Ò"ß "Ó #‘ 1período positivo mínimo.Dem: Comecemos por reparar que, de se ter

exp exp exp exp expÐ > # 3Ñ œ Ð>3Ñ ‚ Ð# 3Ñ œ Ð>3Ñ ‚ " œ Ð>3Ñ( ) ,1 1

podemos escrever

cos cos sin sinÐ> # Ñ œ Ð>Ñ Ð> # Ñ œ Ð>Ñ1 1, ,

o que mostra que é um período de ambas as funções. Uma vez que estas#1têm restrições injectivas ao intervalo , não podem admitir períodoÒ!ß Ó1#menor ou igual a . Sendo contínuas admitem assim um período positivo1

#

mínímo que tem que ser submúltiplo inteiro de . Se não fosse o período# #1 1positivo mínimo, ele teria assim que ser . Mas as igualdades e1 cosÐ!Ñ œ "cos cos sinÐ Ñ œ " Ð Ñ œ "1 1 mostram que não é período de e as igualdades 1

#

e mostram que não é período de .sin sin sinÐ Ñ œ Ð Ñ œ "1 1# #

$1 1

Ap1.20 Tem-se e .cos sin sin cosÐ >Ñ œ Ð>Ñ Ð >Ñ œ Ð>Ñ1 1# #

Dem: Podemos escrever

exp exp exp expÐÐ >Ñ3Ñ œ Ð 3Ñ ‚ Ð>3Ñ œ 3 ‚ Ð>3Ñ# #

1 1,

ou seja,

cos sin cos sin

sin cos

Ð >Ñ Ð >Ñ 3 œ 3 ‚ Ð Ð>Ñ Ð>Ñ 3Ñ œ# #

œ Ð>Ñ Ð>Ñ 3

1 1

,

donde o resultado.

– 167–

Ap1.21 Tem-se cosÐ1 1 >Ñ œ Ð>Ñ Ð >Ñ œ Ð>Ñcos sin sin e .Dem: Podemos escrever

exp exp exp expÐÐ >Ñ3Ñ œ Ð 3Ñ ‚ Ð>3Ñ œ " ‚ Ð>3Ñ1 1 ,

ou seja

cos sin cos sincos sin

Ð >Ñ Ð >Ñ 3 œ Ð Ð>Ñ Ð>Ñ3Ñ œ

œ Ð>Ñ Ð>Ñ 3

1 1

,

donde o resultado.

Ap1.22 A restrição da função ao intervalo é uma bijecção estritamentesin Ò ß Ó1# 1

decrescente daquele intervalo sobre o intervalo e a restrição da funçãoÒ!ß "Ócos ao intervalo é uma bijecção estritamente decrescente daqueleÒ ß Ó1

# 1

intervalo sobre o intervalo .Ò"ß !ÓDem: Trata-se de uma consequência de e de , se repararmosAp1 Ap1.17 .21que a aplicação é uma bijecção estritamente decrescente de > È > Ò ß Ó1 11

#

sobre (com inversa definida pela mesma fórmula) e que a aplicaçãoÒ!ß Ó1#= È = Ò!ß "Ó Ò"ß !Ó é uma bijecção estritamente decrescente de sobre (maisuma vez com inversa definida pela mesma fórmula).

Ap1.23 Tem-se, tendo em conta a periodicidade de e e as fórmulas emsin cosAp1.9,

cossin

Ð#

Ð#

1

1

>Ñ œ Ð>Ñ œ Ð>Ñ

>Ñ œ Ð>Ñ œ Ð>Ñ

cos cossin sin

,.

Ap1.24 A restrição da função ao intervalo é uma bijecção estritamentesin Ò ß Ó1 $#1

decrescente deste intervalo sobre o intervalo . ção da funçãoÒ"ß !Ó A restricos ao intervalo é uma bijecção estritamente crescente deste intervaloÒ ß Ó1 $

#1

sobre o intervalo .Ò"ß !ÓDem: Trata-se de uma consequência de e de , se repararmosAp1.22 Ap1.23que a aplicação é uma bijecção estritamente decrescente de> È # >1Ò ß Ó Ò ß Ó1 1$

# #1 1 sobre (com inversa definida pela mesma fórmula) e que a

aplicação é uma bijecção estritamente decrescente de sobre= È = Ò!ß "ÓÒ"ß !Ó (mais uma vez com inversa definida pela mesma fórmula).

Ap1.25 A restrição da função ao intervalo é uma bijecção estrita-sin Ò ß # Ó$#1 1

mente crescente deste intervalo sobre o intervalo . A restrição daÒ"ß !Ófunção ao intervalo é uma bijecção estritamente crescente destecos Ò ß # Ó$

#1 1

intervalo sobre o intervalo .Ò!ß "ÓDem: Trata-se de uma consequência de e de , se repararmosAp1.17 Ap1.23que a aplicação é uma bijecção estritamente decrescente de> È # >1Ò ß # Ó Ò!ß Ó$# #1 11 sobre (com inversa definida pela mesma fórmula) e que a

aplicação é uma bijecção estritamente decrescente de sobre= È = Ò!ß "ÓÒ"ß !Ó (mais uma vez com inversa definida pela mesma fórmula).

– 168–

Ap1.26 Seja W § "‚ o conjunto dos complexos de módulo . Tem então lugaruma bijecção de sobre , definida porÒ!ß # Ò W1

> È Ð3>Ñ œ Ð>Ñ Ð>Ñ 3exp cos sin .

Dem: Já verificámos em ção toma valores em . ParaAp1.6 que esta aplica Wverificarmos que se trata de uma bijecção sobre , basta decompormosWÒ!ß # Ò E " Ÿ 5 Ÿ )1 como união de subconjuntos , , disjuntos dois a dois, tais5

que a restrição da aplicação a cada seja uma bijecção sobre umE5

subconjunto de , com os disjuntos dois a dois e de união .F W F W5 5

Definimos, para isso,

E œ Ö!× F œ Ö"×

E œ Ó!ß Ò F œ ÖD œ + ,3 − W ± + ! • , !×#

E œ Ö × F œ Ö3×#

E œ Ó ß Ò F œ ÖD œ + ,3 − W ± + ! • , !×#

E œ Ö × F œ Ö"×

E œ Ó ß Ò F œ ÖD œ + ,$

#

" "

# #

$ $

% %

& &

' '

, ,

, ,

, ,

, ,

, ,

,

1

1

11

1

11

3 − W ± + ! • , !×

E œ Ö × F œ Ö3×$

#

E œ Ó ß # Ò F œ ÖD œ + ,3 − W ± + ! • , !×$

#

,

, ,

, .

( (

) )

1

11

Reparando que, para , se , então e, se ,D œ + ,3 − W + œ ! , œ „" , œ !então , constatamos que os conjuntos são efectivamente disjuntos+ œ „" F5

dois a dois de união . Reparando, por outro lado, que, se , comW + ,3 − W+ œ Ð>Ñ , œ „ Ð>Ñcos sin, resulta de que , deduzimos das propriedadesAp1.8Ap1.17 Ap1.22 Ap1.24 Ap1.25, , e que as restrições da aplicação do enun-ciado a cada é efectivamente uma bijecção de sobre .E E F5 5 5