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Eletromagnetismo II - Magnetostática

•  Importância do dipolo magnético

•  Cálculo do Potencial Vetorial Magnético de um dipolo magnético

•  Cálculo da densidade de fluxo magnético de um dipolo magnético

EletromagnetismoI Prof.DanielOrquiza1

Dipolo Magnético (Capítulo 8)


Dipolo magnético

§  Dipolos magnéticos são espiras de corrente (ou cargas realizando um movimento em loop).

1

§  O nome dipolo vem da analogia com dipolo elétrico. O campo distante H gerado por um dipolo magnético é similar ao campo E gerado por um dipolo elétrico.

§  Dipolos magnéticos são importantes para o entendimento da interação de H com materiais magnéticos.

§  Fora da magnetostática, o dipolo tem aplicações em antenas (loop antenna).

I

!E!

d

Qou ou

Dipolos magnéticos Dipolos elétricos


Dipolo magnético §  Vamos considerar um dipolo com raio ‘b’ conduzindo IA no sentido A.H. e calcular B

em um ponto ‘P’ localizado a uma distância R >>b. (SLIDE ANTERIOR)

2

§  É mais simples inicialmente calcular A e depois usar:

§  O potencial vetorial pode ser calculado integrando:

§  Devido à simetria azimutal, podemos escolher φ = π/2 (pois A não depende de φ, só de r e θ ).

!B =∇×

!A

!A = µ0

4πId!l ' R1C '"∫

ao longo da espira, onde ‘R1’ é a magnitude do vetor distância de Idl’ a ‘P’.

§  Em ‘P’ em coord. esféricas: Ø  r = R (distância de P até o centro do dipolo)

Ø  aφ = −ax (Usaremos isto no final...)

Ø 


Dipolo Magnético

1

P( r , θ , π/2 )

θ

ψ

R

R1

φ' b

Espira de raio ‘b’ conduzindo ‘I’ Ampères


Dipolo magnético §  Na posição do elemento diferencial de corrente, o versor aφ é:

3

§  O elemento de linha (vetor) fica:

§  Note que para cada Idl’ situado entre –π/2 ≤ φ ≤ π/2, existe um outro elemento Idl’ simétrico que cancela o componente Ay.

aφ = −axsenφ '+ ay cosφ '

d!l ' = b dφ ' aφ = −axsenφ '+ ay cosφ '( )b dφ '

P

I

x

yzId!l '

Id!l '

① 

②  !A1

!A2


Dipolo magnético §  Portanto podemos ignorar o componente ‘y’ de dl’. Com isso, A pode ser calculado por:

4

§  Resta expressar R1 em termos de R e b.

§  Para fazer isso, podemos usar a Lei dos cossenos no triângulo com vértices OP’P.

!A = −ax

µ0Ib4π

senφ ' R10

2π

∫ dφ '

R12 = R2 + b2 − 2bRcosψ

§  O termo Rcosψ é a projeção de R no segmento de reta OP’ (vide prox. SLIDE).

§  Esta projeção é equivalente a primeiro projetar R no eixo y, o que equivale a:Ry = R senθ

§  E projetar este resultado no segmento OP’:

Rysenφ ' = R senθ senφ ' ⇒ Rcosψ = R senθ senφ '


Dipolo Magnético

1

P( r , θ , π/2 )

θ

ψ

R

R1

φ' b

Espira de raio ‘b’ conduzindo ‘I’ Ampères

P’

O


Dipolo magnético §  Usando este último resultado, a distância R1 fica

5

§  Na expressão para A, R1 está no denominador. Portanto:

§  Tirando a raiz e isolando R do lado direito:

§  Como b<<R, esta expressão é aproximadamente:

R12 = R2 + b2 − 2bR senθ senφ '

1R12 =

1R2 + b2 − 2bR senθ senφ '

1R1=1R

1

1+ bR⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟2

−2bR senθ senφ '

1R1≈1R1− 2b

R senθ senφ '

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟−12


Dipolo magnético §  Esta expressão pode ser simplificada ainda mais, se a expandirmos em série de Taylor e

ignorando os termos de ordem maior do que x2:

6

§  Se fizermos uma mudança de variável onde:

§  A expressão anterior fica:

§  Expandindo F(x) ao redor de zero (por que zero?):

x = 2bR senθ senφ '

1R1=1R1− x( )−

12 =

1RF(x)

F(x − 0) = F(0)+ F '(0)1!

(x − 0)+ F ''(0)2!

(x − 0)2 +...

F '(x) = 121− x( )−

32

§  A derivada primeira fica:

⇒ F '(0) = 12


Dipolo magnético §  Considerando somente os dois primeiros termos na expansão:

7

§  Desta forma, o inverso de R1 pode ser aproximado por:

§  Substituindo na expressão para o potencial A:

§  Notando que:

§  E, além disso:

F(x) ≈1+ 12x

1R1≈1R1+ b

R senθ senφ

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

!A ≈ aφ

µ0Ib4πR

1+ bR senθ senφ

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟senφ '

0

2π

∫ dφ '

senφ ' 0

2π

∫ dφ ' = 0

sen2φ ' ( )0

2π

∫ dφ ' = 1− cos2φ '2

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

0

2π

∫ dφ ' = π


Dipolo magnético §  Portanto o potencial A é dado por

8

§  Utilizando a definição de momento de dipolo:

§  O potencial A fica:

§  Para calcular B, usamos a definição:

!A ≈ µ0Iπb

2senθ4πR2 aφ

!m = I San = I πb2an

!A = µ0

!m× ar4πR2

!B =∇×

!A = 1

rsenθ∂ Aφsenθ( )

∂θ−∂Aθ∂φ

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟ ar +

1r

1senθ

∂Ar∂φ

−∂ rAφ( )∂r

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟ aθ +

1r∂ rAθ( )∂r

−∂Ar∂θ

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ aφ0 0 0 0


Dipolo magnético

8

§  A densidade de fluxo magnético de um dipolo magnético é:

§  Que possui grande semelhança com o Campo Elétrico de um dipolo elétrico

§  Note que uma expressão pode ser obtida da outra fazendo as substituições:

§  O potencial vetorial só possui a componente Aφ, portanto:!B = 1

rsenθ∂ Aφsenθ( )

∂θ

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟ ar −

1r∂ rAφ( )∂r

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟ aθ ⇒

!B = 1

Rsenθ∂∂θ

µ0Iπb2sen2θ

4πR2

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ ar −

1r∂∂r

r µ0Iπb2senθ

4πR2

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ aθ

!B =

µ0!m

4πR32cosθ ar + senθ aθ[ ]

!E =

!p ε0 4πR

3 2cosθ ar + senθ aθ( )

ε0 →1µ0 e !p → !m

Note que R = r


Dipolo magnético

9

§  Também é semelhante ao potencial (escalar) de um dipolo elétrico:

§  Neste caso as substituições são:

§  Assim, E de um dipolo elétrico é (quase) idêntico a H de um dipolo magnético quando consideramos o campo distante (R>>b) (VER PROXIMO SLIDE).

§  O potencial do dipolo magnético:!A = µ0

!m× ar4πR2

V = 1ε0 4πR

2

!p ⋅ ar

!p ⋅ → !m× e V→!A

§  Note que o campo próximo é bastante diferente devido à natureza diferente de suas fontes.

Distribuição de campos dos dois tipos de dipolo

8

I

Dipolo Elétrico Dipolo Magnético

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