Secretaria Adjunta de Gestão Educacional - SAGE

Aprendizagem Conectada

Atividades Escolares

1° ano do Ensino Médio

Matemática - Carga horária mensal ___ horas

Códigos das Habilidades Objetos de conhecimentos

EM13MAT302 Resolver e elaborar problemas cujos modelos são as funções polinomiais de 1º e 2º graus, em contextos diversos, incluindo ou não tecnologias digitais.

Nome da Escola:

Nome do Professor:

Nome do estudante:

Período: ( ) vespertino ( ) matutino ( ) noturno Turma 1° ano ___

Sistema cartesiano ortogonal de coordenadas e suas aplicações

Os sistemas de coordenadas são aplicados em diversas áreas da ciência, tais como:

matemática, cartografia, sensoriamento remoto, geoprocessamento, entre outros no nosso

cotidiano: Por exemplo: um determinado ponto de uma superfície da terra é determinado

por duas coordenadas, a latitude e a longitude; o Sistema de Posicionamento Global – GPS

permite identificarmos a nossa localização por meio de mapas gráficos. Sem os mapas

gráficos, você não teria informações sobre as ruas, estradas e locais. Apenas saberia que

está a tantos graus de longitude e latitude, o que é bastante vago no uso urbano do sistema.

https://brasilescola.uol.com.br/geografia

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Para localizar um ponto em um plano, podemos adotar um sistema de coordenadas. O

mais comum é o sistema cartesiano ortogonal de coordenadas, que apresentaremos a

seguir.

A palavra ortogonal tem origem no latim

(orthogônius) e significa que forma um ângulo reto

(ângulo de 90º).

Desse modo, esse sistema é ortogonal

porque os eixos formam ângulos retos entre si.

O sistema cartesiano ortogonal de coordenadas, é formado por dois eixos,

denominados de eixo das abscissas (x) e eixo das ordenadas (y).

Esses eixos separam o plano cartesiano em quatro regiões denominadas quadrantes.

No 1º quadrante, os valores de x e y são positivos (+, +); no 2º quadrante, o valor de

negativo e o valor de y é positivo (-, +); no 3ºquadrante x e y são negativos (-, -); no 4º

quadrante x é positivo e y é negativo (+, -).

Fonte: http://clubes.obmep.org.br/blog/b_rdescartes/

Apesar de outros matemáticos já terem utilizado o conceito de coordenadas cartesianas, é atribuído a René Descartes a sua formalização, na obra La Géométrie (1637).

O

ordenadas

abscissas

y

x

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Veja um exemplo de alguns pontos marcados no plano cartesiano:

Formalização do conceito de função

Nas semanas anteriores, já trabalhamos a noção de função no cotidiano. Agora que

você já conhece diversas de suas aplicações, precisamos formalizar o conceito de função.

Isso é importante, é a linguagem matemática.

Vamos considerar uma relação f de A em B tal que qualquer elemento de A esteja

associado, através de f, um único elemento de B:

Exemplo 1:

A(4, 3)

2º elemento

eelemen1º elemento

Podemos indicar por (x, y) o par ordenado formado pelos elementos x e y, onde x é o 1º elemento e y é o 2º elemento.

Dúvidas? Assista o vídeo: https://www.youtube.com/watch?v=iC4q1AGeN5A

f

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Essa propriedade caracteriza um tipo particular de relação, ao qual damos o nome de

função de A em B. Assim, definimos:

Sejam A e B conjuntos não vazios. Uma relação f de A em B é função se, e somente

se, qualquer elemento de A está associado, através de f, a um único elemento de B.

Considerando a função f e analisando a figura do Exemplo 1 acima, podemos definir o

seguinte:

O domínio da função é o conjunto A, logo D(f) = {1, 2, 3}

O conjunto B é o contradomínio, logo CD (f) = {2, 3, 4, 5}

Os elementos de B, que estão relacionados a elementos em A são chamados de

imagem da função, logo Im (f) = {2, 3, 4}

Vemos que essa relação é de fato uma função, já que cada valor de A nos dá apenas

um valor de B. No entanto, não há uma fórmula imediatamente evidente para expressar

esta relação.

No exemplo 1 temos um número finito e pequeno de valores para as nossas variáveis,

assim, foi possível descrever a função usando um diagrama com flechas.

Isso não seria possível se o domínio da variável fosse infinito ou muito grande, não

conseguiríamos escrever todos os valores em uma tabela ou diagrama!

Se tivermos uma relação entre variáveis x e y na qual algum valor de x seja levado a

mais de um valor de y, essa relação não é uma função.

Exemplo 2

Nessa relação do exemplo 2, o valor 1 da variável x está relacionado aos valores 3 e 4

da variável y. Logo, essa relação não é uma função.

Anote: Nem toda relação é uma função!

x y

f

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Exemplo 3:

Um valor de uma variável pode ter dois ou mais valores da outra variável. No gráfico

abaixo, y não pode ser dado em função de x, pois há mais de um valor de y para um mesmo

valor de x. Por exemplo, para x = 4 temos y = 2 ou y = 5.

Exemplo 4:

No gráfico abaixo, y também não pode ser dado em função de x, pois há mais de um

valor de y para um mesmo valor de x. Por exemplo, para x = 2 temos y = 2 ou y = -2.

Logo, essa relação não é função.

Podemos traçar o gráfico de qualquer relação, mesmo que ela não seja uma função.

Dúvidas? Assista o vídeo: https://www.youtube.com/watch?v=G3zjNRYbDv8

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Conectando os conceitos para construir e interpretar os gráficos de uma

função afim

Uma função f : ℝ→ℝ, definida como f(x) = ax + b, com a e b pertencente ao conjunto

dos números reais e a ≠ 0, é chamada de função afim. Dizemos que a é o coeficiente

angular e b é o coeficiente linear da função.

Revisando

O conjunto dos números reais é representado pela letra maiúscula ℝ e é formado

pelos números naturais, inteiros, racionais e irracionais.

Faça uma revisão em: https://www.youtube.com/watch?v=J4vD5RpOqJY

Vamos construir o gráfico de certa situação que resulta na seguinte lei de formação: y

= x + 2.

Para esboçar o gráfico da função y = x + 2, primeiro construímos uma tabela atribuindo

alguns valores a x e calculamos os correspondentes valores de y. Depois, representamos

no plano cartesiano os pares ordenados (x, y) que foram obtidos.

Por exemplo: para x = - 3, temos:

y = x + 2, substituindo x por -3, obtemos: y = -3 + 2 = -1

Continue fazendo essa substituição para os valores -2, -1, 0, 1, 2 e 3. Depois confira os

valores obtidos na tabela abaixo:

Depois é só marcar os pontos no plano cartesiano, veja o resultado:

Dúvidas? Assista o vídeo:

https://www.yout

ube.com/watch?v

=2KWDWpmDZ

wQ

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Agora vamos analisar a seguinte situação:

Para organizar as ideias, podemos estabelecer uma lei, que possibilita chegar ao valor

que será cobrado pelo estacionamento.

Podemos indicar o valor cobrado pelo estacionamento pela letra (V), e verificar que:

Logo, se o cliente ficar estacionado por 1 hora, ele irá pagar o valor fixo de R$3,50 mais

R$ 2, 25 multiplicado por 1 (1 hora), que é igual a R$ 5,75.

Se o cliente ficar estacionado por 2 horas, ele irá pagar o valor fixo de R$3,50 mais

R$ 2, 25 multiplicado por 2 (2 horas), que é igual a R$ 8,00.

Sendo assim: V = 2,25x + 3,50 é a lei que possibilita calcular o valor cobrado pelo

estacionamento, em função de x horas de permanência no estacionamento.

Agora ficou fácil calcular o valor cobrado pelo estacionamento se o cliente estacionar

ali por 4 horas, basta substituir o x por 4 na lei (ou função) e encontrar o resultado.

Vamos lá:

𝑽 = 𝟐, 𝟐𝟓𝒙 + 𝟑, 𝟓𝟎

𝑉 = 2,25 . 4 + 3,50

𝑉 = 12,50 em reais (R$)

O valor cobrado por um estacionamento é

composto de duas partes: uma fixa, de R$ 3,50 e

outra de R$ 2,25 por hora de permanência no

estacionamento. Quanto paga, ao todo um

cliente desse estacionamento que permanece

por 4 horas estacionado?

para qualquer total de horas que o carro ficar no estacionamento, sempre será cobrado

um valor fixo de R$ 3,50;

para cada hora de permanência no estacionamento será cobrado o valor de R$ 2,25.

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Essa função pode ser representada através de um gráfico?

A resposta é sim! Para isso vamos utilizar as informações dessa unidade sobre plano

cartesiano.

Vamos construir uma tabela, utilizando a lei já estabelecida e determinar os pares

ordenados para esboço do gráfico.

x (horas) 𝑉 = 2,25𝑥 + 3,50 Pares Ordenados

1 5,75 (1, 5,75)

2 8,00 (2, 8)

3 10,25 (3, 10,25)

4 12,50 (4, 12,50)

Esboçando o gráfico, temos:

X y

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Desafios – Matemática

1. A ferramenta computacional GeoGebra é um software simples e interativo, com vasta

documentação, gratuito, e em Português. O site do fabricante disponibiliza as versões

de execução direta, via Internet (http://www.geogebra.org/webstart/geogebra.html) e,

ainda, a versão de instalação (http://www.geogebra.org/cms/en/installers). Você

também pode baixar pelo Play Store do seu celular. Diante da possibilidade de trabalhar

o plano cartesiano, com o uso de um recurso tecnológico, a professora Kátia solicitou

aos seus estudantes que identificassem no plano cartesiano do Geogebra os seguintes

pontos: A, B, C, D, E, F e G. Eles escreveram as coordenadas dos pontos no caderno

da seguinte forma: A (3, 2), B (0, 0), C (0, -3), D (4, -2), E (2, -2), F (-2, 3) e G (-2, -1).

Analise a figura abaixo e verifique se as coordenadas dos pontos que os estudantes

escreveram estão corretas. Caso tenham coordenadas incorretas, faça a correção.

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2. Numa microempresa, o custo de produção de certa mercadoria é composto de um valor

fixo de R$ 50,00 mais um valor variável de R$1,50 por unidade produzida.

a) Estabeleça a lei que expressa o custo de produção desta mercadoria;

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b) Através da lei de formação estabelecida, calcule o custo de produção de 450

unidades;

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c) Esboçe o gráfico da função que represente o custo de produção até 450

unidades;

d) Se o custo de produção for de R$ 1550,00, quantas unidades foram produzidas?

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3. PUC – SP (Adaptado) - Às 8 horas de certo dia, um tanque, cuja capacidade é de 2 000 litros,

estava cheio de água; entretanto, um furo na base desse tanque fez com que a água por ele

escoasse a uma vazão constante. Sabendo que às 14 horas desse mesmo dia o tanque estava com

apenas 1 760 litros, após quanto tempo o tanque atingiu a metade da sua capacidade total.

a) 20 horas

b) 25 horas

c) 30 horas

d) 35 horas

e) 40 horas

4. Elabore um problema em que é possível representar y em função de x em uma situação do seu

cotidiano, através de uma função afim. Também tente esboçar o gráfico dessa função. Não tenha

medo de errar, ele faz parte de grandes conquistas!

Observação: Os problemas que envolvem função afim possuem algum valor fixo e algum valor

variável. Estes valores irão corresponder ao a e ao b da função𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏.

Parabéns, você concluiu os desafios!

Até a próxima, jovem estudante!

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Referências

Portal Mundo Educação. Disponível em:

https://mundoeducacao.uol.com.br/matematica/planocartesiano.htm#:~:text=Como%20se

%20faz%20um%20plano,%C3%A9%20o%20eixo%20das%20ordenadas. Acesso em 15

de outubro de 2020.

FRANCISCO, Wagner de Cerqueira e. "GPS - Sistema de Posicionamento Global"; Brasil

Escola. Disponível em: https://brasilescola.uol.com.br/geografia/gpssistema

posicionamento-global.htm. Acesso em 28 de setembro de 2020.

BRASIL. Ministério da Educação. Base nacional comum curricular. Brasília, DF: MEC,

2018a.