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SJBV

Revisão Analise Vetorial e Sist. de Coord.

•  Objetivo:

§  Introduzir notação que será usada neste e nos próximos cursos.

§  Relembrar as ferramentas matemáticas básicas que serão usadas.

§  Revisar Sistemas de coordenadas

EletromagnetismoI Prof.DanielOrquiza1

Revisão básica álgebra vetorial e Sist. de Coordenadas (Páginas 1 a 22 no Livro texto)

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Revisão de Análise Vetorial

§  Grandezas Escalares

§  Ex: massa (m), temperatura (T), tensão elétrica (V) densidade (ρ), etc.

§  Grandezas Vetoriais

§  Ex: Campos elétrico e magnético (E e H), velocidade (v), posição (rp)

§  Notação (negrito): E, H, v, rp (ou E, H, v, rp)

§  Versores: ax, ay, az, i, j, k (ou ax, ay, az)


ˆ ˆ ˆ

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Análise Vetorial

§  Grandezas Vetoriais possuem intensidade, direção e sentido no espaço.

§  Diferentes formas de escrever:


aqui Ax é um número

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Análise Vetorial

§  Campos Escalares representam a distribuição espacial de grandezas escalares.


e.g. T( r ) = T(x, y, z)

r = (x, y, z) é o vetor posição

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Análise Vetorial

§  Campos Vetoriais representam a distribuição espacial de grandezas que possuem intensidade, direção e sentido.


Vetor Campo Vetorial

§  Para visualizar Campos Vetoriais no espaço, os vetores do campo são amostrados em pontos discretos no espaço, embora o campo exista em toda a região.

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Análise Vetorial

§  Um Campo Vetorial em um sistema de coordenadas tridimensional é representado por três Campos Escalares (multiplicando vetores unitários).

Campo Vetorial

Ex( r ) = Ex(x, y, z)

Ey( r ) = Ey(x, y, z)

Ez( r ) = Ez(x, y, z)

Ex não é número, é função

E.g. : !E = x2 + y3( ) ax + cos 2π y( ) ay

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Análise Vetorial

EletromagnetismoI Prof.DanielOrquiza

!E(z, t) = Ex0 cos ωt ∓ kz+φ[ ] ax !H (z, t) = Hy0 cos ωt ∓ kz+φ[ ] ay

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Análise Vetorial

§  Campos Escalares e Vetoriais (Exemplo: Simulação Numérica)


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Análise Vetorial

§  Campos Escalares e Vetoriais (Exemplo Simulação Numérica)


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Análise Vetorial

§  Dado o vetor A em coordenadas cartesianas, cuja magnitude ou valor absoluto é dada por:


§  Como fica o vetor unitário na direção de A?

R:

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Análise Vetorial

§  Exemplo: A magnitude do vetor posição (rp) do ponto P em coordenadas cartesianas é:


!rp = 32 + 42+ 52

!rp = 50 = 7,07

§  O vetor unitário na direção rp é:

arp = 3ax + 4ay + 5ay

7,07= (0,42426 ; 0,56569 ; 0.70711)

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Aritmética Vetorial

Vetor distância R (distância de P a Q)


R = RPQ = r – r'

§  O vetor distância entre os pontos P e Q cujas posições são dadas pelos vetores posição r' e r é:

§  Para os pontos da figura ao lado, qual é o vetor R?

!R = (2−1)ax + (−2− 2)ay + (1−3)az = ax − 4ay − 2az

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Aritmética Vetorial

Vetor distância RPQ (distância de P a Q)


r

r’

R

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Algebra Vetorial

§  O produto escalar entre dois vetores A e B é igual ao produto das magnitudes dos dois vetores pelo cosseno do angulo θAB entre A e B:


θAB

A

B

§  O produto escalar entre A = Axax + Ayay + Azaz e B = Bxax + Byay + Bzaz é:

§  Como eu calculo o produto escalar em coordenadas cartesianas?

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Algebra Vetorial

§  O Produto escalar é útil para projetarmos um vetor em uma dada direção (encontrar componente do vetor nesta direção).


θx

E

Ex

Ex = E � ax

Ex = |E| |ax| cos θ

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Algebra Vetorial

§  O produto vetorial entre dois vetores A e B é o vetor cuja magnitude é a área do paralelepípedo formado por A e B e cuja direção e sentido são dados pela regra da mão direita com os dedos apontando para A e girando em direção a B.


§  O produto vetorial entre A = Axax + Ayay + Azaz e B = Bxax + Byay + Bzaz é:

ˆ

§  Como eu calculo o produto escalar em coordenadas cartesianas?

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Sistemas de Coordenadas

§  Sistemas de coordenadas ortogonais são sistemas onde os eixos são perpendiculares entre si.

§  Para realizar integrais no Sistema Cartesiano,

O elemento de linha é:

O elemento de superfície é:

O elemento de volume é:


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§  Como exêmplo, vamos considerar E dado por:


!E = x2 + y3( ) ax + cos 2π y( ) ay

§  Sem nos preocuparmos (por enquanto) com o caminho de integração, como ficaria a integral de linha (circulação, se o caminho for fechado)?

!E ⋅d!l∫ = x2 + y3( ) ax + cos 2π y( ) ay⎡

⎣⎤⎦⋅dx ax∫

+ x2 + y3( ) ax + cos 2π y( ) ay⎡⎣

⎤⎦⋅dy ay∫

+ x2 + y3( ) ax + cos 2π y( ) ay⎡⎣

⎤⎦⋅dz az∫

§  Simplificando: !E ⋅d!l∫ = x2 + y3( ) ⋅dx ∫ + cos 2π y( ) ⋅dy ∫

= 0

Integral de linha

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§  Sem nos preocuparmos com a superfície de integração, como ficaria a integral de superfície em Cord. Cartesianas?

!E ⋅d!s∫∫ = x2 + y3( ) ax + cos 2π y( ) ay⎡

⎣⎤⎦∫∫ ⋅ dy dz ax( )

+ x2 + y3( ) ax + cos 2π y( ) ay⎡⎣

⎤⎦∫∫ ⋅ dx dz ay( )

+ x2 + y3( ) ax + cos 2π y( ) ay⎡⎣

⎤⎦∫∫ ⋅ dx dy az( )

§  Simplificando:

= 0

Fluxo

!E ⋅d!s∫∫ = x2 + y3( )∫∫ dy dz + cos 2π y( )∫∫ dx dz

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§  Sem nos preocuparmos com a superfície de integração, como ficaria a integral de superfície em Cord. Cartesianas?

!E ⋅!E( )dv∫∫∫

= x2 + y3( ) ax + cos 2π y( ) ay⎡⎣

⎤⎦⋅ x2 + y3( ) ax + cos 2π y( ) ay⎡⎣

⎤⎦dx dy dz∫∫∫

Integral volumétrica

!E ⋅!E( )dv∫∫∫ = x2 + y3( )

2+ cos2 2π y( )⎡

⎣⎢⎤⎦⎥∫∫∫ dx dy dz

§  Simplificando:

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Sistemas de coordenadas cilíndricas


§  Para transformar as coordenadas do ponto P do sistema cilíndrico para o cartesiano:

§  Para transformar as coordenadas do ponto P do sistema cartesiano para o cilíndrico:

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§  Para realizar integrais no Sistema Cilíndrico,





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Sistemas de coordenadas esféricas


§  Para transformar as coordenadas do ponto P do sistema esférico para o cartesiano:

§  Para transformar as coordenadas do ponto P do sistema cartesiano para o esférico:

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§  Para realizar integrais no Sistema Esférico,





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Eletromagnetismo I


Transformação de campos vetoriais entre sistemas de coordenadas

§  Como fazemos para transformar vetores unitários entre os sistemas?

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§  Para transformar Campos Vetoriais do Sistema Cartesiano para o Cilíndrico usamos:

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§  Para transformar os vetores unitários do Sistema Cilíndrico para o Cartesiano usamos:

Muitas vezes é nescessário transformar também o próprio campo vetorial.

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§  Para transformar Campos Vetoriais do Sistema Cilíndrico para o Cartesiano usamos:

Eletromagnetismo I



§  Para transformar os vetores unitários do Sistema Cartesiano para o Cilíndrico usamos:

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Eletromagnetismo I


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Eletromagnetismo I

Exemplo

Dados o ponto P(-2, 6, 3) e o vetor A = yax+(x+z) ay, expresse P e A coordenadas cilíndricas. Determine A em P no sistema cilíndrico.


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Eletromagnetismo I

Exemplo

Converta os pontos P(1, 3, 5), T(0, -4, 3) e S(-3,-4,-10) para coordenadas cilíndricas.


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