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  • Ondas eletromagnticas 43

    3Ondas eletromagnticas

    3.1 Introduo ao conceito de onda Para entendermos a propagao, bem outros aspectos fsicos

    relacionados luz, vamos inicialmente rever algumas idias ligadas ao conceito de onda. Comearemos analisando uma onda mecnica, que uma perturbao que caminha num meio material. Um exemplo bastante conhecido o de uma corda estirada no cho sobre a qual se exerce um rpido puxo para cima. Sabemos que se forma um pulso nesta corda e que ele caminha (ou propaga-se) ao longo dela. Esta situao corresponde ao caso de propagao em uma dimenso (direo), ilustrado na Fig. 3.1. Outro exemplo de onda mecnica o caso de uma pedra que cai na superfcie absolutamente calma de um lago. Ao tocar na gua, a pedra provoca um movimento do lquido, na forma de um crculo que aumenta radialmente. Neste caso, temos uma onda que se propaga em duas dimenses, sobre o plano definido pela superfcie do lago. Estes so exemplos de perturbaes que podem ser caracterizados como movimentos ondulatrios chamados pulsos.

    corda parada

    corda com pulso

    v

    Fig. 3.1 - Ilustrao de um pulso propagando-se numa corda.

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  • Ondas eletromagnticas 44

    Uma pergunta pertinente seria: podemos descrever este efeito matematicamente? A resposta obviamente sim e a equao que descreve a propagao da onda, bem como sua soluo, j eram conhecidas desde o sculo XVIII. Se estivermos tratando com ondas unidimensionais, que caminham apenas na direo z, por exemplo, a equao que descreve sua propagao dada por:

    2

    2

    22

    2

    tu

    v1

    zu

    =

    (3.1)

    que envolve derivadas parciais de segunda ordem com relao s variveis espao e tempo. A funo u representa a perturbao provocada pela onda no meio, como por exemplo, a altura do pulso na corda. Por sua vez, v a velocidade com que a onda caminha. Esta equao diferencial tem como solues possveis quaisquer funes que possuam o argumento descrevendo um movimento retilneo uniforme, dado por: z = z0 vt, ou alternativamente, z vt = constante. Nesta ltima expresso, o sinal negativo corresponde a um movimento na direo do eixo z, enquanto que o sinal positivo descreve um movimento na direo negativa do eixo z. Estas solues referem-se s ondas que se propagam sem disperso, isto , o pulso caminha com velocidade constante, sem que haja distoro no seu formato. No Cap. 4 trataremos do caso mais geral em que existe disperso, a qual provoca mudanas no formato do pulso ao se propagar.

    Uma onda pode ser descrita de maneira geral como: u1 = f(z-vt) e u2 = g(z+vt), onde f e g so funes quaisquer. Se houver no meio ondas se propagando simultaneamente nas duas direes, a soluo geral dada pela combinao linear:

    (3.2) vt)g(zavt)f(zauauau 212211 ++=+=onde u e u1 2 representam respectivamente, pulsos caminhando nas direes +z e -z. A combinao linear das ondas presentes no meio, expressa pela eq. (3.2), conhecida como princpio da superposio e ser abordada no problema 3.1. A forma de cada pulso estabelecida pelas funes f e g, e depende das condies iniciais do problema, isto , de como se gera o pulso no meio. Ao contrrio das ondas mecnicas, as ondas eletromagnticas, que discutimos a seguir, no precisam de um meio material para se propagarem.

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  • Ondas eletromagnticas 45

    3.2 Ondas eletromagnticas Por volta de 1870, James Clerk Maxwell introduziu um conjunto de equaes envolvendo os campos eltrico e magntico, colocando de forma clara as equaes empricas existentes na poca. Tambm introduziu o conceito de corrente de deslocamento, tornando a lei de Ampre mais geral. Estas equaes, conhecidas atualmente como equaes de Maxwell, esto discutidas em detalhes nos textos bsicos de eletromagnetismo (ver referncia 3.1). Temos:

    = D.rr

    (3.3a)

    0B. =rr

    (3.3b)

    t/BEx =rrr

    (3.3c)

    tDJHx

    +=r

    rvr (3.3d)

    onde o sistema internacional (MKSA) foi adotado. O ltimo termo da eq. (3.3d) representa a corrente de deslocamento introduzida por Maxwell. Cada uma destas equaes corresponde a uma lei fsica descoberta empiricamente. De acordo com a ordem usada acima temos: lei de Gauss, inexistncia de monopolo magntico, lei da induo de Faraday e lei de Ampre-Maxwell. O significado das grandezas que aparecem neste conjunto de equaes o usual: B

    rEr

    o campo eltrico, a induo magntica, a densidade de portadores livres, J

    r a densidade de

    corrente devida aos portadores livres, PED 0rrr

    += o deslocamento eltrico e o campo magntico. Introduzimos assim, a

    polarizao eltrica M/BH 0rrr

    =

    Pr

    Mr

    e a magnetizao , que correspondem resposta do meio devido presena dos campos eltrico e magntico, respectivamente. As constantes 0 = 8.854x10-12 F/m e = 4x10-70 H/m, determinadas empiricamente, so denominadas respectivamente de permissividade e permeabilidade do vcuo. As equaes de Maxwell podem ser combinadas de forma a gerar uma nova equao que descreve a onda eletromagntica. Antes, porm, vamos fazer hipteses simplificadoras para as relaes constitutivas que nos do a resposta do meio presena dos campos. Vamos supor relaes

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  • Ondas eletromagnticas 46

    EJrr

    =EP 0rtr

    = HM mrtr

    =lineares do tipo , e (conhecida como lei de Ohm), onde

    t e t

    m so respectivamente as susceptibilidades eltrica e magntica e a condutividade eltrica. Em geral

    t um tensor, de

    forma que as polarizaes e os campos podem no ser paralelos. Entretanto, neste captulo vamos considerar apenas meios isotrpicos, nos quais e

    tt

    m so escalares, isto , ij = ij. Voltaremos a abordar o carter tensorial destas grandezas quando tratarmos da propagao da luz em meios anisotrpicos dentre os quais se enquadram diversos tipos de cristais. Desta forma, D

    rEr

    = Er

    =+= PED 0rrr

    E)1(0r

    + , onde e so

    paralelos. Analogamente, Br

    = Hr

    , onde = (1+ 0 m). Definiremos a constante dieltrica como k 0 = /e = (1+) e a constante magntica como km = /0 = (1+ m).

    Estamos interessados em estudar a propagao de ondas eletromagnticas num meio livre e homogneo, isto , = J

    r = 0, e no

    dependem da posio. Tomando-se o rotacional da eq. (3.3c) temos:

    )H(t

    )B(tt

    B)E( xxxxxrrrr

    rrrrr

    =

    =

    = (3.4)

    Jr

    )E.()E( xxrrrrrr

    =Usando a eq. (3.3d) com = 0, a identidade vetorial

    0E. =rr

    E2r

    e o fato que num meio livre e homogneo, , obtemos a equao de ondas:

    2

    2

    2

    22

    tED

    tE

    =

    =r

    rr (3.5)

    Analogamente, tomando o rotacional da lei de Ampre-Maxwell e usando as eq. (3.3b) e (3.3c), obtemos uma equao similar para o campo magntico:

    2

    22

    tHH

    =r

    r (3.6)

    Se considerarmos a propagao em apenas uma dimenso (apenas na direo z, por exemplo), o Laplaceano se transforma numa derivada segunda com relao a z, e assim as eq. (3.5) e (3.6) tem a forma da

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  • Ondas eletromagnticas 47

    equao de ondas dada por (3.1). Este tipo de equao j era conhecido na poca, de forma que Maxwell pode concluir que se tratava de uma onda com velocidade de propagao = /1v . interessante enfatizar que quando estas equaes foram obtidas pouco se conhecia sobre a natureza da luz. Apenas quando Maxwell substituiu os valores de e , conhecidos empiricamente atravs de medidas de capacitncia e indutncia, obteve-se que a onda eletromagntica tinha uma velocidade de propagao igual da luz, e assim pode ser feito o relacionamento entre a ptica e o eletromagnetismo. No caso tridimensional, as equaes (3.5) e (3.6) so cada uma um conjunto de trs equaes para as componentes, isto :

    2x

    2

    x2

    tEE

    = (3.7a)

    2y

    2

    y2

    tE

    E

    = (3.7b)

    2z

    2

    z2

    tEE

    = (3.7c)

    Existe ainda um conjunto de equaes similares para o campo magntico. Todas so equaes diferenciais lineares, de segunda ordem, que podem ter uma infinidade de solues, dependendo das condies de contorno impostas pela geometria de cada situao particular. Nas sees seguintes vamos discutir os tipos de solues mais comuns.

    3.3 Ondas harmnicas unidimensionais A equao para a onda eletromagntica unidimensional tem a forma da equao para u e, portanto, sua soluo se constitui de pulsos do tipo:

    E = E(zvt) (3.8a)

    H = H(zvt) (3.8b)

    caminhando com velocidade me0m0e kk/ckk/1/1v === , onde c a velocidade da luz no vcuo (k = ke m =1). Para meios dieltricos e no

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  • Ondas eletromagnticas 48

    ekmagnticos (km=1), temos onde n =,n/ck/cv e == o ndice de refrao do meio.

    Um caso particular muito interessante das solues expressas pelas eq. (3.8a) e (3.8b) o das ondas harmnicas, que so perturbaes peridicas da forma:

    [ ] [ ]t)(kzcosEvt)k(zcosEE oo == (3.9a) [ ]

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