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SJBV

•  Experimento com esferas concêntricas

•  Densidade de Fluxo elétrico (D)

•  Relação entre D e E no vácuo

•  Lei de Gauss

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Densidade de Fluxo Elétrico e Lei de Gauss (Páginas 48 a 55 no livro texto)

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•  A origem do conceito de fluxo e deslocamento elétrico vem do experimento que Faraday realizou com esferas metálicas concêntricas, descrito a seguir:

1.  Uma esfera interna é carregada com Carga positiva conhecida +Q.

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Densidade de Fluxo Elétrico

2.  Uma esfera externa é colocada ao redor da primeira.

3.  A esfera externa é conectada ao solo.

(O espaço entre as esferas é preenchido com um dielétrico)

4.  A esfera externa é retirada e a carga na mesma é medida.

•  Fluxo elétrico: ψ =Q    [C]

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•  A Densidade de Fluxo Elétrico (D) tem unidades de [C/m2] e é um campo vetorial cuja magnitude em cada ponto do espaço é a quantidade de fluxo Ψ por unidade de área.

•  No caso da esfera interna do experimento de Faraday a densidade de fluxo é uniforme ao longo da superfície. Para uma esfera de raio ‘a’:

•  Para a esfera externa:

•  No meio entre as esferas (a < r < b):

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Densidade de Fluxo Elétrico

!D

r=a=

Q4πa2

ar

!D

r=b=

Q4πb2

ar

!D =

Q4πr2

ar(O vetor D também é chamado de vetor Deslocamento Elétrico)

Vetor unitário radial (coord. esféricas)

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•  Podemos obter a Densidade de Fluxo de um carga pontual se reduzirmos o raio da esfera interna a zero e desconsiderarmos a esfera externa. Para qualquer raio ‘r’ teremos:

•  Além disso, em aulas anteriores estabelecemos que o campo elétrico gerado por uma carga pontual é:

•  Portanto, concluímos que no espaço livre:

•  Onde ε0 é a permissividade do espaço livre.

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Densidade de Fluxo Elétrico

!D =

Q4πr2

ar

!E = Q

4πε0r2 ar

!D = ε0

!E

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•  Vimos que campo elétrico gerado por uma distribuição contínua de cargas é obtido de forma similar à superposição do campo de cargas pontuais, integrando ρv(r’)dv’ ao longo do volume que contem as cargas.

•  De forma similar, podemos calcular o vetor Densidade de Fluxo em um ponto no espaço devido a uma distribuição contínua de cargas:

•  Não se esqueça que R e aR são funções das coordenadas ‘linha’ (r’) da carga, e portanto devem ser levadas em conta na integração.

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Densidade de Fluxo Elétrico

!E(!r ) = ρv (

!r ')dv '4πε0R

2vol.∫ aR

!D(!r ) = ρv (

!r ')dv '4πR2vol.

∫ aR

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Lei de Gauss: O fluxo elétrico total Ψ que passa através de qualquer superfície fechada é igual à carga total contida dentro desta superfície.

•  O fluxo (escalar) pode ser obtido através da integral de superfície do vetor densidade de fluxo ao longo da superfície fechada.

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ψ =Q    [C]

ψ = dS!∫ ψ =

"D ⋅d!S

S!∫

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•  Note que o fluxo que atravessa uma superfície ‘S’ é igual à componente normal da densidade de fluxo que sai da superfície integrada ao longo da área.

•  Onde:

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Lei de Gauss

ψ =!D ⋅d!S

S∫d!S = dS  aN   (aN  é o vetor unitário normal à superfície)

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•  Se houver ‘n’ cargas envolvidas pela superfície fechada ‘S’, o lado direito da equação é o somatório de todas as cargas envolvidas.

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Lei de Gauss

!D ⋅d!S = Qi

i=1:n∑S"∫

d!S

d!S

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•  A Lei de Gauss pode ser reescrita se tivermos uma distribuição continua de cargas, lembrando que,

•  para uma distribuição linear de cargas:

•  para uma distribuição superficial de cargas:

•  para uma distribuição volumétrica de cargas:

•  Podemos usar esta última equação para escrever a forma Integral da Lei de Gauss.

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Campo Elétrico de uma densidade volumétrica de cargas

Q = ρll∫ dl   ,

Q = ρsS∫ dS   ,

Q = ρv dvvol∫   .

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A integral de superfície do vetor Densidade de Fluxo Elétrico (D) ao longo de uma superfície fechada ‘S’ é igual a integral volumétrica da densidade de cargas no volume ‘V’ envolvido pela superfície ‘S’.

!D ⋅d!S =

S"∫ ρv dvV∫

Lei de Gauss na Forma Integral

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•  Voltando ao experimento de Faraday, o vetor Densidade de Fluxo Elétrico D no espaço entre as esferas,

satisfaz a Lei de Gauss pois:

•  Que pode ser reescrito:

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Densidade de Fluxo Elétrico

!D =

Q4πr2

aR    ,

Q =!D 4πr2( )  ,

Q =!D ⋅d!S

S"∫

área esfera