UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINASFACULDADE DE ENGENHARIA ELÉTRICA E DE COMPUTAÇÃO

EE540 – TEORIA ELETROMAGNÉTICA

Ondas PlanasProf. Lucas Heitzmann Gabrielli

Ondas eletromagnéticas(Sadiku 10.1, 10.2)

Um importante resultado dos trabalhos de Maxwell na organização das equaçõeseletromagnéticas foi a previsão da existência de ondas eletromagnéticas, confirmada apenas maistarde por Hertz.

As leis de Faraday e Ampère associam uma variação espacial nos campos elétrico e magnéticoas variações temporais dos fluxos magnético e elétrico, respectivamente. Em conjunto essasequações resultam em campos que sustentam um ao outro, originando o que chamamos de ondaeletromagnética.

Em geral, ondas são um meio capaz de transportar energia e informação.

Equação de ondaConsideramos um meio simples e sem fontes (𝓙 = 𝜌 = 0) e utilizamos as leis de Faraday eAmpère para obtermos a equação de onda homogênea:

∇2𝓔 − 𝜇𝜀∂2𝓔∂𝑡2 = 0

Analisemos o caso simples em que toda variação espacial ocorre apenas na direção 𝑧:

∂2𝓔∂𝑧2 − 𝜇𝜀∂2𝓔

∂𝑡2 = 0

É fácil verificar que essa equação possui solução da forma:

𝓔(𝑧, 𝑡) = 𝓔+(𝑢𝑡 − 𝑧) + 𝓔−(𝑢𝑡 + 𝑧)

onde 𝑢 = 1√𝜇𝜀 e 𝓔+ e 𝓔− são funções quaisquer.

Propagação

ℰ−(𝑢𝑡 + 𝑧) ℰ+(𝑢𝑡 − 𝑧)

𝑢Δ𝑡

−𝑢Δ𝑡

𝑧

𝑓

As dependências com 𝑢𝑡 ± 𝑧 indicam que asfunções ℰ+ e ℰ− transladam ao longo do eixo 𝑧com o decorrer do tempo.

Como indicado na figura ao lado, o sinal negativoimplica em um movimento na direção positiva de𝑧, e o oposto ocorre para o sinal positivo.

Fica claro que 𝑢 representa a velocidade da onda,pois se acompanharmos um ponto constanteℰ+(𝑟0) ou ℰ−(𝑟0) ao longo do tempo, sua posiçãoserá:

𝑢𝑡 ∓ 𝑧 = 𝑟0 ⇔

⇔ d𝑧d𝑡

= ±𝑢

Domínio da frequência(Cheng 8-1, 8-2; Sadiku 10.4, 10.5)

No domínio da frequência a equação de onda anterior tem a forma da equação homogênea deHelmholtz:

∇2𝐄 + 𝑘2𝐄 = 0

onde 𝑘 = 𝜔√𝜇𝜀.

Em coordenadas cartesianas essa equação é equivalente a 3 equações escalares independentes deHelmholtz, uma para cada componente do vetor 𝐄:

∂2𝐸𝑥∂𝑥2 + ∂2𝐸𝑥

∂𝑦2 + ∂2𝐸𝑥∂𝑧2 + 𝑘2𝐸𝑥 = 0

∂2𝐸𝑦

∂𝑥2 +∂2𝐸𝑦

∂𝑦2 +∂2𝐸𝑦

∂𝑧2 + 𝑘2𝐸𝑦 = 0

∂2𝐸𝑧∂𝑥2 + ∂2𝐸𝑧

∂𝑦2 + ∂2𝐸𝑧∂𝑧2 + 𝑘2𝐸𝑧 = 0

Solução fasorialConsideramos uma solução para, por exemplo, 𝐸𝑥, em que o campo não varia ao longo dosplanos 𝑥𝑦 (planos 𝑧 constante), de modo que ∂𝐸𝑥

∂𝑥 = ∂𝐸𝑥∂𝑦 = 0. A equação de Helmholtz torna-se

simplesmente:

∂2𝐸𝑥∂𝑧2 + 𝑘2𝐸𝑥 = 0

cujas soluções são obtidas facilmente:

𝐸𝑥(𝑧) = 𝐸 +𝑥 (𝑧) + 𝐸 −

𝑥 (𝑧) = 𝐸+0 𝑒−𝑖𝑘𝑧 + 𝐸−

0 𝑒𝑖𝑘𝑧

As constantes 𝐸+0 = |𝐸+

0 |𝑒𝑖𝜑+ e 𝐸−0 = |𝐸−

0 |𝑒𝑖𝜑− são em geral complexas e devem serdeterminadas pelas condições de contorno do problema em questão.

Observe que a solução instantânea obedece a forma geral que analisamos anteriormente comdependência temporal senoidal (já que estamos trabalhando com fasores agora):

ℰ+𝑥 (𝑧, 𝑡) = ℜ𝐸+

0 𝑒−𝑖𝑘𝑧𝑒𝑖𝜔𝑡 = |𝐸+0 | cos(𝜔𝑡 − 𝑘𝑧 + 𝜑+)

Velocidade de faseComo visto anteriormente, essa solução representa uma onda propagante no sentido de 𝑧positivo.

Acompanhando um ponto de fase específica 𝜑0, obtemos imediatamente a velocidade de fase 𝑢𝑝da onda:

𝜔𝑡 − 𝑘𝑧 + 𝜑+ = 𝜑0 ⇒ 𝑢𝑝 = d𝑧d𝑡

= 𝜔𝑘

= 1√𝜇𝜀

A velocidade de fase não depende diretamente da frequência, apenas dos materiais (que, comosabemos, dependem da frequência).

Em especial no vácuo não há dispersão, e a velocidade de fase torna-se a famosa constante

𝑐 = 1√𝜇0𝜀0

= 2,9979 × 108 m/s

𝑢𝑝 = 𝑐√𝜇𝑟𝜀𝑟

Onda senoidal

𝐸 +𝑥 (𝑧) = 𝐸+

0 𝑒−𝑖𝑘𝑧

ℰ+𝑥 (𝑧, 𝑡) = |𝐸+

0 | cos(𝜔𝑡 − 𝑘𝑧 + 𝜑+)

|𝐸 +𝑥 | = |𝐸+

0 | [V/m] : amplitude

𝜔 [rad/s] : frequência angular

𝑘 [rad/m] : número de onda ou constante de fase

𝑓 = 𝜔2𝜋

[Hz] : frequência

𝑇 = 2𝜋𝜔

[s] : período

𝜆 = 2𝜋𝑘

[m] : comprimento de onda

𝑢𝑝 = 𝜔𝑘

= 𝜆𝑓 [m/s] : velocidade de fase

𝑡 = 0 𝑇4

𝑇2

𝑧

ℰ+𝑥 (𝑧, 𝑡)

Espectro eletromagnético http://xkcd.com/273/

Efeito Doppler(Cheng 8-2.1)

𝐴

𝐴′

𝐵

𝐮

𝑟0

|𝐮|Δ𝑡 𝑟′

𝜃

𝑟′ = √𝑟20 + (|𝐮|Δ𝑡)2 − 2𝑟0|𝐮|Δ𝑡 cos 𝜃

𝑓′ = (1 − |𝐮|𝑐

cos 𝜃)−1

𝑓 ≅ (1 + |𝐮|𝑐

cos 𝜃) 𝑓

Quando o transmissor e o receptor se aproximam (𝜃 ≅ 0) a frequência percebida na recepçãoserá maior que a transmitida (blue shifted).

O oposto ocorre quando transmissor e receptor se afastam (𝜃 ≅ 𝜋): a frequência detectada émenor que a transmitida (red shifted).

Solução de ondas planas(Cheng 8-2.2, 8-2; Sadiku 10.5)

A solução de ondas planas para a equação de Helmholtz vetorial pode ser escrita a partir de umcaso mais geral da solução para o problema mais simples estudado anteriormente:

𝐄(𝐫) = 𝐄0𝑒−𝑖𝐤⋅𝐫 = 𝐄0𝑒−𝑖𝑘𝑥𝑥𝑒−𝑖𝑘𝑦𝑦𝑒−𝑖𝑘𝑧𝑧

onde 𝐫 = 𝑥𝐚𝑧 + 𝑦𝐚𝑧 + 𝑧𝐚𝑧, 𝐄0 = |𝐄0|𝑒𝑖𝜑 é um vetor complexo constante e definimos o númerode onda vetorial 𝐤 = 𝑘𝑥𝐚𝑥 + 𝑘𝑦𝐚𝑦 + 𝑘𝑧𝐚𝑧.

É fácil verificarmos por substituição que esta é uma solução possível, desde que:

|𝐤|2 = 𝑘 2𝑥 + 𝑘 2

𝑦 + 𝑘 2𝑧 = 𝑘2

Definimos também o vetor unitário na direção de 𝐤:

𝐚𝑘 = 𝐤𝑘

⇔ 𝐤 = 𝑘𝐚𝑘

Plana por quê?

A única dependência de 𝐄(𝐫) = 𝐄0𝑒−𝑖𝑘𝐚𝑘⋅𝐫 com a posição𝐫 aparece no produto interno com a direção 𝐚𝑘, ou seja, ocampo terá fase e amplitude constantes em todas as regiõesonde 𝐚𝑘 ⋅ 𝐫 for constante.

𝐚𝑘 ⋅ 𝐫 = 𝑑 ⇒

⇒ 𝐄(𝐫) = 𝐄0𝑒−𝑖𝑘𝑑 = |𝐄0|𝑒𝑖(𝜑−𝑘𝑑)

Imediatamente identificamos o lugar geométrico 𝐚𝑘 ⋅ 𝐫 = 𝑑como o plano a uma "distância" 𝑑 da origem na direção 𝐚𝑘(𝑑 pode ser negativo, implicando a direção oposta).

Assim, vemos que essa solução tem frente de onda (lugargeométrico de fase constante) plana, daí seu nome.

𝐚𝑘

𝑑

𝐫

𝑥

𝑦

𝑧

Campos transversaisUtilizando a Lei de Gauss (no meio homogêneo e sem fontes):

∇ ⋅ (𝜀𝐄0𝑒−𝑖𝐤⋅𝐫) = 0 ⇔

⇔ − 𝑖𝐤 ⋅ 𝐄0𝑒−𝑖𝐤⋅𝐫 = 0 ⇔

⇔ 𝐤 ⊥ 𝐄0

Se calcularmos o campo magnético correspondente:

𝐇(𝐫) = − 1𝑖𝜔𝜇

∇ × 𝐄(𝐫) = 1𝜂

𝐚𝑘 × 𝐄(𝐫)

Vemos assim que 𝐄, 𝐇 e 𝐤 formam um triedro direito.

Como ambos os campos elétrico e magnético são perpendiculares à direção de propagação, essetipo de onda é chamada TEM (transverse electromagnetic).

𝜂 = √𝜇𝜀

[Ω] : impedância intrínseca do meio (no vácuo: 𝜂0 = 376,7 Ω ≅ 120𝜋 Ω)

Polarização(Cheng 8-2.3; Balanis 4.4)

Linear 𝐤 = 𝑘𝐚𝑧

𝐄 = 𝐸0𝐚𝑥𝑒−𝑖𝑘𝑧

𝐇 = 𝐸0𝜂 𝐚𝑦𝑒−𝑖𝑘𝑧

Circular esquerda𝐤 = 𝑘𝐚𝑧

𝐄 = 𝐸0(𝐚𝑥 + 𝑖𝐚𝑦)𝑒−𝑖𝑘𝑧

𝐇 = 𝐸0𝜂 (𝐚𝑦 − 𝑖𝐚𝑥)𝑒−𝑖𝑘𝑧

A polarização é definida pela relaçãode magnitudes e defasagem entre ascomponentes do vetor campo elétrico(ou magnético) no plano transversalda onda.Ela reflete o desenho que a ponta dovetor de campo descreve ao longodo tempo em um determinado planotransverso.

• Linear• Circular esquerda ou direita• Elíptica esquerda ou direita

Esfera de Poincaré

(Balanis 4.4.4)

Considerando-se a onda com propagação nosentido 𝐚𝑧, seu estado de polarização podeser representado unicamente por um ponto nasuperfície de uma esfera através da longitude 2𝜏e latitude 2𝜉 .

O ângulo 𝜏 é a inclinação da elipse depolarização e é medido do eixo 𝑥 ao eixo maiorda elipse (0 ≤ 𝜏 ≤ 𝜋), enquanto 𝜉 é oarco-tangente da razão entre os eixos menor emaior. Por convenção 𝜉 > 0 para polarização àesquerda e 𝜉 < 0 para polarização à direita, demodo que −𝜋

4 ≤ 𝜉 ≤ 𝜉4 .

|𝐄+𝑥 |

|𝐄+𝑦 |

𝜏𝜉

ℰ+𝑥

ℰ+𝑦

𝜋4

𝜋8

𝜉=0

− 𝜋8

− 𝜋4

𝜏=0 − 𝜋4 − 𝜋

2 − 3𝜋4

𝜋

Meio com perdas(Cheng 8-3; Sadiku 10.3)

Em um meio homogêneo e sem fontes impressas (𝐉𝑖 = 0, 𝜌𝑖 = 0), mas possivelmente comperdas, obtemos a seguinte equação de onda:

∇2𝐄 + 𝜔2𝜇 (𝜀 − 𝑖𝜎𝜔

) 𝐄 = 0

Note que apesar de não termos fontes impressas, temos correntes de condução 𝐉 = 𝜎𝐄.

Tanto na equação de onda quanto na lei de Ampère fica clara a equivalência entre um meiocondutor (𝜎 ≠ 0) e um dielétrico com perdas (ℑ𝜀 ≠ 0).

Separamos as partes real e imaginária de 𝜀 = 𝜀′ − 𝑖𝜀″ e agrupamos as perdas dielétricas com acondutividade para obter 𝜎ef = 𝜎 + 𝜔𝜀″:

𝜀 − 𝑖𝜎𝜔

= 𝜀′ − 𝑖 (𝜀″ + 𝜎𝜔

) = 𝜀′ − 𝑖𝜎ef𝜔

Solução da equação de onda com perdasConsideramos agora apenas o caso em que as partes real e imaginária do vetor de onda (queagora será complexo) apontam na mesma direção e sentido. Sem perda de generalidadeescolhemos essa direção como sendo 𝐚𝑧.

Usamos agora a notação mais comum em problemas de guiamento substituindo 𝑘 (ou, para serexato, 𝑖𝑘) pela constante de propagação complexa 𝛾 = 𝑖𝑘 = 𝛼 + 𝑖𝛽 , com 𝛼, 𝛽 ∈ ℝ.

Substituindo essa solução na equação de onda obtemos:

𝐄(𝐫) = 𝐄0𝑒−𝛾𝑧 ⇒

⇒ 𝛾2𝐄0𝑒−𝛾𝑧 − 𝑖𝜔𝜇(𝜎 + 𝑖𝜔𝜀)𝐄0𝑒−𝛾𝑧 = 0 ⇔

⇔ 𝛾 = ±√𝑖𝜔𝜇(𝜎 + 𝑖𝜔𝜀)

𝛼 [Np/m] : constante de atenuação𝛽 [rad/m] : constante de fase

Solução da equação de onda com perdas

A escolha do sinal ± indica apenas que a onda pode propagar-se em ambos os sentido ao longode 𝑧, de modo que a solução completa é:

𝐄 = 𝐄+0 𝑒−𝛾𝑧 + 𝐄−

0 𝑒+𝛾𝑧 = 𝐄+0 𝑒−𝛼𝑧𝑒−𝑖𝛽𝑧 + 𝐄−

0 𝑒+𝛼𝑧𝑒+𝑖𝛽𝑧

𝐇 = − 1𝑖𝜔𝜇

∇ × 𝐄 = 𝛾𝑖𝜔𝜇

𝐚𝑧 × 𝐄 = 1𝜂

𝐚𝑧 × 𝐄

Com 𝛾 e 𝜂 dados por:

𝛾 = 𝛼 + 𝑖𝛽 = √𝑖𝜔𝜇(𝜎 + 𝑖𝜔𝜀) = 𝑖𝜔√𝜇𝜀′ (1 − 𝑖 𝜎ef𝜔𝜀′

)12

𝜂 = 𝑖𝜔𝜇𝛾

= √ 𝑖𝜔𝜇𝜎 + 𝑖𝜔𝜀

= √ 𝜇𝜀′

(1 − 𝑖 𝜎ef𝜔𝜀′

)− 1

2

Dielétricos de baixas perdas(Cheng 8-3.1; Sadiku 10.4)

Este caso ocorre quando 𝜇 ∈ ℝ e 𝜎ef ≪ 𝜔𝜀′, tipicamente em bons isolantes. Comumenteconsideramos 𝜎 = 0 e 𝜀″ ≪ 𝜀′, de modo que aplicando uma expansão em série para 𝛾 obtemos:

𝛾 = 𝑖𝜔√𝜇𝜀′√1 − 𝑖𝜀″

𝜀′≅ 𝑖𝜔√𝜇𝜀′ [1 − 𝑖 𝜀″

2𝜀′+ 1

8(𝜀″

𝜀′)

2]

𝛽 ≅ 𝜔√𝜇𝜀′ [1 + 18

(𝜀″

𝜀′)

2]

𝛼 ≅ 𝜔𝜀″

2√ 𝜇

𝜀′

Uma maneira de especificar as perdas de um meio dielétrico é utilizando a tangente de perdas,definida como:

tan 𝛿𝑑 = 𝜎ef𝜔𝜀′

ou, se 𝜎 = 0, tan 𝛿𝑑 = 𝜀″

𝜀′

Bons condutores(Cheng 8-3.2; Sadiku 10.6)

Um bom condutor é um meio com 𝜇 ∈ ℝ e 𝜎ef ≫ 𝜔𝜀′. Assim:

𝛾 = 𝑖𝜔√𝜇𝜀′√1 − 𝑖 𝜎ef𝜔𝜀′

≅ (1 + 𝑖)√𝜔𝜇𝜎ef2

𝛼 ≅ 𝛽 ≅ √𝜔𝜇𝜎ef2

Nos condutores é útil o conceito de profundidade de penetração 𝛿𝑐, definida como a distânciapara a qual a amplitude do campo decai de um fator 𝑒−1, ou seja, 𝛿𝑐 = 1

𝛼 ≅ √ 2𝜔𝜇𝜎ef

.

Ainda para o caso de bons condutores observamos pela expressão da impedância que o campomagnético é atrasado 45° em relação ao campo elétrico:

𝜂 = √ 𝜇𝜀′

(1 − 𝑖 𝜎ef𝜔𝜀′

)− 1

2 ≅ (1 + 𝑖)√𝜔𝜇2𝜎ef

= √𝜔𝜇𝜎ef

𝑒𝑖 𝜋4

Gases ionizados(Cheng 8-3.3)

Um caso de interesse especial em propagação atmosférica é o da ionosfera (de 50 km a 500 kmde altitude aproximadamente), composta por gases ionizados produzidos quando a radiaçãoultravioleta do Sol é absorvida pelos átomos e moléculas que a compõem.

Consideramos o caso de um gás ionizado (plasma) com uma densidade volumétrica de elétrons𝑁 sob efeito de um campo elétrico harmônico 𝐄. Sendo 𝑚0 a massa do elétron e 𝑒0 sua carga(em módulo), temos a seguinte equação de movimento:

−𝑒𝐄 = 𝑚0d2𝐫d𝑡2 = −𝑚0𝜔2𝐫

De onde podemos obter o vetor de polarização do do meio e sua constante dielétrica:

𝐏 = 𝑁 𝐩 = −𝑁𝑒0𝐫 = −𝑁𝑒2

0𝑚0𝜔2 𝐄

Gases ionizadosPodemos então calcular a constante dielétrica do meio como:

𝜀 = 𝜀0 [1 − (𝜔𝑝

𝜔)

2] = 𝜀0 [1 − (

𝑓𝑝

𝑓)

2

]

onde 𝑓𝑝 = 𝜔𝑝2𝜋 = 1

2𝜋√ 𝑁𝑒20

𝑚0𝜀0≅ (9 Hz)

√𝑁 .

Assim, considerando 𝜎 = 0 e 𝜇 = 𝜇0:

𝛾 = 𝑖𝜔𝑐

√1 − (𝑓𝑝

𝑓)

2

𝜂 = 𝜂0

√1 − (𝑓𝑝𝑓 )

2

Notamos que há propagação quando 𝑓 > 𝑓𝑝, mas caso contrário 𝛾 ∈ ℝ e haverá atenuaçãosem propagação, formando-se o que é chamado onda evanescente. A frequência em que ocorre amudança da onda propagante para a evanescente (neste caso 𝑓𝑝) é a frequência de corte.

Expressões para diferentes meiosCaso geral Baixas perdas Condutores Gás ionizado𝜀, 𝜇 ∈ ℂ 𝜇 ∈ ℝ 𝜇 ∈ ℝ 𝜇 = 𝜇0 , 𝜎 = 0𝜎 ∈ ℝ 𝜀″ ≪ 𝜀′ 𝜎ef ≫ 𝜔𝜀′ 𝜀 = 𝜀0 [1 − (𝑓𝑝/𝑓)2]

𝛼 ℜ √𝑖𝜔𝜇(𝜎 + 𝑖𝜔𝜀) 𝜔𝜀″

2√ 𝜇

𝜀′√𝜔𝜇𝜎ef

2𝜔𝑐

√𝑓 2𝑝

𝑓 2 − 1 , 𝑓 < 𝑓𝑝

𝛽 ℑ √𝑖𝜔𝜇(𝜎 + 𝑖𝜔𝜀) 𝜔√𝜇𝜀′ [1 + 18

(𝜀″

𝜀′)

2] √𝜔𝜇𝜎ef

2𝜔𝑐

√1 −𝑓 2

𝑝

𝑓 2 , 𝑓 > 𝑓𝑝

𝜂 √ 𝑖𝜔𝜇𝜎 + 𝑖𝜔𝜀

√ 𝜇𝜀′

(1 + 𝑖 𝜀″

2𝜀′) (1 + 𝑖)√

𝜔𝜇2𝜎ef

𝜂0

√1 − 𝑓 2𝑝

𝑓 2

𝑢𝑝𝜔𝛽

1√𝜇𝜀′

[1 − 18

(𝜀″

𝜀′)

2] √ 2𝜔

𝜇𝜎ef

𝑐

√1 − 𝑓 2𝑝

𝑓 2

, 𝑓 > 𝑓𝑝

Velocidade de grupo(Cheng 8-4)

Um sinal que transporta informação não pode ser formado por uma única frequência (porque?), mas geralmente por um pequeno espectro de frequências centradas ao redor de algumaportadora. A velocidade de grupo é a velocidade de propagação do grupo de frequências(envelope do pacote de ondas).

𝐸(𝑧, 𝑡) = 𝐸0 cos[(𝜔0 + Δ𝜔)𝑡 − (𝛽0 + Δ𝛽)𝑧] + 𝐸0 cos[(𝜔0 − Δ𝜔)𝑡 − (𝛽0 − Δ𝛽)𝑧] =

= 2𝐸0 cos(Δ𝜔𝑡 − Δ𝛽𝑧) cos(𝜔0𝑡 − 𝛽0𝑧)

Considerando Δ𝜔 ≪ 𝜔0, teremos uma oscilação de alta frequência com argumento 𝜔0𝑡 − 𝛽0𝑧envolta por um envelope de baixa frequência dado por Δ𝜔𝑡 − Δ𝛽𝑧.

Se calcularmos a velocidade do envelope teremos:

𝑢 = d𝑧d𝑡

= Δ𝜔Δ𝛽

Velocidade de grupo

slope: 𝑢𝑝 = 𝜔𝛽 > 𝑐

slope: 𝑢𝑔 = d𝜔d𝛽 < 𝑐

𝛽

𝜔

0

𝜔𝑝

𝛽 = 𝜔𝑐

𝛽 = 𝜔𝑐√1 − 𝜔 2

𝑝𝜔2

Para o caso geral de um espectro contínuo defrequências ao redor de uma portadora podemoschegar a uma expressão similar, que definimoscomo a velocidade de grupo:

𝑢𝑔 = (d𝛽d𝜔

)−1

A velocidade de grupo representa a velocidade detransmissão de sinais de banda estreita.

Para o caso do gás ionizado, por exemplo:

𝑢𝑔 = (d𝛽d𝜔

)−1

= 𝑐√1 −𝑓 2

𝑝

𝑓 2 , para 𝑓 > 𝑓𝑝

Transmissão de potência(Cheng 8-5; Sadiku 10.7)

Consideramos inicialmente um meio sem perdas e calculamos o vetor de Poynting para a soluçãode onda plana:

𝐏 = 12

𝐄 × 𝐇∗ = 12𝜂

𝐄 × (𝐚𝑘 × 𝐄∗) = |𝐄|2

2𝜂𝐚𝑘

𝐏𝑚 = ℜ𝐏 = |𝐄|2

2𝜂𝐚𝑘

O vetor de Poynting tem a mesma direção do vetor de onda 𝐤, ou seja, a potência é transmitidana mesma direção da propagação de fase.

Qual é a potência total transmitida por uma onda plana?Qual o significado desse resultado?

Potência: meios com perdasAnalisamos agora o caso em que há perdas no meio considerando apenas a onda que se propagano sentido de 𝐚𝑧: 𝐄 = 𝐄+

0 𝑒−𝛼𝑧𝑒−𝑖𝛽𝑧 e escrevendo a impedância do meio como 𝜂 = |𝜂|𝑒𝑖𝜃, umavez que ela será complexa.

𝐏 = 12

𝐄 × 𝐇∗ = |𝐄|2

2𝜂∗ 𝐚𝑧 =|𝐄+

0 |2

2|𝜂|𝑒−2𝛼𝑧𝑒𝑖𝜃𝐚𝑧

𝐏𝑚 = ℜ𝐏 =|𝐄+

0 |2

2|𝜂|𝑒−2𝛼𝑧 cos(𝜃)𝐚𝑧

Neste caso é importante notar que a densidade de potência transmitida decai ao longo dosentido de propagação com o dobro da constante de atenuação em decorrência das perdas.

Exemplo: determinar o vetor de Poynting para bons condutores e gases ionizados acima e abaixodo corte.

BelÉ comum utilizarmos uma escala logarítmica para trabalhar com potência, que transformam asrelações de perdas (ou ganhos) de produtos para somas.

Dada uma relação entre potências 𝑃2𝑃1

, que pode representar uma perda ou ganho no sistema,definimos a unidade Bel que mede essa relação em escala logarítmica:

𝐿 = 10 log10𝑃2𝑃1

[dB]

(Note que utilizamos a unidade mais comum decibel: 1 dB = 10−1B.)

Também utiliza-se unidades logarítmicas de potência relativa para casos particulares de 𝑃1:

𝑃dBW = 10 log10𝑃

1 W[dBW]

𝑃dBm = 10 log10𝑃

1 mW[dBm]

𝑃dBμ = 10 log10𝑃

1 µW[dB𝜇]

AtenuaçãoPodemos então transformar a constante de atenuação de Np/m para dB/m através da seguinterelação:

𝑃𝑚(𝑧) = 𝑃0𝑒−2𝛼𝑧 ⇒

⇒ 𝑃𝑚(𝑧0 + Δ𝑧) = 𝑃𝑚(𝑧0)𝑒−2𝛼Δ𝑧 ⇒

⇒ 𝐿 = 10 log10𝑃𝑚(𝑧0 + Δ𝑧)

𝑃𝑚(𝑧0)= 10 log10 (𝑒−2𝛼Δ𝑧) ⇒

⇒ 𝛼dB/m = − 𝐿Δ𝑧

= 20𝛼 log10 𝑒 ≅ 8.686𝛼

Podemos então escrever a densidade de potência transmitida em 𝑧 = 𝑧0 + Δ𝑧 a partir de 𝑧 = 𝑧0como:

𝑃dBm(𝑧0 + Δ𝑧) = 𝑃dBm(𝑧0) − 𝛼dB/mΔ𝑧

Exercícios sugeridos

Cheng:

• P.8-2

• P.8-5

• P.8-6

• P.8-10

• P.8-11

• P.8-13

• P.8-16

• P.8-17

Sadiku:

• P 10.24

• P 10.26

• P 10.37

• P 10.42