prof. daniel orquiza de carvalho eletromagnetismo i · campo elétrico de uma linha infinita de...
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SJBV
• Densidade Volumétrica de Cargas
• Campo Elétrico de uma densidade volumétrica de cargas
Eletromagnetismo I - Eletrostática
EletromagnetismoI Prof.DanielOrquiza1
Distribuições Contínuas de Cargas (Páginas 33 a 41 no livro texto)
• Densidade Linear de Cargas
• Campo Elétrico de uma linha infinita de cargas
• Densidade Superficial de Cargas
• Campo Elétrico de uma superfície infinita de cargas
SJBV
• O campo gerado na posição r devido a ‘n’ cargas Qm distintas situadas nas posições rm é a superposição (soma) dos campos gerados por cada uma das cargas no ponto r.
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!E(!r ) = Qm
4πε0!r − !rm
2 amm=1
n
∑
Distribuição espacial de cargas
Origem
!r1
!rQ1
Q2
• Como fica E devido a uma distribuição espacial de cargas?
Pergunta?
!r2
Qn
!rn
SJBV
• A densidade volumétrica de cargas é um campo escalar que tem unidades de carga por unidade de volume.
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Densidade Volumétrica de Cargas
ρv =dQdv [C /m3]
Q = ρvvol.∫ !r '( )dv '
vol.x
y
z
ρv!r '( )
• Para calcular a carga total em um volume com densidade volumétrica ρv(r’), integramos ρv ao longo do volume.
SJBV
• O campo elétrico gerado por uma distribuição volumétrica de carga é obtido de forma similar à superposição do campo de cargas pontuais.
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Campo Elétrico de uma densidade volumétrica de cargas
!E "r( ) = 1
4πε0
ρv!r '( )dv '!r − !r ' 2vol.
∫ . aR
aR =!r − !r '!r − !r '
• Como a distribuição é contínua, a carga Q(r’) no elemento diferencial dv’ é substituída por Q(r’) = ρv(r’)dv’ e o somatório é substituído pela integral volumétrica
• Como definido anteriormente, o vetor unitário é:
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• A densidade linear de cargas é um campo escalar que tem unidades de carga por unidade de comprimento.
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Densidade Linear de Cargas
ρl =dQdl [C /m]
Q = ρll∫ !r '( )dl '
x
y
z
ρl!r '( )
l
• Uma linha ou caminho de cargas com densidade linear ρl é uma abstração e não possui espessura.
• Para calcular a carga total em um caminho com densidade linear ρl(r’), integramos ρl ao longo do caminho l.
SJBV
• Problema: Calcular o campo em um ponto ‘P’ devido a uma linha infinita com densidade uniforme de cargas ‘ρl’.
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!R = !r − !r '
aR
θ!r
!r '
ρl
P
x
y
z
!r = ρaρ
!r ' = z ' az
!E = 1
4πε0ρl!R2 dz '
−∞
∞
∫ aR
• O campo elétrico é:
• O vetor aR, em coord. Cartesianas fica:
aR = cosθ aρ − senθ az
aRθ
−senθ az
cosθ aρ
(1)
Campo Elétrico de uma Linha Infinita de Cargas
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Campo Elétrico de uma Linha Infinita de Cargas
!R = !r − !r '
aR
θ!r
!r '
ρl
P
x
y
z
!E = 1
4πε0ρl!R2 dz '
−∞
∞
∫ aR
• Para facilitar a integração podemos fazer um a mudança de variáveis (z’ à θ):
!r = ρaρ
!r ' = z ' az
z ' = ρ tanθ
dz ' = Rρ
2
dθ
dz ' = ρd tanθ( )dθ
dθ = ρ sec2θdθ
• O elemento diferencial dz’ fica:
• Substituindo sec θ = R/ρ:
(2)
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!R = !r − !r '
aR
θ!r
!r '
ρl
P
x
y
z
• Substituindo o elem. diferencial dz’, o vetor unitário aR e a distância R = |R| na expressão para E:
!r = ρaρ
!r ' = z ' az
!E = 1
4πε0ρl!R2 dz '
−∞
∞
∫ aR
!E = 1
4πε0ρlR2
R2
ρd
−π2
π2
∫ θ cosθ aρ − senθ az⎡⎣ ⎤⎦
• Note a troca no limite de integração:
−∞ < z ' <∞ → −π2<θ <
π2
Campo Elétrico de uma Linha Infinita de Cargas
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!R = !r − !r '
aR
θEz
Eρ!r
!r '
ρl
P
x
y
z
• A integral fica:
!r = ρaρ
!r ' = z ' az
!E = 1
4πε0ρl!R2 dz '
−∞
∞
∫ aR
!E = ρl
4πε0ρ senθ aρ − −cosθ az( )⎡⎣ ⎤⎦
−π2
π2
• O Campo Elétrico de uma linha infinita só tem componente radial, e cai com o inverso da distância da linha.
!E = ρl
2πε0ρaρ
Campo Elétrico de uma Linha Infinita de Cargas
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• A densidade superficial de cargas é um campo escalar que tem unidades de carga por unidade de área.
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Densidade Superficial de Cargas
ρS =dQdS ' [C /m2 ]
Q = ρsS'∫ !r '( )dS '
x
y
z
ρS!r '( )
S '
• Uma linha superfície de cargas com densidade superficial ρS é uma abstração e não possui espessura.
• Para calcular a carga total em uma superfície com densidade ρS(r’), integramos ρs ao longo da superfície S’.
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θ
P
x
y
z
• O campo elétrico é a ‘soma’ da contribuição de todas as linhas com largura infinitesimal dy’:
Campo Elétrico de um Plano Infinito de Cargas
dy '
y '
ρs
R = x2 + (y ')2
!E = ρs
2πε0Rdy '
−∞
∞
∫ .cosθ. ax
• Podemos reescrever cosθ usando:
cosθ = xx2 + (y ')2
• Problema: Calcular o campo em um ponto ‘P’ devido a uma superfície infinita com densidade uniforme de cargas ‘ρs’ no plano yz (x = 0).
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θ
P
x
y
z
• Substituindo cosθ e R na equação acima:
Campo Elétrico de um Plano Infinito de Cargas
dy '
y 'ρs
R = x2 + (y ')2
!E = ρs
2πε0Rdy '
−∞
∞
∫ .cosθ. ax
• A integral do termo entre parênteses é:
!E = ρs
2πε0x
x2 + (y ')2⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟dy '
−∞
∞
∫ . ax
Ex =ρs2πε0
tan−1 y 'x
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥−∞
∞
!E = ρs
2πε0π2− −
π2
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥ ax
• Substituindo os limites de integração:
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θ
P
x
y
z• O Campo Elétrico do lado x > 0 é uniforme:
Campo Elétrico de um Plano Infinito de Cargas
dy '
y 'ρs
R = x2 + (y ')2
!E = ρs
2πε0Rdy '
−∞
∞
∫ .cosθ. ax
• O resultado acima pode ser generalizado para uma superfície em qualquer outra posição do plano cartesiano:
!E = ρs
2ε0 ax
!E = ρs
2ε0 aN
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• Como fica, em coordenadas cartesianas. a expressão para o campo gerado por uma linha infinita de cargas se a linha não está mais situada em (x’ = 0, y’ = 0)?
• Nós vimos que:
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Linha Infinita de Cargas transladada
Eρ
x '
ρl
x
y
z
y '
!E = ρl
2πε0ρaρ
• Se transladarmos a linha para (x’, y’), o vetor unitário na direção radial fica:
aρ =x − x '( ) ax + y− y '( ) ayx − x '( )2 + y− y '( )2⎡
⎣⎤⎦1/2
P (x, y)
aρρ
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Linha Infinita de Cargas transladada
Eρ
x '
ρl
P (x, y)
x
y
z
y '
!E = ρl
2πε0ρaρ
• O campo gerado no ponto P, para a linha infinita orientada na direção z em (x’,y’) é:
• A distância radial ρ se torna:
aρρ
ρ = x − x '( )2 + y− y '( )2⎡⎣
⎤⎦1/2
!E = ρl
2πε0ρx − x '( ) ax + y− y '( ) ayx − x '( )2 + y− y '( )2