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EletromagnetismoIProf.DanielOrquizadeCarvalhoEl

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Eletromagnetismo I - Eletrostática

•  C.C. para Campo Elétrico tangencial.

•  C.C. para Campo Elétrico tangencial.

EletromagnetismoI Prof.DanielOrquiza1

Condições de Contorno em Interfaces Dielétricas (Capítulo 5 – Páginas 119 a 123)


•  Vimos que a resposta de um meio dielétrico a um campo elétrico pode ser levada

em conta através do vetor polarização P.


Interface entre meios dielétricos

•  P está associado com os momentos de dipolo gerados pelo campo E dentro do

dielétrico.

•  A densidade de fluxo elétrico D dentro do material é dada por: !D = ε

!E (onde ε = εrε0 )

•  A resposta do material ao campo aplicado é levada em conta através da constante

dielétrica ε do material.

•  Agora trataremos das Condições de Contorno que permitem relacionar os campos na

interface entre dois meios dielétricos com ε diferentes.


•  O conhecimento do comportamento dos campos eletrostáticos (e eletromagnéticos)

em:


Meios materiais (só mencionar)

permite compreender o funcionamento e projetar grande parte dos dispositivos

de Engenharia Elétrica e de Telecomunicações, como por exemplo:

①  Materiais homogêneos, isotrópicos e lineares (condutores e dielétricos) e

②  Na interface entre meios diferentes (condutores e dielétricos),

Antenas FibrasÓpticasGuiasdeOnda

Linhasdetransmissão

§  Componentes normais ( ).

§  Componentes tangenciais ( ).

Para isso é necessário decompor os campos em:

!E1t!E1!E1n


Desejamos encontrar relações entre os campos em cada lado da interface entre dois meios com permissividades ε1 e ε2.

30/05/17 4

!E2

!E2n

!E2t

e

e

y

x

!E2n!

E1n

!E2t

!E1t

ε1

ε2

C. C. na Interface entre meios Dielétricos

!E1 =

!E1t +!E1n

!E2 =

!E2t +!E2n


30/05/17 5x


Se escolhermos o caminho tal que h→ 0:

!E ⋅d!l

C!∫ = 0

!E ⋅d!l

C1∫ +

!E ⋅d!l

C2∫ +

!E ⋅d!l

C3∫ +

!E ⋅d!l

C4∫ = 0

!E ⋅d!l

C2∫ =

!E ⋅d!l

C4∫ = 0

§  Os campos eletrostáticos são conservativos e satisfazem a equação:

§  Usando a integral de linha ao longo do caminho retangular ‘C’ ilustrado encontramos as C.C. para E tangencial na interface.

§ 

c d y

h

w

h

a bC1

C2

C3

C4

ε1

ε2

ε1

ε2

Caminho fechado (C)

c d


30/05/17 6

y

x

Caminho fechado

h

w

h

C1

C2

C3

C4 §  Esta é a C.C. para E tangencial. Uma forma equivalente de escrever esta relação é:

!E1 −!E2( )× an12 S

= 0

§  Se w for suficiente pequeno, os componentes tangenciais de E ao longo de C1 e C3 são uniformes.

ε1

ε2

ε1

ε2


!E ⋅d!l

C3∫ +

!E ⋅d!l

C1∫ = 0

§  A integral de linha ao longo do caminho fechado é:

§  Isto é equivalente a escrever:

E1tw−E2

tw = 0 E1t = E2

t ân12

Se a altura do cilindro for tal que h→ 0:

30/05/177

h

Área S’

z y

x


ψLATERAL = 0

!D ⋅d!S

S"∫ =Q

ψBASE +ψLATERAL +ψTOPO =Q

§  A Lei de Gauss permite encontrar a relação entre os componentes normais de D dos dois lados da interface entre dois meios dielétricos.

§  Considerando uma Superfície Gaussiana cilíndrica onde o topo e a base são paralelos à superfície temos:

Carga dentro do cilindro

§  ε1

ε2


§  A integral de superfície corresponde ao fluxo nas superfícies lateral, do topo e da base.

30/05/178

h

Área S’

z y

x


§  Desta forma a Lei de Gauss pode ser escrita:

§  Se S’ for pequena, o componente normal de D ao longo de S’ é uniforme (D sai da integral).

ε1

ε2


!D ⋅d!S

STOPO"∫ +

!D ⋅d!S

SBASE"∫ =Q

§  A integral de superfície no topo fica:

§  As áreas do topo e da base do cilindro são iguais.

STOPO = SBASE = S '

d!S

STOPO"∫ = S ' an12

§  A C. C. para o componente normal de D na superfície do condutor é.:

30/05/17 9

z y

x


§  A carga total no interior do cilindro é nula.

ε1


§  A integral de superfície na base fica:

d!S

SBASE!∫ = S ' −an12( )

!D2 ⋅ S ' an12( )−

!D1 ⋅ S ' an12( ) = 0

ân12 h

Área S’

z

ε2

!D1 −

!D2( ) ⋅ an12 S

= 0

D1n = D2

n

Ou:

30/05/1710


§  Usando as C.C. obtidas, é possível determinar o ângulo (com relação a normal), de D (e E) com relação à interface.


!D2!

D2n

!D2

t

ε1

ε2

ε2 > ε1

θ1

θ2

!D1ε1

senθ1 =

!D2

ε2senθ2

!D1 cosθ1 =

!D2 cosθ2D1

n = D2n

E1t = E2

t

§  A componente normal de D é contínua através da interface.

§  A componente tangencial de E é contínua através da interface.

30/05/1711


§  Podemos reescrever esta última equação na forma:


ε2!D1 senθ1 = ε1

!D2 senθ2

ε2 tanθ1 = ε1 tanθ2

!D2!

D2n

!D2

t

ε1

ε2

θ1

θ2 §  Dividindo esta última equação pela

equação para D normal:

§  Esta equação relaciona os ângulos entre D (e E) e a interface, em ambos os lados, com a permissividade dos dois meios.

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