m c r e tese submetida ao corpo docente da …lizada para o cálculo das integrais em elementos não...
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UMA APLICAÇÃO DO· M:l::TODO DOS ELEMENTOS DE CONTORNO A PROBLEMAS
DA ELASTODINÂMICA NO DOM!NIO DA FREQ01':NCIA
M a.1t-<.<1 e. C a.<1 :tJt o R e b e.lo F o n:t e. n e.ll e. V um a. n<I
TESE SUBMETIDA AO CORPO DOCENTE DA COORDENAÇÃO DOS PROGRAMAS DE
PÔS-GRADUAÇÃO DE ENGENHARIA DA UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JA
NEIRO COMO PARTE DOS REQUISITOS NECESSÂRIOS PARA A OBTENÇÃO DO
GRAU DE MESTRE EM CI:!':NCIAS (M.Sc.) EM ENGENHARIA CIVIL.
Aprovada por:
JOS:I:: CLAUDIO DE FARIA TELLES (Presidente)
• FERNANDO VENÂNCIO
Rio de Janeiro, RJ. - Brasil
Novembro do 1985
DUMANS, MARISE CASTRO REBELO FONTENELLE
Uma aplicação do Método dos Elementos de Contorno a Problemas
da Elastodinâmica no Domínio da Freqüência (Rio de Janeiro) 1985.
x~v, 149 p. 29,7 cm (COPPE/UFRJ, M.Sc., Engenharia
1985) .
Tese - Universidade Federal do Rio de Janeiro, COPPE.
Civil,
1. Problemas da Elastodinâmica no Domínio da Freqüência.
I. COPPE/UFRJ II. Título (série)
AO MEU ESPOSO, CARLOS FERNANDO
A MEUS PAIS, DARINO E LÚCIA
A MEUS IRMÃOS,
FÃTIMA E RICARDO
CLÃUDIA E ALBERTO
J..v
AGRADECIMENTO
Ao Professor José Claudio de Faria Telles, pela
orientação e estímulo constante, tornando possível a realiz.ação
deste trabalho.
V
Abstract of Thesis presented .to COPPE/UFRJ as partia! fulfillment
àf the requirements for the degree of Master of Science (M.Sc.).
AN APPLICATION OF THE BOUNDARY ELEMENT METHOD TO ELASTODYNAMIC
PROBLEMS IN THE FREQUENCY DOMAIN
Marise Castro Rebelo Fontenelle Dumans
November, 1985
Chairman José Claudio de Faria Telles
Department: Civil Engineering
ABSTRACT
The Direct Boundary Element Method is applied to
solve general elastodynamic problems for homogeneous, isotropic
and linearly elastic bodies. The Fourier Integral Transform
technique is used to transform an elliptic partia! differential
equation with respect to time in an equation solvable in the
frequency domain. This equation can be recast, through the
weighted residual method, into an integral equation which, via a
lirniting process, yields the boundary integral equation.
The numerical formulation for the steady-state case
is presented. The numerical integration (Gaussian Q..iadrature) is
employed to evaluate all integrals except those in. the Cauchy
principal value sense which are performed analytically. The third
arder tensors needed for the evaluation of interna! stresses are
also derived.
Finally, three examples are presented. The resul ts
are in excellent agreement with numerical, theoretical and other
authors' results. The Boundary Element Method is shown to be an
economical method for a wide range of practical problems.
Resumo da Tese Apresentada à COPPE/UFRJ como parte dos requisi
tos necessários para a obtenção do grau de Mestre em Ciências (M.Sc.) .
UMA APLICAÇÃO DO Mt!TODO DOS ELEMENTOS DE CONTORNO A PROBLEMAS
DA ELASTODINÂMICA NO DOM1:NI0 DA FREQU!l:NCIA
Marise Castro Rebelo Fontenelle Dumans
Novembro de 1985
Orientador: José Claudio de Faria Telles
Programa Engenharia Civil
RESUMO
O Método dos Elementos de Contorno em sua formula
çao direta é utilizado para a solução de problemas elastodinâmi
cos envolvendo corpos homogêneos e elástico-lineares. Através da
utilização da transformada integral de Fourier, transforma-se a
equaçao diferencial parcial elíptica no domínio do tempo, em uma
equaçao no domínio da freqüência. O Método dos Resíduos Pondera
dos é, então, aplicado a esta equação para se obter a equação ig
tegral nos pontos internos. Utilizando-se um processo de limite,
consegue-se finalmente a equaçao integral no contorno.
A implementação numérica para o caso harmônico é
desenvolvida. A integração numérica (quadratura de Gauss) é uti
lizada para o cálculo das integrais em elementos não singulares.
Nos casos em que a singularidade pertence ao elemento, as inte
grais são calculadas analiticamente inclusive no sentido de va
lor principal de Cauchy. Os tensores de terceira ordem necessá
rios para o cálculo das tensões são obtidos por derivação.
Finalmente, três exemplos sao apresentados. Os re
sultados obtidos apresentam-se em excelente concordância com os
de outros autores. O Método de Elementos de Contorno mostrou-se
econômico para muitos problemas.
r
G e À
\)
-\)
E
p
cl . . l.J
cl ( r)
F . ' ].
F
t
u. J
a .. l.J
NOTAÇÕES
dominio do corpo
contorno do corpo
constantes de Lame
coeficiente de Poisson
= v/ (1 + v)
módulo de elasticidade
densidade de massa
simbolo de Kronecker
função delta de Dirac
derivada espacial na direção i
derivada temporal
tempo
componentes do deslocamento
componentes da tensão
p. J
b. J
"ij
X. l
rot
div
w
T
k
À 1
e. l
componentes das forças de superfície
componentes das forças de volume
componentes das deformações específicas
coordenadas cartesianas
coseno diretor da normal unitária exterior ao con
torno
rotacional
vetor operador
divergente
velocidade de propagaçao das ondas primárias
velocidade de propagaçao das ondas secundárias
freqüência da onda
período
número de onda ou frequência espacial
comprimento de onda ou período espacial
vetor unitário na direção i
u~. l. J
P~. l.J
X
r
l/1 e X
K (Z) V
~, L e N
U e B
ÊÍ
(n) X
Á..X.
componentes dos deslocamentos fundamentais harmô
nicos
componentes das forças de superfície fundamentais
harmônicas
ponto fonte
ponto campo
distância entre 1; e x
funções utilizadas em U~. e P~. l.J l.J
funções de Bessel modificadas da segunda classe de
ordem v
funções de interpolação
vetores dos deslocamentos e das forças de volume
transformados através da transformada integral de
Fourier
vetor das forças de volume dividido por p
vetor das coordenadas nodais para um elemento
vetor dos deslocamentos nodais para um elemento
G
J
e, H e G
A
f
)(
vetor das forças de superfície para um elemento
jacobiano da transformação (para elementos devo
lume)
jacobiano da transformação (para elementos de área)
matrizes (equações (4.2.8))
matriz do sistema final de equaçoes
termo independente do sistema final de equaçoes.
INDICE
Página
CAPITULO 1: INTRODUÇÃO--------------------------------- 2
CAPITULO 2: EQUAÇÕES DO PROBLEMA----------------------- 6
2.1. Introdução---------------------------------------- 6
2.2. Elasticidade Linear------------------------------- 6
2.2.1. Notação Cartesiana Indicial ---------------- 6
2.2.2. Símbolo Delta de Kronecker ----------------- 6
2.2.3. Função Generalizada Delta de Dirac--------- 7
2.2.4. Constantes Elásticas----------------------- 7
2.2.5. Equações de Movimento---------------------- 8
2.2.6. Relações Deformação-Deslocamento----------- 8
2.2.7. Lei de Hooke ------------------------------- 9
2.2.8. Condições Iniciais------------------------- 9
2. 2. 9. Comp:mentes de Força de superfície e de Tensão ---- 9
2.2.10. Condições de Contorno---------------------
2.2.10.1. Deslocamento--------------------
2.2.10.2. Força---------------------------
2.2.11. Equações de Movimento em Termos de Desloca
mentos (Equações de Navier) ---------------
10
10
10
10
2.3. Ondas Primárias (P) e Ondas Secundárias (S) ------- 11
2.4. Equações de Navier em Função das Velocidades C1 e C2 14
2.5. Definição e Geometria das Ondas Planas------------ 14
2.6. Equação de Navier Para o Caso Harmônico----------- 16
CAPITULO 3: FORMULAÇÃO DO MfTODO DE ELEMEN'IDS DE CONTORNO 24
3.1. Introdução---------------------------------------- 24
3 . 2. Soluções Fundamentais----------------------------- 24
3.2.1. Caso Tri-dimensional ---------------------- 27
3.2.2. Caso Bi-dimensional ----------------------- 29
3. 3. Equação Integral Para os Pontos Internos---------- 32
3.4. Tensões nos Pontos Internos----------------------- 35
3. 5. Equação Integral- no Contorno ---------------------- 36
CAPITULO 4: IMPLEMENTAÇÃO NUMl':RICA DO MtTODO ----------- 45
4.1. Introdução---------------------------------------- 45
4.2. Procedimento Numérico Geral----------------------- 47
4.3. Caso Bi-dimensional com Elementos Constantes------ 53
4.3.1. Coordenadas Cartesianas------------------- 54
4.3.2. Deslocamentos e Forças de Superfície------ 54
4.3.3. Equação no Contorno----------------------- 55
4.3.4. Integração Numérica----------------------- 55
4.3.5. Integração Analítica---------------------- 57
4.3.6. Soluções Para Pontos Internos------------- 60
CAPÍTULO 5: COMPARAÇÃO ENTRE SOLUÇÕES ESTÃTICAS E SOLU-
ÇÕES DINÂMICAS A BAIXAS FREQOtNCIAS -------- 68
CAPITULO 6: DESCRIÇÃO DO PROGRAMA---------------------- 76
6.1. Introdução---------------------------------------- 76
6.2. Estrutura do Programa Principal (Fluxograma) ------ 76
6.3. Descrição das Sub-rotinas------------------------- 76
6.4. Funções Simples e Complexas----------------------- 78
6.5. Entrada dos Dados--------------------------------- 81
6.6. Saída dos Resultados-------------------------_:____ 82
x~v
CAPITULO 7: EXEMPLOS 87
7.1. Introdução---------------------------------------- 87
7.2. Barragem de Terra--------------------------------- 87
7.3. Matriz de Rigidez de Fundações-------------------- 94
7.3.1. Superficial------------------------------- 95
7.3.2. Embutida---------------------------------- 103
7.4. Cavidade Num Meio Infinito------------------------ 108
CAPITULO 8: CONCLUSÕES 121
REFERtNCIAS BIBLIOGRÂFICAS ----------------------------- 124
APtNDICE A: MtTODO DOS RESIDUOS PONDERADOS------------- 131
APtNDICE B: CÁLCULO DE C .. l]
135
APtNDICE C: NOÇÕES SOBRE AS FUNÇÕES DE BESSEL ---------- 141
CAPITULO 1
INTRODUÇÃO
• 2 •
CAPÍTULO 1
INTRODUÇÃO
O Método dos Elementos Finitos é o mais conhecido
método numérico atualmente. O domínio do corpo é subdividido em
uma coleção de subdomínios interligados, de formas simples, cha
mados elementos finitos. O comportamento real da solução é apr2
ximado através de funções triviais, normalmente polinômios. Tais
funções são unicamente definidas em termos dos valores aproxima
dos da solução (e possivelmente de suas derivadas) em certos po~
tos nodais localizados dentro ou no contorno de cada elemento. Es
ta aproximação é, então, obtida através da aplicação de alguma
técnica, como resíduos ponderados ou algum ti.po de princípio va
riacional (minimização de energia), conduzindo, dessa forma, a
um sistema de equaçoes simétrico e em banda, envolvendo valores
desconhecidos da solução aproximada nos pontos nodais.
Há, no entanto, certas classes de problemas em que
o método dos elementos finitos nao se comporta satisfatoriamente.
Pesquisas foram realizadas para se descobrir técnicas alternati
vas, baseadas em equações integrais.
Nestas técnicas modernas, a equaçao diferencial que
governa o problema é transformada em uma equaçao integral defin!
da ao longo da superfície, reduzindo dessa forma a dimensão do
problema de uma unidade. A superfície é, então, discretizada em
um número de elementos de contorno, ao longo dos quais, funções
polinomiais (dos tipos usados para elementos finitos) são introduz!
das para a interpolação dos valores da solução aproximada entre
• 3 •
os pontos nodais. Isto permite o cálculo das integrais, normal
mente através de um processo numérico, resultando em um sistema
de equações de menor dimensão.
O Método de Elementos de Contorno apresenta cara~
teristicas importantes, justificando assim a crescente populari
dade adquirida:
1. sistema de equaçoes reduzidQ;
2. fácil entrada de dados e interpretação dos re
sultados;
3. aplicável a problemas envolvendo regiões semi
infinitas e infinitas;
4. cálculo seletivo e preciso das tensões inter
nas e deslocamentos em fase de pós-processame~
to;
5. boa performance na resolução de problemas de
concentração de tensões.
Os problemas que podem ser descritos por equaçoes
diferenciais parciais elípticas são os mais estudados na litera
tura de elementos de contorno. Tais problemas podem ser os en
volvendo a equação de Laplace na teoria do Potencial ou a equa
ção de Navier na Elasticidade.
• 4 •
O Método de Elementos de Contorno tem demonstrado
ser um método versátil e eficiente para muitos problemas de Eng~
nharia como, por exemplo, na mecânica das estruturas, geomecâni
ca, mecânica dos fluídos, condução de calor e na engenharia elé
trica.
CAP1:TULO 2
EQUAÇÕES DO PROBLEMA
• 6 •
CAPÍTULO 2
EQUAÇÕES DO PROBLEMA
2.1 - Introdução
Este capitulo define parte da simbologia e rela
çoes que serao utilizadas no desenvolvimento deste trabalho.
As equaçoes apresentadas correspondem à teoria dos
pequenos deslocamentos para materiais homogêneos, isotrópicos e
elástico-lineares.
2.2 - Elasticidade Linear
2.2.1 - Notação Cartesiana Indicial
Os índices 1, 2 e 3 sao usados para substituir x,
y e z e os símbolos de somatório são desnecessários sempre que
um mesmo índice aparecer 2 vezes em um termo qualquer.
ex: a. a. = af + a~ + a~ l l
(2.2.1.1)
ªkk = ª' 1 + a22 + ª''
2.2.2 - Símbolo Delta de Kronecker
1 se i=j
= (2.2.2.1)
o se i ;l j
• 7 •
2.2.3 - Função Generalizada Delta de Dirac
A função generalizada Delta de Dirac tem as seguig
tes propriedades:
o se X," Xo
ô(x 0 , x) = (2.2.3.1)
00 se X= Xo
e
(2.2.3.2)
2.2.4 - Constantes Elásticas
O material de um corpo representado por seu domi-
nio íl e seu contorno r (Figura 2.1) é definido pelas
constantes elásticas:
G e À: constantes de Lamê
E: módulo de elasticidade ou de Young
v: coeficiente de Poisson
seguintes
As relações fornecidas por estas constantes sao:
G = E (2.2.4.1)
2(1 + v)
. 8.
À = 2Gv (2.2.4.2)
1 - 2v
O comportamento dinâmico de um corpo elástico-li
near é governado pelas seguintes equações:
2.2.5 - Equações de Movimento
a .. lJ'
onde: ªij: componentes do tensor de tensões
b.: componentes das forças de volume J
p: densidade de massa
u.: componentes do vetor deslocamento J
(2.2.5.1)
As derivadas espaciais sao indicadas por virgula,
isto é, ela .. /clx. = a. . . , enquanto que as derivadas temporais lJ l lJ 'l
por
pontos.
2.2.6 - Relações Deformação-Deslocamento
E .. = lJ
1
2
onde: E: •. lJ
(u. . l,J
+ u .. ) J,l
tensor de deformações especificas de Cauchy
ui componentes do vetor de deslocamentos
(2.2.6.1)
• 9 •
2.2.7 - Lei de Hooke
(2.2.7.1)
2.2.8 - Condições Iniciais
u. (x, t) = ui(x) 1.
para t = to em Q + r (2.2.8.1) .
(x, t) V~ (x) u. = 1. 1.
onde: u?(x) e v 0 (x) sao funções prescritas. 1. 1.
2.2.9 - Componentes de Força de Superfície e de Tensão
As componentes de força de superfície sao defini
das pela seguinte relação:
= o .. n. J 1. J
(2.2.9.1)
onde: n.: cosenos diretores da normal exterior ao contorno (FiJ
gura 2.2).
Ao substituir os valores de s .. (equação (2.2.6.1)) l)
na equaçao (2.2.7.1), obtem-se as tensões em termos das deriva-
das dos deslocamentos:
ª1.·J· = G (u .. + u .. ) + A uk k 8 .. l,J J,1. , 1.J
(2.2.9.2)
.10.
Os valores deª·· (equação (2.2.9.2)) ao serem sub~ Jl tituídos na equaçao (2.2.9.1), fornecem as componentes das for-
ças de superfície:
p. = G ----2:. + u .. n. [au. J
l an J, l J + À u .. n.
J,J l (2.2.9.3)
2.2.10 - Condições de Contorno
2.2.10.1 - Deslocamento
ui(x, t) = ui (x, t) para t > t 0 em r 1 (2.2.10.1.1)
2.2.10.2 - Força de Superfície
pi (x, t) = pi (x, t) para t > t 0 em f 2 (2.2.10.2.1)
onde a barra indica que os valores sao conhecidos em r = r 1 + r 2
2.2.11 - Equações de Movimento em Termos de Deslocamentos (Equa
çoes de Navier)
Substituindo-se os valores de a .. (equação (2.2.9.2)) lJ
na equaçao (2.2.5.1), obtem-se a equação de movimento de Navier
em termos de deslocamentos:
(À+ G) u ... + G u ... + b. = p u. l,lJ J,ll J J (2.2.11.1)
.11.
2.3 - Ondas Primárias (P) e Ondas Secundárias (S)
A equaçao (2.2.11.1) pode ainda ser escrita como:
( À + G) 'v ('v•ii) + G 'v 2 ii + b. * J = puj
ou
... ... + (À + 2G) 'v ('v•u) - G 'v x ('v x u) + b.
J
... onde u: vetor de deslocamento
* = pu. J
- o vetor operador 'v e definido por:
'J 7 3 + 7 3 + 7 3 = J. l J. 2 J. 3
3X1 OX2 OX3
o Laplaciano ( 'J 2 ) é definido por:
'v 2 32 =
32 + -- +
32
3xf 3x~ 3x~
(2.3.1)
(2.3.2)
(2.3.3)
(2.3.4)
... Na ausência das forças de volume (bj = O) obtem-se
2 tipos diferentes de ondas: ondas P (ou ondas primárias) e on
das S (ou ondas secundárias).
Aplicando-se o rotacional a ambos os lados da equ~
çao ( 2 . 3 . 1) :
G 'v 2 (rot ii) = p a 2
3t 2
... (rot u) (2.3.5)
.12.
mas (2.3.6)
+ onde w e a rotação de uma partícula elementar.
Desse modo a equaçao (2.3.5) poderá ser escrita co
mo:
(2.3.7) p i) t 2
Aplicando-se agora a divergência a ambos os lados
da equaçao (2.3.1):
{À + 2G) í/ 2 8 = p 0
onde 8 = ... = div u =
Ou ainda:
À + 2G í/ 2 G = i) 2
8
p i)t 2
... í/. u
(2.3.8)
(2.3.9)
(2.3.10)
As equaçoes (2.3.7) e (2.3.10) pertencem a uma fa
mília de equaçoes de onda da forma:
(2.3.11)
onde e e a velocidade da onda.
... Sendo 8 uma mudança específica de volume e w uma
+ distorção sem mudança de volume (div w = O), a equaçao (2.3.7)
.13.
representa as ondas de distorção ou ondas secundárias (ondas S),
enquanto que a equaçao (2.3.10) representa as ondas de dilatação
ou ondas primárias (ondas P).
Assim, chamando:
C1 = ~ (2.3.12)
e
M C2 = (2.3.13)
As expressoes (2.3.12) e (2.3.13) indicam que a
velocidade C 1 está associada as ondas de dilatação ou ondas pri
márias (P) e a velocidade C2 está relacionada as ondas de distor
çao ou ondas secundárias (S).
Quando as ondas de propagaçao encontram uma des
continuidade, ocorrem os fenômenos de reflexão, refração e difra
ção, sendo o movimento da onda resultante a superposição de to
das essas componentes.
Dividindo-se uma expressao pela outra:
(2.3.14)
Desde que À e G sejam positivos, tem-se que:
> 1 (2.3.15)
.14.
Dessa expressao, verifica-se que as ondas C1 (pr!
márias) sao mais rápidas que as ondas C2 (secundárias).
2.4 - Equações de Navier em Função das Velocidades C1 e C2
Substituindo-se na equaçao (2.2.11.1) os valores
de e 1 e C2:
(Cf - C~) u ... l,lJ
b. + C~u ... + _]_
J,11 p = ü.
J
2.5 - Definição e Geometria das Ondas Planas
a 2u e~ = at 2
e a solução:
e p = ± Cq
Considerando-se a equaçao uni-dimensional:
a 2u
ax 2
u = ept + qx
Assim ü = p 2u = c'ª2u = ax 2
Desse modo: u = Aeq(Gt+x) + Be-q(Ct-x)
(2.4.1)
(2.5.1)
(2.5.2)
(2.5.3)
(2.5.4)
(2.5.5)
is Se q = ik e introduzindo-se o fator e , a equa-
çao (2.5.2) poderá ser escrita:
u = Aei[!é(ct+x) + s] + Bei(Ié(-Ct+x) + s] (2.5.6)
.15.
A equaçao (2.5.6) e a solução da equaçao (2.5.1)
para qualquer k e E. O primeiro termo desta solução representa
a onda que se aproxima enquanto que o segundo a onda que se afas
ta.
A solução da equaçao generalizada poderá ser ex-
pressa como:
u = Aei (!: (t.; - Ct) + (] (2.5. 7)
onde; é a normal à frente da onda, ta direção de propagaçao e
E o ângulo de fase.
As seguintes notações sao normalmente usadas:
Freqüência w = kC =
Período T 211 = kc
Número de onda
211 (ou freqüência espacial): k =
Comprimento de onda
(ou período espacial) À' 211
= k
A frequência c211 211 e e: w = = +
À' T
211 (2.5.8) T
(2.5.9)
(2.5.10)
(2.5.11)
À' = (2.5.12) T
+ As ondas P se propagam na direção r enquanto que
+ as ondas S num plano normal ar. t usual decompor as ondas Sem
SV e SH ao longo das direções indicadas na Figura 2.3:
.16.
(a) a direção das ondas SV corresponde a interse
ção de um plano normal a direção t com o pl~
-+ no vertical definido porre o eixo x 3 •
(b) a direção das ondas SH corresponde a interse
ção de um plano normal a direção t com o pl~
no x1x2.
Quando os corpos apresentam uma superfície com
descontinuidade de material, aparece um tipo diferente. de onda pl~
na chamada "onda de superfície", que se propaga paralelamente a
mesma. A perturbação apresentada diminui exponencialmente à me
dida que se afasta da superfície.
Quando os corpos apresentam uma superfície livre,
estas ondas são chamadas "ondas de Rayleigh" (Figura 2. 4) , seu
deslocamento é elíptico, anti-horário e no plano de propagaçao.
Ondas de superfície com deslocamento perpendicular ao plano de
propagação existem somente em semi-espaços em camadas e sao cha
madas "ondas de Love" (Figura 2. 4) .
2.6 - Equação de Navier para o Caso Harmônico
t importante, em muitos casos, prever o comporta
mento dinâmico de um corpo ou estrutura sob o efeito de uma exi-
tação harmônica. A resposta para tal solicitação é uma função
da freqüência. As condições iniciais podem ser negligenciadas as
sumindo-se a hipótese de que um tempo suficientemente longo se
passou, de tal modo que o estado estacionário foi alcançado. Es
.17.
ta situação pode ser representada matematicamente aplicando-se a
transformada integral de Fourier à equação do problema.
Seja w(t) a função a ser transformada:
e
W (t) = F-1ijj" = 1 211
(2.6.1)
(2.6.2)
Integrando-se por partes a equaçao (2.6.1), tem-
se:
F~ dt 2
= (iw) 2 ijj(w) (2.6.3)
Aplicando-se este procedimento à equaçao (2.4.1),
as variáveis transformadas podem ser representadas como:
uj (x,w) = F @j (x,t)J = (2.6.4)
Bj (x,w) = F [!,j (x,t)J = B. J
(2.6.5)
Assim, a equaçao de Navier se transforma em:
B. (Cf - Cf) U ... + ci U ...
1.,1.J J ,1.1. + -2 + w 2 u. = O
J (2.6.6)
p
com as condições de contorno transformadas:
.18.
ui {x, w) = ui{x, w) em f1
(2.6.7)
Pi{x, w) = i\ (x, w) em f2
t importante notar que as condições iniciais nao
entram na formulação e que a transformada da equação de movimen
to é uma equação diferencial parcial elíptica.
. 19.
1----r
Q (G,v)
FIGURA 2.1 Corpo T ri d i me nsio no I com Domínio Q e Contorno r
.20.
FIGURA 2.2 Componentes dos Forças de Superf1Ície
FIGURA 2.3
•
. 21.
1 / 1 /
' 1 / " 1 /
'V
/
Propagação dos Ondas P1lonos no Espaço
. 22.
--~~-OE
RAYLEIGH
FIGURA 2.4 Representação dos Tipos de Onda
CAPÍTULO 3
FORMULAÇÃO DO Ml':TODO DE ELEMENTOS DE CONTORNO
.24.
CAPÍTULO 3
FORMULAÇÃO DO M:llTODO DE ELEMENTOS DE CONTORNO
3.1 - Introdução
Muitos problemas de Engenharia podem ser descri
tos por algum tipo de equação diferencial parcial e condições de
contorno prescritas.
As equaçoes diferenciais parciais elípticas (e tam
bém as parabólicas e hiperbólicas) podem ser transformadas atra-
vés de um processo de limite em equações integrais, produzindo
dessa forma uma equação integral no contorno relacionando somen
te valores das incógnitas no contorno.
Este capítulo abrange as soluções fundamentais, a
equaçao integral para os pontos internos, as tensões internas e
a equação integral no contorno.
3.2 - Soluções Fundamentais
A solução fundamental corresponde à resposta de um
meio elástico infinito a ação de uma carga harmônica concentrada
de freqüência w.
Esta resposta poderá ser obtida da equação (2.6.6),
fazendo-se a seguinte substituição:
Ê + o(s, x)e (3.2.1)
. 25.
+ onde o(s, x)e representa a açao de uma carga concentrada dinâmi-
ca unitária; 6 (s, x) é a função delta de Dirac; s o ponto de apl_!.
cação da carga; x um ponto qualquer do meio e to vetor unitário
na direção da carga.
Definindo r = Is - xi como a distância entre os
pontos se x, a expressão (3.2.1) pode ser escrita como:
+ o(r)e (3.2.2)
A equaçao (2.6.6) pode ainda ser expressa da se-
guinte maneira:
(Cr - C~) V (V•U) - e~ V X (V X U) + w2 U = B p
(3.2.3)
+ + + Decompondo-se U em dois potenciais A1 e A2 , isto
é, em suas partes irrotacional e equivolumial:
(3 .2 .4)
+ Assumindo-se que B possa ser escrito em termos do
potencial escalar V:
+ = (VVV - V x VxV)e
e que: k1 w. = -1
e, e k w.
2 = -1 e,
Substituindo-se as equaçoes (3.2.4),
( 3. 2. 6) na equação ( 3. 2. 3) :
(3.2.5)
(3.2.6)
(3.2.5) e
V + e
ou ainda:
Ci'v'v {
·+
} = o
'v 2 A1 2+
- k1A1 =
v2+ A2 - k~Ã2
V
pCi
=
.26.
+ Ci 'v X 'v X
o
V
PCi
A equaçao (3.2.8) sera satisfeita se:
V + e
pCf
V + e
pCi
(3.2.7)
(3.2.8)
(3.2.9)
+ + Considerando-se que A1 e A2 estão na direção da
+ + + + carga: A1 = A1e e A2 = A2e, as equaçoes abaixo são satisfeitas:
'v 2 A l kfA1 = V
pC I (3.2.10)
V2A2 kiA2 V =
pCi 1.
. 27.
Ambas equaçoes podem ser escritas na forma:
= V
pC2 (3.2.11)
A equaçao (3.2.11) corresponde a uma equaçao dife
rencial que poderá ser resolvida para cada caso:
3.2.1 - Caso Tri-dimensional
Neste caso 6(r) pode ser obtido como:
6(r) = - ....!_ V2 (....!_) ,---->V= 411 r
i e...!...>
411 r
Substituindo-se a equaçao (3.2.1.1) na
(3.2.11), tem-se que:
k 2 A = 1
411pC 2 r
(3.2.1.1)
equaçao
(3.2.1.2)
Uma solução particular para a equaçao (3.2 .1.2) e:
1 Ap=-----411pC2k2
dada por:
Ah r
e...!...> = 1 e...!...>
r 411pw2 r
A solução da equaçao homogênea V2 A
-kr + cu e
r
(3.2.1.3)
(3.2.1.4)
.28.
Assim:
1 ( J:...i ek1r -k1r
A1 + C' + C'{ e = l 4TTPw 2 r r r
(3.2.1.5)
1 (_!._) ek2r -k2r
A2 + C' + C" e = 4Trpw2 2 2
r r r
Os deslocamentos e as tensões podem ser obtidos
por derivação.
Para o cálculo das constantes e;, e~, e; e e; bas
ta considerarmos o equilíbrio numa pequena região ao redor da
carga, bem como as condições de radiação. Desse modo os valores
das constantes são obtidos:
C' l = C' 2 = o
(3.2.1.6)
C}' C" 1 = = 2 4TTpW2
Substituindo-se os valores das constantes nas equa
çoes (3.2.1.5), e depois na equaçao (3.2.4) obtem-se:
u .. * = l.J
1 xr . ' J. r J ,J (3.2.1. 7)
As componentes das forças de superfície com nor-
mal exterior n sao:
. 29 .
1 [ [:: !] (
3r 2x P .. * = l '\j + r .n. J [ n .r . -]_ J cm 3n 'J ]_ r J ']_
+ [ ~! -2 J
r - 2 3r] - 2 dx 3r l dt
dx r . r - r . r . , ]_ 'j 3n dr ' ]_ 'J 3n dr dr
- '.:::X.] 2r
(3.2.1.8)
Cl = 4 e 6 .. é o símbolo delta de Kronecker. As funções t e X 1-J
sao definidas como:
-k2r
ktr2 k~r)
-k2r cz [ 1 + 1 )
-k 1r t
e e e = + + - .::cz. r r cz kfr 2 k1r r 1
(3.2.1.9)
[k/r2
3
1]
-k2r e~ [-3 + _3 + 1]
-k1r + + e e
X = k 2r r cf k:r 2 k1r r
3.2.2 - Caso Bi-dimensional
No caso bi-dimensional, a mesma representação pa
ra o movimento e as mesmas transformações são feitas para obter
a equação (3.2.11), sendo o operador V2 agora bi-dimensional.
A função delta de Dirac em termos de potencial e
expressa como:
6 (r) = 1 V2 (tn (r)) -> 1
V = 2rr
tn (r) (3.2.2.1)
.30.
Substituindo-se a equaçao (3.2.2.1) na
(3.2.11), tem-se que:
V2 A - -k 2 A = 1 9,n (r l
211pC 2
equaçao
(3.2.2.2)
Uma solução particular para a equaçao acima e:
A = p
da por:
=
1 9-n (r l (3.2.2.3)
A solução da equaçao homogênea V2 A - k 2A = O e da
C' Ko (kr) + C" I 0 (kr) (3.2.2.4)
onde I 0 e Ko sao as funções de Bessel modificadas da primeira e
segunda classe de ordem zero.
A2 =
Assim:
1 9,n(r)+c; K 0 (k1rl +e~ Io(k 1 rl
211pw 2
1 9-n (r) + e; Ko {kzrl + C~ Io {kzrl
211pw2
(3.2.2.5)
Os deslocamentos e as tensões sao obtidos por de-
rivação.
As constantes sao conseguidas por equilibrio e p~
las condições de radiação.
.31.
Os resultados para Uij * e P ij * sao dados pelas mes
mas equaçoes (3.2.1.7) e (3.2.1.8) com os seguintes valores para
ij,,xea:
1
(3.2.2.6)
a = 2
onde K. e a função de Bessel modificada da segunda classe de or-1
dem i.
Estas equaçoes foram desenvolvidas para o estado
plano de deformação, no entanto, são também válidas para proble
mas de estado plano de tensão desde que v (ooeficiente de Poisson)
-seja substituído por v = V
l+v Em ambos os casos, o valor de G
permanece o mesmo.
Temos, ainda, que:
r i = xi (x)
r = [ ri ri]1/2
ar r = = • i dXi (x)
X. (E;) l
r. l =
r
ar
3x.(i;) l
ni = coseno diretor da normal na direção i
(3.2.2.7)
(3.2.2.8)
(3.2.2.9)
+ ar dX1 (X)
an ax2 (x)
. 3 2.
ax2 (x) J an
= r . nl.. ' l.
3.3 - Equação Integral para os Pontos Internos
(3.2.2.10)
o método dos Resíduos Ponderados será utilizado p~
ra chegarmos à equivalência dinâmica da Identidade de Somigliana,
usualmente conhecida em problemas estáticos. A vantagem princi
pal deste método é que ele é geral e aplicável a qualquer probl~
ma. Os conceitos básicos do método encontram-se no apêndice A
deste trabalho.
Através da transformação da equaçao diferencial PªE
cial elíptica (equação de Navier) obtem-se a equação integral.
Aplicando-se a relação dos resíduos ponderados a
equaçao (2.6.6), tem-se que:
- clJ u ... + clu ... + w 2 u. + --1 B.) l.,l.J J,l.l. J
U'; dr J -/ •. 1·, -•,J ·i
p
dr
U'; díl = J
(3.3.1)
onde U'; (j = 1, 2, 3) e interpretado como uma função peso. J
Integrando-se a equaçao (3.3.1) por partes duas
vezes vem,
-B. U'\" díl J J
onde B. J
P'\" dr J
B. = -2
p
ou ainda:
t 1 ,e; - e; J
U'\" díl J
. 3 3.
u ... * + C 22 u ... * + w
2 uJ'\"} J.,J.J J ,J.J.
u. díl J
=
+ L P. U'\"
J J
U. P'\" J J
dr - /
r1 P. U'\" dr
J J
dr
u ... *+e: u ... * + w 2 U*J·}· J.,lJ J,ll u. díl
J
- ), P'\" dr J
+
+ (3.3.2)
+
(3.3.3)
A equaçao (3.3.3) pode ainda ser escrita como:
P. U'\" dr J J
(3 .3 .4)
que corresponde a identidade dinâmica de Betti-Rayleigh.
Adotando-se como as componentes das forças devo-
lume Bj ,. as correspondentes a forças concentradas harmônicas de
. 3 4.
amplitudes unitárias, aplicadas no ponto 1; de um meio infinito íl*
que contém íl, em cada uma das 3 direções ortogonais dadas pelos
vetores e. (Figura 3.2), te~-se que: J
B~ = 0(1;, xl e. J J
Tendo-se em vista que:
J g(x) ó(I;, x) díl(x) = g(~)
íl*
(3.3.5)
(3.3.6)
Desse modo a primeira integral da equaçao (3.3.4)
se reduz a:
U. díl = U. (1;) e . J J J
desde que E; e íl (3.3.7)
Além do mais, adotando-se que cada carga dinâmica
concentrada atue independentemente, U~ e P~ poderão ser escritos J . J
em função das soluções fundamentais apresentadas no item 3.2 da
seguinte forma:
u~ = u .. * ( I; ' x) P. J 1-J ]_
(3.3.8)
p~ = P .. * ( I; ' x) P. J 1-J ]_
. 3 5.
onde Pi= 1
e
U .. * e P .. * representam o deslocamento e a força de superfície na 1J 1J
direção "j ", no ponto "x", provocados por uma força di
nãmica unitária atuando na direção "i" aplicada no PºE:
to "~" .
Assim, escrevendo-se a equaçao (3.3.4) para cada
componente Pi atuando em separado, obtemos três equações da for
ma:
+ t ",;'«, x) Bj(x) díl(x)
x) P. (x) df(x) + J
(3.3.9)
A equaçao (3.3.9) é a equivalente harmônica da
Identidade de Somigliana para deslocamentos que é também equiva
lente, na teoria do Potencial, à Terceira Identidade de Green.
Esta equaçao calcula o valor dos deslocamentos U. 1
em um i:onto qualquer interno E,, ffil função dos deslocamentos e forças de su
per f lcie no contorno e da integral das forças de volume.
3.4 - Tensões nos Pontos Internos
As tensões internas sao calculadas através da di-
ferenciação da equação (3.3.9) em relação ao ponto fonte (E,) e
.36.
depois substituindo-se este valor na lei de Hooke (equação
(2.2.7.1)):
-t (3.4.1)
onde:
Dkij 2Gv ô ..
auki* G ~u,k• • ~ = --+
1 - 2v lJ dXQ, __ axj dXi
(3.4.2)
3PQ,k * tpik• aPjk~ 5kij
2Gv ô .. + G + = 1 - 2v lJ
dXQ, axj dXi
3.5 - Equação Integral no Contorno
Para o cálculo da equaçao integral no interior foi
utilizado o método dos Residuos Ponderados. Neste item, a equa
çao no contorno será obtida através do limite quando o ponto i;
vai para o contorno.
A equaçao (3.3.9) pode ser escrita para o corpo
apresentado na Figura 3.3a como (i; não pertence a 5\: neste ca
so) :
. 3 7.
x) u . (x) dr (x) J
= j u .. * (i;' x) p. (x) ar (x) + lJ J
r+r
+ j U .. * (i;, x) B. (x) díl (x) lJ J
íl E
uma vez que J. •,•<xi
E
U . (x) díl (x) J
E
= O na equaçao ( 3 • 3 • 4) •
(3.5.1)
Ao tirarmos o limite quando o ponto i; vai para o
contorno, a equação (3.5.1) passa a ser escrita (Figura 3.3.b):
x) u. (x) dr (x) J
x) B. (x) díl (x) J
= j U .. *(!;, x) P. (x) dr(x) + lJ J
-r - r + r E E
(3.5.2)
Fazendo-se para cada integral o limite quando E
tende a zero:
tim
E + Ü j P .. *(!;, x) U. (x) dr(x) = lJ J
-r - r + r E E
+ tim j P .. *(!;, x) u. (x) dr(x) lJ J
E +o r-r E
tim
E + Ü
j Pi/((, xi Uj (xi df(xl+
rE
(3.5.3)
.38.
A primeira integral a direita poderá ser represe~
tada como:
2im
E -+ Ü j P .. *(s, lJ
f E
x) u . (x) dr (x) = J
dr(x) + 2im
E -+ Ü
2im
E -+ Ü
t E
p .. * (s' x) lJ
(3.5.4)
Devido à continuidade de U.(x), o primeiro limite J
a direita da equação acima é nulo, assim:
2im j Pij'(C. x) u. (x) dr (x) J
E -+ Ü
rE
2im chamando Cij(s) =E_,. O
tem-se que:
2im
E -+ Ü x) u. (x) dr (x)
J
2im [ uj <s> =
E -+ Ü
=e .. (~) U.U;) lJ J
j Pi{((, x) dr(x~
rE
(3.5.5)
(3.5.6)
(3.5.7)
O desenvolvimento do limite para o cálculo de Cij,
encontra-se no apêndice B deste trabalho.
. 3 9 .
O limite da segunda integral da direita na equa
çao (3.5.3) é equivalente a calcular a integral no sentido deva
lor principal de Cauchy.
As outras integrais nao apresentam singularidades
especiais podendo ser interpretadas como integrações normais.
O coeficiente e .. pode ser generalizado para relJ
presentar a integração de P .. * sobre a superficie parcial de uma l]
esfera infinitesimal de raio E centrada no ponto ç. Se a tange~
te no pontos do contorno é continua (contorno suave) o valor de
e .. <s > = lJ
completa
dominio,
Então
6 .. /2; se o pontos é interior ao domínio, a esfera l]
e Cij(s) = ºij (equação (3.3.9)) e ses é exterior
C .. (s)=O. l]
e
ao
u .. * (s, x) p. (x) dr (x) + j u .. * (s, x) l] . J l]
ÊÍ. (x) dQ (x) J
(3.5.8)
Q
S E f
A equaçao acima fornece uma relação que deve ser
satisfeita pelas forças de superficie e pelos deslocamentos no
contorno (incluindo as forças de volume que sao sempre conheci-
• 40 •
das). Portanto, quando as condições de contorno sao aplicadas,
esta equação pode ser usada para calcular as incógnitas restan
tes no contorno.
'
x = ponto campo
g = ponto fonte
. 41.
F•GURA 3.1 Representação dos Derivadas
;
. 42.
/ / * d/ -- -- _,,,.. - -.....
º /_?
r
\ \
/ / / /
I /
~ ~.,
/
/
/
/ FIGURA 3.2 Forças de Volume Correspondentes o Três
Cargos Unitários Aplicados nos Direções ej no Ponto g
.43.
í
lo )
{ b )
FIGURA 3.3 Representação do Corpo
CAPÍTULO 4
IMPLEMENTAÇÃO NUMtRICA DO M~TODO
.45.
CAPÍTULO 4
IMPLEMENTAÇÃO NUM~RICA DO M~TODO
4.1. - Introdução
Neste capítulo é descrito um procedimento numéri
co geral para a solução dos problemas de valores de contorno.
O problema agora se resume em encontrar a rotina
que possibilita resolver a equaçao integral (3.5.8), com as con
dições de contorno abaixo:
u. = u. em J J
P. = P. em J J
f1
(4.1.1)
f2
Os passos principais estão descritos a seguir:
a) o contorno r será discretizado em uma série de
elementos sobre os quais U. e P. serão interpo J J -
lados em função dos valores nodais (Figura 4 .1) ;
b) a equaçao (3.5.8) é escrita, em forma discret!
zada, para cada ponto nodal I; do contorno r e
as integrais são calculadas (normalmente de
forma numérica) sobre cada elemento do contor
no. Um sistema de N equações algébricas envol
vendo N valores nodais de deslocamentos e N va-
. 4 6.
lares nodais de forças de superfície é, desta
forma, obtido;
c) as condições de contorno (equações (4 .1.1)) sao
impostas e, consequentemente, N valores nodais
(força de superfície ou deslocamento em cada
direção por nó) são prescritos. O sistema de
equaçoes pode, então, ser resolvido para obter
mos os N valores nodais incógnitos.
Os valores dos deslocamentos e tensões em quai~
quer pontos internos s podem ser obtidos, a posteriori, empregag
do-se a identidade de Somigliana e suas derivadas, também de for
ma discretizada.
Sendo as forças de volume conhecidas, estas someg
te contribuem para o termo independente do sistema de equações.
Expressando-se a equaçao (3.5.8) em forma matri-
cial:
~(()~<O+ t P•(C, x) U(x) dr(x) • t ~·ie, x) P(x) drlx) +
+ ), ~•((, x) B(x) dO(x) (4.1.2)
onde ~(s) e ~(x) correspondem aos vetores deslocamentos no ponto
fonte se no ponto campo x, respectivamente.
Sendo:
~ (s) =
U (x) =
~* (i;,x)
onde:
º11 Uf 2·
= u~1 U!2
u1, 0 12
e < i; >
U(x) e P(x)
. 4 7.
(4.1.3)
P (x) - P2 B(x) = (4.1.4)
Uf3 Pfi Pf2 Pf3
U!3 ~*(i;,x) = P!1 P!2 P!3
013 P11 P12 P!3
(4.1.5)
e a matriz dos coeficientes cij (i;J
sao os vetores deslocamentos e forças
superfície
de
U*(i; ,x) e P* (i;,x) sao as matrizes fundamentais de deslocamen
tos e forças de superfície
B(x) e o vetor das forças de volume.
4.2 - Procedimento Numérico Geral
O objetivo da discretização e a aproximação da
equaçao integral de contorno por um sistema. de equações simultâneas.
. 48.
o contorno ré dividido em J elementos gerando N
nós onde estão associados os valores nodais de deslocamentos e
forças de superfície. Ao longo de cada elemento, os deslocamen
tos e forças de superfície variam de acordo com as funções de
interpolação, em termos dos valores nodais. Os elementos podem
ser retos ou curvos. O domínio íl pode ser dividido em S células
de geometria conhecida para a integração das forças de volume.
As coordenadas cartesianas ~(j) dos pontos do con
torno situados ao longo do elemento r. são expressas em J
das funções de interpolação Me das coordenadas nodais
elemento na forma:
(m) X
termos
(m) X do
(4.2.1)
Os deslocamentos e forças de superfície sao apro
ximados sobre cada elemento através do uso de funções de interp~
lação N:
= N (4.2.2)
= N (4.2.3)
onde U (n) e P (n) contém os valores nodais de deslocamentos e for
ças de superfície.
O Índice m na equaçao (4.2.1) se refere ao numero
de pontos de contorno necessários para que a geometria de cada
elemento de contorno seja definida, enquanto que o Índice n nas
• 4 9 •
equaçoes (4.2.2) e (4.2.3) se refere ao número de nós do contor
no para o qual estão associados os valores nodais de deslocamen
tos e forças de superfície.
Em alguns casos a integral de volume pode ser le
vada para o contorno a exemplo do que é feito no caso estático.
Substituindo-se as equaçoes (4.2.2) e (4.2.3) na
equaçao (4 .1.2), obtem-se:
J
! ar]
J
[! e ( !; ) u ( !;) + l P* N u (n) - l U* N df P(n) =
j = 1 j = 1
r. r. J J
s
= l (4.2.4)
L=l
Como as funções de interpolação N sao normalmente
escritas em termos de um sistema de coordenadas intrínsico (n 1 ,
n2, n3), tem-se que:
(4.2.5)
onde J e G sao os jacobianos da transformação para elementos de
área e de volume, respectivamente.
• 50 •
Fazendo-se as seguintes substituições na
çao ( 4 • 2 • 4) :
J P* N df
r. = r ~* ~
-1
J
J~*~dr = r~* ~ l~l
r. -1
J
obtem-se que:
J
e (i; . J u (n) (/;. J + I - l l
K
l~l dn1 dn2 - I l~lk wk k=l
dn1
K
I
K
dn2 -= l k=l
:I
dn2 dn3 - I i=l
l~lk wk (~* ~\
[G[ . w. (U* B). - l l - - l
j=l k=l
J
l j = l
1 J [ W (U* N) l p (n) = - k k - k -
s
l L=l
equa-
(4.2.6)
(4.2.7)
Esta é a equaçao de elementos de contorno, onde K
e I sao os números de pontos de integração ao longo do elemento
e da célula, respectivamente e Wk e Wi os fatores de peso asso
ciados aos pontos k e i.
Nos casos normais em que i;. nao pertence ar., as l J
integrais sao calculadas numericamente utilizando-se os
de integração. Mas, nos casos em que i;i pertence a rj
pontos
aparece
.51.
uma singularidade, sendo mais econômico e preciso calcular as in
tegrais analiticamente.
Se chamarmos:
H. = I P* N dr -J
r. J
G. = J U* N dr -J
r. J
I ~* -
~L = B díl
ílL
teremos que:
J
e. u(n) + l H. u(n) -l - -J -
j = l
J
l G. p (n) = -J -
j = l
(4.2.8)
s
l ~L (4.2.9)
L=l
Após a aplicação da equaçao (4.2.9) a todos os N
nôs si do contorno, obtemos:
A
C U + H U - G P = B (4.2.10)
ou
(C + H) u - G p = B (4.2.11)
. 5 2.
onde os vetores ~ e P contém os valores de deslocamentos e for
ças de superfície em todos os pontos nodais e B contém a contri
buição das forças de volume.
A matriz quase diagonal e pode ser incorporada a
A
matriz H para formar H:
H U - G P = B (4.2.12)
Após a aplicação das condições de contorm na equ~
çao (4.2.12), o sistema pode ser reordenado na forma:
A y = f (4.2.13)
onde A é uma matriz cheia e nao simétrica; o vetor Y é formado p~
los valores nodais incógnitos de deslocamentos e forças de super-
ficie, estando a contribuição dos valores prescritos (inclusive
as forças de volume) incluída no vetor f. A matriz A pode ser
montada diretamente, sem a necessidade de se passar pelas matri
zes H e G.
Uma vez que todos os valores no contorno sao pre~
critos ou calculados pela equação (4.2.13), os deslocamentos e
tensões em qualquer ponto E; do domínio íl podem ser calculados po~
teriormente utilizando-se a equação (4.2.7) para os pontos inter
nos:
.53.
J
[
K
~)k)~(n) u (E;) = l l 1 q: lk wk (P* + j = 1 k=l
(4.2.14)
J
[ kÍ 1 Jq:Jk 1\ (~* ~)k)~(n)
s
[ ; JGJ. W. (U* B).) + l = l j=l m=l . 1-l. l. - -l.
l. =
Derivando-se a equaçao acima e substituindo-se os
valores na lei de Hooke (equação (2.2.7.1)):
J
+ l j = 1
s
+ I m= 1
onde:
J
= - l u (n)
j = 1
w. (D 0 Bl ·) l. -x,n - l.
4.3 - Caso Bi-dimensional com Elemento Constante
+
+ (4.2.15)
Nesta seçao, as fórmulas estão adaptadas para o
caso bi-dimensional com elemento constante.
• 54 •
As forças de volume serao negligenciadas, uma vez
que estas sao sempre conhecidas.
Sendo o elemento constante, os valores de desloca
mento·s e forças de superfície nao variam ao longo do elemento r., J
sendo iguais aos valores nos nos (figura 4,2).
Para tal caso as fórmulas sao as seguintes:
4.3.1 - Coordenadas Cartesianas
i XJ
{::} i
X ( j) (m)
~ N2] X2
= M N1 I (4.3.1.1) = X = xj
l
j xj
2
onde: I e a matriz identidade de ordem dois
N1 e N2 sao as funções de interpolação dadas
por: N1 1 (1 - ri) N2 1
(1 + ri) = e = (4.3.1.2) 2 2
4.3.2 - Deslocamentos e Forças de Superfície
u ( j) = j::) = N U (n) = I j:: j (4.3.2.1)
J
p ( j) = (" l = N P (n) = I j::] (4.3.2.2)
P2 j . J
.55.
onde u(j) e P(j) sao respectivamente, os vetores deslocamentos e
forças de superfície no ponto j com componentes nas direções x 1
4.3.3 - Equação no Contorno
A equaçao (4.2.4) pode ser escrita para este caso
como:
J
l P(n) (4.3.3.1) j = 1
onde as matrizes fundamentais sao:
U* =
~ (E;) = 1
2 I N = I
4.3.4 - Integração Numérica
P* =
p 1 1 *
Quando o ponto ~i nao pertence a rj' o
mérico das integrais G. e H. é efetuado utilizando-se -J -J
ção tipo Gauss.
Como df = J~Jdn
(4 .3 .3 .2)
(4 .3 .3 .3)
cálculo nu
a integra-
(4.3.4.1)
.56.
e sendo o jacobiano da transformação:
l~I = + rdx212 \ dn 1
Então:
= .Q,
2
H. = J P* N dr = !. f I P* ~ dn = -J - - 2 - -
r. -1 II
.Q, - .Q, - P* dn = -2 - - 2
-1 J
G. =f U* -J -r.
J
N dr=!. J1
U* - 2 -
-1
I dn= U* dn;;; !_ - 2
(4.3.4.2)
(4.3.4.3)
(4 .3 .4 .4)
Os valores ~*k e ~*k sao fornecidos por P*ij e
U* .... Estes valores são expressos em termos das funções modifi-J. J
cadas de Bessel da segunda classe com argumentos =nplexos K O (:;::),
K1 (Z) e K2 (Z) e suas derivadas. Os argumentos z sao iwr/C 1 e
iwr/C2, onde ré a distância entre o ponto fonte e o ponto cam-
po.
Utilizando-se as fórmulas de recorréncia, equa
çoes (C.41), todos os valores das funções modificadas de Bessel
da segunda classe com argumentos complexos podem ser obtidos dos
valores de Ko (z) e K 1 ( z) .
As derivadas das funções sao calculadas
da equaçao (C.42):
através
. 57.
~ iw Ki[i;
2r]
1 [ K
2 [ ~~r l [ ~: l 2 K2 [ i;
1r l l =
dr C-2 r
(4.3.4.5)
~ iw [ Ki [i;
2r) [ ~:) 3
K 1 [i;1r))
= dr C2
2 (4.3.4.6)
r
Os valores de K0 (z\ e K1 (z) sao obtidos pelas ex
pansoes em série destas funções (equação (C.33)).
4.3.5 - Integração Analítica
As funções modificadas de Bessel da segunda elas-
se sao funções que apresentam uma singularidade quando r + O,
assim as integrais G. e H. tornam-se singulares quando ç. perten -J -] 1 -
ce a rj, devendo ser interpretadas no sentido de valor principal
de Cauchy.
No entanto, neste caso, a integral H. e nula devi -J
do à ortogonalidade entre r e n. Dessa forma:
Hj = J P* N dr= r.
J J
P* dr= O
r. J
(4.3.5.1)
Consequentemente somente a integral G. necessita -J
ser calculada. Retornando a notação cartesiana (figura 4.3):
Gij = f (2
) U*ij df = (1)
.58.
2JR
U*ij dr
o
(4.3.5.2)
onde () indica que os numeras entre parênteses se referem ao nu
mero do ponto e nao à distância.
Como U* .. J.J
G .. 1 =
J.J rrG
onde~ ex
Então:
onde 2 1 =
1 [ ~ºij
= - X r r ·] 2rrG ,i 'J
Substituindo-se este valor na equaçao
J: [ ~ºij dr - X r . r ·] ' 1. 1]
sao
iwr
e,
funções de K O ( z) , K1 ( z) e K2 ( z) •
e
nJR .!_ K1 (z2)dr - c2 IR.!. K1 (zi)drl
Uo z e, 0 z J
iwr
C2
(4.3.5.3)
(4.3.5.2):
(4.3.5.4)
(4.3.5.5)
(4.3.5.6)
(4.3.5.7)
Mas:
K 1 ( Z) =
K2 ( z) =
Assim:
onde z =
Mas:
- z
2
z
iwr
e
[ K o ( Z) +
[ K1 ( z) +
e z =
K/ (Z) J K o ( z) J
iwR
e
.59.
I: K 0 (z)dr = e f 0z Ko ( z) dz iw
onde:
2 + 0,25Z
(1:) 2 3
+ (0,25Z 2
) 2
[ 1 1 Z l l+-+--y-Zn- + (2:) 2 5 2 5 2
+ (0,25Z 2 Jn
(1+}+ •.. +!+ 1
(n:J 2 (2n + 1) n 2n + 1
(4.3.5.8)
(4.3.5.9)
(4.3.5.10)
(4.3.5.11)
(4.3.5.12)
(4.3.5.13)
+
. . . + (4.3.5.14)
- y - Zn !] + . . . )
Assim:
G .. = 1 l]
11G
onde i,j = 1,2
• 6 O.
r . r l 'l 'JJ
_ C2
[
K1 (Z2) -iw
i: xdc - ~~' i: Ko (s,>dr - i: Ko (s,) de -
2C2
iw
onde: z 1 = iwr
iwR z 1 = C1
iwr Z2 =
iwR =
4.3.6 - Soluções Para Pontos Internos
(4.3.5.15)
(4.3.5.16)
(4.3.5.17)
(4.3.5.18)
(4 .3 .5.19)
As componentes dos tensores de deslocamentos e de
tensões internas são dadas por:
. 61.
N N
u. ( ~) = l pi: G .. l ui: H .. (4.3.6.1) l J lJ J lJ n=l n=l
N M
ºij (~) = l [ [ (W Sk ) ] ur + m lJ m n=l m=l
(4.3.6.2)
N
[ mL + l (Wm Dk ) }~ n=l lJ m
onde M é o numero de pontos de integração ao longo de cada ele
mento e os tensores de terceira ordem são:
e
ar + r k
' an
1
211
G
211
[~:: - ,] [:: - ;;;] - [~:]'; r k o .. ' lJ
r . ,1 + r~
dr x)r r 'j
- 2 [~ - ~Jr i dr r '
n1c,: -'I l C2 ~ dW 1~ + , 1-r dr C2 2
1 d
2
~ d
2
XI + ~ dr 2 dr 2
2 .[~ - 2) í~ C2
2 ldr 2
2
r
e,~ ix C2 2 r2
- 2 d2x]
drj
~ dr
2
[ ~: 12 ~
r dr
nk +
+
+
r . r k ' J '
+
. 6 2.
+ 4 [ [~:r X r ~11 r
+ [d2
1/J + .§x _ _l ~ 1 9Í] [ar dr2 r 2 r dr - ; dr an
(r . ºik + r . 6 .k) ,J ,l. J +
+ r . r k n. + r . r k n. l ,J 1 1 ,1 1 ]
+I r
+r. l; íl~:r ;-~ r . ~ ']. ,]
+ 4 [! ~ r . r . r k , ]. ,J , dr
onde i,j,k = 1,2.
- (n. ºik + n. 6.k) r9Í xJ drr J l.J
+ 2 íl~:r -J [ "'-" - é'x -dr2 dr2
~ 2x J ar
dr 2 r2 an
+
l d~ + r ,
(4 .3 .6 .4)
Nos tensores de terceira ordem, as derivadas se
gunda das funções 1/J e X podem ser calculadas dos valores das
funções modificadas de Bessel da segunda classe das duas primei
ras ordens, utilizando-se as equaçoes (C.42) e (C.43).
w2
2C2 2 + K2 11 r~:] -r~:r [- Ko" 1~:] [~:] J]
(4.3.6.5)
.63.
ª-=X = w2
[ K, " 1 ';: l - 1~:r·K," (';:]] (4.3.6.6) --dr 2
C2 2
onde:
K " (z) 1 [ Kv-1 (z) + 2Kv ( z) + Kv+ 2 ( z) J (4.3.6.7) = -
V 4
Ko" (z) 1 [ K 0 (z) + K2 (z) J (4.3.6.8) =
2
K1" (z) 1 [ 3K, (sJ +K, ,,, J (4.3.6.9) = 4
. 64.
r
º
FIGURA 4.1 Discretizoçõo do Contorno r
.. 65.
j NÓ
r
11 2r 1=-·-· . t
.66.
'\
/
«
Representoçõo do Ef'emfftifOl
CAPlTULO 5
COMPARAÇÃO ENTRE SOLUÇÕES ESTÃTICAS E SOLUÇÕES
DINÂMICAS A BAIXAS FREQÜlõ:NCIAS
.68.
CAP1:TULO 5
COMPARAÇÃO ENTRE SOLUÇÕES ESTÁTICAS E SOLUÇÕES
DINÂMICAS A BAIXAS FREQO:t:NCIAS
Este capitulo abrange a comparaçao entre soluções
estáticas e soluções dinámicas a baixas freqüências. Tais comp~
rações serão efetuadas para o caso bi-dimensional e para o
tri-dimensional.
caso
5.1 - Caso Tri-dimensional
Consideremos a solução fundamental tri-dimensio
nal. O deslocamento U .. * depende das funções ij, e X· Estas fun-J. J
çoes estão expressas em termos de exponenciais na equação (3.2.1.9).
Se os exponenciais forem substituídos por uma expansao em série,
ambas funções se transformam em:
[1+~':] ,., 00
r+ [~:rJ n 1 l n + 2 (k2r) ij,=-2r 1 n=O (n+l) (n+3) n:
[1- ~2:J +k2
00 r-r~:r] (k2r)n 1 l n x=- -2r 1 n=O (n + 1) (n + 3) n:
sendo k 2 = iw/C2
Substituindo-se as expressoes acima
(3.2.17), obtemos:
(5.1.1)
(5.1.2)
na equaçao
• 6 9.
u *= 1 ij pC 2 crn 2
C2 2] + k2 I e 2 1 n=O
n+2
(n+l) (n+3)
~ [1 -~2 :j + k2 I 1 n=O
n
(n+l) (n+3)
n (k2r)
n'. r . r .
, l 'J
u .. * = J. J
a zero,
u .. * = J.J
1
a.11pC2 2
o valor
1
(). 11 pC.2 2
Utilizando-se uma outra notação, teremos:
1
2r 11
+ ~:: 1 + O(k2) o ..
J. J
r . r . , 1 'J
Para baixas freqüências, isto é, quando
de O (k2) também tende a zero, então.
[ 2~ [1 + C2
2] 0 · .+~
[ e 'l J 1--2 - r r C1 2 J.J 2r C12 ,i ,j
k2
o .. J.J
(5.1.3)
(5.1.4)
tende
(5.1.5)
Substituindo-se os valores de a, C 1 e C2, obtemos
a expressao para o caso estático:
u .. * = J.J
1
l611G(l-v)
1
r [(3 - 4v) o .. + r .
J.J ,J. r 1 , jj (5.1.6)
• 7 O.
Seguindo-se o mesmo raciocínio para as forças de
superfície, estas podem ser expressas como:
p *= ij ...!__ lA [ar li . . + r . n.)
411 3n lJ ,J ·i 3r ) + r . r . - B + r . n. D
,i 'J 3n ,i J (5 .1. 7)
onde:
A = dij, X (5.1.8) dr r
B = ix 2 ª-x. (5.1.9) r dr
D = r~ 2] [ dij, ª-x. ~1 ~
C2 2 dr dr 2rj r (5.1.10)
Substituindo-se os exponenciais das funções ij, e X
por expansoes em séries, as expressoes acima se transformam em:
1 A= - -r2
3 [1-
B=- -r2
00
l n=O
n+2 ~+ (C2/Ci)~
(n + 2) (n + 4)
C2 -k 2
2 l 2 (n-2) (n + 5n + 9) 2] oo 2
C1 2 n= 0 (n+l) (n+2) (n+3) (n+4)
n:
f-[::JJ D=...!_ C22 + k22
00
[(C1/C2) 2 - 2]n- (C1/C2 J2[1- (Cz/Ci)n+4J l
r2 C1 z n=O
(n + 2) (n + 4)
(k2rl n
n:
(k2r)n
n:
As equaçoes (5.1.11), (5.1.12) e (5.1.13)
ser escritas como:
A = 1 C2 2 + Ü (k2 2 )
c~2
(5.1.11)
(5.1.12)
(5.1.13)
podem
(5.1.14)
. 71.
B = (5.1.15)
r2 + (5.1.16)
1 D =
A baixas freqüências, isto é, quando k2
tende a
zero, o valor de O (k2 2) também tende a zero. Assim, substituig
do-se as equaçoes (5.1.14), (5.1.15) e (5.1.16) na equação (5.1. 7), tere
mos a expressao para o caso estático:
1 P .. * =
l.J 8rr (1 - v)
+ (1-2v) (ni. r . - n. r .) ) ,J J ,J.
5.2 - Caso Bi-dimensional
ºij + 3 r . r 1 , ]. , JJ +
(5.1.17)
Consideremos o caso das soluções fundamentais bi-
dimensionais. As funções o/ e X, neste caso, dependem das fun-
ções modificadas de Bessel. Tais funções µ:xl.em ser expandidas nu
ma série crescente:
o/ = C22
9.n
00
+ l n=l
A n n: (n + 1) :
+
(5.2.1)
X =
onde:
co
+ l n=l
.72.
B n
A = e 9.n(z 2) + e 9.n(z 1) + e n 1n 2n 3n
B = e 9.n(z2) + e 9.n(z 1) + e n 4n sn sn
(5.2.2) n '. (n + 1) '.
(5.2.3)
(5.2.4)
(5.2.5)
(5.2.6)
sendo e , e , e , c,.n' e e e coeficientes numéricos. 1n 2n 3n , sn sn
As equaçoes (5.2.1) e (5.2.2) podem ainda seres-
critas como:
1/J =
+ 1
2
=
X =
1 (3-4v) 9.n(r)+Q.n [i:] 4(1-v)
r (C2 )+ (C2/C1) 29.n(c1j + o ( z 2 2 Q.n
( 3 - 4 v) m ( r) + Ew + O ( z 2 2 9. n ( z 2) ) 4 (1-v)
4(17"\J)
+ y 1 + 2
(z 2) ) = (5.2.7)
(5.2.8)
• 7 3 •
Para baixas freqüências, isto é, quando z 2 tende
a zero, o valor de O ( z 2 2 J!,n ( z 2 )) também tende a zero. Assim, sub~
tituindo-se as equações (5.2.7) e (5.2.8) na equação (3.2.17), ob
temos o mesmo valor do caso estático, acrescido do coeficiente
E (este coeficiente depende da freqüência tendo uma singularid~ w
de logarítmica em w =O):
u * = __ l __
ij 811 (1-v)G lc3-4v) J!.n [!) o .. + r . r l L r lJ ,l ·~
+E w (5.2.9)
Seguindo-se o mesmo raciocínio para as forças de·
superfície, as expressoes A, B e D podem ser .expressas quando
z 2 --> O, como:
l 2 A= - f2._ + o (k2 Z2 J!.:n ( Z 2) ) (5.2.10)
r C1 2
B 2
[1 -~i + o (k2 J!.n ( Z 2 ) ) = Z2 r C1
2 (5.2.11)
1 2 D = f2._ + o (k2 Z2 J!.n ( Z2)}
r C1 2
(5.2.12)
Substituindo-se as expressoes (5.2.10), (5.2.11)
e (5.2.12) na equação (3.2.1.8), quando z 2 tende a zero, obtemos
a mesma equação do caso estático:
P .. * = lJ
1
411(1-v)r
+ {l-2v)
l :: [ (1 - 2v) o .. +2r.r.J lJ 'l 'J
+
(5.2.13)
r . - n. ,J J r . J ,l
• 7 4 •
Com a análise feita, podemos concluir que as sol~
çoes fundamentais dinâmicas se aproximam do equilíbrio estático
para os problemas bi e tri-dimensionais, quando a freqüência te~
de a zero. Entretanto, existem diferenças importantes nestes dois
casos. Nas soluções dinâmicas tri-dimensionais a freqüência po
de ser nula, enquanto que no caso bi-dimensional tal fato não e
possível devido a ocorrência de singularidade neste ponto. Ou
tras diferenças podem ser constatadas no caso bi-dimensional: os
termos abandonados não tendem a zero com k 2 , mas com z 2 = k 2 r; e
uma constante ê adicionada na representação do deslocamento.
CAPÍTULO 6
DESCRIÇÃO DO PROGRAMA
. 7 6.
CAPÍTULO 6
DESCRIÇÃO DO PROGRAMA
6.1 - Introdução
A teoria apresentada nos capítulos anteriores foi
implementada para o desenvolvimento de um programa de computador
na linguagem FORTRAN, utilizando-se o computador Burroughs 6700.
Este capitulo fornece a estrutura do programa prig
cipal bem corno a descrição das subrotinas e funções utilizados.
6.2 - Estrutura do Programa Principal
O programa principal é composto de 8 subrotinas,
estando o seu fluxograma representado na Figura 6.1.
6.3 - Descrição das Sub-rotinas
6.3.1 -
6.3.2 -
DADOS: lê todos os dados necessários ao problema e cal
cula as velocidades de propagação C1 e C2 através das
equações (2.3.11) e (2.3.12).
FORM: forma as matrizes H e G e monta a matriz A dire
tamente, bem como o vetor VD que irá formar o vetor F
do sistema. Alguns coeficientes de A foram multiplic~
dos pelo módulo de elasticidade transversal (G} para
que todos os coeficientes tivessem a mesma ordem de grag
deza. Este procedimento evita erros numéricos.
.77.
Para o cálculo da matriz A foram utilizadas as seguin-
tes subrotinas:
~
6.3.2.1 - NDIAG: calcula as matrizes H. e G. para pontos que nao -J -J
pertencem ao elemento, utilizando-se a integração num~
rica - integração de Gauss. As fórmulas utilizadas nes
ta subrotina sao as fórmulas apresentadas na seçao
4.3.4.
Para a escolha do número de pontos de integração foi uti
lizada a variável SEL, definida por (ver Figura 6.2):
SEL = d/COMPR (6.3.2.1.1)
A medida que o ponto vai se aproximando do elemento, n~
cessita-se de um número maior de pontos de integração. Assim
a variável SEL realiza este controle.
Então:
SEL .; 1, 5 -> 10 pontos de integração
1, 5 < SEL ,;; 5, 5 -> 8 pontos de integração
5, 5 < SEL -> 6 pontos de integração
Os valores para d e COMPR sao:
1 d = 2
2 i - X 2 - X 1) + ( 2 Y - Y2 - Y1 ) . p (6.3.2.Ll)
. 7 8.
COMPR = / (X2 - X1) 2 + (y2 - Y1)
2 (6.3.2.1.1)
6.3.2.2 - DIAG: calcula a matriz G. para pontos pertencentes ao -]
6.3.3 -
6.3.4 -
elemento, utilizando-se a integração analítica. As fór
mulas utilizadas nesta subrotina sao as fórmulas apre
sentadas na seção 4.3.5.
RESOL: subrotina "standard" utilizada para resolver o
sistema de equaçoes A Y = f, utilizando o rnétcdo de eli
minação de Gauss.
INTER: calcula os valores dos deslocamentos e tensões
internas, utilizando as equações (4.3.6.1) e (4.3.6.2).
6.3.4.1 - COEF: calcula os valores das matrizes Se D através das
6.3.5 -
- -equações (4.3.6.3) e (4.3.6.4). As integrais são de
senvolvidas utilizando-se a integração de Gauss.
RESP: imprime os deslocamentos e forças de superfície
no contorno, juntamente com os deslocamentos e tensões
nos pontos internos. Estes resultados são impressos
de três modos: na forma complexa, em módulo e fase.
6.4 - Funções
6.4.1 - Funções Simples
6.4.1.1 - FMOD(X): calcula o valor do módulo do número complexo.
Este módulo é calculado da seguinte maneira:
.79.
seja X= A+ Bi
FMOD(X) =/ (REAL (X)) 2 + 1
(AIMAG (X) ) 2
onde: REAL: parte real (=A)
AIMAG: parte imaginária (=B)
(6.4.1.1.1)
6.4.1.2 - FASE(X): calcula o valor da fase do número ccmplexo. Se
a parte real do número complexo é nula, o valor da sua
fase é rr/2; caso contrário, o valor da fase é dado por:
FASE (X) tg AJMAG(X)
REAL(X)
6.4.2 - Funções Complexas
(6.4.1.2.1)
6.4.2.1 - BK(M, Z): calcula os valores das funções modificadas de
Bessel de segunda classe de ordem zero e de ordem um
através das expansoes em série fornecidas pela equação
(C.33). As expansoes em série foram utilizadas, uma
vez que nao há expansão polinomial para argumento com
plexo.
Com os valores calculados para Ko e K1 e utilizando-se
a relação de recorrência dada pela equação (C.41), ob
temos todos os valores necessários das funções modifi
cadas de Bessel de segunda classe.
6.4.2.2 - IKO(Z, R): calcula a integral da função modificada de
Bessel da segunda classe de ordem zero em relação ava
.80.
riável r, esta variando de zero a R. Esta integral é
fornecida pela equação (4.3.5.14), onde zé o argumen
to wR/C.
6.4.2.3 - XIS(Rl, R2): calcula o valor da função X utilizando a
equaçao (3.2.2.6).
6. 4. 2. 4 - FI (Rl, R2) : calcula o valor da função lj! utilizando a
equação ( 3 . 2 . 2 . 6 ) .
6.4.2.5 - DX DR(Rl, R2): calcula o valor da derivada de x em re
lação ar, através da equação (4.3.4.6).
6.4.2.6 - DFIDR(Rl, R2): calcula o valor da derivada de
relação ar, através da equação (4.3.4.5).
em
6.4.2.7 - D2X DR(Rl, R2): calcula a segunda derivada de x em re
lação ar, através da equação (4.3.6.6).
6.4.2.8 - D2FIR(Rl, R2): calcula a segunda derivada de lj! em rela
ção ar, através da equação (4.3.6.5).
6.4.2.9 - B2K(M, Z): calcula a segunda derivada das funções modi
ficadas de Bessel da segunda classe em relação ar, u
tilizando as equações (4.3.6.7), (4.3.6.8) e (4.3.6.9),
onde Z = wr e
. 81.
6.5 - Entrada de Dados
Os dados a serem fornecidos para a utilização do
programa sao os seguintes:
6.5.1 -
6.5.2 -
Primeira Leitura: FORMAT (8Il0/4Fl0.0, I10):
N
L
KD
NU(K) (K=l,5)
ET
CP
D
w
IND
= número de elementos de contorno.
= numero de pontos internos.
= número de superfícies diferentes (m~
ximo de 5).
= número do Último no de cada super
fície diferente.
= módulo de elasticidade transversal
= coeficiente de Poisson
= densidade
= freqüência
= Índice do problema
=O~-> superfície fechada
=l ~-> superfície aberta
Segunda Leitura: FORMAT (2Fl0.0)
e e e = coordenadas x e y dos pontos internos. X y
6.5.3 -
6.5.4 -
.82.
Terceira Leitura: FORMAT (2Fl0.0)
X e Y = coordenadas x e y dos pontos extremos dos ele
mentos de contorno.
Quarta Leitura: FORMAT (I10, 2Fl0.0, I10, 2Fl0.0)
KOD e CCP = condições de contorno.
onde KOD = código que indica o tipo de condição de con
torno dos nós do elemento.
=O~-> deslocamento prescrito
=l ~-> força de superfície prescrita.
CCP = valor prescrito.
6.6 - Saída dos Valores
6.6.1 -
6.6.2 -
O programa fornece a saída dos seguintes valores:
deslocamentos X e Y dos pontos do contorno: estes des
locamentos estão na direção das coordenadas cartesia
nas x e y.
Módulo e fase dos deslocamentos.
forças de superfície X e Y dos pontos do contorno: es
tas forças de superfície estão na direção das coordena
6.6.3 -
6.6.4 -
.83.
das cartesianas x e y.
Módulo e fase das forças de superficie.
deslocamentos X e Y dos pontos internos~-> estes des
locamentos têm direções x e y.
Módulo e fase dos deslocamentos.
tensões X, XY e Y dos pontos internos~-> estas ten
sões têm direções x e y.
Módulo e fase das tensões.
. 84.
FORM
' DIA.G
,r
' ~ .
l.=·Oe 1 SJII<
lfÃO -
•' ' i
' " ' NQl,IN;, '
- - ---- - '
1,NT'ER ~ - - ---~--~---
r . c,OEf
R'ESP ll -- - -
·-
1 FIM>
"- -FIG,URA
.85.
'I
X
CAPITULO 7
EXEMPLOS
. 87.
CAPÍTULO 7
EXEMPLOS
7.1 - Introdução
Este capítulo descreve os procedimentos utiliza
dos para o desenvolvimento dos exemplos. Mostra ainda as compa
rações feitas entre os resultados obtidos pelo programa e os já
existentes.
O primeiro exemplo consiste no estudo de uma bar
ragem de terra sujeita a uma aceleração horizontal do solo. O se
gundo, o cálculo das matrizes de rigidez para fundações superfi
ciais e embutidas. Já, o terceiro, consiste no estudo de uma ca
vidade cilíndrica inserida num meio infinito sob a ação de uma on
da de compressão.
7.2 - Barragem de Terra
O objetivo deste exemplo consistiu no estudo do
comportamento de uma barragem de terra sujeita ao movimento do
solo, considerando-se a hipótese de que sua base repousa sobre um
solo perfeitamente rígido. As condições de contorno, embora ir
reais, foram implementadas para que se pudesse comparar os resu!
tados com a solução clássica utilizando o método dos elementos fi
nitos (33). As dimensões da barragem bem como o módulo de elas
ticidade transversal, o coeficiente de Poisson e a densidade se
encontram na Figura 7.1. A malha de elementos finitos utilizada
por Clough e Chopra (33) pode ser vista na Figura 7.2.
.88.
As deformações de flexão produzidas na barragem
sao desprezíveis, em virtude das condições de contorno utiliza
das. Consequentemente, a barragem pode ser idealizada, através
da teoria "Shear Wedge", como uma viga vertical de cisalhamento
com largura variável. A equação da frequência através desta teo
ria é dada por:
Jo [wn~ HJ = o (7.2.1)
e o modo por
w;7(y) = Jo [wn ~ (H - y) J n = 1,2,3, ... (7.2.2)
onde J 0 função de Bessel de primeira classe de ordem zero.
H = altura total da barragem.
Quando n = 1 na equaçao (7.2.1), encontra-se para
w1 o valor de 8,01. A equaçao (7.2.2) pode ser expressa como:
wt(y) = J 0 [ 0,00801 (300 - y) J (7.2.3)
Na análise pelo programa aqui apresentado, o con
torno foi dividido em 30 elementos e 5 pontos internos foram us~
dos, como mostra a Figura 7.3. A aceleração horizontal do solo
foi substituída por forças de superfície que variam lineannente. (na
direção aposta à aceleração) representando as forças de inércia
da barragem, atuando nas faces AB e BC (Figura 7.3).
.89.
As condições de contorno para os nós sao as se-
guintes:
a) nós de 1 a 10 ~> deslocamento nulo.
b) nos de 11 a 20 ~> forças de superfície variando de 10 a 1
tb/ft~ respectivamente.
c) nos de 21 a 30 ~> forças de superfície variando de 1 a 10
tb/ft~ respectivamente.
Inicialmente, foi estudado o movimento horizontal
do ponto B localizado no nó 20 (Figura 7.3), com a variação da
freqüência de O a 9 rad/s. Os resultados obtidos foram plotados
em um gráfico em que as freqüências foram assinaladas na abscis
sa e o módulo do deslocamento horizontal do ponto B, na ordena
da. Verifica-se a existência de um pico no gráfico; tal pico r~
presenta o valor da freqüência fundamental que é dada por: w1 =
7,78 rad/s. Comparando-se este valor com os obtidos pelo método
dos elementos finitos (Chough-Chopra) e pela teoria "Shear Wedge"
(Tabela 7.1), obtem-se os seguintes erros relativos: 0,9% e 2,89%,
respectivamente (Figura 7.4).
PROGRAMA ELEMENTOS FINITOS TEORIA "SHEAR WEDGE"
7,78 7,71 8,01
Tabela 7.1 - Comparação dos resultados obtidos para a freqüência
fundamental.
.90.
• • • A ,t;;.,_.,_. _______ ---!.. ___ ...... ,.. ... ____ .. ____ ~-----..::..' - ;C:_
I:,., 450' n ,.. 1.. • 45·(i n .i ·
M6dulo de; Coi!if.ic ien,f.e, o,etnsidode :
Aceleroçõ\.
EMsficidade Tr,ans.lersol d& Po1,ssor+ : -..= o,45
p = 4,037 fblft3
• •
f f,G,tl!R/A, 7. 1 • ·- . . . . . •
•
• G, :· 4\0'3'1 r lO~ fb"lfl
•
• •
'300ft
--,.X
t.tott,o! de El'e,mm,t:o, f1inilto, - e to,uGH! CH1G1PRA,
E
L
••
f , "-; 1(),bt,ff.Z . ' . . : .... ,
B
, F1 G!J'RA 1.3 10ii0ir:efílQ.çQ'a, d~ Elemt-n,to~ 4e Conforr,~
•
--e M o ,_. -· >< ::t -· ~ .,
i 4&'1
t t
46; e
32'.
2 -
tit
20
16 -
12:
4
. in.
1 · F· ·· · r ~'llff 1 4, 5 6, 7' 6 9
(Ot r,,ndi/&
FIGrlJ!RiA\ 7. 4 MovimtiHo Hoih:onfof (foi f>'o:1no 9 e~,n; 0i \l{lt;foç[a d'Q, fre:ti.iJ.in~tm Wl
.!B.
o P:r~grcmo ---• -· Slleor W.edgef Tlleory
9
A -- -----------~-- ----- :..,- -- -.e.
flG,OR'A' 7. 51
. 94.
A grande discrepância observada entre o resultado
do programa e o da teoria "Shear Wedge" deve-se ao fato de que ao
serem desprezadas as deformações de flexão a barragem se - torna
mais rígida.
A configuração do modo em sua forma normalizada,
obtida através do programa, encontra-se na Figura 7.5, juntamen
te com os resultados fornecidos pela teoria "Shear Wedge". Com
parando-se estes dois perfis, observamos que existe boa concor
dância entre eles.
7.3 - Matriz de Rigidez de Fundações
O conhecimento da matriz de rigidez de fundações
é importante em muitos problemas· de Engenharia. Em muitos casos,
as propriedades do solo não se apresentam uniformes com a profu~
didade (normalmente verifica-se um crescimento no módulo de elas
ticidade transversal) ou ainda, um depósito de espessura finita
é encontrado composto de algum tipo de rocha dura. Apesar des
sas considerações, a idealização matemática usual considera o se
mi-espaço homogêneo, isotrópico e elástico-linear.
A importância da utilização de elementos de con
torno para o cálculo da matriz de rigidez, é que automaticamente
o amortecimento irradiado é considerado, e que um meio viscoelá~
tico pode ser simulado através da introdução de um módulo.de elas
ticidade transversal complexo (29).
A matriz de rigidez de fundações consiste na obten
ção de forças ou momentos, necessários para se produzir movimen-
.95.
tos lineares ou rotações dinâmicas unitárias em uma fundação rí
gida e sem massa, no semi-espaço, mantendo-se fixo os demais graus
de liberdade.
Como a solução fundamental satisfaz ao domínio in
finito, somente o contorno, isto é, a interface solo-fundação e
a superfície livre necessitam ser discretizados. Teoricamente, a
discretização da superfície deve se estender até o infinito.
7.3.l - Fundações Superficiais
Para as fundações superficiais, uma boa solução
pode ser obtida desprezando-se os elementos da superfície livre.
Verifica-se que todos os termos que representam a influência dos
elementos da superfície livre são zero, com exceção daqueles res
pensáveis pela influência do movimento vertical no movimento ho
rizontal e vice-versa. Contudo, sendo esta influência pequena,
é comum desprezá-la na interação solo-estrutura.
As dimensões da fundação superficial, bem como as
propriedades do solo encontram-se na Figura 7.7. A interface so
lo-fundação é discretizada em 8 elementos (Figura 7.7).
tes:
As condições de contorno utilizadas sao as seguig
a) movimento horizontal
nós de 1 a 8 ~-> u = 1 X
. 96.
b) movimento vertical:
nós de 1 a 8 ~-> ux = O
c) rotação:
u = -1 y
para o cálculo da rotação foi utilizada ateo
ria dos pequenos deslocamentos (Figura 7.6) na
forma:
~
FIGURA 7.6
v = ne e== 1
1 1
Rotação
v = n (para cada nó)
onde n e a coordenada horizontal do no.
Desse modo, utilizando-se a relação acima:
nos de 1 a 4 ~-> = o n
nós de 5 a 8 ~-> = o
• 9 7.
Os resultados obtidos no programa foram compara
dos com os de Jakub (30), cuja solução é da forma:
K K 0 (k + if 0d) (1 + 2iD) (7.3.1.1)
onde:
K0 = matriz de rigidez estática
k e d= coeficientes dependentes da frequência
fo = freqÜéncia adimensional ~ fo = WB/C 2
C2 velocidade da onda cisalhante do solo
D = coeficiente de atrito interno do solo.
A Figura 7.8 representa a variação da matriz de
rigidez horizontal K com a variação da distância da superfície X
livre a ser discretizada, para uma freqüência adimensional fo =
0,9. Observando-se este gráfico, constata-se que a influência
da superfície livre para este tipo de fundação é praticamente nu
la.
A variação da matriz de rigidez de momento K~ com
a freqüência adimensional fo para um valor de G = 1, é represen-
tada na Figura 7.9. Embora o amortecimento interno tenha sido
desprezado, a parte imaginária aparece, devido ao amortecimento
geométrico ou irradiado, isto é, a energia que se irradia para fQ
ra e para baixo em direção ao contorno, no infinito. A parte r~
al decresce com o aumento de fo, acarretando uma redução da rig~
' r - /;',:;;. -. ~ ;, · --· · ~ zuz;zsc;;;w: ,zcz
1· ·1· B = 110 -1 ' $ s
. 5 4 3 2 1 ..,
a, . •
MIÍdYI!> de E l!!Sf!Çjdade Tran3'Hfli!II G = l Cl!tf!Gient, QII< POISSQN: 'I:;; l/3 D11nsH!11d• : p:;: 1
flGUHA 7.7 !loaoJ ~a fyn<fgçqo - llitcr,tiza~go Svp~rficiQI até a 1nitancio ;$ • .
. ) ~ .
-- JAKU8 D PARTE REAL ( PROGRAMA J O PARTE IMAGINÁRIA ( PROGRAMA)
2 o
l
o 18 28 38 48 58 68 s
FIGURA 7.8 Motriz de Rigidez Horizontal K x com o Variação do Superfície Livre Discretizado S o uma Freqüência Adimensionol igual o
0,9
K'P
3
2,5
2
1,5
1
0,5
FIGURA 7.9
-- JAKUB O PARTE REAL ( PROGRAMA) o PARTE IMAGINÁRIA l PROGRAMA)
Variação do Motriz de Freqüência Adimensionol
Rigidez fo
de Momento com o
DESLOCAMENTO HORIZONTAL
ROTAÇÃU
DESLOCAMENTO VERTICAL
FIGURA 7. 10
.1 H.
MOVIMENTO VERTICAL MOVIMENTO HORIZONTAL
Porte Real do Movimento do Superfície Livre poro uma Freqüência f0 = l --;;;;,;. Fundação Superficial.
DESLOCAMENTO HORIZONTAL
ROTAÇÃO
DESLOCAMENTO VERTI CU
FIGURA 7.11
. i: 2 •
MOVIMENTO VERTICAL MOVIMENTO HORIZONTAL
Porte Real do Movimento do Superfície Livre poro uma Freqüência f 0 =0,5 =- Fundação Superficial.
.103.
dez, entretanto a parte imaginária aumenta, indicando um aumento
do amortecimento.
As Figuras 7.10 e 7.11 apresentam a parte real do
deslocamento da superficie livre quando um movimento harmônico uni
tário (horizontal, vertical e rotação) é aplicado à fundação com
as freqüências f O = 1 e f o = O. 5. Estes resultados apresentam ex
celente concordância com os de Dominguez e Alarcon (2).
7. 3 .-2 - Fundações Embutidas
Para o caso deste tipo de fundação, faz-se neces
sário tanto a discretização da interface solo-fundação quanto da
superficie livre. Para se obter bons resultados, à medida que a
razão de embutimento E/B (Figura 7.12) cresce, necessita-se de
uma quantidade maior de elementos na superficie livre.
As dimensões da fundação embutida, bem como as
propriedades do solo encontram-se na Figura 7 .13. A interface so
lo-fundação juntamente com a superficie livre são discretizadas em
28 elementos (Figura 7.13).
As condições de contorno sao as mesmas utilizadas
para a fundação superficial.
A Figura 7 .14 apresenta a parte real do desloca
mento da superficie livre quando um movimento harmônico unitário
(horizontal, vertical e rotação) e aplicado à fundação com a fr~
qüência adimensional fo = 0.5. Os resultados obtidos apresentam
concordância com os de Dominguez e Alarcon (2).
. : J4.
FIGURA 7.12 Razão de Embutimento E/ B
. . 28 27 , 26 , 25 24 p ,,.,-_,," 22 -
21 -
20 - -19 18, 17 16 , I} 14 , 13
----S = 2,0
Módulo de Coeficiente Densidade :
E/ B = 0,5
B = 110 B = 1,0
· I · E losticidode Tronsver sol de POISSON : v = 1 /3
p = 1
6
8
9 . "
12 , li 10
G = 1
5 ' 4 1 3
S = 2,0
FIGURA 7.13 Dados do Fundação Embutido Oiscretizoçõo
' 2
' '
-DESLOCAMENTO
HORIZONTAL
ROTAÇÃO
DESLOCAMENTO VERTICAL
FIGURA 7. 14
• LO 6.
MOVIMENTO VERTICAL MOVIMENTO HORIZONTAL
Porte Real do Movimento do Superfície Livre poro uma Freqüência f0 =015 ;111 Fundação Embutido.
.107.
V=1~
1
V=1 cr,,o t1 <r,=o V= 1
( a l ( b) •xy= O
( e l
( e l ( g )
FIGURA 7. 15 Algumas Sugestões poro Aplicação
.108.
A Figura 7.15 apresenta algumas sugestões para a-
plicação.
7.4 - Cavidade Num Meio Infinito
O terceiro exemplo consistiu rio estudo de uma ca
vidade cilíndrica de raio p'e comprimento infinito, inserida num
meio infinito, elástico e linear, sob a influência de uma onda
plana de compressão (Figura 7.16). O estado de tensão ao redor
da cavidade, bem como o fator de concentração dinâmica de
sões FCT são determinados.
ten-
O problema corresponde ao de estado plano de de
formação, necessitando-se da determinação do estado de tensão ao
longo de uma cavidade circular contida num plano carregado dina
micamente por uma onda de compressão que apresenta as seguintes
tensões:
ªx =
(J = y (7.3.1)
Txy
A distribuição de tensões é obtida através da su
perposição das tensões produzidas pela onda de pressão num meio
sem a cavidade com as tensões produzidas pela aplicação de for
ças de superfície corretivas ao longo do contorno da cavidade, a
fim de que apos a superposição dos dois casos, este tenha forças
de superfície nulas (Figura 7.l"Z). O primeiro problema
solução trivial, então, apenas o segundo precisa ser
através do programa.
possui
resolvido
.109.
Na análise pelo programa, o contorno foi dis-
eretizado em 24 segmentos retilíneos de mesmo comprimento (Fi
gura 7.18).
Os dados para a utilização do programa sao os se-
guintes:
G = 11.600.000 lb/in 2
p = 0,000734 .Q,b - sec 2/in4
p' = 10 in
V = 0,25
A intensidade da carga aplicada foi conveniente
mente adotada corno S 0 = -1 lb/in 2, para que os valores da tensão
ª11 representem diretamente os valores de FCT.
Para se obter as condições de contorno prescritas
forças de superfície utilizou-se as seguintes fórmulas:
corno 'xy = o --> = a .Q, X
P = a m y y (7.3.2)
onde .Q, e rn sao os cosenos diretores da normal n com o eixo x e o ei
xo y, respectivamente.
Para a solução do segundo problema, os sinais das
forças de superf Ície P x e P y foram trocados (Figura 7 .19.) .
Entrando com os dados acima no programa, este for
necerá os valores dos deslocamentos ux e uy nos pontos nodais.
.110.
Assim, obtem-se os deslocamentos nos pontos de contorno
7.20) através das seguintes expressões:
(Figura
u (A) l (ux
i + u j) = -X 2 X
(7 .3 .3)
u (B) 1 (u i + u k) = X 2 X X
u (A) 1 (u i + u j) = y 2 y y
(7.3.4)
u (B) 1 (u i + u k) = y 2 y y
Decompondo-se estes valores segundo os eixos x, e
X2, obtém-se u, e U2 para os pontos de contorno A e B.
Finalmente, para o cálculo de 0 11 , utiliza-se a
seguinte expressao:
o 1 1 =
onde
1 ( 2G E 1 1 + o 2 2 J V (7.3.5)
1 - V
au, 1 (u, B A E 1 1 = = - U 1 ) (7 .3 .6)
ax l Q,
sendo Q., o comprimento do elemento.
022 = p2 (p2 é o valor da força de superfície no no i na di
reçao x2).
Superpondo-se estes resultados com a solução tri
vial para o primeiro problema, encontra-se o valor de 0 11 (total)
que corresponde ao valor de FCT.
.111.
A Figura 7.21 representa a variação do valor abso
luto de FCT (o valor absoluto é utilizado porque cr 11 é um número
complexo) com a variação do parâmetro wr/C 1 , para um valor de e
igual a 90°. Este grâfico contém os resultados do programa, bem
como os resultados obtidos por Pao (22) e Pao e Mow (31) (resul
tados numéricos), os de Manolis e Beskos (27) (resultados utili
zando um programa de elementos de contorno) e ainda os de Kirsch
(32) (solução estática). Comparando-se os resultados obtidos a
través de programas de elementos de contorno, observa-se que am
bos se aproximam. A causa desta diferença deve-se ao fato de que
no programa desenvolvido neste trabalho foi utilizado elementos
constantes retilíneos, enquanto que no desenvolvido por Manolis
e Beskos (27) foi utilizado elementos constantes curvos.
As Figuras 7.22 e 7.23, mostram os valores de FCT
do programa, os de Manolis e Beskos (27) e os da solução estáti
ca de Kirsch (32) para os valores de e iguais a 52,5° e 82,5°.
Comparando-se os dois resultados obtidos pelos programas de ele
mentos de contorno, observa-se que os resultados se aproximam.
FIGURA 7.16
y
r t O"y 1
X - 1
t
So
Cavidade Sujeito o umo Onda de Compressão num Meio Infinito
.....
..... N
y
y
X
.... --/ ...... / '
I ' , \ 1 1 ' I ' / ...... /
__ .... + X
FIGURA 7. 17 Superposição dos Problemas
y
8 7 6
2
24
19 20
FIGURA 7.18 Discretizaçõo do Contorno
X
\ 1 1 \ \
4
\ I \L.-------0
y y •
úy
i Px/t
úx Px
n Py Py U")
,-j ,-j
) X X
•
•
FIGURA 7.19 Sinais dos Forças de Superfície
.116.
D
FIGURA 7.20 Deslocamentos nos Pontos do Contorno
FCT
4.0 MANOLIS 8 BESKOS
PAO 8 MOW KIRS
2.0
1.0 PROGRAMA
1.0 2.0 3.0 4.0 wr 1c 1
FIGURA 7. 21 R esultodos poro 8 = 90 °
FCT
4.0
3.0 MANOLIS a BESKOS
KIRSCH
PROGRAMA
1.0 2.0 3.0 4.0 wr I c1
FIGURA 7. 22 Resultados poro e= 52,5°
FCT
4.0 MANOLIS 8 BESKOS
KIRSCH
3.0
2.0
1.0 PROGRAMA
1.0 2.0 3.0 4.0 wr 1c,
FIGURA 7. 23 Resultados poro e = 82,5°
CAPÍTULO 8
CONCLUSÃO.
.121.
CAP:Í:TULO 8
CONCLUSÃO
O presente trabalho consistiu na aplicação da for . -
rnulação direta do Método de Elementos de Contorno para a solução
de problemas elastodinâmicos harmônicos bi-dimensionais.
Um programa de computador foi desenvolvido utili
zando-se elementos constantes. Os resultados obtidos para os
três exemplos apresentados no capítulo 7, se aproximam dos canse
guidos através de outras técnicas, apresentando ótima convergên
cia.
Comparando-se os resultados obtidos para o exem
plo l através dos Métodos dos Elementos Finitos e Elementos de
Contorno, verifica-se que estes apresentaram resultados muito bons
para a freqüência fundamental. Para a configuração do modo fun
damental, foi também verificado que utilizando-se 30 elementos de
contorno os resultados eram satisfatórios, enquanto que para o Mé
todo dos Elementos Finitos foi necessário uma malha com 100 ele-
mentas triangulares lineares e 66 pontos nodais. A economia pr~
veniente da utilização de Elementos de Contorno é mais evidencia
da quando são utilizadas regiões semi-infinitas, corno é o caso
do exemplo 2, onde é necessária a utilização de poucos ou nenhum
elemento na superfície livre. Com relação ao exemplo 3,
igualmente obtidos ótimos resultados.
foram
Muitos domínios físicos podem ser idealizados co
rno meios homogêneos e isotrópicos, mas um modelo mais realístico
.122.
seria considerá-los nao homogêneos e anisotrópicos. Estes con
ceitos podem ser incorporados a presente formulação, através da
utilização de sub-regiões e o uso da solução fundamental para
meio anisotrópico. Sendo estas alterações realizadas com suces
so para o caso estático, a extensão para problemas elastodinámi
cos nao apresentaria dificuldades. Para a solução de problemas
com grau de heterogeneidade elevado no solo, a melhor maneira se
ria uma combinação mediante a utilização de elementos finitos p~
ra a discretização da região de grande heterogeneidade e elemen
tos de contorno para simular melhor as condições de contorno.
Problemas de estado transiente podem ser resolvi
dos incluindo no programa a inversão numérica da transformada uti
lizando-se de métodos já existentes. Tal inversão envolve somen
te a utilização de uma série de soluções para diferentes freqüê~
cias.
Concluindo, a presente formulação apresenta exce
lentes resultados para muitos tipos de problemas de Engenharia e
a extensão para problemas mais específicos pode ser conseguida
sem muita dificuldade.
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
1.
2.
.124.
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A P t N D I C E S
AP~NDICE A
MtTODO DOS RESÍDUOS PONDERADOS
.131.
APtNDICE A
M:E:TODO DOS RESÍDUOS PONDERADOS
Este método é uma técnica numérica para se aprox~
mar a solução de uma equação diferencial parcial:
L(v 0 ) = g em
com as seguintes condições de contorno: essenciais F(v0 )
(A. l)
p em r,
(A. 2)
naturais: R(vo) = f em r 2
onde L (
Vo
= operador diferencial linear
= solução exata da equação
g,p e f = funções de variáveis independentes
r = r, + r,
A função teste v poderá ser expressa como uma se
rie de funções independentes lineares ~k'
N V = l (A. 3)
k=l
onde ªk sao coeficientes indeterminados utilizados para aproxi
mar v 0 •
Como na maioria dos casos v nao corresponde aso
lução exata v 0 , serao encontrados erros no domínio íl e no contor
no r com os seguintes resíduos:
E= L(v) - g
E= F(v) - p
E= R(v) - f
em
em
em
.13 2.
(A. 4)
Estes resíduos podem ser minimizados forçando-se
que a integral do produto do resíduo pela função peso W seja nu
la ao longo do domínio íl e do contorno r:
JílEWdíl = o em íl
(A. 5)
J f E W df = o em r
ou
f íl {L(v) - g} w díl = - J {F(v) - p} g(W) df + f1
(A. 6)
+ f { R (v) - f} w d r I'2
onde g(W) e uma função de W tal que R = g (F) .
As equaçoes (A.5) representam a relação básica do
método dos resíduos ponderados.
.133.
Métodos numéricos diferentes sao gerados ao serem
utilizadas funções peso (W) diferentes:
a) W = c5 (q, p)
b) w = ~ onde k = 1, N k
c) se W satisfaz a equaçao funda
-+ método das diferenças finitas,
etc ... ; onde o(q, p) é a fun
ção delta de Dirac.
+ método de Galerkin que consti
tui o ponto inicial do método
dos elementos finitos.
mental L(W*) + o(q, p) = O + método de elementos de contor
no.
A vantagem da utilização deste método para a for
mulação da equação integral é que ele e geral e aplicável a qual
quer tipo de problema. Desse modo se torna fácil relacionar e
combinar o método de elementos de contorno com outro tipo de mé
todo, como por exemplo o método dos elementos finitos.
APtNDICE B
CÃLCULO DE C .. l
e .. = 9.im l.J
E:+0
(3.2.2.6))
e .. l.J
r
ar
an
= Q,im
e:+O
r
= E:
= -1
na
J_ r e:
.135.
AP:l;:NDICE B
CÃLCULO DE C . . l.
O valor correspondente a C .. e (Figura B.l): l. J
(B. l)
Assim, substituindo-se o valor de P .. * (equação l.J
equaçao (B.l),
l 1 dt _ X) 2]] dr r
r . , l.
- 2 r . , l.
r . , J
9.x dr
obtem-se que:
~ .. ar + r J.J an , j
a~ - 2 19.xl a~ dr
r . n. , l. J
n~
r . r . ar ,J. ,J an
df
Usando-se coordenadas cilíndricas, tem-se:
+ (B.2)
(B. 3)
(B. 4)
r . = ' J.
ar
an
an
ax. J.
.136.
an = - -- = -n. ax. J.
(B. 5)
J.
Utilizando-se o fato de que E+O, tem-se das fun-
çoes modificadas de Bessel para argumentos pequenos
(C.48) e (C.49)) que:
(equações
( B. 6)
(B. 7)
Para o cálculo de d~ e~ foram utilizadas as redr dr
laçoes de recorrência para as funções modificadas de Bessel (e-
quações (C. 37) e (C. 38) ) :
d~ 1 = (B. 8) dr E
~ 1
[ :: : - 1 J = dr E
(B. 9)
X = o (B.10)
r
Substituindo-se os valores das equaçoes (B. 3) ,
(B.4), (B.5), (B.6), (B. 7), (B.8), (B.9) e (B.10) na. equação (B.2)
tem-se que:
.13 7.
e .. 9.im J_ 1
[
6:j J ar = l] 2'lT
E: +O r
E:
Mas ar = E a 6
e r varia de 61 a 62 (Figura (B.1)). E:
Então:
1 cij =
2'lT
Assim:
1 e = 2'lT
ou
1 e = 2'lT
r 6 1
óij a 6
(62 - 6i)
o
= óij
2'lT ( 6 2 - 6 il
o
'(62 - 61)
(I] - Cl.2 + Cl.1) o
o (Il - Cl.2 + C1.1)
(B.11)
(B.12)
(B.13)
(B.14)
(B.15)
1/2
e =
o
.138.
Considerando-se o contorno suave tem-se que
o
=
1/2
1
2 I (B .16)
º
FIGURA B. 1
. 139 .
X1
--- - g \ \
a e~ i 1 \
/n&
e \
' n1
onde n 1 e n 2 indicam os normais exteriores
unitários em pontos diferentes
Representação do Coeficiente
do Contorno Cij
r poro o Cálculo
APtNDICE C
NOÇÕES SOBRE AS FUNÇÕES DE BESSEL
.141.
AP1':NDICE C
NOÇÕES SOBRE AS FUNÇÕES DE BESSEL
As Funções de Bessel de ordem n corresp::,ndem asso
luções da seguinte equação diferencial:
d 2 w dw z 2 + z + (z 2
- v 2) w = O (C .1)
dz 2 dz
onde z e v podem ser números reais, imaginários de complexos.
sao:
Tais soluções podem ser:
- Funções de Bessel de primeira classe de ordem
n: J+ (z) -n
- Funções de Bessel de segunda. classe de or
dem n: Y (z) (também chamadas de funções de Wen
ber)
- Funções de Bessel de terceira classe de ordem
n: H(l) (z) e H( 2 ) (z) (também chamadas de fun-n n
ções de Hankel).
Portanto as soluções gerais da equaçao diferencial
(C. 2)
.142.
y = A J (z) + B Y (z) para todo n (C. 3) n n
j ' dz y = A J (z) + B J (z) para todo n (C. 4) n n J 2 (z)
n
y = A H(l)(z) + B H (2 ) (z) (C. 5) n n
onde A e B sao constantes arbitrárias.
1 - Fórmulas das Funções de Bessel
1.1 - Funções de Primeira Classe de Ordem n
zn l ,, z•
(2n+ 4) - •. ·l J (z) = 1 - + = n 2nr (n + 1) 2 ( 2n + 2) 2 ( 4) ( 2n + 2)
=
00
l k=O
-n z
( _ 1 l k ( z/ 2) n + 2k
k! f (n + k + 1)
z2 1 - ---- + -----------
-n 2 r(l-nl 2 ( 2 - 2n) 2(4) (2-2n) (4-2n)
l (-l)k (z/ 2)2k-n 00
k = o k ! r (k + 1 - nl
(C. 6)
=
(C. 7)
.143.
onde ré a função Gama definida por:
V z > O
e com as seguintes propriedades:
r(z + 1) = zr(z)
r (ll = 1
r(z) = r(z + 1)/z para X < Ü
X f -1, -2, -3, ...
r c1;2i = liT
r (p l r < 1 - p l = 7T O < p < 1 sen (pn)
Se n f O, 1, 2, ... ,J (z) e J (z) sao linearmen-n -n
te independentes.
Se n f O, 1, 2, ... , J n ( z) e limitada para z = O
enquanto que J {z) é ilimitada. -n
1.2 - Funções de Segunda Classe de Ordem n
Y (z) = n
Jn{z) cos nn - J (z) -n n f O, 1, 2, •.. (C. 9)
sen (nn)
1im J (z) cos (pn) - J (z) p
p+n sen (pn)
n = O, 1, 2, ... (C.10)
. 14 4.
Para n = O, 1, 2, ... , tem-se pela regra de L'Hos
pital que:
Y (z) n
1 00
l 'TT k = o
1 n-1
l [ J
2k-n (n-k-1)!;
'TT k = o
(-llk{<P (k) - <j, (n + k)}
(z/2 ) 2k + n
k! (n+k)!
onde y = 0,577215664901532 ... e a constante de Euler
e <j,(p) = 1 + ! + 1 + ... + 1 2 3 p
<j,(0) = O
y (z) = (-l)n Y (z) -n n n = O, 1, 2, ••.
(C.11)
(C.12)
Para qualquer valor de n ~ O, Jn{z) e limitada p~
ra z = O enquanto que Yn(z) é ilimitada.
Fórmulas de Recorréncia
Jn+l(z) 2n J (z) - J 1 (z) (C.13) = n n-z
J' (z) 1 {Jn-l(z) - Jn+l(z)} (C.14) = n 2
z J' (z) = z J 1
(z) - n Jn(z) (C.15) n n-
z J~(z) = n Jn(z) - z Jn+l (z) (C.16)
.145.
dz d {zn J (z)}
n n = z Jn - 1 (z) (C.17)
dz d { z-n J (z)}
n -n = -z Jn + 1 (z) (C.18)
As funções Y (z) satisfazem a relações idênticas. n
Argumentos Pequenos
J (z) "' n r (n + 1)
n t -1, -2, -3, ...
Yo (z) "' iH~l) (z) "' iH~2
) (z} "' 1~1)1,nz
1.3 - Funções de Terceira Classe de Ordem n
H(l) (z) = J (z) + i Y (z) n n n
H <2> (z) = J (z) - i Y (z)
n n n
(C.19)
(C.20)
(C.21)
(C.22)
(C.23)
Se zé transformado num numero imaginário iz, a
equaçao (C.1) se reduz a:
d 2 w dw z 2 + z -dz 2 dz
(z 2 + v 2) w = O (C.24)
.146.
As soluções para esta equaçao sao:
- Funções modificadas de Bessel de primeira clas
se de ordem n: I+ (z) -n
- Funções modificadas de Bessel de segunda classe
de ordem n: K (z) n
As soluções gerais da equaçao diferencial sao:
y = A I (z) + B I (z) n -n
n ,f O, 1, 2, ••• (C.25)
y = A I (z) + B K (z) para todo n n n
j z
d,: y = A I (z) + B I ( z) para todo n
n n I 2 ( z)
n
2 - Fórmulas das Funções Modificadas de Bessel
2.1 - Função de Primeira Classe de Ordem n
nlli
I (z) = i-n J (iz) = e n n
2 J (iz) n
=
= = l
n z ll + 2(2::,, + 2(4) (2n:;, (2n+4) + ···)
(z/2 ) n+2k
k=O k!r(n+k+ll
(C.26)
(C.27)
=
(C.28)
I ( z) -n
.n = ]_ J (iz) -n
nIIi
= e 2
.147.
J (iz) -n
= -n z
-n 2 r(l-nl l H _2_(_2_z __
2
_2_n_) + _2_(_4_) _(_2_-_z_:-n-) _(_4 ___ 2_n_) + .• • l · l
(z/2 ) 2k-n (C.29)
00
= k = 0 k ! r (k + 1 - nJ
I (z) = I (z) -n n n = O, 1, 2, ..• (C.30)
Se n ,j. O , 1 , 2 , ••• ,
nearmente independentes.
então I (z) e I (z) sao li-n -n
2.2 - Funções de Segunda Classe de Ordem n
K (z) = n
II
2 senII (nII) {I (z) - I (z)} -n n
n ,j. 0,1,2, ...
II [ } ----- lI (z) - I (z) n = 0,1,2, ... -p p 2 sen (pII) p-..n
,1',im
(C.31)
(C.32)
Para n = 0.,1,2, ... , tem-se pela regra de L'Hosp!_
tal que:
.148.
n-1
n+l { } Kn (z) = (-1) tn(z/2) +y I (z) +.!. L (-l)k (n-k-1) ! (z/2) 2k-n + n 2 k=O
(-l)n +--
2
00
I k=O
(z/2)n + 2k
k! (n+k) ! {j, (k) + <j> (n + k) }
K (z) = K (z) -n n n = O, 1, 2, •••
Fórmulas de Recorrência
= I l ( z) -2
n I ( z) n- n z
In' (z) = ;- { In-1 (z) + In+l (z)}
z I '(z) = z I 1
(z) - n I (z) n n- n
z In' (z) = z In+l (z) + n In (z)
d
dz
d
dz
-n = z In+l (z)
(C.33)
(C.34)
(C.35)
(C.36)
(C.37)
(C.38)
(C.39)
(C.40)
Kn+l (z)
1 K ' (z) = n
2
.149.
z Kn' (z) = -Z. Kn-l (z) - n Kn (z)
d
dz
d
dz
n = - z K l (z) n-
-n -z Kn+l (z)
Argumentos Pequenos
I (z) "" n
(z/2) n
r (n + ll
K 0 ( z) "" - Q,n (z)
ler (n) 2
n e/ -1, -2, ...
[2z]-n n > O
(C. 41)
(C.42)
(C.43)
(C.44)
(C.45)
(C.46)
(C.47)
(C.48)
(C.49)
•