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SERVIÇO PÚBLICO FEDERAL MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO

UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO SUL

Disciplina ENG04404 – Ondas Eletromagnéticas Versão: 1 de agosto de 2014 1

LISTA DE EXERCÍCIOS Nº 1

Problemas

1) Determine as dimensões físicas das quantidades (a) campo elétrico 𝐄, (b) campo magnético 𝐇, (c) campo deslocamento elétrico 𝐃 e (d) campo indução magnética 𝐁 em termos das dimensões físicas fundamentais. (e) Alguma das quantidades físicas compostas anteriores é usualmente redenominada?

2) Um meio é caracterizado eletricamente por sua permissividade elétrica 𝜖 e magneticamente por sua permeabilidade magnética 𝜇. Considerando que a velocidade 𝑣 de propagação de uma eventual onda eletromagnética neste meio seja função destas características — formalmente 𝑣 = 𝑣(𝜖, 𝜇) — por análise dimensional, (a) obtenha uma possível expressão para tal velocidade 𝑣 de propagação da eventual onda. (b) Interprete fisicamente o resultado. (c) A expressão obtida é completa? Disserte a respeito.

3) As quantidades 𝑤! e 𝑤! são determináveis a partir das características do meio, as quais são eletricamente quantificadas por sua permissividade 𝜖 e magneticamente pela sua permeabilidade 𝜇, bem como o módulo dos campos elétrico 𝐄 e campo magnético 𝐇. Considere que as expressões para tais quantidades 𝑤! e 𝑤! envolvam as características anteriormente mencionadas da forma

𝑤! =12𝜖𝐸!

𝑤! =12 𝜇𝐻

! .

Por análise direta das expressões, (a) determine as dimensões de 𝑤! e 𝑤!. (b) Qual é o significado físico das quantidades analisadas no item (a)? (c) Determine, no Sistema Internacional, as unidades destas quantidades.

4) A forma como os campos eletromagnéticos dependem do tempo está diretamente associada às suas fontes. Usualmente, analisa-‐se a dependência harmônica das quantidades eletromagnéticas ao longo do tempo. Tal análise é particularmente relevante em sistemas eletromagnéticos cujo comportamento é linear, uma vez que o Princípio da Superposição pode ser adotado. Nesta situação, para tempos suficientemente longos, obtenha as Equações de Maxwell associadas ao sistema eletromagnético em sua forma (a) diferencial e (b) integral.

5) Certo campo elétrico 𝐄 e magnético 𝐇 pertencem à uma onda eletromagnética plana. Em tais condições, determine (a) 𝐄 ∙ 𝐇 e (b) 𝐄×𝐇. (c) Interprete fisicamente os resultados obtidos anteriormente.

6) Em um meio dielétrico perfeito ilimitado propaga-‐se uma onda eletromagnética plana. O meio em questão é isento de cargas elétricas líquidas. Nesta situação, (a) determine a forma diferencial reduzida das




Equações de Maxwell. (b) Se ao meio forem agregadas características condutivas, há alteração nas equações obtidas em (a)? Caso sim, determine-‐as e disserte.

7) As Equações de Maxwell compactamente contêm toda a teoria referente à eletrodinâmica clássica, descrevendo o comportamento espacial e a evolução temporal dos campos elétrico e magnético em determinado meio. A interação dos campos com a matéria, ao considerar conjuntamente a força de Lorentz, também é consistentemente descrita por este conjunto de equações. Dentre toda a fenomenologia nelas contida, expressões de conservação para quantidades físicas diversas naturalmente também decorrem das Equações de Maxwell. Embora estas informações não estejam explícitas, tais equações de conservação podem ser adequadamente derivadas. Uma das quantidades físicas conservadas é a carga elétrica. Desta forma, derive das Equações de Maxwell uma equação de conservação – de continuidade – para as cargas elétricas.

8) Uma onda eletromagnética unidimensional propaga-‐se em determinado meio dielétrico perfeito de permissividade elétrica 𝜖 e permeabilidade magnética 𝜇. A velocidade de propagação da onda eletromagnética é 𝑣 e a sua direção de propagação é ao longo do eixo de coordenadas espaciais 𝑥. (a) Demonstre que a solução geral para a equação que governa a onda eletromagnética possui o formato 𝐸 = 𝑓 𝜁! + 𝑔(𝜁!), sendo 𝜁± = 𝑥 ± 𝑎𝑡, 𝑡 o tempo e 𝑓 e 𝑔 funções arbitrárias. (b) Qual é o significado físico de 𝑎? (c) Qual é a condição que a quantidade 𝑎 deve satisfazer para que de fato a função de onda esboçada para 𝐸 seja solução da equação da onda? (d) Interprete e disserte a respeito de cada um dos termos 𝑓 𝜁! e 𝑔(𝜁!) que compõem a solução geral obtida no item (a).

9) Em um meio dielétrico perfeito propagam-‐se duas ondas eletromagnéticas planas de amplitudes idênticas, porém de freqüências angulares e vetores de onda distintos. Suponha que, embora distintas, tais quantidades sejam muito semelhantes, de forma que suas freqüências angulares e vetores de onda possam ser expressos por

𝜔!,! = 𝜔 ± Δω 𝛃!,! = 𝛃 ± Δ𝛽𝐞! .

sendo Δ𝜔 e Δ𝛽 quantidades suficientemente pequenas. Sendo o meio linear, (a) esboce uma possível equação que represente a onda eletromagnética resultante no meio. (b) Determine a expressão para a onda eletromagnética resultante neste meio. (c) A expressão obtida representa de fato uma onda? Disserte. (d) Qual tipo de fenômeno físico ondulatório pode ser observado? (e) Tais ondas eletromagnéticas formam um pacote? Discorra. Obtenha (f) a velocidade de fase e (g) a velocidade de grupo associada às ondas eletromagnéticas.

10) A velocidade em determinado meio de um pacote de ondas eletromagnéticas planas com largura de banda Δ𝜔 é quantificada por

𝑣! =𝑑𝜔𝑑𝛽 !!!!

,




sendo 𝛽! o número angular da onda monocromática de maior amplitude do pacote. (a) Se o meio é dispersivo, demonstre que

𝑣! =𝑣!

1 − 𝜔!𝑣!𝑑𝑣𝑑𝜔 !!!!

.

(b) Qual é o significado físico de 𝜔! e 𝑣!? (c) Se o meio é não-‐dispersivo, qual é então a expressão para a velocidade de grupo 𝑣!? Interprete fisicamente o resultado obtido.

11) Em um meio dielétrico perfeito com permissividade elétrica 𝜖 e permeabilidade 𝜇 propagam-‐se infinitas ondas eletromagnéticas planas com vetor de onda 𝛃 e freqüência angular 𝜔. Considere o meio em questão dispersivo. Tais ondas eletromagnéticas satisfazem um espectro de freqüências retangular

𝐄! 𝜔 =𝐄! para 𝜔! −

Δ𝜔2≤ 𝜔 ≤ 𝜔! +

Δ𝜔2

0 para 𝜔 < 𝜔! −Δ𝜔2 e 𝜔 ≥ 𝜔! +

Δ𝜔2

sendo a largura de banda Δ𝜔 do espectro suficientemente diminuta. Neste caso, (a) o infinito conjunto de ondas eletromagnéticas compõe um pacote? Discorra. Se o meio é linear, (b) determine o formato de onda resultante no dielétrico perfeito. (c) Esboce graficamente a onda eletromagnética resultante obtida no item anterior. Quantifique a velocidade (d) de fase e (e) de grupo da onda eletromagnética resultante. (f) Interprete fisicamente os resultados obtidos nos item (d) e (e).

12) Uma onda eletromagnética se propaga em um meio dielétrico perfeito ilimitado. Sendo a onda eletromagnética harmônica, em um hipotético ponto do espaço-‐tempo, (a) determine a densidade de energia total 𝑤! devido à existência do campo eletromagnético. Obtenha (b) a quantidade 𝑤! = 𝐵!/2𝜇 em termos do campo elétrico 𝐄. (c) A quantidade 𝑤! pode ser expressa em termos de 𝑤!, isto é, 𝑤! =𝑤!(𝑤!)? (d) Qual a contribuição de 𝑤! e 𝑤! para a densidade total de energia 𝑤!? Explique.

13) Por um meio com propriedades condutivas relevantes propaga-‐se uma onda eletromagnética. Em tal meio, as densidades superficiais de correntes induzidas 𝐉 dependem linearmente do campo elétrico aplicado 𝐄, o qual é uma função harmônica do tempo. (a) Como é usualmente denominado um meio com as referidas propriedades condutivas? (b) Determine a quantidade ∇ ∙ 𝐃. (c) Qual é a densidade volumétrica de cargas líquidas nesta situação? Disserte.

14) Tanto 𝐀 quanto 𝐁 são campos vetoriais que dependem harmonicamente do tempo 𝑡 e do espaço 𝐫. Demonstre que (a) ℜ 𝛙 = !

!(𝛙 +𝛙∗) para 𝛙 = {𝐀,𝐁}. Obtenha (b) o produto ℜ 𝐀 ×ℜ 𝐁 . Determine

então (c) ℜ 𝐀 ×ℜ 𝐁 , na qual 𝐂 = 1/𝑇 𝐂 𝑑𝑡 é o operador média temporal. Se 𝐀 = 𝐄 e 𝐁 = 𝐇, sendo 𝐄 e 𝐇 respectivamente o campo elétrico e magnético, (d) reobtenha os resultados anteriores e interprete-‐os no contexto físico eletromagnético.




15) Um meio físico é permeado por campos eletromagnéticos dependentes do espaço e do tempo. Em tal meio físico, além de cargas fortemente ligadas, há cargas fracamente ligadas, fato este que o tornam condutor. Nesta situação, (a) generalize o Teorema de Poynting para dielétricos perfeitos de sorte que contemple os efeitos condutivos do meio em questão. (b) Qual(is) o(s) termo(s) representa(ão) o aspecto condutivo do meio? (c) Qual é o significado físico associado a este(s) termo(s)? Disserte.

16) Uma onda eletromagnética plana que propaga-‐se em um dielétrico perfeito incide de forma normal em uma superfície metálica. A onda eletromagnética em questão possui vetor de onda 𝛃 e freqüência angular 𝜔. A superfície metálica sobre a qual a onda eletromagnética incide possui condutividade 𝜎 e característica dielétricas desprezíveis. Nestas condições, (a) determine o comprimento 𝜆 da onda eletromagnética dentro do condutor. (b) Há compatibilidade deste valor de 𝜆 com o pertinente a onda eletromagnética quando em propagação no dielétrico perfeito? Disserte. (c) Obtenha uma expressão para a velocidade de propagação da onda eletromagnética dentro do condutor. (d) Há correspondência entre a expressão obtida em (c) com a velocidade de propagação da onda no dielétrico perfeito? (e) Analise a expressão recentemente obtida para a velocidade de propagação da onda no meio condutor e caracterize o meio quanto a sua dispersão. (f) Quantifique a freqüência da onda eletromagnética dentro do condutor e estabeleça comparação com aquela relativa ao dielétrico perfeito.

17) Uma onda eletromagnética se propaga em um meio ilimitado com propriedades condutivas predominantes. Sendo a onda eletromagnética harmônica, em um hipotético ponto do espaço-‐tempo, (a) determine a densidade de energia total 𝑤! devido à existência do campo eletromagnético. Obtenha (b) a quantidade 𝑤! = 𝐵!/2𝜇 em termos do campo elétrico 𝐄. (c) A quantidade 𝑤! pode ser expressa em termos de 𝑤!, isto é, 𝑤! = 𝑤!(𝑤!)? (d) Qual a contribuição de 𝑤! e 𝑤! para a densidade total de energia 𝑤!? Explique.

18) Uma onda eletromagnética plana com vetor de onda 𝛃 e freqüência angular 𝜔 propaga-‐se em um meio cujas características dielétricas são desprezíveis frente às suas propriedades condutivas. A condutividade do meio é 𝜎, sua permissividade elétrica é 𝜖 e a sua permeabilidade magnética é 𝜇. Determine (a) a impedância do meio em termos de suas propriedades. (b) A impedância do meio condutor em questão difere daquela observada em um dielétrico perfeito? Explique pormenorizadamente. (c) Se existem, calcule a resistência 𝑅 e a reatância 𝑋 do meio em questão em termos de suas propriedades físicas. (d) O meio condutor possui comportamento do tipo indutivo ou capacitivo? Discorra. (e) Reexpresse a impedância do meio condutor anteriormente obtida mediante as propriedades eletromagnéticas relativas do meio 𝜖! e 𝜇!.

19) Uma onda eletromagnética plana com vetor de onda 𝛃 e freqüência angular 𝜔 incide ortogonalmente em um material cujas correntes de deslocamento são tão importantes quanto as correntes de condução. A condutividade do material é 𝜎, sua permissividade elétrica é 𝜖 e a sua permeabilidade magnética é 𝜇. Neste tipo de meio físico, (a) obtenha a equação da onda, (b) determine o vetor de onda 𝛃, (c) a profundidade de penetração 𝛿 da onda eletromagnética e (d) a sua impedância 𝑍, em notação retangular e polar. (e) As quantidades anteriormente calculadas dependem de 𝜎/𝜔𝜖? Qual é o significado físico da quantidade 𝜎/




𝜔𝜖? Argumente a respeito. (f) Se 𝜎 ≫ 𝜔𝜖, a quais expressões se reduzem aquelas obtidas no item (b), (c) e (d)? Interprete fisicamente. (g) E se 𝜎 → 0, qual é a expressão resultante no limite assintótico? Disserte.

20) Uma onda eletromagnética plana com vetor de onda 𝛃 e freqüência angular 𝜔 incide de forma normal em um meio físico cujo comportamento é predominantemente condutor. O meio em questão é linear, infinito e possui condutividade elétrica 𝜎. Nestes termos, (a) determine a densidade superficial de corrente elétrica 𝐉 no condutor. (b) Esboce graficamente a expressão para a densidade superficial de corrente 𝐉 anteriormente obtida. (c) Obtenha a densidade linear de corrente 𝐊. (d) A densidade linear de corrente 𝐊 depende da profundidade de penetração 𝛿? Interprete fisicamente o resultado obtido no item (c). (e) Há aplicações que podem ser diretamente baseadas na fenomenologia anteriormente observada? Discorra. (f) Determine a densidade superficial de potência absorvida pelo condutor devido à incidência da onda eletromagnética.

21) Uma onda eletromagnética plana com vetor de onda 𝛃 e freqüência angular 𝜔 propaga-‐se em um meio ilimitado homogêneo qualquer. Determine o vetor de Poynting 𝐒 associado à esta onda eletromagnética quando a propagação ocorre em um meio (a) dielétrico perfeito, (b) predominantemente condutor e (c) um meio condutor/dielétrico imperfeito. (d) Imponha as restrições necessárias ao resultado obtido em (c) de sorte que este se reduza aqueles determinados em (a) e (b).

22) Um par de fios é utilizado para conduzir ondas eletromagnéticas de um gerador a uma determinada carga. Os fios em questão são confeccionados em material com ótimas propriedades condutivas e possuem formato cilíndrico, com raio 𝑎 e comprimento 𝑙. Nestas condições, determine a resistência por unidade de comprimento 𝑟 imposta pelos condutores quando uma densidade superficial de corrente 𝐉 (a) independente do tempo e (b) dependente do tempo é transportada. (c) Os resultados anteriores dependem de quão intensa é dependência temporal? Esboce-‐os. (d) Qual é a implicação direta das constatações anteriores no projeto de linhas condutoras para guiar ondas eletromagnéticas? Disserte.

23) Um resistor cilíndrico de comprimento 𝑙, raio 𝑎 e condutividade 𝜎 transporta uma corrente de valor 𝐼. Nesta situação, demonstre que (a) o vetor de Poynting é normalmente direcionado da região exterior para a região interior delimitada pela superfície limítrofe do resistor. (b) Integre o vetor de Poynting sobre a superfície do resistor e determine o valor da potência instantânea que permeia este componente eletrônico. (c) Há alguma circunstância na qual o vetor de Poynting é direcionado da região interior para a exterior àquela delimitada pela superfície do resistor?

24) Um capacitor de placas paralelas em processo de carga consiste em dois discos planos circulares de raio 𝑎 separados por uma distância 𝑑. O dielétrico existente entre ambas as placas é o ar. (a) Demonstre que o vetor de Poynting é normalmente direcionado da região exterior para a região interior delimitada pela superfície que encapsula o capacitor. (b) Integre o vetor de Poynting sobre a superfície que encapsula o capacitor e determine o valor da potência que permeia este componente eletrônico. (c) Em quais circunstâncias, independentemente de sua carga, a integral do vetor de Poynting ao longo da superfície




que delimita o capacitor pode ser nula? (d) Há alguma circunstância na qual o vetor de Poynting é direcionado da região interior para a exterior àquela delimitada pela superfície do capacitor?

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