LICEO BICENTENARIO ÓSCAR CASTRO ZÚÑIGA DOCENTE: CLAUDIA TORO DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA Y FÍSICA NIVEL: CUARTO MEDIO

Semana 10

HOMOTECIA EN EL PLANO CARTESIANO (Parte 1) NOMBRE ESTUDIANTE: CURSO: TIEMPO DE ESTUDIO Y DESARROLLO:

30/junio – 03/julio OBJETIVO DE APRENDIZAJE (U.0)

Relacionar la geometría elemental, con la geometría cartesiana.

OBJETIVO DE LA CLASE

Mostrar que comprenden la homotecia con centro en el origen, en el plano cartesiano.

INSTRUCCIONES GENERALES

➢ En la siguiente guía se presenta el contenido, ejemplo y ejercicios de selección del concepto de “Homotecia en el plano cartesiano, con centro en el origen”, como parte de la unidad de Geometría Analítica.

➢ De dicha guía, debe estudiar y desarrollarla en su cuaderno (NO enviar desarrollo al correo del profesor(a) de matemática).

➢ Las dudas que surjan, puede consultarlas por medio del correo oficial personal, a la profesora Claudia Toro (claudia.toroz@liceooscarcastro.cl) o en los acompañamientos online los lunes de 09:00 a 11:00.

➢ El tiempo que debe destinar para el estudio y desarrollo será desde el 30 de junio hasta el 03 de julio de 2020.

➢ La retroalimentación de la guía estará disponible en la plataforma oficial el 03 de julio de 2020. ➢ Cuando se retorne a clases presenciales, la o el profesor(a) revisaran su cuaderno, con todos los

desarrollos, con el fin de evaluar proceso con una nota acumulativa.

Vectores

En años anteriores, se definió un vector en el plano cartesiano como un segmento de recta dirigido, al cual se

le puede asociar componentes. Estos componentes, pueden considerarse como coordenadas del plano

cartesiano, haciendo partir los vectores desde el origen. En la figura 1, se muestran los vectores 𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗ ⃗, 𝑂𝐵⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ y 𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗, que

inician en el origen del plano cartesiano y terminan en los puntos A, B y C respectivamente.

(Figura 1)

Un vector se caracteriza por tener:

➢ Dirección: definido por la recta que lo contiene. Así, los

vectores 𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗ ⃗ 𝑦 𝑂𝐵⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ tienen la misma dirección, mientras que

el vector 𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗ es distinta.

➢ Sentido: indica cuál es el punto de “partida” y el de

“llegada”. Los vectores 𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗ ⃗ 𝑦 𝑂𝐵⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ tienen la misma dirección,

pero sentidos contrarios.

➢ Módulo o magnitud: indica la longitud del vector,

determinada por la distancia desde el punto de inicio al

punto de término de cada vector. Así, la magnitud de los

vectores de la figura 1 son:

Ponderación de un vector por un escalar (k)

(Figura 2)

En la figura 2, se muestran los vectores 𝑣 = ⟨2,1⟩ , �⃗� = ⟨6,3⟩ y �⃗⃗� = ⟨−4,−2⟩,los tres tienen igual dirección y �⃗⃗� tiene distinto sentido. Además:

De lo anterior se puede observar que:

En general: Ponderar un vector 𝑣 = ⟨𝑎, 𝑏⟩ por un escalar 𝑘 , se define como: 𝒌 ∙ �⃗⃗� = 𝒌 ∙ ⟨𝒂, 𝒃⟩ = ⟨𝒌𝒂, 𝒌𝒃⟩, además se cumple que: ‖𝒌 ∙ ⟨𝒂, 𝒃⟩‖ = |𝒌| ∙ ‖⟨𝒂, 𝒃⟩‖

Llamaremos vector opuesto a aquel que se encuentra ponderado por el escalar 𝑘 = −1, generando un vector con igual dirección y módulo, pero distinto sentido. Ejemplo:

Dado el vector �⃗� = ⟨4,1⟩, si los ponderamos por el escalar 𝑘 = −1, tenemos:

Generando un nuevo vector cuya dirección es igual a la del vector �⃗� y con distintos sentidos. Además:

Homotecia en el plano cartesiano, como una aplicación de la ponderación de un vector

Cuando se aplica a cada uno de los vectores correspondientes a los vértices de una figura, una ponderación por un escalar 𝑘, hablaremos en esta ocasión, de una homotecia de centro en el origen y razón 𝑘. Ejemplo 1:

Dado el cuadrilátero 𝐴𝐵𝐶𝐷, cuyos vértices son: 𝐴(3,1) 𝐵(4,3) 𝐶(3,4) 𝐷(1,4) A los cuales, llegan los vectores de componentes:

𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗ ⃗ = ⟨3,1⟩

𝑂𝐵⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = ⟨4,3⟩

𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗ = ⟨3,4⟩

𝑂𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ⟨1,4⟩

Nota: La ponderación por un escalar sólo se aplica a

vectores, no a puntos. Pero, ante la idea de ahorro de

procedimientos, nos saltaremos (en ocasiones) el paso

de la ponderación de vectores por escalar y llegar

directo a los puntos resultantes, producto de una

homotecia.

Si al cuadrilátero 𝐴𝐵𝐶𝐷 se le aplica una homotecia de centro O(0,0) y razón k=3, se tiene: ✓ Ponderación de los vectores por el escalar 3, es

decir:

3 ∙ 𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗ ⃗ = 3 ∙ ⟨3,1⟩ = ⟨9,3⟩ = 𝑂𝐴1⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗

3 ∙ 𝑂𝐵⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = 3 ∙ ⟨4,3⟩ = ⟨12,9⟩ =𝑂𝐵1⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗

3 ∙ 𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗ = 3 ∙ ⟨3,4⟩ = ⟨9,12⟩ = 𝑂𝐶1⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗

3 ∙ 𝑂𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 3 ∙ ⟨1,4⟩ = ⟨3,12⟩ = 𝑂𝐷1⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗

✓ Se genera un cuadritátero 𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1, cuyos vertices

son: 𝐴1(9,1) , llamado imagen del punto A 𝐵1(12,9), llamado imagen del punto B 𝐶1(9,12) , llamado imagen del punto C 𝐷1(3,12), llamado imagen del punto D Observa que la coordenadas de los puntos resultantes, coinciden con los componentes de los vectores, recientemente ponderados.

Ejemplo 2:

Dado el triángulo 𝐵𝐶𝐷, cuyos vértices son: 𝐵(3,1) 𝐶(2,3) 𝐷(−1,3) A los cuales, llegan los vectores de componentes:

𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ = ⟨3,1⟩

𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗ = ⟨2,3⟩

𝐴𝐷⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = ⟨−1,3⟩

Nota: Al igual que el caso anterior, en los siguientes

ejercicios ahorraremos procedimientos en los

desarrollos.

Si al triángulo 𝐵𝐶𝐷 se le aplica una homotecia de centro A(0,0) y razón 𝑘 = −2, se tiene: ✓ Ponderación de los vectores por el escalar -2, es

decir:

−2 ∙ 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ = −2 ∙ ⟨3,1⟩ = ⟨−6,−2⟩ =𝐴𝐵´⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗

−2 ∙ 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗ = −2 ∙ ⟨2,3⟩ = ⟨−4,−6⟩ = 𝐴𝐶´⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗

−2 ∙ 𝐴𝐷⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = −2 ∙ ⟨−1,3⟩ = ⟨2,−6⟩ = 𝐴𝐷´⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗

✓ Se genera el triángulo B´C´D´, cuyos vertices son:

𝐵´(−6,−2), llamado imagen del punto B 𝐶´(−4,−6) , llamado imagen del punto C 𝐷´(2,−6), llamado imagen del punto D Observa que la coordenadas de los puntos resultantes, coinciden con los componentes de los vectores, recientemente ponderados.

PREGUNTAS DE SELECCIÓN

(1) (DEMRE- ADMISIÓN 2021)

Considere un cuadrado en el plano cartesiano, cuyo perímetro es 20 unidades. Si a este cuadrado se le

aplica una homotecia de razón 2, ¿cuál es el área, en unidades cuadradas, del nuevo cuadrado?

A) 10

B) 25

C) 40

D) 50

E) 100

(2) (DEMRE- ADMISIÓN 2020)

Al triángulo de vértices 𝐴(−2,3) , 𝐵(1,2) y 𝐶(4,6) se le aplicó una homotecia con centro en el punto

(0,0) y razón −3, obteniendose el triángulo el triángulo DEF. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es

falsa?

A) Los lados homólogos de los triángulos son paralelos entre si

B) La imagen de B es (−3,−6)

C) El triángulo DEF es semejante al triángulo ABC

D) El área del triángulo DEF es menor que el área del triángulo ABC

E) La imagen de C está en el tercer cuadrante.

(3) Si a una figura se le aplica una homotecia con centro en el origen, de modo que la imagen del punto

𝐴(6, 4) corresponde al punto 𝐴´(9,6). Si otro vértices de la figura es 𝐵(5,2). ¿Cuál es la imagen de B?

A) (−2,−5)

B) (3

2,1

2)

C) (15

2, 3)

D) (−6,5

2)

E) (1

2,−

3

2)

(4) A un triángulo de vértices A(-3,4) , B(1,3) y C(4,6) se le aplica una homotecia de razón −2, con centro

en el origen del plano cartesiano. ¿Cuál (es) de la siguientes proposiciones es(son) verdadera(s)

respecto al triángulo resultante?

I) Es semejante al original

II) Es una reduccion del original

III) Sus vertices son 𝐴´(6,−8) , 𝐵´(−2,−6) y 𝐶´(−8,−12)

A) Solo I

B) Solo II

C) Solo I y III

D) Solo II y III

E) I, II y III

(5) A un cuadrado de vértices A(2,2) , B(2,-2), C(-2,-2) y D(-2,2) se le aplica una homotecia de razón 3, con

centro en el origen. Entonces, es cierto que la figura resultante:

I) Es un cuadrado

II) Es una ampliación de la original

III) Contiene al vértice (3,3)

A) I y II

B) I y III

C) II y III

D) I, II y III

E) Ninguna de ellas.

El trabajo tesonero todo lo vence