propagaÇÃo de ondas - oabostado.com · 1.6 cÁlculo da curvatura das ondas eletromagnÉticas........
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ELETROMAGNETISMO APLICADO
PROPAGAÇÃO DE ONDAS 2a Edição
Roberto da Costa e Silva
Capa: Equipe de arte da Globo Engenharia
1. FICHA CATALOGRÁFICA
C837 e Costa e Silva, Roberto da. Eletromagnetismo aplicado/ Roberto da Costa e Silva. -- Salvador GGM, 1995. 162 p. il. 1 .Engenharia Eletromagnética. 2 . Telecomunicações. I. Título. CDD 621.3 (1a edição)
Biblioteca da Escola Politécnica da UFBA.
ISBN : 85 - 9000 15 - 2 - 0
PREFÁCIO
Este livro é fruto de aulas ministradas na Universidade Federal da Bahia desde 1983.
Durante este período, pude notar a carência de obras em português sobre propagação de
ondas eletromagnéticas. Esta é uma tentativa de minimizar o problema. Procurei colocar no
texto o fundamento teórico do problema, bem como exemplos práticos de cálculo de
atenuação de enlaces. O objetivo, se é que consegui, foi de produzir um livro prático que
possa ser utilizado por alunos e profissionais interessados na area de propagação de sinais
elétricos.
O livro se divide em 6 capítulos. No primeiro capítulo é apresentado um resumo da
física da baixa ionosfera, que permitirá ao leitor um melhor entendimento dos fênomenos de
propagação. No segundo capítulo é apresentado um resumo dos conhecimentos de
Topografia que um Engenheiro de Telecomunicações deve possuir para poder projetar um
enlace. Os capítulos 3,4 e 5 tratam dos problemas de propagação propriamente ditos, sendo
o capítulo 4, uma revisão da Teoria Eletromagnética. Este capítulo pode ser dispensado por
quem domine o assunto. No capítulo 6, procura-se mostrar o cálculo da atenuação de
obstáculos em enlaces com vários obstáculos.
Na Escola Politécnica, onde leciono, o escopo deste livro é coberto em 3 disciplinas,
onde cada uma ministra entre outros, os assuntos aqui descritos.
Da decisão de escrever esta publicação já se passaram 5 (cinco) anos, e nunca fico
plenamente satisfeito, infelizmente acredito que o texto final terá inúmeros erros. Aprendi isto
também com o meu primeiro livro. Por isto peço desculpas pelos erros e agradeceria receber
cartas e sugestões dos leitores. Na elaboração do texto contei com ajuda de ex-alunos entre
os quais destaco Ivan Brito da Silva, José Lacerda Valadão Neto, Sérgio Passos Neves,
René Carlos Bender e Marcus Cirino Resende o que sou agradecido. Também tive a ajuda
do estudante France Arnaut na parte dos desenhos e da Srta. Clarice Ramos na
datilografia.
Agradeço também ao Eng. Alexandre, meu filho e a Nóris, minha esposa pois, sem a
ajuda dos mesmos jamais teria conseguido.
Salvador, dezembro de 1994.
Prefacio da segunda edição
Esta segunda edição é fruto das aulas ministradas na Escola Politécnica da Universidade Federal da Bahia nos cursos de graduação desde 1975 e especialização em Telecomunicações desde 1998 e no curso de Engenharia Elétrica da FTC após minha aposentadoria na UFBA desde 2004. O texto foi atualizado e espero te-lo melhorado. A parte da revisão matemática foi posta em Anexo e dela devem se valer os alunos que necessitarem uma revisão destes tópicos. Acrescentei dois outros métodos de calculo de enlaces com obstrução e a situação de enlaces com reflexão no solo foi melhor explicada. O capitulo III é uma revisão da teoria eletromagnética utilisada no texto e pode ser dispensado pelos leitores que estiverem familiarizados com o assunto. Deste modo indico as varias maneiras pelas quais o livro pode ser lido, a depender do conhecimento do leitor: a) Anexo, Cap I, Cap II, Cap III, Cap IV, Cap V e Cap VI. Esta seqüência é indicada para aqueles com pouco conhecimento da matemática usada no livro e que necessitam uma revisão dos conceitos de eletromagnetismo. b) Cap I, Cap II, Cap III, Cap IV, Cap V e Cap VI. Esta seqüência é indicada para aqueles com conhecimento da matemática usada no livro e que necessitam apenas de uma revisão dos conceitos de eletromagnetismo. c) Cap I, Cap II, Cap IV, Cap V e Cap VI. Esta seqüência é indicada para aqueles com conhecimento da matemática e dos conceitos de eletromagnetismo. Fruto das aulas ministradas penso que 30 HA são suficientes para cobrir a última opção . Com o correr dos anos e o uso continuo das formulas vistas, todas elas foram programadas numa maquina HP-49G, facilitando sobremaneira os cálculos envolvidos, principalmente nas soluções de Terra Plana Equivalente e na solução de Van Der Pol e Bremmer. Quero deixar meu agradecimento mais uma vez, ao incentivo da minha família e em particular a minha filha Eng. Fernanda pela ajuda na confecção da capa e na correção do texto, e ao meu irmão Eng. Amado pela revisão final do texto e realização dos desenhos, e a D. Noris minha eterna musa inspiradora. Salvador, Julho de 2008
SUMÁRIO
1 A ATMOSFERA TERRESTRE E AS ONDAS ELETROMAGNÉTICAS ............. 6 1.1 COMPOSIÇÃO DA ATMOSFERA TERRESTRE ....................................................................... 6
1.2 TROPOSFERA ................................................................................................................. 7
1.3 VARIAÇÃO DO ÍNDICE DE REFRAÇÃO COM A ALTURA ..................................................... 12
1.4 TROPOSFERA PADRÃO .................................................................................................. 14
1.5 ÍNDICE DE REFRAÇÃO DA IONOSFERA ............................................................................ 14
1.6 CÁLCULO DA CURVATURA DAS ONDAS ELETROMAGNÉTICAS ......................................... 17
1.7 CÁLCULO DO RAIO EFETIVO DA TERRA .......................................................................... 18
1.8 COMENTÁRIOS ............................................................................................................. 20
1.9 CÁLCULO DAS FREQUÊNCIAS IONOSFÉRICAS ................................................................. 20
1.10 ZONA DE SILÊNCIO ....................................................................................................... 25
1.11 EXERCÍCIOS ................................................................................................................. 25
1.11.1Exercícios resolvidos .................................................................................................. 25
1.11.2Exercícios propostos ................................................................................................... 27
2 ALPINETRÔNICA ................................................................................................... 28 2.1 DEFINIÇÃO .................................................................................................................. 28
2.2 TOPOGRAFIA BÁSICA ................................................................................................... 28
2.2.1 Distância Ortodomica entre dois pontos ...................................................................... 29
2.2.2 Azimute ...................................................................................................................... 29
2.2.3 Curvas de níveis .......................................................................................................... 30
2.2.4 Cotas de referência ...................................................................................................... 30
2.3 PERFIL TOPOGRÁFICO ................................................................................................... 30
2.3.1 Reta Interpoladora ....................................................................................................... 33
2.3.2 Reta Media ................................................................................................................. 34
2.3.3 Rugosidade de um perfil ............................................................................................ 34
2.4 INSTRUMENTOS UTILIZADOS ......................................................................................... 37
2.5 EQUAÇÕES BÁSICAS DA TOPOGRAFIA ............................................................................ 38
2.5.1 Cálculo da distância entre dois pontos ......................................................................... 38
2.5.2 Cálculo da diferença de altura entre dois pontos .......................................................... 39
2.5.3 Correção de um Perfil ................................................................................................. 41
2.5.4 Terra Plana ................................................................................................................. 42
2.5.5 Limite da linha de visada ou Distância do Horizonte ................................................. 42
2.5.6 Aproximação da inclinação de torres em perfis ........................................................... 43
2.6 TERRA PLANA EQUIVALENTE ...................................................................................... 44
2.7 EXERCÍCIOS ................................................................................................................. 45
2.7.1 Exercícios resolvidos .................................................................................................. 45
2.7.2 Exercícios propostos ................................................................................................... 46
3 TEORIA ELETROMAGNÉTICA ........................................................................... 46 3.1 VETOR POTENCIAL MAGNÉTICO .................................................................................... 48
3.2 VETOR DE HERTZ ......................................................................................................... 49
3.3 EQUAÇÃO DA ONDA ..................................................................................................... 49
3.4 DEDUÇÃO DOS CAMPOS ELETROMAGNÉTICOS A PARTIR DOS VETORES A E ................. 53
3.5 REFLEXÃO DE ONDAS ................................................................................................... 54
3.5.1 Incidência Perpendicular ............................................................................................. 55
3.5.2 Incidência Obliqua ...................................................................................................... 55
3.6 REPRESENTAÇÃO MATEMÁTICA DO DIPOLO ELÉTRICO ................................................... 57
3.7 DETERMINAÇÃO DO CAMPO DISTANTE .......................................................................... 58
3.8 PROPAGAÇÃO COM CONDIÇÕES DE CONTORNO NO CASO TERRA- AR .............................. 60
3.9 EXERCÍCIOS ................................................................................................................. 62
3.9.1 Exercícios Resolvidos ................................................................................................. 62
3.9.2 Exercícios Propostos ................................................................................................... 63
4 CONCEITO DE ESPAÇO LIVRE E CÁLCULO DE ATENUAÇÃO................... 64
4.1 CONCEITO DE ONDA PLANA .......................................................................................... 64
4.1.1 Definição de onda plana .............................................................................................. 64
4.1.2 Equação do campo de uma onda plana ........................................................................ 65
4.2 VERIFICAÇÃO DA EXISTÊNCIA DE ESPAÇO LIVRE ........................................................... 65
4.3 CÁLCULO DA ATENUAÇÃO TOTAL ................................................................................. 69
4.4 PERDA DEVIDO A OBSTÁCULOS GUME DE FACA ............................................................. 75
4.4.1 Princípio de huygens ................................................................................................... 75
4.4.2 Atenuação por obstáculo Gume de Faca ...................................................................... 76
4.4.3 Cálculo da atenuação devido à obstáculos arredondados ............................................. 78
4.5 REFLEXÃO DE ONDAS NA SUPERFÍCIE TERRESTRE .......................................................... 82
4.5.1 Comparação duplo raio com espaço livre .................................................................... 85
4.5.2 Enlaces com e sem linha de visada .............................................................................. 86
4.6 EXERCÍCIOS ................................................................................................................. 86
4.6.1 Exercicios Resolvidos ................................................................................................. 86
4.6.2 Exercícios propostos ................................................................................................... 92
5 EQUAÇÕES DE PROPAGAÇÃO DAS ONDAS ELETROMAGNÉTICAS ........ 94
5.1 INTRODUÇÃO ............................................................................................................... 94
5.2 SOLUÇÃO DE SOMMERFELD E WEYL .............................................................................. 95
5.3 SOLUÇÃO DE NORTON .................................................................................................. 98
5.3.1 Faixa de freqüências abaixo de 30 Mhz ..................................................................... 102
5.3.2 Faixa entre 30 Mhz e 1 Ghz ...................................................................................... 103
5.3.3 Faixa de freqüência acima de 1 Ghz .......................................................................... 103
5.4 ENLACES CALCULADOS POR ONDA IONOSFÉRICA ........................................................ 103
5.5 ENLACES CALCULADOS POR TERRA PLANA EQUIVALENTE .......................................... 105
5.6 SOLUÇÃO DE VAN DER POL E BREMMER .................................................................... 107
5.7 EXERCÍCIOS ............................................................................................................... 118
5.7.1 Exercicios Resolvidos ............................................................................................... 118
5.7.2 Exercícios propostos ................................................................................................. 122
6 ATENUAÇÃO DE OBSTÁCULOS EM ENLACES DE RÁDIO ......................... 123
6.1 INTRODUÇÃO ............................................................................................................. 123
6.2 DETERMINAÇÃO DOS TIPOS DE OBSTACULOS .............................................................. 125
6.2.1 Obstáculos primários................................................................................................. 125
6.2.2 Obstáculos secundários ............................................................................................. 125
6.3 MÉTODOS DE CALCULO PARA VÁRIOS OBSTACULOS .................................................... 125
6.3.1 Método de Epstein-Petersen ...................................................................................... 125
6.3.2 Método de Daygout................................................................................................... 125
6.3.3 Método da Telebras................................................................................................... 125
6.4 CÁLCULO DA ATENUAÇÃO DOS OBSTÁCULOS .............................................................. 126
6.4.1 Cálculo da atenuação total de obstáculos .................................................................. 126
6.5 EXERCÍCIOS ............................................................................................................... 127
6.5.1 Exercícios resolvidos ................................................................................................ 127
6.5.2 Exercicios Propostos ................................................................................................. 137
7 ANEXO..........................................................................................................................138
7.1 REVISÃO MATEMÁTICA .............................................................................................. 138
7.1.1 Análise vetorial ......................................................................................................... 138
7.2 1.2 DIVERGÊNCIA DE UM VETOR ................................................................................. 138
7.3 ROTACIONAL DE UM VETOR ........................................................................................ 139
7.4 GRADIENTE DE UM ESCALAR ...................................................................................... 139
7.5 LAPLACIANO ............................................................................................................. 140
7.6 TEOREMA DE HELMOLTZ............................................................................................ 140
7.7 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS .......................................................................................... 140
7.7.1 Em coordenadas cartesianas ...................................................................................... 141
7.7.2 Coordenadas cilíndricas ............................................................................................ 141
7.7.3 Em coordenadas esféricas ......................................................................................... 142
7.7.4 Relações entre as soluções ........................................................................................ 143
7.8 FUNÇÕES ESPECIAIS ................................................................................................... 143
7.8.1 Função de Bessel ...................................................................................................... 143
7.8.2 Função de Hankell .................................................................................................... 143
7.8.3 Função de Neumann ................................................................................................. 144
7.8.4 Relações entre as funções .......................................................................................... 144
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ............................................................................. 146
6
1 A atmosfera terrestre e as ondas eletromagnéticas
1.1 Composição da atmosfera terrestre
A figura1 mostra as camadas existentes sobre a superfície do globo terrestre. A atmosfera é composta, basicamente de nitrogênio (78%), oxigênio (21%), argônio (0,93%) e vapor d'água, que diminui rapidamente com o aumento da altura. Basicamente, esta mistura de gases está contida numa região que vai até 16 Km, chamada de troposfera, que contém 80% da massa desses elementos. A atmosfera terrestre é basicamente transparente à luz
solar, que a atravessa com baixa perda. Dos 1350 W/m2 que chegam do espaço,
aproximadamente 1000 W/m2 atingem a Terra e são então reirradiados sob a forma de luz infravermelha. Na troposfera, a temperatura diminui com a altura.
Figura 1 A região compreendida entre 16 e 50 Km de altura é chamada de estratosfera, e, nesta camada, temos um aumento de temperatura com a altura. Isto se dá pois, nesta região a emissão ultravioleta do sol é absorvida pelo ozônio, que foi formado pelo oxigênio com absorção de radiações ultravioleta pelas seguintes equações.
O2 + h.uv O + O
O2 + O + choque das particulas O3
O3 + huv elevação da temperatura O2 + O
uv frequência de emissão ultravioleta
H constante de Planck Parte do oxigênio existente submetido a radiação ultra violeta se dissocia em dois átomos de oxigênio. Estes átomos de oxigênio, ao colidirem com as moléculas de oxigênio vão produzir ozônio. Este ozônio submetido a radiação ultra violeta se dissocia em uma molécula de oxigênio e um átomo do mesmo elemento. Esta transformação faz com que a temperatura desta região aumente, pois a radiação ultravioleta é praticamente consumida neste processo. Assim a camada de ozônio funciona como um filtro da radiação ultravioleta. Também nesta região temos a dissociação do nitrogênio através da equação:
N2 + huv N + N
A estratosfera atua como um filtro de radiação ultravioleta. A partir de 50 Km, começa o que chamamos de ionosfera, isto é, a atmosfera passa a conter, além de eletrons livres também os íons, que são provenientes da ação da radiação solar sobre os componentes da
atmosfera. Os principais íons encontrados são NO- e O2+.
Assim em virtude da densidade de elétrons, a ionosfera é dividida em três camadas:
80% da massa
troposfera
estratosfera ionosfera
atmosfera
filtro 16km 50 km
7
A camada D vai de 50 a 100 Km e apresenta uma densidade máxima de 1000
elétrons/cm3. A camada E vai de 100 a 130 Km e apresenta 100.000 elétrons/cm3 , e a
camada F vai de 130 a 1000 Km, apresentando 10.000.000 elétrons/cm3 . A densidade destas camadas variam com o tempo, e, normalmente à noite a camada D desaparece. Nestas camadas, a frequência de colisão dos elétrons e moléculas é da ordem de 10 MHz para a camada D, 1KHz para a camada E e 1 Hz para a camada F. A tabela III mostra estes valores. A Terra apresenta também um campo magnético próprio que varia de 0,2 gauss, do equador até 0,6 gauss nos Pólos. Sobreposto a este campo fixo, temos um campo variável da ordem de 0,0005 Gauss, que aparece devido aos cinturões de radiação que envolvem a Terra (compostos de elétrons e prótons). Estes cinturões de radiação são bastante influenciados pelas emissões solares e pela força gravitacional da Lua. O campo magnético da Terra encontra-se deslocado do norte geográfico, sendo esta diferença variável com a posição no globo terrestre, e varia anualmente. Esta diferença é denominada de Declinação Magnética e seu valor consta das cartas geográficas bem como sua variação anual. Desta forma podemos ter um deslocamento tanto para a esquerda quanto para a direita do norte magnético em relação ao norte geográfico. Para o Brasil
podemos aproximar esta diferença por volta de 20o para a esquerda, lembrando-se sempre que este valor será alterado com o passar dos anos.
Figura 2 As figuras das páginas 7, 8 e 9 mostram a variação da temperatura com a altura e a densidade de elétrons das camadas da ionosfera, bem como sua densidade molecular e frequência de colisão. A ionização das camadas da atmosfera irá afetar as ondas de rádio. Isto se verifica, pois o campo elétrico provocado por estas ondas vai aumentar a frequência de colisão entre moléculas e íons, retirando energia das ondas de rádio de baixa frequencia. Assim, a ionização atenua as baixas frequências das ondas de rádio. Em vista disso, a atmosfera irá refletir ondas de baixa frequência (até da ordem de 30 MHz na prática).
1.2 Troposfera Chama-se troposfera à região que envolve a Terra onde está contido 80% do ar que respiramos. Esta camada tem altura variável de 10 Km, nos pólos, a 18 Km na linha do Equador. Basicamente é composta de ar seco e vapor d'água. O ar seco é composto dos seguintes elementos:
Nitrogênio (78%) Oxigênio (21%) Argônio (0,93%) Óxido Carbônico (0,03%) Neônio (0,0018%) Hélio (0,00052%) Hidrogênio (0,000051%)
A percentagem dos elementos que constituem o ar seco praticamente não variam com a altura; o mesmo não se pode dizer do vapor d'água, que rapidamente diminui com a altura.
NM NG
200
8
Este ar seco apresenta um número de 2,7x1019 moléculas/cm3 constituindo-se assim, um meio bastante transparente aos raios de sol. Desta maneira, a troposfera praticamente não absorve a energia do sol. Esta energia atinge a Terra, onde parte é absorvida e parte é irradiada, fazendo então que a temperatura da troposfera diminua com a altura. Esta
diminuição é da ordem de 0,55 oC/100m. A pressão do ar seco também diminui com a altura, sendo da ordem de 1014 mb no nível do mar, a 5 Km é da ordem de 500 mb, a 11 Km é da ordem de 225 mb e a 18 Km da ordem de 90 mb. O vapor d'água existente na troposfera é proveniente da evaporação da água dos oceanos, lagos e rios. Ele rapidamente decresce com a altura, e a sua concentração é maior sobre as massas de água. À 1,5 Km de altura, a quantidade de vapor d'água é metade da existente no nível do mar, e, a 18 Km de altura, é da ordem de alguns milésimos. Sabemos da Física, que:
es p
s
( , . )623 0 38 ( I.1) ou e
E r
100 (I.2)
e que a pressão varia com a altura pela seguinte fórmula:
p p eo
hH
e Hk T
m g
Onde:
p Pressão da troposfera (mb)
T Temperatura da troposfera (oK)
e Umidade absoluta da troposfera (mb)
s Umidade específica da troposfera (massa do vapor de água em gramas contidas num quilograma de ar seco)
r Umidade relativa (expresso em percentagem). Representa a percentagem de vapor d'água na atmosfera para que haja precipitação (chuva). Com r = 100%, temos uma atmosfera com chuva, com r = 0% temos uma atmosfera completamente sem vapor d'água.
K Constante de Boltzman
po Pressão ao nível do mar em mb
E Pressão do vapor d'água em mb que satura o ar seco a uma certa temperatura
m Massa molecular média da troposfera
g Aceleração da gravidade A tabela I a seguir nos fornece a pressão do vapor d'água que satura o ar em função da temperatura. Existindo saturação haverá chuva.
T (oC) E (mb)
0 6,0
5 8,5
10 11,8
15 17,0
20 23,0
25 31,5
30 42,0
35 56,0
40 72,0
44 90,0
Tabela I
9
Como a quantidade de vapor d'água diminui com a altura, a tabela II a seguir nos mostra a variação da umidade absoluta com a altura.
h (Km) eh/eo
0,0 1,000
0,5 0,800
1,0 0,700
1,5 0,500
2,0 0,200
18,0 0,001
Tabela II
eo Umidade absoluta ao nível do mar
eh Umidade abasoluta a altura "h"
Sabemos também da física que o índice de refração (n) de um certo elemento é dado por:
n = c/v = ( rr )1/2 ( I.3)
c Velocidade da luz do vácuo
v Velocidade da luz no elemento
r Permissividade elétrica relativa
r Permeabilidade magnética relativa
Como a troposfera não é constituída de elementos magnéticos, r =1. Assim, n r 12 .
Como r é função do material que compõem a substância, da temperatura e da pressão a
que a substância esta submetida, podemos esperar que o índice de refração da troposfera varie com a altura. Os gráficos a seguir ilustram a variação da temperatura, pressão, densidade de elétrons, densidade de massa e frequência de colisão com a altura.
GRÁFICO 0 : DENSIDADE DE ELETRON X ALTURA
100 101 102 103 104 105 106 107 eletron/cm3
600
500
400
300
200
100
0
noite dia
região F
região E
região D região E
10
11
12
1.3 Variação do índice de refração com a altura Já sabemos que a troposfera é composta de uma mistura de gases com vapor d'água e que possui baixa densidade. Desta maneira é de se esperar que o índice de refração seja muito próximo da unidade. Para facilitar nosso estudo, vamos definir N como sendo o índice de refração excedido, da seguinte maneira.
N = (n - 1)106 Da física, sabemos que o índice de refração de um gás é dado por:
n = 1 + . (A + B/T)
Densidade do gás em Kg/m
T Temperatura do gás em graus Kelvin.
A e B Constantes do gás, sendo "A" proveniente da polarização das moléculas do gás devido a um campo externo e "B" devido ao momento permanente de dipolo das moléculas do gás.
Como,
610
T
Cp
Onde:
C Fator de proporcionalidade
p Pressão do gás
T Temperatura do gás
Assim, podemos escrever:
N = Cp (A + B/T) / T Numa mistura, o índice de refração da mesma é a soma dos índices de refração que compõem a mistura. desta maneira:
Ntroposfera = Nar seco + Nvapor d'água
Os elementos que compõem o ar seco, não possuem dipolo de momento permanente, assim B = O, mas o vapor d'água possui dipolo de momento permanente. Desta maneira:
)( T
BA
T
eC
T
pACN VH
VHASAS
Onde o índice AS é para ar seco e o índice VH para o vapor d'água.
As medidas revelaram que AAS AVH . Assim,
).
. (
VH
VHAS
AS
AT
eBep
T
ACN
Onde:
pAS Pressão parcial; do ar seco
e Pressão parcial do vapor d'água
pAS + e = p Pressão atmosférica total
Foram medidas também as seguintes constantes:
CAAS 77,6 o/mb e BVH/AVH 4810
Assim temos:
13
) .4810
( 6,77
T
ep
TN (I.4)
p Pressão atmosférica (mb) = pAS + e
T temperatura da atmosfera (oK)
e Umidade absoluta da atmosfera (mb) Experiências mostram que em virtude de p, e, T serem variáveis com a altura e sabendo-se que "p" varia exponencialmente com a altura, enquanto que "e" varia ainda mais
drasticamente. A temperatura apresenta valores da ordem de 290 oK ao nível do mar e 283 oK em torno de 2 Km de altura. Estas variações fazem com que o valor de "N" fique da ordem de 320 ao nível do mar, e seu gradiente valha:
dN
dh 4 45 10 2, / m
Como o índice de refração diminui com a altura (ver gráficos I e II) significa que a velocidade das ondas eletromagnéticas aumentam com a altura (pois v = c/n) e este fato indica que as ondas eletromagnéticas se curvam ao se propagarem. A figura 3 demonstra esta curvatura das ondas.
onda de rádio refratada na troposfera
superfície da terra
Figura 3 O índice de refração pode variar de lugar para lugar e alem disto pode variar diariamente e ao longo do ano, sendo sua determinação um fator importante no projeto de um sistema de radio comunicação. A presença do vapor de água provocará atenuação no sinal eletromagnético e é relevante para freqüências acima de 5 Ghz. A chuva terá um maior efeito nesta atenuação e se torna um fator determinante para freqüências acima de 10 Ghz. O gráfico V a seguir mostra uma distribuição do índice de refração excedido no globo terrestre.
14
Gráfico V: Índice de refração excedido no globo terrestre
1.4 Troposfera padrão Como vimos, a composição da troposfera é variável com a altura e com a posição ao longo da Terra. Para facilitar o estudo da mesma por diversos pesquisadores, resolveu-se, em 1925, criar uma troposfera padrão. Esta troposfera teria as seguintes características:
p = 1013 mb (ao nível do mar)
T = 15oC (ao nível do mar) r = 50% (ao nível do mar) dp/dH= -12mb/100m
dT/dH= -0,55oC/100m
dr/dH = 0
dN/dH = -4,0x10-2 m-1
altura máxima: 11 km e = 10,2 mb s = 6,25 g/Kg N = 319 n = 1,000319 a = 6370 Km (raio da Terra) dn
dh a
1
4
1.5 Índice de refração da ionosfera Pelo que acabamos de mostrar, verifica-se que a troposfera e a estratosfera podem ser consideradas isolantes com índices de refração dados por
) 4810 ( 10
6,771
6 T
ep
Tn
(I.5)
p Pressão atmosférica (mb)
e Umidade absoluta da atmosfera (mb)
15
T Temperatura em oK Mas a ionosfera (como é composta basicamente por elétrons livres), deverá funcionar como um condutor. As constantes elétricas da ionosfera podem ser calculadas por (considerando a mesma como um plasma, ou seja formada basicamente, por elétrons livres e íons):
)(e
)(1
22
2
22
2
c
ce
co
er
m
eN
m
eN (I.6)
Onde:
)(
31901
)(1
2222
2
cco
e
o
ir
N
m
eN (I.7)
)(1082,2
).( 22
8
22
2
c
c
c
ce N
m
eN (I.8)
Para >> c ,
2
8,801
f
Nr
(I.9)
onde devemos usar N em íons/cm3 e f em KHz.
2
81082,2
cN
(I.10)
onde devemos usar N em íons/m3, em S/m e f e fc em Hz.
Para << c ,
r
1 2
3190 N (I.11)
c
N
81082,2 (I.12)
onde devemos usar N em íons/m3 e fc em Hz.
D E F
N (elétrons/cm3) 1000 100000 107
Fc 10 MHz 1 KHz 1 Hz
Tabela III
Condutividade da ionosfera
ee Carga do elétron (1,6x10-19 C)
m Massa do elétron (9x10-31 Kg)
c Frequência de colisão dos elétrons = 2fc
Frequência de radiação = 2f
N Densidade de elétrons
o Permissividade elétrica do vácuo
r Permissividade relativa da ionosfera
O valor de "r" negativo significa que a onda não pode penetrar no plasma, ou seja, a
mesma sofre reflexão total e não consegue existir dentro do mesmo.
Convém notar que, para baixas alturas da atmosfera, temos N 0, e assim:
r 1 e 0
16
E portanto a baixa ionosfera se comporta como isolante, independente da frequência. Para grandes alturas e frequências maiores que a frequência de colisão, teremos novamente:
r 1 e 0
Assim a alta ionosfera, comporta-se novamente como isolante. É fácil de ver que a ionosfera irá funcionar como um condutor apenas para frequências menores que a frequência de colisão e para alturas que vão de 50 a 350 Km, aproximadamente. Assim, em princípio a ionosfera deverá refletir as ondas eletromagnéticas até a ordem de 10 MHz. comportando-se como um isolante para frequências maiores. Mais adiante veremos que a ionosfera refletirá ondas de até 30 MHz. O coeficiente de reflexão pode ser calculado pelas fórmulas clássicas da teoria
eletromagnética, substituindo-se nas mesmas as expressões já mostradas para r e da
ionosfera. Assim,
) (sin)() cos()(
) (sin)() cos()(
2
2
oo
oo
jrjr
jrjr
VR (I.13)
) (sin)() cos(
) (sin)() cos(
2
2
o
o
jr
jr
HR (I.14)
Onde:
RV Coeficiente de reflexão para polarização vertical
RH Coeficiente de reflexão para polarização horizontal
O ângulo de incidência ( ) é mostrado na figura a seguir: O ponto de reflexão situa-se acima de 50 Km.
Figura 4
Na prática, costumamos trabalhar com o ângulo mostrado na figura 4 acima. Como os
ângulos e são complementares, nas expressões de RV e RH , basta substituir sen
por cos e cos por sen e obteremos as expressões para RV e RH em função do
ângulo :
)(cos)()sin()(
)(cos)()sin()(
2
2
oo
oo
jrjr
jrjr
VR (I.15)
)(cos)()sin(
)(cos)()sin(
2
2
o
o
jr
jr
HR (I.16)
troposfera
estratosfera
16 km ionosfera
50 km
Ψ
θ θ
17
1.6 Cálculo da curvatura das ondas eletromagnéticas Vamos considerar a troposfera formada por diversas camadas superpostas com índices de refração variáveis de um infinitésimo dn de uma camada para outra. Vamos examinar o que acontece com uma onda eletromagnética ao atravessar uma estas camadas. A figura 5 exemplifica duas destas camadas consecutivas, sendo uma com índice de refração n e a outra n+dn.
dh
B
A
90
90
n
n+dn
R
R
o
o
1
2
d
X
C
d
Figura 5
Nesta figura, XA é uma onda propagando-se na camada n e AB é a mesma onda propagando-se na camada n+dn. A mudança de direção é devida a refração que a onda sofre ao passar de uma camada a outra. Sejam R1 e R2 perpendiculares as frentes de ondas XA e AB.
R1 XA e R2 AB . Note-se que:
R1 e R2 vão se encontrar formando um ângulo d. Das figuras acima pode-se
deduzir:
= 180o - [( + d) +(90o - )]
+ 90o + d = 180o O raio da curvatura vale:
R = AB/d (ângulo = arco/raio) ( I.17) Do triângulo CAB, tiramos:
)cos()cos(
dh
d
dhAB
Logo:
)cos(
d
dhR
A lei da refração nos afirma:
)sin()()sin( ddnnn (I.18)
Manipulando os termos de (28), desprezando os infinitésimos da segunda ordem e
lembrando que sen d d, obtemos (29).
18
n
dnd
)sin()cos(
Assim,
)sin()(
dhdn
nR
Na prática 90o , pois as ondas viajam praticamente paralelas à superfície da Terra, logo:
sin 1 e como o índice de refração é próximo da unidade podemos considerar n1. Assim
1) ( dh
dnR ( I.19) Como:
N = (n -1)x106
dhdN
R610
(I.20)
Considerando dN
dh 4 10 2 resulta R = 25.000 Km.
Assim, as ondas eletromagnéticas possuem uma curvatura menos acentuada que a curvatura da Terra (a = 6370 Km). A figura 6 mostra a curvatura da onda eletromagnética dando origem ao horizonte ótico e ao horizonte virtual.
Figura 6
1.7 Cálculo do raio efetivo da terra
Com a finalidade de facilitar nosso estudo, vamos procurar uma expressão para um raio de curvatura imaginário da Terra de modo a podermos considerar como reto o percurso das ondas eletromagnéticas, isto é, vamos transferir para a curvatura da Terra o efeito da curvatura das ondas eletromagnéticas: Consideramos, então as figuras 7a e 7b abaixo que retratam a condição real e a fictícia que procuramos.
19
Figura 7ª
Figura 7b
a Raio da terra
R Raio de curvatura de onda eletromagnética
a' = ka Raio efetivo da terra Para que as figuras 4.a e 4.b expressem a mesma situação, faz-se necessário que ambas tenham a mesma curvatura, ou seja:
1111
aRa (I.21)
Desta equação tiramos:
aka
aR
a
1 (I.22)
Mas, já vimos que:
dhdN
dhdn
R6101
logo:
)(1
1
Ra
k
(I.23)
onde a' = ka representa o raio efetivo da terra, e "k" é o coeficiente entre o raio efetivo da Terra e o raio verdadeiro. O mesmo expressa o fato das ondas eletromagnéticas serem curvas. Este fator "k" vai depender do índice de refração da atmosfera e portanto será função da temperatura, da pressão, e da umidade relativa. Desta maneira o "k" sofrerá variações diárias e/ou anuais, dependendo do lugar da Terra onde estejamos. A tabela IV a seguir mostra os valores do "k" e de "R" para diversos valores de dN/dh.
20
k R dN/dh
A - 0,15 (terra plana)
1,33 4ª - 3,9x10-2
1,1 11ª - 1,4x10-2
1 0 (constante) Atmosfera não varia
2,8/3 - 14a + 1,12x10-2
2/3 - 2ª + 7.8x10-2
1/3 - 0.5a + 2.14x10-2
0,1 -0,11a + 1,43
Tabela IV
Publicações internacionais mostram os seguintes valores para N:
N = N1Km - No = 7 32 0 005577, ,e No (USA)
N = N1Km - No = 9 30 0 004565, ,e No (ALEMANHA)
N = N1Km - No = 3 95 0 0072, ,e No (INGLATERRA)
N1Km Valor de N à 1 Km
No Valor de N ao nível do mar
Para á atmosfera padrão: dn
dh a
1
4
1.8 Comentários
As medidas realizadas para os diversos parâmetros descritos no item 3 foram realizadas para ondas eletromagnéticas na faixa de SHF/UHF/VHF. Assim estas medidas revelaram um valor de "k" variavel de 1,33 á 0,67. Estas mesmas medidas realizadas na frequência da luz revelaram um valor de "k" de 1,18. Assim, para a atmosfera padrão, podemos assumir:
k = 4/3 = 1,33 (para as ondas de rádio) k = 1,18 (para a luz)
O gradiente do índice de refração vale:
dN/dh = - 4,010-2 para as ondas de rádio
dN/dh = -2,3510-2 para a luz
1.9 Cálculo das frequências ionosféricas
Como vimos no item 1.5 para > c , a ionosfera pode novamente ser considerada um
dielétrico, vamos então calcular a máxima freqüência, w, em que a ionosfera pode ser considerada um condutor e assim fazer refletir a onda eletromagnética de volta à Terra. Considere a figura 8 a seguir, que mostra a trajetória de uma onda eletromagnética passando da estratosfera para a ionosfera, sofrendo refração:
Figura 8
θi
θ “n”
“ni”
21
Pela lei de FRESNELL:
ni sin(i) = nsin()
Como ni 1, então:
n
i )sin() sin(
Para >> c
r
co
r nf
N
m
eN
mas,
811
)(1
222
2
Logo:
2
811
f
Nn
(I.24)
O limite de refração é dado quando = 90o , assim, n = sin(i) então podemos fazer:
)(cos1)sin(811 2
2 iif
N
)(sec81)(cos
81 2
2
2
i
i
NN
f
Para i = 0o teremos )sec( e 9 ioo ffNf (I.25)
Para N = 107 íons/cm3 = 1013 íons/m3 teremos: fo = 28,5 MHz que é máxima frequência que pode refletir na ionosfera verticalmente.
Assim, se transmitirmos verticalmente e desejarmos manter comunicação com um satélite teremos que ter um frequência maior que 28,5 MHz. A frequência máxima utilizável (MUF) é dada de acordo com o ângulo de incidência por:
)cos()sec(
i
oioMUF
fff
)cos(
9
i
MUF
Nf
(I.26)
Onde:
f dado em KHz
N dado em íons/cm3
Vale a pena ressaltar que teremos uma frequência MUF para cada camada. Além do mais, não devemos usar frequências muito abaixo da frequência MUF, pois assim teremos perdas devido ao efeito condutor da ionosfera, pois quanto menor f, mais perdas no meio teremos. É usual adotar-se como frequência de operação "f"
0,8 f MUF f fMUF ( I.27)
A medida que formos subindo, o índice de refração "n" vai diminuindo, e vamos achar o
maior valor de "n" que faça = 90. Como "n" é inversamente proporcional a "f", vamos
achar um fo que forneça = 90. Podemos também entender que dado, uma
certa frequência a mesma penetra no plasma até que "r" do mesmo se anule, já que "r"
negativo significa que a onda sofre reflexão total. Para f >> fo, teríamos valores de "n" maiores, onde não ocorrerá mais reflexão.
É conveniente notar que, devido à esfericidade da terra, teremos um ângulo i máximo
utilizável dado por:
22
Figura 9
i
R
R h
R
dmax arcsin( ) arctan( )
(I.28)
Para:
h 300 Km, R 6370 Km Assim,
imax = 73o e (MUF)max = 3,6fo
Existem tabelas que fornecem as frequências MUF para todas as regiões do globo e em função das estações do ano. A seguir encontram-se exemplos de curvas MUF, nos gráficos VI e VII. A curva "MUF 0", representa transmissor e receptor colocados juntos ou seja distantes 0 Km, um do outro. A curva "MUF 4000" representa transmissor e receptor separados de 4.000 Km. Convém ressaltar que a onda eletromagnética, ao penetrar na ionosfera, vai sofrendo refração a medida que sobe e, cada vez mais, o ângulo vai aumentando (a densidade de elétrons N, aumenta com a altura). Quando a onda encontra uma certa densidade de
elétrons, tal que o ângulo de refração seja igual a 90o, ela não consegue mais penetrar pois irá encontrar acima valores maiores de N, e assim a onda é refletida retornando a Terra, isto evidentemente vale para frequências maiores que a frequência de colisão. Na prática, usa-se uma altura virtual de reflexão que seria a altura de reflexão se a propagação fosse retilínea, e não curvando-se paulatinamente à medida que sobe, até
atingir = 90 , quando então a onda retorna para a Terra. O gráfico VIII mostra estas alturas virtuais em função do ângulo de radiação Φ. Em face do ângulo θMax ser de 730 é que a maxima distância que se consegue atingir é de cerca de 3700km. Para distância maiores deve-se usar duas reflexões na ionosfera e uma reflexão na superfície da Terra. A figura 9 ilustra a obtenção do ângulo θMax.
ionosfera
h d
900
R
θi
23
Gráfico VIII: Ângulo Φ
24
25
1.10 Zona de silêncio Define-se por zona de silêncio a região próxima do transmissor onde não podemos receber o sinal devido à reflexão ionosfera. A figura 11 mostra esta zona.
Figura 11
1.11 Exercícios Para entendimento do que foi apresentado, serão resolvidos alguns exercícios e outros serão deixados para resolução pelo leitor.
1.11.1 Exercícios resolvidos
a) Calcular a variação do índice de refração entre dois pontos, estando o primeiro situado ao
nível do mar, a 20oC e umidade relativa 60% e o segundo situado em um morro com 1 Km de altura. Supor atmosfera padrão.
Solução:
NT
pe
Te
E r
77 64810
100
,( ) ,
Ponto 1 (nível do mar): r = 60 %, t = 20oC, da tabela I tira-se E = 23 mb. A pressão ao nível
do mar vale: p = 1013 mb, h1 = 0 m. Calcula-se: e = 2360/100 = 13,8 mb, e T = 20 + 273 =
293oK Substituindo os valores de e, T e p na equação acima, obtemos: N1 = 328,289
Ponto 2 ( a 1 Km de altura). Para a atmosfera padrão temos:
t/dh = -0,55oC/100m, dp/dh = -12mb/100m.
T = 20 - 0,55x10 = 14,5oC T = 14,5 + 273 = 287,5
Interpolando o valor da temperature na TabelaI tira-se: E=16.1 mb p = 1013 - 12x10 = 893 mb e = 16,1x60/100 = 9,66 mb Substituindo os valores de e, T e p, obtemos: N2 = 284,655
dN/dh = N/h = (N2 -N1)/(h2-h1) dN/dh = -46,634x10-3 /m
b) Calcule o coeficiente de reflexão para um onda vertical saindo do solo com um ângulo de
70o, na frequência de 100 KHz para uma altura de 60 Km.
Solução:
r = 0,9996, = 0,45x10-6 ,φ = 70o, = 2f = 628318,5 rd/s
Substituindo os valores de r , , φ e na equação de RV, obtemos: RV 1
zona de silêncio
ionosfera
26
c) Calcule a MUF e a FOT para uma comunicação em SSB entre as localidades de Salvador - Barreiras e Salvador - Senhor do Bonfim, na Bahia, supondo reflexão nas camadas "F" e "E".
Solução: Dos mapas retiramos:
LAT (S) LON (W)
Salvador 13o 38º 30'
Barreiras 12o15' 45º 00'
Senhor do Bonfim 10o30' 40º 10'
Supondo reflexão nas camadas "F" e "E" teremos:
Camada Altura de reflexão Densidade de eletrons
F 300 Km 2.106 eletrons/cm3
E 110 Km 105 eletrons/cm3
Devemos expressar as coordenadas em graus. c.1) Salvador - Barreiras
Salvador LAT (S) = 13
LON(W) = 38,5
Barreiras LAT(S) = 12,25
LON(W) = 45
Km) (110 MHz 7,4 = 8,75 . 0,85 = FOT
Km) (300 MHz 16,5 = 19,4 . 0,85 = FOT
MHz 8,75 = 71 2,85/cos = Km) (110 MUF
MHz 19,4 = 912,73/cos4 = Km) (300 MUF
MHz 2,85 =f Km 110
MHz 12,73 = f Km 300
N9 =
16 71 - 3,2 -90 = Km) (110
38 49 - 3,2 -90 = Km) (300
Km) 110=(h 71 = (2,96) tan = 2,96 = 120,19
355,4
Km) 300=(h 49 = (1,15) tan= 1,15 = 310,2
355,4 =
0,9984)-(1 6370+300
0,0558 . 6370
0,9984 = 3,2 cos 0,0558 = 3,2sen
3,2 = rad 10 . 5.59 = 2.6370
712 =
Km 712 = 6,4 111,12 =
6,4 = (0,9937) cos arc
0,9937 = )(6,5 cos )(13 cos )(-12,25 cos + )(-13sen )(-12,25sen
o
o
1-
1-
2-
of
d
d
27
c.2) Salvador - Sr. do Bonfim
Salvador LAT (S) = 13
LON(W) = 38,5
Sr. do Bonfim LAT(S) = 10,5
LON(W) = 40,17
d
f o
= 111,12 . arc cos (0,9986) = 111,12 . 3,03 = 337 Km
= 337
2.6370 = 0,027 rad = 1,5
sen 1,5 = 2,7.10 , cos 1,5 = 0,9999999
2,7.10 6370 = 167
= tan (167
300) = 29 (h = 300 Km)
= tan (167
110) = 56 (h = 110 Km)
(300 Km) = 90 - 1,5 - 29 59,5
(110 Km) = 90 - 1,5 - 56 32
= 9 N
300 Km f = 12,73 MHz
110 Km f = 2,85 MHz
MUF (300 Km) = 12,73 / cos29 = 14,5 MHz
MUF (110 Km) = 2,85 / cos 56 = 5,1 MHz
FOT =
-2
-2
-1
-1
o
o
.
0,85 . 14,5 = 12,3 MHz (300 Km)
FOT = 0,85 . 5,1 = 4,3 MHz (110 Km)
1.11.2 Exercícios propostos
a) Prove que para a atmosfera padrão K = 4/3.
b) Calcule e para as frequências de 100 KHz, 1 MHz e 10 MHz nas alturas de 60 Km, 120 Km e 350 Km. c) Qual a temperatura externa esperada de um avião, voando a 10 Km de altura? d) Qual a frequência “MUF - 2000” para a camada “E”? e) Numa região foram lidos: Ponto 1: h = 150 m t = 17o C p = 120 mb s = 6,085 g/kg. Ponto 2: h = 2150 m t = 10o C p = 837 mb r = 16,95 % Qual o valor de “K”? f) Projete um enlace com reflexão ionosférica entre Caruaru (PE) e Senhor doBonfim(BA), especificando altura do ponto de reflexão e freqüência. g) Qual o valor de k numa região onde foram lidos:
Ponto Temperatura Pressão Umidade Altura
A 200 C 1000 mb 6 g/kg 350 m
B 100 C 1050 mb 60% 529 m
28
2 Alpinetrônica
2.1 Definição Denominamos Alpinetrônica aos conhecimentos de Topografia que um engenheiro de telecomunicações deve possuir para bem projetar um enlace de telecomunicações via rádio. Basicamente, um engenheiro necessita ter conhecimentos de cartas topográficas, pontos geográficos conhecidos e manejar ou entender o funcionamento de um teodolito, um altímetro e uma bússola. Às vezes, faz-se necessário para o cálculo correto da posição de um ponto o uso de um sextante, ou um GPS.
2.2 Topografia Básica
O elipsóide é a figura geométrica que mais se assemelha a forma da Terra. Em vitude disto é a figura utilizada como modelo do Sistema Geodésico Brasileiro (SGB). O Sistema Geodésico Local ou Datum Geodésico Horizontal (DGH) é definido após a escolha de um ponto de referencia para o qual serão realizadas as cartas topográficas. Neste ponto o elipsóide é orientado e fixado no espaço. Os principais elipsóides utilizados no Brasil são:
SAD-69 (referencia para a América do Sul)
WGS-84 (referencia para o sistema GPS)
Cartas topográficas são projeções do globo terrestre sobre um plano. A depender do elipsóide utilizado teremos uma pequena variação entre as cartas na localização de um ponto. Cada ponto do globo é definido pela sua latitude e longitude. As latitudes variam de 00 á +/- 900, e as longitudes variam de 00 á +/- 1800. A carta Internacional do mundo (CIM) está na escala 1: 106 , distribuida em folhas de 40 da latitude por 60 de longitude. As CIM podem ser apresentadas em escalas menores de até 1: 25000. Nesta escala cada carta possue 7’30” de latitude por 7’30” de longitude. Na escala 1: 100000 as cartas possuem 30’ de latitude por 30’ de longitude. Em cada carta deve-se notar a existência de três nortes a saber:
Norte da quadricula
Norte geográfico
Norte magnético
Denomina-se declinação magnética (δ) ao ângulo formado pelo norte magnético e o norte geográfico. Denomina-se convergencia meridiana (γ) ao ângulo formado emtre o norte da quadricula e o norte geográfico. No Brasil a declinação magnética varia de 00 á 200 a depender do lugar. Com o passar dos anos esta declinação varia de:
00 2311
O valor de δ vai depender da latidude e longitude do local. O globo terrestre está dividido em 60 fusos, cada um com 60. No Brasil temos quatro fusos horários. O primeiro atinge a ilha de Fernando de Noronha e está á -2 horas de Greenwich. O segundo passa pelo litoral atingindo Salvador, Rio de Janeiro e Belém e está á -3 horas de Greenwich. O terceiro passa sobre Manaus e está á – 4 horas de Greenwich. O ultimo passa pelo Acre e está á -5 horas de Greenwich. O meridiano inicial está passando sobre Greewich em Londres. O Brasil situa-se a oeste deste meridiano. Por convenção todas as latidudes Sul são negativas, bem como as longitudes Oeste. Cartas digitalizadas hoje em dia existem para praticamente todos os pontos do globo. Estas cartas podem ser de dois tipos:
cartas rasterizadas ou matriciais
cartas vetorias
29
As cartas vetorias exigem uma capacidade menor de armazenamento do que as cartas matriciais. Na digitalização de cartas pode-se dividir o mapa em quadrados de 50 x 50 até quadrados de 500x 500 metros. Evidentemente quanto menor o quadrado melhor será a precisão da carta. Cada quadrado é representado por quatro parâmetros:
Latitude
Longitude
Cota
Tipo do quadrado
No parâmetro tipo do quadrado pode ser inserido dados como vegetação, tipo de construção, etc. assim cada ponto do quadrado será representado por seus parâmetros.
2.2.1 Distância Ortodomica entre dois pontos
Denomina-se distância ortodomica a distância entre dois pontos contada sobre a superfície da Terra. É a distância real medida sobre a superfície da Terra e não sobre uma reta que une os dois pontos. Esta distancia pode ser calculada pela seguinte formula:
radianos) em ( 180
*6370*d
graus) em ( cos*12.111
cos
)cos(coscossinsin
1
1
Xd
X
LoLoLaLaLaLaX BABABA
(II.1)
2.2.2 Azimute
Sabemos que o norte magnético da Terra não coincide com o norte verdadeiro. Este norte magnético variável com o passar do anos, é a direção para á qual as agulhas das bússolas apontam. Desta forma, para se achar o norte verdadeiro é necessário fazer uma correção,
que para o Brasil, corresponde a somar 20o (aproximadamente) ao norte magnético para acharmos o norte verdadeiro (geográfico). Denominamos Azimute ao ângulo formado entre uma direção conhecida e a direção do norte magnético, contando a partir do norte magnético. O azimute entre dois pontos pode ser calculado pela seguinte formula, uma vez conhecida a distância ortodomica entre os pontos.
.ortodomica distancia da angulo o é
B direção naA de azimute o é Zangulo o onde
sin*cos
cos*sinsincos
A
AB
La
LaLaZ
( II.2)
Figura 1 Convém notar que:
AZAB = AZBA - 180º ( II.3)
NM
A B azimute
30
2.2.3 Curvas de níveis Entende-se por curva de nível o lugar geométrico de todos os pontos, que têm a mesma cota ou atitude. Essas curvas são representadas pela intersecção de planos horizontais eqüidistantes com a superfície do terreno. A diferença de cota entre duas curvas adjacentes depende do rigor com que se pretende representar o terreno e também da escala utilizada no desenho. Para melhor visualizar e entender o relevo na planta, deve-se representar com traços mais fortes as curvas mestras, que são geralmente, cotas múltiplas de 5 ou de 10 metros. As escritas correspondentes às cotas altimétricas devem ser assinaladas nas curvas mestras.
2.2.4 Cotas de referência
O processo dos pontos cotador ou cotas de referência, consiste apenas em colocar ao lado dos pontos topográficos, representados na planta, o número que indica a altura relativa (cota) ou absoluta (altitude) de cada ponto. Neste processo todos os pontos que representam acidentes do relevo deverão ser devidamente cotados, daí o nome do processo. Embora não representem a forma do terreno, os pontos cotados constituem-se no elemento básico para o traçado das curvas de nível por interpolação.
2.3 Perfil topográfico O processo do desenho do perfil é a modalidade mais rigorosa de representação do relevo. O perfil é a representação no plano vertical das diferenças de nível, cotas ou altitudes, obtidas em um nivelamento. A união desses elementos, por linhas retas ou curvas, constitui a representação gráfica do perfil do terreno estudado. Para o desenho de um perfil, é necessário portanto, que se conheçam as distâncias horizontais entre os pontos topográficos medidos no terreno e as diferenças de nível entre eles. O perfil pode ainda ser representado em função das cotas ou altitudes dos pontos do terreno. No eixo "x" serão representadas as distâncias horizontais e no eixo "y" serão tomados os valores correspondentes à diferença de nível, cotas ou altitudes. Para salientar elevações e depressões no terreno pode-se usar escalas apropriadas para os eixos horizontais e verticais, de acordo com a conveniência. Pode-se utilizar uma folha de papel milimetrado ou papel de curvatura "k" onde "k" é uma constante de correção relativa à curvatura da terra, e à curvatura das ondas eletromagnéticas no ar. No Brasil, é utilizado o valor de 4\3 para "k". O perfil é obtido com pontos consecutivos situados a uma distância máxima de 1 Km. Se entre pontos consecutivos existirem obstáculos, deve-se tomar pontos intermediários. Os desenhos a seguir mostram uma carta altimétrica e um papel apropriado para levantamento de perfis.
31
32
Figura 3 - Papel para Levantamento de Perfil.
33
H1
Rota interpoladora
D(P) D(PP) D(1)=0
H(PP)
He2 H(P)
Nível do mar
Perfil para k → ∞
_
He1
Atualmente existem softwares que permitem que estes perfis sejam tirados simplesmente colocando-se os pontos desejados nos mapas previamente armazenados no computador. Mapas de praticamente todo o globo terrestre estão disponíveis em formato digital. Mas alertamos ao leitor que estes mapas não contem as alturas das edificações porventura existentes e também da vegetação ao longo do perfil. Nos cálculos de enlaces um determinado perfil pode ser substituído por uma reta. Existem em uso duas retas que desempenham este papel, conhecidas por reta media e reta interpoladora.
2.3.1 Reta Interpoladora
A norma publicada no D.O.U. de 10/09/92 intitulada “Norma para calculo da atenuação de propagação em freqüências na faixa de 30 Mhz a 10000 Mhz” introduz o conceito de reta interpoladora que leva em consideração um perfil não plano entre os pontos transmissor e receptor. Esta reta pode ser vista na figura 10. Esta reta interpoladora tem como objetivo substituir o perfil existente por uma reta que o melhor represente, minimizando o erro existente entre o perfil e a reta em todos os seus pontos. Em relação a esta reta são calculadas duas novas alturas para os pontos de transmissão e recepção. Determinação da reta interpoladora do perfil, desvio eficaz das altitudes do terreno e alturas efetivas das antenas:
Dado um perfil de radioenlace traçado com altitudes reais, ou seja, sem a incorporação da correção das alturas para compensar a curvatura que os raios sofrem devido à variação do índice troposférico de refração “k”, a determinação do perfil médio do terreno ou da chamada reta interpoladora é feita da seguinte forma:
O método utilizado na determinação da reta é o de mínimos quadrados, ou seja, a reta é determinada de tal forma que a somatória dos quadrados dos desvios considerados entre os pontos do perfil e os pontos da reta a ser determinada seja reduzida ao mínimo possível conforme ilustra figura abaixo onde:
H(P) = altitude do ponto P do perfil em metros
D(P) = distancis do ponto P do perfil a partir da antena à esquerda, em km
H1 = altura da antena à esquerda acima do solo
H2 = altura da antena a direita acima do solo
δ(P) = desvio do ponto P do perfil em relação a reta interpoladora em metros
Daí resulta:
He1 = altura efetiva da antena a esquerda acima da reta interpoladora em metros
He2 = altura efetiva da antena a esquerda acima da reta interpoladora em metros
Figura 4
E pode ser determinada por:
δ(P)
H2
34
xkky
xxN
yxyxN
k
xxN
yxxyx
k
N
i
N
i
ii
N
i
N
i
N
i
iiii
N
i
N
i
ii
N
i
N
i
N
i
iii
N
i
ii
21
1
2
21
2
2
1
2
1
2
1
22
1
2
21
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
2
1
)2(
)2(
)2(
( II.4)
)( 2122
111
dkkHH
kHH
e
e
2.3.2 Reta Media Neste caso, o perfil é substituído por uma reta que representa a media dos valores das alturas do perfil. Em relação a esta reta calcula-se tambem duas novas alturas para os pontos de transmissão e recepção. Para calculo desta reta, deixa-se de fora os pontos de transmissão (i=0) e recepção ( i=N).
1
1
1
N
h
NMR
Ni
i
i
( II.5)
2.3.3 Rugosidade de um perfil
A superfície da Terra é irregular, a não ser a superfície do mar, ou de lagos e rios. Isso tem importância para a propagação, porque a onda refletida em um solo rugoso tem menor intensidade do que se tivesse refletindo em uma superfície lisa, A superfície rugosa dispersa a energia em todas as direções, e mesmo os raios que se refletem na direção da antena receptora, chegam defasados entre si por percorrerem percursos diferentes. A rugosidade de um perfil pode ser medida pela distância existente em metros entre duas retas. Estas duas retas tem distâncias idênticas a do perfil a ser estudado sendo paralelas entre si e a distância retilínea do perfil. A reta R1 é traçada de tal modo que apenas 10% (10
por cento) da distância total do perfil tenham alturas superiores à mesma. A reta R2 é
traçada de tal forma que apenas 10% (10 por cento) da distância total do perfil tenham alturas inferiores à mesma. A figura 4 ilustra o que dissemos.
2
)(
1
2
2
21
NDH
xkky
N
i
i
ii
35
Y1
X1 X2
Y2 Y3
0 X(100%)
R
R
X1+X2
Y1+Y2+Y3
1
2
10%
10%
Figura 5
R1 Os trechos acima dessa reta, somados, não devem ultrapassar 10% da distância.
R2 Os trechos abaixo dessa reta, somados, não devem exceder 10% da distância.
H = R1 R2 (em metros) = Rugosidade do Perfil. ( II.6)
A rugosidade também é definida de outra duas maneiras. Dado um certo perfil pode-se traçar uma reta media (media das cotas do perfil) que melhor o represente. O desvio padrão entre os valores desta reta e o perfil também é conhecido como rugosidade do mesmo. Traçando-se uma reta que melhor represente este perfil (minimiza-se o erro entre o perfil e a reta), a mesma é conhecida como reta interpoladora do perfil. O desvio padrão entre os valores desta reta interpoladora e o perfil também é conhecido como rugosidade do mesmo. Estudos apontaram que a rugosidade em qualquer distância do perfil, ∆H(d) pode ser estimada pela seguinte formula, conhecendo-se a rugosidade do mesmo:
)8.1()( 50/deHdH ( II.7)
A tabela 1 a seguir apresenta a rugosidade típica de alguns tipos de terrenos
Tipo do terreno Rugosidade em m
Água ou planície 0 á 5
Planície ondulada 5 á 20
Ondulado 20 á 40
Pequenas serras 40 á 80
Serras 80 á 150
Grandes serras 150 á 300
Montanhas 300 á 700
Grandes montanhas > 700
Tabela 1: Rugosidade típica
Uma superfície com rugosidade H pode ser representada por:
Onde, para facilitar, iremos denominar a rugosidade H, por H
36
Figura 6
Assim o raio refletido. Pode incidir no plano ou no alto do morro com altura H.
Figura 7 Os trechos A e B, representam o caminho a mais a ser percorrido pelo raio que reflete no solo (2) em relação ao que reflete no morro (1) (figura 7). Se essa distância (A + B) for maior que "λ/8" diz-se que o terreno é rugoso e o valor do coeficiente de reflexão fica diminuído. Visto que B = Hsinφ , assim A + B = 2H sinφ (1) já que A = B
28 16
H H sin ( )sin ( )
logo ( II.8)
Assim se a rugosidade "H" for maior que λ / (16. senφ) o terreno é dito rugoso e o valor do coeficiente de reflexão (atmosfera/solo) fica diminuído segundo o gráfico da figura 8:
Figura 8
Deste modo o coeficiente de reflexão sofre uma correção dada por:
sin4H
R eF
( II.9)
37
Como a reflexão acontece sobre uma superfície curva e não sobre uma superfície lisa o sinal refletido sofre uma disperção ao incidir no solo. O coeficiente de reflexão sofre uma nova correção devido a este fato, motivado pela disperção na superfície curva. Esta correção é dada pela seguinte formula:
tan
21
1
21
kad
ddFD
( II.10)
Onde: d = distância total do enlace d1 = distância do transmissor ao ponto de reflexão d2 = distância do receptor ao ponto de reflexão a = raio da Terra k = coeficiente do raio efetivo da Terra considerado φ = ângulo entre o raio refletido e o solo
Assim o coeficiente de reflexão a ser usado será dado por:
DRC FRFR ( II.11) onde:
RC = coeficiente de reflexão corrigido R = coeficiente de reflexão FR = fator de correção devido a rugosidade FD = fator de correção devido a disperção
2.4 Instrumentos utilizados
TEODOLITO: É o instrumento topográfico capaz de medir simultaneamente ângulos
horizontais e verticais. O teodolito originalmente constitui instrumento universal, pois é empregado na medida dos ângulos das operações topográficas, geodésicas e astronômicas. A estrutura e a forma dos aparelhos difere com a casa construtora, bem como variam os processos de leitura e do manuseio, mas os conceitos geométricos fundamentais são os mesmos. Os teodolitos, na sua generalidade, são concêntricos, isto é, tem a luneta passando pelo centro do instrumento. Apoiam-se sempre em um tripé e possuem em sua base um conjunto de parafusos calantes destinados a nivela-los. Possuem ainda bússola, níveis horizontais e na luneta, prumo ótico e parafuso de ajuste. Atualmente são produzidos teodolitos eletrônicos que apresentam diversas vantagens sobre o aparelho óptico. São mais leves, mais fáceis de operar, minimizam os erros do operador e são capazes de armazenar os dados coletados em campo em uma memória interna.
BÚSSOLA: As bússolas são aparelhos destinados à medida de rumo ou azimute, com
precisão relativamente pequena.Normalmente a menor fração que se pode avaliar, nas suas leituras é cerca de 10 a 15 minutos. Compõem-se, basicamente, de um círculo graduado em cujo centro se apoia a agulha "imantada". A graduação nas bússolas destinadas a leitura de azimute é continua, isto é, vai de zero no norte até 360 graus no mesmo ponto.
ALTÍMETRO: É um instrumento de precisão que indica automaticamente a altura do
local da medida. Ele utiliza a diferença entre a pressão atmosférica local e a pressão atmosférica de calibração, traduzindo o resultado em medida de altitude. Existem altímetros simples, de baixo custo, mas pouco precisos.
TELURÔMETRO: É o aparelho utilizado na medição de distâncias empregando micro-
ondas. A medição de distâncias com esse instrumento consiste no emprego de duas unidades eletrônicas, colocadas nas extremidades do alinhamento que se deseja medir.
38
Uma é denominada estação mestra e a outra, escrava. a estação mestra emite uma onda contínua e modulada que é recebida pela unidade eletrônica da estação escrava. A fase da modulação recebida é comparada com a da modulação transmitida e a diferença entre elas constitui-se no tempo de propagação do sinal. Essa medida (diferença de fase) é convertida eletronicamente em unidade de comprimento.
MARCO GEOGRÁFICO: São hastes metálicas colocadas em locais protegidos por lei,
normalmente praças ou entrada de Igrejas, onde estão gravadas as informações sobre a localização geográfica do local (altitude, longitude e altura). Listas destes marcos podem ser encontradas no I.B.G.E. (Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística.). Estes marcos servem para calibração de altímetros e como unidade de referência para leitura com teodolitos.
CARTA TOPOGRÁFICA: É um desenho plano-altimétrico que descreve minuciosamente
a posição dos acidentes naturais e das obras feitas pelo homem, como também o relevo geralmente representado pelas curvas de níveis.
GPS: Um equipamento GPS, é um instrumento que opera através de sinais de rádio
enviados por satélites não geo-estacionários. Este instrumento permite a obtenção por leitura direta da altura, latitude e longitude de um ponto situado na superfície da Terra. Atualmente é o instrumento mais usado em navegação marítima. Existem no mercado instrumentos GPS dos mais simples aos mais sofisticados, diferindo basicamente um dos outros pela capacidade de recepção simultânea de uma maior número de satélites, traduzindo-se este fato em uma maior precisão dos valores lidos. Os instrumentos mais precisos podem chegar a leituras com erros menores que 1 (um) metro.
2.5 Equações básicas da topografia
Mostraremos a seguir algumas equações básicas da topografia aplicadas ao calculo de enlaces, bem como a correção de um perfil devido ao fator k e a curvatura da Terra. Apresentaremos também o conceito de Terra Plana Equivalente.
2.5.1 Cálculo da distância entre dois pontos
Com o uso de um teodolito, podemos facilmente determinar a distância entre dois pontos. Considere que queremos medir a distância AP (vide figura 8) .Para isto fixamos o teodolito no ponto "A" e com o mesmo visamos o ponto "P". Devemos, então, zerar o teodolito na
direção "AP". Em seguida giramos o tedolito 90o visando o ponto "B", tendo o cuidado de escolher o ponto "B" em um local de fácil acesso. Com uma trena lê-se a distância "AB". Remove-se o teodolito para o ponto "B", zerando o mesmo na direção "A" e lê-se o ângulo ABP, com o máximo de cuidado visando novamente o ponto "P". Considerando:
Figura 9
AB = d ABP = AP = D teremos APB = α = 90 - β logo Dd
tan
Na prática usa-se, para maior precisão, d > 10 m (quanto maior melhor). Para ângulos
α < 3o a fórmula, considerando d em metros, D em quilometros e α em minutos, fica:
291.0
dD ( II.12)
39
2.5.2 Cálculo da diferença de altura entre dois pontos Com o uso do teodolito podemos também determinar a diferença de altura entre dois pontos. Recordemos inicialmente que o fato da Terra ser curva, faz com que a própria curvatura da Terra seja um obstáculo, de modo a não termos visada direta entre dois pontos. A figura 10 ilustra este fato:
Figura 10
Supondo que o ponto "A" e o ponto "B" estejam sobre o mar, e distantes um do outro de : d = d1 + d2, e seja "R" o raio da Terra que vale aproximadamente 6370 Km. A flecha "h"
formada pela curvatura da Terra impede a visão direta entre estes pontos. Esta flecha é calculada pela seguinte fórmula aproximada, válida para "h" bem menor que as distâncias "d1" e "d2".
hd d
R
1 2
2 (II.13)
Convém notar que o valor máximo desta flecha vale para d1 = d2 = d/2 e tem o seguinte
valor:
hd
R
d
R 1
2 2
2 8
Assim, a diferença de altura entre dois pontos, conforme a figura 10, devido a curvatura da
Terra vale: h = d12/2R = 0,0785d1
2, sendo "d1" em Km e "h" em metros, na última
expressão.
Figura 11
Sabemos também da física que a luz se curva, fazendo com que nossa visão não seja retilínea como aparenta. Assim, da mesma maneira como a Terra e curva, a nossa visão também o é, fazendo com que haja uma diferença de altura entre o que nossos olhos vêem e o objeto contemplado mesmo que ambos estejam no mesmo nível. Esta diferença de altura é dada pela mesma fórmula vista acima, com a diferença que agora o raio de curvatura não é o da Terra e sim o da luz (figura 12).
Figura 12
40
Assim, temos: hd
Rv
v
2
2 ( II.14)
Onde hv = Diferença de altura devido à curvatura da luz
d = Distância entre o olho e o objeto observado Rv = Raio de curvatura da luz
O raio da curvatura da luz vale RvdN
dh
10 6
Onde dN/dh representa o gradiente do índice de refração da luz e vale -2,25 x 10-2 (m-1)
fazendo com que a fórmula fique: hv = 0,012d2 onde "d" é expresso em Km e hv em metros.
Englobando a curvatura da Terra e a curvatura da luz, podemos fazer o cálculo da flecha entre dois pontos:
hd d
K R
1 2
2 (II.15)
onde o coeficiente "K" representa o fato da nossa visão ser curva, alterando portanto o raio da Terra. Usando esta expressão estaremos considerando a propagação das ondas eletromagnéticas, ou seja, nossa visão como retilínea e considerando a Terra com raio dado por kR. Considere agora a figura12 onde uma pessoa situada no ponto A a uma altura h1 sobre o nível do mar está olhando para um ponto B situado a uma distancia d a a uma altura h2 do ponto A. Como a vista é curva na realidade estamos olhando para o ponto B’.
Figura 13 Note nesta figura que:
AP é perpendicular a AO. AB’ é tangente à curva AB.
Assim um teodolito situado no ponto "A" visa um objeto no ponto "B" situado a uma distância "d". Como nossa visão é curva o que vemos é o ponto B', pois colocamos o teodolito na
A
d
O
B
h2
h1
h
Δh
hV
P
41
direção da reta, tangente ao raio de visada AB que é curvo. A diferença de altura B'B , como já vimos, vale:
BB hd
Rdv
v
2
2
20 012,
Note que "h1" e "h2" são alturas referidas ao nível do mar.
A diferença de altura devido a curvatura da Terra entre os pontos "A" e "B" vale:
hd
Rd
22
20 0785,
A linha AP é a linha de nivelamento do teodolito, ou seja, a linha do horizonte, a partir do qual lemos os ângulos verticais de visada. Na figura estamos lendo o ângulo "α", o qual sub-entende a diferença de altura "∆h" entre o horizonte e o ponto B (na realidade B'). Vimos em 3.1 que ∆h vale: ∆h = 0,291d*α. Assim, pela figura 12, podemos escrever:
h h h h h h h h h hv v1 2 2 1
Substituindo as expressões vistas de h, hv e ∆h resulta
h hd
d2 1
2
150 291 , (II.16)
onde usamos:
d em Km α em minutos h2,h1 em metros
Caso o ângulo α esteja acima da linha do horizonte nossa fórmula fica:
h hd
d2 1
2
150 291 , (II.17)
2.5.3 Correção de um Perfil
Perfil topográfico é a altura do relevo existente entre uma reta que une dois pontos. Devido á curvatura da Terra esta altura é modificada. Em função da curvatura das ondas de radio este relevo também sofre alteração. Combinando-se estes dois fatores pode-se corrigir o perfil topográfico, conseguindo-se desta maneira uma melhor representação dos obstáculos que uma onda eletromagnética enfrenta ao se propagar. Para se corrigir um perfil devido á curvatura da Terra e ao fato da atmosfera não ser homogênea com a altura, provocando a curvatura das ondas eletromagnéticas, usa-se a seguinte expressão, onde ambos os fatores são levados em consideração:
morro no existente edificaçãoou vegetaçãoda altura h
morro do corrigida altura h
efetivo raio do ecoeficient K
metros 6370000 Terra da raio a
morro aoreceptor do distancia d
morro aoor transmissdo distancia d
cas topograficartas das lida morro do altura h
:onde 2
E
c
2
1
21
Ec hKa
ddhh
42
( II.18)
2.5.4 Terra Plana
Pode-se considerar que a onda eletromagnética sente a Terra plana para distancias menores que:
3/1
80
Mhz
kmf
d ( II.19)
Com o uso desta expressão pode-se calcular os valores da tabela 3 para os quais a Terra pode ser considerada plana, sem a necessidade de se levar em consideração o fator K.
F(Mhz) D(km)
1 80
10 37
100 17
1000 8
Tabela 3: Terra Plana
2.5.5 Limite da linha de visada ou Distância do Horizonte
Considere-se agora a figura a seguir:
Figura 14
Um observador situado num ponto "A" a uma altura "h1" vê o horizonte no ponto "C" a uma
distância "d1", ou vê o ponto "B", situado a uma altura "h2", numa distância d = d1 + d2 .
Como estamos supondo que o observador esteja observando com um binóculo, ou seja , usando a visão, vamos considerar o raio da terra como sendo "ka", onde k = 1,18 para a visão e variando de 0,7 á 1,33 para enlaces radio e a = 6370 Km. Do triângulo OAC, obtêm-se:
k.a
h - 1 =
h + k.a
k.a = )( cos 1
1
Pois: xx
11
1 para x < < 1.
Como α é um ângulo pequeno, pode-se escrever:
43
222 2
11 )(sin1 )cos( ,
e comparando as duas expressões, resulta:
2 1h
k a
Como o ângulo α também pode ser expresso por
d
k a
1 , obtemos:
d k a h1 12
Substituindo o raio da Terra "a" pelo seu valor teremos:
d k h1 13 57 , (II.20)
Procedendo da mesma forma para a distância "d2" e usando o triângulo COB, obteríamos:
d k h2 23 57 , .
Assim, a distância total valerá:
d = d + d = 3,57 k .( h + h ) 1 2 1 2 , ( II.21)
sendo "d1","d2" e "d" em Km e "h1" e "h2" em metros. Esta é a máxima distância em que um
objeto de altura h2 pode ser visto por um observador de altura "h1". Esta distância é
conhecida por distância limite de visibilidade, ou distância do horizonte.
2.5.6 Aproximação da inclinação de torres em perfis
No cálculo de perfis entre dois pontos, sempre colocamos as torres na posição vertical em relação à distância "d" e não perpendiculares à superfície da Terra, como são na realidade. Na figura 14 tentamos melhor esclarecer:
Figura 15
A posição correta das torres seria h1 e h2 e não h'1 e h'2 como aparecem nos perfis. Vamos
mostrar que este erro é desprezível. Da semelhança de triângulos entre ABO e ACD, resulta:
AB
AC
AO
AD
BO
CD
Como h'1 = CD, h1 = AD, BO = a, AO = a + h1 teremos:
44
a h
h
a
h
1
1 1
, resultando
hh a
h a1
1
1
'
Tomando valores típicos de h1 como h1 = 50 m e sabendo que a = 6.370.000 m, temos:
h1
50 6370000
637005050 0 9999215 49 9996' , ,
Assim, vemos que o erro cometido é da ordem de décimos de milímetros, por isto, nos perfis, sempre iremos colocar as torres e obstáculos perpendiculares a distância "d".
2.6 Terra plana equivalente Com a intenção de considerar a Terra como se fosse plana ao invés de curva, lança-se mão do conceito de Terra plana equivalente. Com este conceito, iremos determinar novas alturas para os pontos de transmissão e recepção, que serão denominadas de alturas equivalentes. Consideremos a figura a seguir, onde a reta A'B' é tangente ao ponto de reflexão "C". O ponto "D" situa-se na metade da reta A'B'. Esta reta A'B' representa a Terra plana equivalente do enlace mostrado. Como a Terra é curva, a Terra plana equivalente diminui as alturas reais do enlace de h1 para h'1 e de h2 para h'2. Esta Terra plana equivalente permite
o cálculo dos enlaces considerando a Terra como se fosse plana. No capítulo sobre propagação veremos as limitações de seu uso.
Figura 16
h'1 = altura equivalente de h1
h'2 = altura equivalente de h2
Isto para considerar-mos o enlace "AB" como sendo plano, através de uma terra plana equivalente, definida pela reta A'B'. Convém notar que as dimensões não estão em escala, pois, na prática, d >> h1,h2
Da figura acima vemos que:
h h h h h h1 1 1 2 2 2
' ' e
Por comparação de triângulos e após algebrismos resulta,
h hd
k ah h
d
k a1 1
1
2
2 22
2
2 2
' '
e (II.22)
45
x = 6 ,37.( k4
).d.( h - h )2 1 (II.23)
yd
128 5
k
4h h
2
2 1 , ( ) (II.24)
= cos ( x/ ( y. y ) ) , d = 2. y.cos( + 240 )-13
3
o (II.25)
Onde x,y e φ são variáveis auxiliares de cálculo. As equações acima permitem o cálculo de d1 e d2, e devem ser usadas com "d" em Km e
"h1" e "h2" em metros. São obtidas a partir da comparação dos triângulos OAC e OCB.
tan( )
h
d
h
d
dk a
dk a1 2
1
2 2
2
12
22
(II.26)
Para ângulos pequenos: ( )' 'h h
d
1 2 ( II.27)
A diferença de percurso entre o raio direto e o refletido pode ser expressa por:
r AC CB ABh h
d
( )
' '2 1 2 (II.28)
Usando-se esta técnica, podemos, dentro de certos limites, tratar a Terra como se fosse plana, fazendo a devida correção nas alturas das torres conforme as fórmulas mostradas acima.
2.7 Exercícios
Para complementar o aprendizado do que foi visto vamos resolver alguns exercícios e deixar outros para serem resolvidos pelo leitor.
2.7.1 Exercícios resolvidos a) Um teodolito colocado à 320 metros vê um morro situado à 40 Km com um ângulo de 5 minutos abaixo do limite do horizonte. Qual a altura do morro ? Solução:
∆H = 0,291 x d x α = 0,291 x 40 x 5 = 58,2 m
hv = 0,012 x d2 = 0,012 x (40)2 = 19,2
h = 0,0785 x d2 = 0,0785 x (40)2 = 125,6 h2 = h1 + h - hv - ∆H
h2 = 320 +125,6 - 19,2 - 58,2 = 368,2 m
b) Qual é o horizonte percebido por uma pessoa nadando e uma pessoa em pé ?
Solução:
Para k = 1,18 dh= 3,83 (h)1/2
h (água) = 15 cm = 0,15 m (supondo)
dh (água) = 3,83 x (0,15)1/2 = 1,48 Km
h (em pé) = 1,70 m (supondo)
dh (em pé) = 3,83 x 1,701/2 = 4,99 Km
46
2.7.2 Exercícios propostos a) Determine as alturas equivalentes para o seguinte enlace: h1 = 450 m, h2 = 360 m, d = 80 Km e k = 4/3
b) Qual a altura mínima que um morro precisa ter para poder ser visto por um observador em pé sobre um morro de 120 m situado a 60 Km de distância. c) Um teodolito é colocado em um determinado ponto A e zerado visando o alto de uma
torre, a seguir giramos o teodolito 90o para a esquerda e visamos o ponto B situado a 20 Km do ponto A. Com o teodolito no ponto B, zeramos o mesmo visando o ponto A e visando o
alto da torre medimos um ângulo horizontal de 60o e um ângulo de 7 minutos acima da linha do horizonte. Qual a altura da torre sabendo-se que o ponto B está a 300 m de altura e a torre se encontra sobre um morro de 250 m de altura ? d) Em um trabalho de campo, um engenheiro sai de um determinado ponto A e se dirige ao
ponto B (O azimute da direção AB é de 75o32'40''). Ao chegar ao ponto B, ele visa o ponto A
e zera o seu teodolito, a seguir ele visa o ponto C e mede um ângulo de 42o21'. No ponto C, ele visa o ponto B e zera o teodolito, então visando o ponto D ele mede um ângulo de
205o10'23''. Qual o azimute da direção CD ? e) Trace o perfil para K = 2/3 dos pontos mostrados na figura 2 . f) Determine a reta media e a reta interpoladora para o perfil da figura 2. g) Determine a Terra plana equivalente para h1 = 60 m, h2 = 40 m, d = 50 km, considerando
k = 4/3.
h) Determine a rugosidade pelos três métodos do perfil da figura 2.
g) Determine o coeficiente de reflexão a ser usado na seguinte situação
Mhz 300f 95.
0,00333 6mh 3/4 40 600180
0
21
jeR
kmhmh
h) Um teodolito com 1.5 m de altura colocado numa cota de 80 m, visa um morro á 2 km de distância com um ângulo de -11’38”. Qual a altura do morro? i) Qual a distância do horizonte para h1=80m, h2=120m considerando-se k =2/3?
3 Teoria eletromagnética
Vamos iniciar nosso estudo sobre as equações de propagação de ondas eletromagnéticas pela revisão das equações de MAXWELL, bem como das equações chamadas complementares, das quais é possível deduzir-mos todas as leis de propagação das ondas eletromagnéticas. Deixaremos para os tópicos seguintes á definição dos vetores potenciais magnéticos e vetor de Hertz, uma vez que ambos não possuem significado físico, servindo apenas para facilitar o estudo e a solução das equações dos campos. Apresentamos também neste capitulo uma revisão dos fundamentos matemáticos necessários para um perfeito entendimento do mesmo. O leitor que domina o assunto pode pular este tópico apresentado no item 9. O leitor que já esqueceu estes fundamentos deve começar a leitura deste capitulo por esta revisão dos conceitos matemáticos apresentados no item 9, voltando a seguir para o item 1. Vamos, pois escrever as equações de Maxwell para meios não magnéticos, isotrópicos, homogêneos e lineares.
47
)4(III. =
)3(III. =
)2(III. + =
)1(III. - =
OB
D
t
DJH
t
BE
Onde: E = Vetor Campo Elétrico (V/m). H = Vetor Campo Magnético (A/m). D = Vetor Densidade de Fluxo Elétrico (C/m2). B = Vetor Densidade de Fluxo Magnético (W/m2). J = Vetor Densidade de Corrente elétrica (A/m2).
= Densidade de Carga Elétrica (C/m3). Lembremos agora das equações auxiliares:
J = E (III.5)
D = E (III.6)
B = H (III.7)
F = q (E + B) (III.8) Onde:
= Condutividade Elétrica do Meio ( /m).
= Constante dielétrica do Meio (F/m).
= Permeabilidade Magnética (H/m).
= Vetor Velocidade de Carga Elétrica (m/s). F = Vetor força Eletromagnética (N). q = Carga Elétrica ( c ).
Todas estas expressões matemáticas expressam leis físicas que regem os fenômenos eletromagnéticos e que de uma maneira sucinta exprimem o seguinte: a) Todo campo magnético variável no tempo produz um campo elétrico, bem como um campo elétrico variável no tempo produz um campo magnético. Estes campos, elétrico e magnético são transversais entre si. Esta lei é sintetizada pelas equações III (1) e (2).
b) Existem dois tipos de correntes elétricas: A corrente de condução dada por J = E e a
corrente de deslocamento dada por t
D
. Esta última não necessita de um meio para existir. As correntes elétricas estão associadas a campos magnéticos.
As equações III (2) e (5) representam matematicamente o que afirmamos. c) As linhas de campo magnético são fechadas, isto é não existe carga magnética isolada. A equação (III.4) representa este fato através da divergência nula do campo magnético. d) As linhas de campo elétrico não são fechadas. Existe carga elétrica isolada positiva ou negativa. A equação (III.3) nos permite afirmar isto, pois a divergência do campo elétrico não é nula. Isto somente acontece quando não existe carga elétrica. e) Uma carga elétrica colocada na presença de um campo elétrico fica sujeita a uma força. A equação (III.8) expressa este fato. f) Uma carga elétrica em movimento colocada na presença de um campo magnético fica sujeita a uma força. A equação (III.8) expressa este fato.
48
g) Um campo elétrico aplicado a um meio condutor provoca neste meio o aparecimento de uma corrente de condução. A equação (III.5) é a expressão desse fato. h) Os vetores campo e densidade de fluxo elétrico bem como os vetores campo e densidade de fluxo magnético estão relacionados entre si por uma constante que depende do meio. As equações III (6) e (7) expressam este conhecimento. Vimos que um meio qualquer possui constantes dielétricas μ, ε e σ. Para meios não condutores a perda no meio pode ser expressa pela permissividade elétrica complexa do tipo: ε = ε’- jε”. Onde a parte imaginaria da constante ε representa a perda no meio. Deste modo num meio não condutor, demonstra-se e é usual expressar-se a condutividade elétrica por: σ = wε”. Sendo assim o meio não condutor pode ser analisado apenas em termos das constantes dielétricas μ e ε. Este é o caso da Troposfera. Apresentamos algumas formas de como se expressa a constante dielétrica εr nos isolantes, que é como se pode classificar a troposfera. Deste modo neste tipo de meio, podemos estudá-los como tendo constantes μ, ε e σ ou apenas constantes μ, e ε sendo neste caso ε complexo.
w
j
jjjYw
j rrrr
'''
''
r
0
"
0
''
00
'
Y
( III.9)
MhzfY
18000
A tabela abaixo mostra alguns valores das constantes σ e εr
Meio Σ Εr
Água do mar 5 80
Água doce 0,003 80
Solo 0,01 15
Corpo humano 0,001 50
Tabela 1: constantes dielétricas
3.1 Vetor potencial magnético
Para facilitar o estudo das equações eletromagnéticas define-se um novo vetor “A”, chamado de potencial magnético o qual não possui significado físico e é determinado pelas seguintes equações.
:por odeterminadser pode e calculos osfacilitar para serve apenas
fisico, osignificad temnão vetor Este .,, :lo-determina deseja se
onde meio do constantes das e eletrico potencialescalar do valor do
e magnetico fluxo de densidade B, vetor do termosem adivergenci sua
pela e rotacionalseu por definido éA vetor o -
t
A
BA
(III.10)
LV
ldrr
rIrAdv
rr
rJrA
)(
4)(ou
)(
4)(
( III.11)
49
3.2 Vetor de hertz
Em Teoria Eletromagnética também se encontra um vetor representado por “ “ o qual também não possui significado físico e é definido pelas equações:
0
( III.12)
Lembrando que
tA.
Podemos escrever:
tA
tA )()(
Logo: A
O
Ot
( III.13)
Convém notar que os vetores “A” e ““ possuem mesma direção e sentido.
3.3 Equação da onda
Manipulando-se as equações de Maxwell como mostrado abaixo, chega-se a uma equação denominada equação da onda que todo campo eletromagnético deve satisfazer.
2
22
2
2
3 equação se-usando e 0)( carga de isenta região Supondo
:assim
: vetorialalgebra da epropriedad uma se-Usando
:resultara 2 equação a se-Usando
1 equação a rotacional oaplicar Vamos
4 0
3
2
1
t
E
t
E
t
DE
tE
t
DE
tEE
EEE
t
DE
tE
Ht
Btt
BE
HBEDEJ
B
D
t
DJH
t
BE
50
:escrever se-pode ),,(
: tipodo função uma eletrico campo se-Supondo
jwtezyxfE
III.16) ( 112
III.15) ( 112
)14.(
:se- temonde :que se-note
onda da equação a e Esta 0ou 0
:resulta k chamando
0
0
2
2
22
2222
222
22
22
2
2
22
ww
ww
IIIwjw
jjk
EEk
jww
Ejww
EjwEwE
EwjwEt
E
t
EE
Vamos agora resolver a equação da onda
0)( 22 Ek ou 0 22 E
Usando-se a equação com a constante k, pode-se por:
02
2
2
2
2
2
2
i
iii Ekz
E
y
E
x
E
Vamos supor que Ei tenha simetria esférica. Supondo um campo com simetria esférica podemos pensar que Ei seja uma função só de “r”, isto é, E=f(r), independente de "" e "" .
Assim usando a expressão do Laplaciano esférico na equação acima teremos, supondo que este campo Ei possa ter qualquer direção x, y ou z, por isto vamos chamá-lo genericamente de E. Em coordenadas esféricas com a simetria adotada, teremos:
0)( 22 k onde 0
EE
Assim a equação fica:
0)(1 22
2 Ek
dr
dEr
dr
d
r Derivando e simplificando resulta:
0
2 2
2
2
Ekdr
dE
rdr
Ed
Que é uma equação diferencial ordinária (E.D.O) de 2º grau e cuja solução vale:
jkter
VE
Onde,V é uma constante, a ser determinada pelas condições de contorno. A solução
completa tem o termo jwte que representa a variação temporal. Assim:
51
)( krwtjer
VE ( III.17)
222 jwk
Note que jkj
assim pode-se escrever:
)()( rwtjrkrwtj eee ou ainda:
)()()( v
rtjwr
wtjw
rwtj eee
Onde:
Representa a velocidade com que a onda se propaga.
A solução encontrada representa uma onda que se propaga com velocidade v, na direção r. Analisando-se um ponto de fase constante teremos:
constante 2211 rwtrwt
2
)(
2
2
)(2
)()(
12
12
12121212
rr
rr
TttttT
rrtt
( III.18)
Nestas expressões T é o período da onda e λ é denominado comprimento de onda do sinal. Note que fizemos a analise de:
zEyExEE zyx
2222
Onde cada iE2 vale em coordenadas esféricas:
2
2
22
2
2
2
0
01)
0
0(
0
01)
0
0(
0
01
iii
i
E
senr
Esen
senrr
Er
rrE
E estamos supondo.
00
0
0
0
EiEi
. Ou seja, temos simetria esférica. Vamos agora resolver a equação da onda supondo a existência de simetria plana, ou seja, uma onda plana existindo, vamos supor, no plano yz, com as seguintes hipóteses:
0
)(
z
E
y
E
xfE
yeEE
y
jwt
y
52
Ou seja existe uma onda plana representada por um campo elétrico na direção “y”, e neste
plano o campo não varia com “y” e “z”. Assim vamos resolver 0)( 22 E . A qual com a
hipótese proposta podem ser postas na forma:
02
2
2
y
yE
dx
Ed Cuja solução vale:
yeeEE
eEE
jwtx
y
x
y
0
0 :é completa solução a ( III.19)
Vimos que a constante pode ser expressa por j onde:
112
112
2
2
ww
ww
Assim pode-se por:
)(
00
xwtjxjwtx
y eeEeeEE
Onde temos para um ponto de fase constante:
vw
dt
dx
dt
dxw
xx
Ttt
xwtxwt
0
12
12
2211
Expressões idênticas a que foram encontradas para simetria esférica. Neste caso também temos uma onda propagando-se com velocidade v numa direção x. Iremos agora aplicar as equações de Maxwell a solução encontrada, buscando encontrar relações entre os campos elétricos e magnéticos.
53
v k
Meio do Intríseca Impedancia
0 para
H
logo,
E-
dosubstituin
derivando
E
logo,
Ex
:resulta a aplicando
22
z
y
0y
j
H
E
Ou
EEj
Hj
Ex
E
eE
Hjx
E
zx
E
EHjxE
z
y
yy
z
y
y
x
z
y
yy
y
( III.20)
T.E.M onda )(0
)(
0
zeE
H
yeEE
kxtj
z
kxtjy
O vetor de Poyting médio de uma onda plana é dado por:
)Re(2
1HES W/m2
Aplicando-se as equações dos campos E e H resulta em:
2ES Para valor eficaz de campo elétrico ( III.21)
A expressão acima mostra que a onda plana tem campo magnético perpendicular ao campo elétrico e se propaga na direção x perpendicular aos campos elétrico e magnético. Em virtude disto esta onda é denominada onda plana. Deste modo vimos que se calculando o campo elétrico pode-se obter o campo magnético apenas dividindo-se o campo elétrico pela constante η denominada Impedância Intrínseca do meio no qual a onda se propaga. A impedância intrínseca do meio é obtida dividindo-se o campo elétrico pelo campo magnético. Deve-se notar que os campos eletromagnéticos são transversais a direção de propagação. Assim este conceito de impedância intrínseca pode ser ampliado para uma onda qualquer e passa a ser denominado impedância transversal da onda. Assim a impedância transversal da onda na direção x é obtida dividindo-se o campo elétrico na direção y pelo campo magnético na direção z. Para o caso de uma onda plana este valor é denominado impedância intrínseca do meio.
3.4 Dedução dos campos Eletromagnéticos a partir dos vetores A e
Vimos que
54
E = Ot
OA e
Ot
OA.
levando-se em conta a variação temporal do tipo t je podemos colocar
)(. jjA como k j2 2 .
Colocando “j “ em evidência resulta )+ ( - 2 jjk assim:
. Ak
j
2
Logo: ).(k
= e ).(
k
22
Aj
Aj
então o campo elétrico pode ser expresso por:
E = A - ).(k
2
jAj
(III.22)
como B = xA e B = H logo
H = )(1
A
(III.23)
e desta maneira os campos elétricos e magnéticos podem ser calculados a partir do vetor potencial magnético. Vejamos agora estas relações em termos do vetor de Hertz. Primeiramente vamos recordar o conceito de impedância de onda transversal, conceito idêntico ao de impedância intrínseca para as ondas T.E.M. seja “ZT” esta impedância e “YT “ seu inverso (admitância) sabemos que:
ZE
H
j Z
H
E
kYY
Y
Z
T Y
Z
Y
T Z Zke
Y
( III.24) Vimos que
H = 1/ (xA) e A =
22 k
j
j
k
Substituindo temos
H = )(Yk = H logo )(k 1
T
2
jj
(III.25)
Sabemos também que E = A - )A.( k
j
2
j
Substituindo A por resulta:
E = 222
2k + ).( E logo
k ).(
k
k
-
jj
jj (III.26)
Assim mostramos como os campos elétricos e magnéticos podem ser calculados conhecido
o vetor “A” pelas equações (III.22) e (III.23) e conhecido o vetor ”“ pelas equações (III.25) e (III.26).
3.5 Reflexão de ondas
Quando uma onda eletromagnética incidir de um meio para outro sofrerá reflexão e difração ao passar para o outro meio. A onda refletida pode ser calculada multiplicando-se o valor da onda incidente pelo coeficiente de reflexão. A onda difrata pode ser determinada multiplicando-se a onda incidente pelo coeficiente de transmissão. Estes coeficientes dependem dos meios no qual a onda se propaga e da sua polarização. Estes coeficientes de
55
reflexão ( ) e transmissão ( ) podem ser calculados pelas seguintes formulas,
apresentadas a seguir.
3.5.1 Incidência Perpendicular Temos este caso quando a onda incidir com ângulo de 00 com o outro meio, ou seja, a direção da onda incidente coincide com a perpendicular a divisa dos meios.
1
2
12
2
12
12
ZZ
Z
E
E
ZZ
ZZ
E
E
i
t
i
r
( III.27)
As impedâncias intrínsecas dos meios são Z1 para a onda incidente e refletida e Z2 para a onda transmitida.
3.5.2 Incidência Obliqua Neste caso a onda incide fazendo um ângulo θi com a perpendicular a divida dos meios. Alem disto a onda pode incidir com polarização perpendicular ou paralela. Para este caso a lei de Snell continua valida e pode-se escrever:
tiri sinsin 21 ( III.28)
POLARIZAÇÃO PARALELA A figura 1 abaixo mostra esta situação
Figura 1: Incidência Paralela
ti
it
i
it
it
ZZ
Z
ZZ
ZZ
coscos)1(
coscos
cos2
coscos
coscos
12
2
12
12
( III.29)
POLARIZAÇÃO PERPENDICULAR
56
A figura 2 abaixo mostra esta situação
Figura 2: Incidência Perpendicular
1
coscos
cos2
coscos
coscos
12
2
12
12
ti
i
ti
ti
ZZ
Z
ZZ
ZZ
( III.30)
Nestas formulas temos:
Z1 = impedância intrínseca do meio 1 Z2 = impedância intrínseca do meio 2
i = ângulo de incidência da onda, medido em relação á perpendicular.
t = ângulo de transmissão da onda, medido em relação á perpendicular.
Para o caso troposfera- solo as formulas se modificam para
2
0
2
0
2
00
2
00
cossin
cossin
cossin
cossin
jw
jwR
jwjw
jwjwR
r
r
H
rr
rr
V
( III.31)
Onde α é o ângulo de incidência do raio refletido com o solo e e r são as constantes
do solo. A Tabela I a seguir mostra o valor destas constantes para vários tipos de solo.
57
Tipo de Solo Condutividade σ (mhos/metro)
Permissividade Relativa (εr)
Pobre 0.001 4.0 a 5.0
Moderado 0.003 4.0
Regular 0.01 15.0
Médio 0.005 a 0.03 10.0 a 15.0
Bom 0.01 a 0.02 4.0 a 30.0
Seco 0.00001 a 0.001 2.0 a 5.0
Terra 0.002 15.0
Deserto 0.01 3.0
Plano, úmido, região costeira 0.01 a 0.02 4.0 a 30.0
Solo arenoso seco 0.001 10.0
Terra pastoral 0.005 15.0
Colinas pastorais, solo rico 0.003 a 0.01 14.0 a 20.0
Colinas médias pastorais e florestas 0.004 a 0.006 13.0
Solo fértil 0.002 10.0
Terra rica para agricultura 0.01 15.0
Terras rochosas 0.002 10.0 a 15.0
Solo altamente úmido 0.005 a 0.02 30.0
Molhado 0.001 a 0.1 5.0 a 30.0
Pantanoso 0.1 30.0
Pantanoso, plano (floresta densa) 0.0075 12.0
Pantanoso, floresta, plano 0.008 12.0
Colinas baixas com solo rico sem floresta 0.01 a 0.02 4.0 a 30.0
Montanhoso, colinas, (até aprox. 1000 m) 0.001 5.0
Indústrias urbanas (média atenuação) 0.001 5.0
Indústrias urbanas (máxima atenuação) 0.0004 3.0
Indústrias urbanas 0.0001 3.0
Água fresca 0.001 a 0.01 80.0 a 81.0
Água fresca (100 C até 100Mhz) 0.001 a 0.01 84.0
Água fresca (200 C até 100Mhz) 0.001 a 0.01 80.0
Água do mar 3.0 a 5.0 80.0 a 81.0
Água do mar (100 C até acima de 1 Ghz) 4.0 a 5.0 80.0
Água do mar (200 C até acima de 1 Ghz) 4.0 a 5.0 73.0
Gelo do mar 0.001 4.0
Gelo Polar 0.000025 3.0
Calota Polar 0.0001 1.0
Terra Ártica 0.0005 3.0 a 5.0
Tabela I : Constantes e r
Aqui deve ser posta uma observação. Na teoria Eletromagnética o conceito de polarização da onda está relacionado ao plano de incidência da mesma e não ao plano da divisa dos meios, como na pratica usa-se como referencia o plano da divisa dos meios como referencia, a polarização perpendicular da teoria eletromagnética é chamada na pratica de polarização paralela da onda e a polarização paralela da teoria eletromagnética é chamada na pratica de polarização perpendicular da onda. Uma onda circularmente polarizada possui ambas componentes (paralela e perpendicular) com mesma amplitude.
3.6 Representação matemática do dipolo elétrico Vamos supor um dipolo elétrico situado como na figura 3 abaixo:
58
Figura 3
Sabemos da teoria eletromagnética que um dipolo deste tipo pode ser representado por:
(r) = ql (x) (y) ‘(z-h)
onde 222 zyxr
(x) (y) ‘(z) são funções de Fermi-Dirac
‘(z-h) derivada em relação a “Z”.
(r) = densidade volumétrica de carga elétrica do dipolo (c/m3).
Multiplicando-se ambos os termos da equação (1) por ”z” e tomando-se o limite quando
z0 resulta:
s(r) = q l (x) (y) (z-h)
onde s (r) = densidade superficial de carga elétrica (c/m2). Supondo as cargas elétricas variáveis no tempo podemos escrever
J(r) = I l (x) (y) (z-h) onde J (r) = Densidade de corrente do dipolo (A/m2). I = Corrente do dipolo.
Convém lembrar que no dipolo elementar l onde = comprimento de onda do dipolo.
3.7 Determinação do campo distante Vejamos agora como estes campos podem ser gerados. Preparando-nos para o estudo dos fenômenos de propagação sobre a superfície da Terra, vamos primeiramente considerar o caso de um dipolo elétrico de comprimento L colocado na origem do sistema cartesiano na direção Z, conforme mostra a figura 4.
Figura 4
59
Seja “I” a corrente no dipolo. O vetor potencial magnético num ponto P situado a uma distância “r” do dipolo será dado por:
como: tJezyxLIrJ )()()()( 00 onde t jeII o
Então:
AZ=
' '
)/(
o dzdy dx )()()(
4'
r 4
)/,(J
v v
vRtJ
o zyxr
eLIdv
vRtr
AZ= jkrer
IL
4 (1) pois 1)()()( dxdydzzyx
V
Devido á simetria esférica do problema usaremos, coordenadas esféricas. Então:
Ar = AZ cos
Aθ = AZ sen Aψ = 0
e vamos calcular o campo elétrico através de:
E = t
A
como ).(
k
= e
2
2
Aj
j
kA
Assim ).(k
2
Aj
logo: A ).(k
2
jAj
E
Estamos interessados no campo distante, isto é no campo para r>> (comprimento de onda), desta maneira iremos desprezar termos do tipo “1/r2” e “1/r3” face a termos que contenham “1/r”.
Não é difícil verificar que usando as formulas apresentadas ao calcularmos () aparecerão
termos “1/r” e “1/r2” e ao calcularmos () estes termos darão origem a outros do tipo “1/r2” e “1/r3”.
E somente o termo .r e r 4
Cos L I rk -2
jk
apresenta variação com 1/r.
Desta maneira, não aparecerá nenhuma contribuição na direção
, e na direção r
a parcela
que aparece se cancela com a parcela devido a jA. Assim, podemos concluir que para campos distantes o campo elétrico possa ser calculado por:
A j E
No caso corrente em propagação o ângulo ““ vale aproximadamente 900 e podemos concluir que:
zA j E z
Vimos então que para o campo distante, existe apenas uma componente (Eθ ou EZ) sendo que as outras componentes podem ser desprezadas. Vimos que através das expressões é possível determinar-mos o campo distante em termos de I e L, ou seja;
rk j -
z e r 4
I L jE
As vezes porém é mais vantajoso apresentar esta expressão em função da potência do dipolo. Recordemos que do estudo do dipolo elementar
P = 40 I L
(w)
2 2 2
2
60
Assim :10
P
22 = L Iou
10
P
2 = L I EF
Sabemos que um dipolo elementar possui ganho de 1,5. Assim, exprimindo a potência do dipolo em função de uma antena qualquer com o ganho G em relação ao radiador isotrópico, podemos colocar ( IEF = corrente eficaz do dipolo).
I L =
2 2EF
PG
15 Sabemos que se colocando o dipolo elementar sobre uma superfície condutora, o campo
produzido pelo dipolo aumenta de 2 uma vez que a potência do dipolo fica dobrada, pois
sua densidade de potência dobra em virtude de a onda estar sendo emitida somente para um hemisfério. No estudo de propagação, usaremos como fonte de campo um dipolo elementar e considera-se este dipolo elementar fornecendo uma potência de 1 kW quando colocado sobre a Terra, sendo esta um condutor perfeito. Isto equivale a um dipolo fornecendo 500 w no espaço livre, o qual colocando sobre a Terra forneceria 1 kW. Assim, podemos escrever para este dipolo.
10410
2/
22
PPLI EF
para 1 Kw resulta
2
5 = L IEF = valor equivalente de “IEFL” para um dipolo fornecendo 1 kW de potência
sobre a terra considerada como um condutor perfeito. Substituindo este valor de IEFL na expressão do campo resulta para o campo distante:
r
PGEz
30 (V/m) (III.32)
Generalizando-se esta expressão para antenas colocadas próximas ou não a superfície da Terra pode-se colocar a seguinte expressão genérica:
r
PGRE r
z
30 (III.33)
Onde o fator Rr representa a influencia da proximidade da Terra sobre a antena. Caso a antena esteja próximo a Terra este fator vale 0,5 e para antenas afastadas da Terra este fator vale 1.
3.8 Propagação com condições de contorno no caso Terra- Ar
Vamos considerar o caso típico de propagação, ou seja, estamos interessados na propagação das ondas eletromagnéticas perto da fronteira entre dois meios. Um dos meios é a atmosfera e o outro é a Terra, conforme mostra a figura 5.
61
Figura 5 Abordaremos este caso supondo no meio “1” a presença de um dipolo elétrico situado a uma altura “h” do solo e orientado seguindo a direção Z. A figura 6 ilustra esta situação. Onde: I = I0 ejwt
Figura 6
Vamos considerar a atmosfera com as seguintes características
o F m H m 1
3610 4 109 7. ( / ) . ( / ) e = 0 ( / m)o
E seja a terra com características 0 e . As equações dos campos devem ser satisfeitas, tanto para o meio1 como para o meio 2, estando sujeitas as condições de contorno ou sejam:
Continuidade dos campos elétricos e magnéticos na fronteira entre os meios, nas suas componentes tangenciais a fronteira.
Continuidade das densidades de fluxo elétrico e magnético na fronteira nas suas componentes normais a fronteira.
Matematicamente podemos expressar:
E E H H
D D B B
T T T T
N N N N 2
1 2 1 2
1 2 1
Onde o símbolo “T” significa tangencial e o símbolo “N” normal. Assim, aplicando-se estas condições ao caso proposto onde a excitação é dada por:
J0(r) = I L (x) (y) (z-h) z
Sabemos que os vetores potencial magnético e o vetor de Hertz possuem mesma direção que o vetor densidade de corrente elétrica, assim podemos supor:
zz
zAAzAA
zz
zz
2211
2211
Vimos que os campos elétricos e magnéticos podem ser calculados em função destes vetores por
A) j).(k
j - = E )(
1 = H
k+).( = E ).(yk j =H
2
2
T
AA
Levando-se em conta as características dos meios por nós definida podemos escrever:
62
K Z K Z
K
K
K YK
K YK
T T o
o o
o o
T
o
T
o
1 1 2 2
1
2 2
2
2 2
1 1
1
2
2 2
2
2
j o
Onde o subscrito 1, refere-se ao meio 1, e o 2 ao meio 2. As condições de fronteira vistas em (1) implicam em: E1x= E2x E1y= E2y
H1x= H2x Para Z = 0 H1y= H2y
Levando-se estas considerações e as equações mostradas em (4) nas relações (2) e (3) resulta as seguintes condições de fronteira em termos dos vetores potencial magnético e vetor de Hertz.
K K
O
Oz
O
Oz
A A
KOA
OzK
OA
Oz
z z
z z
z z
z z
1
2
1 2
2
2
1 2
1 2
2
2 1
1
2 2
3.9 Exercícios
Para consolidar o que foi visto, vamos resolver alguns exercícios e deixar outros para serem solucionados pelo leitor.
3.9.1 Exercícios Resolvidos
a) Determine as correntes de condução e deslocamento que atravessam uma área de 1.7 m2 de um meio com εr = 5 μr = 1 σ = 1.2 mS/m, submetido a um campo de 5 V/m na freqüência de 400 MHz.
Solução:
2
29
6
23
/93.07.1*55.0
/55.05*36
10*5*10*400*2
1.07.1*006.0
/006.05*10*2.1
mAI
mAJ
AI
mAJ
D
D
C
C
b) Uma onda plana com polarização circular com 20 V/m na freqüência de 200 MHz, incide com ângulo de 300 (direção da onda com a perpendicular á divisa dos meios) de um meio com: εr = 1, μr = 1, σ = 10-6, para outro meio com as seguintes constantes: εr = 2.5, μr = 1, σ = 10-5. Determine as constantes de atenuação e propagação dos meios e mostre que as condições de fronteira são atendidas. Calcule também o campo elétrico perpendicular a 1500 metros do ponto de incidência.
63
Solução: Para resolver este exercício utilizamos uma calculadora HP-49G onde às formulas foram programadas, facilitando assim os cálculos. Iremos inicialmente calcular as constantes dos meios, suas impedâncias características e os coeficientes de reflexão e transmissão para cada polarização.
75.0)18.0,043.043.238,30,0169.099.376(
73.0)27.0(
18.0)44.18,043.043.238,30,0169.099.376(
27.0)44.18,043.043.238,30,0169.099.376(
44.18)628.6,30,192.4(
043.043.238)10,5.2,1,200(
0169.099.376)10,1,1,200(
628.600119.0)10,5.2,1,200(
192.410*88.1)10,1,1,200(
0
00
00
00
5
2
6
1
5
2
46
1
jj
jj
jj
jZ
jZ
j
j
T
Deste modo as constantes dos meios são:
Meio Constante de atenuação (α) Constante de propagação (β)
1 1.88*10-4 4.192
2 0.00119 6.628
As condições de fronteira dizem que os campos elétricos tangenciais devem ser iguais na divisa dos meios. Assim deve-se ter sabendo-se que o campo incidente em cada polarização
vale: mVEi /14.142
20
No meio 1 na divisa o campo elétrico tangencial na polarização perpendicular vale: mV /32.1014.14*)27.0(14.14
No meio 2 na divisa o campo elétrico tangencial na polarização perpendicular vale: 0.73*14.14 = 10.32 V/m. Assim vimos que na polarização perpendicular a condição de fronteira é atendida. Vejamos agora na polarização paralela: No meio 1 na divisa o campo elétrico tangencial na polarização paralela vale:
06.1030cos*14.14*)18.0(30cos*14.14
No meio 2 na divisa o campo elétrico tangencial na polarização paralela vale: 0.75*14.14*cos 18.44 = 10.06 V/m. Deste modo provamos que também nesta polarização a condição de fronteira é obedecida. Finalmente vamos calcular o campo elétrico na polarização perpendicular a 1500 metros de distância do ponto de incidência da onda:
mVeET /73.1*14.14*73.0 1500*00119.0
3.9.2 Exercícios Propostos a) Em um pedaço de material com 20 cm de comprimento e com constantes dielétricas dadas por σ = 0.01 S/m e εr = 4-j, aplica-se um tensão de 100 V na freqüência de 10 Mhz. Quais as correntes de condução e deslocamento que passam no material? b) Determine a constante na freqüência de 200 Mhz para os seguintes materiais
Material r
r
64
A 6 1 0.1
B 6-j 1 0.1
c) Determine a impedância característica dos seguintes meios na freqüência de 500 MHz
Meio r
r
A 1 1 0.1
B 4-0.5j 1 0.001
C 1 1 106
d) Determine os campos elétrico e magnético produzidos por um transmissor com potência de 2000 W na freqüência de 300 MHz á 5 km de distância do transmissor, considerando a existência de espaço livre. e) Qual o coeficiente de reflexão nas polarizações vertical e horizontal de uma onda plana na freqüência de 4 GHz que incide no solo apresentando εr = 10 e σ = 3mS/m com ângulo de 20 ?
4 Conceito de espaço livre e Cálculo de atenuação
4.1 Conceito de onda plana Iremos agora definir onda plana, apresentar suas equações e verificar as condições necessárias para seu aparecimento.
4.1.1 Definição de onda plana
Um radiador isotrópico, ou seja uma antena que irradia uniformemente em qualquer direção, cuja existência é fictícia devido a impossibilidade física de sua construção, produz um campo elétrico na região de campo distante em um meio sem obstáculos dado pela seguinte fórmula:
)(
cos2
1
rtjro
jwtr
eer
VE
eeP
rE
(IV.1)
onde = + j é a constante de propagação do meio, η é a impedância intrinsica do meio
dada por je e " r " é a direção de propagação onde pretendemos calcular o campo
elétrico. O campo elétrico estará sempre numa direção perpendicular a r. A constante " Vo"
depende da potencia usada e do meio valendo:
cos20
PV
Para a troposfera que pode ser considerada um meio sem perdas, com 120 a
expressão do campo fica: r
PE
30
Sabemos que num meio sem perdas = 0. A uma distância grande do transmissor, esta onda eletromagnética pode ser considerada como uma onda plana, e é por esta razão que as ondas planas são consideradas na prática como as ondas que são geradas pelos transmissores, e são estudadas para efeito de propagação em ambientes abertos.
65
Uma outra consideração a fazer é que para efeito de propagação, primeiramente vamos considerar uma onda plana propagando-se no espaço-livre. O conceito de espaço-livre é portanto um conceito importante. Assim, podemos perguntar: O que é espaço-livre? A primeira vista parece ser o espaço situado a muitos quilômetros de altura, onde não existam obstáculos nenhum à vista. Sim, este é realmente o conceito acadêmico de espaço-livre. No entanto na prática, demonstra-se que uma onda plana, propagando-se numa certa direção "r", necessita apenas de um espaço limitado ao redor de sua direção de propagação, para podermos considerá-la como se estivesse trafegando numa região do espaço infinito.
4.1.2 Equação do campo de uma onda plana
Supondo agora um transmissor fornecendo uma potência P1 a uma antena que irradie igualmente em todas as direções e colocada no espaço livre, estando o receptor a uma distância r do transmissor, o vetor de Poynting, a esta distância r é dado por:
SP
r
124 .
W/m2 (IV.2)
O valor médio do vetor de Poynting produzido por uma onda plana é :
S = ErmsHrms (IV.3)
Hrms é dado por 120
rmsrms
EH , onde 120 (ou 377 ) é a impedância característica do
espaço livre. Substituindo em (3) temos:
120
2
rmsES W/m2 (IV.4)
Utilizando as equações (4) e (2) e resolvendo para Erms temos:
r
PErms
130 V/m (IV.5)
Supondo que a antena utilizada seja uma antena diretiva com ganho G1, onde G1 mostra
quantas vezes a potência aplicada ao radiador isotrópico precisaria ser aumentada para se produzir o mesmo campo produzido pela antena diretiva, ficaremos com a seguinte expressão, válida na direção que apresenta o ganho G1 :
r
GPErms
1130 V/m (IV.6)
Utilizando um sistema de medidas mais conveniente, onde P1 é dado em Kw, r em Km e o
campo em mV/m, a equação (6) fica:
r
GPErms
11173 mV/m (IV.7)
4.2 Verificação da existência de espaço livre
66
O conceito prático de espaço-livre, deve-se ao atendimento de duas regras a saber: a) Não existência de obstáculos dentro de um certo volume definido no entorno da reta que une o ponto de geração dos sinais elétricos e o ponto onde desejamos recebe-los. b) Somente uma direção de campo elétrico atinge o ponto de recepção. Em outras palavras, não existem ondas eletromagnéticas refletidas no ambiente considerado. Caso, estas duas condições, sejam atendidas, podemos afirmar que existe espaço-livre entre o transmissor e o receptor. Vamos agora, quantizar o volume necessário exigido pela primeira condição. Consideramos então uma onda plana propagando-se numa certa direção "r".
Er
Es
n
Figura 1
Seja "Es" o campo elétrico nesta onda plana. Pelo princípio de HUYGENS o campo elétrico
"E", a uma distância “r” desta frente de onda, pode ser calculado por:
dsn
E
r
e
r
e
nEE
s
s
jKjK
s
nn
4
1
(IV.8)
onde "n" é o vetor normal a onda plana Es .
A integral deve ser calculada em todos os pontos da onda plana. Consideremos a seguinte situação, onde a onda plana foi gerado pelo ponto "P" e queremos calcular o campo elétrico no ponto "T". A figura 2 mostra uma frente de onda plana, perpendicular a reta que une o transmissor (P) ao receptor (T). Esta reta intercepta a onda plana no ponto (O). Com centro neste ponto (O), façamos círculos concêntricos nesta frente de onda plana. Nestes círculos a distância dos mesmos aos pontos "P" e "T" será sempre constante. A partir desta idéia, Fresnell desenvolveu o seguinte raciocínio:
67
OP Td d1 2
n
1
R
R
Figura 2
Fazendo-se um corte, vemos:
P TOd d1 2
R
r
R
r
1
1
n
n
Figura 3
Sendo d1 e d2 as distâncias aos pontos "P" e "T" respectivamente, perpendiculares a ONDA-
PLANA. Com centro no ponto "O" faremos círculos concêntricos na onda plana, onde seja satisfeita a seguinte condição:
PRn + RnT = d1 + d2 +n /2 (IV.9)
Isto quer dizer que o primeiro circulo ( n = 1) define o lugar geométrico sobre a onda plana, onde a soma da distância do ponto "P" a este circulo, mais a distância deste circulo ao ponto
"T" não excede a distância perpendicular (d1 + d2 ) em /2, ou seja, o círculo é definido
como o lugar geométrico onde:
PR1 + R1T = d1 + d2 + /2.
Assim, para qualquer ponto interior ao circulo devemos ter:
PRi1+ Ri1T d1 + d2 + /2 (IV.10)
onde Ri1 representa um ponto genérico qualquer interior ao círculo definido pelo raio r1.
Da mesma forma podemos definir o círculo de raio r2 onde tenhamos:
68
PR2 + R2T = d1 + d2 +2 /2 (IV.11)
Veja que para qualquer ponto interior ao circulo devemos ter:
(PR2 + R2T) - (d1 + d2) < 2 /2 .
Generalizando para um círculo de raio rn :
(PRn + RnT) - (d1 + d2) = n /2 (IV.12)
Usando este raciocínio FRESNELL pensou na integral definida pela equação (8) como numa soma da contribuição de cada ponto da frente de onda (Princípio de HUYGENS), onde existem regiões onde estas contribuições se somariam e regiões onde estas contribuições se anulariam. Isto se devendo a diferença de fase entre os pontos, no interior de cada círculo. Note-se que, no interior do primeiro círculo (n = 1) todos os pontos contribuem para o campo
elétrico em "T" com uma diferença de fase menor que /2 em relação ao ponto central "O". No espaço entre o primeiro e o segundo circulo (n = 2) todos os pontos contribuem para o
campo elétrico em "T" com diferença de fase entre e /2. Continuando este raciocínio, teríamos círculos com contribuições do tipo:
Figura 4 ou seja, círculos com contribuição positiva e contribuição negativa, a depender do defasamento . A contribuição do círculo 2, cancela com a do circulo 3, a contribuição do círculo 4 cancela com a do círculo 5 e assim por diante, ficando praticamente somente a contribuição do primeiro círculo. Ou seja, tudo se passa como se a integral definida pela equação (8) ao invés de ser feita sobre toda a onda plana, fosse definida pela área do círculo 1. A realização da integral (8) sobre toda a superfície, ou somente sobre o círculo de raio r1 leva
a resultados praticamente iguais, confirmando o raciocínio de FRESNELL. Estes círculos ficaram conhecidos como Zonas de Fresnell. Ficando o primeiro círculo conhecido como Primeira Zona de Fresnell. Vejamos como calcular estas zonas. Vimos que as mesmas são definidas por:
PRn + RnT = d1 + d2 + n /2 (IV.13)
Da figura 3 podemos escrever:
69
PR n n
nd r d
r
d 1
2 2
1
2
12 ,
pois estamos supondo que d1 >> rn .
Do mesmo modo TRnn
dr
d 2
2
22 .
Substituindo estes valores na equação (13) resulta em:
r
d dn
n2
1 22
1 1
2
(IV.14)
ou seja rd d n
d dn 1 2
1 2
(IV.15)
Para n=1 temos a primeira zona:
rd d
d11 2
, onde d = d1 + d2 (IV.16)
Expressando a fórmula anterior (16) em unidades práticas, ou seja d , d1 e d2 em Km e f em
MHz, lembrando que = 3x102/fMhz resulta:
1
211
*
547
rnr
fd
ddr
n
, expresso em metros (IV.17)
para d , d1 e d2 expressos em Km e f em MHz.
Caso calculemos "r1" para diversos valores de d1 e d2 ao longo do trajeto entre os pontos
"P" e "T" a figura obtida será a de um elipsóide de revolução, onde os pontos "P" e "T" se encontram nos focos. Este elipsóide é chamado de ELIPSÓIDE DE FRESNELL, e o mesmo delimita o volume entre transmissor e receptor que deve ficar livre de obstáculos para que possamos considerar a propagação dos sinais, como no espaço-livre. A título de esclarecimento, fica a observação que embora a fórmula (17) indique nos focos r1 = 0, isto não é verdadeiro. Lembre-se que a mesma é proveniente da consideração d1 ,d2
>> r1 o que não é verdade próximo ao foco.
4.3 Cálculo da atenuação total
Chamamos de atenuação total a relação entre a potência transmitida e a potência recebida, ou seja:
AP
PTT
R (IV.18)
Onde:
PT Potência transmitida
PR Potência recebida
70
AT Atenuação total
Convém entender que esta atenuação não é devida à perdas no meio, e sim devida basicamente a dispersão do sinal transmitido.
Caso o meio onde o sinal trafegue seja um meio com perdas ( 0 ), a atenuação total aqui apresentada será bem maior. As fórmulas a seguir deduzidas, dizem respeito a propagação em meio sem perdas. O valor da intensidade de campo recebido em um receptor depende de: A) - Potência do transmissor B) - Ganho das antenas de transmissão e recepção C) - Perdas nos cabos coaxiais que unem as antenas aos equipamentos de transmissão e recepção D) - Perdas nos conectores usados nos cabos coaxiais E) - Perda de potência devido ao espalhamento do sinal. Esta perda é calculada como perda no espaço livre. F) - Perda de potência devido a obstáculos existentes no percurso entre transmissor e receptor. Também incluímos nestas perdas a possível existência de sinais duplos no receptor causados pela reflexão do sinal principal no solo. A relação entre a potência na saída do transmissor ( PT ) e a potência recebida na entrada
do receptor (PR ) é conhecida como atenuação total do enlace ( AT ).
R
TT
P
PA , mas como
obsconcEL
RTTR
AAAA
GGPP
(IV.19) , onde
GT Ganho da antena transmissora
GR Ganho da antena receptora
AEL Atenuação do espaço livre
Aobs Atenuação de obstáculo
Ac Atenuação dos cabos
Acon Atenuação dos conectores
Assim exprimindo-se (IV.19) em db resulta:
RT
obsconcELT
R
T
GG
AAAAdbA
P
Plog10)(log10 (IV.20)
AT (db) = AEL + Ac + Acon + Aobs - (GT + GR) (IV.21)
As atenuações de cabos e conectores são fornecidas pelos fabricantes, bem como o ganho
das antenas. Para conectores do tipo "N" e "UHF" as perdas chegam no máximo a 0,5 dB
por conector.
71
Para os cabos coaxiais a atenuação em dB/100m é dada pela fórmula:
A db m K f K f( / )100 1 2
Onde:
f Frequência de operação em MHz
K1, K2 Coeficientes fornecidos na tabela 2
Zo Impedância característica
V Velocidade de propagação (dada em % em relação a c =
3x108 m/s)
A seguir mostramos os valores dos parâmetros acima para alguns tipos de cabos
coaxiais, existentes no mercado.
TABELA 2
CABO K1 K2 Zo V(%)
RG 213 U 0,571 0,00903 50 67
RG 213 celular 0,409 0,00162 50 82
RG 058 U 1,625 0,00317 50 67
RGC 058 celular 0,933 0,00157 50 82
CELL-FLEX 7/8" 0,125 0,0005 50 87
RG 011 U 0,622 0,00671 75 67
RG 059 U 1,121 0,00823 75 67
RGC 059 0,736 0,00556 75 82
Antes de prosseguirmos com a demonstração do cálculo da atenuação devido ao espaço
livre, vamos relembrar o conceito de área elétrica de uma antena, pois este conceito nos
será muito útil.
Podemos considerar que uma antena funcione como um coletor de energia, onde é possível
determinar uma certa abertura por onde temos a recepção desta energia. Assim, podemos
imaginar que uma frente de onda plana chegando a este "receptor" se depare com uma
certa área correspondente à abertura do "receptor" considerado (figura 5). Então, podemos
associar esta área a quantidade de energia recebida pela antena. Sabemos que o
responsável pelo transporte de energia em uma frente de onda é o vetor de Poynting, que é
dado em potência por unidade de área, assim, parece coerente construirmos a seguinte
relação que define a área elétrica de uma antena:
)(
)(
2m
WS
PA
W
E (IV.22)
72
Onde:
AE = Área elétrica da antena.
P = Potência disponível na saída da antena.
S = Vetor de Poyting que atinge a antena.
1O comprimento elétrico “hE” de uma antena vale:
hG R
E
.
120 (m)
onde G = Ganho da antena. R = Resistência de radiação da antena.
Vale lembrar que a área elétrica de uma antena não é representada pela área física da
mesma. A área elétrica depende de fatores não só geométricos de construção, como
também de outros fatores tais como ganho, rendimento e frequência de operação. Podemos
ver dois exemplos da diferença entre área física e área elétrica na figura 6, onde na letra (a)
vemos um radiador isotrópico onde sua área elétrica é igual a área de um círculo de raio
/2 e na letra (b) um dipolo de meia onda, onde a área elétrica pode ser aproximada pela
área de um retângulo de lados /2 e /41e 2.
2 A área elétrica de um radiador isotrópico é igual a
2
4 e a área elétrica exata de um dipolo de meia
onda é igual a 1 644
2
,
. De um modo geral A = G .
4EL
2
73
Figura 6 A tensão induzida V em um receptor, casado com uma antena submetida á um campo E vale:
2
EhEV
A atenuação do espaço-livre é dada pela seguinte equação, que deduziremos a seguir:
E
rT
A
P
d
PS
24 (IV.23)
S Vetor de poynting do sinal transmitido em W/m2
d Distância do transmissor ao receptor em m
PT Potência do transmissor em Watts
PR Potência que chega no receptor em Watts
AE Área elétrica do ponto de recepção (radiador isotrópico) em m2
Comprimento de onda em m
GAE
4
2
(IV.24)
P
d
PT R
4 24
2
(IV.25)
Considerando que estamos no espaço-livre e que tanto transmissor como receptor , estão
utilizando diretamente radiadores isotrópicos, cujo ganho é unitário e não temos perdas em
cabos e conectores. Neste caso AT = AEL.
2
222164
dd
P
P
R
T
, como:
f
8103 (IV.26)
f frequência da onda em Hz
22
16
2
109
16fd
P
PA
R
TEL
(IV.27)
74
Expressando d em Km e f em MHz obteremos:
22126
16
2
1010109
16MHzKmEL fdA
(IV.28)
Aplicando 10 log AEL para obtermos a atenuação em db teremos:
)log(20)log(209
10016log10)(
2
MHzKmEL fddbA
(IV.29)
AEL = 32,4 + 20log (dKm) + 20 log (fMHz) dado em db (IV.30)
De modo análogo se desejamos calcular o campo na recepção faríamos:
1204
2
2
RT E
d
PS , onde ER é o campo elétrico na recepção em V/m.
2
2 30
d
PE T
R logo d
PE
T
R
30 (IV.31)
Expressando-se a potência em KW e a distância em Km, teremos:
Km
TKW
Km
TKW
Km
TKW
Rd
P
d
P
d
PE 173
10
173
10
103033
3
(mV/m) (IV.32)
onde o campo ER é dado em milivolts/metro.
Esta é a expressão que nos permite calcular o campo elétrico no espaço-livre a uma
distância "d" de um transmissor com potência "PT" irradiada por uma antena isotrópica.
Como:
4120
22
EER AeE
SeASP
22
2
22
222
16480
30
4120
d
P
d
PEP TT
R
(IV.33)
e 2
2216
d
P
P
R
T (IV.34) expressão análoga a (IV.27)
Alem desta perda no espaço livre que acabamos de ver e que na realidade não é perda e sim a disperção da potencia da onda ao atingir áreas cada vez mais distante do transmissor, pode-se ter em um enlace obstruções no caminho das ondas, as quais vão ocasionar agora sim perdas no valor do campo elétrico. Estas perdas são denominadas perdas por obstáculos. O cálculo da atenuação de obstáculo pode ser feito pela norma Sn/92 publicada no Diário Oficial da União (D.O.U.) de 10/09/92, a qual passamos a comentar. Esta norma considera, para cálculo da atenuação por obstáculos, sempre os mesmos como sendo morros do tipo “gume de faca” levando em conta a espessura dos mesmos no cálculo da atenuação da curvatura da Terra. Como morros “Gume de Faca”, deve-se entender morros muitos finos, assemelhados a espessura da lâmina de uma faca. Podemos, ao invés de usarmos esta norma proceder ao cálculo desta atenuação conforme artigo publicado pela revista Telebrás de Março/85(11). Neste caso estamos usando para cálculo dos obstáculos considerações como morros com curvatura do tipo parabólica, sendo esta teoria baseada na difração de uma onda plana
75
sobre uma esfera. Apresentamos a seguir, uma demonstração do cálculo da atenuação do obstáculo gume de faca, e obstáculos arredondados. Cálculos por nós realizados nos levaram a concluir que os dois métodos aqui comentados, levam a valores de atenuação bastante parecidos.
4.4 Perda devido a obstáculos gume de faca
4.4.1 Princípio de huygens
O princípio de Huygens nos diz que: "Cada ponto de uma frente de onda principal pode ser considerado como fonte de uma nova frente de onda secundária". Atualmente, este princípio foi modernizado por SCHEKUNOFF, que nos diz: "O campo numa região pode ser determinado pelas fontes existentes nesta região e pelas componentes tangenciais dos campos eletromagnéticos na fronteira desta região". Este teorema introduziu as correntes equivalentes magnéticas e nos permite, caso saibamos o campo em uma frente de onda, acharmos o campo em qualquer ponto. Assim, o campo
produzido por um elemento "s" de uma frente de onda plana num ponto "P" distando R2
desta frente e para R2 >> vale:
y e R.2
s.Ej = dE 2Rj-
2
o
(IV.35)
Figura 7
O campo total em "P" vale:
x ysdE dydx e
R.2
sEj = = E 2Rj-
2
o
(IV.36)
Agora esta frente de onda Eo foi produzida por uma fonte e podemos expressar:
1Rj-
1
o e R
V =
oE (IV.37)
Assim de acordo com a figura 8 podemos escrever:
76
Figura 8A Figura 8B
2
2
222
22
2
2 d +y + x= )+(d = R (IV.38) como d2>> deduz-se que
2
22
22d
y + x (IV.39)
Da mesma forma:
1
22
12d
y+x
Assim, podemos escrever, substituindo (37) em (36):
x
) ( ) d + d (j-
21
o dydx e RR.2
Vj = 2121
y
jeE
(IV.40)
Fazendo d = d1+d2 e substituindo as expressões (39) na fórmula acima:
x y
)y + x( j-d j-
21
o dydx e e R R 2
Vj = E
22
2 1d 2dd
(IV.41)
onde consideramos no denominador R1 d1 e R2 d2.
Integrando de - a +, isto é, utilizando uma onda plana e infinita, o resultado é:
d j-o e d
V = E (IV.42)
Como teríamos achado sem usar o princípio de Huygens.
4.4.2 Atenuação por obstáculo Gume de Faca
Agora vamos supor que exista um obstáculo bloqueando a frente da onda no sentido x. Temos, então que recalcular o campo no ponto "P", para tanto, supomos que a frente de onda plana antes considerada infinita em ambas as direções, após passar pelo obstáculo continue infinita na direção y, mas agora só exista acima do obstáculo considerado, na direção x.
77
Figura 9 Ao calcularmos o campo em "P" ficaremos então com:
dx dy e dd 2
Vj =E
+
h
) y + x(.d.d2
+
-
dj-
21
o
c
22
21
dj
e
(IV.43)
Onde o obstáculo, determina os novos limites da integração.
Seja 21d2d
d j =
a , assim nossa integral fica:
+
h
) x( a- d j-
21
o
c
2
dxee a
dd 2
Vj = E
(IV.44)
Seja 22 u 2
j =ax
,
então du 2a
j =dx
e ainda
F
cc
21
ccr
h = h
d
d = h
a = H
dj
onde d
d21F
d = r
Então teremos:
du e 2
1
d
V = E
c
2
H-
2
uj-
o
(IV.45)
Chamando
c
2
H-
2
uj-
d du e 2
1 = F
(IV.46) , temos:
do
o F d
V=E (IV.47)
Onde Fd representa a atenuação que a frente de onda sofre devido ao obstáculo. Quando
Fd = 1, significa que a frente de onda não sofre atenuação alguma.
78
A integral mostrada em (46) encontra-se em forma de gráfico e nos dá a atenuação que sofre um sinal devido a um obstáculo deste tipo sabendo-se a folga "hc" devemos considerar
“hc” como negativo quando o obstáculo for inferior à linha visada.
O fator d
dd 21 é denominado raio da 1a zona de Fresnell e conforme demonstrado pode
ser expresso na forma fd
dd547 =r 21
F , considerando f em MHz e as distâncias em Km, com
rF sendo dado em metros.
Assim, F
cc
r
h= H , onde Hc expressa a porcentagem com que um dado obstáculo invade a
zona de Fresnell. Note que quando Hc< 0 o obstáculo está abaixo da linha de visada (existe
folga) e quando Hc > 0 o obstáculo está acima da linha de visada (existe obstrução).
Esta zona de Fresnell representa um elipsóide com focos nos pontos de transmissão e recepção e representa a região do espaço onde a potência está concentrada. Basta que este elipsóide esteja livre de obstáculos e tudo se passa como se estivessemos no espaço livre (supondo não existirem raios refletidos).
A curva da atenuação por gume de faca (=0), mostrada na figura 14, permite o cálculo desta atenuação.
Figura 10
4.4.3 Cálculo da atenuação devido à obstáculos arredondados
O cálculo da atenuação devido à obstáculos arrendondados consiste em considerarmos o obstáculo como sendo um morro cujo topo pode ser aproximado por uma parábola e a partir desta consideração calculamos a perda devida à difração do sinal sobre esta parábola. Assim, a perda a ser calculada pode ser dividida em duas parcelas: A primeira parcela, é correspondente à perda de potência decorrente da obstrução do elipsóide de Fresnell por um obstáculo do tipo gume de faca. O seu cálculo pode ser feito conforme demonstrado no ítem anterior. A outra parcela tem por objetivo acrescentar uma perda que leva em consideração a curvatura do morro, já que no cálculo utilizando um obstáculo do tipo gume de faca estamos desprezando a espessura do mesmo. Esta parcela, leva em consideração somente a curvatura no topo do obstáculo. Como já foi mencionado antes, fazemos uma aproximação do topo do obstáculo utilizando uma curva parabólica cujo raio de curvatura no vértice pode ser obtido conforme a fórmula:
-32
10 . 8y
x R (Km) (IV.48)
Onde:
79
X Distância em metros entre dois pontos de igual nível, sendo um
em cada lado do pico considerado.
Y Diferença de cota em metros entre o pico do obstáculo e a curva
de nível considerada para a medida X.
A figura a seguir tenta melhor esclarecer.
Figura 11
Assim, com o valor de R, calculamos o fator que relaciona a frequência, a curvatura da
parábola e a distância do vértice do obstáculo ao ponto de recepção e transmissão.
21
213
6 .
d R
f
1 0,818 =
dd
d (IV.49)
Onde: R = Raio de curvatura do obstáculo em Km.
d1 = Distância do vértice do obstáculo ao ponto de transmissão em Km.
d2 = Distância do vértice do obstáculo ao ponto de recepção em Km.
f = Frequência em MHz.
Entrando-se na curva mostrada no final do capítulo, com este fator "α" e o coeficiente h
r
c
F
visto no item anterior, podemos então calcular esta perda.
Para melhor aproximação o raio da curvatura deve ser calculado para diversos pontos do
obstáculo, tomando-se seu valor médio.
i
2
ii
1=i
i
8y
x = R onde ,
n
R
= R
n
(m)
Ao invés da fórmula acima (IV.49), podemos usar Fr
r =
31
32
(IV.50) , onde todos os
parâmetros devem possuir a mesma unidade.
80
Comprimento de onda.
r raio de curvatura do obstáculo.
rF Raio da 1a zona de Fresnell.
A fórmula (IV.49) vem de (IV.50) expressando-a em outras unidades. Para cálculo do raio de curvatura dos obstáculos, consideramos para enlaces obstruidos,
apenas a porção do morro que fica acima da linha de visada.
Figura 12
Somente o trecho compreendido entre os pontos “1”e “2” da figura 12 é usado para o cálculo do raio de curvatura. Quando o obstáculo situar-se abaixo da linha de visada, usaremos para cálculo do raio de curvatura, a parte do obstáculo que fica dentro do primeiro elipsóide.
Figura 13
Somente o trecho entre os pontos 3 e 4 da figura 13 é usado para cálculo do raio de curvatura.
A curva apresentada na, figura 14, para 0 permite o cálculo desta atenuação.
A
altímetros, 37, 38 área elétrica, 72, 73, 92 atenuação de obstáculo, 75, 126, 130, 131, 135 atmosfera, 3, 6, 7, 8, 13, 14, 15, 19, 20, 25, 27, 36, 41, 61, 95,
96, 97, 102, 110 Azimute, 3, 29
B
bússolas, 29, 37
C
camada de ozônio, 6 campo distante, 3, 59, 60, 61, 65
campo magnético, 7, 47, 48, 54 campos elétricos e magnéticos, 53, 54, 55, 62
Cartas digitalizadas, 28
Cartas topográficas, 28 CIM, 28 coeficiente de reflexão, 16, 25, 36, 37, 46, 55, 64, 83, 93, 98,
101, 103, 105, 121, 122
comprimento elétrico, 72 condutividade elétrica, 48 constante de propagação, 65 constante dielétrica, 48
convergencia meridiana, 28 correntes elétricas, 47 corrigir o perfil, 41
cotas de referência, 30 curva de nível, 30, 79 curvatura da onda eletromagnética, 18
D
Datum, 28 declinação magnética, 28 Declinação Magnética, 7
81
densidade de elétrons, 6, 7, 9, 22, 104 diferença de altura entre dois pontos, 3, 39 dipolo elétrico, 3, 58, 59, 61, 95, 141 distância do horizonte, 43, 46
distância entre dois pontos, 3, 29, 38 distância ortodomica, 29
E
ELIPSÓIDE DE FRESNELL, 70 equação da onda, 49, 50, 52, 108, 141, 142 equações de Maxwell, 47, 49, 53, 96, 107 espaço-livre, 65, 66, 70, 73, 74, 75, 82
estratosfera,, 6
F
frequência de colisão, 7, 9, 16, 22
frequência MUF, 21 fusos horários, 28
G
GPS,, 38
I
impedâncias intrínsecas dos meios, 55 índice de refração, 3, 9, 12, 13, 17, 18, 19, 20, 21, 25, 40
ionosfera, 3, 6, 7, 14, 15, 16, 20, 21, 22, 25, 101, 103, 105
L
lei de Snell, 55
O
obstáculo Gume de Faca, 4, 77 obstáculos arrendondados, 79 onda plana, 4, 52, 53, 54, 63, 64, 65, 66, 67, 68, 69, 72, 75,
76, 77
P
perfil do terreno, 30 potencial magnético, 3, 48, 54, 59, 62, 95 Princípio de HUYGENS, 68
R
radiações ultravioleta, 6 raio da curvatura, 17, 40, 80
raio de curvatura, 18, 39, 79, 80, 81, 132, 134, 137 Raio de curvatura da luz, 40 raio efetivo da Terra, 19, 37, 106 reta interpoladora., 33
reta media, 33, 35, 46, 106, 121, 122 rugosidade de um perfil, 34
S
SGB, 28
T
teodolitos,, 37 Terra plana, 42, 44, 46, 105, 106
Terra plana equivalente, 44, 106 tipos de cabos coaxiais, 71 tipos de solo, 57
troposfera, 6, 7, 8, 9, 12, 13, 14, 17, 48, 57, 65
V
vapor d'água, 6, 7, 8, 9, 12 vetor de Poynting, 65, 66, 72
Z
zona de silêncio, 25 Zonas de Fresnell, 69
Figura 14
Alternativamente pode-se usar as seguintes formulas que substituem o ábaco da figura 14,
para calculo da atenuação por obstáculos.
),(),0()0,(),(
2 1
6/1
vUAvAvAA
R
hv
obs
F
c
O valor de A(v,0) é dado por:
2.4 vpara )/225log(.20
4.21 para ]))1.38(.1184(.4log[.20
10 para )5log(.20
08. para )62.5log(.20
2/12
95.
v
vv
ve
vv
v
O valor de A(0,ρ) é dado por:
4.1 para 75.63.302.219.76 432
82
O valor de U(v,ρ) é dado por:
2 para 3.14)log(2022
2 para 7.66)1log()5.236.43(
vvv
vvvv
4.5 Reflexão de ondas na superfície terrestre
Como segunda condição para termos espaço-livre, vimos que, não podemos ter o aparecimento dos raios refletidos. A demonstração a seguir mostra, que o aparecimento destes raios refletidos ocasionam alteração no sinal. Quando transmitimos ondas eletromagnéticas de um ponto a outro parte destas ondas acabam indo em direção ao solo onde causam um fenônemo chamado de reflexão. Considere a situação apresentada na figura 14 onde um raio refletido no solo atinge a antena receptora.
A
B
C
r
h1h2
Figura 14 O caminho percorrido pelo raio refletido é r2 = AC + CB, logo a diferença de caminho entre o
raio refletido e o raio direto é r = AC + CB - AB (51). Levando em conta o fato do caminho do raio refletido ser maior que o raio direto teremos m
deslocamento de fase de 2
r entre o raio direto e o raio refletido.
Com o auxilio da ótica geométrica é possível deduzir-se a equação que permite o calculo do campo elétrico em ambiente com dois raios, isto é considerando-se a existência de dois campos na recepção, um formado pela onda direta e o outro pela onda refletida. Para isto iremos considerar a figura 15. Vamos supor que um transmissor localizado em “T” esteja transmitido uma potencia efetivamente irradiada “P” e seja o coeficiente de reflexão ar-solo
dado por: jR Re.
. Vamos supor ainda que a distância entre “T”e “R” seja muito maior que
as alturas h1 e h2 , e que a reflexão ocorra sobre uma superfície plana. Deste modo pode-se escrever com o auxilio dos triângulos que podem ser vistos na figura 15 as seguintes relações:
83
R
h2
T
h1
R
R1
d
d1 d2
R2
d
hhr
d
hhd
d
hhdhhdrr
d
hhd
d
hhdhhdr
d
hh
rrrr
21
2
2
21
2
2
212
21
2
21
2
2
21
2
2
212
21
2
21
21
2
:quededuzir se-pode Assim
)2
)(1(
)(1)(
)2
)(1(
)(1)(
tan
Deste
Figura 15
O campo no receptor pode ser considerado como sendo formado pela frente de onda proveniente do transmissor dada por:
RD EEE onde:
84
cos1
sintan
cos21)sin()cos1(
:onde 30
)Re(1d
30P
:assim -4
:chamarmos e
propagação pela isresponsave termososomitir se-Pode
)eRe(1ed
30PE
refletido do e direto campo do soma a sera totalcampo O
livres. estejam refletido raio do lados dois os para
como direto raio o para tantoFresnell de elipsóides os que
supondo estamos expressões estasescrever ao que Note
refletido campo o é este Re30
direto campo o é este 30
1
222
j-
2
)(
jwt)-rj(-rj-
R
)(
R
R
RRRRF
Fed
PE
d
hhr
e
EE
eed
PE
eed
PE
j
h
rwtj
D
jwtrrjj
R
jwtrj
D
O fator jFe é
denominado fator de atenuação devido á reflexão. Para R = 1 e θ = 1800 . Pode-se obter:
)2
sin(2)2
(sin4
)4
cos1(214
cos21
21212
2121
d
hh
d
hh
d
hh
d
hhF
Resultando em:
d
hh
d
PE
212sin
302
Para R = 1 e θ = 00 . Pode-se obter:
)2
cos(2)2
(cos4
)4
cos1(214
cos21
21212
2121
d
hh
d
hh
d
hh
d
hhF
Resultando em:
)2
cos(602 21
d
hh
d
PE
Para situações onde se tem:
85
1R para 30
2
-1R para 430
:campo de valoresos para resultando 1R para 2F
:e -1R para 4
:ficam anteriores expressões As
18
:em implica que o 20ou 9
2
21
21
21
021
d
PE
d
hh
d
PE
d
hhF
hhd
d
hh
Convém notar que na pratica o valor de R=-1 é o que se encontra na propagação sobre a superfície da Terra.
4.5.1 Comparação duplo raio com espaço livre
Quando existir espaço livre o campo eletromagnético produzido por um transmissor com potencia ERP “P” vale:
d
PE
30
Quando existir duplo raio esta expressão se modifica com as condições vistas para:
d
hh
d
PE
21430
Sabe-se que:
4120
22ESAP ER
Substituindo-se a expressão do campo elétrico resulta em:
livre espaço para 40
e raio duplo para )(
22
2
4
2
21
dPP
d
hhPP
R
R
Definindo-se atenuação como: RP
Pa resulta em:
-) Considerando-se duplo raio:
)log(20log40120
:db em )(
10
21
2
21
412
hhda
hh
da
km
km
-) Considerando espaço livre:
86
Mhzkm fda
f
da
log20log204.32
:db em oexpressand e 103
que lembrando )(40 8
2
2
4.5.2 Enlaces com e sem linha de visada
Enlaces como o apresentado na figura 16 apresentam trecho com visada e trecho sem visada. Para o trecho com visada devem ser aplicadas as técnicas de enlaces sem obstrução e para o trecho sem visada devem ser aplicadas as técnicas de enlaces com obstrução.
Figura 16
4.6 Exercícios Vamos resolver alguns exercícios para consolidar o que foi visto e vamos deixar alguns exercícios para serem resolvidos pelo leitor.
4.6.1 Exercicios Resolvidos
EXERCÍCIO 1
Seja o seguinte o perfil já corrigido:
Calcule a perda por obstrução com F=2GHz. Considerando: a) Morro como gume de faca. b) Morro do tipo
87
Solução: a)
r
h
F
LV
54720 30
2000 5042 4
5010310
200
20103
3
3
m
TAN =(350- 200)
hLV=260 m = Altura da linha de visada.
hOB(obstrução)= hM-hLV=324 - 260 = 64 m h
r
OB
F
64
42 415
Do gráfico com hOB/rF=1,5, =0 . Resulta aOB=19 d
b)
300
20000 15
8
410
8 64312510
0 15 312510
42 40 21
2 3 2
4
423
13
23
13
,
( . )
., .
( , ) ( , . )
,,
rx
y
r
r
i
i
F
Do gráfico com hOB/rF =1,5, =0,21. Resulta aOB=26 db EXERCÍCIO 2
Seja o seguinte perfil:
Considerando F=500MHz e k=4/3, calcule a perda por obstáculo.
88
Solução:
a) Perfil corrigido
hd d
KR
d dP k m
r m
TANh
t
F
LV
1 2 1 2
3 3
2 174 3 22
5471525
500 4075
290 150
4010
150
2510
( / / )
.
.
( )
.
( )
.
hLV 238,0 m hM=306+22=328 m hOB=hM-hLV=328-238=90 m
300
5000 6
90
751 2
700
8 90
650
8 75
550
8 40
500
8 20
400
810
51178
0 6 1178
750 1
2 2 2 2 2
23
13
h
r
r
e
OB
F
Tabela:h r a dbF OB/ , ,
,
1 2 20 5
0 1
EXERCÍCIO 3
Seja o perfil:
Considerando k=4/3, f=500 Mhz, PA=100 w, GA=13 dBi.Qual o campo elétrico no ponto B, supondo: a)Morro como gume de faca.
b)Morro como
89
Solução:
a)
TANx
x
d d
= 140
40.000
(altura do feixe)
h m
R m
h m
h
h
h
R
T
F
morro
feixe
OB
OB
F
25 00087 5
87 5 150 237 5
17
15 25
1722
54715 25
500 4075
22 306 328
237 5
90 5
90 5
751 21
1 2
Gráfico com h
rF
= 1,21
= 0 a = 17,5 db
b)
r
r
4008 10
5008 20
5508 40
6508 75
7008 90
2 3 1 3
2 2 2 2 2
5
1178 2000 1526 945 704 680 5
300
5000 6
0 6 1178
75
0 7110 56
750 1
Gráfico com h
rF
1 21,
= 0,1 a = 20,5 db
10 2013
10 (ganho da antena)
E =
173 0,1.20
406 12 mV / m)
(campo elétrico sem obstáculo)
10 1 7 5
0 816
17 520
,
/ , )
,
= 7,5 (F
mV / m = 6,12
7,5
d
E (Morro tipo Gume de faca)
10 10 620 5
20,
, (F = 1/ 10,6)
E = 0,58 mV / m =6,12
10,6
d
(Morro com Curvatura)
EXERCÍCIO 4 Seja o seguinte caso considerando polarização vertical :
90
r=10 =10-4 [s/m] Considerando: k=1/6, PA=10 w, GA=10 dbi, f=300 Mhz, d=20 Km. Qual o campo elétrico no ponto B?
Solução:
x
y
d
6 371
2420 204 3243 4
20
12
8 5
24204 33 33 360 9 394 22
3243 4
394 22 394 22
3243 4
394 2219 86
3243 4
7827 23
219 86 240 219 86 26184
2
1 1 1
3
, . . (815 ) ,
,(815 ) , , ,
cos,
, . ,cos
,
, . ,cos
,
,
. , ) . , .cos ,
= 65,52
cos(65,52
3
0
d3 = - 5,64 Km d1 = 4,36 Km
d2 = 15,64 Km
91
h h m
h m
TAN = 699,8
15640
= 10 = 90 - 2,56 = 87,44
=300
300
sen 87,44 = 0,999
cos 87,44 = 4,47.10
sen
R
1
1
1
2
1
-4 0
-2
2
V
d
k a
r
1
2 2 6
16
3
2 3
16
3
2 0
0
4
8 136
3
3
2204
4 36 10
2 6 37010204 9 195 05
81515 64 10
2 6 37010815 115 2 699 8
4 47 10 2 56
10
10
2 310 10610 1
87 44 0 998
10
, .
. . .,
, .
. . ., ,
, . ,
. . ..
, ,
(
j j
j j
PG
d
h
610 4 4710 10 610 1
10 610 4 4710 10 610 1
0 447 3
0 447 3
2 553
3 4470 74
173 0 0110
202 78
20 00085 76 4 6 825
4 6 825 1 27 2992 28 0 2992
180
0
3 2 3
3 2 3
2
0
. ). , . .
( . ). , . .
,
,
,
,,
)
, .,
., . ,
. , ( , ) ,
'
R
E =173
1+ 2 R cos ( +4 h
d + R
mv / m
4 .195,05.699,8
V =180
R=0,74
1
'
2
0
, ,
,
2972 53 86
156
0
cos 53,86 = 0,59
F = 1 + 2.0,74.0,59 + 0,74
E = 2,78.1,56 = 4,32 mv / m
2
EXERCÍCIO 5 Sejam duas localidades separadas 30 Km e interligadas por um rádio-enlace, operando em 2,5 Ghz com 10 W de potencia, o enlace apresenta 13,2 db de perda de obstáculo e possue: LOCALIDADE A B Ganho da antena 34 dbi 30 dbi Cabo coaxial cell Flex 7/8” 30 m 20 m Perda nos conectores 0,4 db 0,4 db Pergunta-se: a) Qual o campo elétrico na cidade “B”? b) Qual a potência na entrada do receptor na cidade “B” em dbm? Solução:
92
300
2500012
0125 2500 0 0065 2500 7 5 100
,
, , . , /
m
a mcabo db
Logo; aCABO=2,25 db em “A”. aCABO=1,5 db em “B”. A atenuação de cabo e conector na cidade “A” vale: 2,65 db. A atenuação de cabo e conector na cidade “B” vale: 1,9 db.
2,65 db 1,84 e 1,9 db 1,55
34 dbi 2512 e 30 dbi 1000
13,2 db 4,57 (logo Fd= 1/4,57=0,219) O campo elétrico na cidade “B” vale:
E =173 0,01.2512 / 1.84
mv / m30
0 219 4 67. , ,
A área elétrica de antena em “B”vale:
A mE
2 2
4
012 1000
41146
. ( , ) .,
G
O vetor de Poyting em “B” vale:
S =E
W / m
2
2
377
4 6710
3775 78510
3 2
8
( , . )
, .
A potencia recebida pela antena em “B” vale: PB = 5,785.10-8.1,146 = 6,63.10-8 W
A potencia que chega do receptor vale: PR = 6,63.10-8/1,55 = 4,28.10-8W
Expressando em dbm; PR 10 log (PR/1 mW) = - 43,7 dbm
Calculando a potencia recebida no receptor por outra maneira:
aO=32,4 + 20 log 30 + 20 log 2500 = 129,9 db
a =aO+aOB+aC+aCOM-GA=129,9+13,2+(2,25+1,5)+(0,4+0,4)-(34+30)=83,65 db
P=10 w 40 dbm PR = PT - aT = 40 - 83,65 = - 43,7 dbm
4.6.2 Exercícios propostos EXERCÍCIO 1
93
Estamos transmitindo em “A” 2Kw/60MHz, com antena Omini-Direcional. Calcule o campo
elétrico em “B”, supondo o coeficiente de reflexão igual a 1.
EXERCÍCIO 2
Seja o seguinte perfil, já corrigido;
Calcule a perda por obstrução, supondo F= 1 Ghz e que o morro seja:
a) Do tipo gume de faca. b) Morro como
EXERCÍCIO 3 Sejam: Ponto Distância (Km) Cota (m) Torre (m) A 0 290 -- B 20 300 -- C 50 300 50 Qual a torre necessária no ponto “A” com K = 4/3 e F = 7,5 Ghz para obter-se no ponto c: espaço livre, perda de 6 db e perda de 17 db.
94
5 Equações de propagação das ondas eletromagnéticas
5.1 Introdução O problema de resolver as equações de propagação das ondas eletromagnéticas a grandes
distâncias começou a ser resolvido em 1907 por Zenek, ao provar a existência das
denominadas Ondas de Superfície. Já em 1909, Sommerfeld resolveu pela primeira vez o
problema de propagar-se ondas eletromagnéticas sobre uma superfície plana.
Passaram-se aproximadamente 10 anos quando Weyl apresentou a solução de Sommerfeld
em uma forma mais aprimorada. Novos avanços realmente significativos foram conseguidos
somente em 1936, por Norton. Norton trabalhou com a hipótese da Terra Plana Equivalente
e apresentou uma solução mais elaborada para o uso em engenharia. Essa solução é
utilizada até hoje. No ano seguinte, Van der Pol e Bremmer reestudaram o problema
segundo a hipótese da Terra Curva.
Experiências práticas comprovam que a solução de Norton fornece ótimos resultados para
distâncias "d 0,8dh", (onde "d " distância entre os pontos de transmissão e recepção e
"dh" distância limite de visibilidade sobre a Terra Esférica Equivalente ).
Para distâncias compreendidas no intervalo "0,8dh< d 1,2dh", os resultados obtidos a partir
da solução de Norton são aceitáveis sob uma certa tolerância. Contudo, para distâncias "d >
1,2dh", deve-se utilizar a solução de Van der Pol e Bremmer. Note que nessa solução,
desejando-se considerar a curvatura das ondas eletromagnéticas, é suficiente substituir o
raio real da Terra (a) pelo raio equivalente da Terra (ae).
A propagação de ondas eletromagnéticas pode ser estudada segundo a divisão do espectro
de frequência em quatro faixas de propagação a saber:
1a faixa: propagação entre 3 KHz e 3 MHz;
2a faixa: propagação entre 3 MHz e 30 MHz;
3a faixa: propagação entre 30 MHz e 1 GHz;
4a faixa: propagação acima de 1 GHz.
Vamos neste capítulo apresentar a formulação necessária para o cálculo do campo elétrico
em qualquer das faixas de propagação. Mostraremos ainda que a solução específica para
cada uma das faixas de propagação vem de uma única equação e que tais soluções diferem
entre si de um ou mais termos gerados da solução da equação genérica. Para o
desenvolvimento deste estudo, é importante conhecer o comportamento da Troposfera e da
Ionosfera, vistos no capítulo I bem como a revisão da Teoria Eletromagnética vista no
capitulo III.
95
5.2 Solução de sommerfeld e weyl Inicialmente Sommerfeld estudou o problema de um dipolo elétrico de comprimento "d"
alimentado por uma corrente "I", colocado sobre a superfície da Terra (figura 13).
Figura 1
O meio (1), acima do plano "XY", é a atmosfera e o meio (2), abaixo do plano"XY", é a Terra
considerada plana. Temos por objetivo calcular o campo elétrico em um ponto genérico "P".
Para isto devemos resolver a equação de onda " 2 2 A k A J ", onde "A" é o vetor
potencial magnético, "J" é a densidade linear de corrente elétrica e "k2=2", que
representa o número de onda complexo.
Resolveremos a equação acima para os meios (1) e (2) considerando que no plano "XY" os
campos elétrico e magnético tangenciais são iguais.
Utilizando coordenadas cilíndricas (,,z) teremos:
A iz (V.1)
O problema agora consiste no cálculo de "" que será dado pela soma da solução particular e da solução homogênea da equação diferencial. A solução particular é dada por:
po
jkR
c
I z e
R
4
( ) dz (V.2)
Considerando um dipolo infinitesimal, chegamos a:
po o
jkRP e
R
4
; onde Po = I.d (V.3)
A solução homogênea é dada por:
I
Z
Y
X
d
(1)
(2)
(μ0, ε0)
P (ρ, Φ, Ζ)
(μ, σ, ε)
96
ho o
oq k zP
f q J q e dq
4
2 2
0( ) ( ) (V.4)
A superposição das duas soluções (V.3 e V.4) resulta:
o oo
q k zP e
Rf q J q e dq
4
2 2
0
jkR
( ) ( ) (V.5)
A equação (V.5) para a atmosfera (Z>0) resulta:
Ao o
R
oq k zP e
Rf q J q e dq
A
A
4 1
0
2 2jk
( ) ( ) ;
onde kA
k .0
0 1
.
A equação (V.5) para a Terra (Z<0) resulta:
To o
R
oq k zP e
Rf q J q e dq
T
T
4 2
0
2 2jk
( ) ( ) ,
onde K 2
'
0T K .
A função "f(q)" é determinada pelas condições de contorno que garantem a continuidade dos campos tangenciais elétrico e magnético na fronteira da superfície da Terra com a atmosfera. Assim, Sommerfeld concluiu que:
f qq
q k
k q k k q k
k q k k q k1 2
1
2
2
2 2
1
2
1
2 2
2
2
2
2 2
1
2
1
2 2
2
2( )
(para a atmosfera) (V.6)
f (q)q
q k
k q k k q k
k q k k q k2 2
2
2
1
2 2
2
2
2
2 2
1
2
1
2 2
2
2
2
2 2
1
2
(para a Terra considerada plana)
(V.7) Aplicando as equações de Maxwell e substituindo a expressão do potencial vetor, o campo Ez (para Z>0) é dado por:
Ej
z
1 1 2
2
(V.8)
logo;
E jP e
R
q
q k
k q k k q k
k q k k q kJ qp e q k dqZ
jk R
z
0 0
2
1
2
2
2 2
1
2
1
2 2
2
2
2
2 2
1
2
1
2 2
2
20
2
1
2
04
1
(V.9)
A partir da solução de Sommerfeld, Weyl fez as seguintes modificações, colocando o dipolo a uma altura "h" (figura 14):
97
1
Re
J e
q k q dq
2 2
jkR o
q k zq( )
2 2
0 (V.10)
Para a atmosfera:
dq
zqeP
0 21
222
22
221
)21
2(
021
22.
4002
1
(V.11)
Após diversas transformações, Weyl, chegou a seguinte expressão completa:
0 2
122
222
221
21
2)(
022
2
2
22
1
11
0014
00 dq
kqkkqk
zkqeqJ
kR
Rjke
R
Rjke
K
Pj
(V.12) Onde o campo Ez (Z>0) será dado por:
0 dq 222222
)(22)(
022
2
2
1
1
04
0 q
AKq
TK
TKq
AK
hZT
kqeqJ
TK
R
RT
jKe
R
RA
jKeP
zE
(V.13)
Figura 2 Esta solução pode ser interpretada como um conjunto de ondas planas refletidas e refratadas na superfície da Terra. Como está agora, esta solução ainda não é prática para o uso em engenharia. A seguir, estudaremos a solução apresentada por Norton.
98
5.3 Solução de norton
Norton colocou a antena transmissora (dipolo) a uma altura "h1", e uma antena receptora no ponto "P" a uma altura "h2" em relação a Terra . (figura 15), e trabalhou essencialmente com o terceiro termo da equação (V.13) de forma a transformá-lo em:
)w (-j 1)(1( erfcwewjR
(V.14)
Onde,
)(2cos21
)(1)(2cos2
21
senRjkw (V.15)
sendo que, " = ângulo de incidência do raio refletido"
e Vr
jY2 1
(V.16)
onde,
r
0
(76) e Yf MHz
1 8 104,
( )
(V.17)
O termo "Rv" significando o coeficiente de reflexão “ar-Terra” aparece agora nitidamente e a
equação do campo elétrico pode ser expressa de uma forma mais prática. Utilizando o modelo de Terra Plana Equivalente e considerando que as antenas possuem ganho (G) (figura 15), Norton chegou a seguinte expressão do campo elétrico (E):
|)1(1|173
jjr eAReR
d
RGPE (10-3 V/m) (V.18)
Figura 3
Onde, considere as seguintes definições:
P Potência do sinal em "KW";
G Ganho da antena "dBi", ou seja, em relação ao ganho do irradiador isotrópico - que é unitário;
d Distância em "Km";
R Coeficiente de reflexão;
Comprimento de onda em "m";
h1 e h2 Altura das antenas em "m";
A Fator de atenuação;
99
FERC Função erro complementar;
r Permissividade relativa do meio;
Condutividade efetiva do solo;
Frequência em "rad";
f Frequência em "Hz";
,, p,b,u Variáveis de cálculo;
Ko Número de onda em "m-1";
Rr Fator da impedância da antena devido a proximidade da Terra
Sendo que:
4
h h
d1 2
(V.19)
jejA erfc1 (V.20)
jb-pe= e )1(
22.
0 r
r
djK
(V.21)
Y
d
r
dK
r
dKp
2
0
20
.2)'(2
0 (V.22)
Y
rrb
11
tan.
0.1
tan
"
(V.23)
r rj '
.0
(V.24)
/0 = 1,8 x 104 /f para f em MHz
Ko o o
2 (V.25)
du e 2
= )erfc(jj
u- 2
(V.26)
O ábaco a seguir, permite o cálculo do fator de atenuação "A".
100
Na equação acima Rr representa o fator devido á impedância da antena usada, ser modificada pela proximidade da Terra. Este fator deve ser 1 quando a antena utilizada
101
estiver afastada da Terra, (caso das freqüências acima de 30Mhz) e devera ser 0,5 se a antena estiver perto da Terra. Este será o caso das freqüências abaixo de 30 Mhz, onde as antenas utilizadas são o dipolo elementar e o dipolo de quarto de onda sobre a Terra. O valor de “A” pode ser calculado com o uso da figura 8. O fator “A” só existe perto da Terra, para alturas de no máximo 5λ. Nas formulas acima os coeficientes p,b, utilizados para o calculo de ‘A’ deve-se colocar “d” em metros e σ em S/m. Para o calculo do coeficiente de difração “A” pode-se também usar a formula exata mostrada abaixo:
j
t
j
dtejerfc
jerfcejA
eRR
22)(
)(1
(V.27)
A expressão matemática do campo elétrico pode ser vista como:
E = onda direta + onda refletida + onda difratada ou ainda:
E = onda espacial + onda de superfície Assim a onda espacial é representada pela onda direta mais a onda refletida na superfície da Terra e a onda de superfície é proveniente da onda difratada na superfície da Terra. A onda de superfície só existe até uma altura de um comprimento de onda( λ ) sobre o solo e até uma altura de cerca de 5λ sobre o mar.
Os dois primeiros termos da equação do campo elétrico constituem a onda espacial e o ultimo termo é a onda difratada ou onda de superfície. O coeficiente A é o responsável pela difração da onda. A onda espacial é constituída pela onda direta e pela onda refletida na Terra, e a onda de superfície é proveniente da difração da onda na superfície da Terra. Para freqüências entre 3Khz e 3Mhz o ultimo termo é o que prevalece. Para a faixa entre 3Mhz e 30Mhz o ultimo termo continua existindo, porem a onda espacial refletindo na ionosfera vai provocar ainda o aparecimento da onda ionosférica, que pode prevalecer sobre a onda de superfície.
Assim nesta faixa se tem duas ondas, podendo a depender da freqüência uma prevalecer sobre a outra. Desta maneira na recepção teremos duas ondas, uma direta representada pelo terceiro termo da equação e outra refletida representada pela reflexão da onda espacial na ionosfera. A figura 7 mostra como a onda Ionosférica é formada. Nesta figura vamos analisar primeiramente o caso “A” no qual temos a onda direta e a onda refletida atingindo o receptor. Neste caso na equação de Norton:
jjr AeRd
PGRE )1(Re1
173 (V.28)
Temos que R = -1 e ∆ = 0 pois h1 e h2 são bem menores que d. Deste modo a equação do campo fica: E = 2*A*E0 onde:
d
PGRE r173
0 dando origem a onda a onda de superfície.
Consideremos agora o caso “B” onde a onda direta e a refletida vão atingir a ionosfera sendo nesta refletida e assim chegando ao receptor. Veja que neste caso o coeficiente de reflexão na ionosfera continua sendo -1, porem a defasagem entre o raio direto e o refletido vale agora 1800 ou seja λ/2. O valor do coeficiente de difração “A” é nulo pois esta onda só
102
existe próximo a Terra e deste modo a equação do campo fica: E = 2E0 , dando origem a onda ionosférica que atingira o receptor.
Figura 4: formação da onda Ionosférica
Para a faixa de 30Mhz a 1Ghz o primeiro e segundo termos( onda espacial) são os que prevalecem, e finalmente para freqüências acima de 1Ghz o primeiro termo( onda direta) é o que prevalece. Convém notar que a teoria dos dois raios leva aos mesmos resultados previstos por Norton para a faixa de freqüências entre 30 e 1000 Mhz.
5.3.1 Faixa de freqüências abaixo de 30 Mhz
Para freqüências abaixo de 30 Mhz o campo elétrico é constituído pela onda de superfície e pela onda ionosférica. Nesta faixa de freqüência se usa apenas duas antenas o dipolo elementar cujo ganho vale 1,5 ou o dipolo de meia onda cujo ganho vale 1,64. A onda de superfície pode ser dado pela formula a seguir, pois seu aparecimento é devido ao fato de termos: R=1, θ =1800 e =0 ( ver figura 7). Com estes valores o solo pode ser substituído por um condutor perfeito e a potencia da onda só existe no semi-ciclo superior ou seja na atmosfera. Substituindo estes valores na formula encontra-se:
APd
E
Ad
PGRE r
313ou 300
2173
(V.29)
Onde fizemos Rr = 0,5 e G = 1,5 ou 1,64. É conveniente notar que só existe potencia no semi-plano superior, ou seja no ar, por isto a potencia aparece pela metade, isto é levado em consideração pelo fator Rr . Esta é a onda que predomina até 3 Mhz. A onda ionosférica aparece fazendo-se R=1, θ =1800 e =1800 (ver figura 7.2) na fórmula geral e chega-se a seguinte expressão, lembrado que o valor de “A” para este caso é nulo:
103
ionFfPd
E )(313ou 300
(V.30)
Esta é a onda que predomina para freqüências acima de 3 Mhz. Onde Fion é o fator de atenuação que leva em conta o coeficiente de reflexão na ionosfera e a atenuação da onda ao percore-la. O valor de Fion é variável entre 0,075 e 0,25. O fator f(Φ) representa a perda de ganho da antena em função do ângulo Φ com o qual a onda sai da Terra em direção á ionosfera. Na formula do campo elétrico, usa-se a constante 300 se a antena for dipolo elementar e 313 se for dipolo de quarto de onda. Estas fórmulas tanto para a onda ionosferica como para a onda de superficie foram obtidas da formula geral fazendo-se as considerações já vistas e o ganho das antenas 1,64 para dipolo de quarto de onda e 1,5 para dipolo elementar. A potencia foi dividida por dois, usando-se o fator Rr pois os campos eletricos só aparecem no semi- plano superior, onde as ondas existem, pois como o solo é condutor as ondas não penetram no mesmo.
5.3.2 Faixa entre 30 Mhz e 1 Ghz
Na faixa de 30 Mhz a 1 Ghz o valor do coeficiente de difração A é praticamente nulo e o fator Rr é unitário. Deste modo é usual se expressar o campo por:
cos1
sintan
4
2Rcos1F
:onde mV/m) ( 173
ou (V/m) 30
1
21
2
R
R
d
hhr
R
Fed
GPEFe
d
PGE j
Km
Kwj
(V.31)
O valor do campo elétrico é apresentado em valor eficaz.Nesta expressão temos a contribuição da onda direta e da onda refletida. O campo é expresso apenas pela componente espacial, uma vez que a componente da onda de superfície torna-se desprezível. Vale notar que esta é a mesma expressão encontrada quando utilizamos a teoria dos dois raios. Expressões mais completas para este caso serão vistas no próximo capitulo.
5.3.3 Faixa de freqüência acima de 1 Ghz Para freqüências acima de 1Ghz temos apenas a onda direta, pois usualmente R=0 , A=0 e Rr = 1 e o campo vale em valor eficaz:
djed
PGE
30 (V.32)
5.4 Enlaces calculados por Onda Ionosférica
Vamos considerar que desejamos estabelecer uma comunicação por reflexão IONOSFÉRICA entre duas localidades. Para tal, usaremos a figura 8 abaixo, onde desejamos comunicação entre os pontos "A" e "B".
104
Figura 5 Sejam LATA, LONA e LATB, LONB as latitudes e longitudes nas localidades "A" e "B" respectivamente. A distância sobre o arco de círculo entre as duas localidades é chamada de distância ortodômica e é dada pela seguinte fórmula: d = 111,12.arc cos sen (LAT ). sen (LAT ) + cos (LAT ).cos (LAT ). cos(LON - LON )A B A B A B (V.33)
Esta fórmula fornece "d" em quilômetros para entrada do arco em graus. Por convenção as latitudes sul e as longitudes leste são negativas. O ângulo é dado por :
2.a
d =
(V.34) onde a = raio da terra = 6370 Km O ângulo de incidência na Ionosfera, "θ" é dado por :
) cos-(1 a +h
a.sen TAN = 1-
(V.35) onde h = altura de reflexão da onda.
O ângulo de elevação da antena "" vale:
) + ( - 90 =
(V.36) A distância total ( dt ) percorrida pelo sinal é expressa por:
h + h)+(a ) cos-(1 2a 2 2
td (V.37)
Normalmente a onda pode refletir na camada E, numa altura de 110 Km ou na camada F numa altura de 300 Km. Os valores usuais de densidade de elétrons são de 2.106 elétrons/cm3 para a camada F e 105 elétrons/cm3 para a camada E. De posse dos dados de h, LATA, LONA, LONB, LATB , Calculamos a frequência M.U.F dada por:
cos
N9 = MUFf
(V.38) A frequência ótima de operação (F.O.T) é dada por:
105
MUFf . 0,85 = FOTf (V.39)
Para um monopolo curto o campo no ponto "B" valerá:
Pe R . )f( d
300 =
'd -
t
E
(mV/m) (V.40) Para P em Kw, dt em Km, onde α é o fator de atenuação da Ionosfera dado por:
1) - ) (+1( 2
o21
(V.41) e d’ é a distância que a onda percorre na ionosfera. e R é o módulo do coeficiente de reflexão na ionosfera. Para um dipolo de λ/4 colocado perpendicularmente à superfície da Terra, o campo valerá:
E = 313
d f( ) Re P
t
- d '
(mV/m) (V.42) Para um dipolo elementar colocado perpendicularmente à superfície da Terra, o campo valerá:
PRe )f( d
300 = ' d -
t
E
(mV/m) (V.43)
A função f () representa a perda de ganho do sistema de transmissão devido a onda
ionosférica sair da terra formando um ângulo . Esta função f() depende do tipo de sistema usado. Para antena do tipo dipolo elementar teremos:
cos)( f (V.44) E para antena dipolo de λ/4 teremos:
cos
)sin90cos()(
0
f
(V.45)
O produto R ''de é da ordem de 0,075 á 0,25 para valores de 250.
Como vimos esta onda existe de um modo predominante entre as freqüências de 3Mhz a 30 Mhz. Nesta faixa as antenas que se usam são basicamente duas, o dipolo elementar e o dipolo quarto de onda sobre plano terra. O ângulo Φ pode ser calculado com a ajuda do gráfico VIII apresentado no capitulo I. O ângulo máximo de incidência na ionosfera pode ser calculado fazendo-se Φ = 0, obtendo-se assim a distancia máxima que pode ser atingida por um enlace com uma única reflexão. Este ângulo maximo pode ser dado por:
ha
a1
max sin onde: (V.46)
a = raio da Terra
5.5 Enlaces calculados por Terra Plana Equivalente Estes métodos permitem usando-se a teoria da Terra plana calcular-se os enlaces, levando-se em consideração a curvatura da Terra e o perfil entre as estações. Vamos mostrar o método da Terra Plana Equivalente, que pode ser aplicado juntamente com o uso da reta
106
interpoladora e com o uso da reta media para se levar em consideração a existência de um perfil não plano. A solução de Norton se aplica sobre uma superfície plana, deste modo dado um perfil real vamos transforma-lo numa superfície plana e a seguir aplicar o conceito de Terra Plana Equivalente, já que como a Terra não é plana nossa superfície plana tem que incorporar na realidade a curvatura da Terra e o relevo existente entre os pontos considerados. A solução de Norton pode ser adaptada para Terra esférica com o uso do que se denomina Terra plana equivalente, mostrada na figura 9.
Figura 6
Este método permite que a solução de Norton forneça resultados melhores permitido que o campo apresente resultados mais coerentes com os valores medidos na pratica. Nesta figura a Terra plana equivalente é representada por uma reta tangente a curvatura da Terra no ponto de reflexão do sinal. Este ponto é calculado pelas seguintes equações:
)2403
cos(2 cos
)(4
5,812
)(4
37,6
0
3
1
12
2
12
yd
yy
x
hhKd
y
hhdK
x
(V.47)
Nestas equações deve-se usar “d” em quilômetros e h1 e h2 em metros. As variáveis x,y e ψ são variáveis auxiliares de calculo apenas, não possuem significado físico. Com o auxilio desta técnica o método de Norton pode ser utilizado como um enlace sobre Terra plana, representada pela Terra plana equivalente com as alturas de transmissão e recepção dadas por:
Ka
dhh
Ka
dhh
2
22
222
2
111
(V.48)
Onde “a” é o raio da Terra e vale 6370 quilômetros. Desejando-se levar em consideração a curvatura da onda basta usar o raio efetivo da Terra em lugar do seu valor real.
107
5.6 Solução de Van Der Pol e Bremmer Pretende-se neste parágrafo, explicar como o problema foi resolvido para a Terra esférica segundo os cálculos dos primeiros pesquisadores, na sua forma original.
b r
Oa
Z
QP
d
(k2)
(k1)
Figura 7-Sistema de coordenadas usado. As equações de Maxwell para meios homogêneos, isotrópicos, sem perdas e supondo regime harmônico com o tempo, são dadas por, considerando-se o uso do sistema C.G.S.:
*JHjE (V.49)
JEjH (V.50)
E. (V.51)
*. H (V.52)
Onde podemos considerar " J* * 0", sendo " J *" o vetor densidade de corrente
magnética e "*" a densidade de carga magnética.
Definimos o vetor Hertziano (r) direcionado radialmente e paralelo ao eixo "Z" em todos os
pontos e com módulo"IrI". Podemos escrever os campos elétrico e magnético usando o vetor Hertziano, como segue:
E r e j ( )
_ t
(V.53)
Hck
jr
2
e- j t
( )_
(V.54)
Manipulando as equações de Maxwell juntamente com o vetor Hertziano obtemos:
2 2 0k (V.55)
108
kj
c
22
2
4
(V.56)
onde a função escalar "" satisfaz a equação da onda (V.55).
Se a função "" não depende de "" (simetria axial) a solução das equações (V.53) e (V.54) considerando o sistema de coordenadas esféricas, fica:
E er
E er r
r
H eck
j
rj t
j t
j t
(sin( ))
sin( );
( );
;
1 2
2
(V.57)
E = Hr = H = 0.
No espaço atmosférico (r>a) são assumidos os valores " = 1" e " = 0", logo podemos
substituir o valor de "k" no espaço pelo número de onda "k1 = /c = 2 /". Porém, para o
valor de "k" dentro da Terra, a equação (100) é aplicável. Para calcularmos o campo elétrico, inicialmente calculamos o campo de um dipolo Hertziano colocado no espaço completamente livre, o qual chamaremos de campo primário para depois computarmos a influência da Terra.
O campo primário pode ser definido com a ajuda do vetor Hertziano "rpr" de magnitude
" jIL
c
ejk d
k d
1
1
", onde "I" é a corrente que passa pela antena, "L" é o comprimento da mesma e
"d" é a distância entre o transmissor e o receptor sobre a superfície da Terra. A validade
deste vetor "rpr" é demonstrada observando que o campo permanece inalterado quando
"rpr" é trocado por outro vetor Hertziano mais conveniente e que seja paralelo ao eixo "Z" em todos os pontos. Para distâncias muito maiores que o comprimento de onda, os campos elétricos e magnético possuem a seguinte magnitude:
E Hjk
cIL
de j k d t 1 1
sin( ) ( ) (V.58)
Para distâncias grandes comparadas ao raio da Terra, "" iguala-se a "", e vale com o campo primário calculado, partimos para a questão de como a presença da Terra perturba este campo. O campo pode ser achado através de um vetor Hertziano que satisfaça as seguintes condições:
a) No espaço livre (r>a) é uma solução, que se torna zero no infinito, da equação de
onda "( ) 212 0k " e para "r<a" é solução da equação de onda
"( ) 222 0k ".
b) No ponto de transmissão ele se torna infinito, assim como a função "pr" para um
transmissor sem perturbação.
109
c) Na superfície da Terra as componentes tangenciais "E" e "H" são contínuas. As
duas quantidades "1
k rr
( ) " e "k" devem ser contínuos em "r=a". Dividimos a função
"" por "k" (que permanece constante em cada lado da fronteira) de forma a obtermos uma forma mais conveniente.
Com essas três condições a função "" está completamente determinada. A forma
mais simples de se deduzir a solução é expandir a função ""em séries de polinômios de
Legendre - "Pn(cos())", e deste modo podermos atender as condições de fronteira.
O seguinte desenvolvimento existe para o campo primário em termos de
representação da função "e
jk d
jk d
1
1
", em series de polinômios:
pr
n nn
n nn
n k b k r P r b
n k b k r P r b
(2 ) ( ) ( ) (cos( )) , ( )
(2 ) ( ) ( ) (cos( )) , ( )
( )
( )
1
1
11 1
0
11
10
(V.59)
onde
n xx
Hn
x n xx
Hn
x
n xx
Jn
x
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
( ) ( )
12 1
2
1 22 1
2
2
2 12
(V.60)
Aplicando idêntico raciocinio, o resultado para o campo secundário, determinado utilizando as condições de fronteira para "r=a" descritas acima, é dado por:
sec ( )( )
( ) ( )( )
( )( ) (cos( ))
2 1 1
11
11
0
n R nk a
k ak r Pn
nn n
n (V.61)
onde,
R n
d
dxx x
d
dxx x
d
dxx x
d
dxx x
x n x k a x n x k a
x n x k a x n x k a
( )log{ ( )} log{ ( )}
log{ ( )} log{ ( )}
11
12
11
12
(V.62)
Como estas soluções apresentam uma convergência muito lenta, para os valores usuais é necessário a aplicação da transformada de Watson, visando contornar este problema. A soma das séries expressas pelas equações (V.59) e (V.61) pode ser abreviada por:
tot n f n Pnn
( ) ( ) (cos( ))2 1
0 (V.63)
Que pode ser transformada na seguinte integral complexa, utilizando a transformação de Watson:
tot L nj
ndn
nf n P
1
1
12 1
2cos( )( ) {cos( )}
(V.64)
110
cujo caminho de integração "L1" engloba o plano complexo. Antes de aplicarmos a transformação de Watson a série (V.63) vamos expressá-la na seguinte forma:
tot = S-1 + S0 + S1 + S2 +...;
no qual,
S n g n Pnn
1 2 1
0
( ) ( ) (cos ) (V.65)
onde
g nn k b n k r
n k b n k r
R nn k a
n k an k b n k r
1
2
1
1
2
12
1
1
1
1
2 11
2
11
1
1
1
1
1
(V.66)
e
Sk
n gk
n Pn
k
n
k
2 1
0
0cos (V.67)
sendo
gk
n R n R nk
R nn k a
n k a
n k ae j
n k a
k
n k b n k r
1
2 12 22 21
2
11
1
2
22
2
1
1
1
1
1
(V.67) e
R n
xd
dxx n x x k a x
d
dxx n x x k a
xd
dxx n x x k a x
d
dxx n x x k a
11
1 2
11 2
2
1 1
11 2
2
log log
log log
(V.68)
O termo "S-1" representa a contribuição devido ao campo primário e pelo campo criado pela
reflexão da onda no solo. Parte da onda que chega ao solo penetra no solo (através da refração) e depois emerge de novo (através de outra refração) para a atmosfera, deste processo resulta o termo "So". A partir daí, diversas reflexões e refrações vão ocorrendo e
são responsáveis pelo aparecimento dos outros termos "Sk".
Este processo de reflexão e refração, vai degradando cada vez mais o sinal devido a constantes perdas de energia, somente os termos "S-1" e "So" permanecem em
comparação com os demais termos. Nos casos de ondas de rádio restringirmo-nos somente ao termo "S-1", que pode ser expresso, aplicando a transformada em:
S
j
k a M
k b k r
k aP
s
ss
s
s s
s
s
11
3
12
0
11
11
11
2
2
( )
( )
sin( )( )
( ) ( )
( ){cos( )}
( ) ( )
( )(V.69)
111
no qual os números "s" são os zeros de "M()" que se localizam acima do eixo real.
A função "M()" é definida por:
M xx
d
dxx x
x
d
dxx x
n x k a n x k a( ) log{ ( )} log{ ( )}( ) ( )
1 11
11
2 (V.70)
Os zeros “s” são encontrados substituindo "s k a k a ts 1 1
13( ) " na equação (105) onde
"ts" são os zeros de acordo com a aproximação de Hankell:
ts xs ej
x J x, ( ) , ( ) ( )
1
23
23 3
23
0
onde "xs" são as ra izes de J
23
(V.71)
e
ts
xs ej
J x J x,
( ) , ( ) ( )0
1
23
23 3
13
0
onde "xs" são as raizes de 13
(V.72)
“ts, “ são os zeros para a solução assintótica com e “ts,o” são os zeros para,
““,com ““definido pela equação (V.84).
Isto posto, e considerando as aproximações de "" e "+1" por "k1a" e "sin()" por ""
teremos para Tot a seguinte expressão:
tot S pr jx f s h f s he
jtsx
tss
1
2 21 2 2 1
20
( ) ( ) (V.73)
onde
x = (k1a)1/3 (V.74)
f s h sk b
s
k a( )
( )( )
( )( )1
11
1 1
(V.75)
f s h sk r
s
k a( )
( ) ( )
( )( )2
1 1
1 1
(V.76)
"h1" e "h2" correspondem às alturas "b-a" e "r-a" do transmissor e do receptor
respectivamente.
Agora podemos achar o campo elétrico eficaz (Erms), sabendo-se que:
jk a1 (V.77)
Substituindo o valor de Tot dada pela expressão (V.73) nas equações (V.57) resulta, o valor
do ER, pois E 0 ( em valores R.M.S.).
Colocando-se a potencia expressa em “KW”, a distancia em “Km” e supondo uma antena de
ganho qualquer, nossa expressão fica:
112
212
0
12
)( )(.2346
s
jt
s
s
s
r
Rt
ehfhfx
d
PGRE
xs
(V.78)
onde ER é dado em “mv/m”. Para “ER” expresso em valores r.m.s. para antena monopolo vertical sobre a Terra a
expressão acima se transforma em:
EP
dx t h t h
e
tR ss
s
jt x
s
s
300
221
02 1
2
. ( ) ( ) (V.79)
Conforme deduzida originalmente por Van Der Pol e Bremmer.
Podemos expressar ainda o campo por:EPG
dFR
173. .(mv/m, valor r.m.s.)
onde F x f h f he
tss
s
jt x
s
s
2 221
02 1
2
. ( ) ( ) (V.80)
é chamado fator de atenuação do campo.
Trabalhando com as expressões (V.75) e (V.76) pode-se expressá-las por:
f ht
t x tx ts
s
s
s s
s( )( )
( )cos( ( ) )/
1
2
41
2 413 1
2 3 21 1 2
2 22
(V.81)
f ht
t x tx ts
s
s
s s
s( )( )
( )cos( ( ) )/
2
2
42
2 413 2
2 3 21 1 2
2 22
(V.82)
onde:
x k ah
a
x k ah
a
1 1
1 3 1
2 1
1 3 2
2
2
( )
( )
/
/
(V.83)
Os fatores ts(h1) e ts(h2) representam a influência das alturas de transmissão e recepção na
expressão do campo recebido.
jk k
kk
k
2
2
1
2
1
2 1 3 2
2
1
2 1
/
( ) /
e: (V.84)
K
kj
1
2 2
0 0
2
2 2
0 1
( )
Representam os números de onda para o ar (k1) e para a Terra (k2). É conveniente recordar
que k1 pode ser expresso por:
k1
1
2
2
2 2
e k e = r . 0
Para valores pequenos de ““ as expressões (V.81) e (V.82) pode ser expressos por:
113
f hk h
k a
f hk h
k a
s
s
( )( )
( )( )
2
1 2
1
1
1 1
1
1
1
13
13
(V.85)
Os valores “ts” são calculados por:
t t t ts s o s o s o , , ,
2
3
1
2
4
53 4 2 5 (V.86)
válida para 2 12t s ou:
t t
t t ts s
s s
t
s
s
,
, , ,
,1
2
1 1
8
1 1
12
13 2
3
4
2 3
3
(V.87)
válida para 2 12t s e ts,o e ts, são as soluções assintóticas da equação (V.70).
Onde: s s sa k a k a t 1 1
1 3( ) / (V.88)
quando 0 e , respectivamente as seis primeiras raízes valem:
Tabela 2
S 0
O 0,885 ej/3 1,842 e j/3
1 2,589 e j/3 3,24e j/3
2 3,83 e j/3 4,379e j/3
3 4,895 e j/3 5,384 e j/3
4 5,853 e j/3 6,304 e j/3
5 6,739 e j/3 7,161 e j/3
Resumindo o que foi visto, pode-se dizer que, Van der Pol e Bremmer, chegaram a seguinte equação para o campo elétrico( “a” é o raio da Terra):
(mV/m) 1
2
)()(2346
02
21
s
ss
xjt
ss
r
t
ehfhfx
d
PGRE
s
(V.89)
Nesta formula P deve ser posto em Kw, e d em Km. Esta formula é genérica e se aplica para qualquer situação. O valor de Rr depende da proximidade da antena com a Terra, conforme já foi explicado. Normalmente vale 0,5 para freqüências abaixo de 30 Mhz e vale 1 para freqüências acima de 30 Mhz. Vamos repetir as formulas parciais dos termos que compõem a expressão do campo eletrico vista acima:
1)(
a
d
1
2
1
2
23
1
1
2
1
2
2
3
1
1
0
22
200
22
1
K
KaK
K
K
jaKx
w
jwKwK
(V.90)
Pode-se também usar:
114
Mhz
rf
YjYKKK
18000
2121 e assim: (V.91)
jYaK
jYj
r
r
1)(
)(3/1
1
(V.92)
a
haKxh
2)( 3/1
1 (V.93)
Esta formula de xh, se aplica para as alturas de transmissão e recepção.
2/32
4/12
s
2
)2(3
1
4cos
)2(2t-
21)1()( sh
sh
s
s
s txtx
thf
(V.94)
No calculo de x, xh e δ deve-se entrar com a, h e d em metros. O valor de a é o raio da Terra e vale 6370000 metros. Para |δ/| < 1 teremos: Os coeficientes das dez primeiras raízes são dados pela tabela 5 abaixo.
s M
0 1.842
1 3.24
2 4.38
3 5.38
4 6.3
5 7.16
6 7.98
7 8.75
8 9.49
9 10.19
Tabela 5: coeficientes Para |δ/| > 1 teremos:
)25.1
333.2(32
1)
75.01(
12
1
8
1
2
134432332 MMMMMM
Mts
(V.95)
Os coeficientes das dez primeiras raízes são dadas pela tabela 6:
s M
0 .885e-j1.0472
1 2.589e-j1.0472
2 3.83e-j1.0472
3 4.895e-j1.0472
4 5.853e-j1.0472
5 6.739e-j1.0472
6 7.569e-j1.0472
7 8.357e-j1.0472
8 9.109e-j1.0472
9 9.831e-j1.0472
Tabela 6
115
Para distancias menores que 20 km e freqüências baixas são necessários cerca de 200 termos da serie para termos precisão, por isto é recomendável que se use a formula de Norton. Acima desta distancia 10 termos são suficientes para uma boa precisão. Para valores de frequência menores que 30 Mhz, normalmente podemos colocar
fs(h1) fs(h2) 1 e o fator de atenuação pode ser expresso por
F xe
t
jt x
s
s
s
2 2
212
0
(V.96)
Para valores de frequência acima de 30 Mhz o fator de atenuação “F’ expresso pela fórmula (125), converge rapidamente, e com boa aproximação podemos usar só um termo, e expressá-lo por:
F x f h f he
t
jt x
2 2
211 1 1 2
1 2
1
. ( ). ( ). (V.97)
Nesta equação podemos colocar:
F= U (X). V (y1). V (y2) (V.98) onde
U Xe
t
jt x
( )
2 2
21
1
1 2
x (V.99)
e V (y1) = fi(hi) para i=1,2 (V.100)
a
d
R
h1 h2
C Figura 8
Sendo que: X = R/L onde
La
2 1 3/
(V.101)
e: y1 = h1/H (143) e y2 = h2/H (V.102)
onde
H
1
2
2
2
1 3a
/
(V.103)
116
Os parâmetros “X” e “y” são chamados de distância relativa e altura relativa, respectivamente.
As curvas "X x U(X)" e "y x V(y)" são dadas a seguir:
Gráfico 1 - U(X) (em dB) x X.
Gráfico 2 - V(y) (em dB) x y, com y variando na faixa de 0.01 a 1
Gráfico 3 - V(y) (em dB) x y, para y variando de 1 a 100.
Alternativamente para esta faixa de freqüências o campo pode ser posto na forma:
117
Ad
PGE
173 (V.104)
O valor de “A” pode ser calculado pelas formulas abaixo:
km em d e S/m em e Mhz em usadoser deve f
vertical)pol. ( 18000
)horizontal (pol. )18000
()1(36,0K
6370km)a km( em usadoser dever
2
12
2
4
1
223
1
H
fKK
ffa
kaa
rHV
re
e
(V.105)
20
21
23
1
3
2
2
13
1
3
2
1
3
2
3
1
VHn42
42
10
6.17log1011)(
db em )()()(
0096,0
0096,0
2,2
Kou K é K onde 35,15,41
75,06,11
dbA
db
ee
ee
e
nn
nn
A
XXXf
YgYgXfA
HafY
HafY
dafX
KK
KK
(V.106)
10
KY para log202)(
1010
K para
1loglog920logK2g(Y)
2Y 10K para 1,0log20)(
2Y para 81,1log51,16,17)(
n
n
n
n
3
2
1
n
n
nn
KYg
KY
K
Y
K
Y
YYYg
YYYg
(V.107)
É conveniente ressaltar que esta mesma teoria é aplicada para o cálculo de atenuação de morros arredondados. A curva de atenuação em função dos parâmetros " " e "h/rF", é
proveniente deste fator "F" aqui estudado. Vale ainda salientar que estas equações foram deduzidas para polarização vertical. Para ondas polarizadas horizontalmente as equações
são as mesmas, usando-se como “ “ o valor “ H“ dado por H k
k
1
2
2
2 , (V.108) sendo “ “
dado pela equação (V.92).
118
5.7 Exercícios Para consolidar a teoria vista vamos resolver alguns exercícios e deixar outros para serem solucionados pelo leitor.
5.7.1 Exercicios Resolvidos
EXERCÍCIO 1 Determine a função de atenuação (F) e o campo elétrico efetivo (Erms) recebido para um enlace com as seguintes características: P1 = 25W, G1 = 120, f = 1,5GHz, h1 = 10m, h2 =
25m, e R = 35Km. (Dados: a=6,37x106m; c=3x108m/s). Use o metodo de Van Der Pol e Bremmer. Solução: A função de atenuação é dada pela equação : F= U(x) V1 (y1) V(y2).
Inicialmente calculamos a distância relativa "X" e as alturas relativas "y1" e "y2".
XR
L , onde L
a ( )
21 3
e =c/f.
Substituindo os valores, teremos:
=0,2m ; L=1,37x104 e X=2,56 m.
Yh
H1 2
1 2,
, onde , H
1
2( )a
2
2
1 3
Assim: H=14,78 m ; Y2=1,69 m e Y1=0,68 m.
De posse dos valores de "X", "y1", e "y2", entramos nos gráficos 1,2 e 3 e encontramos os
respectivos valores de "U(x)", "V(y1)" e "V(y2)".
U (X)=- 30dB ; V(y1)= - 3dB e V(y2)=8dB.
Para expressarmos o fator de atenuação em "dB", aplicamos logaritmo a equação (138). Assim,
F
dBU x
dBV y
dBV y
dBF
dBF dB
( ) ( ) ( )
.
1 2
30 3 8 25
como " log b a=c" "a=bc" então, F FFdB 10 0 0620 ,
Pela equação(118) teremos que:
E
E V m
rms
rms
173 25 10 120
350 06
0 48 10
3
3
,
, ( / )
EXERCÍCIO 2 Calcule o campo elétrico de um enlace de 40Km de comprimento (h1 = 50m e h2 = 40m)
com potência irradiada de 45 KW e ganho de 20 dB para = 1m utilizando a solução de
Norton. Considere a onda polarizada verticalmente, r = 10 e = 0,0075S/m.
Inicialmente devemos verificar a possibilidade da aplicação da solução de Norton.
119
dh= d1+d2=3,57(k)1/2((h11/2)+(h2
1/2))
dh= d1+d2=3,57(1,18)1/2((501/2)+(401/2))
dh= 51,95 Km
0,8 x dh = 41,56 Km
Cálculo do ângulo de incidência “ ” no solo:
50/d1=40/d2 d2=4 d1/5
d1+d2=40d1 = 22,22 Km
Tan ( h1/d1 = 1,8 x 10-3
A seguir calculamos o índice de reflexão para a onda polarizada verticalmente:
)(sin)cos(
)(sin)cos(
2
2
o
r
o
r
o
r
o
r
v
jj
jj
R
Rv = -0,985 +j 2,95x10 - 4
Como a frequência é f f 300
300
MHz MHz 30 MHz , logo podemos desprezar a
componente referente à onda de superfície.
Com G = 20dB e P = 45KW, calculamos Erms pela fórmula.
)1(173
j
eRd
PGrmsE =Resultando, Erms =258 (10-3V/m)
EXERCÍCIO 3 Calcule o campo elétrico a 3 m do solo, numa distância de 30, 50 e 100 Km de um transmissor de 1 Kw, alimentando uma antena monopolo elementar na freqüência de 1 MHz, considerando:
Solo: r = 15
= 10 -2 /m Solução:
300
m
1300
10
2 10 1012
2
6 1536
9. . .
Como:
1, podemos expressar k2
2 por:
120
180 j ..102
10 j
j
j
j
36106
2-
0oo
2
o
2
1
2
2
0
2
2
9
k
k
k
k =2
300
(k
k
1
1
1
a
a
x ad
a
6 37 134 10
512
4
1 3
1 3
, ,
) ,
( ) .
/
/
x
x
x
30 6
50 6
100
6,37.10
6,37.10
51 230
0 24
51 250
0 4
0 8
, . ,
, . ,
,
Como a antena é monopolo vertical, situada sobre a Terra e as alturas h1 e h 2 são bem
menores que , vamos usar a formula:
E =300
d
e
2t1
J t
s 2
0
s
2
. ( / )x mv m
x
s=
jj
J
180
51 2 180 1
0 262
2
3
,
,
0,262 e
e = - 0,185 + j 0,185
0,069 e = - j 0,069
= 0,018 e = 0,013 + j 0,013
= 0,0047 e = - 0,0047
J135
j 135
j 270
j 45
4 j 180
o
o
o
o
o
Como 21
2t s já que 2 0 069 ,
Vamos calcular as raízes “ts” usando a formula: t t ts s o s o , , 2
3
1
23 4
Com os valores de ts,o dados pela tabela 2. Calculando, vamos encontrar: t0 = 1,12+j 1,4 t1 = 1,82+ j 2,6 t2 = 2,39+ j 3,57 t3 = -2,89 + j 4,44 t4 = 3,35 + j 5,2 t5 = 3,79 + j 5,96
Vamos chamar A ti i 21
2
Calculando resulta:
121
A e
A e
A 8,8 e
A 8,1 e
A 7,8 e
A 8,0 e
0
j 79
1
-j 68
2
-j57
3
j44
4
j 31
5
j 19
0
0
0
0
0
0
1191
10
,
Vamos agora calcular os valores do campo elétrico. a) Para d = 30 Km:
E =
300
302. .0,24
E = 12,270,018 + j0,27 mv / m
0 06 0 054 0 048 0 043 0 037 0 03
3 3
94 93 90 84 77 710 0 0 0 0 0
, , , , , ,
,
e e e e e ej j j j j j
b) Para d = 50 Km:
E =
300
502. .0,4
E 9,510,158e mv / mj110
0 048 0 035 0 027 0 021 0 016 0 011
15
105 110 111 110 108 1060 0 0 0 0 0
, , , , , ,
,
e e e e e ej j j j j j
c) Para d = 100 Km:
E =
300
1002. .0,8
E = 6,72-0,042 + j0,028 mv / m
0 027 0 013 0 0065 0 0036 0 002 0 001
3 36
130 151 166 176 184 1930 0 0 0 0 0
, , , , , ,
,
e e e e e ej j j j j j
EXERCÍCIO 4 Determine o campo elétrico do exercício resolvido 6 do capitulo IV utilizando o fator de k = 4/3 pelos métodos de terra plana equivalente e método de Van der Pol e Bremmer. Solução:
1) Pelo método de terra plana equivalente pode-se usar reta media e interpoladora.
a) Com reta media Os valores das alturas obtidas no exercício do capitulo IV foram : H1 = 45.53m e H2 = 40.53m. Com estes valores calcula-se a Terra Plana equivalente e determina-se o ponto de reflexão e com ele duas novas alturas dos pontos de transmissão e recepção.
rad
mH
mH
kmd
kmd
00312.0
23.35
03.39
49.9
51.10
2
1
2
1
O coeficiente de reflexão vale:
14.3
14.3
775.0
85,0
899.0
985.0
j
C
D
R
j
eR
F
F
eR
122
O campo elétrico vale: E = 3.74 mV/m b) Com reta interpoladora
Os valores das alturas obtidas no exercício do capitulo IV foram : H1 = 51.32m e H2 = 34.74m. Com estes valores calcula-se a Terra Plana equivalente e determina-se o ponto de reflexão e com ele duas novas alturas dos pontos de transmissão e recepção.
rad
mH
mH
kmd
kmd
00309.0
68.30
26.43
3.8
7.11
2
1
2
1
O coeficiente de reflexão vale:
14.3
14.3
78.0
85,0
93.0
986.0
j
C
D
R
j
eR
F
F
eR
O campo elétrico vale: E = 3.65 mV/m 2) Vamos agora resolver pelo método de Van der Pol e Bremmer
Primeiramente vamos determinar o valor de : 009.10073.0 je
Sendo assim vamos utilizar as formulas para 5.0
Utilizando-se os valores das alturas obtidas para reta media e com os valores programados na HP para 3 termos obtivemos: E = 4.77mV/m
Com os valores das alturas obtidas para a reta interpoladora com os mesmos 3 termos,
temos: E = 4.63mV/m
5.7.2 Exercícios propostos a) Supondo um enlace de rádio de 45 Km de comprimento, calcular a potência do transmissor sabendo que: A atenuação devido a obstáculos é de 19 dB, a frequência de operação é de 470 MHz, são usados 50 m de cabo RG 213 celular, o campo elétrico mínimo
para inteligibilidade do sinal na recepção deve ser de 1 V e as antenas são dipolos de /2. b) Calcule o campo elétrico na recepção em um enlace de 20 Km de comprimento com torres de 50 e 100 metros, onde a potência do transmissor é de 40 KW e o ganho da antena 13 dBi para uma frequência de 345 MHz. Considere a onda polarizada verticalmente e terreno seco.
123
c) Calcule o fator de atenuação para um enlace de alturas equivalentes h1=h2=35 m e =
10 cm para as distâncias 0.5dt, dt, 2dt, 2.5dt e 5 dt, onde dt é igual a metade da distância do limite de visibilidade (dH).
d) Determine o campo elétrico do exercício proposto 4 do capitulo IV utilizando o fator de k = 4/3 pelos métodos de terra plana equivalente e método de Van der Pol e Bremmer
6 Atenuação de obstáculos em enlaces de rádio
6.1 Introdução Quando criamos um enlace de rádio, temos por objetivo estabelecer a comunicação entre dois pontos pré-determinados, mas para alcançarmos tal intento é necessário garantirmos a inteligibilidade do sinal, pois de nada adianta termos um sistema de comunicação onde recebemos mensagens truncadas ou com ruído excessivo. É intuitiva a noção de que se tivermos um ponto irradiante (ou ponto de recepção) a uma altura considerável do solo teremos um sinal pouco atenuado e se tivermos uma altura do ponto irradiante baixa demais ou uma região de propagação muito obstruída teremos um sinal ruim e muito atenuado. Então, poderia se pensar em simplesmente erguer os pontos de transmissão e recepção e tudo estaria resolvido, mas pensando assim estaremos esquecendo de levar em conta fenômenos que ocorrem durante a propagação do sinal e sua interação com os obstáculos existentes, que mesmo com condições aparentemente excelentes de propagação podem fazer o sinal não chegar ao ponto de recepção como esperado. Outro fator a ser levado em conta é o fator econômico, pois quando estamos falando em implantar um enlace de rádio, estamos falando em custo e vale lembrar que uma das funções principais da engenharia é otimizar a relação custo/benefício. Assim, de nada vale dizer que uma torre de transmissão de 500 m de altura vai garantir um excelente sinal se o custo para realização de tal empreendimento não compensa. Talvez fosse possível se conseguir um sinal bom com uma altura de torre de 100 m. Fatores físicos também limitam a idéia de se construir torres tão altas quanto se deseje, pois as forças aplicadas pelo vento sobre a torre e sobre a antena, limitam fisicamente sua altura. Desta forma, vemos a importância de sabermos de que forma o sinal a ser irradiado se propaga, de como ele é recebido e como ele é atenuado. Em relação a atenuação do sinal transmitido, vários fatores contribuem para a sua deterioração, fatores estes que podem ser inerentes ao próprio transmissor (considerando, também, o sistema irradiante), ao meio de propagação e ao receptor. Neste capítulo trataremos das perdas de sinal ocorridas no meio de propagação. Em um enlace de rádio típico (figura 1), existem um ponto transmissor e um ponto receptor, entre estes dois pontos considerados existe uma determinada topologia de terreno, terreno este que pode ser constituído de elementos diversos, tais como: morros, prédios, lagoas, florestas, etc.
Figura 1
A topologia do terreno irá interferir na propagação das ondas eletromegnéticas sob formas já conhecidas (figura 2).
124
Figura 2
Os vários caminhos possíveis que as ondas podem percorrer até atingir o ponto de recepção acabam por gerar alteração na fase e na amplitude das ondas recebidas e assim podemos ter uma variação no sinal recebido de zero a duas vezes o sinal transmitido, a depender da diferença de fase entre o sinal direto e o sinal defasado e também da atenuação imposta pelo meio. Um exemplo deste fenômeno é mostrado na figura 3.
Figura 3
Veremos a seguir como se determina à perda devido à existência de obstáculo nos enlaces de rádio. Já sabemos como calcular as perdas no espaço livre, as perdas devido a obstáculos conhecidos como "GUMES DE FACA" e como calcular as perdas devido à OBSTÁCULOS ARRENDONDADOS. A vantagem do cálculo da atenuação utilizando-se um método analítico é a possibilidade de se determinar com razoável precisão a atenuação de um sinal de rádio entre dois pontos sabendo-se o perfil entre os mesmos, pois podemos utilizar recursos computacionais para este cálculo, tornando rápido este método e não utilizando testes de propagação, que são bem mais onerosos. Vamos agora verificar o procedimento a ser adotado para cálculo da perda em enlaces que tenham vários obstáculos. Iremos apresentar três métodos. O primeiro será o método de Epstein-Petersen, o segundo o método de Daygout e o ultimo o método descrito na revista Telebrás de maio/85. Estes métodos fornecem resultados diferentes, porem condizentes com os valores reais encontrados na pratica. O primeiro passo que devemos fazer é verificar os tipos de obstáculos existentes no perfil que desejamos estudar. Para isto, traçamos o perfil em estudo levando em consideração a correção do mesmo devido ao valor de “K” desejado. Para nosso país pode-se adotar um valor de 4/3 para “K”. Somente para a Região Sul, se deseja-se uma maior segurança, pode-se adotar o valor de 2/3. Isto posto, traçamos uma rota unindo os dois pontos extremos do perfil em estudo. Vamos denominar esta reta de linha de visada. Se não existir nenhuma altura superior a linha de visada diz-se que o enlace não possui obstrução. Se alem disto a primeira zona de Fresnell estiver livre o enlace é conhecido como enlace plano sem obstrução. Caso, alem disto, não exista raio refletido o enlace é tido como de espaço livre.
125
6.2 Determinação dos Tipos de Obstaculos
Vejamos agora como os obstáculos podem ser classificados a depender se obstruem ou não a linha de visada.
6.2.1 Obstáculos primários Definimos obstáculo primário como sendo todo obstáculo existente cuja altura seja superior a altura da linha de visada naquele ponto causando um desvio no percurso do sinal transmitido. A existência de pelo menos um obstáculo principal no enlace impede a existência de um sinal direto entre transmissor e receptor (figura 4).
Figura 4
6.2.2 Obstáculos secundários Estes obstáculos vão aperecer nos enlaces onde exista visada direta. Em cada enlace existindo visada direta entre seus pontos extremos, para verificarmos a existência de obstáculos secundários, traça-se o elipsoíde de Fresnell e verifica-se se algum obstáculo, encontra-se dentro do elipsoíde. Caso existam, estes obstáculos são chamados de obstáculos secundários.
6.3 Métodos de Calculo para vários obstaculos
6.3.1 Método de Epstein-Petersen
Neste método determina-se o número “n” de obstáculos primários. Divide-se então o enlace em n+1 sub-enlaces, formados da seguinte maneira. O primeiro sub-enlace é formado pelo perfil existente entre o ponto de transmissão e o segundo obstáculo primário. O segundo sub-enlace é formado pelo perfil existente entre o primeiro obstáculo principal e o terceiro obstáculo principal. O terceiro sub-enlace é formado pelo perfil existente entre o segundo obstáculo principal e o quarto obstáculo principal. Procede-se assim ate que se chegue ao ultimo sub-enlace formado pelo perfil existente entre o “n-1” obstáculo primário e o ponto receptor. Note-se que em cada sub-enlace só existe um único obstáculo. Calcula-se a atenuação de cada sub-enlace. A atenuação será a soma de todas as atenuações dos diversos sub-enlaces.
6.3.2 Método de Daygout Neste método determina-se o número “n” de obstáculos primários. Divide-se então o enlace em n+1 sub-enlaces, formados da seguinte maneira. Para cada obstáculo primário calcula-
se a relação F
OB
R
h. Ao obstáculo primário que tiver o maior valor desta relação denomina-se
de obstaculo principal. Este obstáculo principal divide o enlace em dois sub- enlaces. Cada um dos dois sub-enlaces é considerado um novo enlace e a operação é repetida até que não existam mais obstáculos primários. Calcula-se a atenuação de cada obstáculo Principal encontrado. A atenuação do enlace será a soma das atenuações de todos os obstáculos Principais encontrados.
6.3.3 Método da Telebras
Neste método determina-se o número “n” de obstáculos primários. Divide-se então o enlace em n+1 sub-enlaces, formados da seguinte maneira. Para determinação dos obstáculos
126
principais tomamos o ponto de transmissão e traçamos retas deste ponto para todos os obstáculos acima da linha de visada. A reta que possuir maior inclinação determinará o primeiro obstáculo principal. A seguir repetimos o mesmo procedimento, considerando o primeiro obstáculo principal como o novo ponto de transmissão e os demais obstáculos a direita e acima da linha de visada para determinação do segundo obstáculo principal e assim por diante para os demais obstáculos primários. Prosseguimos com o procedimento acima até não existirem mais obstáculos a direita do último, considerado que esteja acima da linha de visada deste ponto com o ponto de recepção A perda devida do primeiro obstáculo principal é calculada, considerando-se o enlace formado pelo transmissor e o segundo obstáculo principal (ou o ponto de recepção), que faz o papel do ponto receptor. A perda devida do segundo obstáculo principal é obtida supondo o enlace formado pelo transmissor com nova altura, e o terceiro obstáculo principal (ou o ponto de recepção), supondo a não existência do primeiro obstáculo principal. A nova altura do ponto transmissor é obtida, traçando-se uma reta do segundo obstáculo principal, tangente ao primeiro obstáculo principal. Quando esta reta interceptar o ponto transmissor, determinaria sua nova altura. Para este novo enlace determina-se a perda. A perda devida do terceiro obstáculo principal é obtida supondo um novo enlace formado pelo ponto transmissor original com altura corrigida, e o quarto obstáculo principal (ou ponto de recepção), supondo a não existência do primeiro e segundo obstáculos principais. A nova altura do ponto transmissor é obtida, traçando-se uma reta do terceiro obstáculo tangente ao segundo obstáculo. Quando esta reta interceptar o ponto transmissor determinará a sua nova altura. Para este novo enlace determinamos sua perda. O método prossegue até atingirmos o ponto receptor. O cálculo do último obstáculo principal é feito no enlace original, com somente uma nova altura para o ponto transmissor. A atenuação procurada é o somatório da atenuação de todos os obstáculos principais.
6.4 Cálculo da atenuação dos obstáculos
Para determinarmos a atenuação dos obstáculos primários ou secundários, primeiramente
verificamos quantos existem. Isto posto, determina-se a relação h/rF de cada um desses obstáculos. Para cada um destas relações determina-se uma atenuação como se as demais não existissem. A atenuação procurada é o somatório destas atenuações parciais para cada tipo de obstáculo.
6.4.1 Cálculo da atenuação total de obstáculos
O cálculo da atenuação total dos obstáculos é dado pela soma das atenuações dos obstáculos principais e dos secundários.
a a ai i
OB OP OSi i
1 1
(VI.1)
a OB = atenuação total de obstáculo do enlace. a OPi = atenuação do obstáculo principal “i”. a OSi = atenuação do obstáculo secundário “i”. O cálculo da atenuação total do enlace valerá:
a a aT O OB (VI.2)
Onde; aT = atenuação total do enlace. aT = atenuação de espaço livre do enlace. aOB = atenuação de obstáculo do enlace. Gostaríamos de frisar, que quando o número de obstáculos secundários é muito grande ou os obstáculos primários são muito perto uns dos outros, os métodos aqui expostos podem levar a valores de perda de obstáculos exagerados, dos encontrados na prática. Assim, estes métodos levam a valores via de regra, em excesso no cálculo de perdas. Se as perdas
127
determinadas levarem a inviabilidade do enlace, ou a valores muito grande de alturas de torre ou ganho de antenas, é recomendável a execução de teste de propagação para comprovação destas perdas. Agora na maioria dos casos encontrados na prática, o método aqui exposto permite o cálculo das perdas do enlace com boa precisão.
6.5 Exercícios Vamos a seguir através de exercícios resolvidos esclarecer eventuais dúvidas, e para consolidar ainda mais o entendimento vamos propor aluguns exercícios para serem resolvidos pelo leitor.
6.5.1 Exercícios resolvidos EXERCÍCIO 1 Calcular a atenuação por obstáculo em 2,5 GHz para o seguinte perfil, já corrigido pelo fator “K”, mostrado na figura 6, pelos três métodos. Solução: a) Pelo método Telebras
Figura 5
Vejamos a determinação dos sub-enlaces. Em primeiro lugar, vamos traçar a linha de visada entre os pontos extremos do enlace A e E, conforme a figura 7.
Figura 6
Vemos então que os obstáculos B,C, e D, estão acima de linha de visada. Vamos verificar agora se são obstáculos primários ou secundários. Para isto a partir do ponto A, traçamos retas até os obstáculos B,C e D, e calculamos a inclinação destas retas, conforme é mostrado na figura 8.
Figura 7
128
TAN
TAN
TAN
=320 - 250
1
2
3
310 250
10 0000 006
340 250
30 0000 003
450000 00156
.,
.,
.,
Como 1 é o maior ângulo, concluímos que o obstáculo “B” é o primeiro obstáculo principal. Vamos agora repetir o processo para o enlace formado entre B (primeiro obstáculo primário) e E (ponto de recepção). A figura 8 mostra este perfil.
Figura 8
Traçando a linha de visada, verificamos que o obstáculo “C” é o que intercepta a linha de visada com maior inclinação que o obstáculo “D”, assim ele é o segundo obstáculo primário. Finalmente traçamos o perfil entre o ponto “C” e o receptor “E”, e colocamos a linha de visada. A figura 9 mostra este perfil.
Figura 9
Verifica-se que o obstáculo “D” fica abaixo da linha de visada. Evidentemente então “D” é o único obstáculo secundário. Nosso perfil tem portanto, 3 sub-enlaces, como mostrado na figura 10, a saber:
Figura 10
AB = sub-enlace 1
129
BC = sub-enlace 2 CD = sub-enlace 3
Os sub-enlaces 1 e 2 não possuem obstáculo secundário. O sub-enlace 3 apresenta um obstáculo secundário. Vamos então, calcular a atenuação do primeiro obstáculo primário (B). Para tal, vamos considerar o enlace mostrado na figura 11:
Figura 11
Vamos calcular agora, a altura da linha de visada na posição do obstáculo “B”.
Da semelhança dos triângulos A hLV X e A C Y tiramos:
340 250
30 000
250
.
h
10.000
LV
Resultando em hLV=280 m.
O valor da obstrução h vale:
h=310-280=30 m. O valor do raio de Fresnell no ponto do obstáculo “B” vale:
rF 54710 20
2500 3028 2
.
.,
Como o morro “B” é do tipo gume de faca, temos que =0. Assim, consultando o ábaco do capítulo III com:
=0.
e, h
rF
30
28 21 064
,, (obstrução). Resulta em: aOB db16 5,
Vamos agora, ao cálculo da atenuação do segundo obstáculo principal . Para isto, primeiramente deve-se determinar a nova altura do ponto “A”. Vamos usar a figura 12 a seguir:
130
Figura 12
Esta figura foi obtida, traçando-se a partir do obstáculo “C” (segundo obstáculo primário) uma reta tangente ao ponto “B” (primeiro obstáculo primário) e prolongando-se a mesma até
atingir o ponto “A” numa nova altura “hT”. Pela semelhança dos triângulos C X B com C
Y hT. Resulta: 340 310
20 000
340
30 000
. .
hT, logo; hT=295 m.
Como, não existe mais nenhum outro obstáculo primário, o enlace a ser considerado para cálculo de atenuação devido a “C”, valerá conforme pode ser observado na figura 13:
Figura 13
Vamos calcular a altura da linha de visada na posição do morro de 340 m, procedendo conforme visto anteriormente.
320 295
60 000
295
30 000
. .
hLV
Resultando em hLV= 307,5 m. A obstrução do enlace vale:
h=340-307,5=32,5 m Este obstáculo possue curvatura, sendo assim, vamos calculá-la:
Entrando no ábaco com =0,09 e h
rF
32 5
42 40 77
,
,, (obstrução). Resulta em aOB=16,3 db.
A atenuação de obstáculo primário total vale: aOBP=16,5+16,3=32,8 db. Vamos agora ao cálculo da atenuação do obstáculo secundário. Para isto, vamos usar o sub-enlace 3, mostrado na figura 14
131
Figura 14
Procedendo, conforme já visto, pode-se escrever:
340 320
30 000
320
15000
. .
hLV
Resultando em hLV=330 m.
A folga h, vale: h=330-320=10 m (folga)
O raio de Fresnell vale: rF 5471515
2 500 3030
.
. . m
O morro é do tipo gume de faca, logo =0. Assim, entrando no ábaco com =0.
h
r0,33
F
(folga) resulta em aOBS=2,2 db.
A atenuação de obstáculo total vale então: aT = aOBP+aOBS = 32,8+2,2 = 35 db. b) Pelo método de Epstein-Petersen Inicialmente usando a figura 7, vê-se que existem 3 obstaculos acima da linha de visada. Sendo assim o perfil original é dividido em três outro perfis apresentados nas figuras 16, 17 e 18. Vamos então calcular as atenuações para cada um destes perfis, usando-se formulas armazenadas numa calculadora HP-49G
Figura 15 Para o perfil da figura 15 teremos:
RF(2500,10,20) = 28.25m HLV(340,250,30,10) = 280m ∆H = HM-HLV = 310—280= 30m ATEOB(30,28.25,0) = 16.5 db
250
310
340
0 10 30
320 320
340
30
0
45
15
60
30
132
Note que este é o mesmo perfil da figura 11 e encontramos o mesmo valor da atenuação, usando formula programada e não o ábaco. Vamos agora calcular o segundo perfil, mostrado na figura 16.
Figura 16 Teremos:
RF(2500,20,15) = 32.03m HLV(320,310,35,20) = 315.7m ∆H = HM-HLV = 340—315.7= 24.3m
Como agora o obstáculo não é do tipo Gume de Faca, deveremos calcular seu raio de curvatura. Como a linha de visada passa á 24.3m abaixo do obstáculo, faremos uma regra de três para determinar sua extensão.
32.5---------1000 24.3-------------x
Resultando em x = 747.7m. Calcularemos agora o raio de curvatura do morro, usando para isto formula da HP, resultando:
RC([747.7],[24.3],1) = 2875.8m O valor de α vale:
α( 2500,2875.8,32.03) = 0.108 Calculando então a atenuação resulta:
ATEOB(24.3,32.03,0.108) = 15.4 db Calculando-se agora o enlace da figura 17
Figura 17
340 320 320
30
0 45
15
60
30
310
340
320
10 0
30
20
45
35
133
RF(2500,15,15) = 29.96m HLV(340,320,30,15) = 330m ∆H = HM-HLV = 320—310= -10m ATEOB(-10,29.96,0) = 2 db
Note que este enlace é idêntico ao da figura 15 e tivemos os mesmos resultados como era de se esperar. A atenuação total valera então:
AT = 16.5+15.4+2 = 33.9 db c) Pelo método de Daygout Usando-se a figura 7 pode-se construir a seguinte tabela:
Obstáculo HLV ∆H RF ∆H/RF
10 km 261.7m 48.3m 31.6m 1.53
30 km 285m 55m 42.2m 1.3
45 km 302.5m 17.5m 36.7m 0.48
Assim vê-se que o obstáculo principal é aquele do km 10 e vamos usar o perfil da figura 18 para calcular sua atenuação.
Figura 18
Iremos agora determinar o segundo obstáculo principal. Para isto vamos considerar o perfil da figura 19.
Figura 19 Com este perfil pode-se construir a seguinte tabela:
Obstáculo HLV ∆H RF ∆H/RF
30 km 314m 26 37.9m 0.68
45 km 317m 3m 35.4m 0.084
45
35
340 320 320
30 20
60
50
10
0
310
250
310
320
0 10 60
134
Sendo assim o obstáculo do km 30 é o segundo obstáculo principal, e vamos utilizar o perfil da figura 20 para calcular a sua atenuação
Figura 20 Vê-se então o perfil da figura 21 que é idêntico ao das figuras 14 e 17 e o obstáculo do km 45 é um obstáculo secundário, cuja atenuação já foi calculada e vale 2 db.
Figura 21
Vamos então calcular a atenuação dos dois obstáculos primários. Primeiramente como perfil da figura 18 teremos:
RF(2500,10,60) = 31.6m HLV(320,250,60,10) = 261.7m ∆H = HM-HLV = 310-261.7= 48.3m ATEOB(48.3,31.6,0) = 19.7 db
Agora com o perfil da figura 20:
RF(2500,20,30) = 37.9m HLV(320,310,50,20) = 314m ∆H = HM-HLV = 340-314= 26m
Necessitamos calcular o raio de curvatura. Para isto utilisando uma regra de três:
32.5---------------10000 26---------------------x
340 320 320
30 0
45
15
60
30
310
340
320
10
0 30
20
60
50
135
Resulta em x = 800m. Portanto RC([800],[26],1) = 3076.9m
O valor de α vale:
α( 2500,3076.9,37.9) = 0.093 O valor da atenuação é:
ATEOB(26,37.9,0.093) = 15.5 db O valor da atenuação total vale:
AT = 19.7+15.5+2 = 37.2 db Comparando-se as atenuações obtidas pelos três métodos, pode-se montar a seguinte tabela:
Método Atenuação (db)
Telebrás 35
Epstein-Petersen 33.9
Daygout 37.2
A literatura sobre o assunto aponta que o método de Daygout é quase sempre o mais restritivo, ou seja o que vai apontar uma maior atenuação. EXERCÍCIO 2 Calcule a atenuação de obstáculo em 3 GHz do seguinte perfil, mostrado na figura 22, já corrigido pelo valor de “K”.
Figura 22
Vamos verificar se existem obstáculos primários. Para isto traçamos a linha de visada, ou seja a reta que une os pontos “A” e “E”, conforme figura 23
Figura 23
Como pode-se verificar, todos os obstáculos situam-se abaixo da linha de visada, e portanto este enlace é composto de um único sub-enlace, não existindo obstáculos primários. Vamos verificar se os obstáculos B,C e D são obstáculos secundários ou não. Para isto vamos calcular as alturas das linhas de visada nos pontos B,C e D. Procedendo conforme visto no exercício anterior, teremos:
500 400
50 000
400
25000
. .
hLVlogo, hLVC=450 m.
136
500 400
50 000
400
30 000
. .
hLVBlogo, hLVB=460 m.
500 400
50 000
400
10 000
. .
hLVDlogo, hLVD=420 m
Vamos calcular o raio de Fresnell, nos pontos C,B e D.
r m
r m
r m
FC
FB
FD
54725 25
3000 5035 3
54720 30
3000 5034 6
54710 40
3000 5028 2
.
.,
.
.,
.
.,
Vejamos agora a relação h/rF para os três obstáculos:
28,03,35
450440
r
h
F
(para o morro C)
32,06,34
460449
r
h
F
(para o morro B)
06,12,28
420390
r
h
F
(para o morro D)
Assim concluimos que os obstáculos B e C são obstáculos secundários pois o valor h/rF
dos mesmos é menor que 1. Já o obstáculo D, não é obstáculo secundário pois seu h/rF é
maior que 1. Como o valor de h/rF do obstáculo “C” é menor que o do obstáculo “B”, o morro “C” será o primeiro obstáculo secundário, e o morro “B” o segundo obstáculo secundário. Calculando-se a atenuação destes obstáculo considerando cada um isolado dos outros teremos:
Obstáculo Atenuação (db)
20 km 2.2
25 km 2.5
Sendo assim a atenuaçãopara este enlace vale:
AT = 2.2+2.5 = 4.7 db Para calcularmos a atenuação do primeiro obstáculo secundário consideramos o seguinte enlace, mostrado na figura 24
Figura 24
137
Para calculo da atenuação do segundo obstáculo secundário o perfil é o mesmo com a substituição do morro do km 25, pelo morro do km 20. Deve ser lembrado que na pratica se considera que sendo ∆H/RF < -0.6 o morro não produz atenuação. Se isto fosse levado em consideração neste exercício o enlace não teria atenuação por obstáculos.
6.5.2 Exercicios Propostos
Exercício 1 Seja o perfil dado pela tabela abaixo, sem correção. Determine a atenuação dos obstáculos pelos três métodos.
Diatância(km) Cota(m) D C D C D C
0 (A) 200+30 9,25 200 16 90 24,75 179
1 130 9,5 213 17 80 25 235
2 120 10 250 18 90 25,25 179
3 110 10,5 213 19 90 25,5 130
4 100 10,7 200 20 95 26 100
5 100 11 180 21 120 27 90
6 110 12 145 22 130 28 130
7 120 13 120 23 90 29 100
8 145 14 100 24 100 49 100
9 180 15 90 24,5 130 50 (B) 150+30
Do km 29 ao km 49 a cota se mantem em 100 metros. A frequencia de operação é 300 Mhz e o valor de k a ser usado é 2/3. Exercício 2 Considere o seguinte perfil sem correção:
Distancia(km) Cota(m) Distancia(km) Cota(m)
0 270+30 20 477
1 200 22 200
8 200 30 210
10 400 42 220
12 210 49 300
18 220 50 370+30
O raio de curvatura do morro a 10 km vale 16000 m, e o do morro a 20 km vale 3000m. O fator k a ser considerado é de 2/3. Calcule a atenuação por obstáculo pelos três métodos. A freqüência a ser utilizada é 450 Mhz. Exercício 3 Considerando o perfil abaixo, determine a atenuação por obstáculo nos três métodos usando k = 2/3 e f = 600 MHz.
138
7 ANEXO
7.1 Revisão matemática
Vamos apresentar agora uma revisão dos fundamentos matemáticos utilizados nos tópicos anteriores. O leitor que domina o assunto pode pular este anexo. O leitor que já esqueceu o assunto deve começar a leitura do livro por esta revisão dos conceitos matemáticos empregados neste processo de propagação das ondas eletromagnéticas
7.1.1 Análise vetorial
Iniciaremos nossa revisão em conceitos básicos, lembrando os conceitos de divergência, rotacional e gradiente bem como do Teorema de Helmholtz da análise vetorial e o conceito de Laplaciano, escalar e vetorial.
7.2 1.2 Divergência de um vetor
Define-se como divergência de um vetor e representa-se por “. F” a seguinte expressão:
V
dsFF
V
s
0
lim
A integral é calculada ao longo de uma superfície fechada cujo volume é V. Esta expressão é representada por:
z
F
y
F
x
FF zyx
em coordenadas cartesianas.
z
FF
y
FF z
1)(1 em coordenadas cilíndricas.
F
senr
Fsen
senrr
Fr
rF r
1) (
1)(12
2 em coordenadas
esféricas.
430
480
543
548 560
0 5 20 30 40
escala horizontal 4 km/div
escala vertical 27 m/div
139
7.3 Rotacional de um vetor Define-se como rotacional de um vetor numa certa direção e representa-se por
“ x F” a seguinte expressão:
s
F. lim
0
dlF
s
Z
Onde a superfície s é perpendicular a direção Z e a integral de linha é tomada ao longo do
contorno da área s. O Rotacional é representado por: Em coordenadas Cartesianas.
z
y
F
x
Fy
x
F
z
Fx
z
F
y
FF xyzxyz )()()(
Em coordenadas Cilíndricas.
z
FF
F
z
F
z
FFF zz )
1)((
1)()
1(
Em coordenadas Esféricas.
rr F
r
rF
rr
rFF
senrr
FsenF
senrF
)(1)(
11 -) (
1
7.4 Gradiente de um escalar
Define-se como gradiente de um escalar numa certa direção e representa-se por “V”. A expressão:
n
n
VV
Onde n
é o vetor unitário na direção máxima desejada, esta expressão é representada
por:
zyxz
V
y
V
x
VV
Em coordenadas Cartesianas
zz
VVVV
+
1
Em coordenadas Cilíndricas
VV
rr
VV r sen r
1+
1 Em coordenadas Esféricas
140
7.5 Laplaciano
Define-se como Laplaciano de um escalar e representa-se por 2 V a expressão:
VV 2
Esta expressão é representada por:
2
2
2
2
2
22
z
V
y
V
x
VV
Em coordenadas Cartesianas
2
2
2
2
2
2 1)(
1
z
VVVV
Em coordenadas Cilíndricas
2
2
222
2
2
2 1)(
1)(
1
V
senr
Vsen
senrr
Vr
rrV Em
coordenadas Esféricas
Define-se como Laplaciano de um vetor e representa-se por 2 F a expressão:
2 F = (.F) - xxF. Esta identidade em coordenadas cartesianas pode ser expressa por:
2 2 2 2F F F Fx y zx y z
Onde 2 F F Fx y z , , 2 2
são Laplacianos de um escalar. Em sistemas de coordenadas cilíndrico e esférico o Laplaciano de um vetor so pode ser representado por sua definição.
7.6 Teorema de Helmoltz Este importante teorema da análise vetorial nos afirma que um vetor só é completamente e unicamente definido uma vez conhecidos sua divergência e seu rotacional. Este teorema é facilmente demonstrado se lembrar-mos de duas propriedades da análise vetorial, a saber:
0)(
0
F
V
Assim, um dado vetor F pode ser decomposto na soma de dois vetores segundo a expressão: F V G Onde “V” é um escalar e “G” um outro vetor.
7.7 Equações Diferenciais Vimos nos parágrafos anteriores que o estudo de propagação das de ondas de rádio consiste basicamente em encontrar-mos a solução da equação
(2 + k2) A = - J0, ou de sua semelhante em tanto para o ar como para a Terra. As constantes destas soluções serão determinadas pela aplicação das condições de contorno na fronteira entre os meios. Recordemos também o fato de para o espaço livre termos encontrado a solução genérica.
A = Jo
v'
( ' , / )'
r t R v
Re dvjkR
4
141
Solução esta que para o caso do dipolo elétrico situado na origem se transforma em
A =
LI
Re jkR
4
É conveniente ressaltar que o fator ejwt está sub-entendido nesta solução. Vamos agora recordar a solução de algumas equações diferenciais que se aplicam ao nosso caso. Iremos mostrar também funções que apareceram nas soluções mostradas nos capítulos seguintes.
7.7.1 Em coordenadas cartesianas
Vejamos primeiramente a solução da equação:
d U
dk U
2
2 0 x
onde U = f (x)2
Esta equação admite como solução: jkxjkx eUeU ou
Vejamos agora a equação: Constante) =(C 2
2
2
CUkdx
Ud
A solução vale:
U AC
k
C
k e o u U = B e-Jkx +Jkx
2 2
Convém notar que as equações apresentadas são semelhantes a equação da onda quando
Laplaciano é função apenas de uma variável ou seja: (2 + k2) A = - J0 onde A=f (x).
Analisemos agora a equação: 02
2
2
2
2
Uk
y
U
x
U. Esta equação admite como
solução sen k = b cosk = a e k = b + a onde eA = U 222by)+(ax J . Vale a pena ressaltar
que Constante) =(C 2
2
2
2
2
CUkdy
Ud
dx
Ud , apresenta como solução: e
2
by)+(ax
k
CAU j .
É mais uma vez interessante notar que esta equação é análoga a equação de campo quando A = f (x,y) ou seja:
(2+k2) = - J0
o
AJAk
yx
A
.2
2
2
2
2
7.7.2 Coordenadas cilíndricas
A equação OUkyx
A A
2
2
2
2
2
Em coordenadas cilíndricas se transforma em: OUkU
ry
U
rr
U
2
2
2
22
2
2
2 11
A qual apresenta como solução: 2
1
cos .
njnjj
n edeeCU
o
onde: kr = - 0 = 1
onde ““ e ““ são os limites de integração de ““ e “Cn“ = Constante.
142
Chega-se a esta solução substituindo-se as coordenadas cartesianas pelas cilíndricas e
substituindo-se a constante A por A = n ejnα. A seguir fez-se uma troca de variável ““ por
““, e “r” por kr. É conveniente ressaltar que é desta solução cilíndrica que aparecem as funções de Bessel e
Hankell representadas pela parte:
deec njj
n
o
COS 1
da solução fazendo-se 2n
2
1
j
n ec
e variando-se os limites “w” da integral aparecem as funções de Bessel e Hankell. Assim, mediante troca de variável pode-se chegar a seguinte solução da equação, em termos da função de Bessel.
U F q J qr e dqo
o
( ) ( )
onde q = variável de integração 22 kq
7.7.3 Em coordenadas esféricas
A equação da onda supondo variação somente em “r” fica:
OUkr
UUk 2
2
222
r d
Ud2
r d
dou 0)(
para U = F ( r ) esta equação tem como solução: r
eDU
rk j
(D = Constante).
Solução esta que já havíamos deduzido em tópicos passados. Para equação
(2+k2)U= L (L = Constante).
A solução será: 2
k
L
r
eDU
jkr
Supondo agora U = f (r,) a equação ficará:
OUkU
sensenr
rUrr
2
22
2
)(11
)(1
que apresenta como solução:
On n
n
nnkrH
krPcU
)(
)(J).(cos
2,1
onde Pn(cos ) = Polinômios de Legendre
n
n
nnd
d
nP )1(cos
)(cos!2
1)(cos 2
)cos15cos70cos63(8
1)cos(
)3cos30cos35(8
1)cos(
)cos3cos5(2
1)cos(P cos)cos(
)1cos3(3
1 = ) (cosP 1)cos(
35
5
24
4
3
31
2
2
P
P
P
Po
J Kr Funç ão de Bessel
H Kr Funç ão de Hankell
n
n
( ) .
( ) .,
1 2
143
7.7.4 Relações entre as soluções Como estas soluções são equivalentes, ou seja, trata-se da mesma solução apenas em outro sistema de coordenadas, pode-se exprimir uma função em termos de outras, e assim chegar-se a diversas expressões da mesma função.
Vamos lembrar expressões da função r
rk je
que como vimos é solução da equação
para o caso do espaço livre, e na qual temos variação em apenas uma
direção:
qdqqrJ
0
z -
0
Rk -j
e)(R
e
Onde: R2 = r2+z2 e 22 kq
q = Variável auxiliar.
e-j k R
(2)
R H (Kr) P (cos )
An n nn
n
0
onde R = r .
7.8 Funções Especiais Recordemos também as definições das funções de Bessel, Hankell e Neumann, bem como as funções seno, cosseno e funções erro.
7.8.1 Função de Bessel
dJ
j
j
n
n
/2)-( j cos j e e2
1)(
onde = p+j q para “” e “w” reais
dsen
dJ n
n
0
)senh()sen-j(n en
e2
1)(
Onde
2
e = + j
Se “n”for inteiro a segunda integral da expressão acima é nula.
7.8.2 Função de Hankell
d
d
j
j
n
n
j
j
n
n
0
/2)-( j cos j(2)
0
/2) -( j cos j(1)
ee1
)(H
e e1
)(H
onde Hn1 () = Função de Hankell de 10 grau.
Hn1 () = Função de Hankell de 20 grau.
144
7.8.3 Função de Neumann
N ( ) =
1
2 j H H n n
(1)
n
(2) ( ) ( )
7.8.4 Relações entre as funções
J ( ) = 1
2 H H
H ( ) = J jN ( )
H ( ) = J j N
n n
(1)
n
(2)
n
(1)
n n
n
2
n n
( ) ( )
( )
( ) ( )
A função de Bessel, também pode ser expressa por:
m
m
mmn
nmm0
2
n2)1(!
)1(
2)(J
Quando “n” for um número inteiro
(m+n+1) = (m+n)!
A função gama (p) é definida por:
dx e x = (p) x-1-p
As funções de Bessel e Hankell também podem ser expressas por:
)()1
(H 2
)()1(
1/2+nJx
e
dx
d
xx
x
Jxnnx
)()1
(H 2
)()2(
1/2+nJx
e
dx
d
xx
x
Jxnnx
)()1
(J 2
)(
1/2+nx
senx
dx
d
xx
x
nnx
Veremos a seguir outras expressões relativas a diversas funções. - Função de Neumann
senr
zrzz
)(J cos)(J)(N rr
r
Função de Bessel Para |z| pequeno
J r ( )
( )z
z
r
r
r2 1
Funções de Bessel e Neumann Para |z| grande
145
J r ( ) cos( )z
zz
r
2
2 4
N r ( ) sen( )z
zz
r
2
2 4
Hv
(1) j ( z - - )v4( )z e
2
22
Hv
(2) -j ( z - - )v4( )z e
2
22
Função Gama
( +1)= ( )
(1) = 1
Se ““ for um número inteiro !)1(
Funções Seno e Coseno
co s z =
1
2 (eJz e Jz )
sen z = 1
2 j
cos z 1
sen z = 1
n
0
n
0
( )
( )( )!
( )( )!
e e
z
n
z
n
Jz Jz
n
n n
n
n n
2
2 1
2
2 1 Funções erfc(z) e erf(z)
.........)8
5*3*1
4
3*1
2
11(
1 - 1 (z) erf
(z) erf - 1 = erfc(z)
2 = )z( erf
2 (z) erfc
753
0
2
2
2
zzzze
dte
dte
z
z
t
z
t
146
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
1.BREMMER, H. Terrestrial radio waves. London Elsevier Publishing Company, 1949. 2.JORDAN, E.C. Eletromagnetic waves and radiating systems. London Prentice
Hall, 1962. 3.BRODHAGE, Helmut ; HORMUTH, Wilhelm Planejamento e cálculo de radio enlaces, São Paulo Editora Pedagógica e Universitária Ltda., 1981. 4.DOLUKHANOV, M. Propagation of radio waves, Moscou Mir Publishers, 1971.
5.KRAUS, John D.; CARVER, Keith R. Eletromagnetismo, Rio de Janeiro Editora
Guanabara Dois, 1978. 6.PICQUENARD, Armel Complementos de telecomunicações, São Paulo Companhia Editora Nacional, 1976. 7.RAMO, Simon; WHINNERY, John R. ; VAN DUZER, Theodore Campos e ondas em Eletrônica das comunicações, Rio de Janeiro Editora Guanabara Dois, 1981. 8.BRASIL. Ministério das Telecomunicações. Conselho Nacional de Telecomunicações (CONTEL). NTC - 19, Rio de Janeiro Arte Moderna, 1967. 9.PANTER, Philip F. , Comunnication systems design New York Mc Graw Hill Book
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P&A, 2005. 13.Hayt Jr., William H., Eletromagnetismo, Rio de Janeiro, LTC Livros Técnicos e Científicos Editora S.A., 1983. 14.CHIAROTTINO, Paolo Determinação da perda por difração em
VHF-UHF, In: Revista Telebrás Brasília março 1985, p.16-26.
15.NORMA para cálculo da atenuação de propagação em frequências na
faixa de 30 Mhz a 10.000 Mhz, In: Diário Oficial da União de
10/09/92 Brasília.
16.KREYSZIG, Erwin Advanced engineerning mathematics, New
147
York John Wiley and Sons, 1964.
17.CHURCHILL, Ruel V. Complex variables and applications, Tokyo:
Mc Graw Hill Book Company, 1960.
148
Índice Remissivo
A
altímetros, 37, 38
área elétrica, 72, 73, 92 atenuação de obstáculo, 75, 126, 130, 131, 135 atenuação dos obstáculos primários ou secundários, 126
atenuação total dos obstáculos, 126 atmosfera, 3, 6, 7, 8, 13, 14, 15, 19, 20, 25, 27, 36, 41, 61, 95,
96, 97, 102, 110 Azimute, 3, 29
B
bússolas, 29, 37
C
camada de ozônio, 6
campo distante, 3, 59, 60, 61, 65 campo magnético, 7, 47, 48, 54 campos elétricos e magnéticos, 53, 54, 55, 62
Cartas digitalizadas, 28 Cartas topográficas, 28 CIM, 28 coeficiente de reflexão, 16, 25, 36, 37, 46, 55, 64, 83, 93, 98,
101, 103, 105, 121, 122 comprimento elétrico, 72 condutividade elétrica, 48 constante de propagação, 65
constante dielétrica, 48 convergencia meridiana, 28 correntes elétricas, 47
corrigir o perfil, 41 cotas de referência, 30 curva de nível, 30, 79 curvatura da onda eletromagnética, 18
D
Datum, 28 declinação magnética, 28
Declinação Magnética, 7 densidade de elétrons, 6, 7, 9, 22, 104 diferença de altura entre dois pontos, 3, 39 dipolo elétrico, 3, 58, 59, 61, 95, 141
distância do horizonte, 43, 46 distância entre dois pontos, 3, 29, 38 distância ortodomica, 29
E
ELIPSÓIDE DE FRESNELL, 70 equação da onda, 49, 50, 52, 108, 141, 142 equações de Maxwell, 47, 49, 53, 96, 107
espaço-livre, 65, 66, 70, 73, 74, 75, 82 estratosfera,, 6
F
frequência de colisão, 7, 9, 16, 22 frequência MUF, 21 frequência ótima de operação, 104 fusos horários, 28
G
GPS,, 38
GUMES DE FACA, 124
I
impedâncias intrínsecas dos meios, 55
índice de refração, 3, 9, 12, 13, 17, 18, 19, 20, 21, 25, 40 ionosfera, 3, 6, 7, 14, 15, 16, 20, 21, 22, 25, 101, 103, 105
L
lei de Snell, 55
M
Método da Telebras, 4, 125 método de Epstein-Petersen,, 124 método descrito na revista Telebrás de maio/85., 124
N
Norton, 94, 97, 98, 101, 102, 106, 115, 118
O
o método de Daygout, 124, 135 obstáculo Gume de Faca, 4, 77 obstáculo primário, 125, 128, 129, 130 obstáculos arrendondados, 79
OBSTÁCULOS ARRENDONDADOS, 124 obstáculos secundários, 125, 126, 135, 136 onda de superfície, 101, 102, 103, 119 onda direta, 83, 101, 102, 103
onda espacial, 101, 102 onda plana, 4, 52, 53, 54, 63, 64, 65, 66, 67, 68, 69, 72, 75,
76, 77
P
perfil do terreno, 30 potencial magnético, 3, 48, 54, 59, 62, 95 Princípio de HUYGENS, 68
R
radiações ultravioleta, 6 raio da curvatura, 17, 40, 80 raio de curvatura, 18, 39, 79, 80, 81, 132, 134, 137
Raio de curvatura da luz, 40 raio efetivo da Terra, 19, 37, 106 raio refletido no solo, 82 reta interpoladora., 33
reta media, 33, 35, 46, 106, 121, 122 rugosidade de um perfil, 34
S
SGB, 28 Sommerfeld, 94, 95, 96
149
T
teodolitos,, 37 Terra plana, 42, 44, 46, 105, 106 Terra plana equivalente, 44, 106
Terra Plana Equivalente, 2, 4, 38, 94, 98, 105 tipos de cabos coaxiais, 71 tipos de solo, 57
troposfera, 6, 7, 8, 9, 12, 13, 14, 17, 48, 57, 65
V
Van der Pol e Bremmer, 94, 113, 121, 122, 123
vapor d'água, 6, 7, 8, 9, 12 vetor de Poynting, 65, 66, 72
W
Weyl, 94, 96, 97
Z
Zenek,, 94 zona de silêncio, 25
Zonas de Fresnell, 69