33

Capítulo II

Ondas Planas em Meios Ilimitados

Neste capítulo será realizada uma revisão sobre propagação de ondas eletromagnéticas

em meios isotrópicos ilimitados (sem condições de contorno). Será estabelecida uma equação

de onda que descreve o comportamento dessas ondas no espaço livre, a qual é denominada de

equação de onda de Helmholtz. Uma solução na forma de onda plana será proposta através do

método de separação de variáveis. Uma interpretação cuidadosa desta solução será

apresentada, e, conceitos como fase instantânea, comprimento de onda, impedância intrínseca,

velocidades de fase e de grupo serão introduzidos.

2.1 OBTENÇÃO DAS EQUAÇÕES DE ONDA

2.1.1 Equações de Maxwell na forma pontual

Inicia-se esta análise escrevendo-se as equações de Maxwell na forma temporal, dadas

a seguir [1]:

e =

m t

b

(2.1a)

t

djh

(2.1b)

d (2.1c)

0

b (2.1d)

onde ),( tre

é o vetor campo elétrico [V/m], ),( trb

é a densidade de campo magnético

[Wb/m2=T], ),( trd

é o deslocamento elétrico [C/m2], ),( trh

é o vetor campo magnético

[A/m], ),( trj

é a densidade de corrente elétrica de condução [A/m2], ),( trm

é a densidade

34

de corrente magnética [V/m2] e ),( tr é a densidade de carga elétrica [C/m3], sendo r

o

vetor posição. A representação através de letras minúsculas denota grandezas instantâneas. A

equação (2.1a) corresponde à Lei de Ampére, (2.1b) à Lei de Faraday, (2.1c) à Lei de Gauss

elétrica e (2.1d) à Lei de Gauss magnética.

A seguir, é estabelecida a notação fasorial. Para isto, considere-se um campo

arbitrário ),( tru

, ou, simplesmente )(tu

, tal que:

)(tu

=

0U )cos( t ( 2.2)

no qual 0U

é o vetor amplitude, a frequência angular e a fase. Então, usando-se o

operador real, Re{.}, observa-se que:

)(tu

= Re {

0U )( tje } }{Re 0tjj eeU

( 2.3)

Definindo-se

jeUU

0 ( 2.4)

e substituindo-se (2.4) em ( 2.3), obtém-se o seguinte resultado:

)(tu

= Re { tjeU

} ( 2.5)

A grandeza

U fornece todas as informações relevantes relaciondas à )(tu

, ou seja, amplitude

e fase do campo, e é denominada de fasor* de )(tu

.

2.1.2 Propriedades do operador Re {.}

A seguir são listadas algumas propriedades fundamentais do operador real Re{.}:

a) Re {U

W

} = Re { U

} + Re { W

} ( 2.6a)

b) Re { Ua

} = a Re { U

}, a real ( 2.6b)

c) Re { U

tje } = Re { W

tje } U

=W

( 2.6c)

d) Ux

Re

=

x

U

Re ( 2.6d)

_________________________________________________ *Obs: Este corresponde ao fasor estático, tal como usado na teoria de Circuitos Elétricos. Em

certas partes do curso será usada a notação de fasor girante: tij eeUU

0 .

35

e) Caso particular − derivada no tempo:

tjeUtt

u Re

)(Re tjeUt

)(Re tjet

U

)(Re tjejU

)(Re tjeUj (2.6c) )()( tj

tj

eUjt

eU

( 2.7)

ou seja jt / (aplicado ao fasor girante).

f) Propriedades do operador

})Re{(}Re{ tjtj eUeU

(2.8a)

})Re{(}Re{ tjtj eUeU

(2.8b)

2.1.3 Relações constitutivas em meios lineares

As relações constitutivas referem-se à propriedades de acoplamento entre grandezas,

oriundas da natureza do meio material. Para um meio linear, isotrópico e homogêneo têm-se

b =

h ( 2.9) e

d =

e (2.10)

onde r é a permissividade (F/m) e r é a permeabilidade (H/m) absolutas do

meio (r e r são seus valores relativos, adimensionais). Quando o meio é o vácuo, tem-se

107 H/m e F/m 1012 F/m, sendo r =1 e

r=1, respectivamente.

2.1.4 Equação da continuidade

A equação da continuidade estabelece que um fluxo de cargas elétricas variável no

tempo dá origem a uma distribuição espacial de corrente elétrica [2]:

tj

( 2.11)

36

2.1.5 Equações de Maxwell na forma fasorial

Neste estágio da análise é possível escrever as equações de Maxwell na forma fasorial.

Aplicando-se as propriedades (2.6 a-d), (2.7) a (2.8 a-b) às equações de Maxwell instantâneas

(2.1 a-d), obtêm-se:

E =

HjM ( 2.12a)

H =

EjJ ( 2.12b)

D = ( 2.12c)

B = 0 ( 2.12d)

Da lei de Ohm [1]:

EJ (sendo a condutividade do meio material, medida em S,

siemens), a qual é uma terceira relação constitutiva relacionada às perdas ôhmicas no meio,

pode-se reescrever (2.12b) da seguinte forma:

H =

Ej ( 2.12e)

2.1.6 Equação de onda de Helmholtz

Uma vez obtidos os resultados em (2.12 a-e), inicia-se agora ao estudo da propagação

de ondas eletromagnéticas em um meio material com as seguintes características:

externascorrentesdefontessem

)contornodecondiçõessem(ilimitado

0perdascom

escalares,isotrópico

0homogêneo

,Linear

Meio

HBED

sendo ),,( zyxEE

e ),,( zyxHH

, em coordenadas retangulares.

Aplicando-se o rotacional a ambos os lados de (2.12a), para um meio de propagação

sem correntes magnéticas ( 0M

), obtém-se:

HjE (2.13)

37

Recorrendo-se à conhecida identidade matemática: UUU

2)( , ao lado

esquerdo de (2.13), e utilizando-se ( 2.12b), verifica-se que:

EjjEE )(2 (2.14)

A partir de ( 2.12c), para meio dielétrico linear, tem-se que

E (2.15)

a qual conduz à (regra da cadeia):

EE (2.16)

Como 0 para meios dielétricos homogêneos, obtém-se que

E =

(2.17)

Portanto, substituindo-se (2.17) em (2.14), obtém-se

EjjE )(2

(2.18)

Como o meio é homogêneo, a permissividade e a densidade de cargas não dependem

(das coordenadas) do espaço, e então, 0)/( , e (2.18) assume a forma final

0)(2

EjjE ( 2.19)

uma equação de Helmholtz homogênea (para meio com perdas ôhmicas).

De forma similar, a partir da Eq. ( 2.12e), é possível mostrar que:

H =

Ej )( (2.20)

38

e, portanto,

HH 2)( =

Hjj )( . Devido à (2.12d), tem-se que 0 H

,

e assim, obtém-se uma equação de onda similar a (2.19):

0)(2

HjjH ( 2.21)

outra equação de Helmholtz homogênea.

Um caso de grande interesse refere-se a meios dielétricos perfeitos (sem perdas), nos

quais = 0. Neste caso, (2.19) e (2.21) tornam-se

22b)(20

22a)(20

22

22

.HH

.EE

as quais correspondem às equações de onda de Helmholtz homogêneas para dielétricos ideais.

Estas equações podem ser escritas simplificadamente como:

E2 K2

E = 0 (2.23a)

H2 K2

H = 0 (2.23b)

sendo

K2 = 2 (2.24)

Como (2.23a) e (2.23b) possuem a mesma forma geral (diz-se que são simétricas),

costuma-se resolver somente a primeira delas, uma vez que as soluções de ambas são

similares. Isto não significa que tais soluções sejam iguais, em vista que E

é medido em V/m,

e H

, em A/m. No entanto, possuem a mesma forma geral. Assim, uma vez obtido E

na

equação de onda (2.23a), pode-se obter H

simplesmente aplicando-se (2.12a), por exemplo,

sem a necessidade de resolver uma outra equação de onda, (2.23b).

2.2 SOLUÇÃO DA EQUAÇÃO DE ONDA DE HELMHOLTZ

Uma inspeção preliminar de (2.23) não permite concluir como a onda eletromagnética

se comporta no espaço (meio material). Deste modo, torna-se necessário um estudo mais

detalhado objetivando-se deduzir as soluções gerais para esta equação de onda. Convém

lembrar que o laplaciano de um vetor contém dentro de si três laplacianos escalares:

39

E2

zEyExE zyx222 (2.25 a)

onde,

2

22

x

+ 2

2

y

+ 2

2

z

(2.25 b)

Dessa forma, considerando-se apenas as componentes na direção

x , obtém-se de

(2.23a):

022xx EKE

2

2

x

Ex

+ 2

2

y

Ex

+ 2

2

z

Ex

+ xEK 2 = 0 ( 2.26)

a qual admite solução por separação de variáveis, ou seja, na forma do produto

)()()( zhygxfEx (2.27)

onde f é uma função apenas de x, g apenas de y e h apenas de z. Substituindo-se (2.27) em

(2.26)

2

2

x

fhg

+ 2

2

y

ghf

+ 2

2

z

hgf

+ hgfK 2 = 0 (2.28)

A seguir, divide-se (2.28) pelo produto ( f g h), obtendo-se

2

2 )(

)(

1

x

xf

xf

+ 2

2 )(

)(

1

y

yg

yg

+ 2

2 )(

)(

1

z

zh

zh

= 2K = cte. (2.29)

A primeira parcela do lado esquerdo de (2.29) é função somente de x, enquanto a

segunda é função somente de y, e a terceira é função somente de z. Para que esta soma resulte

num termo constante para todo (x,y,z), é necessário que cada parcela individual também seja

constante. Assim, definem-se

22

21xK

x

f

f

022

2

fKx

fx (2.30 a)

22

21yK

y

g

g

022

2

gKy

gy (2.30b)

22

21zK

z

h

h

022

2

hKz

hz (2.30c)

40

onde

2K 2xK 2

yK 2zK (2.31)

é denominada de condição de separação.

As três equações, (2.30 a-c), são lineares, ordinárias, homogêneas e com coeficientes

constantes. Suas soluções são clássicas, do tipo [1, 2, 3]:

f(x) xjK xe (2.32a)

g(y) yjK ye (2.32b)

h(z) zjK ze (2.32c)

Por conveniência, consideram-se apenas as exponenciais com argumentos negativos (este

sinal será interpretado futuramente), de forma que (2.27) torna-se

zKyKxKjx

zyxeAfghE ( 2.33 a)

onde A é constante. Analogamente, para as componentes yE e zE , obtêm-se

zKyKxKjy

zyxeBE ( 2.33b)

zKyKxKjz

zyxeCE ( 2.33c)

onde B e C são constantes (independentes de x, y e z).

Seja então, o vetor de onda (ou vetor de propagação) K

(rad/m) definido como

zKyKxKK zyx (2.34)

cujo módulo é K, dado por (2.24), e é denominado de constante de fase ou número de onda.

Ainda, definindo-se o vetor constante (independentes de x, y e z),

zCyBxAE0 ( 2.35)

o vetor amplitude (V/m), finalmente chega-se à solução geral da equação de onda (2.23 a):

rKjeEE 0 ( 2.36)

41

onde,

zzyyxxr ( 2.37)

é o vetor posição no sistema de coordenas retangulares.

Conforme será discutido adiante, a direção do vetor 0E

corresponde à polarização da

onda eletromagnética.

A expressão (2.36) constitui a solução geral da equação de onda (2.23 a) no domínio

fasorial. No domínio temporal tem-se, através de (2.5):

tjeEe Re =

)(0Re rKtjeE )(cos0

rKtEe (2.38)

Deve ser ressaltado que

E = )z,y,x(E

é simultaneamente vetor e fasor no domínio da

frequência, enquanto que

e = )t,z,y,x(e

é um vetor no domínio do tempo.

2.3 INTERPRETAÇÃO DA SOLUÇÃO GERAL

Com a solução geral da equação de onda obtida na seção anterior, parte-se agora para

interpretar suas propriedades de propagação no espaço. Define-se a fase total instantânea

(rad) como sendo:

rKtzyxii ),,( ( 2.39)

Calculando-se o gradiente de (2.39) obtém-se

i =

rKt = )(

rK = zyx KzKyKx (2.40)

Contudo, sabe-se do cálculo diferencial que o gradiente de um produto de funções vale:

fggfgf )( (2.41)

e, como

xK = yK = zK = 0 (2.41 a )

e

zyxzyx ,,,, (2.41 b)

conclui-se que (2.40) conduz a

42

i = −

zKyKxK zyx (2.42)

a qual revela que,

K = i ( 2.43)

Como o gradiente de uma função escalar representa um vetor normal à superfície no qual a

função é constante, conclui-se que

K é normal à superfície de fase instantânea constante (ou

equifásica) [2]. Esta superfície é denominada de frente de onda, e constitui uma superfície

cujos pontos apresentam a mesma fase i (x, y, z) = constante em cada instante de tempo t. Na

Fig. 3.1 ilustra-se esquematicamente uma tal frente de onda.

Figura 2.1- Representação de uma frente de onda.

A relação (2.39) informa que a onda se propaga na direção positiva de

r . De fato,

fixando-se em um valor de

rKti constante, nota-se que à medida que o tempo

cresce é necessário que

r aumente a fim de manter o mesmo valor de i .

Na superfície equifásica tem-se

K

r = r constante para t = 0 (sem perda de

generalidade) a qual representa a equação de um plano (desde que

0E seja constante),

conforme se pode verificar com o auxílio da Fig. 2.2. O mesmo se aplica para outros valores

de t 0.

Figura 2.2- Frente de onda plana num dado instante de tempo - Superfície equifásica.

43

Portanto, a solução da equação de onda implica em uma frente de onda plana que se

desloca na direção do vetor

K .

Como (2.19) e (2.21) são similares, a solução para H

deve ser similar a de E

, e

assim, escrevendo-se

E =

0E

rKje ( 2.44 a)

H =

0H

rKje ( 2.44 b)

para 0E

dado em V/m, e 0H

, em A/m. Substituindo (2.44 a) na equação ( 2.12a ), deduz-se

que

E =

rKjeE

0 =

Hj (2.45)

Usando-se a identidade matemática

Af

AfAf (2.46)

verifica-se o seguinte resultado,

0Ee rKj =

rKje

0E

rKje

0E =

Hj ( 2.47)

Para onda plana uniforme,

0E é constante com relação à (x, y, z) e, portanto,

0E = 0. (2.48)

Verifica-se também que,

rKje = ]zKyKxK[j zyxe =

zKyKxKj zyx

rKje =

Kj

rKje (2.49)

Portanto, substituindo-se (2.48) e (2.49) em (2.47), obtém-se que

HjEeKj rKj 0 (2.50)

ou então,

44

HeEK rKj 0 (2.51)

Finalmente, a partir de (2.44 a) e (2.51), conclui-se que

EKH ( 2.52)

a qual revela que

H é normal ao plano estabelecido por

K e

E .

De forma similar, a partir de (2.12b) e (2.44b), mostra-se que:

EjeHH rKj 0

e assim

HKE ( 2.53)

indicando que

E é normal ao plano

H e

K .

A conclusão a que se chega é que os campos

E e

H são perpendiculares entre si e à

direção de propagação

K , conforme ilustrado na Fig. 2.3.

Figura 2.3- Disposição do vetor

H com relação ao plano formado por

K

E .

Este tipo de onda é conhecida como TEM (transversal electromagnetic mode), ou,

onda eletromagneticamente transversal. Podem-se observar mais detalhes a respeito da

propagação dessas ondas através da Fig. 2.4 [2], para K

paralelo a z , e, H

(ou B

) paralelo a

y . Na figura percebe-se uma frente de onda plana, infinita e uniforme, no sentido matemático

(abstrato) estrito. Não se deve confundir o perfil senoidal, para o campo de e

(ou de h

),

como sendo a onda propriamente dita; este tipo de diagrama especifica tão somente a maneira

45

que a magnitude e direção do vetor variam ao longo do espaço. A onda em si corresponde ao

plano infinito transladando-se no espaço, de acordo com (2.38), para zKrK

.

Figura 2.4- Representação esquemática de uma onda eletromagnética plana e uniforme que se propaga ao longo do eixo z.

Estudam-se, a seguir, algumas informações relevantes às ondas eletromagnéticas

(ondas planas) estudadas acima como, por exemplo, o comprimento de onda, impedância

intrínseca, e, as velocidades de fase, de grupo e de energia.

2.3.1 Comprimento de onda ()

Tomando-se, novamente, a fase total instantânea (2.39),

rKti , diferiam-se

ambos os seu membros em relação à r, obtendo-se

rdr

Kd

dr

rdK

dr

d i

(2.54)

Como 0/ drKd

(pois K

independe de r) obtém-se, de (2.54):

rKi

(2.55)

Na direção de propagação, tem-se que K

Krr

. Quando a diferença de fase é

igual a = 2 rad, a distância ao longo da direção de propagação é denominada de

comprimento de onda ( r = ). Com isso, (2.55) conduz a

46

K 2

K

K (2.56)

ou

K

2 (2.57)

onde K pode ser obtido a partir de (2.24), ou seja, K . Na Fig.2.5 ilustram-se

imagens que auxiliam na visualização (interpretação) de .

(a)

(b)

Figura 2.5 – Esboços de campo elétrico. a) Fluxo. b) Frentes de onda plana.

A relação K=2, medido em rad/m, é o correspondente espacial de T, em

rad/s, no tempo. Assim, o comprimento de onda equivale ao período espacial da onda, em

correspondência ao período temporal, T.

47

2.3.2 Impedância Intrínseca () no meio dielétrico sem perdas

A relação (2.52) pode ser reescrita na forma:

HEK

HEKK )( (2.58)

onde K/KK

é o versor (vetor unitário) na direção de propagação. A partir daí obtém-se

HHK

EK

ˆ K

(2.59)

A grandeza tem dimensões de (basta verificar: HEK

ˆ ), e depende apenas das

propriedades do meio numa dada frequência. Ela é denominada de impedância intrínseca

deste meio. Como K , então, (2.59) conduz a

(2.60)

um número puramente real (sistema sem perdas). No vácuo, tem-se:

0

0

= 120 377 (2.61)

Observando-se (2.59) conclui-se que, dado um campo E

, pode-se calcular H

a partir

do valor de do meio.

Além disso, a partir de (2.59), tem-se também que HEEK

ˆ , e assim

H

E

H

E

(2.62)

A impedância intrínseca do meio expressa a relação entre as magnitudes de E

e H

, e

assim, um valor puramente real não está relacionada à dissipação de potência (como no caso

de uma resistência elétrica ou ôhmica, na teoria de Circuitos Elétricos), uma vez que o meio

não tem perdas. Na realidade, se houvessem perdas no meio, os valores de seriam

complexos [1].

48

2.3.3 Velocidade de Fase ( vp )

Tomando-se por referência uma frente de onda qualquer, à medida que o tempo cresce,

a projeção r , conforme representado na Fig. 2.2, tem de crescer, para se obter uma superfície

equifásica. Usando-se (2.39), novamente,

i =

rKt = cte. rKt = cte. (2.63)

A frente de onda se desloca na direção de

K com velocidade igual à taxa de variação de r

no tempo. Assim, derivando-se (2.63) em t:

dt

drK = 0

dt

drv p

= K

(2.64)

A velocidade vp é denominada velocidade de fase, e corresponde a velocidade na qual

um observador (movendo-se com a onda) deve sentir a fase constante em todos os instantes,

como no esquema mostrado na Fig. 2.6 [3]. No exemplo da figura, considera-se que o

observador percebe 2/5 i rad, constante. Então, o ponto P, em t=0, corresponde a

2/50 xi rad, constante, ou seja, encontra-se em 2/5 x rad. Em t = T/4,

tem-se que 32/62/54

2 xx

T

Ti rad. Em t=T/2, tem-se

2/52

2 xT

Ti 2/7 x rad. E assim por diante.

Figura 2.6 – Velocidade de fase.

49

No vácuo tem-se que: 00K , e portanto:

Kv p

=

00

pv = 00

1

= c (2.65)

Substituindo-se os valores de e se obtém 8

97

103

1036

1104

1

c m/s, a

velocidade da luz no vácuo.

Retornando a (2.57) e usando-se (2.64) obtém-se

KK

22

f

f =

f

v

fKp

f

v p (2.66)

No vácuo, tem-se vp=c, e então:

f

c (2.67)

2.3.4 Velocidade do Grupo (vg)

Normalmente, um sinal de informação é composto por uma banda de frequência, cujo

"pacote" completo se propaga no meio com velocidade de grupo. Na Fig.2.7a) ilustra-se um

pacote composto pela superposição de duas ondas planas com frequências levemente

diferentes. A velocidade de grupo representa a rapidez de deslocamento da envoltória da onda

eletromagnética resultante deste pacote, conforme esquematizado na Fig.2.7 b).

A velocidade de grupo é um parâmetro essencial no caso de linhas de comunicação

onde as ondas são guiadas como, por exemplo, em comunicação digital por fibras ópticas.

Nesse caso, ela informa sobre a velocidade com que o sinal de informação se propaga. Com

um pouco de esforço, é possível mostrar que a velocidade de grupo para um sinal em banda

estreita vale [4]:

gv = 0

dK

d1

0

d

dK (2.68)

para uma mensagem cuja banda de frequência esta centrada em 0 .

50

Figura 2.7 – Velocidade de grupo (envoltória) versus velocidade de fase (de pico).

No caso de onda plana não guiada propagando-se em meio isotrópico, ocorre

K , e assim, ddK / . Daí, aplicando-se (2.68), resulta que

pg vddKv /1)//(1 , ou seja, vp e vg são iguais. Isto acontece no caso de

propagação de ondas TEM, mas não em casos de guias de ondas como a fibra óptica.

2.3.5 Velocidade da Energia (ve)

A velocidade da energia (ve) corresponde à velocidade com que a energia se desloca

no meio à medida que a onda se propaga. Mesmo no caso monocromático (única frequência),

existem meios onde ve é diferente de vp como, por exemplo, em meios que exibem anisotropia

dielétrica. Esta situação encontra-se ilustrada na Fig.2.7, onde um feixe óptico TEM desloca-

se diagonalmente em relação à direção de propagação ( K

).

Embora este assunto não seja tratado com profundidade neste curso, é possível mostrar

que [5]

51

ev = AV

AV

W

S,

s

m

m

Jms

J

mJ

mW

2

2

3

2

/

/ (2.69)

onde AVS é o valor médio do vetor de Poynting e AVW é valor médio da densidade de energia

da onda.

Figura 2.7- Diferença entre a Velocidade de Energia e Velocidade de fase.

O vetor de Poynting médio é definido por

AVS = **

Re2

1Re

2

1HEHE

2

2

1}

*Re{

2

1 EEE (2.70)

na qual foram usados HE

, o que conduz a *)90(** 0 HEsenHEHE

, e também,

E

H , (2.71)

no caso de meio isotrópico e sem perdas.

Além disso, sabe-se, do eletromagnetismo [2, 3], que o valor médio da densidade de

energia vale

WAV = (WE)AV + (WH)AV = 4

12E

4

1 2H (2.72)

52

No caso de meio dielétrico, sem perdas e isotrópico, a equação (2.69), em conjunto

com (2.70) a (2.72), conduzem a:

22

22

2

222

2

2

2

2

)(

4

2

4

1

2

1

4

1

4

1

2

1

E

E

EE

E

EE

E

ve

ev =

2

2

=

2

2

.

2

=

1

= pv (2.73)

Ou seja, no caso de onda TEM propagando-se em meio isotrópico, as três velocidades (de

fase, de grupo e da energia) são iguais entre si.

2.4 POLARIZAÇÃO DE ONDAS ELETROMAGNÉTICAS

A polarização de ondas eletromagnéticas fornece informações sobre a orientação dos

vetores de campo à medida que se propagam no meio. Geralmente, toma-se como referência a

orientação do campo elétrico E

. A orientação do campo magnético é deduzida a partir desta.

Assim, o vetor 0E

dado em (2.36) fornece informação sobre a polarização da onda (sendo um

caso particular de polarização linear).

Para classificação dos tipos de polarização, considera-se um plano normal à direção de

propagação, sobre o qual é projetada a extremidade do vetor campo elétrico em todos os

instantes [5]. Desta forma têm-se as polarizações elíptica, circular e linear.

2.4.1 Polarização Elíptica

Nesta situação, a projeção do vetor campo elétrico sobre o plano normal à direção de

propagação descreve uma elipse, conforme mostra a Fig. 2.8. Para analisar este caso,

decompõe-se a onda resultante em termos de duas ondas planas uniformes de mesma

frequência, porém, com fases, amplitudes e direções dos campos diferentes, mas não

arbitrárias. Para um campo elétrico se propagando na direção +z, tem-se:

zKjjyx eyeExEE .

(2.74)

53

Figura 2.8- Polarização Elíptica da Onda Eletromagnética.

Conforme discutido na seção 2.1.1, a forma instantânea do campo elétrico pode ser

obtida a partir da fasorial através de

e = tjKzjjyx

tj eeyeExEeE ]ˆˆ[Re}Re{

(2.75)

Em um plano normal à direção de propagação como, por exemplo, o plano z = 0, as

componentes de campo no domínio temporal, xe e ye , ficam como

xe = )cos( tEx (2.76 a)

ye = )cos( tEy (2.76 b)

correspondentes às equações paramétricas da elipse.

A fim de demonstrar a afirmação acima de forma mais clara, considere-se a seguinte

relação, obtida a partir de (2.76 a):

tE

e

x

x cos (2.77)

a partir da qual se pode calcular

2

1sen

x

x

E

et (2.78)

Por outro lado, a partir de (2.76b), obtém-se

54

sen)(sencos)cos( ttE

e

y

y (2.79)

e assim, subtraindo-se (2.79) de (2.77), e, usando-se os valores de tcos e tsen de (2.77) e

(2.78), vem:

sensencoscoscos tttE

e

E

e

y

y

x

x

= sen1)cos1(2

x

x

x

x

E

e

E

e (2.80)

Reagrupando-se os termos de (2.80), obtém-se

sen1cos2

x

x

y

y

x

x

E

e

E

e

E

e (2.81)

Elevando cada membro de (2.81) ao quadrado, vem

2

22

2

2

sen1cos2cos

x

x

y

y

x

x

y

y

x

x

E

e

E

e

E

e

E

e

E

e

cos2

22

yx

yx

y

y

x

x

EE

ee

E

e

E

e

= 2sen (2.82)

a qual corresponde a uma elipse centrada na origem. Contudo, a presença da parcela

contendo o produto (ex, ey) indica que os eixos principais dessa elipse encontram-se

inclinados em relação ao sistema de coordenadas geométricas, conforme ilustrado na Fig. 2.9.

Sejam (x’, y’) eixos coordenados alinhados com os eixos principais da elipse. Nos

próximos parágrafos, determina-se o ângulo de rotação do sistema (x’,y’) em relação ao

sistema (x,y). Com o auxílio da Fig. 2.9, podem-se derivar as seguintes relações

sencos ''yxx eee (2.83 a)

cossen ''yxy eee (2.83 b)

onde e’x e e’y são as coordenadas do vetor e

no sistema (x’,y’).

55

Figura 2.9- Projeções do vetor campo elétrico de acordo com a elipse centrada na origem.

No sistema (x’,y’) a elipse encontra-se alinhada com os eixos geométricos e, portanto,

não devem aparecer termos contendo produtos e’x e’y. Desta forma, o ângulo pode ser

calculado substituindo-se (2.83 a) e (2.83 b) em (2.82), e impondo-se que o termo contendo

produto cruzado seja identicamente nulo. Executando estas operações, obtém-se finalmente

22

22

yx

yx

EE

cosEEtg

(2.84)

2.4.2 Polarização Circular

Na polarização circular, a projeção do campo elétrico descreve um circulo sobre um

plano normal à direção de propagação. Trata-se de um caso particular de polarização elíptica,

onde as componentes têm a mesma amplitude, são perpendiculares entre si e defasadas de

/2 rad. Ou seja

0EEE yx , 2 (2.85)

Desta forma, tem-se je = 2je = j , e, (2.74) conduz a jKzjyx eyeExEE ]ˆˆ[

=

jKzo eyjExE ]ˆˆ[ 0 , e daí, xe = )cos( tEx )cos(0 tE e ye = )2/cos( tEy

)(0 tsenE . Assim:

56

222

.0 )(

oyx

zKj

Eee

eyjxEE (2.86)

correspondente à equação de um círculo, conforme ilustra a Fig.2.10.

Figura 2.10 - Campo Elétrico polarizado de forma circular.

A forma instantânea do campo elétrico (2.86) é dada por:

yKztExKztEeeyjxEe tjjKz ˆ)(senˆ)cos(})ˆˆ(Re{ 000

(2.87)

Desta forma, o ângulo instantâneo , conforme mostrado na Fig.2.10 (não confundir

com o ângulo, entre eixos, mostrado na Fig. 2.9) é obtido a partir de

tg = )cos(

)(sen

0

0

KztE

KztE

e

e

x

y

= )( Kzttg (2.88)

Extraindo-se o argumento de (2.88), determina-se o ângulo que o vetor

e faz com o

eixo x. Observe-se que, no plano z = 0, tem-se que t.

Os sinais () em (2.88) indicam que existem duas possibilidades de rotação do vetor

campo elétrico, nos sentidos horário ou anti-horário. Segundo a convenção do IEEE (Institute

of Electric and Electronic Engineering), o sentido de rotação deve ser estabelecido por um

observador que percebe a onda afastando-se de si. A rotação horária é denominada de

polarização circular a direita, e, uma rotação anti-horária e denominada de polarização

circular a esquerda.

57

_____________________________________________________________

Exemplo 2.1. Considere-se a seguinte onda polarizada circularmente

e =

yKztExKztE )(sen)cos( 00

Determinar se ela está polarizada à esquerda ou à direita.

Solução: No plano z = 0 têm-se

xEet 00

)(2 0

yEet

Assim, a onda é circularmente polarizada à esquerda.

_____________________________________________________________

Portanto, para polarização circular no sistema de eixos desenhados acima, tem-se a

expressão geral:

e =

ytExtE )(sen)cos( 00 (2.89)

onde o sinal () está associado à polarização à esquerda e (+) com polarização à direita.

2.4.3 Polarização Linear

Na polarização linear, a direção do campo elétrico não se modifica à medida que a

onda propaga-se no espaço. Trata-se de mais um caso particular de onda elíptica, onde as

componentes têm amplitudes arbitrárias e estão defasadas entre si de (m). Assim, (2.74)

torna-se

ZKjyx eyExEE .)(

(2.90)

correspondente à forma instantânea (2.82), fazendo )cos(cos m e 0)( msensen :

58

02

22

yx

yx

y

y

x

x

EE

ee

E

e

E

e 0

2

y

y

x

x

E

e

E

e

xx

yy e

E

Ee (2.91)

a equação de uma reta no plano ( xe , ye )

2.5 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

[1] Collin, R.E., Foundations for Microwave Engineering, 2nd. Edition, McGraw-Hill, 1992,

924p.

[2] Johnk, C.T.A., Engineering Electromagnetic Fields and Waves, 2nd. Edition, John Wiley

& Sons, 1988, 637p.

[3] Krauss. J.D. & Fleisch, D. A., Electromagnetics with Applications, 5th. edition,

McGraw-Hill, 1999.

[4] Einarsson, G., Principles of Lightwave Communications, John Wiley & Sons, 1996.

[5] Yariv, A. & Yeh, P., Optical Waves in Crystals, New York, John Wiley & Sons, 1984.