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UNIVERSIDADE DE COIMBRA FACULDADE DE CIÊNCIAS E TECNOLOGIA

Departamento de Engenharia Civil

PROPAGAÇÃO DE ONDAS EM SISTEMAS QUE REQUEREM

O ESTUDO DA INTERACÇÃO SÓLIDO-FLUIDO

por

Luís Manuel Cortesão Godinho

Dissertação apresentada à Faculdade de Ciências e Tecnologia da Universidade de Coimbra para obtenção do grau de Doutor em Engenharia Civil,

especialidade de Construções

Orientador: Prof. Doutor António José Barreto Tadeu

Coimbra, Dezembro de 2003

Esta dissertação foi co-financiada pelo Fundo Social Europeu, através do programa PRODEP III, Medida 5, Acção 5.3.

União Europeia

Fundo Social Europeu

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PROPAGAÇÃO DE ONDAS EM SISTEMAS QUE REQUEREM

O ESTUDO DA INTERACÇÃO SÓLIDO-FLUIDO

RESUMO

A interacção entre meios sólidos e fluidos assume grande relevância no domínio da propagação de ondas. Estes fenómenos são particularmente importantes na aplicação de técnicas não destrutivas e em áreas como a acústica. Em alguns casos, é possível considerar simplificações que permitem uma análise isolada do meio acústico ou do meio elástico. No caso da acústica de edifícios, é usual considerar-se este tipo de abordagem, permitindo o desenvolvimento de um conjunto de métodos e formulações simplificadas. No entanto, estas formulações apresentam limitações evidentes no caso em que o contraste entre os materiais é mais reduzido, o que acontece, por exemplo, quando se consideram elementos leves. Também em problemas de prospecção geofísica e oceanográfica ou de análise dinâmica de estruturas submersas, as propriedades dos meios envolvidos determinam a utilização de modelos matemáticos mais elaborados que considerem a interacção sólido-fluido.

No sentido de ultrapassar algumas das simplificações referidas, desenvolvem-se modelos que contabilizam de forma rigorosa a interacção entre meios fluidos e sólidos. Ao longo deste trabalho estabelecem-se formulações no domínio da frequência, que permitem a análise de sistemas com geometrias bidimensionais excitados quer por fontes lineares quer por fontes pontuais. Neste último caso, a solução é obtida na forma de um somatório de soluções bidimensionais, calculadas para diferentes valores do número de onda segundo a direcção em que a geometria não varia. Respostas no domínio do tempo são posteriormente obtidas por aplicação de transformadas inversas de Fourier.

Desenvolvem-se em simultâneo soluções analíticas e modelos baseados no Método dos Elementos de Fronteira. As soluções analíticas permitem o cálculo da resposta de sistemas com geometrias simples, em particular sistemas com geometria cilíndrica de secção circular e sistemas estratificados constituídos por camadas paralelas. Estas soluções são úteis em si mesmas, e permitem também a verificação dos modelos numéricos desenvolvidos. Adicionalmente, estas são usadas como soluções fundamentais no Método dos Elementos de Fronteira, permitindo a resolução de problemas de propagação de ondas em sistemas com geometria irregular e em sistemas estratificados que contenham inclusões (elásticas, fluidas ou rígidas).

A aplicação dos modelos desenvolvidos é ilustrada na área da acústica e na utilização de técnicas não destrutivas. Na área da acústica, calcula-se a atenuação proporcionada por barreiras acústicas constituídas por materiais elásticos, inseridas em meios abertos ou fechados, e estuda-se o isolamento acústico conferido por painéis múltiplos, constituídos por várias camadas, fluidas e/ou sólidas. No âmbito da utilização de técnicas não destrutivas, simulam-se técnicas de prospecção geofísica e de prospecção oceanográfica, e analisa-se a vibração de estruturas submersas.

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WAVE PROPAGATION IN SYSTEMS REQUIRING THE STUDY

OF SOLID-FLUID INTERACTION

SUMMARY

Fluid-solid interaction is an important factor in many problems of wave propagation. These phenomena are particularly relevant in the application of non-destructive techniques and in acoustics. In some cases, it is possible to simplify the problem and analyze the fluid and the solid domains separately. In building acoustics, it is usual to consider this kind of approach, allowing the development of simplified methods and formulations. However, these formulations cannot be applied in cases where there is no strong contrast between the properties of the fluid and solid materials. This is the case, for example, of lightweight panels. Similarly, in problems of geophysical and oceanographic prospecting and in the vibration analysis of submerged structures, the properties of the media involved determine the use of elaborate mathematical models that take into account the full solid-fluid interaction.

The work described in this thesis is intended to overcome some the simplifications indicated above by developing models that take into account the full solid-fluid interaction in a physically exact manner. Frequency domain formulations will be established, allowing the analysis of systems with constant geometry along one direction, illuminated by dynamic line and point sources. For the latter, the solution for the three-dimensional problem is computed as a discrete summation of simpler two-dimensional solutions, calculated for a sequence of wavenumbers defined along the direction in which the geometry does not vary. Time domain signals are then obtained by applying inverse Fourier transformations.

Analytical and Boundary Element models are developed. The analytical models allow the calculation of the response for systems with circular cylindrical geometry, and for systems composed of a sequence of parallel fluid and solid layers. These solutions are intrinsically interesting, and they also enable the numerical models developed to be verified. Additionally, they can be used within the Boundary Element Method as fundamental solutions, making it possible to solve wave propagation problems in systems with irregular geometry and in stratified media containing rigid, elastic or fluid inclusions.

Several applications are presented, mainly in the fields of acoustics and non-destructive techniques. In acoustics, the sound propagation in the presence of elastic screens, placed in open and closed spaces, and the behavior of multilayer panels are studied. Regarding non-destructive techniques, geophysical and oceanographic prospecting techniques are simulated, and the vibration of submerged ring-shaped structures is studied.

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AGRADECIMENTOS

Terminada esta dissertação, não posso deixar de exprimir a minha gratidão a todos os que, de diferentes formas, ajudaram a torná-la possível. São muitas as pessoas a quem gostaria de agradecer, incluindo todos aqueles a quem me orgulho de chamar Amigos. A todos eles, aqui fica o meu profundo e sincero agradecimento. Alguns, no entanto, merecem destaque, não só pelo apoio incondicional que sempre me deram, como até pelo tempo e pela paciência que me dispensaram. Ao meu orientador, Prof. Doutor António José Barreto Tadeu, pelo seu empenho pessoal, pela sua disponibilidade, pela sua amizade e pelo seu constante incentivo. A ele se deve a sugestão do tema. Muito do trabalho que aqui se apresenta não seria possível sem as suas sugestões, sempre úteis e oportunas, e sem os profundos conhecimentos que comigo partilhou durante toda a sua elaboração. A ele se devem, em grande parte, as condições de trabalho e o bom ambiente de que pude usufruir no Laboratório de Construções. A todos aqueles que integram o Laboratório de Construções do Departamento de Engenharia Civil, pelo apoio e incentivo que me deram ao longo de todo o trabalho. Em particular, aos meus colegas Andreia Pereira, Diogo Mateus, Fernando Branco, José António, Julieta António, Nuno Simões, Paulo Mendes, Paulo Santos e Rita Faria pela amizade com que diariamente me honram. À minha mãe, ao meu pai, e ao meu irmão, pelo carinho e pela amizade que sempre me dispensaram e que ajudaram a fazer de mim o que hoje sou. O incessante incentivo que sempre me deram foi decisivo para que pudesse levar este trabalho a bom porto. Ao meu pai, em particular, quero deixar um agradecimento muito especial. A paciente leitura crítica que realizou, e as inúmeras sugestões que deu, em muito beneficiaram esta dissertação. A seriedade e o rigor com que encara tudo aquilo a que se propõe, e que sempre me soube transmitir, fazem com que seja hoje o exemplo que procuro seguir. À minha mulher, Catarina, pelo seu carinho e pelo seu apoio, que me deram todo o alento necessário para chegar ao final deste trabalho. Com ela partilho os melhores momentos que vivo. A ela agradeço a paciência e compreensão que sempre demonstrou e que permitiram ultrapassar a minha pouca disponibilidade dos últimos meses.

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ÍNDICE

CAPÍTULO 1 - INTRODUÇÃO .............................................................................................1

1.1 – ENQUADRAMENTO TEMÁTICO DA DISSERTAÇÃO............................................................................. 1

1.2 – OBJECTIVOS ................................................................................................................................................... 3

1.3 – ESTRUTURA DA DISSERTAÇÃO................................................................................................................ 5

CAPÍTULO 2 - SOLUÇÕES ANALÍTICAS PARA A PROPAGAÇÃO DE ONDAS EM MEIOS ACÚSTICOS E ELÁSTICOS NA PRESENÇA DE INCLUSÕES CILÍNDRICAS ................................................................................9

2.1 - INTRODUÇÃO.................................................................................................................................................. 9

2.2 - DEFINIÇÃO DO PROBLEMA TRIDIMENSIONAL................................................................................... 11

2.3 – SOLUÇÃO ANALÍTICA PARA A PROPAGAÇÃO DE ONDAS EM MEIOS INFINITOS HOMOGÉNEOS.............................................................................................................................................. 14

2.4 – SOLUÇÃO ANALÍTICA PARA A PROPAGAÇÃO DE ONDAS NUM FLUIDO QUE CONTÉM UMA INCLUSÃO RÍGIDA............................................................................................................................ 16

2.4.1 – Campo de ondas incidentes ...................................................................................................................... 17 2.4.2 – Campo de ondas transmitidas/reflectidas................................................................................................. 17

2.5 – SOLUÇÃO ANALÍTICA PARA A PROPAGAÇÃO DE ONDAS NA PRESENÇA DE UMA INCLUSÃO PREENCHIDA POR FLUIDO NO INTERIOR DE UM MEIO ELÁSTICO ......................... 19


2.6 – SOLUÇÃO ANALÍTICA PARA A PROPAGAÇÃO DE ONDAS NA PRESENÇA DE UMA INCLUSÃO ELÁSTICA LOCALIZADA NO INTERIOR DE UM MEIO ELÁSTICO............................. 24


2.7 – SOLUÇÃO ANALÍTICA PARA A PROPAGAÇÃO DE ONDAS NA PRESENÇA DE UM ANEL CIRCULAR ELÁSTICO, PREENCHIDO COM UM FLUIDO E INSERIDO NUM MEIO FLUIDO INFINITO......................................................................................................................................................... 28


2.8 – SOLUÇÃO ANALÍTICA PARA A PROPAGAÇÃO DE ONDAS NA PRESENÇA DE UM ANEL CIRCULAR ELÁSTICO, PREENCHIDO COM UM FLUIDO E INSERIDO NUM MEIO ELÁSTICO INFINITO.................................................................................................................................... 33


2.9 - CONCLUSÕES................................................................................................................................................ 38

APÊNDICE A1 - SISTEMA DE EQUAÇÕES PARA UM CILINDRO PREENCHIDO COM FLUIDO INSERIDO NUM MEIO SÓLIDO ................................................................................................................. 39

APÊNDICE A2 - SISTEMA DE EQUAÇÕES PARA UMA INCLUSÃO CILÍNDRICA PREENCHIDA POR UM SÓLIDO INSERIDA NUM MEIO SÓLIDO ................................................................................. 40

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APÊNDICE A3 - SISTEMA DE EQUAÇÕES PARA UM ANEL SÓLIDO PREENCHIDO COM FLUIDO E INSERIDO NUM MEIO FLUIDO ....................................................................................43

APÊNDICE A4 - SISTEMA DE EQUAÇÕES PARA UM ANEL SÓLIDO PREENCHIDO COM FLUIDO E INSERIDO NUM MEIO SÓLIDO ....................................................................................49

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS .....................................................................................................................58

CAPÍTULO 3 - SOLUÇÕES ANALÍTICAS PARA A PROPAGAÇÃO DE ONDAS EM MEIOS CONSTITUÍDOS POR CAMADAS FLUIDAS OU ELÁSTICAS ...... 61

3.1 - INTRODUÇÃO ................................................................................................................................................61

3.2 - PROPAGAÇÃO DE ONDAS EM MEIOS INFINITOS ................................................................................64 3.2.1 - Carga que actua num meio sólido segundo a direcção x ..........................................................................67 3.2.2 - Carga que actua num meio sólido segundo a direcção y ..........................................................................69 3.2.3 - Carga que actua num meio sólido segundo a direcção z...........................................................................70 3.2.4 - Carga de pressão que actua num meio fluido............................................................................................71

3.3 - PROPAGAÇÃO DE ONDAS EM MEIOS SEMI-INFINITOS COM SUPERFÍCIE LIVRE E LIMITADOS POR UM FLUIDO.................................................................................................................72

3.3.1 - Meio sólido semi-infinito limitado superiormente por uma superfície livre............................................72 3.3.2 - Meio sólido semi-infinito limitado superiormente por um meio fluido semi-infinito .............................75

3.4 - PROPAGAÇÃO DE ONDAS EM MEIOS ESTRATIFICADOS COM UMA OU DUAS CAMADAS SÓLIDAS, SEPARADAS E LIMITADAS POR MEIOS FLUIDOS ............................................................79

3.4.1 - Sistema com uma camada sólida limitada superior e inferiormente por dois meios fluidos semi-infinitos ..................................................................................................................................80

3.4.2 - Sistema com duas camadas sólidas separadas por uma camada fluida e limitadas por dois meios fluidos semi-infinitos .......................................................................................................................82

3.5 - GENERALIZAÇÃO PARA SISTEMAS COM QUALQUER SEQUÊNCIA DE CAMADAS FLUIDAS E SÓLIDAS....................................................................................................................................85

3.5.1 - Matriz individual que traduz o comportamento de uma camada fluida ...................................................87 3.5.2 - Matriz individual que traduz o comportamento de uma camada sólida...................................................89

3.5.2.1 - Carregamento que actua segundo a direcção x numa camada sólida ................................................89 3.5.2.2 - Carregamento que actua segundo a direcção y numa camada sólida ou carregamento que actua

numa camada fluida ...........................................................................................................................93 3.5.2.3 - Carregamento que actua segundo a direcção z numa camada sólida ................................................96

3.5.3 - Construção da matriz de sistema e vector de carregamento para alguns casos........................................99 3.5.3.1 - Sistema com uma camada sólida, constituída por múltiplas subcamadas e limitada inferior e

superiormente por dois meios fluidos semi-infinitos ........................................................................99 3.5.3.2 - Sistema com três camadas sólidas separadas por camadas fluidas e limitadas inferior e

superiormente por dois meios fluidos semi-infinitos ......................................................................102 3.5.4 - Verificação das soluções .........................................................................................................................104

3.6 - NOTAS FINAIS .............................................................................................................................................108

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ...................................................................................................................109

CAPÍTULO 4 - MÉTODO DOS ELEMENTOS DE FRONTEIRA PARA A PROPAGAÇÃO DE ONDAS EM MEIOS FLUIDOS E SÓLIDOS ............... 113

4.1 - INTRODUÇÃO ..............................................................................................................................................113

4.2 – FORMULAÇÃO GERAL DO MÉTODO DOS ELEMENTOS DE FRONTEIRA ...................................116 4.2.1 – Método dos Elementos de Fronteira para o estudo da propagação de ondas em meios sólidos ...........119 4.2.2 – Método dos Elementos de Fronteira para o estudo da propagação de ondas em meios fluidos ...........121

xi

4.3 – MODELO DE ELEMENTOS DE FRONTEIRA PARA MEIOS FLUIDOS QUE CONTÊM UMA INCLUSÃO COM FRONTEIRA RÍGIDA .................................................................................................. 124

4.3.1 – Formulação do modelo ........................................................................................................................... 124 4.3.2 – Verificação do modelo ........................................................................................................................... 125

4.4 – MODELO DE ELEMENTOS DE FRONTEIRA PARA MEIOS SÓLIDOS QUE CONTÊM UMA INCLUSÃO PREENCHIDA POR UM FLUIDO......................................................................................... 127


4.5 – MODELO DE ELEMENTOS DE FRONTEIRA PARA MEIOS SÓLIDOS QUE CONTÊM UMA INCLUSÃO PREENCHIDA POR UM SÓLIDO......................................................................................... 130


4.6 – MODELO DE ELEMENTOS DE FRONTEIRA PARA UM ANEL SÓLIDO INSERIDO NUM MEIO FLUIDO E PREENCHIDO COM OUTRO FLUIDO....................................................................... 133


4.7 – MODELO DE ELEMENTOS DE FRONTEIRA PARA UM ANEL SÓLIDO INSERIDO NUM MEIO TAMBÉM SÓLIDO E PREENCHIDO POR UM MATERIAL FLUIDO ...................................... 136


4.8 - CONCLUSÕES.............................................................................................................................................. 138

APÊNDICE A1 - EXTENSÕES E TENSÕES GERADAS NUM MEIO SÓLIDO POR ACÇÃO DE CARGAS 2.5D ........................................................................................................................................ 140

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS................................................................................................................... 143

CAPÍTULO 5 - MODELAÇÃO DO COMPORTAMENTO ACÚSTICO DE PAINÉIS MÚLTIPLOS .....................................................................................147

5.1 - INTRODUÇÃO.............................................................................................................................................. 147

5.2 - CÁLCULO ANALÍTICO DO ÍNDICE DE REDUÇÃO SONORA............................................................ 151

5.3 - OBTENÇÃO DE RESPOSTAS NO DOMÍNIO DO TEMPO..................................................................... 153

5.4 - MODELOS SIMPLIFICADOS DE ANÁLISE ............................................................................................ 155 5.4.1 - Lei teórica da massa ................................................................................................................................ 155 5.4.2 - Parede simples com comportamento de placa fina (Modelo A) ............................................................ 156 5.4.3 - Parede dupla em que ambos os painéis se comportam como placas finas (Modelo B) ........................ 157 5.4.4 - Parede tripla em que todos os painéis se comportam como placas finas (Modelo C)........................... 158

5.5 - APLICAÇÕES ............................................................................................................................................... 159 5.5.1 - Parede simples em gesso cartonado........................................................................................................ 159 5.5.2 - Parede dupla com dois painéis de gesso cartonado................................................................................ 163 5.5.3 - Parede dupla com um painel de gesso cartonado e um painel multicamada ......................................... 166 5.5.4 - Parede tripla com três painéis de gesso cartonado ................................................................................. 169

5.6 - CONCLUSÕES.............................................................................................................................................. 172


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CAPÍTULO 6 - ANÁLISE DOS NÍVEIS SONOROS REGISTADOS NA PRESENÇA DE UMA BARREIRA.................................................................. 177

6.1 - INTRODUÇÃO ..............................................................................................................................................177

6.2 - FUNÇÕES DE GREEN 2.5D ........................................................................................................................181 6.2.1 - Sistema constituído por um meio fluido limitado inferiormente por um meio sólido semi-infinito .....182 6.2.2 - Sistema constituído por um meio fluido limitado inferior e superiormente por meios sólidos

semi-infinitos ............................................................................................................................................184 6.2.3 - Sistema constituído por um meio fluido contendo uma camada sólida e confinado por dois meios

sólidos semi-infinitos................................................................................................................................185

6.3 - FORMULAÇÃO DO MÉTODO DOS ELEMENTOS DE FRONTEIRA...................................................187

6.4 - APLICAÇÕES................................................................................................................................................189 6.4.1 - Comportamento de barreiras elásticas num espaço aberto .....................................................................191

6.4.1.1 - Análise da atenuação sonora ............................................................................................................192 6.4.1.2 - Níveis sonoros registados em frequências específicas ....................................................................197

6.4.2 - Comportamento de barreiras elásticas em espaços confinados ..............................................................200 6.4.2.1 - Comportamento de uma barreira elástica num espaço confinado superior e inferiormente

por meios elásticos semi-infinitos....................................................................................................201 6.4.2.2 - Comportamento de uma barreira elástica num espaço confinado com tecto falso. ........................203

6.5 - CONCLUSÕES ..............................................................................................................................................206

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ...................................................................................................................207

CAPÍTULO 7 - CARACTERIZAÇÃO DE MEIOS, E DETECÇÃO E IDENTIFICAÇÃO DE INCLUSÕES COM RECURSO A MÉTODOS DINÂMICOS ................................................................................. 209

7.1 - INTRODUÇÃO ..............................................................................................................................................209

7.2 - ANÁLISE DA VIBRAÇÃO DE ESTRUTURAS LINEARES TUBULARES ...........................................210 7.2.1 - Enquadramento ........................................................................................................................................210 7.2.2 - Simulações numéricas .............................................................................................................................213

7.2.2.1 – Caso 1: Anel cilíndrico com secção transversal definida por duas circunferências concêntricas. 214 7.2.2.2 – Caso 2: Anel cilíndrico com secção transversal definida por duas circunferências

não concêntricas. ..............................................................................................................................219 7.2.3 - Conclusões ...............................................................................................................................................223

7.3 - PROPAGAÇÃO DE ONDAS NO INTERIOR DE UM CANAL HIDRÁULICO EM PRESENÇA DE INCLUSÕES............................................................................................................................................224

7.3.1 - Enquadramento ........................................................................................................................................224 7.3.2 - Funções de Green 2.5D ...........................................................................................................................228

7.3.2.1 - Canal com superfície livre e limitado inferiormente por uma superfície rígida .............................229 7.3.2.2 - Canal com superfície livre e limitado inferiormente por um meio elástico semi-infinito ..............231 7.3.2.3 - Canal com superfície livre e limitado inferiormente por uma camada elástica assente sobre

uma superfície rígida........................................................................................................................231 7.3.3 - Simulações numéricas .............................................................................................................................232

7.3.3.1 - Canal hidráulico preenchido por um fluido homogéneo .................................................................234 7.3.3.2 - Canal hidráulico preenchido por um fluido com uma inclusão rígida submersa............................237 7.3.3.3 - Canal hidráulico preenchido por um fluido com uma inclusão elástica submersa .........................241

7.3.4 - Conclusões ...............................................................................................................................................242

7.4 - PROPAGAÇÃO DE ONDAS NO INTERIOR DE FUROS DE PROSPECÇÃO SÍSMICA .....................243 7.4.1 - Enquadramento ........................................................................................................................................243 7.4.2 - Comportamento dinâmico de furos de prospecção circulares ................................................................246

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7.4.3 - Simulações numéricas............................................................................................................................. 248 7.4.3.1 - Análise do comportamento de furos de prospecção que apresentam uma pequena

deformação na sua secção transversal ............................................................................................. 249 7.4.3.2 - Análise do comportamento de furos de prospecção onde ocorreu a alteração das

características da zona envolvente .................................................................................................. 255 7.4.3.3 - Análise do comportamento de um sistema com dois furos de prospecção circulares.................... 260

7.4.4 - Conclusões............................................................................................................................................... 262

7.5 – NOTA FINAL................................................................................................................................................ 263


CAPÍTULO 8 – CONSIDERAÇÕES FINAIS ....................................................................271

1

CAPÍTULO 1

INTRODUÇÃO

1.1 – ENQUADRAMENTO TEMÁTICO DA DISSERTAÇÃO

Até há poucas décadas atrás os recursos informáticos à disposição dos investigadores

eram, na sua generalidade, escassos e de capacidade limitada, impedindo o desenvolvimento e

a aplicação de ferramentas de cálculo numérico e analítico capazes de dar uma resposta

adequada à complexidade dos problemas do mundo real. Verificava-se, então, o recurso a

modelos muito simplificados e a expressões empíricas, que, para o caso de sistemas mais

complexos, apenas permitiam uma previsão aproximada do seu comportamento, enquanto que

a necessidade de uma informação mais rigorosa e fiável implicava, então, o recurso a ensaios

em modelos físicos.

No entanto, a evolução acentuada da tecnologia tem levado a um aumento muito

acentuado da quantidade e da capacidade dos meios informáticos usados na investigação

científica, nos diversos ramos da Ciência e da Engenharia. Nos nossos dias, a aplicação de

métodos numéricos capazes de simular uma grande parte dos problemas reais é já uma

realidade; esses métodos têm, de facto, permitido a avaliação do comportamento de diferentes

sistemas físicos através da sua simulação em computador. Com efeito, a relação entre o custo

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(de tempo e de recursos), e o benefício (avaliado pela qualidade dos resultados) deste tipo de

simulações, revela-se bastante positiva, quando comparada com a relação entre custo e

benefício associados à realização de simulações em laboratório através de modelos físicos,

reduzidos ou não. Em muitos casos, a realização de simulações numéricas surge, assim, como

uma alternativa viável e económica que permite abreviar ou reduzir todo um conjunto de

testes em modelos físicos, os quais poderiam revelar-se demasiado dispendiosos ou mesmo

inviáveis. Na realidade, o recurso a simulações numéricas como forma de prever o

comportamento real de sistemas tem captado a atenção e o interesse da comunidade científica,

geralmente associada a instituições de investigação, mas também da própria indústria, que vê

nestas simulações uma forma de reduzir os custos associados a ensaios físicos, conseguindo

um melhoramento efectivo das suas tecnologias a partir da informação fornecida por essas

simulações. São exemplos desta situação as grandes indústrias automóveis, a indústria

aeronáutica, o sector das tecnologias da construção ou o sector da exploração geofísica.

Não é, portanto, de estranhar que, hoje em dia, exista, por parte da comunidade

científica mundial, um forte investimento no sentido de desenvolver modelos matemáticos

que permitam representar fielmente o comportamento dos sistemas físicos reais. Métodos

numéricos de aplicação genérica, como o Método dos Elementos Finitos, o Método das

Diferenças Finitas ou o Método dos Elementos de Fronteira, ou processos de cálculo analítico

aplicáveis a situações mais simples, têm, subsequentemente, sofrido uma grande evolução,

assumindo hoje o papel de ferramentas indispensáveis à investigação e ao desenvolvimento

tecnológico.

Em algumas disciplinas específicas, como a acústica, a sismologia ou a oceanografia,

o interesse prático pelo fenómeno físico da propagação de ondas elásticas e acústicas tem

levado a que muitos investigadores centrem a sua atenção no desenvolvimento de ferramentas

numéricas e analíticas que permitam simular e prever o comportamento de estruturas de

diferentes tipos quando sujeitas a estímulos dinâmicos exteriores.

É neste contexto que surge a presente dissertação, procurando, de alguma forma,

contribuir para o desenvolvimento de alguns modelos matemáticos que permitam representar,

de forma o mais rigorosa possível, o comportamento de sistemas físicos com configurações

específicas, quando sujeitos a acções dinâmicas. Desenvolve-se, assim, um conjunto de

ferramentas que recorrem a métodos numéricos, em particular ao Método dos Elementos de

Fronteira, ou a soluções analíticas, e que permitem o estudo de alguns casos concretos nos

domínios da acústica e da aplicação de técnicas não destrutivas de detecção e análise. Merece,

neste trabalho, particular atenção o estudo da propagação de ondas em meios onde coexistem

3

materiais sólidos e materiais fluidos. A interacção entre estes dois tipos de materiais apresenta

diversas particularidades que, por si só, justificam o aprofundamento dos conhecimentos já

existentes nesta matéria.

Interessa ainda referir que o trabalho que se apresenta se enquadra na investigação

desenvolvida no Laboratório de Construções do Departamento de Engenharia Civil da

FCTUC, centrada nas áreas da acústica e dos ensaios não destrutivos e no desenvolvimento de

modelos analíticos e numéricos aplicáveis ao estudo de fenómenos físicos relacionados com

essas áreas.

1.2 – OBJECTIVOS

Apresentado que foi o contexto em que se insere a presente dissertação,

estabeleceram-se para ela os objectivos essenciais que se descrevem como segue:

a) Desenvolver modelos analíticos que permitam representar o comportamento dinâmico de

sistemas físicos com geometria circular e de sistemas físicos estratificados

Neste âmbito, desenvolver-se-á um conjunto de soluções analíticas que permitam a

análise da propagação de ondas em sistemas físicos com geometrias bidimensionais e

excitados por fontes tridimensionais. Tratando-se de soluções analíticas, o desenvolvimento

que se realiza corresponde apenas a configurações geométricas simples, pois só estas

permitem a definição deste tipo de soluções.

Estudam-se os casos específicos de sistemas com geometria circular, podendo ser

constituídos por diferentes materiais, fluidos ou sólidos, e ainda de sistemas estratificados

genéricos, constituídos por uma qualquer sequência de camadas de materiais fluidos e sólidos.

Os casos estudados revelam-se importantes, já que permitem a análise de alguns sistemas

físicos que, por se apresentarem com configurações simples, permitem uma interpretação

clara dos diferentes fenómenos envolvidos. Além disso, em alguns casos, os modelos

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desenvolvidos são directamente aplicáveis ao estudo de situações com interesse prático,

assumindo, por isso, uma importância acrescida.

b) Desenvolver modelos numéricos que permitam simular a propagação de ondas em meios

onde ocorra a interacção entre diferentes materiais

O desenvolvimento de modelos numéricos que permitam a análise de diferentes

sistemas físicos cuja complexidade impede a obtenção de soluções analíticas é de óbvia

utilidade prática. Serão, por isso, desenvolvidos modelos baseados no Método dos Elementos

de Fronteira que permitirão analisar um conjunto de sistemas físicos onde se verifica a

interacção entre diferentes materiais, sólidos e fluidos. Os modelos desenvolvidos encontram

aplicação no caso de sistemas de duas dimensões e meia, onde o sistema físico apresenta uma

geometria bidimensional e a sua fonte de excitação é tridimensional.

Refira-se, ainda, o especial interesse em integrar o Método dos Elementos de Fronteira

com algumas das soluções analíticas que adiante serão definidas, por forma a estabelecer

modelos que permitam simular sistemas físicos que envolvam meios estratificados onde

existam inclusões, sem recorrer à discretização das interfaces entre as diferentes camadas do

meio.

c) Integrar e aplicar os modelos desenvolvidos em ferramentas computacionais que

permitam o estudo de diferentes sistemas físicos com interesse prático na área da

Engenharia Civil

Serão desenvolvidas ferramentas computacionais baseadas nos modelos analíticos e

numéricos propostos, no sentido de empreender o estudo de diferentes situações com interesse

prático na área da Engenharia Civil.

Essas ferramentas serão aplicadas ao estudo do comportamento dinâmico dos

seguintes sistemas:

- painéis com múltiplas camadas, sólidas e fluidas, sujeitos à incidência de ondas

acústicas;

- barreiras acústicas constituídas por materiais elásticos e localizadas em espaços

abertos ou em espaços fechados, com diferentes configurações;

- furos de prospecção sísmica, com diferentes geometrias, sujeitos a fontes de

pressão no seu interior;

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- anéis constituídos por um material sólido inserido num meio fluido;

- canais hidráulicos com um fundo elástico, considerando a presença de inclusões no

seu interior.

1.3 – ESTRUTURA DA DISSERTAÇÃO

Estruturou-se a presente dissertação em oito capítulos. Por forma a facilitar a sua

leitura e a permitir a sua consulta de forma eficiente, tomou-se a opção de considerar que cada

capítulo constitui um documento autónomo, de modo a permitir a sua leitura de forma isolada.

No entanto, e a bem da síntese necessária a um documento da índole desta dissertação, todos

os aspectos relacionados com a formulação matemática dos diferentes problemas tratados

serão concentrados em capítulos específicos, onde se torna possível o seu desenvolvimento

aprofundado. Em cada um dos Capítulos dois a oito será apresentada uma introdução,

respeitante ao conteúdo do próprio Capítulo, onde se enquadram os temas tratados e se

apresenta uma revisão da bibliografia que lhes diz respeito. Integrará, igualmente, cada

Capítulo uma secção destinada à apresentação das principais conclusões que dele seja

possível retirar.

No Capítulo dois serão apresentadas soluções analíticas para a propagação de ondas,

geradas por fontes dilatacionais pontuais, em sistemas com geometria circular. Note-se que as

soluções aí desenvolvidas se apresentam, por si só, interessantes, já que permitem a análise de

alguns sistemas físicos correspondentes a situações que podem ocorrer na prática, mas

revelam-se também importantes por constituírem soluções de referência que podem servir de

base à verificação dos métodos numéricos utilizados na dissertação.

No Capítulo três desenvolvem-se soluções analíticas para a propagação de ondas em

meios com uma estrutura estratificada, constituídos por camadas paralelas de materiais fluidos

e sólidos, excitados por diferentes tipos de carregamentos. Estas soluções irão, em capítulos

seguintes, permitir a análise de diferentes sistemas que representam situações reais do

domínio da acústica e também do domínio da detecção de objectos submersos através de

6

métodos sísmicos. As soluções que se definem referem-se a cargas lineares com variação

sinusoidal ao longo do seu eixo, e são obtidas na forma de somatórios dos efeitos gerados no

mesmo sistema por ondas planas com diferentes inclinações.

O Capítulo quatro é o último em que se faz a apresentação da formulação matemática

usada na dissertação. Nele será apresentada e desenvolvida a formulação do Método dos

Elementos de Fronteira para diferentes sistemas onde existem diversos materiais fluidos e

sólidos. A formulação aqui apresentada, em conjunto com a do Capítulo três, irá permitir a

análise de algumas situações práticas relevantes no contexto da Engenharia Civil.

A primeira aplicação prática dos modelos desenvolvidos apresenta-se no Capítulo

cinco, onde se analisa o comportamento de painéis constituídos por várias camadas sólidas,

com a eventual interposição de camadas fluidas, recorrendo aos modelos apresentados no

Capítulo três. Analisam-se os casos de painéis simples, duplos e triplos, considerando também

aquele em que um dos panos que constitui o painel é, ele próprio, constituído por várias

camadas sólidas. Os resultados obtidos com recurso ao modelo formulado nesta dissertação

serão comparados com os que se calculam por aplicação de outros modelos simplificados.

No Capítulo seis é estudado o comportamento de barreiras acústicas constituídas por

materiais elásticos, e integradas em meios com diferentes configurações. Consideram-se os

casos de barreiras inseridas em meios semi-infinitos, com um meio fluido limitado

inferiormente por um meio sólido, e em meios fluidos limitados inferior e superiormente por

meios sólidos. Neste estudo é aplicado o Método dos Elementos de Fronteira apresentado no

Capítulo quatro, utilizando funções fundamentais definidas de acordo com a metodologia

indicada no Capítulo três.

Um último conjunto de aplicações é apresentado no Capítulo sete. Dele constam

diferentes aplicações práticas, que representam situações que ocorrem nas áreas da

prospecção sísmica, da detecção de objectos submersos e da análise de vibrações. Estudam-se

os diferentes casos recorrendo às soluções definidas nos Capítulos dois, três e quatro.

Por último, no Capítulo oito são apresentadas conclusões finais que reflectem e

sistematizam os aspectos mais importantes a retirar de cada capítulo. Sendo o presente

documento de uma dissertação para obtenção do grau de Doutor, não esgota, nem tal seria de

esperar, a temática que aborda. Pelo contrário, dele surgem novas questões e algumas dúvidas,

7

que abrem perspectivas para uma investigação futura. Termina-se este Capítulo, e a

dissertação, com uma reflexão aprofundada sobre este assunto, propondo eventuais caminhos

a seguir em trabalhos futuros.

9

CAPÍTULO 2

SOLUÇÕES ANALÍTICAS PARA A PROPAGAÇÃO DE

ONDAS EM MEIOS ACÚSTICOS E ELÁSTICOS NA

PRESENÇA DE INCLUSÕES CILÍNDRICAS

2.1 - INTRODUÇÃO

A propagação de ondas acústicas e elásticas em espaços com diferentes configurações

tem sido objecto de interesse por parte de diversos investigadores desde há longos anos. De

facto, ainda nos finais do século XIX, Pochamer (1876) derivou a equação de dispersão para

ondas elásticas em colunas cilíndricas, e desde então diferentes trabalhos têm surgido na

tentativa de propor métodos eficazes de simulação do fenómeno. Em particular, a atenção de

muitos investigadores centrou-se na análise da propagação de ondas na presença de

descontinuidades do meio de propagação. Um dos trabalhos de referência foi desenvolvido

por Pao e Mow (1973), com a preocupação central no cálculo de tensões e no estudo da

dispersão de ondas em presença de inclusões com forma geométrica simples.

Quando o meio de propagação apresenta no seu interior inclusões com secção circular,

a análise teórica da propagação de ondas torna-se mais simples, e é possível o

desenvolvimento de soluções analíticas para estas configurações. Em muitos casos, o

desenvolvimento matemático dos modelos tem sido realizado com base no estudo de casos

específicos das áreas da sismologia, da geofísica ou da acústica. Assim, o estudo teórico da

propagação de ondas em inclusões cilíndricas preenchidas com um fluido e inseridas num

10

meio elástico contínuo tem sido desenvolvido como forma de simulação de técnicas de

prospecção geofísica, e tem resultado no desenvolvimento de diversos trabalhos de

investigação (Bouchon e Schmitt, 1989; Tadeu et al, 2001). No caso específico da acústica, o

estudo da propagação de ruídos de impacto em estruturas sólidas e a determinação das

características de isolamento sonoro de elementos com geometria circular têm levado ao

desenvolvimento de modelos analíticos elaborados (Pereira et al, 2001; António et al, 2003).

Também a investigação em oceanografia e aeronáutica, com especial atenção à interacção

entre um fluido e estruturas sólidas ou em forma de casca, tem feito uso de modelos analíticos

que consideram a presença de estruturas com formas simples. Nesta área, um dos primeiros

trabalhos de referência foi realizado por Biot (1952), calculando curvas de dispersão de

velocidade para ondas de superfície em orifícios cilíndricos vazios ou preenchidos com fluido.

Desde então, muitos outros trabalhos têm surgido, investigando também o comportamento de

estruturas do tipo casca cilíndrica sujeitas a solicitações dinâmicas (Liu e Qu, 1998).

Na resolução de problemas que envolvem sistemas tridimensionais puros, em que

tanto a fonte como o meio de propagação são tridimensionais, a obtenção de soluções

analíticas torna-se complexa, ou até, na maioria dos casos, impossível. No entanto, alguns

casos particulares permitem a simplificação do processo de cálculo. Quando a geometria do

modelo não varia numa das direcções, o problema pode ser reduzido a um modelo de duas

dimensões e meia (2.5D), em que a fonte é tridimensional e a geometria é bidimensional. Para

este caso, a solução pode obter-se através da resolução de um conjunto de problemas

bidimensionais para diferentes números de onda definidos na direcção em que a geometria

não varia. Na presença de inclusões com secção circular podem obter-se soluções analíticas

que permitem a análise deste tipo de situações com grande eficácia. Note-se ainda que, no

contexto do presente trabalho, para além do interesse prático descrito anteriormente, a

obtenção de soluções analíticas para casos específicos apresenta o interesse adicional de

permitir a verificação dos resultados obtidos através dos métodos numéricos desenvolvidos,

nomeadamente do Método dos Elementos de Fronteira.

Assim, as soluções analíticas que serão apresentadas neste capítulo referem-se a

situações onde as inclusões ou estruturas existentes no meio de propagação têm forma

cilíndrica circular, não apresentando variações de geometria ao longo de uma direcção. Para

este caso, torna-se possível a aplicação de uma transformada de Fourier segundo a direcção na

qual a geometria não varia, obtendo um conjunto de soluções em função de um número de

onda axial. O uso de inclusões de secção circular faz com que este tipo de problema possa ser

analisado utilizando o método da separação de variáveis, e exprimindo a solução para cada

11

frequência em termos de ondas com diferentes números de onda na direcção em que a

geometria não varia. Posteriormente, pode ser aplicada uma transformada inversa de Fourier

no domínio espacial por forma a obter de novo a solução tridimensional. A fim de permitir a

aplicação desta transformada de forma discreta, considera-se um número infinito de fontes

virtuais igualmente espaçadas, ao longo do eixo z , de uma distância que evite contaminação

espacial (Bouchon e Aki, 1977). Para evitar singularidades e minimizar a influência das fontes

virtuais vizinhas, usam-se frequências complexas com uma pequena componente imaginária

que permite a introdução de amortecimento no sistema (Phinney, 1965).

No presente capítulo apresenta-se, em primeiro lugar, a formulação do problema no

domínio da frequência para meios sólido e fluido. São depois apresentadas as soluções para

campo infinito correspondentes à acção de fontes dilatacionais em meios sólidos e fluidos,

seguindo-se a definição das soluções 2.5D para os casos em que no meio infinito se

encontram inclusões cilíndricas com secção circular. Neste último domínio, analisam-se os

casos:

- de uma inclusão cilíndrica rígida inserida num meio fluido;

- de um cilindro circular preenchido com fluido e inserido num meio elástico;

- de um cilindro circular elástico inserido num meio também elástico;

- de um anel circular elástico preenchido com fluido e inserido num meio fluido;

- de um anel circular elástico preenchido com fluido e inserido num meio elástico.

2.2 - DEFINIÇÃO DO PROBLEMA TRIDIMENSIONAL

Considere-se um meio sólido infinito, homogéneo e isotrópico, com comportamento

elástico linear. Na ausência de forças interiores, a equação de movimento pode ser escrita

como

( )2

22

uu ut

λ µ µ ρ ∂+ ∇∇ + ∇ =∂

(2.1)

12

onde u é o vector deslocamento num determinado ponto, λ é a constante de Lamé, µ o

módulo de elasticidade transversal e ρ a massa volúmica do meio. A transformação desta

equação para o domínio da frequência conduz a

( ) 22 ( u) ( u) uλ µ µ ω ρ+ ∇ ∇ • − ∇ × ∇ × = − , (2.2)

onde ω é a frequência de excitação.

Por forma a permitir a resolução desta equação, estabelecida para materiais elásticos, é

possível separar o vector deslocamento u em três componentes, uma componente dilatacional

(potencial φ ), e duas componentes de corte (potenciais ψ e χ ), sendo uma destas polarizada

verticalmente (SV), e outra horizontalmente (SH). Estas componentes satisfazem as equações

escalares de Helmholtz

2

22 ( , , , ) 0r zω φ ω θ

α ∇ + =

2

22 ( , , , ) 0r zω ψ ω θ

β ∇ + =

(2.3)

2

22 ( , , , ) 0r zω χ ω θ

β ∇ + =

,

onde 2 2 2

22 2 2 2

1 1r r r r zθ

∂ ∂ ∂ ∂∇ = + + + ∂ ∂ ∂ ∂ , 2 2r x y= + , ( )2 2 /α λ µ ρ= + , 2 /β µ ρ= , e onde α e

β são, respectivamente, as velocidades de propagação das ondas dilatacionais e de corte no

sólido.

Considere-se agora um meio fluido, invíscido e compressível, onde não se

desenvolvem tensões de corte. Neste caso, apenas as ondas dilatacionais (de pressão no

fluido) poderão existir, pelo que o sistema se reduz a uma única equação escalar de Helmholtz

2

22 ( , , , ) 0f

f

r zω φ ω θα

∇ + =

, (2.4)

13

onde fφ é o potencial de velocidades no fluido e fα é a velocidade de propagação das ondas

de pressão no fluido.

Em muitos casos, a análise de problemas tridimensionais pode tornar-se

computacionalmente muito exigente, tornando-se, por isso, aconselhável a definição do

problema tridimensional sob a forma de um somatório de problemas bidimensionais mais

simples, o que é possível quando a geometria não varia segundo a direcção z. Por forma a

atingir este objectivo, é necessário aplicar uma transformada de Fourier segundo essa

direcção, traduzindo a solução tridimensional como um somatório de soluções bidimensionais

com diferentes números de onda axiais, zk (Tadeu e Kausel, 2000). A aplicação desta

transformada segundo z a (2.3) e (2.4) conduz às seguintes equações

2

2 22

ˆˆ ( , , , ) 0z zk r kω φ ω θα

∇ + − =

22 2

2ˆ ˆ ( , , , ) 0z zk r kω ψ ω θ

β ∇ + − =

(2.5)

22 2

2ˆ ˆ ( , , , ) 0z zk r kω χ ω θ

β ∇ + − =

22 2

2ˆˆ ( , , , ) 0z f z

f

k r kω φ ω θα

∇ + − =

, (2.6)

com 2 2

22 2 2

1 1ˆr r r r θ

∂ ∂ ∂∇ = + + ∂ ∂ ∂ .

Aplicando uma transformada inversa de Fourier ao longo da direcção z , o campo de

ondas tridimensional pode agora ser obtido na forma de um integral contínuo,

iˆ( , , , ) ( , , , )e zk zzr z r k dzφ ω θ φ ω θ

∞−

−∞

= ∫

iˆ( , , , ) ( , , , )e zk zzr z r k dzψ ω θ ψ ω θ

∞−

−∞

= ∫ (2.7)

iˆ( , , , ) ( , , , )e zk zzr z r k dzχ ω θ χ ω θ

∞−

−∞

= ∫

iˆ( , , , ) ( , , , )e zk zf f zr z r k dzφ ω θ φ ω θ

∞−

−∞

= ∫ , (2.8)

com i 1= − .

14

Assumindo a existência de um número infinito de fontes virtuais, igualmente

espaçadas de L ao longo de z, é possível transformar o integral contínuo num somatório

discreto. Este somatório converge, permitindo que a solução tridimensional seja obtida a

partir da resolução de um número limitado de problemas bidimensionais. Desta forma,

obtém-se

i2 ˆ( , , , ) ( , , , )e zm

Mk z

zmm M

r z r kLπφ ω θ φ ω θ −

=−

= ∑

i2 ˆ( , , , ) ( , , , )e zm

Mk z

zmm M

r z r kLπψ ω θ ψ ω θ −

=−

= ∑ (2.9)

i2 ˆ( , , , ) ( , , , )e zm

Mk z

zmm M

r z r kLπχ ω θ χ ω θ −

=−

= ∑

i2 ˆ( , , , ) ( , , , )e zm

Mk z

f f zmm M

r z r kLπφ ω θ φ ω θ −

=−

= ∑ , (2.10)

onde zmk é o número de onda axial dado por 2zmk m

Lπ= . A distância L deve ser

suficientemente grande para evitar a contaminação da resposta por parte das fontes virtuais

(Bouchon e Aki, 1977).

2.3 – SOLUÇÃO ANALÍTICA PARA A PROPAGAÇÃO DE ONDAS EM MEIOS INFINITOS HOMOGÉNEOS

Considere-se, de acordo com a secção anterior, um meio sólido infinito, homogéneo e

isotrópico, com comportamento elástico linear. Na presença de uma fonte pontual

dilatacional, o campo incidente gerado num ponto localizado em ( , , )r zθ pode ser expresso

pelo potencial dilatacional, o qual é solução da equação (2.3)

( )( )2 2i

2 2

e, , ,t r z

inc Ar zr z

ω αα

φ ω θ− +

=+

(2.11)

15

onde o superscrito inc se refere ao campo incidente, sendo A a amplitude da fonte. Partindo

deste potencial, os deslocamentos incidentes podem ser calculados com recurso à sua

derivação, utilizando expressões adequadas. Se a esta expressão for aplicada uma

transformada de Fourier segundo a direcção z , conforme descrito na secção anterior, pode

obter-se

( ) ( ) ( )20

iAˆ , , , H2

inczr k k rαφ ω θ = − , (2.12)

com ( ) ( )22 2zk kα ω α= − , ( )Im 0kα ≤ , e sendo ( ) ( )2Hn funções de Hankel do segundo tipo e

de ordem n . O campo tridimensional pode agora ser escrito como um somatório de campos

bidimensionais, de acordo com as equações (2.9).

Da mesma forma, para um meio fluido infinito sujeito à acção de uma fonte de pressão

pontual, o campo incidente pode ser descrito pelo potencial de velocidades

( )( )2 2i

2

2 2 2

e, , ,f

ft r z

fincf

f

Ar zr z

ω ααα

φ ω θω λ

− +

= − + (2.13)

Mais uma vez, a aplicação de uma transformada de Fourier segundo a direcção z

conduz a

( ) ( ) ( )2

202

iAˆ , , , H2

fincf z f

f

r k k rα

αφ ω θ

ω λ

= − −

, (2.14)

onde ( ) ( )22 2f f zk kα ω α= − e ( )Im 0fkα ≤ .

O potencial dilatacional que representa o campo incidente gerado pela fonte

tridimensional pode, depois, ser determinado como um somatório de campos bidimensionais,

de acordo com a equação (2.10).

16

2.4 – SOLUÇÃO ANALÍTICA PARA A PROPAGAÇÃO DE ONDAS NUM FLUIDO QUE CONTÉM UMA INCLUSÃO RÍGIDA

Considere-se um meio fluido, infinito e homogéneo, no qual existe uma inclusão

cilíndrica rígida, com secção circular; este sistema encontra-se sob o efeito de uma carga

dilatacional que oscila com uma frequência ω . Para efeito da formulação matemática

necessária à resolução do problema, defina-se um sistema de eixos de referência em

coordenadas cilíndricas ( , , )r zθ , com origem no centro da inclusão. Esta configuração

encontra-se representada na Figura 2.1.

X

α f

ρf

Z x yθ

R

(x,y,z)

r

z

Y

(x0,0,0)

r0

O

Figura 2.1: Representação da geometria do sistema em que há uma inclusão cilíndrica circular com fronteira

rígida inserida num meio fluido infinito, e que está sujeito à acção de uma fonte de pressão localizada em O. Símbolos no texto.

Tendo em conta que a geometria da inclusão se mantém constante ao longo de uma

direcção ( z ), a aplicação de uma transformada de Fourier segundo esta direcção conduz à

representação da solução do problema segundo um somatório de soluções bidimensionais,

conforme a equação (2.10). A equação de onda pode agora ser escrita em termos do potencial

dilatacional do meio fluido, fφ , expresso como um somatório de campos bidimensionais

definidos para diferentes números de onda axial, zk . Na presença de uma fonte pontual

colocada em ( )0 ,0,0x , cada solução bidimensional pode ser expressa por meio de um

potencial que define o campo incidente gerado pela fonte e de um potencial que representa o

campo de ondas reflectidas pela fronteira da inclusão.

17

2.4.1 – Campo de ondas incidentes

Estando a fonte localizada no meio fluido que envolve a inclusão cilíndrica, o campo

incidente bidimensional para um número de onda axial zk pode ser definido recorrendo ao

potencial dilatacional estabelecido na equação (2.14). Por forma a permitir a resolução

analítica do problema, torna-se conveniente a utilização do sistema de coordenadas cilíndricas

definido na Figura 2.1. Aplicando o teorema da adição de Graff (Watson, 1980), o potencial

dilatacional incidente pode ser expresso como um somatório de ondas centradas no eixo do

cilindro, através da expressão

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2

202

0

iˆ , , , 1 H J cos2

nfinc z n n f n f

nf

Ar k k r k r nα α

αφ ω θ ε θ

ω λ

∞

=

= − − −

∑ , com 0r r<

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2

202

0

iˆ , , , 1 H J cos2

nfinc z n n f n f

nf

Ar k k r k r nα α

αφ ω θ ε θ

ω λ

∞

=

= − − −

∑ , com 0r r> ,

(2.15)

onde Jn (…) são funções de Bessel de ordem n , 0r é a distância da fonte à origem,

cos /x rθ = , sin /y rθ = , e

1 se 02 se 0n

nn

ε=

= ≠.

2.4.2 – Campo de ondas transmitidas/reflectidas

A fonte emite ondas de pressão que se propagam no meio fluido, atingindo

eventualmente a fronteira da inclusão. Aqui, a energia é reflectida de volta para o fluido,

gerando novas frentes de onda.

O campo de ondas reflectido para o meio fluido depende de ondas provenientes da

fronteira da inclusão e que viajam para o exterior. As funções de Hankel de ordem n,

( )(1),(2)H cos( )n kr nθ , satisfazem a equação (2.5), representando ondas cilíndricas com uma

18

frequência ω quando combinadas com o factor implícito ie tω− (Pao e Mow, 1973). É possível

verificar que (1)H ( )cos( )n kr nθ se refere a ondas que convergem para o centro da inclusão,

enquanto que (2)H ( )cos( )n kr nθ corresponde a ondas cilíndricas que divergem desta, viajando

para o exterior. Assim, pode definir-se o potencial de velocidades, o qual verifica a equação

(2.6), através da expressão

( ) ( ) ( )2

(2)2

0

ˆ , , , H cosn

ffsca z n f

nf

r k A k r nα

αφ ω θ θ

ω λ

∞

=

= −

∑ , (2.16)

onde nA é a amplitude a determinar após imposição das condições de fronteira adequadas.

Note-se que, por forma a simplificar a notação usada neste trabalho, é utilizado o índice sca

para indicar que os potenciais se referem a um campo reflectido.

A equação que permitirá a determinação da incógnita nA para cada valor de n é

estabelecida impondo condições de deslocamentos normais nulos na fronteira da inclusão, ou

seja em r R= , obtendo-se

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1

(2) (2) (2)n 0 1

iH H (-1) H J J2n n

nn f f f n f n f f n f

n A nA k R k k R k r k R k k RR Rα α α α α α αε

+ +− − = −

. (2.17)

Conhecendo o valor da incógnita nA , torna-se possível o cálculo dos deslocamentos

registados em pontos do meio fluido por intermédio de equações que relacionam o potencial

definido com deslocamentos. Para o caso de um meio fluido, estas equações são

rurφ∂=

∂

1urθ

φθ

∂=∂

(2.18)

zuzφ∂=

∂.

A sua aplicação ao potencial da equação (2.16) permite obter as seguintes expressões

para o campo de deslocamentos reflectido:

19

( ) ( ) ( ) ( )2

(2) (2)n n 12

0

, , , H H cosfscar z f f f n

nf

nu r k k r k k r A nr α α α

αω θ θ

ω λ

∞

+=

= − − ∑

( ) ( ) ( )2

(2)n2

0, , , H sinfsca

z f nnf

nu r k k r A nrθ α

αω θ θ

ω λ

∞

=

= − −

∑ (2.19)

( ) ( ) ( )2

(2)n2

0, , , i H cosfsca

z z z f nnf

u r k k k r A nα

αω θ θ

ω λ

∞

=

= − −

∑ .

2.5 – SOLUÇÃO ANALÍTICA PARA A PROPAGAÇÃO DE ONDAS NA PRESENÇA DE UMA INCLUSÃO PREENCHIDA POR FLUIDO NO INTERIOR DE UM MEIO ELÁSTICO

Considere-se um meio elástico, infinito e homogéneo, no qual existe uma inclusão

cilíndrica, com secção circular, preenchida com um fluido não viscoso; este sistema encontra-

se sob o efeito de uma carga dilatacional que pode estar localizada no sólido ou no fluido e

que oscila com uma frequência ω. Considere-se ainda o sistema de referência definido para o

caso anterior, em coordenadas cilíndricas ( , , )r zθ com origem no centro da inclusão. A

configuração do problema encontra-se representada na Figura 2.2.

Para uma inclusão com secção transversal constante ao longo de uma direcção ( z ), a

aplicação de uma transformada de Fourier segundo esta direcção conduz à representação da

solução do problema através de um somatório de soluções bidimensionais, conforme as

equações (2.9) e (2.10). A equação de onda pode agora ser decomposta em termos do

potencial dilatacional do meio sólido, φ , dos potenciais de corte do meio sólido, ψ e χ , e do

potencial dilatacional do meio fluido, fφ , qualquer deles expresso como um somatório de

campos bidimensionais definidos para diferentes números de onda axial, zk . Na presença de

uma fonte pontual colocada em ( )0 ,0,0x , cada solução bidimensional pode ser expressa por

meio de um potencial que define o campo incidente gerado pela fonte, e ainda de um conjunto

20

de quatro potenciais que representam o campo de ondas reflectido ou transmitido através da

fronteira da inclusão.

R

α f

ρf

x

θy

(x,y,z)z

r

Z

(x0,0,0)

X

O

Yαβρ

r0

Figura 2.2: Representação da geometria do sistema em que há um cilindro preenchido com fluido inserido num

meio sólido infinito, e que está sujeito à acção de uma fonte dilatacional localizada em O. Símbolos no texto.


Quando a fonte está localizada no meio sólido que envolve a inclusão cilíndrica, o

campo incidente bidimensional para um número de onda axial zk pode ser definido

recorrendo ao potencial dilatacional estabelecido na equação (2.12). Por forma a permitir a

resolução analítica do problema, torna-se conveniente a utilização do sistema de coordenadas

cilíndricas definido na Figura 2.2. Assim sendo, por aplicação do teorema da adição de Graff

(Watson, 1980) o potencial dilatacional incidente pode ser expresso como um somatório de

ondas centradas no eixo do cilindro, do modo que segue:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )20

0

iˆ 1 H J cos2

nincz n n α n α

n

Aω,r,θ,k ε k r k r nθφ∞

=

= − −∑ quando 0r r< (2.20)

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )20

0

iˆ , , , 1 H J cos2

nincz n n n

n

Ar k k r k r nα αφ ω θ ε θ∞

=

= − −∑ quando 0r r> . (2.21)

21

Da mesma forma, se considerarmos a presença de uma fonte localizada no meio

fluido, cujo campo incidente é definido pelo potencial dilatacional descrito pela equação

(2.14), a transformação adequada para coordenadas cilíndricas conduz às expressões:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2

202

0

iˆ , , , 1 H J cos2

nfinc z n n f n f

nf

Ar k k r k r nα α

αφ ω θ ε θ

ω λ

∞

=

= − − −

∑ se 0r r< (2.22)

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2

202

0

iˆ , , , 1 H J cos2

nfinc z n n f n f

nf

Ar k k r k r nα α

αφ ω θ ε θ

ω λ

∞

=

= − − −

∑ se 0r r> . (2.23)


Por forma a tornar mais clara a interpretação física da formulação matemática do

problema, torna-se necessário distinguir, nesta fase, duas situações:

- A primeira corresponde a um sistema em que a fonte emissora se localiza no meio

sólido. Para este caso, as ondas emitidas pela fonte propagam-se no meio sólido sob a forma

de ondas dilatacionais, atingindo então a inclusão preenchida com fluido. Após este momento,

uma parte da energia que atinge a inclusão é reflectida de novo para o meio sólido, sob a

forma de ondas dilatacionais e de ondas de corte, enquanto que a energia restante é

transmitida para o meio fluido. Assim, no meio sólido há um campo de ondas incidentes e um

campo de ondas reflectidas pela fronteira da inclusão, enquanto que no meio fluido apenas

existirá um campo de ondas transmitidas.

- A segunda corresponde a um sistema onde a fonte emissora se localiza no meio

fluido, pelo que as ondas emitidas pela fonte se propagam neste meio sob a forma de ondas de

pressão, atingindo depois a fronteira da inclusão. Aqui, uma parte da energia é reflectida de

volta para o fluido, e a energia restante é transmitida para o meio sólido, sob a forma de ondas

dilatacionais e de ondas de corte. Para este caso, no meio sólido apenas existirá um campo de

ondas transmitidas, enquanto que no meio fluido existirá um campo de ondas incidentes e um

campo de ondas reflectidas.

Para ambos os casos, o campo de ondas reflectido ou transmitido para o meio sólido

exterior depende de ondas provenientes da fronteira da inclusão e que viajam para o exterior.

22

Os potenciais dilatacionais e de corte relativos ao meio sólido correspondendo a ondas que se

afastam da inclusão podem escrever-se como

( ) ( ) ( ) ( )2(1)

0

ˆ , , , H cosssca z n n

n

r k A k r nαφ ω θ θ∞

=

=∑

( ) ( ) ( ) ( )2(2)

0

ˆ , , , H sinssca z n n

n

r k A k r nβψ ω θ θ∞

=

=∑ (2.24)

( ) ( ) ( ) ( )2(3)

0


nr k A k r nβχ ω θ θ

∞

=

=∑ ,

onde ( ) ( )22 2zk kβ ω β= − , com ( )Im 0kβ ≤ , e em que ( )j

nA , com 1,2,3j = , são as amplitudes

associadas a cada potencial, as quais serão determinadas impondo as condições de fronteira

adequadas.

Relativamente ao meio fluido, o potencial de velocidades representativo do campo

reflectido ou transmitido corresponde a ondas confinadas na inclusão, resultando da soma de

ondas que convergem e de ondas que divergem do centro da inclusão (Pao e Mow, 1973).

Assim, pode definir-se o potencial de velocidades por

( ) ( ) ( )2

(4)2

0

ˆ , , , J cosffsca z n n f

nf

r k A k r nα

αφ ω θ θ

ω λ

∞

=

= −

∑ , (2.25)

onde (4)nA é a amplitude a determinar após imposição das condições de fronteira adequadas.

Este potencial verifica a equação (2.6).

O sistema de equações que permitirá a determinação das incógnitas ( )jnA para cada

valor de n é estabelecido impondo condições de continuidade de deslocamentos normais e de

tensões normais, e tensões tangenciais nulas na interface entre o sólido e o fluido, ou seja em

r R= . Esse sistema é como segue:

( )(1)

11 14 1

(4)41 44 4

i 1 2

nn

n

n

a a A b

a a A bε

= − −

(2.26)

23

No Apêndice A1 apresentam-se as expressões ija e ib , para , 1, 2, 3, 4i j = . Uma vez

que a resolução deste sistema de equações permite a obtenção dos valores das incógnitas ( )jnA ,

torna-se possível a determinação dos deslocamentos registados em pontos do meio sólido ou

do meio fluido por intermédio de equações que relacionam os diferentes potenciais com

deslocamentos. No caso do meio sólido, estas equações serão

21

rur r r zφ ψ χ

θ∂ ∂ ∂= + +∂ ∂ ∂ ∂

21 1ur r r zθ

φ ψ χθ θ

∂ ∂ ∂= − +∂ ∂ ∂ ∂

(2.27)

2

2 2

1 1zu r

z r r r rφ χ χ

θ ∂ ∂ ∂ ∂ = − + ∂ ∂ ∂ ∂

,

enquanto que no meio fluido serão aplicáveis as equações (2.18).

A aplicação das expressões (2.27) aos potenciais definidos nas equações (2.24) e

(2.25) conduz às seguintes expressões para os deslocamentos originados pelo campo de ondas

reflectidas/transmitidas:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2 2 2(1) (2)1

0

2 2 (3)1

, , , H H H

i H H cos

scar z n n n n n

n

z n n n

n nu r k k r k k r A k r Ar rnk k r k k r A nr

α α α β

β β β

ω θ

θ

∞

+=

+

= − +

− −

∑

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

2 2 2(1) (2)1

0

2 (3)

, , , H H H

i H sin

scaz n n n n n

n

z n n

n nu r k k r A k r k k r Ar r

nk k r A nr

θ α β β β

β

ω θ

θ

∞

+=

= − − −

+

∑ (2.28)

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2(1) 2 (3)

0, , , i H H cos sca

z z z n n n nn

u r k k k r A k k r A nα β βω θ θ∞

=

= − +∑ ,

enquanto que para determinar os deslocamentos em pontos localizados no meio fluido estas

expressões tomam a forma

24

( ) ( ) ( ) ( )2

(4)12

0

, , , J J cosfscar z n f f n f n

nf


αω θ θ

ω λ

∞

+=

= − − ∑

( ) ( ) ( )2

(4)2

0, , , J sinfsca

z n f nnf


αω θ θ

ω λ

∞

=

= − −

∑ (2.29)

( ) ( ) ( )2

(4)2

0, , , i J cosfsca

z z z n f nnf

u r k k k r A nα

αω θ θ

ω λ

∞

=

= − −

∑ .

2.6 – SOLUÇÃO ANALÍTICA PARA A PROPAGAÇÃO DE ONDAS NA PRESENÇA DE UMA INCLUSÃO ELÁSTICA LOCALIZADA NO INTERIOR DE UM MEIO ELÁSTICO

Considere-se um meio elástico, infinito e homogéneo, com massa volúmica 1ρ , o qual

admite velocidades de propagação para as ondas P (dilatacionais) e S (de corte) de 1α e 1β ,

respectivamente. No interior deste meio, considere-se a presença de uma inclusão cilíndrica

com secção circular, constituída por um material elástico com massa volúmica 2ρ , o qual

admite velocidades de propagação de 2α para as ondas P e 2β para as ondas S. Este meio é

excitado por uma carga dilatacional localizada no interior ou no exterior da inclusão e

oscilando com uma frequência ω . Defina-se, novamente, um sistema de referência em

coordenadas cilíndricas ( , , )r zθ com origem no centro da inclusão, de acordo com a

representação esquemática da Figura 2.3.

Tal como no caso apresentado anteriormente, a geometria da inclusão mantém-se

constante ao longo de uma direcção ( z ), pelo que é possível a aplicação de uma transformada

de Fourier que conduz à resolução do problema recorrendo a um somatório de soluções

bidimensionais, conforme as equações (2.9). Para a presente configuração, a equação de onda

pode ser decomposta em termos de potenciais dilatacionais, φ , e de potenciais de corte dos

meios sólidos, ψ e χ . De acordo com a formulação apresentada anteriormente, cada um

destes potenciais será expresso como um somatório de campos bidimensionais definidos para

diferentes números de onda axial, zk . Na presença de uma fonte dilatacional, o campo de

25

ondas correspondente a cada solução bidimensional é obtido através da soma da contribuição

de um potencial que representa o campo de ondas incidentes com a contribuição dos

potenciais que representam o campo de ondas reflectido ou transmitido através da fronteira da

inclusão.

(x,y,z)

xZ

X

θ

R

y

r

r0

(x0,0,0)O

Y

z

α2

β2

ρ2 α1

β1

ρ1

Figura 2.3: Representação da geometria do sistema em que há um cilindro elástico inserido num meio sólido

infinito, e que está sujeito à acção de uma fonte pontual dilatacional localizada em O. Símbolos no texto.


Para o sistema em análise a fonte pode localizar-se no meio sólido exterior ou no

interior da inclusão. No caso de se localizar no meio sólido exterior, o campo incidente

bidimensional para um número de onda axial zk é calculado através dos potenciais já

definidos para o caso anterior nas equações (2.20) e (2.21), substituindo adequadamente o

parâmetro kα por 1kα . Obtém-se

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )21 0 1

0

iˆ 1 H J cos2

nincz n n α n α

n


=

= − −∑ quando 0r r< , (2.30)

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )21 1 0

0

iˆ , , , 1 H J cos2

nincz n n n

n


=

= − −∑ quando 0r r> . (2.31)

26

O campo de ondas incidente é definido de forma análoga quando a fonte se localiza no

interior da inclusão, obtendo-se ,

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )22 0 2

0

iˆ 1 H J cos2

nincz n n α n α

n


=

= − −∑ quando 0r r< (2.32)

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )22 2 0

0

iˆ , , , 1 H J cos2

nincz n n n

n


=

= − −∑ quando 0r r> . (2.33)


Analogamente ao estabelecido para a situação descrita na secção 2.5, distinguem-se

para este caso duas situações:

- Na primeira considera-se que a fonte emissora se localiza no meio sólido exterior,

onde teremos a existência de um campo de ondas incidentes e de um campo de ondas

reflectidas pela fronteira da inclusão; para esta situação, no interior da inclusão apenas existirá

o campo de ondas transmitidas.

- Na segunda situação, o sistema é excitado por uma fonte emissora localizada no

interior da inclusão, onde será necessário considerar a contribuição de um campo de ondas

incidentes e de um campo de ondas reflectidas pela fronteira da inclusão; no meio sólido

exterior apenas deverá ser considerado o campo de ondas transmitidas.

Em ambas as situações o campo de ondas reflectidas ou transmitidas para o meio

sólido exterior depende de ondas provenientes da fronteira da inclusão e que viajam para o

exterior, pelo que os potenciais dilatacionais e de corte podem ser definidos como

( ) ( ) ( ) ( )21 (1)1

0


nr k A k r nαφ ω θ θ

∞

=

=∑

( ) ( ) ( ) ( )21 (2)1

0

ˆ , , , H sinssca z n n

n

r k A k r nβψ ω θ θ∞

=

=∑ (2.34)

( ) ( ) ( ) ( )21 (3)1

0


nr k A k r nβχ ω θ θ

∞

=

=∑ ,

27

em que ( )jnA , com 1,2,3j = , são as amplitudes associadas a cada potencial, e

( ) ( )22 21 1 zk kβ ω β= − , com ( )1Im 0kβ ≤ .

Relativamente ao interior da inclusão, os potenciais dilatacionais e de corte

representativos do campo de ondas reflectidas ou transmitidas correspondem a ondas

confinadas na inclusão, podendo definir-se como

( ) ( ) ( )2 (4)2

0

ˆ , , , J cosssca z n n

n

r k A k r nαφ ω θ θ∞

=

=∑

( ) ( ) ( )2 (5)2

0

ˆ , , , J sinssca z n n

nr k A k r nβψ ω θ θ

∞

=

=∑ (2.35)

( ) ( ) ( )2 (6)2

0

ˆ , , , J cosssca z n n

n

r k A k r nβχ ω θ θ∞

=

=∑ ,

com ( ) ( )22 22 2 zk kβ ω β= − , ( )2Im 0kβ ≤ , e onde ( )j

nA , com 4,5,6j = , são as amplitudes de

cada um dos potenciais.

Por forma a estabelecer um sistema de equações que permita a determinação das

amplitudes associadas a cada potencial para cada valor de n , devem ser consideradas

condições de fronteira que imponham a continuidade de deslocamentos normais e tangenciais

e de tensões normais e tensões tangenciais na interface sólido-sólido ( r R= ), obtendo-se, para

cada uma das situações definidas anteriormente, um sistema de seis equações a seis

incógnitas:

( )(1)

11 16 1

(6)61 66 6

i 1 2

nn

n

n

a a A b

a a A bε

= − −

(2.36)

No Apêndice A2 apresentam-se as expressões ija e ib para , 1 6i j = … . Após a

resolução do sistema, torna-se possível a determinação dos deslocamentos em cada ponto do

domínio usando as equações (2.27). Para pontos localizados no meio sólido exterior, teremos

que

28

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2 2 2(1) (2)1 1 1 1 1

0

2 2 (3)1 1 1 1

, , , H H H

i H H cos

scar z n n n n n

n

z n n n


α α α β

β β β

ω θ

θ

∞

+=

+

= − +

− −

∑

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

2 2 2(1) (2)1 1 1 1 1

0

2 (3)1

, , , H H H

i H sin

scaz n n n n n

n

z n n


nk k r A nr

θ α β β β

β

ω θ

θ

∞

+=

= − − −

+

∑ (2.37)

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2(1) 2 (3)1 1 1


z z z n n n nn


=

= − +∑ ,

enquanto os deslocamentos em pontos localizados no interior da inclusão podem ser

determinados por

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

(4) (5)2 2 1 2 2

0

(6)2 2 1 2

, , , J J J

i J J cos

scar z n n n n n

n

z n n n


α α α β

β β β

ω θ

θ

∞

+=

+

= − +

− −

∑

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

(4) (5)2 2 2 1 2

0

(6)2

, , , J J J

i J sin

scaz n n n n n

n

z n n


nk k r A nr

θ α β β β

β

ω θ

θ

∞

+=

= − − −

+

∑ (2.38)

( ) ( ) ( ) ( )(4) 2 (6)2 2 2

0

, , , i J J cos scaz z z n n n n

n


=

= − +∑ .

2.7 – SOLUÇÃO ANALÍTICA PARA A PROPAGAÇÃO DE ONDAS NA PRESENÇA DE UM ANEL CIRCULAR ELÁSTICO, PREENCHIDO COM UM FLUIDO E INSERIDO NUM MEIO FLUIDO INFINITO

Considere-se o sistema representado na Figura 2.4, o qual consiste num anel cilíndrico de comprimento infinito, cujas fronteiras interior e exterior são definidas por duas circunferências concêntricas com raios Ar e Br , respectivamente, anel esse que está submerso

29

num meio fluido infinito e homogéneo e que tem o seu interior preenchido por um outro fluido também homogéneo. Neste sistema, considere-se ainda que o material que constitui o anel apresenta um comportamento elástico linear, tem massa volúmica ρ e permite

velocidades de propagação das ondas P e S de α e β , respectivamente, enquanto que o

fluido que constitui o meio exterior e o que preenche o interior do anel apresentam massas volúmicas 1fρ e 2fρ , admitindo velocidades de propagação 1fα e 2fα , respectivamente.

Y

X

Z

(x0,0,0)O

r0

αβρ

α f2

ρf2

α f1

ρf1

(x,y,z)

r

y

z

rA

rB

Figura 2.4: Representação da geometria do sistema em que há um anel constituído por um material elástico e

inserido num meio fluido infinito; esse anel está preenchido por um segundo fluido. Em O localiza-se uma fonte dilatacional pontual. Símbolos no texto.

Na presença de uma carga dilatacional, localizada em qualquer dos fluidos ou no anel sólido, são geradas ondas que se propagam pelo domínio, atingindo as fronteiras do anel. Nestas, uma parte da energia é reflectida de volta para o meio onde se encontra a fonte, sendo a restante transmitida para os meios vizinhos. Neste processo, são geradas ondas de diferentes tipos, incluindo ondas de pressão em ambos os fluidos, ondas P e S no sólido e ondas guiadas detectáveis nos três meios.

2.7.1 – Campo de ondas incidentes Para o sistema em análise a fonte pode localizar-se em qualquer dos dois meios fluidos

ou no meio sólido que constitui o anel. No caso de se localizar no meio fluido exterior, o

30

campo de ondas incidentes bidimensional para um número de onda axial zk pode ser

calculado de acordo com os potenciais já definidos nas equações (2.22) e (2.23), obtendo-se

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2

1 21 0 12

01

iˆ , , , 1 H J cos2

nfinc z n n f n f

nf

Ar k k r k r nα α

αφ ω θ ε θ

ω λ

∞

=

= − − −

∑ se 0r r< (2.39)

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2

1 21 1 02

01

iˆ , , , 1 H J cos2

nfinc z n n f n f

nf

Ar k k r k r nα α

αφ ω θ ε θ

ω λ

∞

=

= − − −

∑ se 0r r> , (2.40)

onde ( ) ( )22 21 1f f zk kα ω α= − e ( )1Im 0fkα ≤ .

De forma semelhante, quando a fonte se localiza no meio fluido interior, o campo de

ondas incidentes pode ser dado por

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2

2 22 0 22

02

iˆ , , , 1 H J cos2

nfinc z n n f n f

nf

Ar k k r k r nα α

αφ ω θ ε θ

ω λ

∞

=

= − − −

∑ se 0r r< (2.41)

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2

2 22 2 02

02

iˆ , , , 1 H J cos2

nfinc z n n f n f

nf

Ar k k r k r nα α

αφ ω θ ε θ

ω λ

∞

=

= − − −

∑ se 0r r> , (2.42)

com ( ) ( )22 22 2f f zk kα ω α= − e ( )2Im 0fkα ≤ .

Se considerarmos a presença de uma carga dilatacional localizada no meio sólido, o

campo de ondas incidentes a considerar pode ser descrito pelas equações (2.20) e (2.21).


O campo de ondas reflectidas ou transmitidas existente no meio fluido exterior pode

ser representado por um potencial dilatacional definido para ondas que se afastam da fronteira

exterior do anel, na forma

( )2

1 11 (2)12

01

H ( )cos( )ffsca n n f

nf

A k r nα

αφ θ

ω λ

∞

=

= −

∑ . (2.43)

31

No meio sólido, torna-se necessário definir potenciais dilatacionais e de corte

associados quer à fronteira exterior quer à fronteira interior. Para o primeiro caso, estes devem

considerar um campo de ondas estacionário que resulta de ondas que convergem para o centro

e de ondas que daí divergem. Assim, os potenciais correspondentes serão

( )2_

0

J ( )cos( )s extsca n n

n

A k r nαφ θ∞

=

=∑

( )3_

0J ( )sin( )s ext

sca n nn

A k r nβψ θ∞

=

=∑ (2.44)

( )4_

0J ( )cos( )s ext

sca n nn

A k r nβχ θ∞

=

=∑ .

Para o segundo caso, estes potenciais devem representar ondas que divergem da fronteira,

obtendo-se

( )5_

0H ( )cos( )s in

sca n nn

A k r nαφ θ∞

=

=∑

( )6_

0

H ( )sin( )s insca n n

n

A k r nβψ θ∞

=

=∑ (2.45)

( )7_

0

H ( )cos( )s insca n n

n

A k r nβχ θ∞

=

=∑ .

Por último, é necessário definir um potencial dilatacional que representa o campo de ondas

gerado no fluido que preenche o interior do anel, sendo

( )2

2 8222

02

J ( )cos( )ffsca n n f

nf

A k r nα

αφ θ

ω λ

∞

=

= −

∑ . (2.46)

Nas equações (2.44) a (2.46), (...)nA são amplitudes associadas a cada potencial a ser

determinadas a partir da resolução do sistema de equações que segue, o qual foi estabelecido

impondo a continuidade de deslocamentos e ainda tensões normais e tensões tangenciais nulas

em ambas as fronteiras ( Ar r= e Br r= )

32

( )(1)

11 18 1

(8)81 88 8

i 1 2

nn

n

n

a a A b

a a A bε

= − −

(2.47)

No Apêndice A3 apresentam-se as expressões ija e ib para , 1 8i j = … . Após a

resolução do sistema, torna-se possível a determinação dos deslocamentos em cada ponto do domínio. No fluido exterior, recorrendo à equação (2.18) os deslocamentos poderão ser determinados fazendo uso das expressões

( ) ( ) ( ) ( )2

1 (2) (2) (1)n 1 1 n 1 12

01

, , , H H cosfscar z f f f n

nf


αω θ θ

ω λ

∞

+=

= − − ∑

( ) ( ) ( )2

1 (2) (1)n 12

01

, , , H sinfscaz f n

nf


αω θ θ

ω λ

∞

=

= − −

∑ (2.48)

( ) ( ) ( )2

1 (2) (1)n 12

01

, , , i H cosfscaz z z f n

nf

u r k k k r A nα

αω θ θ

ω λ

∞

=

= − −

∑ .

Para pontos localizados no meio sólido, os deslocamentos registados são influenciados

pela contribuição dos três potenciais definidos para a fronteira exterior e dos três potenciais definidos para a fronteira interior, de acordo com as equações (2.27). Assim, estes deslocamentos serão

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

(2) (3)1

0

(4)1

2 2 2(5) (6)1

2 2 (7)1

, , , J J J

i J J

H H H

i H H cos

scar z n n n n n

n

z n n n

n n n n n

z n n n

n nu r k k r k k r A k r Ar rnk k r k k r Ar

n nk r k k r A k r Ar r

nk k r k k r A nr

α α α β

β β β

α α α β

β β β

ω θ

θ

∞

+=

+

+

+

= − + − −

+ − +

− −

∑

( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

(2) (3)1

0

(4)

2 2 2(5) (6)1

2 (7)

, , , J J J

i J

H H H

i H sin

scaz n n n n n

n

z n n

n n n n n

z n n


nk k r Ar

n nk r A k r k k r Ar r

nk k r A nr

θ α β β β

β

α β β β

β

ω θ

θ

∞

+=

+

= − − −

+

− − −

+

∑

(2.49)

33

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

(2) 2 (4)

0

2 2(5) 2 (7)

, , , i J J

i H H cos

scaz z z n n n n

n

z n n n n

u r k k k r A k k r A

k k r A k k r A n

α β β

α β β

ω θ

θ

∞

=

= − +

− +

∑.

Por último, usando mais uma vez as equações (2.18), no fluido interior teremos

( ) ( ) ( ) ( )2

2 (8)2 2 1 22

02

, , , J J cosfscar z n f f n f n

nf


αω θ θ

ω λ

∞

+=

= − − ∑

( ) ( ) ( )2

2 (8)22

02

, , , J sinfscaz n f n

nf


αω θ θ

ω λ

∞

=

= − −

∑ (2.50)

( ) ( ) ( )2

2 (8)22

02

, , , i J cosfscaz z z n f n

nf

u r k k k r A nα

αω θ θ

ω λ

∞

=

= − −

∑ .

2.8 – SOLUÇÃO ANALÍTICA PARA A PROPAGAÇÃO DE ONDAS NA PRESENÇA DE UM ANEL CIRCULAR ELÁSTICO, PREENCHIDO COM UM FLUIDO E INSERIDO NUM MEIO ELÁSTICO INFINITO

Na Figura 2.5 representa-se um sistema constituído por uma inclusão circular de raio

Ar , totalmente preenchida por um material fluido de massa volúmica fρ que admite

velocidades de propagação fα , e rodeada por um meio elástico de massa volúmica 2ρ onde

as velocidades de propagação das ondas P e S são 2α e 2β , respectivamente. O meio elástico

que rodeia a inclusão apresenta a forma de um anel circular, preenchido interiormente pelo

fluido e delimitado por duas circunferências concêntricas de raios Ar e Br ( )B Ar r> ;

exteriormente ao anel, considera-se a existência de um meio elástico infinito e homogéneo, de

massa volúmica 1ρ e onde as velocidades de propagação das ondas P e S são 1α e 1β . O

sistema assim definido é excitado por uma carga dilatacional pontual, localizada no fluido ou

em qualquer dos meios sólidos.

34

A energia introduzida pela fonte propaga-se pelo domínio, atingindo as fronteiras que

delimitam os diferentes meios. Nestas, uma parte da energia é reflectida de volta para o meio

onde se encontra a fonte, e a restante é transmitida para os meios vizinhos. Tal como no caso

anterior, geram-se diferentes tipos de ondas, incluindo ondas de pressão no fluido, ondas P e S

nos sólidos e ondas guiadas.

(x,y,z)

rB

α2

β2

ρ2

Z

X

y

r

rA

α f

ρf

r0

(x0,0,0)O

z

α1

β1

ρ1

Y

Figura 2.5: Representação da geometria do sistema em que há um anel constituído por um material elástico e

inserido num outro meio elástico infinito; esse anel está preenchido por um fluido. Em O localiza-se uma fonte dilatacional pontual. Símbolos no texto.


Quando a fonte se localiza no meio exterior, o campo bidimensional de ondas

incidentes para um número de onda axial zk pode ser expresso de acordo com os potenciais

definidos nas equações (2.20) e (2.21). Considerando as propriedades atribuídas ao meio

elástico, obtém-se

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )21 0 1

0

iˆ , , , 1 H J cos2

ninc z n n n

n


=

= − −∑ quando 0r r< , (2.51)

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )21 1 0

0

iˆ , , , 1 H J cos2

ninc z n n n

n


=

= − −∑ quando 0r r> , (2.52)

35

onde ( ) ( )22 21 1 zk kα ω α= − e ( )1Im 0kα ≤ . Estas mesmas expressões podem ser usadas para

definir o potencial de deslocamentos quando a fonte se situa no anel sólido, obtendo-se

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )22 0 2

0

iˆ , , , 1 H J cos2

ninc z n n n

n


=

= − −∑ quando 0r r< , (2.53)

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )22 2 0

0

iˆ , , , 1 H J cos2

ninc z n n n

n


=

= − −∑ quando 0r r> , (2.54)

com ( ) ( )22 22 2 zk kα ω α= − e ( )2Im 0kα ≤ .

Se considerarmos a presença de uma carga dilatacional localizada no meio fluido, o

campo de ondas incidentes será descrito de acordo com as equações (2.22) e (2.23).


O campo de ondas reflectidas ou transmitidas existente no meio sólido exterior resulta

da contribuição de três potenciais de deslocamentos, sendo um potencial dilatacional e dois de

corte. Estes potenciais representam ondas que se afastam da fronteira exterior do anel, sendo

( )111

0

H ( )cos( )ssca n n

n

A k r nαφ θ∞

=

=∑

( )211

0H ( )sin( )s

sca n nn

A k r nβψ θ∞

=

=∑ (2.55)

( )311

0H ( )cos( )s

sca n nn

A k r nβχ θ∞

=

=∑ .

Para o meio sólido que constitui o anel, é necessário considerar potenciais

dilatacionais e de corte associados à fronteira exterior e à fronteira interior. Para o primeiro

caso, os potenciais representam um campo de ondas estacionário que resulta de ondas que

convergem para o centro e de ondas que daí divergem. Estes potenciais podem ser escritos

como

36

( )42 _2

0J ( )cos( )s ext

sca n nn

A k r nαφ θ∞

=

=∑

( )52 _2

0

J ( )sin( )s extsca n n

n

A k r nβψ θ∞

=

=∑ (2.56)

( )62 _2

0

J ( )cos( )s extsca n n

n

A k r nβχ θ∞

=

=∑ .

Na fronteira interior, o campo de ondas diverge da fronteira, obtendo-se

( )72 _

0H ( )cos( )s in

sca n nn

A k r nαφ θ∞

=

=∑

( )82 _2

0

H ( )sin( )s insca n n

n

A k r nβψ θ∞

=

=∑ (2.57)

( )92 _2

0

H ( )cos( )s insca n n

n

A k r nβχ θ∞

=

=∑ .

No fluido que preenche o interior do anel apenas existe um potencial dilatacional, que deverá representar um campo estacionário na forma

( )2

102

0J ( )cos( )ff

sca n n fnf

A k r nα

αφ θ

ω λ

∞

=

= −

∑ (2.58)

Para os potenciais definidos os parâmetros (...)nA representam amplitudes a serem

determinadas. Para tal, torna-se necessário estabelecer um sistema de equações impondo: - continuidade de deslocamentos e tensões normais e tangenciais na fronteira entre

os dois sólidos (em Br r= );

- continuidade de deslocamentos e tensões normais na interface entre o sólido e o fluido (em Ar r= );

- tensões tangenciais nulas na interface entre o sólido e o fluido (em Ar r= ).

O sistema de equações final assumirá a forma

( )(1)

1,1 1,10 1

(10)10,1 10,10 10

i 1 2

nn

n

n

a a A b

a a A bε

= − −

(2.59)

37

As expressões correspondentes a ija e ib para , 1 10i j = … podem encontrar-se no

Apêndice A4. A resolução do sistema possibilita a determinação dos deslocamentos em cada ponto do domínio usando as equações (2.18) e (2.27). Para o meio sólido exterior, os deslocamentos em cada ponto serão dados por

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2 2 2(1) (2)1 1 1 1 1

0

2 2 (3)1 1 1 1

, , , H H H

i H H cos

scar z n n n n n

n

z n n n


α α α β

β β β

ω θ

θ

∞

+=

+

= − +

− −

∑

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

2 2 2(1) (2)1 1 1 1 1

0

2 (3)1

, , , H H H

i H sin

scaz n n n n n

n

z n n


nk k r A nr

θ α β β β

β

ω θ

θ

∞

+=

= − − −

+

∑ (2.60)

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2(1) 2 (3)1 1 1


z z z n n n nn


=

= − +∑ .

No caso de pontos situados no interior do anel sólido, o cálculo dos deslocamentos

deverá ser feito recorrendo às expressões

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

(4) (5)1

0

(6)1

2 2 2(7) (8)1

2 2 (9)1

, , , J J J

i J J

H H H

i H H cos

scar z n n n n n

n

z n n n

n n n n n

z n n n

n nu r k k r k k r A k r Ar rnk k r k k r Ar

n nk r k k r A k r Ar r

nk k r k k r A nr

α α α β

β β β

α α α β

β β β

ω θ

θ

∞

+=

+

+

+

= − + − −

+ − +

− −

∑

( ) ( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

(4) (5)1

0

(6)

2 2 2(7) (8)1

2 (9)

, , , J J J

i J

H H H

i H sin

scaz n n n n n

n

z n n

n n n n n

z n n


nk k r Ar

n nk r A k r k k r Ar r

nk k r A nr

θ α β β β

β

α β β β

β

ω θ

θ

∞

+=

+

= − − −

+

− − −

+

∑

(2.61)

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

(4) 2 (6)

0

2 2(7) 2 (9)

, , , i J J

i H H cos

scaz z z n n n n

n

z n n n n

u r k k k r A k k r A

k k r A k k r A n

α β β

α β β

ω θ

θ

∞

=

= − +

− +

∑.

Finalmente, no fluido interior teremos os deslocamentos

38

( ) ( ) ( ) ( )2

(10)12

0, , , J J cosfsca

r z n f f n f nnf


αω θ θ

ω λ

∞

+=

= − − ∑

( ) ( ) ( )2

(10)2

0, , , J sinfsca

z n f nnf


αω θ θ

ω λ

∞

=

= − −

∑ (2.62)

( ) ( ) ( )2

(10)22

0

, , , i J cosfscaz z z n f n

nf

u r k k k r A nα

αω θ θ

ω λ

∞

=

= − −

∑ .

2.9 - CONCLUSÕES

Neste capítulo foi apresentado um processo de cálculo para a definição do campo

tridimensional de ondas gerado por uma fonte dilatacional pontual localizada num meio

sólido ou fluido excitando sistemas com geometria bidimensional. O processo de cálculo

definido permite o cálculo do campo tridimensional como um somatório de soluções

bidimensionais determinadas para diferentes números de onda axiais.

Foi possível a aplicação deste processo a meios de propagação contendo inclusões por

forma a definir soluções analíticas para configurações geométricas simples. Estudaram-se

diferentes configurações, definindo sistemas físicos onde se considera a presença de uma

inclusão circular com fronteira rígida inserida num meio fluido, de uma inclusão circular

preenchida por um fluido ou por um sólido, inserida num meio elástico, e de um anel sólido

de secção circular, preenchido com um fluido e rodeado por um material fluido ou sólido.

No contexto desta dissertação, as soluções apresentadas serão de grande utilidade, já

que permitem não só o estudo de problemas físicos com configurações simples, que servem

de base à interpretação de resultados em sistemas mais complexos, como constituem também

um instrumento importante para proceder à verificação dos diferentes modelos numéricos a

desenvolver.

39

APÊNDICE A1 - Sistema de equações para um cilindro preenchido com fluido inserido num meio sólido

Apresentam-se de seguida os termos ija , com 1...4i = e 1...4j = , usados na composição do

sistema de equações indicado na equação (2.26):

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2

2 22 2 211 12 2

2 H H2 z n n

Ra n n k R k R k R k RR α α αµ ω

β +

= − − + +

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2212 12

2 H Hn na n n k R nk R k RR β β βµ

+ = − + −

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 22 2 213 12

2 H Hz n na ik n n k R k R k R k RR β β β βµ

+ = − − + − +

( )14 Jn fa k Rα= −

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2221 1H Hn na n n k R nk R k Rα α α+

= − +

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2

2 2222 1H H

2 n n

k Ra n n k R k R k Rβ

β β β+

= − + + −

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 223 1i 1 H Hz n na n k n k R k R k Rβ β β+

= − − + +

24 0a =

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2231 1i H Hz n na k nR k R k R k Rα α α+

= − −

( ) ( )232

i H2

zn

ka nR k Rβ− =

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 22 2 2 233 1

1 H H2 z n na k R k R n k R k R k R

R β β β β+ = − −

34 0a =

( ) ( ) ( ) ( )2 241 1H Hn n

na k R k k RR α α α+ = −

( ) ( )242 Hn

na k RR β =

( ) ( ) ( ) ( )2 243 1i H Hz n n

na k k R k k RR β β β+ = − −

( ) ( )2

44 12 J Jfn f f n f

f

na k R k k RR α α α

αω λ +

= − − −

40

Relativamente aos termos independentes jb , com 1...4j = , estes serão definidos

separadamente para duas situações:

a) fonte localizada no meio sólido exterior:

( ) ( ) ( )2 2

(2) 2 2 21 0 12 2

2H J J2n z n n

Rb k r n n k R k a k R k RR kα α α α

β

µ ω+

= − − − + +

( ) ( ) ( )(2) 22 0 1H ( )J Jn n nb k r n - n k R nk R k Rα α α α+ = − +

( ) ( ) ( )(2) 23 0 1H i J Jn z n nb k r k n R k R k R k Rα α α α+ = −

( ) ( ) ( )(2)4 0 1H J Jn n n

nb k r k R k k RRα α α α+ = − −

b) fonte localizada na inclusão preenchida por fluido:

( ) ( ) ( )21 0J Hn f n fb k r k Rα α=

2 0b =

3 0b =

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2

2 24 0 12 J H Hf

n f n f f n ff

nb k r k R k k RRα α α α

αω λ +

= − −

APÊNDICE A2 - Sistema de equações para uma inclusão cilíndrica preenchida por um sólido inserida num meio sólido

Para o caso de um meio sólido contendo uma inclusão cilíndrica circular constituída por um

material elástico, os termos ija , com 1...6i = e 1...6j = , do sistema de equações (2.36) serão

os seguintes:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2

2 22 2 2111 1 1 1 12 2

1

2 H H2 z n n


β +

= − − + +

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 22112 1 1 1 12

2 H Hn na n n k R nk R k RR β β βµ

+ = − + −

41

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 22 2 2113 1 1 1 1 12

2 H Hz n na ik n n k R k R k R k RR β β β βµ

+ = − − + − +

( ) ( ) ( )2 2

2 2 2214 2 2 1 22 2

2

2 J J2 z n n


β +

= − − − + +

( ) ( ) ( ) ( )2215 2 2 1 22

2 J Jn na n n k R nk R k RR β β βµ

+ = − − + −

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2216 2 2 2 1 22

2 J Jz n na ik n n k R k R k R k RR β β β βµ

+ = − + − +

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 22121 1 1 1 12

2 H Hn na n n k R nk R k RR α α αµ

+ = − +

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2

1 2 22122 1 1 1 12

2 H H2 n n

k Ra n n k R k R k R

Rβ

β β βµ

+

= − + + −

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2123 1 1 1 12

2i 1 H Hz n na n k n k R k R k RR β β βµ

+ = − − + +

( ) ( ) ( ) ( )2224 2 2 1 22

2 J Jn na n n k R nk R k RR α α αµ

+ = − − +

( ) ( ) ( )2 2

22225 2 2 1 22

2 J J2 n n

k Ra n n k R k R k R

Rβ

β β βµ

+

= − − + + −

( ) ( ) ( ) ( )226 2 2 1 22

2i 1 J Jz n na n k n k R k R k RR β β βµ

+ = − + +

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 22131 1 1 1 12

2i H Hz n na k nR k R k R k RR α α αµ

+ = − −

( ) ( )2132 12

2 i ( ) H2

zn

ka nR k RR βµ − =

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 22 2 2 2133 1 1 1 1 12

2 1 H H2 z n na k R k R n k R k R k R

R R β β β βµ

+ = − −

( ) ( ) ( ) ( )2234 2 2 1 22

2i J Jz n na k nR k R k R k RR α α αµ

+ = −

( )235 22

2 i ( ) J2

zn

ka nR k RR βµ − = −

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2236 2 2 2 1 22

2 1 J J2 z n na k R k R n k R k R k R

R R β β β βµ

+ = − − −

( ) ( ) ( ) ( )2 241 1 1 1 1H Hn n

na k R k k RR α α α+ = −

( ) ( )242 1Hn

na k RR β =

42

( ) ( ) ( ) ( )2 243 1 1 1 1i H Hz n n

na k k R k k RR β β β+ = − −

( ) ( )44 2 2 1 2J Jn nna k R k k RR α α α+ = − −

( )45 2Jnna k RR β = −

( ) ( )46 2 2 1 2i J Jz n nna k k R k k RR β β β+ = −

( )(2)51 1Hn

na k RR α = −

( ) ( ) ( ) ( )2 252 1 1 1 1H Hn n

na k R k k RR β β β+ = − −

( ) ( )253 1i Hz n

na k k RR β =

( )54 2Jnna k RR α =

( ) ( )55 2 2 1 2J Jn nna k R k k RR β β β+ = −

( )56 2i Jz nna k k RR β = −

( )(2)61 1i Hz na k k Rα=

62 0a =

( ) ( )2263 1 1Hna k k Rβ β=

( )64 2i Jz na k k Rα= −

65 0a =

( )266 2 2Jna k k Rβ β=

Relativamente aos termos independentes jb , com 1...6j = , estes serão definidos

separadamente para duas situações:


( ) ( ) ( )2 2

(2) 2 2 211 1 0 1 1 1 12 2

1

2H J J2n z n n

Rb k r n n k R k a k R k RR kα α α α

β

µ ω+

= − − − + +

43

( ) ( ) ( )(2) 212 1 0 1 1 1 12

2H ( )J Jn n nb k r n n k R nk R k RRα α α αµ

+ = − − +

( ) ( ) ( )(2) 213 1 0 1 1 1 12

2H i J Jn z n nb k r k n R k R k R k RRα α α αµ

+ = −

( ) ( ) ( )(2)4 1 0 1 1 1 1H J Jn n n

nb k r k R k k RRα α α α+ = − −

( ) ( )(2)5 1 0 1H Jn n

nb k r k RRα α =

( ) ( )(2)6 1 0 1H i Jn z nb k r k k Rα α = −

b) fonte no interior da inclusão:

( ) ( ) ( )2 2

2 2 2 2 221 2 0 2 2 1 22 2

2

2J H H2

( ) ( )n z n n

Rb k r n n k R k R k R k RR kα α α α

β

µ ω+

= − − + +

( ) ( ) ( )2 2 222 2 0 2 2 1 22

2J ( )H H( ) ( )n n nb k r n n k R nk R k R

Rα α α αµ

+ = − +

( ) ( ) ( )2 2 223 2 0 2 2 1 22

2J i H H( ) ( )n z n nb k r k n R k R k R k R

Rα α α αµ

+ = − −

( ) ( ) ( )2 24 2 0 2 2 1 2J H H( ) ( )

n n nnb k r k R k k RRα α α α+ = −

( ) ( )25 2 0 2J H( )

n nnb k r k RRα α = −

( ) ( )26 2 0 2J i H( )

n z nb k r k k Rα α =

APÊNDICE A3 - Sistema de equações para um anel sólido preenchido com fluido e inserido num meio fluido

Os termos ija , com 1...8i = e 1...8j = , do sistema de equações (2.47) serão os seguintes:

( )(2)11 1Hn f Ba k rα= −

44

( ) ( ) ( )2 2

2 2 212 12 2

2 J J2

Bz B n B B n B

B

ra n n k r k r k r k rr α α αµ ω

β +

= − − + +

( ) ( ) ( ) ( )213 12

2 J Jn B B n BB

a n n k r nk r k rr β β βµ

+ = − + −

( ) ( ) ( ) ( )2 2 214 12

2 J Jz B n B B n BB

a ik n n k r k r k r k rr β β β βµ

+ = − − + − +

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2

2 22 2 215 12 2

2 H H2

Bz B n B B n B

B


β +

= − − + +

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2216 12

2 H Hn B B n BB


+ = − + −

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 22 2 217 12

2 H Hz B n B B n BB


+ = − − + − +

18 0a =

21 0a =

( ) ( ) ( ) ( )222 1J Jn B B n Ba n n k r nk r k rα α α+

= − +

( ) ( ) ( )2 2

223 1J J

2B

n B B n B

k ra n n k r k r k rβ

β β β+

= − + + −

( ) ( ) ( ) ( )24 1i 1 J Jz n B B n Ba n k n k r k r k rβ β β+ = − − + +

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2225 1H Hn B B n Ba n n k r nk r k rα α α+

= − +

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2

2 2226 1H H

2B

n B B n B


β β β+

= − + + −

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 227 1i 1 H Hz n B B n Ba n k n k r k r k rβ β β+

= − − + +

28 0a =

31 0a =

( ) ( ) ( ) ( )232 1i J Jz B n B B n Ba k nr k r k r k rα α α+

= − −

45

( )33i J2

zB n B

ka nr k rβ− =

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 234 1

1 J J2 B z B n B B n B

B

a k r k r n k r k r k rr β β β β+

= − −

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2235 1i H Hz B n B B n Ba k nr k r k r k rα α α+

= − −

( ) ( )236

i H2

zB n B

ka nr k rβ− =

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 22 2 2 237 1

1 H H2 B z B n B B n B

B


= − −

38 0a =

( ) ( )1

21 (2) (2)

41 1 1 121

H Hn n

ff B f f B

f B

na k r k k rr α α α

αω λ +

= − − −

( ) ( )42 1J Jn B n BB

na k r k k rr α α α+

= −

( )43 Jn BB

na k rr β

=

( ) ( )44 1i J Jz n B n BB

na k k r k k rr β β β+

= − −

( ) ( ) ( ) ( )2 245 1H Hn B n B

B


= −

( ) ( )246 Hn B

B

na k rr β

=

( ) ( ) ( ) ( )2 247 1i H Hz n B n B

B


= − −

48 0a =

51 0a =

46

( ) ( ) ( )2 2

2 2 252 12 2

2 J J2

Az A n A A n A

A


β +

= − − + +

( ) ( ) ( ) ( )253 12

2 J Jn A A n AA


+ = − + −

( ) ( ) ( ) ( )2 2 254 12

2 J Jz A n A A n AA


+ = − − + − +

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2

2 22 2 255 12 2

2 H H2

Az A n A A n A

A


β +

= − − + +

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2256 12

2 H Hn A A n AA


+ = − + −

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 22 2 257 12

2 H Hz A n A A n AA


+ = − − + − +

( )58 2Jn f Aa k rα= −

61 0a =

( ) ( ) ( ) ( )262 1J Jn A A n Aa n n k r nk r k rα α α+

= − +

( ) ( ) ( )2 2

263 1J J

2A

n A A n A


β β β+

= − + + −

( ) ( ) ( ) ( )64 1i 1 J Jz n A A n Aa n k n k r k r k rβ β β+ = − − + +

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2265 1H Hn A A n Aa n n k r nk r k rα α α+

= − +

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2

2 2266 1H H

2A

n A A n A


β β β+

= − + + −

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 267 1i 1 H Hz n A A n Aa n k n k r k r k rβ β β+

= − − + +

68 0a =

71 0a =

( ) ( ) ( ) ( )272 1i J Jz A n A A n Aa k nr k r k r k rα α α+

= − −

47

( )73i J2

zA n A

ka nr k rβ− =

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 274 1

1 J J2 A z A n A A n A

A


= − −

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2275 1i H Hz A n A A n Aa k nr k r k r k rα α α+

= − −

( ) ( )276

i H2

zA n A

ka nr k rβ− =

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 22 2 2 277 1

1 H H2 A z A n A A n A

A


= − −

78 0a =

81 0a =

( ) ( )82 1J Jn A n AA


= −

( )83 Jn AA

na k rr β

=

( ) ( )84 1i J Jz n A n AA


= − −

( ) ( ) ( ) ( )2 285 1H Hn A n A

A


= −

( ) ( )286 Hn A

A

na k rr β

=

( ) ( ) ( ) ( )2 287 1i H Hz n A n A

A


= − −

( ) ( )2

288 2 2 1 22

2

J Jfn f A f n f A

f A


αω λ +

= − − −

Os termos independentes jb definem-se separadamente para três situações:

48

a) fonte localizada no meio fluido exterior:

( ) ( )(2)1 1 0 1H Jn f n f Bb k r k rα α=

2 0b =

3 0b =

( ) ( ) ( )2

1 (2)4 1 0 1 1 1 12

1

H J Jfn f n f B f n f B

f B

nb k r k r k k rrα α α α

αω λ +

= − −

5 0b =

6 0b =

7 0b =

8 0b =

b) fonte no meio sólido:

( ) ( ) ( )2 2

2 2 2 2 21 0 12 2

2J H H2

( ) ( )Bn z B n B B n B

B

rb k r n n k r k r k r k rr kα α α α

β

µ ω+

= − − − + +

( ) ( ) ( )2 2 22 0 1J ( )H H( ) ( )

n n B B n Bb k r n n k r nk r k rα α α α+ = − − +

( ) ( ) ( )2 2 23 0 1J i H H( ) ( )

n z B n B B n Bb k r k nr k r k r k rα α α α+ = −

( ) ( ) ( )2 24 0 1J H H( ) ( )

n n B n BB

nb k r k r k k rrα α α α+

= − −

( ) ( ) ( )2 2

(2) 2 2 25 0 12 2

2H J J2

An z A n A A n A

A


β

µ ω+

= − − − + +

( ) ( ) ( )(2) 26 0 1H ( )J Jn n A A n Ab k r n n k r nk r k rα α α α+ = − − +

( ) ( ) ( )(2) 27 0 1H i J Jn z A n A A n Ab k r k nr k r k r k rα α α α+ = −

( ) ( ) ( )(2)8 0 1H J Jn n A n A

A


= − −

49

c) fonte localizada no meio fluido interior:

1 0b =

2 0b =

3 0b =

4 0b =

( ) ( ) ( )25 2 0 2J Hn f n f Ab k r k rα α=

6 0b =

7 0b =

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2

2 2 28 2 0 2 2 1 22

2

J H Hfn f n f A f n f A

f A


αω λ +

= − −

APÊNDICE A4 - Sistema de equações para um anel sólido preenchido com fluido e inserido num meio sólido

Para o sistema de equações (2.59), os termos ija , com 1...10i = e 1...10j = , serão os

seguintes:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2

2 22 2 211,1 1 1 1 12 2

1

2 H H2

Bz B n B B n B

B


β +

= − − + +

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2211,2 1 1 1 12

2 H Hn B B n BB


+ = − + −

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 22 2 211,3 1 1 1 1 12

2 H Hz B n B B n BB


+ = − − + − +

( ) ( ) ( )2 2

2 2 221,4 2 2 1 22 2

2

2 J J2

Bz B n B B n B

B


β +

= − − − + +

( ) ( ) ( ) ( )221,5 2 2 1 22

2 J Jn B B n BB


+ = − − + −

50

( ) ( ) ( ) ( )2 2 221,6 2 2 2 1 22

2 J Jz B n B B n BB


+ = − + − +

( ) ( ) ( )2 2

2 2 2 (2) (2)21,7 2 2 1 22 2

2

2 H H2

Bz B n B B n B

B


β +

= − − − + +

( ) ( ) ( ) ( )2 (2) (2)21,8 2 2 1 22

2 H Hn B B n BB


+ = − − + −

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 (2) (2)21,9 2 2 2 1 22

2 H Hz B n B B n BB


+ = − + − +

1,10 0a =

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2212,1 1 1 1 12

2 H Hn B B n BB

a n n k r nk r k rr α α αµ

+ = − +

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2

1 2 2212,2 1 1 1 12

2 H H2

Bn B B n B

B

k ra n n k r k r k r

rβ

β β βµ

+

= − + + −

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 212,3 1 1 1 12

2i 1 H Hz n B B n BB

a n k n k r k r k rr β β βµ

+ = − − + +

( ) ( ) ( ) ( )222,4 2 2 1 22

2 J Jn B B n BB


+ = − − +

( ) ( ) ( )2 2

2222,5 2 2 1 22

2 J J2

Bn B B n B

B


rβ

β β βµ

+

= − − + + −

( ) ( ) ( ) ( )22,6 2 2 1 22

2i 1 J Jz n B B n BB


+ = − + +

( ) ( ) ( ) ( )2 (2) (2)22,7 2 2 1 22

2 H Hn B B n BB


+ = − − +

( ) ( ) ( )2 2

22 (2) (2)22,8 2 2 1 22

2 H H2

Bn B B n B

B


rβ

β β βµ

+

= − − + + −

( ) ( ) ( ) ( )(2) (2)22,9 2 2 1 22

2i 1 H Hz n B B n BB


+ = − + +

2,10 0a =

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2213,1 1 1 1 12

2i H Hz B n B B n BB

a k nr k r k r k rr α α αµ

+ = − −

( ) ( )213,2 12

2 i ( ) H2

zB n B

B

ka nr k rr βµ − =

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 22 2 2 213,3 1 1 1 1 12

2 1 H H2 B z B n B B n B

B B

a k r k r n k r k r k rr r β β β βµ

+

= − −

51

( ) ( ) ( ) ( )223,4 2 2 1 22

2i J Jz B n B B n BB


+ = −

( )23,5 22

2 i ( ) J2

zB n B

B

ka nr k rr βµ − = −

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 223,6 2 2 2 1 22

2 1 J J2 B z B n B B n B

B B


+

= − − −

( ) ( ) ( ) ( )(2) 2 (2)23,7 2 2 1 22

2i H Hz B n B B n BB


+ = −

( )(2)23,8 22

2 i ( ) H2

zB n B

B

ka nr k rr βµ − = −

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 (2) (2)23,9 2 2 2 1 22

2 1 H H2 B z B n B B n B

B B


+

= − − −

3,10 0a =

( ) ( ) ( ) ( )2 24,1 1 1 1 1H Hn B n B

B


= −

( ) ( )24,2 1Hn B

B

na k rr β

=

( ) ( ) ( ) ( )2 24,3 1 1 1 1i H Hz n B n B

B


= − −

( ) ( )4,4 2 2 1 2J Jn B n BB


= − −

( )4,5 2Jn BB

na k rr β

= −

( ) ( )4,6 2 2 1 2i J Jz n B n BB


= −

( ) ( )(2) (2)4,7 2 2 1 2H Hn B n B

B


= − −

( )(2)4,8 2Hn B

B

na k rr β

= −

( ) ( )(2) (2)4,9 2 2 1 2i H Hz n B n B

B


= −

4,10 0a =

52

( )(2)5,1 1Hn B

B

na k rr α

= −

( ) ( ) ( ) ( )2 25,2 1 1 1 1H Hn B n B

B

na k r k k rr β β β+

= − −

( ) ( )25,3 1i Hz n B

B

na k k rr β

=

( )5,4 2Jn BB

na k rr α

=

( ) ( )5,5 2 2 1 2J Jn B n BB


= −

( )5,6 2i Jz n BB

na k k rr β

= −

( )(2)5,7 2Hn B

B

na k rr α

=

( ) ( )(2) (2)5,8 2 2 1 2H Hn B n B

B


= −

( )(2)5,9 2i Hz n B

B

na k k rr β

= −

5,10 0a =

( )(2)6,1 1i Hz n Ba k k rα=

62 0a =

( ) ( )226,3 1 1Hn Ba k k rβ β=

( )6,4 2i Jz n Ba k k rα= −

6,5 0a =

( )26,6 2 2Jn Ba k k rβ β=

( )(2)6,7 2i Hz n Ba k k rα= −

6,8 0a =

( )2 (2)6,9 2 2Hn Ba k k rβ β=

6,10 0a =

7,1 0a =

53

7,2 0a =

7,3 0a =

( ) ( ) ( )2 2

2 2 227,4 2 2 1 22 2

2

2 J J2

Az A n A A n A

A


β +

= − − + +

( ) ( ) ( ) ( )227,5 2 2 1 22

2 J Jn A A n AA


+ = − + −

( ) ( ) ( ) ( )2 2 227,6 2 2 2 1 22

2 J Jz A n A A n AA


+ = − − + − +

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2

2 22 2 227,7 2 2 1 22 2

2

2 H H2

Az A n A A n A

A


β +

= − − + +

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2227,8 2 2 1 22

2 H Hn A A n AA


+ = − + −

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 22 2 227,9 2 2 2 1 22

2 H Hz A n A A n AA


+ = − − + − +

( )7,10 Jn f Aa k rα= −

8,1 0a =

8,2 0a =

8,3 0a =

( ) ( ) ( ) ( )228,4 2 2 1 22

2 J Jn A A n AA


+ = − +

( ) ( ) ( )2 2

2228,5 2 2 1 22

2 J J2

An A A n A

A


rβ

β β βµ

+

= − + + −

( ) ( ) ( ) ( )28,6 2 2 1 22

2i 1 J Jz n A A n AA


+ = − − + +

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2228,7 2 2 1 22

2 H Hn A A n AA


+ = − +

54

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2

2 2 2228,8 2 2 1 22

2 H H2

An A A n A

A


rβ

β β βµ

+

= − + + −

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 228,9 2 2 1 22

2i 1 H Hz n A A n AA


+ = − − + +

8,10 0a =

9,1 0a =

9,2 0a =

9,3 0a =

( ) ( ) ( ) ( )229,4 2 2 1 22

2i J Jz A n A A n AA


+ = − −

( )29,5 22

2 i J2

zA n A

A


( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 229,6 2 2 2 1 22

2 1 J J2 A z A n A A n A

A A


+

= − −

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2229,7 2 2 1 22

2i H Hz A n A A n AA


+ = − −

( ) ( )229,8 22

2 i H2

zA n A

A


( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 22 2 2 229,9 2 2 2 1 22

2 1 H H2 A z A n A A n A

A A


+

= − −

9,10 0a =

10,1 0a =

10,2 0a =

10,3 0a =

( ) ( )10,4 2 2 1 2J Jn A n AA


= −

55

( )10,5 2Jn AA

na k rr β

=

( ) ( )10,6 2 2 1 2i J Jz n A n AA


= − −

( ) ( ) ( ) ( )2 210,7 2 2 1 2H Hn A n A

A


= −

( ) ( )210,8 2Hn A

A

na k rr β

=

( ) ( ) ( ) ( )2 210,9 2 2 1 2i H Hz n A n A

A


= − −

( ) ( )2

10,10 12 J Jfn f A f n f A

f A


αω λ +

= − − −

Os termos independentes jb , com 1...10j = , correspondentes serão:


( ) ( ) ( )2 2

(2) 2 2 211 1 0 1 1 1 12 2

1

2H J J2

Bn z B n B B n B

B


β

µ ω+

= − − − + +

( ) ( ) ( )(2) 212 1 0 1 1 1 12

2H ( )J Jn n B B n BB

b k r n n k r nk r k rrα α α αµ

+ = − − +

( ) ( ) ( )(2) 213 1 0 1 1 1 12

2H i J Jn z B n B B n BB

b k r k n r k r k r k rrα α α αµ

+ = −

( ) ( ) ( )(2)4 1 0 1 1 1 1H J Jn n B n B

B


= − −

( ) ( )(2)5 1 0 1H Jn n B

B

nb k r k rrα α

=

( ) ( )(2)6 1 0 1H i Jn z n Bb k r k k rα α =

7 0b =

56

8 0b =

9 0b =

10 0b =

b) fonte no anel sólido:

( ) ( ) ( )2 2

2 2 2 2 221 2 0 2 2 1 22 2

2

2J H H2

( ) ( )Bn z B n B B n B

B


β

µ ω+

= − − + +

( ) ( ) ( )2 2 22 2 0 2 2 1 2J ( )H H( ) ( )

n n B B n Bb k r n n k r nk r k rα α α α+ = − +

( ) ( ) ( )2 2 23 2 0 2 2 1 2J i H H( ) ( )

n z B n B B n Bb k r k n r k r k r k rα α α α+ = − −

( ) ( ) ( )2 24 2 0 2 2 1 2J H H( ) ( )

n n B n BB


= −

( ) ( )25 2 0 2J H( )

n n BB

nb k r k rrα α

= −

( ) ( )26 2 0 2J i H( )

n z n Bb k r k k rα α = −

( ) ( ) ( )2 2

(2) 2 2 227 2 0 2 2 1 22 2

2

2H J J2

An z A n A A n A

A


β

µ ω+

= − − + +

( ) ( ) ( )(2) 28 2 0 2 2 1 2H ( )J Jn n A A n Ab k r n n k r nk r k rα α α α+ = − +

( ) ( ) ( )(2) 29 2 0 2 2 1 2H i J Jn z A n A A n Ab k r k n r k r k r k rα α α α+ = − −

( ) ( ) ( )(2)10 2 0 2 2 1 2H J Jn n A n A

A


= −

c) fonte localizada no meio fluido interior:

1 0b =

2 0b =

3 0b =

4 0b =

5 0b =

57

6 0b =

( ) ( ) ( )27 0J Hn f n f Ab k r k rα α=

8 0b =

9 0b =

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2

2 210 0 12 J H Hf

n f n f A f n f Af A


αω λ +

= − −

58

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

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Geophysics, 54, p. 758-765.

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59

Pochammer, L. (1876) Über die fortpflanzungsgeschwindigkeiten kleiner schwingungen in

einem unbegrenzten isotropen kreiszylinder. J. reine angew. Math., 81, p. 324-336.

Tadeu, A., Kausel, E. (2000) Green´s functions for two-and-a-half dimensional elastodynamic

problems. Journal of Engineering Mechanics – ASCE, 126(10), p. 1093-1097.

Tadeu, A., Godinho, L. António, J. (2001) Benchmark solutions for 3D scattering from

cylindrical inclusions. Journal of Computational Acoustics, 9(4), p. 1311-1327.

Watson, G. N. (1980) A treatise on the theory of Bessel functions. Cambridge University

Press, Second Edition

61

CAPÍTULO 3

SOLUÇÕES ANALÍTICAS PARA A PROPAGAÇÃO DE

ONDAS EM MEIOS CONSTITUÍDOS POR CAMADAS

FLUIDAS OU ELÁSTICAS

3.1 - INTRODUÇÃO

O desenvolvimento de soluções analíticas para a propagação de ondas acústicas e de

ondas elásticas tem merecido a atenção de muitos investigadores. Verifica-se, no entanto, que

a definição destas soluções só é possível para casos específicos, e, regra geral, quando o meio

de propagação apresenta uma estrutura simples e regular. Apesar disso, essas soluções

analíticas são de grande utilidade como soluções de referência para a verificação de modelos

matemáticos, como uma abordagem eficiente a alguns problemas práticos de geometria

simples (Tadeu e António, 2002; António et al, 2003; Tadeu et al, 2003), ou como funções de

Green integráveis em diferentes métodos numéricos, como o Método dos Elementos de

Fronteira (Polyzos et al, 1994; Kögl e Gaul, 2000; Katsikadelis e Nerantzaki, 2000; Tadeu e

Kausel, 2000).

A definição de soluções analíticas para sistemas físicos com uma configuração

geométrica circular foi já abordada aprofundadamente no Capítulo 2. No entanto, o cálculo

analítico de soluções para a propagação de ondas é também possível para meios com outras

62

configurações. Destas, afigura-se com particular interesse prático a que corresponde a meios

de propagação estratificados, constituídos por camadas de diferentes materiais sólidos ou

fluidos dispostas paralelamente. Este caso específico tem sido estudado recorrendo a

múltiplas abordagens, com diferentes graus de complexidade, sendo frequentemente

associado a estudos nas áreas da sismologia, da acústica ou da oceanografia.

As técnicas mais simples usadas na abordagem deste tipo de problemas permitem

apenas a análise de espaços fluidos semi-infinitos e de camadas fluidas isoladas, em ambos os

casos com condições de fronteira simples, de pressões ou deslocamentos nulos nas

superfícies envolvidas. Para tal, pode usar-se uma abordagem que recorre à definição de uma

sequência de fontes virtuais, conhecida por método das imagens. Estas técnicas encontram,

em geral, aplicação na área da oceanografia, sendo exemplos os trabalhos de Tadeu et al

(2001a) e de Godinho et al (2001).

As técnicas baseadas na integração das respostas obtidas para ondas com diferentes

números de onda são, talvez, as mais amplamente usadas na análise de sistemas estratificados.

Estas técnicas, que recorrem a uma representação do campo de ondas através de um integral

contínuo de ondas com diferentes inclinações, foram inicialmente aplicadas por Lamb (1904)

na definição do campo bidimensional de ondas gerado na superfície de um meio sólido.

Posteriormente, vários trabalhos vêm sendo desenvolvidos recorrendo a essa formulação,

destacando-se a sua aplicação por Pekeris (1948) ao estudo de um sistema constituído por um

meio sólido semi-infinito limitado superiormente por uma camada fluida com superfície livre,

e por Bouchon (1979) e Kim e Papageorgiou (1993), que propuseram uma extensão da técnica

descrita por Lamb ao cálculo de campos de ondas tridimensionais.

As potencialidades deste método de cálculo levaram ao seu desenvolvimento e

aplicação generalizada, surgindo métodos genéricos de análise como o da Matriz de

Propagação (Thomson, 1950; Haskell, 1953) ou o da Matriz Global (DGM – Direct Global

Matrix), proposto e desenvolvido nos trabalhos de Schmidt e Jensen (1985), Schmidt e Tango

(1986) e Schmidt (1988). Embora vocacionados para o domínio da oceanografia, estes

métodos permitem, hoje em dia, a análise eficiente de problemas bidimensionais e

tridimensionais axissimétricos que envolvam a propagação de ondas em meios estratificados

com diferentes configurações.

Um caso particular, onde não são aplicáveis as técnicas propostas nos trabalhos

anteriormente referidos, é o de sistemas estratificados sujeitos à acção de carregamentos

lineares que apresentem uma variação sinusoidal segundo a direcção do eixo z. Este caso,

63

usualmente designado por 2.5D, é de particular interesse por permitir, em conjunto com

métodos numéricos adequados, a definição de soluções tridimensionais para sistemas cuja

geometria se mantém constante segundo uma direcção, e que estão sujeitos à acção de cargas

tridimensionais; para esse caso, e tal como referido no Capítulo 2, a solução tridimensional

pode ser definida recorrendo a um somatório discreto de soluções 2.5D. No Capítulo 2,

definiram-se, também, soluções analíticas que permitem o cálculo dos campos de ondas

gerados por fontes 2.5D na presença de meios com uma geometria circular, que não varia

segundo uma direcção. No presente Capítulo, serão apresentadas soluções para o caso

genérico de um sistema estratificado, constituído por qualquer sequência de camadas fluidas e

sólidas dispostas paralelamente, sistema esse sujeito à acção de cargas 2.5D de diferentes

tipos. Analisam-se, em particular, os casos de cargas que actuam num meio sólido segundo a

direcção de qualquer dos eixos de referência, bem como o de cargas de pressão num meio

fluido.

A metodologia que será definida neste Capítulo parte do conhecimento dos potenciais

de deslocamentos usados por Tadeu e Kausel (2000) na definição das funções de Green para

cargas 2.5D que actuam em meios infinitos. Estes potenciais serão, então, escritos na forma

de somatórios discretos de ondas planas com diferentes valores do número de onda axial, de

acordo com a abordagem de Bouchon (1977). Descrevem-se, depois, as soluções analíticas

para a propagação de ondas em meios sólidos semi-infinitos com uma superfície livre ou

limitados por um meio fluido, definidas explicitamente por Tadeu et al (2001b). Segue-se uma

descrição sumária das soluções propostas por Tadeu e António (2001) e por António (2002)

para sistemas com uma ou com duas camadas sólidas, neste último caso separadas por um

fluido, e limitadas superior e inferiormente por meios fluidos semi-infinitos. Propõe-se, de

seguida, uma metodologia que permite generalizar o procedimento usado por esses autores ao

caso genérico de um sistema com um qualquer número de camadas, constituídas por um

material fluido ou por um material sólido, e sujeitos a carregamentos de diferentes tipos e

localizados em qualquer das camadas. A aplicação desta metodologia é exemplificada para

alguns casos específicos. Por último, procede-se à sua verificação, comparando os resultados

que fornece com os que se obtêm aplicando uma técnica de Elementos de Fronteira.

64

3.2 - PROPAGAÇÃO DE ONDAS EM MEIOS INFINITOS

Considere-se um meio sólido infinito, homogéneo e isotrópico, com comportamento

elástico linear. Na ausência de forças interiores, a equação de movimento no domínio da

frequência pode ser escrita como

2 2 2( u) ( u) uα β ω∇ ∇ • − ∇ × ∇ × = − , (3.1)

onde u é o vector deslocamento num determinado ponto, α a velocidade de propagação das

ondas dilatacionais (P), β a velocidade de propagação das ondas de corte (S), ρ a massa

volúmica do meio, ω a frequência de excitação e x y z

∂ ∂ ∂∇ = + +∂ ∂ ∂

.

Considere-se, agora, que este meio é excitado por uma carga pontual definida por i

0 0( , , ) ( ) ( ) ( ) e tp x y z x x y y z ωδ δ δ= − − , onde ( )δ … é a função Delta de Dirac. O campo de

deslocamentos gerado nesta situação pode ser determinado recorrendo ao método dos

potenciais. Definindo pA e sA como sendo os potenciais correspondentes à componente

rotacional e irrotacional do deslocamento, podem escrever-se duas equações de Helmoltz,

2 22

1 14p pk A

Rπ ρα ∇ + =

(3.2)

2 22

1 14s sk A

Rπ ρβ ∇ + = ,

onde ( ) ( )2 2 20 0R x x y y z= − + − + , pk ω

α= e sk ω

β= . Estas equações podem ser usadas para o

estabelecimento das funções de Green que definem os campos de deslocamentos e tensões

devidos à acção de cargas pontuais em espaços tridimensionais. Estas funções são já bem

conhecidas, tendo sido apresentadas em detalhe por Dominguez e Abascal (1984).

Se, em lugar de uma carga pontual, o meio for excitado por uma carga linear

harmónica segundo a direcção z , definida por i( )0 0( , , ) ( ) ( ) e zt k zp x y z x x y y ωδ δ −= − − e

representada na Figura 3.1, a solução pode, segundo Tadeu e Kausel (2000), ser calculada por

aplicação de uma transformada de Fourier às equações (3.2), obtendo-se

65

(2)

2 2 2 02

iH ( i )ˆˆ ( )4

zp z p

k rk k Aρα

− − ∇ + − = (3.3)

(2)2 2 2 0

2

iH ( i )ˆˆ ( )4

zs z s

k rk k Aρβ

− − ∇ + − = ,

onde 2 2

22 2

ˆx y∂ ∂∇ = +∂ ∂

, ( ) ( )2 20 0r x x y y= − + − , (2)H ( )n … são funções de Hankel de ordem n e

do segundo tipo, e zk é o número de onda segundo a direcção z.

Y

X

Z

(x0,y0)

Figura 3.1: Representação gráfica de uma carga harmónica com variação sinusoidal segundo o eixo z.

Os potenciais ˆpA e ˆ

sA que verificam as equações (3.3) são:

( ) ( )(2) (2)0 02

iˆ H H i4p zA k r k rαρω

= − − (3.4)

( ) ( )(2) (2)0 02

iˆ H H i4s zA k r k rβρω

= − − .

Os deslocamentos em qualquer ponto do espaço podem ser calculados derivando

adequadamente estes potenciais, por aplicação da expressão

2

2ˆ ˆ( ) ˆˆp s

ij ij si j

A AG A

x xδ

∂ −= + ∇

∂ ∂, (3.5)

66

sendo que δ é a função Delta de Kronecker, ijG é o deslocamento na direcção i devido a uma

carga que actua segundo a direcção j, e jx representa a direcção j; nestas derivações,

i zkz

∂ = −∂

. Considerando cargas que actuam segundo as direcções x, y e z, os deslocamentos

provocados no meio elástico serão:

2

2 00 1 22

-i 14xx s

x xG k H B Br rβρω

− = − +

22 0

0 1 22

-i 14yy s

y yG k H B Br rβρω

− = − +

( )2 20 02

-i4zz s zG k H k Bβρω

= − (3.6)

0 022

-i4xy yx

x x y yG G Br rρω− − = =

0124

zxz zx

k x xG G Brρω− = =

0124

zyz zy

k y yG G Brρω− = =

,

com ( ) ( )2 20 0r x x y y= − + − , ( )(2)Hn nH k rα α= , ( )(2)Hn nH k rβ β= , n n

n n nB k H k Hβ β α α= − ,

2 2p zk k kα = − e 2 2

s zk k kβ = − . Estas expressões estão de acordo com as apresentadas nos

trabalhos de Pederson et al (1994) e de Papageorgiou e Pei (1998) para o caso de cargas em

movimento.

Um processo similar ao que se descreveu para cargas actuantes em meios sólidos,

pode ser aplicado para obter o campo de pressões e de deslocamentos que é gerado em meios

fluidos por cargas de pressão. Assim, considere-se uma carga linear de pressão, com variação

harmónica segundo a direcção z, a actuar no interior de um meio fluido infinito e homogéneo,

o qual tem massa volúmica fρ e permite a propagação de ondas de pressão com uma

velocidade fα . Para este sistema, é possível definir um potencial dado pela equação

( )2

(2)02

iˆ H2

ff f

f

k rα

αφ

ω λ −

= −

, (3.7)

67

onde 2f f fλ ρ α= é a constante de Lamé do meio fluido e

22

2f zf

k kαωα

= − , com Im( ) 0fkα < .

Derivando adequadamente esta equação, torna-se possível chegar às seguintes expressões para

as pressões e deslocamentos no interior do meio fluido:

( )2 2 2

(2)02 2 2

iˆ( ) H2f f f fk r

x y z ασ λ φ∂ ∂ ∂= + + = −∂ ∂ ∂

(3.8)

( ) ( )2

0 (2)12

ˆ iH

2f f f

fx ff

k x xG k r

x rα

α

φ αω λ ∂ − −

= = ∂

( ) ( )2

0 (2)12

ˆ iH

2f f f

fy ff

k y yG k r

y rα

α

φ αω λ ∂ − −

= = ∂ (3.9)

( )2

(2)02

ˆ 1 H2

f ffz z f

f

G k k rz α

φ αω λ ∂ −

= = − ∂ .

As equações definidas anteriormente para meios sólidos e fluidos podem também ser

escritas na forma de um integral contínuo de ondas planas (Tadeu et al, 2001; Tadeu e

António, 2001), forma que se torna conveniente para a análise de sistemas que envolvam

meios estratificados com camadas paralelas. Seguindo essa abordagem, nas subsecções que se

seguem apresentam-se as expressões que definem os potenciais e os campos de

deslocamentos para as diferentes cargas actuantes, escritas como uma sobreposição dos

efeitos de ondas planas.

3.2.1 - Carga que actua num meio sólido segundo a direcção x

Considere-se, uma vez mais, o meio sólido infinito e homogéneo, com comportamento

elástico, descrito anteriormente. Para este caso, o campo de deslocamentos gerados por uma

carga linear e harmónica aplicada segundo a direcção x, com variação sinusoidal segundo a

direcção z, pode ser adequadamente representado recorrendo a três potenciais de

deslocamentos, sendo um deles um potencial dilatacional ou de compressão ( ˆxφ ) e os

restantes dois potenciais de corte ( ˆ xyψ e ˆ x

zψ ).

68

Definam-se, agora, as quantidades 2 2 2p zk k kν = − − , com ( )Im 0ν ≤ , e

2 2 2s zk k kγ = − − , com ( )Im 0γ ≤ , e sendo k o número de onda ao longo da direcção x.

Nestas condições, os potenciais de deslocamento que representam a acção de uma carga linear

e harmónica aplicada segundo a direcção x, com variação sinusoidal segundo a direcção z, e

aplicada em ( )0 0,x y , podem ser escritos na forma de um integral contínuo de acordo com as

expressões que seguem:

( )00 ii2

1ˆ e e4

k x xy yx k dkνφπρω ν

+∞− −− −

−∞

= ∫

( ) ( )0

0

ii

2

i i eˆ e4

y yk x xzx

y

kdk

γ

ψπρω γ

− −+∞− −

−∞

−=

∫

(3.10)

( ) ( ) ( )00 ii02

sgnˆ e e

4k x xy yx

z

y ydkγψ

πρω

+∞− −− −

−∞

− −= ∫ .

Seguindo um processo análogo ao descrito no Capítulo 2, secção 2.2, para a definição

de uma solução tridimensional como um somatório de termos correspondentes a soluções

bidimensionais, considere-se agora a existência de um número infinito de fontes virtuais

igualmente espaçadas de xL ao longo do eixo x. Desta forma, torna-se possível a

discretização dos integrais que constam das equações (3.10), transformando-os em somatórios

discretos de um número infinito de termos. Estes somatórios convergem e podem ser

aproximados tomando um número finito ( 2 1N + ) de termos:

ˆn N

x na b d

n N n

kE E Eφν

=+

=−

=

∑

ˆn N

x cy a z d

n N n

EE k Eψγ

=+

=−

=

∑

(3.11)

( ) ( )0ˆ sgnn N

xz a c d

n N

y y E E Eψ=+

=−

= − − ∑ .

Nestas expressões, 2

12a

x

ELρω

= , 0ie n y ybE ν− −= , 0ie n y y

cE γ− −= , ( )0ie nk x xdE − −= ,

2 2 2n p z nk k kν = − − , com ( )Im 0nν ≤ , 2 2 2

n s z nk k kγ = − − , com ( )Im 0nγ ≤ , e 2n

x

k nLπ= .

69

A derivação adequada dos potenciais definidos nas equações (3.11) permite obter as

expressões dos deslocamentos que ocorrem em qualquer ponto do meio sólido por acção da

carga em estudo. Desta forma, teremos:

2 2ˆ ˆˆ i ii

xx x n Nyz n z

xx a b n c dn N n n

k kG E E E Ex y z

ψφ ψ γν γ

=+

=−

∂ ∂ ∂ −= − + = + − − ∂ ∂ ∂ ∑

( ) ( )0 0

ˆ ˆisgn isgn

x x n Nz

yx a n b n c dn N

G E y y k E y y k E Ey x

φ ψ =+

=−

∂ ∂= + = − − + − ∂ ∂ ∑ (3.12)

ˆ ˆ i ixx n Ny z n z n

zx a b c dn N n n

k k k kG E E E Ez y

ψφν γ

=+

=−

∂ ∂ −= − = + ∂ ∂ ∑ .

3.2.2 - Carga que actua num meio sólido segundo a direcção y

Tal como no caso anterior, o campo de deslocamentos gerados por uma carga linear e

harmónica aplicada segundo a direcção y, com variação sinusoidal segundo a direcção z, pode

ser representado com recurso a um potencial dilatacional ( ˆ yφ ) e a dois potenciais de corte ( ˆ yzψ

e ˆ yxψ ). Para o caso em análise, estes potenciais são:

( )0ˆ sgn

n Ny

a b dn N

E y y E Eφ=+

=−

= − ∑

ˆn N

y cx a z d

n N n

EE k Eψγ

=+

=−

−=

∑ (3.13)

ˆn N

y nz a c d

n N n

kE E Eψγ

=+

=−

=

∑ .

As expressões que representam os deslocamentos gerados em qualquer ponto do meio

sólido podem ser determinadas por derivação destes potenciais, obtendo-se

70

( )2 2ˆ ˆ î

y y y n Nz nx z

yy a n b c dn N n

i k kG E E E E

y z xφ ψ ψ ν

γ

=+

=−

− −∂ ∂ ∂ = − + = − + ∂ ∂ ∂

∑

( ) ( )0 0

ˆ îsgn isgn

y y n Nz

xy a n b n c dn N

G E y y k E y y k E Ex y

φ ψ =+

=−

∂ ∂= − = − − + − ∂ ∂ ∑ (3.14)

( ) ( )0 0

ˆ îsgn isgn

y y n Nx

zy a z b z c dn N

G E y y k E y y k E Ez y

φ ψ =+

=−

∂ ∂= − = − − + − ∂ ∂ ∑ .

3.2.3 - Carga que actua num meio sólido segundo a direcção z

Considerando agora que a carga linear harmónica é aplicada segundo a direcção z, o

campo de deslocamentos por ela gerado pode ser descrito fazendo uso de um potencial

dilatacional ( ˆzφ ) e de dois potenciais de corte ( ˆ zxψ e ˆ z

yψ ). Escrevendo esses potenciais na

forma de somatórios dos efeitos de ondas planas, obtém-se:

ˆn N

z ba z d

n N n

EE k Eφν

=+

=−

=

∑

( )0ˆ sgnn N

zx a c d

n N

E y y E Eψ=+

=−

= − ∑ (3.15)

ˆn N

z ny a c d

n N n

kE E Eψγ

=+

=−

−=

∑ .

A derivação adequada destas expressões irá permitir obter expressões para o cálculo os

deslocamentos registados em qualquer ponto do meio sólido. Essas expressões são:

2 2ˆ ˆ ˆ i i i

zz z n Ny x z n

zz a b n c dn N n n

k kG E E E Ez x y

ψφ ψ γν γ

=+

=−

∂ ∂ ∂ − −= − + = + − ∂ ∂ ∂ ∑

ˆ ˆ i izz n Ny z n z n

xz a b c dn N n n

k k k kG E E E Ex z

ψφν γ

=+

=−

∂ ∂ −= + = + ∂ ∂ ∑ (3.16)

( ) ( )0 0

ˆ îsgn isgn

z z n Nx

yz a z b z c dn N

G E y y k E y y k E Ey zφ ψ =+

=−

∂ ∂= − = − − + − ∂ ∂ ∑ .

71

3.2.4 - Carga de pressão que actua num meio fluido

Considere-se agora um meio fluido, infinito e homogéneo, excitado por uma carga

linear harmónica de pressão, com variação sinusoidal segundo a direcção z. Sendo que num

meio fluido não é possível a propagação de ondas de corte, o campo de deslocamentos é

adequadamente representado por um único potencial dilatacional ( ˆfφ ), já apresentado na

equação (3.7). Seguindo a metodologia descrita para cargas actuantes num meio sólido,

também neste caso é possível escrever o potencial dilatacional na forma de um somatório dos

efeitos de ondas planas com diferentes números de onda, nk . Nestas circunstâncias, a equação

(3.7) pode escrever-se como

2

2

iˆn N

f ffluido df

n Nx f n

EE

Lα

φω λ ν

=+

=−

−= −

∑ , (3.17)

em que 0ief

n y yfE ν− −= , 2 2 2

f

fn p z nk k kν = − − , com ( )Im 0f

nν ≤ e fp fk ω α= .

Derivando este potencial de acordo com o indicado nas equações (3.8) e (3.9),

obtêm-se as seguintes expressões para o cálculo das pressões e dos deslocamentos:

i n Nf

f dfn Nx n

EE

Lσ

ν

=+

=−

= −

∑ (3.18)

2

2

1 n Nf n

fx f dfn Nx f n

kG E EL

αω λ ν

=+

=−

−= −

∑

( )2

02

1 sgnn N

ffy f d

n Nx f

G y y E EL

αω λ

=+

=−

−= − −

∑ (3.19)

2

2

1 n Nf z

fz f dfn Nx f n

kG E EL

αω λ ν

=+

=−

−= −

∑ .

72

3.3 - PROPAGAÇÃO DE ONDAS EM MEIOS SEMI-INFINITOS COM SUPERFÍCIE LIVRE E LIMITADOS POR UM FLUIDO

A metodologia apresentada na secção anterior permitiu a decomposição dos campos

de deslocamentos gerados por diferentes tipos de cargas 2.5D, actuando em meios sólidos ou

em meios fluidos, em somatórios de soluções calculadas para o mesmo sistema sujeito à acção

de ondas planas com diferentes inclinações. Esta metodologia pode ser utilizada para permitir

a análise de sistemas constituídos por meios semi-infinitos com diferentes condições de

fronteira na sua superfície. Para esse efeito, importa definir um conjunto de potenciais, com

amplitudes à partida desconhecidas, na forma de somatórios dos efeitos de ondas planas, os

quais representam a contribuição da superfície para o campo global de deslocamentos.

Torna-se, então, possível o cálculo da solução isoladamente para cada onda plana, construindo

um sistema de equações cuja solução é a amplitude dos diferentes potenciais. O cálculo é,

depois, completado realizando o somatório discreto das soluções assim calculadas, de acordo

com as equações indicadas anteriormente.

O método foi já aplicado por Tadeu et al (2001b), por Tadeu e António (2001) e por

António (2002) a sistemas com configurações específicas, correspondendo a um meio sólido

semi-infinito limitado superiormente por uma superfície livre e a um meio sólido

semi-infinito limitado superiormente por um meio fluido, também semi-infinito. Para esses

casos, os autores desenvolveram soluções que permitem a análise dos sistemas assim

constituídos quando sujeitos à acção de cargas que actuam em qualquer dos meios que os

constituem. Nas subsecções que se seguem indicam-se, resumidamente, essas soluções.

3.3.1 - Meio sólido semi-infinito limitado superiormente por uma superfície livre

Considere-se o sistema físico representado na Figura 3.2, constituído por um meio

sólido homogéneo semi-infinito com massa volúmica ρ e que permite velocidades de

propagação de α e β para as ondas P e S, respectivamente, meio esse em que actua uma

carga linear, harmónica e com variação sinusoidal ao longo da direcção z, aplicada em

( )0 0,x y . Esta carga pode actuar segundo a direcção de qualquer dos três eixos, x, y ou z.

73

O campo de deslocamentos no meio sólido pode definir-se adicionando duas

componentes distintas:

- a primeira corresponde à contribuição do campo de ondas incidentes, gerado pela

fonte, podendo ser expressa pelos potenciais definidos nas equações (3.11), (3.13)

e (3.15);

- a segunda corresponde à contribuição do campo de ondas gerado na superfície

livre que limita o meio sólido, sendo expressa por potenciais que representam os

designados termos de superfície.

x

y

ρ; α; β

(z)

0 0( , )x y

Figura 3.2: Representação gráfica (em corte) de um sistema constituído por um meio sólido semi-infinito onde actua, em 0 0( , )x y , uma carga harmónica com variação sinusoidal segundo o eixo z.

Os potenciais referentes aos termos de superfície a utilizar na definição do campo de

deslocamentos são em tudo semelhantes aos definidos para o campo de ondas incidentes, nas

equações (3.11), (3.13) e (3.15), expressos na forma de somatórios dos efeitos de ondas planas

com diferentes valores do número de onda segundo x ( nk ). Tal como nesse caso, é necessário

recorrer ao uso de diferentes expressões em função da direcção da carga actuante. Essas

expressões constam da Tabela 3.1.

Tabela 3.1 – Listagem dos potenciais que definem os termos de superfície para as diferentes possibilidades de carregamento actuante. Nestas expressões, i

0 e n ybE ν−= e i

0 e n ycE γ−= .

Carga segundo a direcção x Carga segundo a direcção y Carga segundo a direcção z

0 0

n Nx xn

a b n dn N n

kE E A Eφν

=+

=−

=

∑ ( )0 0

n Ny y

a b n dn N

E E A Eφ=+

=−

= ∑ 00

n Nz zb

a z n dn N n

EE k A Eφν

=+

=−

=

∑

00

n Nx xcy a z n d

n N n

EE k B Eψγ

=+

=−

=

∑ 0

0

n Ny ycx a z n d

n N n

EE k C Eψγ

=+

=−

−=

∑ ( )0 0

n Nz zx a c n d

n N

E E B Eψ=+

=−

= ∑

( )0 0

n Nx xz a c n d

n NE E C Eψ

=+

=−

= − ∑ 0 0

n Ny ynz a c n d

n N n

kE E B Eψγ

=+

=−

=

∑ 0 0

n Nz zny a c n d

n N n

kE E C Eψγ

=+

=−

−=

∑

74

Derivando adequadamente estes potenciais, torna-se possível chegar a expressões que

definem os deslocamentos e as tensões por eles gerados em qualquer ponto do meio sólido.

Impondo, então, condições de fronteira de tensões nulas na superfície livre ( 0yxσ = , 0yzσ = e

0yyσ = em 0y = ), é possível estabelecer sistemas de três equações a três incógnitas que

permitirão, para cada valor de nk , obter as amplitudes jnA , j

nB e jnC , para as diferentes

direcções j de actuação da carga. Esses sistemas de equações representam-se na Tabela 3.2.

Tabela 3.2 – Sistemas de equações estabelecidos para as diferentes direcções j de actuação do carregamento.

Nestas expressões, 2 2zn z nk kν = − − , 0i

1 e n ybE ν−= e 0i

1 e n ycE γ−= .

j Sistema de equações

x ( )2 2 22 2 2 2

1 1

1 12 2 2 2

1 1

2 222 1 1 2 22 20 2 2

xn b s n cn z n n n

xn b cxns zn s zn

n b n cn n n n

k E k k Ek k k AB E ECk k E E

γ

ν νγ γν ν ν ν

− + − + − − − − = − + − − + −

y

( ) ( )

22 2

1 1

2 2 2

1 1

2 2 2 2 2 2 21 1

22

2 2

2 2 2 2 2

znn zn b n cn n

nn n ynyn z zn

n n n n b n cn n y n

n

s zn n z s zn b zn c

k k E E

Ak k B E E

Ck k k k E E

νν γν γ γγ γνν γ ν γ

γ γ γ

ν ν ν

− − − + − + − − − + = − + − − − − − − +

z

( )

( )

1 1

2 2 2 2 2 2 2 21 1

2 2 2 2

1 1

2 1 1 2

2 2

2 22 0 2

b c

znz

z z n n n z b z n n czn

s zn s znn b n c

n n n n

E E

Ak k k B k E k k E

Ck k E E

γ γ

ν νγ γν ν ν ν

− − +

− − − = − + − −

− + + −

Após a resolução destes sistemas de equações, os deslocamentos ijG , que ocorrem nas

diferentes direcções i devido à actuação de uma carga segundo a direcção j, podem calcular-se

adicionando a contribuição dos termos de superfície à contribuição do campo de ondas

75

incidentes, definido nas equações (3.6). As expressões finais apresentam-se na Tabela 3.3;

nessas expressões, os termos com o índice inc ( incijG ) referem-se à contribuição da fonte.

Tabela 3.3 – Deslocamentos Gij, gerados na direcção i, por acção de uma carga que actua segundo a direcção j (ver Tadeu et al, 2001b).

i \j x y z

x

2

0

0

2

0

i

i

i

x nn b

nn N

inc xxx a n c n d

n Nxz

c nn

kA E

G E E C E

k E B

νγ

γ

=+

=−

− − + − − −

∑0

0

i

i

yn Nn n binc

xy a dyn N n n c

A k EG E E

B k E

=+

=−

− ++ +

∑

0

0

i

i

zz nn bn N

nincxz a d

n N zz nn c

n

k k A EG E E

k k C E

ν

γ

=+

=−

− + + +

∑

y 0

0

i

i

xn Nn n binc

yx a dxn N n n c

k A EG E E

k C E

=+

=−

− ++ +

∑

0

2

0

2

0

i

i

i

yn n b

n Ninc ynyy a c n d

n N n

yzc n

n

A E

kG E E B E

k E C

ν

γ

γ

=+

=−

− − + − − −

∑0

0

i

i

zn Nz n binc

yz a dzn N n z c

k A EG E E

B k E

=+

=−

− ++ +

∑

z 0

0

i

i

xz nn bn N

ninczx a d

n N xz nn c

n

k k A EG E E

k k B E

ν

γ

=+

=−

− + + +

∑ 0

0

i

i

yn Nn z binc

zy a dyn N n z c

A k EG E E

C k E

=+

=−

− ++ +

∑

2

0

2

0

0

i

i

i

zzn b

n

n Ninc znzz a c n d

n N n

zn c n

k A E

kG E E C E

E B

ν

γγ

=+

=−

− − + − − −

∑

3.3.2 - Meio sólido semi-infinito limitado superiormente por um meio fluido semi-infinito

Analise-se agora o caso de um sistema físico constituído por um meio sólido

homogéneo, semi-infinito, com massa volúmica ρ e que permite velocidades de propagação

de α e β para as ondas P e S, respectivamente, limitado superiormente por um meio fluido,

semi-infinito, com massa volúmica fρ e que permite velocidades fα de propagação das

ondas de pressão. Neste sistema actua uma carga linear, harmónica, com variação sinusoidal

76

ao longo da direcção z, aplicada em ( )0 0,x y . Esta carga pode actuar no meio sólido, segundo a

direcção de qualquer dos três eixos, x, y ou z, ou no meio fluido, sendo, nesse caso, uma fonte

de ondas de pressão. O sistema agora descrito encontra-se representado na Figura 3.3.

x

y

ρ; α; β

ρf; α f(z)

0 0- Possíveis posições de actuação do carregamento ( , )x y

Figura 3.3: Representação gráfica (em corte) de um sistema constituído por meio sólido semi-infinito limitado superiormente por um meio fluido, também semi-infinito. Neste sistema actua uma carga harmónica com variação sinusoidal segundo o eixo z, podendo localizar-se no meio sólido ou no meio fluido (em 0 0( , )x y ).

Seguindo o método usado na análise do caso anterior, a contribuição da interface entre

os dois meios para o campo de deslocamentos no interior do meio sólido pode ser calculada a

partir dos termos de superfície, definidos em função de um potencial dilatacional e de dois

potenciais de corte. Todos estes potenciais deverão ser escritos na forma de somatórios dos

efeitos de ondas planas com diferentes inclinações. A contribuição da mesma interface para o

campo de pressões no interior do meio fluido pode ser determinada em função de um

potencial dilatacional, também ele definido como um somatório dos efeitos de ondas planas

com diferentes inclinações.

Indicam-se, na Tabela 3.4, todos os potenciais necessários à definição do campo de

ondas gerado pela interface sólido-fluido.

A derivação adequada destes potenciais, e a imposição das condições de fronteira

adequadas a este caso ( 0yxσ = , 0yzσ = , yy fσ σ= e fy yu u= em 0y = ), torna possível o

77

estabelecimento de sistemas de quatro equações a quatro incógnitas, que permitirão calcular

as amplitudes jnA , j

nB , jnC e f

nD para as diferentes cargas actuantes no meio sólido ou no meio

fluido. Esses sistemas de equações representam-se na Tabela 3.5.

Tabela 3.4 – Listagem dos potenciais que definem os termos de superfície para as diferentes possibilidades de carregamento actuante; nestas expressões, i

0 ef

n yfE ν= .

Carga segundo a direcção x Carga segundo a direcção y

ou carga de pressão no fluido Carga segundo a direcção z

0 0

n Nx xn

a b n dn N n

kE E A Eφν

=+

=−

=

∑ ( )0 0 0

n Ny f y

a b n dn N

E E A Eφ φ=+

=−

= = ∑ 00

n Nz zb

a z n dn N n

EE k A Eφν

=+

=−

=

∑

00

n Nx xcy a z n d

n N n

EE k B Eψγ

=+

=−

=

∑

0 0

0

y fx x

n Nyc

a z n dn N n

EE k C E

ψ ψ

γ

=+

=−

= =

−=

∑ ( )0 0

n Nz zx a c n d

n NE E B Eψ

=+

=−

= ∑

( )0 0

n Nx xz a c n d

n N

E E C Eψ=+

=−

= − ∑ 0 0

0

y fz z

n Nyn

a c n dn N n

kE E B E

ψ ψ

γ

=+

=−

= =

=

∑

0 0

n Nz zny a c n d

n N n

kE E C Eψγ

=+

=−

−=

∑

20

2

i n Nf f f

fluido n dfn Nx f n

ED E

Lα

φω λ ν

=+

=−

−= −

∑

Após a determinação das amplitudes de cada potencial, para cada carga actuante no

sólido segundo a direcção j, ou para uma carga de pressão actuando no fluido, os

deslocamentos provocados no sólido, nas diferentes direcções i, e as pressões geradas no

fluido, podem calcular-se adicionando a contribuição dos termos de superfície à contribuição

do campo de ondas incidentes, gerado pela fonte, definidos nas equações (3.6) e (3.8). As

expressões finais que permitem o cálculo destes deslocamentos e pressões apresentam-se na

Tabela 3.6.

78

Tabela 3.5 – Sistemas de equações estabelecidos para as diferentes direcções j de actuação do carregamento no meio sólido e para cargas actuantes no fluido ( j=f ). Nestas expressões, 0i

1 e n yfE ν−= .

j Sistema de equações

x

( )2 2 2 2

2 2 21 1

1 12 2 2

2 2

1 12

2 1 1

2 02 2

2 1 1 02 2

2 i20 2 2 22i 0 i i i

n z n n x n b s n cnx

b cns zn x

n f n s znn n n b n cf

n nn

nb c

pf f

k k kk E k k EA

E EBkC k E E

Dk E Ek

γ

ν ρωγ νν ν ν µ γν νρω

λ

− − − − + − + − − + − − − = + − − − − +

y

2 2

2

1 1

2 22

1

22 2 2 2

2 2 2

2

2 0 2

2 0 2

i22 2 2

i i 2i

n zznn n

n b n cn nn

yn z n

n n znyn b nn n n

nyn

s zn n z f fn n

n zn

n n pf f

k kE E

k k AE EB

Ck k k

Dk k

k

νν γ ν γγ γ γ

ν γ νν γγ γ γρων

ν µρων

γ γ λ

− − + − − + − − − + − + = − − − − −

− − − −

( )1

2 2 21 1

2 2

1 1

2 2

i ii

c

s zn b zn c

n zn b c

n n

k E E

k kE E

ν ν

νγ γ

− − +

+ +

z

( )( )

1 12 2 2 22 2 2 2

1 12 2 2

2 2

1 12

2 1 1

2 1 1 02

2 02

2 i22 0 2 22i i 0 i i

b cz

z z n n nz b z n n cz

s zn nn f z s znn n n z n b n c

f n nn

z z z b z cpf f

E Ek k k A k E k k E

k Bkk C E E

Dk k k E k Ek

γγ

ν ρωγ νν ν ν µ γν νρω

λ

− − + − − − − + − − − − + = + − − − − +

f

2 2

2 2

2

122 2 2 2

2

122 2 2

2

2 000

2 0i2

i22 2 22

i i 2i

n zn n

n n

yn z n

n n yn n n

ffynn

s zn n z f fn n

fpf fn z

nn n pf f

k k

k k AB EC

k k kD

Ekk k

k

ν γγ γ

ν γγ γ ρω

ν µρωνν µ ρω

λρωνγ γ λ

− − + −

− − − + − = − − − − − − − − − −

79

Tabela 3.6 – Deslocamentos no sólido, Gij, na direcção i, e pressões no fluido, fσ , gerados por acção de uma carga que actua no sólido segundo a direcção j ou de uma carga de pressão no fluido (j=f) (ver Tadeu et al, 2001b); nas expressões indicadas, κ toma o valor 1 para cargas no sólido e 0 para cargas no fluido.

i \j x y ou f z

x

2

0

02

0

i

i

i

x nn b

nn N

inc xxx a n c n d

n Nxz

c nn

kA E

G E E C E

k E B

νγ

γ

=+

=−

− − + − − −

∑ 0

0

i

i

yn Nn n binc

xy a dyn N n n c

A k EG E E

B k Eκ

=+

=−

− ++ +

∑0

0

i

i

zz nn bn N

nincxz a d

n N zz nn c

n

k k A EG E E

k k C E

ν

γ

=+

=−

− + + +

∑

y 0

0

i

i

xn Nn n binc

yx a dxn N n n c

k A EG E E

k C E

=+

=−

− ++ +

∑

0

2

0

2

0

i

i

i

yn n b

n Ninc ynyy a c n d

n N n

yzc n

n

A E

kG E E B E

k E C

ν

κγ

γ

=+

=−

− − + − − −

∑0

0

i

i

zn Nz n binc

yz a dzn N n z c

k A EG E E

B k E

=+

=−

− ++ +

∑

z 0

0

i

i

xz nn bn N

ninczx a d

n N xz nn c

n

k k A EG E E

k k B E

ν

γ

=+

=−

− + + +

∑ 0

0

i

i

yn Nn z binc

zy a dyn N n z c

A k EG E E

C k Eκ

=+

=−

− ++ +

∑

2

0

2

0

0

i

i

i

zzn b

n

n Ninc znzz a c n d

n N n

zn c n

k A E

kG E E C E

E B

ν

γγ

=+

=−

− − + − − −

∑

f 0i n Nf f

n n dfn Nx n

ED k E

L ν

=+

=−

−

∑ 0i(1 )

n Nfinc f

f n dfn Nx n

ED E

Lσ κ

ν

=+

=−

− −

∑ 0i n N

f fn df

n Nx n

ED E

L ν

=+

=−

−

∑

3.4 - PROPAGAÇÃO DE ONDAS EM MEIOS ESTRATIFICADOS COM UMA OU DUAS CAMADAS SÓLIDAS, SEPARADAS E LIMITADAS POR MEIOS FLUIDOS

Muitos sistemas físicos, onde o estudo do fenómeno da propagação de ondas é de

grande importância, apresentam uma estrutura que, simplificadamente, se pode assemelhar a

uma sequência de camadas paralelas de diferentes materiais sólidos ou fluidos. Exemplos

deste tipo de sistemas podem encontrar-se em áreas como a acústica ou a oceanografia. A

análise destes sistemas pode ser realizada recorrendo a técnicas similares às descritas na

80

secção anterior para meios semi-infinitos. Este procedimento foi já aplicado por Tadeu e

António (2001) com o fim de obter soluções analíticas para a propagação de ondas em

sistemas constituídos por uma camada sólida limitada inferior e superiormente por dois meios

fluidos semi-infinitos, e por António (2002), definindo a solução analítica para o caso de um

sistema constituído por duas camadas sólidas, separadas por uma camada fluida e limitadas

por dois meios fluidos semi-infinitos. Nesta secção apresentam-se, de forma resumida, as

soluções obtidas por esses autores para os dois casos descritos.

3.4.1 - Sistema com uma camada sólida limitada superior e inferiormente por dois meios fluidos semi-infinitos

Analise-se o caso de uma camada sólida, com massa volúmica ρ e que permite

velocidades de propagação de α e β para as ondas P e S, respectivamente, limitada superior

e inferiormente por dois meios fluidos, semi-infinitos, com massas volúmicas 1fρ e 2fρ , que

permitem velocidades de propagação das ondas de pressão de 1fα e 2fα , respectivamente.

Neste sistema, em 0 0( , )x y , actua uma carga que pode localizar-se no meio sólido, actuando

segundo qualquer das três direcções x, y ou z, ou num dos fluidos, sendo, nesse caso, uma

carga de pressão. Este sistema encontra-se representado na Figura 3.4.

x

y

ρ; α; β

ρf1; α f1

h

ρf2; α f2

(z)(a)

(b)


Figura 3.4: Representação gráfica (em corte) de um sistema constituído por uma camada sólida de espessura h, limitada inferior e superiormente por meios fluidos semi-infinitos. Em 0 0( , )x y actua uma carga harmónica com variação sinusoidal segundo o eixo z, podendo localizar-se no meio sólido ou em qualquer dos meios fluidos.

81

A obtenção de uma solução analítica para a propagação de ondas em sistemas com

esta configuração passa pela definição de um conjunto de potenciais, que representam a

contribuição de cada superfície de contacto entre dois materiais distintos para o campo total

de ondas. Em cada uma destas superfícies, é necessário definir um potencial dilatacional e

dois potenciais de corte para o meio sólido, e ainda um potencial dilatacional para o fluido. O

comportamento dinâmico do sistema fica, então, adequadamente representado por oito

potenciais, sendo quatro definidos para a superfície de contacto superior (designada por a), e

os restantes quatro definidos para a superfície de contacto inferior (designada por b), todos

eles escritos na forma de somatórios dos efeitos de ondas planas com diferentes valores do

número de onda segundo x, nk . Na Tabela 3.7 apresentam-se todos os potenciais envolvidos.

Tabela 3.7 – Listagem dos potenciais que definem os termos de superfície para as diferentes possibilidades de carregamento actuante. Nestas expressões, i

0 e n y hbbE ν− −= , i

0 e n y hbcE γ− −= e

2i0 e

fn y hb

fE ν− −= .

Carga segundo a direcção x Carga segundo a direcção y ou carga de pressão no fluido Carga segundo a direcção z

Na superfície de contacto superior (a): 2

02

i n Nf fa

fluido n dfn Nx f n

ED E

Lα

φω λ ν

=+

=−

−= −

∑

_0 0

n Nx a xn

a b n dn N n

kE E A Eφν

=+

=−

=

∑ ( )_

0 0

n Ny a y

a b n dn N

E E A Eφ=+

=−

= ∑ _ 00

n Nz a zb

a z n dn N n

EE k A Eφν

=+

=−

=

∑

_ 00

n Nx a xcy a z n d

n N n

EE k B Eψγ

=+

=−

=

∑ _ 0

0

n Ny a ycx a z n d

n N n

EE k C Eψγ

=+

=−

−=

∑ ( )_0 0

n Nz a zx a c n d

n N

E E B Eψ=+

=−

= ∑

( )_0 0

n Nx a xz a c n d

n NE E C Eψ

=+

=−

= − ∑ _0 0

n Ny a ynz a c n d

n N n

kE E B Eψγ

=+

=−

=

∑ _

0 0

n Nz a zny a c n d

n N n

kE E C Eψγ

=+

=−

−=

∑

Na superfície de contacto inferior (b): _

0 0

n Nx b b xn

a b n dn N n

kE E E Eφν

=+

=−

=

∑ ( )_

0 0

n Ny b b y

a b n dn N

E E E Eφ=+

=−

= − ∑ _ 00

bn Nz b zb

a z n dn N n

EE k E Eφν

=+

=−

=

∑

_ 00

bn Nx b xcy a z n d

n N n

EE k F Eψγ

=+

=−

=

∑ _ 0

0

bn Ny b ycx a z n d

n N n

EE k G Eψγ

=+

=−

−=

∑ ( )_0 0

n Nz b b zx a c n d

n NE E F Eψ

=+

=−

= − ∑

( )_0 0

n Nx b b xz a c n d

n N

E E G Eψ=+

=−

= ∑ _0 0

n Ny b b ynz a c n d

n N n

kE E F Eψγ

=+

=−

=

∑ _

0 0

n Nz b b zny a c n d

n N n

kE E G Eψγ

=+

=−

−=

∑

22 0

2 22

i bn Nf fb

fluido n dfn Nx f n

EH E

Lα

φω λ ν

=+

=−

−= −

∑

82

Tal como nos casos apresentados na secção anterior, a imposição de condições de

fronteira adequadas (continuidade de tensões e deslocamentos normais e tensões tangenciais

nulas em cada superfície de contacto) permite estabelecer sistemas de oito equações a oito

incógnitas, sendo estas últimas as amplitudes jnA , j

nB , jnC , j

nD , jnE , j

nF , jnG e j

nH dos

potenciais, onde j representa a direcção de actuação da carga; j é x, y ou z para cargas no

sólido, e é j=f para cargas de pressão num dos fluidos. Os sistemas de equações que resultam

deste procedimento não se apresentam explicitamente nesta dissertação, podendo, no entanto,

encontrar-se definidos nos trabalhos de Tadeu e António (2001) e de António (2002).

A resolução destes sistemas torna possível o cálculo dos deslocamentos totais gerados

em qualquer ponto do meio sólido e também das pressões geradas nos meios fluidos,

recorrendo para o efeito a expressões em tudo semelhantes às definidas na Tabela 3.6. Note-se

que, também neste caso, no meio onde se localiza a fonte emissora o campo total terá que ser

definido contabilizando a contribuição do campo de ondas por ela gerado.

3.4.2 - Sistema com duas camadas sólidas separadas por uma camada fluida e limitadas por dois meios fluidos semi-infinitos

Considere-se um sistema físico constituído por duas camadas sólidas, com espessuras

1h e 2h , massas volúmicas 1sρ e 2sρ , e que permitem velocidades de propagação de 1sα e 2sα

para as ondas dilatacionais, e de 1sβ e 2sβ para as ondas de corte. Estas duas camadas

encontram-se separadas por uma camada de espessura 3h , constituída por um material fluido

com massa volúmica 2fρ e que permite velocidades de propagação das ondas de pressão de

2fα . Limitando superior e inferiormente este conjunto encontram-se dois meios fluidos

semi-infinitos, com massas volúmicas 1fρ e 3fρ , que permitem velocidades de propagação

das ondas de pressão de 1fα e 3fα , respectivamente. Considere-se a actuação de uma carga

linear harmónica, com variação sinusoidal segundo a direcção z, localizada em 0 0( , )x y , no

interior de qualquer dos meios que constituem o sistema. O sistema assim definido

encontra-se representado na Figura 3.5.

83

x

y

ρs1; α s1; βs1

ρf1; α f1

h1

ρs2; α s2; βs2

ρf2; α f2

ρf3; α f3

h3

h2

(z)(a)

(b)

(c)

(d)


Figura 3.5: Representação gráfica (em corte) de um sistema constituído por duas camadas sólidas de espessuras h1 e h2, separadas por uma camada fluida de espessura h3. O conjunto é limitado inferior e superiormente por dois meios fluidos semi-infinitos. Em 0 0( , )x y actua uma carga harmónica com variação sinusoidal segundo o eixo z, podendo localizar-se no meio sólido ou em qualquer dos meios fluidos.

Por forma a calcular analiticamente a resposta do sistema aos diferentes

carregamentos, torna-se necessário definir potenciais associados a cada uma das interfaces

sólido-fluido existentes. Em cada uma destas interfaces é, então, necessário definir um

potencial dilatacional e dois potenciais de corte para o meio sólido, e um potencial

dilatacional para o fluido. Estes dezasseis potenciais, todos eles escritos na forma de

somatórios dos efeitos de ondas planas com diferentes valores do número de onda segundo x,

traduzem rigorosamente o comportamento dinâmico do sistema. Listam-se estes potenciais

nas Tabelas 3.8 e 3.9.

Impondo as condições de fronteira adequadas de continuidade de tensões e

deslocamentos normais e tensões tangenciais nulas em cada superfície de contacto, podem

construir-se sistemas de dezasseis equações a dezasseis incógnitas, sendo estas as amplitudes

dos potenciais, jnA , j

nB , jnC , j

nD , jnE , j

nF , jnG , j

nH , jnI , j

nJ , jnK , j

nL , jnM , j

nN , jnO e j

nP , onde

j representa a direcção de actuação da carga; j é x, y ou z para cargas no sólido, e é j=f para

cargas de pressão num dos fluidos. Para o caso de cargas actuantes nos meios fluidos ou de

cargas actuantes segundo y num dos sólidos, a definição da matriz correspondente ao sistema

de equações que resulta deste procedimento pode encontrar-se em António (2002).

84

Tabela 3.8 – Listagem dos potenciais relativos às superfícies de contacto (a) e (b), que definem os termos de superfície para as diferentes possibilidades de carregamento actuante. Nestas expressões,

1i0 e n y hb

bE ν− −= , 1i0 e n y hb

cE γ− −= e 2

1i0 e

fn y hb

fE ν− −= .


Na superfície de contacto (a):

20

2

i n Nf fa

fluido n dfn Nx f n

ED E

Lα

φω λ ν

=+

=−

−= −

∑

_0 0

n Nx a xn

a b n dn N n

kE E A Eφν

=+

=−

=

∑ ( )_

0 0

n Ny a y

a b n dn N

E E A Eφ=+

=−

= ∑ _ 00

n Nz a zb

a z n dn N n

EE k A Eφν

=+

=−

=

∑

_ 00

n Nx a xcy a z n d

n N n

EE k B Eψγ

=+

=−

=

∑ _ 0

0

n Ny a ycx a z n d

n N n

EE k C Eψγ

=+

=−

−=

∑ ( )_0 0

n Nz a zx a c n d

n N

E E B Eψ=+

=−

= ∑

( )_0 0

n Nx a xz a c n d

n N

E E C Eψ=+

=−

= − ∑ _0 0

n Ny a ynz a c n d

n N n

kE E B Eψγ

=+

=−

=

∑ _

0 0

n Nz a zny a c n d

n N n

kE E C Eψγ

=+

=−

−=

∑

Na superfície de contacto (b):

_0 0

n Nx b b xn

a b n dn N n

kE E E Eφν

=+

=−

=

∑ ( )_

0 0

n Ny b b y

a b n dn N

E E E Eφ=+

=−

= − ∑ _ 00

bn Nz b zb

a z n dn N n

EE k E Eφν

=+

=−

=

∑

_ 00

bn Nx b xcy a z n d

n N n

EE k F Eψγ

=+

=−

=

∑ _ 0

0

bn Ny b ycx a z n d

n N n

EE k G Eψγ

=+

=−

−=

∑ ( )_0 0

n Nz b b zx a c n d

n NE E F Eψ

=+

=−

= − ∑

( )_0 0

n Nx b b xz a c n d

n NE E G Eψ

=+

=−

= ∑ _0 0

n Ny b b ynz a c n d

n N n

kE E F Eψγ

=+

=−

=

∑ _

0 0

n Nz b b zny a c n d

n N n

kE E G Eψγ

=+

=−

−=

∑

22 0

2 22

i bn Nf fb

fluido n dfn Nx f n

EH E

Lα

φω λ ν

=+

=−

−= −

∑

Resolvendo os correspondentes sistemas de equações, é, então, possível o cálculo dos

deslocamentos gerados em qualquer ponto do meio sólido e das pressões geradas nos meios

fluidos, recorrendo para o efeito a expressões em tudo semelhantes às definidas na Tabela 3.6.

Uma vez mais, no meio onde se localiza a fonte emissora, a definição do campo total obriga à

contabilização da contribuição do campo de ondas por ela gerado.

85

Tabela 3.9 – Listagem dos potenciais relativos às superfícies de contacto (c) e (d), que definem os termos de superfície para as diferentes possibilidades de carregamento actuante. Nestas expressões,

21 3i ( )

0 esn y h hc

bE ν− − += , 2

1 3i ( )0 e

sn y h hc

cE γ− − += , 2

1 3i ( )0 e

fn y h hc

fE ν− − += , 2

1 2 3i ( )0 e

sn y h h hd

bE ν− − + += , 2

1 2 3i ( )0 e

sn y h h hd

cE γ− − + += e 3

1 2 3i ( )0 e

fn y h h hd

fE ν− − + += .


Na superfície de contacto (c): 2

2 02 2

2

i n Nf fc

fluido n dfn Nx f n

EI E

Lα

φω λ ν

=+

=−

−= −

∑

_0 02

n Nx c c xn

a b n dsn N n

kE E J Eφν

=+

=−

=

∑ ( )_

0 0

n Ny c c y

a b n dn N

E E J Eφ=+

=−

= ∑ _ 00 2

cn Nz c zb

a z n dsn N n

EE k J Eφν

=+

=−

=

∑

_ 00 2

cn Nx c xcy a z n ds

n N n

EE k K Eψγ

=+

=−

=

∑ _ 0

0 2

cn Ny c ycx a z n ds

n N n

EE k K Eψγ

=+

=−

−=

∑ ( )_0 0

n Nz c c zx a c n d

n N

E E K Eψ=+

=−

= ∑

( )_0 0

n Nx c c xz a c n d

n N

E E L Eψ=+

=−

= − ∑ _0 02

n Ny c c ynz a c n ds

n N n

kE E L Eψγ

=+

=−

=

∑

_0 02

n Nz c c zny a c n ds

n N n

kE E L Eψγ

=+

=−

−=

∑

Na superfície de contacto (d): _

0 02

n Nx d d xn

a b n dsn N n

kE E M Eφν

=+

=−

=

∑ ( )_

0 0

n Ny d d y

a b n dn N

E E M Eφ=+

=−

= − ∑ _ 00 2

dn Nz b zb

a z n dsn N n

EE k M Eφν

=+

=−

=

∑

_ 00 2

dn Nx d xcy a z n ds

n N n

EE k N Eψγ

=+

=−

=

∑ _ 0

0 2

dn Ny d ycx a z n ds

n N n

EE k N Eψγ

=+

=−

−=

∑ ( )_0 0

n Nz d d zx a c n d

n NE E N Eψ

=+

=−

= − ∑

( )_0 0

n Nx d d xz a c n d

n NE E O Eψ

=+

=−

= ∑ _0 02

n Ny b d ynz a c n ds

n N n

kE E O Eψγ

=+

=−

=

∑ _

0 02

n Nz d d zny a c n ds

n N n

kE E O Eψγ

=+

=−

−=

∑

23 0

2 33

i dn Nf fd

fluido n dfn Nx f n

EP E

Lα

φω λ ν

=+

=−

−= −

∑

3.5 - GENERALIZAÇÃO PARA SISTEMAS COM QUALQUER SEQUÊNCIA DE CAMADAS FLUIDAS E SÓLIDAS

Uma abordagem similar à que foi usada anteriormente na definição de soluções

analíticas para casos específicos pode, também, ser utilizada para a análise de meios

86

estratificados com qualquer número e sequência de camadas sólidas e fluidas, com diferentes

propriedades. De facto, o campo de ondas gerado num sistema físico assim constituído pode

ser adequadamente representado recorrendo a um conjunto de potenciais que traduzam o

comportamento dinâmico de cada uma das camadas envolvidas. No caso de uma camada

sólida, é necessário definir, em cada uma das superfícies que a limitam, um potencial

dilatacional e dois potenciais de corte, sendo o campo de ondas no seu interior definido em

função destes seis potenciais. No caso de uma camada fluida apenas se geram ondas de

pressão, pelo que é necessário definir um potencial dilatacional em cada uma das suas

superfícies limite. Tal como nos casos anteriormente analisados, todos os potenciais

envolvidos deverão ser definidos como somatórios de efeitos de ondas planas com diferentes

inclinações, sendo, também, todos eles função de um factor de amplitude à partida

desconhecido.

Os campos de ondas no interior de cada camada resultam da contribuição de cada um

dos potenciais aí definidos, o que permite estabelecer uma matriz individual de camada que

traduz, rigorosamente, o seu comportamento dinâmico. A análise de um sistema físico

genérico, constituído por qualquer sequência de camadas paralelas, de materiais sólidos ou

fluidos, pode, então, fazer-se recorrendo à definição destas matrizes individuais para cada

uma das camadas que o constituem. Partindo dessas matrizes, e impondo as necessárias

condições de fronteira, é possível construir uma matriz que traduz o comportamento global do

sistema, e que tem em conta todas as interacções entre as diferentes camadas.

Quando no sistema actua uma fonte de excitação, localizada em qualquer das camadas

que o constituem, o seu efeito terá, também, que ser contabilizado. Para tal, pode definir-se

um vector cujos elementos representam a contribuição da fonte em cada uma das superfícies

limite da camada em que se encontra. Usando este vector e a matriz de comportamento do

sistema já definida, é possível formar um sistema de equações, cuja solução são as amplitudes

de cada um dos potenciais envolvidos.

A parte restante desta secção encontra-se estruturada da seguinte forma: em primeiro

lugar, descreve-se a matriz individual e vector de carregamento que permitem caracterizar o

comportamento de uma camada fluida; segue-se a definição da matriz individual e respectivo

vector de carga a usar no caso de uma camada sólida, para as diferentes possibilidades de

carregamento; exemplifica-se, depois, o processo de construção da matriz de comportamento

do sistema e do vector de carregamento para alguns exemplos; para terminar a secção,

verifica-se o método, comparando os resultados que fornece com os que se calculam por

aplicação de uma formulação de Elementos de Fronteira.

87

3.5.1 - Matriz individual que traduz o comportamento de uma camada fluida

Considere-se uma camada constituída por um material fluido, que integra um sistema

físico com múltiplas camadas dispostas paralelamente. Esta camada, com número de ordem i,

apresenta uma espessura ih , uma massa volúmica fiρ , e permite a propagação de ondas de

pressão com uma velocidade fiα , sendo a sua constante de Lamé ( )2fi fi fiλ ρ α= .

O campo de ondas gerado no seu interior pode ser adequadamente representado por

dois potenciais dilatacionais, sendo um associado à fronteira superior da camada ( ,if topoφ ) e o

outro associado à sua fronteira inferior ( ,if baseφ ). As expressões que os definem são:

2

0, 1,2

i ( ) iii i

i i

ffn Nff topo f

n df fn Nx nf

EA E

Lαφ

ω λ ν

=+

=−

−= −

∑ (3.20)

21, 2,

2

i ( ) iii i

i i

ffn Nff base f

n df fn Nx nf

EA E

Lαφ

ω λ ν

=+

=−

−= −

∑ ,

onde, ,i

0 ef i topoi

nfiy yf

fE ν− −= , ,i

1 ef i basei

nfiy yf

fE ν− −= , ,i topoy e ,i basey sendo as coordenadas y das fronteiras

superior e inferior da camada i, definidas no sistema global x, y, z, 2 2 2i

i

fnf f z nk k kν = − − , com

( )Im 0ifnfν ≤ e i

i

ffk ω α= ; 1, if

nA e 2, ifnA são os factores de amplitude dos dois potenciais.

Partindo da definição destes potenciais, as pressões e deslocamentos verticais, devidos

à contribuição dos termos de superfície, no topo e na base da camada fluida podem ser

calculados como

( )1,

, 2,1...4, 1...2i

y i

i

y

topo

topo ff n

k l fbasen

base

u Aa k l

A

u

σ

σ

= = =

. (3.21)

88

Nesta equação, ( ), 1...4, 1...2ifk la k l= = é a matriz individual da camada fluida, dada por:

( )

2 2

2 2

,

2 2

2 2

i i

( ) ( )

1...4, 1...2i i

( ) ( )

i

i i

i ii

i i

i

i

i i

i ii

i i

fff f

x nf x nf

f ffff f

x xfk l

fff f

x nf x nf

f ffff f

x x

EL L

EL L

a k lE

L L

EL L

ν ν

α αω λ ω λ

ν ν

α αω λ ω λ

− −

− = = = − − −

, (3.22)

com iefi

infihf

fE ν−= .

No caso de, no interior da camada fluida, se localizar uma fonte de pressão, no ponto

0 0( , )x y , os deslocamentos verticais e as pressões por ela gerados nas superfícies limites são

dadas, na forma de vector, por

( )

0

0

0

0

i

,2

i, 2

,i

,

2i

2

i e

( ) e1...4

i e

( ) e

fitoponf

i

i fitoponf

iyi

fibasenf

i

y

i fibasenf

i

y yf

x nfinc topo

fy y

inc topo fxf

k inc basey y

finc basex nf

fy y

fx

L

u Lb k

Lu

L

ν

ν

ν

ν

νσ α

ω λσ

ν

αω λ

− −

− −

− −

− −

−

− = = = −

. (3.23)

Quando os factores de amplitude 1, ifnA e 2, if

nA são conhecidos, torna-se possível o

cálculo das pressões registadas em qualquer ponto ( , )x y no interior da camada fluida. Para

tal, pode usar-se a equação

0 11, 2,i ii i

i i

i i

f fn N n Nf ff finc

f f n d n df fn N n Nx nf x nf

E EA E A E

L Lσ κσ

ν ν

=+ =+

=− =−

= − −

∑ ∑ , (3.24)

89

onde o factor κ assume o valor 1 se a carga de pressão se localizar no interior da camada em

análise, e o valor 0 nos restantes casos.

3.5.2 - Matriz individual que traduz o comportamento de uma camada sólida

Considere-se, agora, a camada sólida com número de ordem i, com uma espessura ih ,

uma massa volúmica siρ , que permite a propagação de ondas dilatacionais e de corte com

velocidades siα e siβ , respectivamente, e cujo módulo de elasticidade transversal é

( )2si si siµ ρ β= .

Para este caso, a definição da matriz individual que traduz o seu comportamento deve

ser feita distintamente para os diferentes tipos de carregamentos que podem actuar no sistema.

Assim, interessa definir estas matrizes para os casos de carregamentos que actuam em

camadas sólidas segundo a direcção x, segundo a direcção y e segundo a direcção z, e para o

caso de cargas de pressão que actuam no interior de uma camada fluida. No entanto, e tal

como nos casos anteriormente estudados, para o caso em que o carregamento actua numa

camada fluida, as matrizes individuais que serão usadas são as mesmas que se definem para

carregamentos que actuam em camadas sólidas segundo a direcção y.

3.5.2.1 - Carregamento que actua segundo a direcção x numa camada sólida

O campo de ondas gerado no interior da camada pode ser representado por dois

potenciais dilatacionais, sendo , ,ix s topoφ para a fronteira superior e , ,ix s baseφ para a fronteira

inferior, e quatro potenciais de corte, que são , ,ix s topoyψ e , ,ix s topo

zψ para a superfície superior e

, ,ix s baseyψ e , ,ix s base

zψ para a superfície inferior. As expressões que definem estes seis potenciais

são, para a superfície superior,

90

, , ,1,0

i i i i

i

n Nx s topo s s x sn

A b n dsn N n

kE E A Eφν

=+

=−

=

∑

, , ,2,0i

i i i

i

sn Nx s topo s x scy A z n ds

n N n

EE k A Eψγ

=+

=−

=

∑ (3.25)

( ), , ,3,0

i i i i

n Nx s topo s s x sz A c n d

n N

E E A Eψ=+

=−

= − ∑ ,

e para superfície inferior,

, , ,4,1

i i i i

i

n Nx s base s s x sn

A b n dsn N n

kE E A Eφν

=+

=−

=

∑

, , ,5,1i

i i i

i

sn Nx s base s x scy A z n ds

n N n

EE k A Eψγ

=+

=−

=

∑ (3.26)

( ), , ,6,1

i i i i

n Nx s base s s x sz A c n d

n NE E A Eψ

=+

=−

= ∑ .


12

i

i

sA s

x

ELρ ω

= , ,i

0 es i topoini

y yscE γ− −= ,

,i1 e

s i baseini

y yscE γ− −= ,

,i0 e

s i topoini

y ysbE ν− −= ,

,i1 e

s i baseini

y ysbE ν− −= , ( )2

2 2i i

p

s sn z nk k kν = − − , com ( )Im 0is

nν ≤ ), ( )2 2 2i is sn s z nk k kγ = − − , com

( )Im 0isnγ ≤ , ii ss

pk ω α= e i iss sk ω β= .

Para cada valor de zk e nk , os deslocamentos e tensões registados sobre as superfícies

da camada, e relevantes para a definição da sua matriz individual, podem ser expressos na

forma

( )

, ,,1,

, ,,2,

, , ,3,,

1...6, 1...6 ,4,, ,

,5,, ,

,6,, ,

i

ixy

ii

zy

i iyy i i

A ii

xi

i

yi

i

z

x s topox snx s topox sn

x s topo x sS x s n

k l x sx s toponx sx s toponx s

x s topo n

AAA

E aAuAuAu

σ

σ

σ= =

=

(3.27)a

91

( )

, ,,1,

, ,,2,

, , ,3,,

7...12, 1...6 ,4,, ,

,5,, ,

,6,, ,

i

ixy

ii

zy

i iyy i i

A ii

xi

i

yi

i

z

x s basex snx s basex sn

x s base x sS x s n

k l x sx s basenx sx s basenx s

x s base n

AAA

E aAuAuAu

σ

σ

σ= =

=

, (3.27)b

onde , ix sa é a matriz individual da camada. Essa matriz, definida para cargas que actuam

segundo a direcção x numa camada sólida, é calculada derivando adequadamente os

potenciais indicados nas equações (3.25) e (3.26),

( )

( )( ) ( )( )

( ) ( )

,1...6, 1...6

2 22 2 2 2 2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 0 2 22 2

i

i i i i i i i i i i i

i i i i i i i i i

i ii ii i

i i

x sk l

s s s s s s s s s s sn z n n n bh z ch n n ch

s s s s s s s s sbh ch ch

s ss ss ss sn n

zn n n zn bs sn n

a

k k k k E k E k E

E E E

k kk kk E

µ µ µ γ µ µ µ γ

µ µ µ µ µ µ

µ µν µ γ νν ν

= = =

− − − − −

− − −

− + − +

2 2 2 2

0 2

i i i i i i

i 0 i i 0 ii i i i0 0

i i i i

i i i i i

i i i i

i i

i i

i i i i

s s s sh n n ch

s s s s sn z n zn bh ch n chs s s s

n n n ns s

n n n bh n ch

s sbh chs s s s

n n n n

k E

k k k kE E E

k k k E k E

E E

µ γ

γ γν γ ν γ

ν γ ν γ

− − − − − −

− − − −

(3.28)a

( )

( )( ) ( )( )

( ) ( )

,1...6, 7...12

2 22 2 2 2 2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 0 2 22

i


i i i i i i i i i

i ii ii i i i

i i

x sk l

s s s s s s s s s s sn bh z ch n n ch n z n n


s ss ss ss s s sn n

zn bh n n ch zns sn n

a

k E k E k E k k k

E E E

k kk kE k E

µ µ µ γ µ µ µ γ

µ µ µ µ µ µ

µ µν µ γ νν ν

= = =

− − − − −

− − −

− + − +

2 2 2 2

0 22

i i i i i i

i 0 i i 0 ii i i i0 0

i i

i i i i i

i i i i

i i

i i

i i i i

s sn n

s s s s sn z n zbh ch n ch ns s s s

n n n ns s

n bh n ch n n

s sbh chs s s s

n n n n

k

k k k kE E E

k E k E k k

E E

µ γ

γ γν γ ν γ

ν γ ν γ

− − − − − −

− − − −

,

(3.28)b

onde ies ii

i ns hbhE ν−= e ie

s iii ns h

chE γ−= .

92

Se no interior da camada i se localizar uma carga, actuando segundo a direcção x, no

ponto 0 0( , )x y , os deslocamentos verticais e as pressões por ela gerados nas superfícies são

dados, na forma de vector, por

( )

( )( )

( )

22 2 2

, ,

2, ,2

, ,

1...6 , ,

, ,

, ,

2

2

22

i i i i i i i

i i i i i i

xy

iizy

i

yyi

x

y

z

s s s s s s sn bt z ct n n ct

s s s s s sx inc topobt ct ct

sx inc topo ssn

znsx inc topons

k x inc topo

x inc topo

x inc topo

k E k E k E

E E E

kk

bu

u

u

µ µ µ γ

µ µ µσ

σ µ ννσ

=

+ − −

− −

− + = =

( )2

2

2 2

22

i i i

i ii i

iii i

i

i

A

i i i i

i i

i i

i i

i i

ssss sn

bt zn ctsn S

s s s sn zbt ct n cts s

n ns s

n bt n ct

s sbt cts s

n n

kkE E

Ek kE E E

k E k E

E E

µ νν

γν γ

ν γ

+ + − − −

− − +

(3.29)

( )

( )( )22 2 2

, ,

, ,2

, ,

7...12 , ,

, ,

, ,

2

2

2

i i i i i i i

i i i i i i

xy

izy

i

yyi

x

y

z

s s s s s s sn bb z cb n n cb

s s s s s sx inc basebb cb cb

sx inc base ssn

znsx inc basens

k x inc base

x inc base

x inc base

k E k E k E

E E E

kk

bu

u

u

µ µ µ γ

µ µ µσ

σ µ ννσ

=

− − + −

− + +

− + = =

( ) ( )2 2

2

2 2

22 2

i i i

i +ii i

i iii i

i

i

A

i i i i

i i

i i

i i

i i

ssss sn

bb zn cbsn S

s s s sn zbb cb n cbs s

n ns s

n bb n cb

s sbb cbs s

n n

kkE E

Ek kE E E

k E k E

E E

µ νν

γν γ

ν γ

+ + − − −

− − +

,

com ,

0ies i topoini

y ysctE γ− −= ,

,0ie

s i topoini

y ysbtE ν− −= ,

,0ie

s i baseini

y yscbE γ− −= ,

,0ie

s i baseini

y ysbbE ν− −= .

Depois de determinados os factores de amplitude, ,1, ix snA ... ,6, ix s

nA , torna-se possível

determinar os deslocamentos registados em receptores posicionados dentro da camada sólida.

Estes deslocamentos serão dados por

93

2 2,1, ,2, ,3,

0 0 0

2 2,4, ,5, ,6,

1 1 1

i i i

i i i

i i i i i i i i

i i

i i i i i i i i

i i

n Ns x s s s x s s s x sinc n z

xx xx A n b c n n c n ds sn N n n

n Ns x s s s x s s s x sn zA n b c n n c n ds s

n N n n

k kG G E A E E A E A E

k kE A E E A E A E

κ γν γ

γν γ

=+

=−

=+

=−

−= + − − +

−+ − −

∑

∑

( )

( )

,1, ,3,0 0

,4, ,6,1 1

i i

i i

i i i i i

i i i i i

n Ns x s s x s sinc

yx yx A n n b n n c dn N

n Ns x s s x s sA n n b n n c d

n N

G G E k A E k A E E

E k A E k A E E

κ=+

=−

=+

=−

= + − + −

− − +

∑

∑ (3.30)

,1, ,2,0 0

,4, ,5,1 1

i i

i i ,

i i i i i

i i

i i i i i

i i

n Ns x s s x s sinc z n z n

zx zx A n b n c ds sn N n n

n Ns x s s x s sz n z nA n b n c ds s

n N n n

k k k kG G E A E A E E

k k k kE A E A E E

κν γ

ν γ

=+

=−

=+

=−

−= + + +

−+ +

∑

∑

onde o factor κ assume o valor 1 no caso de o carregamento se localizar na camada em

análise, e 0 nos restantes casos.

3.5.2.2 - Carregamento que actua segundo a direcção y numa camada sólida ou carregamento que actua numa camada fluida

Quando o carregamento actua segundo a direcção y numa camada sólida, ou quando

uma carga de pressão actua num meio fluido, os potenciais que definem o campo de ondas no

interior de uma camada sólida são, para a superfície superior,

, , ,1,0

i i i i

n Ny s topo s s y s

A b n dn N

E E A Eφ=+

=−

= ∑

, , ,2,0i

i i i

i

sn Ny s topo s y sn cz A n ds

n N n

k EE A Eψγ

=+

=−

=

∑ (3.31)

, , ,3,0i

i i i

i

sn Ny s topo s y scx A z n ds

n N n

EE k A Eψγ

=+

=−

−=

∑ ,

e para superfície inferior,

94

, , ,4,1

i i i i

n Ny s base s s y s

A b n dn N

E E A Eφ=+

=−

= − ∑

, , ,5,1i

i i i

i

sn Ny s base s y sn cz A n ds

n N n

k EE A Eψγ

=+

=−

=

∑ (3.32)

, , ,6,1i

i i i

i

sn Ny s base s y scx A z n ds

n N n

EE k A Eψγ

=+

=−

−=

∑ .

Considerando a resposta para cargas planas individuais, definidas por valores

específicos de zk e nk , os deslocamentos e tensões registados sobre as superfícies da camada

podem ser expressos na forma

( )

, ,,1,

, ,,2,

, , ,3,,

1...6, 1...6 ,4,, ,

,5,, ,

,6,, ,

i

ixy

ii

zy

i iyy i i

A ii

xi

i

yi

i

z

y s topoy sny s topoy sn

y s topo y sS y s n

k l y sy s topony sy s topony s

y s topo n

AAA

E aAuAuAu

σ

σ

σ= =

=

(3.33)

( )

, ,,1,

, ,,2,

, , ,3,,

7...12, 1...6 ,4,, ,

,5,, ,

,6,, ,

i

ixy

ii

zy

i iyy i i

A ii

xi

i

yi

i

z

y s basey sny s basey sn

y s base y sS y s n

k l y sy s baseny sy s baseny s

y s base n

AAA

E aAuAuAu

σ

σ

σ= =

=

,

sendo , iy sa a matriz individual da camada para as cargas em estudo. Esta matriz é calculada

por derivação dos potenciais indicados nas equações (3.31) e (3.32), e pode escrever-se como

( ),

1...6, 1...6

2 2 2 2

2 2 2 2

2 2

2 2

i

i i i i i i i i i i i i i

i i i i


i i i

y sk l

s s s s s s s s s s s s sn z n zn n n bh n ch chs s s s

n n n n

s s s s s s s s s s sn z n zn n n bh chs s s

n n n

a

k k k kE E E

k k k kE E

µ ν µ γ µ µ ν µ γ µγ γ γ γ

µ ν µ µ γ µ ν µ µγ γ γ γ

= = =

− − + − − − + −

− − − + − − −

( ) ( )2 2

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2

2 2 2 2 2 22 2

i i 0 i i 0

i i i i i i

i 0 i i

i i

i

i i

i i i i i i i i i

i i

i i i i i

i i i i

s sn chs

n

s ss ss s s s s s s s s

zn n z zn bh n ch z ch

s sbh ch

s s s s sn z n zn n bh ch chs s s s

n n n n

bh

E

k kk k E k E k E

E Ek k k kE E E

E

γ

µ ν µ µ µ ν µ µ

ν νγ γ γ γ

+

− + − − +

− −

− − − − − −

− 0 -ii is schE

(3.34)a

95

( ),

7...12, 1...6

2 2 2 2

2 2 2

2 2

2 2

i

i i i i i i i i i i i i i

i i i i


i i i

y sk l

s s s s s s s s s s s s sn z n zn bh n ch ch n ns s s s

n n n n

s s s s s s s s s s s sn z nn bh ch n ch ns s s

n n n

a

k k k kE E E

k k kE E E

µ ν µ γ µ µ ν µ γ µγ γ γ γ

µ ν µ µ γ µ ν µ µγ γ γ

= = =

− − + − − − + −

− − − + − −

( ) ( )

2

2 2

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2

2 2 2 2 2 22 2

i i 0 i i 0

i i i i i i

i

i i

i

i i

i i i i i i i i i

i i

i i i i i

i i i i

i

szns

n

s ss ss s s s s s s s s

zn bh n ch z ch zn n z

s sbh ch

s s s s sn z n zn bh ch ch ns s s s

n n n nsbh

k

k kE k E k E k k

E Ek k k kE E E

E

γγ

µ ν µ µ µ ν µ µ

ν νγ γ γ γ

− +

− + − − +

− −

− − − − − −

− 0 i i 0 -iischE

.

(3.34)b

No caso de o carregamento actuar segundo a direcção y, num ponto 0 0( , )x y situado no

interior da camada, torna-se necessário estabelecer o vector isb , que traduz a influência do

carregamento nas superfícies da camada. Este vector é:

( )

2 2

, , 2

, ,

, ,

1...6 , ,

, ,

, ,

2

2

i i i i i i i i

i i

xy i i i i i

i

zy

yyi

x

y

z

s s s s s s s sn zn bt n ct cts s

n n

y inc topos s s s s sn

n bt ctsy inc topon

y inc toposk y inc topo

y inc topo

y inc topo

k kE E E

kE E

bu

u

u

µ ν µ γ µγ γ

σµ ν µ µ

γσ

σ=

− + − + −

− − + = =

( )

2

2

2 2 2

2 2

2 2 22

i i

i i i

i i

i i i

i

iii i i i i i

A

i i

i i i i

i i

i i

s szn cts

n

sSss s s s s s

zn bt n ct z ct

s sbt ct

s s s sn zn bt ct cts s

n ns sbt ct

k E

k EE k E k E

E Ek kE E E

E E

γγ

µ ν µ µ

νγ γ

− +

+ + +

− − − − −

(3.35)

( )

2 2

, , 2

, ,

, ,

7...12 , ,

, ,

, ,

2

2

i i i i i i i i

i i

xy i i i i i

i

zy

yyi

x

y

z

s s s s s s s sn zn bb n cb cbs s

n ny inc base

s s s s snn bb cbsy inc base

n

y inc basesk y inc base

y inc base

y inc base

k kE E E

kE E

bu

u

u

µ ν µ γ µγ γ

σµ ν µ µ

γσ

σ=

− + − + −

− − + = =

( )

2

2

2 2 2

2 2

2 2 22

i +i

i i i

i i

i i i

i

iii i i i i i

A

i i

i i i i

i i

i i

s s szn cbs

n

sSss s s s s s

zn bb n cb z cb

s sbb cb

s s s sn zn bb cb cbs s

n ns sbb cb

k E

k EE k E k E

E Ek kE E E

E E

γγ

µ ν µ µ

νγ γ

− +

− + − −

− − − − − +

,

96

Conhecidos os factores de amplitude, ,1, iy snA ... ,6, iy s

nA , é possível calcular os

deslocamentos em qualquer ponto no interior da camada, usando para o efeito as expressões

( )

( )

,1, ,2,0 0

,4, ,5,1 1

i i

i i

i i i i i

i i i i i

n Ns y s s y s sinc

xy xy A n n b n n c dn N

n Ns y s s y s sA n n b n n c d

n N

G G E A k E A k E E

E A k E A k E E

κ=+

=−

=+

=−

= + − + −

− − +

∑

∑

2 2,1, ,2, ,3,

0 0 0

2 2,4, ,5, ,6,

1 1 1

i ii

i ii

i i i i i i i i

i i

i i i i i i i i

i i

n Ns s y s s s y s s y sinc n z

yy yy A n n b c n c n ds sn N n n

n Ns s y s s s y s s y sn zA n n b c n c n ds s

n N n n


k kE A E E A E A E

κ νγ γ

νγ γ

=+

=−

=+

=−

= + − − − +

+ − − −

∑

∑ (3.36)

( )

( )

,1, ,3,0 0

,4, ,6,1 1

i i

i i ,

i i i i i

i i i i i

n Ns y s s y s sinc

zy zy A n z b n z c dn N

n Ns y s s y s sA n z b n z c d

n N

G G E A k E A k E E

E A k E A k E E

κ=+

=−

=+

=−

= + − + −

− − +

∑

∑

onde κ assume o valor 1 no caso de o carregamento se localizar na camada em análise, e 0

nos restantes casos.

3.5.2.3 - Carregamento que actua segundo a direcção z numa camada sólida

Se o carregamento actuar segundo a direcção z numa das camadas sólidas que

constituem o sistema, os três potenciais correspondentes à superfície superior que traduzem o

comportamento dinâmico da camada são

, , ,1,0i

i i i

i

sn Nz s topo s z sb

A z n dsn N n

EE k A Eφν

=+

=−

=

∑

, , ,2,0

i i i i

n Nz s topo s s y sx A c n d

n NE E A Eψ

=+

=−

= ∑ (3.37)

, , ,3,0i

i i i

i

sn Nz s topo s z sn cy A z n ds

n N n

k EE k A Eψγ

=+

=−

−= −

∑ .

Da mesma forma, na superfície inferior teremos

97

, , ,4,1i

i i i

i

sn Nz s base s z sb

A z n dsn N n

EE k A Eφν

=+

=−

=

∑

, , ,5,1

i i i i

n Nz s base s s z sx A c n d

n N

E E A Eψ=+

=−

= − ∑ (3.38)

, , ,6,1i

i i i

i

sn Nz s base s z sn cy A z n ds

n N n

k EE k A Eψγ

=+

=−

−= −

∑ .

A resposta dinâmica da camada para cada carga plana individual, actuando com a

direcção do eixo z e a que correspondem valores específicos de zk e nk , pode ser definida

como

( )

, ,,1,

, ,,2,

, , ,3,,

1...6, 1...6 ,4,, ,

,5,, ,

,6,, ,

i

ixy

ii

zy

i iyy i i

A ii

xi

i

yi

i

z

z s topoz snz s topoz sn

z s topo z sS z s n

k l z sz s toponz sz s toponz s

z s topo n

AAA

E aAuAuAu

σ

σ

σ= =

=

(3.39)

( )

, ,,1,

, ,,2,

, , ,3,,

7...12, 1...6 ,4,, ,

,5,, ,

,6,, ,

i

ixy

ii

zy

i iyy i i

A ii

xi

i

yi

i

z

z s basez snz s basez sn

z s base z sS z s n

k l z sz s basenz sz s basenz s

z s base n

AAA

E aAuAuAu

σ

σ

σ= =

=

,

sendo , iz sa a matriz individual da camada para as cargas em estudo. Esta matriz é calculada

por derivação dos potenciais indicados nas equações (3.37) e (3.38), e pode escrever-se como

( )

( )( ) ( )( )( ) ( )

,1...6, 1...6

2 22 2 2 2 2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2 0 22 2

i

i i i i i i i i i


i i

i i i i

i i

z sk l


s s s s s s s s s s sz z n n z bh z n ch n ch

s ss ss s s sz z

zn n z zn bs sn n

a

E E E

k k k k E k E k E

k kk kk E

µ µ µ µ µ µ

µ µ γ µ µ µ γ µ

µ ν µ γ µ νν ν

= = =

− − −

− − − − −

− + − +

2 2 2 2

2 0

i i i i0 0

i i 0 i i 0

i i i i i i

i i i i

ii

i i i i

i i

i i i i i

i i i i

s s s sh z n ch

ssbhchs s s s

n n n ns s

z z z bh z ch

s s s s sz n z nn bh n ch chs s s s

n n n n

k E

E E

k k k E k Ek k k kE E E

µ γ

ν γ ν γ

γ γν γ ν γ

− −

− − − − − − − −

(3.40)a

98

( )

( )( ) ( )( )( ) ( )

,1...6, 7...12

2 22 2 2 2 2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2 0 22

i

i i i i i i i i i


i i

i i i i i i

i i

z sk l


s s s s s s s s s s sz bh z n ch n ch z z n n

s ss ss s s s s sz z

zn bh n z ch zns sn n

a

E E E

k E k E k E k k k

k kk kE k E

µ µ µ µ µ µ

µ µ γ µ µ µ γ µ

µ ν µ γ µ νν ν

= = =

− − −

− − − − −

− + − +

2 2 2 2

2 02

.i i i i0 0

i i 0 i i 0

i i i i i i

i i

i i

i i i i

i i

i i i i i

i i i i

s sz n

s sbh chs s s s

n n n ns s

z bh z ch z z

s s s s sz n z nbh n ch ch ns s s s

n n n n

k

E E

k E k E k kk k k kE E E

µ γ

ν γ ν γ

γ γν γ ν γ

− −

− − − − − − − −

(3.40)b

Se, num ponto 0 0( , )x y da camada em análise, actuar uma carga segundo a direcção z, é

ainda necessário definir o campo de ondas incidentes, em termos de deslocamentos e de

tensões. Este campo é definido pelo vector isb , que traduz a influência do carregamento nas

superfícies limites da camada. Para esta situação, o vector isb é

( )

( )( )

2 2 2, ,

2, ,

2

, ,

1...6 , ,

, ,

, ,

2

2

22

i i i i i i

i i i i i i i

xy

i

izy

i

yyi

x

y

z

s s s s s sbt ct ct

s s s s s s sz bt z n ct n ctz inc topo

sz inc toposs z

znsz inc topo nsk z inc topo

z inc topo

z inc topo

E E E

k E k E k E

kk

bu

u

u

µ µ µµ µ γ µ

σ

σ µ ννσ

=

− −

− − + − + = = 2 2

2

i i

i i

i i i

i i i i

i

A

i i

i i

i i

i i i i

i i

s s s sbt n z ct

S

s sbt cts s

n ns s

z bt z ct

s s s sz nbt n ct cts s

n n

E k E

EE E

k E k Ek kE E E

µ γ

ν γ

γν γ

+

− +

− − − −

(3.41)

( )

( )( )

2 2 2, ,

, ,2

, ,

7...12 , ,

, ,

, ,

2

2

2

i i i i i i

i i i i i i i

xy

i

izy

i

yyi

x

y

z

s s s s s sbb cb cb

s s s s s s sz bb z n cb n cbz inc base

sz inc basess z

znsz inc base nsk z inc base

z inc base

z inc base

E E E

k E k E k E

kk

bu

u

u

µ µ µµ µ γ µ

σ

σ µ ννσ

=

− + +

− + − − − + = =

2

2 2

22

i i

i i

i i i

i i i i

i

A

i i

i i

i i

i i i i

i i

s s s sbb n z cb

S

s sbb cbs s

n ns s

z bb z cb

s s s sz nbb n cb cbs s

n n

E k E

EE E

k E k Ek kE E E

µ γ

ν γ

γν γ

+

− +

− + − − −

.

99

Depois de calculados os factores de amplitude, ,1, iz snA ... ,6, iz s

nA , os deslocamentos em

qualquer ponto no interior da camada podem ser calculados por

,1, ,3,

0 0

,4, ,6,1 1

i i

i i

i i i i i

i i

i i i i i

i i

n Ns z s s z s sinc z n z n

xz xz A n b n c ds sn N n n

n Ns z s s z s sz n z nA n b n c ds s

n N n n

k k k kG G E A E A E E

k k k kE A E A E E

κν γ

ν γ

=+

=−

=+

=−

−= + + +

−+ +

∑

∑

( )

( )

,1, ,2,0 0

,1, ,2,1 1

i i

i i

i i i i i

i i i i i

n Ns z s s z s sinc

yz yz A z n b n z c dn N

n Ns z s s z s sA z n b n z c d

n N

G G E k A E A k E E

E k A E A k E E

κ=+

=−

=+

=−

= + − + −

− − +

∑

∑ (3.42)

2 2,1, ,3, ,2,

0 0 0

2 2,1, ,3, ,2,

1 1 1

i i i

i i i ,

i i i i i i i i

i i

i i i i i i i i

i i

n Ns z s s s z s s s z sinc z n

zz zz A n b c n n c n ds sn N n n

n Ns z s s s z s s s z sz nA n b c n n c n ds s

n N n n


k kE A E E A E A E

κ γν γ

γν γ

=+

=−

=+

=−

−= + − − +

−+ − −

∑

∑

onde κ assume o valor 1 no caso de o carregamento se localizar na camada em análise, e 0

nos restantes casos.

3.5.3 - Construção da matriz de sistema e vector de carregamento para alguns casos

As matrizes acima definidas para camadas sólidas e fluidas podem agora ser usadas

para construir a matriz de sistema para sistemas físicos com diferentes configurações.

Apresentam-se, de seguida, alguns exemplos de aplicação da metodologia proposta neste

capítulo.

3.5.3.1 - Sistema com uma camada sólida, constituída por múltiplas subcamadas e limitada inferior e superiormente por dois meios fluidos semi-infinitos

Considere-se um sistema onde existe uma camada sólida, constituída por um número j

de subcamadas, também sólidas, com distintas propriedades mecânicas e espessuras, e

limitada superior e inferiormente por dois meios fluidos semi-infinitos. Se no meio fluido

100

superior, em 0 0( , )x y (ver Figura 3.6), actuar uma carga de pressão, a matriz de sistema pode

ser construída impondo as seguintes condições de fronteira:

Na fronteira superior: sup1 1 1

sup 1

,sup ,sup ,sup

,sup

0; 0;xy zy yy

y y y

fs s s inc

f s incu u u

σ σ σ σ σ= = − = −

− = −

Em cada interface entre as sub-camadas i e i+1: 1 1 1

1 1 1

, , , , , ,

, , , , , ,

0; 0; 0

0; 0; 0

i i i i i i

xy xy zy zy yy yy

i i i i i i

x x y y z z

s base s topo s base s topo s base s topo

s base s topo s base s topo s base s topou u u u u u

σ σ σ σ σ σ+ + +

+ + +

− = − = − =

− = − = − = (3.43)

Na fronteira inferior:

2

, , ,

,

0; 0; 0

0

j j j base

xy zy

j

y y

s base s base s base f

s base fu u

σ σ σ σ= = − =

− =

x

y

0 0O ( , )x y

ρs1; α s1; βs1

ρf,sup; α f,sup

h1

ρs2; α s2; βs2

ρf,inf; α f,inf

ρsj; α sj;βsj

h2

hj

(z)

.....

Figura 3.6: Representação gráfica de um sistema constituído por uma camada sólida, com múltiplas sub-camadas também sólidas, e limitada inferior e superiormente por dois meios fluidos semi-infinitos. Este sistema é iluminado por uma carga de pressão, localizada no fluido superior em 0 0( , )x y .

Para cada uma das subcamadas sólidas, a matriz individual isa pode ser definida de

acordo com a formulação indicada anteriormente para o caso de carregamentos que actuam

segundo a direcção y ou em meios fluidos. No entanto, os meios fluidos semi-infinitos

constituem um caso particular do procedimento indicado. A definição das suas matrizes

101

individuais deve ser efectuada considerando apenas a parte relevante da matriz individual

correspondente a uma camada fluida. Assim, para os meios fluidos semi-infinitos superior e

inferior, teremos

sup 1

( 3...4, 2)f f

k la a = ==

inf 2( 1...2, 1)

f fk la a = == ,

(3.44)

onde 1fa e 2fa são matrizes individuais calculadas para camadas fluidas com as mesmas

propriedades físicas dos meios considerados. Estas últimas matrizes podem ser obtidas

considerando uma qualquer espessura fh para estas camadas, já que os termos relevantes para

o caso dos meios semi-infinitos são independentes deste parâmetro.

A matriz de sistema, A , será então:

1

1

sup 1

sup 1

1 2

2

( 1, 1...6)

( 2, 1...6)

1 ( 3, 1...6)

2 ( 5, 1...6)

( 7..12, 1...6) ( 1...6, 1...6)

( 7...12, 1...6)

(

0 0 ...0 0 ...

0 ... 0

0 ...0 ...0 0 ...... ... ... ... ... ... ...

...

sk l

sk l

f sk l

f sk l

s sk l k l

sk l

k

aa

a a

a aa a

a

Aa

= =

= =

= =

= =

= = = =

= =

−−

−

−−

=− 1

1

inf

inf

1...6, 1...6)

( 7...12, 1...6) ( 1...6, 1...6)

( 7, 1...6)

( 8, 1...6)

( 9, 1...6) 1

( 11, 1...6) 2

0

... 0

... 0 0

0 ... 0 0

... 0

... 0

j

j j

j

j

j

j

sl

s sk l k l

sk l

sk l

s fk l

s fk l

a a

a

a

a a

a a

−

−

= =

= = = =

= =

= =

= =

= =

−

−

−

. (3.45)

Por último, o sistema de equações A X B= , com 2 6j+ × equações e 2 6j+ ×

incógnitas, fica definido estabelecendo os vectores de incógnitas ( X ) e de carregamento ( B ),

sup 1 1 inf,1 ,6,1 ,6... ... ...j jTf s ss s f

n n n n n nX A A A A A A =

[ ]1 20 0 0 ... ... 0 TB b b= − − . (3.46)

102

No vector de carregamento, os termos 1b e 2b são definidos pelas expressões indicadas

aquando da definição do vector de carregamento para uma camada fluida.

No caso específico que foi aqui abordado, considerou-se que o sistema físico era

excitado por uma carga de pressão localizada no meio fluido superior. A metodologia a usar

na definição do sistema de equações no caso de outros carregamentos, actuando em camadas

sólidas ou fluidas, é em tudo semelhante à apresentada, devendo, no entanto, ser usadas as

matrizes individuais de camada e vectores de carregamento definidos em subsecções

anteriores especificamente para cada carregamento.

3.5.3.2 - Sistema com três camadas sólidas separadas por camadas fluidas e limitadas inferior e superiormente por dois meios fluidos semi-infinitos

Analise-se agora um sistema onde existem três camadas sólidas, com espessuras 1h , 3h

e 5h , separadas por duas camadas fluidas com espessuras 2h e 4h , sendo o conjunto limitado

superior e inferiormente por dois meios fluidos semi-infinitos. Considerando que, no meio fluido superior, em 0 0( , )x y (ver Figura 3.7), actua uma carga de pressão, a matriz de sistema

pode ser construída impondo condições de fronteira que são de continuidade de deslocamentos e tensões normais e de tensões tangenciais nulas em cada interface entre dois meios.

x

y

0 0O ( , )x y

ρs1; α s1; βs1

ρf,sup; α f,sup

h1

ρs2; α s2; βs2

ρs3; α s3; βs3

ρf1; α f1

ρf2; α f2

ρf,inf; α f,inf

h2

h3

h4

h5

(z)

Figura 3.7: Representação gráfica de um sistema constituído por três camadas sólidas, separadas por camadas

fluidas, e limitadas inferior e superiormente por dois meios fluidos semi-infinitos. Este sistema é iluminado por uma carga de pressão, localizada no fluido superior em 0 0( , )x y .

103

As matrizes individuais de cada camada sólida ( isa ) ou fluida ( ifa ) são, novamente,

definidas de acordo com o procedimento descrito anteriormente para o caso de cargas que

actuam segundo a direcção y em camadas sólidas, ou para o caso de cargas de pressão em

meios fluidos, enquanto que, para os meios fluidos semi-infinitos, as matrizes que traduzem o

seu comportamento podem ser definidas recorrendo à metodologia indicada para o caso

anterior. Nestas condições, a matriz A que traduz o comportamento dinâmico do sistema é

1

1

sup 1

sup 1

1

1 1

2

1 2

( 1, 1...6)

( 2, 1...6)

1 ( 3, 1...6)

2 ( 5, 1...6)

( 7,8, 1...6)

( 9,11, 1...6) ( 1,2, 1,2)

( 1,2, 1...6)

( 3,4, 1,2) ( 3,5, 1...6)

(

00

00 00

0

sk l

sk l

f sk l

f sk l

sk l

s fk l k l

sk l

f sk l k l

k

aa

a a

a aaa a

aa aA

a

= =

= =

= =

= =

= =

= = = =

= =

= = = =

−−

−

−

−−−=

2

2 2

3

32

3

3

3 inf

3 inf

7,8, 1...6)

( 9,11, 1...6) ( 1,2, 1,2)

( 1,2, 1...6)

( 3,4, 1,2) ( 3,5, 1...6)

( 7, 1...6)

( 8, 1...6)

( 9, 1...6) 1

( 11, 1...6) 2

0

0

0 00

sl

s fk l k l

sk l

sfk l k l

sk l

sk l

s fk l

s fk l

a aa

a aaaa aa a

= =

= = = =

= =

= = = =

= =

= =

= =

= =

−−−

−−

.

(3.47)

O sistema de equações A X B= , com 24 equações a 24 incógnitas, fica definido

estabelecendo os vectores de incógnitas ( X ) e de carregamento ( B ),

sup 3 31 1 1 1 2 2 2 2 inf,1 ,6,1 ,6 ,1 ,2 ,1 ,6 ,1 ,2.. .. ..Tf s ss s f f s s f f f

n n n n n n n n n n n nX A A A A A A A A A A A A =

[ ]1 20 0 0 ... ... 0 TB b b= − − , (3.48)

onde 1b e 2b são definidos como indicado aquando da definição do vector de carregamento

para uma fonte de ondas de pressão a actuar numa camada fluida.

104

O procedimento aqui indicado para definir o sistema de equações refere-se ao caso

específico de um sistema excitado por uma carga de pressão localizada no meio fluido

superior. É importante referir que, no caso de outros carregamentos distintos, actuando em

camadas sólidas ou fluidas, o processo de construção do sistema de equações é em tudo

semelhante ao apresentado, devendo, nesse caso, ser usadas as matrizes individuais e os

vectores de carregamento definidos em subsecções anteriores para os diferentes

carregamentos.

3.5.4 - Verificação das soluções

Por forma a verificar a validade da metodologia proposta, procede-se à comparação

dos resultados por ela fornecidos com os que se obtêm por aplicação do Método dos

Elementos de Fronteira. Refira-se que este último método de cálculo, que será objecto de uma

descrição detalhada no Capítulo 4, requer a discretização de todas as interfaces entre as

diferentes camadas que constituem o sistema, implicando, por isso, tempos de cálculo

bastante avultados. Adicionalmente, para ser possível a sua aplicação é necessário truncar esta

discretização, realizando-a com recurso a um número finito de elementos. Para tal, verifica-se

ser necessário fazer uso de amortecimento, introduzido na forma de uma componente

imaginária da frequência (Bouchon, 1979; Phinney, 1965). Se a componente imaginária da

frequência for dada por icω ω η= − , com 20.7Tπη = , sendo T o período, então as fronteiras

existentes deverão ser discretizadas numa extensão 2L , com L Tα= (veja-se António, 2002).

No contexto do presente trabalho optou-se por usar o valor 0.0466 sT = (veja-se também

António, 2002).

Embora a verificação das soluções tenha sido feita para um conjunto alargado de casos

e configurações, toma-se, a bem da brevidade necessária num trabalho desta índole, a opção

de apenas apresentar alguns resultados calculados para uma configuração específica. Assim,

os resultados que de seguida se apresentam resultam da simulação de um sistema físico

constituído pela seguinte sequência de camadas, com diferentes propriedades:

- um meio fluido semi-infinito, com massa volúmica 1 31000 kg/mfρ = e permitindo

a propagação de ondas de pressão com uma velocidade 1 1500 m/sfα = ;

105

- uma camada de material sólido, com uma espessura de 2.0 m, de massa volúmica 1 31400 kg/msρ = , e onde as ondas P e S se propagam com velocidades de 1 2182.2 m/ssα = e 1 1336.3 m/ssβ = , respectivamente;

- um meio sólido semi-infinito, com massa volúmica 2 3800 kg/msρ = e onde as

ondas P e S se propagam com velocidades de 2 1789.7 m/ssα = e 2 1118.0 m/ssβ = ,

respectivamente.

Considera-se que este sistema é excitado por uma fonte linear, com variação

sinusoidal segundo z definida por 0.0 rad/mzk = ou por 0.6 rad/mzk = , e que pode localizar-se

no meio fluido, na posição (0.0, 4.0)− , ou na camada sólida, na posição (0.0,0.5) . Quando a

carga se localiza na camada sólida, consideram-se três hipóteses distintas de carregamento,

correspondentes a cargas que actuam segundo a direcção x, y ou z. Para todas as hipóteses de

carregamento, calculam-se as pressões registadas num receptor localizado no meio fluido em

(4.0, 2.5)− . Uma representação esquemática da situação descrita apresenta-se na Figura 3.8.

x

y

O1(0.0, 4.0)−

ρs2; α s2; βs2

ρs1; α s1; βs1

ρf1; α f1

O2(0.0,0.5)2.0m

R (4.0,2.5)

Figura 3.8: Representação gráfica do sistema onde há uma camada sólida limitada superiormente por um meio fluido semi-infinito, e inferiormente por um meio sólido semi-infinito. Representam-se na figura as diferentes hipóteses de posicionamento da fonte de excitação e a posição do receptor.

Na Figura 3.9 apresenta-se a pressão acústica registada no receptor R para

carregamentos definidos por 0.0 rad/mzk = , correspondendo à propagação bidimensional de

ondas. Nos gráficos que integram esta figura representa-se a resposta obtida com recurso à

formulação proposta, através de linhas contínuas para a parte real e linhas tracejadas para a

parte imaginária, e ao Método dos Elementos de Fronteira, através de marcas circulares para a

parte real e marcas quadradas para a parte imaginária. Para este último método, o número

mínimo de elementos usados para discretizar cada fronteira foi de 120. Note-se que, para esta

situação, a resposta para cargas que actuam segundo a direcção z é nula, pelo que apenas se

apresentam os resultados correspondentes aos restantes carregamentos.

106

-0.10

-0.05

0

0.05

0.10

0 100 200 300

Frequência (Hz)

Am

plitu

de

a)

-0.050

-0.025

0

0.025

0.050

0 100 200 300

Frequência (Hz)

Am

plitu

de

b)

-0.050

-0.025

0

0.025

0.050

0 100 200 300

Frequência (Hz)

Am

plitu

de

c)

Figura 3.9: Resposta registada no receptor R para diferentes carregamentos correspondentes a cargas de pressão no fluido (a), cargas no sólido que actuam segundo a direcção x (b) e segundo a direcção y (c). Para todas as situações, apresenta-se a parte real (linha contínua e marcas circulares) e a parte imaginária da resposta (linha tracejada e marcas quadradas).

Quando 0.0 rad/mzk = , os resultados apresentados revelam uma excelente

concordância entre as respostas fornecidas por ambos os métodos, indicando que a

metodologia proposta pode ser aplicada para simular, com rigor, a propagação de ondas em

meios bidimensionais.

Os gráficos da Figura 3.10 apresentam as pressões acústicas registadas no receptor R

para carregamentos definidos por 0.6 rad/mzk = . Fisicamente, esta situação corresponde à

actuação de um carregamento 2.5D que gera ondas com uma inclinação de ( )arccos /zk c ω ,

sendo c a velocidade de propagação. A simbologia utilizada nestes gráficos é, em tudo,

idêntica à que se usou na Figura 3.9.

107

Quando 0.6 rad/mzk = , verifica-se, uma vez mais, uma perfeita concordância entre as

soluções obtidas recorrendo aos dois métodos, indicando que a metodologia apresentada pode

ser usada para a análise de sistemas estratificados sujeitos a carregamentos 2.5D.

-0.050

-0.025

0

0.025

0.050

0 100 200 300

Frequência (Hz)

Ampl

itude

a)

-0.050

-0.025

0

0.025

0.050

0 100 200 300

Frequência (Hz)

Ampl

itude

b)

-0.050

-0.025

0

0.025

0.050

0 100 200 300

Frequência (Hz)

Am

plitu

de

c)

-0.050

-0.025

0

0.025

0.050

0 100 200 300

Frequência (Hz)

Am

plitu

de

d) Figura 3.10: Resposta registada no receptor R para diferentes carregamentos com kz=0.6 rad/m correspondentes a

cargas de pressão no fluido (a), cargas no sólido que actuam segundo a direcção x (b), segundo a direcção y (c) e segundo a direcção z (d). Para todas as situações, apresenta-se a parte real (linha contínua e marcas circulares) e a parte imaginária da resposta (linha tracejada e marcas quadradas).

Note-se que o sistema físico escolhido para proceder à verificação da metodologia

permitiu constatar a correcção de todas as matrizes e vectores de carregamento apresentados

até aqui, já que contempla as condições de fronteira relativas a interfaces sólido-fluido e a

interfaces sólido-sólido, assim como as situações de carregamento que se referem a cargas de

pressão no fluido e cargas no sólido segundo as diferentes direcções.

108

3.6 - NOTAS FINAIS Definiu-se, neste Capítulo, uma metodologia genérica de análise do comportamento

dinâmico de sistemas estratificados constituídos por uma sequência qualquer de camadas

sólidas e fluidas, com diferentes espessuras e propriedades. A metodologia proposta recorre à

definição de uma matriz que representa o comportamento do sistema, construída a partir de

matrizes individuais que descrevem o comportamento dinâmico de cada camada, matriz essa

que permite ter em conta as diferentes interacções entre camadas. Aplicando este processo, a

resposta de um sistema estratificado sujeito a uma carga linear com variação sinusoidal

segundo a direcção do seu eixo pode ser escrita na forma de um somatório dos efeitos de

ondas planas com diferentes inclinações. A aplicação da metodologia foi exemplificada para

alguns casos específicos, através da construção das matrizes de comportamento que lhes

correspondem. Todo o procedimento de cálculo foi convenientemente validado, comparando,

para um caso específico, os resultados que fornece com os que são calculados por aplicação

do Método dos Elementos de Fronteira.

É importante referir que a formulação apresentada no Capítulo que agora termina

encontra aplicação directa em alguns casos práticos do domínio da acústica, da oceanografia e

da sismologia. Adicionalmente, é, também, potencialmente interessante a sua integração com

métodos numéricos, como o Método dos Elementos de Fronteira, já que as soluções que se

definiram poderão funcionar em conjunto com estas técnicas na forma de funções de Green,

evitando a discretização das fronteiras entre camadas num meio estratificado.

109


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113

CAPÍTULO 4

MÉTODO DOS ELEMENTOS DE FRONTEIRA PARA A

PROPAGAÇÃO DE ONDAS EM MEIOS FLUIDOS E

SÓLIDOS

4.1 - INTRODUÇÃO

Em capítulos anteriores apresentaram-se já alguns modelos que permitem o estudo da

propagação de ondas em meios acústicos e em meios elásticos com configurações

geométricas simples, tendo por base a resolução analítica das equações que governam este

fenómeno. No entanto, no caso geral a geometria do meio de propagação poderá apresentar-se

mais complexa, inviabilizando, por isso, a aplicação daqueles modelos.

Uma alternativa possível aos modelos apresentados, que permite a simulação de meios

com geometrias genéricas, é a utilização de métodos numéricos baseados na discretização

total ou parcial do meio de propagação ou das suas fronteiras. Alguns desses métodos são o

Método dos Elementos Finitos, o Método das Diferenças Finitas e o Método dos Elementos

de Fronteira (Boundary Elements Method – BEM). Destes, os dois primeiros são,

provavelmente, os mais divulgados, em virtude de virem sendo desenvolvidos há bastante

tempo e de exigirem uma formulação matemática menos complexa. São, por isso, actualmente

114

aplicados em diversas áreas da engenharia para estudo de diversos fenómenos. Uma outra

alternativa à utilização isolada destas técnicas consiste na aplicação de métodos híbridos, que

integram dois ou mais métodos numéricos e tentam tirar partido das vantagens particulares de

cada um deles. Exemplos da aplicação deste tipo de método encontram-se em diversos

domínios, como a estática (Aliabadi, 2002) ou a acústica (von Estorff, 2000).

No estudo do fenómeno da propagação de ondas verifica-se, no entanto, que o BEM

poderá ser o método com maiores potencialidades, em particular no caso de se pretender

estudar sistemas infinitos ou semi-infinitos. De facto, o BEM apenas requer a discretização

das fronteiras de eventuais descontinuidades existentes no meio de propagação, evitando a

discretização deste meio que é necessária à aplicação dos restantes métodos. Neste aspecto, a

utilização do BEM pode representar mesmo um acréscimo de rigor, uma vez que, ao basear-se

em soluções fundamentais que se mantêm válidas no infinito, não introduz erros adicionais

provenientes do truncamento da discretização do meio. É ainda importante referir que, após

conhecimento da solução sobre as fronteiras discretizadas, a resposta do sistema em qualquer

ponto pode ser calculada a partir dessas soluções. A determinação da resposta do sistema em

qualquer número de pontos interiores pode ser feita sem perda de rigor com base na solução já

conhecida sobre a fronteira, não requerendo, por isso, uma nova resolução de todo o

problema.

Embora as vantagens referidas sejam significativas, verifica-se que o BEM apresenta

também alguns inconvenientes, que podem comprometer ou desincentivar a sua aplicação.

Pelo facto de apenas recorrer à discretização da fronteira, o número de elementos necessário

para proceder a uma simulação é bastante mais reduzido. No entanto, a matriz de sistema que

serve de base à determinação das diferentes grandezas sobre a fronteira discretizada não é

uma matriz em banda, ou sequer uma matriz simétrica; tal facto inviabiliza a aplicação de

algumas técnicas mais eficientes para a resolução do sistema de equações, e aumenta os

recursos computacionais necessários ao seu armazenamento. Uma outra dificuldade, que pode

revelar-se importante, prende-se com a complexidade da formulação matemática do método.

Na sua base está o uso de soluções analíticas calculadas para a situação em que, no meio em

análise, não existem descontinuidades. Estas soluções, denominadas de funções de Green,

podem revelar-se de obtenção bastante difícil, em particular quando se pretender considerar

sistemas não lineares ou heterogéneos. Além disso, o uso do BEM requer a avaliação de um

conjunto de integrais ao longo da fronteira discretizada, estando o rigor dos resultados obtidos

muito dependente da forma como se efectuam estas integrações. A avaliação rigorosa destes

integrais constitui uma das dificuldades no estabelecimento do BEM, e levou alguns autores a

115

desenvolver expressões analíticas e esquemas numéricos que permitem efectuar estas

integrações com exactidão (Sladek e Sladek, 1998; Tadeu et al, 1999a; Tadeu et al, 1999b).

As características que se enumeraram têm levado a comunidade científica a

desenvolver e aprofundar o BEM, tentando tirar partido das suas vantagens e procurando

obviar os seus inconvenientes. As formulações de elementos de fronteira actualmente

existentes podem dividir-se em dois grupos: as formulações directas e as formulações

indirectas (IBEM). As primeiras são, possivelmente, as mais usadas, baseando-se em

representações integrais do teorema da reciprocidade. Da sua aplicação resulta, directamente,

a obtenção de quantidades físicas como deslocamentos ou tensões. O IBEM é, pelo contrário,

formulado recorrendo à definição de fontes de densidade fictícia, sendo as quantidades físicas

relevantes calculadas posteriormente. Diversos autores apresentaram formulações do BEM e

do IBEM que permitem o estudo da propagação de ondas em meios com geometria

bidimensional (Brebbia e Mansur, 1987; Ahmad e Banerjee, 1988a; Beskos, 1991; Wang e

Takemiya, 1992; Abreu et al, 2003) ou tridimensional (Ahmad e Manolis, 1987; Ahmad e

Banerjee, 1988b; Kim e Papageorgiou, 1993). Trabalhos de referência, como os de Beskos

(1987), Manolis e Beskos (1988), Beskos (1993), Beskos (1997), Wu (2000), Aliabadi (2002)

ou Wrobel (2002), resumem algumas das técnicas e dos desenvolvimentos recentes mais

significativos relativos a estas formulações.

A análise da propagação de ondas em meios não homogéneos e em meios não

isotrópicos interessou, também, diversos investigadores. Representações da equação integral

de fronteira e respectivas soluções fundamentais para o caso da propagação de ondas em

meios anisotrópicos, viscoelásticos e poroelásticos foram já desenvolvidas, destacando-se os

trabalhos de Kögl (2000), de Kögl e Gaul (2000), de Gaul e Kögl (2003) e de Schanz (2001).

Um outro caso particular que se reveste de grande interesse prático é o de meios de

propagação com geometria bidimensional, mas excitados por fontes tridimensionais. Para este

caso, a solução pode ser calculada partindo da resolução de uma sequência de problemas

bidimensionais para diferentes números de onda axial, de acordo com a formulação teórica

apresentada no Capítulo 2. A aplicação deste processo de cálculo em conjunto com o BEM foi

já desenvolvida por diversos autores. Para o caso de meios acústicos indicam-se, a título de

exemplo, os trabalhos de Tadeu e Godinho (1999) e de Godinho et al (2000), onde se utiliza

uma formulação 2.5D do BEM para estudar a propagação de ondas de pressão num fluido

infinito e num canal hidráulico que contém inclusões rígidas. A aplicação desta técnica em

meios elásticos, contendo ou não inclusões sólidas ou fluidas, foi também já levada a cabo,

116

destacando-se os trabalhos de Pedersen et al (1994), Stamos e Beskos (1996), Godinho e

Tadeu (2002) e António (2002).

No presente Capítulo apresenta-se a formulação de modelos de elementos de fronteira

que permitem o estudo da propagação de ondas em meios sólidos e fluidos com geometria

bidimensional sujeitos a carregamentos tridimensionais. Os modelos que aqui se apresentam

permitirão, directamente, o estudo de algumas situações práticas relacionadas com a aplicação

de técnicas não destrutivas de detecção e identificação. Além disso, eles serão, em capítulos

seguintes, integrados com as soluções definidas no Capítulo 3, permitindo a análise de

sistemas estratificados contendo inclusões, recorrendo apenas à discretização destas últimas.

Define-se, em primeiro lugar, a formulação do BEM para o caso geral,

particularizando-a, depois, para os casos de meios sólidos e de meios fluidos. Abordam-se,

então, os casos de uma inclusão rígida inserida num meio fluido, de uma inclusão preenchida

por um fluido inserida num meio sólido, de uma inclusão sólida inserida num meio sólido, de

um anel sólido inserido num meio fluido e preenchido por outro fluido, e ainda de um anel

sólido inserido num meio sólido e preenchido por um fluido. Apresentam-se as formulações

de elementos de fronteira para os casos referidos, verificando a sua correcção através da

comparação dos resultados com os que se calculam através dos modelos apresentados no

Capítulo 2.

4.2 – FORMULAÇÃO GERAL DO MÉTODO DOS ELEMENTOS DE FRONTEIRA

Diversos trabalhos de referência abordaram já o estabelecimento da formulação do

BEM para o caso geral (Brebbia, 1984; Brebbia e Dominguez, 1989; Banerjee, 1994). No

caso específico da propagação de ondas acústicas e de ondas elásticas destacam-se os

trabalhos de Wu (2000) e de Beskos (1997), respectivamente. Apesar da ampla bibliografia

disponível sobre o assunto, julga-se oportuno apresentar o procedimento matemático que

conduz ao estabelecimento do método.

117

A formulação geral do BEM pode ser estabelecida com base no teorema da

reciprocidade, ou teorema de Betti. Considere-se, então, um sistema real, com uma inclusão

de forma qualquer preenchida por um material elástico e homogéneo, ocupando um volume V

e com uma superfície de fronteira S. Neste sistema real, a inclusão encontra-se sujeita a um

carregamento constituído por forças de volume (b) e por tensões ao longo da sua superfície

(t). Considere-se ainda o mesmo sistema físico, mas agora com a inclusão sujeita a um

qualquer carregamento virtual (que será assinalado por asterisco). Segundo o teorema da

reciprocidade, o trabalho realizado pelas forças do sistema real sobre os deslocamentos do

sistema virtual é igual ao trabalho realizado pelas forças do sistema virtual sobre os

deslocamentos do sistema real, ou seja,

* * * *t u b u t u b u

S V S V

dS dV dS dV+ = +∫ ∫ ∫ ∫ , (4.1)

onde u representa os deslocamentos.

Considerando que, no sistema real, não existem forças de volume, ou seja, que b 0= , a

equação (4.1) pode ser simplificada, tomando a forma

* * *t u t u b u

S S V

dS dS dV= +∫ ∫ ∫ . (4.2)

Considere-se, agora, que o carregamento virtual é representado matematicamente pela

função delta de Dirac, ( )Q Px xδ − , em que xP representa o ponto sujeito ao carregamento

virtual e xQ um ponto genérico pertencente ao volume V. A definição matemática desta função

permite estabelecer as seguinte propriedades:

0( )

( ) 1.

p QQ P

p Q

Q PV

x xx x

x x

x x dV

δ

δ

→ ≠− = ∞ → =

− =∫ (4.3)

Atendendo a estas propriedades, o integral da equação (4.2) correspondente às forças

de volume do sistema virtual reduz-se a

118

*b u ( )u u( )Q P PV V

dV x x dV xδ= − =∫ ∫ . (4.4)

Assim, tomando um ponto no interior da inclusão inicialmente definida, a equação

(4.2) pode ainda ser simplificada, escrevendo-se como

* *t u t u u( )P

S S

dS dS x= +∫ ∫ . (4.5)

Se, em lugar de um ponto interior, se tomar um qualquer ponto localizado sobre a

fronteira da inclusão, esta equação toma a forma

* *t u t u u( )PQ P

S S

dS dS C x= +∫ ∫ . (4.6)

Na equação (4.6) o termo CPQ é uma constante, cujo valor depende apenas das

características da fronteira no ponto e da posição do carregamento. Considerando a

configuração genérica representada na Figura 4.1, teremos que a constante CPQ é dada por

2

PPQ PQC θ δ

π= , em que PQδ é a função delta de Kronecker. (4.7)

P

θ P

Figura 4.1: Representação esquemática de parte de uma fronteira, na vizinhança do ponto (P) onde se realiza a transição entre dois troços rectos contíguos que fazem entre si um ângulo pθ .

As expressões que até aqui se apresentaram permitiram a definição da designada

equação integral de fronteira (equação (4.6)). Esta equação constitui a base da formulação

genérica do BEM. Partindo dela, e também da equação (4.5), e realizando as necessárias

adaptações, torna-se possível a aplicação do BEM como ferramenta numérica que permite o

estudo de diferentes fenómenos físicos. No contexto do presente trabalho, será desenvolvida

119

esta formulação por forma a permitir a sua aplicação ao estudo do fenómeno da propagação

de ondas em meios constituídos por materiais fluidos e por materiais sólidos. Será abordado o

caso particular de sistemas com geometria bidimensional sujeitos à acção de carregamentos

de 2.5D.

4.2.1 – Método dos Elementos de Fronteira para o estudo da propagação de ondas em meios sólidos

Considere-se um meio sólido, infinito e homogéneo, que contém no seu interior uma

inclusão, também elástica, com fronteira S. No caso particular da propagação de ondas em

meios com estas características, a equação (4.6) pode ser escrita em função de cargas que

actuam no ponto xP segundo três direcções ortogonais. Considere-se que estas direcções

correspondem a um sistema local de coordenadas, definido em cada ponto da fronteira a partir

das direcções normal (1), tangencial (2) e z (3). Assim, considerando a aplicação de uma

carga virtual unitária em xP, que actua segundo a direcção i, chega-se à seguinte equação

integral de fronteira:

3 3

* *

1 1t ( )u ( , ) t ( , ) u ( ) u ( )j ij ij j iP P P

j jS S

x x x dS x x x dS C x= =

= +∑ ∑∫ ∫ , (4.8)

onde: t ( )j x e u ( )j x são, respectivamente, a tensão e o deslocamento segundo j registados no

ponto x da fronteira; u ( )i Px é o deslocamento segundo i registado no ponto Px do mesmo

sistema; *t ( , )ij Px x e *u ( , )ij Px x são, respectivamente, as tensões e os deslocamentos gerados em

x por aplicação da carga virtual unitária em Px ; 2

PC θπ

= , assumindo, no caso de uma fronteira

suave, o valor 1 2C = ; i e j assumem os valores 1, 2 ou 3, consoante se considerem as

direcções normal, tangencial e z, respectivamente.

A definição de *t ( , )ij Px x e *u ( , )ij Px x implica o conhecimento prévio das soluções

fundamentais, ou funções de Green, que definem o campo de deslocamentos e tensões gerado

por cargas unitárias que actuam em meios sólidos infinitos. Estas soluções foram já

apresentadas, em termos de deslocamentos, nas equações (3.6), para o caso de sistemas com

120

geometria bidimensional e excitados por carregamentos 2.5D, oscilando com uma frequência

ω e com uma variação sinusoidal ao longo do eixo z, definida pelo número de onda zk . A sua

definição em termos de tensões pode ser realizada relacionando extensões com tensões, com

recurso à lei de Hooke. Apresentam-se no Apêndice A1 as extensões que permitem o seu

estabelecimento.

No caso geral, em que a forma da fronteira da inclusão é qualquer, a equação (4.8) não

tem solução analítica conhecida. No entanto, se essa fronteira for discretizada num conjunto

de N troços rectos, designados por elementos de fronteira, a equação pode escrever-se

3 3

* *

1 1 1 1

t ( )u ( , ) t ( , )u ( , ) u ( )n n

N N

j ij n ij j n in P n P n P n Pj n j nS S

x x x dS x x x x dS C x= = = =

= +∑∑ ∑∑∫ ∫ , (4.9)

onde nx é um ponto sobre o troço recto da fronteira nS .

Se, adicionalmente, se considerar a actuação de uma fonte de pressão, localizada no

ponto 0x do meio sólido, cujo efeito no ponto Px seja definido por u ( )inci Px , essa equação

transforma-se em

3

*0

1 1

3*

1 1

t ( )u ( , ) u ( , )

t ( , )u ( ) u ( ).

n

n

Ninc

j ij n in P n Pj n S

N

ij j n iP n n Pj n S

x x x dS x x

x x x dS C x

= =

= =

+ =

= +

∑∑∫

∑∑ ∫ (4.10)

Considerando que as tensões e deslocamentos num elemento de fronteira são

representadas pelos valores registados em M pontos interiores ao elemento (nós), e que a sua

variação ao longo de um elemento pode ser definida por funções de interpolação φ , pode

escrever-se a equação

3

, *0

1 1 1

3, *

1 1 1

t u ( , ) u ( , )

u t ( , ) u ( ),

n

n

N Mn m m incj ij iP n P

j n m S

N Mn m mj ij iP n P

j n m S

x x dS x x

x x dS C x

φ

φ

= = =

= = =

+ =

= +

∑∑∑ ∫

∑∑∑ ∫ (4.11)

121

onde ,tn mj e ,un m

j representam as tensões e os deslocamentos segundo j, no nó m do elemento

de fronteira n. Esta equação estabelece o Método dos Elementos de Fronteira para a

propagação de ondas em meios sólidos. Particularizando-a para o caso de elementos de

fronteira com um só nó, e onde, por isso, a função de interpolação é constante, obtém-se

3 3

* *0

1 1 1 1

t u ( , ) u ( , ) u t ( , ) u ( )n n

N Nn inc nj ij n i j ij n iP n P P n P

j n j nS S

x x dS x x x x dS C x= = = =

+ = +∑∑ ∑∑∫ ∫ . (4.12)

A aplicação sequencial de um carregamento em cada um dos nós da fronteira conduz

ao estabelecimento de 3xN equações com esta forma. Para definir estas equações, é

necessário proceder à avaliação dos integrais *u ( , )n

ij nP nS

x x dS∫ e *t ( , )n

ij nP nS

x x dS∫ sobre cada

elemento de fronteira. Para tal, recorre-se a integrações analíticas, conhecidas para o caso em

que o ponto carregado se localiza sobre o elemento a integrar, ou à quadratura de

Gauss-Legendre, nos restantes casos.

4.2.2 – Método dos Elementos de Fronteira para o estudo da propagação de ondas em meios fluidos

Considere-se, agora, um meio fluido, infinito e homogéneo, que contém no seu interior

uma inclusão. A particularização da equação (4.6) para o caso da propagação de ondas de

pressão em meios fluidos permite escrever a equação integral de fronteira, ao longo da

fronteira S da inclusão, como

* *g( )p ( , ) g ( , )p( ) p( )P P P

S S

x x x dS x x x dS C x= +∫ ∫ , (4.13)

onde p( )x e g( )x representam a pressão e o seu gradiente na direcção normal à fronteira da

inclusão no ponto x , e Pp( )x representa a pressão no ponto de aplicação do carregamento

virtual.

Por forma a poder ser aplicado o BEM à resolução desta equação, torna-se necessário

o conhecimento prévio das soluções fundamentais, ou funções de Green, que definem o

122

campo de pressões gerado por cargas unitárias localizadas em meios fluidos. Para o caso de

cargas lineares 2.5D, oscilando com uma frequência ω e com uma variação sinusoidal ao

longo do eixo z, definidas pelo número de onda nessa direcção ( zk ), actuando em meios

fluidos com geometria bidimensional, essa solução é

( )* (2)0

ip ( , ) H4 fPx x k rα= − , (4.14)

onde ( )2 2f f zk kα ω α= − , com Im( ) 0fkα ≤ , e r é a distância do ponto Px de aplicação da

carga ao ponto x . Da mesma forma, definindo ν como a normal à fronteira no ponto a

integrar, a sua derivada pode definir-se como

( )* (2)1

ig ( , ) H

4f

fP

kp rx x k rααν ν

∂ ∂= =∂ ∂

. (4.15)

Em lugar da utilização do gradiente de pressões, pgν

∂=∂

, é usual recorrer-se à

representação da equação (4.13) em função de pressões e velocidades das partículas segundo

a direcção normal à fronteira ( vν ), ou de pressões e deslocamentos também segundo a normal

à fronteira ( uν ). Partindo das relações 1 pviν ρω ν

∂= −∂

e 2

1 puν ρω ν∂= −∂

, onde ρ é a massa

volúmica do meio fluido, estas duas formulações conduzem, respectivamente, à definição das

equações integrais de fronteira

* *i p ( , )v ( ) p( )g ( , ) p( )P P P

S S

x x x dS x x x dS C xνρω− = +∫ ∫ (4.16)

2 * *p ( , )u ( ) p( )g ( , ) p( )P P PS S

x x x dS x x x dS C xνρω− = +∫ ∫ . (4.17)

A formulação em termos de pressões e velocidades, representada na equação (4.16), é

a mais usada, em particular quando se pretende simular sistemas onde apenas existem

materiais fluidos. No entanto, o recurso a uma formulação cujas grandezas de base sejam as

pressões e os deslocamentos apresenta-se vantajosa no caso de existirem fronteiras que

separam um meio fluido de um meio sólido, já que estas grandezas facilitam a imposição das

123

condições de fronteira naturais para essa situação. Por esse motivo, toma-se a opção de

utilizar, ao longo de toda a dissertação, a formulação que recorre à equação integral de

fronteira (4.17).

Verifica-se que, no caso geral, a equação (4.17) não tem solução analítica. No entanto,

discretizando a fronteira num conjunto de N troços rectos, esta equação pode ser escrita

como

2 * *

1 1

p ( , )u ( ) p( )g ( , ) p( )n n

N N

n nP n n n P n Pn nS S

x x x dS x x x dS C xνρω= =

− = +∑ ∑∫ ∫ . (4.18)

Considerando, agora, a actuação de uma fonte de pressão, localizada no ponto 0x do

meio fluido e cujo efeito no ponto Px seja definido por p ( )inc Px , essa equação transforma-se

em

2 *0

1

*

1

p ( , )u ( ) p ( , )

p( )g ( , ) p( ) .

n

n

N

n incP n n Pn S

N

nn P n Pn S

x x x dS x x

x x x dS C x

νρω=

=

− + =

= +

∑∫

∑ ∫ (4.19)

Se considerarmos que as pressões e deslocamentos num elemento de fronteira são

representados pelos valores registados em M pontos interiores ao elemento (nós), e que a sua

variação ao longo de um elemento pode ser definida por uma função de interpolação φ , pode

escrever-se a equação

2 , *0

1 1

, *

1 1

u p ( , ) p ( , )

p g ( , ) p( ) ,

n

n

N Mn m m

n incP n Pn m S

N Mn m m

nP n Pn m S

x x dS x x

x x dS C x

νρω φ

φ

= =

= =

− + =

= +

∑∑ ∫

∑∑ ∫ (4.20)

onde ,pn m e ,un mν representam as pressões e os deslocamentos normais no nó m do elemento de

fronteira n. No caso de elementos de fronteira com um só nó, onde a função de interpolação é

constante, esta equação simplifica-se para

124

2 n * *0

1 1u p ( , ) p ( , ) p g ( , ) p( )

n n

N Nn

n inc nP n P P n Pn nS S

x x dS x x x x dS C xνρω= =

− + = +∑ ∑∫ ∫ . (4.21)

Uma vez mais, aplicando sequencialmente um carregamento virtual unitário em cada

um dos nós da fronteira, é possível estabelecer um número de equações igual ao número de

elementos de fronteira. A definição destas equações implica a avaliação dos integrais *g ( , )

n

nP nS

x x dS∫ e *p ( , )n

nP nS

x x dS∫ sobre cada um dos N elementos. Essa avaliação será feita

com recurso a integrações analíticas quando o ponto carregado se localiza sobre o elemento a

integrar, ou à quadratura de Gauss nos restantes casos.

4.3 – MODELO DE ELEMENTOS DE FRONTEIRA PARA MEIOS FLUIDOS QUE CONTÊM UMA INCLUSÃO COM FRONTEIRA RÍGIDA

4.3.1 – Formulação do modelo

Considere-se um meio fluido, infinito e homogéneo, no qual existe uma inclusão

cilíndrica rígida, com fronteira S e com secção constante ao longo de uma direcção (a

direcção z). O sistema assim constituído encontra-se, no ponto 0x , sujeito à acção de uma

fonte de pressão linear, com variação sinusoidal ao longo do eixo z definida pelo número de

onda zk , e que oscila com uma frequência ω .

Tratando-se de uma inclusão rígida, as condições de fronteira adequadas

correspondem à imposição, ao longo de toda a fronteira, de deslocamentos nulos segundo a

direcção normal à mesma. Recorrendo à formulação apresentada anteriormente para meios

fluidos na equação (4.21), e aplicando as condições de fronteira especificadas, a formulação

do Método dos Elementos de Fronteira para este caso pode escrever-se

125

*0

1p( ) p g ( , ) p ( , )

n

Nn

n incP P n Pn S

C x x x dS x x=

+ =∑ ∫ . (4.22)

Sendo o sistema excitado por uma fonte de pressão 2.5D, o campo de ondas incidentes

por ela gerado pode definir-se como

( )* (2)00

ip ( , ) H2 fPx x k rα= − , (4.23)

onde 2

2f zk kα

ωα = −

, com Im( ) 0fkα ≤ , e r é a distância da fonte ao ponto Px .

A formulação definida leva à construção de um sistema de N equações, cuja resolução

permite a determinação dos valores nodais da pressão, pn .

4.3.2 – Verificação do modelo

Por forma a verificar o rigor do modelo formulado no ponto anterior, comparam-se,

seguidamente, os resultados que fornece com os que se obtêm através das soluções analíticas

definidas no Capítulo 2, para o caso em que a inclusão tem secção circular. Para tal,

considere-se um meio fluido com massa volúmica 31000 kg/mρ = , e onde as ondas de pressão

se propagam com uma velocidade de 1500 m/sα = . No interior deste meio, considere-se a

presença de uma inclusão de secção circular, de raio 1.0 m. No sistema assim definido actua

uma fonte de ondas de pressão, localizada no ponto O com coordenadas (0.0, 3.0)− , enquanto

que no ponto R, com coordenadas (2.0, 1.0)− , se posiciona um receptor. Esta configuração

encontra-se representada esquematicamente na Figura 4.2.

A pressão registada no ponto R é, então, calculada pelos dois processos descritos,

discretizando a inclusão com recurso a 100 elementos com função de interpolação constante

quando se aplica o BEM. A resposta é calculada para a gama de frequências [2.0, 256.0 Hz] ,

com um incremento de 2 Hz, e para dois valores distintos do número de onda segundo z, que

são 0.0 rad/mzk = e 0.5 rad/mzk = . As respostas assim calculadas apresentam-se na Figura 4.3,

126

representando-se a solução analítica por linhas contínuas e tracejadas para a parte real e para a

parte imaginária, respectivamente, e a solução obtida pelo Método dos Elementos de Fronteira

por marcas circulares e por marcas quadradas para a parte real e para a parte imaginária,

respectivamente.

y

x1.0m

ρf

αf

O (0,-3)

R (2,-1)

Figura 4.2: Representação esquemática de um sistema com um meio fluido onde existe uma inclusão circular, com fronteira rígida. Representam-se as posições de uma fonte de pressão 2.5D (em O), e de um receptor (em R).

-0.10

-0.05

0

0.05

0.10

0 100 200

Frequência (Hz)

Am

plitu

de

a)

-0.10

-0.05

0

0.05

0.10

0 100 200

Frequência (Hz)

Am

plitu

de

b) Figura 4.3: Pressões calculadas no Receptor R quando no sistema actua uma fonte 2.5D com kz=0.0 rad/m (a) ou

com kz=0.5 rad/m (b). Representa-se a solução analítica através de linhas contínuas para a parte real, e tracejadas para a parte imaginária, e a solução obtida pelo BEM através de marcas circulares para a parte real, e quadradas para a parte imaginária.

127

Da observação das respostas obtidas, verifica-se que as duas soluções se encontram

em perfeita concordância, indicando que a formulação de elementos de fronteira que agora se

definiu pode ser usada na simulação deste tipo de sistemas.

4.4 – MODELO DE ELEMENTOS DE FRONTEIRA PARA MEIOS SÓLIDOS QUE CONTÊM UMA INCLUSÃO PREENCHIDA POR UM FLUIDO


Considere-se um meio sólido, infinito e homogéneo com massa volúmica sρ e

permitindo velocidade de propagação sα e sβ para as ondas P e S, respectivamente; no seu

interior existe uma inclusão cilíndrica preenchida por um fluido com massa volúmica fρ , e

onde as ondas de pressão se propagam com uma velocidade fα , com fronteira S e secção

constante ao longo da direcção z. As condições de fronteira adequadas a este caso

correspondem à imposição, ao longo de toda a fronteira entre os dois materiais, de

continuidade de deslocamentos e tensões normais, e de tensões tangenciais nulas. Recorrendo

às formulações apresentadas para meios fluidos, na equação (4.21), e para meios sólidos, na

equação (4.12), e aplicando as condições de fronteira que se descreveram, chega-se às

seguintes equações para o modelo de elementos de fronteira:

ao longo da fronteira, do lado do fluido

2 *1 0

1

*

1

u p ( , ) (1 )p ( , )

p g ( , ) p( )

n

n

Nn

f n incP n Pn S

Nn

nP n Pn S

x x dS x x

x x dS C x

ρω κ=

=

− + − =

= +

∑ ∫

∑ ∫

(4.24)a

128

ao longo da fronteira, do lado do sólido

*1 1 0

1

3*

1 1

t u ( , ) u ( , )

u t ( , ) u ( ) , para =1,2,3.

n

n

Nn inc

i n iP n Pn S

Nnj ij n iP n P

j n S

x x dS x x

x x dS C x i

κ=

= =

+ =

= +

∑ ∫

∑∑ ∫

(4.24)b

Nestas equações, κ assume o valor 0 se o meio for excitado por uma fonte de pressão

localizada no fluido, e 1 quando o meio é excitado por uma fonte dilatacional localizada no

sólido. Para este último caso, para uma fonte linear 2.5D, com variação sinusoidal segundo z

definida pelo número de onda zk , e oscilando com uma frequência ω , o campo de ondas

incidentes gerado pode definir-se derivando adequadamente o potencial indicado no Capítulo

2, equação (2.12), e tomando as componentes do deslocamento segundo as direcções normal e

tangencial à fronteira e segundo a direcção z.

As equações (4.24) permitem estabelecer um sistema de 4xN equações, onde as

incógnitas serão os deslocamentos normais em cada ponto nodal ( 1 1u un nf= ), os deslocamentos

tangenciais ( 2un ) e em z ( 3un ) no meio sólido, e as tensões normais à fronteira ( 1t pn n= ).


Para proceder à verificação do modelo considere-se um meio sólido, infinito e

homogéneo, com massa volúmica 31400 kg/msρ = e onde as ondas dilatacionais e de corte se

propagam com velocidades 2182.2 m/ssα = e 1336.3 m/ssβ = , respectivamente. No interior

deste meio considere-se a presença de uma inclusão de secção circular, de raio 1.0 m,

preenchida por um fluido com massa volúmica 31000 kg/mfρ = e onde as ondas de pressão se

propagam com uma velocidade de 1500 m/sfα = . Este sistema é iluminado por uma fonte de

ondas de pressão, localizada no fluido que preenche a inclusão, no ponto O com coordenadas

(0.0, 0.5)− . A configuração descrita encontra-se representada na Figura 4.4.

Calcula-se a pressão registada no receptor R, localizado em (0.3,0.6) , através da

solução analítica descrita no Capítulo 2, e por aplicação do modelo de elementos de fronteira

formulado nesta secção. Para este último modelo, a inclusão é discretizada usando 100

129

elementos de fronteira, com função de interpolação constante. A resposta é calculada para a

gama de frequências [2.0, 256.0 Hz] , com um incremento de 2 Hz, e para dois valores distintos

do número de onda segundo z, correspondendo a 0.0 rad/mzk = e a 0.5 rad/mzk = . Na Figura

4.5 representam-se as respostas calculadas, usando a simbologia definida para o caso anterior.

y

x1.0m

ρf

α f

O (0,-0.5)

R (0.3,0.6)

ρs

αs

βs

Figura 4.4: Representação esquemática de um sistema com um meio sólido onde existe uma inclusão circular, preenchida com um fluido. O sistema é excitado por uma fonte de pressão 2.5D, localizada em O. Calculam-se as pressões registadas num receptor posicionado em R.

-100

-50

0

50

100

0 100 200

Frequência (Hz)

Am

plitu

de

a)

-10

-5

0

5

10

0 100 200

Frequência (Hz)

Ampl

itude



Os resultados obtidos permitem verificar que as respostas calculadas por ambos os

métodos são muito próximas, indicando um bom comportamento da formulação de elementos

de fronteira.

130

4.5 – MODELO DE ELEMENTOS DE FRONTEIRA PARA MEIOS SÓLIDOS QUE CONTÊM UMA INCLUSÃO PREENCHIDA POR UM SÓLIDO


Suponha-se agora um meio sólido, infinito e homogéneo, com massa volúmica 1sρ e

permitindo velocidade de propagação 1sα e 1sβ para as ondas P e S, respectivamente, no qual

existe uma inclusão cilíndrica, com fronteira S, preenchida por um outro material sólido com

massa volúmica 2sρ e permitindo velocidade de propagação 2sα para as ondas P e 2sβ para as

ondas S. Esta inclusão apresenta uma secção constante ao longo da direcção z. Para este caso,

as condições de fronteira adequadas são, ao longo de toda a fronteira entre os dois materiais,

de continuidade de deslocamentos e de tensões segundo as três direcções (normal, tangencial

e z). A formulação definida para meios sólidos na equação (4.12), em conjunto com as

condições de fronteira que se definiram, permite escrever as seguintes equações, que

estabelecem o modelo de elementos de fronteira para este caso:

ao longo da fronteira, pelo sólido interior 3

*0

1 1

3*

1 1

t u ( , ) (1 )u ( , )

u t ( , ) u ( ) , para =1,2,3

n

n

Nn incj ij n iP n P

j n S

Nnj ij n iP n P

j n S

x x dS x x

x x dS C x i

κ= =

= =

+ − =

= +

∑∑ ∫

∑∑ ∫

ao longo da fronteira, pelo sólido exterior 3

*0

1 1

3*

1 1

t u ( , ) u ( , )

u t ( , ) u ( ) , para =1,2,3,

n

n

Nn incj ij n iP n P

j n S

Nnj ij n iP n P

j n S

x x dS x x

x x dS C x i

κ= =

= =

+ =

= +

∑∑ ∫

∑∑ ∫

(4.25)

onde κ assume o valor 0 se o meio for excitado por uma carga dilatacional localizada no

sólido interior, e o valor 1 quando o meio é excitado por uma fonte dilatacional localizada no

sólido exterior.

131

Partindo das equações (4.25), pode estabelecer-se um sistema de 6xN equações cujas

incógnitas serão os deslocamentos ( u , 1,2,3ni i = ) e as tensões ( t , 1,2,3n

i i = ) em cada ponto

nodal.


Para verificar a validade do modelo formulado, considere-se um meio sólido, infinito e

homogéneo, com massa volúmica 3s1 1400 kg/mρ = e onde as ondas P e S se propagam com

velocidades s1 2182.2 m/sα = e s1 1336.3 m/sβ = , respectivamente. No interior deste meio,

considere-se a presença de uma inclusão de secção circular, de raio 1.0 m, preenchida por um

sólido com massa volúmica 3s2 800 kg/mρ = , e onde as ondas P e S se propagam com

velocidades s2 1789.7 m/sα = e s2 1118.0 m/sβ = , respectivamente. O sistema é excitado por

uma fonte dilatacional, localizada no ponto O do sólido exterior, com coordenadas (0.0, 2.0)− .

Representa-se esta configuração na Figura 4.6.

y

x1.0m

O (0.0,-2.0)

R (1.0,-1.0)ρs1

αs1

βs1ρs2

αs2

βs2

Figura 4.6: Representação esquemática de um sistema com um meio sólido onde existe uma inclusão circular, preenchida por um material também sólido. Representam-se as posições de uma fonte dilatacional 2.5D (em O), e de um receptor (em R), onde é calculada a resposta.

132

Os deslocamentos segundo a direcção x registados no receptor R, localizado em

(1.0, 1.0)− , são calculados recorrendo a duas abordagens distintas, sendo a primeira o uso da

solução analítica descrita no Capítulo 2, e a segunda o uso do modelo de elementos de

fronteira agora formulado. No segundo caso, a inclusão é discretizada usando 100 elementos

de fronteira, com função de interpolação constante. Calcula-se a resposta para a gama de

frequências [2.0, 256.0 Hz] , considerando um incremento de 2 Hz. Realizam-se simulações

considerando dois valores distintos do número de onda segundo z, que são 0.0 rad/mzk = e

0.5 rad/mzk = . Representam-se, na Figura 4.7, as respostas assim calculadas.

-0.030

-0.015

0

0.015

0.030

0 100 200

Frequência (Hz)

Ampl

itude

a)

-0.030

-0.015

0

0.015

0.030

0 100 200

Frequência (Hz)

Ampl

itude

b) Figura 4.7: Deslocamentos horizontais calculados no Receptor R quando no sistema actua uma fonte 2.5D com

kz=0.0 rad/m (a) ou com kz=0.5 rad/m (b). Representa-se a solução analítica através de linhas contínuas para a parte real, e tracejadas para a parte imaginária, e a solução obtida pelo BEM através de marcas circulares para a parte real, e quadradas para a parte imaginária.

Verifica-se que as respostas calculadas pela formulação de elementos de fronteira são

muito próximas da solução analítica, pelo que o modelo de elementos de fronteira definido

pode ser aplicado para a análise dos sistemas em estudo.

133

4.6 – MODELO DE ELEMENTOS DE FRONTEIRA PARA UM ANEL SÓLIDO INSERIDO NUM MEIO FLUIDO E PREENCHIDO COM OUTRO FLUIDO


No interior de um meio fluido (meio F1), infinito e homogéneo, considere-se a

existência de um anel fechado (meio S), constituído por um material sólido e definido por

uma fronteira exterior Sext (discretizada em N1 elementos) e por uma fronteira interior Sint

(discretizada em N2 elementos), anel esse que é preenchido por um fluido (meio F2). Os

fluidos exterior e interior apresentam massas volúmicas 1fρ e 2fρ , respectivamente, e

permitem velocidades de propagação para as ondas de pressão de 1fα e 2fα , respectivamente,

enquanto que o sólido tem uma massa volúmica ρ , permitindo velocidades de propagação α

para as ondas P e β para as ondas S. Este sistema apresenta uma geometria que se mantém

constante ao longo da direcção z. Nas fronteiras interior e exterior, as condições de fronteira a

impor serão de continuidade de deslocamentos e tensões normais, e de tensões tangenciais

nulas. Para este caso, as equações que definem o modelo de elementos de fronteira são

ao longo da fronteira exterior, pelo fluido F1 1

2 *1 1 ,F1 0

1

1*

1

u p ( , ) p ( , )

p g ( , ) p( )

n

n

Nn

f f n incP n Pn S

Nn

nP n Pn S

x x dS x x

x x dS C x

κρ ω δ=

=

− + =

= +

∑ ∫

∑ ∫

ao longo de toda a fronteira, pelo sólido S 1 2

*1 1 , 0

1

3 1 2*

1 1

t u ( , ) u ( , )

u t ( , ) u ( ) , para =1,2,3

n

n

N Nn inc

i n S iP n Pn S

N Nnj ij n iP n P

j n S

x x dS x x

x x dS C x i

κδ+

=

+

= =

+ =

= +

∑ ∫

∑ ∑ ∫ (4.26)

ao longo da fronteira interior, pelo fluido F2 1 2

2 *2 1 2 ,F2 0

1 1

1 2*

1 1

u p ( , ) p ( , )

p g ( , ) p( )

n

n

N Nn

f f n incP n Pn N S

N N

nP n Pn N S

x x dS x x

x x dS C x

κρ ω δ+

= +

+

= +

− + =

= +

∑ ∫

∑ ∫

134

onde κ é igual F1, F2 ou S consoante a carga se localize no fluido exterior, no fluido interior

ou no sólido, e δ é a função Delta de Kronekcer.

Pode, assim, construir-se um sistema de 4x(N1+N2) equações a 4x(N1+N2)

incógnitas, sendo estas últimas os deslocamentos normais ( 1 1u un nf= em Sext e Sint), os

deslocamentos tangenciais ( 2un ) e em z ( 3un ) no meio sólido, e as tensões normais à fronteira

( 1t pn n= em Sext e Sint).


O modelo construído foi verificado para o caso de um anel sólido circular, com massa

volúmica 3s 1400 kg/mρ = e onde as ondas P e S se propagam com velocidades s 2182.2 m/sα =

e s 1336.3 m/sβ = , respectivamente, anel esse que está inserido num meio fluido com massa

volúmica 31 1000 kg/mfρ = , e onde as ondas de pressão se propagam com uma velocidade

1 1500 m/sfα = ; o interior do anel é preenchido por um fluido com massa volúmica

32 1000 kg/mfρ = , o qual permite uma velocidade de propagação das ondas de pressão de

2 1500 m/sfα = ; a secção transversal do anel é definida por duas circunferências concêntricas,

com raios 0.75 m e 1.5 m. O sistema assim definido é excitado por uma fonte dilatacional,

localizada no ponto O do fluido exterior, com coordenadas (0.0, 2.0)− . Na Figura 4.8

representa-se, esquematicamente esta configuração.

As pressões registadas no receptor R, localizado em (1.5,1.5) , são calculadas

recorrendo a dois modelos distintos: um deles foi já apresentado no Capítulo 2; o outro é o

modelo de elementos de fronteira agora formulado. No segundo caso, cada uma das fronteiras

do anel é discretizada usando 120 elementos de fronteira, com função de interpolação

constante. Calcula-se a resposta para a gama de frequências [2.0, 256.0 Hz] , considerando um

incremento de 2 Hz. Realizam-se simulações considerando dois valores distintos do número

de onda segundo z, que são 0.0 rad/mzk = e 0.5 rad/mzk = . Representam-se na Figura 4.9 as

respostas assim calculadas.

135

y

x1.5m

O (0,-2.0)

R (1.5,1.5)

ρs

αs

βs

ρf 1

α f 1 0.75mρf 2

α f 2

Figura 4.8: Representação esquemática de um sistema com um meio fluido onde existe um anel circular sólido, com o seu interior preenchido por um outro fluido. Representam-se as posições de uma fonte de pressão 2.5D (em O), e de um receptor (em R), onde é calculada a resposta.

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0 100 200

Frequência (Hz)

Am

plitu

de

a)

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0 100 200

Frequência (Hz)

Am

plitu

de



Verifica-se uma grande proximidade entre as duas soluções, o que permite concluir

que a formulação do BEM que se apresentou pode ser aplicada ao estudo de sistemas com

configurações semelhantes à que agora se analisou.

136

4.7 – MODELO DE ELEMENTOS DE FRONTEIRA PARA UM ANEL SÓLIDO INSERIDO NUM MEIO TAMBÉM SÓLIDO E PREENCHIDO POR UM MATERIAL FLUIDO

4.7.1 – Formulação do modelo Considere-se um meio sólido, infinito e homogéneo (meio S1) onde existe um anel

(meio S2), constituído por um material também sólido e definido por uma fronteira exterior (Sext, discretizada em N1 elementos) e por uma fronteira interior (Sint discretizada em N2 elementos) fechadas. O interior deste anel encontra-se preenchido por um fluido (meio F). Os meios S1 e S2 apresentam massas volúmicas 1ρ e 2ρ , respectivamente, e permitem

velocidades de propagação para as ondas dilatacionais e para as ondas de corte de 1α e 2α e

de 1β e 2β , respectivamente; o meio fluido interior tem uma massa volúmica fρ e permite

velocidades de propagação fα para as ondas de pressão. Na fronteira exterior Sext, entre S1 e

S2, as condições de fronteira a impor serão de continuidade de deslocamentos e de tensões, nas direcções tangencial, normal e z. Em Sint, devem impor-se tensões tangenciais nulas, e continuidade de deslocamentos e tensões normais entre os dois meios. Assim, podem escrever-se as seguintes equações, que definem adequadamente o modelo de elementos de fronteira para este caso:

ao longo da fronteira exterior, pelo sólido S1 3 1

*, 1 0

1 1

3 1*

1 1

t u ( , ) u ( , )

u t ( , ) u ( ) , para =1,2,3

n

n

Nn incj ij n S iP n P

j n S

Nnj ij n iP n P

j n S

x x dS x x

x x dS C x i

κδ= =

= =

+ =

= +

∑∑ ∫

∑∑ ∫

ao longo de toda a fronteira, pelo sólido S2 3 1 1 2

* *1 1 , 2 0

1 1 1 1

3 1 2*

1 1

t u ( , ) t u ( , ) u ( , )

u t ( , ) u ( ) , para =1,2,3

n n

n

N N Nn n incj ij n i n S iP n P n P

j n n NS S

N Nnj ij n iP n P

j n S

x x dS x x dS x x

x x dS C x i

κδ+

= = = +

+

= =

+ + =

= +

∑∑ ∑∫ ∫

∑ ∑ ∫ (4.27)

ao longo da fronteira interior, pelo fluido F 1 2

2 *1 ,F 0

1 1

1 2*

1 1

u p ( , ) p ( , )

p g ( , ) p( )

n

n

N Nn

f f n incP n Pn N S

N N

nP n Pn N S

x x dS x x

x x dS C x

κρ ω δ+

= +

+

= +

− + =

= +

∑ ∫

∑ ∫

137

onde κ é igual a S1, S2 ou F consoante a carga se localize no sólido exterior, no anel sólido

ou no fluido interior, e δ é a função delta de Kronekcer.

Chega-se, assim, a um sistema com 6xN1+4xN2 equações onde as incógnitas são: os

deslocamentos normais ( 1un ), tangenciais ( 2un ) e segundo z ( 3un ) nas fronteiras Sext e Sint; as

tensões normais à fronteira ( 1t pn n= ) em Sint; as tensões normais ( 1tn ), tangenciais ( 2tn ) e em z

( 3tn ) na fronteira Sext .


O modelo foi verificado considerando um anel sólido com massa volúmica 3

s2 800 kg/mρ = e onde as ondas P e S se propagam com velocidades s2 1789.7 m/sα = e

s2 1118.0 m/sβ = , respectivamente, anel esse que está inserido num meio sólido com massa

volúmica 3s1 1400 kg/mρ = e onde a velocidade de propagação das ondas P e S é de

s1 2182.2 m/sα = e s1 1336.3 m/sβ = , respectivamente. A secção do anel sólido é definida por

duas circunferências concêntricas com raios de 0.75 m e 1.5 m, sendo o interior preenchido

por um fluido com massa volúmica 31000 kg/mfρ = , onde as ondas de pressão se propagam

com uma velocidade 1500 m/sfα = . Este sistema é excitado por uma fonte de pressão,

localizada no ponto O de coordenadas (0.0, 0.5)− , situada no fluido que preenche o anel. Esta

situação está representada na Figura 4.10.

As pressões registadas no receptor R, localizado em (0.3,0.6) , são calculadas

recorrendo à solução analítica descrita no Capítulo 2, e também através do modelo de

elementos de fronteira atrás formulado. Neste último caso, ambas as fronteiras do anel são

discretizadas usando 120 elementos de fronteira, com função de interpolação constante. A

resposta é calculada numa gama de frequências [2.0, 256.0 Hz] , considerando um incremento

de 2 Hz. Consideram-se dois tipos de cargas, definidas por 0.0 rad/mzk = e 0.5 rad/mzk = . As

respostas calculadas no receptor R representam-se na Figura 4.11.

As respostas calculadas por aplicação dos dois modelos são quase coincidentes,

revelando um bom comportamento do BEM para o caso em estudo.

138

y

x1.5m

ρs2

αs2

βs20.75m

ρf 2αf 2

ρs1

αs1

βs1

O(0,-0.5)

(0.3,0.6)R

Figura 4.10: Representação esquemática de um sistema com um meio sólido onde existe um anel circular, também sólido, com o seu interior preenchido por um fluido. Representam-se as posições de uma fonte de pressão 2.5D (em O), e de um receptor (em R), onde é calculada a resposta.

-100

-50

0

50

100

0 100 200

Frequência (Hz)

Am

plitu

de

a)

-15.0

-7.5

0

7.5

15.0

0 100 200

Frequência (Hz)

Ampl

itude

b) Figura 4.11: Pressões calculadas no Receptor R quando no sistema actua uma fonte 2.5D com kz=0.0 rad/m (a)

ou com kz=0.5 rad/m (b). Representa-se a solução analítica através de linhas contínuas para a parte real, e tracejadas para a parte imaginária, e a solução obtida pelo BEM através de marcas circulares para a parte real, e quadradas para a parte imaginária.

4.8 - CONCLUSÕES Apresentou-se neste Capítulo uma formulação do Método dos Elementos de Fronteira

no domínio da frequência para a resolução de problemas de propagação de ondas em meios

139

fluidos e sólidos, com geometria bidimensional e sujeitos a cargas 2.5D. Foram descritas

particularizações das equações fundamentais que lhe servem de base para diferentes casos que

correspondem a sistemas constituídos por meios fluidos, a sistemas constituídos por meios

sólidos e a sistemas que contêm os dois tipos de meios, e onde, por isso, a interacção

sólido-fluido assume grande importância. Os modelos desenvolvidos foram convenientemente

verificados, comparando os resultados que fornecem com os que se calculam por aplicação de

modelos analíticos válidos para geometrias simples, já definidos no Capítulo 2. Desta

verificação pode concluir-se que os modelos desenvolvidos são rigorosos, passíveis, por isso,

de serem aplicados ao estudo do fenómeno da propagação de ondas em meios com diferentes

geometrias e onde seja importante ter em conta a interacção entre diferentes tipos de

materiais.

140

APÊNDICE A1 - EXTENSÕES E TENSÕES GERADAS NUM MEIO SÓLIDO POR ACÇÃO DE CARGAS 2.5D

Definições gerais:

Propriedades do meio de propagação:

sλ , µ Constantes de Lamé

ρ Massa volúmica

( )2sα λ µ ρ= + Velocidade das ondas P

β µ ρ= Velocidade das ondas S

Parâmetros adicionais:

pk ω α= sk ω β=

2 2p zk k kα = − 2 2

s zk k kβ = −

2

14

Aiρω

= Amplitude

ii

i

r xx r

γ ∂= =∂

1,2i = Co-senos directores

Funções de Hankel:

( )(2)Hn nH k rα α=

( )(2)Hn nH k rβ β=

Funções auxiliares: n n

n n nB k H k Hβ β α α= −

0 , l l lH k Hβ β βγ= −

0 , 0z zH ik Hβ β= −

141

As extensões volumétricas geradas por uma carga que actua num meio sólido,

segundo a direcção l, podem ser obtidas a partir dos deslocamentos ilG definidos nas

equações (3.6) por aplicação das seguintes relações:

yll xl zlVol

GG Gx y z

ε∂∂ ∂= + +

∂ ∂ ∂( )

3 3 32 0 0 0

0 2 2 2sB B BA k H

l x l y l z lβ ∂ ∂ ∂ ∂= + + + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

2 2 22 0 0 0

0 2 2 2sB B BA k H

l x y zβ ∂ ∂ ∂ ∂= + + + ∂ ∂ ∂ ∂

2 20 0

ˆsA k H B

l β∂ = + ∇ ∂

12

jll ilij

GGj i

ε∂ ∂= + ∂ ∂

3 32 2 0 0

0 , 0 ,12 il s j jl s i

B BA k H k Hi l j j l iβ βδ δ

∂ ∂= + + + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

( )3

2 00 , 0 ,

12 s il j jl i

Bk A H H Ai j lβ βδ δ ∂= + +

∂ ∂ ∂

Teremos, então, para cargas que actuam segundo l=x ou l=y

2 21 1 2 3

4lVol l s zA k k H k B B B

rβ βε γ = − + + −

2 22 1 2 3

2 1lxx l s xl xA B k k H B B

r rβ βε γ δ γ = − + −

2 22 1 2 3

2 1lyy l s yl yA B k k H B B

r rβ βε γ δ γ = − + −

21

lzz l zk ABε γ=

( )22 1 3

1 12

lxy s xl y yl x x y lA B k k H B

r β βε δ γ δ γ γ γ γ = − + −

21 0 2

1 12

lxz z s xl x lik A B k H B

r βε δ γ γ = − −

21 0 2

1 12

lyz z s yl y lik A B k H B

r βε δ γ γ = − −

.

Se a carga actuar segundo l=z, teremos

2 20 0 1 2

2zVol z s zik A k H k B B B

rβε = − + + −

142

21 2

1zxx z xik A B B

rε γ = −

21 2

1zyy z yik A B B

rε γ = −

( )2 20 0

zzz z s zik A k H k Bβε = − +

2zxy z x yik ABε γ γ= −

2 21 1

12

zxz x s zA k k H k Bβ βε γ = − +

2 21 1

12

zyz y s zA k k H k Bβ βε γ = − +

.

Por último, as tensões geradas por uma carga que actua segundo a direcção l=x,y,z

podem ser calculadas fazendo uso da relação

2l l lij Vol ij ijσ λε δ µε= + .

143


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147

CAPÍTULO 5

MODELAÇÃO DO COMPORTAMENTO ACÚSTICO DE

PAINÉIS MÚLTIPLOS

5.1 - INTRODUÇÃO

O estudo do comportamento acústico e do isolamento sonoro proporcionado por

paredes divisórias é, actualmente, objecto de interesse por parte não só de investigadores

como também da própria indústria da construção. A abordagem tradicional na procura de um

melhor isolamento acústico leva ao uso de elementos cada vez mais pesados e espessos. Nas

últimas décadas, novas soluções tecnológicas que recorrem à utilização de paredes

constituídas por múltiplas camadas de diferentes materiais têm sido desenvolvidas,

procurando um melhor desempenho com elementos finos e leves. No entanto, a previsão do

comportamento destes sistemas tem-se revelado uma tarefa difícil. De facto, a transmissão

sonora é um fenómeno de grande complexidade, influenciado por todo um conjunto de

mecanismos dinâmicos que envolvem a propagação de ondas de compressão, de ondas de

corte e de ondas guiadas ao longo dos materiais sólidos que constituem a divisória. Este

assunto vem interessando também a comunidade científica, tendo sido apresentados diferentes

148

modelos numéricos e analíticos, de maior ou menor complexidade, para prever o

comportamento destes sistemas.

Em geral, os modelos actualmente usados foram construídos tendo em conta apenas

algumas das múltiplas variáveis envolvidas no processo. Uma aproximação pouco rigorosa,

mas de grande simplicidade, faz uso da lei teórica da massa, descrita em diversas publicações

(ver, por exemplo, Beranek, 1960), que assume que um elemento se comporta como um

conjunto de massas justapostas que se movem independentemente e sem quaisquer forças de

amortecimento. Em trabalho mais recente, Novikov (1998) desenvolveu um método

simplificado para o cálculo do isolamento sonoro de placas finitas com base na lei da massa,

mas contemplando a introdução de um coeficiente correctivo. É importante notar que a lei da

massa não tem em conta a existência de quebras de isolamento em frequências específicas

causadas por fenómenos dinâmicos como o efeito de coincidência, com origem nos modos

naturais de vibração do sistema.

O problema torna-se ainda mais complexo se a estrutura a analisar for constituída por

mais do que um painel, separados por caixas de ar. Para este caso, é importante ter em conta

as múltiplas ressonâncias que ocorrem no interior da caixa de ar assim como o

comportamento dinâmico do sistema como um conjunto de massas interligadas. Para o caso

de paredes duplas constituídas por dois painéis iguais, London (1950) propôs um modelo que

permite estimar a transmissão sonora destes sistemas quando sujeitos à incidência de ondas

planas com diferentes inclinações. No entanto, o modelo de London apenas é válido quando

esta transmissão é controlada pela massa do sistema, o que só ocorre para frequências

inferiores à frequência crítica dos seus painéis. Mais tarde, Beranek (1960) introduziu

algumas alterações matemáticas neste modelo, permitindo atender ao efeito da ressonância

massa-ar-massa do conjunto.

Uma solução construtiva bastante comum consiste na introdução de um material

absorvente na caixa de ar que separa os dois painéis de uma parede dupla, por forma a atenuar

a quebra de isolamento devida às múltiplas ressonâncias que ocorrem no interior da caixa de

ar. Fahy (2001) desenvolveu um método que permite ter em conta a existência deste tipo de

materiais na caixa de ar. No seu método, Fahy propõe a definição da densidade do ar presente

nesse intervalo como um número complexo, dependendo o seu valor da resistividade do

material, da sua porosidade e de um factor que tem em conta a sua estrutura. Outra abordagem

a este tópico foi proposta por Gösele (1980), que estimou a transmissão sonora através de uma

parede dupla sem ligações rígidas entre os seus painéis e com a caixa de ar preenchida por um

149

material absorvente, partindo de medições da transmissão sonora em cada um dos painéis

separadamente.

Modelos baseados em métodos numéricos, como o Método dos Elementos Finitos ou

o Método dos Elementos de Fronteira, podem também ser usados para analisar estas

estruturas com maior rigor. Panneton e Atalla (1996) usaram a formulação clássica de

elementos finitos para fluidos e sólidos com o objectivo de modelar a transmissão sonora

através de sistemas com múltiplas camadas constituídas por materiais elásticos, poro-elásticos

e ar. Sgard et al (2000) calcularam a perda de transmissão em campo difuso para baixas

frequências de paredes duplas em sanduíche com materiais porosos, usando o Método dos

Elementos Finitos em conjunto com uma formulação de Elementos de Fronteira que permite

ter em conta a presença do fluido.

O método SEA (Statistical Energy Analysis) tem-se mostrado, também, uma

ferramenta de grande utilidade na previsão da transmissão sonora através de paredes

divisórias. Com base na conjugação deste método com o Método dos Elementos Finitos, Steel

e Craik (1994) calcularam com sucesso a transmissão sonora entre painéis sólidos. A

comparação dos seus resultados com medições experimentais permitiu concluir que o Método

dos Elementos Finitos pode ser utilizado para estimar a interacção entre os diferentes

subsistemas, cujo conhecimento é necessário para a aplicação do SEA. Craik et al (1997)

calcularam também a perda de transmissão sonora através de paredes divisórias de dois

painéis, tendo em conta a transmissão de vibrações por ligações estruturais. Recentemente,

Craik e Smith (2000) abordaram de novo este tópico. Neste último trabalho, modelaram as

divisórias leves de dois painéis como um só subsistema para a análise em baixas frequências,

e como um conjunto de subsistemas interligados para frequências mais elevadas.

Alguns modelos já desenvolvidos, com diferentes suportes teóricos, poderão ser

aplicados ao estudo da perda de transmissão sonora em painéis multicamada. Kropp e

Rebillard (1999) usou dois modelos distintos para o cálculo do isolamento de paredes duplas a

baixas frequências: um destes modelos baseia-se numa formulação matricial que evita as

limitações quanto à espessura de cada camada impostas pelas teorias de Kirchoff e Mindlin,

descrevendo as propriedades das vibrações registadas de um lado do painel com base no

conhecimento das propriedades da vibração do outro lado do painel; o segundo modelo simula

a parede dupla como duas placas sujeitas à flexão, interligadas por uma camada elástica

simulada através de um conjunto de molas elásticas isoladas, desprezando a sua resistência ao

corte. Fringuelino e Guglielmone (2000) usaram uma abordagem simplificada baseada no

conhecimento prévio das características de impedância de cada camada de material para

150

calcular a perda de transmissão sonora através de estruturas multicamada. A transmissão

sonora através de painéis porosos foi analisada por Bolton et al (1996), usando uma

formulação para a propagação multidimensional de ondas baseada na teoria de Biot. Os

resultados calculados por este processo para painéis duplos de alumínio preenchidos por

espuma de poliuretano, apresentaram-se muito próximos dos observados em laboratório.

Numa publicação recente, Mechel (2002) apresenta uma compilação de diferentes métodos

que poderão ser usados na análise do isolamento proporcionado por diferentes tipos de

elementos. Alguns destes modelos, que pressupõem que cada painel se comporta como uma

estrutura de casca fina, serão usados como referência para comparação no decorrer deste

Capítulo.

Trabalhos publicados recentemente por Tadeu e António (2002) e António et al (2003)

abordam o cálculo do isolamento proporcionado por paredes simples e duplas constituídas por

painéis elásticos e homogéneos quando sujeitos à incidência de ondas planas e cilíndricas. O

presente Capítulo representa uma extensão do trabalho destes autores ao caso genérico de um

sistema de n camadas elásticas e fluidas, procurando-se, assim, integrar naqueles modelos a

interacção entre camadas sólidas ligadas entre si e ainda a presença de múltiplas caixas de ar.

O modelo aqui usado baseia-se nas funções de Green apresentadas no Capítulo 3, prevendo a

contabilização exacta da interacção fluido-sólido e sólido-sólido que pode ocorrer nos

sistemas multicamada existentes. Estas funções definem o campo de pressões gerado por uma

fonte de pressão linear e harmónica localizada num meio fluido e na presença de um sistema

genérico de camadas elásticas e sólidas como um somatório de soluções obtidas para o

mesmo sistema sujeito à acção de ondas planas com diferentes inclinações, baseando-se nos

potenciais de deslocamentos em meios sólidos já apresentados e definidos por Tadeu e Kausel

(2000) para o caso de cargas lineares harmónicas localizadas em meios elásticos

semi-infinitos. Ao contrário das formulações baseadas nas teorias de Kirchoff e Mindlin, a

presente formulação não impõe quaisquer restrições à espessura das diferentes camadas a

modelar. As soluções desenvolvidas permitem o cálculo da atenuação sonora proporcionada

por uma estrutura estratificada genérica quando sujeita à incidência de ondas planas,

cilíndricas ou esféricas. Para permitir uma melhor compreensão do comportamento destas

estruturas, calculam-se também respostas no domínio do tempo através da aplicação de uma

transformada inversa de Fourier e considerando que as fontes sonoras emitem um pulso de

Ricker.

No presente Capítulo define-se, em primeiro lugar, o modelo de cálculo usado para a

determinação analítica das curvas do índice de redução sonora de painéis multicamada.

151

Descreve-se, depois, a formulação matemática necessária à obtenção de respostas no domínio

do tempo. Segue-se uma secção onde se descreve um conjunto de métodos simplificados

alternativos, baseados na lei da massa e em modelos que pressupõem um comportamento dos

painéis que constituem uma parede como placas finas. É, então, apresentado um conjunto de

aplicações numéricas onde se simulam diferentes casos práticos. No final do Capítulo serão

apresentadas as conclusões consideradas relevantes que os resultados obtidos permitem

extrair.

5.2 - CÁLCULO ANALÍTICO DO ÍNDICE DE REDUÇÃO SONORA

Considere-se uma parede divisória constituída por uma sequência de camadas de

materiais elásticos e fluidos, rodeada por meios fluidos de ambos os lados. Este sistema é

excitado por uma fonte emissora de ondas de pressão localizada no meio fluido, de um dos

lados da parede. Para efeitos do presente estudo, considerem-se dois tipos de fontes

emissoras, sendo um deles correspondente a uma fonte emissora de ondas planas, e o outro a

uma fonte emissora de ondas cilíndricas, posicionada em ( )0 0,x y . Na Figura 5.1 representa-se

esquematicamente este sistema.

Para estes casos, o campo gerado por cada uma das fontes pode ser descrito pelas

seguintes expressões:

fonte emissora de ondas planas:

sup

fincf

n

Eσ

ν= (5.1)

fonte emissora de ondas cilíndricas:

( ) ( ) ( )sup

2 220 0 0

i H2

incfk x x y yασ = − − + −

, com sup

Im( ) 0fkα ≤ (5.2)

152

com sup

0f

ni y yfE e ν− −= , sup

sup

2 2 2fn f z nk k kν = − − , com ( )supIm 0f

nν ≤ , sendo nk e zk os números de

onda nas direcções x e z, respectivamente; ( )20H (...) são funções de Hankel do segundo tipo e

ordem 0, sup sup

2 2f f zk k kα = − , sup

sup

ffk ω α= , sendo supfα a velocidade de propagação das ondas

acústicas no fluido superior, ω a frequência de excitação e i 1= − .

Fluido inferior(finf)

Fluido superior (fsup)

Camada 1

Camada j

Camada 2

Camada j-1

x

y

),( 00 yx

Fonte de ondas cilíndricas

Fonte de ondas planas

θ

Fluido inferior(finf)

Fluido superior (fsup)

Camada 1

Camada j

Camada 2

Camada j-1

x

y

),( 00 yx

Fonte de ondas cilíndricas


θ

Figura 5.1: Representação esquemática da geometria de um sistema de camadas sólidas e fluidas sujeito à acção de fontes emissoras de ondas cilíndricas ou de ondas planas. x e y são os eixos de coordenadas.

Na presença da parede divisória, os diferentes campos gerados podem ser expressos

utilizando as funções de Green definidas no Capítulo 3. Essas funções baseiam-se na

definição de potenciais de deslocamentos, nos sólidos, e de pressões, nos fluidos, sendo

expressos na forma de um somatório da contribuição de uma sequência de ondas planas com

diferentes inclinações. Fazendo uso dessa formulação, que leva ao estabelecimento de um

sistema de n equações a n incógnitas, com 2 2 6f sn n n= + + ( sn e fn são o número de

camadas sólidas e fluidas, respectivamente, que constituem a parede), a solução final do

problema pode ser obtida expressando o campo total registado de cada lado da parede como a

soma do campo directamente gerado pela fonte com os termos de superfície calculados por

forma a satisfazer as condições de fronteira do problema em causa.

O índice de redução sonora da parede assim modelada pode ser calculado da seguinte forma: em primeiro lugar, é calculado o nível de pressão sonora no meio receptor (fluido inferior) na ausência da parede; é então calculado o nível de pressão sonora no meio receptor

153

com a presença da parede divisória; o índice de redução sonora é obtido como a diferença dos níveis de pressão sonora calculados para as duas situações. O modelo aqui utilizado permite a contabilização das perdas internas dos próprios materias através da definição de um módulo de elasticidade e de constantes de Lamé

complexas. Este módulo de elasticidade será obtido pela expressão ( )1rE E iη= + , onde rE é

o módulo de elasticidade convencional e η é o factor de perdas internas. Para o caso de meios

fluidos o procedimento será análogo, sendo a correspondente constante de Lamé definida na forma complexa através da utilização de uma expressão semelhante.

É também possível ter em conta a presença de materiais porosos nas camadas fluidas recorrendo à abordagem proposta por Fahy (2001), e aplicada posteriormente por António et al (2002) à análise do comportamento de paredes duplas com caixa de ar preenchida por material absorvente. Na referida abordagem, a densidade do fluido que constitui a camada

define-se como um número complexo i /i irf fsρ ρ ϑ σ ω= − (nesta expressão, ifρ é a densidade

do material, s é um factor que depende da estrutura do próprio material, ϑ é a pososidade e σ

a resistividade ao fluxo). Embora o modelo descrito seja de aplicação geral, é importante ter em conta que se assumem, no seu estabelecimento, algumas simplificações. Assim, o modelo prevê a existência de uma parede infinita, sem quaisquer restrições de deslocamentos em toda a sua extensão. A consideração destas restrições implicaria a contribuição para as respostas de modos de vibração adicionais e a consequente existência de um maior número de quebras de isolamento. Além disso, o modelo pressupõe a existência de espaços abertos de ambos os lados da parede. Numa situação real, a existência de compartimentos fechados iria levar à criação de campos de ondas estacionárias, que iriam, uma vez mais, levar à existência de um maior número de quebras de isolamento. Refira-se, no entanto, que estes mecanismos dinâmicos apenas se tornam importantes no domínio das baixas frequências.

5.3 - OBTENÇÃO DE RESPOSTAS NO DOMÍNIO DO TEMPO

Na presente dissertação são utilizadas formulações que recorrem ao cálculo inicial das diferentes respostas no domínio da frequência. Depois deste cálculo, a obtenção de respostas no domínio do tempo envolve ainda um tratamento matemático específico. Para obtenção

154

destas respostas, torna-se necessária a aplicação de uma transformada inversa de Fourier, a qual é aplicada na sua forma discreta, através do algoritmo FFT (Fast Fourier Transform). Neste processo, considera-se o impulso dinâmico emitido pela fonte com uma variação temporal dada por um pulso de Ricker. A escolha deste tipo de pulso deve-se ao facto de ele decair rapidamente, quer no domínio do tempo quer no da frequência, apresentando, por isso, vantagens em termos do esforço de cálculo e facilitando também a interpretação dos resultados obtidos no tempo. O pulso de Ricker pode ser definido matematicamente pela expressão

( ) ( ) 221 2u A e ττ τ −= − , (5.3)

onde A é a amplitude, 0( ) /st t tτ = − , e t é o tempo; st é o tempo em que ocorre o valor de

pico. A transformada de Fourier da Equação (5.3) para o domínio da frequência é dada por

( ) 222 si toU A t e eωω π − −Ω = Ω , (5.4)

em que / 2otωΩ = e 0tπ é o período característico da onda.

Considerando que a função ( )H ω representa a resposta em frequência para cargas

unitárias de frequência ω , é possível, multiplicando esta resposta por ( )U ω , modelar um

sistema em que os pulsos incidentes e reflectidos são do tipo do pulso de Ricker.

O valor adoptado para o incremento de frequência ( f∆ ) define a duração total

máxima para análise no domínio do tempo, dada por 1T f= ∆ . Em muitos casos, o valor de

T assim obtido é insuficiente para representar a resposta dinâmica na sua totalidade. Nestas

condições, a resposta correspondente a tempos superiores a T reaparece no início do eixo do

tempo (fenómeno de “aliasing”). Esta situação, que levanta evidentes dificuldades, pode

conduzir a erros na interpretação da resposta.

Para fazer face a este problema, uma estratégia possível seria a diminuição do

incremento de frequência para valores compatíveis com a duração esperada para o fenómeno.

No entanto, em alguns sistemas dinâmicos a duração do fenómeno pode ser relativamente

grande, conduzindo a um tempo de cálculo impraticável.

Uma outra estratégia, de aplicação mais geral, consiste na introdução de

amortecimento através da adição de uma constante imaginária à frequência, na forma

155

c iω ω ξ= − , (5.5)

em que ξ define a atenuação te ξ− da resposta (Phinney, 1965). O efeito da introdução desta

parte imaginária é, posteriormente, tido em conta, através da multiplicação da resposta no

tempo por teξ (Kausel e Roesset, 1992). Na definição do valor ξ , deve ter-se em atenção que

este não pode ser muito grande, já que conduziria a uma amplificação dos erros numéricos no

final da resposta. Adopta-se um valor de 0.7ξ ω= ∆ , conduzindo a uma atenuação de

aproximadamente 181 no tempo t T= .

5.4 - MODELOS SIMPLIFICADOS DE ANÁLISE

O índice de redução sonora proporcionado por diferentes divisórias, e calculado

através do método proposto nesta dissertação, é comparado com o que se calcula por

aplicação de outros modelos simplificados, descritos na literatura já existente. Descrevem-se,

de seguida, os modelos aqui utilizados para comparação.

5.4.1 - Lei teórica da massa

Este modelo considera que, quando sujeita à incidência de ondas planas com uma

frequência de excitação ω , uma parede simples de extensão infinita vibra como se se tratasse

de um conjunto de massas justapostas sem forças de amortecimento. De acordo com esta

formulação, o índice de redução sonora pode ser estimado por aplicação da expressão (ver

Beranek, 1960)

156

2sin( )10log 1

2 f f

mR ω θα ρ

= +

, (5.6)

onde 2(kg / m )m é a massa da parede simples, θ é o ângulo de incidência das ondas planas em

relação ao plano da parede, e fα e fρ são, respectivamente, a velocidade de propagação das

ondas de pressão e a massa volúmica do fluido onde se insere o elemento de construção.

5.4.2 - Parede simples com comportamento de placa fina (Modelo A)

Considerando que uma parede simples com espessura h se comporta como uma placa

fina quando sujeita à incidência de ondas planas com uma inclinação θ em relação ao seu

plano, o coeficiente de transmissão sonora pode ser calculado, segundo Mechel (2002), de

acordo com a expressão

2

0

( ) 1 sin( )2

TZZ

τ θ θ−

= + , (5.7)

onde 0f fZ ρ α= é a impedância do fluido onde se insere a parede e TZ é a impedância

acústica da parede. Esta última pode ser definida por ( )4 4 4i /T B x BZ m k k kω= − , Bk sendo o

número de onda de flexão do painel e cos( )x fk ω θα

= . O número de onda de flexão pode, por

sua vez, ser definido como 4 /Bk m Bω= , onde 3

6(1 )hB µ

ν=

− é o módulo de flexão da

parede, sendo µ o módulo de elasticidade transversal do material que a constitui e ν o seu

coeficiente de Poisson.

O mesmo autor (Mechel, 2002) sugere a utilização de um módulo de flexão

equivalente para permitir ter em conta a presença de painéis com várias camadas sólidas.

Nesse caso, para um sistema de parede simples constituído por três camadas de materiais

distintos, em que as camadas extremas são idênticas e com a mesma espessura ( 1Sh ) e a

157

camada intermédia é constituída por um material com propriedades distintas e uma espessura

também distinta ( 2Sh ), o autor sugere que o módulo de flexão equivalente a usar deverá ser

21 2

11

2

SS S

S

hB B Bh

≈ + +

. Nesta expressão, os termos 1SB e 2SB são, respectivamente, os

módulos de flexão das camadas extremas e intermédia que constituem o painel.

Usando a equação (5.7) para o cálculo do coeficiente de transmissão sonora, o índice

de redução sonora poderá, depois, ser determinado por

( )10log ( )R τ θ= − . (5.8)

Para o caso de um campo incidente difuso, o mesmo autor (Mechel, 2002) propõe que

o índice de redução sonora seja calculado, de forma simplificada, através de uma integração

dos coeficientes de transmissão calculados para uma gama de ondas planas incidentes no

painel segundo ângulos que variam de loθ até / 2π . A expressão resultante será

2110log ( )sin( )

cos( )lolo

R dπ

θ

τ θ θ θθ

= −

∫ . (5.9)

5.4.3 - Parede dupla em que ambos os painéis se comportam como placas finas (Modelo B)

O processo de cálculo apresentado na subsecção anterior pode ser expandido por

forma a permitir o cálculo do coeficiente de transmissão sonora de paredes constituídas por

dois painéis que se comportam como placas finas, separados por uma caixa de ar (Mechel,

2002). Para esse caso, o referido coeficiente poderá ser determinado recorrendo à expressão

( )2

1 1 2 1 1 1 1 21 1( ) 4 2 2 sin( )

sin( ) sin( )l T T l l T l Tz z z g z z z zτ θ θθ θ

−

= × + + + + + + + +

. (5.10)

Nesta expressão, 1Tz e 2Tz são as impedâncias acústicas de cada painel, normalizadas em

158

relação a 0Z , 01

0 0

i 1 cos( sin( ))sin( )sin( sin( ))

ll

l

k hzZ k h

θθ θ

−= e 1 0isin( )sin( sin( ))l lg k hθ θ= , sendo lh a espessura

da caixa de ar.

O índice de redução sonora pode, depois, ser calculado de acordo com as equações

(5.8) e (5.9).

5.4.4 - Parede tripla em que todos os painéis se comportam como placas finas (Modelo C)

Um método similar pode ser usado para o cálculo simplificado do índice de redução

sonora de paredes constituídas por três painéis, todos eles comportando-se como placas finas,

separados por caixas de ar de diferentes dimensões (Mechel, 2002). Para uma parede

constituída por três painéis homogéneos, separados por caixas de ar com espessuras 1d e 2d , o

coeficiente de transmissão sonora da parede, quando sujeita à incidência de ondas planas com

uma inclinação θ , pode ser calculado por

0

0 2 0 1

2

i sin( )1 3

2i sin ) 2i sin )

1 3 2 2 22 3 1

( )1 e e

k

k ( d k (θ d

TT e

R R T R RT R R

θ

θτ θ

−−= − − −

, (5.11)

onde ( )0

sin( )2i i Bi EiT F Z Z

Zθ= − + e

2

20

sin ( )14i i Bi EiR F Z Z

Zθ

= − +

. O termo auxiliar iF é calculado

como

0 0

1sin( ) sin( )1 12 2

i

Bi Ei

FZ Z

Z Zθ θ

=

+ −

. EiZ e BiZ são as impedâncias longitudinais e de

flexão para o painel i . Para um painel com massa im , espessura ih e que permita a

propagação de ondas P e S com velocidades iα e iβ , respectivamente, estas impedâncias

podem ser definidas como 2 2 2 2

2 2 2 2

4 2 (1 ) /i(1 ) /

i i x i iEi

i i x i

m kZh k

β ν ω βω ν ω α − −= − −

e 2

i i xBi i

B kZ ωmω

= −

.

159

Novamente, o índice de redução sonora pode, depois, ser calculado de acordo com as

equações (5.8) e (5.9).

5.5 - APLICAÇÕES

O processo analítico de cálculo proposto nesta dissertação é aplicado para estudar o

comportamento de paredes divisórias leves sujeitas à acção de diferentes tipo de fontes

sonoras. Em todos os casos aqui abordados considera-se que o meio fluido que envolve a

parede é o ar, com uma massa volúmica de 31.22kg / marρ = e permitindo velocidades de

propagação das ondas acústicas de 340m / sarα = . Analisa-se, nas subsecções seguintes, o

comportamento acústico de quatro sistemas distintos, correspondentes a:

- uma parede simples, constituída por um painel leve de gesso cartonado;

- uma parede dupla constituída por dois painéis de gesso cartonado separados por

uma caixa de ar;

- uma parede dupla com um painel de gesso cartonado e um segundo painel que é,

ele próprio, um sistema com três camadas de materiais elásticos;

- uma parede tripla, com três painéis de gesso cartonado de diferentes espessuras e

separados por caixas de ar com diferentes dimensões.

Em todos os casos analisados, o cálculo do índice de redução sonora das paredes

pressupõe o cálculo da resposta num conjunto 48 receptores, dispostos em três linhas

paralelas no fluido receptor de acordo com a representação da Figura 5.2.

5.5.1 - Parede simples em gesso cartonado

O primeiro modelo analisado corresponde a um painel simples de gesso cartonado,

com uma espessura de 0.026m, conforme representado na Figura 5.3. Para a modelação do

elemento, assume-se que o gesso cartonado apresenta um coeficiente de Poisson de

160

0.262sν = , um módulo de elasticidade de 63.2 10 kPasE = × , uma massa volúmica 3820kg/msρ = e um factor de amortecimento interno 0.03sη = (Mechel, 2002). Calculam-se

as curvas do índice de redução sonora para diferentes tipos de fontes de excitação, assim

Ar

Ar

Sistema multi-camada

x

y

)m0.2,m0.0(O −

0.5m

1.0m

1.0m

2.0m

θ

Fonte de ondascilíndricas


Receptores usados no cálculo das respostas em frequênciaReceptores usados no cálculo das respostas em frequência e notempo

Figura 5.2: Representação esquemática do sistema multicamada sujeito à acção de fontes emissoras de ondas cilíndricas ou de ondas planas. Inclui-se, na figura, a representação da posição da fonte cilíndrica e dos receptores.

como respostas no domínio do tempo que permitirão uma interpretação mais simples e

objectiva dos resultados. No caso das curvas do índice de redução sonora, apresentam-se os

resultados obtidos pelo modelo aqui proposto em conjunto com os que se obtêm por aplicação

de outros modelos simplificados. Para o presente caso, os modelos simplificados aplicados

são a lei teórica da massa e o modelo A, ambos definidos na secção 5.4. Os diferentes

resultados obtidos apresentam-se na Figura 5.4.

Na Figura 5.4a representam-se os resultados obtidos para a curva do índice de redução

sonora quando a fonte sonora emite ondas planas que se propagam perpendicularmente ao

plano da parede (com uma inclinação de 90º ). A observação destes resultados permite

concluir que os três métodos aplicados conduzem a resultados quase coincidentes, surgindo as

curvas correspondentes a cada um deles quase sobrepostas. De facto, para este caso o índice

de redução sonora da parede apresenta uma evolução quase linear com relação a log( )f ,

indicando que é controlado pela massa da parede e que os diferentes mecanismos susceptíveis

de provocar quebras de isolamento, como a ressonância no interior do painel e o efeito de

coincidência, não são excitados.

161

Quando a onda plana atinge o painel com uma inclinação de 45º , as curvas do índice

de redução sonora obtidas pelos diferentes métodos são as que se apresentam na Figura 5.4b,

verificando-se, para este caso, a existência de uma quebra de isolamento nas curvas previstas

O

0.026m

Painel de gesso cartonadoθ

O

0.026m

Painel de gesso cartonadoθθ

Figura 5.3: Representação esquemática do sistema analisado, com um painel simples em gesso cartonado sujeito à acção de fontes emissoras de ondas planas ou cilíndricas. Para posição dos receptores e da fonte ver Figura 5.2.

tanto pelo modelo proposto como pelo modelo A. Esta quebra está associada à frequência

crítica do painel, e, como esperado, não é visível na curva calculada com recurso à lei teórica

da massa. Tal facto seria previsível, já que esta lei apenas considera a contribuição da massa

do sistema. Verifica-se, no entanto, que, para frequências inferiores à frequência crítica do

painel, os três modelos fornecem resultados muito próximos, indicando que, nessa gama de

frequências, o índice de redução sonora é controlado pela massa do sistema. Note-se ainda

que a posição da quebra de isolamento observada não é coincidente para o modelo proposto e

para o modelo A, o que pode ser explicado pelos diferentes pressupostos de que partem os

dois modelos. De facto, o modelo A assume que o painel terá um comportamento de placa

fina, e despreza a resistência ao corte do material sólido e o efeito de interacção fluido-sólido

que ocorre nas interfaces entre os dois meios. Pelo contrário, o modelo analítico proposto

modela mais correctamente o comportamento dinâmico do painel, contemplando todos os

efeitos de interacção entre os diferentes materiais envolvidos. Assim, para o modelo A, a

quebra de isolamento ocorrerá próximo da frequência prevista pela expressão simplificada

( ) ( )( )22

2

12 12395Hz

2 cos ( )

s sar

cr s sfh E

ρ ναπ θ

−= = , correspondente à frequência crítica de um painel

livre, enquanto que a frequência prevista para a mesma quebra pelo modelo analítico será um

pouco superior.

162

Os resultados obtidos para o índice de redução sonora por aplicação do modelo

analítico quando a parede se encontra sujeita à acção de ondas cilíndricas encontram-se

representados na Figura 5.4c, em conjunto com os que se obtêm pelo modelo A para um

0

20

40

60

80

10 100 1000 6000

Lei teórica da massaModelo AModelo analítico

FrequêciaHz)

Índi

ce d

e re

duçã

o so

nora

(dB

)

a)

0

20

40

60

80

10 100 1000 6000

Lei teórica da massaModelo AModelo analítico

2395 Hz

Frequência (Hz)Ín

dice

de

redu

ção

sono

ra (d

B)

b)

0

20

40

60

80

10 100 1000 6000

Modelo AModelo analítico

1198 Hz

Frequência (Hz)

Índi

ce d

e re

duçã

o so

nora

(dB)

c)

0.010e-3

0 25 50 75 100 125 150

x=28m

x=24m

x=20m

x=16m

x=12m

x=8m

x=4m

x=0m

Tempo (ms)

Am

plitu

de (P

a)

d)

Figura 5.4: Resultados obtidos para a divisória em gesso cartonado com 0.026m de espessura: a) índice de redução sonora para ondas planas incidentes com 90ºθ = ; b) índice de redução sonora para ondas planas incidentes com 45ºθ = ; c) índice de redução sonora para ondas cilíndricas; d) respostas no domínio do tempo referentes aos receptores assinalados na Figura 5.2, devido à actuação da fonte cilíndrica.

campo difuso. É de notar que o processo usado pelo modelo A para o cálculo do índice de

redução sonora em campo difuso corresponde a uma integração simplificada dos resultados

obtidos para uma sequência de ondas planas incidindo no painel com inclinações entre os 5º

(assumindo que não existem ondas rasantes ao painel) e os 90º. Para esta situação, as curvas

previstas pelos dois modelos não se revelam tão próximas, verificando-se uma clara tendência

para a previsão de um maior isolamento por parte do modelo A. A diferença aqui observada é

explicada pela diferente abordagem efectuada pelos dois modelos ao estudo do isolamento de

paredes sujeitas à acção de fontes bidimensionais. Em ambas as curvas verifica-se a presença

163

de quebras de isolamento, ocorrendo em frequências um pouco diferentes para cada modelo.

Mais uma vez, o modelo A prevê que esta quebra ocorra próximo da frequência prevista pela

expressão simplificada ( ) ( )2 2

(1 )1198Hz

1.8138

ar s s

cr s sfh E

α ρ ν−= = , enquanto que na curva do

índice de redução sonora prevista pelo modelo analítico esta quebra ocorre numa frequência

um pouco mais elevada.

Para melhor compreender o comportamento dinâmico deste painel quando sujeito à

acção de ondas cilíndricas, foram calculadas respostas no domínio do tempo (Figura 5.4d)

para um conjunto de oito receptores localizados no fluido existente do lado da parede que não

contém a fonte. Estes receptores encontram-se alinhados segundo a direcção x, a uma

distância de 0.5m da parede e igualmente espaçados de 4.0m. Considera-se que a fonte sonora

emite um pulso de Ricker com uma frequência central de 2400Hz. Observando estas

respostas, verifica-se a existência de uma sequência de pulsos que chegam aos receptores

afastados do eixo vertical que contém a fonte. Esta sequência de pulsos corresponde à

chegada aos receptores da contribuição das ondas guiadas que, devido ao seu carácter

dispersivo, viajam ao longo do painel com diferentes velocidades em função da frequência de

excitação. O receptor localizado na mesma coordenada x que a fonte não evidencia a

contribuição destas ondas, já que elas apenas são geradas quando os pulsos incidentes atingem

o painel com alguma inclinação em relação a este.

5.5.2 - Parede dupla com dois painéis de gesso cartonado

A segunda configuração analisada corresponde a uma parede dupla constituída por

dois painéis de gesso cartonado com espessuras de 0.013m e 0.026m , afastados de 0.15 m

(ver Figura 5.5).

Na Figura 5.6 apresentam-se os resultados obtidos para o modelo em análise,

incluindo as curvas do índice de redução sonora para diferentes situações e as respostas no

domínio do tempo. Nos gráficos relativos às curvas do índice de redução sonora representam-

se, também, os resultados obtidos por aplicação do modelo B, apresentado na secção 5.4.3.

Quando a fonte sonora emite ondas planas incidindo normalmente à parede ( 90ºθ = ), a curva

do índice de redução sonora apresenta um conjunto de quebras de isolamento, localizadas em

164

frequências específicas (Figura 5.6a). A primeira quebra está associada à vibração da parede

que se movimenta como um sistema de duas massas (painéis) ligadas por uma mola (caixa de

O

0.013m

Painéis de gesso cartonado

0.026m0.15m

Cx. de ar

θ

O

0.013m


0.026m0.15m

Cx. de ar

θθ

Figura 5.5: Representação esquemática do sistema analisado, com uma parede dupla sujeita à acção de fontes emissoras de ondas planas ou cilíndricas. Para posição dos receptores e da fonte ver Figura 5.2.

ar) que tenta modelar a resistência exercida pelo ar na caixa entre os dois panos de parede. A

frequência própria de vibração é então 1 2

1 1 57.9Hz2

ar ar

resfd m m

α ρπ

= + =

, onde d é a

espessura da caixa de ar e jm é a massa do painel j . Para frequências mais elevadas,

verifica-se a existência de quebras adicionais, relacionadas com campos de ondas

estacionárias gerados no interior da caixa de ar. As frequências para as quais se verifica a

criação destes campos pode ser determinada pela expressão 2

ar

kkf

dα= , onde k é o número de

ordem do modo de ressonância. As primeiras três quebras associadas a este fenómeno

ocorrem, de acordo com a expressão anterior, nas frequências 1 1133.3Hzf = , 2 2266.6Hzf = e

3 3399.9Hzf = , coincidindo com a posição das quebras observadas nas curvas do índice de

isolamento sonoro. Note-se que, para este caso, as curvas do índice de redução sonora

previstas pelos dois modelos são coincidentes. Verifica-se também que, nesta situação, não

surge nenhuma quebra associada ao efeito de coincidência. No entanto, quando a fonte emite

ondas planas que atingem a parede com uma inclinação de 45º (Figura 5.6b), tornam-se

visíveis algumas diferenças. As curvas previstas pelos dois modelos são quase coincidentes

para as frequências mais baixas, e as quebras de isolamento correspondentes às ressonâncias

165

0

40

80

120

10 100 1000 6000

Modelo BModelo analítico

57.9

Hz

1133

Hz

2266

Hz

3399

Hz

Frequência (Hz)

Índi

ce d

e re

duçã

o so

nora

(dB

)

a)

0

40

80

120

10 100 1000 6000


81.9

Hz

2395

Hz

4790

Hz

Frequência (Hz)

Índi

ce d

e re

duçã

o so

nora

(dB

)

b)

0

40

80

120

10 100 1000 6000


57.9

Hz

1198

Hz 23

95 H

z

Frequência (Hz)

Índi

ce d

e re

duçã

o so

nora

(dB

)

c)

0.01.5e-3

0 25 50 75 100 125 150

x=28m

x=24m

x=20m

x=16m

x=12m

x=8m

x=4m

x=0m

Tempo (ms)

Am

plitu

de (P

a)

d)

0.0

1e-4

0 25 50 75 100 125 150

∆T=17.3ms

Time (ms)

Am

plitu

de (P

a)

∆T=0.88ms

e)

Figura 5.6: Resultados obtidos para a parede dupla com dois painéis de gesso cartonado: a) índice de redução sonora para ondas planas incidentes com 90ºθ = ; b) índice de redução sonora para ondas planas incidentes com 45ºθ = ; c) índice de redução sonora para ondas cilíndricas; d) respostas no domínio do tempo referentes aos receptores assinalados na Figura 5.2 quando no sistema actua uma fonte cilíndrica; e) vista ampliada da resposta obtida no receptor colocado em x=0.0m.

que ocorrem no interior da caixa de ar (2 sin(45º )

ar

kkf

dα= ) e à vibração do sistema

massa-ar-massa (1 2

1 1 81.9Hz2 sin(45º )

ar ar

resfd m m

α ρπ

= + =

) são claramente visíveis. Tal

166

como observado no caso de um painel simples, a frequência crítica dos painéis prevista pelos

dois modelos não coincide, resultando em diferenças acentuadas quando se consideram

frequências superiores à frequência crítica do primeiro painel ( 2395Hzcrf = ). A mesma

discrepância pode ser observada para a frequência crítica do segundo painel ( 4790Hzcrf = ).

As diferenças entre os dois modelos são ainda mais marcadas quando se considera uma fonte emissora de ondas cilíndricas. Na Figura 5.6c, torna-se claro que os dois modelos prevêem, para este caso, curvas do índice de redução sonora bastante distintas. Tal fica a dever-se aos diferentes pressupostos de que partem estes modelos, e também às diferentes abordagens que ambos fazem ao cálculo da redução sonora proporcionada pela parede quando sujeita a um campo de ondas difuso. Relativamente a este último aspecto, é importante lembrar que o processo de integração definido no Capítulo 3 deste trabalho corresponde a uma definição fisicamente exacta da acção de uma fonte de ondas cilíndricas, enquanto que a abordagem do modelo B corresponde a uma integração simplificada da contribuição de ondas com diferentes inclinações.

As respostas obtidas no domínio do tempo e apresentadas na Figura 5.6d confirmam a contribuição dos diferentes fenómenos acima identificados para a resposta dinâmica da parede. Quando se analisa a resposta de um receptor cuja coordenada x coincide com a da fonte, não é visível nenhuma contribuição do efeito de coincidência. Uma visão ampliada da resposta obtida neste receptor (Figura 5.6e) permite, no entanto, identificar a contribuição de dois outros fenómenos: o primeiro é a vibração do sistema massa-ar-massa, claramente visível como uma oscilação de baixa frequência na resposta, com picos igualmente espaçados de

1 17.3msresT f∆ = = ; o segundo é o efeito de ressonância que ocorre no interior da caixa de ar,

gerando oscilações de frequência mais elevada com um período de 11 0.88msT f∆ = = . Estes

fenómenos são também visíveis em receptores colocados em outras posições, verificando-se a presença adicional de uma densa sequência de pulsos que correspondem a ondas guiadas que viajam ao longo dos painéis devido ao efeito de coincidência. A presença destas ondas guiadas leva a um significativo aumento na amplitude das respostas registadas.

5.5.3 - Parede dupla com um painel de gesso cartonado e um painel multicamada

Considere-se agora a parede dupla analisada na secção anterior mas simulando o

segundo painel como sendo, ele próprio, um sistema multicamada, constituído por três

167

camadas distintas: dois painéis de gesso cartonado com uma espessura de 0.013m , separados

por uma tela asfáltica ( 62.5 10 kPaasfµ = × , 31800kg / masfρ = , 0.472asfν = , 0.35asfη = ) com

0.004m de espessura. Este sistema, representado na Figura 5.7, é analisado com recurso ao

modelo proposto nesta dissertação e ao modelo B, definido na secção 5.4.3 e recorrendo à

formulação proposta na secção 5.4.2 para sistemas constituídos por três camadas sólidas.

O

0.013m 0.030m0.15m

Cx. de ar

Painéis de gesso cartonado com 0.013m de espessura

Tela asfáltica com 0.004m de espessura

θ

O

0.013m 0.030m0.15m

Cx. de ar

Painéis de gesso cartonado com 0.013m de espessura

Tela asfáltica com 0.004m de espessura

θθ

Figura 5.7: Representação esquemática do sistema analisado, com uma parede dupla, em que um dos painéis é um sistema multicamada, sujeita à acção de fontes emissoras de ondas planas ou cilíndricas. Para posição dos receptores e da fonte ver Figura 5.2.

Na Figura 5.8a representa-se a curva do índice de redução sonora calculada para o

caso em que a fonte emite ondas planas que se propagam perpendicularmente à parede

( 90ºθ = ). Como observado no caso anterior, os dois modelos prevêem resultados muito

semelhantes. A vibração do sistema como um conjunto massa-ar-massa é claramente visível

numa frequência de 56.2Hzresf = , seguido por uma sequência de quebras de isolamento

registadas nas frequências de ressonância da caixa de ar da parede, ocorrendo a primeira para

1 1164Hzf = . Devido ao ligeiro aumento na massa do sistema, o índice de redução sonora é,

em geral, um pouco superior ao calculado para a configuração anterior. Quando as ondas

geradas pela fonte sonora incidem sobre o painel com uma inclinação de 45º (Figura 5.8b),

registam-se alterações mais significativas nas curvas calculadas. Há, para este caso, uma

quebra bem visível na frequência crítica do painel mais espesso (segundo painel). Para o

modelo B, a frequência em que ocorre esta quebra é definida por

( )2

2 2234Hz2 cos( )

ar

crmfB

απ θ

= = , sendo m a massa total do painel e B o seu módulo de flexão

168

equivalente. Para o modelo analítico proposto, esta quebra ocorre numa frequência um pouco

mais elevada, pelas razões já expostas nos casos anteriores. É interessante verificar que a

quebra prevista para esta frequência crítica apresenta agora uma amplitude menor do que

aquela observada no caso anterior, quando o segundo painel era homogéneo (verifiquem-se as

Figuras 5.6b e 5.8b). De facto, o elevado amortecimento interno atribuído à camada elástica

intermédia (tela asfáltica) provoca uma dissipação de energia muito mais relevante do que a

registada no caso anterior, reduzindo os níveis sonoros registados atrás da parede divisória.

0

40

80

120

10 100 1000 6000


56.2

Hz

1164

Hz

2328

Hz

Frequênca (Hz)

Índi

ce d

e re

duçã

o so

nora

(dB

)

a)

0

40

80

120

10 100 1000 6000


79.5

Hz

2234

Hz

Frequência (Hz)

Índi

ce d

e re

duçã

o so

nora

(dB

)

b)

0

40

80

120

10 100 1000 6000


56.2

Hz

1117

Hz

2395

Hz

Frequência (Hz)

Índi

ce d

e re

duçã

o so

nora

(dB

)

c)

0.01.5e-3

0 25 50 75 100 125 150

x=28m

x=24m

x=20m

x=16m

x=12m

x=8m

x=4m

x=0m

Tempo (ms)

Am

plitu

de (P

a)

d)

Figura 5.8: Resultados obtidos para a parede dupla em que um dois painéis é um sistema multicamada: a) índice de redução sonora para ondas planas incidentes com 90ºθ = ; b) índice de redução sonora para ondas planas incidentes com 45ºθ = ; c) índice de redução sonora para ondas cilíndricas; d) respostas no domínio do tempo referentes aos receptores assinalados na Figura 5.2 quando o sistema é excitado por uma fonte cilíndrica.

Analisando agora o caso em que a fonte emite ondas cilíndricas (Figura 5.8c),

verifica-se uma tendência para a previsão de índices de redução sonora distintos por parte dos

dois modelos. Uma vez mais, esta diferença fica a dever-se aos diferentes pressupostos e

formas de contabilização do efeito bidimensional do campo sonoro adoptados por ambos. É,

no entanto, visível que a tendência geral das duas curvas é a mesma, prevendo ambas valores

169

do índice de redução sonora superiores aos previstos para o caso anterior. As respostas obtidas

no domínio do tempo confirmam também este comportamento, como se pode constatar pela

observação da Figura 5.8d. A amplitude destas respostas parece ser inferior à registada

anteriormente, com menores contribuições dos fenómenos dinâmicos envolvidos. A

ampliação da resposta obtida no receptor posicionado em 0mx = (não ilustrada) continua a

evidenciar a presença dos fenómenos de ressonância no interior da caixa de ar e de

ressonância do sistema como um conjunto, visíveis como oscilações de baixa e alta

frequência, respectivamente.

5.5.4 - Parede tripla com três painéis de gesso cartonado

O último caso estudado neste Capítulo faz uso de uma parede constituída por três

painéis, todos eles de gesso cartonado, com espessuras de 0.013m , 0.010 m e 0.026m ,

separados por caixas de ar com 0.10m e 0.04m , respectivamente, de acordo com o esquema

da Figura 5.9.

O

0.013m

0.010m

0.10m

Cx. de ar


0.04m

Cx. de ar

0.026m

θ

O

0.013m

0.010m

0.10m

Cx. de ar


0.04m

Cx. de ar

0.026m

θθ

Figura 5.9: Representação esquemática do sistema analisado, com uma parede tripla sujeita à acção de fontes emissoras de ondas planas ou cilíndricas. Para posição dos receptores e da fonte ver Figura 5.2.

Os resultados calculados para esta configuração apresentam-se na Figura 5.10, em

conjunto com os que se obtêm recorrendo à aplicação do modelo C, descrito na secção 5.4.4.

Quando a fonte de excitação emite ondas planas com 90ºθ = , as curvas do índice de redução

sonora são, uma vez mais, coincidentes. Nestas curvas, torna-se visível a presença de quebras

170

associadas a fenómenos de ressonância que ocorrem no interior das duas caixas de ar. Os

primeiros modos ocorrem nas frequências de 1700Hz e 4250Hz para a primeira e segunda

caixa de ar, respectivamente. É possível verificar que a amplitude da quebra que ocorre em

cada uma destas frequências é inferior à que se verificava para o caso da parede dupla (veja-se

Figuras 5.6a e 5.10a). Nas baixas frequências é ainda visível a presença de duas quebras

adicionais, correspondendo aos modos próprios de vibração do sistema

massa-ar-massa-ar-massa. As frequências que lhes correspondem podem ser determinadas a

partir da resolução da equação seguinte, definida assumindo um sistema de três massas

independentes (painéis) interligadas por molas elásticas (simulando as caixas de ar):

[ ] ( ) ( ) ( )322 2

1 2 3 1 3 1 2 2 1 2 3 1 21

0jj

m m m K m m m K m m m K K mω ω=

− + + + + =

∑ (5.12)

Nesta expressão, jm é a massa do painel j , e ( )2ar ar

nn

Kd

α ρ×= para a caixa de ar n (com

1,2n = ). Para a configuração em análise, a resolução desta equação conduz às duas

frequências próprias do sistema, que são 1 59.8Hzresf = e 2 138.6Hzresf = . Uma vez que as

ondas planas emitidas pela fonte se propagam perpendicularmente à parede, não é visível o

efeito de coincidência nas curvas calculadas. Quando a fonte sonora emite ondas planas com

uma inclinação de 45º (Figura 5.10b), esse efeito torna-se visível, registando-se a presença de

quebras em frequências distintas para os dois modelos. Para o painel intermédio, com uma

espessura de 0.010m , este efeito ocorre em frequências superiores aos 6000Hz , não sendo,

por isso, visível nas curvas apresentadas.

Na Figura 5.10c apresentam-se as curvas do índice de redução sonora calculadas

considerando o efeito de uma fonte emissora de ondas cilíndricas. Também neste caso, os

fenómenos descritos anteriormente são visíveis. Contudo, a quebra associada à ressonância no

interior da primeira caixa de ar parece não existir, indicando que a presença da segunda caixa

de ar pode contribuir fortemente para a atenuação destas quebras. Observando as curvas do

índice de redução sonora calculadas, verifica-se que as previstas pelo modelo proposto neste

trabalho são, em geral, um pouco superiores às calculadas pelo modelo C, registando-se, no

entanto, que, para frequências inferiores a 300Hz ou superiores a 4000Hz , as duas curvas são

muito próximas.

171

0

50

100

150

200

10 100 1000 6000

Modelo CModelo analítico

1700

Hz

4250

Hz

59.8

Hz

138.

6 H

zFrequência (Hz)

Índi

ce d

e re

duçã

o so

nora

(dB

)

a)

0

50

100

150

200

10 100 1000 6000


84.6

Hz

196.

0 H

z

2395

Hz

4790

Hz

Frequência (Hz)

Índi

ce d

e re

duçã

o so

nora

(dB

)

b)

0

50

100

150

200

10 100 1000 6000


59.8

Hz

138.

6 H

z

1198

Hz

2395

Hz

3114

Hz

Frequência (Hz)

Índi

ce d

e re

duçã

o so

nora

(dB

)

c)

0.01.5e-3

0 25 50 75 100 125 150

x=28m

x=24m

x=20m

x=16m

x=12m

x=8m

x=4m

x=0m

Time (ms)

Am

plitu

de (P

a)

d)

0.0

0 25 50 75 100 125 150

Time (ms)

Am

plitu

de (P

a)

e)

Figura 5.10: Resultados obtidos para a parede tripla com três painéis de gesso cartonado de diferentes espessuras: a) índice de redução sonora para ondas planas incidentes com 90ºθ = ; b) índice de redução sonora para ondas planas incidentes com 45ºθ = ; c) índice de redução sonora para ondas cilíndricas; d) respostas no domínio do tempo referentes aos receptores assinalados na Figura 5.2 quando o sistema é excitado por uma fonte cilíndrica; e) vista ampliada da resposta obtida no receptor colocado em x=0.0m quando o sistema é excitado por uma fonte cilíndrica.

As respostas no tempo calculadas para este caso em receptores dispostos do lado da

parede oposto à fonte são apresentadas na Figura 5.10d. Mais uma vez, no receptor que se

encontra no mesmo alinhamento da fonte não é visível o efeito de coincidência, começando

este a ser notório à medida que se consideram receptores mais afastados deste alinhamento.

172

Para permitir uma melhor compreensão dos restantes mecanismos de transmissão sonora

excitados, apresenta-se, na Figura 5.10e, uma vista ampliada da resposta obtida para o

receptor localizado em 0mx = . Esta resposta exibe um comportamento marcadamente

diferente do observado para o caso da parede dupla (Figura 5.6e), evidenciando oscilações de

muito baixa frequência provavelmente geradas pela vibração do sistema como um conjunto.

Contudo, a resposta regista a contribuição dos dois modos de vibração própria do sistema,

sendo, por isso, difícil a separação e identificação de cada um deles individualmente. É

interessante notar que as oscilações de alta frequência anteriormente observadas não se

registam neste caso. Tendo em conta que, para a presente configuração, a primeira frequência

de ressonância da caixa de ar de maiores dimensões ocorre nos 1700Hz , seria de esperar a

presença de picos na resposta no domínio do tempo, separados por 1 1700.0 5.9msT∆ = = . No

entanto, a presença de uma segunda caixa de ar reduz a passagem da energia sonora através da

parede nesta frequência. Se o receptor se localizasse no mesmo lado da parede que a fonte, a

contribuição destas oscilações seria já bastante considerável. A primeira frequência de

ressonância associada à segunda caixa de ar ocorre aos 4250Hz , bastante superior à

frequência central da fonte ( 2400Hz ), pelo que a sua contribuição para a resposta é muito

reduzida.

5.6 - CONCLUSÕES

Neste Capítulo propôs-se uma metodologia de análise aplicável ao estudo do

comportamento de paredes constituídas por múltiplas camadas de materiais sólidos e fluidos e

sujeitas à incidência de diferentes tipos de ondas. O modelo permite a análise de sistemas

genéricos, constituídos por qualquer número de camadas com diferentes propriedades e

espessuras.

Aplicou-se o modelo ao cálculo do índice de redução sonora de painéis simples e

múltiplos, estudando-se também o caso em que um dos painéis é, ele próprio, um sistema

multicamada. Os resultados obtidos por aplicação do modelo proposto foram comparados

com os que se calculam aplicando outros modelos simplificados, como a lei teórica da massa

173

e como os modelos que consideram cada painel como tendo um comportamento de placa fina.

Os diferentes fenómenos dinâmicos envolvidos, nomeadamente as ressonâncias no interior de

caixas de ar e os modos próprios de vibração da parede como um conjunto, foram claramente

identificados e relacionados com quebras existentes nas curvas do índice de redução sonora

calculadas. Como esperado, a lei teórica da massa não prevê quaisquer quebras de isolamento.

Foram obtidas respostas no domínio do tempo que permitem uma melhor interpretação

da resposta dinâmica da parede; nelas se tornou possível a clara identificação dos fenómenos

envolvidos.

174


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177

CAPÍTULO 6

ANÁLISE DOS NÍVEIS SONOROS REGISTADOS NA

PRESENÇA DE UMA BARREIRA

6.1 - INTRODUÇÃO

As barreiras acústicas são uma solução amplamente utilizada como escudo de

protecção contra o ruído de tráfego, de maquinarias e de equipamentos. Estas barreiras são,

muitas vezes, construídas com recurso a materiais leves, em particular quando se pretende que

sejam amovíveis. Nestes casos, é frequente que não exista uma ligação rígida entre a barreira

e o pavimento que lhe serve de suporte, havendo mesmo, muitas vezes, um espaço de ar a

separar ambos.

No entanto, a avaliação do desempenho deste tipo de dispositivos é usualmente feita

assumindo que eles são perfeitamente rígidos e que se encontram rigidamente ligados ao

suporte, não se admitindo a existência de qualquer abertura na sua base. Esta simplificação

leva a uma sobrestimação da capacidade de atenuação sonora destes dispositivos, que se torna

mais evidente em frequências baixas. Um dos objectivos do presente Capítulo é avaliar de que

forma a consideração de comportamento elástico para o solo e para o material que constitui a

barreira pode influenciar a atenuação proporcionada por uma barreira acústica. É também

178

objecto de estudo a influência da existência e da dimensão de um espaço de ar entre a barreira

e o pavimento na atenuação final proporcionada pelo elemento.

Existe um grande número de modelos simplificados para a propagação do som em

redor de barreiras acústicas, propostos por diversos investigadores ao longo dos anos. Muitos

deles consideram o efeito de difracção que ocorre no topo da barreira de uma forma

simplificada, sendo, no entanto, usados na prática corrente da engenharia para a estimação da

atenuação sonora garantida por barreiras acústicas. São exemplos deste tipo de modelo os

desenvolvidos por Beranek e Vèr (1992), Barry e Reagan (1978), FHWA (1998) ou Hanson et

al (1990).

De entre os modelos numéricos mais desenvolvidos, muitos baseiam-se também no

estudo do fenómeno de difracção que ocorre no topo da barreira para analisar a propagação do

som na sua vizinhança. É este o caso do método proposto por Lam (1994) para a análise da

atenuação acústica proporcionada por uma barreira simples tridimensional de comprimento

finito. Posteriormente, Muradali e Fyfe (1998) apresentaram uma extensão deste trabalho

onde comparam modelos bidimensionais e tridimensionais, analisando também o efeito de

barreiras simples e de barreiras paralelas, e simulando fontes lineares coerentes ou

incoerentes.

Modelos mais elaborados, como os que se baseiam no Método dos Elementos de

Fronteira (BEM) ou no Método dos Elementos Finitos, podem também ser usados para

analisar a dispersão de ondas por barreiras acústicas de forma mais realista. No entanto, eles

apresentam a grande desvantagem de necessitarem de tempos e recursos de computação

bastante mais avultados, em particular quando se pretende analisar o fenómeno para

frequências mais elevadas. Um modelo baseado na definição da equação integral de fronteira

foi proposto por Filippi e Dumery (1969) e por Terai (1980) para o cálculo da dispersão de

ondas por ecrãs finos e rígidos em meios infinitos. Mais tarde, este modelo foi modificado por

Kawai e Terai (1990), alargando o seu âmbito de aplicação por forma a ser possível prever a

atenuação sonora que se obtém quando se considera a presença desses ecrãs sobre uma

superfície totalmente reflectora.

Duhamel (1996) usou o BEM para calcular o campo tridimensional de pressões em

redor de barreiras acústicas bidimensionais de secção arbitrária, mas constante segundo uma

direcção, colocadas sobre uma superfície rígida. Esta técnica envolve a aplicação de uma

transformada espacial de Fourier segundo a direcção em que a geometria não varia,

permitindo exprimir a resposta tridimensional na forma de um somatório de soluções

bidimensionais mais simples. Para o efeito, Duhamel usou funções de Green definidas por

179

aplicação do método das imagens. Duhamel e Sergent (1998) incorporaram no modelo a

possibilidade de consideração da absorção acústica do solo, tendo ainda comparado os

resultados fornecidos pelo modelo com resultados experimentais. Um modelo bidimensional

foi usado por Morgan et al (1998) para verificar a influência da forma e da absorção acústica

da sua superfície no desempenho destas barreiras quando usadas como protecção contra o

ruído do tráfego ferroviário. Lacerda et al (1997) usaram uma formulação de elementos de

fronteira baseada no algoritmo dual BEM para estudar a propagação do som em redor de

barreiras finas colocadas sobre um plano infinito, considerando que quer o solo quer a barreira

teriam absorção sonora. Mais tarde, Lacerda et al (1998) propuseram o uso de uma

formulação semelhante para o estudo tridimensional do fenómeno. Jean et al (1999) avaliaram

o desempenho de barreiras acústicas na presença de ruído gerado por tráfego rodoviário,

simulando fontes pontuais e fontes lineares coerentes e incoerentes. As respostas obtidas por

estes autores para fontes pontuais baseiam-se na aplicação de uma transformada de Fourier,

permitindo o uso de modelos bidimensionais para o cálculo da resposta. O modelo permitia

ainda a consideração de absorção sonora na superfície da barreira e no solo.

Como se referiu em capítulos anteriores, o BEM será, provavelmente, a ferramenta

numérica mais adequada para a modelação da propagação de ondas em espaços não

confinados. O autor da presente dissertação aplicou já este tipo de ferramenta para avaliar a

influência da presença de barreiras acústicas bidimensionais na proximidade de edifícios altos

quando sujeitas à acção de fontes de pressão pontuais (Godinho et al, 2001). Nesse trabalho,

supunha-se que a barreira acústica, o solo e o edifício se comportavam como elementos

rígidos. A utilização de funções de Green baseadas no método das imagens tornou possível a

simulação da presença do solo e do edifício sem recorrer à sua discretização. Assim, apenas a

barreira foi discretizada com elementos de fronteira, diminuindo significativamente os

recursos computacionais necessários. Usou-se uma formulação do BEM no domínio da

frequência, obtendo-se, posteriormente, respostas no tempo através da aplicação de uma

transformada inversa de Fourier. A solução tridimensional no domínio da frequência seria

obtida por aplicação de uma transformada espacial de Fourier na direcção em que a geometria

não varia (Duhamel, 1996; Tadeu e Godinho, 1999). Para transformar o integral daí resultante

num somatório discreto, torna-se necessário considerar uma sequência de fontes virtuais

dispostas ao longo do eixo z, com um espaçamento suficientemente grande por forma a evitar

a contaminação da resposta por parte das fontes virtuais (Bouchon e Aki, 1977). No presente

Capítulo aprofunda-se o trabalho anteriormente realizado, recorrendo a modelos que

180

permitem uma maior aproximação às configurações que se podem encontrar em problemas

reais. Desta forma, serão simulados os casos em que a barreira acústica se encontra:

- sobre um solo com propriedades elásticas, delimitado por uma superfície plana;

- no interior de um espaço preenchido por fluido e confinado superior e

inferiormente por dois meios elásticos semi-infinitos;

- no interior de um espaço confinado superior e inferiormente por dois meios

elásticos semi-infinitos, considerando adicionalmente a presença de uma camada

elástica intermédia entre a barreira e o meio superior, a simular a presença de um

tecto falso.

Em todas estas simulações é tida em conta a interacção entre o fluido (ar) e os

diferentes sólidos envolvidos. Além disso, a formulação usada permite ainda a modelação de

um espaço de ar entre a barreira e o pavimento. Este modelo é usado para simular a

propagação de ondas sonoras na vizinhança de painéis elásticos amovíveis quando sujeitos à

acção de cargas de pressão lineares com variação harmónica.

As superfícies horizontais do solo, do tecto e do tecto falso não carecem de

discretização, já que se usam funções de Green que têm em conta as condições de fronteira

adequadas nas interfaces entre estes e o meio acústico. Por esse motivo, apenas se torna

necessário efectuar a discretização das superfícies da barreira. Estas funções de Green foram

já apresentadas em detalhe no Capítulo 3 desta dissertação, e definem o campo de pressões

gerado por uma fonte de pressão linear e harmónica na presença de um espaço fluido

confinado por um espaço sólido semi-infinito com comportamento elástico, baseando-se nos

potenciais de deslocamentos em meios sólidos já apresentados e definidos por Tadeu e Kausel

(2000) para o caso de cargas lineares harmónicas localizadas em meios elásticos semi-

infinitos.

Definem-se, de seguida, as funções de Green 2.5D para a resposta de diferentes

sistemas, constituídos por camadas de materiais fluidos ou elásticos, sujeitos à acção de

cargas lineares harmónicas de pressão localizadas num meio fluido. Seguir-se-á uma breve

descrição da formulação do BEM utilizada na modelação do problema que irá incorporar as

funções de Green definidas, modelação essa que pretende simular a propagação de ondas

sonoras em redor de barreiras acústicas leves e amovíveis, com comportamento elástico,

sujeitas à acção de fontes de pressão. Avalia-se o comportamento de barreiras com diferentes

alturas e com diferentes dimensões do espaço de ar que separa a barreira do pavimento,

inseridas em meios com diferentes configurações. São usados como referência, e para permitir

181

uma interpretação clara dos fenómenos envolvidos, os resultados obtidos para uma barreira

acústica considerada rígida, e para um painel elástico com dimensão infinita.

6.2 - FUNÇÕES DE GREEN 2.5D

Nesta secção, serão apresentadas as funções de Green que permitem o cálculo do

campo de pressões acústicas registado num meio fluido e gerado por uma fonte linear de

ondas de pressão, com variação sinusoidal segundo uma direcção, na presença de diferentes

sistemas constituídos por camadas de materiais fluidos e elásticos. Analisam-se os casos

específicos de um meio fluido limitado inferiormente por um meio elástico semi-infinito e de

um meio fluido limitado inferior e superiormente por meios elásticos semi-infinitos. Para esta

última situação, será estudado também o caso em que, no interior do meio fluido, se encontra

uma camada de material elástico. Na Figura 6.1 representam-se, esquematicamente, os três

casos analisados.

Para todos os casos, uma fonte linear de ondas de pressão, com variação harmónica

segundo uma direcção ( z ), colocada no meio fluido no ponto de coordenadas ( )0 0,x y e

oscilando com uma frequência ω , excita este sistema. Considerando que o meio fluido

apresenta uma massa volúmica fρ e permite uma velocidade de propagação fα , e definindo o

número de onda fkα como sendo 2

22f z

f

k kαωα

= − , com Im( )f

kα <0 e onde zk é o número de

onda axial, o campo de ondas de pressão incidentes gerado por esta fonte é dado por

( ) ( ) ( ) ( )( )2 220 0 0

iˆ , , , H2 f

incz

Ax y k k x x y yασ ω −= − + − , (6.1)

em que A é a amplitude, i 1= − , e sendo ( )2Hn (...) funções de Hankel de ordem n e do

segundo tipo. Quando o número de onda axial zk é nulo, o campo de ondas incidentes

definido por esta expressão reduz-se a um campo bidimensional puro. Se zk assume valores

182

não nulos, a equação (6.1) representa ondas com uma velocidade aparente z

c kω= em relação

ao eixo z . Descrevem-se, de seguida, as funções de Green que permitem considerar a presença

dos diferentes meios existentes em cada um dos três sistemas atrás descritos. Apresentam-se estas funções de forma sucinta, já que o método usado para a sua definição foi já descrito detalhadamente no Capítulo 3 desta dissertação.

Z

Y

X

Fonte linear harmónica

a)

Z

h

Y

X

2

2

2


b)

Z

h

Y

2

2

2

X


3

3

3

h2

c)

Figura 6.1: Representação da geometria dos sistemas analisados, com: a) um meio fluido limitado inferiormente por um meio elástico semi-infinito; b) um meio fluido limitado inferior e superiormente por meios elásticos semi-infinitos; c) o mesmo que em (b) mas considerando a presença adicional de uma camada de material elástico no interior do fluido. Em todos os casos, o sistema é iluminado por uma carga linear com variação harmónica segundo o eixo z, de acordo com a representação gráfica.

6.2.1 - Sistema constituído por um meio fluido limitado inferiormente por um meio sólido semi-infinito

Considere-se um sistema físico constituído por um meio fluido homogéneo, limitado

inferiormente por um meio elástico semi-infinito, de acordo com a representação da Figura

183

6.1a. Para este caso, o campo total de pressões gerado no sistema pode ser calculado somando

a contribuição de duas componentes distintas, correspondendo a primeira à incidência de

ondas geradas pela fonte emissora, já definida anteriormente, e a segunda à contribuição do

conjunto de ondas geradas na interface entre o meio fluido e o meio sólido, expressa pelos

designados termos de superfície. Estes termos podem ser calculados definindo um potencial

de dilatacional no meio fluido e três potenciais de deslocamentos no meio sólido, sendo um

deles um potencial dilatacional e os dois restantes potenciais de corte. As amplitudes destes

potenciais são definidas por forma a verificar as condições de fronteira de continuidade de

deslocamentos, e ainda de tensões verticais entre os dois meios, e de tensões tangenciais nulas

na interface entre ambos. Por forma a tornar possível a resolução do problema, é necessário

exprimir estes potenciais e o campo de ondas incidentes na forma de um integral contínuo de

ondas planas com diferentes inclinações. Este integral é transformado num somatório discreto

considerando um número infinito de fontes distribuídas ao longo da direcção x , igualmente

espaçadas de xL . Considerando que o meio elástico apresenta uma massa volúmica 1ρ e

admite velocidades de propagação para as ondas P e S de 1α e 1β , respectivamente, as

expressões usadas para definir estes potenciais são:

Potenciais de deslocamentos no meio sólido

( )inf inf (1)b

n N

a n dn N

E E A Eφ=+

=−

= ∑

inf inf (2)inf c

n

n Nn

z a n dn N

kE E A Eψγ

=+

=−

=

∑ (6.2)

infinf (3)

infc

n

n N

x a z n dn N

EE k A Eψ

γ

=+

=−

−=

∑ ,

Potencial dilatacional no meio fluido 2 inf

(4)2

i n Nf f

f n dfn Nx f n

EA E

Lα

φω λ ν

=+

=−

−= −

∑ para 0y < . (6.3)

Nestas expressões, ( )0ie nk x xdE − −= , iinf e

fn y

fE ν−= , com 2 2 2f

fn z nk k kαν = − − e 2

nx

k nLπ= ,

21

12a

x

ELρ ω

= , supiinf e n

b

yE ν−= , supiinf e n

c

yE γ−= , inf 2 2 21n p z nk k kν = − − , com ( )infIm 0

nν ≤ ,

inf 2 2 21n s z nk k kγ = − − , com ( )infIm 0

nγ ≤ , 1 1pk ω α= , 1 1sk ω β= , e 1λ e 1µ são as constantes de

184

Lamé do meio sólido inferior. Para determinar a amplitude dos diferentes potenciais, (1) (4)...n nA A , torna-se necessário impor as condições de fronteira atrás descritas e estabelecer o

correspondente sistema de equações. Após a resolução do sistema, a pressão acústica

registada em qualquer ponto do fluido pode ser calculada fazendo uso da expressão

inf

_ (4)iˆn N

finc fs incn df

n Nx n

EA E

Lσ σ

ν

=+

=−

= −

∑ para 0y < . (6.4)

Note-se que, se 0zk = , o sistema de equações final se reduz a três equações e três

incógnitas, correspondendo à resposta bidimensional pura.

6.2.2 - Sistema constituído por um meio fluido limitado inferior e superiormente por meios sólidos semi-infinitos

Considere-se um sistema físico constituído por um meio fluido limitado inferior e superiormente por meios elásticos semi-infinitos, de acordo com a representação da Figura 6.1b. O campo de pressões gerado no sistema pela excitação de uma fonte linear harmónica pode ser calculado adicionando a contribuição do campo directamente incidente, gerado pela fonte emissora, à contribuição das duas interfaces entre o meio fluido e os meios sólidos. Neste caso, torna-se necessário definir dois potenciais dilatacionais no meio fluido, sendo que cada um corresponde a uma das interfaces, e três potenciais de deslocamentos em cada meio sólido. Tal como indicado para o caso anterior, as amplitudes destes potenciais são definidas por forma a verificar as condições de continuidade de deslocamentos e tensões verticais e de tensões tangenciais nulas em cada interface. Considerando que o meio elástico superior apresenta uma massa volúmica 2ρ e admite velocidades de propagação para as ondas P e S de

2α e 2β , respectivamente, os potenciais correspondentes à interface superior serão:

Potencial dilatacional na fronteira superior do meio fluido 2 sup

sup (5)2

if

n Nf f

n dfn Nx f n

EA E

Lα

φω λ ν

=+

=−

−= −

∑ para h 0y− < < (6.5)

185

Potenciais de deslocamentos no meio sólido inferior

( )sup sup (6)b

n N

a n dn N

E E A Eφ=+

=−

= − ∑

sup sup (7)sup c

n

n Nn

z a n dn N

kE E A Eψγ

=+

=−

=

∑ (6.6)

supsup (8)

supc

n

n N

x a z n dn N

EE k A Eψ

γ

=+

=−

−=

∑ .

Nestas expressões, isup ef

n y hfE ν− += , ( )supisup e n

b

y hE ν− += , ( )supisup e n

c

y hE γ− += , sup 2 2 22n p z nk k kν = − − ,

com ( )supIm 0n

ν ≤ , sup 2 2 22n s z nk k kγ = − − , com ( )supIm 0

nγ ≤ , 2 2pk ω α= , 2 2sk ω β= , e 2λ e 2µ

são as constantes de Lamé para o meio sólido superior. As amplitudes dos diferentes

potenciais são calculadas impondo as condições de fronteira atrás descritas e estabelecendo o

correspondente sistema de equações. A resolução deste sistema permitirá o cálculo da pressão

acústica registada em qualquer ponto do fluido fazendo uso da expressão

inf sup

_ (4) (5)iˆn N

f finc fs incn n df f

n Nx n n

E EA A E

Lσ σ

ν ν

=+

=−

= − +

∑ para h 0y− < < . (6.7)

De novo, se 0zk = , o sistema de equações final reduz-se a seis equações e seis

incógnitas, correspondendo à resposta bidimensional pura.

6.2.3 - Sistema constituído por um meio fluido contendo uma camada sólida e confinado por dois meios sólidos semi-infinitos

O sistema agora analisado apresenta-se em tudo semelhante ao definido em 6.2.2,

considerando-se adicionalmente a presença de uma camada sólida, com comportamento

elástico, inserida no seio do meio fluido. Esta situação encontra-se ilustrada na Figura 6.1c. O

campo de pressões gerado no sistema pela excitação de uma fonte linear harmónica pode ser

calculado adicionando a contribuição do campo directamente incidente, gerado pela fonte

emissora, à contribuição das duas fronteiras que confinam o meio fluido a analisar. No caso

186

anterior, foram já definidos os potenciais que permitem definir a influência dos dois meios

elásticos semi-infinitos que então confinavam o meio fluido. Para o presente caso, a inserção

de uma camada sólida (tecto falso) no seio do meio fluido obriga à definição de potenciais

adicionais que correspondem a três potenciais de deslocamentos no sólido e um potencial

dilatacional no fluido em cada uma das novas interfaces fluido-sólido. Assim, será necessário

definir oito novos potenciais. Considerando que a camada elástica apresenta uma massa

volúmica 3ρ e admite velocidades de propagação para as ondas P e S de 3α e 3β ,

respectivamente, esses novos potenciais serão:

Potencial dilatacional no meio fluido na fronteira inferior do tecto falso 2 tecto_ inf

tecto_ inf (9)2

if

n Nf f

n dfn Nx f n

EA E

Lα

φω λ ν

=+

=−

−= −

∑ (6.8)

Potenciais de deslocamentos na fronteira inferior do tecto falso

( )tecto_ inf tecto_ inf (10)b

n N

a n dn N

E E A Eφ=+

=−

= − ∑

tecto_ inf tecto_ inf (11)tecto c

n

n Nn

z a n dn N

kE E A Eψγ

=+

=−

=

∑ (6.9)

tecto_ inftecto_ inf (12)

tectoc

n

n N

x a z n dn N

EE k A Eψ

γ

=+

=−

−=

∑

Potenciais de deslocamentos na fronteira superior do tecto falso

( )tecto_ sup tecto_ sup (13)b

n N

a n dn N

E E A Eφ=+

=−

= ∑

tecto_ sup tecto_ sup (14)tecto c

n

n Nn

z a n dn N

kE E A Eψγ

=+

=−

=

∑ (6.10)

tecto_ suptecto_ sup (15)

tectoc

n

n N

x a z n dn N

EE k A Eψ

γ

=+

=−

−=

∑

Potencial dilatacional no meio fluido na fronteira superior do tecto falso 2 tecto_ sup

tecto_ sup (16)2f

n Nf f

n dfn Nx f n

Ei A EL

αφ

ω λ ν

=+

=−

−= −

∑ . (6.11)

187

Nestas expressões, 2tecto_ sup ef

ni y h espfE ν− + += , ( )sup

2tecto_ sup e n

b

i y h espE ν− + += , ( )sup2tecto_ sup e n

c

i y h espE γ− + += ,

2tecto_ inf ef

ni y hfE ν− += , ( )sup

2tecto_ inf e n

b

i y hE ν− += , ( )sup2tecto_ inf e n

c

i y hE γ− += , tecto 2 2 23n p z nk k kν = − − , com

( )tectoIm 0n

ν ≤ , tecto 2 2 23n s z nk k kγ = − − , com ( )tectoIm 0

nγ ≤ , 3 3pk ω α= , 3 3sk ω β= , e 3λ e 3µ

são as constantes de Lamé para o tecto. As amplitudes dos diferentes potenciais são

calculadas impondo as condições de fronteira atrás descritas e estabelecendo o correspondente

sistema de equações. A resolução deste sistema permitirá o cálculo da pressão acústica

registada em qualquer ponto do fluido através da expressão

inf tecto_ sup

_ (4) (9)iˆn N


n Nx n n

E EA A E

Lσ σ

ν ν

=+

=−

= − +

∑ para h 0y− < < . (6.12)

Quando se considera 0zk = , o sistema de equações reduz-se a doze equações e doze

incógnitas. Novamente, para esta situação irá obter-se a resposta bidimensional pura.

6.3 - FORMULAÇÃO DO MÉTODO DOS ELEMENTOS DE FRONTEIRA

Considere-se um meio fluido infinito e homogéneo, contendo uma inclusão constituída

por um material com comportamento elástico e uma geometria bidimensional, como ilustrado

na Figura 6.2. O material elástico que constitui a inclusão admite velocidades de propagação

para as ondas dilatacionais e de corte de sα e sβ , respectivamente, e apresenta uma massa

volúmica sρ , enquanto que o meio fluido envolvente tem uma massa volúmica fρ e admite

velocidades de propagação fα para as ondas de pressão.

Foi já apresentada no Capítulo 4 uma explicação detalhada da formulação do BEM

usada nesta dissertação. No contexto do presente Capítulo, torna-se apenas necessário referir

188

s

s

s

Carga de pressão linear e harmónica

Y

ZX

Figura 6.2: Representação esquemática da geometria do sistema, em que há um corpo elástico com geometria

bidimensional inserido num meio fluido infinito e homogéneo. O sistema é iluminado por uma carga linear com variação harmónica segundo o eixo z.

que a aplicação do método a este caso requer a avaliação de equações integrais ao longo da

fronteira apropriadamente discretizada. Se se considerar uma discretização em N elementos

de fronteira constantes e rectilíneos, com o ponto nodal localizado no centro de cada

elemento, e se o campo gerado pela fonte de ondas de pressão, na ausência de qualquer

inclusão, for dado por ˆ incσ , as equações integrais relevantes serão:

ao longo da fronteira, do lado do sólido

*1 1

1

3*

1 1

t u ( , )

u t ( , ) u , para =1,2,3

n

n

Nn

i nP nn S

Nn Pj ij n iP n

j n S

x x dS

x x dS C i

=

= =

=

= +

∑ ∫

∑∑ ∫

(6.13)

ao longo da fronteira, do lado do fluido

*0

1

2 *1

1

ˆg ( , ) ( , )

u ( , ) .

n

n

Nn

n incP n Pn S

Nn P

f nP nn S

x x dS x x

x x dS C

σ σ

ρω σ σ

=

=

+ =

= − +

∑ ∫

∑ ∫

onde nσ e 1unf se referem ao meio fluido e representam a pressão e o deslocamento na

direcção normal à fronteira da inclusão no ponto nodal do elemento de fronteira n, e Pσ

representa a pressão no ponto de aplicação do carregamento virtual. Da mesma forma, 1tn e un

j

representam, para o meio sólido, a tensão normal e o deslocamento segundo a direcção j no

ponto nodal do elemento n.

189

Nas Equações (6.13), *t ( , )ij P nx x e *1u ( , )i P nx x , são, respectivamente, as componentes do

tensor de Green para tensões e deslocamentos provocados no meio elástico que constitui a

inclusão, no ponto nx da fronteira e na direcção j, por uma carga unitária aplicada em Px na

direcção i. O factor C é uma constante cujo valor depende da forma da fronteira considerada,

assumindo, neste caso, o valor 1/ 2 , já que o ponto nodal se encontra no meio de cada

elemento. As funções de Green a utilizar foram já definidas no Capítulo 4, correspondendo às

soluções fundamentais para deslocamentos e tensões num meio sólido infinito.

Os termos *( , )P nx xσ são os componentes do tensor de Green para as pressões no

fluido, no ponto nx , provocadas por uma carga unitária de pressão localizada em Px ;

*g ( , )P nx x são os componentes do tensor de Green para os deslocamentos no ponto nx do

fluido provocados por uma carga unitária de pressão localizada em Px .

O processo descrito para o estabelecimento do método dos elementos de fronteira para

o caso de uma inclusão elástica localizada num meio fluido infinito pode ser também usado

para a simulação dos casos descritos na secção 6.2. Para tal, apenas será necessário utilizar as

correspondentes funções de Green, indicadas em 6.2.1, 6.2.2 e 6.2.3, quando se estabelece a

equação integral de fronteira do lado do fluido. Será, então, possível ter em conta as diferentes

fronteiras existentes no sistema sem recorrer à sua discretização. De acordo com o definido na

secção anterior, e em maior detalhe no Capítulo 3, estas funções de Green são obtidas pela

soma do campo de ondas incidentes gerado directamente pela fonte de pressão com o campo

gerado nas diferentes interfaces sólido-fluido, representado pelos designados termos de

superfície. Estes termos são calculados por forma a garantir as condições de fronteira de

continuidade de tensões e deslocamentos normais, e de tensões tangenciais nulas nestas

interfaces.

6.4 - APLICAÇÕES

O algoritmo de elementos de fronteira apresentado anteriormente foi usado para

avaliar o comportamento de barreiras acústicas constituídas por um material leve com

comportamento elástico sujeitas à acção de uma fonte linear harmónica de pressão,

190

considerando a existência de um espaço de ar entre a base da barreira e o pavimento.

Diferentes cenários são estudados, correspondendo a barreiras elásticas situadas em espaços

abertos ou em espaços confinados. Usam-se, como referência para comparação, soluções

obtidas para o caso de uma barreira rígida (Godinho et al, 2001), calculadas através da

aplicação de um modelo de elementos de fronteira. As características fundamentais das

respostas obtidas são identificadas comparando os resultados com os que se obtêm da análise

de um painel elástico infinito, limitado por dois meios fluidos, de acordo com as soluções

propostas por Tadeu e António (2002). Realizam-se também simulações para fontes lineares

com diferentes variações espaciais sinusoidais segundo o eixo z .

As barreiras acústicas analisadas são modeladas recorrendo a uma discretização com

elementos de fronteira, cujo número aumenta com o aumento da frequência de excitação. Para

definir o número de elementos a usar em cada frequência impõe-se que a relação entre o

comprimento de onda e o comprimento do elemento seja, no mínimo, de 6. Em caso algum se

usa um número de elementos inferior a 250 para discretizar o obstáculo. Sendo a barreira

modelada como um corpo elástico com espessura constante, verifica-se a existência de

elementos paralelos e muito próximos entre si. Para evitar a possibilidade de erros numéricos

devidos a esta proximidade, impõe-se também que a relação entre a espessura da barreira e o

comprimento de cada elemento seja igual ou superior a 6. Ainda para garantir a estabilidade

numérica do modelo, obriga-se a que o comprimento de cada elemento que discretiza a base

da barreira seja pelo menos 4 vezes inferior à dimensão do espaço de ar que separa a barreira

do solo.

Nos diferentes casos estudados considera-se que o pavimento sobre o qual se localiza

a barreira é feito de betão ( 31 2 250 kg/mρ = , 1 1 415.8 m/sβ = e 1 2629.8 m/sα = ; Farinha et al,

2000) ou de cortiça ( 31 180 kg/mρ = , 1 204.1 m/sβ = e 1 288.7 m/sα = ; Farinha e Reis, 2000),

enquanto que o material elástico que constitui a barreira é a cortiça ( 3180 kg/msρ = ,

204.1 m/ssβ = e 288.7 m/ssα = ). Considera-se ainda que o meio fluido é o ar, com uma massa

volúmica 31.22 kg/mfρ = e onde as ondas sonoras se propagam com uma velocidade

340 m/sfα = . A fonte emissora de ondas de pressão localiza-se 0.6m acima do pavimento e a

uma distância de 2.75 m de uma barreira de altura h , com a base distando w do pavimento.

Os cálculos são efectuados na gama de frequências [ 2.0 , 2000.0 Hz ]. Considera-se que a

parte imaginária da frequência complexa é dada por 3.5 rad/sη π= .

191

6.4.1 - Comportamento de barreiras elásticas num espaço aberto

O primeiro caso estudado corresponde a uma barreira constituída por um material

elástico colocada sobre um solo também ele com comportamento elástico; a barreira supõe-se

iluminada por uma fonte harmónica linear. A avaliação do comportamento da barreira será

feita recorrendo a duas abordagens distintas:

- Na primeira abordagem, estuda-se a atenuação sonora proporcionada por barreiras acústicas constituídas por um material elástico. Calculam-se respostas, no domínio da frequência, sobre uma grelha de 25 receptores localizados do lado da barreira oposto à fonte emissora, de acordo com a Figura 6.3. É efectuado o cálculo dos níveis sonoros registados nestes receptores sem e com a presença da barreira acústica, sendo a atenuação sonora a diferença entre os níveis sonoros calculados para ambas as situações. Considera-se, em primeiro lugar, que a fonte emissora é uma fonte linear bidimensional pura, com 0.0rad/mzk = , gerando um campo de

ondas incidente que viaja perpendicularmente ao eixo z . Numa segunda fase, considera-se que a fonte gera ondas sonoras que viajam com uma certa inclinação em relação a z . Nesta situação, as ondas sonoras viajam com uma velocidade aparente zc kω= segundo o eixo z . Todos estes resultados são comparados com

os que se obtêm para um modelo que considera as superfícies da barreira e do solo como sendo rígidas.

2.75m

s

0.70

m

X

Y

0.70m

t

h

w

s

s

O

0.60m

Receptores Figura 6.3: Representação esquemática do modelo de simulação, com uma barreira acústica de espessura t e

altura total h+w, colocada a uma distância w do pavimento, iluminada por uma fonte linear harmónica colocada em O. Representa-se na figura a posição dos receptores onde é calculada a resposta.

192

- Na segunda abordagem, são calculados os níveis sonoros sobre uma grelha de

receptores com espaçamentos vertical e horizontal de 0.2m, colocados de ambos os

lados da barreira, para analisar o nível de pressão sonora registado em redor da

barreira acústica em frequências específicas. Mais uma vez, são usados como

referência os resultados obtidos por um modelo que considera as superfícies da

barreira e do solo como sendo rígidas.

6.4.1.1 - Análise da atenuação sonora

Num primeiro conjunto de simulações considera-se que a barreira acústica tem

espessura 0.15 mt = e uma distância ao solo 3.0 mh w+ = , e está sujeita à acção de uma fonte

linear emissora de ondas de pressão com 0.0rad/mzk = . A Figura 6.4a apresenta a atenuação

sonora média proporcionada por barreiras acústicas elásticas e rígidas com um espaço de ar

entre a barreira e o solo de 0.05 mw = . A atenuação média proporcionada pelas barreiras é

calculada de acordo com o processo descrito anteriormente, tomando os níveis sonoros

médios determinados sem e com a presença da barreira acústica.

Na gama das frequências baixas, as duas curvas apresentam uma evolução muito

semelhante, mas é possível verificar que a barreira com comportamento rígido apresenta uma

atenuação um pouco superior à barreira constituída por um material elástico (cortiça). Este

facto fica a dever-se à passagem de alguma energia sonora através da barreira elástica, já que

esta não reflecte totalmente a energia que incide na sua superfície. Os resultados calculados

para a barreira de cortiça exibem um conjunto de quebras na curva de atenuação sonora que

não são registadas no modelo rígido. Estas quebras são causadas pela interacção entre as

diferentes ondas que se propagam no interior do material elástico da barreira, sendo algumas

delas bastante pronunciadas, indicando um comportamento menos eficaz da barreira elástica

em algumas frequências.

Para melhor compreender este comportamento, simula-se um painel elástico de

cortiça, de dimensão infinita e com a mesma espessura da barreira. Para analisar este painel,

dispõe-se uma grelha de receptores no lado do painel que não contém a fonte emissora, de

acordo com a representação gráfica da Figura 6.5a. Mais uma vez, a atenuação sonora é

calculada como a diferença entre os níveis sonoros médios registados sobre a grelha de

receptores sem e com a presença do painel elástico infinito.

193

A atenuação média proporcionada pelo painel elástico infinito está representada na

Figura 6.5b. É possível observar a presença de quebras de isolamento muito acentuadas

relacionadas com interacções múltiplas entre ondas que viajam no interior do painel,

associadas a efeitos de ressonância. A primeira e segunda frequências são de

( )1 2 2 960Hzrf tα= = e ( )2 22 2 1920Hzrf tα= = , respectivamente. Os resultados apresentados

anteriormente para barreiras elásticas evidenciavam também a presença de quebras na

atenuação proporcionada pela barreira nestas frequências. Estas quebras, bastante acentuadas,

não eram previstas pelo modelo que assume o comportamento rígido da barreira.

0

5

10

15

20

10 100 10002 2000

Barreira rígidaBarreira elástica

Frequência (Hz)

Ate

nuaç

ão s

onor

a m

édia

(dB)

a)

0

10

20

30

10 100 10002 2000


Frequência (Hz)

Ate

nuaç

ão s

onor

a m

édia

(dB)

b)

Figura 6.4: Curvas de atenuação sonora determinadas para barreiras com h+w=3.0 m e nas condições do texto: a) Barreira elástica e barreira rígida com w=0.05 m; b) Barreira elástica e barreira rígida com w=0.02 m.

194

Receptores

0.5m

t

2.75

mO

0.5m

5.0m

=204.1m/s=288.7m/s=180kg/m3

a)

0

10

20

30

10 100 10002 2000

fr2fr1

Frequência (Hz)

Ate

nuaç

ão s

onor

a m

édia

(dB

)

b)

Figura 6.5: a) Representação esquemática do sistema em que há um painel elástico infinito, sujeito à acção de uma fonte linear harmónica colocada em O; b) Curva de atenuação sonora calculada para um painel infinito constituído por cortiça.

Na Figura 6.4b apresentam-se as curvas de atenuação obtidas quando 0.02 mw = . De

novo, o modelo rígido prevê atenuações sonoras mais elevadas em toda a gama de frequências

analisada. Comparando os resultados com os calculados para 0.05 mw = , é possível observar

que a diminuição da dimensão do espaço de ar sob a barreira permite um aumento

significativo da atenuação proporcionada pela barreira em ambos os modelos e para toda a

gama de frequências. Pode, assim, concluir-se que a dimensão do espaço de ar existente sob a

barreira é um factor que influencia de forma determinante a atenuação proporcionada por esta,

pelo que a sua não consideração no cálculo leva, seguramente, a resultados irrealistas e

demasiado optimistas.

A atenuação sonora média proporcionada por barreiras de maior altura, com

4.0 mh w+ = , e para a mesma fonte bidimensional considerada anteriormente, encontra-se

representada na Figura 6.6. As Figuras 6.6a e 6.6b referem-se a barreiras cuja base se encontra

a diferentes distâncias do pavimento, com 0.05 mw = e 0.02 mw = , respectivamente. Tal

195

0

5

10

15

20

10 100 10002 2000


Frequência (Hz)

Aten

uaçã

o so

nora

méd

ia (d

B)

a)

0

10

20

30

10 100 10002 2000


Frequência (Hz)

Ate

nuaç

ão s

onor

a m

édia

(dB)

b)

Figura 6.6: Curvas de atenuação sonora determinadas para barreiras com h+w=4.0 m e nas condições do texto: a) Barreira elástica e barreira rígida com w=0.05 m; b) Barreira elástica e barreira rígida com w=0.02 m.

como era esperado, o desempenho das barreiras rígidas ou elásticas de maior altura é agora

melhor que o registado para barreiras com 3.0 mh w+ = . Esta melhoria é particularmente

visível para frequências mais baixas. À medida que a frequência aumenta, o ganho de

desempenho torna-se menor, e a atenuação sonora aproxima-se da representada nas curvas das

Figuras 6.4a e 6.4b. Quando a dimensão do espaço de ar sob a barreira diminui para

0.02 mw = , regista-se um aumento global da atenuação proporcionada pela barreira, como é

visível na Figura 6.6b. Mais uma vez, este comportamento parece indicar que a dimensão do

espaço deixado entre a barreira e o pavimento é um factor com grande influência na atenuação

proporcionada pela barreira.

196

Na tentativa de procurar compreender a importância da consideração das propriedades

elásticas do meio sólido que constitui o pavimento, foram efectuadas simulações adicionais

onde se fez variar as suas propriedades. Na Figura 6.7a apresenta-se a curva de atenuação

sonora calculada considerando que o material que constitui o solo é o mesmo que constitui a

0

5

10

15

20

10 100 10002 2000

Solo em cortiçaSolo em betão

Frequência (Hz)

Aten

uaçã

o so

nora

méd

ia (d

B)

a)

5

7

9

11

13

15

100 200 500 1000 2000

Solo em cortiçaSolo em betão

Frequência (Hz)

Aten

uaçã

o so

nora

méd

ia (d

B)

b)

Figura 6.7: Curvas de atenuação sonora determinadas para barreiras com h+w=3.0 m e w=0.05 m, fazendo variar as propriedades elásticas do solo: a) Curvas de atenuação para a gama de frequência [2.0, 2000.0 Hz]; b) Pormenor da curva de atenuação na gama de frequências [100.0, 2000.0 Hz].

barreira elástica (cortiça), em conjunto com a calculada anteriormente para um solo

constituído por betão. Considera-se que a altura total da barreira ao solo é 3.0 mh w+ = , com

0.05 mw = . A curva de atenuação sonora é muito próxima em ambas as situações estudadas,

verificando-se que os resultados quase coincidem na gama das baixas frequências. No

197

entanto, para frequências mais elevadas há algumas diferenças entre ambas as curvas. Estas

diferenças são mais facilmente observáveis na Figura 6.7b, onde se apresenta uma visão

ampliada da mesma curva mas incluindo apenas a gama de frequências [100.0, 2000.0 Hz].

Torna-se possível verificar que a consideração de um solo em cortiça leva a um ligeiro

aumento da atenuação total proporcionada pela barreira nas altas frequências. Este aumento

será devido ao facto de o menor contraste entre as propriedades do meio fluido (ar) e sólido

(cortiça) permitir a passagem de uma maior quantidade de energia para o sólido. No entanto,

na globalidade, os valores de atenuação proporcionados pela barreira não serão muito

influenciados pelas propriedades elásticas do solo subjacente.

Numa última simulação pretende ilustrar-se o comportamento destas barreiras quando

sujeitas à acção de fontes lineares harmónicas emitindo ondas sonoras com uma velocidade

aparente em relação ao eixo z de 450 m/s . Esta velocidade aparente corresponde a ondas com

uma inclinação de 40.93 ° em relação ao mesmo eixo. A Figura 6.8a apresenta a curva de

atenuação para esta situação quando 3.0 mh w+ = e 0.05 mw = . Para permitir uma

interpretação mais fácil dos resultados obtidos, estes são comparados com os que se obtêm

modelando um painel elástico de dimensão infinita e com a mesma espessura da barreira

(Figura 6.8b).

Para esta situação, a atenuação sonora registada é um pouco inferior à observada

anteriormente para o caso bidimensional puro (Figura 6.4a). No entanto, as principais

características identificadas para este último caso são de novo observáveis, sendo visíveis

quebras pronunciadas na curva de atenuação relacionadas com os efeitos de ressonância que

ocorrem no interior do material elástico.

6.4.1.2 - Níveis sonoros registados em frequências específicas

Nesta subsecção estudam-se os níveis sonoros registados sobre uma grelha de

receptores dispostos de ambos os lados da barreira elástica em frequências específicas. O

nível sonoro é calculado recorrendo à expressão ( )22 5(dB) 10log 2 10L p − = × , onde p se

refere à amplitude da pressão registada em cada ponto e 52 10 Pa−× é a pressão de referência.

198

0

5

10

15

20

10 100 10002 2000


Frequência (Hz)

Ate

nuaç

ão s

onor

a m

édia

(dB)

a)

0

10

20

30

40

10 100 10002 2000

fr2fr1

Frequência (Hz)

Ate

nuaç

ão s

onor

a m

édia

(dB)

b)

Figura 6.8: Curvas de atenuação sonora determinadas para barreiras com h+w=3.0 m e w=0.05 m, quando a fonte sonora emite ondas com uma velocidade aparente de 450.0 m/s em relação ao eixo z: a) Curvas de atenuação calculadas para a barreira acústica; b) Curva de atenuação calculada para um painel elástico infinito com a mesma espessura da barreira.

Na Figura 6.9 apresentam-se os níveis de pressão registados em cada receptor para as

frequências de 50.0 Hz , 500.0 Hz e 960.0 Hz , na presença de uma barreira elástica (Figura

6.9a) ou rígida (Figura 6.9b). Nestes gráficos usa-se uma escala de cores, que varia do azul até

ao vermelho à medida que o nível sonoro aumenta.

Quando a frequência de excitação é de 50.0 Hz, os dois modelos levam à obtenção de

resultados muito semelhantes, com excepção dos calculados em receptores localizados junto

do solo e do lado oposto da barreira ao que contém a fonte. Quando se considera a presença

de um solo elástico, o nível de pressão sonora registado junto do solo atrás da barreira é

199

a) b)

50 Hz

500 Hz

960 Hz

Figura 6.9: Níveis sonoros (em dB) registados em redor da barreira acústica para frequências específicas: a) Situação em que o solo e a barreira são constituídos por materiais elásticos; b) Situação em que se considera que o solo e a barreira são rígidos.

ligeiramente atenuado, já que nem toda a energia que incide no solo é reflectida de volta para

o meio fluido. Tal comportamento não ocorre quando se considera um solo perfeitamente

rígido, e nessa situação a energia é totalmente reflectida de volta para o ar. Quando a

frequência de excitação aumenta para os 500.0 Hz, torna-se ainda mais semelhante. Note-se,

no entanto, que em ambos os casos a presença de um espaço de ar entre a barreira e o solo

leva a um aumento perceptível do nível sonoro registado atrás da barreira. Se a frequência de

excitação coincidir com a frequência em que ocorre uma das quebras de atenuação observadas

200

na subsecção 6.4.1.1, o comportamento registado nos dois casos anteriores modifica-se

radicalmente. Na frequência de 960.0 Hz, coincidente com a primeira frequência de

ressonância, os resultados calculados para o modelo de barreira elástica exibem níveis sonoros

bastante mais elevados em receptores localizados atrás da barreira. Este comportamento deve-

se precisamente ao efeito de ressonância que ocorre no interior do material elástico da

barreira, que leva a que a energia sonora atinja os receptores dispostos atrás da barreira com

perdas muito menores. Em contraste com esta situação, a atenuação sonora calculada para o

modelo rígido revela uma atenuação bastante pronunciada dos níveis sonoros registados

nesses receptores. Este comportamento era esperado, já que toda a energia que incide

directamente sobre a barreira rígida é reflectida, sendo que apenas chegam aos receptores as

ondas que viajam através do espaço de ar sob a barreira e as que sofrem o efeito de difracção

no topo da barreira. De facto, para o modelo rígido é mesmo visível um aumento significativo

do nível sonoro registado junto da base da barreira, o que fica a dever-se à existência de um

espaço aberto entre a barreira e o solo.

6.4.2 - Comportamento de barreiras elásticas em espaços confinados

Em muitos casos práticos, as divisórias leves amovíveis são usadas no interior de

espaços fechados, de grandes dimensões em planta, por forma a permitir a definição de

compartimentos onde não se faça sentir, de forma acentuada, o som gerado noutros pontos do

mesmo espaço. Por forma a melhor compreender o comportamento destas divisórias,

analisa-se, nesta subsecção, o comportamento de painéis elásticos amovíveis colocados no

interior de um espaço confinado inferior (solo) e superiormente (tecto). Ambos os meios

confinantes são modelados como meios elásticos semi-infinitos, constituídos por betão. Em

todos os exemplos apresentados, a barreira acústica será constituída por cortiça, apresentando

uma altura total ao solo de 3.0 m e uma abertura na sua base de 0.05 m. São apresentados

resultados para duas configurações distintas:

- Num primeiro grupo de simulações analisa-se o comportamento da barreira

elástica supondo apenas a presença do solo e tecto constituídos por betão, fazendo

variar a altura total do espaço.

201

- Num segundo grupo verifica-se a influência que tem um tecto falso, também ele

elástico e constituído por um material leve, na atenuação sonora proporcionada

pela barreira elástica.

6.4.2.1 - Comportamento de uma barreira elástica num espaço confinado superior e inferiormente por meios elásticos semi-infinitos.

A atenuação proporcionada por uma barreira elástica inserida num espaço confinado,

de acordo com o esquema da Figura 6.10, foi calculada para espaços com diferentes alturas.

Tal como nos casos anteriores, são usados como referência para comparação os resultados

obtidos por aplicação de um modelo de elementos de fronteira que considera todas as

2.75m

H

w

h

0.70

m

s

s

s0.70m

0.60m

O

Betão

Betão

Receptores

t

Figura 6.10: Representação esquemática do sistema em que há uma barreira acústica de espessura t e altura total

h+w, colocada num espaço confinado de altura H e a uma distância w do pavimento. O sistema é iluminado por uma fonte linear harmónica colocada em O. Representa-se na figura a posição dos receptores onde é calculada a resposta.

superfícies envolvidas como sendo rígidas. Nos diferentes gráficos das Figuras 6.11 e 6.12

apresentam-se os resultados calculados para os diferentes valores da altura total (H) do meio

acústico.

O gráfico da Figura 6.11 refere-se ao caso em que H=3.2 m, apresentando a solução

obtida para barreiras acústicas elásticas e rígidas. Adicionalmente, e para permitir uma

interpretação mais simples dos resultados, representa-se também a solução calculada na

subsecção 6.4.1.1 para o caso de uma barreira elástica colocada num espaço aberto. Da

202

0

5

10

15

20

10 100 10002 53.2 2000

Barr. rígida em esp. confinadoBarr. elástica em esp. confinadoBarr. elástica em esp. aberto

Frequência (Hz)

Ate

nuaç

ão s

onor

a m

édia

(dB

)

Figura 6.11: Curvas de atenuação sonora média determinadas para barreiras elásticas e rígidas com h+w=3.0 m,

inseridas em espaços confinados com H=3.2 m, e para a mesma barreira elástica inserida num espaço aberto.

observação da Figura 6.11 pode concluir-se que a atenuação proporcionada pela barreira num

espaço aberto é, em regra, superior à calculada, para a mesma barreira, num espaço confinado,

verificando-se que esta apenas ultrapassa a eficácia da primeira em algumas frequências

específicas. De facto, a presença do confinamento superior (tecto) provoca a ocorrência de

níveis sonoros mais elevados, uma vez que a energia sonora é, em grande parte, reflectida na

sua superfície e na superfície do solo, gerando campos sonoros de grande amplitude. A

introdução da barreira acústica neste meio vem diminuir, em geral, o nível sonoro registado

em receptores situados atrás desta. No entanto, uma parte da energia irá atingir a grelha de

receptores após uma primeira reflexão na superfície superior, não sendo influenciada pela

presença da barreira. Para o presente caso, em que a dimensão da abertura localizada acima da

barreira é bastante significativa (0.20 m), este será o factor determinante para o pior

desempenho da barreira quando inserida num espaço confinado.

É também interessante verificar a existência de uma estrutura de picos e quebras

bastante pronunciados na curva de atenuação para as barreiras inseridas em espaços

confinados, quer estas sejam rígidas quer sejam elásticas. A ocorrência destes picos e quebras

relaciona-se directamente com a interacção entre as diferentes ondas que viajam no sistema.

Pode determinar-se a posição da primeira destas quebras calculando a primeira frequência em

que ocorre interacção construtiva entre múltiplas reflexões ocorridas no solo e no tecto,

frequência essa dada por 53.1Hz2 H

cf = =×

.

Comparando os resultados calculados através do modelo que considera o comportamento elástico dos materiais com os fornecidos pelo modelo que considera que todas

203

as fronteiras do sistema são rígidas, verifica-se que a evolução das duas curvas é similar, notando-se, no entanto, uma tendência para a previsão de um desempenho mais fraco nas frequências mais baixas quando se considera o segundo modelo. Este comportamento fica a dever-se, provavelmente, ao facto de, quando as diferentes superfícies são consideradas rígidas, não ocorrer a passagem de energia do meio acústico para os diferentes meios elásticos, nem o atravessamento da barreira por ondas sonoras que irão interferir com o campo de ondas que chega aos receptores através das aberturas inferior e superior da barreira. Este último fenómeno pode manifestar-se na forma de interferências construtivas ou destrutivas, dependendo da fase das diferentes ondas que atingem os receptores, pelo que o desempenho da barreira rígida poderá ser inferior ou superior ao da barreira elástica em frequências determinadas.

Os gráficos da Figura 6.12 ilustram o comportamento das mesmas barreiras quando colocadas no interior de espaços com alturas totais de H=4.0 m (Figura 6.12a) e H=6.0 m (Figura 6.12b). Em ambos os casos se verifica que as curvas calculadas por aplicação dos dois modelos considerados são bastante próximas, não podendo afirmar-se que o desempenho da barreira previsto por aplicação de qualquer dos modelos seja superior ao que se calcula por aplicação do outro. A existência de picos e quebras relacionados com as diferentes interferências entre ondas que viajam no sistema é mais uma vez visível, registando-se a primeira quebra na vizinhança das frequências 42.5 Hzf = , quando H=4.0m, e 28.3 Hzf = ,

quando H=6.0 m. É importante verificar que em redor destas frequência se registam atenuações com valor negativo, significando que a presença da barreira provoca, nestas frequências específicas, níveis sonoros mais elevados que os iniciais. De facto, na ausência de qualquer barreira acústica, os receptores analisados registam níveis sonoros bastante baixos que ficam a dever-se à combinação de ondas que aí chegam em oposição de fase. Nesse caso, as ondas em causa serão a onda directamente incidente, proveniente da fonte, e a onda que sofre uma primeira reflexão no tecto do espaço confinado. Esta interferência destrutiva não se verifica se for interposta uma barreira entre os receptores e a fonte, pelo que o nível sonoro nessa situação acaba por ser mais elevado do que o registado na ausência do obstáculo.

6.4.2.2 - Comportamento de uma barreira elástica num espaço confinado com tecto falso.

O efeito da presença de um tecto falso sob o meio elástico superior é agora analisado.

Para tal, considere-se o sistema definido na Figura 6.13, onde se representa um espaço

204

0

5

10

15

10 100 10002 42.5 2000

Barr. rígida em esp. confinadoBarr. elástica em esp. confinado

Frequência (Hz)

Ate

nuaç

ão s

onor

a m

édia

(dB

)

a)

0

5

10

15

10 100 10002 28.3 2000

Barr. rígida em esp. confinadoBarr. elástica em esp. confinado

Frequência (Hz)

Ate

nuaç

ão s

onor

a m

édia

(dB

)

b)

Figura 6.12: Curvas de atenuação sonora determinadas para barreiras com h+w=3.0 m: a) Atenuação sonora média para H=4.0 m; b) Atenuação sonora média para H=6.0 m.

acústico confinado superior e inferiormente por meios elásticos semi-infinitos que distam

4.0m entre si, constituídos por betão; nesse espaço considera-se a presença de uma camada

elástica de espessura e=0.013 m em gesso cartonado, pretendendo simular a presença de um

tecto falso a 3.2 m do solo. Nos cálculos efectuados, considera-se que este material apresenta

uma massa volúmica 33 820 kg / mρ = e permite a propagação de ondas P e S com velocidades

3 2189.6 m/sα = e 3 1243.4 m/sβ = .

Na Figura 6.14 representa-se a curva de atenuação média prevista na presença de uma

barreira elástica para o sistema atrás descrito. Como termo de comparação, optou-se por

apresentar também a curva de atenuação média proporcionada pela mesma barreira sem

considerar a presença do tecto falso e considerando uma distância total entre os dois meios

elásticos que confinam o espaço acústico de 3.2 m. As curvas calculadas para estas duas

205

situações apresentam evoluções bastante semelhantes, verificando-se que, para as frequências

mais elevadas, a influência do tecto falso não é visível. No entanto, observando a resposta

obtida no domínio das baixas frequências (abaixo dos 100 Hz), as curvas apresentadas

revelam comportamentos distintos dos dois sistemas. Na presença de um tecto falso, a

atenuação proporcionada pela barreira é um pouco superior, indicando que o funcionamento

conjunto dos dois elementos permite atenuar a transmissão de energia através da abertura

superior da barreira.

Betão

2.75m

Betão

Receptores

3.2m

0.8m

0.70

m

h

w 0.60m

Gesso cartonado

Cortiça

O

3=1243.4 m/s3=2189.6 m/s3=820 kg/m3

Receptores

Figura 6.13: Representação esquemática do sistema onde há uma barreira acústica de espessura t, altura total

h+w=3.0 m e w=0.05 m, colocada num espaço confinado com uma altura total de 4.0 m e com um tecto falso em gesso cartonado a uma distância de 0.8 m do tecto.

0

5

10

15

20

10 100 10002 2000

Barr. elástica em esp. confinado com tecto falsoBarr. elástica em esp. confinado

Frequência (Hz)

Ate

nuaç

ão s

onor

a m

édia

(dB

)

Figura 6.14: Curvas de atenuação sonora determinadas para barreiras elásticas inseridas em meios acústicos

confinados, com e sem a presença de um tecto falso.

206

6.5 - CONCLUSÕES

Neste Capítulo avaliou-se o comportamento de barreiras constituídas por materiais elásticos usando um modelo de elementos de fronteira. O modelo proposto revelou-se eficiente, já que apenas requer a discretização das superfícies da barreira, sendo que a presença de diferentes meios sólidos simulando o solo, o tecto e o tecto falso, todos eles com comportamento elástico, é tida em conta através da utilização de funções de Green adequadas. Estas funções de Green permitem considerar de forma exacta a interacção entre o fluido e os diferentes sólidos em presença.

Os resultados obtidos por aplicação deste modelo foram comparados com os que se obtêm modelando a barreira e as diferentes superfícies como elementos rígidos. A atenuação sonora proporcionada pela barreira mostrou-se muito dependente do comportamento dinâmico desta, exibindo quebras pronunciadas de atenuação relacionadas com a interacção entre ondas que se propagam no material elástico que a constitui. As respostas obtidas em frequências específicas confirmaram claramente este comportamento, revelando a existência de níveis sonoros elevados atrás da barreira quando a frequência de excitação coincide com a sua própria frequência de ressonância. Nas restantes frequências registaram-se comportamentos bastante próximos para os dois modelos analisados.

Quando se avaliou a influência da dimensão de um possível espaço aberto entre o solo e a barreira na atenuação proporcionada por esta, concluiu-se que esse espaço tem uma influência marcada no desempenho acústico da barreira, sendo que mesmo uma abertura de pequena dimensão leva a um aumento significativo dos níveis sonoros registados atrás dela.

No caso em que a barreira se encontra inserida num meio confinado, verificou-se ainda que a presença das superfícies horizontais confinantes é um factor com grande influência na atenuação final proporcionada pela barreira. Em todos os casos estudados, as correspondentes curvas de atenuação revelaram a existência de quebras e picos que se relacionam com a existência de múltiplas reverberações no interior do sistema.

Nas simulações apresentadas considerou-se a presença de uma barreira elástica leve constituída por cortiça. É de esperar comportamentos dinâmicos semelhantes se se considerarem diferentes propriedades elásticas ou espessuras para a barreira. Assim, é previsível que o comportamento desta se aproxime, em geral, do modelo rígido, excepto para frequências próximas das frequências próprias do sistema, como as associadas ao fenómeno de ressonância no interior do material elástico da barreira.

207


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209

CAPÍTULO 7

CARACTERIZAÇÃO DE MEIOS, E DETECÇÃO E

IDENTIFICAÇÃO DE INCLUSÕES COM RECURSO A

MÉTODOS DINÂMICOS

7.1 - INTRODUÇÃO

A análise da propagação de ondas em diferentes sistemas pode, frequentemente,

fornecer informações importantes sobre a configuração desses sistemas ou permitir a

identificação das suas propriedades e características. Por esse motivo, o conhecimento do

modo como as ondas se propagam em sistemas com algumas configurações simples revela-se

importante, permitindo obter informação que facilita a correcta interpretação do fenómeno da

propagação de ondas em outros sistemas mais complexos.

É neste contexto que se enquadra o presente Capítulo, onde se faz uso dos modelos

matemáticos definidos em capítulos anteriores para simular alguns cenários que podem

ocorrer na aplicação de técnicas não destrutivas de caracterização de meios, e de detecção e

identificação de inclusões. As simulações apresentadas correspondem à aplicação de técnicas

não destrutivas a configurações simples referentes à:

210

- análise dos modos de vibração para detecção de defeitos em peças lineares

tubulares;

- análise da propagação de ondas em canais hidráulicos contendo inclusões;

- prospecção geofísica para caracterização de terrenos.

7.2 - ANÁLISE DA VIBRAÇÃO DE ESTRUTURAS LINEARES TUBULARES

7.2.1 - Enquadramento

O caso particular da vibração de cascas, finas ou espessas, tem sido analisado

seguindo diferentes abordagens, com aplicação de metodologias que vão desde as soluções

analíticas, conhecidas para configurações simples, até aos métodos numéricos generalistas,

que podem ser aplicados a situações mais complexas.

A propagação de ondas guiadas circunferenciais em estruturas anelares com fronteira

interior livre e com a fronteira exterior sujeita à incidência de ondas com diferentes

inclinações foi estudada por Liu e Qu (1998). Neste trabalho, os autores usaram um método

baseado na expansão modal que permitiu a separação da contribuição dos diferentes modos

de vibração excitados, identificando aqueles que seriam dominantes na resposta da estrutura.

Chung e Lee (1999) propuseram um elemento cónico com secção anelar, utilizado no

contexto de uma formulação de elementos finitos, para analisar as vibrações livres de

estruturas em casca quase axissimétricas. O elemento que propuseram permite ter em conta a

possível existência de um pequeno desvio da forma axissimétrica pura.

A vibração livre de estruturas anelares com variações de secção no sentido

circunferencial foi abordada por Hwang et al (1999a). A metodologia proposta por estes

autores baseia-se na definição dos contornos interior e exterior do anel através de séries de

Fourier, usando adicionalmente um procedimento iterativo para a determinação da superfície

média e da espessura da secção. A teoria de cascas finas de Novozhilov é então usada para

211

modelar a deformação deste tipo de estruturas, e os seus modos próprios de vibração podem

ser determinados usando o método de Rayleigh-Ritz em conjunto com uma descrição dos

deslocamentos em séries harmónicas. Na sequência desse trabalho, Fox et al (1999) usaram o

mesmo processo de cálculo para analisar diversas configurações, nas quais as fronteiras

interior e exterior do anel eram nominalmente circulares, sendo sobrepostas a estas fronteiras

variações harmónicas radiais. Mais tarde, Hwang et al (1999b) estudaram as vibrações de

estruturas em forma de anel com secção elíptica, de espessura constante ou variável,

analisando a influência de perturbações harmónicas da fronteira da secção na sua vibração. Os

resultados que obtiveram utilizando um número reduzido de termos para representar a secção

do elemento revelaram-se próximos dos já conhecidos quando a relação entre os eixos da

elipse se aproximava da unidade. No entanto, os autores concluíram que, quando esta relação

se afastava da unidade, a utilização de termos adicionais para descrever a secção da elipse se

tornava necessária por forma a atingir uma precisão aceitável.

No caso de alguma das superfícies da estrutura em anel se encontrar em contacto com

um fluido, as hipóteses que se definem para a situação de vibração livre deixam de ser

adequadas. Para este caso devem ser usados modelos mais elaborados, que tenham em conta a

interacção entre o sólido que constitui o anel e o meio fluido. Alguns modelos com estas

características vêm sendo propostos por diversos investigadores.

A dispersão de ondas por cascas cilíndricas circulares submersas, preenchidas por ar e

excitadas por ondas planas, foi estudada por Veksler et al (1994). Estes autores centraram a

sua atenção na excitação de ondas de flexão no sistema, tendo por base a análise das suas

ressonâncias modais. Concluíram que estas ondas eram geradas quando a relação entre a

espessura da casca e o seu raio não era muito elevada, e que as suas curvas de dispersão

tendiam para as curvas calculadas para vibração livre quando a densidade do fluido exterior

tendia para zero.

Bao et al (1999) abordaram a existência de diferentes tipos de ondas circunferenciais e

o desvio das suas curvas de dispersão para o caso de uma casca cilíndrica circular submersa e

preenchida por um fluido. O estudo que realizaram baseou-se no cálculo da resposta obtida

quando se decompõe o campo gerado em ondas centradas no eixo do cilindro e se analisam

separadamente as ressonâncias associadas aos diferentes modos de vibração.

Posteriormente, Maze et al (2001) apresentaram um estudo sobre a excitação de

diferentes modos de vibração circunferenciais numa estrutura tubular com parede fina e

preenchida por água. No seu trabalho mostraram, experimental e teoricamente, que, para o

caso de se considerar que esta estrutura está no vácuo, são geradas ondas resultantes da

212

excitação de modos de vibração da estrutura como um conjunto. As velocidades de

propagação destas ondas, calculadas para os dois primeiros modos de vibração, revelaram-se

muito próximas das registadas experimentalmente.

Mais recentemente, Godinho et al (2003) estudaram o fenómeno da propagação de

ondas na presença de uma estrutura em anel circular cilíndrico, submersa e preenchida por

água, quando este sistema é excitado por uma fonte pontual. Nesse trabalho foi possível

identificar os diferentes modos de vibração excitados no sistema, com base na análise das

tensões registadas em diferentes pontos do material sólido que constitui o anel. Foi ainda

possível verificar a influência da posição da fonte nos modos excitados no sistema.

Em muitos casos, a secção transversal da estrutura poderá não ser perfeitamente

circular, ou as suas fronteiras interior e exterior poderão ser definidas por circunferências não

concêntricas. Este desvio da forma circular pura com espessura constante introduz diversas

variações no comportamento dinâmico da estrutura. Nesta secção analisa-se a propagação

tridimensional de ondas na vizinhança de um anel cilíndrico preenchido por um fluido e

submerso num outro fluido homogéneo e infinito. Estuda-se o comportamento deste sistema

para duas possíveis secções transversais do anel, correspondendo aos casos de um anel cuja

secção transversal é definida por duas circunferências concêntricas, e ainda de um anel cuja

secção transversal é definida por duas circunferências não concêntricas. Considera-se, em

ambos os casos, que o anel sólido é constituído por um material elástico.

O cálculo das respostas tridimensionais é efectuado recorrendo ao modelo de 2.5D

descrito em capítulos anteriores, procedendo-se à sua determinação como um somatório de

respostas bidimensionais calculadas para diferentes números de onda segundo a direcção na

qual a geometria do sistema não varia. Estas respostas bidimensionais são calculadas com

recurso ao modelo analítico definido no Capítulo 2 quando as superfícies interior e exterior do

anel são definidas por duas circunferências concêntricas, e usando o Método dos Elementos

de Fronteira quando as circunferências que definem estas superfícies não são concêntricas.

Calculam-se as pressões registadas em receptores localizados no interior do anel nos domínios

da frequência e do tempo, por forma a permitir uma melhor compreensão do comportamento

dinâmico dos sistemas analisados. Avalia-se ainda a influência da posição da fonte de

excitação no comportamento global do sistema.

213

7.2.2 - Simulações numéricas

Em todas as situações que serão apresentadas considera-se um sistema onde há um

anel cilíndrico cuja secção transversal é definida por duas circunferências: uma delas com um

raio de 0.50m , definindo a superfície interior do anel; a outra com um raio de 0.70m ,

definindo a sua superfície exterior. O anel sólido assim definido é constituído por um material

elástico, com um coeficiente de Poisson 0.15ν = , uma massa volúmica 32500Kg mρ = e um

módulo de elasticidade 29.0 GPaE = , permitindo velocidades de propagação para as ondas P e

S de 3498.6m s e 2245.0m s , respectivamente. Esta estrutura encontra-se submersa num meio

fluido, com massa volúmica 31000Kg mfρ = e permitindo a propagação de ondas de pressão

com uma velocidade de 1500m s (água), sendo preenchida por um fluido com as mesmas

características. Calculam-se as pressões registadas no meio fluido interior em quatro

conjuntos de receptores. Cada um destes conjuntos consiste em cinco receptores alinhados e

igualmente espaçados de 10.0 m segundo a direcção do eixo z. A coordenada z de cada um

destes receptores será indicada nos gráficos que se apresentarão ao longo desta secção.

Simulam-se duas situações distintas, representadas na Figura 7.1: na primeira, que se

designará por Caso 1, a secção do anel é definida por duas circunferências concêntricas,

exibindo uma espessura constante de 0.20 m (veja-se a Figura 7.1a); na segunda, para a qual

se adopta a designação de Caso 2, considera-se que o anel apresenta um defeito de construção,

sendo a sua secção definida por circunferências cujos centros distam entre si 0.05m (veja-se a

Figura 7.1b). No Caso 1, a análise é realizada recorrendo às soluções analíticas definidas no

Capítulo 2. No Caso 2, esta análise é feita através do Método dos Elementos de Fronteira,

discretizando-se as fronteiras interior e exterior da secção em 150 elementos, com função de

interpolação constante. Para os dois casos considera-se a presença de fontes pontuais

emissoras de ondas de pressão posicionadas no meio fluido interior, na posição O1, ou no

meio fluido exterior à estrutura, na posição O2 (ver Figura 7.1).

Os cálculos são realizados no domínio da frequência, no intervalo [8 , 1024 Hz] e com

um incremento de 8Hz . Este incremento determina uma duração máxima para a análise de

respostas no tempo de 125ms . Estas últimas são calculadas por aplicação de uma

transformada inversa de Fourier, supondo que a fonte emite um pulso de Ricker com uma

frequência central de 350.0Hz .

214

0.50

R2R3

O10.45

0.20

R1R4

O20.45

a)

0.50

R1

R2R3

O1

0.70

0.05R4

O2

b)

Figura 7.1: Representação esquemática da secção transversal das configurações estudadas, incluindo a posição da fonte e dos receptores. Em (a) representa-se o caso em que o anel é definido por duas circunferências concêntricas (Caso 1), e em (b) o caso em que este é definido por duas circunferências não concêntricas (Caso 2). Para significado dos símbolos O1, O2, R1, R2, R3 e R4 ver texto. Valores numéricos em metros.

7.2.2.1 – Caso 1: Anel cilíndrico com secção transversal definida por duas circunferências concêntricas

Na Figura 7.2a apresentam-se as respostas registadas no domínio da frequência vs.

velocidade de fase (que se designará por f-c) e no domínio do tempo, no conjunto R1 de

receptores, quando o sistema é excitado por uma fonte posicionada em O1 (ver Figura 7.1a).

As respostas no domínio f-c são obtidas, para cada valor c da velocidade de fase segundo z,

considerando que a fonte emissora é uma fonte 2.5D com variação sinusoidal ao longo do

eixo z dada por zkcω= , onde 2 fω π= é a frequência angular de excitação. Estas respostas são

representadas numa escala de tons de cinzento, que varia do preto até ao branco com o

aumento da amplitude. Por forma a permitir uma melhor compreensão dos resultados no

domínio f-c, os gráficos correspondentes apenas apresentam a resposta para velocidades de

fase entre os 800.0m s e os 1600.0m s , já que nas diferentes simulações realizadas se

verificou que aí se localizam os aspectos mais relevantes da resposta. No entanto, as respostas

no domínio do tempo têm em conta toda a gama de velocidades de fase, incluindo, por isso, a

contribuição de todos os tipos de ondas geradas no sistema.

A resposta registada nos receptores R1, localizados no centro geométrico da secção

transversal do anel, revela a existência de diferentes tipos de ondas que se propagam no

sistema. No domínio f-c, são claramente observáveis ondas que viajam com uma velocidade

215

de 1500.0m s (identificadas como “F” na Figura 7.2a), correspondendo à velocidade das

ondas de pressão do meio fluido. Um segundo tipo de ondas (identificado como “A0”) é

também visível em toda a gama de frequências. Este segundo tipo corresponde a ondas

guiadas com um carácter dispersivo evidente, e apresenta velocidades de fase inferiores à

velocidade das ondas de pressão. Para permitir uma correcta interpretação do significado

deste tipo de ondas, foi calculada a pressão sobre uma malha de receptores que cobre toda a

secção interior ao anel sólido, considerando para o cálculo diferentes pares f-c localizados

sobre a curva “A0” da Figura 7.2a. O cálculo foi realizado para 200.0Hzf = ( 1200.0m/sc = ),

350.0Hzf = ( 1132.0m/sc = ) e 1000.0Hzf = ( 996.0m/sc = ), encontrando-se os respectivos

pontos representados na Figura 7.2a como “A0j”, em que j=0,1,2 representa a posição relativa

do ponto dentro da curva de dispersão do modo. As pressões calculadas representam-se na

Figura 7.2b, onde é possível verificar que o modo “A0” é axissimétrico, e que a sua forma

modal se mantém constante para as diferentes frequências.

0.0600.0

0 25 50 75 100

PA0PFPTP

z=50m

z=40m

z=30m

z=20m

z=10m

Tempo (ms)

Am

plitu

de (P

a)

a)

A00 (f=200 Hz; c=1200 m/s) A01 (f=350 Hz; c=1132 m/s)

A02 (f=1000 Hz; c=996 m/s)

b)

Figura 7.2: a) Resultados obtidos, nos domínios f-c e do tempo para os receptores R1, considerando que a fonte emissora actua na posição O1 indicada na Figura 7.1a; b) Pressões calculadas no fluido que preenche o anel, sobre uma malha de receptores, para valores de f e c correspondentes a pontos sobre a linha “A0”. Para significado dos símbolos ver texto.

As características da resposta identificadas no domínio f-c são também visíveis nos

registos calculados no domínio do tempo, apresentados na Figura 7.2a. Um dos pulsos

existentes nesta resposta encontra-se associado a ondas que viajam com a velocidade das

216

ondas de pressão (“PF”). Segue-se uma densa sequência de pulsos associados ao modo “A0”,

indicados como “PA0”. Tratando-se de um modo altamente dispersivo, a sua contribuição

surge na resposta no tempo como uma sequência de pulsos que viajam com diferentes

velocidades em função da frequência, chegando todos eles posteriormente ao pulso “PF”.

Nesta resposta é ainda visível um outro pulso, designado por “PTP”, o qual corresponde a

ondas existentes em placas e cascas finas que viajam com velocidades mais elevadas.

Segundo Graff (1975), esta “thin plate velocity” pode ser calculada como 2(1 )E ν ρ− , o

que, para as propriedades do material elástico que constitui o anel, conduz a uma velocidade

de 3445m s . O cálculo realizado com recurso a esta expressão não tem em conta a interacção

entre o meio sólido e os meios fluidos que o envolvem, pelo que existe alguma discrepância

entre esse valor e o que corresponde à chegada do pulso “PTP” nos registos do domínio do

tempo ( 3350 m/s≈ ).

No caso específico dos receptores R1, apenas se registou a influência do modo

axissimétrico “A0”. No entanto, outros modos podem ser excitados neste sistema, alguns

deles com variação azimutal. Estes serão referidos como “An”, onde n indica a variação

azimutal do modo. A resposta calculada nos receptores R2 (Figura 7.3) exibe a presença de

um destes modos. Trata-se de um modo altamente dispersivo, e a sua forma modal calculada

para 200.0Hzf = ( 1490.0m/sc = ), 350.0Hzf = ( 934.0m/sc = ) e 1000.0Hzf =

( 1074.0m/sc = ), representada na Figura 7.3b, revela que é um modo com variação azimutal de

segunda ordem, correspondendo a ondas usualmente designadas por “screw waves”, pelo que

será identificado como “A2”. A contribuição deste modo para a resposta registada em R1 não

era visível, já que estes receptores se localizavam sobre a sua linha nodal, onde a resposta

correspondente é nula. As respostas no tempo para os receptores R2 revelam a contribuição

dos diferentes modos, bem como a das ondas que viajam com a “thin plate velocity”

(identificadas como “PTP”). A separação dos pulsos associados a “A2” torna-se bastante

difícil, já que surgem sobrepostos aos associados a “A0”, que dominam a resposta.

Quando se analisam as respostas obtidas nos receptores R3 (Figura 7.4), verifica-se

que ocorre a contribuição de três modos distintos, sendo um deles um modo axissimétrico

(“A0”) e os dois restantes modos não axissimétricos. O modo “A2” não é, nestes receptores,

visível. As formas modais dos dois modos que agora surgem, representadas na Figura 7.4b em

200.0Hzf = ( 894.0m/sc = ), 350.0Hzf = ( 986.0m/sc = ) e 1000.0Hzf = ( 1014.0m/sc = ) para

o primeiro deles, e em 704.0Hzf = ( 1368.0m/sc = ), 850.0Hzf = ( 1288.0m/sc = ) e

217

0.0600.0

0 25 50 75 100

PA0+PA2PFPTP

z=50m

z=40m

z=30m

z=20m

z=10m

Tempo (ms)

Am

plitu

de (P

a)

a)

A20 (f=200 Hz; c=1490 m/s) A21 (f=350 Hz; c=934 m/s)

A22 (f=1000 Hz; c=1074 m/s)

b)

Figura 7.3: a) Resultados obtidos, nos domínios f-c e do tempo, para os receptores R2, considerando que a fonte emissora actua na posição O1 indicada na Figura 7.1a; b) Pressões calculadas no fluido que preenche o anel, sobre uma malha de receptores, para valores de f e c correspondentes a pontos sobre a linha “A2”. Para significado dos símbolos ver texto.

1000.0Hzf = ( 1264.0m/sc = ) para o segundo, permitem a sua identificação como “A1” e

“A3”, respectivamente. Estes dois modos não estavam presentes nas respostas calculadas nos

receptores R1 e R2, já que estes se encontravam posicionados sobre as respectivas linhas

nodais. Note-se que, tal como ocorreu para os modos “A0” e “A2”, também para “A1” e “A3”

a forma modal se mantém constante para as diferentes frequências analisadas.

Adicionalmente, verifica-se que o modo “A3” apenas existe para frequências mais elevadas,

superiores a 500.0Hzf = . Nas respostas obtidas no domínio do tempo podem identificar-se

algumas das características descritas para as respostas no domínio f-c. A chegada dos pulsos

que viajam com a velocidade das ondas de pressão e com a “thin plate velocity” é, uma vez

mais, visível. É também possível observar a chegada posterior de uma sequência de pulsos

associados aos diferentes modos excitados. Após a chegada dos pulsos associados a “A0” e

“A1”, verifica-se que a resposta exibe ainda uma oscilação bem visível. Esta oscilação

deve-se à contribuição do modo “A3”, ao qual estão associadas baixas velocidades de

propagação.

218

0.0600.0

0 25 50 75 100

PA0+PA1+PA3PFPTP

z=50m

z=40m

z=30m

z=20m

z=10m

Tempo (ms)

Am

plitu

de (P

a)

a)

A10 (f=200 Hz; c=894 m/s) A11 (f=350 Hz; c=986 m/s)

A12 (f=1000 Hz; c=1014 m/s)

b)

A30 (f=704 Hz; c=1368 m/s) A31 (f=850 Hz; c=1288 m/s)

A32 (f=1000Hz; c=1264 m/s)

c)

Figura 7.4: a) Resultados obtidos, nos domínios f-c e do tempo, para os receptores R3, considerando que a fonte emissora actua na posição O1 (indicada na Figura 7.1a); b) Pressões calculadas, no fluido que preenche o anel, sobre uma malha de receptores, correspondentes ao modo “A1”; c) Pressões calculadas, no fluido que preenche o anel, sobre uma malha de receptores, correspondentes ao modo “A3”. Para significado dos símbolos ver texto.

Todos os modos descritos anteriormente (“A0”, “A1”, “A2” e “A3”) são visíveis nos

receptores R4, como se pode ver nas respostas calculadas nos domínios f-c e do tempo

representadas na Figura 7.5. A amplitude dos modos não-axissimétricos parece, agora, ser

superior, já que os modos “A1”, “A2” e “A3” atingem valores máximos nesta posição. No

tempo, as respostas exibem as características anteriormente identificadas, com a chegada dos

pulsos “PTP” e “PF” seguida da chegada dos pulsos associados aos diferentes modos. Estas

respostas são muito semelhantes às que se apresentaram para os receptores R1, R2 e R3, o que

acontece sobretudo devido à elevada amplitude do modo “A0”, que domina claramente a

resposta no tempo e impede que a contribuição dos restantes modos seja mais evidente.

Calculou-se também a resposta do sistema quando a fonte de excitação se encontra

posicionada em O2, no fluido que envolve o anel. A Figura 7.6 mostra os resultados obtidos

219

nos receptores R4 nos domínios f-c e do tempo. As principais características observadas

quando a fonte se localizava em O1 são novamente visíveis. Regista-se, no entanto, uma

diminuição da amplitude das respostas, o que se deve fundamentalmente ao decréscimo da

amplitude do modo “A0”. As respostas no tempo confirmam este comportamento, com um

claro decréscimo da amplitude dos pulsos que se seguem à chegada do pulso “PTP” e “PF”

0.0600.0

0 25 50 75 100

PA0+PA1+PA2+PA3PFPTP

z=50m

z=40m

z=30m

z=20m

z=10m

Tempo (ms)

Am

plitu

de (P

a)

Figura 7.5: Resultados obtidos, nos domínios f-c e do tempo, para os receptores R4, considerando que a fonte emissora actua na posição O1 indicada na Figura 7.1a. Para significado dos símbolos ver texto.

0.0600.0

0 25 50 75 100

PA0+PA1+PA2+PA3PFPTP

z=50m

z=40m

z=30m

z=20m

z=10m

Tempo (ms)

Am

plitu

de (P

a)

Figura 7.6: Resultados obtidos, nos domínios f-c e do tempo, para os receptores R4, considerando que a fonte

emissora actua na posição O2 indicada na Figura 7.1a. Para significado dos símbolos ver texto.

7.2.2.2 – Caso 2: Anel cilíndrico com secção transversal definida por duas circunferências não concêntricas

Por forma a compreender o efeito de uma possível excentricidade entre as

circunferências que definem as duas superfícies do anel no seu comportamento dinâmico,

realizaram-se simulações numéricas para a configuração definida como Caso 2. As pressões

calculadas para este caso, nos domínios f-c e do tempo, nos receptores R4 e para uma fonte de

220

excitação actuando em O1 (ver Figura 7.1b), apresentam-se na Figura 7.7a. No domínio f-c, a

presença de ondas que viajam com a velocidade das ondas de pressão do fluido (“F”) pode,

uma vez mais, ser identificada. A resposta calculada nestes receptores exibe também a

presença de diferentes tipos de ondas guiadas, com carácter dispersivo, identificáveis como

curvas bem definidas onde se registam maiores amplitudes no gráfico f-c. São visíveis quatro

curvas deste tipo, identificadas por “Li” (i=0,1,2,3). Dos gráficos das Figuras 7.7b constam as

pressões calculadas sobre uma malha de receptores que cobre toda a secção do fluido interior

ao anel sólido, para valores específicos de f e c correspondentes a pontos identificados na

Figura 7.7a como “Lij”, onde i=0,1,2,3 representa o número de ordem da linha em análise e

j=0,1,2 o número de ordem do ponto sobre a linha i. A análise destas respostas permite

verificar que, contrariamente ao que se observou no Caso 1, a forma modal não se mantém

constante ao longo de cada uma destas linhas. Para frequências baixas, é possível identificar

sobre as linhas “L0”, “L1” e “L2” formas semelhantes às que se obtiveram para os modos

“A0”, “A1” e “A2”, respectivamente. Com o aumento da frequência, a forma destes modos

afasta-se da calculada para os mesmos modos no Caso 1, parecendo resultar da combinação

dos diferentes comportamentos anteriormente identificados. Para a linha “L3”, as formas

modais calculadas aproximam-se bastante das do modo “A3” junto da frequência de “cutoff”

(cerca dos 500 Hz), sofrendo apenas uma ligeira variação com o aumento da frequência.

Analisando as respostas associadas às diferentes linhas “Li” verifica-se que, também no Caso

2, a amplitude correspondente a “L0” é marcadamente mais elevada que as restantes, sendo,

no entanto, este modo menos dispersivo do que o modo “A0” do Caso 1. As respostas no

tempo reforçam esta interpretação, uma vez que os últimos tempos de chegada associados aos

diferentes modos são inferiores aos registados no Caso 1.

Calcularam-se também as respostas em f-c e no tempo para os receptores R1, R2 e R3,

apresentando-se nas Figuras 7.8a, 7.8b e 7.8c, respectivamente. As respostas em f-c

calculadas em R1 indicam claramente que o modo “L0” domina a resposta. Em frequências

mais baixas, as linhas “L1” e “L2” exibem amplitudes pouco significativas. Deve notar-se

que, nestas frequências e para os receptores R1, o sistema do Caso 1 exibia valores nulos para

a contribuição dos modos “A1” e “A2”. No entanto, no Caso 2 os receptores R1 já não se

encontram posicionados sobre nenhum eixo de simetria do sistema, pelo que aí se regista a

contribuição dos modos não axissimétricos. É ainda possível observar que a resposta

associada a “L3” apresenta agora amplitudes muito baixas, em especial nas proximidades da

sua frequência de “cutoff”. No domínio do tempo, os pulsos anteriormente observados para os

221

0.0600.0

0 25 50 75 100

PL0+PL1+PL2+PL3PFPTP

z=50m

z=40m

z=30m

z=20m

z=10m

Tempo (ms)

Am

plitu

de (P

a)

a)

L00 (f=104 Hz; c=1204 m/s) L01 (f=350 Hz; c=1125 m/s)

L02 (f=1000 Hz; c=1096 m/s)

b)

L10 (f=216 Hz; c=910 m/s) L11 (f=350 Hz; c=986 m/s)

L12 (1000 Hz; c=1024 m/s)

c)

L20 (f=232 Hz; c=1044 m/s) L21 (f=350 Hz; c=914 m/s)

L22 (f=1000 Hz; c=912 m/s)

d)

L30 (f=704 Hz; c=1358 m/s) L31 (f=850 Hz; c=1276 m/s)

L32 (f=1000 Hz; c=1256 m/s)

e)

Figura 7.7: a) Resultados obtidos, nos domínios f-c e do tempo, para receptores R4, considerando uma fonte emissora que actua na posição O1 (ver Figura 7.1b); b) Pressões calculadas, no fluido que preenche o anel, sobre uma malha de receptores, correspondentes a valores de f e c sobre a linha “L0”; c) Pressões calculadas, no fluido que preenche o anel, sobre uma malha de receptores, correspondentes a valores de f e c sobre a linha “L1”; d) Pressões calculadas, no fluido que preenche o anel, sobre uma malha de receptores, correspondentes a valores de f e c sobre a linha “L2”; e) Pressões calculadas, no fluido que preenche o anel, sobre uma malha de receptores, correspondentes a valores de f e c sobre a linha “L3”. Para significado dos símbolos ver texto.

222

receptores R4, e que chegavam aos receptores no final do tempo de análise, não são agora

visíveis. Este facto fica a dever-se à fraca contribuição das ondas que viajam com velocidades

mais lentas, associadas a “L3”.

0.0600.0

0 25 50 75 100

PL0+PL1+PL2PFPTP

z=50m

z=40m

z=30m

z=20m

z=10m

Tempo (ms)A

mpl

itude

(Pa)

a)

0.0600.0

0 25 50 75 100


z=50m

z=40m

z=30m

z=20m

z=10m

Tempo (ms)

Am

plitu

de (P

a)

b)

0.0600.0

0 25 50 75 100


z=50m

z=40m

z=30m

z=20m

z=10m

Tempo (ms)

Am

plitu

de (P

a)

c)

Figura 7.8: Resultados obtidos, nos domínios f-c e do tempo, para diferentes receptores, considerando uma fonte emissora que actua na posição O1 (ver Figura 7.1b): a) receptores R1; b) receptores R2; c) receptores R3. Para significado dos símbolos ver texto.

Nas respostas calculadas em R2 (Figura 7.8b), é possível verificar que a contribuição

das ondas guiadas associadas a “L2” é agora mais significativa nas baixas frequências.

Observando as formas modais calculadas sobre esta linha (Figura 7.7d), verifica-se que,

223

nestas frequências, a sua forma é bastante próxima da do modo “A2” do Caso 1, pelo que

atinge neste receptor amplitudes próximas do valor máximo do modo. Para além deste

aspecto, verifica-se que também a contribuição das ondas guiadas associadas a “L3” é mais

evidente, em particular na vizinhança da frequência de “cutoff” desse modo. No tempo, a

resposta é bastante similar à calculada para os receptores R1, com a chegada de pulsos em

tempos mais tardios, associados a “L3”, apresentando amplitudes um pouco superiores.

Nos receptores R3 (Figura 7.8c), pode observar-se um grande decréscimo da

amplitude de “L2” nas frequências mais baixas, enquanto que a importância das ondas

guiadas associadas a “L1” parece aumentar significativamente. Uma vez mais, este

comportamento era esperado, já que nas baixas frequências a forma modal destas ondas

guiadas se aproxima bastante das formas calculadas para “A1” e “A2” no Caso 1. A

amplitude de “L3” revela-se também bastante elevada nestes receptores. As características

que se descreveram para as respostas em f-c são confirmadas pela análise das respostas no

domínio do tempo, com os pulsos que apresentam tempos de chegada mais tardios a exibirem

amplitudes um pouco mais elevadas.

Foram também efectuadas simulações para o mesmo sistema considerando que a fonte

de excitação actua em O2. Tal como no Caso 1, as principais características da resposta

descritas para fontes actuantes em O1 podem ser identificadas. Por esse motivo julga-se

desnecessária a apresentação dos gráficos correspondentes a essas respostas. Refira-se apenas

que os resultados em f-c e no tempo evidenciam um decréscimo global de amplitude, que é

ainda mais evidente do que no Caso 1, enquanto que no tempo se pode observar a chegada

dos pulsos associados aos diferentes tipos de ondas existentes no sistema.

7.2.3 - Conclusões

As diferentes simulações realizadas permitiram compreender o comportamento

dinâmico de estruturas cilíndricas em anel, submersas e preenchidas por fluidos, quando

sujeitas à acção de fontes tridimensionais. Quando as fronteiras interior e exterior destas

estruturas são definidas por duas circunferências concêntricas, verificou-se que são excitados

diferentes modos de vibração do sistema, cuja contribuição para a resposta depende da

posição do receptor e da fonte. Os diferentes modos excitados foram identificados e a sua

224

forma modal calculada, revelando que esta se mantém constante com o aumento da

frequência.

Quando a estrutura é definida por duas circunferências não concêntricas, as respostas

calculadas permitiram também a identificação de diferentes modos de vibração. Nas

frequências mais baixas, e junto das frequências de “cutoff” de cada modo, verificou-se que a

forma modal associada a estas linhas é bastante próxima da que se obteve quando se

considerou o anel definido por duas circunferências concêntricas. No entanto, com o aumento

da frequência verifica-se que esta forma modal é alterada, resultando da combinação de

diferentes tipos de comportamentos.

7.3 - PROPAGAÇÃO DE ONDAS NO INTERIOR DE UM CANAL HIDRÁULICO EM PRESENÇA DE INCLUSÕES


Métodos dinâmicos, baseados nas características da propagação de ondas em meios

fluidos e em meios estratificados, têm sido amplamente aplicados na detecção e identificação

de objectos submersos. Um esforço considerável tem sido desenvolvido por diversos

investigadores para aprofundar o estudo destas técnicas, desenvolvendo modelos analíticos e

numéricos que simulam o fenómeno da propagação de ondas neste tipo de configurações. O

caso de canais que, sendo limitados por bases rígidas ou por solos sedimentares, contêm

objectos submersos, tem sido estudado por diferentes processos, nos quais se incluem o uso

de uma matriz de transição e a aplicação de equações integrais de fronteira.

Hackman e Sammelman (1986) desenvolveram um modelo baseado no uso de uma

matriz de transição para estudar a dispersão de ondas em canais não homogéneos. Aplicaram

este método para estudar o caso particular de canais com geometria plana, constituídos por

uma sequência de camadas fluidas não homogéneas paralelas. O campo de ondas acústicas

geradas no interior do canal, em qualquer das camadas que o constitui, pode ser expresso

225

considerando a contribuição de dois termos: um deles é associado à contribuição da fonte, em

termos dos modos de vibração do próprio canal; o outro corresponde à contribuição de um

possível objecto submerso, expresso na forma de uma segunda fonte com coeficientes de

amplitude desconhecidos. Neste método, os coeficientes de amplitude são determinados

recorrendo ao estabelecimento de um sistema de equações lineares onde se contabilizam os

efeitos das múltiplas reflexões e refracções que ocorrem nas superfícies do canal, nas camadas

fluidas e no objecto submerso. Mais tarde, o mesmo método foi aplicado por Sammelman e

Hackman (1987) no estudo da dispersão de ondas por um objecto esférico submerso num

canal preenchido por um fluido homogéneo, limitado inferior e superiormente por superfícies

rígida e livre, respectivamente. As simulações que efectuaram permitiram concluir que as

ressonâncias observadas nesta situação resultam, não só dos modos de vibração livre do

objecto submerso, mas também das características do próprio canal onde se insere. Os autores

dividiram estas características em duas categorias: a primeira corresponde à geração de

super-ressonâncias, relacionadas com o aumento da amplitude da resposta dinâmica de campo

livre quando em presença de sistemas constituídos por múltiplas fronteiras; a segunda

corresponde à separação dos modos de vibração livre do corpo submerso, separação essa que,

segundo os autores, ocorre em canais com qualquer profundidade, tornando-se mais evidente

quando o objecto submerso se encontra próximo de uma das suas fronteiras.

Ingenito (1987) apresentou uma formulação teórica para determinar o campo de ondas

gerado em presença de uma esfera rígida no interior de uma camada fluida sobre um meio

sólido estratificado, desprezando a existência de reflexões múltiplas. No seu trabalho,

apresentou detalhadamente o processo que conduz ao estabelecimento desta formulação,

expressa em função dos modos de vibração do sistema e de funções que representam a

propagação de ondas planas, para o caso de um receptor e de uma fonte localizados longe do

objecto submerso. Este procedimento permite calcular o campo gerado por uma fonte pontual,

na presença de um objecto submerso num meio estratificado, a partir do campo gerado por

uma fonte plana, na presença do mesmo objecto num meio fluido infinito e homogéneo.

Hackman e Sammelmann (1988) propuseram também um modelo para a análise da

dispersão de ondas por objectos constituídos por materiais elásticos submersos em canais com

geometrias simples e preenchidos por fluidos. Para esse caso, o campo total em qualquer

ponto no interior do canal é expresso adicionando os efeitos das reflexões múltiplas nas

fronteiras do canal à contribuição do objecto submerso. Esta última é definida recorrendo a

uma matriz de transição que descreve o comportamento do objecto, tendo em conta as

múltiplas reflexões que ocorrem nas fronteiras do canal. O método foi aplicado com sucesso

226

ao caso de objectos submersos localizados próximo de uma superfície livre ou localizados em

canais com uma única camada fluida sobre um meio fluido semi-infinito. Embora seja um

método atractivo do ponto de vista computacional, o procedimento não é totalmente rigoroso,

já que as séries que representam as múltiplas reflexões envolvidas poderão não convergir em

algumas situações.

O caso de um objecto enterrado em fundos sedimentares de canais preenchidos por

fluidos, sujeitos à acção de feixes de ondas acústicas, foi estudado por Lim et al (1993),

comparando resultados teóricos com resultados experimentais. O cálculo teórico foi realizado

com recurso a um modelo numérico baseado numa matriz de transição para o caso de um

sistema onde existe um fluido superior semi-infinito que contém a fonte de excitação, um

fluido inferior, também semi-infinito, que contém o objecto submerso, e uma camada fluida

de interface entre os dois fluidos semi-infinitos. Usando este modelo, os autores simularam o

caso de uma estrutura em casca enterrada no meio inferior, e examinaram as alterações

introduzidas, pelo facto de a estrutura se encontrar enterrada, nos seus modos de vibração. Os

resultados numéricos foram comparados com resultados experimentais obtidos para duas

estruturas diferentes, enterradas numa camada de sedimentos. Os resultados experimentais

permitiram validar o modelo proposto para o caso em que a fonte emite feixes de ondas

acústicas com ângulos de incidência elevados.

Makris (1998) apresentou uma formulação tridimensional, baseada na análise

espectral, para estudo da dispersão de ondas em meios fluidos estratificados. Esta formulação

era válida para receptores e fontes localizados a distâncias suficientemente grandes de um

possível objecto submerso, por forma a que os efeitos das reflexões múltiplas entre as

diferentes superfícies e o objecto pudessem ser desprezados. Assim, torna-se possível

exprimir o campo de ondas como uma função linear da dispersão de ondas planas pelo objecto

submerso. Resultados obtidos usando esta formulação para o caso de uma esfera foram

apresentados pelos autores para ilustrar as principais características da dispersão de ondas em

canais pouco profundos.

Outras técnicas numéricas baseadas na discretização parcial ou total do domínio de

propagação podem também ser usadas para analisar este tipo de problemas. Dawson e

Fawcett (1990) usaram um método baseado na equação integral de fronteira para simular a

dispersão de ondas por deformações compactas e rígidas da superfície de um fundo oceânico.

O método envolve a definição de funções de Green que satisfazem adequadamente as

condições de fronteira do meio de propagação na ausência da deformação, considerando ainda

uma possível variação da velocidade de propagação com a profundidade. Fawcett (1996a,

227

1996b) usaram o mesmo processo para calcular o campo bidimensional de ondas gerado em

presença de objectos embebidos entre dois fluidos semi-infinitos com diferentes densidades.

Trabalhos desenvolvidos por Tadeu et al (2001) e por Godinho et al (2001)

analisaram, para o caso bidimensional e tridimensional, respectivamente, a alteração do

campo de pressões em presença de uma deformação rígida no fundo de um canal hidráulico.

Nesses trabalhos os autores usaram uma formulação do Método dos Elementos de Fronteira

no domínio da frequência, em conjunto com funções de Green que permitem ter em conta as

condições de fronteira na superfície livre e no fundo rígido do canal. As funções de Green

então usadas foram definidas através da sobreposição dos efeitos de uma sequência de fontes

virtuais com diferentes polaridades, permitindo ter em conta as múltiplas reflexões que

ocorrem na superfície e no fundo do canal. No caso em que se considerou a actuação de uma

fonte pontual na presença de uma geometria bidimensional, o problema tridimensional foi

analisado recorrendo a uma técnica semelhante à que se definiu no Capítulo 2 desta

dissertação, ou seja, exprimindo-o como um somatório de soluções bidimensionais calculadas

para diferentes valores do número de onda axial. Mais recentemente, um procedimento

semelhante foi usado por Branco et al (2002) para simular a propagação de ondas no interior

de um canal limitado lateralmente por superfícies verticais rígidas. A simulação destas

superfícies foi realizada recorrendo também à definição de uma sequência de fontes virtuais

dispostas de forma a satisfazer as condições de fronteira de velocidades nulas nas paredes

laterais.

A maior parte dos métodos enumerados anteriormente não pondera a influência de

factores como a resistência ao corte dos fundos sedimentares e as características do campo

incidente gerado pelas fontes. De seguida estudam-se os casos de canais limitados

inferiormente por um espaço elástico semi-infinito e por uma camada elástica assente sobre

uma superfície rígida, tomando em consideração os factores acabados de referir. Usa-se, como

referência, a solução para o caso em que o canal se encontra limitado inferiormente por uma

superfície rígida. A formulação que foi apresentada no Capítulo 3 para definir funções de

Green será particularizada para estas situações. Estas funções são também usadas em conjunto

com o Método dos Elementos de Fronteira, formulado no Capítulo 4, para permitir a

simulação da presença de possíveis objectos submersos no meio fluido que preenche um

canal. Serão considerados objectos com fronteira rígida e objectos constituídos por um

material elástico.

Após uma breve referência às funções de Green a utilizar nos casos de canais com

superfície livre, preenchidos por um fluido, e sujeitos à acção de fontes de pressão lineares

228

com variação sinusoidal ao longo do seu eixo, serão analisados diferentes cenários,

correspondentes a canais com as diferentes condições de fronteira anteriormente indicadas e

com a presença de inclusões de diferentes características e dimensões. Apresentam-se

respostas no domínio do tempo para as diferentes situações, por forma a permitir uma correcta

compreensão e interpretação dos fenómenos envolvidos.

7.3.2 - Funções de Green 2.5D

Serão utilizadas funções de Green que permitem o cálculo do campo de ondas gerado

no interior de um canal hidráulico, preenchido por um fluido homogéneo, limitado

superiormente por uma superfície livre e inferiormente por:

- uma superfície rígida (Figura 7.9a);

- um meio elástico semi-infinito (Figura 7.9b);

- uma camada elástica assente sobre uma superfície rígida (Figura 7.9c).

Em todos os casos, considera-se que o sistema é excitado por uma fonte linear de

ondas de pressão com variação sinusoidal segundo o seu eixo (z), colocada no ponto 0 0( , )x y

do meio fluido, e oscilando com uma frequência ω . Se o meio fluido tiver uma massa

volúmica fρ e permitir a propagação das ondas de pressão com uma velocidade fα , e

considerando que a variação sinusoidal da fonte é definida pelo número de onda axial zk , o

número de onda efectivo pode definir-se como 2 2 2f f zk kα ω α= − , com Im( ) 0fkα < . Nestas

circunstâncias, o campo de ondas incidentes gerado pela fonte pode definir-se como

( ) ( ) ( ) ( )( )2 220 0 0

iˆ , , , H2 f

incz

Ax y k k x x y yασ ω −= − + − , (7.1)

onde A é a amplitude, (2)H (..)n são funções de Hankel do segundo tipo e ordem n , e i= -1 .

Nas subsecções que se seguem descrevem-se as funções de Green que permitem a

análise dos sistemas anteriormente indicados. Note-se que, no contexto do presente Capítulo,

apenas se considera relevante indicar, de forma muito sucinta, as expressões que conduzem ao

estabelecimento das funções de Green. Uma descrição detalhada e aprofundada do

229

procedimento matemático que permite estabelecer os sistemas de equações envolvidos no

processo foi já apresentada no Capítulo 3.

Y

Z

h

X

Carga harmónica linear

a)

Z

Y

X


h

b)

h2

XZ

Y

h


c)

Figura 7.9: Representação da geometria dos sistemas analisados, com: a) um canal preenchido por um fluido, limitado superiormente por uma superfície livre e inferiormente por uma superfície rígida; b) um canal preenchido por um fluido, limitado superiormente por uma superfície livre e inferiormente por um meio elástico semi-infinito; c) um canal preenchido por um fluido, limitado superiormente por uma superfície livre e inferiormente por uma camada elástica assente sobre uma superfície rígida. Em todos os casos, o sistema é iluminado por uma carga linear com variação harmónica segundo o eixo z, de acordo com a representação gráfica, e a distância entre as duas superfícies limitantes é h. Para significado dos restantes símbolos ver texto.

7.3.2.1 - Canal com superfície livre e limitado inferiormente por uma superfície rígida

Considere-se uma camada fluida limitada superiormente por uma superfície livre e

inferiormente por uma superfície rígida, de acordo com a representação da Figura 7.9a. O

campo total de pressões gerado no sistema pode ser calculado adicionando a contribuição das

ondas geradas pela fonte emissora, definidas anteriormente, à contribuição das ondas geradas

230

nas superfícies que limitam o meio fluido, expressa pelos termos de superfície; estes termos

podem ser representados por potenciais dilatacionais definidos em cada uma das superfícies.

As amplitudes destes potenciais são definidas por forma a verificar as condições de fronteira

de pressões nulas na superfície livre e de deslocamentos nulos na superfície rígida. Conforme

se indicou no Capítulo 3, estes potenciais e o campo de ondas incidentes devem ser expressos

na forma de somatórios discretos, considerando um número infinito de fontes distribuídas ao

longo da direcção x , igualmente espaçadas de xL . Estes potenciais podem então escrever-se

como

Potencial dilatacional na superfície livre

2 sup

sup (1)2

i n Nf f

f n dfn Nx f n

EA E

Lα

φω λ ν

=+

=−

−= −

∑ (7.2)

Potencial dilatacional na superfície rígida

2 inf

inf (2)2

i n Nf f

f n dfn Nx f n

EA E

Lα

φω λ ν

=+

=−

−= −

∑ , (7.3)

onde ( )0ie nk x xdE − −= , iinf e

fn y

fE ν−= , isup ef

n y hfE ν− += , com 2 2 2( )f

n f z nk kν ω α= − − e 2n

x

k nLπ= .

Para cada valor de nk , a amplitude dos potenciais ( (1)nA e (2)

nA ) é então determinada

estabelecendo o correspondente sistema de equações de acordo com o procedimento indicado

no Capítulo 3. Após a resolução do sistema, a pressão acústica registada em qualquer ponto

do fluido pode ser calculada fazendo uso da expressão

inf sup

_ (1) (2)iˆn N


n Nx n n

E EA A E

Lσ σ

ν ν

=+

=−

= − +

∑ . (7.4)

Quando o número de onda axial é nulo ( 0zk = ), a solução que assim se determina

corresponde à resposta bidimensional pura.

231

7.3.2.2 - Canal com superfície livre e limitado inferiormente por um meio elástico semi-infinito

No caso em que a camada fluida assenta sobre um meio elástico semi-infinito, torna-se

necessário expressar o campo de ondas total gerado no sistema recorrendo a três potenciais

adicionais, que permitem ter em conta a presença do meio elástico. Estes potenciais de

deslocamentos do meio sólido inferior na interface sólido-fluido correspondem a um potencial

dilatacional e dois potenciais de corte, podendo escrever-se como

( )sup sup (3)b

n N

a n dn N

E E A Eφ=+

=−

= ∑

sup sup (4)c

n

n Nn

z a n dn N

kE E A Eψγ

=+

=−

=

∑ (7.5)

supsup (5)c

n

n N

x a z n dn N

EE k A Eψ

γ

=+

=−

−=

∑ .


12a

x

ELρ ω

= , isup e n

b

yE ν−= , isup e n

c

yE γ−= , 2 2 22n p z nk k kν = − − , com

( )Im 0n

ν ≤ , 2 2 22n s z nk k kγ = − − , com ( )Im 0

nγ ≤ , 2 2pk ω α= , 2 2sk ω β= ; 2λ e 2µ são as

constantes de Lamé para o meio sólido. As amplitudes dos diferentes potenciais são

calculadas impondo as condições de fronteira atrás descritas e estabelecendo o correspondente

sistema de equações. A resolução deste sistema permitirá o cálculo da pressão acústica

registada em qualquer ponto do fluido fazendo uso da equação (7.4).

7.3.2.3 - Canal com superfície livre e limitado inferiormente por uma camada elástica assente sobre uma superfície rígida

Se, em lugar do meio elástico semi-infinito considerado no ponto anterior, supusermos

que a camada fluida se encontra sobre uma camada sólida assente numa base rígida, o campo

total de ondas gerado no sistema pode ser descrito recorrendo à definição de três potenciais

adicionais referentes à base rígida da camada. Estes potenciais podem escrever-se como

232

( )inf inf (6)b

n N

a n dn N

E E A Eφ=+

=−

= − ∑

inf inf (7)c

n

n Nn

z a n dn N

kE E A Eψγ

=+

=−

=

∑ (7.6)

infinf (8)c

n

n N

x a z n dn N

EE k A Eψ

γ

=+

=−

−=

∑ ,

onde infi 2inf e n

b

y hE ν− −= e infi 2inf e n

c

y hE γ− −= . Uma vez mais, as amplitudes dos diferentes potenciais

são calculadas impondo as condições de fronteira adequadas e estabelecendo o

correspondente sistema de equações, de acordo com o procedimento indicado no Capítulo 3.

Conhecidas as amplitudes de cada potencial para cada valor de nk , a pressão acústica

registada em qualquer ponto do fluido pode calcular-se fazendo uso da equação (7.4).


Recorrendo à metodologia anteriormente descrita, foram efectuadas diferentes

simulações numéricas do fenómeno da propagação de ondas de pressão no interior de canais

hidráulicos com diferentes características. Para o efeito, optou-se por considerar um canal

hidráulico com um profundidade de 20.0 m, preenchido com água ( 31000Kg mfρ = ,

1500m sfα = ), e iluminado por uma fonte linear de pressão localizada a 0.5 m da sua base.

Consideraram-se três configurações distintas correspondendo a um canal definido por: uma

camada fluida assente numa base rígida; uma camada fluida assente sobre um meio elástico

semi-infinito; uma camada fluida sobre uma camada elástica com uma espessura de 10.0 m,

assente numa base rígida. Nos casos em que se considerou a existência de um meio elástico

sob a camada fluida, atribuiu-se ao meio elástico uma massa volúmica 31590Kg msρ = , e

considerou-se que no seu interior as ondas P e S se propagam com velocidades 1643m ssα =

e 526m ssβ = , respectivamente, correspondendo às características de uma camada de

sedimentos. No meio fluido que preenche o canal, simula-se a presença de uma inclusão

cilíndrica circular de raio R, situada 1.0 m acima do fundo do canal, discretizada recorrendo a

elementos de fronteira com função de interpolação constante e cujo comprimento é, no

233

mínimo, 12 vezes inferior ao comprimento de onda das ondas incidentes. Em nenhum caso se

usa um número de elementos inferior a 20. Calculam-se as variações de pressão introduzidas

pela fonte linear sobre duas linhas de receptores, sendo uma delas vertical (linha 1), localizada

a 0.5 m da fonte e a 14.0 m do centro da inclusão, e a outra horizontal (linha 2), posicionada

0.25 m acima do fundo do canal e com um comprimento de 28.0 m. Esta situação encontra-se

representada esquematicamente na Figura 7.10.

=1500m/s=1000kg/m3

1.0m

RFonte

14.0m 14.0m

Linha de receptores 1

Linha de receptores 2

0.5m

0.5m

Figura 7.10: Representação esquemática da geometria dos sistemas analisados, indicando-se a posição da fonte,

das linhas de receptores e de uma possível inclusão submersa (círculo de raio R).

Em todos os casos analisados, a resposta é calculada para uma gama de frequências

dos 10.0 Hz aos 1280.0 Hz, com um incremento de 10.0 Hz. Calculam-se então respostas no

domínio do tempo através da aplicação de uma transformada inversa de Fourier, considerando

que a fonte emite um pulso de Ricker com uma frequência central de 400.0 Hz.

Os resultados que se apresentam e analisam de seguida encontram-se divididos em três

partes: em primeiro lugar será analisado o comportamento das diferentes configurações

quando no interior do canal não existe qualquer inclusão; estuda-se depois o caso em que, no

meio fluido que preenche o canal, existe uma inclusão circular com superfície rígida; por

último, será analisado o efeito da presença de uma inclusão submersa constituída por

diferentes materiais elásticos.

234

7.3.3.1 - Canal hidráulico preenchido por um fluido homogéneo

O primeiro conjunto de resultados que se apresenta (Figura 7.11) refere-se ao caso em

que no interior do canal hidráulico não existe qualquer inclusão, ou seja, quando R=0.0 m. Na

Figura 7.11a ilustram-se os resultados calculados, no domínio do tempo, sobre as duas linhas

de receptores consideradas, para o caso em que o fundo do canal é definido por uma

superfície horizontal rígida. É utilizada uma escala de tons de cinzento onde os tons claros

correspondem a valores mais elevados (positivos) da variação de pressão, e os tons escuros

correspondem a valores negativos desta variação. Os primeiros sinais registados nestas

respostas correspondem à chegada de pulsos que viajam directamente da fonte até aos

receptores, combinados com os pulsos que sofrem uma primeira reflexão no fundo rígido. No

receptor da linha 1 mais próximo da superfície livre, a 19.75 m do fundo do canal, o primeiro

pulso registado chega ao receptor quando 19.25 12.8 ms1500.0t ≈ = , verificando-se que a sua

chegada ocorre sucessivamente mais cedo à medida que se consideram receptores

posicionados a maiores profundidades. Um comportamento semelhante pode ser observado

nas respostas calculadas para receptores pertencentes à linha 2, onde os primeiros pulsos

chegam ao receptor mais afastado da fonte quando 19 mst ≈ , e em tempos inferiores nos

restantes receptores. Após a chegada destes primeiros pulsos, surge uma sequência de pulsos

com origem em reflexões múltiplas que ocorrem nas superfícies que limitam inferior e

superiormente a camada fluida. Quando estas reflexões ocorrem na superfície livre, é visível

uma mudança de fase de 180º (inversão de fase), o que fica a dever-se às condições de

fronteira de pressão nula impostas nesta superfície. Analisando a resposta registada na linha

de receptores 1, é interessante observar que as múltiplas reflexões que ocorrem nas fronteiras

do sistema levam à formação de um padrão regular, padrão esse que permite uma clara

identificação da profundidade do canal.

Da análise dos resultados que constam da Figura 7.11b, calculados para um canal

limitado inferiormente por um meio elástico semi-infinito, vê-se que há uma clara alteração

da resposta registada em ambas as linhas de receptores. Tal como para a situação anterior, a

chegada dos pulsos provenientes directamente da fonte, combinados com os que são primeiro

reflectidos na interface fluido-sólido, é claramente visível, registando-se, no entanto, um

decréscimo significativo da sua amplitude. De facto, quando o fundo do canal é definido por

uma superfície rígida, toda a energia que aí incide é reflectida de volta para o fluido,

235

Linha de receptores 1 Linha de receptores 2

a)

b)

c)

Figura 7.11: Respostas, no domínio do tempo, registadas nos receptores das linhas 1 e 2 para os casos de canais hidráulicos limitados inferiormente por: a) uma superfície horizontal rígida; b) um meio elástico semi-infinito; c) uma camada elástica assente sobre uma superfície rígida. Para significado dos símbolos “G” e “S” ver texto.

combinando-se, então, construtivamente com a que provém directamente da fonte, e

contribuindo para um aumento da amplitude das respostas. Este fenómeno assume um

significado menos evidente no caso em que o canal é limitado inferiormente por um meio

elástico semi-infinito. Neste último caso, e uma vez que ao meio elástico foram atribuídas

236

propriedades próximas das de um fundo sedimentar, verifica-se que a velocidade de

propagação das ondas dilatacionais (P) é próxima da velocidade das ondas de pressão que se

propagam no fluido, pelo que uma parte significativa da energia que incide na interface entre

os dois meios é transmitida para o meio inferior. Por esse motivo, a energia reflectida de volta

para o fluido é agora menor que no caso anterior, pelo que, de cada vez que ocorre uma

reflexão nesta superfície, se verifica uma transferência de energia para o meio elástico. Esta

energia transmitida propaga-se, então, no sólido, na forma de ondas P, de ondas S, e de ondas

guiadas, viajando estas últimas ao longo da interface fluido-sólido. Na linha de receptores 2 é

visível a existência de um pulso adicional, identificado pela letra “G”, pulso esse que

corresponde à propagação de ondas guiadas ao longo da interface. Estas ondas viajam no

sistema com uma velocidade de aproximadamente 447.0 m/s, verificando-se a sua chegada

aos diferentes receptores em tempos muito superiores aos tempos de chegada das ondas

incidentes. No caso de uma interface sólido-fluido, estas ondas são usualmente designadas por

ondas de Scholte, e a sua velocidade de propagação é próxima da velocidade prevista para as

ondas de Rayleigh que são geradas em espaços elásticos semi-infinitos com superfície livre.

Nos receptores pertencentes à linha de receptores 1 este pulso não é visível, dado que os

receptores mais próximos do solo se encontram demasiado próximos da fonte emissora para

permitir a separação entre este pulso e o pulso incidente.

Uma outra situação analisada corresponde ao caso em que o canal fluido é limitado

inferiormente por uma camada elástica com 10.0 m de espessura e com as propriedades

mecânicas anteriormente definidas, assente sobre uma superfície rígida. As respostas

calculadas para esta configuração encontram-se representadas na Figura 7.11c. A resposta

exibe agora pulsos adicionais que resultam da presença da superfície rígida sob a camada

elástica. Na linha de receptores 1 é visível um segundo padrão regular de ondas reflectidas,

claramente separado do padrão gerado pelas reflexões múltiplas na superfície e no fundo do

canal que anteriormente se descreveu. Este segundo padrão corresponde ao efeito dos pulsos

que viajam a partir da fonte no sentido descendente, sendo transmitidos para o meio sólido e

viajando então na forma de ondas P. Estas ondas são então reflectidas na superfície rígida,

acabando uma parte da energia correspondente por regressar ao meio fluido após atravessar a

camada elástica. Atingem, depois, os diferentes receptores, registando-se um intervalo de

tempo entre este pulso e o pulso incidente proveniente da fonte de 20.0 12.2 ms1643.0

t∆ ≈ = . É

também este o intervalo de tempo que separa os dois padrões anteriormente descritos. Na

linha de receptores 2, os pulsos adicionais resultantes das reflexões na superfície rígida são

237

também visíveis, surgindo nos receptores entre as chegadas dos pulsos correspondentes a

duas reflexões consecutivas no topo e na base da camada fluida. É ainda possível identificar

ondas que viajam da fonte até à interface sólido-fluido, transmitidas então para o meio

elástico onde viajam como ondas S, e reentrando no fluido após serem reflectidas na base

rígida da camada elástica. Estes pulsos, identificados na Figura 7.11c como “S”, chegam ao

receptor localizado mais próximo da fonte em 38 mst ≈ , e ao receptor da linha 2 mais

afastado dela em 69 mst ≈ . É também interessante notar que são gerados no sistema outros

pulsos, que resultam da conversão entre ondas P e S que ocorre quando as ondas incidem

sobre uma das superfícies que limitam a camada elástica. Neste sistema, pode ainda

verificar-se que são também geradas ondas guiadas de Scholte (“G”), com origem na interface

sólido-fluido.

7.3.3.2 - Canal hidráulico preenchido por um fluido com uma inclusão rígida submersa

Considere-se agora que no meio fluido que preenche os diferentes canais se encontra

submersa uma inclusão circular com fronteira rígida e raio R. Representam-se na Figura 7.12a

as respostas no domínio do tempo calculadas nos receptores das linhas 1 e 2 para um canal

com o fundo rígido, considerando que R=1.0 m. Tal como se observou nas situações

anteriores, o primeiro pulso a chegar às duas linhas de receptores corresponde ao pulso

incidente combinado com o que é reflectido na interface sólido-fluido. Como esperado, a

chegada deste pulso ocorre no início da janela do tempo analisada para receptores muito

próximos da fonte, e em tempos sucessivamente mais tardios à medida que se consideram

receptores posicionados mais longe da fonte. Uma vez mais, os pulsos gerados pela fonte

atingem as superfícies inferior e superior da camada fluida onde são sucessivamente

reflectidos, formando padrões regulares nas respostas calculadas para a linha de receptores 1.

Contudo, a presença de outros pulsos é bem visível, podendo estes ser claramente

distinguidos nas respostas calculadas para ambas as linhas de receptores. Estes novos sinais

têm origem em fenómenos de reflexão e difracção das ondas de pressão pela inclusão rígida.

Estas ondas provocam novas e repetidas reflexões na superfície livre e no fundo rígido do

canal, formando um novo padrão com amplitude significativamente mais baixa, mas ainda

assim bem visível nas respostas obtidas. A título de exemplo, refira-se que os pulsos

originados pela reflexão de ondas na inclusão rígida chegam ao receptor da linha 1,

238

Linha de receptores 1 Linha de receptores 2

a)

b)

c)

Figura 7.12: Respostas, no domínio do tempo, registadas nos receptores das linhas 1 e 2 quando, no meio fluido que preenche o canal, existe uma inclusão rígida circular com R=1.0 m, e o canal é limitado inferiormente por: a) uma superfície horizontal rígida; b) um meio elástico semi-infinito; c) uma camada elástica assente sobre uma superfície rígida.

posicionado a maior profundidade, quando 26.7 17.8 ms1500.0t ≈ = . Logo após a chegada

desta primeira reflexão, pode observar-se um outro pulso também gerado por reflexão na

inclusão rígida, mas sendo depois reflectido na superfície rígida do fundo do canal. Outras

239

reflexões de ordens superiores são também geradas no sistema, correspondendo a interacções

entre o objecto submerso e as superfícies rígida e livre do canal. Estas reflexões são visíveis

nas duas linhas de receptores, formando padrões de pulsos com amplitudes sucessivamente

mais baixas. Note-se que a posição do objecto submerso poderia ser determinada partindo da

interpretação dos sinais apresentados, em particular fazendo uso dos que se referem à segunda

linha de receptores. De facto, a primeira reflexão que ocorre na superfície da inclusão só é

visível em receptores posicionados entre a fonte e a inclusão, dando, por isso, uma indicação

clara do posicionamento do objecto. Reflexões de ordens superiores são já visíveis em

receptores posicionados de ambos os lados da inclusão, mas, ainda assim, a configuração dos

padrões registados indica claramente a sua localização.

Este cenário sofre alterações quando se considera a presença de um meio elástico

semi-infinito sob a camada fluida, simulando um possível fundo sedimentar. As respostas no

domínio do tempo calculadas para esta situação nos receptores pertencentes às linhas 1 e 2

encontram-se representadas na Figura 7.12b. Os principais aspectos observados quando o

fundo do canal era rígido podem de novo ser identificados. Os primeiros pulsos que chegam

aos receptores são, novamente, os provenientes directamente da fonte, combinados com os

que sofrem uma primeira reflexão na interface sólido-fluido. Segue-se depois um conjunto de

pulsos provenientes de reflexões que ocorrem na superfície livre e na referida interface,

chegando aos receptores com amplitudes sucessivamente mais baixas. Outros padrões são

também visíveis nesta resposta devido à presença da inclusão rígida. Os tempos de chegada

dos pulsos aí reflectidos coincidem com os determinados para a situação anterior,

registando-se, no entanto, um decréscimo da amplitude devido à transmissão de energia para o

meio elástico. Reflexões de ordens superiores, ocorrendo em todas as superfícies envolvidas

(na superfície livre, na interface sólido-fluido e na inclusão rígida), produzem uma sequência

de pulsos que vão chegando sucessivamente aos diferentes receptores. Nas respostas

calculadas para a linha de receptores 2, os pulsos associados às ondas guiadas já identificadas

estão novamente presentes. No entanto, não é visível qualquer interacção entre estes e a

superfície rígida da inclusão.

Na Figura 7.12c apresentam-se os resultados calculados nas mesmas linhas de

receptores quando o fundo do canal é constituído por uma camada elástica assente numa

superfície rígida. Para este caso, as características da resposta identificadas na ausência de

qualquer inclusão podem ainda ser observadas, verificando-se, no entanto, que o campo de

ondas surge agora perturbado pela presença da inclusão submersa, quando se comparam estas

240

respostas com as da Figura 7.11c. Na primeira linha de receptores, as múltiplas reflexões que

ocorrem entre as diferentes fronteiras do sistema tornam mais difícil a identificação da

localização do objecto submerso. Embora seja ainda possível distinguir aí alguns padrões que

indicam a presença da inclusão, a sua clara detecção é mais facilmente realizada com recurso

às respostas calculadas para a linha 2. Nesta última linha, os receptores posicionados entre a

fonte e a inclusão registam a chegada de um pulso de amplitude significativa que corresponde

a uma primeira reflexão que ocorre na superfície rígida da inclusão, o que permite definir

claramente a posição do objecto submerso no interior do canal.

Para melhor compreender a influência da dimensão da inclusão nos padrões de

propagação de ondas registados, foram realizadas diversas simulações contemplando a

presença de inclusões circulares com diferentes raios. Para R=2.0 m, apresentam-se na Figura

7.13 as respostas no domínio do tempo calculadas para a linha de receptores 1 quando o fundo

do canal é rígido (Figura 7.13a), ou quando este é constituído por um meio elástico

semi-infinito (Figura 7.13b). Em ambos os casos se verifica que a influência da inclusão

submersa é agora maior, com os pulsos originados em reflexões na sua superfície a surgirem

com maiores amplitudes. É possível observar que o pulso que é primeiramente reflectido na

superfície da inclusão, e que atinge o solo e viaja depois para o receptor, surge agora mais

separado daquele que é reflectido na inclusão e viaja directamente para o receptor. O mesmo

tipo de comportamento é registado para as sucessivas reflexões que ocorrem no sistema.

a)

b)

Figura 7.13: Respostas, no domínio do tempo, registadas nos receptores da linha 1 quando, no meio fluido que preenche o canal, existe uma inclusão rígida circular com R=2.0 m, e o canal é limitado inferiormente por: a) uma superfície horizontal rígida; b) um meio elástico semi-infinito.

241

7.3.3.3 - Canal hidráulico preenchido por um fluido com uma inclusão elástica submersa

Num último grupo de simulações analisa-se o comportamento dinâmico de um canal

com superfície livre, preenchido por um fluido, e limitado inferiormente por um meio elástico

semi-infinito quando no seu interior se localiza uma inclusão circular com raio R=1.0 m,

constituída por um material elástico.

Na Figura 7.14a apresentam-se as respostas calculadas no domínio do tempo na linha

de receptores 1, considerando que no interior do canal se encontra uma inclusão submersa

constituída por um material de elevada massa volúmica e onde as ondas se propagam com

velocidades inferiores à das ondas de pressão do meio fluido. Para o efeito, optou-se por

considerar que esse material é o chumbo, com uma massa volúmica de 11400 kg/m3, e onde

as ondas P e S se propagam com velocidades de 1195.2 m/s e 418.9 m/s, respectivamente. As

principais características identificadas anteriormente para as respostas no domínio do tempo

são novamente visíveis. Adicionalmente, é agora observável uma sequência de pulsos que

chega aos receptores logo após a chegada da primeira reflexão gerada na superfície da

inclusão. Estes novos pulsos, que se apresentam com uma amplitude significativa, têm origem

em reflexões múltiplas que ocorrem no interior da inclusão elástica, já que uma parte da

energia que incide na superfície da inclusão é agora transmitida para o seu interior.

a)

b)

Figura 7.14: Respostas, no domínio do tempo registadas nos receptores da linha 1, para o caso de um canal limitado inferiormente por um meio elástico semi-infinito quando, no meio fluido que o preenche existe uma inclusão circular com R=1.0 m constituída por : a) chumbo; b) cortiça.

Numa segunda situação, considerou-se a presença de uma inclusão elástica constituída

por um material leve. Neste sentido, atribuíram-se a esse material as propriedades da cortiça,

com uma densidade de 180 kg/m3, e permitindo a propagação de ondas P e S com velocidades

242

de 288.7 m/s e 204.1 m/s, respectivamente. Os resultados no domínio do tempo calculados na

linha de receptores 1 para esta situação encontram-se representados na Figura 7.14b.

Verifica-se que a presença da inclusão pode ser facilmente detectada a partir destas respostas,

uma vez que os diferentes padrões descritos na subsecção anterior são, uma vez mais, visíveis.

No entanto, existem algumas diferenças entre os sinais calculados e os que se apresentaram

nos casos anteriores, diferenças essas que carecem de explicação. De facto, verifica-se que a

primeira reflexão proveniente da inclusão surge agora com mudança de fase relativamente aos

casos anteriormente analisados. Esta alteração pode ser compreendida tendo em conta que a

massa volúmica e a rigidez da cortiça são bastante reduzidos. Assim, de cada vez que um

pulso que viaja no fluido atinge a fronteira da inclusão, o elevado contraste entre as

características dos dois meios leva a que a sua reflexão ocorra com mudança de fase.

7.3.4 - Conclusões

Na ausência de qualquer objecto submerso no interior do canal, as diferentes

simulações realizadas permitiram observar diferenças marcadas no comportamento dos três

sistemas estudados. Pode afirmar-se que a consideração de um canal com fundo rígido conduz

a respostas com maiores amplitudes, enquanto que a presença de um meio elástico sob o

fluido leva a que parte da energia que é introduzida pela fonte de excitação seja transmitida

para esse meio, levando à obtenção de respostas com menor amplitude. A existência de uma

base rígida sob o estrato sólido no fundo do canal introduz um nível de complexidade superior

nas respostas calculadas, observando-se interacções importantes entre a base rígida, a

interface sólido-fluido e a superfície livre.

A detecção de uma inclusão submersa em qualquer das configurações simuladas é

possível. Quando o fundo do canal se considera rígido, os pulsos correspondentes a reflexões

nas diferentes superfícies surgem, uma vez mais, com maiores amplitudes.

Por último, a comparação dos resultados obtidos na presença de inclusões rígidas com

os obtidos na presença de inclusões elásticas revelou que as características do material

elástico que constitui a inclusão influenciam claramente o comportamento dinâmico do

sistema e, consequentemente, as respostas obtidas nos diferentes receptores.

243

7.4 - PROPAGAÇÃO DE ONDAS NO INTERIOR DE FUROS DE PROSPECÇÃO SÍSMICA


O conhecimento do modo como as ondas se propagam no interior de furos de

prospecção reveste-se de interesse prático em diversas áreas relacionadas com a prospecção

geofísica. Especificamente, a interpretação dos fenómenos envolvidos na prospecção com

recurso a técnicas de “acoustic logging”, “vertical profiling” ou de “cross-hole surveying”

tem despertado o interesse de diversos investigadores. Considerável atenção tem sido

dispensada ao estudo da interacção de ondas elásticas com inclusões cilíndricas preenchidas

com materiais fluidos.

Alguns investigadores focaram a sua atenção na propagação de ondas geradas por

fontes alinhadas com o eixo do furo de prospecção. O caso de uma onda P incidindo

normalmente ao eixo do furo de prospecção foi estudado por Blair (1984). Mais tarde,

Schoenberg (1986) analisou o caso de ondas planas de compressão com ângulo de incidência

arbitrário, apresentando expressões explícitas válidas para baixas frequências. Este problema

foi retomado por Lovell e Hornby (1990), que desenvolveram expressões matemáticas válidas

para todo o domínio de frequência e para qualquer ângulo de incidência.

A influência das características do terreno a investigar, do tipo de fluido que preenche

o furo, e ainda do tipo e posição da fonte emissora, na amplitude e atenuação das diferentes

ondas geradas, foi estudada recorrendo a diversos métodos numéricos, destacando-se os

trabalhos de Roever et al (1974), Tsang e Rader (1979), Cheng e Toksöz (1981), Kurkjian

(1985), Kurkjian e Chang (1986) e Siggins e Stokes (1987). O problema inverso, ou seja, a

estimação das propriedades mecânicas do meio de propagação a partir das respostas

registadas no interior do furo de prospecção, suscitou o desenvolvimento e a publicação de

diversos trabalhos, como os de Cheng et al (1987) e de Paillet e White (1982). A incorporação

de características específicas do meio, como o seu estado de fracturação ou a presença de

zonas danificadas em redor do furo de prospecção, em modelos matemáticos, interessou

também alguns investigadores (Baker, 1984; Schmitt e Bouchon, 1985; Baker e Winbow,

1988). Noutros trabalhos, o efeito da anisotropia do meio envolvente na propagação das ondas

244

elásticas foi analisado, definindo funções de Green (Wang et al, 1996; Sáez e Domínguez,

2000), modelando formações isotrópicas em planos normais ao eixo do furo e usando fontes

de diferentes tipos e com diferentes polarizações (White e Tongtaow, 1981; Chan e Tsang,

1983; Schmitt, 1989). Niklasson e Subhendu (1998) calcularam o campo disperso por um

cilindro de secção circular inserido num meio elástico transversalmente isotrópico. O método

da perturbação e o Método dos Elementos Finitos foram também aplicados na análise dos

modos próprios do furo de prospecção e das diferentes ondas excitadas em formações

anisotrópicas (Ellefsen, 1990; Sinha et al, 1991; Norris e Sinha, 1983). Mais tarde, expressões

matemáticas para os padrões de radiação de fontes no interior de furos de prospecção em

formações transversalmente isotrópicas foram obtidas por Dong e Toksöz (1995). Os efeitos

da anisotropia da formação foram também tidos em conta por alguns autores para o caso da

prospecção com recurso a “cross-hole surveying” (Pratt e Chapman, 1992).

Uma técnica para modelar a propagação de ondas sísmicas em configurações do tipo

“cross-hole” foi proposta por Kurkjian et al (1994). Esta técnica recorre à discretização do

furo de prospecção em pequenos elementos, sendo o cálculo da resposta final efectuado em

três partes distintas: numa primeira parte considera-se a geração de ondas de Stoneley no

interior do furo onde se localiza a fonte; numa segunda fase, usa-se um código pré-existente

que tem por base a definição do campo de ondas transmitido a partir desse furo; o terceiro

passo consiste no cálculo da resposta em receptores situados no segundo furo, recorrendo

então à aproximação quasi-estática de White. Mais tarde, os conceitos teóricos da interacção

entre furos de prospecção e uma formulação que recorre à definição de uma matriz global do

sistema foram usados por Peng et al (1996) para calcular sismogramas sintéticos em meios

estratificados. O modelo proposto por esses autores não requer a discretização dos furos de

prospecção e pode ser aplicado ao caso de furos parcialmente preenchidos por um fluido.

Os sismogramas obtidos por acção de fontes unipolares ou bipolares foram estudados

por Randall (1991a, 1991b), usando o Método das Diferenças Finitas sobre uma grelha

bidimensional definida em coordenadas cilíndricas. Posteriormente, Cheng et al (1995)

desenvolveram e aplicaram uma formulação tridimensional de Diferenças Finitas para

calcular as respostas, no domínio do tempo, no caso da propagação de ondas em furos de

prospecção localizados em formações anisotrópicas, usando uma discretização espacial de

quarta ordem e recorrendo a processamento paralelo.

Bouchon e Schmitt (1989) fizeram uso de uma equação integral de fronteira,

combinada com uma formulação discreta em números de onda, para estudar os efeitos de

possíveis irregularidades do furo de prospecção na propagação de ondas de Stoneley.

245

Concluíram que, embora a propagação dessas ondas não fosse afectada quando as variações

de diâmetro do furo eram suaves, ocorriam reflexões significativas sempre que as variações

de diâmetro eram acentuadas. Mais tarde, uma metodologia para a análise da propagação de

ondas de Stoneley em furos com variação de diâmetro ao longo do seu eixo, feitos em

formações com propriedades também variáveis nessa direcção, foi implementado por Tezuka

et al (1997). Nessa metodologia, as principais características das ondas de Stoneley nas baixas

frequências são simuladas recorrendo a um modelo unidimensional, enquanto que as suas

interacções com as irregularidades do furo são expressas por uma matriz de propagação e por

condições de fronteira que têm em conta o balanço de massa.

Em muitos casos, verifica-se que a secção transversal dos furos de prospecção

apresenta, ela própria, deformações. Estas deformações podem ter origem na acção mecânica

da broca que perfura a formação, na fracturação da rocha em regiões adjacentes ao furo, na

deformação plástica e ainda no arrastamento de partículas quando o furo é realizado em

rochas mal consolidadas. Algumas destas acções podem também levar à alteração das

propriedades da formação em redor do furo de prospecção. Estas situações foram já

observadas em casos reais, encontrando-se documentadas em diversos trabalhos (e.g. Bell e

Gough, 1979; Zheng et al, 1989).

A maior parte dos trabalhos publicados lida com o caso de furos perfeitamente

circulares. No entanto, algumas publicações documentam estudos realizados sobre a temática

da propagação de ondas em furos não circulares. Randall (1991a, 1991b) usou um modelo

baseado na equação integral de fronteira para calcular as curvas de dispersão das ondas

guiadas que se propagam em furos de prospecção não circulares preenchidos por um fluido.

Nesse trabalho, o autor apresenta curvas de dispersão calculadas para furos com diversas

secções localizados em formações com diferentes propriedades. Esta formulação é semelhante

à usada por Bouchon e Schmitt (1989) para analisar furos de prospecção circulares com

variação de secção ao longo do seu eixo. Para esse caso, os deslocamentos e tensões

calculados são definidos sobre um domínio frequência vs. número de onda segundo uma

direcção, permitindo o cálculo de funções de dispersão para os diferentes modos. Note-se que,

nesse trabalho, não foram calculadas as respostas em frequência ou no tempo referentes à

actuação de fontes de excitação específicas.

Também o caso de furos de prospecção em redor dos quais ocorre a alteração das

propriedades da formação original levou ao desenvolvimento de alguns trabalhos.

Destacam-se os de Baker (1984) e Baker e Winbow (1988), que usaram soluções analíticas

para simular situações em que a zona alterada e o furo são circulares e concêntricos, e o de

246

Renlie (1993), que estudou o efeito de uma camada fina, onde as ondas se propagam com

velocidades reduzidas e que envolve o furo de prospecção, na propagação dos diferentes tipos

de ondas no seu interior.

Algumas das situações enumeradas podem ser analisadas com recurso aos modelos

analíticos e numéricos desenvolvidos nos Capítulos 2 e 4. De facto, formulações semelhantes,

baseadas em modelos de Elementos de Fronteira, foram já aplicadas por Tadeu e Santos

(2001) para analisar o campo de ondas gerado no interior de furos de prospecção com secção

oval, por fontes unipolares, e por Tadeu et al (2001) para simular a técnica de “cross-hole

surveying” em presença de furos de prospecção com secções circulares e ovais. Nesses

trabalhos, a solução tridimensional é obtida através de um somatório discreto de soluções

bidimensionais mais simples, de acordo com o modelo que se descreveu no Capítulo 2.

Nas subsecções que se seguem apresentam-se alguns casos de aplicação destas técnicas a diferentes situações com interesse prático. Em todas elas, optou-se por considerar que os furos de prospecção são executados numa formação dita “rápida”, onde as ondas de corte se propagam com uma velocidade superior à do fluido que preenche o furo. Descreve-se, em primeiro lugar, o comportamento dinâmico esperado para um furo de prospecção circular executado neste tipo de formação. Verifica-se, depois, qual a alteração das respostas registadas no interior do furo em duas situações distintas: a primeira corresponde ao caso em que a secção do furo não é perfeitamente circular, apresentando no seu contorno uma irregularidade; a segunda corresponde ao caso em que, em redor do furo, ocorre a alteração das propriedades da formação original. Por último, aplica-se o Método dos Elementos de Fronteira para simular a técnica de “cross-hole surveying” com dois furos circulares.

7.4.2 - Comportamento dinâmico de furos de prospecção circulares

Ao longo de um furo de prospecção propagam-se diferentes tipos de ondas. Quando

uma fonte localizada no interior do furo emite uma onda de pressão, esta propaga-se no

fluido, atingindo depois as paredes do furo de prospecção. Aí, parte da energia é reflectida de

volta para o fluido como ondas de pressão, sendo que a restante sofre refracção e é transmitida

para o meio sólido na forma de ondas P e S. Adicionalmente, geram-se diferentes tipos de

ondas guiadas (modos normais), que se propagam ao longo da interface sólido-fluido com

247

velocidade que varia com a frequência. Uma fonte posicionada no centro de um furo circular

apenas excita modos axissimétricos, enquanto que modos não-axissimétricos são excitados

quando a fonte não se localiza nessa posição. Alguns destes modos apenas são excitados

quando a frequência da fonte é superior à frequência de “cutoff” associada ao modo.

Os modos excitados dependem fortemente da relação entre a velocidade das ondas S

que se propagam na formação e a velocidade das ondas de pressão que se propagam no meio

fluido ( fβ α ). A formação é designada por “rápida” ou “lenta” consoante esta relação seja

superior ou inferior à unidade.

Nos casos a analisar será considerada uma formação “rápida”, com uma massa

volúmica de 32140kg / mρ = e permitindo a propagação de ondas P e S com velocidades de

4208m /sα = e 2656m /sβ = , respectivamente (Ellefsen, 1990). Nesta formação existe um

furo de prospecção com raio de 0.1016 m, preenchido com água ( 31000kg / mfρ = e

1500m /sfα = ).

As curvas que definem as velocidades de propagação e de fase (curvas de dispersão)

dos modos de ordem inferior excitados neste sistema encontram-se representadas na Figura

7.15. Nesta figura, os diferentes modos são identificados por um par de números, em que o

primeiro representa a ordem azimutal do modo e o segundo a ordem radial, definindo esta a

variação da resposta associada ao longo da direcção radial. O primeiro modo axissimétrico

excitado corresponde às ondas de Stoneley. Este modo, identificado pelo par ( )0,0 , é

apenas ligeiramente dispersivo e existe para todas as frequências. A sua energia é,

habitualmente, mais elevada nas baixas frequências, e o modo exibe velocidades de

propagação e de fase inferiores à velocidade das ondas de pressão do fluido.

O segundo modo axissimétrico é o modo Pseudo-Rayleigh, identificado pelo par

( )0,1 . Este modo exibe uma frequência de “cutoff” próxima dos 8 kHz . Para esta

frequência, o modo exibe a sua velocidade de fase mais elevada, aproximando-se esta da velocidade das ondas de pressão com o aumento da frequência. A velocidade de propagação destas ondas é um pouco inferior à das ondas S na vizinhança da frequência de “cutoff” do modo, diminuindo depois para valores inferiores à velocidade das ondas de pressão do fluido. É, por isso, um modo altamente dispersivo. Existe um número infinito de modos

axissimétricos de ordens radiais mais elevadas ( ) ( )0,2 , 0,3 , ... , com frequências de “cutoff”

sucessivamente mais elevadas.

248

1.2

1.6

2.0

2.4

2.8

0 5 10 15 20

(0,0)

(3,0)

(4,0) (5,0)

(3,1)

(2,1)

(0,2)

(1,1)

(0,1)(2,0)(1,0)

f (kHz)

c (k

m/s

)

a)

0.8

1.2

1.6

2.0

2.4

2.8

0 5 10 15 20

(0,0)

(3,0) (4,0) (5,0)

(3,1)

(2,1)

(0,2)

(1,1)

(0,1)

(2,0)(1,0)

f (kHz)

v (k

m/s

)

b)

Figura 7.15: Curvas de dispersão calculadas por Ellefsen (1990) para furos de prospecção circulares, quando o furo tem um raio de 0.1016 m: a) velocidades de fase; b) velocidades de propagação.

O primeiro modo com variação azimutal excitado é o modo de flexão ( )1,0 ,

existindo para todas as frequências. Este modo é também dispersivo, e a sua amplitude varia com o coseno ou o seno do ângulo azimutal. Modos de flexão com ordens mais elevadas

( ) ( )1,1 , 1,2 , ... podem também existir.

Modos com variação azimutal de ordem 2 e variação radial de ordem 0, usualmente designados por “screw”, são também excitados, variando a sua amplitude com cos 2θ ou

sin 2θ , onde θ é o ângulo azimutal. Este modo é identificado como ( )2,0 , podendo

verificar-se que é também dispersivo e que exibe uma frequência de “cutoff” de aproximadamente 6kHz . Tal como mencionado anteriormente, modos com ordens radiais

mais elevadas ( ) ( )2,1 , 2,2 ... existem também no sistema.

Outros modos com ordens azimutais e radiais mais elevadas ( ), com >2 e >2n m m n ,

que variam com cosnθ ou sin nθ , podem também ser observados.


Realizaram-se diversas simulações numéricas para aplicação de algumas das soluções

analíticas e numéricas, descritas em capítulos anteriores desta dissertação, à análise de casos

práticos de técnicas de prospecção geofísica. Esta subsecção divide-se, por isso, em três partes

distintas, que correspondem à análise de outras tantas situações onde:

249

- a prospecção é realizada aplicando a técnica de “acoustic logging”, mas a secção

transversal do furo de prospecção não é perfeitamente circular;

- a prospecção é realizada aplicando a técnica de “acoustic logging”, mas a zona que

envolve o furo foi alterada em consequência da sua execução;

- a prospecção é realizada com recurso à técnica de “cross-hole surveying”.

Como referência para comparação dos resultados calculados, simula-se também o caso

em que o furo de prospecção tem uma secção circular sem qualquer deformação. Em todos os

casos analisados considera-se que os furos de prospecção têm um diâmetro nominal de

0.1016 m . Nos casos em que a configuração geométrica pode ser definida através de uma ou

de duas circunferências concêntricas, o cálculo das respostas é efectuado com recurso aos

modelos apresentados no Capítulo 2. Nos restantes casos, recorre-se ao uso das formulações

do Método dos Elementos de Fronteira definidas no Capítulo 4. Para esta última situação, a

discretização de cada uma das fronteiras que definem a configuração do sistema é realizada

usando um mínimo de 80 elementos, e garantindo que a relação entre o comprimento de onda

das ondas incidentes e o comprimento de cada elemento é, no mínimo, de 12.

Os cálculos são efectuados no domínio da frequência, na gama dos 80 Hz aos

10240 Hz , e considerando um incremento de 80 Hz . São, depois, calculadas respostas no

domínio do tempo, recorrendo à metodologia descrita para situações anteriores. Para este

cálculo, considera-se que a fonte emite um pulso de Ricker com uma frequência central de

3.5 kHz. Para o incremento de frequência especificado, o tempo máximo de análise é de

1 80 12.5 msT = = . Apresentam-se respostas tridimensionais, calculadas como somatórios de

soluções bidimensionais mais simples, de acordo com o que se descreveu no Capítulo 2. Para

tal, o espaçamento entre as fontes virtuais dispostas ao longo de z é de 2 105.2 mL Tα= = .

7.4.3.1 - Análise do comportamento de furos de prospecção que apresentam uma pequena deformação na sua secção transversal

Num primeiro conjunto de simulações avalia-se a influência que uma pequena

deformação na secção do furo de prospecção tem nas respostas registadas em receptores

colocados no seu interior. Para facilitar a interpretação do comportamento deste sistema, serão

apresentadas respostas no domínio da frequência vs. velocidade de fase (f-c) e no domínio do

tempo. Note-se que, tal como referido anteriormente, as respostas no domínio f-c são obtidas

250

para uma sequência de valores individuais da velocidade de fase ( c ) segundo z, considerando

que a variação sinusoidal da fonte ao longo do eixo z é dada por zkcω= , onde 2 fω π= é a

frequência angular de excitação. Considera-se que o sistema é excitado por fontes unipolares,

localizadas em duas posições distintas, que criam um campo de ondas dilatacionais que se

afasta delas. Nas simulações que se efectuaram optou-se por posicionar a fonte no eixo do

furo (fonte 1, posição O1) ou junto do seu contorno (fonte 2, posição O2), calculando-se as

respostas em dois grupos de receptores dispostos ao longo do eixo z e igualmente espaçados

de 2.5 m (grupos R1 e R2). Na Figura 7.16 representa-se esquematicamente a configuração

dos dois sistemas analisados, correspondendo o primeiro ao caso em que a secção do furo é

circular, e o segundo ao caso em que esta secção apresenta uma deformação. Na mesma figura

representam-se as posições onde se localizam os receptores e as fontes.

a) b)

Figura 7.16: Representação esquemática da configuração dos furos de prospecção analisados, correspondendo a um furo perfeitamente circular (a) e a um furo com um pequena deformação na secção transversal (b). Inclui-se, na figura, o posicionamento das diferentes fontes (O1 e O2) e dos diferentes receptores (R1 e R2).

Na Figura 7.17a apresentam-se as respostas calculadas no grupo de receptores R1,

próximo da parede do furo, quando o furo de prospecção é circular e o sistema é excitado pela

fonte 1. Nas respostas calculadas no domínio f-c regista-se a presença de dois modos

axissimétricos, correspondentes às ondas de Stoneley [(0,0)] e Pseudo-Rayleigh [(0,1)] . Este

comportamento era esperado, já que a fonte 1 se localiza sobre um eixo de simetria do

sistema, não excitando, por isso, qualquer modo não-axissimétrico. As respostas calculadas

no domínio do tempo estão também de acordo com esta interpretação, exibindo a presença

marcada de um pulso associado às ondas de Stoneley [(0,0)] . No entanto, a contribuição das

ondas Pseudo-Rayleigh não é visível, o que pode justificar-se pela sua frequência de “cutoff”

(8 kHz), que se revela elevada quando comparada com a frequência característica da fonte

251

(3.5 kHz). Quando se considera que a secção do furo é deformada, ocorrem alterações

importantes nesta resposta (Figura 7.17b). No domínio f-c, a resposta regista a contribuição de

alguns modos próprios não-axissimétricos, como o modo de flexão e o modo “screw”. Neste

caso, a presença da deformação leva a que o sistema não seja axissimétrico em relação ao eixo

do furo de prospecção, facto que explica a contribuição desses modos para a resposta dos

receptores R1. No domínio do tempo, a resposta é bastante próxima da que se obteve no caso

anterior, o que fica a dever-se fundamentalmente à escala dos gráficos apresentados e à

elevada amplitude das ondas de Stoneley. Ainda assim, regista-se uma ligeira perturbação da

resposta que se deve à chegada de uma sequência de pulsos associados a ondas de flexão e

“screw”. Dada a frequência de “cutoff” do modo “screw”, prevê-se que a sua contribuição seja

mais significativa caso se use uma fonte com uma a frequência central mais elevada.

0.00.25

0 5 10

z=12.5m

z=10.0m

z=7.5m

z=5.0m

z=2.5m

P SStoneley

Tempo (ms)

Am

plitu

de (P

a)

a)

0.00.25

0 5 10

z=12.5m

z=10.0m

z=7.5m

z=5.0m

z=2.5m

P SStoneley Ondas Guiadas

Tempo (ms)

Am

plitu

de (P

a)

b)

Figura 7.17: Resultados obtidos, nos domínios f-c e do tempo, nos receptores R1 por actuação da fonte 1 quando: a) o furo de prospecção é circular; b) a secção transversal do furo de prospecção apresenta uma deformação.

Na Figura 7.18 ilustram-se as respostas lidas nos mesmos receptores quando a fonte se

posiciona em O2. No caso em que o furo é circular, a resposta no domínio f-c (Figura 7.18a)

exibe agora a presença de modos não-axissimétricos, nomeadamente os modos de flexão e

252

“screw” anteriormente identificados. Neste caso, o facto de a fonte estar desviada do eixo do

furo de prospecção determina que estes modos sejam excitados. No domínio do tempo, a

resposta revela também a sua presença, na forma de uma sequência de pulsos que começam a

chegar aos receptores após a chegada das ondas S. Em virtude de serem ondas dispersivas, a

sua chegada prolonga-se até tempos posteriores à chegada do pulso de Stoneley, onde a sua

contribuição regista amplitudes máximas. Na Figura 7.18b apresenta-se a resposta calculada

nos receptores R1 por actuação da fonte 2, quando em presença de um furo com secção

deformada. As respostas nos domínios f-c e do tempo exibem agora características

semelhantes às referidas para o caso em que o furo é circular, uma vez que em ambos os

sistemas são excitados os diferentes modos axissimétricos e não-axissimétricos.

0.00.4

0 5 10

z=12.5m

z=10.0m

z=7.5m

z=5.0m

z=2.5m

P S StoneleyOndas guiadas

Tempo (ms)

Am

plitu

de (P

a)

a)

0.00.4

0 5 10

z=12.5m

z=10.0m

z=7.5m

z=5.0m

z=2.5m

P S StoneleyOndas guiadas

Tempo (ms)

Am

plitu

de (P

a)

b)


Quando se analisam as respostas nos receptores R2 geradas pela excitação da fonte

O2, apresentadas na Figura 7.19, é possível observar algumas alterações significativas. No

caso em que o furo de prospecção é circular (Figura 7.19a), as respostas no domínio f-c

253

0.00.25

0 5 10

z=12.5m

z=10.0m

z=7.5m

z=5.0m

z=2.5m

P SStoneley

Ondas guiadas

Tempo (ms)

Am

plitu

de (P

a)

a)

0.00.25

0 5 10

z=12.5m

z=10.0m

z=7.5m

z=5.0m

z=2.5m

P SStoneley Ondas guiadas

Tempo (ms)

Am

plitu

de (P

a)

b)


permitem a identificação dos modos axissimétricos correspondentes às ondas de Stoneley e

Pseudo-Rayleigh. No que respeita aos modos não-axissimétricos, verifica-se que só é

observável a presença das ondas “screw”. De facto, este receptor posiciona-se sobre a linha

nodal do modo de flexão, sobre a qual a resposta deste modo é nula, o que leva à total

ausência deste modo nas respostas calculadas. Nas respostas no domínio do tempo, as ondas

“screw” podem ser vistas como uma sequência de pulsos cuja chegada aos receptores se

começa a registar logo após a chegada da onda S. Uma vez mais, a sua chegada prolonga-se

no tempo em resultado das diferentes velocidades de propagação que estas ondas exibem para

diferentes frequências. Quando o furo de prospecção é deformado (Figura 7.19b), as respostas

calculadas no domínio f-c revelam a presença de um modo adicional, correspondendo a ondas

de flexão [(1,0)] . Esta presença é explicada pelo facto de, neste caso, os receptores R2 não

estarem já sobre a linha nodal do modo, uma vez que esta sofre uma alteração em virtude da

254

secção do furo não ser circular. No entanto, dada a pequena distância destes receptores à nova

linha nodal, a amplitude deste modo é reduzida, não sendo visível a sua contribuição para as

respostas no tempo.

A variação das características da propagação de ondas registadas, quando se considera

uma pequena deformação no contorno do furo de prospecção, não é, nos casos analisados,

muito pronunciada. Contudo, é de esperar que ocorram alterações mais significativas caso se

considerem fontes de excitação com frequências centrais mais elevadas. Para esse caso, será

de esperar que a contribuição de modos não-axissimétricos de ordens mais elevadas se torne

significativa, conduzindo a alterações mais pronunciadas das respostas no domínio do tempo.

Para além dos aspectos já analisados, é importante verificar que a forma das curvas de

dispersão dos diferentes modos são alteradas quando se considera o furo de prospecção com

secção deformada. Para tal, apresentam-se na Figura 7.20 as curvas calculadas para as duas

situações estudadas, representando-se apenas o comportamento dos modos de ordens mais

baixas. Registam-se ligeiras alterações nas curvas de dispersão de todos os modos excitados,

não sendo, no entanto, facilmente visíveis para o caso das ondas de Stoneley. As diferenças

registadas mostram uma clara tendência para uma diminuição das velocidades de fase no caso

em que o furo é deformado.

1200

1600

2000

2400

2800

0 2000 4000 6000 8000 10000

(0,1)

(2,0)(1,0)

(0,0)

f (Hz)

c (m

/s)

Figura 7.20: Curvas de dispersão dos modos próprios de ordens mais baixas que se registam num furo de

prospecção com secção circular de raio 0.1016 m (linhas a cheio), e para o mesmo furo quando a sua secção transversal apresenta uma deformação (linhas a tracejado).

255

7.4.3.2 - Análise do comportamento de furos de prospecção onde ocorreu a alteração das características da zona envolvente

Analisa-se, neste conjunto de simulações, o caso em que a formação que envolve o

furo de prospecção foi alterada como consequência da sua execução. São calculadas as

respostas em receptores colocados no seu interior nos domínios f-c e do tempo. O sistema é

excitado por fontes unipolares, considerando-se, para estas, duas possíveis posições. Opta-se,

tal como nos casos do ponto anterior, por posicionar a fonte no eixo do furo (fonte 1, posição

O1) ou junto do seu contorno (fonte 2, posição O2), calculando-se depois as respostas em dois

grupos de receptores dispostos ao longo do eixo z e igualmente espaçados de 2.5 m (grupos

R1 e R2). São estudados dois sistemas distintos, em qualquer dos quais se considera em redor

do furo de prospecção a presença de uma zona alterada delimitada exteriormente por uma

circunferência de raio 0.2032 m, onde as velocidades de propagação das ondas P e S são

inferiores em 25% às consideradas para a formação original ( m/s3156=altα e

m/s1992=altβ ). No primeiro sistema, considera-se que esta circunferência é concêntrica

com a que define o contorno do furo de prospecção (Caso 1); no segundo considera-se que os

centros de ambas se encontram distanciados de 0.033 m (Caso 2). As duas configurações

descritas encontram-se representadas na Figura 7.21.

a) b)

Figura 7.21: Representação esquemática da secção transversal de dois furos de prospecção com a zona envolvente alterada. Em (a) a superfície exterior da zona alterada é definida por uma circunferência de raio 0.2032 m, concêntrica com o próprio furo (Caso 1), enquanto que em (b) as duas circunferências não são concêntricas (Caso 2). Inclui-se na figura o posicionamento das diferentes fontes (O1 e O2) e dos diferentes receptores (R1 e R2).

256

Como referência para comparação e interpretação dos resultados obtidos é usado o

caso em que o furo de prospecção se localiza numa formação homogénea. Este caso foi já

analisado no ponto anterior, onde se apresentaram os resultados obtidos em receptores

localizados em posições equivalentes às dos que agora se consideram.

Os resultados que se apresentam na Figura 7.22 correspondem à situação designada

como Caso 1, onde a superfície exterior da zona alterada que envolve o furo de prospecção é

definida por uma circunferência concêntrica com a que define o próprio furo. As respostas, no

domínio f-c e do tempo, obtidas para os receptores R1, e geradas pela actuação da fonte 1,

encontram-se representadas na Figura 7.22a. Comparando estas respostas com as que se

0.00.25

0 5 10

z=12.5m

z=10.0m

z=7.5m

z=5.0m

z=2.5m

P S Stoneley

Tempo (ms)

Am

plitu

de (P

a)

a)

0.00.25

0 5 10

z=12.5m

z=10.0m

z=7.5m

z=5.0m

z=2.5m

P S Stoneley Ondas Guiadas

Tempo (ms)

Am

plitu

de (P

a)

b)

Figura 7.22: Resultados obtidos para o Caso 1, nos domínios f-c e do tempo, nos receptores R1 por actuação das fontes 1 (a) e 2 (b).

apresentaram na Figura 7.17a, verifica-se que ocorrem alterações bastante significativas, em

particular no que respeita aos modos próprios excitados e às respectivas curvas de dispersão.

A identificação rigorosa dos modos associados às diferentes curvas é, nesta situação, mais

difícil, já que não existem trabalhos de referência onde estas tenham sido calculadas.

Procedeu-se, por isso, ao cálculo das pressões registadas sobre uma grelha de receptores

dispostos no interior do furo de prospecção, para valores específicos da frequência (f) e da

257

velocidade de fase (c). As formas modais assim obtidas representam-se na Figura 7.23. De

acordo com a forma modal calculada para ( f=4000 Hz; c=1370 m/s), e apresentada na Figura

7.23a, o primeiro modo encontra-se associado a ondas de Stoneley [(0,0)] , exibindo apenas

uma ligeira variação radial. Na gama de frequências analisada, as suas velocidades de fase

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

i)

Figura 7.23: Formas modais calculadas para valores específicos de f e c para a configuração do Caso 1: a) (f=4000.0 Hz; c=1370.0 m/s); b) (f=6800.0 Hz; c=2400.0 m/s); c) (f=10240.0 Hz; c=2640 m/s); d) (f=4600.0 Hz; c=2000.0 m/s); e) (f=6900.0 Hz; c=2000.0 m/s); f) (f=8150.0 Hz; c=2400 m/s); g) (f=9500.0 Hz; c=2000 m/s); h) (f=9050.0 Hz; c=2800 m/s); i) (f=10240.0 Hz; c=2500 m/s). Em (a), (b) e (c), as formas modais são calculadas para a actuação da fonte 1, e nos restantes casos para a actuação da fonte 2.

são agora um pouco inferiores às registadas na ausência da zona alterada, o que fica

provavelmente a dever-se ao facto de as velocidades de propagação das ondas P e S serem

mais reduzidas nesta zona. O cálculo da forma modal para ( f=6800 Hz; c=2400 m/s),

ilustrada na Figura 7.23b, permite identificar a segunda curva como estando associada às

ondas Pseudo-Rayleigh [(0,1)] . Devido às características do sistema em análise, estas ondas

exibem um comportamento diferente do anteriormente observado, registando agora uma

258

frequência de “cutoff” mais baixa e uma velocidade de fase máxima também um pouco

inferior à anteriormente registada. O terceiro modo é, de acordo com a forma modal da Figura

7.23c, calculada para ( f=10240 Hz; c=2640 m/s), um modo axissimétrico de segunda ordem

radial [(0,2)] . Este modo não era visível nas respostas da Figura 7.17a. Nas respostas

calculadas no domínio do tempo, apenas a contribuição das ondas de Stoneley é claramente

visível. No entanto, a ampliação da resposta permite observar uma sequência de pulsos que

começam a chegar ao receptor logo após a chegada das ondas S. Estes pulsos são, certamente,

devidos à contribuição das ondas Pseudo-Rayleigh, cuja amplitude é agora bastante mais

significativa em frequências próximas da frequência central da fonte.

As respostas calculadas nos receptores R1, quando a fonte actua na posição O2,

revelam uma maior complexidade (Figura 7.22b). Regista-se, para estes receptores e para esta

posição da fonte, a excitação de um grande número de modos próprios, incluindo modos não

axissimétricos de diferentes ordens azimutais e radiais. A identificação destes modos foi, uma

vez mais, realizada a partir das respostas calculadas sobre uma grelha de receptores localizada

no fluido que preenche o furo de prospecção. As formas modais correspondentes

encontram-se também representadas nas Figuras 7.23. Entre os modos excitados, podem

agora identificar-se os que têm variações azimutais de primeira (Figura 7.23d), segunda

(Figura 7.23e), terceira (Figura 7.23g) e quarta (Figura 7.23h) ordens. É também possível

identificar a contribuição de modos com variações radiais de primeira ordem, como os que se

representam nas Figuras 7.23f e 7.23i. Estes resultados indicam que a presença de uma zona

alterada com velocidades de propagação inferiores às da formação original conduz a respostas

mais complexas, com os diferentes modos envolvidos a apresentarem frequências de “cutoff”

mais baixas do que no caso em que a formação é homogénea. Nas respostas calculadas no

domínio do tempo não é possível separar a contribuição de cada um dos modos para a

resposta, uma vez que o carácter dispersivo de todos eles leva a que dêem origem a pulsos que

chegam aos receptores durante um longo período.

Considere-se agora o sistema definido como Caso 2, onde a superfície exterior da zona

alterada é definida por uma circunferência não concêntrica com o furo. Na Figura 7.24a

apresentam-se os resultados obtidos, para esta situação, nos receptores R2 por actuação da

fonte 2. Como referência para comparação, incluem-se também os resultados calculados para

a configuração do Caso 1 em presença da mesma fonte e para os mesmos receptores (Figura

7.24b). Da análise das respostas obtidas no domínio f-c resulta que as principais diferenças

entre os dois casos residem agora nos modos próprios que são excitados. O receptor R2

encontra-se, no Caso 1, sobre a linha nodal de alguns modos não-axissimétricos, como é o

259

caso dos modos com variação azimutal de primeira ordem ([(1,0)] , [(1,1)] , ...), não se

registando, por esse motivo, a sua contribuição. No entanto, quando se considera a

configuração do sistema do Caso 2, esses modos tornam-se bem visíveis. De facto, o traçado

da linha nodal dos diferentes modos próprios do sistema sofre algumas alterações quando as

superfícies exterior e interior da zona alterada não são concêntricas. Para os modos de

primeira ordem azimutal, a sua linha nodal não é, nesse caso, uma recta que passa pelo centro

do furo e pelo receptor R2, pelo que a resposta destes modos registada nos receptores R2 é

diferente de zero.

0.00.25

0 5 10

z=12.5m

z=10.0m

z=7.5m

z=5.0m

z=2.5m

P S StoneleyOndas Guiadas

Tempo (ms)

Am

plitu

de (P

a)a)

0.00.25

0 5 10

z=12.5m

z=10.0m

z=7.5m

z=5.0m

z=2.5m

P S StoneleyOndas Guiadas

Tempo (ms)

Am

plitu

de (P

a)

b)

Figura 7.24: Resultados obtidos, nos domínios f-c e do tempo, nos receptores R2 por actuação da fonte 2. Em (a) representa-se a resposta registada para a configuração do Caso 2, e em (b) a que se regista para a configuração do Caso 1.

Um outro aspecto que interessa salientar prende-se com a diminuição da amplitude do

modo [(0,1)] . A justificação para esta diminuição resulta de razões já identificadas

anteriormente, em particular da alteração da configuração das linhas nodais dos diferentes

modos. Para o modo [(0,1)] , a alteração que ocorre leva a que esta se aproxime da posição R2,

diminuindo, por isso, a amplitude do modo. Refira-se, ainda, que não ocorrem variações

significativas nas curvas de dispersão dos modos próprios do sistema, verificando-se que estas

260

são quase coincidentes para os dois casos analisados. A observação das respostas calculadas

no domínio do tempo não permite registar diferenças evidentes entre os dois casos, já que em

ambos se verifica a chegada de diversos pulsos associados aos diferentes modos próprios e

ocorrendo durante um intervalo de tempo prolongado.

7.4.3.3 - Análise do comportamento de um sistema com dois furos de prospecção circulares

A última aplicação numérica que se analisa neste Capítulo corresponde a uma

simulação da técnica de “cross-hole surveying”. Nesta técnica, a prospecção é realizada

recorrendo a dois furos de prospecção preenchidos por fluidos, contendo um deles uma fonte

de excitação e o outro um conjunto de receptores. Será analisado o caso específico em que

estes furos de prospecção apresentam secção circular, com as dimensões definidas para os

casos anteriores, e cujos centros se encontram distanciados de 3.0 m. A configuração descrita

encontra-se representada na Figura 7.25, onde se representa também a posição da fonte (O) e

dos receptores (R1 e R2) considerados.

Figura 7.25: Representação esquemática de um sistema constituído por dois furos de prospecção circulares, com

raio de 0.1016 m, e centros distanciados de 3.0 m. O é a posição da fonte de excitação e R1 e R2 a dos receptores.

Da Figura 7.26a constam as respostas calculadas nos receptores R2, nos domínios f-c e

do tempo. A observação das respostas no domínio f-c permite concluir que o comportamento

do sistema agora analisado se apresenta significativamente diferente dos anteriormente

tratados. De facto, em configurações deste tipo verifica-se que a amplitude dos modos

próprios do sistema, tal como definidos nos pontos anteriores, é significativamente mais

reduzida. Analisando o seu comportamento para velocidades de fase inferiores à velocidade

261

da onda S da formação sólida, a presença destes modos apenas é visível nas proximidades das

respectivas frequências de “cutoff”, revelando um acentuado decréscimo de amplitude com o

aumento da frequência. No entanto, é importante notar que, em lugar dos modos próprios

anteriormente registados, surgem agora modos evanescentes (“leaky modes”, cuja amplitude

decresce exponencialmente com o aumento da distância à fonte) que registam amplitudes

0.06.0

0 5 10

z=12.5m

z=10.0m

z=7.5m

z=5.0m

z=2.5m

P SOndas guiadas

Tempo (ms)A

mpl

itude

(mPa

)

a)

0.0

0 5 10

z=12.5m

z=10.0m

z=7.5m

z=5.0m

z=2.5m

P SOndas guiadas

Tempo (ms)

Am

plitu

de (m

Pa)

b)

Figura 7.26: Resultados obtidos, nos domínios f-c e do tempo, nos receptores R2 (a) e R1 (b), quando o sistema é constituído por dois furos de prospecção circulares, com uma distância entre centros de 3.0 m, e a fonte se situa num dos furos e os receptores no outro.

muito significativas para a gama de velocidades de fase entre os 2656m /s e os 4208m /s .

Entre estes modos, é possível identificar a presença de ondas de flexão [(1,0)] e de ondas

“screw” [(2,0)] . No receptor R2, a contribuição das primeiras é menos significativa, já que o

receptor se localiza sobre a linha vertical que passa pelo centro do furo receptor. As respostas

no domínio do tempo apresentam-se, também, bastante diferentes das observadas em casos

anteriores, reflectindo as características descritas para as respostas em f-c. A contribuição das

ondas de Stoneley é agora quase inexistente, em virtude da baixa amplitude que exibem nas

frequências próximas da frequência central da fonte. No entanto, a chegada das ondas P e S é

agora claramente visível, seguida de uma sequência de pulsos que ocorre durante um longo

262

intervalo de tempo, e com maior amplitude após a chegada das ondas S. Estes pulsos

correspondem à contribuição dos “leaky-modes” descritos anteriormente, que se propagam

com velocidades superiores às que se indicaram nos casos anteriores para os modos próprios

de furos de prospecção isolados.

A Figura 7.26b ilustra os resultados obtidos nos receptores R1. Para esta situação, as

respostas calculadas em f-c e no tempo registam uma contribuição dos diferentes

“leaky-modes” bastante mais significativa do que em R2. De facto, este receptor encontra-se

afastado das possíveis linhas nodais de qualquer dos modos não-axissimétricos identificados,

pelo que as amplitudes correspondentes são bastante significativas. Em particular, importa

destacar o aumento de amplitude do modo [(1,0)] , que atinge valores máximos neste receptor.

No domínio do tempo, as amplitudes registadas são significativamente superiores às

observadas em R2, confirmando, por isso, esta interpretação.

7.4.4 - Conclusões

Quando se considera um furo de prospecção isolado, as simulações realizadas

permitiram concluir que a resposta dinâmica do sistema depende fortemente da posição da

fonte de excitação, em particular no que respeita aos modos próprios do sistema que são

excitados. Verifica-se ainda que, dependendo da posição do receptor analisado, se regista ou

não a contribuição dos diferentes modos. A consideração de um furo de prospecção com

secção deformada produz também alterações na resposta do sistema, verificando-se não só a

alteração das curvas de dispersão correspondentes, como também a contribuição de alguns

modos próprios para a resposta em receptores onde anteriormente não era registada.

Concluiu-se que esse comportamento se ficava a dever a alterações da forma modal de cada

um dos modos, bem como à consequente mudança de posição das suas linhas nodais.

Para o caso em que a formação se encontra alterada em redor do furo de prospecção,

apresentando menores velocidades de propagação para as ondas P e S, surge a contribuição de

um maior número de modos. Para esse caso, a frequência de “cutoff” dos diferentes modos é

mais reduzida, e as suas curvas de dispersão surgem também deslocadas para frequências

mais baixas. Para o caso em que a zona alterada não é concêntrica com o furo observou-se a

263

contribuição de um maior número de modos nos receptores analisados, em virtude da perda de

simetria do sistema.

As simulações efectuadas para a técnica que recorre a dois furos de prospecção

(“cross-hole surveying”) permitiram observar comportamentos bastante diferentes dos que se

registaram para furos isolados. Os modos próprios perdem, nesse caso, importância,

apresentando amplitudes mais reduzidas e apenas significativas na vizinhança da respectiva

frequência de “cutoff”. Dominam agora a resposta os modos evanescentes (“leaky-modes”),

que existem com velocidades de fase entre a velocidade das ondas de corte e a das ondas

dilatacionais do meio sólido.

7.5 – NOTA FINAL

Ficou bem patente, neste Capítulo, a aplicabilidade dos modelos analíticos e

numéricos desenvolvidos em capítulos anteriores a diferentes casos relacionados com a

utilização de técnicas não destrutivas de caracterização, detecção e identificação. Os

diferentes modelos utilizados revelaram-se eficientes e de aplicação simples, permitindo

simular um conjunto de sistemas correspondentes a situações que podem, efectivamente,

ocorrer na realidade.

Embora sem o objectivo de realizar uma análise exaustiva de todas as situações

possíveis e de todos os factores que poderiam influenciar cada uma delas, as simulações

realizadas permitiram retirar um conjunto de conclusões relativas ao comportamento de cada

sistema. Evidenciaram-se alguns aspectos interessantes da propagação de ondas em redor de

objectos submersos, no interior de canais preenchidos com água ou em furos de prospecção,

tendo, em particular, sido possível caracterizar os diferentes tipos de ondas que se propagam

nestes sistemas e identificar a importância relativa de cada uma delas.

264


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271

CAPÍTULO 8

CONSIDERAÇÕES FINAIS

Abordou-se, ao longo desta dissertação, a propagação de ondas em sistemas onde

ocorre a interacção entre meios sólidos e meios fluidos, com particular destaque para as áreas

da acústica e da aplicação de técnicas não destrutivas. Em alguns casos, é usual

considerarem-se simplificações que permitem uma análise isolada do meio acústico ou do

meio elástico. No entanto, estas formulações apresentam limitações evidentes no caso em que

o contraste entre os dois meios é mais reduzido. No sentido de ultrapassar as simplificações

assumidas por muitos dos modelos existentes, desenvolveram-se formulações que consideram

de forma rigorosa a interacção sólido-fluido.

Foram apresentados diferentes modelos que permitem a análise da propagação de

ondas, alguns deles recorrendo a soluções analíticas, cujo cálculo apenas é possível para

configurações geométricas simples, outros recorrendo a métodos numéricos, tendo, por isso

mesmo, um âmbito de aplicação mais alargado. Foi nosso objectivo o desenvolvimento da

formulação matemática subjacente a estes modelos, e também a sua implementação na forma

272

de programas de computador. Esta implementação permitiu realizar todo um conjunto de

simulações numéricas de problemas da área da acústica e da aplicação de técnicas não

destrutivas, com o objectivo de analisar o comportamento de diferentes configurações dos

sistemas físicos.

No final de cada um dos capítulos precedentes foram já referidas as principais

conclusões que deles se retiraram. No entanto, julga-se agora importante indicar

resumidamente as ideias consideradas mais relevantes, o que permite obter uma panorâmica

do conteúdo essencial da dissertação.

Assim, no Capítulo 2 apresentou-se um processo de cálculo para a definição do campo

tridimensional de ondas gerado por fontes dilatacionais pontuais que actuam em sistemas com

geometria bidimensional. Este processo foi aplicado a meios de propagação contendo

inclusões com geometria circular, definindo, para eles, soluções analíticas. Foram estudadas

diferentes configurações, correspondendo a sistemas físicos onde se considera a presença de

uma inclusão circular com fronteira rígida inserida num meio fluido, de uma inclusão circular

preenchida por um fluido ou por um sólido, inserida num meio elástico, e de um anel sólido

de secção circular preenchido com um fluido e rodeado por um material fluido ou sólido.

Definiu-se, no Capítulo 3, uma metodologia de análise do comportamento dinâmico de

sistemas constituídos por uma sequência de camadas sólidas e fluidas, dispostas

paralelamente, com diferentes espessuras e propriedades. O processo de cálculo proposto

recorreu à definição de uma matriz que representa o comportamento do sistema, construída a

partir de matrizes individuais que descrevem o comportamento dinâmico de cada camada,

matriz essa que permite ter em conta as diferentes interacções entre camadas. Aplicando este

processo, foi possível exprimir a resposta de um sistema estratificado, sujeito a uma carga

linear com variação sinusoidal segundo a direcção do seu eixo, na forma de um somatório

discreto dos efeitos de ondas planas com diferentes inclinações.

Introduziu-se, no Capítulo 4, uma formulação do Método dos Elementos de Fronteira

no domínio da frequência que permite a resolução de problemas de propagação de ondas em

meios fluidos e sólidos, com geometria bidimensional, sujeitos à acção de carregamentos

tridimensionais. Formularam-se as equações integrais de fronteira para diferentes casos que

correspondem a sistemas constituídos por meios fluidos, a sistemas constituídos por meios

sólidos e a sistemas que contêm os dois tipos de meios.

As primeiras aplicações dos modelos desenvolvidos foram apresentadas no Capítulo 5.

Com base no modelo proposto no Capítulo 3, procedeu-se à análise do comportamento

dinâmico de elementos constituídos por múltiplas camadas de materiais sólidos e fluidos e

273

sujeitas à incidência de diferentes tipos de ondas. Calculou-se o índice de redução sonora de

painéis simples e múltiplos, abordando ainda o caso em que um dos painéis é um sistema

multicamada. A comparação dos resultados calculados com base no modelo proposto com os

que se calculam aplicando outros modelos simplificados, permitiu identificar algumas

diferenças importantes. Estas diferenças resultaram, fundamentalmente, das diferentes

hipóteses que servem de base a cada um dos modelos, verificando-se que a consideração

rigorosa da interacção fluido-sólido, ou das características da fonte de excitação, conduz a

diferenças significativas nos resultados obtidos. Identificaram-se os diferentes fenómenos

dinâmicos envolvidos no processo de transmissão sonora através de painéis múltiplos,

nomeadamente as ressonâncias no interior de caixas de ar e os modos próprios de vibração da

parede como um conjunto.

O comportamento de barreiras acústicas constituídas por materiais elásticos foi

analisado no Capítulo 6, usando o Método dos Elementos de Fronteira em conjunto com

funções de Green definidas com base nas soluções analíticas apresentadas no Capítulo 3.

Verificou-se que o modelo proposto era eficiente e rigoroso, permitindo ter em conta a

interacção entre os diferentes materiais envolvidos e contabilizando ainda a contribuição dos

fenómenos dinâmicos excitados no sistema. A comparação destes resultados com os que se

obtêm através de um modelo mais simples, que considera todas as superfícies do sistema

como sendo rígidas, permitiu concluir que a atenuação sonora proporcionada por uma barreira

depende do seu comportamento dinâmico. Registaram-se, em particular, fortes quebras de

atenuação relacionadas com a interacção entre ondas que se propagam no material elástico

que a constitui. Avaliou-se a influência que a dimensão de uma possível abertura entre o solo

e a barreira tem na atenuação que esta proporciona. Foi possível verificar que a consideração

desse espaço, ainda que com dimensões muito reduzidas, leva a um aumento significativo dos

níveis sonoros registados atrás da barreira. Foi ainda analisado o caso em que a barreira se

encontra inserida num espaço limitado inferior e superiormente, verificando-se que a presença

das diferentes superfícies era determinante na resposta do sistema e, consequentemente, na

atenuação proporcionada pela barreira.

Aplicaram-se, também, os modelos desenvolvidos à simulação de técnicas não

destrutivas de caracterização de meios, e de detecção e identificação de inclusões. A aplicação

dos modelos desenvolvidos revelou-se simples e bastante eficiente, permitindo analisar

diferentes situações com evidente interesse prático. As situações analisadas relacionam-se

com a detecção de defeitos em peças tubulares a partir das características da sua vibração,

274

com a prospecção oceanográfica e detecção de objectos submersos, e com a prospecção

geofísica com recurso a furos de prospecção.

Da análise da vibração de estruturas tubulares, concluiu-se que os diferentes modos de

vibração da estrutura dependem fortemente das características da sua secção transversal.

Verificou-se que a introdução de um pequeno defeito nesta secção levaria a uma alteração

significativa na configuração destes modos.

Quando se analisou a propagação de ondas no interior de um canal hidráulico,

verificou-se que a presença de um meio elástico sob o fluido que o preenche conduz a

alterações significativas do seu comportamento. Estas alterações eram ainda mais

pronunciadas para o caso em que, sob o fluido, existia um camada elástica assente sobre uma

superfície rígida. Concluiu-se ainda que a introdução de inclusões no seio do fluido leva a que

sejam gerados campos de ondas mais complexos. Este comportamento revelou-se bastante

dependente das dimensões da inclusão e das propriedades do material que a constitui.

A aplicação dos modelos desenvolvidos à análise da propagação de ondas em furos de

prospecção permitiu, também, retirar algumas conclusões interessantes. Quando se analisou o

comportamento de um furo de prospecção isolado, concluiu-se que a resposta dinâmica do

sistema depende fortemente da posição da fonte de excitação. A consideração de um furo de

prospecção com secção deformada produz alterações significativas na resposta do sistema,

verificando-se a alteração das curvas de dispersão correspondentes e a contribuição de alguns

modos próprios para a resposta em receptores onde anteriormente não era registada. Para o

caso em que a formação se encontrava alterada em redor do furo de prospecção, concluiu-se

que o número de modos excitados por uma fonte com as mesmas características era bastante

superior. Da simulação da técnica de “cross-hole surveying” pôde concluir-se que o sistema

passa a exibir comportamentos bastante diferentes dos que se registaram para furos isolados.

Para este caso, os modos próprios perdem importância, sendo a resposta dominada por modos

evanescentes (“leaky-modes”).

Terminada esta dissertação, novas interrogações se deparam. É um facto que as

situações apreciadas neste trabalho não esgotam o âmbito de aplicação dos modelos

desenvolvidos; devem, pelo contrário, encarar-se como uma manifestação das potencialidades

das diferentes ferramentas desenvolvidas, constituindo uma motivação para a sua aplicação ao

estudo de outros sistemas, eventualmente mais complexos, ou até para a sua aplicação a

outros domínios. Por outro lado, verifica-se que os modelos desenvolvidos não cobrem (nem

275

tal seria praticável) todas as situações e configurações potencialmente interessantes para as

áreas estudadas. Surgem, por isso, diversas questões cuja resposta apenas poderá ser

encontrada aprofundando os estudos realizados e desenvolvendo novas investigações que

permitam abordar alguns outros casos. Nesse contexto, julga-se pertinente concluir a presente

dissertação indicando alguns possíveis tópicos futuros de investigação, definidos com base

nos conhecimentos adquiridos durante o desenvolvimento deste trabalho, e também na

observação de algumas situações com interesse prático nele não contempladas. Julga-se,

então, útil o aprofundamento da investigação realizada no sentido que a seguir se descreve.

d) Aplicar os modelos desenvolvidos ao estudo do comportamento de membranas elásticas ligadas a uma estrutura de suporte através de apoios elásticos ou rígidos.

As membranas elásticas apoiadas numa estrutura de suporte em pontos discretos são

usadas no domínio da acústica de espaços interiores para a absorção do som em frequências

específicas. No entanto, o estudo deste tipo de soluções é, correntemente, realizado através de

expressões simplificadas que não têm em conta muitos dos fenómenos dinâmicos envolvidos.

O futuro desenvolvimento dos modelos definidos nos Capítulos 3 e 4 ao estudo desta situação

parece ser possível, permitindo, então, ter em consideração o comportamento do sistema de

uma forma mais rigorosa.

e) Integrar nos modelos desenvolvidos o caso de meios de propagação anisotrópicos e o de meios de propagação com velocidade variável.

Em todos os casos apresentados, considerou-se que os materiais que constituem os

diferentes sistemas eram isotrópicos e perfeitamente homogéneos. Não se contemplou, então,

o caso em que os materiais envolvidos apresentam anisotropia, ou em que a velocidade de

propagação das diferentes ondas é variável em função, por exemplo, da profundidade. A

integração destas características nos modelos apresentados poderá permitir simular a

propagação de ondas em outros sistemas.

f) Considerar sistemas quase-cilíndricos, que apresentam pequenas variações de geometria ao longo do seu eixo.

Os modelos apresentados ao longo desta dissertação são aplicáveis à análise de um

grande número de situações, sendo que em todas elas o sistema físico deve apresentar uma

geometria constante ao longo de uma direcção. Em muitos casos, os sistemas físicos poderão

276

ser quase-cilíndricos, ou seja, poderão apresentar uma pequena variação de secção transversal

ao longo do seu eixo. É o caso, por exemplo, de furos de prospecção, que apenas têm uma

secção transversal constante até à profundidade da furação. Será, por isso, de desenvolver

modelos que permitam a análise deste tipo de configurações.

g) Considerar a existência de descontinuidades do tipo fissura nos meios de propagação.

A propagação de ondas em meios fracturados é um outro tópico de investigação

interessante e que, embora directamente relacionado com a temática aqui tratada, não se

encontra contemplado nesta dissertação. A abordagem deste tema requer cuidados

específicos, envolvendo a redefinição de algumas formulações propostas. No entanto, o

aprofundamento destes modelos por forma a permitir o estudo destas situações surge como

uma consequência lógica da investigação até aqui realizada.

h) Comparar os resultados obtidos por simulação numérica com os obtidos por análise experimental.

Constituiu objectivo fundamental desta dissertação o desenvolvimento, implementação

e aplicação de modelos analíticos e numéricos para a simulação de sistemas com

configurações específicas e onde a interacção sólido-fluido assume especial importância.

Esses modelos integram já diversas variáveis relevantes na definição do comportamento de

cada sistema. No entanto, será importante a realização futura de campanhas de ensaios

experimentais que permitam avaliar da importância de outras variáveis não contabilizadas e

que possam, de alguma forma, influenciar o comportamento desses sistemas.

propagaÇÃo de ondas em sistemas que requerem o …

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