propagação de ondas eletromagnéticas em meios anisotrópicos
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Propagação de Ondas Eletromagnéticas em Meios
Anisotrópicos:
Dispositivos de Mach-Zehnder
Filipe Manuel Costa Pereira
Dissertação para obtenção do Grau de Mestre em
Engenharia Eletrotécnica e de Computadores
Júri
Presidente: Professor Doutor Fernando Duarte Nunes
Orientador: Professor Doutor António Luís Campos da Silva Topa
Vogais: Professor Doutor António Armando Miranda Rodrigues da Costa
Dezembro 2013
Sem qualquer distinção entre as pessoas a quem direciono os meus agradecimentos e
o quanto lhes estou grato, seguirei apenas a ordem cronológica do meu trajeto até este
momento.
Gostaria de agradecer aos meus pais, que graças ao seu apoio moral, educativo e
económico tornaram tudo isto possível e sem nunca terem deixado de me incentivar.
À minha esposa, que nunca desistiu nem duvidou das minhas capacidades, estando
sempre ao meu lado com o seu apoio incondicional.
Ao meu filho, que pela sua existência me motivou na reta final desta minha maratona
académica.
Por fim mas não em último, ao Professor António Topa que com a sua compreensão e
ajuda tudo fez para que pudesse concluir esta etapa da minha vida.
Resumo
O trabalho do qual resultou esta Dissertação, teve por objetivo principal a realização
de um estudo aprofundado sobre a modelação de dispositivos óticos passivos,
controlados pelo efeito eletro-ótico linear.
No início abordam-se os meios anisotrópicos, avançando para um maior detalhe
relativamente ao efeito eletro-ótico e à modulação eletro-ótica. Por fim, estudaram-se os
diagramas de modulação para algumas configurações de acopladores direcionais e
interferómetros de Mach-Zehnder.
Com os diagramas de modulação obtidos, foi possível dimensionar para um dado
sistema de comunicações óticas, da forma mais adequada, os dispositivos eletro-óticos
necessários para o processamento do sinal de forma a serem obtidas as respostas
pretendidas, bem como avaliar o seu desempenho.
Neste contexto, foram estudados inicialmente os moduladores de fase e amplitude e
posteriormente o acoplador direcional, o acoplador de Mach-Zehnder de 3 e 4 acessos e
o interferómetro de Mach-Zehnder.
A simulação numérica efetuada, teve por base um ambiente de desenvolvimento em
MatLab, sendo considerado o mais apropriado à simulação de dispositivos físicos e
sistemas estudados.
Palavras-chave
Meios Anisotrópicos, Efeito Eletro-Ótico, Acoplador Direcional, Modulador,
Interferómetro de Mach-Zehnder
Abstract
The work that resulted in this thesis, had the main objective to carry out a detailed
study concerning the modeling of passive optical devices, controlled by the linear electro-
optic effect.
In the beginning was an approach to the anisotropic media, advancing to a greater
detail regarding the electro-optic effect and electro-optic modulation. Finally, it was
studied the modulation diagrams of some directional couplers configurations and Mach-
Zehnder interferometers .
With the obtained modulation diagrams, it was possible to dimension for a given
system of optical communications, by the most appropriate way, the required electro-
optic devices for processing the signal to obtain the desired responses, and evaluate its
performance as well.
In this context, it was studied initially the phase and amplitude modulators, and then
the directional coupler, the coupler Mach- Zehnder of 3 and 4 accesses and the Mach-
Zehnder interferometer.
The numerical simulation, was performed based on a develop environment in MatLab,
being considered the most appropriate for simulation of physical devices and studied
systems.
Keywords
Anisotropic Media, Electro-Optic Effect, Directional Coupler, Modulator, Mach-
Zehnder Interferometer
i
Índice
Lista de Figuras .................................................................................................................................. iii
Lista de Siglas ...................................................................................................................................... v
Lista de Símbolos ............................................................................................................................... vii
Capítulo 1 – Introdução ...................................................................................................................... 1
1.1 – Enquadramento ..................................................................................................................... 1
1.2 – Estado Atual ........................................................................................................................... 2
1.3 – Objetivos ................................................................................................................................ 3
1.4 – Estrutura da Tese ................................................................................................................... 4
Capítulo 2 – Meios Anisotrópicos ....................................................................................................... 5
2.1 – Propagação da luz em meios anisotrópicos .......................................................................... 5
2.2 – Tensor Dielétrico ................................................................................................................... 6
2.3 – Elipsóide de índices ............................................................................................................... 7
2.4 – Classificação dos meios anisotrópicos ................................................................................... 9
Capítulo 3 – Efeito Eletro-ótico ........................................................................................................ 13
3.1 – Introdução ........................................................................................................................... 13
3.2 – Efeito de Pockels.................................................................................................................. 15
3.3 – Célula de Pockels ................................................................................................................. 16
3.4 – Efeito de Kerr ....................................................................................................................... 20
Capítulo 4 – Modulação Eletro-ótica ................................................................................................ 23
4.1 – Modulação de Amplitude .................................................................................................... 23
4.1.1 – Modulação Transversal ................................................................................................ 23
4.1.2 – Modulação Longitudinal ............................................................................................... 29
4.2 – Modulação de Fase .............................................................................................................. 31
Capítulo 5 – Dispositivos Fotónicos Passivos ................................................................................... 39
5.1 Acoplador Direcional .............................................................................................................. 39
5.1.1 – Acoplador Direcional 2×2 Uniforme ............................................................................. 40
5.1.2 Acoplador Direcional 1×2 Simétrico ................................................................................ 44
5.2 – Dispositivos Mach-Zehnder ................................................................................................. 46
5.2.1 – Modulador Interferométrico de Mach-Zehnder .......................................................... 47
5.2.2 – Acoplador de Mach-Zehnder ........................................................................................ 50
5.2.3 – Comparação entre acopladores de Mach-Zehnder de 3 e 4 acessos ........................... 54
5.3 – Acopladores de Mach-Zehnder e acopladores direcionais ................................................. 55
Capítulo 6 – Conclusões e Perspetivas de Evolução ......................................................................... 57
Referências ....................................................................................................................................... 61
Apêndice A – Niobato de Lítio .......................................................................................................... 63
ii
iii
Lista de Figuras Capítulo 2 - Meios Anisotrópicos Figura 2.1 – Elipsóide de índices de um meio anisotrópico………………………………………… 15
Capítulo 3 - Efeito Eletro-ótico Figura 3.1 – Célula de Pockels Transversal…………………………………………………………………. 22 Figura 3.2 – Célula de Pockels Longitudinal……………………………………………………………….. 23
Capítulo 4 - Modulação Eletro-ótica Figura 4.1 – Configuração do modulador eletro-ótico transversal, incluindo um
cristal e um par de polarizadores cruzados. O campo elétrico aplicado, paralelo ao eixo ótico do cristal, é transversal á direção de propagação……. 22
Figura 4.2 – Configuração do modulador eletro-ótico longitudinal, incluindo um cristal e um par de polarizadores lineares cruzados. O campo elétrico aplicado, paralelo ao eixo ótico do cristal, é coincidente á direção de propagação……………………………………………………………………………………………….. 23
Figura 4.3 – Célula de Pockels caracterizada pela matriz 6x3 (grupo de simetria 4-tetragonal)………………………………………………………………………………………………… 36
Figura 4.4 – Novo referencial dos eixos dielétricos principais……………………………………. 37 Figura 4.5 – Configuração do modulador eletro-ótico longitudinal de fase. O campo
elétrico externo, aplicado paralelamente ao eixo ótico do cristal, é coincidente com a direção de propagação………………………………………………… 40
Capítulo 5 – Dispositivos Fotónicos Passivos Figura 5.1 – Configuração de um acoplador direcional 2×2 Uniforme…………………….…. 44 Figura 5.2 – Potência ótica de saída em função da diferença normalizada entre as
constantes de propagação………………………………………………………………………… 46 Figura 5.3 – Diagrama de modulação do acoplador direcional 2×2 uniforme…………… 47 Figura 5.4 – Acoplador direcional 1×2 Simétrico………………….……………………………………. 48 Figura 5.5 – Potência ótica de saída em função da diferença normalizada entre as
constantes de propagação………………………………………………………………………… 49 Figura 5.6 – Diagrama de modulação do acoplador direcional 1×2 Simétrico……………. 50 Figura 5.7 – Modulador interferométrico de Mach-Zehnder em montagem
a) Vista de topo, b) Corte transversal………………………………………………………. 51 Figura 5.8 – Potência ótica de saída em função da diferença normalizada entre as
constantes de propagação………………………………………………………………………… 54 Figura 5.9 – Acoplador de Mach-Zehnder de 4 acessos…………………………………………….. 54 Figura 5.10 – Acoplador de Mach-Zehnder de 3 acessos…………………………………………… 56
iv
v
Lista de Siglas
- Niobato de Lítio
DWDM - Dense Wavelenght Division Multiplexing
EDFA - Erbium-Dopped Fiber Amplifier
WDM - Wavelenght Division Multiplexing
EO - Eletro-ótico
MZ - Mach Zehnder
ADM - Add/Drop Multiplexer
CP - Célula de Pockels
DFB Laser - Distributed Feed-Back Laser
DBK Laser - Distributed Bragg Reflector Laser
vi
vii
Lista de Símbolos
Deslocamento Elétrico
Campo Elétrico
Tensor da Permitividade Elétrica
Constante Dielétrica do Vácuo
Tensor de Impermeabilidades
Índice de Refração
Índice de Refração Ordinário
Índice de Refração Extraordinário
Tensor Eletro-ótico
Campo Elétrico à Entrada
Campo Elétrico à Saída
Campo Elétrico Máximo
Frequência Angular
Frequência Angular do Campo Modulante
Versor
Intensidade Luminosa à Entrada
Intensidade Luminosa à Saída
Atraso Diferencial de Fase
Componente Passiva do Atraso de Fase
Componente Comum do Atraso de Fase
Número de Onda no Vácuo
Número de Onda
Transmissividade
Tensão de Meia Onda
Valor Máximo da Tensão Modulante
Comprimento de Onda
Comprimento de Onda no Vácuo
Constante de Propagação Diferencial
viii
Constante de Atenuação
Constante de Propagação
Matriz de Acoplamento
Potencia
Comprimento de Acoplamento
Refletividade
Potência Ótica
Velocidade de Propagação no Vácuo
Coeficiente de Acoplamento
Matriz de Transferência
1
Capítulo 1 – Introdução
1.1 – Enquadramento
Com as telecomunicações a conquistarem um papel cada vez mais importante na
sociedade tecnológica é cada vez maior a procura de recursos digitais. A Internet,
telefone, televisão, videoconferência, telemedicina, teletrabalho e ensino à distância são
recursos cuja utilização introduziu novas questões tecnológicas e cientificas que são
necessárias resolver.
Nos últimos tempos observou-se um crescimento significativo da capacidade de
transporte, tanto em ritmos de transmissão como a nível de cobertura geográfica. A
procura de recursos digitais teve um incremento tal que ultrapassou a maioria das
previsões o que acabou por esgotar da capacidade de tráfego que os operadores
disponibilizavam. Para que as expectativas criadas nos consumidores não sejam
defraudadas em termos de serviços prestados, torna-se necessário aumentar a eficiência
de transmissão de dados. Isto pode ser conseguido com a criação de uma rede de acesso
que suporte elevados débitos e com o aumento da capacidade de transporte e de
encaminhamento da informação.
O início das primeiras aplicações comerciais de dispositivos óticos integrados em
sistemas de transmissão digital e analógico por fibra ótica foi dos acontecimentos mais
importantes que ocorreu na área da ótica integrada [1]. Tanto nos sistemas terrestres
como nos submarinos, ao contrário dos sistemas convencionais, nos quais a modulação
2
da luz se faz por ação direta sobre o laser, os moduladores eletro-óticos baseados em
substrato de niobato de lítio têm sido extensivamente utilizados na codificação de sinais
digitais [2,3,4], sem que haja variação dinâmica do comprimento de onda das portadoras
luminosas (chirp).
Outra aplicação de extrema importância é a utilização de multiplexadores e
desmultiplexadores de comprimento de onda em sistemas de comunicação com WDM
(multiplexagem no comprimento de onda) para a combinação e separação das diversas
portadoras óticas nos transmissores e recetores [5]. Esta tecnologia tem tido grande
utilização nas ligações óticas ponto a ponto de portadora ótica para multiportadora.
Assim, a WDM surge como a evolução natural para as redes de transporte de informação
atuais, permitindo aumentar a capacidade disponível nas infraestruturas óticas.
1.2 – Estado Atual
A situação atual das telecomunicações óticas aponta para um desenvolvimento das
redes baseado na multiplexagem de comprimentos de onda. Estas redes são constituídas,
fundamentalmente, por ADMs óticos (optical Add/Drop Multiplexers) e Comutadores de
Cruzamento (cross-connects) óticos para o encaminhamento dos sinais WDM.
O facto de haver necessidade de recorrer a secções óticas espaciais mesmo com a
possibilidade de serem implementadas diversas arquiteturas, coloca os comutadores
óticos espaciais como elementos de extrema importância no futuro das redes óticas.
Estes dispositivos não são mais do que moduladores de intensidade e de fase. Sendo
eles agrupados de acordo com uma determinada arquitetura, realizam a condução e
modificação dos sinais óticos, independentemente da codificação de sinal utilizada [1].
No entanto, é importante referir que estas aplicações apenas foram possíveis devido
ao surgimento de materiais com excelentes propriedades eletro-óticas e acusto-óticas,
como o niobato de lítio. Nos últimos tempos as suas características têm sido reconhecidas
no que diz respeito à sua aplicação na construção de guias de onda por difusão, para a
realização de dispositivos óticos integrados [5]. Como as fibras óticas monomodais se
tornaram o principal meio de transmissão ótico e é neste modo que os dispositivos de
niobato de lítio se revelam mais eficientes, levou ao especial interesse no uso desta
3
substância, tornando-se também uma das mais estudadas no contexto da investigação na
área da ótica integrada.
Com o maior conhecimento dos métodos de difusão de Titânio em niobato de lítio,
tornou-se possível construir guias de onda com perdas óticas reduzidas e estruturas
complexas, levando à produção de dispositivos como acopladores direcionais,
moduladores e comutadores de elevado desempenho, LASERs sintonizáveis e osciladores
óticos [1].
Recentemente, tem-se vindo a observar um crescimento considerável na investigação
da produção de dispositivos óticos ativos baseados em niobato de lítio e na sua dopagem
em Érbio de forma a permitir integrar dispositivos passivos e ativos num único substrato
[6,7]. O Érbio é bastante utilizado como elemento ativo em amplificadores de fibra-ótica
(EDFA, Erbium Doped Fibre Amplifiers) e no caso do niobato de lítio será possível atingir
concentrações mais elevadas permitindo uma maior absorção do sinal de bombagem e
consequente aumento de amplificação. As aplicações abrangem igualmente, o domínio
da transmissão por solitões.
1.3 – Objetivos
Neste trabalho é proposto o estudo de dispositivos presentes em redes baseadas na
tecnologia das fibras óticas. Com o grande desenvolvimento desta área, surgiu um
elevado número de dispositivos baseados na propagação em guias dielétricos planares
[8,9,10]. Esta tecnologia denominada Ótica Integrada é baseada na construção de
diversos elementos característicos de um sistema de comunicações óticas sobre um
determinado substrato dielétrico.
Propõe-se o estudo e a modelação de dispositivos fotónicos passivos baseados no
efeito eletro-ótico linear, fazendo-se uma análise da propagação de radiação ótica em
cristais na presença de campos elétricos externos aplicados. Deste modo, abordam-se as
propriedades eletro-óticas do niobato de lítio e a sua influência na propagação de ondas
eletromagnéticas. Serão considerados os tipos mais comuns de dispositivos, em particular
4
os baseados em acopladores direcionais e em estruturas interferométricas, sendo
analisada a respetiva potência ótica na saída do guia.
1.4 – Estrutura da Tese
No Capítulo 2, estudam-se os meios anisotrópicos em geral. Foi deduzida a expressão
do tensor eletro-ótico e o respetivo elipsóide de índices para um cristal como o niobato
de lítio, para meios uniaxiais.
No Capítulo 3, foi estudado o efeito eletro-ótico e a sua utilização como mecanismo de
modulação de ondas luminosas. Com base no efeito de Pockels, foi deduzida a expressão
do tensor eletro-ótico e o respetivo elipsóide de índice para aplicação posterior no estudo
da resposta de um modulador de amplitude. Por fim, fez-se uma pequena abordagem ao
efeito de Kerr.
No Capítulo 4, abordou-se a modulação eletro-ótica, realizando-se um estudo
completo de um modulador de amplitude e de um modulador de fase. Foram
desenvolvidas as expressões que descrevem a variação dos índices de refração ordinário
e extraordinário na presença de campos elétricos externos. Posteriormente deduziu-se a
expressão do tensor eletro-ótico e o respetivo elipsóide de índice, sendo que para cada
um dos casos foi deduzida a expressão para a tensão de meia onda calculando-se os
respetivos valores.
No Capítulo 5, analisaram-se os moduladores suportados em interferómetros de
Mach-Zehnder e baseados em acopladores direcionais. O estudo recaiu num modulador
ótico de amplitude, assente num interferómetro de Mach-Zehnder. Considerou-se
também a modulação de intensidade de feixes óticos, estudando-se a resposta de
dispositivos baseados em interferómetros de Mach-Zehnder e em acopladores direcionais
para estruturas de elétrodos convencionais e com inversão de fase.
5
Capítulo 2 – Meios Anisotrópicos
2.1 – Propagação da luz em meios anisotrópicos
A generalidade dos meios para controlar e modificar as propriedades da luz é de
natureza anisotrópica [11,12]. Certos cristais, embora homogéneos são anisotrópicos, isto
é, as propriedades óticas através destes não são idênticas em todas as direções. Num
meio isotrópico, a aplicação de um campo elétrico induz uma polarização que é paralela a
esse mesmo campo e proporcional à suscetibilidade. No caso dos meios anisotrópicos, a
polarização não é necessariamente paralela ao campo elétrico aplicado, sendo sua
direção e magnitude dependentes da direção de aplicação do campo. Nestes casos, a
polarização elétrica é dada por
(2.1)
Em que é um tensor cartesiano de 2ª ordem que caracteriza a suscetibilidade
elétrica e é a permeabilidade elétrica do vazio.
Escrevendo a expressão (2.1) na forma matricial tem-se
(2.2)
6
Sabendo que para o vácuo, o vetor deslocamento elétrico é dado por
(2.3)
Devido à interação do meio material com o campo eletromagnético, tem de se
introduzir o vetor polarização elétrica, resultando
(2.4)
2.2 – Tensor Dielétrico
Relacionando as equações (2.1) e (2.4), chega-se a
(2.5)
onde é a relação da permeabilidade do meio com a susceptibilidade e é o chamado
tensor dielétrico, dado por
(2.6)
Representando na forma matricial,
(2.7)
onde os elementos da matriz são números adimensionais. Quando toma valores reais
o tensor é simétrico, isto é
(2.8)
7
Mesmo num meio anisotrópico, existem certas direções do espaço em que o ângulo
entre o campo elétrico e o deslocamento elétrico é nulo. A essas direções chamam-se
eixos dielétricos principais.
O sistema de eixos dielétricos principais permite representar o tensor na sua forma
mais simples, isto é, na sua diagonal,
(2.9)
2.3 – Elipsóide de índices
Como o índice de refração do meio depende de , ele também varia com a direção de
propagação e com a polarização da luz incidente. Na descrição da anisotropia elétrica é
também útil a definição do inverso do tensor dielétrico, conhecido por tensor de
impermeabilidade elétrica , tendo-se
(2.10)
No referencial (x, y, z) dos eixos dielétricos principais,
(2.11)
Os elementos são os índices de refração das polarizações características, que
fazendo ,
e , se representa
8
(2.12)
O elipsóide de índices, que contém a informação referente ao índices de refração,
permite definir o meio de propagação, sendo dado por
(2.13)
ou seja,
(2.14)
A representação gráfica do elipsóide é mostrada na fig. 2.1, que tem como eixos
principais os índices de refração do material nas direções dos eixos dielétricos principais.
Fig. 2.1 – Elipsóide de índices de um meio anisotrópico
9
2.4 – Classificação dos meios anisotrópicos
Tendo em conta as características dos meios materiais, estes podem ser classificados
em três grandes grupos:
a) Isotrópicos
b) Uniaxiais
c) Biaxiais
Sendo que tanto os uniaxiais como os biaxiais são tipos de meios anisotrópicos.
Nos cristais isotrópicos, os índices de refração nos três eixos principais são iguais e o
elipsóide reduz-se a uma esfera. O tensor dielétrico é da forma diagonal escalar
(2.15)
Para estes meios, qualquer direção constitui um eixo ótico. E entenda-se por eixo
ótico, uma direção do espaço segundo as ondas características (que mantêm a sua
polarização ao propagarem-se) têm a mesma velocidade de fase.
Num meio isotrópico ilimitado, a polarização de uma onda qualquer conserva-se ao
longo da propagação.
Quanto aos meios anisotrópicos, o campo elétrico de uma onda eletromagnética que
se propague nestes meios, pode ser decomposto em duas componentes. Uma no plano
xy (raio ordinário), que se associa a um índice de refração ordinário, . Outra
perpendicular a esta e à direção de propagação da onda (raio extraordinário), que se
associa a um índice de refração extraordinário, . Por darem origem a dupla refração, os
meios anisotrópicos são birrefringentes. Quanto a esta designação, pode ainda dizer-se
10
que se trata de birrefringência linear ou circular, caso a polarização das ondas
características seja linear ou circular, respetivamente.
Embora haja diferenças de fase entre as componentes, causadas por velocidades de
propagação diferentes, existem direções onde todas as ondas com o mesmo
comprimento de onda se propagam com a mesma velocidade, independentemente da
polarização. Essas direções são os já referidos eixos óticos e a secção transversal a esses
eixos é um círculo.
Nos cristais anisotrópicos, as duas denominações já referidas distinguem-se pela
relação dos índices de refração. No caso dos meios uniaxias, , sendo o
tensor dielétrico
(2.16)
Aqui o elipsóide de índices é um elipsóide de revolução, a secção transversal no plano
é um círculo e apenas há um eixo ótico (alinhado segundo ).
Representando o tensor recorrendo às componentes ordinária e extraordinária da
onda eletromagnética, tem-se
(2.17)
Para meios biaxiais, , cujo tensor dielétrico é
(2.18)
11
Nestes a secção transversal no plano é uma elipse e caracterizam-se por terem dois
eixos óticos (localizados no plano ), razão pela qual assumem a designação de meios
biaxiais.
Os cristais anisotrópicos podem ainda ser classificados pelos valores relativos entre os
índices de refração nos eixos principais. Quando num cristal uniaxial o valor de
o cristal é dito positivo e negativo quando . Ou, olhando para as componentes
ordinária e extraordinária da onda, se trata-se de um cristal uniaxial positivo e se
, o cristal é uniaxial negativo.
Num cristal biaxial, esta classificação é feita mediante a proximidade do índice aos
índices e . O cristal é positivo se é mais próximo de e negativo se mais próximo
de .
12
13
Capítulo 3 – Efeito Eletro-ótico
3.1 – Introdução
No capítulo anterior foi abordada a propagação da luz em meios anisotrópicos,
verificando-se que esta se reduz à combinação de dois modos caracterizados a partir do
elipsóide de índices.
Será agora considerada esta mesma propagação mas numa situação em que o meio
anisotrópico está submetido a um campo elétrico aplicado. Verificar-se-á que o campo
elétrico origina uma alteração nas dimensões e orientação do elipsóide de índices.
Este efeito é designado por efeito eletro-ótico, sendo que a relação entre o campo
elétrico e a variação no índice de refração faz-se de duas formas: linear e quadrático. O
efeito eletro-ótico linear, conhecido como o efeito de Pockels, quando atua num sólido,
este é dominante, e geralmente o efeito quadrático não é considerado por ser muito
reduzido. No entanto, o efeito linear não acontece em qualquer material, mas apenas
naqueles cujas redes cristalinas não exibam centro de simetria. Nestes casos, o efeito
quadrático, usualmente conhecido como efeito de Kerr, predomina.
O efeito eletro-ótico e as suas vertentes, linear e quadrática, têm a sua representação
num conjunto de coeficientes. São conhecidos por coeficientes eletro-óticos e traduzem a
14
dependência do tensor de impermeabilidade elétrica com a redistribuição das cargas no
cristal resultante da aplicação do campo elétrico [9].
Este conjunto de coeficientes exprime-se habitualmente por
(3.1)
onde se ignoram as correções de ordem superior à segunda. Sendo que no segundo
membro da equação, temos o primeiro termo que evidencia o efeito eletro-ótico linear
ou efeito de Pockels e as constantes os seus coeficientes. O segundo termo o efeito
eletro-ótico quadrático ou efeito de Kerr e as constantes os seus coeficientes.
Olhando para a expressão (3.1) como um desenvolvimento em série e, podendo-se
permutar os índices e dada a simetria do tensor , teremos os coeficientes dados
por
(3.2)
Sendo irrelevante a sequência de derivação, segue-se que os índices e podem
também ser permutados. Por consequência podemos afirmar que
(3.3)
Face a estas regras de permutação é conveniente, e habitual, para abreviar a notação,
introduzir os chamados índices contraídos
15
(3.4)
A adoção desta notação permite a redução no número de coeficientes lineares de
27 para 18 e os coeficientes quadráticos de 81 para 36.
Na presença de um campo elétrico o elipsóide de índices é dado pela forma quadrática
(3.5)
sendo dado pela expressão (3.1). Quando o campo elétrico é removido, o elipsóide
de índices reduz-se à expressão (2.14), a forma simples apresentada no capítulo anterior.
3.2 – Efeito de Pockels
Existem cristais cujos índices de refração se modificam perante a aplicação de um
campo elétrico. Quando esta variação é diretamente proporcional ao campo elétrico,
teremos o conhecido efeito de Pockels, ou efeito eletro-ótico linear [11].
Este efeito representa o termo linear em da perturbação do tensor de
impermeabilidade, envolvendo apenas os coeficientes com desprezo do termo
quadrático, dada a pequenez relativa do campo elétrico aplicado face ao campo elétrico
interatómico (tipicamente da ordem de 100MV/cm).
Este efeito aparece em cristais anisotrópicos, dando a anisotropia aos fenómenos de
birrefringência já referidos.
Para além da anisotropia inerente ao meio, certos cristais uniaxiais podem ter uma
anisotropia extra, induzida pela aplicação do campo elétrico. Tendo em conta a direção
de propagação da luz, caso este campo elétrico seja aplicado na mesma direção, estamos
16
perante o efeito de Pockels longitudinal. Se for aplicado perpendicularmente à direção de
propagação da luz, teremos o efeito de Pockels transversal.
Da expressão (3.5) e fazendo recorrendo a (2.14) e (3.1), desprezando então o termo
quadrático e temos
(3.6)
fazendo , e e usando os índices contraídos virá
(3.7)
Os eixos principais deste novo elipsóide não coincidirão com os eixos iniciais , ,
(para ), e dependerão do campo elétrico aplicado bem
como da natureza do material. O novo sistema de eixos principais pode ser obtido por
rotação da forma quadrática à sua expressão elementar
(3.8)
3.3 – Célula de Pockels
Uma célula Pockels é composta basicamente por um cristal eletro-ótico e dois
elétrodos, os quais fornecem meios de aplicar o campo elétrico externo através do cristal.
Estes elétrodos podem ser constituídos por placas metálicas, no interior das quais se
17
insere o cristal, por filmes metálicos depositados pela técnica de evaporação, ou mesmo,
por tintas metálicas. A célula de Pockels pode ter duas configurações dependendo da
forma como esses elétrodos estão dispostos. Esta será transversal se o campo elétrico é
perpendicular à direção de propagação do feixe e será longitudinal se for paralelo. As
figuras 3.1 e 3.2 ilustram-se essas configurações onde P é um polarizador e A um
analisador onde o cristal está inserido.
Fig. 3.1 – Célula de Pockels transversal
Fig. 3.2 – Célula de Pockels longitudinal
Numa célula de Pockels longitudinal, é utilizado um elétrodo condutor
semitransparente para revestir as extremidades do cristal. Esta configuração proporciona
uma distribuição uniforme do campo elétrico, mas leva a perdas óticas, que por vezes não
são aceitáveis.
As células de Pockels têm diversas aplicações, sendo principalmente em moduladores
e sensores eletro-óticos. Ambas as estruturas requerem a incorporação de um sistema
18
ótico adicional e são projetadas para que uma dada informação seja introduzida no feixe
ótico que se propaga através da célula.
Consideremos o exemplo de uma célula de Pockels transversal de Niobato de Lítio
( ) onde se tem o eixo como a direção de propagação do feixe ótico
monocromático e o eixo ótico do cristal uniaxial orientado segundo .
Considerando que as características de propagação de uma onda ótica num cristal são
completamente descritas pelo elipsóide de índices, o efeito da aplicação de um campo
elétrico externo é mais convenientemente expresso em termos das variações das
constantes do elipsóide de índices, representadas por
(3.9)
A variação linear dos coeficientes
, provocada por um campo elétrico
externo arbitrário, , será definida por
(3.10)
onde .
Apresentando esta equação na forma matricial, teremos
(3.11)
19
A matriz de 6 x 3 é designada por tensor eletro-ótico e o seu formato é determinado
pela estrutura cristalina do meio. Neste caso específico do Niobato de Lítio, tem-se
, pelo que o correspondente tensor eletro-ótico
será definido por
(3.12)
Sabendo que o eixo é o eixo ótico da célula de Pockels constituída pelo cristal
uniaxial de Niobato de Lítio, e que o campo elétrico externo é orientado segundo ,
, o referencial ( ) é, de facto, o referencial dos eixos dielétricos principais.
Fazendo e
, tem-se e , e tendo em conta (2.14),
na ausência de campo aplicado, o elipsóide de índices é dado por
(3.13)
Tomando o tensor eletro-ótico correspondente e tendo em conta (3.9), (3.10) e
(3.11), o elipsóide de índices na presença de um campo externo será descrito pela
seguinte expressão
(3.14)
que, considerando que a polarização do campo externo aplicado está dirigida segundo e
o facto de o cristal ser uniaxial, se reduz á forma
20
(3.15)
ou seja
(3.16)
em que
(3.17)
(3.18)
De notar que, como não existem termos compostos em , e na equação do
elipsóide de índices do Niobato de Lítio, os eixos principais de elipsóide permanecem
paralelos aos eixos e , quando é aplicado um campo elétrico externo ao longo da
direção do eixo .
3.4 – Efeito de Kerr
O efeito eletro-ótico quadrático, ou efeito de Kerr, normalmente é desprezável face
ao efeito eletro-ótico linear. No entanto, em meios óticos isotrópicos e cristais
centrossimétricos, o efeito de Pockels não existe sendo apenas dominante o efeito de
Kerr [5].
Para este tipo de meios, a presença de um campo elétrico
provoca o aparecimento de anisotropia. A equação do elipsóide de índices que traduz
21
essa anisotropia obtém-se também da expressão (3.5), recorrendo a (2.14) e (3.1), sendo
que desta feita não existe termo representativo do efeito eletro-ótico linear. Assim,
igualando a zero os coeficientes lineares e usando para os coeficientes quadráticos a
notação de índices contraídos, temos
(3.19)
Dos 36 coeficientes que aparecem muitos são nulos, mas a quantidade depende das
propriedades de simetria cristalográfica de cada material.
Para campos elétricos intensos pode existir uma birrefringência induzida pelo
alinhamento das moléculas do meio. Quando um fluído isotrópico é submetido à ação de
um campo elétrico as suas moléculas tendem a alinhar-se com este. Neste caso a
substância comporta-se opticamente como se fosse um cristal anisotrópico uniaxial no
qual a direção do campo elétrico define o eixo ótico.
A magnitude da birrefringência induzida é proporcional ao quadrado do campo
elétrico, e escreve-se
(3.20)
onde é o comprimento de onda no vazio e a constante de Kerr que depende do
material em questão.
22
23
Capítulo 4 – Modulação Eletro-ótica
Os moduladores eletro-óticos são dispositivos essenciais nos sistemas de
comunicações óticos, uma vez que permitem converter um sinal elétrico modulante num
sinal ótico adequado para transmissão [10]. A modulação pode ser de amplitude, de
frequência ou de fase, ou ainda uma combinação destas várias alterações.
4.1 – Modulação de Amplitude
Existem dois métodos principais de modulação de amplitude: a modulação
transversal, que tem por base a construção de uma célula de Pockels transversal, e a
modulação longitudinal, que por sua vez se baseia também numa célula de Pockles, mas
longitudinal [5].
4.1.1 – Modulação Transversal
No caso da modulação transversal, o campo elétrico aplicado é dirigido
transversalmente à direção de propagação de luz no cristal. O esquema do modulador
transversal está representado na Figura 4.1 e tal como o nome pressupõe, tem por base a
célula de Pockels transversal. Aqui , e representam os eixos dielétricos principais do
elipsóide de índices com campo aplicado nulo (o eixo dos é o eixo ótico) [11].
24
Fig. 4.1 - Configuração do modulador eletro-ótico transversal, incluindo um cristal e um par de
polarizadores cruzados. O campo elétrico aplicado, paralelo ao eixo ótico do cristal, é transversal
á direção de propagação.
Sendo o campo , o elipsoide inicial transforma-se num novo, caracterizado
pelas direções , e .
Dada a posição do polarizador de entrada P, o campo elétrico da onda incidente no
cristal exprime-se por:
(4.1)
com
.
Mesmo após se aplicar o campo exterior, o eixo ótico da célula de Pockels é o eixo , o
feixe ótico excita uma onda polarizada segundo que se propaga com uma constante
de propagação e uma onda polarizada segundo que se propaga com uma
constante de propagação .
À saída do cristal de comprimento , tem-se
(4.2)
E à saída do analisador A, cruzado com o polarizador de entrada, transmite um campo
(4.3)
25
Admitindo que por definição se tem,
(4.4)
(4.5)
Então tem-se que,
(4.6)
(4.7)
E usando estas equações,
(4.8)
ou seja,
(4.9)
Definindo a intensidade luminosa correspondente a como,
(4.10)
e a correspondente a como,
(4.11)
que relacionando ambas,
26
(4.12)
Sendo a transmissividade da célula de Pockels representada na figura 4.1, esta é
dada por,
(4.13)
Aplicando uma tensão modulante entre a face de e a face
de de uma célula de Pockels de Niobato de Lítio, substituindo as equações (3.17) e
(3.18) em (4.4) tem-se o atraso diferencial de fase,
(4.14)
onde é a componente passiva do atraso e dada por,
(4.15)
Considerando que é uniforme entres as faces de e do cristal da célula
de Pockels, pode introduzir-se a tensão tal que,
(4.16)
Podendo simplificar-se a equação (4.14) a,
(4.17)
onde é para e é ,
27
(4.18)
A esta tensão dá-se o nome de tensão de meia-onda e é um parâmetro
característico do modulador.
Quando o comprimento da célula de Pockels é aumentado em relação à sua largura
, o valor desta tensão reduz.
Através das equações (4.13) e (4.17), a partir da tensão modulante tira-se que
(4.19)
e que pode ser reescrita
(4.20)
Sendo a expressão exata da transmissividade para a tensão modulante aplicada e
onde se considerou
(4.21)
No entanto, a expressão dada pela equação (4.20) tem a desvantagem do termo
dependente do tempo não ser uma réplica da tensão aplicada . Contudo, é possível
superar esta desvantagem como se pode demonstrar.
Considerando,
(4.22)
28
A equação (4.20) é
(4.23)
E supondo ainda que e e tendo em conta a equação (4.21),
reescreve-se com razoável aproximação
(4.24)
conseguindo assim que o termo dependente do tempo seja uma réplica da tensão
aplicada .
Porém, para que a equação (4.11) se verifique, é necessário que
(4.25)
para estar de acordo com a equação (4.15).
Na maioria das aplicações, este é impraticável ter este comprimento para o cristal
utilizado na célula de Pockels. Assim, pode assegurar-se de duas formas que
. A
primeira passa pela introdução de uma placa retardadora adicional entre a célula de
Pockels e o analisador. A segunda consiste em fazer a tensão modulante igual a
(4.26)
onde é uma tensão contínua.
Assim, a equação (4.17) resulta em
(4.27)
onde se simplificou com
29
(4.28)
Basta assim fazer com que
, sendo
(4.29)
4.1.2 – Modulação Longitudinal
No caso da modulação longitudinal, o cristal é submetido a um campo elétrico
aplicado ao longo do eixo ótico, o eixo dos . O cristal é atravessado por luz que se
propaga também ao longo do eixo ótico. O esquema do modulador longitudinal está
representado na Figura 4.2 e tal como o nome pressupõe, tem por base a célula de
Pockels longitudinal.
À entrada existe um polarizador cujo eixo de transmissão coincide com o eixo dos .
À saída existe um polarizador cruzado com o primeiro, isto é, o seu eixo de transmissão
coincide com o eixo dos .
Fig. 4.2 - Configuração do modulador eletro-ótico longitudinal, incluindo um cristal e um par de
polarizadores lineares cruzados. O campo elétrico aplicado, paralelo ao eixo ótico do cristal, é
coincidente á direção de propagação.
Sendo a propagação ao longo do eixo ótico, os dois modos normais são degenerados
e o cristal comporta-se de forma isotrópica. A onda eletromagnética luminosa é do tipo
30
ordinário, entra e sai do cristal com polarização linear segundo propagando-se com uma
velocidade de fase . Dada a posição do analisador a luz que dele emerge terá
intensidade nula, .
Quando se aplica um campo elétrico externo a situação modifica-se e a
intensidade luminosa à saída do conjunto vem modulada por .
Como a propagação no interior no cristal é segundo (direção de ) a interseção do
elipsoide pelo plano normal a define no plano uma elipse de semieixo e a
que correspondem dois modos normais com polarizações paralelas a e a .
o campo elétrico da onda incidente no cristal exprime-se por,
(4.30)
com
.
As componentes e propagam-se independentemente ao longo do cristal, de
comprimento , com constantes de propagação distintas, respetivamente e . O
campo da onda incidente à saída do cristal, em , é dado por
(4.31)
Deste campo, apenas é transmitido pelo analisador a projeção sobre o eixo dos :
(4.32)
Tendo em conta as equações (4.4) onde agora,
(4.33)
onde substituindo as equações (3.17) e (3.18)
31
(4.34)
Admitindo uniformidade para o campo aplicado, o produto traduz a tensão elétrica
modulante entre as faces e . O valor desta tensão que traduz um atraso de
fase igual a é,
(4.35)
4.2 – Modulação de Fase
A modulação de fase é outro tipo de modulação e que se baseia na alteração de fase
da onda portadora. Este tipo de modulação constitui uma operação fundamental no
controlo dos dispositivos eletro-óticos. A variação do índice de refração, induzida por um
campo elétrico externo, produz uma variação de fase na onda luminosa que se propaga
num guia de ondas dielétrico pertencente ao dispositivo.
A célula de Pockels da Figura 4.3 é caracterizada pela matriz 6x3 (grupo de simetria 4-
tetragonal), com o coeficiente eletro-ótico dada por
(4.36)
Fig. 4.3 - Célula de Pockels caracterizada pela matriz 6x3 (grupo de simetria 4-tetragonal)
32
Na ausência de campo elétrico aplicado, o cristal que constitui a célula de Pockels é
uniaxial sendo o seu índice de refração ordinário e o índice de refração
extraordinário.
Como o eixo ótico está alinhado com o eixo z, a equação do elipsoide de índices não
perturbada é dada por
(4.37)
e o elipsoide de índices modificado será dada por
(4.38)
como o campo elétrico aplicado está orientado segundo z,
(4.39)
Como na Equação (4.39), o termo cruzado não envolve o eixo , se for , o
novo referencial dos eixos dielétricos principais então deverá ter-se . Quanto aos
eixos serão de acordo com a Figura 4.4
(4.40)
Fig. 4.4 – Novo referencial dos eixos dielétricos principais
33
Assim, da Equação (4.40), vem
(4.41)
(4.42)
(4.43)
Substituindo as Equações (4.41), (4.42) e (4.43) na Equação (4.38), tem-se
(4.44)
onde
(4.45)
(4.46)
Para que o termo cruzado da Equação (4.44) seja nulo é necessário ter-se
ou seja,
(4.47)
Tendo em conta a Equação (4.46), e atendendo à Equação (4.47), tem-se
(4.48)
Tira-se da Equação (4.45) que
34
(4.49)
Pelo que
(4.50)
Por outro lado, tem-se
(4.51)
ou, de acordo com a Equação (4.47)
(4.52)
Logo, da Equação (4.50) e da Equação (4.52), tem-se que
(4.53)
Deste modo, como , a Equação (4.44) reduz-se a
(4.54)
em que
(4.55)
(4.56)
35
Assim, substituindo a Equação (4.53) nas Equações (4.55) e (4.56), obtém-se
finalmente
(4.57)
(4.58)
pelo que o cristal se torna biaxial.
A configuração de um modulador de fase é a mesma de um modulador de amplitude
longitudinal, estando no entanto o polarizador de entrada alinhado com o eixo e o
analisador deixa de estar presente.
Uma montagem possível para modulação eletro-ótica de fase é a que se indica na
Figura 4.5 [11]
Fig. 4.5 – Configuração do modulador eletro-ótico longitudinal de fase. O campo elétrico externo,
aplicado paralelamente ao eixo ótico do cristal, é coincidente com a direção de propagação.
À entrada da célula de Pockels tem-se
(4.59)
e à saída vem
36
(4.60)
Para um campo aplicado da forma
(4.61)
obtém-se
(4.62)
em que
(4.63)
e
(4.64)
Fazendo
(4.65)
em que
(4.66)
vem ainda
(4.67)
37
onde se introduziu a tensão de meia onda
(4.68)
As Equações (4.67) e (4.62) mostram, assim, como se obtém a modulação de fase com
um índice de modulação .
38
39
Capítulo 5 – Dispositivos Fotónicos Passivos
Foi abordado no capítulo anterior, a análise de um modulador de fase eletro-ótico
mas na maioria dos sistemas de comunicação óticos utilizados atualmente, a modulação
da portadora ótica é realizada com modulação de amplitude, sobre o nível de potência
que transporta. Uma vez que o efeito eletro-ótico apenas induz uma variação de fase do
feixe ótico propagante, a modulação de intensidade é baseada na interferência entre
modos óticos e implementada sobre estruturas dielétricas específicas.
Embora existam várias possibilidades, a análise que se segue focar-se-á nos
moduladores suportados em estruturas interferométricas de Mach-Zehnder e baseados
em acopladores direcionais [13, 14].
5.1 Acoplador Direcional
Acopladores direcionais são dispositivos que acoplam parte da energia transmitida
através de uma linha de transmissão para outra porta, muitas vezes utilizando duas linhas
de transmissão (guias) dispostas suficientemente perto para a energia que flui através de
uma das linhas se acople à outra.
Estes dispositivos são muito utilizados para comutação ótica. O acoplador direcional é
caracterizado pelo seu comprimento de interação , pelo comprimento de acoplamento
e pela diferença entre as constantes de propagação entre os dois guias.
40
O comprimento de acoplamento é definido como o mínimo comprimento necessário
para obter uma completa transferência de onda de um guia para o outro quando não
existe diferença entre as constantes de propagação entre os dois guias.
A relação entre o comprimento de acoplamento e a constante de acoplamento , é
dada por . A característica de transmissão ótica depende do comprimento de
interação normalizado e da diferença entre as constantes de propagação dos dois
guias.
Com a introdução de elétrodos na região de acoplamento consegue-se obter
modulação das ondas devido ao efeito eletro-ótico. Ao aplicar-se uma tensão nos
elétrodos, altera-se o índice de refração dos guias o que irá conduzir a uma alteração nas
constantes de propagação das ondas nos dois guias [3, 4, 10].
As características de modulação do acoplador dependem da estrutura dos guias, do
comprimento de interação, da tensão aplicada e também da configuração de colocação
dos elétrodos na região de interação.
5.1.1 – Acoplador Direcional 2×2 Uniforme
Um acoplador direcional 2×2 uniforme apresenta uma configuração onde tanto na
entrada como saída dos guias de onda estão suficientemente afastados de tal forma que
não há acoplamento ótico dos campos entre si. Por outro lado na região central os dois
guias estão suficientemente próximos para haver acoplamento ótico. Para tal, é colocada
uma secção uniforme de elétrodos, normalmente numa configuração push-pull [3, 4, 10], e
quando é aplicada uma tensão, o campo elétrico vai introduzir uma alteração igual mas
em oposição de fase nas constantes de propagação dos dois guias , que irá originar
uma modulação das características óticas de transferência.
O esquema de um acoplador deste tipo é ilustrado da figura seguinte
41
Fig. 5.1 – Configuração de um acoplador direcional 2×2 Uniforme
Usando a teoria do acoplamento modal (que não é abordada neste trabalho), as
características óticas de transferência podem ser analisadas do seguinte modo. Sendo
e a amplitude normalizada, complexa do campo nos dois guias de acoplamento
a uma distancia de propagação , temos que os campos de saída e estão
relacionados com os campos de entrada e e através da matriz de transferência
do acoplamento ótico
(5.1)
onde , são os elementos complexos da matriz de transferência dados por
(5.2)
(5.3)
sendo e .
Os termos , podem ser escritos em função do comprimento de interação
normalizado e da diferença normalizada entre as constantes de propagação ou por
outras palavras tensão aplicada normalizada
(5.4)
42
(5.5)
onde
(5.6)
Assim, as potências óticas de saída do guia superior e do guia inferior
podem ser apresentadas em função do comprimento de acoplamento normalizado e
também da diferença normalizada entre as constantes de propagação (ou tensão aplicada
normalizada) .
Ao introduzir-se uma onda no guia superior e , a potência ótica de
saída do guia superior obtém-se,
(5.7)
Considerando uma operação de interrupção, o interruptor estará no estado direto
quando a potência ótica na saída se mantêm na totalidade no mesmo guia, e estará no
estado cruzado quando a potência ótica de saída é transferida na totalidade para o outro
guia. No caso do segundo modo de funcionamento, o comprimento de interação da
região de acoplamento é exatamente igual a um comprimento de acoplamento .
Na Figura seguinte é representada a potência ótica de saída em função da diferença
normalizada entre as constantes de propagação.
43
Fig. 5.2 - Potência ótica de saída em função da diferença normalizada entre as constantes de
propagação.
Quando não há tensão aplicada, estamos no estado cruzado e a tensão necessária
para passar para o estado direto é dada pela condição de interrupção .
No caso geral de acopladores direcionais com um comprimento arbitrário nem
sempre é possível comutar totalmente a onda de um guia para o outro. As características
gerais de modulação de dispositivos arbitrários são melhor representada através de
diagramas de modulação e interrupção.
Pode construir-se o diagrama de modulação do dispositivo pela Equação 5.7 que
descreve a potência ótica de saída como função de e .
O diagrama de modulação do acoplador direcional 2×2 uniforme é apresentado na
figura 5.3. É possível ver através do diagrama de modulação que em certas situações é
impossível alterar o seu estado para comutado. Para este dispositivo ser um interruptor
2×2 é necessário que esteja no estado comutado quando não há tensão aplicada
44
Fig. 5.3 - Diagrama de modulação do acoplador direcional 2×2 uniforme
5.1.2 Acoplador Direcional 1×2 Simétrico
Um acoplador direcional 1×2 simétrico apresenta uma configuração que consiste num
único guia de entrada e o qual se divide num par de guias de onda acoplados de
comprimento , com uma região de elétrodos de entrada. Devido à simetria da estrutura,
quando não é aplicada tensão nos elétrodos, a potência ótica na entrada é distribuída
igualmente e com a mesma fase pelos dois guias. Assim, para que funcione e ao contrário
do que acontece no acoplador direcional 2×2 e no interferómetro de Mach-Zehnder [2, 3,
4], não requer uma tensão constante DC.
Fig. 5.4 - Acoplador direcional 1×2 Simétrico
45
Usando novamente a teoria do acoplamento modal, a potência de saída no guia
superior é dada por [1]
(5.8)
Para o funcionamento normal como modulador linear ou como interruptor ótico 1×2
o dispositivo é dimensionado de forma que o comprimento de interação seja
.
Na figura seguinte, é apresentada a potência ótica se saída em função da diferença
normalizada entre as constantes de propagação.
Fig. 5.5 - Potência ótica de saída em função da diferença normalizada entre as constantes de propagação.
Verifica-se que a onda é comutada entre os dois guias de saída através da aplicação
de uma tensão constante que conduza a . A condição de interrupção
para a onda entre os dois guias de saída é assim .
46
Observa-se assim que, em comparação com a configuração estudada anteriormente,
a condição de interrupção é mais eficiente uma vez que para o acoplador direcional 2×2 é
.
Pode construir-se o diagrama de modulação do dispositivo pela Equação 5.7 que
descreve a potência ótica de saída como função de e e onde se pode verificar
que uma onda é completamente comutada entre dois estados quando o comprimento de
interligação normalizado and .
Fig. 5.6 - Diagrama de modulação do acoplador direcional 1×2 Simétrico
5.2 – Dispositivos Mach-Zehnder
Atualmente os dispositivos de Mach-Zehnder desempenham um papel muito
importante no campo das comunicações ótica. Por exemplo, é graças a eles que se
ultrapassam os efeitos negativos da modulação direta de lasers, o chirp. Os dispositivos
Mach-Zehnder são sempre compostos por vários elementos, mas todos eles têm um em
47
comum, todos contêm um modulador de fase. Se este estiver situado entre duas junções
Y é denominado por Interferómetro Mach-Zehnder. Caso esteja entre dois acopladores é
chamado de Acoplador de Mach-Zehnder [5].
O interferómetro permite que a modulação de fase sofrida pelo sinal de entrada
através do modulador de fase seja transformada em modulação de intensidade no sinal
de saída. No caso da comunicação digital, utilizam-se moduladores de amplitude em
configuração de Mach-Zehnder. As gerações mais modernas destes dispositivos já estão
disponíveis comercialmente até 40Gbits/s, sendo as principais aplicações os sistemas de
comunicação transoceânicos, as modernas gerações da SONET e as redes de CATV [1]. O
interferómetro de Mach-Zehnder pode ser usado como filtro ótico ou como um
interruptor.
5.2.1 – Modulador Interferométrico de Mach-Zehnder
Na Figura seguinte é mostrado o diagrama de um modulador de amplitude ótica
utilizando interferómetro Mach-Zehnder.
Fig. 5.7 – Modulador interferométrico de Mach-Zehnder em montagem
a) Vista de topo, b) Corte transversal.
48
Está em configuração push-pull de forma a minimizar o efeito eletro-ótico necessário
para induzir uma determinada diferença de fases entre os dois braços [10]. Os braços do
interferómetro são constituídos por dois guias dielétricos de niobato de lítio ( )
orientados longitudinalmente segundo .
Existem dois elétrodos metálicos do tipo strip-line entre os guias e onde é aplicada a
tensão modulante , originando um campo elétrico transversal alinhado segundo
(direção do eixo ótico do material) no interior dos guias. As ondas, à saída dos braços do
interferómetro, apresentam uma desfasagem proporcional à tensão modulante .
Conforme se representa na Figura 5.7 os campos aplicados aos guias têm polaridade
oposta
(5.9)
No caso do niobato de lítio, o elipsoide de índices é alterado por um campo elétrico
segundo , de acordo com a Equação (3.15). A alteração não é ao nível da orientação dos
eixos do elipsoide mas sim nas suas dimensões. Contudo, mantém o seu carácter uniaxial
[11].
Admitindo que os guias dielétricos são percorridos por ondas TE polarizadas segundo
, com propagação ao longo de , para ambos os guias ter-se-á em conta apenas a onda
extraordinária. No entanto, como o substrato dos guias dielétricos é de material eletro-
ótico (suscetível de alterar o respetivo índice de refração por aplicação dum campo
elétrico), os índices de refração são distintos devido às orientações opostas do
campo externo aplicado:
(5.10)
onde e
.
49
Concluído o percurso na região perturbada (de comprimento ) as ondas emergem
dos dois braços do interferómetro apresentando uma desfasagem
(5.11)
onde se considera (sendo a distancia inter-elétrodos).
Pode modular-se a intensidade da radiação à saída do dispositivo controlando o valor
de . Para
(5.12)
obtêm-se , e intensidade de saída nula.
Para uma dimensão típica, e , para uma radiação com
, de acordo com o valor dado pelos coeficientes eletro-óticos para o niobato de
lítio, obtém-se um valor para a tensão de meia-onda de .
No início a potência ótica é dividida igualmente pelos dois braços, sendo que em cada
um deles as ondas propagam-se independentemente. Num dos braços está aplicada uma
tensão modulante retangular e quando , o campo elétrico é nulo e os dois braços
têm o mesmo comprimento. Os feixes secundários percorrem o mesmo comprimento
ótico e recombinam-se em fase produzindo interferência construtiva:
Quando (com escolhido de forma apropriada), o feixe do braço superior
é afetado. As suas características de propagação alteram-se e sai da região perturbada
com um atraso de fase de 18 ⁰. Assim, ao recombinar-se com o feixe do braço inferior
produz interferência destrutiva . Isto leva a que a potência ótica não
fique confinada no guia de saída, sendo assim perdida por radiação no substrato.
A potência ótica normalizada na saída do guia, pode ser escrita em função da
alteração introduzida pelo efeito eletro-ótico na diferença da constante de propagação
entre os dois guias
50
(5.13)
A diferença de propagação , é linearmente proporcional à tensão aplicada . A
condição de interrupção (switching) é dada por .
Na Figura 5.8, é apresentada a potência ótica de saída em função da diferença
normalizada entre as constantes de propagação. Para , a potência ótica é máxima
à saída do interferómetro, e nula para .
Fig. 5.8 - Potência ótica de saída em função da diferença normalizada entre as constantes
de propagação.
5.2.2 – Acoplador de Mach-Zehnder
Aqui serão estudados os acopladores de Mach-Zehnder de 4 e de 3 acessos,
comparando ambos os dispositivos.
Começando pelo acoplador de Mach-Zehnder de 4 acessos, apresentado na figura 5.9.
51
Fig. 5.9 - Acoplador de Mach-Zehnder de 4 acessos
Apesar de apresentar um comportamento diferente, este dispositivo é semelhante ao
interferómetro. Neste dispositivo, tanto a saída como a entrada são terminadas por
acopladores direcionais, e o núcleo é um modulador de fase. Como é sabido, os
acopladores direcionais integrados são dois guias de ondas óticos paralelos separados por
uma distância reduzida, para que os campos nos dois guias possam interagir através dos
campos evanescentes [2, 3].
Tendo em conta que os acopladores são iguais e simétricos, para este caso, a matriz
de transferência tem a seguinte forma
(5.14)
A potência ótica relativa á porta cruzada é
(5.15)
E a potência ótica relativa á porta direta é
(5.16)
O dispositivo apresenta, então, estado cruzado para ∆φ=2mπ
52
(5.17)
E estado direto para
(5.18)
Observa-se que o dispositivo apresenta estados cruzados e estados diretos perfeitos
quando os acopladores direcionais se comportam como divisores de potência perfeitos,
isto é, para valores .
Caso os acopladores direcionais não sejam divisores de potência perfeitos, para
o estado direto mantem-se perfeito mas o mesmo não acontece com o estado
cruzado. Assim conclui-se que o acoplador de Mach-Zehnder de 4 acessos, mantêm
estados diretos perfeitos, mas apresenta como desvantagem o facto de apresentar
estados cruzados imperfeitos.
Um acoplador Mach-Zehnder de 3 acessos, apresentado na figura 5.10
Fig. 5.10 - Acoplador de Mach-Zehnder de 3 acessos
Consiste num modulador de fase no núcleo, entre uma junção Y no lado de entrada e
um acoplador direcional na saída.
A matriz de transferência do acoplador é dada por
53
(5.19)
sendo os coeficientes são dados por
(5.20)
(5.21)
O parâmetro representa as densidades de fase do acoplador simétrico no lado de
saída.
A troca de fase dentro do modulador de fase é dado por
(5.22)
sendo seguido depois por dois guias de onda óticas paralelas do mesmo tipo. A constante
de propagação do modo do guia é dada por , e a diferença do caminho físico entre os
dois guias de onda do modulador de fase é .
A potencia ótica relativa do estado direto á entrada do modulador de fase é dado por
(5.23)
Assume-se, para simplificar, que o acoplador simétrico comporta-se como um divisor
de potência ( em que ).
Então o dispositivo apresenta estado direto para
54
(5.24)
e estado cruzado para
(5.25)
Para o modulador de fase o dispositivo comporta-se como um divisor de
potência.
Verifica-se que o estado direto e o estado cruzado são perfeitos, se o acoplador
simétrico no lado da saída for um divisor perfeito de potência ( ). Se esta
condição não for verificada, o nível mínimo da potencia relativa do estado cruzado é igual
ao nível mínimo da potencia relativa do estado direto, e dado por
(5.26)
onde representa a diferença das densidades de fase do acoplador direcional do valor
ideal ( ).
5.2.3 – Comparação entre acopladores de Mach-Zehnder de 3 e 4 acessos
Fazendo a comparação entre os acopladores Mach-Zehnder de 3 e 4 acessos, nota-se
que caso os acopladores direcionais sejam divisores de potência perfeitos, para os
estados direto e cruzado, tanto um como outro dispositivo apresentam a mesma
característica de filtro.
Caso o acoplador direcional seja imperfeito, o acoplador Mach-Zehnder de 3 acessos
exibe uma relação de extinção decrescente que é equilibrado para ambos os acessos de
saída.
Por outro lado, no acoplador Mach-Zehnder de 4 acessos, se os acopladores
direcionais não forem divisores de potência perfeitos, por exemplo para , os
55
estados diretos mantêm-se perfeitos mas não acontece o mesmo com os estados
cruzados.
Assim, conclui-se que, embora o acoplador de Mach-Zehnder de 4 acessos mantenha
estados diretos perfeitos, tem a desvantagem de apresentar estados cruzados
imperfeitos.
5.3 – Acopladores de Mach-Zehnder e acopladores direcionais
Comparando os acopladores de Mach-Zehnder com os acopladores direcionais
simétricos, os acopladores de Mach-Zehnder aparentam apresentar apenas
desvantagens, uma vez que os acopladores direcionais simétricos exibem estados
cruzados e diretos perfeitos independentemente dos parâmetros dos materiais.
Mas nos acopladores Mach-Zehnder nem tudo são desvantagens. Estes dispositivos
têm também vantagens importantes como:
- a integração em outros dispositivos de vários tipos;
- a fabricação dos moduladores de fase è muito mais fácil comparativamente com
acopladores direcionais (principalmente devido ao controlo das tolerâncias de fabrico
necessários para os acopladores direcionais simétricos) [2, 3, 4].
56
57
Capítulo 6 – Conclusões e Perspetivas de Evolução
6.1 - Conclusões
O trabalho apresentado neste relatório teve como principal objetivo, desenvolver
uma análise aprofundada e sistemática para o problema da modelização de dispositivos
óticos integrados passivos, controlados pelo efeito eletro-ótico linear de Pockels.
Apresentaram-se, em seis capítulos, temas relacionados com os meios anisotrópicos,
efeito eletro-ótico, modulação eletro-ótica e dispositivos de Mach-Zehnder.
No Capítulo 2, estudam-se os meios anisotrópicos em geral. Em particular, foi
estudada a relação entre vetores deslocamento elétrico e campo elétrico num meio
anisotrópico sem perdas através do tensor dielétrico. Foi deduzida a expressão do tensor
eletro-ótico e o respetivo elipsóide de índices para um cristal como o niobato de lítio,
para meios uniaxiais.
No Capítulo 3, foi estudado o efeito eletro-ótico e a sua utilização como mecanismo
de modulação de ondas luminosas. No início foi apresentado um estudo analítico do
efeito de Pockels, tendo sido desenvolvidas as expressões que descrevem a variação dos
índices de refração ordinário e extraordinário do niobato de lítio na presença de campos
elétricos externos. Com base no efeito de Pockels, foi deduzida a expressão do tensor
eletro-ótico e o respetivo elipsóide de índice para aplicação posterior no estudo da
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resposta de um modulador de amplitude. Por fim, fez-se uma pequena abordagem ao
efeito de Kerr.
No Capítulo 4, abordou-se a modulação eletro-ótica, realizando-se um estudo
completo de um modulador de amplitude e de um modulador de fase. No modulador de
amplitude, embora se tenha abordado também a configuração longitudinal, foi usada
uma configuração transversal. Já no modulador de fase, usou-se uma configuração do
modulador longitudinal de uma Célula de Pockels do grupo de simetria 4-tetragonal.
Foram desenvolvidas as expressões que descrevem a variação dos índices de refração
ordinário e extraordinário na presença de campos elétricos externos. Posteriormente
deduziu-se a expressão do tensor eletro-ótico e o respetivo elipsóide de índice, sendo que
para cada um dos casos foi deduzida a expressão para a tensão de meia onda calculando-
se os respetivos valores.
No Capítulo 5, analisaram-se os moduladores suportados em interferómetros de
Mach-Zehnder e baseados em acopladores direcionais. O estudo recaiu num modulador
ótico de amplitude, assente num interferómetro de Mach-Zehnder, que reparte a
potência do sinal aplicado à entrada pelas duas secções transversais do circuito. Os dois
sinais são sujeitos ao efeito eletro-ótico que após a integração de ambos dará origem a
um sinal modulado em amplitude. Conclui-se assim que, ao otimizar a tensão a aplicar e
com o correto funcionamento do modulador, resulta o sinal de saída modulado da
interferência construtiva e destrutiva entre sinais. Considerou-se também a modulação
de intensidade de feixes óticos, estudando-se a resposta de dispositivos baseados em
interferómetros de Mach-Zehnder e em acopladores direcionais para estruturas de
elétrodos convencionais e com inversão de fase.
6.2 - Perspetivas de Evolução
Com o estudo aprofundado dos dispositivos fotónicos passivos simples, este revela-se
uma mais-valia para o progresso, expansão e desenvolvimento das redes de
telecomunicações que utilizam as fibras óticas.
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Sendo que esta dissertação se centrou nos dispositivos passivos, seria interessante
avançar para o estudo de dispositivos ativos, tais como EDFAs e LASERS. Com isso poderia
orientar-se o trabalho futuro para a criação de uma plataforma de análise com
capacidade de integrar dispositivos ativos e passivos em simultâneo.
Nesse campo, seria possível obter resultados mais precisos com a introdução de
elementos não lineares nos modelos e a simulação de sistemas suportados na
transmissão de solitões [5].
Outra área de extrema importância é a dos sistemas de transmissão na tecnologia
DWDM, onde dispositivos como multiplexadores, desmultiplexadores e LASERs DFB e DBR
têm vindo a assumir um papel cada vez mais significativo nas redes de comunicações
óticas [1].
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61
Referências
[1] Amnon, Yariv, Optical Electronics in Modern Communications, Oxford University
Press, New York, USA, 1997
[2] R. März, Integrated Optics - Design and Modelling, Artech House, Boston, pp. 169-
250, 1995.
[3] K. J. Ebeling, Integrated Optoelectronics, Springer-Verlag, Berlin, 2nd ed., pp. 109-
173, 1992.
[4] T. Tamir, ed., Guided-Wave Optoelectronics, Springer-Verlag, Berlin, pp. 74-86,
1988.
[5] J. A. Brandão Faria, Ótica Fundamentos e Aplicações, Instituto Superior Técnico,
Lisboa, Setembro de 1994
[6] João G. Reis, Análise e Simulação de Componentes Fotónicos Passivos,
Universidade de Coimbra, 1999
[7] Paulo S. André, Componentes optoelectrónicos para redes fotónicas de alto
débito, Universidade de Aveiro, 2002
[8] C. Vassallo, Optical Waveguide Concepts, Elsevier, Arnsterdam, pp. 27-35, pp. 180-
187, 1991.
[9] A. Yariv and P. Yeh, Optical Waves in Crystals, Wiley, New York, pp. 425-469, 1984.
[10] H. Nishihara, M. Haruna, and T. Suhara, Optical Integrated Circuits, McGraw Hill,
New York, 2nd ed., pp. 46-95, 1989.
[11] C. R. Paiva and A. L. Topa, Meios Anisotrópicos, Instituto Superior Técnico, Lisboa,
Junho de 2003
[12] J. M. Torres Pereira, Propriedades Óticas dos Materiais, Instituto Superior
Técnico, Lisboa, 2004
[13] A. Yariv, Optical Electronics, Holt, Rinehart and Winston, New York, 4th ed., pp.
490-536, 1991.
[14] H. A. Haus, Waves and Fields in Optoelectronics, Prentice-Hall, Englewood Cliffs,
New Jersey, pp. 197-253, 1984.
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Apêndice A – Niobato de Lítio
Como sabemos, o niobato de lítio é o material de substrato mais utilizado em ótica
integrada por exemplo em multiplexers e demultiplexers controlados do ponto de vista
eletro-ótico, guias de onda óticos e moduladores. De seguida são apresentados algumas
das características do niobato de lítio.
Chemical Formula Crystal Class Trigonal, 3m
Lattice Constant, a=5,148 c=13,863
Molecular Weight 147,9
Density, at 283 K 4,644
Transmittance range, 350-5500
Dielectric Constant at 100 KHz (perpendicular), ( (parallel)
85,29
Melting Temperature, K 1530
Curie Temperature, K 1415
Thermal Conductivity, at 300 K 5,6
Thermal expansion, at 300 K (perpendicular) ( (parallel)
Specific Heat, cal/(g K) 0,15
Hardness (Mohs)
Bandgap, eV 4,0
Solubility in water None
Color None
Electro-Optical Coefficientes, pm/V at 633 , high frequency
SAW Velocity, m/s 3490-3890
Nonlinear Optical Coefficients, p/m/V at 1064
Synchronism Width: temperature,
spectral, angle,
0,6 2,3 47
Optical Damage Threshold at 1064 , ,
250
Optical Homogeneity Absorption Loss at 1064 Birefringence Gradient
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Refractive Indices at 20
Wavelength,
0,43584 2,39276 2,29278
0,54608 2,31657 2,22816
0,63282 2,28647 2,20240
1,1523 2,2273 2,1515
3,3913 2,1451 2,0822