Disciplina  ENG04404  –  Ondas  Eletromagnéticas   Versão:  6  de  abril  de  2012  1  

SERVIÇO  PÚBLICO  FEDERAL  MINISTÉRIO  DA  EDUCAÇÃO  

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LISTA  DE  EXERCÍCIOS  Nº  1  

 

Problemas  

1)   Um  meio   é   caracterizado   eletricamente   por   sua   permissividade   elétrica   𝜖   e  magneticamente   por   sua  permeabilidade   magnética   𝜇.   Considerando   que   a   velocidade   𝑣   de   propagação   de   uma   eventual   onda  eletromagnética  neste  meio  seja   função  destas  características  —  formalmente  𝑣 = 𝑣(𝜖, 𝜇)  —  por  análise  dimensional,   (a)  obtenha  uma  possível  expressão  para  tal  velocidade  𝑣  de  propagação  da  eventual  onda.  (b)  Interprete  fisicamente  o  resultado.  (c)  A  expressão  obtida  é  completa?  Disserte  a  respeito.  

 

2)   As   quantidades   𝑤!   e   𝑤!   são   determináveis   a   partir   das   características   do   meio,   as   quais   são  eletricamente  quantificadas  por  sua  permissividade  𝜖  e  magneticamente  pela  sua  permeabilidade  𝜇,  bem  como   o   módulo   dos   campos   elétrico   𝐄   e   indução   magnética  𝐁.   Considere   que   as   expressões   para   tais  quantidades  𝑤!  e  𝑤!  envolvam  as  características  anteriormente  mencionadas  da  forma  

𝑤! =12𝜖𝐸!

 𝑤! =12𝜇

𝐵!  .  

Por  análise  direta  das  expressões,   (a)  determine  as  dimensões  de  𝑤!  e  𝑤!.   (b)  Qual  é  o  significado  físico  das   quantidades   analisadas   no   item   (a)?   (c)   Determine,   no   Sistema   Internacional,   as   unidades   destas  quantidades.  

 

3)   As   Equações   de   Maxwell   compactamente   contêm   toda   a   teoria   referente   à   eletrodinâmica   clássica,  descrevendo   o   comportamento   espacial   e   a   evolução   temporal   dos   campos   elétrico   e   magnético   em  determinado   meio.   A   interação   dos   campos   com   a   matéria,   ao   considerar   conjuntamente   a   força   de  Lorentz,  também  é  consistentemente  descrita.  Dentre  toda  a  fenomenologia  nelas  contida,  expressões  de  conservação  para  quantidades  físicas  diversas  naturalmente  também  decorrem  das  Equações  de  Maxwell.  Embora   estas   informações   não   estejam   explícitas,   tais   equações   de   conservação   podem   ser  adequadamente   derivadas.   Uma   das   quantidades   físicas   conservadas   é   a   carga   elétrica.   Desta   forma,  manipule  as  Equações  de  Maxwell  de  sorte  que  uma  equação  da  conservação  –  da  continuidade  –  de  cargas  seja  obtida.  

 

4)  Uma  onda  eletromagnética  unidimensional  propaga-­‐se  em  determinado  meio  cujas   características   são  compactamente   especificadas   por   sua   permissividade   elétrica   𝜖   e   permeabilidade   magnética   𝜇.   A  velocidade  de  propagação  da  onda  eletromagnética  é  𝑣  e  a  sua  direção  de  propagação  é  ao  longo  do  eixo  𝑥.  O  meio  é  desprovido  de  cargas   livres,   trata-­‐se  de  um  dielétrico  perfeito.   (a)  Demonstre  que  a   solução  geral   para   a   equação   que   governa   a   onda   eletromagnética   possui   o   formato  𝐸 = 𝑓 𝜁! + 𝑔(𝜁!),   sendo  𝜁± = 𝑥 ± 𝑎𝑡,   𝑡   o   tempo   e   𝑓   e   𝑔   funções   arbitrárias.   (b)   Qual   é   o   significado   físico   de   𝑎?   (c)   Qual   é   a  condição   que   a   quantidade   𝑎   deve   satisfazer   para   que   de   fato   a   função   de   onda   esboçada   para  𝐸  seja  solução  da  equação  da  onda?  (d)  Interprete  e  disserte  a  respeito  de  cada  um  dos  termos  𝑓 𝜁!  e  𝑔(𝜁!)  que  compõem  a  solução  geral  obtida  no  item  (a).  

           

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5)   Em   um   meio   dielétrico   perfeito   propagam-­‐se   duas   ondas   eletromagnéticas   planas   de   amplitudes  idênticas,  porém  de  freqüências  angulares  e  vetores  de  onda  distintos.  Suponha  que,  embora  distintas,  tais  quantidades  sejam  muito  semelhantes,  de  forma  que  suas  freqüências  angulares  e  vetores  de  onda  possam  ser  expressos  por  

𝜔!,! = 𝜔 ± Δω  𝛃!,! = 𝛃 ± Δ𝛽𝐞!  .

 

sendo   Δ𝜔   e   Δ𝛽   quantidades   suficientemente   pequenas.   Sendo   o   meio   linear,   (a)   esboce   uma   possível  equação   que   represente   a   onda   eletromagnética   resultante   no  meio.   (b)   Determine   a   expressão   para   a  onda   eletromagnética   resultante   neste   meio.   (c)   A   expressão   obtida   representa   de   fato   uma   onda?  Disserte.  (d)  Qual  tipo  de  fenômeno  físico  ondulatório  pode  ser  observado?  (e)  Tais  ondas  eletromagnéticas  formam  um  pacote?  Discorra.  Obtenha   (f)   a   velocidade  de   fase  e   (g)  a   velocidade  de  grupo  associada  às  ondas  eletromagnéticas.  

 

6)   A   velocidade   em   determinado  meio   de   um   pacote   de   ondas   eletromagnéticas   planas   com   largura   de  banda  Δ𝜔  é  quantificada  por  

𝑣! =𝑑𝜔𝑑𝛽 !!!!

   ,  

sendo  𝛽!  a  constante  de  propagação  angular  da  onda  monocromática  de  maior  amplitude  do  pacote.  (a)  Se  o  meio  é  dispersivo,  demonstre  que    

𝑣! =𝑣!

1 − 𝜔!𝑣!𝑑𝑣𝑑𝜔 !!!!

   .  

(b)  Qual  é  o  significado  físico  de  𝜔!  e  𝑣!?  (c)  Se  o  meio  é  não-­‐dispersivo,  qual  é  então  a  expressão  para  a  velocidade  de  grupo  𝑣!?  Interprete  fisicamente  o  resultado  obtido.  

 

7)  Em  um  meio  dielétrico  perfeito  com  permissividade  elétrica  𝜖  e  permeabilidade  𝜇  propagam-­‐se  infinitas  ondas  eletromagnéticas  planas  com  vetor  de  onda  𝛃  e  freqüência  angular  𝜔.  Considere  o  meio  em  questão  dispersivo.  Tais  ondas  eletromagnéticas  satisfazem  um  espectro  de  freqüências  retangular  

𝐄! 𝜔 =𝐄!  para        𝜔! −

Δ𝜔2≤ 𝜔 ≤ 𝜔! +

Δ𝜔2

0   para        𝜔 < 𝜔! −Δ𝜔2      e    𝜔 ≥ 𝜔! +

Δ𝜔2

 

sendo  a  largura  de  banda  Δ𝜔  do  espectro  suficientemente  diminuta.  Neste  caso,  (a)  o  infinito  conjunto  de  ondas  eletromagnéticas  compõe  um  pacote?  Discorra.  Se  o  meio  é  linear,  (b)  determine  o  formato  de  onda  resultante  no  dielétrico  perfeito.  (c)  Esboce  graficamente  a  onda  eletromagnética  resultante  obtida  no  item  anterior.   Quantifique   a   velocidade   (d)   de   fase   e   (e)   de   grupo   da   onda   eletromagnética   resultante.   (f)  Interprete  fisicamente  os  resultados  obtidos  nos  item  (d)  e  (e).  

 

8)  Um  meio  físico  é  permeado  por  campos  eletromagnéticos  dependentes  do  espaço  e  do  tempo.  Em  tal  meio  físico,  além  de  cargas  ligadas,  há  cargas  livres,  que  o  tornam  condutor.  Nesta  situação,  (a)  generalize  o  

           

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Teorema   de   Poynting   anteriormente   obtido   de   sorte   que   contemple   os   efeitos   condutivos   do  meio   em  questão.   (b)   Qual(is)   o(s)   termo(s)   representa(ão)   o   aspecto   condutor   do  meio?   (c)   Qual   é   o   significado  físico  associado  a  este(s)  termo(s)?  Disserte.  

 

9)   Uma   onda   eletromagnética   se   propaga   em   um   meio   ilimitado   qualquer.   Nesta   situação,   em   um  hipotético  ponto  do  espaço-­‐tempo,  (a)  determine  a  densidade  de  energia  total  𝑤!  devido  à  existência  do  campo   eletromagnético.   Obtenha   (b)   a   quantidade  𝑤! = 𝐵!/2𝜇   em   termos   do   campo   elétrico  𝐄.   (c)   A  quantidade  𝑤!  pode  ser  expressa  em  termos  de  𝑤!,  isto  é,  𝑤! = 𝑤!(𝑤!)?  (d)  Qual  a  contribuição  de  𝑤!  e  𝑤!  para  a  densidade  total  de  energia  𝑤!?  Explique.    

10)  Uma  onda  eletromagnética  plana  que  propaga-­‐se  em  um  dielétrico  perfeito  incide  de  forma  normal  em  uma  superfície  metálica.  A  onda  eletromagnética  em  questão  possui  vetor  de  onda  𝛃  e  freqüência  angular  𝜔.  A  superfície  metálica  sobre  a  qual  a  onda  eletromagnética  incide  possui  condutividade  𝜎  e  característica  dielétricas  desprezíveis.  Nestas  condições,  (a)  determine  o  comprimento  𝜆  da  onda  eletromagnética  dentro  do  condutor.  (b)  Há  compatibilidade  deste  valor  de  𝜆  com  o  pertinente  a  onda  eletromagnética  quando  em  propagação  no  dielétrico  perfeito?  Disserte.  (c)  Obtenha  uma  expressão  para  a  velocidade  de  propagação  da  onda  eletromagnética  dentro  do  condutor.  (d)  Há  correspondência  entre  a  expressão  obtida  em  (c)  com  a  velocidade  de  propagação  da  onda  no  dielétrico  perfeito?   (e)  Analise  a  expressão  recentemente  obtida  para  a  velocidade  de  propagação  da  onda  no  meio  condutor  e  caracterize  o  meio  quanto  a  sua  dispersão.  (f)  Quantifique  a   freqüência  da  onda  eletromagnética  dentro  do  condutor  e  estabeleça  comparação  com  aquela  relativa  ao  dielétrico  perfeito.  

 

11)  Uma  onda  eletromagnética  plana  com  vetor  de  onda  𝛃  e  freqüência  angular  𝜔  propaga-­‐se  em  um  meio  cujas   características  dielétricas   são  desprezíveis   frente  às   suas  propriedades   condutivas.  A   condutividade  do   meio   é   𝜎,   sua   permissividade   elétrica   é   𝜖   e   a   sua   permeabilidade   magnética   é   𝜇.   Determine   (a)   a  impedância   do  meio   em   termos   de   suas   propriedades.   (b)   A   impedância   do  meio   condutor   em   questão  difere  daquela  observada  em  um  dielétrico  perfeito?  Explique  pormenorizadamente.  (c)  Se  existem,  calcule  a   resistência  𝑅  e  a   reatância  𝑋  do  meio  em  questão  em  termos  de  suas  propriedades   físicas.   (d)  O  meio  condutor  possui  comportamento  do  tipo  indutivo  ou  capacitivo?  Discorra.  (e)  Reexpresse  a  impedância  do  meio  condutor  anteriormente  obtida  mediante  as  propriedades  eletromagnéticas  relativas  do  meio  𝜖!  e  𝜇!.    

12)  Uma  onda  eletromagnética  plana  com  vetor  de  onda  𝛃  e  freqüência  angular  𝜔  incide  ortogonalmente  em  um  material  cujas  correntes  de  deslocamento  são  tão   importantes  quanto  as  correntes  de  condução,  um  material   quase-­‐condutor.   A   condutividade   do   material   é  𝜎,   sua   permissividade   elétrica   é   𝜖   e   a   sua  permeabilidade  magnética  é  𝜇  Neste  tipo  de  meio  físico,  (a)  obtenha  a  equação  da  onda,  (b)  determine  o  vetor  de  onda  𝛃,  (c)  a  profundidade  de  penetração  𝛿  da  onda  eletromagnética  e  (d)  a  sua  impedância  𝑍.  (e)  As  quantidades   anteriormente   calculadas  dependem  de  𝜎/𝜔𝜖?  Qual   é  o   significado   físico  da  quantidade  𝜎/𝜔𝜖?  Argumente  a  respeito.  (f)  Se  𝜎 ≫ 𝜔𝜖,  a  quais  expressões  se  reduzem  aquelas  obtidas  no  item  (b),  (c)  e  (d)?  Interprete  fisicamente.  (g)  E  se  𝜎 → 0,  qual  é  a  expressão  resultante  no  limite  assintótico?  Disserte.  

 

           

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13)    Uma  onda  eletromagnética  plana  com  vetor  de  onda  𝛃  e  freqüência  angular  𝜔  incide  de  forma  normal  em   um  meio   físico   cujo   comportamento   é   predominantemente   condutor.   O  meio   em   questão   é   linear,  infinito  e  possui  condutividade  elétrica  𝜎.  Nestes  termos,  (a)  determine  a  densidade  superficial  de  corrente  𝐉   no   condutor.   (b)   Esboce   graficamente   a   expressão   para   a   densidade   superficial   de   corrente   𝐉  anteriormente  obtida.  (c)  Obtenha  a  densidade  linear  de  corrente  𝐊.  (d)  A  densidade  linear  de  corrente  𝐊  depende   da   profundidade   de   penetração   𝛿?   Interprete   fisicamente   o   resultado   obtido   no   item   (c).   (e)  Determine   a   densidade   superficial   de   potência   absorvida   pelo   condutor   devido   à   incidência   da   onda  eletromagnética.  

 

14)  Um  resistor  cilíndrico  de  comprimento  𝑙,  raio  𝑎  e  condutividade  𝜎  transporta  uma  corrente  de  valor  𝐼.  Nesta  situação,  demonstre  que  (a)  o  vetor  de  Poynting  é  normalmente  direcionado  da  região  exterior  para  a   região   interior   delimitada   pela   superfície   limítrofe   do   resistor.   (b)   Integre   o   vetor   de   Poynting   sobre   a  superfície   do   resistor   e   determine   o   valor   da   potência   instantânea   que   permeia   este   componente  eletrônico.  

 

15)  Um  capacitor  de  placas  paralelas  em  processo  de  carga  consiste  em  dois  discos  planos  circulares  de  raio  𝑎  separados  por  uma  distância  𝑑.  O  dielétrico  existente  entre  ambas  as  placas  é  o  ar.  (a)  Demonstre  que  o  vetor   de   Poynting   é   normalmente   direcionado   da   região   exterior   para   a   região   interior   delimitada   pela  superfície  que  encapsula  o   capacitor.   (b)   Integre  o   vetor  de  Poynting   sobre  a   superfície  que  encapsula  o  capacitor   e   determine   o   valor   da   potência   que   permeia   este   componente   eletrônico.   (c)   Em   quais  circunstâncias,   independentemente   de   sua   carga,   a   integral   do   vetor   de   Poynting   ao   longo  da   superfície  que  delimita  o  capacitor  pode  ser  nula?