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•  Corrente de Deslocamento

•  Lei de Ampère para campos variáveis no tempo

Eletromagnetismo II – Campos Variáveis no Tempo

EletromagnetismoI Prof.DanielOrquiza2

Lei de Ampère e Corrente de Deslocamento (Capítulo 9 – Páginas 284 a 288)

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S

C

C

S

!H

Lei de Ampère (campos variáveis no tempo) •  A L.A. tal como vimos na magnetostática ainda é

válida para campos variáveis no tempo. !H ⋅d!l =

!J ⋅d!S

S∫∫

C"∫ = Ienv

•  Na prática isso significa que H, ao longo do caminho C vai ter a mesma dependência temporal que I.

•  Exemplo: se a corrente total que atravessa ‘S’ for:

1

Ienv (t) = I0sen ωt( )•  O campo H em um ponto ao longo do caminho C

será: !H (x, y, z, t) =

!H x, y, z( )sen ωt( )

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S

C

C

S

!H

Lei de Ampère (campos variáveis no tempo)

•  Em outras palavras, instantaneamente, a circulação de H ao longo de C é igual à corrente envolvida.

•  Se I aumenta de t0 até t, a circulação de H (e portanto H) aumentará proporcionalmente.

•  A corrente J é uma corrente de condução e está associada ao movimento de cargas livres.

2

•  Maxwell introduziu um termo adicional à L.A.

•  Este termo é necessário para que a L.A. esteja de

acordo com a Eq. da Continuidade de carga.

(ver pag 284-285 do Hayt)

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•  O termo introduzido por Maxwell é a corrente de Deslocamento ID:

•  Onde é a densidade de corrente de deslocamento.

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•  A Lei de Ampère na sua forma completa ou final fica:

•  Para entender porque este termo adicional é necessário, vamos considerar o exemplo de um capacitor ligado a uma fonte de corrente alternada.

ID =!JD

S∫∫ ⋅d

!S = ∂

!D∂tS

∫∫ ⋅d!S

!JD =

∂!D∂t

!H ⋅d!l =

!J ⋅d!S

S∫∫

C"∫ +

∂!D∂tS

∫∫ ⋅d!SJD

ID

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I I

•  Na magnetostática, a L.A. é satisfeita para qualquer superfície envolvida por um caminho amperiano.

•  Isto também deve ser válido para correntes variáveis no tempo.

•  Se escolhermos a superfície S1, a L.A. (convencional) é válida:

S1 S2

C !H (t) ⋅d

!l

C"∫ = I(t)

•  No entanto não passa corrente de condução I através de S2.

•  Por outro lado, há E(t), e portanto D(t), entre as placas do capacitor. Portanto em S2 é válido: !

H (t) ⋅d!l =

C"∫

∂!D(t)∂tS2

∫∫ ⋅d!S

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•  A Lei de Ampère na forma diferencial para o caso da eletrodinâmica fica:

•  Nesta versão da L.A., pode haver circulação de H mesmo na ausência de correntes.

•  A corrente de deslocamento, associada a um campo elétrico variável no tempo, gera circulação de H.

∇×!H =!J + ∂

!D∂t

JD

!H ⋅d!l =

C"∫

∂!D∂tS

∫∫ ⋅d!S

•  Nesta forma, a L.A. é dual com relação à Lei de Faraday.

•  Ao contrário da Lei de Faraday, não há sinal negativo (associado à Lei de Lenz) do lado direito da L.A.

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•  Consideremos um caminho amperiano C envolvendo uma superfície S.

•  A ausência do sinal negativo significa que.: D

H

C

H

•  Se o fluxo de D aumenta no tempo => a circulação de H é no sentido anti-horário.

•  Se o fluxo de D diminui no tempo => a circulação de H é no sentido horário.

!H ⋅d!l =

C"∫

∂!D∂t

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

S∫∫ ⋅d

!S

•  A variação de um campo no tempo, gera o outro!

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7

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7

•  A L.A. na sua forma original não é compatível com a continuidade de carga. Para ver isso usamos:

•  E aplicamos o divergente em ambos os lados:

•  Mas o div do rot de qualquer vetor é zero. Por outro lado, pela Eq. da Continuidade:

•  Assim, segundo a L.A. sem JD, o divergente de J é zero o que não é verdade se tivermos densidades de carga variando no tempo em um ponto.

∇×!H =!J

∇⋅ ∇×!H( ) =∇⋅

!J

∇⋅!J = −∂ρv

∂t

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•  Subsituindo a Lei de Gauss na forma diferencial:

•  Na Eq. da Continuidade (e invertendo a ordem do divergente com a derivada no tempo):

•  Portanto a L.A. com a dens. de corrente de deslocamento satisfaz a Eq. Da Continuidade, para ver isso partimos de:

ρv =∇⋅!D,

∇⋅!J = −∇⋅ ∂

!D∂t

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟= −∇⋅

!JD

∇×!H =!J + ∂

!D∂t

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•  E tomamos o divergente dos dois lados da L.A. com JD:

•  Invertendo a ordem do divergente com a derivada no tempo:

•  Usando a Lei de Gauss novamente:

∇⋅ ∇×!H( ) = 0 =∇⋅

!J +∇⋅ ∂

!D∂t

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

0 =∇⋅!J +

∂ ∇⋅!D( )

∂t

0 =∇⋅!J + ∂ρv

∂t•  O que nos leva de volta à Eq. da Continuidade:

∇⋅!J = −∂ρv

∂t

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Exemplo

Uma fonte de tensão AC com amplitude igual a 5V e frequência f = 300kHz é conectada a um capacitor de placas paralelas. Se o capacitor tem área A = 50 cm2, distância entre as placas d = 0,1 mm e permissividade relativa εr = 2,2: (a) Verifique que a corrente de deslocamento no capacitor é igual à corrente de condução no fio. (b) Determine a intensidade do campo magnético a uma distância de 1mm do fio.

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Exemplo

iC

S1 S2

C

˜vC

+ _

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