prof. daniel orquiza de carvalho eletromagnetismo i · eletromagnetismo i - eletrostática •...
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Eletromagnetismo I - Eletrostática
• Teorema de Stokes e L.A. na Forma Pontual
• Rotacional do campo magnético em um ponto
EletromagnetismoI Prof.DanielOrquiza1
Lei de Ampère na Forma Diferencial (Capítulo 7 – Páginas 195 a 203)
Eletromagnetismo I - Magnetostática
• O campo magnético não é conservativo pois o rotacional de H é diferente de zero.
• A forma diferencial da Lei de Ampère relaciona a densidade de corrente J com o
campo magnético H em um ponto (forma pontual).
• Vimos que na eletrostática, se o divergente de D for não nulo em um ponto, há
densidade de carga neste ponto.
• Assim como I, uma distribuição espacial de densidade de corrente J gera (é fonte de)
campo magnético.
Lei de Ampère (Forma Pontual)
• Na magnetostática, se o rotacional de H for não nulo em um ponto, há densidade
de corrente J neste ponto.
Eletromagnetismo I - Magnetostática
• A Lei de Ampère na forma integral para distribuições contínuas de corrente é dada por
S
C
!H ⋅d!l =
!J ⋅d!S
S∫∫
C"∫
• Teorema de Stokes: a circulação de um campo vetorial ao longo de um caminho fechado C é igual a integral de superfície do rotacional do campo ao longo de ‘S’ envolvida por ‘C’. C
S
!H
Lei de Ampère
∇×!H( ) ⋅d
!S
S∫∫ =
!H ⋅d!l
C"∫
Eletromagnetismo I - Magnetostática
Lei de Ampère
• Integrar ao longo de uma superfície envolvida por um caminho fechado corresponde a somar a contribuição (para a circulação) de cada elem. de superfície infinitesimal ΔS que compõe S.
• O componente do rotacional de H na direção an é definido como a circulação de H por unidade de área para uma área infinitesimal ΔS tendendo a zero.
∇×!H( ) ⋅ an = lim
Δs→0
!H ⋅d!l
C"∫ΔS
!H ⋅d!l = ∇×
!H( ) ⋅d
!S
S∫∫
C"∫
∇×!H
Ao somar a contribuição de cada elemento ΔS, os lados adjacentes dentro da superfície se cancelam e o que resta é: !
H ⋅d!l
C"∫
C
VetornormalaΔS
①
②
Eletromagnetismo I - Magnetostática
• Igualando os lados direitos da L.A. na forma integral e do teorema de Stokes temos:
S
C
• O teorema de Stokes é válida para qualquer caminho C (e qualquer superfície envolvida por C).
C
S
!H
Lei de Ampère Forma Pontual
∇×!H( ) ⋅d
!S
S∫∫ =
!J ⋅d!S
S∫∫
∇×!H =!J
• Por isso, o integrando em ambos os lados da eq. acima tem que ser igual.
• Lei de Ampère na forma diferencial:
Eletromagnetismo I - Magnetostática
• Uma densidade de campo em um ponto do espaço gera circulação (rot ≠ 0) do campo magnético.
S
C
• Assim como na maioria das equações que vimos até o momento, as fontes são colocadas do lado direito.
C
S
!H
Lei de Ampère Forma Pontual
∇×!H =!J
• Os campos gerados pelas fontes, são colocados do lado esquerdo da equação.
• Diferente da eletrostática, onde:
∇×!E = 0,
o campo magnético não é conservativo.
• O campo vetorial ilustrado abaixo possui rotacional diferente de zero?
∇×!H =
∂Hz
∂y−∂Hy
∂z⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ ax +
∂Hx
∂z−∂Hz
∂x⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ ay +
∂Hy
∂x−∂Hx
∂y⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ az =
!J
Eletromagnetismo I - Magnetostática
• Qual componente do rotacional existe?
• Imagine que o campo vetorial representa a velocidade de um fluído!
∇×!H =
∂Hz
∂y−∂Hy
∂z⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ ax +
∂Hx
∂z−∂Hz
∂x⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ ay +
∂Hy
∂x−∂Hx
∂y⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ az =
!J
Eletromagnetismo I - Magnetostática
• A bola apresentará movimento de rotação? Ao redor de que eixo?
Eletromagnetismo I - Magnetostática
26/06/17 9
∇×!H =
∂Hz
∂y−∂Hy
∂z⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ ax +
∂Hx
∂z−∂Hz
∂x⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ ay +
∂Hy
∂x−∂Hx
∂y⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ az =
!J
Eletromagnetismo I - Magnetostática
26/06/17 10
• Qual campo vetorial ilustrado abaixo possui rotacional? • Qual campo vetorial ilustrado abaixo possui divergente?
Eletromagnetismo I - Magnetostática
EletromagnetismoI Prof.DanielOrquiza11
Lei de Ampère Forma Pontual
• Em Coord. Cartesianas a L.A. na forma pontual fica:.
• Lembrando que o rotacional pode ser calculado pelo determinante de:
∇×!H =
∂Hz
∂y−∂Hy
∂z⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ ax +
∂Hx
∂z−∂Hz
∂x⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ ay +
∂Hy
∂x−∂Hx
∂y⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ az =
!J
∇×!H =
ax ay az∂∂x
∂∂y
∂∂z
Hx Hy Hz
Eletromagnetismo I - Magnetostática
EletromagnetismoI Prof.DanielOrquiza12
Lei de Ampère Forma Pontual
• A L.A. na forma pontual pode ser expressa em outros Sistemas de Coordenadas
usando o operador Rotacional no sistema em questão.
• Em Coordenadas Cilíndricas, o operador Rotacional fica:
• Em Coordenadas Esféricas, o operador Rotacional fica:
∇×!H =
1ρ∂Hz
∂φ−∂Hφ
∂z⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ aρ +
∂Hρ
∂z−∂Hz
∂ρ
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ aφ +
1ρ
∂ ρHφ( )∂ρ
−1ρ
∂Hρ
∂φ
⎛
⎝⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟ az
∇×!H =
1rsenθ
∂ Hφsenθ( )∂θ
−∂Hθ
∂φ
⎛
⎝⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟ ar +
1r
1senθ
∂Hr
∂φ−∂ rHφ( )∂r
⎛
⎝⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟ aθ +
1r∂ rHθ( )∂r
−∂Hr
∂θ
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ aφ