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EletromagnetismoIIProf.DanielOrquizadeCarvalhoEl

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SJBV

Ondas Planas: Incidência Oblíqua

EletromagnetismoI Prof.DanielOrquiza16

•  Reflexão de ondas planas na interface entre dielétricos com incidência oblíqua:

•  Polarização paralela

•  Polarização perpendicular

•  Angulo de Brewster

Ondas planas: Reflexão de ondas (Capítulo 12– Páginas 428 a 437)

SJBV

Reflexão de Ondas Eletromagnéticas

•  Por simplicidade vamos considerar meios sem perdas (σ1 = σ2 = 0).


•  Vamos considerar a reflexão de uma ondas plana na interface entre dois meios

dielétricos, com incidência oblíqua.

•  O campo E de uma Onda Plana Uniforme pode ser representado por: !E !r, t( ) =

!Eo cos ωt −

!k ⋅ !r( )

•  Onde a a polarização está embutida no termo Eo, e k é o vetor de onda, que aponta na

direção de propagação, que não é mais a direção de z. !k = kxax + kyay + kzaz

•  Considerando o vetor posição r em coordenadas cartesianas: !r = xax + xay + xaz,

⇒ k2 = kx2 + ky

2 + kz2 =ω 2µε

•  O campo elétrico se propagando na direção dadas por k fica: !E !r, t( ) =

!Eo cos ωt − kxx − kyy− kzz( )

Faze

rdesen

hodek

1

SJBV

Reflexão de Ondas Eletromagnéticas com Incidência Oblíqua


•  Na forma fasorial, o campo fica:

•  Substituindo esta equação para a onda plana na L. F.:

•  Vemos que, para uma Onda Plana Uniforme se propagando na direção de k:

!E !r( ) =

!E0e

− j!k ⋅!r =!E0e

− j kxx+kyy+kzz( )

∇×!E =

ax ay az∂∂x

∂∂y

∂∂z

Ex Ey Ez

= −∂ µ!H( )∂t

∇×!E =

ax ay az− jkx − jky − jkzEx Ey Ez

= − j!k ×!E

2

SJBV


Reflexão de ondas planas

•  Além disso, o lado direito da L.F fica:

•  Substituindo a equação dos campos de uma onda plana nas Eqs. de Maxwell para

meios sem fontes resulta em:

•  Da L.G.E e da L.G.M. Vemos que k é perpendicular a E e H.

−∂ µ!H( )∂t

= − jωµ!H

!k ×!E =ωµ

!H

!k ×!H = −ωε

!E

!k ⋅!H = 0

!k ⋅!E = 0

(L.F.)

(L.A.)

(L.G.E.)

(L.G.H.)

•  Da L.F. e da L.A. vemos como calcular H dados E e k (ou como calcular E dados H e k). !H =

1ωµ

!k ×!E = ak ×

!E

η3

SJBV



•  Se uma Onda Plana Uniforme incide numa interface em z = 0 de forma a formar

um ângulo θi com relação à normal, há uma onda refletida e uma transmitida.

•  Os campos das ondas incidente, refletida e transmitida são tais que:

•  Vamos desconsiderar momentaneamente a polarização embutida nos termos Eio, Ero e

Eto.

•  O plano de incidência é o plano que contém o vetor k da onda incidente e a normal à

interface.

!Ei =

!Eio cos ωit − kixx − kiyy− kizz( )

!Er =

!Ero cos ωrt − krxx − kryy− krzz( )

!Et =

!Eto cos ωtt − ktxx − ktyy− ktzz( )

(incidente)

(refletida)

(transmitida)

4

SJBV

Reflexão de Ondas Eletromagnéticas com incidência Oblíqua


!ki

ε1, µ1

!kr

ε2, µ2y z

x

θi

θr θt

SJBV



!kt

ε1, µ1 ε2, µ2y z

x

!kr

θi

θr θt

SJBV



•  Como vimos, na interface (z=0) a condição de Contorno que terá que ser satisfeita

é:

•  Para que a condição seja satisfeita independentemente da posição ao longo de x (e y),

temos que ter:

•  Estas últimas condições são denominadas de condições de casamento (ou acordo)

de fase.

•  A frequência da onda não pode mudar na interface (considerando que os meios são

lineares). ωi =ωr =ωt =ω

(1)

kix = krx = ktx = kx e

kiy = kry = kty = ky.

(2)

• Em

z =

0 a

s con

diçn

oes p

ara

kz n

ao im

porta

m.

(3)

!E

i

t z = 0( )+!E

r

t z = 0( ) =!E

t

t z = 0( )

5

SJBV



!kix

!kiz

!krx !

krz

!ktx

!ktz

• A

dota

mos

um

pla

no p

ara

o qu

al k

iy =

kry

= k

ty =

0

•  Podemos reescrever a condição de acordo de fase para kx como:

kisenθi = krsenθre

kisenθi = ktsenθt

•  Contudo, para meio sem perdas a constante de atenuação é nula e no meio 1:

ki = kr = β1 =ω µ1ε1

•  No meio 2:

(4)

(5)

(6)

(7)kt = β2 =ω µ2ε2

6

SJBV



•  Substituindo (6) em (4) concluímos que o ângulo de incidência é igual ao angulo

de reflexão.

•  Substituindo (7) em (5):

• Em

z =

0 a

s con

diçn

oes p

ara

kz n

ao im

porta

m.

θr =θi

senθtsenθi

=β1β2

=ωv2ωv1

=µr1εr1µr2εr2

n = cv= µr1εr1

•  Utilizando a definição de índice de refração:

•  E o fato de que para a maioria dos dielétricos µr1 = 1: senθtsenθi

=senθ2senθ1

=n1n2 ⇔ n1senθ1 = n2senθ2

•  Note que a Lei de Snell e a condição θr = θi são consequência da condição de acordo

de fase na interface.

COLO

CARGRAFS

ANGULO

CRITICO

7

SJBV

Incidência Oblíqua: Γ e τ para polarização paralela


•  Duas polarizações são possíveis no caso de incidência oblíqua:

•  Polarização perpendicular: O campo E das ondas incidente, refletida e transmitida é

perpendicular ao plano de incidência

•  Para polarização paralela, orientação dos campos das ondas incidente, refletidas e

transmitidas são ilustradas na Figura (próximo Slide).

•  Polarização paralela: O campo E das ondas incidente, refletida e transmitida é

paralelo ao plano de incidência

•  Lembrando que o plano de incidência é o plano que contém o vetor k da onda

incidente (e das demais ondas) e a normal à interface.

• Se

a o

rien

taça

o de

Ei,

Er

e E

t na

fig

ura

segu

inte

est

iver

erra

da e

la se

rá c

orri

gida

pel

o si

nal d

e ga

mm

a e

T

8

SJBV



!kt

ε1, µ1 ε2, µ2y z

x

!kr

θi

θr θt

!ki

!Ei!Hi

!Er

!Hr

!Et

!Ht

• Se

a o

rien

taça

o de

Ei,

Er

e E

t na

fig

ura

segu

inte

est

iver

erra

da e

la se

rá c

orri

gida

pel

o si

nal d

e ga

mm

a e

T

•  Incidência oblíqua na interface entre dois meios (Polarização Paralela)

SJBV

Incidência Oblíqua: Γ e T para polarização paralela


•  No meio 1, o vetor de onda da onda incidente é:

• Se

a o

rien

taça

o de

Ei,

Er

e E

t na

fig

ura

segu

inte

est

iver

erra

da e

la se

rá c

orri

gida

pel

o si

nal d

e ga

mm

a e

T

!Ei = Eio cosθiax − senθiaz( )e− jβ1(xsenθi+zcosθi )

!Hi =

Eio

η1e− jβ1(xsenθi+zcosθi )ay

!kix

!kiz

y z

x

!ki

!Ei

!Hi

θi!ki = β1senθiax +β1 cosθiaz

•  Eio possui componentes em x e z: !Ei

!Hi

θi!Eix

!Eiz

!Eio = Eio cosθiax − senθiaz( )

θi•  Os campos da onda incidente no meio 1 são:

Componentes de k

Componentes de E

9

SJBV



•  No meio 1, o vetor de onda da onda refletida é: !krx

!krz

y z

x

θr

!kr = β1senθrax −β1 cosθraz

•  Ero possui componentes em x e z: !Erx

!Erz

!Ero = Ero cosθrax + senθraz( )

•  Os campos da onda refletida no meio 1 são:

!kr!Hr

!Er

θr

!Hr

!Er θr

!Er = Ero cosθrax + senθraz( )e− jβ1(xsenθr−zcosθr )

!Hr = −

Ero

η1e− jβ1(xsenθr−zcosθr )ay

Componentes de k

Componentes de E

SJBV



•  No meio 2, o vetor de onda da onda transmitida é:

!ktx

!ktz

y z

x

!kt

!Et

!Ht

θt

!kt = β2senθt ax +β2 cosθt az

•  Eto possui componentes em x e z: !Et

!Ht

θt!Etx

!Eto = Eto cosθt ax − senθt az( )

θt•  Os campos da onda transmitida no meio 2 são:

Componentes de k

Componentes de E

!Et = Eto cosθt ax − senθt az( )e− jβ2 (xsenθt+zcosθt )

!Ht =

Eto

η2e− jβ2 (xsenθt+zcosθt )ay

!Etz

SJBV



•  Os campos E e H tangenciais a interface têm de ser iguais dos dois lados.

•  Da C.C. para o campo elétrico (1):

•  A condição de contorno para o campo magnético (que só possui Hy) fica:

• Se

a o

rien

taça

o de

Ei,

Er

e E

t na

fig

ura

segu

inte

est

iver

erra

da e

la se

rá c

orri

gida

pel

o si

nal d

e ga

mm

a e

T

⇒ Eio +Ero( )cosθi = Eto cosθt (8)

(9)⇒1η1

Eio −Ero( ) = 1η2Eto

!E

i

t z = 0( )+!E

r

t z = 0( ) =!E

t

t z = 0( )

!H

i

t z = 0( )+!H

r

t z = 0( ) =!H

t

t z = 0( )

10

SJBV

•  Isolando Eto em (8) e (9), e igualando ambas as equações:


•  Isolando Ero em (8) e (9), e igualando ambas as equações:

•  O Coeficiente de Reflexão para polarização paralela ao plano de incidência é:

η1 cosθi Eio +Ero( ) =η2 cosθt Eio −Ero( )

Eto cosθt −Eio cosθicosθi

= Eio −η1η2Eto

•  O Coeficiente de Transmissão para polarização paralela é:


Γ =Ero

Eio

=η2 cosθt −η1 cosθiη2 cosθt +η1 cosθi

τ =Eto

Eio

=2η2 cosθi

η2 cosθt +η1 cosθi

Coeficientes de Fresnel (polarização

paralela)

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