Topicos de Eletromagnetismo I

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  • FIW 591 Tpicos de Eletromagnetismo I

    Objetivos: Introduzir a teoria eletromagntica de Maxwell, explorando o seu aspecto matemtico e particularmente suas aplicaes.

    Ementa: Primeira parte (P1): Anlise vetorial (captulo 1 - 5 aulas)Eletrosttica (captulo 2 5 aulas)Segunda parte (P2): Magnetosttica (captulo 5 4 aulas)Eletrodinmica (captulo 7 4 aulas)Terceira parte (P3): Leis de conservao (captulo 8 Ondas eletromagnticas (captulo 9 Avaliao: 3 provas (Pi, i= 1,2,3) + listas em sala de aula (Londe Li a mdia entre as 75% maiores notas daquele perodo correspondente, uma prova de segunda chamada (S) e um exame final (E). A cada prova ser atribuda uma nota (N= 0,7*Pi + 0,3*Li

    Bibliografia:

    Livro texto: GRIFFITHS, D.J., Referncias adicionais:

    REITZ, J.R, MILFORD, F.J.Eletromagntica,

    Kleber Daum Machado, UEPG, 2004.

    Anita Macedo, A lista completa est disponvel em:

    Dicas de sites:

    http://web.mit.edu/8.02t/www/802TEAL3D/visualizations/

    No se pode ensinar alguma coisa a algum, pode

    Tpicos de Eletromagnetismo I Prof. Antnio Carlos

    Universidade Federal do Rio de Janeiro Instituto de Fsica

    Curso de Licenciatura em Fsica FIW 591 Tpicos de Eletromagnetismo I

    (http://www.if.ufrj.br/~toni/top_eletro.pdf) Prof. Antnio Carlos (toni@if.ufrj.br)

    Introduzir a teoria eletromagntica de Maxwell, explorando o seu aspecto matemtico e particularmente suas aplicaes.

    5 aulas) 5 aulas)

    4 aulas) 4 aulas)

    2 aulas) Ondas eletromagnticas (captulo 9 6 aulas)

    listas em sala de aula (Li), a mdia entre as 75% maiores notas

    daquele perodo correspondente, uma prova de segunda chamada (S) e um exame final (E). A cada prova ser atribuda uma nota (Ni, i=1,2,3) onde Ni

    Clculo da Mdia (M): Presente s provas parciais: M = (N1 + N2 + N3)/3 Se M < 3,0, ento reprovado com grau igual MSe M > ou igual a 7,0, ento aprovado com grau igual M Se 7,0 > M > ou igual a 3,0, ento grau =(M + E)/2; Ausente em uma das provas Far o exame final obrigatoriamente. M ser calculado como anteriormente, com E substituindo a nota da prova no realizada.Pedidos de reviso: Os pedidos de reviso devero ser submetidos na forma escrita com informao detalhada sobre o porqu o aluno acredita que demais pontos. (dizer somente por favor revise a questo tal no suficiente).

    GRIFFITHS, D.J., Eletrodinmica, Pearson Education, Terceira Edio.

    Referncias adicionais:

    REITZ, J.R, MILFORD, F.J., CHRISTY, R.W., Fundamentos da Teoria Eletromagntica, Rio de Janeiro: Editora Campus, 1982.

    Kleber Daum Machado, Teoria do Eletromagnetismo, vols. 1,2 e 3, Editora

    Anita Macedo, Eletromagnetismo, Editora Guanabara.

    disponvel em: http://omnis.if.ufrj.br/~toni/top_eletro.

    http://web.mit.edu/8.02t/www/802TEAL3D/visualizations/ (animaes superlegais)

    se pode ensinar alguma coisa a algum, pode-se apenas auxiliar a descobrir por si mesmo

    1

    Introduzir a teoria eletromagntica de Maxwell, explorando o seu aspecto matemtico e

    Se M < 3,0, ento reprovado com grau igual M Se M > ou igual a 7,0, ento aprovado com grau

    7,0 > M > ou igual a 3,0, ento grau =(M + E)/2;

    riamente. M ser calculado como anteriormente, com E substituindo a nota da prova no realizada.

    Os pedidos de reviso devero ser submetidos na forma escrita com informao detalhada sobre o porqu o aluno acredita que deveria ter recebido mais pontos. (dizer somente por favor revise a

    , Pearson Education, Terceira Edio.

    Fundamentos da Teoria

    , vols. 1,2 e 3, Editora

    se apenas auxiliar a descobrir por si mesmo

  • 2 FIW 591 Tpicos de Eletromagnetismo I Prof. Antnio Carlos

    O que ensino interativo? Dr. Louis Abrahamson (traduo e adaptao livre)

    A primeira coisa a entender sobre o ensino interativo que no algo novo ou misterioso. Se voc um professor e

    faz perguntas em sala de aula, atribui e verifica a lio de casa, ou mantm discusses em classe ou em grupo,

    ento voc j ensina de forma interativa. Basicamente, ento, o ensino interativo trata-se apenas de dar aos alunos

    algo para fazer, recebendo de volta o que eles tm feito, e depois assimilando, de modo que voc possa decidir

    sobre o melhor fazer a seguir.

    Mas, quase todos os professores j fazem essas coisas, assim o que h de novo? Para responder a esta questo,

    devemos pensar sobre o processo ensino aprendizagem. Nos ltimos vinte anos, o campo da cincia cognitiva nos

    ensinou muito sobre como as pessoas aprendem. Um princpio central que tem sido geralmente aceito o de que

    tudo o que aprendemos, ns "construimos" para ns mesmos. Isto , qualquer agente externo essencialmente

    impotente para ter um efeito direto sobre o que aprendemos. Se o nosso crebro no faz-lo em si, - isto , levar

    em informao, procurar conexes, interpretar e dar sentido a ela, - nenhuma fora externa ter qualquer efeito.

    Isso no significa que o esforo tem que ser expressamente voluntrio e consciente da nossa parte. Nosso crebro

    fornece-nos informaes e opera continuamente em vrios de nveis, dos quais apenas alguns so conscientemente

    dirigidos. Mas, consciente ou no, a coisa importante a entender que o nosso crebro que esta realizando o

    processo de aprendizagem, e que este processo est apenas indiretamente relacionado com o professor e do

    ensino.

    Por exemplo, mesmo uma exposio lcida e brilhante sobre um assunto por um professor em uma aula, pode

    resultar numa aprendizagem limitada se os crebros dos alunos no realizarem o trabalho necessrio para

    process-la. H vrias causas possveis para a aprendizagem dos alunos ficarem aqum das expectativas em tal

    situao. Eles podem, no entender totalmente um conceito crucial sobre um determinado assunto e assim o

    assunto seguitne torna-se ininteligvel. Pode tambm estar faltando informao prvia ou no ter uma boa

    compreenso do que foi visto antes. Consequentemente as estruturas conceituais sobre as quais se baseia a aula

    ficam ausentes. Falta de interesse, de motivao, ou no querer realizar um esforo mental para acompanhar a

    aula, de entender os argumentos, etc...

    No entanto, qualquer que seja a causa, sem interagir com os alunos (no caso mais simples, fazendo perguntas), um

    professor no tem como saber se o seu esforo para explicar o tema foi bem sucedido.

    Isto leva-me ao primeiro (o que eu acredito que so) trs razes distintas para o ensino interativo. uma tentativa

    para ver o que realmente existe no crebro de seus alunos. Este o aspecto "sumativo". Este o aspecto mais fcil

    de compreender e est bem descrito na literatura. Mas, ele est longe de ser a nica perspectiva! A segunda razo

    "formativa", onde o professor tem como objetivo, atravs da tarefa atribuda, acessar o processamento mental

    dos alunos. A inteno que, conforme os alunos pensem nas questes necessrias para chegar soluo, a

    construo mental resultante que desenvolvida na cabea do aluno ir possuir as propriedades que o professor

    est tentando ensinar. Como Scrates descobriu, uma boa pergunta pode realizar este resultado melhor do que,

    apenas dizer a resposta.

    O terceiro aspectro pode ser chamado de "motivacional". Aprender um trabalho duro, e uma injeo de

    motivao no momento certo pode fazer toda a diferena. Um fator de motivao fornecido pelo professor

    interativo a exigncia de uma resposta a uma tarefa em sala de aula. Isso serve para sacudir o aluno para a ao,

    para tirar o seu crebro da preguia, por assim dizer. Eventos adicionais mais sutis e agradveis podem vir a seguir

    aproveitando o impulso criado por esta exploso inicial. Um deles um resultado das nossas tendncias humano-

    sociais. Quando os professores pedem aos alunos que trabalhem juntos em pequenos grupos para resolver um

    problema, uma discusso se segue que no serve apenas em si mesma para construir estruturas de conhecimento

    mais robustas, mas tambm para motivar. A antecipao de feedback imediato na forma de reao de seus pares,

    ou do professor um elemento motivador muito forte. Se no for constrangedor ou ameaador, os alunos desejam

    saber se seu entendimento est progredindo ou apenas deriva. Saber que eles no esto autorizados a vagar

    longe demais fora da pista proporciona uma enorme energia para continuar

  • 3 FIW 591 Tpicos de Eletromagnetismo I Prof. Antnio Carlos

    Questionrio de apresentao (baseado em Peer Instruction, de Eric Mazur)

    1- O qu voc espera aprender neste curso?

    2- O que voc espera fazer com este conhecimento?

    3- O que voc espera que as aulas faam por voc?

    4- O que voc espera que o livro faa por voc?

    5- Quantas horas voc imagina sero necessrias para aprender tudo que voc precisa saber

    sobre este curso ? inclua tudo (dever de casa, aulas, etc..)______________horas por semana.

    Formato geral da nossa aula:

    1) pergunta feita;

    2) Estudantes tm tempo para pensar;

    3) Estudantes registram ou relatam respostas individuais;

    4) Estudantes vizinhos discutem suas respostas;

    5) Estudantes registram ou relatam as sua respostas revistas;

    6) Feedback para o professor: distribuio de respostas;

    7) Explicao da resposta correta;

    Dicas para a aula:

    1) Leia o tpico a ser apresentado ANTES da aula;

    2) no necessrio copiar o material do quadro. Est tudo no livro! Voc pode fotocopiar as notas de aula se

    desejar;

    3) seja ativo!

  • FIW 591 Tpicos de Eletromagnetismo I

    Nome

    Thales de Mileto (grego)

    William Gilbert (ingls)

    Benjamin Franklin (americano)

    Charles Augustin de Coulomb (francs)

    Karl Friedrich Gauss (alemo)

    Alessandro Volta (italiano)

    Hans Christian Oersted (dinamarqus)

    Andr Marie Ampre (francs)

    Tpicos de Eletromagnetismo I Prof. Antnio Carlos

    Alguns pioneiros do Eletromagnetismo

    Datas contribuio

    636-546 a.C.

    Percebeu que quando o mbar atritado com seda produz pequenas descargas e possua o poder mgico de atrair partculas de palha e penugem. Em grego mbar = elektron. Tambm notou o poder atrativo de algumas pedras encontradas em Magnsia, de onde vem o nome magnetismo.

    1540-1603 d.C

    Realizou os primeiros experimentos de forma sistemtica sobre eletricidade e magnetismo descritos no livro Inventou o eletroscpio e foi o primeiro a reconhecer que a Terra era um grande im, inspirando os princpios da bssola

    1706-1790 Cientstica e poltico americano. Seus experimentos o levaram a inventar o pra-rios. Estabeleceu a lei de conservao da carga e as chamou de positiva e negativa.

    1736-1806 Publicou 7 tratados sobre a Eletricidade e o Magnetismo, e outros sobre os fenmenos de toro, o atrito entre slidos etc. Experimentador genial e rigoroso, realizou uma experincia histrica com uma balana de toro para determinar a fora exercida entre duas cargas eltricas (Lei de Coulomb).Durante os ltimos quatro anos da sua vida, foi inspetor geral do Ensino Pblico e teve um papel importante no sistema educativo da poca.

    1777-1851 Formulou o teorema da divergncia relacionasua superfcie, a lei de Gauss a lei que estabelece a relao entre o fluxo eltrico que passa atravs de uma superfcie fechada e a quantidade de carga eltrica que existe dentro do volume limitado por esta superfcie. Em 1840, publicou seu influente Dioptrische Untersuchungen, no qual fez a primeira anlise sistemtica da formao de imagens sob aparaxial.

    1745-1827 Por volta de 1800, Volta inventou a clula voltaicavrias em srie, inventou a bateria. Em setembro de 1801, Volta viajou at Paris aceitando um convite do prprio imperador Napoleo Bonaparte, para mostra as caractersticas de seu invento (a pilha) no Institut de France. E, em honra ao seu trabalho no campo de eletricidade, Napoleo nomeou Vconde em 1810. Em 1815, o imperador da ustria nomeou Volta professor de filosofia na Universidade de Pdua.

    1777-1855 Enquanto se preparava para uma palestra na tarde de 21 de Abril de 1820, Oersted reparou que a agulha de uma bssoladefletia quando uma corrente eltrica era ligada e desligada. Esta deflexo convenceu-o que os campos magnticos radiam a partir de todos os lados de um fio carregando uma corrente eltrica, tal como ocorre com a luz e o caloconfirmava uma relao direta entre eletricidade e magnetismoInfluenciou o desenvolvimento de uma forma matemtica nica que representasse as foras magnticas entre condutores portadores de corrente por parte do fsico francs AndrAmpre.

    1775-1836 Partindo das experincias feitas pelo dinamarqus Hans Christian Oersted sobre o efeito magntico da corrente eltrica, soube estruturar e criar a teoria que possibilitou a construo de um grande nmero de aparelhos eletromagnticos. Alm disso descobriu as leis que regem as atraes e repulses das correntes eltricas entre si. Idealizou o galvanmetro, inventou o primeiro telgrafo eltrico e, em colaborao com Arago, o eletrom. Inventou tambm o solenide.

    4

    Percebeu que quando o mbar atritado com seda produz pequenas descargas e possua o poder mgico de atrair partculas de palha e penugem. Em grego mbar = elektron.

    umas pedras encontradas tismo.

    Realizou os primeiros experimentos de forma sistemtica sobre eletricidade e magnetismo descritos no livro De Magnete. Inventou o eletroscpio e foi o primeiro a reconhecer que a Terra era um grande im, inspirando os princpios da bssola

    Seus experimentos o levaram a Estabeleceu a lei de conservao da carga

    Publicou 7 tratados sobre a Eletricidade e o Magnetismo, e outros sobre os fenmenos de toro, o atrito entre slidos etc. Experimentador genial e rigoroso, realizou uma experincia histrica com uma balana de toro para determinar a fora exercida entre duas cargas eltricas (Lei de Coulomb).Durante os ltimos quatro anos da sua vida, foi inspetor geral do Ensino

    teve um papel importante no sistema educativo da

    Formulou o teorema da divergncia relacionando o volume e a lei de Gauss a lei que estabelece a relao

    atravs de uma superfcie fechada e a quantidade de carga eltrica que existe dentro do

    . Em 1840, publicou seu , no qual fez a primeira

    anlise sistemtica da formao de imagens sob a aproximao

    nventou a clula voltaica e, conectando Em setembro de 1801, Volta

    viajou at Paris aceitando um convite do prprio imperador Napoleo Bonaparte, para mostra as caractersticas de seu

    . E, em honra ao seu trabalho no campo de eletricidade, Napoleo nomeou Volta

    Em 1815, o imperador da ustria nomeou Volta professor de filosofia na Universidade de Pdua.

    Enquanto se preparava para uma palestra na tarde de 21 de que a agulha de uma bssola se

    era ligada e desligada. o que os campos magnticos radiam a

    fio carregando uma corrente trica, tal como ocorre com a luz e o calor, e que isso

    tricidade e magnetismo. o desenvolvimento de uma forma matemtica nica

    que representasse as foras magnticas entre condutores portadores de corrente por parte do fsico francs Andr-Marie

    Partindo das experincias feitas pelo dinamarqus Hans sobre o efeito magntico da corrente eltrica,

    soube estruturar e criar a teoria que possibilitou a construo de um grande nmero de aparelhos eletromagnticos. Alm disso descobriu as leis que regem as atraes e repulses das

    si. Idealizou o galvanmetro, inventou eltrico e, em colaborao com Arago, o

  • 5 FIW 591 Tpicos de Eletromagnetismo I Prof. Antnio Carlos

    Joseph Henry

    1797-1878 Em 1830, enquanto construa eletroims, descobriu o fenmeno eletromagntico chamado induo electromagntica ou auto-indutncia e a indutncia mtua. O seu trabalho foi desenvolvido independentemente de Michael Faraday, mas a este ltimo que se atribu a honra da descoberta por ter publicado primeiro as suas concluses. A Henry tambm creditada a inveno do motor eltrico, embora mais uma vez no tenha sido o primeiro a registrar a patente. Seus estudos acerca do rel eletromagtico foram a base do telgrafo eltrico, inventado por Morse e Wheatstone. Mais tarde provou que as correntes podem ser induzidas distncia, magnetizando uma agulha com a ajuda de um relmpago a 13 km de distncia.

    James P. Joule

    1818-1889 (pronuncia-se /dul/[Jule]). Estabeleceu que o aquecimento proporcional ao quadrado da corrente

    James Clerck Maxwell (britnico)

    1831-1879 Estabeleceu de maneira profunda e elegante a interdependncia entre eletricidade e magnetismo. Postulou que a luz era de natureza eletromagntica e que outros comprimentos de onda poderiam existir.

    Heinrich Hertz

    1857-1894 Pai do rdio, Hertz gerou e detectou ondas de rdio. Hertz demonstrou que, exceto por diferenas no comprimento de onda, a polarizao, reflexo e refrao de ondas de rdioeram idnticas luz. Mas sua inveno permaneceu como uma curiosidade de laboratrio at que Marconi adicionou um sintonizador e uma grande antena.

    Guglielmo Marconi

    1874-1937 Inventor do primeiro sistema prtico de telegrafia sem fios, em 1896. Marconi se baseou em estudos apresentados em 1897 por Nikola Tesla para em 1899 realizar a primeira transmisso pelo canal da mancha. A teoria de que as ondas electromagnticas poderiam propagar-se no espao, formulada por Maxwell, e comprovada pelas experincias de Hertz, em 1888, foi utilizada por Marconi entre 1894 e 1895.

    Thomas A. Edison (americano)

    1847-1931 Transformou a eletricidade e o magnetismo em aplicaes prticas em telegrafia, telefonia, iluminao e gerao e transmisso de energia. O Feiticeiro de Menlo Park (The Wizard of Menlo Park), como era conhecido, foi um dos primeiros inventores a aplicar os princpios da produo macia ao processo da inveno.

    Nikola Tesla (Iuguslvo)

    1856-1943 Demonstrou o valor das correntes alternadas e inventou o motor de induo. Projetou sistema de potncia em Niagara Falls.

    Albert Einstein (alemo)

    1879-1955 Tornou as equaes de Maxwell universais atravs da teoria da relatividade.

  • 6 FIW 591 Tpicos de Eletromagnetismo I Prof. Antnio Carlos

    Formulrio

    Equaes de Maxwell Forma diferencial

    t

    BE

    B

    Jt

    DH

    D

    =

    =

    =

    =

    rrr

    rr

    rr

    rr

    r

    0

    Forma integral

    0..

    0.

    ...

    .

    =+

    =

    =

    =

    C S

    S

    SC S

    S V

    SdBdt

    dldE

    SdB

    SdjSdDdt

    dldH

    dVSdD

    rrrr

    rr

    rrrrrr

    rr

    Equaes constitutivas

    Ej

    HB

    ED

    rr

    rtr

    rtr

    =

    =

    =

    Campos auxiliares

    HM

    EP

    MB

    H

    PED

    m

    eo

    o

    o

    rr

    rr

    rr

    r

    rrr

    =

    =

    =

    +=

    Fora de Lorentz

    ( )t

    pdVBjEF

    tBjEf

    mec

    V

    mec

    =+=

    =+=

    r

    rrrr

    rrrrr

    Lei de Biot-Savart

    =

    =

    =

    =

    S

    V

    C

    dSr

    rB

    dVr

    rjB

    r

    rldIB

    r

    rvqB

    '

    4

    '

    4

    '

    4

    4

    2

    2

    2

    2

    rr

    rr

    rr

    rr

    Condies de contorno

    tjn

    En

    Bn

    Hn

    Dn

    =

    =

    =

    =

    =

    r

    rr

    r

    rr

    r

    .

    0

    0.

    .

    Potenciais

    jA

    r

    rmrA

    dVrr

    rJA

    AB

    t

    AVE

    dVrr

    rrV

    V

    o

    Vo

    rrr

    rr

    rr

    rrr

    rrr

    rrr

    rr

    rr

    =

    =

    =

    =

    =

    =

    2

    2

    '

    4)(

    '

    )'(

    4

    ''

    )'(

    4

    1)(

    Energia, momento

    ( )

    2

    .

    ..2

    1

    2

    oo

    VV

    emem

    em

    V

    EcIS

    dVSdVp

    SBD

    Ejw

    udVU

    BHDEu

    wt

    uS

    uvS

    HES

    =

    ==

    ==

    =

    =

    +=

    =

    +

    =

    =

    rrr

    rrrr

    rr

    rrrr

    rr

    rrr

    Ondas

    =

    =

    =

    =

    Z

    BEk

    vBE

    t

    EE

    rrr

    rrr

    rrr

    02

    Valores numricos Carga do eltron (mdulo):

    e =1,610-19 C Permeabilidade do vcuo:

    o = 410-7 H/m

    Permissividade do vcuo:

    o = 8,85410-12 F/m

    1/4o = 8,988109 Nm2/C2

    Velocidade da luz no vcuo:

    c =(oo)-1 = 2,998108 m/s

    Zo =(o/o)1/2

    = 120 377

  • 7 FIW 591 Tpicos de Eletromagnetismo I Prof. Antnio Carlos

    Formulrio

    Delta de Dirac

    [ ]

    ( ) =

    =

    ++=

    =

    R

    ox

    n

    nn

    on

    n

    Rxdx

    fddxxx

    dx

    dxf

    xxdx

    dx

    axaxa

    ax

    a

    rara

    o

    )1()()(

    )()(

    )()(2

    1)(

    )()(

    22

    rr

    Relaes entre os unitrios

    ( ) ( )( ) ( )

    ( ) ( )( ) ( )

    cos

    coscos

    coscoscos

    cos

    cos

    cos

    cos

    senrz

    senrsenseny

    senrsenx

    zz

    yxsen

    ysenx

    zz

    seny

    senx

    =

    ++=

    +=

    =

    +=

    +=

    =

    +=

    =

    )

    )

    )

    Coordenadas cartesianas

    zz

    fy

    y

    fx

    x

    ff

    dxdydzdV

    zdxdyydxdzxdydzSd

    zdzydyxdxld

    +

    +

    =

    =

    ++=

    ++=

    r

    r

    r

    Coordenadas cilndricas

    ( ) ( ) ( )

    )()()(1

    )(

    21

    21

    1

    2

    2

    2

    2

    22

    oooo

    z

    zzrr

    zvvv

    vv

    vvv

    zz

    ffff

    dzdddV

    zdddzddzdSd

    zdzddld

    =

    +

    +

    +=

    +

    +

    =

    =

    ++=

    ++=

    rr

    rr

    r

    r

    r

    Coordenadas esfricas

    ( ) ( )( ) ( ) ( )

    )()cos(cos)(1

    )()()(csc

    )(

    csc1

    2

    2

    2

    2

    ooo

    oooo

    rrr

    rrr

    rr

    f

    r

    f

    rr

    r

    ff

    ddrdsenrdV

    rdrddrdrsenrddsenrSd

    drsenrdrdrld

    =

    =

    +

    +

    =

    =

    ++=

    ++=

    rr

    r

    r

    r

    vetores

    )()()(

    )()()(

    BACCABCBA

    ACBBACCBArrrrrrrrr

    rrrrrrrrr

    =

    ==

    Operador Nabla

    AAA

    f

    A

    ABBABAABBA

    fAAfAf

    BAABBA

    fAAfAf

    ABBA

    ABBABA

    fggffg

    rrr

    r

    r

    rrrrrrrrrr

    rrr

    rrrrrr

    rrr

    rrrr

    rrrrrr

    2)()(

    0)(

    0)(

    )()()()()(

    )()()(

    )()()(

    )()()(

    )()(

    )()()(

    )(

    =

    =

    =

    +=

    =

    =

    +=

    ++

    ++=

    +=

    Integrais

    ( )

    ( )

    ( )

    ( )

    =

    =

    =

    =

    =

    S C

    S C

    SV

    SV

    SV

    lfdfSd

    ldvSdv

    SfddVf

    vSddVv

    SdvdVv

    rrr

    rrrrr

    rr

    rrrr

    rrrr

  • 8 FIW 591 Tpicos de Eletromagnetismo I Prof. Antnio Carlos

    Aula 1 lgebra vetorial

    Nome:______________________________________________________________________________

    Dados os vetores A = 1i 2k e B = -1 i + 1j . Calcule:

    1) A - 2B

    A) ( ) +3i - 2j -2k;

    B) ( ) -3i +2j -2k;

    C) ( ) +3i +2j 2k;

    D) ( ) -3i -2j 2k;

    2) A.B

    A) ( ) +1;

    B) ( ) -1;

    C) ( ) 2;

    D) ( )-2;

    3) AB A) ( ) -2i +2j -1k;

    B) ( ) 2i - 2j -1k;

    C) ( ) 2i +2j +1k;

    D) ( ) 2i +2j -1k;

    4) Qual o ngulo entre os vetores A e B no exerccio anterior?

    A) ( ) cos-1

    (10-1/2

    );

    B) ( ) cos-1

    (10+1/2

    );

    C) ( ) cos-1

    (-10-1/2

    );

    D) ( ) cos-1

    (-10+1/2

    );

  • FIW 591 Tpicos de Eletromagnetismo I

    Nome:______________________________________________________________________________

    1- O gradiente de f(x,y,z) = x

    A) ( ) 2xi+2yj+2z

    B) ( ) 2i+2j+2k;

    C) ( ) xi+yj+zk;

    D) ( ) 2xi-2yj+2z

    2- Qual a opo que melhor descreve o gradiente no ponto A da funo representada pelas curvas

    de nvel abaixo?

    A) ( ) ;

    B) ( ) ;

    C) ( ) ;

    D) ( ) ;

    3- A divergncia de v = x2 i

    A) ( ) 2x-2z;

    B) ( ) 2x+2z;

    C) ( ) 2x-3z;

    D) ( ) 2x-2x;

    4- Qual das opes abaixo representa uma funo com divergncia positiva?

    A)( )

    5- Dado um campo magntico

    representa as linhas de campo d

    A) ( ); B) ( );

    6- O rotacionai de xyi+yzj+zx

    A) ( ) +yi+ zj +xk;

    B) ( ) yi+ zj +xk;

    C) ( ) yi-zj-xk;

    D) ( ) +yi +zj -xk;

    Tpicos de Eletromagnetismo I Prof. Antnio Carlos

    Aula 2 Clculo diferencial I

    Nome:______________________________________________________________________________

    f(x,y,z) = x2 + y

    2 + z

    2 :

    +2zk;

    +2zk;

    Qual a opo que melhor descreve o gradiente no ponto A da funo representada pelas curvas

    i + 3xz2 j -2xz k :

    Qual das opes abaixo representa uma funo com divergncia positiva?

    B)( )

    C)( )

    D)( )

    Dado um campo magntico B=Bok=rot A, qual das opes da figura do item anterior

    representa as linhas de campo de A?

    C) ( ); D) ( );

    +zxk :

    9

    Nome:______________________________________________________________________________

    Qual a opo que melhor descreve o gradiente no ponto A da funo representada pelas curvas

    D)( )

    , qual das opes da figura do item anterior melhor

  • FIW 591 Tpicos de Eletromagnetismo I

    Nome:______________________________________________________________________________

    1- O Laplaciano da funo

    A) ( ) senx.seny.senz;

    B) ( ) +senx.seny.senz;

    C) ( ) +3senx.seny.senz;

    D) ( ) 3senx.seny.senz;

    2- Dos campos vetoriais abaixo, quais podem ser gradiente de uma funo?

    I)

    A) ( ) todos;

    B) ( ) nenhum;

    C) ( )somente I;

    D) ( )somente II;

    E) ( ) somente III;

    F) ( ) somente I e II;

    3- Seja B=rotA , ento podemos afirmar que necessariamente:

    A) ( ) divB =0;

    B) ( ) divA =0;

    C) ( ) rotB =0;

    D) ( ) grad(divB) =0;

    Tpicos de Eletromagnetismo I Prof. Antnio Carlos

    Aula 3 clculo diferencial II

    Nome:______________________________________________________________________________

    O Laplaciano da funo g(x, y, z)=senx.seny.senz :

    senx.seny.senz;

    ( ) +senx.seny.senz;

    ( ) +3senx.seny.senz;

    3senx.seny.senz;

    abaixo, quais podem ser gradiente de uma funo?

    II) III)

    , ento podemos afirmar que necessariamente:

    10

    Nome:______________________________________________________________________________

  • 11 FIW 591 Tpicos de Eletromagnetismo I Prof. Antnio Carlos

    Aula 3 clculo diferencial II (para casa)

    Nome:______________________________________________________________________________

    1- Prove que a divergncia de um rotacional sempre zero. Verifique para a funo va = x2 i + 3xz

    2

    j 2xz k.

    2- Prove que o rotacional de um gradiente sempre zero. Verifique para a funo f=x2y

    3z

    4

  • 12 FIW 591 Tpicos de Eletromagnetismo I Prof. Antnio Carlos

    Aula 4 Clculo Integral

    Nome:______________________________________________________________________________

    1 A integral de linha da funo v = x2 i + 2yz j +y

    2 k da origem (0,0,0) at o ponto (1,0,0) ao longo do

    eixo x resulta em:

    A) ( ) 1;

    B) ( ) -1;

    C) ( ) 1/3;

    D) ( ) -1/3;

    2-A integral de linha da funo v = x2 i + 2yz j +y

    2 k da origem (0,0,0) at o ponto (0,1,0) ao longo do eixo

    y resulta em: A) ( ) 1;

    B) ( ) -1;

    C) ( ) 2;

    D) ( ) 0;

    3- O vetor dS que da superfcie quadrada de arestas (0,0,0), (0,1,0), (0,1,1) e (0,0,1) igual a: A) ( ) dxdyk; B) ( ) dydzi; C) ( ) dxdzj; D) ( ) dxdzk;

    4- O fluxo da funo vetorial D=x

    2yi+y

    2xj+zk atravs da superfcie quadrada de arestas (0,0,0),

    (0,1,0), (0,1,1) e (0,0,1) igual a: A) ( ) 0; B) ( ) 1; C) ( )-1; D) ( ) 2;

    5- A integral de volume da funo constante para a centrada na origem e raio R . A) ( ) 4R3;

    B) ( ) R3;

    C) ( ) (4/3)R3;

    D) ( ) 3R3;

    6- (Teorema de Gauss) Se div E=/, ento:

    A) ( ) ( ) =S V

    dVdSE .rr

    ;

    B) ( ) =S V

    dVSdE rr

    . ;

    C) ( ) =V

    dVldE rr

    . ;

    D) ( ) [ ] =S V

    dVSdE rrr

    . ;

  • 13 FIW 591 Tpicos de Eletromagnetismo I Prof. Antnio Carlos

    7- (Teorema de Stokes) Se rotB=j, ento:

    A) ( ) =C C

    ldjldBrrrr

    .. ;

    B) ( ) =C S

    SdjldBrrrr

    .. ;

    C) ( ) ( ) =C S

    SdjldBrrrrr

    .. ;

    D) ( ) ( ) =C S

    SdjldBrrrrr

    .. ;

    8- Se rotC=0 ento:

    A) ( ) divC=0;

    B) ( ) C=gradV;

    C) ( ) a integral de caminho de C ao longo de uma curva fechado positiva;

    D) ( ) a integral de caminho de C ao longo de uma curva fechado negativa;

    Para casa: Probs. 1.53, 1.54, 1.55, 1.56, 1.57, 1.58

  • FIW 591 Tpicos de Eletromagnetismo I

    Adaptado de McDermottt, Shaffer,

    1- Pegue uma folha de papel.

    Qual linha ou segmento de reta que voc usaria para especificar a

    modo que qualquer pessoa possa manter o papel no mesmo plano ou em um plano paralelo ao

    seu?

    2- A rea de uma superfcie plana pode ser representada por um nico

    A. O que a direo deste vetor representa?

    3- O que voc esperaria que a magnitude deste vetor representasse?

    4- Coloque uma folha de papel

    quadriculado sobre uma mesa.

    Descreva a direo e a magnitude

    do vetor rea para a folha de

    papel.

    5- Dobre a folha duas vezes de modo

    a formar um tubo triangular oco.

    folha inteira pode ser representada

    por um nico vetor rea? Se no

    qual o nmero mnimo de vetores

    necessrios?

    6- Dobre agora a folha de modo a

    formar um tubo oco cilndrico.

    orientao de cada quadrado que

    compe a folha pode ser

    representada por

    Explique

    Tpicos de Eletromagnetismo I Prof. Antnio Carlos

    Aula 4 para casa

    McDermottt, Shaffer, & P.E. G. U. Wash,Tutorials in Introductory Physics

    rea como um vetor

    Pegue uma folha de papel. A folha pode ser vista com parte de uma superfcie plana maior.

    Qual linha ou segmento de reta que voc usaria para especificar a orientao da folha, de

    modo que qualquer pessoa possa manter o papel no mesmo plano ou em um plano paralelo ao

    A rea de uma superfcie plana pode ser representada por um nico vetor, chamado vetor rea

    . O que a direo deste vetor representa?

    e voc esperaria que a magnitude deste vetor representasse?

    Coloque uma folha de papel

    quadriculado sobre uma mesa.

    Descreva a direo e a magnitude

    do vetor rea para a folha de

    Dobre a folha duas vezes de modo

    a formar um tubo triangular oco. A

    folha inteira pode ser representada

    por um nico vetor rea? Se no

    qual o nmero mnimo de vetores

    Dobre agora a folha de modo a

    formar um tubo oco cilndrico. A

    orientao de cada quadrado que

    compe a folha pode ser

    representada por um vetor dA?

    14

    Tutorials in Introductory Physics

    A folha pode ser vista com parte de uma superfcie plana maior.

    orientao da folha, de

    modo que qualquer pessoa possa manter o papel no mesmo plano ou em um plano paralelo ao

    , chamado vetor rea

  • 15 FIW 591 Tpicos de Eletromagnetismo I Prof. Antnio Carlos

    Aula 5 a funo delta de Dirac, sistema de coordenadas

    Nome:______________________________________________________________________________

    1- A integral 6

    2

    2 )3()123( dxxxx resulta em :

    A) ( ) 19;

    B) ( ) 20;

    C) ( ) 21;

    D) ( ) 22;

    E) ( ) 0;

    2- A integral +3

    0

    3 )1( dxxx

    resulta em:

    A) ( ) 1;

    B) ( ) -1;

    C) ( ) 0;

    F) ( ) 2;

    3- Qual a dimenso da funo (x) se x dado em metros:

    A) ( ) [(x)] = m;

    B) ( ) [(x)] = adimensional;

    C) ( ) [(x)] = m-1 ;

    4- Qual a dimenso da funo (x)(y)(z)=(r)= 3(r)= se x,y e z so expressos em metros:

    A) ( ) [(x)] = m3 ; B) ( ) [(x)] = adimensional;

    C) ( ) [(x)] = m-3 ; 5- Uma carga pontual q se encontra na posio (3,2,-1). A densidade volumar de carga =dq/dV

    dada por:

    A) ( ) =q;

    B) ( ) =;

    C) ( ) =q(x-3)(y-2)(z-1);

    D) ( ) =q(x+3)(y+2)(z-1);

    E) ( ) =q(x-3)(y-2)(z+1); 6- O vetor deslocamento r representado em coordenadas cilndricas. Nesta representao,

    encontre o vetor velocidade

    A ( )

    B- ( )

    C- ( )

    D - ( )

    Para casa: probls. 1.36, 1.37, 1.38, 1.39, 1.40, 1.41, 1.42, 1.44, 1.45, 1.46, 1.47,1.48, 1.53, 1.54, 1.55,

    1.56, 1.57, 1.58

  • 16 FIW 591 Tpicos de Eletromagnetismo I Prof. Antnio Carlos

    Aula 6 O campo eltrico

    Nome:______________________________________________________________________________

    1- Duas esferas de chumbo idnticas, pequenas, so separadas pela distncia de 1 m. As esferas tinham originalmente a mesma carga positiva e a fora entre elas Fo. Metade da carga de uma esfera ento deslocada para a outra esfera. A fora entre as esferas ser A- ( ) Fo/4 ; B- ( ) Fo/2 ; C- ( ) 3Fo/4 ; D- ( ) 3Fo/2 ; E- ( ) 3Fo ;

    2- Doze cargas iguais, q, esto situadas nos vrtices de polgono regular de 12 lados ( por

    exemplo, uma em cada nmero de um relgio de ponteiros) definido por um crculo de raio R.

    Qual a fora total sobre uma carga de prova q no centro [k=(4o)-1

    ] ?

    A) ( ) zero;

    B) ( ) kq2/R

    2;

    C) ( ) 12kq2/R

    2;

    D) ( ) 2kq2/R

    2;

    E) ( ) 6kq2/R

    2;

    3- Suponha que uma das 12 cargas removida (a que estava na posio 6 horas). Qual a fora

    sobre q?

    A) ( ) zero;

    B) ( ) kq2/R

    2;

    C) ( ) 12kq2/R

    2;

    D) ( ) 2kq2/R

    2;

    E) ( ) 6kq2/R

    2;

    4- Agora 13 cargas iguais, q, so dispostas de polgono regular de 13 lados. Qual a fora sobre a

    carga de prova q no centro?

    A) ( ) zero;

    B) ( ) kq2/R

    2;

    C) ( ) 12kq2/R

    2;

    D) ( ) 2kq2/R

    2;

    E) ( ) 6kq2/R

    2;

    5- Se uma das 13 cargas removida, qual a fora sobre q? Explique o seu raciocnio.

    A) ( ) zero;

    B) ( ) kq2/R

    2;

    C) ( ) 12kq2/R

    2;

    D) ( ) 2kq2/R

    2;

    E) ( ) 6kq2/R

    2;

    6- Quatro partculas puntiformes, de mesma carga q, situam-se nos vrtices de um quadrado do

    plano xy com centro na origem e com lados, de comprimento 2a, paralelos aos eixos desse

    plano. Determine (a) a expresso cartesiana da densidade volumar de cargas; (b) a carga total,

    integrando a densidade de cargas. Resp: (a) (r)=q[(x+a)+ (x-a)] [(y+a)+ (y-a)] [(z)]; (b) qtot = 4q

    A) ( ) (r)=q[(x+a)- (x-a)] [(y+a)+ (y-a)] [(z)]; qtot = 4q

    B) ( ) (r)=q[(x+a)+ (x-a)] [(y+a)- (y-a)] [(z)]; qtot = 4q

    C) ( ) (r)=q[(x+a)+ (x-a)] [(y+a)+ (y+a)] [(z)]; qtot = 4q

    D) ( ) (r)=q[(x+a)+ (x-a)] [(y+a)+ (y-a)] [(z)]; qtot = 4q

  • 17 FIW 591 Tpicos de Eletromagnetismo I Prof. Antnio Carlos

    Aula 6 O campo eltrico

    Para casa: Probs. 2.2, 2.3, 2.4, 2.5, 2.6, 2.7, 2.8

    Curiosidades sobre o campo eltrico: Fogo-de-santelmo. Santo Elmo o padroeiro dos

    marinheiros. Conta-se que os marinheiros do passado atribuam a um fenmeno eletrosttico

    um significado divino- a apario do referido santo. Na realidade, o que a crena dos antigos

    acabou endeusando o fenmeno conhecido por efeito corona. Os mastros dos navios eram

    envoltos por uma luminosidade suave, resultado da emisso de luz na recombinao de ons e

    eltrons. As nuvens eletrizadas provocavam a induo de cargas eltricas nas pontas dos

    mastros. O intenso campo eltrico nas vizinhanas das pontas ionizava as partculas de ar que,

    posteriormente, emitiam a luz durante a recombinao. A superstio acabou denominando o

    fenmeno fogo-de-santelmo. O mesmo efeito corona pode tambm ser observado, por

    exemplo, em linhas de transmisso eltrica com sobrecarga, que ficam envoltas por uma

    luminosidade ao longo de sua extenso. Retirado de Carlos, Kazuhito, Fuke, Os alicerces da

    Fsica vol.3

  • 18 FIW 591 Tpicos de Eletromagnetismo I Prof. Antnio Carlos

    Aula 7 A divergncia e o rotacional dos campos eletrostticos

    Nome:______________________________________________________________________________

    1- Uma carga q est uniformemente distribuda no volume de uma esfera de raio R com centro

    em ro. Qual o fluxo do campo eltrico sobre uma superfcie de raio r

  • FIW 591 Tpicos de Eletromagnetismo I

    7- Trs lminas infinitas

    uniformemente carregadas so

    colocadas lado a lado conforme

    mostrado na figura ao lado.

    Considere as densidades

    superficiais de cargas das lminas

    indicadas na figura , com

    Qual das opes abaixo

    corresponde ao campo eltrico

    resultante nas posies 1,2,3 e 4

    indicadas na figura?

    A) ( ) E1 =-3/oi, E2= /oi, E4 =3/oi;

    B) ( ) E1 =3/2oi, E2

    = -/2oi, E4 =-3/2

    C) ( ) E1 =/2oi, E2 =3

    = -3/2oi, E4 =-/2

    D) ( ) E1 =-/2oi, E2E3 = -/2oi, E4 =/2

    E) ( ) E1 =/oi, E2 =-3

    -3/oi, E4 =/oi; F) Nenhuma das respostas

    anteriores.

    8- Dois planos no condutores

    extenso infinita e

    perpendiculares entre si esto

    uniformemente carregados com

    uma densidade superficial de

    carga >0. Assinale em qual dos quadrantes as linhas de fora

    associadas ao campo eltrico

    esto representadas

    corretamente.

    A) ( ) I;

    B) ( ) II;

    C) ( ) III;

    D) ( ) IV;

    Para casa: probls. 2.9, 2.10, 2.11, 2.12, 2.13, 2.14, 2.15, 2.16, 2.17, 2.18, 2.50

    Ateno! Este tpico apresenta alto ndice de erro

    nas avaliaes.

    Tpicos de Eletromagnetismo I Prof. Antnio Carlos

    Trs lminas infinitas

    uniformemente carregadas so

    colocadas lado a lado conforme

    mostrado na figura ao lado.

    Considere as densidades

    superficiais de cargas das lminas

    indicadas na figura , com >0. Qual das opes abaixo

    corresponde ao campo eltrico

    resultante nas posies 1,2,3 e 4

    2 =-/oi, E3

    =/2oi, E3

    /2oi;

    =3/2oi, E3

    /2oi;

    2 =-3/2oi,

    /2oi;

    3/oi, E3 =

    Nenhuma das respostas

    Dois planos no condutores de

    extenso infinita e

    perpendiculares entre si esto

    uniformemente carregados com

    uma densidade superficial de

    >0. Assinale em qual dos

    quadrantes as linhas de fora

    associadas ao campo eltrico

    esto representadas

    Para casa: probls. 2.9, 2.10, 2.11, 2.12, 2.13, 2.14, 2.15, 2.16, 2.17, 2.18, 2.50

    Ateno! Este tpico apresenta alto ndice de erro

    19

  • 20 FIW 591 Tpicos de Eletromagnetismo I Prof. Antnio Carlos

    Aula 8 Potencial Eltrico

    Nome:______________________________________________________________________________

    1- O que define um campo conservativo?

    A) ( ) = 0. SdFrr

    ou 0. = Frr

    B) ( ) A fora deve ser de frico

    C) ( ) A fora deve ser nuclear

    D) ( ) A fora deve ser eletromagntica

    E) ( ) = 0. ldFrr

    ou 0rrr

    = F

    2- Pode-se dizer que o potencial da Terra de + 100 V em vez de zero? Que efeito teria esta

    suposio nos valores medidos de (a) potenciais (b) diferena de potenciais?

    A) ( ) sim, no seria alterado, seria alterado;

    B) ( ) no, no seria alterado, seria alterado;

    C) ( ) no, seria alterado, no seria alterado;

    D) ( ) no, seria alterado, seria alterado;

    E) ( ) sim, seria alterado, no seria alterado;

    3- Um dos campos eletrostticos abaixo impossvel. Qual? (k uma constante com dimenses

    apropriadas)

    A) ( ) E =k[xyi+2yzj+3xzk]

    B) ( ) E =k[y2i+(2xy+z

    2)j+2yzk]

    4- Para o campo possvel, calcule o potencial no ponto (x,y,z) utilizando a origem com ponto de

    referncia. Verifique a sua resposta calculando V. (Dica: voc deve escolher um caminho especfico para integrar. No importa qual o caminho, uma vez que a resposta independente

    do caminho, mas voc no pode integrar a menos que tenha um caminho em particular em

    mente).

    A) ( ) V (x,y,z) = -k( y2x-yz

    2)

    B) ( ) V (x,y,z) = -k( -y2x+yz

    2)

    C) ( ) V (x,y,z) = +k( y2x+yz

    2)

    D) ( ) V (x,y,z) = -k( y2x+yz

    2)

  • FIW 591 Tpicos de Eletromagnetismo I

    Problema 2.28 Use a equao

    de uma esfera slida de raio R com densidade de carga uniforme e carga total q.

    Soluo: Um problema importante o da infinitude do potencial. A soluo deste problema

    envolve sabermos o que acontece quando o observado

    situado dentro da distribuio de cargas, ou seja, quando

    o que acontece com a integral acima, vamos escolher como ponto de observao a origem do

    sistema de coordenadas. Fisicam

    matematicamente r = 0

    |r- r|= r. Ento:

    ='

    '

    )'(

    4

    1)(

    Vo

    dVrr

    rrV

    rr

    rr

    denominador o plo r, cancelado pelo fator r

    esfricas.

    Como r e r so positivos, sua soma sempre positiva. A diferena r

    =

    =

    +R

    o

    u

    u

    R

    qRrV

    rr

    rr

    urr

    du

    0

    3

    )(

    )0(22

    4

    3

    2

    1)(

    (2

    ('2

    '

    Se o observador estiver dentro

    nas duas contribuies (r>r) e (r

    R

    oo r

    q

    r

    R

    R

    qdr

    rr

    r

    r

    0

    3

    3

    2

    48

    3'

    2'

    )'

    )'

    bservador estiver dentro volume, a integral do potencial dever se desmembrar

    nas duas contribuies (r>r) e (r

  • 22 FIW 591 Tpicos de Eletromagnetismo I Prof. Antnio Carlos

    Aula 8 Para Casa

    1-Exame de acesso ao Mestrado Profissional em Ensino de Fsica (UFRJ/2012):

    2-Exame de acesso ao Mestrado Profissional em Ensino de Fsica (UFRJ/2011):

  • 23 FIW 591 Tpicos de Eletromagnetismo I Prof. Antnio Carlos

    Aula 8 Para Casa (continuao)

    5- Exame de acesso ao Mestrado Profissional em Ensino de Fsica (UFRJ/2010):

    6- Exame de acesso ao Mestrado Profissional em Ensino de Fsica (UFRJ/2013)

  • 24 FIW 591 Tpicos de Eletromagnetismo I Prof. Antnio Carlos

    Aula 9 Trabalho e energia em eletrosttica

    Nome:______________________________________________________________________________

    1- Uma carga q colocada a uma distncia r da origem. Em uma segunda configurao, a carga q

    removida e uma carga 2q colocada a uma distncia 2r. Em ambos os casos h uma carga Q

    na origem. Se todas as cargas so positivas, qual carga est em potencial maior?

    a) ( ) q b) ( ) 2q c) ( ) as duas cargas possuem o mesmo potencial

    2- Qual carga na questo anterior tem uma energia potencial eletrosttica maior?

    a) ( )Q b) ( )2q c) ( ) as duas cargas possuem a mesma energia potencial

    3- No modelo de quark de partculas fundamentais, um prton composto de trs quarks: dois

    up , cada um com carga 2e/3 e um quark down, com carga de e/3. Suponha que os trs

    quarks esto eqidistantes uns dos outros. Assuma essa distncia como d e calcule (a) a energia

    potencial das interaes entre os dois quarks up e (b) a energia potencial eltrica total do

    sistema [k=(4o)-1

    ] .

    A) ( ) 4ke2/9d; +8ke

    2/9d;

    B) ( ) 4ke2/9d; +4ke

    2/9d;

    C) ( ) 4ke2/9d; -ke

    2/9d;

    D) ( ) 4ke2/9d; 0;

    E) ( ) 4ke2/9d; -4ke

    2/9d;

    4- Quais das grandezas eletrostticas abaixo obedecem ao princpio da superposio

    a) ( ) campo eltrico, potencial eltrico e energia;

    b) ( ) campo eltrico e potencial eltrico;

    c) ( ) potencial eltrico e energia;

    d) ( ) campo eltrico e energia;

    e) ( ) campo eltrico, potencial eltrico e trabalho;

    5- Trs cargas (2 positivas e 1 negativa) esto situadas nos cantos de um quadrado (lado a).

    Quanto trabalho necessrio para trazer outra carga +q, do infinito at o quarto canto?

    Quanto trabalho necessrio para juntar as quatro cargas?

    A) ( ) (q2/4ao)(2+2

    1/2) ; (2q

    2/4ao)(2+2

    1/2) ;

    B) ( ) (q2/4ao)(-2-2

    1/2) ; (2q

    2/4ao)(-2-2

    1/2) ;

    C) ( ) (q2/4ao)(+2+2

    1/2) ; (2q

    2/4ao)(+2-2

    1/2) ;

    D) ( ) (q2/4ao)(-2-2

    1/2) ; (2q

    2/4ao)(-2+2

    1/2) ;

    E) ( ) (q2/4ao)(-2+2

    1/2) ; (2q

    2/4ao)(-2+2

    1/2) ;

    para casa: probls. 2.34

  • 25 FIW 591 Tpicos de Eletromagnetismo I Prof. Antnio Carlos

    Questionrio para ser respondido e entregue (no preciso se identificar) (baseado em Peer Instruction, de Eric Mazur)

    1- O que voc gosta nesta aula ?

    2- O que voc detesta nesta aula?

    3- Se voc estivesse lecionando este curso, o qu voc faria?

    4- Se voc pudesse mudar algo nesta aula, o qu seria?

  • FIW 591 Tpicos de Eletromagnetismo I

    Nome:______________________________________________________________________________

    1- Duas cavidades esfricas de raios a e b so escavadas no interior de uma esfera condutora neutra de raio

    R (figura). No centro de cada cavidade colocada uma carga pontual

    a) As densidades superficiais de carga

    A) ( ) qa/4

    B) ( ) +qa/4

    C) ( ) +qa/4

    D) ( ) qa/4b) Qual o campo fora do condutor

    A) ( ) -(qa +qb

    B) ( ) (qa -qb)/4

    C) ( ) (qa+ qbD) ( ) 0;

    c) Qual o campo dentro de cada cavidade?

    A) ( ) ambos nulos;

    B) ( ) qa/4

    C) ( ) qa/4

    D) ( ) +qa/4d) Qual a fora entre q

    A) ( ) nula;

    B) ( ) qaqb/4o C) ( ) +qaqb/4o D) ( ) qaqb/8o (a+b)

    e) Qual dessas respostas mudaria se uma terceira carga, q

    do condutor?

    A) ( ) as letras a e b;

    B) ( ) todas;

    C) ( ) nenhuma;

    D) ( ) a letra a e d;

    E) ( ) somente a letra c;

    2- Uma casca esfrica condutora e isolada possui carga negativa. O que ir acontecer se um objeto de metal

    positivamente carregado posto em contacto com

    carga positiva (a) menor que, (b) igual a e (c) maior que a carga negativa.

    3- Uma camada de metal esfrica possui uma distribuio superficial uniforme de cargas. O potencial o

    mesmo sobre a superfcie da camada. Qual afirmao correta?

    a) ( ) O potencial maior no centro geomtrico do volume esfrico;

    b) ( ) O potencial menor no centro geomtrico do volume esfrico;

    c) ( ) O potencial no centro do volume o mesmo que o da superfcie;

    Tpicos de Eletromagnetismo I Prof. Antnio Carlos

    Aula 10 Condutores

    Nome:______________________________________________________________________________

    Duas cavidades esfricas de raios a e b so escavadas no interior de uma esfera condutora neutra de raio

    R (figura). No centro de cada cavidade colocada uma carga pontual- chame essas cargas de q

    s densidades superficiais de carga a , b e R, so respectivamente.

    a2; +qb/4a2; (qa - qb)/4R

    2;

    a2; -qb/4a2; -(qa +qb)/4R

    2;

    a2; +qb/4a2; (-qa +qb)/4R

    2;

    a2; qb/4a2; (qa +qb)/4R

    2;

    Qual o campo fora do condutor (a uma distncia r do centro)?

    b)/4or2;

    )/4or2;

    b)/4or2;

    Qual o campo dentro de cada cavidade?

    ( ) ambos nulos;

    oa2; -qb/4ob

    2;

    oa2; -qb/4ob

    2;

    oa2; +qb/4ob

    2;

    Qual a fora entre qa e qb ?

    (a+b)2;

    (a+b)2;

    (a+b)2;

    Qual dessas respostas mudaria se uma terceira carga, qc, fosse aproximada

    ( ) as letras a e b;

    nenhuma;

    ( ) a letra a e d;

    ( ) somente a letra c;

    Uma casca esfrica condutora e isolada possui carga negativa. O que ir acontecer se um objeto de metal

    positivamente carregado posto em contacto com o interior da casca? Discuta os trs casos

    carga positiva (a) menor que, (b) igual a e (c) maior que a carga negativa.

    Uma camada de metal esfrica possui uma distribuio superficial uniforme de cargas. O potencial o

    mesmo sobre a superfcie da camada. Qual afirmao correta?

    O potencial maior no centro geomtrico do volume esfrico;

    O potencial menor no centro geomtrico do volume esfrico;

    O potencial no centro do volume o mesmo que o da superfcie;

    26

    Nome:______________________________________________________________________________

    Duas cavidades esfricas de raios a e b so escavadas no interior de uma esfera condutora neutra de raio

    chame essas cargas de qa e qb.

    , fosse aproximada

    Uma casca esfrica condutora e isolada possui carga negativa. O que ir acontecer se um objeto de metal

    o interior da casca? Discuta os trs casos em que a

    Uma camada de metal esfrica possui uma distribuio superficial uniforme de cargas. O potencial o

  • 27 FIW 591 Tpicos de Eletromagnetismo I Prof. Antnio Carlos

    4- A figura mostra o corte transversal de uma cavidade no interior de um condutor eltrico metlico neutro.

    Uma carga positiva q est dentro da cavidade. A linha tracejada representa um corte de uma superfcie

    gaussiana fechada. A superfcie gaussiana est no interior do condutor e envolve a cavidade interna.

    Marque a afirmativa correta. (a) A carga eltrica no interior da superfcie gaussiana q . (b) O campo eltrico no interior da cavidade nulo. (c) O campo eltrico no exterior do condutor nulo. (d) Se o condutor for aterrado, o campo eltrico se anula em

    seu exterior.

    5- Uma esfera de metal de raio R, contendo uma carga q, envolvida por uma camada de metal espessa e

    concntrica (raio interno a, raio externo b). A camada no contm nenhuma carga eltrica.

    I) Encontre a densidade superficial de carga em r=R, em r=a e em r = b. A) ( ) -q/4R2; q/4a2; q/4b2;

    B) ( ) q/4R2; q/4a2; q/4b2;

    C) ( ) q/4R2; -q/4a2; -q/4b2;

    D) ( ) q/4R2; -q/4a2; q/4b2; II) Encontre o potencial no centro, usando o infinito como ponto de referncia.

    A) ( ) (-q/4o)(1/b+1/a+1/R);

    B) ( ) (q/4o)(1/b-1/a-1/R);

    C) ( ) (q/4o)(1/b+1/a+1/R);

    D) ( ) (q/4o)(1/b+1/a-1/R); E) ( ) 0;

    III) Agora a superfcie externa tocada com um fio aterrado, que abaixo o seu potencial zero

    (mesmo que no infinito). Como as suas respostas em A) e B) mudam?

    Ateno! Este tpico apresenta alto ndice de erros nas avaliaes!

  • 28 FIW 591 Tpicos de Eletromagnetismo I Prof. Antnio Carlos

    Aula 10 Condutores (para casa)

    1-prova de acesso ps-graduao em fsica (UNIPS -2012)

  • FIW 591 Tpicos de Eletromagnetismo I

    Nome:______________________________________________________________________________

    1- Uma particula de carga q a e b)

    r

  • 36 FIW 591 Tpicos de Eletromagnetismo I Prof. Antnio Carlos

    Aula 14 Potencial Vetor Magntico

    Nome:______________________________________________________________________________

    1- Se o potencial vetor dado por A=-yi+xk, ento o campo B :

    A) ( ) B = 2k;

    B) ( ) B = -2k;

    C) ( ) B = -j+k;

    D) ( ) B = -1k;

    2- Se o potencial vetor dado por A=-(1/4)oJo2k, (em coordenadas cilndricas) onde Ao uma

    constante, ento a densidade de corrente J :

    A) ( ) J = Jo k;

    B) ( ) J = -Jo/4 k;

    C) ( ) J = -Jo k;

    D) ( ) J = 0

    3- Num meio uniforme de permeabilidade , uma espira circular de raio a, com eixo OZ e centro na origem, conduz uma corrente I no sentido do unitrio azimutal . O momento magntico da

    espira vale:

    A) ( ) m = a2Ik

    B) ( ) m = -a2Ik

    C) ( ) m = 2a2Ik

    D) ( ) m = -2a2Ik

    4- Repita o item anterior usando a expresso

    =C

    ldrIm

    2

    ''rr

    r

  • 37 FIW 591 Tpicos de Eletromagnetismo I Prof. Antnio Carlos

    5- Vamos obter uma expresso para o potencial vetor de um dipolo magntico. Vamos trabalhar a partir da equao

    =C

    rr

    ldIrA

    '

    '

    4)( rr

    rr

    . O termo

    '

    1

    rrrr

    pode ser

    escrito como:

    A) ( )22 ''.2

    1

    rrrr +rr

    B) ( )

    ( )222 ''.21

    rrrr +rr

    C) ( )22 ''.2

    1

    rrrr +rr

    D) ( ) 22 ''.2

    1

    rrrr ++rr

    6- A partir da sua resposta do item anterior, fazendo r >> r, podemos afirmar que o termo

    '

    1

    rrrr

    aproximadamente igual a:

    A) ( )

    r

    rrr '.21

    11rr

    B) ( )

    r

    rrr '.21

    11rr

    +

    C) ( )

    2

    '.21

    11

    r

    rrrrr

    D) ( )

    r

    rrr '.21

    112 rr

    7- Podemos desenvolver a raiz quadrada usando uma expresso vlida quando x

  • 38 FIW 591 Tpicos de Eletromagnetismo I Prof. Antnio Carlos

    Complemento da aula 14 obtendo o potencial vetor a partir de J

    Partindo da lei de Biot-Savart

    =V

    o dVrr

    rrrJB

    3'

    ')'(

    4rr

    rrrrr

    (1).

    Mas 3'

    '

    '

    1

    rr

    rr

    rrrr

    rr

    rr

    r

    =

    , de modo que podemos escrever

    =

    V

    o dVrr

    rJB'

    1)'(

    4rr

    rrrr

    (2).

    Usando que vfvfvfrrrrrr

    += )( , obtemos

    ( ))'('

    1)'(

    '

    1

    '

    )'(rJ

    rrrJ

    rrrr

    rJ rrrrr

    rr

    rr

    r

    rr

    rrr

    +

    =

    Como o vetor densidade de corrente depende das variveis com linha e o rotacional atua nas

    coordenadas com linha, o segundo termo da equao acima nulo.

    =

    '

    1

    ' rrJ

    rr

    Jrr

    rr

    rr

    rr

    (3). Substituindo a Eq. (3) em (2):

    =

    V

    o dVrr

    JB

    '4rr

    rrr

    . Como o operador nabla no atua nas variveis com linha:

    =

    V

    o dVrr

    rJB

    '

    )'(

    4rr

    rrrr

    .

    Comparando com ABrrr

    = , encontramos finalmente:

    =

    V

    o dVrr

    rJA

    '

    )'(

    4rr

    rrr

    PARA CASA: Probls. 5.33-5.37, 5.55-5.61

  • FIW 591 Tpicos de Eletromagnetismo I

    Nome:______________________________________________________________________________

    1- Uma corrente pequena, porm mensurvel de

    nmero de portadores de carga por unidade de volume

    uniforme. A densidade de corrente

    A) ( ) j=I/d2;

    B) ( ) j=4I/d2;

    C) ( ) j=I/2d2; D) ( ) j=I/d

    2;

    2- Sobre o item anterior, a velocidade de deriva :

    A) ( ) I/d2;

    B) ( ) 4I/d2;

    C) ( ) I/2d2;

    D) ( ) I/d2;

    3- O sentido da f.e.m suprida por uma bateria depende do sentido da corrente que flui atravs

    desta bateria? ( ) SIM ( )NO

    4- Um resistor cilndrico cujo corte transversal tem rea A e comprimento L feito de material

    com condutividade . Se o potencial constante nas duas extremidades e a diferena de potencial V, que corrente est pa

    5- Uma bateria de fem E

    Se voc quiser fornecer o mximo possvel de potncia para a resistncia de carga, que

    resistncia R deve escolher?

    6-Prova de Mestrado (2012)

    Tpicos de Eletromagnetismo I Prof. Antnio Carlos

    Aula 15 Fora eletromotriz

    Nome:______________________________________________________________________________

    Uma corrente pequena, porm mensurvel de I atravessa um fio de cobre de dimetro

    nmero de portadores de carga por unidade de volume . Supondo que a corrente uniforme. A densidade de corrente

    Sobre o item anterior, a velocidade de deriva :

    m suprida por uma bateria depende do sentido da corrente que flui atravs

    desta bateria? ( ) SIM ( )NO

    Um resistor cilndrico cujo corte transversal tem rea A e comprimento L feito de material

    . Se o potencial constante nas duas extremidades e a diferena de

    potencial V, que corrente est passando? Resp: I=AV/L

    e resistncia interna r est ligada a uma resistncia de carga varivel R.

    Se voc quiser fornecer o mximo possvel de potncia para a resistncia de carga, que

    resistncia R deve escolher?

    39

    Nome:______________________________________________________________________________

    atravessa um fio de cobre de dimetro d. O

    . Supondo que a corrente

    m suprida por uma bateria depende do sentido da corrente que flui atravs

    Um resistor cilndrico cujo corte transversal tem rea A e comprimento L feito de material

    . Se o potencial constante nas duas extremidades e a diferena de

    e resistncia interna r est ligada a uma resistncia de carga varivel R.

    Se voc quiser fornecer o mximo possvel de potncia para a resistncia de carga, que

  • 40 FIW 591 Tpicos de Eletromagnetismo I Prof. Antnio Carlos

    Aula 16 Induo eletromagntica

    Nome:______________________________________________________________________________

    1- O fluxo magntico atravs de uma espira de fio varia de durante o intervalo de tempo t. A mudana de fluxo proporcional: A) ( ) A corrente no fio; B) ( ) A resistncia do fio; C) ( ) A carga resultante que flui atravs de qualquer seo do fio. D) ( ) A d.d.p entre quaisquer dois pontos fixos do fio;

    2- Considere um fio horizontal muito longo por onde flui uma corrente estacionria i (para a

    direita) e uma espira retangular com dois de seus lados paralelos ao fio. A espira e o fio esto no mesmo plano, como indica a figura. A espira colocada em movimento de translao, afastando-se do fio com velocidade de mdulo v.

    A respeito do sentido da corrente induzida na espira e da fora exercida sobre a espira, dada por

    = BlidFrrr

    , podemos afirmar

    que:

    (a) o sentido horrio e a fora atrativa; (b) o sentido horrio e a fora repulsiva; (c) o sentido anti-horrio e a fora atrativa; (d) o sentido anti-horrio e a fora repulsiva; (e) no surge corrente induzida e, portanto, a fora nula.

    3- Um campo magntico varivel B (apontando perpendicularmente para fora do papel, como na figura) est confinado ao interior de um tubo condutor. Se o fluxo do campo magntico aumenta com o tempo, surge uma corrente eltrica no cilindro condutor.

    a) Na mesma direo e sentido oposto ao do campo magntico;

    b) Na mesma direo e mesmo sentido do campo magntico;

    c) No plano perpendicular ao campo magntico e circulando no sentido horrio;

    d) No plano perpendicular ao campo magntico e circulando no sentido anti-horrio;

  • 41 FIW 591 Tpicos de Eletromagnetismo I Prof. Antnio Carlos

    Aula 16 para casa

    1- Prova de acesso ao Mestrado Profissional em Ensino de Fsica (UFRJ)

    Problemas do livro texto: 7.12 at 7.29

  • 42 FIW 591 Tpicos de Eletromagnetismo I Prof. Antnio Carlos

    Aula 17 Equaes de Maxwell I

    Nome:______________________________________________________________________________

    Considere as equaes de Maxwell:

    A) . Lei de Gauss da eletricidade

    B) . 0 Lei de Gauss do Magnetismo

    C)

    Lei de Faraday da Induo

    D) ! "

    # Lei de Ampre generalizada

    1- Qual das equaes de Maxwell implica na no existncia do monoplo magntico?

    A) ( )B) ( )C)( ) D) ( )

    2- Qual das equaes de Maxwell nos diz sobre a existncia do monoplo eltrico?

    A) ( )B) ( )C)( ) D) ( )

    3- Qual das equaes de Maxwell nos diz que um campo magntico que varia induz um campo

    eltrico?

    A) ( )B) ( )C)( ) D) ( )

    4- Qual das equaes de Maxwell nos diz que um campo eltrico que varia induz um campo

    eltrico?

    A) ( )B) ( )C)( ) D) ( )

    5- Verdadeiro ou falso:

    A) ( ) a corrente de deslocamento tem unidade diferente da corrente de conduo

    B) ( ) a corrente de deslocamento apenas existe se o campo eltrico na regio est variado

    no tempo;

    C) ( ) Em um circuito LC oscilante, no existe corrente de deslocamento entre as placas do

    capacitor quando ele est momentaneamente completo de carga

    D) ( ) Em um circuito LC oscilante, no existe corrente de deslocamento entre as placas do

    capacitor quando ele est momentaneamente vazio

    E) ( ) As equaes de Maxwell se aplicam apenas a campos eltricos e magnticos que so

    constantes no tempo;

    6- O campo magntico em uma regio do espao dado por B = kt2i para -2s t 2s. Qual o

    sentido do campo eltrico induzido quando t= 0?

    A) Paralelo ao eixo x;

    B) Paralelo ao eixo y;

    C) O campo eltrico est disposto em crculos centrados no eixo x;

    D) No h campo eltrico quando t= 0s;

    7- As figuras abaixo mostram, em vrias situaes, o campo eltrico e o campo magntico

    induzido. Determine em cada caso se o mdulo do campo eltrico est aumentando ou

    diminuindo.

  • FIW 591 Tpicos de Eletromagnetismo I

    A) B)

    1- prova de acesso ps-graduao em fsica (UNIPS

    Tpicos de Eletromagnetismo I Prof. Antnio Carlos

    C) D)

    Aula 17 -para casa

    graduao em fsica (UNIPS -2011)

    43

  • 44 FIW 591 Tpicos de Eletromagnetismo I Prof. Antnio Carlos

    Aula 18 Equaes de Maxwell na matria

    Nome:______________________________________________________________________________ (dieltricos) Um capacitor de placas paralelas de rea A e separao d preenchido com duas placas dieltricas. A

    placa dieltrica superior possui uma espessura de d e permissividade 1=6o e a placa inferior possui uma espessura de 2d com 2=12o. Se uma d.d.p V aplicada no capacitor, encontre os valores das seguintes grandezas em cada dieltrico:

    1) a capacitncia

    A) ( ) oA /2d; B) ( ) oA /d; C) ( ) 2oA /d; D) ( ) 4oA /d; E) ( ) 6oA /d;

    1) A carga nas placas do capacitor

    A) ( ) oA V/2d; B) ( ) oAV/d; C) ( ) 2oAV/d; D) ( ) 4oAV/d; E) ( ) 6oAV/d;

    2) A densidade superficial de carga A) ( ) oV/2d; B) ( ) oV/d; C) ( ) 2oV/d; D) ( ) 4oV/d; E) ( ) 6oV/d;

    3) O vetor deslocamento D em cada um dos dieltricos

    A) ( ) oV/2d; B) ( ) oV/d; C) ( ) 2oV/d; D) ( ) 4oV/d; E) ( ) 6oV/d;

    4) O campo eltrico em cada um dos dieltricos A) ( ) E1 = V/12d; E2 =V/24d B) ( ) E1 = V/6d; E2 =V/12d C) ( ) E1 = V/3d; E2 =V/6d D) ( ) E1 = 2V/3d; E2 =V/3d E) ( ) E1 = V/d; E2 =V/2d

    5) O vetor de polarizao em cada um dos dieltricos

    A) ( ) P1 = 10oV/3d; P2 = 11oV/3d B) ( ) P1 = 11oV/3d; P2 = 10oV/3d C) ( ) P1 = 10oV/d; P2 = 11oV/d D) ( ) P1 = oV/3d; P2 = oV/d E) ( ) P1 = 2oV/3d; P2 = oV/3d

    6) (meios magnticos) Um meio ferromagntico de grande extenso possui B = 2Tz. Se =175o, encontre H e M.

    7) (condies de contorno). Mostre que, na fronteira descarregada que separa dois meios de

    permissividades 1 e 2, vale a lei da refrao do campo eltrico. 1 cotg1 =2 cotg2

    8) (condies de contorno) Mostre que, na fronteira descarregada que separa dois meios de

    permeabilidades 1 e 2, vale a lei da refrao do campo magntico. 1 cotg1 =2 cotg2

  • 45 FIW 591 Tpicos de Eletromagnetismo I Prof. Antnio Carlos

    Aula 19 a conservao da carga e da energia

    Nome:______________________________________________________________________________

    1 (conservao da carga) A densidade de corrente que sai de um volume dada, em coordenadas

    esfricas, por rjj o =r

    , onde jo uma constante. A taxa de variao da densidade volumar de carga

    /t (vide no formulrio a expresso para o operador nabla em coordenadas esfricas):

    A) ( ) 0;

    B) ( ) -jo/r;

    C) ( ) +2jo/r;

    D) ( ) -2jo/r;

    2- (conservao da energia) Em uma dada regio do espao linear e isotrpico h um campo

    eletromagntico dependente do tempo. Se o campo eltrico aponta da direo positiva do eixo

    x e o campo magntico aponta na direo negativa do eixo y, o vetor de Poynting aponta:

    A) ( ) Na direo +z;

    B) ( ) Na direo z;

    C) ( ) Na direo +x;

    D) ( ) Na direo y;

    3- Em um meio de permissividade eltrica e campo magntico nulo, a densidade volumar de energia dada por:

    A) ( ) u = E2/2;

    B) ( ) u = E2/2; C) ( ) u = E

    2/2;

    D) ( ) u = E2;

    4- Em um meio de permeabilidade magntica e campo eltrico nulo, a densidade volumar de energia eletromagntica dada por:

    A) ( ) u = B2/2;

    B) ( ) u = B2/2; C) ( ) u = B

    2/2;

    D) ( ) u = B2;

  • 46 FIW 591 Tpicos de Eletromagnetismo I Prof. Antnio Carlos

    Aula 20 a conservao do momento

    Nome:______________________________________________________________________________

    1- Um fluido em condies estticas no est sujeito a tenses de cisalhamento. Se a presso em

    um ponto do fluido po, o tensor de tenses nestas condies expresso por :

    A) ( )

    o

    o

    o

    p

    p

    p

    00

    00

    00

    B) ( )

    ooo

    ooo

    ooo

    ppp

    ppp

    ppp

    C) ( )

    0

    0

    0

    oo

    oo

    oo

    pp

    pp

    pp

    2- Um capacitor composto por duas placas paralelas de rea A e separao d prenchida por um

    dieltrico de permissividade eltrica . Aplica-se uma d.d.p V entre as placas do capacitor. A fora que uma placa exerce sobre a outra (em mdulo):

    A) ( ) A(/2)(V/d)2

    B) ( ) A(V/d)2

    C) ( ) 2A(V/d)2

    D) ( ) A(/4)(V/d)2 3- No caso do capacitor do exemplo anterior, se o sinal das placas for alterado, a tenso na

    direo do campo :

    A) ( ) no se altera;

    B) ( ) altera o sinal mas no o mdulo;

    C) ( ) altera o mdulo e o sinal;

    4- Se o campo eltrico dado por E=(Eo. 0,0), o tensor de tenses de Mawell dado por

    A) ( )

    2

    0

    2

    0

    2

    0

    0

    00

    00

    00

    2E

    E

    E

    B) ( )

    2

    0

    2

    0

    2

    0

    0

    00

    00

    00

    2E

    E

    E

    C) ( ) ( )2

    0

    2

    0

    2

    0

    0

    00

    00

    00

    E

    E

    E

    D) ( ) ( )2

    0

    2

    0

    2

    0

    0

    00

    00

    00

    E

    E

    E

    5- No caso do exerccio anterior, 0 fluxo de momento (momento/rea) na direo y :

    A) ( ) )0,2

    ,0(2

    00ETy

    =r

    B) ( ) )0,0,2

    (2

    00ETy

    =r

    C) ( ) ),0,0( 200ETy =r

  • FIW 591 Tpicos de Eletromagnetismo I

    extremamente valioso para o ensino de fsica o fato que algumas grandezas, a princpio distintas,

    possam ser discutidas igualmente. Algumas grandezas fsicas que se comportam analogamente aos

    fluidos. Elas so chamadas de quantidades tipo substncia. Entre elas e

    eltrica, momento, momento angular, entropia, etc... Cada uma delas pode ser imaginada como um tipo

    de substncia. Uma indicao de que uma quantidade X ( X pode ser densidade de carga, densidade de

    energia, densidade de momento

    da continuidade:

    XX

    XX

    Idt

    dX

    ou

    wjt

    X

    +=

    += rr

    Ou na forma integral:

    =+S V

    X XdVdt

    dSdj 0rr

    Que se aplica a uma dada regio do espao de volume V. A quantidade dX/dt (

    de variao temporal de X dentro da regio,

    unidade de tempo no interior daquela regio. I

    da superfcie que limita a regio. Assim, h duas causas para a mudana no valor de X dentro do volume

    V: a criao ou destruio de X dentro da regio e uma corrente de X atravs da superfcie S que limita

    V.

    Para algumas grandezas, o termo

    dentro de V quando uma corrente flui atravs da superfcie S. Estas grandezas so chamadas

    conservadas, por exemplo: carga eltrica (dQ/dt+I=0), energia (dE/dt=P), momento (d

    representa a corrente eltrica, P a corrente de energia (potncia), e

    Uma grandeza tipo sustncia no deve necessariamente ser conservada. Por obedecerem equao da

    continuidade, grandezas tipo substncia possuem algumas propriedades que fazem ser

    fcil de lidar com estas grandezas:

    I) O valor da quantidade tipo substncia refere

    II) Todo grandeza tipo substncia possui outra grandeza associada a ela que pode ser

    interpretada como uma corrente.

    III) Quantidade tipo su

    IV) Correntes tambm so aditivas;

    Considere a figura abaixo: podemos descrever esta situao dizendo que um trabalho est sendo

    realizado sobre as placas do capacitor, aumentando sua energia potencial. A mesma situao pode ser

    descrita utilizando o carter tipo substncia da energia: Energia flui das mos atravs das cordas para o

    campo do capacitor.

    Tpicos de Eletromagnetismo I Prof. Antnio Carlos

    mente valioso para o ensino de fsica o fato que algumas grandezas, a princpio distintas,

    possam ser discutidas igualmente. Algumas grandezas fsicas que se comportam analogamente aos

    fluidos. Elas so chamadas de quantidades tipo substncia. Entre elas esto: massa, energia, carga

    eltrica, momento, momento angular, entropia, etc... Cada uma delas pode ser imaginada como um tipo

    de substncia. Uma indicao de que uma quantidade X ( X pode ser densidade de carga, densidade de

    energia, densidade de momento, etc...) se comporta como substncia quando ela obedece equao

    Que se aplica a uma dada regio do espao de volume V. A quantidade dX/dt (X/t) representa a taxa

    de variao temporal de X dentro da regio, X (wX), indica o quanto de X criado ou destrudo por unidade de tempo no interior daquela regio. IX (divjx) representa a intensidade de corrente de X atravs

    que limita a regio. Assim, h duas causas para a mudana no valor de X dentro do volume

    V: a criao ou destruio de X dentro da regio e uma corrente de X atravs da superfcie S que limita

    Para algumas grandezas, o termo X sempre nulo. Estas grandezas apenas podem alterar seu valor dentro de V quando uma corrente flui atravs da superfcie S. Estas grandezas so chamadas

    conservadas, por exemplo: carga eltrica (dQ/dt+I=0), energia (dE/dt=P), momento (d

    ica, P a corrente de energia (potncia), e F a corrente de momento (fora).

    Uma grandeza tipo sustncia no deve necessariamente ser conservada. Por obedecerem equao da

    continuidade, grandezas tipo substncia possuem algumas propriedades que fazem ser

    fcil de lidar com estas grandezas:

    O valor da quantidade tipo substncia refere-se a uma regio no espao;

    Todo grandeza tipo substncia possui outra grandeza associada a ela que pode ser

    interpretada como uma corrente.

    Quantidade tipo substncia so aditivas;

    Correntes tambm so aditivas;

    Considere a figura abaixo: podemos descrever esta situao dizendo que um trabalho est sendo

    realizado sobre as placas do capacitor, aumentando sua energia potencial. A mesma situao pode ser

    utilizando o carter tipo substncia da energia: Energia flui das mos atravs das cordas para o

    47

    mente valioso para o ensino de fsica o fato que algumas grandezas, a princpio distintas,

    possam ser discutidas igualmente. Algumas grandezas fsicas que se comportam analogamente aos

    sto: massa, energia, carga

    eltrica, momento, momento angular, entropia, etc... Cada uma delas pode ser imaginada como um tipo

    de substncia. Uma indicao de que uma quantidade X ( X pode ser densidade de carga, densidade de

    , etc...) se comporta como substncia quando ela obedece equao

    t) representa a taxa

    ), indica o quanto de X criado ou destrudo por

    ) representa a intensidade de corrente de X atravs

    que limita a regio. Assim, h duas causas para a mudana no valor de X dentro do volume

    V: a criao ou destruio de X dentro da regio e uma corrente de X atravs da superfcie S que limita

    andezas apenas podem alterar seu valor

    dentro de V quando uma corrente flui atravs da superfcie S. Estas grandezas so chamadas

    conservadas, por exemplo: carga eltrica (dQ/dt+I=0), energia (dE/dt=P), momento (dp/dt=F), onde I

    a corrente de momento (fora).

    Uma grandeza tipo sustncia no deve necessariamente ser conservada. Por obedecerem equao da

    continuidade, grandezas tipo substncia possuem algumas propriedades que fazem ser relativamente

    se a uma regio no espao;

    Todo grandeza tipo substncia possui outra grandeza associada a ela que pode ser

    Considere a figura abaixo: podemos descrever esta situao dizendo que um trabalho est sendo

    realizado sobre as placas do capacitor, aumentando sua energia potencial. A mesma situao pode ser

    utilizando o carter tipo substncia da energia: Energia flui das mos atravs das cordas para o

  • FIW 591 Tpicos de Eletromagnetismo I

    O momento mais do que simplesmente m

    como mv . Por exemplo, onda eletromagntica:

    O Ensino tradicional de fsica nem sempre faz

    geralmente derivadas a partir de

    que estes tambm so semelhantes

    6- Dado o vetor de Poyinting (

    A) ( ) S;

    B) ( ) -S;

    C) ( ) S;

    D) ( ) S;

    Grandeza X

    Carga eltrica (carga/volume)

    Energia

    eletromagntica

    (energia/volume)

    momento Pem

    (momento/volume)

    Densidade de momento angular:

    elemento de carga em relao origem.

    O momento angular do campo:

    Referncia: The Karlsruhe Physics Course

    Tpicos de Eletromagnetismo I Prof. Antnio Carlos

    O momento mais do que simplesmente mv. H sistemas cujo momentos no podem ser descritos

    . Por exemplo, onda eletromagntica: BDemrr

    = (densidade de momento)

    nem sempre faz uso de estas vantagens. A energia,

    a partir de outros quantidades. Isto faz com que seja mais difcil de compreender

    semelhantes quantidades tipo substncia.

    Dado o vetor de Poyinting ( S=EH), a densidade de momento eletromagntico :

    Grandeza X Corrente de X Equao

    (carga/volume)

    j=v (carga/rea. tempo) + j

    r

    (energia/volume) S=v

    (energia/rea.tempo) Srr

    (momento/volume) Tt

    (momento/rea.tempo)

    Ttr

    Momento angular

    Densidade de momento angular: )( BDrr ememrrrrr

    lr

    = , onde r o vetor posio do

    elemento de carga em relao origem.

    =V

    emem dVL lrr

    The Karlsruhe Physics Course

    48

    . H sistemas cujo momentos no podem ser descritos

    (densidade de momento)

    A energia, e momento so

    is difcil de compreender

    ), a densidade de momento eletromagntico :

    Equao

    0=

    +t

    wt

    =

    +

    t

    pp mecem

    +=

    )(

    o vetor posio do

  • 49 FIW 591 Tpicos de Eletromagnetismo I Prof. Antnio Carlos

    Para casa

    1- Um capacitor de placas paralelas espaadas de uma distncia d com uma diferena de potencial

    V entre elas. Considere que o dieltrico entre as placas o vcuo. A tenso (fora por unidade

    de rea) paralela s linhas de campo eltrico

    A) ( ) oV2/d

    2; B) ( ) 2oV

    2/d

    2; C) ( ) oV/d; D) ( ) oV

    2/2d

    2;

    2- Assinale a afirmativa correta

    A) ( ) Em cada ponto de um campo eltrico h uma tenso na direo do campo eltrico.

    Sua intensidade oE2/2;

    B) ( ) Em cada ponto de um campo eltrico h uma tenso na direo do campo eltrico.

    Sua intensidade oE2/2;

    C) ( ) Em cada ponto de um campo eltrico h uma tenso na direo do campo eltrico.

    Sua intensidade oE2/2;

    D) ( ) Em cada ponto de um campo eltrico h uma tenso na direo do campo eltrico.

    Sua intensidade oE2/2;

    3- Um campo eletromagntico representado pelo vetor deslocamento D=Doi e pelo campo

    magntico B=Bok. A densidade de momento do campo :

    a) ( ) DoBoj;

    b) ( ) -DoBoj;

    c) ( ) DoBok;

    d) ( ) DoBoi;

    4- Se o tensor de Maxwell dado por

    00

    020

    0

    o

    o

    oo

    T

    T

    TT

    T

    =t

    , o momento transportado pelos

    campos na direo x atravessando uma superfcie orientada na direo z por unidade de rea,

    por unidade de tempo (ou tenso eletromagntica - fora/rea) :

    A) ( ) To;

    B) ( ) -To;

    C) ( ) 2To;

    D) ( ) -2To;

    E) ( ) 0;

    5- A densidade de momento angular do campo na posio r=roj de um campo eletromagntico

    representado pelo vetor deslocamento D=Doj e pelo campo magntico B=Bok :

    A) ( ) roDoBoi;

    B) ( ) -roDoBoi;

    C) ( ) roDoBoj;

    D) ( ) -roDoBok;

    E) ( ) roDoBok;

  • 50 FIW 591 Tpicos de Eletromagnetismo I Prof. Antnio Carlos

    Aula 21 Ondas eletromagnticas em uma dimenso

    Nome:______________________________________________________________________________

    1- Dada a equao de onda 2

    2

    2

    2

    tz

    =

    , qual a velocidade de propagao da onda?

    A) ( ) ;

    B) ( ) 1/;

    C) ( ) ()2 ;

    D) ( ) 1/()2 ;

    Dada a funo de onda =Asen2(3x-2t), onde x dado em metros e t em segundos. Determine:

    2- O comprimento de onda em metros:

    A) ( ) 1/3;

    B) ( ) 2/3; C) ( ) 1;

    D) ( ) 1/6;

    3- A frequncia em Hz:

    A) ( ) 3;

    B) ( ) 1/; C) ( ) 1;

    D) ( ) 2;

    4- A velocidade de fase em m/s:

    A) ( ) 2/3;

    B) ( ) 1/3;

    C) ( ) 2;

    D) ( ) 1;

    5- O perodo em segundos:

    A) ( ) 1/3;

    B) ( ) ; C) ( ) 1;

    D) ( ) 1/2;

    5) A direo de propagao:

    A) ( ) +z; B) ( ) -z; C) ( ) +x; D) ( ) x;

    6) Calcule o complexo conjugado de z1 = 2+3i e z2 =2ei2

    A) ( ) 2-3i e 2e-2i

    ;

    B) ( ) -2+3i e 2e-2i

    ;

    C) ( ) 2+3i e -2e2i

    ;

    D) ( ) -2-3i e -2e-2i

    ;

    7) Calcule a norma de z=3e-i2

    A) ( ) 3; B) ( ) -3; C) ( ) 2; D) ( ) -2;

  • 51 FIW 591 Tpicos de Eletromagnetismo I Prof. Antnio Carlos

    8) Dado z=3ei. Re(z) e Im(z) valem respectivamente:

    A) ( ) -3 e 0;

    B) ( ) 3 e 0;

    C) ( ) 0 e 3;

    D) ( ) 0 e -3;

    Descreva completamente o estado de polarizao de cada uma das seguintes ondas:

    9) E =Eo cos(kz-t)i-Eo cos(kz-t)j A) ( ) linear; B) ( ) circular; C) ( ) eliptica;

    10) E =Eo sen(kz-t)i-Eo sen(kz-t)j A) ( ) linear; B) ( ) circular; C) ( ) eliptica;

    11) E =Eo sen(kz-t)i+Eo sen(kz-t-/4)j A) ( ) linear; B) ( ) circular; C) ( ) eliptica;

    12)E =Eo cos(kz-t)i+Eo cos(kz-t+/2)j

    A) ( ) linear; B) ( ) circular; C) ( ) eliptica;

  • 52 FIW 591 Tpicos de Eletromagnetismo I Prof. Antnio Carlos

    Aula 21 para casa

    1- Indique cada um dos nmeros z =x+iy abaixo no plano complexo. Para cada nmero de o valor

    nmero de sua parte real (ReZ=x) , sua parte imaginria y (Im Z=y), seu mdulo r e o valor de .

    a) 1+i;

    b) i-1;

    c) 2i;

    d) 3;

    e) 2i-2;

    Voc sabia?

    Imagens 3D usam luz polarizada para produzir sensao de profundidade. Nossa percepo de

    profundidade devido, em grande parte, a habilidade do olho de enxergar o mundo de um

    ngulo ligeiramente diferente. O crebro funde as duas vises em uma tridimensional. Durante

    a filmagem de um filme 3D, duas cmeras gravam a ao de perspectivas ligeiramente

    diferentes. Quando o filme mostrado, dois projetores com filtros polarizadores, so

    utilizados.

  • 53 FIW 591 Tpicos de Eletromagnetismo I Prof. Antnio Carlos

    Aula 22 Ondas eletromagnticas no vcuo

    Nome:______________________________________________________________________________

    1- Falando informalmente, pode-se dizer que as componentes eltrica e magntica de uma

    onda eletromagntica progressiva alimentam-se uma outra. O que isto significa?

    2- Considere a seguinte configurao de linhas de campo. Ela pode estar relacionada a..

    A) ( ) somente ao campo eltrico;

    B) ( ) somente ao campo

    magntico;

    C) ( ) a ambos;

    D) ( ) a nenhum dos dois;

    3- Considere a seguinte configurao de linhas de campo. Ela pode estar relacionada a..

    E) ( ) somente ao campo eltrico;

    F) ( ) somente ao campo

    magntico;

    G) ( ) a ambos;

    H) ( ) a nenhum dos dois;

    4- Um laser de hlio-nenio emite luz vermelha em uma faixa estreita de comprimentos de

    onda em torno de , com uma largura de . Qual a largura da luz emitida em unidades de freqncia?

    A) ( ) c/2;

    B) ( ) c/;

    C) ( ) c/2;

    D) ( ) c/;

    5- Em um determinado ponto e em um determinado instante de tempo o campo eltrico de

    uma onda onda eletromagntica aponta para o norte quando o campo magntico aponta

    para cima. Em que direo a onda eletromagntica est se propagando?

    A- ( ) Leste; B- ( ) Oeste; C-( )Sul D-( ) para baixo;

    6- O campo eltrico de uma onda plana que viaja na direo do eixo z E=(Eoxx+Eoy y)sen(t-

    kz+). Encontre o campo magntico

    A) ( ) B=(-Eoyi+Eox j)cos(t-kz+)/c

    B) ( ) B=(Eoxi+Eoy j)sen(t-kz+)/c

    C) ( ) B=(-Eoyi+Eox j)sen(t-kz+)/c

    D) ( ) B=(Eoxi+Eoy j)cos(t-kz+)/c

    E) ( ) B=(-Eoyi-Eoy j)sen(t-kz+)/c

  • 54 FIW 591 Tpicos de Eletromagnetismo I Prof. Antnio Carlos

    7- Se um feixe de luz vermelha, um feixe de verde e um feixe de luz violeta, todos viajando no

    vcuo, tm a mesma intensidade, qual o feixe tem a maior momento?

    a) ( ) o de luz vermelha;

    b) ( ) o de luz verde;

    c) ( ) o de luz violeta;

    d) ( ) eles todos tm o mesmo momento;

    e) ( ) no se pode determinar a partir destes dados;

    8- Ainda sobre o item anterior, qual feixe tem o maior valor de pico (amplitude) para o campo

    eltrico?

    a) ( ) o de luz vermelha;

    b) ( ) o de luz verde;

    c) ( ) o de luz violeta;

    d) ( ) eles todos tm o mesmo momento;

    e) ( ) no se pode determinar a partir destes dados;

    9- Duas ondas planas eletromagnticas senoidas so idnticas, exceto que a onda A tem uma

    amplitude do campo eltrico que trs vezes a amplitude da onda B. Como se comparam

    suas intensidades?

    A) ( ) IA =IB/3;

    B) ( ) IA =IB/9;

    C) ( ) IA =3IB;

    D) ( ) IA =9IB;

  • 55 FIW 591 Tpicos de Eletromagnetismo I Prof. Antnio Carlos

    Aula 22 Ondas eletromagnticas no vcuo (para casa)

    Equaes teis (complementam o formulrio):

    Presso de radiao (P) e intensidade (I): 2

    2

    ooE

    c

    I

    c

    SP

    === , onde Eo a amplitude do campo

    eltrico.

    Momento (p) e energia (U) em uma onda eletromagntica: c

    Up =

    1- Os espelhos usados em um tipo particular de laser refletem 99,99 % da radiao incidente. (a)

    Se o laser emite uma potncia mdia de 15 W, qual a potncia mdia da radiao incidente

    em um dos espelhos? b) qual a fora devida presso de radiao em um dos espelhos?

    2- Um laser pulsado dispara um pulso de 1000 MW com durao de 200 ns em um pequeno

    objeto que tem massa de 10,0 mg e est suspenso por uma fina fibra de 4,00 cm de

    comprimento. Se a radiao for completamente absorvida pelo objeto, qual o mximo ngulo

    de deflexo deste pndulo? (Pense no sistema como se fosse um pndulo balstico e considere

    que o pequeno objeto estivesse pendurado verticalmente antes que a radiao o atingisse)

    3- A intensidade da luz do Sol ao atingir a Terra de aproximadamente 1300 W/m2. Se a luz do Sol

    atingir um absorvedor perfeito, que presso ir exercer? E sobre um refletor perfeito? A que

    frao da presso atmosfrica isso equivale? (presso atmosfrica 105 Pa)

    4- Exame de acesso ps-graduao em fsica (UNIPS-2012)

  • 56 FIW 591 Tpicos de Eletromagnetismo I Prof. Antnio Carlos

    5- Exame de acesso ps-graduao em fsica (UNIPS-2010)

  • 57 FIW 591 Tpicos de Eletromagnetismo I Prof. Antnio Carlos

    Aula 23 Ondas eletromagnticas na matria

    Nome:______________________________________________________________________________

    1- Em um meio no dispersivo de impedncia Z=2Zo , onde Zo a impedncia do vcuo, a luz se

    propaga com velocidade v=c/2. As permissividade eltrica e permeabilidade magnticas so,

    respectivamente:

    A) ( ) 4, oo

    ;

    B) ( )

    oo 4, ;

    C) ( )

    o

    o ,

    4;

    D) ( )

    oo ,4 ;

    2- Os ngulos de incidncia e transmisso para um raio incidente no ar (meio 1) em bloco (meio 2)

    so 45o e 30

    o, respectivamente. O ndice de refrao do bloco :

    A) ( ) 2 ;

    B) ( ) 2

    1;

    C) ( ) 3 ;

    D) ( ) 3

    1;

    3- Para uma onda eletromagntica que incide normalmente sobre um meio, os coeficientes de

    reflexo para as componentes perperdicular e paralela ao plano de incidncia do campo

    eltrico so, respectivamente:

    A) ( ) 1,12

    12

    ZZ

    ZZ

    +

    B) ( ) 1,12

    12 +

    ZZ

    ZZ

    C) ( ) 1,12

    21

    ZZ

    ZZ

    +

    D) ( )12

    12,1ZZ

    ZZ

    +

    4- Para um meio onde n2=3, o ngulo de incidncia para o qual a luz refletida 100 % polarizada

    :

    A) ( ) 30o;

    B) ( ) 45o;

    C) ( ) 60o;

    D) ( ) 80o;

  • FIW 591 Tpicos de Eletromagnetismo I

    Aula 23

    1- A impedncia intrnseca de um meio Z = 200

    encontre e para o meio.

    2- Mostre que, na fronteira descarregada que separa dois meios de permissividades

    lei da refrao do campo eltrico:

    3- A velocidade da luz na gua menor do que a velocidade da luz no ar. Quando um raio de luz

    vermelha, =650 nm, moveA- ( ) a freqncia;

    B- ( ) o comprimento de onda;

    C- ( ) a cor;

    D- ( ) itens A e B;

    E- ( ) itens A, B e C;

    4- Quando o tanque de metal retangular mostrado na figura preenchido at o topo com um

    lquido desconhecido, um observador com os olhos no nvel do topo do tanque somente

    capaz de ver o canto E. Determine o ndice de refrao do lquido.

    5- Mostre que a velocidade de grupo pode ser escrita na forma

    6- Mostre que a velocidade de grupo pode ser escrita na forma

    7- Mostre que a velocidade de grupo pode ser escrita na forma

    8- Exemplo de polarizao por reflexo. Voc seria capaz de dizer em qual das fotos abaixo foi

    utilizado um filtro polarizador?

    Tpicos de Eletromagnetismo I Prof. Antnio Carlos

    Ondas eletromagnticas na matria (para casa)

    A impedncia intrnseca de um meio Z = 200 e a velocidade de fase no meio v

    para o meio.

    Mostre que, na fronteira descarregada que separa dois meios de permissividades

    lei da refrao do campo eltrico: 1cotg 1 =2cotg2. na gua menor do que a velocidade da luz no ar. Quando um raio de luz

    =650 nm, move-se do ar para a gua, o que muda?

    ( ) o comprimento de onda;

    Quando o tanque de metal retangular mostrado na figura preenchido at o topo com um

    desconhecido, um observador com os olhos no nvel do topo do tanque somente

    capaz de ver o canto E. Determine o ndice de refrao do lquido.

    Mostre que a velocidade de grupo pode ser escrita na forma d

    dvvv fg =

    Mostre que a velocidade de grupo pode ser escrita na forma

    +=

    d

    dnn

    cvg

    Mostre que a velocidade de grupo pode ser escrita na forma

    +=n

    c

    n

    cvg 2

    Exemplo de polarizao por reflexo. Voc seria capaz de dizer em qual das fotos abaixo foi

    utilizado um filtro polarizador?

    58

    e a velocidade de fase no meio vf =108 m/s

    Mostre que, na fronteira descarregada que separa dois meios de permissividades 1 e 2, vale a

    na gua menor do que a velocidade da luz no ar. Quando um raio de luz

    Quando o tanque de metal retangular mostrado na figura preenchido at o topo com um

    desconhecido, um observador com os olhos no nvel do topo do tanque somente

    d

    dv f.

    ddn

    d

    dn.

    Exemplo de polarizao por reflexo. Voc seria capaz de dizer em qual das fotos abaixo foi

  • FIW 591 Tpicos de Eletromagnetismo I

    A lei da reflexo a mais antiga e foi enunciada por Hero de Alexandria no sc. II d.C. enquanto a

    lei de Snel (grafia original). Refrao nada mais do que um fenmeno de espalhamento de ftons.

    Metamateriais

    Veja tambm: Walter S. Santos, Antonio Carlos F. Santos, Carlos E. Aguiar

    American Brasil: Aula Aberta, n. 9, p. 58-

    Tpicos de Eletromagnetismo I Prof. Antnio Carlos

    Leis da reflexo e refrao

    A lei da reflexo a mais antiga e foi enunciada por Hero de Alexandria no sc. II d.C. enquanto a

    (grafia original). Refrao nada mais do que um fenmeno de espalhamento de ftons.

    Algumas concepes erradas: em alguns tratamentos de

    polarizao por reflexo, o ngulo de Brewster recebe toda a

    ateno, deixando a impresso nada acontece em outros

    de incidncia. De fato, o grau de polarizao da luz refletida varia

    continuamente de 0 a 100 %.

    Metamateriais (ndice de refrao negativo)

    Walter S. Santos, Antonio Carlos F. Santos, Carlos E. Aguiar , tica com ndice de refrao negativo

    -59, 2011

    59

    A lei da reflexo a mais antiga e foi enunciada por Hero de Alexandria no sc. II d.C. enquanto a

    (grafia original). Refrao nada mais do que um fenmeno de espalhamento de ftons.

    Algumas concepes erradas: em alguns tratamentos de

    polarizao por reflexo, o ngulo de Brewster recebe toda a

    ateno, deixando a impresso nada acontece em outros ngulos

    de incidncia. De fato, o grau de polarizao da luz refletida varia

    tica com ndice de refrao negativo , Scientific

  • 60 FIW 591 Tpicos de Eletromagnetismo I Prof. Antnio Carlos

    Aula 24 Ondas Eletromagnticas em condutores

    Nome:______________________________________________________________________________

    1- Em meio metlico de condutividade e permissividade eltrica depositada

    localmente uma densidade de carga o. Em quanto tempo a densidade cai a metade de seu valor inicial?

    A) ( ) /;

    B) ( )( /)ln2;

    C) ( ) /2;

    D) ( ) 2/; 2- Para um dieltrico perfeito, a parte imaginria do nmero de onda vale:

    A) ( )(/2)1/2;

    B) ( )()1/2;

    C) ( )(2)1/2; D) ( ) 0;

    3- Para um dieltrico perfeito, a parte imaginria do nmero de onda vale:

    A) ( )(/2)1/2;

    B) ( )()1/2;

    C) ( )(2)1/2; D) ( ) 0;

    4- Trs materiais possuem respectivamente condutividade eltricas 1 =, 2 =200,

    1 =/1000. correto afirmar que: A) ( ) o primeiro condutor, o segundo quase-condutor e o terceiro isolante;

    B) ( ) o primeiro isolante, o segundo condutor e o terceiro quase-condutor;

    C) ( ) o primeiro quase-condutor, o segundo isolante e o terceiro condutor;

    D) ( ) o primeiro quase-condutor, o segundo condutor e o terceiro isolante;

    5- Em eletrosttica, vimos que um condutor blinda seu interior de campos eltricos

    externos. Isto verdade para:

    A) ( ) > (Nq2/mo)1/2;

    B) ( ) < (Nq2/mo)1/2;

    C) ( ) = (Nq2/mo)1/2;

    D) ( ) qualquer frequncia de onda;

    6- correto afirmar que a ionosfera:

    A) ( ) quase transparente para frequncias baixas e absorve frequncias altas;

    B) ( ) quase transparente para frequncias altas e absorve frequncias baixas;

    C) ( ) quase transparente para todas as frequncias;

    D) ( ) absorve igualmente em todas frequncias;

  • 61 FIW 591 Tpicos de Eletromagnetismo I Prof. Antnio Carlos

    Aula 24 para casa

    1- Aplicando o rotacional em t

    BE

    =

    rrr

    e Et

    EB

    rr

    rr +

    = obtenha as equaes de

    onda modificadas (equao de onda evanescente) para os campos eltrico e magntico em

    metais (com =0). Dica: AAArrr

    2)()( = . (voc no dever gastar mais do

    que poucas linhas)

    2- Substituindo a soluo ( )tkzi

    oeEE=

    rr na equao de onda modificada, mostre que k

    2=2

    +i uma funo complexa

  • 62 FIW 591 Tpicos de Eletromagnetismo I Prof. Antnio Carlos

    Aula 25 absoro e disperso

    Nome:______________________________________________________________________________

    Objetivos: aprofundar nosso conhecimento sobre ndice de refrao.

    1- A parte real de i

    Em

    q

    xo

    o

    o

    =22

    :

    a) ( )

    ( )( ) 22222

    22

    +

    +

    =o

    oo

    o

    Em

    q

    x

    b) ( )

    ( )( ) 22222

    22

    +

    =o

    oo

    o

    Em

    q

    x

    c) ( )

    ( )( ) 22222

    22

    =o

    oo

    o

    Em

    q

    x

    d) ( )

    ( )( ) 22222

    22

    +

    =o

    oo

    o

    Em

    q

    x

    2- A dependncia do ndice de refrao com a frequncia da luz leva o nome de disperso cromtica, est mostrada na figura abaixo. Em geral, as transies atmicas mais intensas dos materiais transparentes

    ocorrem na regio do ultravioleta e assim, nas regies do visvel (0.4 a 0.7 m) e infravermelho prximo (0.7 a 2.5 m) o ndice de refrao aumenta com a frequncia (diminui com ). Isto significa que quanto mais deslocado para o infravermelho for o comprimento de onda da luz,

    a) ( ) menor ser a sua velocidade de propagao; b) ( ) maior ser a sua velocidade de propagao; c) ( ) maior ser o ndice refrao; d) ( ) maior ser a sua frequncia;

    Este fato danoso na rea de comunies ticas, pois o alargamento do sinal impe um limite taxa de repetio mxima possvel de se transmitir por uma fibra tica. S. C. Zilio, Optica Moderna Fundamentos e Aplicaes

    3- Qual a cor da luz que menos absorvida pelas plantas? A- ( ) vermelho; B-( ) amarelo;C-( ) verde;D-( ) violeta;

  • 63 FIW 591 Tpicos de Eletromagnetismo I Prof. Antnio Carlos

    Aula 25 absoro e disperso (para casa)

    1- Em 1871 Sellmeier deduziu a equao += j jjA

    n2

    0

    2

    2 1

    em que termos Aj so constantes; cada

    0j o comprimento de onda no vcuo associado freqncia natural 0j, tal que 0j0j = c. Esta formulao constitui uma melhoria considervel, do ponto de vista prtico, sobre a equao de Cauchy.

    Mostre que quando >> 0j a equao de Cauchy uma aproximao da equao de Sellmeier. Sugesto: escreva a equao acima com o primeiro termo da soma; faa seu desenvolvimento com a expanso

    binomial; tome a raiz quadrada de n2 e desenvolva-a novamente em srie.

    2- Para um oscilador harmnico amortecido ++dt

    dx

    mdt

    xd 2

    2

    Augustin Louis Cauchy (1787-1857)

    construiu uma equao emprica para n() para substncias transparentes no visvel. A sua

    expresso dada pela srie de potncias: n= C1 + C2-2

    +C3-4

    +... em que Ci so constantes.

    luz da figura abaixo, qual o significado fsico de C1?

  • 64 FIW 591 Tpicos de Eletromagnetismo I Prof. Antnio Carlos

    Alguns fatos e curiosidades sobre absoro e disperso

    As viseiras dos capacetes dos astronautas so cobertas por uma fina de

    ouro que reflete cerca de 70 % da luz incidente. Foi projetada para reduzir

    a carga trmica no sistema de refrigerao, refletindo fortemente energia

    radiante no infravermelho, mas transmitindo fortemente adequadamente

    no visvel. Existem no mercado culos de sol baratos cobertos por

    pelculas metlicas, e que funcionam do mesmo modo.

    Na camada ionizada do topo da atmosfera os eltrons livres comportam-

    se de um modo semelhante aos eltrons livres de um metal. O ndice de

    refrao destas camadas real e inferior a 1 para freqncias superiores a

    freqncia de plasma. Para comunicar entre dois pontos geograficamente

    distantes, possvel fazer refletir ondas de baixa freqncia na ionosfera.

    Para se falar com algum na Lua, necessrio utilizar sinais de alta

    freqncia, para os quais a ionosfera transparente.

    Apesar da gua ser essencialmente transparente, o vapor de gua parece

    esbranquiado, tal como o vidro despolido. A razo devido ao tamanho

    do gro. Se for muito maior que os comprimentos de onda envolvidos, a

    luz penetra em cada uma das partculas transparentes e refletida e

    refratada vrias vezes antes de emergir. No h qualquer distino entre

    qualquer das freqncias componentes e, portanto, a luz que chega ao

    observador branca (o mesmo vale para o acar, sal, nuvens, neve,

    espuma da onda do mar, clara em neve, etc...). A tinta branca

    constituda por partculas transparentes (xidos de zinco, titnio ou

    chumbo) em suspenso num meio igualmente transparente. Quando os

    ndices de refrao das partculas e do meio forem iguais, no h reflexo

    e o conjunto fica transparente. Por outro lado, se os ndices forem

    diferentes, ocorrem reflexes para todos os comprimentos de onda e a

    tinta aparece branca. Uma superfcie difusora que absorva

    uniformemente ao longo de todo o espectro, reflete um pouco menos que

    uma superfcie branca, parecendo acinzentada. Quanto menos refletir,

    menos intenso ser o cinzento; quando a absoro for quase total a

    superfcie parece preta.

  • 65 FIW 591 Tpicos de Eletromagnetismo I Prof. Antnio Carlos

    Aula 26 Guias de Ondas (o cabo coaxial)

    Nome:______________________________________________________________________________

    1- Um sinal harmnico atravessa um cabo coaxial com permeabilidade magntica relativa

    /o =1 e permissividade eltrica relativa /o =2. A velocidade de fase deste sinal

    a) ( ) 2c;

    b) ( ) c/2;

    c) ( ) 21/2

    c;

    d) ( ) 2-1/2

    c;

    2- Tratando o vcuo como uma linha de transmisso, qual seria a indutncia por unidade de

    comprimento e a capacitncia por unidade de comprimento do vcuo, respectivamente?

    a) ( ) o/2, o/2

    b) ( ) o , o

    c) ( ) o, 2o

    d) ( ) 2o, o

    3- A impedncia caracterstica Zo de um cabo coaxial de indutncia por unidade de

    comprimento L e capacitncia por unidade de comprimento C : (dica: lembre-se que a

    impedncia de um meio Z =(/)1/2

    a) ( ) ( L/C )1/2

    ;

    b) ( ) ( C/L )1/2

    ;

    c) ( ) ( LC )1/2

    ;

    d) ( ) ( LC )-1/2

    ;

    4- Em um cabo coaxial de permissividade e permeabilidade , os campos eltrico e

    magntico so dados por

    )cos( wtkz

    AE

    =r

    e

    )cos(

    c

    wtkzAB

    =

    r. Calcule o

    vetor de Poynting.

  • 66 FIW 591 Tpicos de Eletromagnetismo I Prof. Antnio Carlos

    Reviso para a terceira parte do curso:

    Problemas do livro-texto: 9.1-9.4, 9.8-9.25.

    Polarizao

    1- Considere duas vibraes com a mesma frequncia e a mesma amplitude, porm com fases

    diferentes, uma ao longo do eixo Ox, x=asen(t-) e a outra ao longo do eixo Ou, y=asen(t-).

    As relaes anteriores podem ser escritas na forma: (x/a)=sen(t)cos()-cos(t)sen()

    (1),(y/a)=sen(t)cos()-cos(t)sen() (2). A) Multiplique a Equao (1)por sen e a Equao (2)

    por sen e a seguir subtraia as duas relaes resultantes. B) Multiplique a Equao (1) por cos

    e a Equao (2) por cos e a seguir subtraia as duas relaes resultantes. C) Eleve ao quadrado

    e some os resultados dos itens (a) e (b). D) Deduza a equao x2+y

    2 -2xycos=a2sen2, onde

    =-. E) Use o resultado anterior para justificar cada um dos diagramas estudados em sala de aula(polarizao linear, circular e elptica).

    Energia e momento em ondas eletromagnticas

    1- O vetor de Poynting instantneo expresso por S=EH. O vetor de Poynting mdio obtido integrando o vetor de Poynting instantneo sobre um perodo e dividindo pelo perodo. Pode

    tambm ser prontamente obtido em notao complexa S=(1/2)Re(EH*). A) Calcule os

    vetores de Poynting instantneo e mdio para E=(Eo eit )j e H=(Ho e

    i(t-))k, onde j e k so os

    unitrios na direo y e z, respectivamente. B) Calcule a densidade de momento p=S/c2

    instantneo e mdio.

    Reflexo e transmisso

    1- O ngulo crtico para reflexo interna total em uma interface que separa um lquido do ar

    igual a 42,5o. A) Sabendo que um raio de luz proveniente do lquido incide sobre a interface

    com um ngulo de incidncia de 35,0o, qual o ngulo que o raio refratado no ar forma com a

    normal? B) Sabendo que um raio de luz proveniente do ar incide sobre a interface com um

    ngulo de incidncia de 35,0o, qual o ngulo que o raio refratado no lquido forma com a

    normal?

    2- Um feixe paralelo de luz no-polarizada proveniente do ar incide formando um ngulo de 54,5o

    (com a normal) sobre uma superfcie plana de vidro. O feixe refletido completamente

    linearmente polarizado. A) Qual o ndice de refrao do vidro? B) Qual o ngulo de refrao

    do feixe transmitido?

    Dependncia da permissividade com a frequncia

    1- Uma onda plana de 1 MHz de frequncia (= 300 m) se propaga em um meio dispersivo e sem

    perdas com velocidade de fase de 3108 m/s. A velocidade de fase em funo do comprimento

    dada pela relao v=k1/2, onde k uma constante. Encontre a velocidade de grupo. Resp.

    1,5108 m/s. 2- A distncia de um pulsar. Um pulsar uma estrela de nutrons muito densa que gira muito

    rpido e que transmite pulsos de banda larga. Os pulsos so mais intensos na faixa entre 100 e

    500 MHz. Os eltrons tornam o meio interestelar dispersivo permitindo medir a distancia do

    pulsar. A velocidade de grupo da radiao de um pulsar dada por vg =c[1-(fo/f)2]

    1/2, onde

  • FIW 591 Tpicos de Eletromagnetismo I

    c=3108 m/s, f a frequncia do pulsar em Hz e f

    a frequncia crtica de plasma em Hz. Para N=3

    em Taylor {(1+x)n 1+nx}. A) mostre que a velocidade de grupo pode ser expressa como v

    (1/2)(fo/f)2]. Como resultado da disperso no meio interestelar, um pulso chega mais cedo a

    altas frequncias e mais tarde a frequncias menores.B) Most

    chegada t de um pulso transmitido simultaneamente em duas frequncias dado por

    t=(L/2c)[(fo/f2)2 (fo/f1)

    para f1 = 400 MHz e f2 = 300 MH

    D) qual a diferena entre as velocidades dos pulsos. Resp: cerca de 1 parte em 100 bilhes,

    mensurvel somente pela grande distncia.

    3- Um arco-ris produzido pela reflexo da luz solar em gotas de gua

    A Figura abaixo indica um raio que se refrata para o interior de uma gota no ponto A,

    refletido na superfcie posterior da gota no ponto B e se refrata voltando para o ar no ponto C.

    Os ngulos de incidncia e refrao,

    incidncia e de reflexo,

    = aA. B) Mostre que o ngulo em radianos antes de ele entrar na gota em A e depois que ele sai

    da gota em C (a deflexo total do raio) dado por

    angular que ocorre em A, em B e em C e some para encontrar

    escrever em termos de

    forma quando o ngulo de deflexo

    d/daA=0. Quando essa condio for obedecida, todos os raios prximos de

    retornando na mesma direo, produzindo uma faixa brilhante no cu.

    o qual isto ocorre. Mostre que cos

    frmula da derivada d(arc sen u(x))/dx=(1

    a 1,342 para a luz violeta e 1,330 para a luz vermelha. Use os resultados dos itens (c) e (d) para

    calcular 1 e para a luz vermelha e para a luz violeta. Seus resultados da figura? Quando voc v um arco-ris, qual das duas cores do arco

    vermelha ou a violeta?

    Tpicos de Eletromagnetismo I Prof. Antnio Carlos

    m/s, f a frequncia do pulsar em Hz e fo=9N1/2

    . N a densidade de eltrons (m

    a frequncia crtica de plasma em Hz. Para N=3104 m-3 , fo=1,56 kHz

  • FIW 591 Tpicos de Eletromagnetismo I

    Primeira Prova de

    Nome:_______________________________________________________________________

    Caro aluno, voc deve escolher

    1-(2,5) (a) Considere que pode ser escrito como o gradiente de um escalar? Encontre um potencial escalar que funcione. Qual pode ser escrito como o rotacional de um vetor? Encontre um potencial vetorial adequado.

    2- (2,5) Verifique o teorema de Stokes para a funo superfcie triangular mostrada na figura ao lado

    3-(2,5) Uma regio esfrica tem carga uniforme por unidade de

    volume . Seja r o vetor do centro da esfera at um ponto genrico P dentro desta. (a) Calcule o campo eltrico em P. (b) Uma cavidadeesfrica criada na esfera, conforme indicado na figura ao lado (vetor que liga o centro da esfera com o centro da cavidade). Usaconceito de superposio, calcule o campo eltrico em todos os pontos no interior da cavidade.

    4-(2,5) A carga por unidade de comprimento uniformemente ao longo de um basto delgado de comprimento L. (a) Determine o potencial (escdistncia y de uma das pontas do basto em lao lado). (b) Utilize o resultado de (a) para calcular a componente do campo eltrico em P na direo y (ao longo do basto).(c) Determine a componente do campo eltrico em P na direo perpendicular ao basto.

    5-(2,5) Um cilindro condutor longo tem raio R. O Sejam A, B e C pontos situados, respectivamente, a R/2, R, 3R de distncia do eixo do cilindro. Determine (a) o campo eltrico potencial VA VC.

    Tpicos de Eletromagnetismo I Prof. Antnio Carlos

    Universidade Federal do Rio de Janeiro Instituto de Fsica

    Curso de Licenciatura em Fsica Primeira Prova de Tpicos de Eletromagnetismo I (2012/1)

    Prof. Antnio Carlos (toni@if.ufrj.br)

    Nome:_______________________________________________________________________

    Caro aluno, voc deve escolher quatro questes para resolver. Boa sorte!

    (2,5) (a) Considere que F1 = x2 k e F2 = xi+yj+zk. Calcule a divergncia e o rotacional de

    pode ser escrito como o gradiente de um escalar? Encontre um potencial escalar que funcione. Qual pode ser escrito como o rotacional de um vetor? Encontre um potencial vetorial adequado.

    (2,5) Verifique o teorema de Stokes para a funo v=yz, usando a superfcie triangular mostrada na figura ao lado.

    (2,5) Uma regio esfrica tem carga uniforme por unidade de

    o vetor do centro da esfera at um ponto genrico P dentro desta. (a) Calcule o campo eltrico em P. (b) Uma cavidade esfrica criada na esfera, conforme indicado na figura ao lado (a o vetor que liga o centro da esfera com o centro da cavidade). Usando o conceito de superposio, calcule o campo eltrico em todos os pontos no interior da cavidade.

    A carga por unidade de comprimento distribuda uniformemente ao longo de um basto delgado de comprimento L. (a) Determine o potencial (escolhendo zero no infinito) no ponto P a uma distncia y de uma das pontas do basto em linha com ele (vide figura

    ). (b) Utilize o resultado de (a) para calcular a componente do campo eltrico em P na direo y (ao longo do basto).(c) Determine a

    mponente do campo eltrico em P na direo perpendicular ao

    (2,5) Um cilindro condutor longo tem raio R. O mdulo do campo eltrico na superfcie do cilindro E

    Sejam A, B e C pontos situados, respectivamente, a R/2, R, 3R de distncia do eixo do cilindro. Determine (a) o campo eltrico (vetor) nos pontos A, B e C. b) A diferena de potencial V

    68

    (2012/1)

    Nome:_______________________________________________________________________

    questes para resolver. Boa sorte!

    e o rotacional de F1 e F2 . Qual deles pode ser escrito como o gradiente de um escalar? Encontre um potencial escalar que funcione. Qual pode ser escrito como o rotacional de um vetor? Encontre um potencial vetorial adequado.

    campo eltrico na superfcie do cilindro Eo. Sejam A, B e C pontos situados, respectivamente, a R/2, R, 3R de distncia do eixo do cilindro. Determine

    nos pontos A, B e C. b) A diferena de potencial VB-VC. c) A diferena de

  • 69 FIW 591 Tpicos de Eletromagnetismo I Prof. Antnio Carlos

    Gabarito da primeira prova de Tpicos de Eletromagnetismo I (2012/1)

    ( )

    ( )

    0

    2

    00

    3111.

    0.

    2

    2

    1

    2

    2

    1

    r

    )

    rr

    )

    rr

    ))rr

    )rr

    =

    =

    =

    =

    =++=++

    +

    +

    =

    =

    +

    +

    =

    zyx

    zyx

    zyx

    F

    yx

    x

    zyx

    zyx

    F

    zzyyxxzz

    yy

    xx

    F

    zxzz

    yy

    xx

    F

    Como o rot(grad)=0 e rot(F2)=0, F2 pode ser escrito como grad, onde uma funo escalar.

    Como div(rotA)=0, para qualquer A e div(F1)=0, ento F1 pode ser escrito como o rotacional

    de A.

    ( )

    222

    ),(2

    ),(2

    ),(2

    222

    2

    2

    2

    2

    zyx

    xyfz

    zz

    zxfy

    yy

    zyfx

    xx

    zz

    yy

    xx

    zzyyxxF

    ++=

    +=

    =

    +=

    =

    +=

    =

    +

    +

    =++=

    ))r

  • 70 FIW 591 Tpicos de Eletromagnetismo I Prof. Antnio Carlos

    yx

    A

    xA

    xx

    A

    xy

    A

    x

    A

    x

    A

    z

    A

    z

    A

    y

    A

    zx

    AAA

    zyx

    zyx

    AF

    y

    y

    xy

    zx

    yz

    zyx

    3

    3

    0

    0

    3

    3

    2

    2

    2

    1

    =

    =

    =

    =

    =

    =

    =

    ==

    r

    )

    rrr

    2)

    ( )

    zdzydyxdxld

    ldzyldzyldzyldv

    ldvSdv

    C

    S C

    ).().().( 321

    ++=

    ++=

    =

    r

    rrrrr

    rrrrr

    x

    yzyx

    zyx

    v

    00

    =

    =

    )

    rr

    Como o rot v aponta na direo x, pela regra da mo direita, a integral de caminho

    ser percorrida no sentido anti-horrio. (a,0,0)(0,2a,0)(0,0,a)(a, 0,0)

    (a,0,0)(0,2a,0)

    y = 2a- 2x dy=-2dx, dz=0

    ydxxdxld

    ldzy

    0).(

    1

    1

    =

    =r

    r

    (0,2a,0)(0,0,a)

    z=a-y/2 dz=-dy/2, dx = 0

  • 71 FIW 591 Tpicos de Eletromagnetismo I Prof. Antnio Carlos

    ( )

    zdy

    ydyld

    aayydy

    zdy

    ydyzyldzya a

    2

    404

    1

    42)

    2).(().(

    2

    0

    2

    22

    0

    2

    2

    2

    =

    ===== r

    r

    (0,0,a)(a,0,0)

    z=a-x dz=-dx, dy = 0 e y=0

    zdzxdxld

    zdzxdxzyldzy

    0)).(().(

    2

    2

    =

    == r

    r

    Ento:

    2aldvC

    =rr

    Agora, calculando o fluxo do rotacional. Neste caso ainda mais simples, pois

    como envolve o produto escalar do rotacional de v que constante e que aponta

    na direo x com o elemento de rea dS, apenas a componente x de dS entra no

    calculo. A rea perpendicular direo x a projeo no plano yz , ou seja

    2aa/2= a2. Vamos verificar?

    ( ) ( )

    2/

    22)22(

    )(

    0

    222

    0

    222

    0

    0

    22

    00

    yaz

    aaazazdzzaydz

    dydzdydzydxdzzdxdyxdydzxSdv

    aaza

    a

    zaa

    sS S

    =

    =====

    ==++=

    rrr

    3)

    A) pela Lei de Gauss

    rr

    E

    rE

    rrE

    dVSdE

    o

    o

    o

    S V

    o

    3

    3

    3

    44

    .

    32

    =

    =

    =

    =

    r

    rr

  • FIW 591 Tpicos de Eletromagnetismo I

    B) Pelo principio da superposio, o campo em um ponto dentro da cavidade pode ser

    escrito como o campo da esfera macia (item a) subtrado do campo devido cavidade

    preenchida com densidade de carga r, ou

    Considerando

    '3

    ''

    3

    ''

    '4

    .

    2

    rr

    E

    rE

    rE

    SdE

    o

    o

    o

    S

    o

    =

    =

    =

    =

    r

    rr

    Onde r est centrado em

    Ento, pelo principio da superposio:

    E

    EE

    cavidade

    esferacavidade

    r

    rr

    3

    =

    =

    onde Eesfera o campo calculado no item a).

    onde, pela figura abaixo:

    4)

    a) = PVo4

    1)(

    b)

    Tpicos de Eletromagnetismo I Prof. Antnio Carlos

    Pelo principio da superposio, o campo em um ponto dentro da cavidade pode ser

    escrito como o campo da esfera macia (item a) subtrado do campo devido cavidade

    preenchida com densidade de carga r, ou seja:

    a cavidade com densidade :

    '

    3

    '4 3r

    dVV

    Onde r est centrado em a

    Ento, pelo principio da superposio:

    arrrrrr

    rr

    E

    oooo

    esfera

    r

    r

    3)''(

    3'

    3

    '

    '

    ==

    ,

    o campo calculado no item a).

    onde, pela figura abaixo: r + a = r.

    ===

    ++

    rrdr

    r

    dq

    o

    Ly

    yo

    Ly

    yo

    ln4

    ln44

    1

    72

    Pelo principio da superposio, o campo em um ponto dentro da cavidade pode ser

    escrito como o campo da esfera macia (item a) subtrado do campo devido cavidade

    +y

    Ly

  • 73 FIW 591 Tpicos de Eletromagnetismo I Prof. Antnio Carlos

    yLyy

    yyLy

    E

    yy

    VVE

    oo

    11

    4

    11

    4

    +=

    +=

    ==

    r

    rr

    Ou ainda:

    yLyy

    yrr

    ydr

    r

    rdqE

    o

    Ly

    yo

    Ly

    yoo

    11

    4

    1

    4

    4

    1

    4

    122

    +=

    ===++

    r,

    onde y chapu aponta verticalmente para cima.

    c) Pela simetria, a componente perpendicular do campo eltrico nula.

    5) Um cilindro condutor longo tem raio R. O mdulo do campo eltrico na superfcie do cilindro Eo.

    Sejam A, B e C pontos situados, respectivamente, a R/2, R, 3R de distncia do eixo do cilindro.

    Determine (a) o campo eltrico (vetor) nos pontos A, B e C. b) A diferena de potencial VB-VC. c) A

    diferena de potencial VA VC.

    a) Como o cilindro condutor, a carga situa-se totalmente na superfcie. Ento, tomando

    como uma gaussiana uma superfcie cilndrica infinita de raio R/2, a carga no interior desta

    superfcie (ponto A) nula, ento ==S

    oqSdE 0/. rr

    . Logo E = 0 no ponto A.

    No ponto B, o mdulo do campo Eo e como o campo deve ser perpendicular superfcie,

    oEE =r

    , onde r chapu o unitrio na direo radial.

    No ponto C, aplicamos a Lei de Gauss: =S

    oqSdE /.rr

    , onde q a carga na superfcie

    do cilindro. Escolhendo uma gaussiana de raio 3R (figura),

    o

    o

    S

    o

    rl

    qE

    qrlE

    qSdE

    2

    /2

    /.

    =

    =

    =rr

    Para qualquer r>R

    Onde l o comprimento do cilindro.

    E pela simetria, EE =r

    . Temos agora que encontrar a carga q. Como na superfcie o

    campo tem mdulo Eo, ento Eo=q/2Rlo (I),

  • FIW 591 Tpicos de Eletromagnetismo I

    onde fizemos r=R. Ento, substituindo (I) no resultado anterior, temos que fora do

    cilindro: E=EoR/r. Como r = 3R:

    d) Como o cilindro condutor o potencial na superfcie (ponto B) o mesmo no ponto C.

    Ento VB-Vc=0.

    e) De novo VA Vc = V

    3ln

    .3

    R

    RRE

    dEVV

    o

    R

    R

    BA

    =

    = r

    Tpicos de Eletromagnetismo I Prof. Antnio Carlos

    onde fizemos r=R. Ento, substituindo (I) no resultado anterior, temos que fora do

    R/r. Como r = 3R: 3

    3

    oo ER

    REE ==r

    (no ponto C)

    Como o cilindro condutor o potencial na superfcie (ponto B) o mesmo no ponto C.

    = VA VB .

    ( )3ln

    ln).(

    33

    RE

    REr

    dr

    REdrr

    REld

    o

    R

    R

    o

    o

    R

    R

    o

    =

    ==

    = r

    74

    onde fizemos r=R. Ento, substituindo (I) no resultado anterior, temos que fora do

    Como o cilindro condutor o potencial na superfcie (ponto B) o mesmo no ponto C.

    ln3

    rR

    R=

  • FIW 591 Tpicos de Eletromagnetismo I

    Segunda Prova de

    Caro aluno, voc deve escolher

    4-(2,5) Uma espira circular de fio de dimetro d posicionada de tal forma que a normal faz um ngulo

    com a direo de um campo magntico uniforme B

    normal gira em um cone em volta da direo do campo

    normal e o sentido do campo () perman

    5-(2,5) Escreva as equaes de Maxwell e as suas equaes constitutivas, explique

    detalhadamente o significado f

    ilustrar. Por qu as equaes de Maxwell no so totalmente simtricas?

    Tpicos de Eletromagnetismo I Prof. Antnio Carlos

    Universidade Federal do Rio de Janeiro Instituto de Fsica

    Curso de Licenciatura em Fsica Segunda Prova de Tpicos de Eletromagnetismo I (2012/1)

    Prof. Antnio Carlos (toni@if.ufrj.br)

    Caro aluno, voc deve escolher quatro questes para resolver. Boa sorte!

    1 (2,5) A figura ao lado mostra uma seo reta de uma fita longa e

    fina de largura w que est conduzindo uma corrente

    uniformemente distribuda i para dentro do papel.

    densidade linear de corrente =dI/dL. B)(2,0) vetores unitrios, qual o campo B em um ponto P no plano da fita

    situado a uma distncia d de uma das bordas? (sugesto: imagine a

    lmina sendo construda de muitos fios, longos e paralelos

    fcil) ou utilize

    =S

    dSr

    rB '

    4 2

    rr

    -mais trabalhoso

    2- (2,5) A figura ao lado mostra uma seo reta de um condutor

    cilndrico oco de raios a e b que conduz uma corrente

    uniformemente distribuda para dentro do papel

    vetores unitrios apropriados: a) Calcule a densidade de corrente

    volumar j; b) Calcule o campo magntico (vetor)

    ou seja, r < b; b < r < a; r> a. c) Esboce o campo em funo de r;

    3-(2,5) A figura ao lado mostras as placas de um capacitor de placas

    paralelas de raio R separados por uma distncia d. Elas est

    conectadas, conforme mostrado, a longos fios nos quais existe uma

    corrente conduo constante i. Tambm esto mostrados trs

    crculos hipotticos de raio r, dois deles fora do capacitor e um

    entre as placas. A)(1,5) Calcule o campo magntico na

    circunferncia de cada um destes crculos; B) (0,5) Calcule o campo

    eltrico (vetor) entre as placas do capacitor;

    corrente de deslocamento entre as placas do capacitor;

    (2,5) Uma espira circular de fio de dimetro d posicionada de tal forma que a normal faz um ngulo

    com a direo de um campo magntico uniforme Bo. A espira est oscilando de tal forma que a sua

    normal gira em um cone em volta da direo do campo uma taxa constante

    ) permanece imutvel durante o processo. Que f.e.m. surge na espira?

    (2,5) Escreva as equaes de Maxwell e as suas equaes constitutivas, explique

    detalhadamente o significado fsico de cada uma das equaes; utilize desenhos para

    Por qu as equaes de Maxwell no so totalmente simtricas?

    75

    (2012/1)

    questes para resolver. Boa sorte!

    (2,5) A figura ao lado mostra uma seo reta de uma fita longa e

    fina de largura w que est conduzindo uma corrente

    uniformemente distribuda i para dentro do papel. A) (0,5) Calcule a

    B)(2,0) Em termos dos

    em um ponto P no plano da fita

    (sugesto: imagine a

    lmina sendo construda de muitos fios, longos e paralelos (mais

    mais trabalhoso).

    (2,5) A figura ao lado mostra uma seo reta de um condutor

    que conduz uma corrente i

    para dentro do papel. Em termos dos

    a) Calcule a densidade de corrente

    tico (vetor) em todo o espao,

    c) Esboce o campo em funo de r;

    (2,5) A figura ao lado mostras as placas de um capacitor de placas

    paralelas de raio R separados por uma distncia d. Elas esto

    conectadas, conforme mostrado, a longos fios nos quais existe uma

    . Tambm esto mostrados trs

    crculos hipotticos de raio r, dois deles fora do capacitor e um

    Calcule o campo magntico na

    ; B) (0,5) Calcule o campo

    entre as placas do capacitor; C) (0,5) calcule a

    corrente de deslocamento entre as placas do capacitor;

    (2,5) Uma espira circular de fio de dimetro d posicionada de tal forma que a normal faz um ngulo

    . A espira est oscilando de tal forma que a sua

    ; o ngulo entre a

    ce imutvel durante o processo. Que f.e.m. surge na espira?

    (2,5) Escreva as equaes de Maxwell e as suas equaes constitutivas, explique

    sico de cada uma das equaes; utilize desenhos para

    Por qu as equaes de Maxwell no so totalmente simtricas?

  • 76 FIW 591 Tpicos de Eletromagnetismo I Prof. Antnio Carlos

    Gabarito

    1- A) =dI/dL= -(i/w)j B)

    =-(i/w)k Primeiro modo (mais trabalhoso):

    ( )( ) ( )

    ( ) ( )

    [ ] jd

    wd

    w

    i

    x

    dxj

    w

    i

    x

    dxj

    w

    iB

    yxx

    ydy

    yx

    dyyx

    xdxjw

    ijdx

    yx

    wix

    dyB

    jyxw

    ixr

    yxr

    yx

    jyix

    r

    rr

    jyixr

    kw

    i

    dSr

    rB

    o

    wd

    d

    wd

    d

    wd

    d

    wd

    d

    S

    ln2

    2

    )1(14

    1

    14

    4

    '

    4

    2/12222/322

    2/3222/322

    22

    222

    22

    2

    +===

    +=

    +

    +=

    +=

    +=

    +=

    +

    ==

    =

    =

    =

    ++

    +

    + +

    +

    +

    r

    r

    r

    r

    r

    r

    rr

    Segundo modo (bem mais fcil): Considerando a superfcie constituda por fios (B=oi/2r),

    ento dB=odi/2rj (pela regra da mo direita) com r=x e di=(i/w)dx

    jw

    wd

    w

    ix

    w

    ij

    x

    dx

    w

    iB o

    wd

    d

    o

    wd

    d

    o ln2

    ln2

    2

    +===+

    +

    r

    2- A) j=i/rea; j=-i/(a2 b2)k B)

  • 77 FIW 591 Tpicos de Eletromagnetismo I Prof. Antnio Carlos

    ( )

    ( )

    2

    2

    .

    )(2

    2

    2..

    0

    0

    .

    22

    22

    2

    22

    22

    r

    iB

    irB

    ildB

    ar

    r

    br

    ba

    iB

    rba

    irB

    rdrba

    iSdjldB

    arb

    B

    ibr

    ildB

    o

    o

    o

    o

    r

    b

    o

    r

    b

    oo

    o

    =

    =

    =

    >

    =

    =

    ==

  • 78 FIW 591 Tpicos de Eletromagnetismo I Prof. Antnio Carlos

    2

    2

    )(

    )1(2

    .

    ..

    2

    22

    2

    22

    r

    iB

    iRR

    idS

    R

    irB

    R

    i

    dt

    dE

    totalR

    it

    R

    QE

    placaSES

    dSSdE

    mas

    SdEdt

    dldB

    o

    oo

    So

    oo

    o

    ooo

    o

    S

    o

    C S

    oo

    =

    ===

    =

    ===

    =

    =

    =

    r

    rr

    rrrr

    b) Como calculado no item anterior:

    )(

    )1(2

    .

    22total

    R

    it

    R

    QE

    placaSES

    dSSdE

    ooo

    o

    S

    o

    ===

    =

    = rr

    c)

    22 R

    i

    R

    it

    tt

    E

    t

    Dj

    o

    ood =

    =

    =

    =

    4-como o ngulo no muda, a f.e.m nula

    5- Vide livro;

  • FIW 591 Tpicos de Eletromagnetismo I

    Terceira Prova de

    Caro aluno, voc deve escolher

    1- (2,5) A componente eltrica de um feixe de luz polarizada

    V/m)sen(1,00106 z+t)

    onda, incluindo o valor nmerico de

    poyinting; (d) a intensidade da luz; (e) a densidade de energia.

    2- (2,5) (modelo de Lorentz) A equao de um oscilador forado com amortecimento : 2xmxmxm oeee ++ &&&

    termo; B) Seja E=Eoei

    expresso acima e obtenha

    a variao de com , para 3- (2,5) Uma onda eletromagntica cuja parte eltrica possui amplitude E

    um meio de impedncia Z

    de um meio 2 com impedncia Z

    Z2>>Z1.

    4- (2,5) Descreva completamente

    onde B representa o campo magntico. Dica: lembre

    campo eltrico.

    5- (2,5) Encontre as velocidades de fase e de grupo para uma onda de 100 MH

    dispersivo sem perdas no qual a velocidade de fase v

    Tpicos de Eletromagnetismo I Prof. Antnio Carlos

    Universidade Federal do Rio de Janeiro Instituto de Fsica

    Curso de Licenciatura em Fsica Terceira Prova de Tpicos de Eletromagnetismo I (2012/1)

    Prof. Antnio Carlos (toni@if.ufrj.br)

    Caro aluno, voc deve escolher quatro questes para resolver. Boa sorte!

    (2,5) A componente eltrica de um feixe de luz polarizada no vcuo dada por

    t)j . a) Escreva uma expresso para a componente magntica

    onda, incluindo o valor nmerico de . Determine (b) o comprimento de onda; (c) o intensidade da luz; (e) a densidade de energia.

    (2,5) (modelo de Lorentz) A equao de um oscilador forado com amortecimento :

    )(teEx = , onde e a carga do eltron. A) Explique o significado de cada t e x=xoe

    i(t-), em que Eo e xo so grandezas reais. Substitu

    expresso acima e obtenha xo; C) Deduza uma expresso para a diferena de fase,

    , para o. Uma onda eletromagntica cuja parte eltrica possui amplitude Eo e que se propaga em

    um meio de impedncia Z1 incide normalmente (i=0o) sobre a superfcie que separa o meio 1

    de um meio 2 com impedncia Z2. Calcule as amplitudes das ondas transmitida e refletida para

    Descreva completamente o estado de polarizao da onda: B=Bo[cos(kz

    onde B representa o campo magntico. Dica: lembre-se que a polarizao definida atravs do

    Encontre as velocidades de fase e de grupo para uma onda de 100 MH

    dispersivo sem perdas no qual a velocidade de fase vf = 21072/3 (m/s).

    79

    (2012/1)

    questes para resolver. Boa sorte!

    dada por E =(5,00

    . a) Escreva uma expresso para a componente magntica (vetor)

    primento de onda; (c) o vetor de

    (2,5) (modelo de Lorentz) A equao de um oscilador forado com amortecimento :

    a carga do eltron. A) Explique o significado de cada

    so grandezas reais. Substitua-as na

    ; C) Deduza uma expresso para a diferena de fase, , e discuta

    e que se propaga em

    ) sobre a superfcie que separa o meio 1

    Calcule as amplitudes das ondas transmitida e refletida para

    [cos(kz-t)i+sen(kz-t)j], se que a polarizao definida atravs do

    Encontre as velocidades de fase e de grupo para uma onda de 100 MHz em um meio

  • FIW 591 Tpicos de Eletromagnetismo I

    Caro aluno, voc deve escolher

    1 (2,5) Uma lmina plana infinita no

    no plano y=-0,6 m. Uma segunda lmina plana infi

    est no plano x=1 m. Finalmente, uma casca esfrica no

    na interseo dos dois planos carregados, tem uma

    magnitude, a direo e o sentido do campo eltrico no eixo x

    3

    cilndrico de raio R contendo um furo longo cilndrico de raio a. Os eixos dos dois

    cilindros so paralelos e esto separados

    est uniformemente distribuda ao longo da rea sombreada na figura. (a) use

    conceitos de superposio para calcular o campo magntico no centro do furo.

    (b) Discuta os dois casos especiais a=0 e b =0. (c) possvel usar

    para mostrar que o campo magntico no furo uniforme? (sugesto: considere

    o furo cilndrico preenchido com duas correntes iguais movendo

    opostos, cancelando

    tenha a mes

    campos devidos aos dois cilindros completos de corrente, de raios R e a, cada

    cilindro com a mesma densidade de corrente.)

    4-(2,5) Considere duas cascas esfricas metlicas,

    esfrica tem uma carga Q, mas a interna est aterrada. Isso significa que o potencial na casca interna

    o mesmo que o potencial nos pontos afastados das cascas. Determine a carga na casca interna.

    5-(2,5) Deduza a equao de onda para o campo magntico

    Tpicos de Eletromagnetismo I Prof. Antnio Carlos

    Universidade Federal do Rio de Janeiro Instituto de Fsica

    Curso de Licenciatura em Fsica Prova de Final de Tpicos de Eletromagnetismo I (2012/2)

    Prof. Antnio Carlos (toni@if.ufrj.br)

    Caro aluno, voc deve escolher quatro questes para resolver. Boa sorte!

    Uma lmina plana infinita no-condutora tem uma densidade superficial de carga

    . Uma segunda lmina plana infinita no condutora tem densidade superficial

    . Finalmente, uma casca esfrica no-condutora com raio R=1m

    na interseo dos dois planos carregados, tem uma densidade superficial de carga magnitude, a direo e o sentido do campo eltrico no eixo x em x=0,4 m e x=2,5 m.

    2-(2,5) Um fio de massa M e comprimento L est suspenso

    por um par de contatos flexveis na presena de um campo

    magntico uniforme de mdulo B apontando para dentro

    do papel. Determine (a) o valor absoluto e (b) o sentido da

    corrente necessria para remover a tenso dos contatos.

    3-(2,5) A figura ao lado mostra a seo transversal de um condutor longo

    cilndrico de raio R contendo um furo longo cilndrico de raio a. Os eixos dos dois

    cilindros so paralelos e esto separados por um distncia b. Uma corrente i

    est uniformemente distribuda ao longo da rea sombreada na figura. (a) use

    conceitos de superposio para calcular o campo magntico no centro do furo.

    (b) Discuta os dois casos especiais a=0 e b =0. (c) possvel usar

    para mostrar que o campo magntico no furo uniforme? (sugesto: considere

    o furo cilndrico preenchido com duas correntes iguais movendo

    opostos, cancelando-se uma outra. Suponha que cada uma dessas correntes

    tenha a mesma densidade de corrente do condutor real. Assim, superponha os

    campos devidos aos dois cilindros completos de corrente, de raios R e a, cada

    cilindro com a mesma densidade de corrente.)

    as cascas esfricas metlicas, finas e concntricas, de raio a e b, onde b>a. A casca

    esfrica tem uma carga Q, mas a interna est aterrada. Isso significa que o potencial na casca interna

    o mesmo que o potencial nos pontos afastados das cascas. Determine a carga na casca interna.

    ) Deduza a equao de onda para o campo magntico

    80

    (2012/2)

    questes para resolver. Boa sorte!

    condutora tem uma densidade superficial de carga 1=+3C/m2 e est

    tem densidade superficial 2 = -2C/m2 e

    =1m e com centro no plano z=0

    3 = -3C/m2 . Determine a

    (2,5) Um fio de massa M e comprimento L est suspenso

    por um par de contatos flexveis na presena de um campo

    magntico uniforme de mdulo B apontando para dentro

    do papel. Determine (a) o valor absoluto e (b) o sentido da

    rente necessria para remover a tenso dos contatos.

    (2,5) A figura ao lado mostra a seo transversal de um condutor longo

    cilndrico de raio R contendo um furo longo cilndrico de raio a. Os eixos dos dois

    por um distncia b. Uma corrente i

    est uniformemente distribuda ao longo da rea sombreada na figura. (a) use

    conceitos de superposio para calcular o campo magntico no centro do furo.

    (b) Discuta os dois casos especiais a=0 e b =0. (c) possvel usar a lei de Ampre

    para mostrar que o campo magntico no furo uniforme? (sugesto: considere

    o furo cilndrico preenchido com duas correntes iguais movendo-se em sentidos

    se uma outra. Suponha que cada uma dessas correntes

    ma densidade de corrente do condutor real. Assim, superponha os

    campos devidos aos dois cilindros completos de corrente, de raios R e a, cada

    e concntricas, de raio a e b, onde b>a. A casca

    esfrica tem uma carga Q, mas a interna est aterrada. Isso significa que o potencial na casca interna

    o mesmo que o potencial nos pontos afastados das cascas. Determine a carga na casca interna.

  • FIW 591 Tpicos de Eletromagnetismo I

    Segunda Chamada de

    Caro aluno, voc deve escolher

    1- (2,5) A densidade volumar de uma distribuio de cargas , em coordenadas esfricas

    r

  • 82 FIW 591 Tpicos de Eletromagnetismo I Prof. Antnio Carlos

    Gabarito: 1-(b) b=(9/2)1/3

    a; (c) D (0r2a) =0; D (ar

  • FIW 591 Tpicos de Eletromagnetismo I

    Ateno! Duas respostas erradas elimina uma certa!

    1- (0,5) Considere um plano (infinito) com uma densidade de carga constante (estacionria e uniforme). Na figura, esto

    representadas quatro superfcies fechadas S

    plano carregado. Dentre elas, qual(is) exatamente aque

    expresso geral para o campo eltrico num ponto genrico, fora do plano, a partir da lei de Gauss?

    a) ( ) S1;

    b) ( ) S2;

    c) ( ) S3;

    d) ( ) S4;

    e) ( ) S1 e S2;

    f) ( ) S2 e S3;

    g) ( ) S2 e S4 ;

    h) ( ) S3 e S4 ;

    2- (0,5) Um campo eletrosttico possui superfcies equipotenciais planas, paralelas, como mostrado na figura, numa vista

    de perfil, pelas trs retas tracejadas, igualmente espaadas de uma distncia L, com V

    mostradas quatro trajetrias

    equipotenciais. Considere as afirmaes: (I) o vetor campo eltrico mdio E

    (V2/L)j ; (II) o trabalho realizado pela fora

    as trajetrias mostradas; (III) o trabalho realizado realizado pela fora eletrosttica ao deslocar

    carregada na trajetria de g para h negativo. Qual(is) de tais af

    A) ( ) nenhuma;

    B) ( ) I;

    C) ( ) II;

    D) ( ) III;

    E) ( ) I e II;

    F) ( ) I e III;

    G) ( ) II e III;

    H) ( ) todas;

    3- (0,5) Quatro cargas pontuais q,

    respectivamente. Em termos da delta de Dirac, a densidade volumar de cargas desta distribuio dada por:

    a) ( ) =q[(x+1)(y)(z)-

    b) ( ) =q[(x-1)(y)(z)+

    c) ( ) =q[(x+1)(y)(z)+

    d) ( ) =q[(x-1)(y)(z)-

    e) ( ) =q[(x+1)(y)(z)-

    4- (0,5) Considere duas esferas condutoras isoladas cada uma tendo uma carga Q. As esferas tem raios a e b, onde b>a.

    Qual esfera tem maior potencial (tomando o infinito como referncia) e qual esfera tem um campo eltrico

    intenso na superfcie?

    A) ( ) VA > VB; E

    B) ( ) VA > VB; E

    C) ( ) VA > VB; E

    D) ( ) VA = VB; E

    E) ( ) VA = VB; E

    Tpicos de Eletromagnetismo I Prof. Antnio Carlos

    Universidade Federal do Rio de Janeiro Instituto de Fsica

    Curso de Licenciatura em Fsica Primeira Prova de Tpicos de Eletromagnetismo I (2012/2)

    Prof. Antnio Carlos (toni@if.ufrj.br)

    Ateno! Duas respostas erradas elimina uma certa!

    Considere um plano (infinito) com uma densidade de carga constante (estacionria e uniforme). Na figura, esto

    representadas quatro superfcies fechadas Si (i = 1, 2, 3, 4), com disposies particulares simtricas com respeito ao

    e elas, qual(is) exatamente aquela(s) que (so) apropriada(s) para a determinao de uma

    ampo eltrico num ponto genrico, fora do plano, a partir da lei de Gauss?

    Um campo eletrosttico possui superfcies equipotenciais planas, paralelas, como mostrado na figura, numa vista

    de perfil, pelas trs retas tracejadas, igualmente espaadas de uma distncia L, com V1 =2V

    mostradas quatro trajetrias orientadas, por curvas contnuas, que partem da equipotencial V1

    equipotenciais. Considere as afirmaes: (I) o vetor campo eltrico mdio E12 entre as equipotenciais V

    ; (II) o trabalho realizado pela fora eletrosttica ao deslocar-se uma partcula carregada o mesmo em todas

    as trajetrias mostradas; (III) o trabalho realizado realizado pela fora eletrosttica ao deslocar

    carregada na trajetria de g para h negativo. Qual(is) de tais afirmativas est(o) correta(s)?

    ( ) nenhuma;

    (0,5) Quatro cargas pontuais q, -q, 2q e -2q esto localizadas nas posies (-1,0,0), (0,-1,0), (0,0,

    respectivamente. Em termos da delta de Dirac, a densidade volumar de cargas desta distribuio dada por:

    - (x)(y+1)(z)-2(x)(y)(z+1)-2(x+1)(y+1)(z+1)]

    (z)+ (x)(y-1)(z)+2(x)(y)(z-1)+2(x-1)(y-1)(z-1)]

    (z)+ (x)(y+1)(z)+2(x)(y)(z+1)+2(x+1)(y+1)(z+1)]

    - (x)(y-1)(z)+2(x)(y)(z-1)-2(x-1)(y-1)(z-1)]

    - (x)(y+1)(z)+2(x)(y)(z+1)-2(x+1)(y+1)(z+1)]

    (0,5) Considere duas esferas condutoras isoladas cada uma tendo uma carga Q. As esferas tem raios a e b, onde b>a.

    Qual esfera tem maior potencial (tomando o infinito como referncia) e qual esfera tem um campo eltrico

    ; EA > EB;

    ; EA = EB;

    ; EA < EB;

    ; EA = EB;

    ; EA > EB;

    F) ( ) VA =VB; EA < E

    G) ( ) VA < VB; EA = E

    H) ( ) VA < VB; EA < E

    I) ( ) VA < VB; EA > E

    83

    (2012/2)

    Considere um plano (infinito) com uma densidade de carga constante (estacionria e uniforme). Na figura, esto

    (i = 1, 2, 3, 4), com disposies particulares simtricas com respeito ao

    la(s) que (so) apropriada(s) para a determinao de uma

    ampo eltrico num ponto genrico, fora do plano, a partir da lei de Gauss?

    Um campo eletrosttico possui superfcies equipotenciais planas, paralelas, como mostrado na figura, numa vista

    =2V2=3V3. Alm disso, so

    1 e passam pelas demais

    entre as equipotenciais V1 e V2 dado por

    se uma partcula carregada o mesmo em todas

    as trajetrias mostradas; (III) o trabalho realizado realizado pela fora eletrosttica ao deslocar-se uma partcula

    1,0), (0,0,-1) e (-1,-1,-1),

    respectivamente. Em termos da delta de Dirac, a densidade volumar de cargas desta distribuio dada por:

    (0,5) Considere duas esferas condutoras isoladas cada uma tendo uma carga Q. As esferas tem raios a e b, onde b>a.

    Qual esfera tem maior potencial (tomando o infinito como referncia) e qual esfera tem um campo eltrico mais

    < EB;

    = EB;

    < EB;

    > EB;

  • 84 FIW 591 Tpicos de Eletromagnetismo I Prof. Antnio Carlos

    5- (0,5)Considere uma distribuio de cargas da figura. So oito segmentos retilneos de mesmo comprimento,

    uniformemente carregados com densidade linear de mesmo mdulo > 0. O ngulo entre segmentos vizinhos o mesmo (45O). Qual das alternativas melhor representa o campo eltrico resultante em O?

    6- (0,5) O quadrado e o crculo na figura abaixo esto imersos em um mesmo campo eltrico uniforme. O dimetro do crculo igual ao lado do quadrado. A razo entre o fluxo do campo eltrico atravs do quadrado e do crculo

    (quadrado/crculo): A) ( ) 1/;

    B) ( ) 2/; C) ( ) 1;

    D) ( ) 4/;

    E) ( ) ;

    F) ( ) /2;

    G) ( ) /4;

    7- (0,5) Uma partcula puntiforme carregada colocada no centro de uma superfcie gaussiana esfrica S. Afirma-se que o

    fluxo do campo eltrico em S ser alterado se: i) a superfcie S for substituda pela superfcie de um cubo de volume

    diferente diferente da esfera mas com o mesmo centro. ii) Se a partcula for arrastada do centro da superfcie original

    mas ainda continuando dentro da superfcie S. iii) A carga for removida para fora da superfcie S. iv) Uma segunda carga

    for colocada prxima e fora da superfcie S. v) Uma segunda carga for colocada dentro da superfcie S. Qual(is) das

    afirmaes acima esto corretas:

    A) ( ) todas elas;

    B) ( ) nenhuma delas;

    C) ( ) somente i) e ii);

    D) ( ) somente iii) e iv);

    E) ( ) somente i) e iii);

    F) ( ) somente ii) e iii);

    G) ( ) somente iii) e v);

    H) ( ) somente iv) e v);

    8- (0,5)Um cilindro feito de material isolante colocado em um campo eltrico externo, conforme mostrado na figura. O

    fluxo do campo eltrico atravs da sua face direita, da sua face esquerda e sobre toda a sua superfcie ,

    respectivamente:

    A) ( ) nulo, nulo, nulo;

    B) ( ) nulo, nulo, positivo;

    C) ( ) nulo, positivo, nulo;

    D) ( ) nulo, positivo, positivo;

    E) ( ) nulo, positivo, negativo;

    F) ( ) nulo, negativo, negativo;

    G) ( ) positivo, negativo, positivo;

    H) ( ) negativo, negativo, negativo;

    I) ( ) positivo, positivo, positivo;

    J) ( ) negativo, negativo, nulo;

    K) ( ) negativo, positivo, positivo;

    L) ( ) negativo, positivo, nulo;

    M) ( ) positivo, nulo, nulo;

    N) ( ) positivo, positivo, nulo;

    O) ( ) positivo, negativo, nulo;

  • 85 FIW 591 Tpicos de Eletromagnetismo I Prof. Antnio Carlos

    9- (2,0) a) (1,0) O potencial eltrico dado pela expresso 222)( zyxrV ++= calcule o vetor campo eltrico.

    b) (1,0) Dado o campo eltrico E=xi+yj+zk no vcuo, calcule a densidade volumar de carga que d origem a este campo em funo de o.

    10- (4,0) A Fig. 1 mostra uma placa fina e muito grande

    que possui uma densidade superficial e carga

    constante . A placa recoberta lateralmente por duas lminas de espessura D e densidade volumar

    de carga constante . (a) (2,0) Utilizando a lei de Gauss, obtenha o vetor campo eltrico E(z)

    produzido pela distribuio de cargas a uma

    distncia |z| da placa central para os casos em que:

    (i) D z D e (ii) z -D. Faa uma grfico esboando o comportamento da componente Ez

    versus z, no intervalo z(-2D,2D), para o caso em

    que e so positivos (1,7 ponto). (b) (2,0) Usando a expresso para o vetor E(z) e tomando como

    referncia o potencial eltrico VD V(z=D) na superfcie externa da lmina lateral ( direita),

    obtenha a expresso para o potencial eltrico V(z)

    produzido pela distribuio de cargas a uma

    distncia |z| considerando os mesmos casos acima,

    ou seja, em que: (i) D z D e (ii) z -D. Faa um grfico esboando o comportamento de V versus z,

    no intervalo z(-2D,2D), para o caso em que e so positivos.

  • FIW 591 Tpicos de Eletromagnetismo I

    Nome:___________________________________________________________________

    1- (2,5) Duas cascas esfricas de metal concntricas de raios

    condutividade eltrica A) Determine o campo eltrico com funo do tempo nas regies r < a , a < r < b e r>b.

    B) Qual a corrente eltrica total

    C) Calcule a potncia dissipada por unidade de volume no material devido passagem de corrente como

    funo do tempo. Mostre que a energia total dissipada igual energia e

    2- (2,5) Uma longa casca cilndrica tem raio interno a, raio externo b e conduz corrente I paralela ao eixo central.

    Considere que, no interior do material da casca, a densidade de corrente est uniformemente distribuda

    Determine uma expresso para a

    3- (2,5) Um fio infinitamente longo est ao longo do eixo z e conduz uma corrente de I na direo +z. Um segundo

    fio infinitamente longo paralelo ao eixo z intercepta o eixo x em x=x

    se o campo magntico zero em (x

    4- (2,5) Um longo solenoide tem n voltas por unidade de comprimento e conduz uma corrente que varia com o

    tempo de acordo com I=

    induzido em pontos prximos ao plano equidistante das extremidades do solenoide como funo do tempo t e da

    distncia perpendicular r do eixo do solenoide para (a) r a) esto separadas por um material de

    . No instante t=0 a casca esfrica interna de raio a possui uma carga Q.Determine o campo eltrico com funo do tempo nas regies r < a , a < r < b e r>b.

    Qual a corrente eltrica total que flui no material entre as esferas em funo do tempo?

    Calcule a potncia dissipada por unidade de volume no material devido passagem de corrente como

    funo do tempo. Mostre que a energia total dissipada igual energia eletrosttica no material em

    (2,5) Uma longa casca cilndrica tem raio interno a, raio externo b e conduz corrente I paralela ao eixo central.

    Considere que, no interior do material da casca, a densidade de corrente est uniformemente distribuda

    Determine uma expresso para a magnitude do campo magntico para (a) 0

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