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EletromagnetismoIIProf.DanielOrquizadeCarvalhoEl
etromag
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oII
Prof.Dan
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rquiza
SJBV
Reflexão de ondas planas
EletromagnetismoI Prof.DanielOrquiza2
• Reflexão de ondas planas na interface entre dielétricos com incidência oblíqua:
• Polarização paralela
• Polarização perpendicular
• Angulo de Brewster
Ondas planas: Reflexão de ondas (Capítulo 12– Páginas 428 a 437)
SJBV
Incidência Oblíqua: Γ e T para polarização paralela
Reflexão de ondas planas
• Duas polarizações são possíveis no caso de incidência oblíqua:
• Polarização perpendicular: O campo E das ondas incidente, refletida e transmitida é
perpendicular ao plano de incidência
• Para polarização perpendicular, a orientação dos campos das ondas incidente,
refletidas e transmitidas são ilustradas na Figura (próximo Slide).
• Polarização paralela: O campo E das ondas incidente, refletida e transmitida é
paralelo ao plano de incidência
• Lembrando que o plano de incidência é o plano que contém o vetor k da onda
incidente (e das demais ondas) e a normal à interface.
• Se
a o
rien
taça
o de
Ei,
Er
e E
t na
fig
ura
segu
inte
est
iver
erra
da e
la se
rá c
orri
gida
pel
o si
nal d
e ga
mm
a e
T
SJBV
Reflexão de Ondas Eletromagnéticas com incidência Oblíqua
Reflexão de ondas planas
!kt
ε1, µ1 ε2, µ2y z
x
!kr
θi
θr θt
!ki
!Ei
!Hi
!Er
!Hr
!Et
!Ht
• Incidência oblíqua na interface entre dois meios (Polarização Perpendicular)
SJBV
Reflexão de Ondas Eletromagnéticas com incidência Oblíqua
Reflexão de ondas planas
!kt
ε1, µ1 ε2, µ2y z
x
!kr
θi
θr θt
!ki
!Ei!Hi
!Er
!Hr
!Et
!Ht
• Se
a o
rien
taça
o de
Ei,
Er
e E
t na
fig
ura
segu
inte
est
iver
erra
da e
la se
rá c
orri
gida
pel
o si
nal d
e ga
mm
a e
T
• Incidência oblíqua na interface entre dois meios (Polarização Paralela)
SJBV
Incidência Oblíqua: Γ e T para polarização perpendicular
Reflexão de ondas planas
• No meio 1, o vetor de onda da onda incidente é:
• Se
a o
rien
taça
o de
Ei,
Er
e E
t na
fig
ura
segu
inte
est
iver
erra
da e
la se
rá c
orri
gida
pel
o si
nal d
e ga
mm
a e
T
!kix!
kiz
y z
x
!ki!
Ei
!Hi
θi
!ki = β1senθiax +β1 cosθiaz
• Hio possui componentes em x e z:
!Ei
!Hi
θi
!Hix
!Hiz
!Hio =
!Hio −cosθiax + senθiaz( )
θi• Os campos da onda incidente no meio 1 são:
Componentes de k
Componentes de E
!Ei = Eioe
− jβ1(xsenθi+zcosθi )ay!Hi =
Eio
η1−cosθiax + senθiaz( )e− jβ1(xsenθi+zcosθi )
SJBV
Incidência Oblíqua: Γ e T para polarização perpendicular
Reflexão de ondas planas
• No meio 1, o vetor de onda da onda refletida é: !krx
!krz
y z
x
θr
!kr = β1senθrax −β1 cosθraz
• Hro possui componentes em x e z: !Hrx
!Hrz
!Hro = Hro cosθrax + senθraz( )
• Os campos da onda refletida no meio 1 são:
!kr
!Hr
!Er
θr
!Hr
!Er
θr
Componentes de k
Componentes de E
!Er = Eroe
− jβ1(xsenθr−zcosθr )ay!Hr =
Ero
η1cosθrax + senθraz( )e− jβ1(xsenθr−zcosθr )
SJBV
Incidência Oblíqua: Γ e T para polarização perpendicular
Reflexão de ondas planas
• No meio 2, o vetor de onda da onda transmitida é: !ktx
!ktz
y z
x
!kt!
Et
!Ht
θt!kt = β2senθt ax +β2 cosθt az
• Hto possui componentes em x e z: !Et
!Ht
θt
!Htx
!Hto = Hto −cosθt ax + senθt az( )
θt• Os campos da onda transmitida no meio 2 são:
Componentes de k
Componentes de E
!Htz
!Et = Etoe
− jβ2 (xsenθt+zcosθt )ay
!Ht =
Eto
η2−cosθt ax + senθt az( )e− jβ2 (xsenθt+zcosθt )
θt
SJBV
Incidência Oblíqua: Γ e T para polarização perpendicular
Reflexão de ondas planas
• Os campos E e H tangenciais a interface têm de ser iguais dos dois lados.
• Da C.C. para o campo elétrico (que só possui Ey):
• A condição de contorno para o campo magnético fica:
• Se
a o
rien
taça
o de
Ei,
Er
e E
t na
fig
ura
segu
inte
est
iver
erra
da e
la se
rá c
orri
gida
pel
o si
nal d
e ga
mm
a e
T
!E
i
t z = 0( )+!E
r
t z = 0( ) =!E
t
t z = 0( )
(1)
(2)
!H
i
t z = 0( )+!H
r
t z = 0( ) =!H
t
t z = 0( )
⇒ Eio +Ero( ) = Eto
⇒1η1
Eio −Ero( )cosθi =1η2Eto cosθt
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• Isolando Eto em (8) e (9), e igualando ambas as equações:
Reflexão de ondas planas
• Isolando Ero em (1) e (2) e igualando ambas as equações:
• O Coeficiente de Reflexão para polarização perpendicular ao plano de incidência é:
η1 cosθt Eio +Ero( ) =η2 cosθi Eio −Ero( )
Eio −η1 cosθtη2 cosθi
Eto = Eto −Eio
• O Coeficiente de Transmissão para polarização particular é:
Incidência Oblíqua: Γ e T para polarização perpendicular
Coeficientes de Fresnel (polarização
perpendicular)
Γ⊥ =Ero
Eio
=η2 cosθi −η1 cosθtη2 cosθi +η1 cosθt
τ⊥ =Eto
Eio
=2η2 cosθi
η2 cosθi +η1 cosθt
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• Os coeficientes de reflexão de Fresnel dão as relações entre os campos.
Reflexão de ondas planas
• A Refletância (R) é definida como a razão entre a potência refletida e a
incidente:
• Normalmente, quando se trabalha com ondas eletromagnéticas, seja em óptica ou
RF, a grandeza medida não é diretamente o campo, mas a potência da radiação.
Incidência Oblíqua: Γ e T para polarização perpendicular
• Os coeficientes são complexos. Pergunta: O que a fase de Γ e τ representam?
R = PrPi= Γ 2
• A Transmitância (T) é definida como a razão entre a potência transmitida e a
incidente:
T = PtPi=ℜe 1/η2
*{ }ℜe 1/η1
*{ } τ 2 = η1
η2
2η2 +η2
*
η1 +η1* τ
2
SJBV
• Uma expressão mais simples para a transmitância pode ser obtida pelo fato de que,
pela conversão de energia:
Reflexão de ondas planas
• Em outras palavras, a potência refletida somada à transmitida tem de ser igual à
incidente. A transmitância fica:
Incidência Oblíqua: Γ e T para polarização perpendicular
• Note que, ao contrário da energia, a amplitude dos campos não é uma grandeza
que é conservada. De fato para polarização perpendicular:
R+T =1
T =1− Γ 2
• Para polarização paralela:
1+Γ = T cosθtcosθi
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
1+Γ⊥ = T⊥
SJBV
• Como se pode ver da Equação para Γ||, para a polariz. paralela há um angulo para o
qual a onda é totalmente transmitida.
Reflexão de ondas planas
Angulo de Brewster (Polarização Paralela)
• Usando a Lei de Snell e manipulando esta equação, chegamos na Eq. para o
ângulo de Brewster θB:
• Que para meios não magnéticos (µ1=µ2=µ0), esta equação se reduz a:
η2 cosθt =η1 cosθB ⇒ Γ|| = 0
sen2θB =1− µ2ε1
µ1ε2
1− µ2ε1µ1ε2
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
2
tanθB =ε2ε1=n2n1 ⇒ θB = tan−1 n2
n1
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
SJBV
• No caso da polarização perpendicular, para que o coef. de reflexão seja zero:
Reflexão de ondas planas
Angulo de Brewster (Polarização Perpendicular)
• Para que esta equação seja satisfeita, temos que:
• Como meios magnéticos são pouco utilizados tanto em óptica como em RF, o
ângulo de Brewster para polarização perpendicular tem pouca aplicação.
η1 cosθt =η2 cosθB⊥ ⇒ Γ⊥ = 0
tanθB =µ2µ1
• Para a polarização paralela, o fato de Γ|| ser zero implica que uma onda incidente
com polarização qualquer será refletida somente com E perpendicular.
• A polarização paralela é efetivamente filtrada e isto é usado em Lasers e filtros
de polarização.
SJBV
Reflexão de ondas planas
FAZER GR´AFICO DO ANGULO DE BREWSTER
clear;clc;n1=1;n2=6;theta_i=0:0.01:pi/2;theta_t=asin((n1/n2)*sin(theta_i));gamma_par=(n1.*cos(theta_t)-n2.*cos(theta_i))./(n1.*cos(theta_t)+n2.*cos(theta_i));plot(180*theta_i/pi,abs(gamma_par))Γ
θi
ni=1;nt=6;