integrais triplas

Integrais Triplas

Jorge A. R. Durán D.Sc., Professor Adjunto

UFF – TMI – Volta Redonda [email protected]

versão: dezembro de 2004

Introdução:

Uma integral tripla envolve uma função f(x,y,z) e um sólido S do espaço tridimensional. Para resolve-la é necessário varrer completamente o interior do sólido na ordem mais adequada e identificada pela posição dos diferenciais na integral. Pela dificuldade em plotar e visualizar superfícies em 3D, não resulta incomum encontrar uma grande dificuldade entre os estudantes para definir a ordem e conseqüentemente os limites de integração. Felizmente hoje em dia existem programas de computador que permitem plotar estas superfícies e visualizar o sólido em que estamos integrando. Alguns autores chamam estes programas de Sistemas de Computação Algébrica (SCA) e as suas aplicações não se limitam, é claro, a plotar gráficos em 3D. Dentre estes programas os mais conhecidos são o MapleTM, MathLab, MathCad, Mathematica, e outros. Este material apresenta diversos exemplos de cálculo de integrais triplas mostrando em cada caso o sólido correspondente (desde um ou dois ângulos) com auxílio do MapleTM 6.0. Dúvidas e comentários sobre este e outros materiais disponíveis na página do autor http://www.professores.uff.br/duran/, bem como alunos interessados em colaborar, são sempre bem vindos.

Exemplos

1. Calcule a Integral tripla de f(x,y,z)= sqrt(x2+y2) onde S é o sólido dentro do cilindro r = 1 e entre as superfícies 0 ≤ z ≤ sqrt(x2+y2) (Figura 1).

Figura 1 - Sólido dentro do cilindro r=1 e entre as superfícies 0 ≤ z ≤ sqrt(x2+y2). A superfície z = sqrt(x2+y2) (sqrt são as siglas de square root que significa “raiz quadrada” e que é utilizada na maioria dos programas disponíveis) é um cone invertido com vértice na origem. Em coordenadas cilíndricas é z=r. Podemos resolver esta

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integral em coordenadas cartesianas ou cilíndricas. Podemos também tirar vantagem da simetria do sólido multiplicando por 2, ou incluso por 4, como demonstrado abaixo.

= 2 d⌠⌡

-1

1

d⌠⌡

0

− 1 x2

d⌠⌡

0

+ x2 y2

+ x2 y2 z y x12

π

= 4 d⌠⌡

0

/1 2 π

d⌠⌡

0

1

d⌠⌡

0

r

r2 z r θ12

π = d⌠⌡

0

2 π

d⌠⌡

0

1

d⌠⌡

0

r

r2 z r θ12

π

2. Calcule o volume do sólido dentro do cilindro y = 1 – x2 e entre as superfícies

0 ≤ z ≤ y (Figura 2).

Figura 2 - Sólido dentro do cilindro y = 1 – x2 e entre as superfícies 0 ≤ z ≤ y.

= d⌠⌡-1

1

d⌠⌡0

− 1 x2

d⌠⌡0

y

1 z y x815

3. Calcule o volume do sólido no primeiro octante limitado pelo cilindro y = 4 - x2 e

os planos z = x, y = 0 e z = 0 (Figura 3)

Figura 3 - Sólido no primeiro octante limitado pelo cilindro y = 4 - x2 e os planos z = x, y = 0 e z = 0.

Jorge A. R. Durán Página 2 16/12/2004

= d⌠⌡0

2

d⌠⌡0

− 4 x2

d⌠⌡0

x

1 z y x 4

4. Calcule o volume do sólido limitado pelas superfícies z = x2 + 3y2 e z = 8 – x2 – y2

(Figura 4).

Figura 4 - Sólido limitado pelas superfícies z = x2 + 3y2 e z = 8 – x2 – y2. Encontramos a equação (neste caso uma elipse, Figura 5) da curva no plano xy que representa a projeção vertical da superfície de união do sólido, igualando a coordenada z de ambos parabolóides:

= y12

− 8 2 x2

= y −12

− 8 2 x2

Figura 5 - Projeção vertical da superfície de união entre os dois parabolóides da figura 4. Aproveitando a simetria do sólido temos:

= 2 d⌠⌡-2

2

d⌠⌡0

/1 2 − 8 2 x2

d⌠⌡

+ x2 3 y2

− − 8 x2 y2

1 z y x 8 π 2


5. Calcule o volume do sólido limitado pelos planos z = 0, z = 1, x + y = 0,

x + y = 1, x – y = 0, x – y = 1 (Figura 6).

Figura 6 - Sólido limitado pelos planos z = 0, z = 1, x + y = 0, x + y = 1, x – y = 0, x – y = 1. É claro que o volume desta caixinha de lado sqrt(1/2) e altura 1 é 1/2, mas devemos demonstrar isto com integrais triplas. A projeção vertical destes planos é (Figura 7):

Figura 7 – Projeção vertical dos planos que limitam o sólido da figura 6. Não é possível varrer toda a região com uma única integral, dai a seguinte expressão:

= + d⌠⌡0

.5

d⌠⌡−x

x

d⌠⌡0

1

1 z y x d⌠⌡.5

1

d⌠⌡ − x 1

− 1 x

d⌠⌡0

1

1 z y x .50

6. Calcule o volume do sólido dentro do cilindro x2 + y2 ≤ 4 e entre as superfícies

-4 ≤ z ≤ xy (Figura 8).


Figura 8 - Sólido dentro do cilindro x2 + y2 ≤ 4 e entre as superfícies -4 ≤ z ≤ xy. Como o sólido é simétrico em relação a um eixo, preferimos coordenadas cilíndricas:

= d⌠⌡0

2 π

d⌠⌡0

2

d⌠⌡-4

r2 ( )cos θ ( )sin θ

r z r θ 16 π

7. Calcule o volume do sólido entre os parabolóides z = - x2 - y2 e z = x2 + y2, e o

cilindro x2+ y2 = 4 (Figura 9).

Figura 9 - Sólido entre os parabolóides z = - x2 - y2 e z = x2 + y2, e o cilindro x2+ y2 = 4. Este caso também se simplifica muito utilizando coordenadas cilíndricas:

= d⌠⌡0

2 π

d⌠⌡0

2

d⌠⌡

− − r2 ( )cos θ 2 r2 ( )sin θ 2

+ r2 ( )cos θ 2 r2 ( )sin θ 2

r z r θ 16 π

Em coordenadas cartesianas a integral fica:

= d⌠⌡-2

2

d⌠⌡

− − 4 x2

− 4 x2

d⌠⌡

− − x2 y2

+ x2 y2

1 z y x 16 π


8. Calcule o volume do sólido limitado acima pelo plano z = x e abaixo pelo parabolóide z = x2 + y2.(Figura 10).

Figura 10 - Sólido limitado acima pelo plano z = x e abaixo pelo parabolóide z = x2 + y2. A equação da curva (neste caso um círculo, Figura 11)que representa a projeção da superfície de união no plano xy se obtém igualando as coordenadas z das duas superfícies:

= y − x x2

= y − − x x2

Figura 11 – Círculo em xy que representa a projeção das fronteiras do sólido da figura 10. Resolvendo em coordenadas cilíndricas temos:

= d⌠⌡0

π

d⌠⌡0

( )cos t

d⌠⌡

r2

r ( )cos t

r z r t132

π

9. Calcule o volume do sólido formado pela interseção dos cilindros x = z2 e

y2 + 9 x = 9 (Figura 12).


Figura 12 - Sólido formado pela interseção dos cilindros x = z2 e y2 + 9 x = 9.

= d⌠⌡-3

3

d⌠⌡0

− 1 /1 9 y2

d⌠⌡

− x

x

1 z x y32

π

10. Um buraco cilíndrico de raio a é furado através do centro de uma esfera sólida de

raio 2a. Calcule o volume do buraco (Figura 13).

Figura 13 – Esfera furada por um cilindro com metade de seu raio. Nos gráficos consideramos a=1 unidade, apenas para efeitos de visualização das escalas. A resposta, é claro, está em função de a.

= 2 d⌠⌡0

2 π

d⌠⌡0

a

d⌠⌡0

− 4 a2 r2

r z r θ43

π a3 ( ) − 8 3 3

11. Calcule o volume da região no interior do cilindro r = a sen (θ) limitada acima

pela esfera x2 + y2 + z2 = a2 e abaixo pela metade superior do elipsóide x2/a2 + y2/a2 + z2/b2 = 1 (b<a) (Figura 14).


Figura 14 - Região no interior do cilindro r = a sen (θ) limitada acima pela esfera x2 + y2 + z2 = a2 e abaixo pela metade superior do elipsóide x2/a2 + y2/a2 + z2/b2 = 1 (b<a). Nos gráficos, apenas para visualizar as escalas, consideramos a=1 e b=0.4. A metade superior da esfera tem como equação em coordenadas cilíndricas:

:= z − a2 r2

e a equação da metade superior do elipsóide, também em coordenadas cilíndricas é:

:= zb − a2 r2

a

Estes são os limites em z. Devemos ter cuidado com os limites da região plana R, que neste caso corresponde também a uma circunferência mas cujo centro não coincide com o pólo (Figura 15). Para varrer esta região utilizamos um diferencial de área da=rdrdθ com 0 ≤ r ≤ a sen (θ) e 0 ≤ θ ≤ π.

Figura 15 – Função r = a sen (θ) (com a = 1 e.g.) no plano xy.

= d⌠⌡0

π

d⌠⌡0

a ( )sin θ

d⌠⌡

b − a2 r2

a

− a2 r2

r z r θ13

π a3

− 1

ba


integrais triplas

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