cargas elétricas em repouso: eletromagnetismo · considere uma carga pontual de valor q = 250 nc...

Licenciatura em ciências · USP/ Univesp

Elet

rom

agne

tism

o

5.1 Introdução5.2 Campos Gerados por uma Carga Elétrica em Repouso

5.2.1 Diferença de potencial entre dois pontos 5.2.2 Potencial da Terra e o fio Terra

5.3 Campos produzidos por uma distribuição discreta de cargas5.4 Energia de ionização: átomo de hidrogênio5.5 Potencial e Campo de duas Cargas de sinais opostos5.6 O Potencial de Repouso e o Potencial de Ação5.7 O Peixe Elétrico5.8 Potencial e Campo produzido por uma distribuição contínua de cargas5.9 As leis da Eletrostática

5.9.1 Comentários sobre as leis da Eletrostática5.9.2 A Lei de Gauss

5Gil da Costa Marques

CARGAs ELéTRICAs EM REPOusO: A ELETROsTáTICA

107

Eletromagnetismo

Licenciatura em Ciências · USP/Univesp · Módulo 2

5.1 IntroduçãoA situação na qual cargas elétricas ocupam posições bem definidas no espaço é objeto de

estudo da eletrostática. Nessas circunstâncias, as cargas elétricas dão origem a apenas um dos

conjuntos de campos analisados no último capítulo, isto é, os fenômenos eletrostáticos podem

ser descritos fazendo uso de dois campos: o potencial elétrico (representado por V ) e o campo

elétrico, representado por E

, que pode ser derivado do potencial. Uma vez que o campo

elétrico pode ser derivado do potencial, eles acabam não sendo campos independentes um do

outro. Escrevemos:

5.1

Exemplos

• ExEmplo 1Admitindo-se que a função escalar dada pela expressão V(x,y,z) = 4x²y + y + z³ descreve o campo potencial eletrostático em um ponto P(x,y,z) do espaço, determine as componentes do campo elétrico na origem do referencial.

→ REsolução:Lembramos, inicialmente, que o operador i j k

x y z ∂ ∂ ∂

∇ = + + ∂ ∂ ∂

pode ser aplicado a uma função escalar, por exemplo, B(x,y,z). Assim:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ), , , , , ,, , , ,

B x y z B x y z B x y zB x y z i j k B x y z i j k

x y z x y z∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

∇ = + + = + + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

A partir de 5.1 podemos escrever:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

2 3 2 3 2 3

2 2

, , , , , ,, , , ,

4 4 4, ,

, , 8 4 1 3

V x y z V x y z V x y zE x y z V x y z i j k

x y z

x y y z x y y z x y y zE x y z i j k

x y z

E x y z xy i x j z k

∂ ∂ ∂ = −∇ = − + + ∂ ∂ ∂

∂ + + ∂ + + ∂ + += − + +

∂ ∂ ∂

= − − + −

E x y z V x y z, , , ,( ) = −∇ ( )

108

5 Cargas Elétricas em Repouso: A Eletrostática


As componentes do campo E

são: Ex = − 8xy; Ey = − (4x² + 1) e Ez = − 3z². Assim, escreve-se o vetor campo elétrico: ( ) ( ) 2, , 8 4 1 3E x y z xyi x j z k= − − + −

.

Na origem, ( )0,0,0 1E j= −

, ou seja, o campo tem intensidade 1 e sentido oposto ao eixo 0y.

A seguir, daremos ênfase à questão da determinação do potencial elétrico gerado por uma

distribuição de cargas elétricas em repouso. De acordo com a expressão 5.1, a determinação do

campo elétrico a partir do potencial é o problema de encontrar suas derivadas parciais.

É bom lembrar que o campo elétrico se relaciona com a força elétrica experimentada por

uma partícula localizada no ponto do espaço de coordenadas (x, y, z), enquanto o potencial

elétrico tem a ver com a energia potencial calculada no mesmo ponto.

A propósito dos campos elétrico e potencial, é bom lembrar como eles se relacionam com a

energia de uma partícula sob a influência deles e a natureza vetorial ou escalar dessas grandezas:

Campo elétrico ↔ Força Grandezas vetoriais

Potencial elétrico ↔ Energia Grandezas escalares

A eletrostática é a área do eletromagnetismo em que se estuda o comportamento e as

consequências de uma distribuição estática de cargas (situação na qual as cargas elétricas estão

em repouso e, consequentemente, em equilíbrio). Esse é o sentido do termo estática agregado

à palavra eletro.

Dado que cada carga numa distribuição produz um campo elétrico, ao qual está associado

um potencial eletrostático, o problema da eletrostática se reduz ao problema de se determinar

o campo eletrostático ou o potencial, uma vez conhecida a distribuição de cargas. Para resolver

esse problema, fazemos uso do princípio da superposição.

Princípio da superposição

Os campos e potenciais de um conjunto de cargas são iguais à soma (ou integral) dos campos produzidos por pequenos pedaços (ou pelas cargas individuais).

109

Eletromagnetismo


Algumas vezes, o problema da eletrostática consiste em se determinar a distribuição de

cargas, uma vez conhecido o potencial ou o campo elétrico numa certa região do espaço (uma

superfície, por exemplo). Esses casos serão abordados através de exemplos.

5.2 Campos Gerados por uma Carga Elétrica em Repouso

Para o bom entendimento do caso geral, consideremos uma partícula de carga Q, locali-

zada num ponto Pʹ do espaço caracterizado pelo vetor de posição r′ de coordenadas (xʹ, yʹ, z'). Essa partícula gera um campo potencial elétrico de tal forma que, num ponto P cujo vetor

posição é r (coordenadas (x, y, z)), ele pode ser escrito como:

5.2

onde ( )P, Pr r d′ ′− =

é a distância entre os pontos P e P' (veja

Figura 5.1), e ε0 é a permitividade do vácuo. Se a mesma partícula

estiver embebida num meio material (como a água) caracterizado

por uma permitividade ε, a expressão acima é dada por:

5.3

De agora em diante, admitiremos que o meio em que a partícula

se encontra seja o vácuo, lembrando no entanto que, se considerarmos um meio qualquer, basta

substituir, nas fórmulas seguintes, o valor da permitividade do vácuo pela constante permitividade

do meio.

Sabemos da Geometria Euclidiana que a distância entre dois pontos do espaço pode depender

das coordenadas desses pontos, de acordo com a expressão:

5.4

Figura 5.1: Uma carga elétrica Q no ponto P’ produz um potencial elétrico no ponto P.

V r Qr r

Qd P P

( ) =− ′

=′( )4

14

1

0 0πε πε ,

V r Qr r

Qd

( ) =− ′

=′( )4

14

1πε πε P, P

d x x y y z zP, P′( ) = − ′( ) + − ′( ) + − ′( )2 2 2

110



Assim, podemos expressar o potencial elétrico produzido no ponto de coordenadas (x, y, z), devido à existência de uma carga puntiforme localizada no ponto de coordenadas (x', y', z') como função das coordenadas desses dois pontos, ou seja, combinando 5.2 e 5.4, a expressão

5.2 pode ser escrita assim:

5.5

Considerando k = 1/(4πε0) = 9 × 109 Nm²/C², a equação 5.5 pode ser assim representada:

5.6

• ExEmplo 02Considere uma carga elétrica pontual Q = + 2 μC no espaço. Determinar o potencial elétrico por ela gerado no ponto P(0,80 m; 0,60 m; 0,70 m) quando a carga Q estiver em repouso e localizada nos seguintes pontos do espaço:a. Carga Q localizada no ponto de coordenadas P’( 0; 0; 0,20 m).b. Carga Q localizada na origem do referencial.

→ REsolução:a. Potencial no ponto P como resultado de estar a partícula localizada no ponto P'.Substituindo-se na equação 5.6 as coordenadas do ponto P'(0; 0; 0,20 m), o potencial gerado por Q em pontos de coordenadas (x, y, z) assim se escreve:

( )( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 22 2

, ,0 0 0,20 0,20

kQ kQV x y zx y z x y z

= =− + − + − + + −

Para o ponto P(0,80 m; 0,60 m; 0,70 m), o potencial é:

( )( )

( ) ( ) ( )

29 6

2 3

22 2

Nm9 10 2 10 CC 18 10 16.100 N/C 16,1 kV

1,250,80 m 0,60 m 0,70 0,20 mV P

− × × × = = ≅ =+ + −

b. Potencial no ponto P como resultado de a partícula estar localizada na origem. Nessa nova situação, a carga Q encontra-se na origem, ou seja, P'(0,0,0). Então, o potencial gerado

V x y z Q

x x y y z z, .( ) =

− ′( ) + − ′( ) + − ′( )41

02 2 2πε

V x y z kQ

x x y y z z, ,( ) =

− ′( ) + − ′( ) + − ′( )2 2 2

111

Eletromagnetismo


por Q em qualquer ponto de coordenadas (x, y, z) é:

( )( )22 2

, , kQV x y zx y z

=+ +

, onde 2 2 2x y z+ + = d = distância da origem até o ponto P(x, y, z).

Assim, o novo potencial no ponto P é:

( )( ) ( ) ( )

29 6

2 3

2 2 2

Nm9 10 2 10 CC 18 10 14.750 N C 14,7 kV

1,490,8 m 0,6 m 0,7 mV P

−−

× × × × = = = =

+ +

• Superfície equipotencialA distância do ponto P(x, y, z) à origem é

d = 2 2 2x y z+ + ; para x = 80 cm, y = 60 cm e z = 70 cm,

ela é d = 14.900 cm ≅ 122 cm. Existem infinitos pon-

tos cuja distância à origem é d = 14.900 cm ≅ 122 cm.

Esses pontos pertencem à superfície esférica, concêntrica

com a carga Q e com raio R = d.

Todos os pontos da superfície esférica de raio 122 cm,

concêntrica com Q (que está na origem), têm coor-

denadas tais que 2 2 2x y z+ + = d = R; em todos

esses pontos, o potencial elétrico gerado pela carga Q é

V = kQ/d. Portanto, essa superfície é uma equipotencial.

Admitiremos que a expressão 5.2, ou sua forma alternativa 5.5,

seja uma lei fundamental e única da eletrostática, isto é, ela não pode

ser derivada de outras. A seguir, veremos que ela leva à lei de Coulomb,

que é tida muitas vezes como a lei fundamental da eletrostática.

As superfícies equipotenciais associadas ao potencial 5.5 são

superfícies esféricas concêntricas adotando-se o ponto P’ como

centro delas (veja Figura 5.3).

Os pontos de cada circunferência têm o mesmo poten-

cial elétrico, pois distam igualmente do centro de carga.

Figura 5.2: Os pontos da superfície esférica de raio

R = d = 2 2 2x y z+ + têm o mesmo potencial

elétrico. Essa superfície é “equipotencial”.

Figura 5.3: As circunferência tracejadas são intersecções das superfícies esféricas equipotenciais associadas ao potencial elétrico gerado pela carga Q, com a superfície z = 0.

112



Como apontado no tópico anterior (Cargas Elétricas Produzem Campos), sabemos

que a mesma partícula gera um campo elétrico, e que este pode ser determinado a partir de 5.1.

Assim, utilizando a expressão 5.1, podemos escrever, como regra geral, que as componentes do

campo elétrico serão dadas por:

5.7

Assim, substituindo a expressão do potencial produzido por uma carga puntiforme 5.5 em

5.7, encontramos:

5.8

• ExEmplo 03Considere uma carga pontual de valor Q = 250 nC na origem de um referencial cartesiano, ou seja, P' tem coordenadas (0,0,0). Determine o campo elétrico associado ao potencial elétrico nos pontos A(0, 5, 0); B(-5, 0; 0); C(0; -5, 0); D(5, 0, 0) em unidades do MKSA ou SI.

→ REsolução:Por meio da expressão 5.8 determinamos as componentes Ex(x, y, z), Ey(x, y, z) e Ez(x, y, z) do campo elétrico E

(x, y, z) associado ao potencial elétrico V(x, y, z) no ponto P(x, y, z). Assim, tomando os

E x y zV x y z

xE x y z

V x y zy

E x y zx y z, ,, ,

; , ,, ,

; , ,( ) = − ∂ ( )∂

( ) = − ∂ ( )∂

( ) = −−∂ ( )

∂V x y z

x, ,

E x y z Qxx x y y z z

Q x

x , ,/

( ) = − ∂∂

− ′( ) + − ′( ) + − ′( )

=

=

−

4

4

0

2 2 2 1 2

0

πε

πε−− ′

− ′( ) + − ′( ) + − ′( )( )( ) = − ∂

∂− ′( )

x

x x y y z z

E x y z Qy

x xy

2 2 2 3 2

0

2

4

/

, ,πε

++ − ′( ) + − ′( )

=

=− ′

− ′( ) + − ′( ) + − ′( )

−y y z z

Q y y

x x y y z z

2 2 1 2

02 24

/

πε 22 3 2

0

2 2 2 1 2

4

( )( ) = − ∂

∂− ′( ) + − ′( ) + − ′( )

=−

/

/, ,E x y z Q

zx x y y z zz πε

==− ′

− ′( ) + − ′( ) + − ′( )( )Q z z

x x y y z z4 02 2 2 3 2πε /

113

Eletromagnetismo


valores x' = y' = z' = 0 em 5.8, encontramos:

( ) ( )

( )( ) ( )

( )( ) ( )

( )3 3 32 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2, , ; , , ; , ,x y z

kQ x kQ y kQ zE x y z E x y z E x y z

x y z x y z x y z= = =

+ + + + + +

Vamos, agora, determinar as componentes do campo elétrico nos pontos A(0, 5, 0); B(-5, 0; 0); C(0; −5, 0); D(5, 0, 0) utilizando as expressões acima. Lembramos que k = 9 × 109 Nm²/C² , Q = 250 nC = 250 × 10−9 C e os valores de x, y e z são especificados em “metro”.A Figura 5.4 permite visualizar a posição dos pontos A, B, C e D.

( ) ( )( ) ( )

( )( ) ( )

( )( ) ( )

( )

( ) ( )( ) ( )

( )( ) ( )

( )( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

( )( ) ( )

9 9

A 3 3 32 2 2 2 2 2 2 2 2

9 9

A 3 3 3 32 2 2 2 2 2 2 2 2

9 9

A 32 2 2 2 2

9 10 250 10 C 2 2250 2 2250 2 00,5,0 0

0 5 0

9 10 250 10 C 2 2250 2 2250 2 5 225000,5,0 180 N C250 5 0

9 10 250 10 C 2 2250 20,5,0

x

y

z

x xE

x y z x y z x

y yE

x y z x y z

z zE

x y z x y

−

−

−

× ×= = = =

+ + + + + +

× ×= = = = =

+ + + + + +

× ×= − = −

+ + + +( )( ) ( )

( )3 32 2 2 2

2250 2 00

0 5 0z x= − =

+ +

A tabela é apresentada abaixo:

Componentes/ponto A(0, 5, 0) B(−5, 0, 0) C(0, −5, 0) D(5, 0, 0)

Ex0 -180 N/C 0 180 N/C

Ey180 N/C 0 -180 N/C 0

Ez0 0 0 0

Figura 5.4: Os pontos A, B, C e D pertencem ao plano xy, pois todos eles têm coordenada z = 0.

114



Portanto, os vetores campo elétrico em cada ponto são, respectivamente:

A A 0. 180 0E i j k= + +

B B 180 0 0E i j k= − + +

C C 0. 180 0E i j k= − +

D D 180 0 0E i j k= + +

A Figura 5.5 ilustra a posição desses vetores no plano xy ou plano z = 0.

Utilizando a notação vetorial, é possível escrever o campo elétrico acima de forma bem simples:

5.9

As linhas de força do campo elétrico, que surge devido à existência de uma partícula no ponto P', são retas radiais partindo desse ponto. Ademais, elas têm o sentido convergente à carga elétrica se a carga for negativa (Q < 0). No entanto, o sentido das linhas de força será o oposto se a carga for positiva (Q > 0) (veja Figura 5.6).Grosso modo, podemos dizer que as linhas de força “saem” do ponto P' (divergentes desse ponto) se Q > 0. Analogamente, dizemos que as linhas de força convergem para o ponto P' se a carga for negativa, Q < 0.

Figura 5.5: A circunferência repre-senta pontos de mesmo potencial (equipotencial). Em todos os pontos da equipotencial, o vetor campo elétrico associado é perpendicular à superfície no respectivo ponto. Se a carga elétrica geradora dos campos for negativa, o campo elétrico tem sentido radial convergente à carga.

E r Qr r

Q r rr r

( ) = −∇− ′

=

− ′

− ′41

40 03πε πε

Figura 5.6: Linhas de força do campo elétrico em torno de carga numa visão bidimen-sional. Elas saem de cargas positivas (Q > 0) e chegam até as cargas negativas (Q < 0). Elas são ortogonais às linhas equipotenciais.

115

Eletromagnetismo


Quando uma partícula de carga q se encontrar no ponto P, de coordenadas (x, y, z), ela terá uma energia potencial U(x, y, z) nesse ponto (resultante da interação com a partícula de carga Q, locali-zada em Pʹ ). Essa energia potencial, resultante da interação entre ambas, é dada por:

5.10

Analisemos agora a força que age sobre a partícula de carga q. De 4.19 segue-se que:

5.11

e essa expressão é a lei de Coulomb.

5.2.1 Diferença de potencial entre dois pontos

Analisemos agora a questão da diferença de potencial entre dois

pontos quaisquer. Admitamos que um dos pontos - o ponto A -

tenha coordenadas (xA, yA, zA) e que o ponto B tenha coordenadas

(xB, yB, zB) (veja Figura 5.8).

U x y z qV x y z qQ

x x y y z z, . , .( ) = ( ) =

− ′( ) + − ′( ) + − ′( )41

02 2 2πε

F r qE r qQ r rr r

( ) = ( ) = − ′

− ′4 03πε

A Lei de Coulomb rege a interação entre duas partículas (ou cargas pontuais); a força decorrente da interação tem direção do segmento de reta que une as duas partículas. O sentido da força depende do sinal das cargas elétricas em interação, ou seja, ela pode ser de atração ou de repulsão. O módulo dessa força é diretamente proporcional às cargas e inversamente proporcional ao quadrado da distância entre elas.

Figura 5.7: Forças entre as partículas carregadas de mesmo sinal e de sinais opostos. (a) Atração: cargas de sinais contrários. (b) Repulsão: Cargas de sinais iguais.

a b

Figura 5.8: A carga Q situada no ponto P' gera potenciais elétricos nos pontos A e B.

116



A diferença de potencial entre os pontos A e B, gerada pela presença da carga elétrica Q no

ponto P' é:

5.12

Se considerarmos o referencial de tal forma que a sua origem

coincida com o ponto P' em que se encontra a carga Q (veja

Figura 5.9), as expressões 5.3, 5.9 e 5.12 se simplificam.

Escrevemos nesse caso:

5.13

5.14

5.15

Pode-se mostrar, como será feito no próximo tópico (“Materiais Condutores”), que a lei de

Coulomb permite prever que o potencial elétrico, criado por uma carga Q de uma esfera de

raio R em pontos do seu entorno para distâncias que satisfaçam a condição r ≥ R, é dado por:

5.16

ou seja, o potencial elétrico de uma esfera com excesso de carga Q é o mesmo que se a carga

estivesse toda concentrada no centro da esfera.

∆V x y z V x y z V x y z Qd B d AB B B A A A, , , , , ,

, ,( ) = ( ) − ( ) =

′( )−

′( )

41 1

0πε P P

Figura 5.9: Considerando a carga na origem, as equações se simplificam, pois, P' coincidindo com a origem, temos: x' = y' = z' = 0 ou r′

= 0.

V r Qr

( ) =4

1πε

E r Q rr

( ) =4 0

3πε

∆V x y z Qr rB A

, ,( ) = −

4

1 1

0πε

Figura 5.10: Neste caso, o potencial elétrico em um ponto P distante r ≥ R (raio da esfera) é o mesmo que o de uma carga puntiforme localizada na origem e de valor igual a Q.

V r Qr

r R( ) = ≥4

1πε

desde que

117

Eletromagnetismo


• ExEmplo 04Uma esfera metálica de raio R = 5 cm tem excesso de carga Q e está presa a um suporte isolante.

a. Determinar o potencial elétrico na superfície da esfera e nos pontos A (r1 = 20 cm); B (r2 = 30 cm); C (r3 = 40 cm) e para um ponto infinitamente distante (r = ∞), quando Q = + 50 μC C e Q = − 50 μC (μ = 10−6 C).

b. Determinar a diferença de potencial entre os pontos A e C quando Q = + 50 μC e quando Q = − 50 μC.

c. Qual a diferença de potencial entre a superfície da esfera e um ponto infinitamente distante dela?

→ REsolução:a. Potencial elétrico na superfície da esferaA expressão V = kQ/r permite calcular o potencial elétrico para pontos r ≥ R = 5 cm. A tabela resume os cálculos:

QSuperfície

r = R = 0,05 mA

(r1 = 0,2 m)B

(r2 = 0,3 m)C

(r3 = 0,4 m)Infinito

r = ∞+50 μC V = 9.000 kV V = 2.250 kV V = 1.500 kV V = 1.125 kV V = 0

−50 μC V = −9.000 kV V = −2.250 kV V = −1.500 kV V = −1.125 kV V = 0

Observações: I. 1 kV = 10³ volts.II. O sinal do potencial é o mesmo da carga elétrica.III. O módulo do potencial elétrico é inversamente proporcional a r tanto para Q > 0 quanto para < 0.

b. Diferenças de potencialComo o potencial elétrico é uma grandeza escalar, a diferença de potencial elétrico entre dois pontos se determina realizando a diferença entre os potenciais de cada ponto. Assim, a diferença de potencial entre A e C é ΔVAC = VC – VA . Veja tabela a seguir:

Para Q = + 50 μC ΔVAC = 1.125 – 9.000 = – 7.875 kV

Para Q = −50 μC ΔVAC = –1.125 – (−9.000) = + 7.875 kV

c. Diferença de potencial quando um dos pontos está muito longe da esfera.A diferença de potencial entre a superfície da esfera e um ponto no “infinito” (significa num ponto longínquo, adotado como se fosse o infinito) é:

ΔV = V∞ − Vsuperfície

Figura 5.11: Uma esfera metálica car-regada produz campos, nos pontos externos a ela, como se toda a carga elétrica nela contida estivesse no centro da própria esfera.

118



De 5.15, nota-se que o potencial se anula no infinito, ou seja, ele tende a zero quando a distância tende para o infinito. Obtemos assim o resultado da tabela abaixo.

Para Q = + 50 μC ΔV(superfície − ∞) = 0 – 9.000 = – 9.000 kV

Para Q = − 50 μC ΔV(superfície − ∞) = 0 – (–9.000) = + 9.000 kV

5.2.2 Potencial da Terra e o fio Terra

A Terra é a maior esfera condutora ao nosso alcance. Ela não é exatamente neutra. De fato,

ela é carregada negativamente. A rigor, a Terra tem um potencial elétrico não nulo. A diferença

de potencial elétrico a uma altura de um metro da sua superfície é de 100 Volts.

Admitamos que ela tenha uma carga total de −Q = 12 C e o seu potencial elétrico seria:

VTerra = −kQ/R = − 9 × 109 × 12/6.370.000 ≈ −17.000 V = −17 kV

Observe que, se uma esfera metálica de raio 2 m recebesse a

mesma carga, o seu potencial elétrico seria, em módulo, dado por:

Vesfera = k·Q/R = 9 × 109 × 12/2 = 54.000.000.000 V = = 54 bilhões de volt

O potencial elétrico é uma grandeza que pode ser considerada relativa, uma vez que, via de

regra, estamos mais interessados nas diferenças de potencial. Por isso, na prática, o potencial elé-

trico da Terra é considerado nulo: tomamos VTerra = 0. O fato concreto é que a Terra é um bom

condutor à nossa disposição, com imensa capacidade de receber (e também ceder) elétrons livres.

Isso acaba tendo uma finalidade prática. Recomenda-se que os aparelhos elétricos sejam

ligados à Terra por um “fio terra”.

Qual a razão para isso?

Figura 5.12: Cargas elétricas são distribuídas pela superfície da Terra produzindo um campo elétrico.

119

Eletromagnetismo


Isso é feito para permitir que elétrons livres encontrem um caminho, entre o aparelho e a

Terra, por onde possam escoar com mais facilidade.

Um chuveiro bem “aterrado” (com ligação Terra) propicia um caminho para o fluxo de

cargas elétricas entre a Terra e a carcaça do chuveiro. Isso evita um fluxo de elétrons livres

através do corpo humano - que provoca choques elétricos - caso ocorra um eventual contato

entre a mão e o chuveiro.

Todos os aparelhos, por questão de segurança, devem ser aterrados.

5.3 Campos produzidos por uma distribuição discreta de cargas

O princípio da superposição assegura que o potencial eletrostático, quer seja de uma distri-

buição discreta ou contínua de cargas, é dado pela soma dos potenciais produzidos pelas partes.

Assim, o potencial produzido por N cargas, cujos valores são Q1, Q2, Q3, ... QN, localizadas

em 1 2 3, , , Nr r r r

, é dado pela soma dos potenciais produzidos pelas cargas elétricas individuais:

5.17

o qual, quando expresso em termos das componentes, se escreve como:

5.18

O campo elétrico, derivado da expressão acima, é dado por

5.19

Como podemos constatar, as expressões para o potencial eletrostático que resulta de uma

distribuição estática de cargas são mais simples do que a dos campos, pois nesse caso estamos

falando de uma grandeza escalar. Temos, no caso do potencial, apenas um campo escalar e não

um campo vetorial com três componentes.

V r Qr r

i

i

N

i

( ) =−=

∑ 41

01 πε

V x y z Q

x x y y z z

i

i

N

i i i

, ,( ) =−( ) + −( ) + −( )( )=

∑ 41

01 2 2 212πε

E r Q r rr r

i i

ii

N

( ) = −−=

∑ 4 03

1 πε

120



• ExEmplo 05Considere uma distribuição de cargas elétricas como a esboçada na Figura 5.13.As cargas pontuais Q1, Q2 e Q3 têm intensidades iguais a q e estão fixas nos vértices de um prisma retangular.a. Determine o potencial elétrico resultante na origem do referencial cartesiano.b. Qual a carga que, fixada em P, anula o potencial no ponto 0.

→ REsolução:a. Potencial elétrico na origem do referencial cartesianoPelo princípio da sobreposição, o potencial na origem do referencial [o ponto de coordenadas (x = y = z = 0)] é a soma algébrica dos potenciais que cada carga gera nesse ponto. As cargas estão localizadas nos pontos de coordenadas A(0; 0; 0,25 m); B(0; 0,50 m; 0) e C(0,50 m; 0; 0). Vamos calcular cada um deles fazendo uso da expressão geral do potencial calculado na origem resul-tante de uma carga Q localizada num ponto arbitrário P’ de coordenadas (x’, y’, z’). Tal expressão é:

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

P 2 2 2 2 2 20

1 10,0,04 0 0 0

QV Qkx y z x y z

′ = =πε ′ ′ ′ ′ ′ ′− + − + − + +

Para simplificar o cálculo, basta lembrar que o potencial depende apenas da distância d entre a carga e o ponto onde se deseja determinar o potencial. Lembrando que Q1 = Q2 = Q3 = q, e substituindo-se, na expressão anterior, os valores das coordenadas de cada um dos pontos, concluímos, então, que o resultado é dado por:

30 1 1 2 2 3 3i

V Vi k Q d k Q d k Q d= = + +∑

Carga Distância da carga ao ponto 0 V = kQ/dQ1 = q 0,25 m kq/0,25 = 4kq

Q2 = q 0,50 m kq/0,50 = 2kq

Q3 = q 0,50 m kq/0,50 = 2kq

V0 = 4kq + 2kq + 2kq = 8kq

Figura 5.13: As posições das cargas neste exemplo são: Q1(xA,yA,zA); Q2(xB,yB,zB) e Q3(xC,yC,zC) . Cada carga gera um potencial num ponto do espaço P(x,y,z). O resultado, de acordo com o princípio da superposição, é a soma dos potenciais gerados pelas diversas cargas elétricas.

121

Eletromagnetismo


b. Quarta carga que, fixada em P, anula o potencial na origem do referencialTrata-se de determinar o valor de uma quarta carga Q4 que, colocada no ponto P(50 cm; 50 cm; 25 cm) (veja figura), torna nulo o potencial resultante na origem (x = 0, y = 0, z =0). Assim, V4 + V0 = 0 → V4 = −V0 = − 8kq. Como V4 = kQ4/d4 e

( ) ( ) ( )2 2 22 2 24 50 50 25 3175 75 cm 0,75 md x y z= + + = + + = = = ,

tem-se kQ4/(0,75) = −8kq → Q4 = 6q. Resumindo: uma carga Q4 = 6q, fixa no ponto P, torna nulo o potencial elétrico no ponto 0.

• ExEmplo 06Determine a energia potencial eletrostática (ou elé-trica) do sistema de três cargas alinhadas e distribuídas de acordo com o esquema da Figura 5.14, dado que Q = 4 × 10-3 C ; Q1 = -2 × 10-3 C e Q2 = -2 × 10-3 C.

→ REsolução:A energia potencial elétrica de um sistema de cargas é a soma da energia potencial de cada um dos pares de cargas do sistema. O sistema das cargas (Q, Q1 e Q2) forma 3 pares, a saber: I) Q e Q1; II) Q e Q2 e III) Q1 e Q2. A energia potencial desse sistema será:

3sistema 3 cargas 1 2 31

U U Ui U U U= = = + +∑

Par Upar

Q e Q1U = k.Q.Q1/d = [(9 × 109 N.m²/C²)(4 × 10−3 C)(-2 × 10-3 C)]/(0,2 m) − 360 × 10³ J

Q e Q2U = k.Q.Q2/d = [(9 × 109 N.m²/C²)(4 × 10−3 C)(-2 × 10−3 C)]/(0,4 m) −180 × 10³ J

Q1 e Q2U = k.Q1.Q2/d = [(9 × 109 N.m²/C²)(−2 × 10−3 C)(-2 × 10−3 C)]/(0,6 m) + 60 × 10³ J

Portanto, Usistema = (−360 × 10³ J) + (−180 × 10³ J) + (+60 × 10³ J) = − 480 × 10³ J.O significado físico de energias negativas de um sistema em interação é o fato de que ele é um sistema dito ligado. Como consequência, para separar as cargas para longe é necessário fornecer uma energia mínima para o sistema, cujo valor é igual à sua energia de ligação. Nesse caso, essa energia mínima para separá-las completamente é dada por E = 480 × 10³ J.

• ExEmplo 07A Figura 5.15 ilustra 3 cargas elétricas pontuais fixas em três vértices de um retângulo imaginário de lados 3L e 4L. Determine o campo elétrico resultante no vértice A, admitindo-se para isso os valores: q = 20 nC (n = nano = 10-9) e L = 0,20 m.

Figura 5.14: Três cargas alinhadas ao longo do eixo x.

Figura 5.15: Cargas elétricas localizadas nos vértices de um retângulo.

122



→ REsolução:Cada carga elétrica Q1, Q2 e Q3 gera no ponto A os respectivos campos elétricos 1E

, 2E

e 3E

. De acordo com o Princípio da superposição: o campo elétrico no ponto A é 1 2 3E E E E= + +

.Isto é, o campo resultante é a soma vetorial dos campos elétricos que cada carga puntiforme gera num determinado ponto do espaço.Vamos determinar as componentes Ex e Ey dos campos, adaptando as equações descritas em 5.8 do texto, para cargas situadas no plano xy (ou z = z0 = 0); portanto, como Ez = 0, o problema se reduz a determinar as componentes:

I. ( ) ( )

( ) ( )3 22 2

x

x xE kQ

x x y y

′−=

′ ′− + −

e

II. ( ) ( )

( ) ( )3 22 2

y

y yE kQ

x x y y

′−=

′ ′− + −

onde k = 1/(4πε0) = 9 × 10−9 N.m²/².As coordenadas (x’, y’) são coordenadas da carga elétrica que gera o campo elétrico; aquelas (x, y) são as do ponto A no qual se quer determinar o campo resultante.Baseados no referencial da Figura 5.16, podemos construir a tabela a seguir, a qual foi elaborada visando a facilitar os cálculos das componentes Ex e Ey (equações I e II acima) dos campos criados pelas cargas no ponto A (3L; 0) em função de L, q e k, os quais serão substituídos apenas nos cálculos finais.

Carga Posição (x − x’) (y − y’) [(x - x’)² + (y − y’)²]3/2 kQ Ex Ey

Q1(3q) B (0; 4L) 3L −4L [9L² + 16L²]3/2 = 125L³ +3 kq (9 kq)/125L² − (12 kq)/125L²

Q2(−2q) C (3L; 4L) 0 −4L [ 0 + 16L²]3/2 = 64L³ −2 kq 0 (kq)/8L²

Q3(q) D (0; 0) 3L 0 [ 9L² + 0]3/2 = 27L³ + kq kq/9L² 0

Explicando a linha 1 da tabela:• A carga Q1 = 3q; • a posição de Q1 tem coordenadas (0; 4L); • a diferença (x − x’) = (abscissa do ponto A – abscissa da carga Q1) = (3L − 0) = 3L; • a diferença ( y − y’) = (ordenada de A – ordenada de Q1) = ( 0 – 4L) = −4L; • o denominador de I e II é [(x − x’)² + (y − y’)²]3/2 = [(3L)² + (−4L)²]3/2 = [25L²]3/2 = [5L]³ = 125L³;

assim, por I e II, tem-se: • Ex = [k(3q)3L]/(125L³) = 9kq/125L²• Ey =[k(3q)(−4L)/124L³ = − 12kq/125L²

Figura 5.16: As cargas nos vértices de um retângulo ABCD com os eixos cartesianos com origem em D e os vetores campos elétricos gerados pelas cargas no ponto A.

123

Eletromagnetismo


Substituindo-se os valores de k = 9 × 10-9 Nm²/C², L = 0,20 m e q = 20 nC = 20 × 10-9 C, temos:

Carga geradora do campo no ponto A

Símbolo do vetor campo elétrico

Ex (N/C) Ey (N/C) Módulo e ângulo c/eixo 0x

Q1 1E

324 -432 540 N/C; φ ≅ 307°

Q2 2E

0 562,5 562,5 N/C; φ = 90°

Q3 3E

500 0 500 N/C; φ = 0°

Portanto:

( ) ( )( ) ( )( ) ( )

1

2

3

324 432

0 562,5

500 0

E i j

E i j

E i j

= −

= +

= −

Pelo princípio da superposição, o campo elétrico E

no ponto A é:

( ) ( )( ) ( ) [ ]

31 2 31

324 0 500 . 432 562,5 0 .

824 . 130,5 . N CnE E E E E i j

E i j

= = + + = + + + − + +

= +

∑

O módulo de E

no ponto A é ( ) ( )2 2824 130,5 834 N CE = + ≅ e faz, com o eixo 0x, um ângulo cuja tangente é Ey/Ex = 130,5/824 = 0,158 , cujo ângulo correspondente é φ = 9°.

5.4 Energia de ionização: átomo de hidrogênioPara arrancar elétrons de um átomo, devemos fornecer certa quantidade de energia a eles.

Essa quantidade de energia leva em conta que os elétrons têm uma energia cinética (positiva) e uma

energia potencial, que é sempre negativa. A soma das duas determina a energia de ligação dos elétrons.

A energia necessária para liberar o elétron da última camada - o elétron mais externo, é uma

energia mínima, a qual é determinada pela energia de ligação do elétron, admitindo-se a sua

energia mais baixa possível. Tal energia tem o nome de energia de ionização.

124



Consideremos o caso simples do átomo de hidrogênio. Pela teoria de Bohr para o átomo de

hidrogênio, o elétron orbita o núcleo, quando no seu estado de mais baixa energia, a uma distância

d = 0,529Å. Nessas condições, a energia potencial do sistema núcleo-elétron é negativa e dada por:

5.20

Tendo em vista que a sua energia cinética é Ec = +13,6 eV, concluímos que, para ionizar

o átomo de hidrogênio (arrancar o elétron do campo de influência elétrica do próton ), são

necessários apenas 13,6 eV. Essa é a energia de ionização, energia necessária para liberar o

elétron quando ele se encontra no seu estado fundamental (aquele de mais baixa energia).

• ExEmplo 08O diagrama ao lado esquematiza um sistema de três cargas Q, qB e qC, distribuídas nas posições A, B e C, conforme a figura. Pode-se pensar essa configuração como se fosse o átomo de Hélio quando os elétrons estão equidistantes do núcleo e suas posições têm direções formando um ângulo de 90°. Considerando-se os valores L = 1,5Å (1Å = 10-10 m); e = 1,6 × 10-19 C, determinar:a. a energia potencial elétrica do átomo de Hélio nessa situação.b. a energia mínima para dissociar o átomo.

→ REsolução:a. A energia potencial elétrica do átomoO sistema, átomo de Hélio, é formado por três cargas - o núcleo e os dois elétrons -, o que resulta em 3 pares distintos de cargas. Para determinar a energia potencial do sistema de 3 cargas, consideramos a soma das energias dos pares:

33 cargas 1 2 31

U Ui U U U= = + +∑Dados: • L = 1,5 Å=1,5 × 10-10 m); • e = 1,6 × 10-19 C;

• ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 1, 41BC d AB AC L L L L= = + = + = ≅ , tem-se:

Par de cargas Q q d Upar cargas = kQq/d Upar (joules)

Q − qC 2e −e L k(2e)(−e)/L = − [k/L],2e² − 30,72 × 10−19 J

Q − qB 2e −e L k(2e)(−e)/L = − [k/L],2e² − 30,72 × 10−19 J

qB − qC −e −e (1,41)L k(−e)(−e)/(1,41) L = [k/L],(0,707)e² + 10,86 × 10−19 J

U k Qq d k e e d k e d U= = +( ) −( ) = − = × = −−. , ,2 1943 6 10 27 2J ou eV

Figura 5.17: Uma situação clássica para o átomo de Hélio.

125

Eletromagnetismo


Portanto:

3 19 19 19 193 cargas 1

19Hélio

30,72 10 J 30,72 10 J 10,86 10 J 50,58 10 J

50,58 10 J

U Ui

U

− − − −

−

= = − × − × + × = − × = − ×

∑

Sabendo que 1 eV = 1,6 × 10-19 J , podemos expressar essa energia em eletrovolts. Assim, UHélio ≅ −47,4 eV.

b. Energia de dissociação do átomoA energia para dissociar o sistema é aquela que, introduzida no sistema, anula a sua energia potencial. Com isso podemos assegurar que o núcleo e cada um dos elétrons estarão livres, isto é, liberados para se mover para onde quiserem. Assim, a energia mínima para dissociar o sistema é U = + 47,4 eV.A energia para arrancar apenas um elétron de um átomo, no seu estado de menor energia, é a sua energia de ionização.

5.5 Potencial e Campo de duas Cargas de sinais opostos

A título de exemplo, consideremos

o caso de duas cargas elétricas de sinais

opostos. Seja Q o módulo dessa carga.

Consideremos a situação descrita pela

Figura 5.14, na qual a carga de sinal

positivo se encontra na posição z = d

(as demais coordenadas iguais a zero) e

a carga negativa se encontra no eixo z e

com coordenada z = − d.

Nessas circunstâncias, o potencial para um ponto arbitrário no espaço, cujas coordenadas são

(x, y, z), será dado pela expressão:

5.21

Figura 5.18: Duas cargas +Q e −Q separadas por uma distância 2d.

V x y z Q

z d y x z d y x, ,( ) =

−( ) + ( ) + ( )−

+( ) + ( ) + ( )

4

1 1

02 2 2 2 2 2πε

126



Ao olhar a expressão 5.21 podemos constatar que, para z = 0, o potencial se anula:

5.22

O campo elétrico será dado por:

5.23

As superfícies equipotenciais e as linhas de força para o sistema composto por duas cargas de

sinal oposto são apresentadas na Figura 5.19.

5.6 O Potencial de Repouso e o Potencial de AçãoComo apontado antes, a membrana de uma célula é tal que a concentração de íons positivos

no meio extracelular é superior à de íons negativos. No interior da célula ocorre o oposto.

As duas regiões são separadas pela membrana. Como resultado, a parte interna da célula fica

com uma distribuição de cargas negativas e a parte externa fica carregada positivamente.

A conclusão é a de que as células exibem uma diferença de potencial entre essas duas regiões

delimitadas pela membrana celular. Essa diferença de potencial é denominada potencial de

repouso da célula. Seu valor é de aproximadamente −65 mV.

V x y, ,0 0( ) =

E x y z Q z d k xi yj

z d y x

z d k x, ,( ) = −( ) + +

−( ) + ( ) +( )−

+( ) +4 0 2 2 2

32πε

i yj

z d y x

+

+( ) + ( ) +( )

2 2 232

Figura 5.19: Linhas de força e superfícies equipotenciais em 2 e 3 dimensões.

127

Eletromagnetismo


Algumas células denominadas Neurônios são capazes de se excitar, ou seja, por um lapso de

tempo muito curto, de cerca de 2 milissegundos, essa distribuição pode ser alterada gerando um

pulso, que se propaga sob a forma de uma diferença de potencial conhecido como potencial de

ação. A propagação dos potenciais de ação por meio de vias especializadas, conhecidas como Áxions,

provê um mecanismo de comunicação celular altamente complexo e essencial para os seres vivos.

Figura 5.20: Distribuição de íons de cargas opostas gera uma diferença de potencial entre os dois lados da membrana celular.

5.7 O Peixe ElétricoAlguns peixes são muito conhecidos e estudados por serem capazes de produzir campos

elétricos, que se estendem por um espaço limitado ao seu redor. Utilizam-no como parte do

sistema sensorial.

Figura 5.21: Linhas de força nas proximidades de um peixe elétrico.

128



5.8 Potencial e Campo produzido por uma distribuição contínua de cargas

Para uma distribuição contínua de cargas, aplicamos o princípio da superposição, conside-

rando as contribuições associadas a volumes infinitesimais da distribuição de cargas e, então, efe-

tuando a soma. Como resultado, se a distribuição volumétrica for caracterizada pela densidade

ρ(x, y, z), o potencial gerado por tal distribuição no ponto r será dado pela integral de volume:

5.24

onde a integral de volume deve ser efetuada sobre o volume V que contém a distribuição de cargas.

Para o caso de cargas distribuídas ao longo de uma superfície, caracterizada pela densidade

superficial e distribuição superficial σ, o potencial gerado por uma tal distribuição é dado por:

5.25

A integral agora deve ser efetuada como uma soma sobre as contribuições de todos os

pontos da superfície que contêm a distribuição.

O caso de uma distribuição linear de cargas é uma simples extensão dos resultados anteriores.

O potencial no ponto r agora se escreve como a integral:

5.26

Com respeito ao campo elétrico, basta aplicar a definição 5.1 às expressões 5.24-5.26.

Por exemplo, o campo elétrico de uma distribuição volumétrica pode ser escrito como a

integral sobre o volume da distribuição:

5.27

V x y zx y z

x x y y z zd

V

, ,, ,( ) =′ ′ ′( )

− ′( ) + − ′( ) + − ′( )( )′∫∫∫

14 0 2 2 2

12πε

ρxx dy dz

rr r

dVV

′ ′ ≡′( )

− ′′∫∫∫

14 0πε

ρ

V x y zx y z

x x y y z zdS

S

, ,, ,( ) =′ ′ ′( )

− ′( ) + − ′( ) + − ′( )( )′∫∫

14 0 2 2 2

12πε

σ≡≡

′( )− ′

′′∫∫

14 0πε

σ

rr r

dSS

V x y zx y z

x x y y z zdl, ,

, ,( ) =′ ′ ′( )

− ′( ) + − ′( ) + − ′( )( )′ ≡∫

14 0 2 2 2

12πε

λ

Γ

114 0πε

λ ′( )− ′

′∫r

r rdl

Γ

E x y z r rr r

r dVV

, ,( ) =≡ − ′

− ′′( ) ′∫∫∫

14 0

3περ

129

Eletromagnetismo


enquanto o campo elétrico de uma distribuição superficial é dado por:

5.28

• ExEmplo 09Um fio de comprimento 30 cm tem 90 × 10-3 C de cargas em excesso, distribuídas uniformemente ao longo desse fio. Qual é o valor do potencial elétrico num ponto localizado a uma distância d acima de uma das suas extremidades?

→ REsolução:A partir dos dados do enunciado, podemos concluir que a densidade linear de cargas é uniforme e dada pela relação entre a carga total e o comprimento do fio:

( ) ( )3 3 390 10 C 30 cm 3 10 C cm 300 10 C mQ L − − −λ = = × = × = ×

Utilizando o referencial da Figura 5.22, concluímos que a distância r de um ponto sobre o fio é a hipotenusa do triângulo de catetos x e

2 2d x d= + , onde x é a coordenada, ao longo do fio, do elemento de

carga infinitesimal.Portanto, de 5.26, concluímos que o potencial é dado pela soma:

V k dq r k dx x d k dx x d= = ( ) +( ) = ( ) +( )∫ ∫ ∫λ λ2 2 2 2 .

Os limites de integração são: x = 0 até x = L, coordenadas essas associadas aos pontos A e B (as extremidades do fio), abrangendo todo o comprimento do fio. Então, substituindo λ = Q/L e, de acordo com o principio da superposição, concluímos que:

( ) 2 2

0

L

V k Q L dx x d= +∫Consultando uma tabela de integrais, encontramos:

( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2 2

00

ln ln ln 0 0L L

dx x d x x d L L d d + = + + = + + − + + ∫

Donde inferimos que:

( )2 2

2 2

0

. ln ,L kQ L L dV k Q L dx x d

L d + +

= + =

∫

E x y z r rr r

r dSS

, ,( ) = − ′

− ′′( ) ′∫∫

14 0

3πεσ

Figura 5.22: Pedaço de fio com densidade linear de carga uniforme.

130



ou seja, o potencial elétrico gerado pela carga Q no fio de comprimento L, no ponto P, é:

2 2

. lnkQ L L dVL d

+ +=

• ExEmplo 10Determine o campo elétrico, num ponto fora da distribuição, devido à existência de cargas distribuídas de uma forma uniforme, com densidade σ0 sobre um plano infinito.

→ REsolução:Para facilitar o cálculo, consideramos a distribuição como se estivesse no plano

z’ = 0

Ademais, podemos sempre tomar um referencial de tal forma que as coordenadas do ponto no qual queremos determinar o campo sejam (veja Figura 5.23):

x = 0, y = 0

Considerando-se o referencial da Figura 5.23, o campo elétrico pode ser escrito como:

( )( )

03

0 2 2 2 2

, ,4

S

x i y j zkE x y z dx dyx y z

′ ′σ + + ′ ′=πε

′ ′+ +∫∫

Como as integrais das componentes x e y envolvem integrais de funções ímpares, essas componentes são nulas:

( ) ( ), , , , 0x xE x y z E x y z= =

Para o cálculo da única componente não nula, efetuamos uma mudança de variáveis (de coordenadas cartesianas para polares) e obtemos:

( )( ) ( )

( )( ) ( )

20 0

3 30 02 2 2 2 20 02 2

0 0 03 2 20 0 02 20 2

0

, ,4 4

2 1, ,4 2 2

dx dy d dE x y z zk zkx y z z

d zE x y z zk zk kzzz

∞ ∞ ∞ π

−∞ −∞

∞∞

′ ′σ σ ρ ρ ϕ= =

πε πε′ ′+ + ρ +

πσ σ σρ ρ −= = =

πε ε ερ +ρ +

∫ ∫ ∫ ∫

∫

Figura 5.23: Referencial cartesiano adotado para determinar o campo elétrico produzido por uma placa plana carregada e infinita.

a

b

131

Eletromagnetismo


O campo elétrico é, portanto, constante e perpendicular à superfície (veja Figura 5.23). O vetor campo elétrico aponta para a placa se as cargas forem negativas ou, no caso de cargas positivas, o vetor tem o sentido oposto.

5.9 As leis da EletrostáticaSão duas as leis que regem o comportamento do campo elétrico nas condições especifi-

cadas em 5.1.

Numa das versões dessas leis, estabelecemos como os campos variam quando cargas se acu-

mulam em alguma região do espaço. Elas são, portanto, expressas por meio de relações entre

taxas de variação do campo produzido e a densidade de carga que deram origem aos campos.

Na formulação que privilegia o aspecto local dos campos, a primeira lei estabelece que a combi-

nação de taxas de variação das componentes do campo elétrico, conhecida como divergente do

campo, é proporcional à densidade de cargas que produz o campo:

5.29

Utilizando a definição do operador gradiente, escrevemos essa lei, resumidamente, como

5.30

A segunda lei especifica que o campo elétrico produzido pela distribuição estática é tal que

certa combinação de taxas de variação se anula:

5.31

As condições acima podem ser escritas de forma resumida como:

5.32

0

yx zEE Ex y z

∂∂ ∂ ρ+ + =

∂ ∂ ∂ ε

0

E ρ∇ =

ε

=0 =0 =0 y yx z x zE EE E E Ex y y z z x

∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂− − −

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

0E∇× =

132



Na segunda versão dessas leis, versão essa que enfatiza propriedades globais do campo elétrico,

temos igualmente duas leis. Na primeira delas, constatamos que o fluxo do campo elétrico através

de uma dada superfície fechada é igual ao quociente entre a carga elétrica contida na região

delimitada pela superfície e a constante denominada permitividade do vácuo. Escrevemos:

5.33

Levando em conta a definição de cada um dos membros da equação acima, temos:

5.34

À lei enunciada de acordo com as duas expressões acima, damos o nome de Lei de Gauss.

Na versão que privilegia aspectos globais do campo, a segunda lei especifica que, para qual-

quer caminho interligando dois pontos A e B, cujos vetores de posição são Ar

e Br

, respectiva-

mente, a integral de caminho interligando esses pontos é tal que ela depende, ou melhor, ela é

uma função apenas desses dois pontos sob a forma:

5.35

Tudo que se afirma, a partir da expressão acima, é que o campo elétrico é um campo que dá

origem a uma força conservativa.

5.9.1 Comentários sobre as leis da Eletrostática

0E

QΦ =

ε

( ) ( )0

1

s

E r dS r dV= ρε∫∫ ∫∫∫

( ) ( )B

A BA

E dl V r V r⋅ = −∫

Existem duas consequências importantes que emergem das leis da eletrostática.É bom lembrar que, na primeira lei, está expressa a ideia de que o efeito da presença de cargas numa certa região do espaço leva a produzir campos cuja taxa de variação das diversas componentes do campo são especificadas por 5.30. Esse é conteúdo fundamental da eletrostática. Podemos assim, sob determinadas circunstâncias, determinar o campo gerado pela distribuiçao de carga a partir dessa lei. No entanto, em situações mais gerais, devemos levar em conta as duas leis especificadas em 5.30 e 5.31.

133

Eletromagnetismo


Um primeira consequência da equação 5.30 é as linhas de força do campo elétrico exibirem,

em alguns pontos do espaço, caracterisiticas de fontes e sorvedouros de linhas de campo. Esse

nunca é o caso das linhas de força do campo magnético. E isso estabelece uma diferença funda-

mental entre a eletrostática e a magnetostática.

A segunda consequência diz respeito à segunda lei representada pela expressão 5.31. A partir

dela, é fácil concluir que sua “solução” é tal que o campo elétrico pode ser expresso como o

gradiente de uma função escalar, ou seja,

5.36

onde V é uma função escalar, já identificada no início deste tópico como o potencial elétrico.

Assim, o conteúdo da segunda lei é basicamente estabelecer que o campo eletrostático é um

campo conservativo. um campo para o qual vale a expressão 5.35.

A substituição da solução 5.36 em 5.30 nos leva a uma formulação da eletrostática, na qual o

problema agora passa a ser a determinação do potencial a partir da solução da equação diferencial:

5.37

que é, em última análise, a equação fundamental da eletrostática, uma vez que ela resulta de uma

combinação das duas equações 5.30 e 5.32.

Figura 5.24: Linhas de força começam ou terminam no local onde existe uma carga.

( ) ( ), , , ,E x y z V x y z= −∇

( ) ( )2

0

, ,, ,

x y zV x y z

ρ∇ = −

ε

134



5.9.2 A Lei de Gauss

Desde o trabalho pioneiro de Coulomb, sabe-se que uma distribuição de cargas dá origem

a um campo elétrico.

A relação entre o campo produzido num determinado ponto do espaço e o agente indutor

do campo (as cargas elétricas) é simples apenas no caso de uma distribuição discreta de cargas.

No caso de uma distribuição contínua de cargas, essa relação é bastante sutil e ela é a base da

primeira lei importante do eletromagnetismo: a Lei de Johann Carl Friedrich Gauss.

De acordo com essa lei, uma distribuição de cargas caracterizada pela densidade volumétrica de

cargas ρ(r, t) gerará um campo elétrico de tal forma que sua taxa de variação pontual é dada por:

5.38

A primeira lei estabelece uma relação entre a taxa de variação do campo elétrico e a distri-

buição de cargas que lhe dá origem. Essa é uma formulação que leva em conta aspectos locais

do campo elétrico (o divergente do mesmo).

Na segunda formulação, a lei de Coulomb é expressa como uma relação entre o fluxo do

campo elétrico (ao longo de uma superfície fechada) e a carga elétrica total (no interior da

superfície). As duas grandezas não são definidas ponto a ponto, mas são definidas como integrais

sobre volumes e superfícies.

Assim, pode-se formular a primeira lei afirmando que, dada uma distribuição de cargas, o

campo elétrico produzido por essa distribuição é tal que o seu fluxo ΦE numa superfície que

delimita uma região é proporcional à carga elétrica no interior da mesma:

5.39

ou seja, o fluxo do campo elétrico através de uma superfície S é igual, com exceção de uma cons-

tante de proporcionalidade, à carga elétrica contida na região delimitada por essa mesma superfície.

O interessante dessa lei é ela estabelecer uma relação muito simples entre a carga total dentro

do volume delimitado por uma superfície e o fluxo do campo elétrico através dela. Alterando-se

a superfície, alteramos a quantidade de carga e o fluxo.

( ) ( ) ( ) ( ) ( )0

,, , ,, yx zE r tE r t E r t r t

E r tx y z

∂∂ ∂ ρ∇ = + + =

∂ ∂ ∂ ε

0E

S

QE dsΦ ≡ ⋅ =ε∫∫

cargas elétricas em repouso: eletromagnetismo · considere uma carga pontual de valor q = 250 nc...

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