prof. daniel orquiza de carvalho eletromagnetismo i · § grandezas escalares ... § campos...

EletromagnetismoIProf.DanielOrquizadeCarvalhoEl

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Prof.Dan

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SJBV

•  Objetivo:

§  Introduzir notação que será usada neste e nos próximos cursos.

§  Relembrar as ferramentas matemáticas básicas que serão usadas.

§  Revisar Sistemas de coordenadas

Revisão Analise Vetorial e Sist. de Coord.

EletromagnetismoI Prof.DanielOrquiza1

Revisão básica álgebra vetorial e Sist. de Coordenadas (Páginas 1 a 22 no Livro texto)

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Revisão de Análise Vetorial

§  Grandezas Escalares

§  Ex: massa (m), temperatura (T), tensão elétrica (V) densidade (ρ), etc.

§  Fasores

§  Grandezas Vetoriais

§  Ex: Campos elétrico e magnético (E e H), velocidade (v), posição (rp)

§  Notação (negrito): E, H, v, rp (ou E, H, v, rp)

§  Vetores unitários: ax, ay, az, i, j, k (ou ax, ay, az)


ˆ ˆ ˆ

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§  Grandezas Vetoriais possuem intensidade, direção e sentido no espaço.

§  Diferentes formas de escrever:

Análise Vetorial


Ax é um número

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Análise Vetorial


e.g. T( r ) = T(x, y, z)

§  Campos Escalares representam a distribuição espacial de grandezas escalares.

r = (x, y, z) é o vetor posição

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§  Campos Vetoriais representam a distribuição espacial de grandezas que possuem intensidade, direção e sentido.

Análise Vetorial


Vetor Campo Vetorial

§  Para visualizar Campos Vetoriais no espaço, os vetores do campo são amostrados em pontos discretos no espaço, embora o campo normalmente exista em toda a região.

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§  Um Campo Vetorial em um sistema de coordenadas tridimensional é representado por três Campos Escalares (multiplicando vetores unitários).

Análise Vetorial


Campo Vetorial

Ex( r ) = Ex(x, y, z)

Ey( r ) = Ey(x, y, z)

Ez( r ) = Ez(x, y, z)

Ex não é número, é função

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§  Campos Escalares e Vetoriais (Exemplo: Simulação Numérica)

Análise Vetorial


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§  Campos Escalares e Vetoriais (Exemplo Simulação Numérica)

Análise Vetorial


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§  A magnitude ou valor absoluto de um vetor A em coordenadas cartesianas é dada por:

Análise Vetorial


§  Como fica o vetor unitário na direção de A?

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§  Exemplo: A magnitude do vetor posição (rp) do ponto P em coordenadas cartesianas é:

Análise Vetorial


!rp = 32 + 42+ 52

!rp = 50 = 7,07

§  O vetor unitário na direção rp é:

arp = 3ax + 4ay + 5ay

7,07

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Vetor distância RPQ (distância de P a Q)

Aritmética Vetorial


RPQ = rQ – rP

§  O vetor distância entre os pontos P e Q cujas posições são dadas pelos vetores posição rP e rQ é:

§  Para os pontos da figura ao lado, qual é o vetor RPQ?

!RPQ = (2−1)ax + (−2− 2)ay + (1−3)az = ax − 4ay − 2az

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§  O produto escalar entre dois vetores A e B é igual ao produto das magnitudes dos dois vetores pelo cosseno do angulo θAB entre A e B:

Algebra Vetorial


θAB

A

B

§  O produto escalar entre A = Axax + Ayay + Azaz e B = Bxax + Byay + Bzaz é:

§  Como eu calculo o produto escalar em coordenadas cartesianas?

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§  O Produto escalar é útil para projetarmos um vetor em uma dada direção (encontrar componente do vetor nesta direção).

Algebra Vetorial


θx

E

Ex

Ex = E � ax

Ex = |E| |ax| cos θ

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§  O produto vetorial entre dois vetores A e B é o vetor cuja magnitude é a área do paralelepípedo formado por A e B e cuja direção e sentido são dados pela regra da mão direita com os dedos apontando para A e girando em direção a B.

Algebra Vetorial


§  O produto vetorial entre A = Axax + Ayay + Azaz e B = Bxax + Byay + Bzaz é:

ˆ

§  Como eu calculo o produto escalar em coordenadas cartesianas?

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§  Sistemas de coordenadas ortogonais são sistemas onde os eixos são perpendiculares entre si.

§  Para realizar integrais no Sistema Cartesiano,

O elemento de linha é:

O elemento de superfície é:

O elemento de volume é:

Sistemas de Coordenadas

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Sistemas de coordenadas cilíndricas

§  Para transformar as coordenadas do ponto P do sistema cilíndrico para o cartesiano:

§  Para transformar as coordenadas do ponto P do sistema cartesiano para o cilíndrico:


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§  Para realizar integrais no Sistema Cilíndrico,





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Sistemas de coordenadas esféricas

§  Para transformar as coordenadas do ponto P do sistema esférico para o cartesiano:

§  Para transformar as coordenadas do ponto P do sistema cartesiano para o esférico:


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§  Para realizar integrais no Sistema Esférico,





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Eletromagnetismo I


Transformação de campos vetoriais entre sistemas de coordenadas

§  Como fazemos para transformar vetores unitários entre os sistemas?

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§  Para transformar Campos Vetoriais do Sistema Cartesiano para o Cilíndrico usamos:

Eletromagnetismo I



§  Para transformar os vetores unitários do Sistema Cilíndrico para o Cartesiano usamos:

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§  Para transformar Campos Vetoriais do Sistema Cilíndrico para o Cartesiano usamos:

Eletromagnetismo I



§  Para transformar os vetores unitários do Sistema Cartesiano para o Cilíndrico usamos:

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Eletromagnetismo I


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Exemplo

Dados o ponto P(-2, 6, 3) e o vetor A = yax+(x+z) ay, expresse P e A coordenadas cilíndricas. Determine A em P no sistema cilíndrico.

Eletromagnetismo I


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