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GEOMETRIA NÃO EUCLIDIANA

Katrin GelfertNotas de cursoIM-UFRJ 2018-1

Conteúdo

Postulados de Euclides 1Problemas de E-5 21. Axiomas de Hilbert 41.1. Axiomas de incidência (“estar em”) 41.2. Axiomas de ordem (“estar entre”) 41.3. Axiomas de congruência 91.4. Axiomas de continuidade 112. Geometria neutra 112.1. Ângulos 113. Axioma dos paralelas e suas equivalências 163.1. Axiomas das paralelas 16Referências 17

Aviso: faremos geometria plana (embora discutiremos unsoutros modelos)

objetos comuns: ponto, reta, plano, pertencer ou incidên-cia, congruentesão conceitos primitivos que não se definem, pois qualquertentativa de definição utilizaria de outros conceitos quenão foram definidos previamente.

linguagem comun: um ponto A está na reta n ou a reta npassa por um ponto A ou a reta n contém o ponto A; duasretas n e m tem o ponto A em comum ou suas retas n em interceptam-se em A

Postulados de Euclides

Utilizamos conceitos primitivos sem definir-los. Não obs-tante, Euclides definiu eles em [4].

N1 Coisas que são iguais a uma mesma coisa sãoiguais entre si.

N2 Se iguais são adicionados a iguais, os resultadossão iguais.

N3 Se iguais são subtraídos de iguais, os restos sãoiguais.

N4 Coisas que coincidem uma com a outra sãoiguais.

N5 O todo é maior do que qualquer de suas partes.

Euclides fez os seguintes postulados, que são axiomas es-pecíficos da geometria plana.

Na lógica tradicional, um axioma ou postuladoé uma sentença ou proposição que não é provadaou demonstrada e é considerada como óbvia oucomo um consenso inicial necessário para aconstrução ou aceitação de uma teoria. Poressa razão, é aceite como verdade e serve comoponto inicial para dedução e inferências deoutras verdades (dependentes de teoria).Na matemática, um axioma é uma hipótese inicialde qual outros enunciados são logicamente deri-vados. Pode ser uma sentença, uma proposição,um enunciado ou uma regra que permite a con-strução de um sistema formal. Diferentementede teoremas, axiomas não podem ser derivadospor princípios de dedução e nem são demon-stráveis por derivações formais, simplesmenteporque eles são hipóteses iniciais. Isto é,não há mais nada a partir do que eles seguemlógicamente (em caso contrário eles seriamchamados teoremas). Em muitos contextos,"axioma", "postulado"e "hipótese"são usadoscomo sinônimos. [Wikipedia]

E-1 Pode-se traçar uma única reta ligando quais-quer dois pontos A e B distinctos, que denota-mos por

←→AB.

E-2 Para qualquer segmento AB e qualquer seg-mento CD existe um único ponto E tais que Bestá entre A e E e CD é congruente com BE.

Pode-se continuar (de uma única maneira)qualquer reta finita continuamente em umareta.

E-3 Para quaisquer dois pontos distinctos A e Bpode-se traçar um círculo com centro A e raioAB.

E-4 Todos os ângulos retos são dois a dois congru-entes.

1

2 GEOMETRIA NÃO EUCLIDIANA

E-5 (Postulado das paralelas de Euclides)Para qualquer reta ` e para qualquer ponto Aque não pertence na ` existe uma única reta mque contém A e que é paralela á `.

Problemas de E-5. Como verificar se retas são para-lelas? Verificando usando transversais se torna em umproblema logicamente equivalente com o E-5.

Tentativa d demonstração de E-5 por A.-M. Legendre.

QA

R' R

B

Pn

m

l

Seja P um ponto que não pertence `.Seja PQ a perpendicular de P a `.Seja m a reta passando P é perpendicular a

←→PQ. Como←→

PQ e perpendicular com ` e m, as retas são paralelas.Seja n qualquer reta passando P diferente com m e com←→PQ. Mostraremos que n intersepta `:Seja

−→PR um raio de n entre

−−→PQ e um raio de m com ori-

gem em P . Existe R′ no lado de−−→PQ oposto de R, tal que

∠QPR′ ∼= ∠QPR. Então Q está no interior de ∠RPR′.Como ` intersecta Q neste interio, ` deve intersectar umlado deste ângulo. Se intersecta

−→PR então ` intersecta n.

Seja A onde ` intersecta−−→PR′. Seja B o único ponto em−→

PR tal que PA ∼= PB. Então 4PQA ∼= 4PQB (LAL).Então ∠PQR é reto. Portanto B está em ` (e n) e inter-secta.Problemas !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!• o que significa “perpendicular”?• falta provar LAL (Lado-Ângulo-Lado)• definir “interior” de ângulo• mostrar que uma reta passando o interior de um

ângulo intersecta um dos lados!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! �

Não somente na tentativa de mostrar que E-5 segue dosoutros postulados aparecem problemas. A tentativa demostrar o seguinte também tem problemas.

Proposição 0.1. Em um triângulo isósceles os ân-gulos da base são congruentes.

A D B

C

Tentativa de demonstração. Seja 4ABC com AC ∼= BC.1. Seja D o ponto onde a bissetriz relativa ao vérticeC intersecta AB. (todo ângulo tem uma bissetriz )

2. em 4ACD e 4BCD, AC ∼= CB (hipótese)3. ∠ACD ∼= ∠BCD (definição de bissetriz de ângulo)4. CD ∼= DC (coisa igual é congruente)5. 4ACD ∼= 4BCD (LAL)6. ∠A ∼= ∠B (ângulos de triangulos congruentes)

mostrando a proposição.

Problemas !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!• ainda não foi definido segmento• ainda não foi definido triângulo• item 1.: existência da bissetriz, é de fato proposição

(precisamos mostrar)• D está bem definida?• D estrá “entre” A e B?

!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! �

GEOMETRIA NÃO EUCLIDIANA 3

1. Axiomas de Hilbert

Problemas dos postulados de Euclides• ainda não foi mostrado a existência de pontos e re-

tas• ainda não foi mostrado que nem todos pontos são

colineares• ainda não foi mostrado que toda reta tem pelo me-

nos dois pontos nela• ainda não definimos “estar entre”

O sistema de axiomas de Hilbert não foi o primeiro, mastalvez o mais intuitivo e mais próximo com o de Euclides.

1.1. Axiomas de incidência (“estar em”). .

I-1 Pode-se traçar uma única reta ligando quais-quer dois pontos A e B distinctos, que denota-mos por

←→AB.

I-2 Em qualquer reta ` existem pelo menos doispontos distintos.

I-3 Existem três pontos distintos tais que nenhumareta contém todos os três.

Notamos que I-1=E-1.

Exercício 1.1. Utilizando apenas os axiomas de incidên-cia I-1–3, mostre que• Existem retas.• Dado `, existe um ponto em `.• Dado `, existe um ponto não em `.• Existem pontos não colineares.• Qualquer reta tem pelo menos dois pontos.

Com os axiomas de incidência I-1–3 se pode mostrar poucacoisa:

Proposição 1.2. Se ` e m são retas distintas nãoparalelas, então tem um único ponto comum.

Demonstração. sejam ` e m retas não paralelas, i.e. ` em se interceptam, i.e. ` e m tem um ponto A em comum.por contradição, supomos que existe um ponto B diferentede A contido em ` e m.(I-1) ⇒ existe única reta ligando

←→AB, contradição. �

Proposição 1.3. Para qualquer reta existe pelo me-nos um ponto que não está contida nela.

Demonstração. seja ` uma reta. pelo I-3, existem trêspontos A,B,C distintos tais que nenhuma reta contém

eles. em particular ` não contém todos os três pontos, i.e.existe um, digamos A, que não está em `. �

Proposição 1.4. Para qualquer ponto existe pelo me-nos uma reta que não o contém.

Demonstração. seja A um ponto.(I-3) ⇒ existem três pontos distintos C,D,E tais que ne-nhuma reta contém todos os três. pelo menos dois deles,digamos C,D, é distinto com A.(I-1) ⇒ pode-se traçar uma única reta ` =

←→CD.

caso A 6∈←→CD: terminamos.

caso A ∈←→CD:

(I-1) ⇒←→AC =

←→AD =

←→CD = `

como nenhuma reta contém simultaneamente C,D e E,segue A 6= E.(I-1) ⇒ ` é a única reta ligando e portanto A 6∈

←→ED �

Proposição 1.5. Para qualquer ponto existem pelomenos duas retas que o contém.

Demonstração. �

Exemplo (geometria esférica). esféra, ponto=pontos,reta=círculos na esféra, incidência=usual. não há parale-las. I-1 não satisfeito: passam infinitas retas (i.e. círculos)pelo polo norte A e polo sul B.

Exemplo. pontos=as letras A,B,C,D. retas=todos con-juntos {A,B},...,{C,D}. incidência=propriedade de inci-dir. mostrar que este modelo satisfaz axiomas I-1–3 e E-5.

1.2. Axiomas de ordem (“estar entre”).

Definição. Notamos A∗B ∗C se B está entre of pontosA e C.

Os seguintes são os axiomas de ordem (B=between):

B-1 Se A ∗ B ∗ C, então A,B,C são três pontosdistintos na mesma reta. E vale C ∗B ∗A.

B-2 Dado pontos distintos B e D, existem entãopontos A, C, e D na reta

←→BD tais que A∗B∗D,

B ∗ C ∗D e B ∗D ∗ E.B-3 Se A,B,C são três pontos distintos na mesma

reta, exatamente um deles está entre os outrosdois.

A B C D E


Definição. Um segmento AB são os pontos A e B etodos os pontos C tais que A ∗ C ∗B.Um raio

−−→AB são o segmento AB e todos os pontos C na

reta←→AB tais que A ∗ B ∗ C. B-2 garante a existência de

tais ponto C.

Comentário. B-3 exclua o Exemplo 1.1.

Proposição 1.6. Para quaisquer pontos distintos Ae B tem-se

1.−−→AB ∩

−−→BA = AB

2.−−→AB ∪

−−→BA =

←→AB

Demonstração do Item 1. .AB ⊂

−−→AB, AB ⊂

−−→BA ⇒ AB ⊂

−−→AB ∩

−−→BA.

seja C ∈−−→AB ∩

−−→BA. mostraremos C ∈ AB:

C ∈−−→AB ⇒ ou C ∈ AB ou A ∗B ∗ C

C ∈−−→BA⇒ ou C ∈ BA = AB ou B ∗A ∗ C

observamos que A,B,C estão na mesma retase C = A segue C ∈ ABse C = B segue C ∈ ABse B 6= C 6= A, como A 6= B, pelo B-3 apenas uma dasrelações A ∗ C ∗B ou A ∗B ∗ C ou C ∗A ∗B valeportanto vale A ∗ C ∗B e portanto C ∈ AB. �

Proposição 1.7. Se A ∗B ∗ C, então tem-se1.−−→BA ∩

−−→BC = {B}.

2. Se X ∈−−→BC \ {B}, então X 6∈

−−→BA.

Demonstração. �

Proposição 1.8. Tem-se1. Se A ∗B ∗ C e B ∗ C ∗D, então tem-se

(a) A ∗B ∗D(b) A ∗ C ∗D.

2. Se A ∗B ∗ C e B ∗D ∗ C, então A ∗B ∗D.

Demonstração do Item 1(a). .B ∗ C ∗D∧(B-3)⇒ não vale B ∗D ∗ C⇒ D 6∈ BCB ∗ C ∗D ⇒ B 6= C,B 6= D,C 6= DB ∗ C ∗D ⇒ B,C,D colinear numa reta rA ∗B ∗ C ⇒ A,B,C colinear numa reta t⇒ r = t e portanto A,B,D colinear(B-3)⇒ (A ∗B ∗D ∨A ∗D ∗B ∨D ∗A ∗B)

B ∗ C ∗D ⇒ D ∈−−→BC←→

AB =−−→AB ∪

−−→BA ∨D 6= B ⇒ D 6∈

−−→BA

⇒ não valendo D ∗A ∗B

A ∗D ∗B ⇔ (D ∈ AB ∧D 6= B ∧D 6= A)

AB =−−→AB ∩

−−→BA

D 6∈−−→BA⇒ não valendo A ∗D ∗B

⇒ A ∗B ∗D �

Podemos definir corretamente os seguintes conceitos.

Definição. Dois raios−−→AB e

−→AC são opostas se

• são distintas,• tem o mesmo origem,• e pertencem a mesma reta

←→AB =

←→AC.

Um ângulo com vértice é um ponto A com dois raios dis-tinctos não-opostos

−−→AB e

−→AC; que denotamos por ∠A ou

∠BAC ou ∠CAB. Se dois ângulos ∠BAD e ∠CAD temum lado comum

−−→AD e os outros lados

−−→AB e

−→AC são raios

opostas, então chamamos estes ângulos suplementares.

Definição. Seja ` uma reta e A,B pontos que não estãoem `. Dizemos que A e B estão no mesmo lado de ` se• ou A = B• ou AB não intersecta `.

Caso contrário (se A 6= B e AB intersecta `) dizemos queA e B estão em lados diferentes ou em lados opostosde `.

B-4 Para toda reta ` e para quaisquer pontosA,B,C que não pertencem em ` tem-se:(i) se A e B estão no mesmo lado de ` e B e

C estão no mesmo lado de `, então A e Cestão no mesmo lado de `.

(ii) se A e B estão em lados diferentes de ` e Be C estão em lados diferentes de `, entãoA e C estão no mesmo lado de `.

l

A BC l

A

B

C

Comentário. B-4 implica geometria “plana” (não vale em3 dimensões)Estar no mesmo lado é uma relação de equivalência nocomplemento de `: para A,B 6∈ ` define-se A ∼` B se, esomente se, A está no mesmo lado como B.Valem as propriedades de relação de equivalência:• A ∼` A (reflexividade: pela definição)• A ∼` B ⇔ B ∼` A (simetria: segue da definição)• A ∼` B ∧ B ∼` C ⇒ A ∼` C (transitividade:

B-4(i))Portanto ∼` define classes de equivalência (os classessão os “lados” da reta `)

.


Proposição 1.9. Se A e B estão em lados diferentesde ` e B e C estão no mesmo lado de `, então A e Cestão em lados diferentes de `.

Demonstração. hipotese A 6∼` B e B ∼` C.Queremos mostrar A 6∼` C.Por contradição: Supondo que A ∼` C.B ∼` C ⇒ C ∼` BA ∼` C ∧ C ∼` B ⇒ A ∼` B (B-4(i))contradição com a hipotese A 6∼` B. �

podemos falar de semi-plano limitado pela reta.

Definição. Dado uma reta ` e um ponto A que não estáem ` (pela Proposição 1.3, tais pontos existem) definimoso semi-plano limitado por ` que contém A o con-junto dos pontos que estão no mesmo lado de ` como A,denotamos por H`(A), i.e.

H`(A) := {B : B ∼` A}

é a classe de equivalência (rel. `) que contém A.

Em particular H`(A) não contém pontos de `.Pelo seguinte resultado, existem exatamente duas classesde equivalência, que agora justifiquem os termos semi -plano e lado oposto.

Proposição 1.10. Para qualquer reta existem exata-mente dois semi-planos limitado por ela que não temnenhum ponto em comum.

Demonstração. seja ` uma reta.existe um ponto A que não está em ` (Proposição 1.3)existe um ponto O em ` (I-2)existe B tal que B ∗O ∗A (B-2)⇒ A 6= B e AB intersecta `⇒ A 6∼` Bportanto ` tem (pelo menos dois) lados diferentesbasta mostrar que não há mais do que dois lados diferentes

seja então C 6∈ ` um ponto qualquer.Caso C = A: ⇒ C ∼` ACaso C = B: ⇒ C ∼` BCaso C 6∼` B: ⇒ B 6∼` CA 6∼` B ∧B 6∼` C∧(B-4ii) ⇒ A ∼` C ⇒ C ∼` Ada forma análoga: Caso C 6∼` A⇒ C ∼` B: �

Teorema 1.11 (Teorema de Pasch). Sejam A,B,Ctrês pontos distinctas não colineares e uma reta ` (noplano determinado por estes três pontos) que não con-tém nenhum destes três pontos. Se ` intersecta AB,então também intersecta ou AC ou BC.

AC

B

Demonstração. .hipóteses: A,B,C 6∈ ` ∧A 6= B ∧AB ∩ ` 6= ∅⇒ A e B em lados opostos de `C 6∈ `⇒ C ∼` A ∨ C ∼` BCaso C ∼` A:A 6∼` B ∧ Proposição 1.9 ⇒ C 6∼` B⇒ CB intersecta `da forma análoga: Caso C ∼` B ⇒ CA intersecta `. �

Proposição 1.12. Se A ∗ B ∗ C, D ∈ AC, D 6∈{A,B,C}, então ou A ∗D ∗B ou B ∗D ∗ C.

Demonstração. .A ∗B ∗ C∧ (B-1) ⇒ A,B,C colinear numa reta `D ∈ AC ⊂

←→AC = `⇒ D ∈ `

Proposição 1.5 ⇒ existe reta m 6= ` com B ∈ mA ∗B ∗ C ⇒ B ∈ ACB ∈ AC ∧B ∈ m⇒ A 6∼m C

D ∈ AC ⊂←→AC = ` ∧D 6= B ∧m 6= `⇒ D 6∈ m

⇒ ou A ∼m D ou C ∼m DCaso A ∼m D:⇒ não valendo A ∗B ∗D⇒ não valendo D ∗A ∗B(por contradição: D ∗A ∗B ∧A ∗B ∗C ⇒ D ∗A ∗C, emcontradição com D ∈ AC e portanto A ∗D ∗ C)⇒ valendo A ∗D ∗Bda forma análoga: Caso C ∼m D ⇒ B ∗D ∗ C �

Proposição 1.13. Dado A ∗ B ∗ C, então tem-seAC = AB ∪BC

Demonstração. .A ∗B ∗ C∧ (B-1) ⇒ A,B,C colinear distinctos na reta `AC = {A,C} ∪ {todos D ∈ ` tais que A ∗D ∗ C}⇒ B ∈ AC


AF: AB ∪BC ⊂ ACusando A ∗B ∗ C,∀D,A ∗D ∗B ⇒ A ∗D ∗ C ⇒ D ∈ AC∀D,B ∗D ∗ C ⇒ A ∗D ∗ C ⇒ D ∈ AC⇒ AB ∪BC ⊂ ADAF: AC ⊂ AB ∪BCProposição 1.3 ⇒ ∃E 6∈ `(I-1) ⇒

←→BE =: m 6= `

⇒ A 6∈ m,C 6∈ m∀D 6= B,A ∗D ∗ C ⇒ D 6∈ mcaso D ∼m A⇒ A ∗D ∗Bcaso D ∼m C ⇒ B ∗D ∗ C⇒ AC ⊂ AB ∪BC �

Proposição 1.14. Dado A∗B∗C, então B é o únicoponto comum em AB e BC.

Demonstração. .Proposição 1.13 ⇒ AC = AB ∪BCPor contradição: seja D 6= B, D ∈ AB ∩BC.Caso D = A:A ∗B ∗ C ⇒ D ∗B ∗ C ⇒ D 6= B ∧D 6= CD ∈ BC ⇒ B ∗D ∗ C, contradição. ⇒ D 6= Ada forma análogo: D 6= CD 6= B ∧D 6= C ∧D ∈ BC ⇒ B ∗D ∗ CD 6= B ∧D 6= A ∧D ∈ AB ⇒ A ∗D ∗BA ∗B ∗ C ∧B ∗D ∗ C∧ Proposição 1.8 ⇒ A ∗B ∗D(B-3) ⇒ contradição. �

Proposição 1.15. Dado A ∗ B ∗ C, então B é oúnico ponto comum aos dois raios

−−→BA e

−−→BC e tem-se−−→

AB =−→AC.

Demonstração. �

Definição. Dado um ângulo ∠CAB, um ponto D estáem seu interior se D está no mesmo lado de

←→AC como B

e se D está no mesmo lado de←→AB como C.

A

C

D

B

Dado três pontos não colineares, o interior de um tri-ângulo 4ABC é a interseção do interiores dos seus trêsângulos ∠ABC, ∠BCA e ∠CAB.Um raio

−−→AD está entre raios

−→AC e

−−→AB se

−−→AB e

−→AC não

estão opostas e se D está no interior de ∠CAB.

Proposição 1.16. Dado um ângulo ∠CAB e umponto D na reta

←→BC, então D está no interior de

∠CAB se e somente se B ∗D ∗ C.

A

C

D

B

Demonstração. ⇒:(B-3) ⇒ tem-se ou D ∗B ∗ C ou B ∗ C ∗D ou B ∗D ∗ Csejam ` =

←→AB e m =

←→AC

D ∗B ∗ C ⇒ D 6∼` C⇒ D não está no interior como deveria.

B ∗ C ∗D ⇒ D 6∼m B⇒ D não está no interior como deveria.

⇒ B ∗D ∗ C.

⇐: ... exercício �

Teorema 1.17 (Teorema de barras cruzadas). ParaA,B,C quaisquer pontos não-colineares e D um pontono interior de ∠CAB, o raio

−−→AD intersecta BC.

Demonstração.

C

B

DG

A

l

c

b

C'

c =←→CA e b =

←→BA

hipoteses: B /∈ c, C /∈ b (pontos não colinear),D 6∈ c, D 6∈ b, D ∼c B, D ∼b C,D 6= A (D no interior de ∠CAB)

` =←→AD

C 6= D ∧B 6= D∧ (I-1) ⇒ c ∩ ` = {A} = b ∩ `C 6∈ `, B 6∈ ` (C 6= A 6= B)(B-2) ⇒ ∃C ′ ∈ c tal que C ′ ∗A ∗ CC ′ 6= A e C ′ 6∼` C ⇒ C ′ 6∈ `Agora usamos o seguinte fato.


Proposição 1.18. Para pontos A,B,C não-colineares eD no interior de ∠CAB e C ′ ∗ A ∗ C, tem-se que B estáno interior de ∠DAC ′.

Proposição 1.18 ⇒ B ∼` C′

B ∼` C′ ∧ C ′ 6∼` C ∧ (B-4(ii)) ⇒ B 6∼` C

BC intersecta ` ⇒ ∃G ∈ ` ∩BC, C ∗G ∗BProposição 1.16 ⇒ G está no interior de ∠CAB �

1.3. Axiomas de congruência. congruência entre seg-mentos e ângulos e entre triângulos, quadriláteros, pentá-gos, etc.

C-1 Se A e B são pontos distintos, paraqualquer ponto A′ e em qualquer raiocom origem A′ existe um único pontoB′ tal que B′ 6= A′ e AB ∼= A′B′.

A

A'

C

C' B'

B

C-2 Se AB ∼= CD então CD ∼= AB. Se AB ∼= CDe CD ∼= EF , então AB ∼= EF . Tem-seAB ∼= AB e AB ∼= BA.

C-3 Se A ∗ B ∗ C e A′ ∗ B′ ∗ C ′ e AB ∼= A′B′ eBC ∼= B′C ′, então AC ∼= A′C ′.

C-4 Para qualquer ângulo ∠BAC e qualquer raio−−−→A′B′ existe um único raio

−−→A′C ′ num lado es-

pecificado dele tal que ∠B′A′C ′ ∼= ∠BAC.C-5 Se ∠A ∼= ∠B e ∠B ∼= ∠C, então ∠A ∼= ∠C. Se

∠A ∼= ∠B então ∠B ∼= ∠A. Tem-se ∠A ∼= ∠A.

Definição. Dado pontos distintos A,B,C e pontos dis-tintos A′, B′, C ′ dizemos que 4ABC ∼= 4A′BC ′ se AB ∼=A′B′, BC ∼= B′C ′, CA ∼= C ′A′, ∠ABC ∼= ∠A′B′C ′,∠BCA ∼= ∠B′C ′A′, ∠CAB ∼= ∠C ′A′B′.

C-6 (LAL) Para qualquer 4ABC e 4A′B′C ′ taisque AB ∼= A′B′, BC ∼= B′C ′ e ∠ABC ∼=∠A′B′C ′ tem se 4ABC ∼= 4A′B′C ′.

Proposição 1.19. Para qualquer 4ABC e segmentoDE ∼= AB, existe um único ponto F num lado da reta←→DE tais que 4ABC ∼= 4DEF .

A

B

C

D

E

F

Demonstração. .(C-4) ⇒ ∃

−−→DF tal que ∠CAB ∼= ∠FDE

(C-1) ⇒ ∃F tal que AC ∼= DF(C-6 LAL) ⇒ 4ABC ∼= 4DEF �

Comentário. existe um modelo que satisfaz todas as axi-omas menos C-5 (LAL) mostrando que este não pode serimplicado dos axiomas anteriores.

Definição. Dizemos que AB < CD (ou CD > AB) seexiste E tais que C ∗ E ∗D e AB ∼= CE.Dizemos que ∠ABC < ∠DEF (ou ∠DEF > ∠ABC)se existe G tais que

−−→EG está no interior de ∠DEF e

∠ABC ∼= ∠DEG.

Proposição 1.20. .• Vale apenas uma das seguintes relações:

– AB < CD ou– AB ∼= CD ou– AB > CD.

• Se AB < CD e CD ∼= EF , então AB < EF .• Se AB > CD e CD ∼= EF , então AB > EF .• Se AB < CD e CD < EF então AB < EF .

Proposição 1.21. Se A∗B∗C, D∗E∗F , AB ∼= DE,AC ∼= DF , então BC ∼= EF .

Proposição 1.22. Vale apenas uma das seguintes re-lações:• ∠ABC < ∠DEF ou• ∠ABC ∼= ∠DEF ou• ∠ABC > ∠DEF .

Proposição 1.23. Se em 4ABC tem-se AB ∼= AC,então ∠B ∼= ∠C.

Demonstração. [Pappus A.D. 300]


A

B C

Identificamos os vértices A com A, B com C, C com B.assim, com a hipótese AB ∼= AC, os lados de 4ABC sãocongruentes com os lados identificados de 4ACB.(C-5) ⇒ ∠CAB ∼= ∠BAC(C-6 LAL) ⇒4ABC ∼= 4ACB⇒ ∠B = ∠C �

Proposição 1.24 (ALA). Para quaisquer 4ABC e4DEF com ∠A ∼= ∠D, ∠B ∼= ∠F , AB ∼= DF , tem-se então 4ABC ∼= 4DEF .

Demonstração.

A B

C

D

E

F

G

hipóteses: ∠A ∼= ∠D, ∠B ∼= ∠F , AB ∼= DF

(C-1) ⇒ ∃!G ∈−−→DE tal que AC ∼= DG

(LAL) ⇒4ABC ∼= 4DFG⇒ ∠DFG ∼= ∠B(C-4)⇒

−−→FE =

−−→FG

⇒ G = E⇒4ABC ∼= 4DEF �

Proposição 1.25. Se em 4ABC tem-se ∠A ∼= ∠B,então AC ∼= BC.

Demonstração. usaremos o truque de Pappus.

A B

C

AB

C

hipóteses: ∠CAB ∼= ∠CBA, ∠CBA ∼= ∠CABAB ∼= BA (mesmo segmento)(ALA) ⇒4ABC ∼= 4BCA �

Definição. Um ângulo é reto se existe um ângulo suple-mentar com o qual é congruente.

Proposição 1.26. Ângulos suplementares de ânguloscongruentes são congruentes.

Proposição 1.27. Qualquer ângulo congruente comum ângulo reto é reto.

Proposição 1.28. Quaisquer par de ângulos retossão congruentes.

Proposição 1.28 é postulado E-4 de Euclides.

Definição. Duas retas ` em são perpendiculares se elesintersectam num ponto A tais que existem raios

−−→AB ⊂ `

e−→AC ⊂ m tais que ∠BAC é reto.

lB

A

C

Proposição 1.29 (Existência da perpendicular).Para qualquer reta ` e qualquer ponto P existe umareta perpendicular com `.

Demonstração (caso P 6∈ `). .

A Q

P'

X

Bl

P

(I-2) ⇒ ∃A,B ∈ `(C-4)⇒ no lado de ` oposto com P existe raio

−−→AX tal que

∠XAB ∼= ∠PAB


(C-1) ⇒ ∃P ′ ∈−−→AX tal que AP ′ ∼= AP

definição de lado oposto de ` ⇒ PP ′ intersecta ` em umponto Q

Caso Q = A:⇒−−→PP ′ ⊥ ` (com ∠XAB ∼= ∠PAB e definição de ⊥)

Caso Q 6= A:(LAL) ⇒4PAQ ∼= 4P ′AQ⇒ ∠PQA ∼= ∠P ′QAdefinição de ⊥ ⇒

←−→PP ′ ⊥ ` �

Demonstração no caso P ∈ `. .∃A 6∈ `,⇒ existe reta passando A perpendicular com `(C-4) ⇒ existe ângulo em P congruente com esse e comlado `

�

Definição. Dado dois pontos O e A, o conjunto de todosos pontos P tais que o segmento OP é congruente como segmento OA é chamado círculo, chamamos O o seucentro e OA o seu raio.

1.4. Axiomas de continuidade. Mais um axioma - o decontinuidade - será necessário para fazer o seguinte pro-posição de Euclides rigorosa.

Proposição 1.30. Dado qualquer segmento AB,existe um triângulo equilátero com um (qualquer) ladocongruente com AB.

Demonstração. ver figura

A B

C

A existência do ponto de interseção dos dois circulos seguedo seguinte axioma. �

Axioma de Continuidade de DedekindSupondo que o conjunto de todos os pontos deuma reta ` é a união disjunta Σ1 ∪ Σ2 de doisconjuntos não-vazios tal que nenhum ponto dequalquer um deles está entre dois pontos do ou-tro, Então existe um único ponto O em ` talque Σ1 é um raio em ` com origem em O e Σ2

é o seu raio oposto.

2. Geometria neutra

A geometria neutra é aquela que satisfaz os axiomas deincidência, ordem, congruência e continuidade de Hilbert,mas não aquele das paralelas.Estudar geometria neutra não tem primeiramente inte-resse intrinsica, mas mostra a importância e necessidadedo axioma das paralelas.

2.1. Ângulos.

Definição. Uma reta ` é transversal com retas n e mse ` intersecta n e m em pontos distinctos.Dado uma reta ` transversal com retas n e m, definimosângulos interno e ângulos alternos internos (ver fi-gura).

n

m

l

Duas retas são paralelas se eles não se intersectam.

Teorema 2.1. Se duas retas cortadas por uma retatransversal tem um par de ângulos alternos internoscongruentes, então elas são paralelas.

Demonstração. Ver figura.

l

l

EA

B'

C'

CBA

?D

t'

Por contradição, supomos que ` 6‖ `′, i.e. ` e `′ intersec-tam num ponto D, digamos no mesmo lado do transversalt como C e C ′ que são pontos em ` e `′, respectivamente.(C-1) ⇒ ∃E ∈

−−−→B′A′ tal que B′E ∼= BD

(LAL)⇒4B′BD ∼= 4BB′E⇒ ∠DB′B ∼= ∠EBB′∠DB′B é suplementar a ∠EB′B∠ABB′ é suplementar a ∠DB′B(Proposição 1.26) ⇒ ∠ABB′ ∼= ∠DB′B⇒ ∠ABB′ ∼= ∠EBB′⇒ E ∈ `⇒ `, `′ tem pontos E e D em comum.(I-1) ⇒ ` = `′, contradição.⇒ ` ‖ `′ �


Corolário 2.2. Duas retas perpendiculares a umaterceira, são paralelas.

Demonstração. Duas retas perpendicular a uma reta temângulos alternos internos que são retos, portanto congru-entes (Proposição 1.28). �

Corolário 2.3 (Existência de única perpendicular).Portanto dado uma reta ` e um ponto P 6∈ `, existeuma única reta perpendicular com ` contendo P .

Corolário 2.4. Para qualquer reta ` e qualquer pontoP 6∈ `, existe pelo menos uma reta `′ contendo P e pa-ralela com `.

Demonstração. t

l

l'P

(Corolário 2.3) ⇒ ∃!t tal que P ∈ t, t ⊥ `(Proposição 1.29) ⇒ ∃`′ tal que P ∈ `′, `′ ‖ t(Corolário 2.2) ⇒ ` ‖ `′ �

Atenção: Não usar:Se duas retas são paralelas, então os ângulos alternos

internos de uma transversal são congruentes.Este fato é equivalente ao axioma das paralelas.

Definição. (ver figura)

A

B

COs ângulos ∠A e ∠B são os ângulos não adjacentes eo ângulo ∠C é ângulo exterior do triângulo 4ABC.

Teorema 2.5 (Teorema do ângulo externo). Um ân-gulo exterior de um triângulo é maior do que qualquerum dos ângulos a ele não adjacentes.

Demonstração. Mostraremos primeiro ∠ACD > ∠A:

B C

A

D

E

G

F

(Proposição 1.22) ⇒ há apenas 3 casos possíveis:1) ∠A ∼= ∠ACD2) ∠ACD < ∠A3) ∠A < ∠ACD

Caso 1): (Teorema 2.1) ⇒←→AB ‖

←→CD

contradição: estas retas intersectam em B

Caso 2):⇒ ∃−→AE entre

−−→AB e

−→AC tal que ∠ACD ∼= ∠CAE

(Teorema 2.1) ⇒←→AE ‖

←→CD

(Teorema de barras cruzadas)⇒−→AE intersecta BC em G

Contradição!⇒−→AE intersecta

←→CD

contradição.⇒ Caso 3)Mostramos agora ∠B < ∠ACD:mostrar primeiro ∠ACD ∼= ∠BCFdepois aplicar argumentos análogos. �

Comentário. O Teorema do ângulo externo não vale nageometria esférica. Ele foi baseado no Teorema 2.1 queimplica a existência de paralelas, mas na esfera não háparalelas.

Proposição 2.6 (LAA). Dado três pontos não co-lineares A,B,C e três pontos não colineares D,E, Ftais que AC ∼= DF , ∠A ∼= ∠D e ∠B ∼= ∠E, entãotem-se 4ABC ∼= 4DEF .

A B

C

D E

F

.

Proposição 2.7 (Ponto médio). Para qualquer seg-mento AB existe um único C tais que A ∗ C ∗ B eAC ∼= CB


Proposição 2.8 (Bisector). Todo ângulo tem umúnico bisector. Todo segmento tem um único bisec-tor perpendicular.

Finalmente vamos “medir” ângulos, usando fortemente oaxioma de continuidade.

Teorema 2.9. Existe uma única maneira de asso-ciar a medida (o seu grau) ◦ de um ângulo tais que osseguintes propriedades estão satisfeitos:

(0) (∠A)◦ é número real tal que 0 < (∠A)◦ < 180◦

(1) (∠A)◦ = 90◦ se e somente se ∠A é reto.(2) (∠A)◦ = (∠B)◦ se e somente se ∠A ∼= ∠B(3) se

−→AC está no interior de ∠DAB, então

(∠DAB)◦ = (∠DAC)◦ + (∠CAB)◦

(5) se ∠B é suplementar com ∠A, então (∠B)◦ =180◦ − (∠A)◦.

(6) (∠A)◦ < (∠A)◦ se e somente se ∠A < ∠B.(4) Para qualquer número real α entre 0 e 180

existe um ângulo ∠A tal que (∠A)◦ = α◦.Dado um segmento OI (declarado segmento unitário),existe uma única maneira de associar a cada segmentoAB o seu comprimento AB tais que os seguintes pro-priedades estão satisfeitos:

(7) AB é número real positivo. Tem-se OI = 1.(8) AB = CD se e somente AB ∼= CD.(9) A ∗ B ∗ C se e somente se A,B,C estão em

uma reta em comum e AC = AB +BC.(10) AB < CD se e somente se AB < CD(11) Para qualquer que seja o número positivo real

x existe um segmento AB tal que AB = x.

Definição. Um ângulo ∠A é• agudo se (∠A)◦ < 90◦ e• obtuso se (∠A)◦ > 90◦.

Proposição 2.10. Num triângulo, o ângulo maiorestá oposto do segmento maior e o segmento maiorestá oposto do ângulo maior, i.e. AB > BC se esomente se ∠C > ∠A.

O seguinte é uma consequência do Teorema de ângulo ex-terno e do teorema anterior e será essencial para mostraro Teorema de Saccheri-Legendre.

Corolário 2.11. A soma dos graus de quaisquer doisângulos em um triângulo é menor do que 180◦.

Demonstração. (ver figura)

A

B

C D(Teorema 2.5) ⇒ ∠A < ∠BCD, ∠B < ∠BCD(Teorema 2.9 (6)) ⇒ max{(∠A)◦, (∠B)◦} < (∠BCD)◦

(Teorema 2.9 (5)) ⇒ (∠BCD)◦ = 180◦ − (∠C)◦

⇒

(∠A)◦ + (∠C)◦ < (∠BCD)◦ + (∠C)◦ = 180◦

outros ângulos análogo. �

Corolário 2.12 (Desigualidade triângular). SeA,B,C são pontos não colineares, então tem-se

AC < AB +BC.

Demonstração. existe único D tal que A ∗B ∗D e BD ∼=BC (C-1 em raio com origem B oposto de

−−→BA)

A B

C

D⇒ BD = BC (Teorema 2.9 (2))⇒ ∠BCD ∼= ∠BDC (ângulos base de triângulo isósceles)

⇒ AD = AB +BD (Teorema 2.9 (9))⇒ AD = AB +BC−−→CB está entre

−→CA e

−−→CD

⇒ ∠ACD > ∠BCD ∼= ∠ADC⇒ AD > AC (Proposição 2.10 no 4ACD)⇒ AD > AC (Teorema 2.9 (6))⇒ AB +BC > AC (Teorema 2.9 (10)) �

Teorema 2.13 (Saccheri-Legendre). A soma dosgraus dos três ângulos num triângulo é menor ou iguala 180◦.

Demonstração. por contradição, supomos que a soma é180◦ + p◦ para um tal p > 0.


A

B

C

D

E

Truque: seja D pondo médio em BC

seja E em−−→AD tal que A ∗D ∗ E e AD ∼= DE

⇒4BDA ∼= 4CDE⇒ (∠EAC)◦ + (∠AEC)◦ = (∠BAC)◦

⇒ soma dos ângulos em 4AEC = soma em 4ABCtem-se ou

(∠EAC)◦ ≤ 1

2(∠BAC)◦

ou

(∠AEC)◦ ≤ 1

2(∠BAC)◦

Construimos dessa maneira um triângulo com soma degraus de ângulos internos igual a 180◦ + p◦ mas com umângulo ≤ 1

4 (∠A)◦ etc.Desta forma, usando também o axioma de continuidade,obtemos um triângulo cuja soma de graus de ângulos in-ternos igual a 180◦ + p◦ e que tem um ângulo arbitrári-amente pequeno, digamos, menor do que p◦. portanto asoma dos outros dois é maior do que 180◦, em contradiçãocom Corolário 2.11. �

Corolário 2.14. A soma dos graus de dois ângulosnum triângulo é menor ou igual ao grau do ângulo ex-terno não adjacente, i.e. (∠A)◦+(∠B)◦ ≤ (∠BCD)◦.

A

B

C D

Definição. dado dois pontos A,B definimos o conjunto(A,B) sendo o conjunto dos pontos D ∈

←→AB satisfazendo

A ∗D ∗B.

Definição. Sejam A,B,C,D pontos dos quais não hátrês deles que são colinear. Definimos o quadrilátero�ABCD sendo a união dos segments AB,BC,CD,DAtais que (A,B) ∩ (C,D) = ∅ e (B,C) ∩ (A,D) = ∅.Dizemos que um quadrilátero �ABCD é convexo seA ∈ int∠BCD, B ∈ int∠CDA, C ∈ int∠DAB, D ∈int∠ABC.

B

C

D

A

Corolário 2.15. A soma dos graus dos ângulos numquadrilátero convexo é menor ou igual a 360◦.

Demonstração.

B

C

D

A

tem-se então(∠B)◦ + (∠BAC)◦ + (∠ACB)◦ ≤ 180◦

(∠D)◦ + (∠DAC)◦ + (∠ACD)◦ ≤ 180◦

portanto com Teorema 2.9 (3), se−→AC está no interior de

∠BAD (C está no interior de ∠BAD) e se−→CA está no

interior de ∠BCD (A está no interior de ∠BCD), então(∠BAC)◦ + (∠DAC)◦ = (∠BAD)◦

(∠ACB)◦ + (∠ACD)◦ = (∠BCD)◦

e portanto

(∠B)◦ + (∠D)◦ + (∠BAD)◦ + (∠BCD)◦ ≤ 360◦

�


3. Axioma dos paralelas e suas equivalências

3.1. Axiomas das paralelas. .

E-5’ (Postulado das paralelas de Hilbert) Paraqualquer reta n e para qualquer ponto A quenão pertence na n existe no máximo uma retam que contém A e que é paralela a n.

Comentário. Existência de “pelo menos” uma tal reta jána geometria neutra (Corolário 2.4).A geometria “esférica” não é consistente com uma tal geo-metria (não existem paralelas).

Exemplo (Plano Euclidiano).

Lembramos o

E-5 (Axioma das paralelas de Euclides) Paraqualquer reta ` e para qualquer ponto A quenão pertence na ` existe uma única reta m quecontém A e que é paralela á `.

Teorema 3.1. Na geometria neutra são equivalentes:• (E-5’)• (E-5).

Nos reformulamos este postulado usando os termos defini-dos anteriormente.

E-5” Se duas retas estão intersectadas por uma retatransversalmente tal que a soma dos graus dosdois ângulos internos num lado da transversalé menor do que 180◦, então as duas retas in-tersectam neste lado da transversal.

Teorema 3.2. Na geometria neutra são equivalentes:• (E-5”)• (E-5’).

Demonstração. ⇒: Supomos (E-5’).

B

B' C' 2

13

m

l

Sejam m e ` transversal cortado e (∠1)◦ + (∠2)◦ < 180◦.(Teorema 2.9 ângulos supl.) ⇒ (∠1)◦ + (∠3)◦ = 180◦

⇒ (∠2)◦ < 180◦ − (∠1)◦ = (∠3)◦

(C-4) ⇒ ∃! raio−−−→B′C ′ tal que ∠3 ∼= ∠C ′B′B←−→

BB′ é transversal com←−→B′C ′ e transversal com `

⇒ ∠C ′B′B e ∠3 são internos alternados congruentes(Teorema 2.1) ⇒

←−→B′C ′ ‖ `

(∠2)◦ 6= (∠3)◦ ⇒ ∠2 6∼= ∠3⇒ m 6=←−→B′C ′

(E-5’) ⇒ m intersecta `Seja D ponto desta interseção.

Basta ver que D está no mesmo lado de←−→BB′ como C ′:

por contradição, supomos D está lado oposto de C ′.⇒ ∠2 é ângulo exterior de 4DBB′.∠3 é ângulo interior deste triângulo.⇒ contradição com Teorema 2.5.⇒ D está no mesmo lado como C ′⇒ (E-5”)

⇒: Supomos (E-5”)

P m

lRQ

t

1

sejam ` e P 6∈ `∃! t ⊥ `, P ∈ t∃m ⊥ t, P ∈ m(Corolário 2.2) ⇒ m ‖ `Basta ver que m é única reta paralela com ` em P .Seja n reta com P ∈ n, n 6= m⇒ n não é perpendicular com tseja ∠1 o ângulo agudo de n com t⇒ (∠1)◦ < 90◦

⇒ (∠1)◦ + (∠PQR)◦ < 90◦ + 90◦ = 180◦

(E-5”) ⇒ n intersects ` neste mesmo lado⇒ n 6‖ `⇒ (E-5’) �

Proposição 3.3. Na geometria neutra são equivalen-tes:• (E-5)• Se uma reta intersecta uma de duas retas pa-ralelas, então também intersecta a outra.


Compare o seguinte cuidadosamente com Teorema 2.1.

Proposição 3.4. Na geometria neutra são equivalen-tes:• (E-5)• Se duas retas são paralelas, então os ângulosalternos internos de uma transversal são con-gruentes.

Demonstração. ⇒: Supomos (E-5).sejam ` ‖ m, sejam t reta transversal com ` e m e P e Qpontos da interseção(Proposição 1.22) ⇒ há apenas 3 casos possíveis:

1) ∠ > ∠AQP2) ∠ < ∠AQP3) ∠ ∼= ∠AQP

Caso 1):

l

m

tP

QA B

s

C

⇒ ∃−−→PC no interior do ângulo tal que:

C lado oposto de t, ∠QPC ∼= ∠AQP .⇒←→PC 6= `

Teorema 2.1 ⇒←→PC ‖ m

contradição com (E-5)Case 2): da forma análoga⇒ Case 3): são congruentes.⇐: Supomos 2. item.Seja ` reta e A 6∈ `.⇒ ∃!n,A ∈ n, n ⊥ `⇒ ∃m,A ∈ m,m ⊥ n⇒ m ‖ `Seja t, A ∈ t, t ‖ `⇒ n corta t e ` transversalmente⇒ ângulos alternos internos são congruentes

⇒ são retos⇒ t = m⇒ (E-5) �

Proposição 3.5. (E-5) ⇒ A soma dos graus dos ân-gulos num triângulo é 180◦.

Demonstração. imediato com Proposição 3.4

1

3

2

21

�

Proposição 3.6. Na geometria neutra são equivalen-tes:• (E-5)•

((k ‖ `) ∧ (m ⊥ k) ∧ (n ⊥ `))⇒ ((m = n) ∨ (m ‖ n))

Referências

[1] P. Andrade - Introdução à Geometria Hiperbólica - O mo-delo de Poincaré, SBM.

[2] I. Arcari, Um Texto de Geometria Hiperbólica, Disserta-ção de Mestrado, Instituto de Matemática, Estatística eComputação Científica da Universidade Estadual de Cam-pinas, UNICAMP, 2008.

[3] J. L. M. Barbosa, Geometria Euclidiana Plana, Rio de Ja-neiro: SBM - Sociedade Brasileira de Matemática (Coleçõdo Professor de Matemática). 1995.

[4] Euclides, Os Elementos.[5] M. J. Greenberg, Euclidean and Non-euclidean Geome-

tries, N.Y., W.H. Freeman and company,3ed,1993.[6] Ch. Walkden, Hyperbolic Geometry, Course notes, 2017.

geometria nÃo euclidiana postuladosim.ufrj.br/~gelfert/cursos/mac227-maw463/2018-1-geoneuc.pdf ·...

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