propagação de ondas mecânicas em meios sólidos homogéneos · objectivos" determinar as...
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Propagação de ondas mecânicas em meios sólidos homogéneos"
Gonçalo Figueira — [email protected]!Complexo Interdisciplinar, ext. 3375!Tel. 218 419 375 !!!1.º semestre 2015/16"https://fenix.tecnico.ulisboa.pt/disciplinas/LFEB2517/2015-2016/1-semestre"
Objectivos"Determinar as velocidades de propagação das ondas mecânicas em várias amostras de meios sólidos homogéneos!!Calcular as constantes elásticas para os materiais isotrópicos e o coeficiente de anisotropia para os materiais anisotrópicos!!Conceitos chave:!• Forças normais!• Forças tangenciais!• Ondas em meios materiais!• Velocidades de propagação!!!"
Teoria da elasticidade""Forças exteriores a um corpo causam pequenas deformações:!!Quando as forças deixam de actuar, o corpo retoma a forma inicial!
F = −kΔx
Forças normais"• Barra de comprimento L e secção A!• Força F uniforme e normal à base!• Alongamento longitudinal ΔL
proporcional à força!
FA=Y ΔL
L
Y = módulo de Young (Pa)"
Y (GPa)"0,01 – 0,1!
2 – 4!45!
50 – 90!50 – 90!
200 !1220 !!
Material"Borracha!
Nylon!Granito!
Vidro!Latão!
Aço!Diamante!
!
Forças normais"• Barra de comprimento L e secção A!• Força F uniforme e normal à base!• Encurtamento tangencial ΔL’
proporcional à força!
Δww
=Δhh= −σ
ΔLL
σ = coef. de Poisson [ 0, ½ ]"
σ"~ 0,0!
0,18 – 0,3!0,2!0,3!
~ 0,5 !!
Material"Cortiça!
Vidro!Betão!
Aço!Borracha!
!
(w = largura, h = altura)!
Forças normais"
Cortiça (σ ~ 0,0)! Borracha (σ ~ 0,5)!
Quanto maior o coef. de Poisson, mais o material encolhe lateralmente quando esticado.!
Módulo volúmico de compressão"Barra sujeita a pressão igual em todas as faces!"Diminuição de volume ΔV proporcional à força!
FA= K ΔV
V
K = módulo volúmico de compressão"
(bulk modulus)"
K =Y
3 1− 2σ( )
As três constantes estão relacionadas através de :!
Forças tangenciais"• Barra de comprimento L e secção A,
fixa pela base inferior!• Força FT tangencial ao topo!• Inclinação θ proporcional à força!
FTA= µθ
µ = módulo de rigidez [Pa]"( shear modulus )"
µ (GPa)"0,0006!
0,12!13,1!26!
52,5!79,3 !478 !!
Material"Borracha!
Plástico PE!Chumbo!Alumínio!
Ferro!Aço!
Diamante!!
Binário de forças tangenciais"Duas forças tangenciais de sentidos opostos, aplicadas na base!"Torção de um ângulo θ, proporcional ao momento da força"
N = Fd = µ πr4
2Lθ
µ = módulo de rigidez [Pa]"( shear modulus )"
Y (módulo de Young)!!!σ (coef. de Poisson)!!!K (mód. volúmico de compressão)!!!µ (módulo de rigidez)!!!!!!!
Propagação de ondas mecânicas"Forças de compressão / tracção produzem ondas longitudinais (tipo P).
Forças tangenciais produzem ondas tangenciais (tipo S).
Equação de onda em sólidos"Segmento de espessura dx!Força F provoca um deslocamento dξ :! F! F + dF!
dξ!
FA=Y ΔL
L ⇔ F = AY Δξ
Δx= AY dξ
dx
Resultante das forças gera aceleração :!
dF = dm× a ⇔ ∂F∂x
dx = ρAdx( )∂2ξ∂t2
∂F∂x
= ρA ∂2ξ∂t2
Juntando as duas eqs.:!
∂2ξ∂x2
−ρY∂2ξ∂t2
= 0
Equação de onda"
Velocidade de propagação"Só dependem das constantes de elasticidade e da massa volúmica ρ.!
vL =Yρ
Y →Y ' = 1−σ1+σ( ) 1− 2σ( )
Y
= K + 43µ
vL =Y 'ρ
vT =µρ
longitudinais" tranversais"
vL > vT
vLvT
!
"#
$
%&
2
=2 1−σ( )1− 2σ( )
geral"
Propagação em meios anisotrópicos"
As constantes de elasticidade formam um tensor ( o tensor de elasticidade )!!É necessário um grande número de medições!!!!Só é praticável calcular o coeficiente de anisotropia:!
c.a. = vmax − vminvmax
Protocolo experimental"• Várias amostras cortadas em forma de prisma quadrangular recto!
• Determinação das velocidades de propagação de ondas P & S:!– envio de impulsos mecânicos através da amostra!– medição do tempo de percurso (v ~ km/s) com um osciloscópio!
• Calcular:!– Coeficientes K, µ e σ para os materiais isotrópicos!– Coeficiente de anisotropia para materiais anisotrópicos!