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SJBV

•  Teorema de Stokes e L.A. na Forma Pontual

•  Rotacional do campo magnético em um ponto

Eletromagnetismo I - Eletrostática

EletromagnetismoI Prof.DanielOrquiza1

Lei de Ampère na Forma Diferencial (Capítulo 7 – Páginas 195 a 203)

SJBV

Eletromagnetismo I - Magnetostática

•  O campo magnético não é conservativo pois o rotacional de H é diferente de zero.

•  A forma diferencial da Lei de Ampère relaciona a densidade de corrente J com o campo

magnético H em um ponto (forma pontual).

•  Vimos que na eletrostática, se o divergente de D for não nulo em um ponto, há densidade

de carga neste ponto.

•  Assim como I, uma distribuição espacial de densidade de corrente J gera (é fonte de) campo

magnético.

Lei de Ampère (Forma Pontual)

•  Na magnetostática, se o rotacional de H for não nulo em um ponto, há densidade de

corrente J neste ponto.

SJBV


•  A Lei de Ampère na forma integral para distribuições contínuas de corrente é dada por

S

C

!H ⋅d!l =

!J ⋅d!S

S∫∫

C"∫

•  Teorema de Stokes: a circulação de um campo vetorial ao longo de um caminho fechado C é igual a integral de superfície do rotacional do campo ao longo de ‘S’ envolvida por ‘C’. C

S

!H

Lei de Ampère

!H ⋅d!l = ∇×

!H( ) ⋅d

!S

S∫∫

C"∫

SJBV


Lei de Ampère

•  Integrar ao longo de uma superfície envolvida por um caminho fechado corresponde a somar a contribuição (para a circulação) de cada elem. de superfície infinitesimal ΔS que compõe S.

•  O componente do rotacional de H na direção an é definido como a circulação de H por unidade de área para uma área infinitesimal ΔS tendendo a zero.

∇×!H( ) ⋅ an = lim

Δs→0

!H ⋅d!l

C"∫ΔS

!H ⋅d!l = ∇×

!H( ) ⋅d

!S

S∫∫

C"∫

∇×!H

Ao somar a contribuição de cada elemento ΔS, os lados adjacentes dentro da superfície se cancelam e o que resta é: !

H ⋅d!l

C"∫

C

VetornormalaΔS

SJBV


•  Igualando os lados direitos da L.A. na forma integral e do teorema de Stokes temos:

S

C

•  O teorema de Stokes é válida para qualquer caminho C (e qualquer superfície envolvida por C).

C

S

!H

Lei de Ampère Forma Pontual

∇×!H( ) ⋅d

!S

S∫∫ =

!J ⋅d!S

S∫∫

∇×!H =!J

•  Por isso, o integrando em ambos os lados da eq. acima tem que ser igual.

•  Lei de Ampère na forma diferencial:

SJBV


•  Uma densidade de campo em um ponto do espaço gera circulação (rot ≠ 0) do campo magnético.

S

C

•  Assim como na maioria das equações que vimos até o momento, as fontes são colocadas do lado direito.

C

S

!H


∇×!H =!J

•  Os campos gerados pelas fontes, são colocados do lado esquerdo da equação.

•  Diferente da eletrostática, onde:

∇×!E = 0,

o campo magnético não é conservativo.

SJBV

•  O campo vetorial ilustrado abaixo possui rotacional diferente de zero?

∇×!H =

∂Hz

∂y−∂Hy

∂z⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ ax +

∂Hx

∂z−∂Hz

∂x⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ ay +

∂Hy

∂x−∂Hx

∂y⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ az =

!J


•  Qual componente do rotacional existe?

SJBV

•  Imagine que o campo vetorial representa a velocidade de um fluído!

∇×!H =

∂Hz

∂y−∂Hy

∂z⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ ax +

∂Hx

∂z−∂Hz

∂x⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ ay +

∂Hy

∂x−∂Hx

∂y⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ az =

!J


•  A bola apresentará movimento de rotação? Ao redor de que eixo?

SJBV

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∇×!H =

∂Hz

∂y−∂Hy

∂z⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ ax +

∂Hx

∂z−∂Hz

∂x⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ ay +

∂Hy

∂x−∂Hx

∂y⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ az =

!J

SJBV

6/27/16 10


•  Qual campo vetorial ilustrado abaixo possui rotacional? •  Qual campo vetorial ilustrado abaixo possui divergente?

SJBV



•  Em Coord. Cartesianas a L.A. na forma pontual fica:.

•  Lembrando que o rotacional pode ser calculado pelo determinante de:

∇×!H =

∂Hz

∂y−∂Hy

∂z⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ ax +

∂Hx

∂z−∂Hz

∂x⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ ay +

∂Hy

∂x−∂Hx

∂y⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ az =

!J

∇×!H =

ax ay az∂∂x

∂∂y

∂∂z

Hx Hy Hz


SJBV



•  A L.A. na forma pontual pode ser expressa em outros Sistemas de Coordenadas usando o

operador Rotacional no sistema em questão.

•  Em Coordenadas Cilíndricas, o operador Rotacional fica:

•  Em Coordenadas Esféricas, o operador Rotacional fica:

∇×!H =

1ρ∂Hz

∂φ−∂Hφ

∂z⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ aρ +

∂Hρ

∂z−∂Hz

∂ρ

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ aφ +

1ρ

∂ ρHφ( )∂ρ

−1ρ

∂Hρ

∂φ

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟ az

∇×!H =

1rsenθ

∂ Hφsenθ( )∂θ

−∂Hθ

∂φ

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟ ar +

1r

1senθ

∂Hr

∂φ−∂ rHφ( )∂r

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟ aθ +

1r∂ rHθ( )∂r

−∂Hr

∂θ

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ aφ


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(a)  Calcule a integral de linha fechada de H ao longo de um caminho retangular definido pelos pontos P1(2; 3; 4) a P2(4; 3; 4) a P3(4; 3; 1) a P4(2; 3; 1) a P1, dado: H = 3zax-2x3az [A/m].

(b)  Determine o quociente da integral de linha fechada pela área envolvida pelo caminho como uma aproximação para (∇×H)y.

(c) Determine (∇×H)y no centro da área.


Exemplo

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Determine a densidade de corrente:

(a) Em (2; 1; 3)m se H = 2xy2az [A/m].

(b) Em (3m; 90o; 0) se H=r2sin(φ )aθ [A/m].

(c) Em (1,5m; 90o; 0,5) se H= (2/ρ)cos(0,2φ) aρ [A/m].

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Duas superfícies de corrente em z = 0 e z = 4m são percorridas por densidades de corrente superficial K = -10 ax [A/m] e K = 10 ax [A/m] , respectivamente, determine H em: (a)  (1, 1, 1). (b)  (0, -3, 10).


Lei de Ampère

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K

Superfície de corrente K = Kax [A/m] em z=0:

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K


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x

z

y K H Resultante

①  ②  !H1

!H2


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x

z

y K a b

d c w

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Lâminas de corrente com extensão finita


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