magnetismo eletromagnetismo

Indaial – 2019

MagnetisMo e eletroMagnetisMoProf. Jaison Rodrigo da CostaProf.a Liana Graciela Heinig

1a Edição

Copyright © UNIASSELVI 2019

Elaboração:

Prof. Jaison Rodrigo da Costa

Prof.a Liana Graciela Heinig

Revisão, Diagramação e Produção:

Centro Universitário Leonardo da Vinci – UNIASSELVI

Ficha catalográfica elaborada na fonte pela Biblioteca Dante Alighieri

UNIASSELVI – Indaial.

Impresso por:

C837m

Costa, Jaison Rodrigo da

Magnetismo e eletromagnetismo. / Jaison Rodrigo da Costa; Liana Graciela Heinig. – Indaial: UNIASSELVI, 2019.

155 p.; il.

ISBN 978-85-515-0424-6

1. Magnetismo. - Brasil. 2. Eletromagnetismo. – Brasil. I. Heinig, Liana Graciela. II. Centro Universitário Leonardo Da Vinci.

CDD 537

III

apresentaçãoOlá, acadêmico! Neste material sobre magnetismo e eletromagnetismo

mergulharemos no maravilhoso universo das propriedades magnéticas da matéria. Ao final da disciplina, você será capaz de compreender fisicamente como funciona uma bússola, ímãs, a importância do campo magnético na Terra, como se formam as auroras boreais, as importantes Equações de Maxwell e a implicação física de cada uma, entre outros fenômenos incríveis!

O magnetismo se desenvolveu com o estudo das propriedades magnéticas dos ímãs e dos materiais ferrosos. Até no início do século XIX, os fenômenos elétricos e magnéticos foram estudados separadamente, de forma independente e distintos um do outro. Entretanto, em 1820, o físico Oersted estabeleceu relações que mudaram a visão das duas áreas. Oersted mostrou a relação existente entre as duas áreas da Física, nascendo então o eletromagnetismo.

Na Unidade 1 estudaremos o campo magnético, a força magnética e o campo gerado por correntes elétricas, em que aprofundaremos e compreenderemos de forma mais clara como aconteceu a fusão da eletricidade e do magnetismo.

Se podemos gerar um campo magnético a partir de uma corrente elétrica, será que o inverso é possível? Surpreendentemente, podemos verificar o fenômeno inverso: um campo magnético pode produzir uma corrente elétrica. Este será o tema de estudo da Unidade 2, tal que nosso objeto de estudo será a indutância e indutores em circuitos elétricos.

Para finalizar, a Unidade 3 contemplará o estudo das equações de Maxwell, e veremos que praticamente todos os princípios físicos podem ser resumidos nas quatro equações de Maxwell.

Esperamos que você desfrute do material que foi preparado com muito cuidado nos detalhes, para que você, como futuro professor, transcenda o conhecimento escolar e transforme a vida de muitos estudantes. Complete seu estudo resolvendo as autoatividades, acompanhando as aulas e sanando suas dúvidas com a equipe da UNIASSELVI.

Bons estudos.

Prof. Jaison Rodrigo da CostaProf.a Liana Graciela Heinig

IV

Você já me conhece das outras disciplinas? Não? É calouro? Enfim, tanto para você que está chegando agora à UNIASSELVI quanto para você que já é veterano, há novidades em nosso material.

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O conteúdo continua na íntegra, mas a estrutura interna foi aperfeiçoada com nova diagramação no texto, aproveitando ao máximo o espaço da página, o que também contribui para diminuir a extração de árvores para produção de folhas de papel, por exemplo.

Assim, a UNIASSELVI, preocupando-se com o impacto de nossas ações sobre o ambiente, apresenta também este livro no formato digital. Assim, você, acadêmico, tem a possibilidade de estudá-lo com versatilidade nas telas do celular, tablet ou computador. Eu mesmo, UNI, ganhei um novo layout, você me verá frequentemente e surgirei para apresentar dicas de vídeos e outras fontes de conhecimento que complementam o assunto em questão.

Todos esses ajustes foram pensados a partir de relatos que recebemos nas pesquisas institucionais sobre os materiais impressos, para que você, nossa maior prioridade, possa continuar seus estudos com um material de qualidade.

Aproveito o momento para convidá-lo para um bate-papo sobre o Exame Nacional de Desempenho de Estudantes – ENADE. Bons estudos!

NOTA

Olá acadêmico! Para melhorar a qualidade dos materiais ofertados a você e dinamizar ainda mais os seus estudos, a Uniasselvi disponibiliza materiais que possuem o código QR Code, que é um código que permite que você acesse um conteúdo interativo relacionado ao tema que você está estudando. Para utilizar essa ferramenta, acesse as lojas de aplicativos e baixe um leitor de QR Code. Depois, é só aproveitar mais essa facilidade para aprimorar seus estudos!

UNI

VI

Olá, acadêmico! Iniciamos agora mais uma disciplina e com ela um novo conhecimento.

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Conte conosco, estaremos juntos nesta caminhada!

LEMBRETE

VII

UNIDADE 1 – CAMPO MAGNÉTICO .................................................................................................1

TÓPICO 1 – CAMPO MAGNÉTICO .....................................................................................................31 INTRODUÇÃO .......................................................................................................................................32 CONCEITO DE CAMPO ......................................................................................................................4

2.1 ÍMÃS ....................................................................................................................................................52.2 BÚSSOLAS ..........................................................................................................................................72.3 CAMPO MAGNÉTICO TERRESTRE .............................................................................................92.4 AURORA POLAR ............................................................................................................................102.5 CAMPO MAGNÉTICO GERADO POR ATIVIDADE CEREBRAL .........................................11

RESUMO DO TÓPICO 1........................................................................................................................13AUTOATIVIDADE .................................................................................................................................14

TÓPICO 2 – FORÇA MAGNÉTICA ....................................................................................................151 INTRODUÇÃO .....................................................................................................................................152 ESTUDO DA FORÇA MAGNÉTICA ...............................................................................................163 TRAJETÓRIAS CIRCULARES ..........................................................................................................184 FORÇA MAGNÉTICA EM UM FIO PERCORRIDO POR CORRENTE ...................................205 TORQUE EM UMA ESPIRA PERCORRIDA POR CORRENTE ................................................226 ENERGIA EM UM DIPOLO MAGNÉTICO ...................................................................................24LEITURA COMPLEMENTAR ...............................................................................................................25RESUMO DO TÓPICO 2........................................................................................................................33AUTOATIVIDADE .................................................................................................................................34

TÓPICO 3 – CAMPOS MAGNÉTICOS PRODUZIDOS POR CORRENTES .............................371 INTRODUÇÃO .....................................................................................................................................372 CAMPO MAGNÉTICO PRODUZIDO POR CORRENTE ...........................................................373 FORÇA ENTRE DUAS CORRENTES PARALELAS .....................................................................404 LEI DE AMPÈRE ...................................................................................................................................425 SOLENOIDES E TOROIDES .............................................................................................................436 BOBINA PERCORRIDA POR CORRENTE E O ESTUDO

DOS DIPOLOS MAGNÉTICOS .......................................................................................................45RESUMO DO TÓPICO 3........................................................................................................................47AUTOATIVIDADE .................................................................................................................................48

UNIDADE 2 – CIRCUITOS E PROPRIEDADES MAGNÉTICAS DA MATÉRIA ....................51

TÓPICO 1 – INDUÇÃO ELETROMAGNÉTICA ..............................................................................531 INTRODUÇÃO .....................................................................................................................................532 A DESCOBERTA DA INDUÇÃO ELETROMAGNÉTICA ..........................................................533 FORÇA ELETROMOTRIZ INDUZIDA ...........................................................................................554 LEI DE FARADAY .................................................................................................................................57

4.1 FORMAS DE VARIAÇÃO DO FLUXO MAGNÉTICO ..............................................................60

suMário

VIII

5 LEI DE LENZ..........................................................................................................................................636 A GUITARRA ELÉTRICA ...................................................................................................................687 CAMPOS ELÉTRICOS INDUZIDOS ...............................................................................................698 INDUTORES E INDUTÂNCIA .........................................................................................................709 AUTOINDUÇÃO ..................................................................................................................................72LEITURA COMPLEMENTAR ...............................................................................................................73RESUMO DO TÓPICO 1........................................................................................................................86AUTOATIVIDADE .................................................................................................................................87

TÓPICO 2 – CIRCUITOS1 INTRODUÇÃO .....................................................................................................................................892 CIRCUITOS RL .....................................................................................................................................893 ENERGIA MAGNÉTICA ....................................................................................................................93RESUMO DO TÓPICO 2........................................................................................................................95AUTOATIVIDADE .................................................................................................................................96

TÓPICO 3 – OSCILAÇÕES ELETROMAGNÉTICAS E CORRENTE ALTERNADA ...............971 INTRODUÇÃO .....................................................................................................................................972 OSCILAÇÕES EM UM CIRCUITO LC ............................................................................................973 OSCILAÇÕES AMORTECIDAS – RLC .........................................................................................1014 CORRENTE ALTERNADA ...............................................................................................................1035 TRANSFORMADORES ....................................................................................................................104RESUMO DO TÓPICO 3......................................................................................................................108AUTOATIVIDADE ...............................................................................................................................110

UNIDADE 3 – ONDAS ELETROMAGNÉTICAS E EQUAÇÕES DE MAXWELL...................111

TÓPICO 1 – ONDAS ELETROMAGNÉTICAS ...............................................................................1131 INTRODUÇÃO ...................................................................................................................................1132 CARACTERÍSTICAS DAS ONDAS ELETROMAGNÉTICAS .................................................113

2.1 A RELAÇÃO ENTRE O CAMPO ELÉTRICO E MAGNÉTICO .............................................1173 TRANSPORTE DE ENERGIA E VETOR DE POYNTING ........................................................120LEITURA COMPLEMENTAR .............................................................................................................122RESUMO DO TÓPICO 1......................................................................................................................133AUTOATIVIDADE ...............................................................................................................................134

TÓPICO 2 – EQUAÇÕES DE MAXWELL ........................................................................................1351 INTRODUÇÃO ...................................................................................................................................1352 LEI DE GAUSS PARA CAMPOS MAGNÉTICOS ......................................................................1363 CAMPOS MAGNÉTICOS INDUZIDOS .......................................................................................1374 CORRENTE DE DESLOCAMENTO ..............................................................................................1385 AS EQUAÇÕES ...................................................................................................................................1396 EQUAÇÕES DE MAXWELL NO FORMALISMO DIFERENCIAL ..........................................141RESUMO DO TÓPICO 2......................................................................................................................145AUTOATIVIDADE ...............................................................................................................................146

TÓPICO 3 – MAGNETISMO DA MATÉRIA ..................................................................................1471 INTRODUÇÃO ...................................................................................................................................1472 ÍMÃS PERMANENTES .....................................................................................................................1473 MAGNETISMO E ELÉTRONS ........................................................................................................149

3.1 MOMENTO DIPOLAR MAGNÉTICO ORBITAL ....................................................................150

IX

4 PROPRIEDADES MAGNÉTICAS DOS MATERIAIS ................................................................1514.1 DIAMAGNETISMO ......................................................................................................................1514.2 PARAMAGNETISMO ...................................................................................................................1524.3 FERROMAGNETISMO .................................................................................................................152

RESUMO DO TÓPICO 3......................................................................................................................153AUTOATIVIDADE ...............................................................................................................................154

REFERÊNCIAS .......................................................................................................................................155

1

UNIDADE 1

CAMPO MAGNÉTICO

OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM

PLANO DE ESTUDOS

A partir do estudo desta unidade, você deverá ser capaz de:

• caracterizar o campo magnético e as linhas de indução magnética;

• compreender a relação entre a eletricidade e o magnetismo;

• conhecer alguns processos históricos que permeiam o estudo do eletromagnetismo;

• determinar expressões matemáticas para campos magnéticos gerados por correntes elétricas em diferentes formatos e geometrias;

• definir a Lei de Biot-Savart e a Lei de Ampère para campos magnéticos.

Esta unidade está dividida em três tópicos. No decorrer da unidade você encontrará autoatividades com o objetivo de reforçar o conteúdo apresentado.

TÓPICO 1 – CAMPO MAGNÉTICO

TÓPICO 2 – FORÇA MAGNÉTICA

TÓPICO 3 – CAMPOS MAGNÉTICOS PRODUZIDOS POR CORRENTES

Preparado para ampliar seus conhecimentos? Respire e vamos em frente! Procure um ambiente que facilite a concentração, assim absorverá melhor as informações.

CHAMADA

3

TÓPICO 1UNIDADE 1

CAMPO MAGNÉTICO

1 INTRODUÇÃOO estudo do eletromagnetismo é datado na Grécia Antiga, onde já se

conheciam algumas propriedades magnéticas de um minério ferroso chamado magnetita. Já os chineses utilizaram uma agulha feita de magnetita (bússola) para orientar as navegações, operando castigos ou até sentença de morte a quem desregulasse a bússola durante a viagem. Séculos depois, em aproximadamente 1600, William Gilbert publicou um tratado sobre o magnetismo, chamado De Magnete, no qual retratava a hipótese de que a Terra era um imenso ímã.

FIGURA 1 – TRATADO DE MAGNETE – WILLIAM GILBERT

FONTE: <https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/37/De_Magnete_Title_Page_1628_edition.jpg/220px-De_Magnete_Title_Page_1628_edition.jpg>. Acesso em: 27 maio 2019.

Já a experiência de Oersted foi fundamental para a união dos estudos da eletricidade e do magnetismo, nascendo em 1820 o eletromagnetismo. Anos depois, André-Marie Ampére (1775-1836) propôs que todo fenômeno magnético tem correntes elétricas como causa. Para Michael Faraday (1791-1867), a interação entre os corpos poderia ser descrita por meio de linhas de campo magnético e elétrico.

Houve um grande esforço experimental para descobrir se existem ou não monopolos magnéticos, embora sem sucesso. A história do magnetismo é tão fascinante quanto os fenômenos magnéticos. Nesse momento, ficaremos com a tarefa de estudar os campos magnéticos e a pergunta central: “O que produz um campo magnético?”. As aplicações do eletromagnetismo deixaremos para a engenharia.

UNIDADE 1 | CAMPO MAGNÉTICO

4

2 CONCEITO DE CAMPO O conceito de campo permitiu investigar a interação entre corpos e o

que acontece no interior da matéria. Fenômenos como a atração e repulsão de cargas elétricas em objetos eletrizados e ímãs permitem visualizar esse espaço que chamamos de campo. Mas como que um objeto “sente” a presença do outro sem que estejam em contato? Para responder a essa pergunta, podemos pensar em três tipos de interações: gravitacionais, elétricas e magnéticas.

O campo gravitacional, já estudado na área da Mecânica, manifesta-se quando há interação entre duas massas por meio da força de atração gravitacional. Um exemplo disso é a força que a Terra exerce sob qualquer outro corpo que esteja a sua volta, como satélites.

O campo elétrico é resultado da interação entre cargas elétricas por meio da força elétrica. Isso é facilmente percebido quando aproximamos um pedaço de papel de uma caneta eletrizada por atrito.

Já o campo magnético, que é objeto de estudo deste tópico, é resultado da interação de um objeto ou partícula magnetizada pela força eletromagnética. Ao aproximarmos um ímã a um prego, é possível ver como o ímã faz o prego se atrair e “grudar” na sua superfície.

FIGURA 2 – INTERAÇÕES MEDIADAS POR CAMPOS

FONTE: Os autores; <https://i2.wp.com/www.paulobrites.com.br/wp-content/uploads/2014/02/atrito-pente.gif?ssl=1>; <https://cdn.britannica.com/s:575x450/41/190641-004-E1B4A003.jpg>.

Acesso em: 16 maio 2019.

Campo é uma propriedade física de uma região do espaço onde é possível sentir a presença de uma massa, carga elétrica ou de um objeto magnetizado.

IMPORTANTE

TÓPICO 1 | CAMPO MAGNÉTICO

5

Portanto, o campo magnético é uma região do espaço ao redor de um ímã sobre o qual atuam forças magnéticas sobre outros objetos magnéticos. Assim como o campo elétrico, o campo magnético é um campo vetorial. Embora não possamos ver ou sentir a presença de um campo magnético naturalmente, podemos utilizar uma bússola para “visualizar” um campo magnético da Terra, como veremos a seguir.

2.1 ÍMÃS

As observações sobre as propriedades magnéticas dos materiais são muito antigas, estudadas por gregos como Platão, Sócrates e Tales de Mileto. Os gregos realizaram as primeiras observações sobre ímãs naturais na região de Magnésia, localizada na Ásia Menor (por isso o nome magnetismo). Eles observaram que, ao colocar um pedaço de ferro nas proximidades de uma pedra chamada magnetita, ela os atraía. A magnetita, composta por óxido de ferro (Fe3O4), possui propriedades magnéticas e, por isso, foi muito utilizada para a construção de ímãs artificiais, por meio dos processos de imantação.

FIGURA 3 – MAGNETITA, CONHECIDA COMO ÍMÃ NATURAL POR SUAS PROPRIEDADES MAGNÉTICAS

FONTE: <https://alunosonline.uol.com.br/fisica/fontes-campo-magnetico.html>. Acesso em: 16 maio 2019.

No início do século XVII, o cientista e médico inglês William Gilbert (1544-1603) publicou o tratado De magnete, considerado um dos primeiros trabalhos sistemáticos sobre o magnetismo, na qual ele sugeriu que a Terra era uma imensa esfera magnética. Gilbert realizou várias experiências e descreveu as propriedades de atração e repulsão dos ímãs, princípios básicos do magnetismo.

Em algumas partes do ímã, os objetos metálicos se acumulam com mais intensidade. Se pegarmos um ímã e aproximarmos pedaços de metal, observamos que os objetos se acumulam nas extremidades do ímã. Essas extremidades são chamadas de polos (norte e sul), como mostra a figura:


6

FIGURA 4 – ILUSTRAÇÃO DE UM ÍMÃ

FONTE: Os autores

Ao aproximar dois ímãs, notaremos que há uma força magnética entre esses polos. Embora existam ímãs de diferentes formatos (circulares, cilíndricos, planares, de barra ou ferradura), todos apresentam dois polos distintos bem localizados. A interação da força magnética dos polos de um ímã acontece como mostra o quadro a seguir:

QUADRO 1 – PROPRIEDADES DOS ÍMÃS

FONTE: Os autores

ATRAÇÃO

REPULSÃO

Como podemos observar no quadro, polos magnéticos de mesma polaridade se repelem e polos magnéticos de polaridades opostas se atraem. Mas você já tentou quebrar um ímã? Se você ainda não quebrou, ainda é tempo! Não entenda mal, não se trata de “vandalismo científico”, mas em prol da ciência, esse é um bom motivo para que você conduza essa experiência em casa. Será que é possível separar os polos de um ímã?

Até hoje não foi possível isolar um único polo magnético. Fisicamente, significa dizer que não existem monopolos magnéticos. Na prática, vemos que, ao quebrar um ímã, obteremos dois novos ímãs. Nas extremidades do ímã que foi cortado, aparecerão dois novos polos.

Devido a essa propriedade magnética, todo ímã possui um campo magnético que sai do polo norte e entra no polo sul. As linhas de indução do campo magnético podem ser observadas utilizando limalha de ferro e um ímã, como mostra a figura:


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FIGURA 5 – ILUSTRAÇÃO DAS LINHAS DE INDUÇÃO MAGNÉTICA UTILIZANDO UM ÍMÃ E LIMALHA DE FERRO E REPRESENTAÇÃO DAS LINHAS DE CAMPO

FONTE: <https://blog.enem.com.br/wp-content/uploads/2018/03/energia-el%C3%A9trica-300x220.jpg>. Acesso em: 16 maio 2019.

Nas próximas unidades, estudaremos as equações de Maxwell e provaremos matematicamente o princípio de inseparabilidade de polos (não existem monopolos magnéticos).

2.2 BÚSSOLAS

A interação de ímãs com bússolas pode causar estranheza, mas esses dois objetos têm muita coisa em comum. Conhecendo as propriedades dos ímãs, podemos imantar uma agulha e construir uma bússola. Diversos cientistas, ao longo dos séculos, descreveram sua admiração por bússolas. Albert Einstein escreveu em suas notas autobiográficas:

Aos 4 ou 5 anos, experimentei esse sentimento quando meu pai me mostrou uma bússola. O fato de a agulha comportar-se de uma certa forma não se encaixava entre os tipos de ocorrências que podiam ser colocados no mundo inconsciente dos conceitos (eficácia produzida pelo “toque direto”). Lembro-me ainda – ou pelo menos creio que me lembro – que essa experiência me causou uma impressão profunda e duradoura. Devia haver algo escondido nas profundezas das coisas (EINSTEIN, 1982, p. 9).

Povos chineses a utilizavam como instrumento de navegação no século XII. Acredita-se que o uso da bússola foi preponderante para desenvolvimento das Grandes Navegações e expansão marítima e comercial. Mas o que é uma bússola?

A bússola é constituída de um pequeno ímã em forma de agulha montado numa estrutura que não recebe muito atrito do suporte que a mantém. Por ser magnética, a bússola pode sofrer interferência de ímãs, por isso ela aponta para a direção norte-sul se não houver ímãs em suas proximidades.


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FIGURA 6 – BÚSSOLA

FONTE: <https://www.palaciodasbonecas.com.br/image/cache/data/MADEIRA%20E%20MDF/7893798279047-1-800x600.jpg>. Acesso em: 16 maio 2019.

Experimento: Construindo uma bússola caseira

Com a tecnologia contemporânea, podemos nos localizar facilmente por aplicativos nos smartphones ou utilizando um aparelho chamado GPS (Global Position System). Esses dispositivos permitem que a orientação espacial seja mais precisa do que nos tempos antigos. Esse dispositivo acabou ocupando o lugar da bússola, que por muitos anos foi um grande e importante instrumento para as navegações do século XV.

Utilizando materiais simples, você pode construir uma bússola rústica e observar os fenômenos relacionados ao magnetismo que estudamos até aqui.

Você vai precisar de:• 1 ímã• 1 lápis• 2 copos• 1 agulha de costura• linha de costura

Procedimento Experimental:1- Esfregue um dos polos do ímã sobre a agulha várias vezes e sempre na mesa direção e

sentido. Esse processo chama-se imantação.2- Utilize os copos como suporte e suspenda o lápis entre os copos. Com a linha de costura,

amarre uma extremidade no lápis e outra extremidade na agulha, mantendo a agulha entre o suporte de copos de modo que ela fique livre.

INTERESSANTE

FONTE: Adaptada de Bonjorno et al. (2016)

3- Aguarde a agulha se orientar em uma direção. Altere a posição e veja se ela retorna à posição inicial. Se isso acontecer, sua bússola está funcionando.


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Acompanhe no site https://phet.colorado.edu/en/simulation/legacy/magnet-and-compass uma simulação mostrando a interação do campo magnético de uma bússola com um ímã.

DICAS

2.3 CAMPO MAGNÉTICO TERRESTRE

Os polos de um ímã são chamados de norte e sul, pelo fato de a agulha da bússola apontar para as respectivas posições geográficas do planeta. Pensando nisso, reflita: se a Terra fosse um enorme ímã, qual seriam os polos magnéticos norte e sul do planeta?

Sim, a Terra pode ser vista como um grande ímã, e isso é percebido por meio da orientação da agulha de uma bússola. Uma das hipóteses para esse comportamento magnético se deve ao movimento das cargas elétricas no interior da Terra.

Justamente por ser um imenso imã, a Terra possui um campo magnético intenso ao seu redor. Conhecida como magnetosfera, essa camada nos protege de partículas provenientes de ventos solares, sendo essencial para a vida terrestre. Se não tivéssemos essa “camada de proteção”, as partículas lançadas – principalmente pelo Sol – danificariam a atmosfera terrestre.

Os polos terrestres estão ilustrados na Figura 7. Na Física, estudamos o norte magnético localizado no sul geográfico e o sul magnético localizado no norte geográfico. Portanto, o polo norte da agulha é atraído pelo polo sul magnético da Terra, e o polo sul da agulha é atraído pelo polo norte magnético da Terra.

FIGURA 7 – ILUSTRAÇÃO DO CAMPO MAGNÉTICO TERRESTRE

FONTE: <http://georocks2011.blogspot.com/2011/11/campo-magnetico-terrestre.html>. Acesso em: 16 maio 2019.

Norte Magnético

Norte Geográfico

Sul Geográfico

Sul Magnético


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Contudo, o norte magnético, para onde a agulha ou o ímã apontam não corresponde à exata posição do eixo geográfico do polo norte geográfico, já que o eixo magnético terrestre não coincide com o eixo de rotação. O ângulo entre esses dois eixos é de 13º. Esse fenômeno é chamado de declinação magnética. O valor da declinação magnética de um local é facilmente encontrado em mapas ou cartas náuticas, que são atualizadas frequentemente para o uso de navegações.

2.4 AURORA POLAR

O Sol é uma estrela gigante que aquece a Terra por irradiação, mas além de calor, o que mais essa estrela superfície de 6000 oC e distante 150000000 km de nosso planeta pode enviar?

Para responder a essa pergunta devemos saber qual é o “combustível” do Sol. A energia dessa estrela é proveniente de reações termonucleares, ou seja, basicamente é da fusão nuclear de hidrogênio formando hélio no núcleo do Sol; como o hélio é menos massivo que o hidrogênio, a massa resultante desse processo é “convertida” em energia.

O Sol então emite os ventos solares, essa energia e outras partículas como prótons, nêutrons e elétrons que atingem a magnetosfera terrestre. A maioria das partículas que viajam em direção à Terra é desviada pelo campo magnético terrestre, entretanto, os polos apresentam uma região “vulnerável”. As partículas que compõem os ventos solares são direcionadas pelo próprio campo magnético terrestre e entram em nossa atmosfera.

FIGURA 8 – REPRESENTAÇÃO DOS VENTOS SOLARES (PLASMA SOLAR) ATINGINDO O CAMPO MAGNÉTICO TERRESTRE

FONTE: <https://auroraboreal.blog.br/o-que-e-aurora-boreal/>. Acesso em: 26 maio 2019.

Ao entrar em nossa atmosfera e com grande energia, essas partículas solares colidem com as partículas de oxigênio e nitrogênio que compõem a atmosfera terrestre, excitando-as. Quando essas partículas de oxigênio e nitrogênio, em sua maioria, voltam ao seu estado energético fundamental, liberam a energia em excesso em forma de luz produzindo as auroras polares. É por esse motivo que as auroras existem apenas nos polos ou em regiões próximas aos polos, sendo que no polo sul a aurora é conhecida com aurora austral, já no polo norte a aurora é conhecida como boreal.


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FIGURA 9 – AURORA POLAR

FONTE: Halliday, Resnick e Walker (2009, p. 201)

Esse evento não é exclusivo do planeta Terra, pois ocorre da mesma forma em Júpiter, Saturno, Marte e Vênus, assim como também não é exclusivo da natureza, pois se pode produzir efeito semelhante em laboratório.

Exemplo: as auroras ocorrem devido aos ventos solares que carregam partículas com grande energia que atingem o campo magnético terrestre. Existe a possibilidade da ocorrência de auroras na faixa da linha do Equador?

Solução: as auroras ocorrem quando essas partículas são desviadas e entram na região “desprotegida” da Terra pelo campo magnético, ao atingirem as partículas que formam a atmosfera terrestre excitam-nas, e quando elas voltam ao seu estado fundamental de energia liberam a energia em excesso na forma de luz.

Portanto, não há como ocorrer uma aurora na região da linha do Equador, pois as partículas provenientes do Sol, ao atingirem o campo magnético terrestre na região da linha do Equador, são desviadas por ele, não possibilitando a formação de auroras nessa região.

2.5 CAMPO MAGNÉTICO GERADO POR ATIVIDADE CEREBRAL

Nosso cérebro é ativado por estímulos e estes ativam partes do cérebro. O cheiro de um perfume, escrever com sua caneta, digitar um texto, assistir a um filme são estímulos diferentes e ativam áreas diferentes do cérebro e, consequentemente, ativam campos magnéticos nessas regiões.

A magnetencefalografia (MEG) estuda o funcionamento do cérebro por meio dos campos magnéticos gerados a diferentes estímulos aos quais o paciente é submetido. Os pulsos elétricos produzidos e enviados ao sistema nervoso geram correntes elétricas e, como sabemos, as correntes elétricas geram campos magnéticos.


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Entretanto, esses campos magnéticos gerados pelo cérebro são da ordem de 10-12, ou seja, são pouco intensos, portanto é utilizado um equipamento conhecido como SQUID (superconducting quantum interference device), que é capaz de captar campos magnéticos da ordem de 1 pT. Como o equipamento é muito sensível, durante seu uso se faz necessária uma análise minuciosa a fim de eliminar campos magnéticos gerados por outras fontes.

FIGURA 10 – CAMPO MAGNÉTICO NUM PONTO P GERADO POR ATIVIDADE CEREBRAL


Exemplo: considere a Figura 10 e que o ponto P esteja situado a uma distância de 3 cm do pulso produzido por sulcos existentes na superfície do cérebro. A distância de um pulso é da ordem de 1 mm e um pulso típico possui o valor de 10 �A. Calcule a intensidade do campo magnético a essa distância da superfície do cérebro.

Solução: para resolvermos a questão, devemos considerar a expressão:

0

4 ²idsBr

µπ

=

Que é a expressão para o Campo magnético produzido por uma corrente elétrica. Lembrando que μ0 vale 4πx10-7 T.m/A. Substituindo as grandezas, temos:

( )( )( )( )

7 6 3

22

12

4 10 . / 10 10 1 10

4 3 10

1,1 10

x T m A x A x mB

x m

B x T

π

π

− − −

−

−

=

=

Esse valor representa um campo magnético muito pequeno! Ele é cerca de um milhão de vezes menos intenso que o campo magnético da Terra.

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Neste tópico, você aprendeu que:

• O campo magnético é uma região do espaço ao redor de um ímã sobre o qual atuam forças magnéticas sobre outros objetos magnéticos.

• Não existem monopolos magnéticos.

• Todo ímã possui um campo magnético que sai do polo norte e entra no polo sul.

• O polo norte da agulha de uma bússola aponta sempre para o norte, ou seja, o polo norte da agulha é atraído pelo polo sul magnético da Terra, e o polo sul da agulha é atraído pelo polo norte magnético da Terra.

RESUMO DO TÓPICO 1

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AUTOATIVIDADE

1 Se um ímã se quebra, o que acontece com os pedaços? Você pode uni-los como estavam antes?

2 Explique o significado físico da expressão “Não existem monopolos magnéticos”.

3 Como ocorrem as auroras polares?

4 Como as sinapses do cérebro geram campos magnéticos?

5 Pessoas aventureiras costumam levar um kit com diversos utensílios a fim de livrar-lhes de possíveis enrascadas. Um desses itens é a bússola, que serve para orientação, pois:

a) ( ) Ela aponta para o polo norte geográfico.b) ( ) Ela aponta para o polo norte magnético.c) ( ) Ela aponta para o polo sul geográfico.d) ( ) Ela aponta para o polo sul magnético.e) ( ) Se a pessoa estiver abaixo da linha do Equador ela aponta para o sul magnético

e se ela estiver acima da linha do Equador ela aponta para o norte magnético.

6 Levando em consideração as propriedades magnéticas dos ímãs, julgue verdadeira (V) ou falsa (F) as afirmações a seguir:

( ) Polos de mesmo nome se repelem.( ) Um ímã cortado ao meio dá origem a dois novos ímãs.( ) Polos de nomes contrários se atraem.( ) Um ímã cortado ao meio perde as propriedades magnéticas.( ) Os metais ferromagnéticos são atraídos pelo ímã.

A sequência CORRETA é:a) ( ) V – V – F – F – V.b) ( ) F – F – V – F – V. c) ( ) F – V – F – V – F.d) ( ) V – F – F – V – F.e) ( ) V – V – V – F – V.

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TÓPICO 2

FORÇA MAGNÉTICA

UNIDADE 1

1 INTRODUÇÃOAté 1820, os fenômenos magnéticos foram estudados separadamente

aos fenômenos elétricos. O físico Hans Christian Oersted (1777-1851), em seu Livro Pesquisa sobre a identidade de forças elétricas e químicas, publicado em 1821, verificou experimentalmente que a passagem de corrente elétrica estava atrelada a fenômenos magnéticos. Ao passar uma corrente elétrica num fio condutor, observou que a agulha de uma bússola colocada próxima ao fio era defletida de sua direção original, como mostra a ilustração.

FIGURA 11 – ILUSTRAÇÃO DO EXPERIMENTO DE OERSTED

FONTE: <http://www.fisicapaidegua.com/questoes/imagens/q36_pucsp_2003.jpg>. Acesso em: 20 maio 2019.

Esse experimento foi preponderante na união da eletricidade com o magnetismo, surgindo então o eletromagnetismo. Mas se a corrente elétrica afeta o campo magnético, como acontece essa deflexão? A atuação de cargas elétricas em movimento se efetiva por meio da força magnética, que apresenta características bem específicas, como veremos neste tópico.


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2 ESTUDO DA FORÇA MAGNÉTICAComo já vimos no tópico anterior, não existem monopolos magnéticos

e, por isso, não podemos aplicar a analogia da força do campo elétrico, definido anteriormente por:

eFEq

=

Para determinar o campo magnético, consideramos a força que age sobre uma partícula quando ela passa pelo ponto do campo magnético que queremos medir. Para isso, consideramos que uma partícula de prova está se aproximando do campo magnético com uma velocidade definida por módulo, direção e sentido.

Depois de realizar esse experimento com diferentes direções entre a velocidade, campo magnético e a força magnética, verificou-se que a força magnética é resultado do produto vetorial entre o campo magnético e a velocidade da partícula:

B

v

F qv B= ×

(1)

De acordo com a Equação (1), a força magnética é resultado do produto vetorial entre a velocidade da partícula de prova e o campo magnético.

FIGURA 12 – REPRESENTAÇÃO VETORIAL DA FORÇA MAGNÉTICA

FONTE: Os autores

Unidades de medida (no Sistema Internacional):

• Campo magnético: [B] = T (Tesla)• Força Magnética: [F] = N (Newton)• Velocidade: [v] = m/s

TÓPICO 2 | FORÇA MAGNÉTICA

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Outra unidade de medida muito utilizada para campo magnético é Gauss, tal que 1G = 104T.

IMPORTANTE

Se o ângulo entre as direções da velocidade e do campo magnético for ϕ, temos:

F q vBsenφ= (2)

Dessa equação podemos interpretar as informações:

• A força magnética que atua na partícula é proporcional à velocidade.• Se a partícula estiver parada, v = 0, portanto F = 0.• Se o campo magnético e a velocidade forem paralelos, a força magnética é nula

(sen 0o = sen 180o = 0).• Se o campo magnético e a velocidade forem perpendiculares, a força magnética

é máxima (sen 90o = 1).

A direção e o sentido do vetor força-magnética podem ser obtidos por regras práticas. Existem diversas regras de mão, direita ou esquerda, utilizadas no eletromagnetismo para indicar o sentido e direção dessas grandezas. Todas equivalem e se originam de uma única regra, relacionada ao produto vetorial. Neste material vamos adotar a regra da mão direita:

FIGURA 13 – REGRA DA MÃO DIREITA

FONTE: Os autores

Na regra da mão direita, o polegar aponta para a direção da força magnética, quando os outros dedos apontam para a velocidade e para o campo magnético. Se a carga for negativa, tem sentido oposto ao do produto vetorial . v B×


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As linhas de indução magnética geradas pelo campo magnético são tridimensionais, porém as representações vetoriais são feitas no plano. Por isso, precisamos de uma convenção para representá-los, como mostra a figura a seguir:

FIGURA 14 – REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DE VETORES TRIDIMENSIONAIS

FONTE: <http://www.alfaconnection.pro.br/images/ope01.gif>. Acesso em: 19 maio 2019.

entrando no plano do desenho

saindo do plano do desenho

Embora a corrente não seja uma grandeza vetorial, também se usa essa representação para indicar quando ela entra ou sai do plano.

3 TRAJETÓRIAS CIRCULARESImagine que colocamos a partícula de prova se movendo em uma trajetória

circular com raio R, tal que a velocidade é constante. Nesse caso, a força que age sobre a carga aponta para o centro da circunferência, mantendo-se perpendicular à velocidade da partícula (HALLIDAY; RESNICK; WALKER, 2009).

Podemos visualizar esse fenômeno se considerarmos uma partícula eletrizada positivamente sendo lançada no interior de um campo magnético. Ao sofrer a ação da força magnética, a partícula descreverá uma trajetória curva e a força magnética atuará continuamente na partícula. Como consequência, o movimento da partícula será um movimento circular uniforme.

FIGURA 15 – ILUSTRAÇÃO DE UMA CARGA DE PROVA EM UMA TRAJETÓRIA CIRCULAR

FONTE: Os autores

Para a calcular o raio da trajetória que a partícula eletrizada descreve, vamos analisar esse movimento circular. Como a força é perpendicular à velocidade da partícula, esta apontará para o centro da trajetória. Desse modo, segundo a 2ª Lei de Newton, escrevemos a força centrípeta:


19

2mvFR

= (3)

Em que m é a massa da partícula. Como vimos anteriormente, o módulo da força magnética é:

F q vB=

Igualando (3) e (4), temos:

2

mvq vBR

=

Escrevendo a equação em termos do raio R:

( ) mvR raioq B

=

Essa expressão relaciona o movimento da partícula de prova em termos do raio da trajetória. Mas quanto tempo ela leva para dar uma volta completa? Para isso, vamos analisar o período de revolução T. O período é igual à circunferência pela velocidade:

2 RTvπ

=

Reescrevendo em termos da Equação (6):

( )2 2 .

mv mT T períodov q B q Bπ π

= → =

Outra grandeza característica do movimento circular é a frequência f (número de revoluções por minutos), inverso do período:

( )1 2q B

f f frequênciaT mπ

= → =

E a frequência angular é dada pela equação:

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)


20

( )2 q B

f frequência angularm

ω π ω= → =

Como vemos nas equações (8), (9) e (10), o período, a frequência e a frequência angular independem da velocidade da partícula. Portanto, partícula com a mesma razão carga massa demoram o mesmo tempo para completar uma volta em torno da trajetória circular. Já o raio da trajetória aumenta linearmente com a velocidade da carga.

qm

O sentido de rotação para uma partícula positiva é o sentido anti-horário e o sentido de rotação para uma partícula negativa é o sentido horário.

ATENCAO

4 FORÇA MAGNÉTICA EM UM FIO PERCORRIDO POR CORRENTE

Como vimos no experimento de Oersted, uma corrente elétrica gera um campo magnético. Isso significa que existe uma interação entre o campo magnético e um condutor com portadores de carga elétrica em movimento, seja por corrente contínua ou alternada. Para estudar o comportamento da força magnética em um fio percorrido por corrente, vamos nos basear na seguinte figura:

FIGURA 16 – ILUSTRAÇÃO DE UM FIO PERCORRIDO POR CORRENTE


xx

B

L i FB

(10)


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Seja vd a velocidade de deriva de um elétron que se move para baixo, num comprimento L. Após um intervalo de tempo t, todos os elétrons de condução desse trecho passam pelo plano x indicado na figura.

dLvt

=

Lembrando que a corrente elétrica é a razão da quantidade de carga que atravessa o fio em um intervalo de tempo:

qit

=

Podemos escrever a carga em termos da velocidade de deriva:

d

iL qv

=

Substituindo q na Equação (2) e sabendo que Ø = 90o:

90 dd

iLF q vBsen F v B sen F iLBv

φ= → = ° → =

A Equação (14) corresponde à força magnética que age num fio quando o campo magnético é perpendicular ao fio. Podemos generalizar a Equação (14) para casos em que o ângulo entre o campo e o fio sejam diferentes de Ø = 90o.

BF iL B= ×

Se o fio não for retilíneo ou o campo magnético for uniforme, podemos dividir o fio em pequenos pedaços e aplicar a Equação (15) na forma diferencial em cada pedaço infinitesimal:

Bd F idL B= ×

A força que se transmite ao fio é exercida pela força gerada pelo campo magnético sobre o trecho do fio, tal que é o “elemento de corrente”. idL

(11)

(12)

(13)

(14)

(15)

(16)


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5 TORQUE EM UMA ESPIRA PERCORRIDA POR CORRENTEGrandes empresas pesquisam formas de aumentar seu lucro, visando a

um baixo custo de produção e ainda há a cobrança por energia limpa ou que diminuam os impactos ambientais causados por muitas fontes de energia, na maioria, não renováveis.

Por conta disso, boa parte do trabalho no mundo é realizado por motores elétricos, pois transformam energia elétrica em energia mecânica. Esse tipo de motor possui baixo custo de produção, fácil transporte, facilidade no comando e limpeza além de possuir bom rendimento.

As forças responsáveis por esse trabalho são as forças magnéticas, ou seja, é devido ao campo magnético gerado por correntes elétricas que percorrem fios. Quando uma espira percorrida por corrente elétrica está imersa em um campo magnético, como o da figura a seguir, a espira entra em movimento de rotação.

FIGURA 17 – ESPIRA RETANGULAR PERCORRIDA POR CORRENTE ELÉTRICA (i) IMERSA EM UM CAMPO MAGNÉTICO


Pela Figura 18 vemos que as forças nos lados 2 e 4 se cancelam, pois possuem mesma intensidade e sentidos opostos. Entretanto, as forças 1 e 3 são aplicadas em sentidos opostos fazendo a espira girar.


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FIGURA 18 – ESPIRA PERCORRIDA POR CORRENTE ELÉTRICA IMERSA EM CAMPO MAGNÉTICO COM VISTA PERPENDICULAR À CORRENTE


O módulo da força que age sobre os lados 1 e 3 é:

1 3 senF F iaB θ= =

O torque sobre a espira será:

1 3. . 2 2b bF Fτ = +

O fator é devido ao eixo de rotação ser no centro do lado b da espira. 2b

sen . sen . 2 2

sen

b biaB iaB

iabB

τ θ θ

τ θ

= +

=

Como a área (A) da espira é dada por: A = ab, temos:

seniABτ θ=

Se considerarmos uma bobina, devemos multiplicar a Equação 17 pelo número de espiras que compõem essa bobina:

senNiABτ θ=

(14)

(15)

(16)

(17)

(17)

(18)


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Portanto, a equação representa o módulo do torque total aplicado sobre a bobina e vale para qualquer tipo de bobina, independentemente do formato geométrico. Nos motores elétricos é necessário o uso de um comutador, dispositivo que inverte o sentido da corrente.

6 ENERGIA EM UM DIPOLO MAGNÉTICOUma bobina percorrida por corrente elétrica que sofre um torque quando

submetida a um campo magnético se comporta como um ímã de barra possuindo um dipolo magnético. Podemos, então, associar um momento magnético dipolar (μ) à bobina, sendo este definido por:

NiAµ =

Portanto, a Equação 18 pode ser reescrita na forma:

senBτ µ θ=

Considerando o ângulo θ entre e , podemos escrever o torque na forma vetorial:

µ B

(19)

(20)

Bτ µ= Χ

(21)

A Equação 21 se assemelha à equação para o torque exercido por um campo elétrico em um dipolo elétrico: . Para dipolos elétricos, a energia potencial é dada por: , portanto, analogamente, a energia potencial magnética é:

p Eτ = Χ

U p E= ⋅

U Bµ= ⋅

(22)


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LEITURA COMPLEMENTAR

HISTÓRIA DA ELETRICIDADE

Mauricio Massazumi Oka

A primeira observação da eletrificação de objetos por atrito perdeu-se na antiguidade. Os filósofos gregos, como por exemplo, Thales de Miletus, no ano 600 a.C., já sabiam que ao esfregar uma peça de âmbar com um pedaço de lã ou pele eram capazes de conferir ao âmbar a propriedade de atrair pequenos pedaços de palha. A palavra elétron, aliás, deriva da palavra âmbar (elektron), em grego. Esta constatação originou a ciência da eletricidade.

Os gregos sabiam também que algumas "pedras", as magnetitas (lodestones) que eram encontradas em Magnésia, uma localidade da Ásia Menor, podiam atrair exclusivamente o ferro, e isto mesmo sem serem esfregados. O estudo desta propriedade origina a ciência do magnetismo. No século 11, árabes e chineses usavam a magnetita flutuando sobre a água para se orientarem ao navegar pelos mares. Eram as bússolas. O primeiro estudo sistemático dos ímãs foi feito em 1269 por Pierre de Maricourt. Ele usou uma agulha magnetizada para traçar o que chamava de "linhas de força" ao redor de uma esfera de magnetita e descobriu que estas linhas convergem em duas regiões, em lados opostos da esfera, como as linhas longitudinais da Terra. Por analogia, ele chamou as regiões onde as linhas de força convergem de polos.

Em 1600, William Gilbert estendeu estes trabalhos e sugeriu que a própria Terra se comporta como um gigantesco ímã. Por volta de 1753, observações de que relâmpagos eram capazes de conferir propriedades magnéticas a peças de ferro sugeriam uma convergência entre a eletricidade e o magnetismo, mas demorou ainda algum tempo até que a relação entre as duas ciências se tornasse clara.

Em 1600, William Gilbert, médico da rainha Elizabeth I, foi o primeiro a distinguir claramente entre fenômenos elétricos e magnéticos. Foi ele quem cunhou a palavra eletricidade, derivando-a de "elektron" que significa âmbar, em grego. Gilbert mostrou que o efeito elétrico não é exclusivo do âmbar, mas que muitas outras substâncias podem ser carregadas eletricamente ao serem esfregadas.

Em 1729, Stephen Gray observou que era capaz de transferir a carga elétrica de um bastão de vidro para uma bola de marfim pendurada por um barbante. Porém a transferência de carga não ocorria se a bola era pendurada por um fio metálico. Daí concluiu que o metal "levava embora" o fluido (carga). Gray concluiu que a maior parte das substâncias podem ser classificadas de condutoras ou isolantes. Os condutores, como por exemplo, os metais e soluções iônicas, permitem o fluxo livre do fluido, enquanto que os isolantes, como por exemplo, a madeira, borracha, seda e vidro não permitem o fluxo do fluido.


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Quando um bastão de vidro é friccionado por seda, ambos ficam carregados. Imagine a seguinte experiência. Duas bolas de isopor são suspensas por fios e colocadas próximas uma da outra. Ao tocar ambas as bolas com o bastão de vidro, ou ambas com seda, as bolas se repelem. Tocando uma das bolas com o vidro e a outra com seda elas se atraem.

Baseado neste tipo de evidência, Charles Du Faye, em 1733, propôs que existem dois tipos de cargas, que são observáveis como "fluxos elétricos", e que as cargas iguais se repelem enquanto que as cargas diferentes se atraem. O tipo da carga do vidro foi chamado de "vítreo" e o tipo da carga da seda ou do âmbar de "resinoso". Du Fay acreditava que estas cargas eram separadas pelo ato da fricção.

Por volta de 1750, Benjamin Franklin propôs que um único tipo de fluido flui de um corpo para o outro pela fricção, designando de positivamente carregado o corpo que acumulou fluido e negativamente carregado o corpo que perdeu fluido. Franklin realizou também a seguinte experiência: colocou duas pessoas, A e B, sobre um pedestal coberto de graxa para evitar a perda de carga. Depois de carregar um deles com o bastão de vidro e o outro com o pano de seda, observou que um terceiro indivíduo, C, aproximando-se de qualquer um deles causava o aparecimento de uma faísca.

Contudo, se A e B se tocavam, não havia faísca. Franklin concluiu que as cargas armazenadas no bastão de vidro e na seda eram de mesma amplitude, mas de sinais opostos e propôs ainda que a carga nunca é criada ou destruída, mas simplesmente transferida de um corpo para o outro. Hoje chamamos a esta propriedade de Conservação da Carga.

Em 1753, John Canton descobriu que é possível carregar um objeto metálico isolado eletricamente mesmo sem tocá-lo fisicamente com outro objeto carregado. Imagine, por exemplo, duas bolas metálicas sobre pedestais isolantes, em contato entre si. Aproxima-se um bastão de vidro positivamente carregado de uma das bolas. Nesta situação, separa-se as duas bolas e afasta-se o bastão de vidro. Canton observou que a bola próxima ao bastão de vidro ficou carregada negativamente, enquanto que a outra ficou carregada positivamente, e que a quantidade de carga armazenada era a mesma nas duas bolas. Este fenômeno é chamado de indução.

Durante todo o século XVIII, uma série de experiências foram realizadas, mas as observações eram meramente qualitativas. O primeiro passo importante na quantificação das forças elétricas foi dado pelo químico Joseph Priestley, descobridor do oxigênio, em 1766. Poucos anos antes, Benjamin Franklin havia realizado a seguinte experiência. Era conhecido que um copo metálico carregado era capaz de atrair um pequeno corpo descarregado e que este corpo neutro se carregava prontamente em contato com a superfície externa do copo. Contudo, ao suspender uma pequena esfera de cortiça no interior de um copo metálico tapado carregado, constatou que não atuava nenhuma força sobre a cortiça. E ainda, colocando o corpúsculo em contato com a superfície interna do copo, ele não se carregava. A pedido de Franklin, Priestley confirmou tal resultado. A única força conhecida à época era a força da gravidade, proporcional a 1/r².


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Sabia-se também que a força no centro de uma distribuição de massa na forma de uma calota esférica seria nula. Por analogia, Priestley propôs que a força elétrica deveria ser proporcional a 1/r².

Contudo, o trabalho definitivo sobre as forças elétricas é creditado a Charles Auguste Coulomb. Em 1785, Coulomb realizou o seguinte experimento. Ele carregou com uma quantidade de carga Q uma pequena bola de seiva vegetal ("pith") recoberta de ouro. Tocando-a com uma outra bola idêntica, sabia que cada uma delas ficaria com metade da carga (Q/2). Repetindo esse processo, Coulomb foi capaz de obter várias quantidades de carga. Para medir a força entre as bolas ele valeu-se de uma balança de torção.

Durante o século XVIII, os conceitos de diferença de potencial e corrente elétrica foram sendo desenvolvidos aos poucos. Contudo, um estudo mais sistemático da correlação entre estas duas grandezas era dificultado por uma série de razões. Uma das razões era a inexistência de uma fonte de corrente contínua. Até 1800, a única forma para produzir uma corrente elétrica era descarregar uma garrafa de Leyden ("Leyden jarr") através de um condutor. Naturalmente, isto produzia apenas uma corrente transitória. Não se sabia também se o condutor era apenas um caminho através do qual passa o "fluido" elétrico ou se exercia algum outro papel ativo. Além disso não existiam instrumentos de medidas de grandezas elétricas. Os investigadores precisavam usar seu corpo, língua e olhos como detectores.

Outras pessoas tentaram reproduzir o experimento, sem sucesso, pois procediam da forma usual, isolando a garrafa enquanto a carregavam. Três meses depois, em 1746, Pieter van Musschenbroek, um professor na Universidade de Leiden, percebeu que era necessário segurar a garrafa tanto durante a carga quanto durante a descarga. Durante o carregamento, o condutor interno carregado (a água) induz uma carga oposta no outro condutor (a mão), que fica conectado ao terra por meio de um condutor (o corpo). O choque é sentido quando as cargas passam de uma mão para a outra. O processo de descarga é muito mais rápido que o de carga. Outros, logo perceberam que a água poderia ser substituída por bolinhas de chumbo. Mais tarde, as bolinhas de chumbo e a mão foram substituídas por folhas de metal cobrindo as superfícies interna e externa da garrafa de vidro. Depois, Benjamin Franklin substituiu a garrafa de vidro por uma placa plana de vidro. Finalmente, o mais simples destes dispositivos passou a ser duas placas metálicas paralelas separadas por ar. Surgia assim o "condensador", hoje mais conhecido como capacitor.

Em 1780, Luigi Galvani, fisiologista italiano, descobriu a "eletricidade animal" e realizava experiências sobre os efeitos da descarga elétrica através de tecidos animais, usando geradores eletrostáticos. Ele havia dissecado um sapo e ocorreu de estar tocando num nervo com um bisturi quando um gerador nas proximidades produziu uma descarga elétrica. Isto fez com que os músculos do sapo se contraíssem, mesmo sem haver contato elétrico entre o gerador e o bisturi, ou seja, por indução, um fenômeno que era desconhecido a Galvani. Ao invés de


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ater-se à indução, no entanto, Galvani resolveu usar esta descoberta para outro fim. Ele observou que as pernas de um sapo pendurado por um nervo se contraíam quando ocorria um relâmpago e decidiu tentar medir a eletricidade existente com tempo bom e seco (fair-weather field), que era sabido existir. Ele prendeu a espinha do sapo num gancho de latão e pendurou o sapo numa grade de ferro.

Quando nada ocorria por um bom tempo ele se impacientou e, enquanto remexia no arranjo, inadvertidamente tocou o gancho na grade, quando começou a observar uma série de contrações dos músculos do sapo. O mesmo efeito foi observado quando o sapo foi colocado sobre uma mesa de ferro e o gancho foi colocado em contato com a mesa. Mais tarde ele descobriu que outros pares de metais, como por exemplo, Cu e Zn, eram também capazes de causar estas contrações. Ele publicou os resultados em 1791 e chamou o fenômeno de "eletricidade animal".

Alessandro Volta, da Universidade de Pavia, repetiu os experimentos e inicialmente aceitou a ideia da "eletricidade animal". Ele observou que quando duas tiras de metal – como por exemplo, prata e zinco – eram unidas e as outras extremidades eram colocadas em contato com a língua, uma sensação definida de "gosto" era produzida. Volta, de fato, usou o gosto para classificar as propriedades elétricas dos metais. Em 1796, ele descobriu que placas de Cu e Zn ficam carregadas pelo mero contato dos dois metais. Ele finalmente concluiu que o efeito dependia do uso de diferentes metais e que o tecido animal funcionava apenas como um meio condutor entre os dois.

Numa tentativa de amplificar o efeito, empilhou vários discos de Zn e Cu, mas não observou nenhum aumento do efeito. A capacidade de enguias elétricas produzir choques elétricos era conhecida desde a época dos gregos. Volta sabia também que os órgãos elétricos destes animais possuíam uma estrutura laminar (de várias camadas) intercaladas por fluido. Ele se valeu dessa evidência e separou os pares de discos de Zn e Cu com papel ensopado por solução salina ou ácida. Com este arranjo ele pôde produzir várias centelhas e incandescer fios metálicos. Em 1799, ele anunciou o invento da "pilha voltaica", que pela primeira vez permitiu gerar uma corrente contínua, o que foi de importância fundamental para o estudo futuro do eletromagnetismo.

A primeira distinção entre condutor e isolante havia sido feita por Stephen Gray, em 1729, conforme já foi descrito. Um avanço importante na determinação da condutividade foi dado por Henry Cavendish, em 1772. Ele usou seu próprio corpo como um detector do choque produzido pela descarga de uma garrafa de Leydan. Por exemplo, ele descarregou a garrafa através de tubos preenchidos com água potável ou com água do mar e ajustou o comprimento dos tubos até que a sensação de choque fosse a mesma nos dois casos, concluindo que a água do mar é 720 vezes mais condutora que a água potável. Ele tentou também segurar com as mãos fios metálicos por onde passava uma descarga elétrica para comparar o quanto cada metal conduzia. Em 1827, Georg Simon Ohm conseguiu demonstrar que a diferença de potencial através de um dispositivo é diretamente


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proporcional à corrente através dele. É o que conhecemos hoje como a lei de Ohm. Dispositivos que seguem a lei de Ohm são conhecidos de ôhmicos e aqueles que não seguem, de não ôhmicos.

As ciências da eletricidade e magnetismo desenvolveram-se isoladamente, até que em 1820 Hans Christian Oersted encontrou uma conexão entre os dois fenômenos. Enquanto preparava uma aula, Oersted observou que uma corrente elétrica passando por um condutor era capaz de causar a deflexão na agulha da bússola. Surgia assim a ciência do eletromagnetismo. Mais tarde, Oersted descobriu também que um ímã é capaz de gerar uma força sobre um fio conduzindo corrente. Michael Faraday realizou uma série de estudos experimentais e sobre estes dados trabalhou James Clerk Maxwell, que deu a forma matemática do eletromagnetismo, as leis de Maxwell.

A grande descoberta de Maxwell em eletromagnetismo é a previsão de que a luz é uma onda eletromagnética e que sua velocidade pode ser determinada por medidas puramente elétricas e magnéticas. Em 1888, no artigo intitulado "On Electromagnetic Waves in Air and Their Reflection", H. Herz prova experimentalmente as previsões de Maxwell. Em 1879, Edwin H. Hall, sob orientação do professor Henry Roland, da Universidade Johns Hopkins, efetuou a medida do que conhecemos hoje como efeito Hall, usando um condutor de cobre, e descobriu que a corrente elétrica num metal é devido ao fluxo de um fluido que possui carga negativa. Provou ainda que, ao contrário do que Oersted sugerira, um campo magnético exerce a força sobre o fluido no condutor e não sobre o conduto.

Por volta de 1860 foi descoberto que uma grande diferença de potencial através de um ambiente contendo gás rarefeito (0,01 atm) causava fluorescência do gás. O aparato para estes estudos era contido em tubos de vidro. Quando a pressão era ainda mais baixa (10-3 mm de Hg), o tubo como um todo ficava escuro, mas observavam-se feixes luminosos de cor azulada emanando do eletrodo negativo (catodo). Onde os "raios catódicos" invisíveis atingiam a superfície do tubo de vidro observava-se a fluorescência do vidro, que brilhava numa cor esverdeada ou azulada. Descobriu-se que o "raio catódico" caminhava em linha reta, pois plaquetas de mica posicionadas no caminho do feixe produzia uma sombra na parede de vidro. Nos idos de 1880 conhecia-se uma série de fatos: (1) o raio era defletido por um campo magnético como se fossem cargas negativas; (2) o raio era emitido perpendicularmente à placa do catodo, ao contrário da luz que era emitido para todas as direções; (3) o raio carregava momento (uma vez que era capaz de girar pequenas hélices) e energia (uma vez que era capaz de aquecer um corpo). No início não se sabia se o "raio catódico" era uma onda eletromagnética ou um fluxo de partículas carregadas. Heinrich Hertz tentou defletir o raio por meio de campos elétricos, aplicando uma tensão, inicialmente de 22 V, entre duas placas planas paralelas, sem resultados. Ao atingir 500 V houve geração de uma descarga entre as placas e os estudos foram interrompidos. P. Lenard, assistente de Hertz, descobriu que o raio era capaz de atravessar finas folhas de metal (2 µm) e percorrer distâncias de até 1 cm no ar. Como as folhas metálicas não permitiam a passagem do gás de hidrogênio, o menor dos átomos, ficava provado que o


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"raio catódico" não era um feixe de átomos. Se os raios fossem feixes de partículas carregadas deveria haver geração de campo magnético, mas Hertz não foi capaz de medir tal campo. Desse modo, a maioria dos cientistas alemães acreditava que o "raio catódico" deveria ser algum tipo de campo.

Em 1895, J. Perrin, na França, foi capaz de coletar os raios num cilindro e mostrar que eles carregavam cargas negativas.

Com um campo magnético defletindo o raio, foi capaz de evitar a coleta de carga, mostrando que o "raio catódico" era constituído de partículas. O aparato para estudar o "raio catódico" era o tubo de raio catódico (CRT – Cathode Ray Tube). Em 1897, J. J. Thomson, em Cambridge, realizou uma série de experimentos utilizando o CRT para estudar o elétron, que à época ele chamava de "corpúsculo". O CRT consistia de um catodo, onde o raio era gerado, e um anodo que possuía um pequeno orifício, para onde o raio era acelerado por meio de uma diferença de potencial aplicada entre os dois eletrodos. O conjunto era montado dentro de uma câmara de vidro mantida à baixa pressão. Na linha da trajetória do raio, o aparato permitia aplicar um campo magnético conhecido e existia ainda um par de placas paralelas, onde se aplicavam tensões que geravam um campo elétrico defletor. Thomson conseguiu provar, de início, que o raio podia ser defletido pelo campo elétrico. Isto foi possível porque Thomson trabalhava com níveis de vácuo melhores que os usados por Hertz.

Baseado nisso, Thomson realizou a seguinte sequência de medidas:

i) observar o ponto em que o feixe de cargas atinge a tela do CRT quando nem o campo elétrico nem o campo magnético são aplicados;

ii) observar o ponto em que o feixe de cargas atinge a tela do CRT quando o campo magnético é aplicado;

iii) determinar a intensidade do campo elétrico necessário para compensar o campo magnético, fazendo com que a posição observada em (ii) volte para a posição de (i). Para marcar as posições, a tela de vidro do CRT era coberta por um material fosforescente, como por exemplo, o ZnS.

Thomson sabia, pelo conhecimento do seletor de velocidade, que a velocidade da partícula era v = E/B. A velocidade de suas partículas era de 3x107

m/s Thomson utilizou vários gases no interior do tubo, mas obtinha sempre o mesmo valor de q/m para o "corpúsculo", concluindo que observava sempre a mesma partícula. Supondo ainda que este "corpúsculo" tivesse a mesma carga do íon H+, concluiu que o "corpúsculo" deveria ter uma massa pelo menos 1000 vezes menor que o menor dos átomos, isto numa época em que muitos cientistas ainda relutavam em aceitar a ideia do átomo. Assim, o elétron foi a primeira partícula subatômica descoberta pelo homem e marca o início da eletrônica tal qual a conhecemos hoje.

Durante os séculos XVII e XVIII acreditava-se que tanto a matéria quanto a carga elétrica fossem contínuas. Em 14 de dezembro de 1900, Max Planck apresentou o seu artigo "Sobre a teoria da lei da distribuição de energia do espectro normal"


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sobre a radiação térmica em que sugere pela primeira vez que esta radiação não seria um fluxo contínuo de energia, mas sim um fluxo de pacotes de energia. Este trabalho é considerado hoje a origem da física quântica clássica.

Em 1909, R. Andrew Millikan demonstrou que a carga elétrica é também quantizada. Em 1900, Drude sugeriu que num metal a condução de corrente é feita por uma nuvem de elétrons e desenvolveu toda uma teoria de condução térmica e elétrica, aplicando a teoria cinética dos gases. A teoria cinética dos gases supõe que as moléculas de gases são esferas sólidas idênticas que se movem em linha reta até colidir com uma outra molécula do gás. Drude supôs adicionalmente que as cargas positivas pertenciam a partículas muito mais pesadas que o elétron, que eram consideradas imóveis.

No modelo de Drude supunha-se que os elétrons possuíam uma distribuição de velocidade eletrônica dada pela distribuição de Maxwell Boltzmann. Pouco tempo depois de Pauli apresentar o seu princípio da exclusão, isto é, que dois elétrons não podem assumir exatamente a mesma energia, Sommerfeld aplicou a mesma ideia ao modelo de Drude.

Isto implicava aplicar a distribuição de Fermi-Dirac, o que ajudou a corrigir uma série de falhas do modelo de Drude. O modelo de Sommerfeld ainda deixava de explicar muitas observações experimentais. As razões para as falhas eram algumas hipóteses que eram assumidas no modelo. Hoje, sabe-se que as principais fontes dos erros de predição eram as seguintes hipóteses:

i) aproximação de elétron livre; ii) aproximação de elétrons independentes; iii) aproximação de tempo de relaxação nula.

Neste meio-tempo, o modelo do átomo foi também sendo desenvolvido:

1- Em 1904, Thomson apresentou o modelo de um átomo como sendo uma espécie de "pudim de passas", uma distribuição contínua de carga positiva contendo elétrons de carga negativa.

2- Em 1911, Ernest Rutherford apresenta o modelo de um átomo contendo um núcleo de carga positiva circundada por elétrons.

3- Em 1913, Niels Bohr propõe que as "órbitas" dos elétrons são quantizadas e que os raios atômicos são múltiplos de 2 π h, onde h é a constante de Planck. Com isso explica os espectros atômicos.

4- Em 1925, Erwin Schröedinger desenvolve a equação de Schröedinger e o conceito da função de onda.

5- Resolve a equação de Schröedinger no caso de um elétron confinado num potencial eletrostático de um próton e consegue determinar os mesmos níveis de energia previstos pelo modelo de Bohr para o átomo de hidrogênio.

Simultaneamente adquiria-se também uma série de conhecimentos a respeito da radiação eletromagnética, como a sua dualidade onda partícula (fóton), da quantização dos fótons, bem como das diferentes formas como a


32

radiação eletromagnética e a matéria interagem. Um destes conhecimentos era o espectro atômico que era explicado pelo modelo atômico de Bohr. Por outro lado, em 1913, W. H. Bragg e W. L. Bragg se valiam do raio X para estudar a cristalografia dos sólidos, isto é, o arranjo dos átomos num sólido. Foi descoberto que alguns sólidos, como por exemplo, os cristais iônicos, formavam redes periódicas tridimensionais. Como os íons de uma rede cristalina perfeita são arranjados como uma rede periódica regular, passou-se a considerar um potencial periódico e o comportamento de um elétron em tal potencial. Este estudo (Teorema de Bloch) leva à conclusão de que em um potencial periódico os elétrons podem apresentar energias apenas dentro de certas faixas de energia, ou seja, prevê que existem bandas de energia permitidas (como as bandas de valência e de condução), com bandas de energia proibida entre elas. O estudo da condutividade de um elétron num potencial periódico foi também feito supondo que o elétron não é uma partícula, mas sim, um pacote de onda com o nível de elétron livre. Esta aproximação é chamada de modelo semiclássico, cujo resultado mais expressivo é a previsão da existência das lacunas.

[...]

FONTE: OKA, Mauricio Massazumi. História da eletricidade. 2000. Disponível em: http://www.lsi.usp.br/~dmi/manuais/HistoriaDaEletricidade.pdf. Acesso em: 30 set. 2019.

33

RESUMO DO TÓPICO 2Neste tópico, você aprendeu que:

• Um fio condutor na qual circula uma corrente elétrica, gera um campo magnético.

• A força magnética é resultado do produto vetorial entre o campo magnético e a velocidade da partícula:

F qv B= ×

• Numa trajetória circular, uma carga de prova pode ser descrita em termos:

( )

( )

( )

2

1 2

mvR raioq B

mT períodoq B

q Bf f frequência

T m

π

π

=

=

= → =

• A força magnética em um fio percorrido por corrente é:

BF iL B= ×

E também pode ser descrita em forma infinitesimal:

Bd F idL B= ×

• Quando uma espira percorrida por corrente elétrica está imersa em um campo magnético, a espira entra em movimento de rotação. Numa espira, o torque aplicado é conhecido pela expressão:

senNiABτ θ=

(15)

34

AUTOATIVIDADE

FIGURA – ESQUEMA DA EXPERIÊNCIA REALIZADA PELO FÍSICO DINAMARQUÊS,HANS CHRISTIAN OERSTED, EM 1820

FONTE: <http://www.fisicapaidegua.com/questoes/imagens/q36_pucsp_2003.jpg>. Acesso em: 24 out. 2019.

Ao fechar a chave Ch, a fonte de tensão V faz circular uma forte corrente elétrica pelo circuito. Com isso, verifica-se que:

a) ( ) A agulha da bússola não se move, porque a corrente elétrica gera um campo elétrico.

b) ( ) A agulha da bússola deflete, tendendo a ficar perpendicular ao fio, porque a corrente elétrica gera um campo magnético.

c) ( ) A agulha da bússola é atraída pelo fio, porque a corrente elétrica gera um campo magnético.

d) ( ) A agulha da bússola é repelida pelo fio, porque a corrente elétrica gera um campo magnético.

e) ( ) A agulha da bússola não se move, porque somente a corrente elétrica alternada gera campo magnético.

1 A figura a seguir mostra um esquema da experiência realizada pelo físico dinamarquês, Hans Christian Oersted, em 1820, considerada um dos marcos iniciais do eletromagnetismo. Com a chave Ch aberta, não há passagem de corrente pelo circuito e a bússola aponta na direção norte-sul terrestre.

2 (HALLIDAY; RESNICK; WALKER, 2009) Uma linha de transmissão horizontal é percorrida por uma corrente de 5000 A no sentido sul-norte. O campo magnético da Terra (60,0µT) tem a direção norte e faz um Ângulo de 70,0º com a horizontal. Determine (a) o módulo e (b) a direção da força magnética exercida pelo campo magnético da Terra sobre 100 m da linha.

3 Analise as afirmações a seguir em relação à força magnética sobre uma partícula carregada em um campo magnético.

35

I- Pode desempenhar o papel de força centrípeta.II- É sempre perpendicular à direção de movimento.III- Nunca pode ser nula, desde que a partícula esteja em movimento.IV- Pode acelerar a partícula, aumentando o módulo de sua velocidade.

Assinale a alternativa CORRETA:a) ( ) I e II são verdadeiras.b) ( ) Somente II é verdadeira.c) ( ) Somente IV é verdadeira.d) ( ) II e III são verdadeiras.e) ( ) I e IV são verdadeiras.

4 Uma bobina circular de 160 espiras tem um raio de 1,90 cm. (a) Calcule a corrente que resulta em um momento dipolar magnético de módulo 2,3 A.m². (b) Determine o valor máximo do torque a que a bobina é submetida quando, sendo percorrida por essa corrente, é colocada na presença de um campo magnético uniforme de módulo 35,0 mT.

37

TÓPICO 3

CAMPOS MAGNÉTICOS

PRODUZIDOS POR CORRENTES

UNIDADE 1

1 INTRODUÇÃOCom os resultados experimentais de Oersted e o estabelecimento do

Eletromagnetismo foi possível concluir que em cargas elétricas em movimento existe uma força de interação magnética. As manifestações de fenômenos magnéticos são explicadas por meio dessa força entre cargas em movimento.

Desse modo, a deflexão sofrida pela bússola no experimento de Oersted tem origem devido a essa força. Do mesmo modo é responsável ela orientação da agulha magnética na direção norte-sul de uma bússola e a atração e repulsão gerada por ímãs.

Alguns anos depois, Michael Faraday (1791-1867) apresentou a ideia de campos magnéticos e elétricos. Os campos podem ser representados por linhas de campo, como vimos no tópico anterior a representação da indução magnética para ímãs. Em fios percorridos por corrente elétrica, as linhas de campo são circulares e fechadas, como estudaremos nesse tópico.

A força magnética é gerada pela presença de um campo magnético, e as aplicações cotidianas consistem em inúmeros dispositivos que utilizamos, desde liquidificadores a discos rígidos de computadores. Começaremos estudando como determinar um campo magnético em um elemento de um fio condutor sujeito a uma diferencial de potencial e produzindo uma corrente elétrica, e finalizaremos nosso estudo analisando os solenoides e bobinas.

2 CAMPO MAGNÉTICO PRODUZIDO POR CORRENTE

A figura a seguir mostra um elemento de fio condutor percorrido por uma corrente elétrica i. Como vimos, a corrente gera um campo magnético em torno do fio e que pode ser observado num ponto arbitrário que chamaremos de P.

38


FIGURA 19 – ILUSTRAÇÃO DE UM FIO PERCORRIDO POR CORRENTE GERANDO UM CAMPO MAGNÉTICO

FONTE: Os autores

Para definir o sentido das linhas de um campo magnético, usamos a regra da mão direita. O dedo polegar representa o sentido da corrente e os demais dedos apontam para o sentido das linhas de indução magnética. Ou seja, envolva o elemento de corrente com a mão direita, tal que o polegar aponta no sentido da corrente, enquanto que os outros dedos indicam a orientação das linhas de campo magnético produzido pela corrente.

FIGURA 20 – DISPOSIÇÃO DOS DEDOS EM RELAÇÃO À CORRENTE E ÀS LINHAS DE CAMPO MAGNÉTICO

FONTE: <https://donaatraente.wordpress.com/enquadramento-teorico/campo-magnetico/regras-para-determinar-o-sentido-do-campo-magnetico/>. Acesso em: 24 out. 2019.

Para o cálculo do campo magnético produzido por uma corrente, vamos começar analisando um elemento infinitesimal do fio condutor apresentado na seguinte figura:

FIGURA 21 – ELEMENTO DE CORRENTE PRODUZINDO UM CAMPO MAGNÉTICO


i Corrente

ds rθ

P

(para dentrodopapel)dB

id s

r

TÓPICO 3 | CAMPOS MAGNÉTICOS PRODUZIDOS POR CORRENTES

39

Para cada elemento do fio, associamos um comprimento , cuja direção é a mesma da corrente. Para determinar o campo magnético produzido pelo elemento de corrente , escolhemos um ponto P no exterior do fio. Portanto, o módulo do campo magnético é dado por:

ds→

dB→

ds→

02

70 0

. . 4 .

4 .10 . /

i ds sendBr

permeabilidadedovácuo T m A

µ θπ

µ µ π −

=

→ → =

Vetorialmente, podemos escrever em termos produto vetorial do elemento de corrente e a distância do ponto P:

024 .

ˆ.i ds rdBr

µπ

×=

Essa equação é conhecida como Lei de Biot-Savart e se baseia em observações experimentais. Ela é utilizada para determinar o campo magnético em diferentes geometrias, como veremos neste tópico.

Para calcular o campo magnético produzido pela corrente elétrica em um fio com comprimento muito grande (infinito), consideramos o esquema da figura a seguir. O campo magnético produzido no ponto P aponta para dentro do papel. “O módulo do campo magnético é determinado pelos elementos de corrente que compõem a metade superior de um fio infinitamente longo, integrando dB de 0 a ∞ ” (HALLIDAY; RESNICK; WALKER, 2009, p. 236).

FIGURA 22 – ELEMENTO DE CORRENTE PRODUZINDO UM CAMPO MAGNÉTICO


i

s r

θ

P

(para dentrodopapel)dB

id s

r

R

40


Como o campo magnético produzido pela metade superior é igual ao produzido na metade inferior, basta multiplicar a integral por 1:

020 0

.2 24

i sen dsB dBr

µ θπ

∞ ∞= =∫ ∫

De acordo com a figura, podemos escrever a distância por meio de relações trigonométricas:

( )

2

2 2

²r s R

Rsen sens R

θ π θ

= +

= − =+

Resolvendo a integral obtemos:

( )0 02 20

2 2

i Rds iB fio retilíneolongos R R

µ µπ π

∞= =

+∫

O campo magnético produzido pela metade superior ou inferior do fio é metade desse valor, ou seja:

( )0 4

iB fio retilíneo semi infinitoR

µπ

= −

Como vemos na equação anterior, o módulo do campo magnético depende da corrente elétrica que percorre o fio, e da distância entre o ponto arbitrário e o fio.

3 FORÇA ENTRE DUAS CORRENTES PARALELASDois fios longos e paralelos percorridos por corrente sofrem interferência

por meio do campo gerado entre eles, e desse modo também exercem forças um sobre o outro. Veja a figura:


41

FIGURA 23 – FIOS PARALELOS PERCORRIDOS POR CORRENTE ELÉTRICA


Como vemos, as correntes percorrem o fio no mesmo sentido. De acordo com a regra da mão direita, a corrente ib entra pelo lado direito e sai pelo lado esquerdo, assim como a corrente ia. Entre os dois fios, há uma força de atração devido à diferença do sentido do campo magnético nessa região. Ao aplicar a regra da mão direita, para verificar o sentido do campo elétrico, concluímos que correntes paralelas se atraem enquanto que correntes opostas se repelem.

Para calcular a força magnética entre os dois fios, consideramos o campo magnético gerado por um fio longo:

0

2iBR

µπ

=

A definição de força magnética que o segmento L (indicado na Figura 23) do fio b devido à presença do campo magnético produzido pelo fio a é:

ba b aF i L B= ×

Sabendo que o comprimento L e o campo magnético são perpendiculares, o módulo é dado por:

90ba b aF i LB sen= °

Substituindo a equação do campo magnético na força magnética, obtemos:

0

2a

ba biF i Ld

µπ

=

42


A definição de Ampère (uma das sete unidades básicas do SI) adotada em 1946 é: “O ampère é a corrente constante que, quando mantida em dois condutores retilíneos, paralelos, de comprimento infinito e seção reta desprezível, separados por 1 m de distância no vácuo, produz em cada um uma força de módulo 2 x 10-7 N por metro de comprimento dos fios” (HALLIDAY; RESNICK; WALKER, 2009, p. 241).

INTERESSANTE

4 LEI DE AMPÈREAo assistir aos resultados apresentados por Oersted, em 1820, na

Academia de Ciências da França, o físico José Marie Ampère imediatamente deu início a uma série de experiências, cujo primeiro resultado estudava a interação magnética entre dois fios transportando correntes.

Podemos usar a Lei de Ampère para calcular o campo magnético associado a uma distribuição de correntes em que o sistema possui algum tipo de simetria. Segundo as experiências de Ampère, as linhas de forças magnéticas são fechadas, isto é, acontecem em curvas fechadas conhecidas como amperianas.

A circulação de B é sempre diferente de zero e proporcional à intensidade de corrente i total que atravessa a curva:

( )0. envB ds i Lei de Ampèreµ=

∮

Na Lei de Ampère, a curva C é fechada e arbitrária, e i é a corrente total que atravessa a amperiana, e o produto escalar é o produto entre o campo magnético B e o elemento ds. Para compreender melhor, observe a imagem:

FIGURA 24 – APLICAÇÃO DA LEI DE AMPÈRE A UMA CURVA FECHADA


i3

Amperiana

θid s

Sentido de integração

i2

i1

B


43

Como vemos na figura, a amperiana traçada envolve apenas duas correntes, i1 e i2, enquanto a corrente i3 está fora da curva. O sentido da amperiana também é determinado arbitrariamente para realizar a integração foi o sentido anti-horário.

Ainda, precisamos analisar as correntes que atravessam a área dessa curva, segundo a regra da mão direita: envolva a amperiana com a mão direita e os dedos apontando no sentido da integração. A corrente no sentido do polegar recebe sinal positivo e a corrente no sentido oposto recebe sinal negativo.

Na Figura 24, a corrente i1 é positiva e a corrente i2 é negativa, portanto, a corrente envolvida é igual à diferença entre as duas correntes:

1 2 envi i i= −

Embora a corrente i3 contribua para o módulo do campo magnético do lado esquerdo da equação da Lei de Ampère, as contribuições se cancelam quando a integração acontece na curva fechada, por isso consideramos apenas as correntes que se encontram no interior da amperiana.

5 SOLENOIDES E TOROIDESOutra situação em que a Lei de Ampère é aplicada é no campo magnético

produzido pela corrente em uma bobina do tipo solenoide. Primeiramente, consideramos que o comprimento do solenoide é muito maior que o diâmetro. Com base na figura a seguir, demonstraremos a lei de Ampère para solenoides:

FIGURA 25 – A) LINHAS DE CAMPO MAGNÉTICO EM UM SOLENOIDE. B) APLICAÇÃO DA LEI DE AMPÈRE


Iniciamos traçando a amperiana retangular abcda no elemento do solenoide. Como vemos, o campo magnético na região interna do solenoide é uniforme e na região externa é nulo. Escrevemos a integral de linha como a soma de quatro integrais, correspondentes a cada segmento da amperiana:

44


. . . . . b c d a

a b c dB ds B ds B ds B ds B ds= + + +∫ ∫ ∫ ∫

∮

a→b: nesse trecho, o campo magnético é uniforme e percorre o elemento h, portanto:

0.b

aB ds Bh iµ= =∫

b→c: o campo magnético é perpendicular ao elemento ds, portanto o produto escalar é nulo.

c→d: o campo magnético B=0 em todos os pontos fora do solenoide.

d→a: o campo magnético é perpendicular ao elemento ds, portanto o produto escalar é nulo.

Desse modo, podemos concluir que, de acordo com a Lei de Ampère, temos:

0.b

enva

B ds Bh iµ= =

∮

A corrente envolvida pela amperiana é igual à corrente que passa pelo número de espiras por unidade de comprimento do solenoide, isto é, a amperiana envolve nh espiras, portanto:

( )0 0 Bh inh B in solenoide idealµ µ= → =

O campo magnético no interior do solenoide depende apenas do número de espiras e da corrente, não depende de outros parâmetros do formato do solenoide, como diâmetro e comprimento e área da seção transversal. Portanto, o solenoide é uma forma prática de gerar um campo uniforme.

O toroide é outra forma de gerar um campo magnético. Podemos dizer que o toroide é um solenoide cilíndrico, em formato de anel. Para construir um toroide, encurvamos o solenoide cilíndrico até que as extremidades se toquem.

Por apresentar simetria geométrica, também podemos aplicar a Lei de Ampère a esse componente. Veja a figura:


45

FIGURA 26 – SEÇÃO RETA DE UM TOROIDE


i

r

Amperiana

B

Traçamos a amperiana no formato de circunferência de raio r, na região interna do toroide. Pela Lei de Ampère:

2

00

. envB ds iπ

µ=

∮

A corrente envolvida é a corrente que percorre as espiras do toroide. Analogamente ao solenoide, a corrente depende do número de espiras. Resolvendo a integral nessas condições, obtemos:

( )00.2

2iNB r iN B toroider

µπ µπ

= → =

Diferente do solenoide, o campo magnético do toroide é inversamente proporcional ao raio, portanto, este não é constante. Já para todos os pontos externos ao toroide, o campo B=0.

6 BOBINA PERCORRIDA POR CORRENTE E O ESTUDO DOS DIPOLOS MAGNÉTICOS

Como se comporta o campo magnético produzido por uma corrente em uma bobina? Uma bobina se comporta como um dipolo magnético, isto é, na presença do campo magnético há um torque gerado pelo momento dipolar. A equação que descreve esse fenômeno é:

Bτ µ= ×

46


Tal que o momento dipolar magnético tem módulo dado por µ = NiA. Para encontrar uma expressão matemática para o campo magnético precisamos utilizar a Lei de Biot-Savart, em que o campo é dado por:

0 . . 90.4 ²

i ds sendBr

µπ

°=

Após algumas manipulações algébricas, chegamos à expressão:

( ) .2 ³

oB zz

µ µπ

=

A demonstração completa pode ser encontrada em diversos livros de Física Básica indicados nas Referências da disciplina.

DICAS

A partir dessa equação, aferimos as seguintes conclusões: bobina produz um campo magnético para diferentes pontos no eixo z; e a bobina sofre um torque na presença de um campo magnético. Vale ressaltar que essa equação é válida para valores de z muito grandes, ou seja, para dimensões inferiores à da bobina, o campo no eixo z é desprezível.

Encerramos esta unidade em que estudamos os princípios básicos do eletromagnetismo, desde os experimentos primordiais ao estudo de campos magnéticos produzidos por diferentes geometrias e elementos de fio percorridos por corrente. Na próxima unidade estudaremos os circuitos e as propriedades magnéticas da matéria, como indução, indutores e oscilações eletromagnéticas.

47

RESUMO DO TÓPICO 3


• O campo magnético pode ser gerado por correntes e calculado por meio da Lei de Biot-Savart:

024 .

ˆ.i ds rdBr

µπ

×=

• O campo magnético produzido por uma corrente em um fio longo é dado pela expressão:

0

2iBR

µπ

=

• Em fios paralelos percorridos por corrente, a força é de atração para correntes de mesmo sentido e de repulsão para correntes em sentidos opostos.

• A Lei de Ampère possui vasta aplicação em curvas fechadas, como solenoides e toroides, e é dada pela expressão:

2

00

. envB ds iπ

µ=

∮

Ficou alguma dúvida? Construímos uma trilha de aprendizagem pensando em facilitar sua compreensão. Acesse o QR Code, que levará ao AVA, e veja as novidades que preparamos para seu estudo.

CHAMADA

48

AUTOATIVIDADE

FIGURA – PARTÍCULA IMERSA EM UM CAMPO MAGNÉTICO

FONTE: Os autores

Com base em sua análise da figura, marque V para as afirmações verdadeiras e F para as falsas:

( ) Se A estiver carregada positivamente, sua trajetória será desviada para cima ao atravessar o campo.

( ) Se A estiver carregada negativamente, sua trajetória será desviada para fora da folha da prova ao atravessar o campo.

( ) Independentemente da sua carga, sua trajetória não será desviada ao atravessar o campo.

a) ( ) V – F – V.b) ( ) V – F – F.c) ( ) F – V – V. d) ( ) F – F – V.e) ( ) F – V – F.

1 É dado um solenoide retilíneo de comprimento 100 cm que contém 2000 espiras, percorrido por uma corrente de intensidade de 5 A. Sendo µ = 4π.10–7T.m/A a permeabilidade no vácuo, a intensidade do vetor campo magnético na região central do solenoide é:

a) ( ) B = 4π.10–7 T.b) ( ) B = 4π.10–3 T.c) ( ) B = 5π.103 T. .d) ( ) B = 3π.10–3 T. e) ( ) B = 4.10–5 T.

2 A figura a seguir representa um campo magnético B vetorial, entrando na folha. Uma partícula A apresenta uma velocidade v e se dirige para o campo.

49

3 Utilizando a Lei de Ampère, refaça as expressões encontradas para o solenoide e para o toroide.

4 (HALLIDAY; RESNICK; WALKER, 2009) Um fio longo está sobre o eixo x e conduz uma corrente de 30 A no sentido positivo do eixo x. Um segundo fio longo é perpendicular ao plano xy, passa pelo ponto (0;4,0m;0) e conduz uma corrente de 40 A no sentido positivo no eixo z. Determine o módulo do campo magnético produzido pelos fios nos pontos (0;2,0m;0).

5 (HALLIDAY, RESNICK; WALKER, 2009) Um solenoide longo tem 100 espiras/cm e conduz uma corrente i. Um elétron se move no interior do solenoide em uma circunferência de 2,30 cm de raio perpendicular ao eixo do solenoide. A velocidade do elétron é 0,0460c. Determine a corrente no solenoide.

51

UNIDADE 2

CIRCUITOS E PROPRIEDADES MAGNÉTICAS DA MATÉRIA


PLANO DE ESTUDOS


• entender as características da indução eletromagnética;

• entender como funciona a força eletromotriz induzida;

• compreender a composição dos circuitos;

• diferenciar os tipos de oscilações eletromagnéticas.


TÓPICO 1 – INDUÇÃO ELETROMAGNÉTICA

TÓPICO 2 – CIRCUITOS

TÓPICO 3 – OSCILAÇÕES ELETROMAGNÉTICAS E CORRENTE ALTERNADA


CHAMADA

53

TÓPICO 1

INDUÇÃO ELETROMAGNÉTICA

UNIDADE 2

1 INTRODUÇÃOSe hoje usamos equipamentos e tecnologias que tempos atrás eram vistos

em filmes de ficção científica, no passado os sonhos tecnológicos se resumiam a coisas que hoje parecem simples, como se comunicar a longas distâncias, transmitir informações com rapidez e produzir uma luz artificial.

No século XIX, os cientistas buscavam incansavelmente consolidar os conhecimentos teórico e experimental sobre a eletricidade. A busca acontecia dentro das universidades e no mundo afora, por inventores e laboratórios de empresas privadas.

A verificação experimental de Oersted, em 1820, unindo a eletricidade e o magnetismo, gerou certa provocação nos cientistas da época. Será que o processo inverso é possível? Ou seja, será que um campo magnético variável é capaz de gerar corrente elétrica? É nesse cenário que Michael Faraday, em 1831, montou um arranjo experimental capaz de responder a esta pergunta.

Após as descobertas realizadas nessa época, muitos aparatos tecnológicos como o telégrafo (1844), a lâmpada e o telefone foram inventados. Neste tópico, estudaremos a relação existente entre campos magnéticos variáveis e correntes elétricas.

2 A DESCOBERTA DA INDUÇÃO ELETROMAGNÉTICAO arranjo experimental montado por Faraday era constituído de uma

bateria, um fio enrolado em um núcleo de ferro e um amperímetro conectado ao circuito. Toda vez que o circuito era ligado ou desligado, surgia uma corrente elétrica, mas que surgia apenas durante um curto instante e logo cessava.

UNIDADE 2 | CIRCUITOS E PROPRIEDADES MAGNÉTICAS DA MATÉRIA

54

FIGURA 1 – ESQUEMA DO ARRANJO EXPERIMENTAL DE FARADAY

FONTE: <https://static.todamateria.com.br/upload/ex/pe/experimentofaraday.jpg>. Acesso em: 15 ago. 2019.

Para verificar se esse fenômeno era visualizado em outras configurações, Faraday montou diferentes arranjos experimentais. Um deles era constituído por uma bobina, um ímã e um amperímetro, como mostra a figura a seguir.

FIGURA 2 – ILUSTRAÇÃO DA CONFIGURAÇÃO EXPERIMENTAL DA INDUÇÃO ELETROMAGNÉTICA

FONTE: <http://educacao.globo.com/fisica/assunto/eletromagnetismo/inducao.html>. Acesso em: 15 ago. 2019.

Ao aproximar o ímã da bobina, Faraday observava que o ponteiro do amperímetro se movia. Quando o ímã se encontrava em repouso, o amperímetro não registrava a passagem de corrente, e quando o ímã era afastado da bobina, o amperímetro se movia no sentido oposto. Com isso, o cientista observou que, ao mover o ímã em relação ao interior da bobina, surgia uma corrente elétrica variável no sistema.

Esse fenômeno se chama indução eletromagnética e representa uma das mais importantes descobertas da história da Física, uma vez que este é o princípio de funcionamento das turbinas geradoras de energia elétrica.

TÓPICO 1 | INDUÇÃO ELETROMAGNÉTICA

55

Você já ouviu falar sobre o dínamo? O dínamo é um gerador de eletricidade formado por um ímã fixo em um eixo móvel, em que existe uma bobina. O movimento de rotação causado pelo aparelho gera um movimento no eixo do dínamo, transformando energia mecânica em energia elétrica.

NOTA

O dínamo costumava estar acoplado em bicicletas antigas, em que a rotação da roda gerava uma energia para acender a lâmpada da bicicleta. Do mesmo modo, alguns equipamentos de academia também funcionam sobre o princípio de indução magnética composto por um dínamo.

A base física do funcionamento de um gerador, como o dínamo, está na indução eletromagnética, em que a variação do fluxo magnético induz uma corrente elétrica em um condutor. O dínamo serviu de base para invenção de outros tipos de geradores, mesmo os mais atuais.

O filme O menino que descobriu o vento (Netflix/2019) conta a história de um menino que vivia numa comunidade africana e, após ver a seca atingir a terra, e o seu povo passando fome, com o auxílio dos livros da biblioteca da escola local consegue construir um dínamo a partir de materiais de sucata com a ajuda dos amigos. Vale a pena assistir ao filme!

DICAS

3 FORÇA ELETROMOTRIZ INDUZIDAMichael Faraday descobriu que a corrente elétrica pode ser produzida em

uma espira ao mover um ímã dentro dessa espira, para dentro e para fora, isso ocorre porque as linhas de campo que atravessam a espira promovem o fluxo de campo magnético ou fluxo magnético.

Vamos pensar na espira como sendo uma superfície de área A e quando as linhas de campo magnético (B) de um ímã atravessam essa área, formando um ângulo a entre si, dizemos que há fluxo magnético (Φ).


56

FIGURA 3 – CAMPO MAGNÉTICO ATRAVESSANDO UMA ESPIRA EM TRÊS SITUAÇÕES

FONTE: Bonjorno et al. (2003, p. 169)

A expressão matemática na forma integral é escrita como:

Considerando que o campo magnético seja constante:

Se o campo magnético e a área da espira forem perpendiculares entre si, a expressão se reduz a:

De forma mais geral, podemos escrever o fluxo magnético como sendo:

Em que:

·

.

. .cos

B dA

B dA

B A

B A α

Φ = ∫

Φ = ∫

Φ =

Φ =

·

.

. .cos

B dA

B dA

B A

B A α

Φ = ∫

Φ = ∫

Φ =

Φ =

·

.

. .cos

B dA

B dA

B A

B A α

Φ = ∫

Φ = ∫

Φ =

Φ =

·

.

. .cos

B dA

B dA

B A

B A α

Φ = ∫

Φ = ∫

Φ =

Φ =

Grandeza Símbolo Unidade (SI*)Fluxo Magnético Φ Wb (Weber)

Campo Magnético B T (tesla)Área da Espira A m2 (metro quadrado)

Ângulo entre B e A a o (grau)

*SI: Sistema Internacional de Unidades.

α = 0o 0o < α < 90o α = 90o

B

n

B

n

B

n

B

n

B

n

B

n

αα


57

Exemplo 1: Um fio condutor de 20 cm de lado é colocado perpendicularmente a um

campo magnético de intensidade 16x10-5T. A intensidade do campo magnético é reduzida a zero em 4 s. Determine o fluxo magnético que atravessa a espira.

Resolução: Convertendo o tamanho do lado da espira para metro, temos: 20 cm = 0,20 m.

O fluxo magnético é dado por:

O fluxo magnético e a espira são perpendiculares entre si (cos 0), então:

( ) ( )5

3

. .cos

16 10 . 0,20 ².cos0

64 10

B dA

B A

x T m

x Wb

α

−

−

Φ = ∫

Φ =

Φ =

Φ =

( ) ( )5

3

. .cos

16 10 . 0,20 ².cos0

64 10

B dA

B A

x T m

x Wb

α

−

−

Φ = ∫

Φ =

Φ =

Φ =

4 LEI DE FARADAYFaraday descobriu que uma força eletromotriz e uma corrente elétrica

podem ser induzidas numa espira, para isso é necessário que haja uma variação na quantidade de campo magnético que atravessa a espira, ou seja, deve-se variar o fluxo magnético.

Experimentalmente, podemos visualizar a descoberta de Faraday utilizando um ímã, uma espira ligada em série com um amperímetro, como detalhado na sequência:

1- Se o ímã estiver em repouso, não há variação de fluxo magnético, portanto não há força eletromotriz e corrente elétrica induzida.

FIGURA 4 – ÍMÃ COM O POLO NORTE SENDO APROXIMADO DA ESPIRA


i = 0

ímã em repouso


58

2- Quando o ímã é aproximado da espira, o número de linhas de campo magnético aumenta e o amperímetro registrará a corrente elétrica induzida.

3- Quando o ímã é afastado da espira, o valor do amperímetro inverte, se for analógico, como na figura, o ponteiro se deslocará para o sentido oposto.

Essa experiência esclarece que a variação do fluxo magnético é consequência do movimento do ímã através da espira, e como surge uma corrente elétrica induzida, podemos afirmar que houve trabalho realizado no deslocamento dos elétrons. E só há trabalho se houver uma diferença de potencial (ddp) na espira, portanto, podemos dizer que a variação do fluxo magnético (Φ) estabelece na espira uma força eletromotriz ε (fem).

Deve-se ressaltar que a força eletromotriz induzida independe da resistência da espira, entretanto isso não ocorre com a corrente elétrica induzida.

Portanto, a Lei da Indução de Faraday pode ser enunciada como: a força eletromotriz induzida num circuito deve-se à variação do fluxo magnético durante o tempo em que ocorre tal variação. A expressão matemática para a Lei da Indução de Faraday é:



FIGURA 5 – CORRENTE ELÉTRICA INDUZIDA (i) NA ESPIRA PELA VARIAÇÃO DO FLUXO MAGNÉTICO

FIGURA 6 – ÍMÃ SENDO AFASTADO DA ESPIRA E GERANDO UMA CORRENTE ELÉTRICA INDUZIDA (i) NO SENTIDO OPOSTA À GERADA AO APROXIMAR O ÍMÃ

i

ímã aproximando-se

i

ímã afastando-se


59

t

Nt

ε

ε

∆Φ= −

∆

∆Φ= −

∆t

Nt

ε

ε

∆Φ= −

∆

∆Φ= −

∆

No caso de uma variação de fluxo magnético através de uma bobina com N espiras, temos:

O sinal negativo por vezes é omitido, pois em algumas ocasiões estamos interessados apenas no módulo do valor da fem induzida e esse sinal indica a oposição da fem em relação à variação do fluxo magnético. A unidade da fem induzida é o volt (V).

Consideremos o exemplo anterior: Um fio condutor de 20 cm de lado é colocado perpendicularmente a um

campo magnético de intensidade 16x10-5T. A intensidade do campo magnético é reduzida a zero em 4 s. Determine o valor da fem induzida.

Resolução: Já calculamos o fluxo magnético inicial: Φi = 64x10-3 Wb. O fluxo magnético

após os 4 s é igual a zero, pois não temos mais intensidade de campo magnético, então Φf = 0. Portanto, a variação do fluxo magnético é:

Então, a fem induzida será:

( )

3

3

3

3

0 64 1064 10

64 104

16 10 16

f i

xx Wb

tx

x VmV

ε

ε

εε

−

−

−

−

∆Φ = Φ −Φ

∆Φ = −

∆Φ = −

∆Φ= −

∆−

= −

==

( )

3

3

3

3

0 64 1064 10

64 104

16 10 16

f i

xx Wb

tx

x VmV

ε

ε

εε

−

−

−

−

∆Φ = Φ −Φ

∆Φ = −

∆Φ = −

∆Φ= −

∆−

= −

==


60

4.1 FORMAS DE VARIAÇÃO DO FLUXO MAGNÉTICO

São três as formas de variar o fluxo magnético:

• Variação da intensidade do campo magnético

Consideremos um ímã e um circuito fechado. Quando o ímã é aproximado do circuito fechado há um aumento do fluxo magnético, o que implica o aparecimento de uma corrente elétrica induzida no circuito.

FIGURA 7 – ÍMÃ FIXO (À ESQUERDA) NÃO GERANDO CORRENTE ELÉTRICA E ÍMÃ SENDO APROXIMADO (À DIREITA) DA ESPIRA GERANDO CORRENTE ELÉTRICA INDUZIDA


• Variaçãodaáreaatravessadapelofluxomagnético

Considere uma região onde existe um campo magnético uniforme e uma espira. À medida que essa espira entra na região com campo magnético com uma velocidade , o fluxo magnético aumenta. Quando a espira está totalmente dentro da região do campo magnético não há variação de fluxo magnético. Ao deixar a região de campo magnético, volta a existir uma corrente induzida na espira devido à variação do fluxo magnético.

v

FIGURA 8 – VARIAÇÃO DA ÁREA (A) DE UMA ESPIRA QUADRADA SOBRE UMA REGIÃO DE CAMPO MAGNÉTICO ( ) COM O GALVANÔMETRO (G) INDICANDO A PRESENÇA DE

CORRENTE ELÉTRICA NO CIRCUITOB



ímã fixo

circuito fechadocircuito fechado


61

• Variação do ângulo entre e o plano da área atravessada

Como o fluxo magnético depende do ângulo entre o campo magnético e a área atravessada por esse campo, voltamos à expressão:

Para que o fluxo magnético seja máximo, a componente normal (n) que é perpendicular ao plano da área e o campo magnético devem ser paralelos, dessa forma o cosseno de 0o vale 1 (cos 0o = 1). Para qualquer outro ângulo, o valor do fluxo magnético será menor, pois teremos ângulos maiores cujos cossenos serão menores.

B

B

B

. .cosB A αΦ =

FIGURA 9 – VARIAÇÃO DO ÂNGULO ENTRE A COMPONENTE NORMAL (n) À ÁREA E O CAMPO MAGNÉTICO ( )B

B


Exemplo: Considere uma espira com área de 30 cm2 imersa numa região de campo

magnético constante de intensidade 6x10-5T. Determine o fluxo magnético em três situações distintas:

a)

Resolução: O ângulo entre a normal à área e o campo magnético é de 0o e o fluxo

magnético é dado por: Φ = B. A. cos a, então:


62

b)

( )( )5 3

8

. .cos

6 10 3 10 cos0

18 10

B A

x T x m

x Wb

α− −

−

Φ =

Φ = °

Φ =

( )( )( )

5 3

8

8

. .cos

6 10 3 10 cos60

118 10 2

9 10

B A

x T x m

x Wb

x Wb

α− −

−

−

Φ =

Φ = °

Φ =

Φ =

c)

( )( )( )

5 3

8

. .cos

6 10 3 10 cos90

18 10 0

0

B A

x T x m

x Wb

α− −

−

Φ =

Φ = °

Φ =

Φ =

Seguem alguns títulos para engrandecer sua leitura e estudos acerca da indução eletromagnética:

Livro: Universo Elétrico – A impressionante história da eletricidade. Autor: David Bodanis.O livro traz a história da eletricidade por meio de uma odisseia composta por heróis e vilões, sendo narrada de uma forma eletrizante!

Livro: Faraday & Maxwell – Luz sobre os campos.Autor: Frederico Firmo de Souza Cruz.Esse livro faz parte da coleção Imortais da Ciência e trata das descobertas de Michael Faraday e James Clerk Maxwell, que transformaram o mundo com as suas descobertas e equações.

DICAS


63

5 LEI DE LENZApós a Lei da Indução de Faraday, Heinrich Friedrich Lenz propôs uma

regra, conhecida por Lei de Lenz, que determina o sentido da corrente elétrica induzida na espira pelo ímã. Faraday comprovou que a variação do campo magnético, ou seja, o fluxo magnético numa espira gera uma força eletromotriz induzida na espira que, por sua vez, gera um fluxo magnético de sentido oposto ao fluxo magnético originário do ímã.

Essa é a contribuição de Lenz para a Lei de Faraday, matematicamente essa contribuição é o sinal negativo na Lei de Faraday:

De forma mais simples, podemos dizer que a corrente induzida num circuito fechado surgirá sempre no sentido contrário ao do ímã que lhe originou e o sinal negativo expressa essa oposição.

Para melhor compreensão, considere uma espira condutora fechada e um ímã, como na figura a seguir:

tε ∆Φ= −

∆

Contribuição de Lenz para a Lei de Faraday

FIGURA 10 – ESPIRA CONDUTORA E ÍMÃ


Agora, considere o polo norte da espira aproximando-se da espira. Isso implica o aparecimento de uma corrente elétrica induzida na espira devido ao fluxo magnético do campo do ímã. Essa corrente elétrica induzida gera um campo magnético induzido no sentido oposto ao campo magnético gerado pelo ímã.

ímã

espira


64

FIGURA 11 – ÍMÃ APROXIMANDO-SE DA ESPIRA COM SEU FLUXO MAGNÉTICO EM VERMELHO ATRAVESSANDO A ESPIRA. EM VERDE ESTÃO AS LINHAS DE CAMPO MAGNÉTICO INDUZIDO

(Bind

) GERADO PELA CORRENTE ELÉTRICA INDUZIDA (i)B



Ao afastar-se da espira, o fluxo magnético diminui, o que ocasionará uma corrente elétrica no sentido horário (i), gerando um campo magnético induzido (Bind ) no mesmo sentido do campo magnético do ímã.B

FIGURA 12 – ÍMÃ AFASTANDO-SE DA ESPIRA

Exemplo 1: Considere a figura a seguir, em que uma espira condutora possui uma

semicircunferência de raio igual a 0,30 m e três fios retilíneos. A espira está imersa numa região de campo magnético uniforme ( ), cujo módulo é dado pela equação (em que o campo magnético é medido em Tesla e o tempo em segundos): B = 3t2 + 1t + 2.

B

FIGURA 13 – ESPIRA CONDUTORA

FONTE: A autora


ímã afastando-se

BindB

i

i


65

Sendo a resistência elétrica igual a 3 Ω e que uma fonte de 1,5 V está ligada à espira, determine:

a) A intensidade e o sentido da força eletromotriz induzida (εind) na espira pelo campo magnético no instante 12 s.

Resolução: A Lei de Faraday estabelece que a fem induzida é igual à taxa de variação

do fluxo magnético através da espira:

indddt

ε Φ= −

O fluxo magnético depende da área (A) da espira e da orientação da espira em relação ao campo magnético ( ). Como o campo magnético é uniforme e perpendicular ao plano, o fluxo magnético é: Φ = BA. E ainda, o campo magnético induzido (Bind) se opõe à variação do fluxo magnético, então:

B

( )ind

ind

ind

ddt

d BAdtdBAdt

ε

ε

ε

Φ= −

−= −

=

Na figura, é fácil ver que apenas a parte da semicircunferência está imersa no campo magnético, então devemos considerar apenas sua área: , que, obviamente, é a metade da área de um círculo.

2

2rA π

=

( )

( )

( ) ( )

2

22

2

2

2

3 1 22

6 12

0,306.12 1

210,3

ind

ind

ind

ind

ind

r dBdt

r d t tdtr t

V

πε

πε

πε

πε

ε

=

= + +

= +

= +

=


66

O fluxo através da espira é saindo do plano do papel, já o fluxo do campo magnético induzido se opõe, sendo orientado para dentro do plano do papel e pela regra da mão direita a corrente elétrica induzida tem sentido horário e o mesmo ocorre com a força eletromotriz induzida.

b) A corrente elétrica na espira no instante 12 s.

Resolução: Como a força eletromotriz tende a produzir uma corrente elétrica

induzida no sentido horário e a força eletromotriz da fonte tende a produzir uma corrente elétrica no sentido anti-horário, a diferença entre as duas será a força eletromotriz total, e esta terá sentido horário, pois a força eletromotriz induzida é maior. Assim, teremos:

10,3 1,53

2,9

total

ind fonte

iR

iR

i

i A

ε

ε ε

=

−=

−=

=

Exemplo 2: Considere a espira retangular da figura que está imersa num campo

magnético variável ( ) perpendicular à espira e apontando para dentro do plano do papel. A intensidade do campo é definida pela equação: B = 2t3x2, sendo B em Tesla, t em segundos e x em metros. As dimensões da espira são 4,0 m de largura e 3,0 m de altura. Determine a intensidade e a direção da força eletromotriz induzida (εind) na espira em t = 0,20 s.

B

FIGURA 14 – ESPIRA RETANGULAR

FONTE: A autora


67

Resolução: Para encontrar a força eletromotriz (εind) pela Lei de Faraday, devemos

encontrar uma função para o fluxo magnético (Φ), e como o campo magnético é variável, devemos integrar e considerar dA = Hdx, então:

( )3 22

B dABdA

BHdx

t x Hdx

Φ = ∫ ⋅

Φ = ∫

Φ = ∫

Φ = ∫

Considerando o tempo constante e que a largura pode variar de 0 a 4, portanto, estes serão os limitantes da integral.

( )

43 2

043

3

0

3 33

3

3

2

23

4 023 3

642 3,03

128

t H x dx

xt H

t H

t

t

Φ =

Φ =

Φ = −

Φ =

Φ =

∫

O valor da intensidade da força eletromotriz induzida é dado pela Lei de Faraday:

( )

( )

3

3

2

2

128

128

384

384 0,2015,36

ind

ind

ind

ind

ind

ind

ddt

d tdt

dtdtt

V

ε

ε

ε

ε

ε

ε

Φ=

=

=

=

=

=


68

O fluxo para dentro do papel aumenta com o tempo, pois o campo magnético aumenta com o tempo! Pela Lei de Lenz, o campo magnético induzido é oposto ao campo magnético original, sendo então para fora do plano do papel.

6 A GUITARRA ELÉTRICASabe-se que uma guitarra acústica ou violão dependem das ressonâncias

produzidas pelas cordas no interior oco do corpo do instrumento, mas na guitarra elétrica não acontecem tais oscilações, pois é um instrumento maciço, portanto não ocorrem oscilações acústicas.

Como ouvimos o som da guitarra? As oscilações das cordas metálicas são captadas por sensores que são bobinas de captação que enviam o sinal para os amplificadores e para os alto-falantes e a partir daí propagam-se como ondas sonoras no meio em que estão inseridas.

Numa guitarra há conjuntos de bobinas, que nesse caso são ímãs enrolados pelos fios que ligam a guitarra ao amplificador, sendo que o campo magnético do ímã gera um polo norte e um polo sul logo acima da corda metálica.

FIGURA 15 – REPRESENTAÇÃO DE UMA BOBINA E UM TRECHO DE UMA CORDA DE UMA GUITARRA ELÉTRICA


Essa parte da corda gera outro campo magnético e, ao tocar a corda, ela oscila e seu movimento em relação à bobina gera uma variação do fluxo magnético através desta, o que implica o aparecimento de uma corrente elétrica induzida na bobina. Ao oscilar, a corda faz com que a corrente induzida varie seu sentido com a mesma frequência das oscilações da corda e essas frequências são transferidas para os amplificadores.

Numa guitarra existem diferentes formas e números de conjuntos de bobinas. Alguns guitarristas, como o ícone Jimi Hendrix, alterava o número de espiras das bobinas de suas guitarras para modificar e ter maior controle de sua guitarra. Na figura a seguir são três os conjuntos de bobinas que se encontram no corpo da guitarra elétrica.

Corda metálica

Ímã

Para o amplificadorBobina


69

FIGURA 16 – GUITARRA ELÉTRICA COM TRÊS CONJUNTOS DE BOBINAS NO CORPO DA GUITARRA

FONTE: <https://www.worten.pt/i/7ea23b505dc2868510dba288263e2d401cadf893.jpg>. Acesso em: 5 dez. 2019.

7 CAMPOS ELÉTRICOS INDUZIDOSUma força eletromotriz é induzida por um campo magnético variável

mesmo que a espira através da qual o fluxo magnético está variando seja apenas uma curva imaginária. O campo magnético variável induz um campo elétrico em todos os pontos da curva. Se o campo magnético se tornar constante, o campo elétrico deixa de existir.

Vamos agora reescrever a equação para a Lei de Faraday considerando o campo elétrico. Para isso, consideremos uma partícula de carga q0 se movendo ao longo de uma circunferência. O campo elétrico induzido realiza um trabalho (W) nessa partícula, cujo valor depende da força eletromotriz, ou seja:

Sabemos que o trabalho é definido por:

Sendo o módulo da força elétrica que age sobre a partícula: F= q0E ao longo da circunferência cujo comprimento é igual a 2πr. Portanto, a equação (2) pode ser reescrita como:

Substituindo a equação (1) em (3):

E

( )( )

0

0

0 0

0

0

2

2

2

W q

W F ds

W q E r

q q E r

rE

W F ds

W q E ds

W E dsq

E ds

dE dsdt

ε

π

ε π

ε π

ε

=

= ∫ ⋅

=

=

=

= ⋅

= ⋅

= ⋅

= ⋅

Φ⋅ = −∫

�

∮

∮

∮

∮

( )( )

0

0

0 0

0

0

2

2

2

W q

W F ds

W q E r

q q E r

rE

W F ds

W q E ds

W E dsq

E ds

dE dsdt

ε

π

ε π

ε π

ε

=

= ∫ ⋅

=

=

=

= ⋅

= ⋅

= ⋅

= ⋅

Φ⋅ = −∫

�

∮

∮

∮

∮

( )( )

0

0

0 0

0

0

2

2

2

W q

W F ds

W q E r

q q E r

rE

W F ds

W q E ds

W E dsq

E ds

dE dsdt

ε

π

ε π

ε π

ε

=

= ∫ ⋅

=

=

=

= ⋅

= ⋅

= ⋅

= ⋅

Φ⋅ = −∫

�

∮

∮

∮

∮

( )( )

0

0

0 0

0

0

2

2

2

W q

W F ds

W q E r

q q E r

rE

W F ds

W q E ds

W E dsq

E ds

dE dsdt

ε

π

ε π

ε π

ε

=

= ∫ ⋅

=

=

=

= ⋅

= ⋅

= ⋅

= ⋅

Φ⋅ = −∫

�

∮

∮

∮

∮

( )( )

0

0

0 0

0

0

2

2

2

W q

W F ds

W q E r

q q E r

rE

W F ds

W q E ds

W E dsq

E ds

dE dsdt

ε

π

ε π

ε π

ε

=

= ∫ ⋅

=

=

=

= ⋅

= ⋅

= ⋅

= ⋅

Φ⋅ = −∫

�

∮

∮

∮

∮

(1)

(2)

(3)

(4)


70

Agora, considerando uma trajetória fechada, a equação (2) fica escrita como uma integral fechada:

Como F= q0E, temos:

Lembrando que W = εq0, então:

Lembrando que , então a equação para a Lei de Faraday pode ser reescrita como:

ddt

ε Φ= −

( )( )

0

0

0 0

0

0

2

2

2

W q

W F ds

W q E r

q q E r

rE

W F ds

W q E ds

W E dsq

E ds

dE dsdt

ε

π

ε π

ε π

ε

=

= ∫ ⋅

=

=

=

= ⋅

= ⋅

= ⋅

= ⋅

Φ⋅ = −∫

�

∮

∮

∮

∮

( )( )

0

0

0 0

0

0

2

2

2

W q

W F ds

W q E r

q q E r

rE

W F ds

W q E ds

W E dsq

E ds

dE dsdt

ε

π

ε π

ε π

ε

=

= ∫ ⋅

=

=

=

= ⋅

= ⋅

= ⋅

= ⋅

Φ⋅ = −∫

�

∮

∮

∮

∮

( )( )

0

0

0 0

0

0

2

2

2

W q

W F ds

W q E r

q q E r

rE

W F ds

W q E ds

W E dsq

E ds

dE dsdt

ε

π

ε π

ε π

ε

=

= ∫ ⋅

=

=

=

= ⋅

= ⋅

= ⋅

= ⋅

Φ⋅ = −∫

�

∮

∮

∮

∮

( )( )

0

0

0 0

0

0

2

2

2

W q

W F ds

W q E r

q q E r

rE

W F ds

W q E ds

W E dsq

E ds

dE dsdt

ε

π

ε π

ε π

ε

=

= ∫ ⋅

=

=

=

= ⋅

= ⋅

= ⋅

= ⋅

Φ⋅ = −∫

�

∮

∮

∮

∮

( )( )

0

0

0 0

0

0

2

2

2

W q

W F ds

W q E r

q q E r

rE

W F ds

W q E ds

W E dsq

E ds

dE dsdt

ε

π

ε π

ε π

ε

=

= ∫ ⋅

=

=

=

= ⋅

= ⋅

= ⋅

= ⋅

Φ⋅ = −∫

�

∮

∮

∮

∮

8 INDUTORES E INDUTÂNCIAUm indutor é um dispositivo que pode ser utilizado para produzir um

campo magnético conhecido em uma certa região. O fluxo magnético (Φ) é diretamente proporcional à corrente elétrica que o produz, sendo que a grandeza que garante a proporcionalidade é a indutância (L):

O tipo de indutor mais simples é a parte central de um solenoide longo com N espiras, portanto, podemos escrever a indutância como sendo:

( )

( ) ( )

0

0

0

0

20

20

solenoide

solenoide

Li

NLi

Nnl

B A

NB il

Ni Al

nl NL i Ai l

nlL inA

i

L ln A

L n Al

µ

µ

µ

µ

µ

µ

Φ =

Φ=

=

Φ =

=

Φ =

=

=

=

=

( )

( ) ( )

0

0

0

0

20

20

solenoide

solenoide

Li

NLi

Nnl

B A

NB il

Ni Al

nl NL i Ai l

nlL inA

i

L ln A

L n Al

µ

µ

µ

µ

µ

µ

Φ =

Φ=

=

Φ =

=

Φ =

=

=

=

=

(2)


71

O produto NΦ é chamado de enlaçamento fluxo magnético, que dividido pela unidade de corrente elétrica i resulta na indutância L, cuja unidade de medida é definida como Henry (H), em homenagem ao físico norte-americano John Henry.

Para o solenoide, devemos considerar a densidade de espiras (n), definida por:

Em que l é um segmento de comprimento do solenoide. E lembrando que o fluxo magnético depende do campo magnético e da área:

E que o campo magnético do solenoide é:

Substituindo (5) em (4):

Substituindo (3) e (6) em (2):

Portanto, a indutância por unidade de comprimento é:

Assim, fica claro que a indutância depende apenas da geometria do indutor!

( )

( ) ( )

0

0

0

0

20

20

solenoide

solenoide

Li

NLi

Nnl

B A

NB il

Ni Al

nl NL i Ai l

nlL inA

i

L ln A

L n Al

µ

µ

µ

µ

µ

µ

Φ =

Φ=

=

Φ =

=

Φ =

=

=

=

=

( )

( ) ( )

0

0

0

0

20

20

solenoide

solenoide

Li

NLi

Nnl

B A

NB il

Ni Al

nl NL i Ai l

nlL inA

i

L ln A

L n Al

µ

µ

µ

µ

µ

µ

Φ =

Φ=

=

Φ =

=

Φ =

=

=

=

=

( )

( ) ( )

0

0

0

0

20

20

solenoide

solenoide

Li

NLi

Nnl

B A

NB il

Ni Al

nl NL i Ai l

nlL inA

i

L ln A

L n Al

µ

µ

µ

µ

µ

µ

Φ =

Φ=

=

Φ =

=

Φ =

=

=

=

=

( )

( ) ( )

0

0

0

0

20

20

solenoide

solenoide

Li

NLi

Nnl

B A

NB il

Ni Al

nl NL i Ai l

nlL inA

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9 AUTOINDUÇÃOUma força eletromotriz autoinduzida εL surge em todo indutor cuja

corrente elétrica é variável. Da Lei de Faraday temos:

Mas NΦ = Li e, nesse caso, εind = εL , portanto:

Essa equação representa a força eletromotriz autoinduzida. Vale lembrar que essa força sempre aparece quando a corrente varia com o tempo. Veja que essa equação matemática representa a taxa de variação da corrente elétrica. O sentido da força eletromotriz é fornecido pela Lei de Lenz, isto é, a força eletromotriz autoinduzida se opõe à variação que a produz.

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MICHAEL FARADAY: O CAMINHO DA LIVRARIA À DESCOBERTA DA INDUÇÃO ELETROMAGNÉTICA

Valéria Silva Dias Roberto de Andrade Martins

A história de Faraday na sala de aula

Embora existam bons exemplos do uso da história em livros texto, isso ainda não se constitui a regra e sim exceção. Na maioria das vezes em que elementos da história de uma determinada Ciência são levados à sala de aula incluídos nos livros didáticos do Ensino Médio (alguns livros não fazem referência à História da Ciência que abordam), isso se dá por meio da apresentação do “surgimento” (normalmente descontextualizado) de uma grande teoria que “derruba” a teoria anteriormente vigente; de alguns aspectos da biografia de cientistas, descritos de forma caricatural, ou somente com fotos dos mesmos.

É no estudo de eletromagnetismo que o nome de Michael Faraday surge como um personagem importante. Frequentemente se repete, nestes momentos, que Faraday era um garoto pobre, que muito pequeno já trabalhava como ajudante de um livreiro e que foi lendo os livros da livraria e percebeu que tinha algo especial, algo como uma genialidade escondida, cujo despertar permitiu torná-lo, posteriormente, um grande cientista. Em uma mesma frase, Faraday passa de ajudante em uma livraria ao “descobrimento” da lei da indução. Mas, o que existe entre esses dois momentos?

Além disso, o que foi que Faraday descobriu? Seu trabalho foi essencialmente experimental (o que não significa que ele não tivesse pressupostos teóricos emergentes da produção científica na área) e qualitativo (sem medidas), e ele não chegou a nenhuma lei quantitativa da indução. Costuma-se apresentar, didaticamente, a indução eletromagnética falando sobre a corrente elétrica que é induzida em uma bobina quando se move um ímã em sua proximidade, mas não foi esse tipo de fenômeno que Faraday estudou, inicialmente.

A trajetória percorrida por Faraday até chegar à elaboração de lei da indução mostra que seus progressos dependeram muito mais de trabalho de pesquisa, de leitura e estudo, de seu interesse e esforços, do que de uma superioridade intelectual incomum. A próxima seção relata uma parte dessa trajetória visando esclarecer essas convicções.

A história de Faraday segundo uma pesquisa histórica

Para estudar o trabalho de Faraday sobre eletromagnetismo, foram utilizados os trabalhos publicados pelo próprio Faraday, no período; além disso, foi consultado seu diário de laboratório que contém anotações de setembro


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de 1820 até março de 1862. Foi utilizado apenas o primeiro de sete volumes, compreendendo o período de setembro de 1820 a junho de 1832. Também foi empregado somente o primeiro volume da correspondência de Faraday, editado por Frank A. J. L. James, abrangendo o que foi mantido do período de 1811 a 1831.

A correspondência que foi conservada do período aqui estudado é bastante incompleta; aparentemente Faraday não guardava rascunhos ou cópias das correspondências que escrevia e enviava, assim muitas se perderam. Foi conservada maior quantidade de correspondência passiva (recebida) do que ativa (escrita pelo próprio Faraday).

Com este material foi possível tentar acompanhar e compreender quais as ideias que guiaram as pesquisas de Faraday sobre eletromagnetismo, que resultaram na publicação de seis artigos em revistas e jornais conceituados no meio científico da época e no crescimento de sua reputação neste meio.

A história aqui apresentada será dividida em quatro partes. A primeira fará um breve retrato biográfico, apresentando a trajetória de Faraday através das datas mais relevantes de sua história. Depois o artigo focalizará o ano de 1820 e os desdobramentos da descoberta do eletromagnetismo. As pesquisas de Faraday nesta área podem ser divididas em três períodos:

- 1820 a 1821, retratando as pesquisas iniciais, prioritariamente baseadas na reprodução de experimentos publicados por outros pesquisadores; 1821 a 1823, enfocando o começo de uma atividade inovadora, que passou a contribuir com o desenvolvimento da área; 1825 a 1832, onde será mostrada a trajetória de investigações e questionamentos das teorias da época até a experiência da indução eletromagnética.

Umbreverelatobiográfico

Michael Faraday nasceu em 22 de setembro de 1791, em Newington Butts, Surrey. Seus pais, James Faraday (que trabalhava como ferreiro) e Margaret Hastwell, já tinham dois filhos: Elizabeth e Robert. A família se mudou para Londres quando Faraday tinha cinco anos, época em que a Inglaterra sofria as consequências da Revolução Francesa. A situação financeira da família era ruim e Michael teve uma precária formação básica, aprendendo somente o necessário para ler, escrever e um pouco de Matemática.

Em 1804, com 13 anos, Faraday começou a trabalhar para G. Riebau, como ajudante em sua livraria. Sua função era transportar o material e ajudar nas encadernações. Nesse contato com os livros ele teve a oportunidade de melhorar sua formação, lendo com grande interesse todos os livros que podia.


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Em 1812, através da ajuda de um cliente da livraria, assistiu a uma série de quatro conferências do químico Humphry Davy, na Royal Institution. Anotou cuidadosamente essas conferências e enviou uma cópia para Davy, pedindo-lhe um emprego em qualquer função relacionada à Ciência. Em março do ano seguinte, com a demissão de um assistente, Faraday conseguiu o emprego. Então, aos 22 anos, Faraday tornou-se auxiliar de laboratório de Humphry Davy na Royal Institution de Londres.

Em outubro de 1813, Faraday acompanhou Davy em uma viagem pela França, Itália e Suíça, onde manteve contato com cientistas de diferentes áreas e aprendeu a “ver” e “pensar” os problemas científicos. Durante vários anos, apenas auxiliou Davy em seus estudos em Química e foi assim que adquiriu um enorme traquejo experimental. Davy foi um químico brilhante e seu laboratório era um dos mais bem equipados da Inglaterra. Com ele, Faraday fez um estudo sobre o cloro, experiências sobre difusão de gases e liquefação, dentre tantas outras atividades sobre Química.

Até 1820 Faraday não havia se dedicado a pesquisas físicas. Neste ano, Hans Christian Ørsted divulgou a descoberta do eletromagnetismo (Martins, 1986), e o novo fenômeno despertou o interesse de muitos investigadores – incluindo Humphry Davy. Motivado por esses estudos, aos 29 anos Faraday iniciou uma série de trabalhos independentes sobre eletromagnetismo, sempre intercalados pelos estudos sobre Química.

Em 1821, Faraday fez suas primeiras conferências e começou a publicar seus trabalhos independentes. Casou-se com Sarah Barnad neste mesmo ano, e foi recomendado por Davy para sucedê-lo na superintendência do laboratório. A partir desse período, o trabalho de Faraday já era independente. Em 1824, ele se tornou membro da Royal Society, por seus trabalhos sobre Química.

Em 1825 ele se tornou diretor do laboratório, e no ano seguinte iniciou uma série de conferências semanais, às sextas-feiras. Até 1830 os trabalhos principais de Faraday foram sobre Química. Em 1831, com a descoberta da indução eletromagnética, Faraday iniciou um período em que se envolveu cada vez mais com pesquisas físicas, sem nunca abandonar, no entanto, a Química.

Durante sua vida, foi chamado para consultoria em diversos trabalhos públicos e por 30 anos foi conselheiro da Trinity House. Sem nunca ter cursado uma universidade, recebeu títulos honorários e homenagens de toda parte do mundo, e ambos, Royal Society e Royal Institution, tentaram persuadi-lo a aceitar a presidência, sem sucesso.

No verão de 1858, Faraday se aposentou, após 38 anos de trabalho na Royal Institution. Morreu em 25 de agosto de 1867, em Hampton Court Green, Londres.


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Primeira fase de pesquisas: 1820 – 1821

A descoberta de Ørsted, publicada em artigo datado de 21 de junho de 1820 (Ørsted, 1986), desencadeou um grande interesse na comunidade científica da época e também Davy começou a investigar o assunto. Ele realizou uma série de experimentos e Faraday foi seu assistente, tendo desta forma seu primeiro contato com o eletromagnetismo.

Em setembro daquele ano, Faraday descreveu uma série de experimentos realizados em sete dias, sobre rotações eletromagnéticas, mas sua correspondência traz evidências de que outros experimentos foram anteriormente realizados. Em 11 de agosto de 1821, Faraday recebeu uma carta de Richard Phillips, onde o autor indagava a Faraday sobre suas pesquisas em eletromagnetismo e sobre um artigo que teria sido encomendado por ele a Faraday.

Numa outra carta, também de R. Phillips para Faraday, datada de 4 de setembro, Phillips acusou o recebimento do artigo, citado anteriormente, e assegurou que sua publicação seria feita anonimamente, como pedido por Faraday:

Eu li hoje o artigo sobre eletromagnetismo, e nem necessito dizer que este tem minha inteira aprovação, sendo exatamente o que eu queria. [...] Eu tomarei todos os cuidados para manter seu nome privado, mas não tenho a mínima objeção de tornar este conhecido quando você desejar – tout au contraire – quanto mais cedo, melhor (Phillips, in James, 1991, p. 220).

Esses dados revelam que, embora não esteja claro em que circunstâncias, Faraday foi convidado a escrever um artigo de revisão sobre o eletromagnetismo, para a revista Annals of Philosophy. Sabemos que ele aceitou o convite e preferiu que seu nome não aparecesse na publicação; a carta citada não traz qualquer indicação a respeito do motivo, e as cartas de Faraday para Phillips se perderam.

Sabemos também que Faraday se dedicou a ler um grande número dos trabalhos que haviam sido publicados até então e redigiu um artigo que foi publicado em três partes, sob o título de “Historical sketch of electro-magnetism” (Faraday, 1821a, 1822b).

Na primeira parte do artigo Faraday fez um resumo do trabalho realizado for Ørsted, suas considerações e hipóteses que levaram à descoberta do eletromagnetismo. Na segunda parte, ele descreveu a contribuição dos pesquisadores posteriores a Ørsted, centralizando-se apenas nos fenômenos descobertos e evitando fazer considerações sobre os fatos. Ele analisou principalmente o trabalho de pesquisadores franceses, mencionando Arago, que foi o primeiro físico francês a tomar conhecimento da descoberta de Ørsted e a comunicá-la à Academia de Ciências de Paris, permitindo desta forma que Ampère tomasse conhecimento desse trabalho.


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Ampère logo se tornou um dos pesquisadores mais ativos na área, repetindo, variando e aplicando os resultados dos experimentos de Ørsted. Em seu trabalho propôs a redução dos fenômenos magnéticos a efeitos puramente elétricos e descobriu e analisou a interação entre duas correntes elétricas. Faraday comentou os resultados alcançados por Ampère:

Duas correntes elétricas se atraem quando se movem paralelas entre si e na mesma direção, e se repelem quando elas se movem paralelas entre si em direções contrárias (Faraday, 1821a, p. 276).

Nesses dois primeiros artigos sobre eletromagnetismo, Faraday não apresentou nenhuma contribuição original. Mas, estimulado pela leitura dos artigos que precisou consultar e intrigado, talvez, por alguns resultados estranhos encontrados na repetição dos experimentos (Faraday, 1823), começou a fazer novas investigações na Royal Institution que o conduziram a novas descobertas.

Segunda fase de pesquisas: 1821-1823

As primeiras experiências foram guiadas pela ideia (que, atualmente, sabemos estar errada) de que um fio conduzindo corrente deveria atrair ou repelir os polos magnéticos de uma agulha magnética. Faraday colocou o fio condutor em uma posição vertical.

Aproximando uma agulha para verificar as posições de atração e repulsão, Faraday encontrou que para cada polo existiam duas posições atrativas e duas repulsivas (Figura 1), permitindo que a agulha tomasse sua posição original em relação ao fio.

Esse resultado não era o mesmo encontrado por Ørsted, para quem não existia uma posição atrativa e uma repulsiva para cada polo. Na descrição dos resultados apresentados no artigo, Faraday escreveu:

Aproximando o fio, perpendicularmente, na direção de um polo de uma agulha, este se desviará para um lado, segundo a atração ou repulsão dada na extremidade do polo; mas, se o fio é continuamente aproximado do centro do movimento [o meio da agulha magnética], por um lado ou pelo outro da agulha, a tendência da agulha de mover-se na direção anterior diminui até anular-se, de forma que a agulha torna-se indiferente ao fio. Finalmente, o movimento se inverte e a agulha é fortemente forçada a passar pelo caminho oposto (Faraday, 1821b, p. 74).

Figura 1: Posições encontradas para cada pólo de agulha magnetizada: 2 de atração e 2 de repulsão.


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A partir de experimentos como este, Faraday se convenceu, primeiramente, de que os polos da agulha magnética não estavam exatamente nas suas pontas, mas a uma certa distância das extremidades, no eixo da agulha. Porém, o resultado mais importante dos experimentos foi que, repetindo-os e observando os movimentos, Faraday se convenceu de que, ao invés de sofrer atração e repulsão, o polo magnético da agulha tendia a girar em torno do fio condutor.

Esses resultados eram compatíveis com a interpretação de Ørsted que, ao invés de descrever atrações e repulsões, descrevia os movimentos de rotação da agulha magnética, ou seja, estava preocupado com questões de direcionamento e não de forças. Faraday elaborou, então, vários experimentos para verificar tais conclusões.

Faraday conseguiu, inicialmente, produzir a rotação de um fio condutor em torno de um ímã e, posteriormente, conseguiu fazer o polo girar ao redor do fio (Figura 2). Nos dois experimentos ao inverter a corrente elétrica, observou que a rotação mudava de sentido.

As rotações eletromagnéticas se constituíram numa contribuição importante ao desenvolvimento da nova área e o artigo de Faraday (1821b), bastante longo e repleto de experimentos e discussões, foi rapidamente traduzido para o francês (Faraday, 19821c) e acrescido de comentários escritos por Ampère.

Estes experimentos levaram a uma intensa correspondência entre os dois e logo no início do ano seguinte, em carta 16 datada de 23 de janeiro de 1822, Ampère escreveu para Faraday descrevendo a repetição e analisando os experimentos de rotação eletromagnética, sugerindo que tais experimentos poderiam ser utilizados como provas da existência das correntes elétricas no interior dos ímãs. Em resposta, Faraday escreveu uma carta 17 para Ampère em 2 de fevereiro, onde disse:

Figura 2: Esse aparelho permite observar tanto a rotação de um fio em torno de um ímã (lado direito) como a rotação de um ímã em torno de um fio condutor (lado esquerdo)15.


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A rotação do ímã me parece ocorrer em consequência das diferentes partículas, das quais este é composto, serem colocadas, pela passagem da corrente, no mesmo estado que o fio de comunicação entre os polos voltaicos assume em relação à posição do polo magnético (Faraday in James, 1991, p. 251).

Em seguida, Faraday explicou o que queria dizer: o motivo básico da rotação do ímã em torno de seu eixo não seria a existência de correntes circulares em seu interior, mas sim uma interação entre a corrente elétrica que passa por ele e os polos magnéticos do próprio ímã.

A descoberta dos novos fenômenos de rotação havia desviado Faraday de seu trabalho de revisão bibliográfica para os Annals of Philosophy. No entanto, pouco depois ele completou a terceira parte desse trabalho. Neste artigo, ainda publicado anonimamente, Faraday inicialmente fez um relato das teorias existentes sobre eletromagnetismo, que ele considerava serem as mais significativas. Neste, cita: Ørsted, Berzelius, Wollaston, Schweigger, Ridolfi e Ampère, apontando que as ideias deste último seriam as mais completas e precisas, embora necessitando ser desenvolvidas em maior profundidade.

A última publicação de Faraday desta sequência se deu em 1823, no Quarterly Journal of Science, com o título: “Historical statement respecting electro-magnetic rotation” (Faraday, 1823). O artigo apresentou sua argumentação contra-acusações de ter-se apropriado indevidamente das ideias de Wollaston na questão da rotação eletromagnética. Como Wollaston era um importante personagem da época, além de ser amigo de Davy, é provável que Faraday estivesse em grandes apuros por causa dessa acusação.

Mesmo após essas acusações, em 18 de janeiro de 1823, Faraday voltou a trabalhar nos experimentos eletromagnéticos, começando uma sequência de vinte e quatro experimentos sobre rotações, com um enfoque bastante diferente do que tinha feito anteriormente. Todos eles estão relacionados a fenômenos de rotação de fios ou ímãs em torno de seus próprios eixos – um problema importante sob o ponto de vista da discussão entre Faraday e Ampère.

Terceira fase de pesquisas: 1825 – 1832

Depois de uma pausa, Faraday voltou a publicar sobre o assunto em 1825, no Quarterly Journal of Science, um trabalho bem curto (Faraday, 1825), onde apresentou resultados negativos de sua primeira tentativa de influenciar a intensidade de correntes elétricas através de um ímã.

Como a corrente elétrica [...] afeta poderosamente um ímã, tendendo a fazer seus polos passarem ao redor do fio [...] a esperança era, por várias razões, que a aproximação de um polo de um poderoso ímã diminuiria a corrente de eletricidade [...] (Faraday, 1825, p. 338).


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O experimento consistiu em conectar os polos de uma bateria por um fio metálico, em forma de solenoide, com a extremidade ligada a um galvanômetro. Dentro do solenoide foi inserido um ímã e procurou-se observar alguma deflexão na agulha do galvanômetro.

Sabemos que deveria ter ocorrido algum efeito nesses experimentos (durante os instantes em que Faraday movia os ímãs), mas esses efeitos não foram observados.

Uma carta 18 enviada a Faraday por Peter Barlow mostra que Faraday também esteve interessado, nesta época, nos experimentos apresentados por Arago na Academia de Ciências de Paris.

O fenômeno com o qual ele entreteve a Academia hoje é, por assim dizer, o inverso do anterior. Já que uma agulha em movimento é freada por uma placa em repouso, o Sr. Arago pensou que deveria seguir-se que uma agulha em repouso seria arrastada por uma placa em movimento (Arago,1825, p. 325).

Antes, porém, da realização de experimentos semelhantes aos de Arago (intitulados em seu diário por “Experimentos de indução elétrica em imitação aos experimentos de Arago na rotação de ímãs”), Faraday realizou outros em 28 de novembro de 1825: “Experimentos de indução pela conexão de fio na bateria voltaica”. Aparentemente ele utilizou aqui a palavra “indução” em analogia ao que se observa no caso da eletricidade estática, em que a presença de uma carga elétrica induz uma carga oposta em corpos próximos.

Durante os anos seguintes, ele afastou-se quase totalmente das pesquisas eletromagnéticas, como mostra a ausência completa desse assunto em seu diário de laboratório e em suas publicações.

Porém, um registro no diário, realizado em 22 de abril de 1828, mostra que Faraday não tinha abandonado sua busca. Nessa anotação ele descreveu um experimento em que fez um anel com fio de cobre (soldando suas extremidades) e fixou-o com um pedaço de fio para sustentá-lo com numa balança de torção (Figura 3). Introduziu no anel o polo de um ímã em barra, depois aproximou outros ímãs em diferentes posições e não observou nenhum efeito.

Aproximou um ímã em forma de ferradura do fio, conectando seus polos, mas esse circuito fechado também não apresentou efeito observável. Repetiu o experimento torcendo as extremidades do fio para formar o anel (no lugar da solda) e usando platina e prata no lugar de cobre. Não obteve resultados.


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Foi um experimento isolado em meio a suas experiências de Química e o resultado negativo parece não o ter motivado a prosseguir naquele momento. Uma nova fase de pesquisas sobre eletromagnetismo se iniciou somente em 1831, quando Faraday encontrou o que parece ter buscado desde o final de 1825: a indução eletromagnética.

Essas considerações, com suas consequências, a esperança de obter eletricidade do magnetismo comum, estimulou-me várias vezes a investigar experimentalmente o efeito indutivo das correntes elétricas. Eu, ultimamente, cheguei a resultados positivos, e não apenas tive minhas expectativas realizadas, mas obtive a chave que parece abrir várias explicações dos fenômenos magnéticos de Arago e, também, descobrir um novo estado que pode, provavelmente, ter influência em alguns dos mais importantes efeitos das correntes elétricas (Faraday, 1839-1855, p. 265).

O Diário de Faraday não dá nenhuma indicação do motivo pelo qual ele iniciou os novos experimentos. Do início de 1831 a julho do mesmo ano, Faraday estudou figuras acústicas em sólidos e líquidos. Em maio ele retornou rapidamente ao estudo do efeito termoelétrico, e nos dia 18 e 19 de agosto de 1831 ele estava se dedicando a experimentos sobre elaboração de chapas de cobre para impressão de figuras (Faraday in Martin, 1932-1936, p. 360ss).

Sem nenhuma explicação prévia, nas anotações relativas ao dia 29 de agosto de 1831, Faraday começou por descrever um anel de ferro doce (Figura 4) que construiu para o experimento e foi preservado até hoje.

Figura 3: Anel de cobre suspenso: procurando produção de corrente pelo magnetismo.

Figura 4: Foto do anel de ferro, utilizado nas experiências de 1831.


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Foi feito um anel de ferro [ferro doce] circular, com 7/8 de polegada de espessura e 6 polegadas de diâmetro externo. Várias espiras de fio de cobre foram enroladas ao redor de uma metade do anel, as espiras sendo separadas por barbante e algodão – existiam três extensões de fio, cada um com aproximadamente 24 pés de comprimento e eles poderiam ser ligados como uma só extensão ou usados como pedaços separados, cada um isolado do outro. Chamarei este lado do anel de A. No outro lado, mas separado por um intervalo, foram enrolados fios em dois pedaços juntos, contabilizando aproximadamente 60 pés em comprimento, a direção sendo como das primeiras espiras; este lado chamarei B (Faraday in Martin, 1932-1936, p. 367).

Faraday acreditava que a passagem de corrente elétrica em um dos enrolamentos poderia induzir uma corrente elétrica no outro enrolamento. Os dois enrolamentos do lado B foram unidos para formar um único, e sua extremidade foi conectada a um fio de cobre passando sobre uma agulha magnética a uma distância de 3 pés do anel. Deste modo, a agulha ao mover-se indicaria a passagem de uma corrente pelo lado B do anel. Uma das espiras do lado A foi conectada com uma bateria de 10 pares de placas, de 4 polegadas quadradas e, com a passagem da corrente pelo lado A, vinda da bateria, uma corrente foi detectada no lado B do anel.

Imediatamente um efeito sensível apareceu na agulha. Esta oscilou e estabeleceu-se por fim na posição inicial. Quebrando a conexão do lado A com a bateria, novamente houve uma perturbação na agulha (Faraday in Martin, 1932-1936, p. 367).

Faraday havia encontrado um efeito e, para confirmá-lo, juntou as extremidades das espiras do lado A em um enrolamento único e conectou com a bateria. Um efeito ainda mais forte foi observado na agulha. A corrente somente surgia em B imediatamente após conectar o lado A com a bateria ou imediatamente ao desconectá-lo. Quando a corrente estava fluindo continuamente no lado A nada ocorria no lado B.

Note-se que, neste primeiro experimento bem-sucedido, depois de anos de tentativas, o que Faraday encontrou foi o efeito de uma corrente elétrica sobre outra, e não de um ímã sobre uma corrente elétrica. Sob o ponto de vista didático, geralmente se introduz a indução eletromagnética de outra forma.

Na sequência do mesmo dia (29 de agosto de 1831) Faraday procurou obter efeitos químicos e fagulhas, indicações de que estava tentando verificar se o efeito obtido era realmente elétrico (como a corrente obtida através de uma pilha) ou de algum outro tipo.

No dia seguinte, Faraday fez outras experiências sempre com resultados de mesmo caráter, ou seja, só ocorrendo quando se estabelecia ou se interrompia a conexão com a bateria. Isso levou Faraday à seguinte indagação:


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Não poderiam esses efeitos temporários estarem conectados com as causas da diferença entre os efeitos de metais em repouso e em movimento, nos experimentos Ze Arago? (Faraday in Martin, 1932-1936, p. 369).

Faraday parece ter começado a entender que o disco estacionário, nos experimentos de Arago, não poderia produzir qualquer efeito sobre o ímã, sendo esses efeitos indutivos como no experimento do anel e, portanto, obtidos somente quando o disco estava em movimento relativo ao ímã. Uma evidência disso é que em 23 de setembro de 1831, Faraday escreveu 19 a seu amigo R. Phillips contando que havia voltado a se ocupar com o eletromagnetismo e que tinha uma ideia, embora ainda não a pudesse confirmar, de que sabia por que metais eram magnéticos quando em movimento, apesar de não o serem (geralmente) quando em repouso.

Evidentemente, essa ideia motivou Faraday em suas atividades e certamente direcionou alguns dos experimentos seguintes.

Em um deles utilizou um cilindro de ferro e a hélice L [o pequeno cilindro de ferro de 7/8 de espessura e 4 polegadas de comprimento, envolvido com quatro pedaços de fio de 14 pés de comprimento cada].

Todos os fios foram unidos em uma única hélice e conectados à hélice indicadora, a distância, pelo fio de cobre: depois o ferro foi colocado entre os polos da barra magnética, como em um dos primeiros experimentos e na figura anterior. Toda vez que o contato magnético no norte ou sul foi estabelecido ou quebrado, existiu movimento magnético na hélice indicadora, o efeito sendo como nos primeiros casos, não permanente, mas meramente empurrando ou puxando. Mas, se o contato elétrico (isto é, através do fio de cobre) era quebrado, então as disjunções e contatos não produziram qualquer efeito. Assim, distinta conversão de magnetismo em eletricidade (Faraday in Martin, 1932-1936, p. 372).

Este último experimento foi um grande sucesso, pois Faraday obteve (pela primeira vez) corrente elétrica induzida pela ação de um imã permanente, produzindo através desse dispositivo uma rápida variação magnética no cilindro de ferro. Nenhuma bateria foi utilizada. A “pinça” formada pelos dois ímãs (Figura

Figura 5: Pinça formada por dois ímãs: obtenção de corrente induzida pela ação de um íma permanente.


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5) produzia o efeito desejado. Deve-se notar que esse tipo de experimento é muito mais fácil de reproduzir do que o experimento descrito nos livros didáticos, de aproximar e afastar rapidamente um ímã de uma bobina.

Após esses resultados, Faraday parece ter ficado em dúvida sobre a causa dos fenômenos. Nos experimentos iniciais com o anel, havia uma corrente elétrica que produzia um efeito no segundo enrolamento. No último experimento descrito, o efeito era produzido apenas por uma variação magnética. Seriam dois fenômenos diferentes? Seria possível obter algum efeito sem a presença de um núcleo de ferro?

Ele confirmou essa hipótese com experimentos realizados no dia 29 de setembro de 1831, nos quais, pela primeira vez, utilizou a expressão “efeito induzido” para descrever o fenômeno.

Os resultados que eu havia obtido nessa época com ímãs, levaram-me a acreditar que a corrente da bateria através de um fio induzia realmente uma corrente semelhante através do outro fio, mas que ela continuava apenas durante um instante, e tinha a mesma natureza da onda elétrica que passa através do choque de uma garrafa de Leyden, e não como a corrente de uma bateria voltaica, e por isso poderia magnetizar uma agulha de aço, embora afetasse pouco o galvanômetro (Faraday, 1839-1855, p. 266).

Nesse momento, Faraday já estava ciente de que era possível produzir correntes elétricas tanto a partir de uma outra corrente elétrica (a indução volta-elétrica) como pela variação magnética brusca (no experimento com a “pinça” formada por dois ímãs). Embora ele já tivesse tentado obter efeitos pela aproximação e afastamento de ímãs, não tinha obtido resultados, mas tais efeitos deviam existir. Por isso ele insistiu e no dia 17 de outubro de 1831 Faraday realizou o seu experimento mais conhecido, a indução de corrente pela movimentação de uma barra magnética dentro de uma bobina.

A descrição dada no diário se refere a um cilindro de papel, oco, coberto por 8 enrolamentos [todos com mesma direção] de fio de cobre, com aproximadamente 220 pés de comprimento, separados por algodão – identificado como “arranjo O”.

As oito extremidades das hélices, em uma extremidade do cilindro, foram limpas e rapidamente unidas como um feixe. O mesmo foi feito na outra extremidade. Essas extremidades compostas foram conectadas a um galvanômetro por longos fios de cobre, como vemos na Figura 6.


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Depois, um ímã cilíndrico de 3/4 de polegadas de diâmetro e 8 1/2 polegadas de comprimento, teve uma extremidade inserida dentro da hélice – depois foi rapidamente empurrada em todo seu comprimento, e a agulha do galvanômetro moveu-se – depois, foi empurrada para fora e novamente a agulha se moveu, mas em direção oposta. Este efeito se repetiu todas as vezes que o ímã era colocado dentro ou retirado e, portanto, uma onda de eletricidade foi assim produzida pela mera aproximação de um ímã e não por sua formação in situ (Faraday in Martin, 1932-1936, p. 375).

Ou seja, o princípio descoberto era que o movimento de um ímã gera uma corrente elétrica no condutor. O trabalho realizado por Faraday no final de 1831 complementou a descoberta do eletromagnetismo por Ørsted, mostrando a existência de um fenômeno inverso (produção de efeitos elétricos pelo magnetismo) e fornecendo a base necessária para o desenvolvimento de uma nova área de pesquisas.

FONTE: DIAS, Valéria Silva; MARTINS, Roberto de Andrade. Michael Faraday: o caminho da livraria à descoberta da indução eletromagnética. Ciência & Educação, Bauru, Programa de Pós-Graduação em Educação para a Ciência, Universidade Estadual Paulista (UNESP), Faculdade de Ciências, campus de Bauru, v. 10, n. 3, p. 517-530, 2004.

Figura 6: Foto do cilindro de papel e do ímã em barra, utilizados no famos experimento de 17 de outubro de 1831.

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• A indução eletromagnética proposta por Faraday é o fenômeno físico observado quando se move um ímã no interior de uma bobina, gerando corrente elétrica variável no circuito.

• A força eletromotriz é induzida numa espira quando o número de linhas de campo magnético que atravessam a espira variam.

• A equação que descreve o fluxo magnético é: Φ = B.A.cos a.

• A Lei de Faraday sugere que o módulo da força eletromotriz induzida é igual à taxa de variação com o tempo do fluxo magnético que atravessa a espira. Matematicamente:

• Após a Lei da Indução de Faraday, Heinrich Friedrich Lenz propôs uma regra, conhecida por Lei de Lenz, que determina o sentido da corrente elétrica induzida na espira pelo ímã. Matematicamente:

• Um indutor é um dispositivo que pode ser utilizado para produzir um campo magnético conhecido em uma certa região. A indutância L do indutor é dada por:

Nt

t

NLi

ε

ε

∆Φ= −

∆

∆Φ= −

∆

Φ=

Nt

t

NLi

ε

ε

∆Φ= −

∆

∆Φ= −

∆

Φ=

Nt

t

NLi

ε

ε

∆Φ= −

∆

∆Φ= −

∆

Φ=

87

AUTOATIVIDADE

a) Enquanto a bobina é comprimida, determine o sentido da fem induzida na bobina.

b) Quando a bobina atinge o limite máximo de compressão, qual o sentido da fem induzida na bobina?

Bobina

Solenoide

Bobina circular Bobina comprimidano formato oval

1 Após o experimento de Faraday foi possível criar sistemas alimentados por energia elétrica por meio do estudo da indução eletromagnética. Dentro desse contexto, surge o conceito de corrente elétrica induzida. Com base nos estudos deste tópico, explique o que é a corrente elétrica induzida.

2 (Adaptada de HALLIDAY; RESNICK; WALKER, 2009, p. 293). Na figura a seguir, uma bobina de 120 espiras, com 1,8 cm de raio e uma resistência de 5,3 Ω é coaxial com um solenoide de 220 espiras/cm e 3,2 cm de diâmetro. A corrente no solenoide, diminui de 1,5 A para zero em um intervalo de tempo de ∆t = 25 ms Qual é a corrente induzida na bobina no intervalo ∆t?

3 (Adaptada de YOUNG; FREEDMAN, 2003). A figura a seguir mostra uma bobina sendo comprimida em um campo magnético uniforme.

88

4 (Adaptada de HALLIDAY; RESNICK; WALKER, 2009, p. 298). Uma bobina circular tem 10,0 cm de raio e 30,0 espiras compactas. Um campo magnético externo de módulo 2,60 mT é aplicado perpendicularmente ao plano da bobina.

a) Se a corrente na bobina é zero, qual é o fluxo magnético que enlaça as espiras?b) Quando a corrente na bobina é 3,80 A em um certo sentido, o fluxo

magnético através da bobina é zero. Qual é a indutância da bobina?

89

TÓPICO 2

CIRCUITOS

UNIDADE 2

1 INTRODUÇÃOComo vimos no tópico anterior, o indutor é um dispositivo usado em

circuitos elétricos com a finalidade de produzir um campo magnético. Neste tópico, vamos examinar alguns exemplos de como os indutores estão inseridos nos circuitos elétricos. Para isso, estudaremos o circuito RL composto por resistor e indutor e veremos como acontece o armazenamento da energia magnética.

2 CIRCUITOS RLOs circuitos RL são compostos por resistor e indutor. Quando uma força

eletromotriz é introduzida no circuito, a corrente elétrica não sofre um aumento brusco, mas seu aumento é exponencial, assim como quando removemos a força eletromotriz, a diminuição da corrente elétrica tende a zero exponencialmente.

FIGURA 17 – CIRCUITO RL


Vamos analisar as duas situações:

1º) Quando a força eletromotriz é introduzida

Quando o resistor é atravessado pela corrente, o potencial varia para – iR. Como a corrente é variável, passa a existir uma força eletromotriz autoinduzida no indutor no sentido oposto ao da corrente. Como a corrente vai aumentando, o potencial varia de .diL

dt−


90

FIGURA 18 – CIRCUITO RL COM AS FORÇAS ELETROMOTRIZES DA FONTE (ε) E AUTOINDUZIDA DO INDUTOR ε

L


Aplicando a regra das malhas, temos:

Fazer manipular matematicamente a equação dividindo-a por R e depois integrando-a:

A integral do lado esquerdo será de 0 a i, enquanto a parcela direita da equação possuirá limitantes de 0 a t:

( )

0 0

0 0

0

ln

ln

1

0 0

i t

i t

RtL

RtL

RtL

L

diiR Ldt

diiR Ldt

L diiR R dt

L di iR dt R

di R dtLi

R

di R dtLi

R

Ri tR L

i RR tLR

i R eR

i eR R

i eR

LR

t i

t i indutorR

ε

ε

ε

ε

ε

ε

ε

ε

ε

ε

ε

ε ε

ε

τ

ε

−

−

−

− − + =

= +

= +

− = −

= −−

= −−

− = −

− = − −

−=

−

= − +

= −

=

= → =

→∞→ =

∫ ∫

( ) emcurto

( )

0 0

0 0

0

ln

ln

1

0 0

i t

i t

RtL

RtL

RtL

L

diiR Ldt

diiR Ldt

L diiR R dt

L di iR dt R

di R dtLi

R

di R dtLi

R

Ri tR L

i RR tLR

i R eR

i eR R

i eR

LR

t i

t i indutorR

ε

ε

ε

ε

ε

ε

ε

ε

ε

ε

ε

ε ε

ε

τ

ε

−

−

−

− − + =

= +

= +

− = −

= −−

= −−

− = −

− = − −

−=

−

= − +

= −

=

= → =

→∞→ =

∫ ∫

( ) emcurto

( )

0 0

0 0

0

ln

ln

1

0 0

i t

i t

RtL

RtL

RtL

L

diiR Ldt

diiR Ldt

L diiR R dt

L di iR dt R

di R dtLi

R

di R dtLi

R

Ri tR L

i RR tLR

i R eR

i eR R

i eR

LR

t i

t i indutorR

ε

ε

ε

ε

ε

ε

ε

ε

ε

ε

ε

ε ε

ε

τ

ε

−

−

−

− − + =

= +

= +

− = −

= −−

= −−

− = −

− = − −

−=

−

= − +

= −

=

= → =

→∞→ =

∫ ∫

( ) emcurto

(1)

(2)

TÓPICO 2 | CIRCUITOS

91

Essa equação apresentada anteriormente é para o aumento da corrente elétrica ao inserir uma força eletromotriz no circuito RL, sendo que a constante de tempo indutiva é:

Então para um tempo inicial

( )

0 0

0 0

0

ln

ln

1

0 0

i t

i t

RtL

RtL

RtL

L

diiR Ldt

diiR Ldt

L diiR R dt

L di iR dt R

di R dtLi

R

di R dtLi

R

Ri tR L

i RR tLR

i R eR

i eR R

i eR

LR

t i

t i indutorR

ε

ε

ε

ε

ε

ε

ε

ε

ε

ε

ε

ε ε

ε

τ

ε

−

−

−

− − + =

= +

= +

− = −

= −−

= −−

− = −

− = − −

−=

−

= − +

= −

=

= → =

→∞→ =

∫ ∫

( ) emcurto

( )

0 0

0 0

0

ln

ln

1

0 0

i t

i t

RtL

RtL

RtL

L

diiR Ldt

diiR Ldt

L diiR R dt

L di iR dt R

di R dtLi

R

di R dtLi

R

Ri tR L

i RR tLR

i R eR

i eR R

i eR

LR

t i

t i indutorR

ε

ε

ε

ε

ε

ε

ε

ε

ε

ε

ε

ε ε

ε

τ

ε

−

−

−

− − + =

= +

= +

− = −

= −−

= −−

− = −

− = − −

−=

−

= − +

= −

=

= → =

→∞→ =

∫ ∫

( ) emcurto

( )

0 0

0 0

0

ln

ln

1

0 0

i t

i t

RtL

RtL

RtL

L

diiR Ldt

diiR Ldt

L diiR R dt

L di iR dt R

di R dtLi

R

di R dtLi

R

Ri tR L

i RR tLR

i R eR

i eR R

i eR

LR

t i

t i indutorR

ε

ε

ε

ε

ε

ε

ε

ε

ε

ε

ε

ε ε

ε

τ

ε

−

−

−

− − + =

= +

= +

− = −

= −−

= −−

− = −

− = − −

−=

−

= − +

= −

=

= → =

→∞→ =

∫ ∫

( ) emcurto

(3)

(4)

2º) Quando a fonte é desligada

Quando a fonte é desligada, a força eletromotriz ε deixa de fazer parte do circuito, portanto a equação (1) passa a ser escrita como:

( )

0 0

0

0

0

%

0

ln

1

1

0,97 1

1 0,97

ln 0,03

3,5

i

i t

RtL

RtL

RtL

RtL

total

RtL

RtL

L

L

diiR Ldt

diiR Ldt

R diiL dt

di R dti L

di R dti L

i R ti L

i i e

i R

i eR

i eR

e

i i

eR R

e

t

t

ε

ε

ε

ε

ε ε

τ

τ

−

−

−

−

−

−

= +

= +

− =

= −

= −

= −

=

=

=

= −

−

=

= −

− =

= −

=

∫ ∫

( )

0 0

0

0

0

%

0

ln

1

1

0,97 1

1 0,97

ln 0,03

3,5

i

i t

RtL

RtL

RtL

RtL

total

RtL

RtL

L

L

diiR Ldt

diiR Ldt

R diiL dt

di R dti L

di R dti L

i R ti L

i i e

i R

i eR

i eR

e

i i

eR R

e

t

t

ε

ε

ε

ε

ε ε

τ

τ

−

−

−

−

−

−

= +

= +

− =

= −

= −

= −

=

=

=

= −

−

=

= −

− =

= −

=

∫ ∫

( )

0 0

0

0

0

%

0

ln

1

1

0,97 1

1 0,97

ln 0,03

3,5

i

i t

RtL

RtL

RtL

RtL

total

RtL

RtL

L

L

diiR Ldt

diiR Ldt

R diiL dt

di R dti L

di R dti L

i R ti L

i i e

i R

i eR

i eR

e

i i

eR R

e

t

t

ε

ε

ε

ε

ε ε

τ

τ

−

−

−

−

−

−

= +

= +

− =

= −

= −

= −

=

=

=

= −

−

=

= −

− =

= −

=

∫ ∫

( )

0 0

0

0

0

%

0

ln

1

1

0,97 1

1 0,97

ln 0,03

3,5

i

i t

RtL

RtL

RtL

RtL

total

RtL

RtL

L

L

diiR Ldt

diiR Ldt

R diiL dt

di R dti L

di R dti L

i R ti L

i i e

i R

i eR

i eR

e

i i

eR R

e

t

t

ε

ε

ε

ε

ε ε

τ

τ

−

−

−

−

−

−

= +

= +

− =

= −

= −

= −

=

=

=

= −

−

=

= −

− =

= −

=

∫ ∫

( )

0 0

0 0

0

ln

ln

1

0 0

i t

i t

RtL

RtL

RtL

L

diiR Ldt

diiR Ldt

L diiR R dt

L di iR dt R

di R dtLi

R

di R dtLi

R

Ri tR L

i RR tLR

i R eR

i eR R

i eR

LR

t i

t i indutorR

ε

ε

ε

ε

ε

ε

ε

ε

ε

ε

ε

ε ε

ε

τ

ε

−

−

−

− − + =

= +

= +

− = −

= −−

= −−

− = −

− = − −

−=

−

= − +

= −

=

= → =

→∞→ =

∫ ∫

( ) emcurto

( )

0 0

0 0

0

ln

ln

1

0 0

i t

i t

RtL

RtL

RtL

L

diiR Ldt

diiR Ldt

L diiR R dt

L di iR dt R

di R dtLi

R

di R dtLi

R

Ri tR L

i RR tLR

i R eR

i eR R

i eR

LR

t i

t i indutorR

ε

ε

ε

ε

ε

ε

ε

ε

ε

ε

ε

ε ε

ε

τ

ε

−

−

−

− − + =

= +

= +

− = −

= −−

= −−

− = −

− = − −

−=

−

= − +

= −

=

= → =

→∞→ =

∫ ∫

( ) emcurto

( )

0 0

0 0

0

ln

ln

1

0 0

i t

i t

RtL

RtL

RtL

L

diiR Ldt

diiR Ldt

L diiR R dt

L di iR dt R

di R dtLi

R

di R dtLi

R

Ri tR L

i RR tLR

i R eR

i eR R

i eR

LR

t i

t i indutorR

ε

ε

ε

ε

ε

ε

ε

ε

ε

ε

ε

ε ε

ε

τ

ε

−

−

−

− − + =

= +

= +

− = −

= −−

= −−

− = −

− = − −

−=

−

= − +

= −

=

= → =

→∞→ =

∫ ∫

( ) emcurto


92

Integrando a equação, seus limitantes serão de i0 a i do lado esquerdo e de 0 a t do lado direito.

Sendo que , então:

Exemplo: Considere que um circuito RL é conectado a uma bateria. Para que

múltiplo da constante de tempo indutiva, a corrente atinge um valor 0,3% menor que o valor final?

Resolução: Quando o tempo inicial é zero, teremos: . O valor de 0,3% é

determinado pelo termo , portanto, para a corrente atingir um percentual da corrente total devemos fazer:

( )

0 0

0

0

0

%

0

ln

1

1

0,97 1

1 0,97

ln 0,03

3,5

i

i t

RtL

RtL

RtL

RtL

total

RtL

RtL

L

L

diiR Ldt

diiR Ldt

R diiL dt

di R dti L

di R dti L

i R ti L

i i e

i R

i eR

i eR

e

i i

eR R

e

t

t

ε

ε

ε

ε

ε ε

τ

τ

−

−

−

−

−

−

= +

= +

− =

= −

= −

= −

=

=

=

= −

−

=

= −

− =

= −

=

∫ ∫

( )

0 0

0

0

0

%

0

ln

1

1

0,97 1

1 0,97

ln 0,03

3,5

i

i t

RtL

RtL

RtL

RtL

total

RtL

RtL

L

L

diiR Ldt

diiR Ldt

R diiL dt

di R dti L

di R dti L

i R ti L

i i e

i R

i eR

i eR

e

i i

eR R

e

t

t

ε

ε

ε

ε

ε ε

τ

τ

−

−

−

−

−

−

= +

= +

− =

= −

= −

= −

=

=

=

= −

−

=

= −

− =

= −

=

∫ ∫

( )

0 0

0

0

0

%

0

ln

1

1

0,97 1

1 0,97

ln 0,03

3,5

i

i t

RtL

RtL

RtL

RtL

total

RtL

RtL

L

L

diiR Ldt

diiR Ldt

R diiL dt

di R dti L

di R dti L

i R ti L

i i e

i R

i eR

i eR

e

i i

eR R

e

t

t

ε

ε

ε

ε

ε ε

τ

τ

−

−

−

−

−

−

= +

= +

− =

= −

= −

= −

=

=

=

= −

−

=

= −

− =

= −

=

∫ ∫

( )

0 0

0

0

0

%

0

ln

1

1

0,97 1

1 0,97

ln 0,03

3,5

i

i t

RtL

RtL

RtL

RtL

total

RtL

RtL

L

L

diiR Ldt

diiR Ldt

R diiL dt

di R dti L

di R dti L

i R ti L

i i e

i R

i eR

i eR

e

i i

eR R

e

t

t

ε

ε

ε

ε

ε ε

τ

τ

−

−

−

−

−

−

= +

= +

− =

= −

= −

= −

=

=

=

= −

−

=

= −

− =

= −

=

∫ ∫

( )

0 0

0

0

0

%

0

ln

1

1

0,97 1

1 0,97

ln 0,03

3,5

i

i t

RtL

RtL

RtL

RtL

total

RtL

RtL

L

L

diiR Ldt

diiR Ldt

R diiL dt

di R dti L

di R dti L

i R ti L

i i e

i R

i eR

i eR

e

i i

eR R

e

t

t

ε

ε

ε

ε

ε ε

τ

τ

−

−

−

−

−

−

= +

= +

− =

= −

= −

= −

=

=

=

= −

−

=

= −

− =

= −

=

∫ ∫

( )

0 0

0

0

0

%

0

ln

1

1

0,97 1

1 0,97

ln 0,03

3,5

i

i t

RtL

RtL

RtL

RtL

total

RtL

RtL

L

L

diiR Ldt

diiR Ldt

R diiL dt

di R dti L

di R dti L

i R ti L

i i e

i R

i eR

i eR

e

i i

eR R

e

t

t

ε

ε

ε

ε

ε ε

τ

τ

−

−

−

−

−

−

= +

= +

− =

= −

= −

= −

=

=

=

= −

−

=

= −

− =

= −

=

∫ ∫

TÓPICO 2 | CIRCUITOS

93

3 ENERGIA MAGNÉTICAQuando duas partículas carregadas são afastadas, a energia potencial

associada a elas fica armazenada no campo magnético gerado por corrente elétrica. Para restaurar essa energia, basta aproximar novamente as partículas.

Vamos encontrar uma expressão matemática para a energia magnética, para isso vamos considerar um circuito com uma fonte eletromotriz, conectado a um resistor e um indutor, teremos novamente a equação (1) do tópico anterior:

Essa equação descreve o aumento de corrente no circuito e também é uma das expressões para a Lei da Conservação de Energia. Multiplicando a equação por i, temos:

Sabemos que a corrente elétrica (i) é definida pela taxa com a qual as cargas atravessam um condutor (dq/dt), portanto:

Então, é a taxa de energia de energia que é fornecida ao circuito e podemos reescrever a equação para:

O termo i2R é a energia dissipada como energia térmica no resistor, mas nesse caso a energia é armazenada no campo magnético, portanto, reescrevendo a equação e integrando o lado esquerdo da energia mínima (0) à energia máxima (UB) e o lado direito da corrente elétrica mínima (0) à corrente elétrica máxima (i ), temos:

( )

0 0

0 0

0

ln

ln

1

0 0

i t

i t

RtL

RtL

RtL

L

diiR Ldt

diiR Ldt

L diiR R dt

L di iR dt R

di R dtLi

R

di R dtLi

R

Ri tR L

i RR tLR

i R eR

i eR R

i eR

LR

t i

t i indutorR

ε

ε

ε

ε

ε

ε

ε

ε

ε

ε

ε

ε ε

ε

τ

ε

−

−

−

− − + =

= +

= +

− = −

= −−

= −−

− = −

− = − −

−=

−

= − +

= −

=

= → =

→∞→ =

∫ ∫

( ) emcurto

( )( )

2

2

2

0 0

2

2

2

23

2

2

100,5020

2

13 10 202

2,6

B

B

B

U i

B

B

B

B

B

B

dii i R Lidt

dq dii R Lidt dt

dqdt

dU dii R Lidt dt

dU diLidt dt

dU Lidi

LiU

LiU

iR

i

i A

LiU

xU

U J

ε

ε

ε

ε

−

= +

= +

= +

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

∫ ∫

( )( )

2

2

2

0 0

2

2

2

23

2

2

100,5020

2

13 10 202

2,6

B

B

B

U i

B

B

B

B

B

B

dii i R Lidt

dq dii R Lidt dt

dqdt

dU dii R Lidt dt

dU diLidt dt

dU Lidi

LiU

LiU

iR

i

i A

LiU

xU

U J

ε

ε

ε

ε

−

= +

= +

= +

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

∫ ∫

( )( )

2

2

2

0 0

2

2

2

23

2

2

100,5020

2

13 10 202

2,6

B

B

B

U i

B

B

B

B

B

B

dii i R Lidt

dq dii R Lidt dt

dqdt

dU dii R Lidt dt

dU diLidt dt

dU Lidi

LiU

LiU

iR

i

i A

LiU

xU

U J

ε

ε

ε

ε

−

= +

= +

= +

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

∫ ∫

( )( )

2

2

2

0 0

2

2

2

23

2

2

100,5020

2

13 10 202

2,6

B

B

B

U i

B

B

B

B

B

B

dii i R Lidt

dq dii R Lidt dt

dqdt

dU dii R Lidt dt

dU diLidt dt

dU Lidi

LiU

LiU

iR

i

i A

LiU

xU

U J

ε

ε

ε

ε

−

= +

= +

= +

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

∫ ∫


94

Exemplo: Considere uma força eletromotriz de 10 V sendo aplicada a uma bobina de

13 mH de indutância e a uma resistência de 0,50 Ω. Qual é a energia armazenada no campo magnético?

Resolução: Para encontrar a energia armazenada no campo magnético, devemos

encontrar o valor total da corrente elétrica, para isso:

Utilizando a expressão para a energia armazenada, temos:

( )( )

2

2

2

0 0

2

2

2

23

2

2

100,5020

2

13 10 202

2,6

B

B

B

U i

B

B

B

B

B

B

dii i R Lidt

dq dii R Lidt dt

dqdt

dU dii R Lidt dt

dU diLidt dt

dU Lidi

LiU

LiU

iR

i

i A

LiU

xU

U J

ε

ε

ε

ε

−

= +

= +

= +

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

∫ ∫

( )( )

2

2

2

0 0

2

2

2

23

2

2

100,5020

2

13 10 202

2,6

B

B

B

U i

B

B

B

B

B

B

dii i R Lidt

dq dii R Lidt dt

dqdt

dU dii R Lidt dt

dU diLidt dt

dU Lidi

LiU

LiU

iR

i

i A

LiU

xU

U J

ε

ε

ε

ε

−

= +

= +

= +

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

∫ ∫

100,50

20

Ri

iR

i

i A

ε

ε

=

=

=

=

95


• Se uma força eletromotriz ε é aplicada num circuito com um resistor R e um indutor L a corrente elétrica i cresce exponencialmente no circuito de acordo com a equação:

A taxa de aumento da corrente elétrica é a constante de tempo indutiva τL, definida por:

Então para um tempo inicial

• Quando a força eletromotriz é retirada/desligada do circuito, a corrente passa a reduzir a corrente elétrica de acordo com a expressão:

• Quando duas partículas carregadas são afastadas, a energia potencial é armazenada no campo magnético segundo a equação:

( )

2

1

0 0

2

RtL

L

RtL

B

i eR

LR

t i

t i indutor emcurtoR

i eR

LiU

ε

τ

ε

ε

−

−

= −

=

= → = →∞→ =

=

=

( )

2

1

0 0

2

RtL

L

RtL

B

i eR

LR

t i


i eR

LiU

ε

τ

ε

ε

−

−

= −

=

= → = →∞→ =

=

=

( )

2

1

0 0

2

RtL

L

RtL

B

i eR

LR

t i


i eR

LiU

ε

τ

ε

ε

−

−

= −

=

= → = →∞→ =

=

=

( )

2

1

0 0

2

RtL

L

RtL

B

i eR

LR

t i


i eR

LiU

ε

τ

ε

ε

−

−

= −

=

= → = →∞→ =

=

=

( )

2

1

0 0

2

RtL

L

RtL

B

i eR

LR

t i


i eR

LiU

ε

τ

ε

ε

−

−

= −

=

= → = →∞→ =

=

=

96

AUTOATIVIDADE

FIGURA – CIRCUITO RL COM AS FORÇAS ELETROMOTRIZES DA FONTE (ε) E AUTOINDUZIDA DO INDUTOR ε

L


1 (Adaptada de HALLIDAY; RESNICK; WALKER, 2009, p. 299). Um solenoide com uma indutância de 6,30 µH é ligado em série com um resistor de 1,20 kΩ. Determine:

a) Se uma bateria de 14,0 V é ligada ao circuito, quanto tempo é necessário para que a corrente no resistor atinja 80,0% do valor final?

b) Qual é a corrente no resistor no instante t = 1,0 τL?

2 Por que podemos dizer que a expressão é uma expressão para a conservação de energia?

3 De acordo com a Figura 18 apresentada no tópico, defina cada uma das grandezas que aparecem na imagem e diga qual sua unidade de medida no Sistema Internacional de Unidades (SI).

4 Considere o circuito da questão anterior, em que a indutância é de 12 H e o resistor seja de 40 Ω. Determine a constante indutiva do tempo.

5 Considere um circuito RL em que a força eletromotriz é de 24 V, o resistor seja de 6 Ω e a indutância do indutor seja de 14 H. Se o circuito fica ligado por 10 segundos, qual é a corrente elétrica?

2

2BLiU =

97

TÓPICO 3

OSCILAÇÕES ELETROMAGNÉTICAS E

CORRENTE ALTERNADA

UNIDADE 2

1 INTRODUÇÃOImagine que você fez uma receita de bolo, armazenou e a transportou

até outro local para compartilhar com seus amigos. Será que é possível fazer a mesma coisa com a energia? Será possível produzir energia elétrica, armazená-la para depois utilizar a energia novamente? A resposta para essa pergunta é sim, é possível armazenar essa energia, porém o desafio para os cientistas e engenheiros é projetar um sistema de corrente alternada capaz de transferir energia de forma eficiente e construir equipamentos que possam reutilizar essa energia.

Durante a década de 1880, Thomas Edson e George Westinghouse discutiram sobre as melhores formas de distribuir energia elétrica. Edson defendia a corrente contínua, enquanto Westinghouse afirmava que o melhor método seria a corrente alternada. Neste tópico, estudaremos como acontecem as oscilações em sistemas alternados em circuitos elétricos com indutores e capacitores, a corrente alternada e os transformadores.

2 OSCILAÇÕES EM UM CIRCUITO LCPrimeiramente, precisamos definir um sistema LC, ou seja, composto por

capacitor e indutor. A função que representa a combinação com o tempo varia senoidalmente, de modo que as oscilações resultantes do campo elétrico e magnético geradas pelos dispositivos são chamadas de oscilações eletromagnéticas.

A figura a seguir, extraída do livro de referência da disciplina, mostra as etapas de um circuito LC. Observe que não há nenhuma resistência passando pelo circuito e que as linhas de campo magnético e campo elétrico são mostradas conforme acontece a sua variação. Cada etapa possui um gráfico de barras identificando as transformações que acontecem da energia armazenada no sistema, isto é, a energia elétrica e magnética.

98


FIGURA 19 – CICLO DE OSCILAÇÃO DE UM CIRCUITO LC, INICIANDO EM a E FINALIZANDO EM h


A energia armazenada no campo elétrico é dada pela equação , enquanto a energia armazenada no campo magnético é . Lembrando que q é a carga do capacitor e i é a corrente do indutor.

O estágio indicado pela letra a corresponde ao estado inicial do circuito. Nesse momento, como não há passagem de corrente elétrica no sistema, a energia magnética é nula e a energia elétrica é máxima. Nesse instante, o capacitor está totalmente carregado. Ao aumentar a corrente que passa no circuito, o capacitor vai sendo descarregado através do indutor.

Como a carga do capacitor está diminuindo, a energia armazenada no campo elétrico também diminui. E o que acontece com o indutor? O indutor recebe essa energia para o campo magnético devido à existência de uma corrente elétrica e com isso o módulo da energia magnética aumenta.

Como podemos ver na figura, no estágio indicado pela letra d o capacitor começa a se carregar com polaridade inversa. A corrente elétrica continua a transferir cargas positivas da placa de cima para a placa de baixo do capacitor, até que o capacitor esteja completamente carregado novamente e a corrente no indutor se anula novamente.

Pelo princípio de conservação de energia, em sistemas ideais, os estágios de um ciclo de oscilação de um circuito LC continuam indefinidamente. Porém, em circuitos LC reais essas variações não são conservadas, de modo que as oscilações não continuam indefinidamente devido à existência de resistências internas do próprio circuito que ocasionam a dissipação de energia.

2

2

2

2

E

B

qUC

LiU

=

=

2

2

2

2

E

B

qUC

LiU

=

=

UB UEUB UE UB UE

UB UE UB UE UB UE

UB UE UB UE

(a)

(b) (c) (d)

(e)

(f)(g)(h)

L L L

L

L L L

i = 0 i = 0

C C C

C C C

CC

i i

i i

máx i

máx i

TÓPICO 3 | OSCILAÇÕES ELETROMAGNÉTICAS E CORRENTE ALTERNADA

99

E se pensarmos nos processos que já estudamos, que sistema possui um comportamento semelhante de oscilações? Um sistema massa-mola, que compõe a base do estudo do movimento harmônico simples (MHS)! Para isso, faremos uma analogia entre o circuito LC e um sistema oscilante.

A partir dos histogramas apresentados na Figura 19, a energia elétrica e a energia magnética se comportam de forma análoga à energia potencial elástica e energia cinética de um sistema do MHS. Não vamos entrar em detalhes nas demonstrações do MHS nesse momento porque já foram feitas em disciplinas anteriores. Mas vamos recordar a frequência angular de oscilação de um sistema bloco-mola ideal (atrito desprezível):

Ao compararmos o circuito LC com um conjunto bloco-mola, podemos corresponder as seguintes grandezas físicas:

• carga q corresponde à deformação x; • corrente i corresponde à velocidade v;• capacitância 1/C corresponde à constante elástica k;• indutância L corresponde à massa m.

Diante do exposto, determinamos a frequência angular de oscilação de

um circuito LC, tal que:

km

ω =

Essa relação matemática também pode ser demonstrada através da análise de um oscilador de um circuito LC utilizando equações diferenciais. A energia total do sistema é a soma das energias elétrica (armazenada no capacitor) e magnética (armazenada no indutor):

Sendo um sistema ideal sem dissipação de energia, nenhuma energia é transformada em energia térmica, implicando:

( )

2 2

2 2

2

2

2

1 1

2 2

0 ,

2 2

0

²

1 0

B E

LC LC

U U U

Li qUC

dU aenergiaé constante logoa derivadaé nuladt

dU d Li qdt dt C

dU di q dqLidt dt C dt

dq di d qi edt dt dt

d qL qdt C

ω = =

= +

= +

=

= +

= + =

= =

+ =

( )

2 2

2 2

2

2

2

1 1

2 2

0 ,

2 2

0

²

1 0

B E

LC LC

U U U

Li qUC


dU d Li qdt dt C



d qL qdt C

ω = =

= +

= +

=

= +

= + =

= =

+ =

100


Portanto:

Mas a corrente é a variação de carga por intervalo de tempo .

Fazendo essas substituições, temos:

Essa é a equação diferencial que descreve as oscilações que acontecem num circuito LC ideal.

Como examinamos anteriormente a analogia entre o circuito LC e o sistema bloco-mola, podemos utilizar a equação diferencial que descreve a amplitude de uma oscilação do MHS para escrever as soluções da oscilação em um circuito LC.

A função da elongação ou deslocamento de um MHS é:

( )

2 2

2 2

2

2

2

1 1

2 2

0 ,

2 2

0

²

1 0

B E

LC LC

U U U

Li qUC


dU d Li qdt dt C



d qL qdt C

ω = =

= +

= +

=

= +

= + =

= =

+ =

( )

2 2

2 2

2

2

2

1 1

2 2

0 ,

2 2

0

²

1 0

B E

LC LC

U U U

Li qUC


dU d Li qdt dt C



d qL qdt C

ω = =

= +

= +

=

= +

= + =

= =

+ =

( )

2 2

2 2

2

2

2

1 1

2 2

0 ,

2 2

0

²

1 0

B E

LC LC

U U U

Li qUC


dU d Li qdt dt C



d qL qdt C

ω = =

= +

= +

=

= +

= + =

= =

+ =

( )

2 2

2 2

2

2

2

1 1

2 2

0 ,

2 2

0

²

1 0

B E

LC LC

U U U

Li qUC


dU d Li qdt dt C



d qL qdt C

ω = =

= +

= +

=

= +

= + =

= =

+ =

Analogamente, a carga é escrita em termos da equação diferencial:

E a corrente:

( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

( )

( )

2 2

2

2

²2 2

1 ² ² ²2 2

1

²2

2

E

B

B

x Xcos t

q Qcos t carga

dqi Qsen t correntedt

q QU cos tC C

LiU L Q sen t

LC

QU sen tC

QC

ω ϕ

ω ϕ

ω ω ϕ

ω ϕ

ω ω ϕ

ω

ω ϕ

= +

= +

= =− +

= = +

= = +

=

= +

( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

( )

( )

2 2

2

2

²2 2

1 ² ² ²2 2

1

²2

2

E

B

B

x Xcos t

q Qcos t carga


q QU cos tC C

LiU L Q sen t

LC

QU sen tC

QC

ω ϕ

ω ϕ

ω ω ϕ

ω ϕ

ω ω ϕ

ω

ω ϕ

= +

= +

= =− +

= = +

= = +

=

= +

( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

( )

( )

2 2

2

2

²2 2

1 ² ² ²2 2

1

²2

2

E

B

B

x Xcos t

q Qcos t carga


q QU cos tC C

LiU L Q sen t

LC

QU sen tC

QC

ω ϕ

ω ϕ

ω ω ϕ

ω ϕ

ω ω ϕ

ω

ω ϕ

= +

= +

= =− +

= = +

= = +

=

= +


101

Desse modo, as equações da energia elétrica e energia magnética também podem ser escritas utilizando as considerações acima. Logo, substituímos a equação diferencial da carga e corrente na equação da energia, resultando em:

Sabendo que , obtemos:

É importante ressaltar que as oscilações do circuito LC respeitam o princípio da conservação de energia e, portanto, algumas considerações são válidas:

• A energia elétrica é máxima quando a energia magnética é mínima e vice-versa. • O valor máximo da energia total é igual a , isto é, a amplitude da energia

como mostrado anteriormente nas equações diferenciais.• Em qualquer instante, a soma das energias sempre é igual a .

( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

( )

( )

2 2

2

2

²2 2

1 ² ² ²2 2

1

²2

2

E

B

B

x Xcos t

q Qcos t carga


q QU cos tC C

LiU L Q sen t

LC

QU sen tC

QC

ω ϕ

ω ϕ

ω ω ϕ

ω ϕ

ω ω ϕ

ω

ω ϕ

= +

= +

= =− +

= = +

= = +

=

= +

( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

( )

( )

2 2

2

2

²2 2

1 ² ² ²2 2

1

²2

2

E

B

B

x Xcos t

q Qcos t carga


q QU cos tC C

LiU L Q sen t

LC

QU sen tC

QC

ω ϕ

ω ϕ

ω ω ϕ

ω ϕ

ω ω ϕ

ω

ω ϕ

= +

= +

= =− +

= = +

= = +

=

= +

( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

( )

( )

2 2

2

2

²2 2

1 ² ² ²2 2

1

²2

2

E

B

B

x Xcos t

q Qcos t carga


q QU cos tC C

LiU L Q sen t

LC

QU sen tC

QC

ω ϕ

ω ϕ

ω ω ϕ

ω ϕ

ω ω ϕ

ω

ω ϕ

= +

= +

= =− +

= = +

= = +

=

= +

( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

( )

( )

2 2

2

2

²2 2

1 ² ² ²2 2

1

²2

2

E

B

B

x Xcos t

q Qcos t carga


q QU cos tC C

LiU L Q sen t

LC

QU sen tC

QC

ω ϕ

ω ϕ

ω ω ϕ

ω ϕ

ω ω ϕ

ω

ω ϕ

= +

= +

= =− +

= = +

= = +

=

= +

( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

( )

( )

2 2

2

2

²2 2

1 ² ² ²2 2

1

²2

2

E

B

B

x Xcos t

q Qcos t carga


q QU cos tC C

LiU L Q sen t

LC

QU sen tC

QC

ω ϕ

ω ϕ

ω ω ϕ

ω ϕ

ω ω ϕ

ω

ω ϕ

= +

= +

= =− +

= = +

= = +

=

= +

( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

( )

( )

2 2

2

2

²2 2

1 ² ² ²2 2

1

²2

2

E

B

B

x Xcos t

q Qcos t carga


q QU cos tC C

LiU L Q sen t

LC

QU sen tC

QC

ω ϕ

ω ϕ

ω ω ϕ

ω ϕ

ω ω ϕ

ω

ω ϕ

= +

= +

= =− +

= = +

= = +

=

= +

3 OSCILAÇÕES AMORTECIDAS – RLCO que acontece num movimento harmônico quando há dissipação de

energia? E num circuito LC? Como a energia é dissipada, parte do movimento vai sendo transformada em energia térmica. Nos circuitos LC, isso acontece através da resistência, gerando um decréscimo progressivo na amplitude das oscilações. O circuito no qual esse efeito acontece, chamaremos de circuito RLC (resistor, indutor e capacitor).

Para o nosso estudo, vamos considerar o caso mais simples, em que os três dispositivos se encontram em série. Devido à ação da resistência no circuito, não temos mais o princípio da conservação de energia, desse modo a energia não é mais constante, diminuindo com o tempo, sendo dissipada.

A perda de energia ocasiona uma oscilação amortecida, que diminui exponencialmente com o tempo. Para analisar como acontece esse decréscimo, busquemos uma equação que nos forneça a energia eletromagnética no circuito em função do tempo. Como vimos no item anterior, a energia total é conhecida por:

102


Por se tratar de um sistema dissipado, precisamos levar em conta a taxa de dissipação de energia, tal que essa transformação acontece por meio da equação:

Derivando a energia total em relação ao tempo e igualando a dissipação, obtemos:

Lembrando que a corrente é a variação de carga por intervalo de tempo , portanto:

Provavelmente, você já deve ter estudado equações diferenciais. Como não é o foco desta disciplina desenvolver o cálculo da solução, vamos usar a solução conhecida para a equação do circuito RLC:

Agora, para finalizar, vamos escrever uma equação para a energia eletromagnética do circuito em função do tempo. Como vimos no tópico anterior, o valor máximo da energia total é igual a , isto é, a amplitude da energia. Substituindo a solução da equação da carga na energia total:

2 2

2 2

²

B ELi qU U U

C

dU i Rdt

= + = +

= −

( )

( )

( )

( )

2 2

2

2

2

22

²2 2

²

²

1 0 ²

cos

1 ( cos ²2 2

² cos² ²2

RtL

RtL

E

RtL

E

dU d Li q i Rdt dt C

di q dqL i Rdt C dt


d q dqL R q circuito RLCdt dt C

q Qe t

qU Qe tC C

QU e tC

ω ϕ

ω ϕ

ω ϕ

−

−

−

= + = −

+ = −

= =

+ + =

= +′

=

′

= ′ +

= +

2 2

2 2

²

B ELi qU U U

C

dU i Rdt

= + = +

= −

( )

( )

( )

( )

2 2

2

2

2

22

²2 2

²

²

1 0 ²

cos

1 ( cos ²2 2

² cos² ²2

RtL

RtL

E

RtL

E


di q dqL i Rdt C dt



q Qe t

qU Qe tC C

QU e tC

ω ϕ

ω ϕ

ω ϕ

−

−

−

= + = −

+ = −

= =

+ + =

= +′

=

′

= ′ +

= +

( )

( )

( )

( )

2 2

2

2

2

22

²2 2

²

²

1 0 ²

cos

1 ( cos ²2 2

² cos² ²2

RtL

RtL

E

RtL

E


di q dqL i Rdt C dt



q Qe t

qU Qe tC C

QU e tC

ω ϕ

ω ϕ

ω ϕ

−

−

−

= + = −

+ = −

= =

+ + =

= +′

=

′

= ′ +

= +

( )

( )

( )

( )

2 2

2

2

2

22

²2 2

²

²

1 0 ²

cos

1 ( cos ²2 2

² cos² ²2

RtL

RtL

E

RtL

E


di q dqL i Rdt C dt



q Qe t

qU Qe tC C

QU e tC

ω ϕ

ω ϕ

ω ϕ

−

−

−

= + = −

+ = −

= =

+ + =

= +′

=

′

= ′ +

= +

( )

( )

( )

( )

2 2

2

2

2

22

²2 2

²

²

1 0 ²

cos

1 ( cos ²2 2

² cos² ²2

RtL

RtL

E

RtL

E


di q dqL i Rdt C dt



q Qe t

qU Qe tC C

QU e tC

ω ϕ

ω ϕ

ω ϕ

−

−

−

= + = −

+ = −

= =

+ + =

= +′

=

′

= ′ +

= +

( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

( )

( )

2 2

2

2

²2 2

1 ² ² ²2 2

1

²2

2

E

B

B

x Xcos t

q Qcos t carga


q QU cos tC C

LiU L Q sen t

LC

QU sen tC

QC

ω ϕ

ω ϕ

ω ω ϕ

ω ϕ

ω ω ϕ

ω

ω ϕ

= +

= +

= =− +

= = +

= = +

=

= +

( )

( )

( )

( )

2 2

2

2

2

22

²2 2

²

²

1 0 ²

cos

1 ( cos ²2 2

² cos² ²2

RtL

RtL

E

RtL

E


di q dqL i Rdt C dt



q Qe t

qU Qe tC C

QU e tC

ω ϕ

ω ϕ

ω ϕ

−

−

−

= + = −

+ = −

= =

+ + =

= +′

=

′

= ′ +

= +


103

Fisicamente, a equação nos diz que a energia do campo elétrico oscila de acordo com quadrado do cosseno, enquanto que a amplitude das oscilações diminui exponencialmente com o tempo.

4 CORRENTE ALTERNADAQuando estudamos circuitos elétricos e as leis básicas do eletromagnetismo,

vemos de forma simplificada como acontecem os processos elétricos nos fios condutores através da alimentação de fontes de correntes contínuas. A corrente contínua funciona como um fluxo de elétrons, na qual a carga elétrica se movimenta de forma ordenada num único sentido.

A principal característica da corrente alternada é de que o fluxo de elétrons muda a direção constantemente. Na prática, a corrente alternada é mais eficaz no transporte de energia para locais distantes. Um exemplo disso é a energia que usamos nas nossas casas.

A geração de energia acontece nas usinas, e para chegar até a residência percorre um caminho de centenas de quilômetros. Desse modo, a corrente alternada se torna uma opção mais eficiente, uma vez que a corrente contínua causaria grandes perdas no trajeto.

Outra vantagem da corrente alternada (ca) é que ela é capaz de suportar valores altos de tensão. Quanto maior for a voltagem, maior é a distância que a energia chega sem perder “força” no trajeto. No sistema de abastecimento elétrico do Brasil, a tensão e a corrente variam a polaridade 120 vezes por segundo e, portanto, possuem uma frequência de 60 Hz.

Mas como o elétron se movimenta dentro de um fio sujeito à variação da frequência? Diferente da corrente contínua, o elétron não precisa chegar a algum lugar. A corrente elétrica é a variação de carga em área de seção reta de um fio por unidade de tempo. Isso significa que, ao dizer que a corrente em um fio corresponde a um Ampère, temos uma taxa de vazão de um coulomb por segundo.

Em outras palavras, significa dizer que pode haver muitos portadores de carga se movendo no fio, e é isso o que importa para que haja a transferência de energia para o dispositivo: a colisão com átomos.

Nos geradores de ca há uma espira condutora forçada a girar na presença do campo magnético externo. A presença do campo magnético induz uma força eletromotriz na espira, que varia senoidalmente conforme a expressão:

( )

.msen t

i Isen

ε ε ω

ω ϕ

=

= −

104


Tal que a corrente gerada no circuito elétrico é:

Em que I é a amplitude da corrente. Lembrando que a corrente não pode estar em fase com a força eletromotriz.

Em suma, a grande vantagem da ca está em torno da mudança do sentido da corrente, que gera um campo magnético variável em torno do condutor, resultado da lei de indução de Faraday. Portanto, podemos aumentar ou diminuir a tensão usando um dispositivo chamado transformador, que estudaremos ainda neste tópico.

( )

.msen t

i Isen

ε ε ω

ω ϕ

=

= −

5 TRANSFORMADORESSe pudéssemos voltar no tempo e acompanhar a discussão feita por Edson

e Westinghouse, certamente definiríamos a corrente alternada como alternativa para o uso doméstico. Para transmitir energia elétrica em grandes distâncias, a tensão mais elevada é a uma opção mais viável, tal que a corrente transportada seja pequena. As perdas que ocorrem nos fios e linhas de transmissão são minimizadas.

As linhas de transmissão costumam operar com valores de tensão na ordem de 500 kV. Por questões de segurança, os equipamentos eletrodomésticos operam com tensões inferiores, padronizadas no Brasil em 110 V ou 220 V. Para que aconteça a conversão da tensão nas nossas casas é utilizado um dispositivo chamado transformador.

Para o funcionamento de um transformador deve-se trabalhar somente com tensão alternada. A tensão aplicada pela fonte do circuito primário gera uma corrente alternada e consequentemente um fluxo magnético em sua bobina. O fato da corrente ser alternada faz o fluxo variar, induzindo uma tensão na bobina. A figura a seguir mostra a ilustração de um transformador ideal.

FIGURA 20 – REPRESENTAÇÃO DE UM TRANSFORMADOR IDEAL

FONTE: Young e Freedman (2009, p. 365)

Fonte de corrente alternada I1

V1

N1 N2

V2R

ΦB

Enrolamento primário

Enrolamento secundário

Núcleo de ferro


105

Como podemos observar, o transformador é composto por duas bobinas ou enrolamentos, com número diferente de espiras, isoladas uma da outra, mas ligadas ao mesmo núcleo. O núcleo é feito de um material com permeabilidade magnética elevada, como o ferro. Desse modo, as linhas de campo ficam praticamente no interior do núcleo. O enrolamento primário é conectado com a fonte de tensão (conectada na rede de distribuição), enquanto que o enrolamento secundário conecta os terminais à tensão transformada. O símbolo que indica o transformador é ~.

O transformador obedece à Lei de Indução de Faraday e não funciona com corrente contínua. O enrolamento primário é conectado à fonte de alimentação de ca, cuja força eletromotriz é conhecida pela equação:

msen tε ε ω=

O enrolamento secundário, composto por um número N de espiras, é ligado com uma resistência R. Como estamos tratando de um transformador ideal, desconsideramos as perdas internas que podem ser causadas pelo enrolamento dos fios. Em transformadores reais e que são finamente projetados, a dissipação de energia estimada é inferior a 1%.

O fluxo magnético que acontece entre as espiras é escrito em termos da força eletromotriz que atua no sistema. A εespira é a mesma que atua no enrolamento primário e secundário. Já a tensão é escrita como o produto entre a εespira e o número de espiras de cada enrolamento:

Assim, podemos escrever a força eletromotriz:

A tensão transformada no enrolamento secundário:

( )

2

2

1

espira p P

espira s s

P sespira

p s

Ps s

p

P P S S

PP P S s

p

pS P

S

pSS S P

S

S SP

P

Ps s

p

Ps

p S SP P P

P P

PP

Seq

P

N V

N V

V VN N

VV NN

P iV potência

I V I V

VI V I NN

NI I

N

NVI I IR N

V NIR N

VV NN

V NN N NI I V

R N R N

VIR

NR RN

ε

ε

ε

=

=

= =

=

=

=

=

=

= → =

=

=

= → =

=

=

( )

2

2

1

espira p P

espira s s

P sespira

p s

Ps s

p

P P S S

PP P S s

p

pS P

S

pSS S P

S

S SP

P

Ps s

p

Ps

p S SP P P

P P

PP

Seq

P

N V

N V

V VN N

VV NN

P iV potência

I V I V

VI V I NN

NI I

N

NVI I IR N

V NIR N

VV NN

V NN N NI I V

R N R N

VIR

NR RN

ε

ε

ε

=

=

= =

=

=

=

=

=

= → =

=

=

= → =

=

=

( )

2

2

1

espira p P

espira s s

P sespira

p s

Ps s

p

P P S S

PP P S s

p

pS P

S

pSS S P

S

S SP

P

Ps s

p

Ps

p S SP P P

P P

PP

Seq

P

N V

N V

V VN N

VV NN

P iV potência

I V I V

VI V I NN

NI I

N

NVI I IR N

V NIR N

VV NN

V NN N NI I V

R N R N

VIR

NR RN

ε

ε

ε

=

=

= =

=

=

=

=

=

= → =

=

=

= → =

=

=

106


Essa equação nos mostra a relação necessária para elevar ou diminuir a tensão. Logo, se NS > NP, o transformador eleva a tensão. Se NS < NP o transformador abaixa a tensão.

Agora, vamos analisar o que acontece com a corrente do transformador. Lembrando que a potência elétrica relaciona a corrente e a tensão, matematicamente expressa por:

Aplicando o princípio de conservação de energia, a potência distribuída nos enrolamentos é igual:

Substituindo pela expressão encontrada anteriormente para a tensão secundária:

Essa equação implica a diferença existente da corrente que depende da razão do número de espiras do enrolamento primário e secundário. Para verificar a resistência equivalente, aplicamos a primeira Lei de Ohm, considerando a equação anterior:

Isolando IP:

( )

2

2

1

espira p P

espira s s

P sespira

p s

Ps s

p

P P S S

PP P S s

p

pS P

S

pSS S P

S

S SP

P

Ps s

p

Ps

p S SP P P

P P

PP

Seq

P

N V

N V

V VN N

VV NN

P iV potência

I V I V

VI V I NN

NI I

N

NVI I IR N

V NIR N

VV NN

V NN N NI I V

R N R N

VIR

NR RN

ε

ε

ε

=

=

= =

=

=

=

=

=

= → =

=

=

= → =

=

=

( )

2

2

1

espira p P

espira s s

P sespira

p s

Ps s

p

P P S S

PP P S s

p

pS P

S

pSS S P

S

S SP

P

Ps s

p

Ps

p S SP P P

P P

PP

Seq

P

N V

N V

V VN N

VV NN

P iV potência

I V I V

VI V I NN

NI I

N

NVI I IR N

V NIR N

VV NN

V NN N NI I V

R N R N

VIR

NR RN

ε

ε

ε

=

=

= =

=

=

=

=

=

= → =

=

=

= → =

=

=

( )

2

2

1

espira p P

espira s s

P sespira

p s

Ps s

p

P P S S

PP P S s

p

pS P

S

pSS S P

S

S SP

P

Ps s

p

Ps

p S SP P P

P P

PP

Seq

P

N V

N V

V VN N

VV NN

P iV potência

I V I V

VI V I NN

NI I

N

NVI I IR N

V NIR N

VV NN

V NN N NI I V

R N R N

VIR

NR RN

ε

ε

ε

=

=

= =

=

=

=

=

=

= → =

=

=

= → =

=

=

( )

2

2

1

espira p P

espira s s

P sespira

p s

Ps s

p

P P S S

PP P S s

p

pS P

S

pSS S P

S

S SP

P

Ps s

p

Ps

p S SP P P

P P

PP

Seq

P

N V

N V

V VN N

VV NN

P iV potência

I V I V

VI V I NN

NI I

N

NVI I IR N

V NIR N

VV NN

V NN N NI I V

R N R N

VIR

NR RN

ε

ε

ε

=

=

= =

=

=

=

=

=

= → =

=

=

= → =

=

=

P PI V PS

VI= sp

pS P

S

NN

NI I

N=


107

E substituindo

, obtemos:

Comparando com a Lei de Ohm para a corrente primária encontrada acima, , concluímos que a resistência equivalente é:

A transmissão de energia nas redes que alimentam as residências domésticas depende da corrente e da tensão do sistema, que variam senoidalmente para manter o sistema de energia elétrica sem prejuízos.

Ao detectar uma grande quantidade de partículas carregadas vindas do Universo em direção à Terra, os astrônomos comunicam as redes de distribuição elétrica, para possíveis alterações no sistema provenientes da interação dessas partículas com o campo produzido nas redes.

INTERESSANTE

( )

2

2

1

espira p P

espira s s

P sespira

p s

Ps s

p

P P S S

PP P S s

p

pS P

S

pSS S P

S

S SP

P

Ps s

p

Ps

p S SP P P

P P

PP

Seq

P

N V

N V

V VN N

VV NN

P iV potência

I V I V

VI V I NN

NI I

N

NVI I IR N

V NIR N

VV NN

V NN N NI I V

R N R N

VIR

NR RN

ε

ε

ε

=

=

= =

=

=

=

=

=

= → =

=

=

= → =

=

=

( )

2

2

1

espira p P

espira s s

P sespira

p s

Ps s

p

P P S S

PP P S s

p

pS P

S

pSS S P

S

S SP

P

Ps s

p

Ps

p S SP P P

P P

PP

Seq

P

N V

N V

V VN N

VV NN

P iV potência

I V I V

VI V I NN

NI I

N

NVI I IR N

V NIR N

VV NN

V NN N NI I V

R N R N

VIR

NR RN

ε

ε

ε

=

=

= =

=

=

=

=

=

= → =

=

=

= → =

=

=

( )

2

2

1

espira p P

espira s s

P sespira

p s

Ps s

p

P P S S

PP P S s

p

pS P

S

pSS S P

S

S SP

P

Ps s

p

Ps

p S SP P P

P P

PP

Seq

P

N V

N V

V VN N

VV NN

P iV potência

I V I V

VI V I NN

NI I

N

NVI I IR N

V NIR N

VV NN

V NN N NI I V

R N R N

VIR

NR RN

ε

ε

ε

=

=

= =

=

=

=

=

=

= → =

=

=

= → =

=

=

( )

2

2

1

espira p P

espira s s

P sespira

p s

Ps s

p

P P S S

PP P S s

p

pS P

S

pSS S P

S

S SP

P

Ps s

p

Ps

p S SP P P

P P

PP

Seq

P

N V

N V

V VN N

VV NN

P iV potência

I V I V

VI V I NN

NI I

N

NVI I IR N

V NIR N

VV NN

V NN N NI I V

R N R N

VIR

NR RN

ε

ε

ε

=

=

= =

=

=

=

=

=

= → =

=

=

= → =

=

=

108

RESUMO DO TÓPICO 3


• Um circuito indutor capacitor LC pode ser estudado a partir de uma analogia com o sistema mecânico bloco-mola.

• O princípio de conservação de energia rege o circuito, de modo que a soma da energia magnética e elétrica é sempre igual a:

• A carga e a corrente num sistema LC variam senoidalmente conforme as equações:

• As oscilações amortecidas são representadas pelo circuito RLC, em que a resistência é responsável pela dissipação de energia do sistema.

• A energia elétrica do sistema oscila de acordo com a função exponencial abaixo, tal que a amplitude das oscilações diminui exponencialmente com o tempo:

• A corrente alternada é a corrente que chega até nossas residências por meio de altas tensões. Para que sejam utilizadas em nossos equipamentos domésticos é necessário o uso de um transformador.

• Num transformador:◦ A corrente gerada no circuito elétrico é:

( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

( )

( )

2 2

2

2

²2 2

1 ² ² ²2 2

1

²2

2

E

B

B

x Xcos t

q Qcos t carga


q QU cos tC C

LiU L Q sen t

LC

QU sen tC

QC

ω ϕ

ω ϕ

ω ω ϕ

ω ϕ

ω ω ϕ

ω

ω ϕ

= +

= +

= =− +

= = +

= = +

=

= +

( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

( )

( )

2 2

2

2

²2 2

1 ² ² ²2 2

1

²2

2

E

B

B

x Xcos t

q Qcos t carga


q QU cos tC C

LiU L Q sen t

LC

QU sen tC

QC

ω ϕ

ω ϕ

ω ω ϕ

ω ϕ

ω ω ϕ

ω

ω ϕ

= +

= +

= =− +

= = +

= = +

=

= +

( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

( )

( )

2 2

2

2

²2 2

1 ² ² ²2 2

1

²2

2

E

B

B

x Xcos t

q Qcos t carga


q QU cos tC C

LiU L Q sen t

LC

QU sen tC

QC

ω ϕ

ω ϕ

ω ω ϕ

ω ϕ

ω ω ϕ

ω

ω ϕ

= +

= +

= =− +

= = +

= = +

=

= +

( ) ( )

( )

2

² cos² ² 2

RtL

E

Ps s

p

pS P

S

Seq

P

QU e t energiaelétrica docircuito RLCC

i Isen

VV NN

NI I

N

NR RN

ω ϕ

ω ϕ

−= +

= −

=

=

=

′

( ) ( )

( )

2

² cos² ² 2

RtL

E

Ps s

p

pS P

S

Seq

P


i Isen

VV NN

NI I

N

NR RN

ω ϕ

ω ϕ

−= +

= −

=

=

=

′

109


CHAMADA

◦ A tensão transformada no enrolamento secundário é conhecida:

◦ A corrente do enrolamento secundário é:

◦ A resistência equivalente é igual a:

( ) ( )

( )

2

² cos² ² 2

RtL

E

Ps s

p

pS P

S

Seq

P


i Isen

VV NN

NI I

N

NR RN

ω ϕ

ω ϕ

−= +

= −

=

=

=

′

( ) ( )

( )

2

² cos² ² 2

RtL

E

Ps s

p

pS P

S

Seq

P


i Isen

VV NN

NI I

N

NR RN

ω ϕ

ω ϕ

−= +

= −

=

=

=

′

( ) ( )

( )

2

² cos² ² 2

RtL

E

Ps s

p

pS P

S

Seq

P


i Isen

VV NN

NI I

N

NR RN

ω ϕ

ω ϕ

−= +

= −

=

=

=

′

110

AUTOATIVIDADE

1 (PIETROCOLA et al., 2016, p. 109). Um transformador tem 300 espiras no enrolamento primário e 6000 no secundário. Qual será a tensão obtida nos terminais do secundário se o primário for conectado a uma tensão contínua de 110 V? E se for conectado a uma tensão alternada desse valor?

2 (PIETROCOLA et al., 2016, p. 109). Em um transformador, o enrolamento primário é constituído por 500 espiras e o secundário, por 2000 espiras. A potência gerada pelo primário é de 6,0 kW quando sujeito a uma tensão alternada de 120 V. Determine a intensidade da corrente em cada enrolamento.

3 Uma das vantagens da corrente alternada é a possibilidade de trabalhar com altas tensões, minimizando as perdas pelos fios de transmissão. Para que possamos ligar nossos aparelhos domésticos à rede que abastece nossa casa é necessário o uso de transformadores. Com base no estudo feito, explique o que é um transformador e qual o princípio básico para seu funcionamento.

4 (HALLIDAY; RESNICK; WALKER, 2009, p. 335). Em um certo circuito LC oscilante a energia total é convertida de energia elétrica no capacitor em energia magnética no indutor em 1,50 µs. Determine:

a) O período das oscilações.b) A frequência das oscilações.c) Se a energia magnética é máxima em um certo instante, quanto tempo é

necessário para que seja máxima novamente?

111

UNIDADE 3

ONDAS ELETROMAGNÉTICAS E EQUAÇÕES DE MAXWELL


PLANO DE ESTUDOS


• entender as características das ondas eletromagnéticas;• descrever a geração de uma onda eletromagnética por um oscilador LC;• saber que as ondas eletromagnéticas não precisam de um meio material

para se propagar;• conhecer a relação entre o módulo do campo elétrico E, o módulo do

campo magnético B e a velocidade da luz c de uma onda eletromagnética em um dado instante e em uma dada posição;

• compreender que uma onda eletromagnética transporta energia;• saber que a taxa de transporte de energia por unidade de área é dada pelo

vetor de Poynting;• conhecer as equações de Maxwell;• aprender a Lei de Gauss para campos magnéticos;• saber que a estrutura magnética mais simples é o dipolo magnético;• conhecer as propriedades magnéticas dos materiais;• saber diferenciar matérias diamagnéticos, de paramagnéticos e de

ferromagnéticos.


TÓPICO 1 – ONDAS ELETROMAGNÉTICAS

TÓPICO 2 – EQUAÇÕES DE MAXWELL

TÓPICO 3 – MAGNETISMO DA MATÉRIA


CHAMADA

113

TÓPICO 1

ONDAS ELETROMAGNÉTICAS

UNIDADE 3

1 INTRODUÇÃOCertamente, você deve ter acesso à rede Wi-Fi, seja na sua casa, escola ou

já deve ter acessado em algum local comercial. O local onde você está estudando é iluminado por uma lâmpada artificial. E você ainda assistiu à última temporada da sua série ou novela preferida na televisão? Após a unificação da eletricidade e do magnetismo propostos pelos físicos da época, surge uma nova era, a era das comunicações e da informação.

Essa era é marcada pelas transmissões de televisão, rádio e telefone, compostas pelas ondas eletromagnéticas. Para que o avanço cada vez mais promissor das comunicações aconteça é necessário compreender a física básica das ondas eletromagnéticas.

Nesse cenário surge James Clerk Maxwell, que estruturou um conjunto de equações chamadas Equações de Maxwell, que sintetizam todos os conhecimentos sobre o eletromagnetismo adquiridos até aquela época. O trabalho de Maxwell foi publicado no livro Treatise on Electricity and Magnetism (Tratado sobre Eletricidade e Magnetismo). Neste tópico, veremos como Maxwell chegou a conclusões acerca das ondas eletromagnéticas e como suas ideias foram confirmadas experimentalmente.

2 CARACTERÍSTICAS DAS ONDAS ELETROMAGNÉTICASComo vimos na disciplina de Ondas e Ótica, a discussão sobre a natureza

da luz não foi algo trivial para os cientistas. Ao longo da história da Ciência, observou-se que alguns fenômenos luminosos são resultado de interações ondulatórias, enquanto outros são explicados quando a luz é considerada uma partícula. Aqui, trataremos das características ondulatórias da luz.

Para começar nosso estudo, vamos entender o que é uma onda eletromagnética com um pequeno trecho do livro de Richard, Leighton e Sands (1977, s. p.) para introduzir o assunto:

UNIDADE 3 | ONDAS ELETROMAGNÉTICAS E EQUAÇÕES DE MAXWELL

114

Eu lhes peço que imaginem os campos magnéticos e elétricos. Como fazer? Sabem como eu imagino o campo elétrico e magnético? O que eu vejo realmente? [...] Não tenho nenhuma imagem do campo eletromagnético que de algum modo seja precisa. Deve fazer algum tempo que sei o que é um campo eletromagnético – faz 25 anos que estive na mesma posição que vocês; agora tenho 25 anos a mais de experiência pensando nessas ondas serpenteantes. Quando penso em descrever o campo eletromagnético no espaço, falo dos campos E e B, e agito meus braços e imagino que posso vê-los. Vou lhes dizer o que vejo. Vejo algo como linhas borradas serpenteantes – aqui e ali há um B e um E escritos sobre elas e, de alguma forma, algumas linhas têm flechas – uma flecha aqui e ali que desaparece quando olho atentamente.

De maneira geral, uma onda eletromagnética é resultado da oscilação de uma carga elétrica, que faz o campo elétrico variar, e consequentemente, gera um campo magnético oscilante também. Essa mútua indução eletromagnética que se propaga no espaço é uma onda eletromagnética.

FIGURA 1 – REPRESENTAÇÃO ESQUEMÁTICA DO MODELO DA OSCILAÇÃO ENTRE OS CAMPOS ELÉTRICO E MAGNÉTICO DE UMA ONDA ELETROMAGNÉTICA

FONTE: <http://www.scielo.br/scielo.php?script=sci_arttext&pid=S1806-11172015000400206>. Acesso em: 26 nov. 2019.

Hoje, conhecemos um largo espectro de ondas eletromagnéticas, que foi chamado carinhosamente por “Arco-íris de Maxwell”. Como podemos ver, as aberturas do espectro não possuem limites definidos, mas vamos falar do que conhecemos.

Ondas eletromagnéticastransportam energiaatravés da propagação dos campos elétricos emagnéticos.

A variação do campoelétrico é perpendicularao campo magnético

comprimento da onda

variação docampo elétrico

variação do campomagnético

TÓPICO 1 | ONDAS ELETROMAGNÉTICAS

115

Os raios X ou raios gama são liberados em reações nucleares, modificam células e podem causar tumores. Por isso, caso seja necessária a exposição humana a essa frequência, deve-se tomar cuidado nas dosagens e tempo de exposição. Com os parâmetros controlados, a radiação é usada para o tratamento de cânceres e no diagnóstico de tumores.

Os raios X têm uma grande importância na medicina, em diagnósticos do interior do corpo humano por meio de tomografias. Já a radiação ultravioleta é facilmente visualizada através da radiação emitida pelo Sol. Também se deve tomar cuidado com o tempo de exposição, pois ao mesmo tempo que é essencial para a síntese de vitamina D, a exposição em horários críticos pode causar câncer de pele.

A luz visível compreende a faixa de comprimento de onda perceptível aos nossos olhos. As ondas de rádio são usadas na transmissão de informação por emissoras de rádio e televisão, utilizando frequências bem definidas. Além disso, corpos celestes também emitem ondas de rádio, que podem ser captadas na Terra.

FIGURA 2 – ESPECTRO ELETROMAGNÉTICO


Para estudar qualitativamente o comportamento de uma onda eletromagnética, vamos considerar a região do espectro na qual a fonte de radiação é macroscópica (comprimento de onda λ = 1m). Veja o esquema a seguir, em que temos um sistema sendo alimentado por um circuito oscilante LC para gerar uma onda eletromagnética.


116

FIGURA 3 – GERAÇÃO DE UMA ONDA ELETROMAGNÉTICA POR UM OSCILADOR LC

FONTE: Halliday, Resnick e Walker (2009)

O sistema oscilador LC está acoplado a um transformador, linha de transmissão e a uma antena. Como vimos na unidade anterior, as cargas e correntes do circuito variam senoidalmente, com uma frequência angular definida ( ). A variação da corrente elétrica faz com que os campos elétrico e magnético se mantenham variando constantemente. Essa variação faz com que surja uma onda eletromagnética.

Dos campos variáveis, podemos inferir que:

• Os campos elétrico e magnético são perpendiculares à direção da propagação da onda, formando uma onda transversal.

• Os campos elétrico e magnético são perpendiculares entre si.• A variação dos campos sugere um comportamento senoidal, tal que variam

com a mesma frequência e encontram-se em fase.

Com essas observações, concluímos que uma onda eletromagnética se propaga no eixo x positivo num sistema de coordenadas dextrogiro e as equações que indicam a posição dos campos é:

1 / LCω =

( )( )

M

M

E E sen kx t

B B sen kx t

ω

ω

= −

= −

Numa onda eletromagnética, as duas componentes precisam coexistir simultaneamente. Ainda, a velocidade de propagação da onda é ω/k. Como falamos de uma onda eletromagnética, isso significa que a velocidade de propagação é conhecida usando o símbolo c, tal que:

8

0 0

1 3.10 /c m sµ ε

= ≅

Onda eletromagnética

PPonto

distante

Antena dotipo dipolo

elétrico

Linha de transmissão

Transformador

Oscilador LC

C

L

R

Fonte dealimen-

tação


117

Em que representa a permeabilidade magnética do vácuo, e representa a permissividade elétrica do vácuo.

Você já deve ter ouvido, inclusive no ensino básico, que a velocidade da luz no vácuo é sempre igual a 3.108m/s Esse valor resulta da equação anteriormente apresentada, mas que fisicamente representa algo muito além: ela diz que todas as ondas eletromagnéticas se propagam no vácuo com a mesma velocidade (HALLIDAY; RESNICK; WALKER, 2009).

O valor da velocidade de propagação das ondas eletromagnéticas, encontrado teoricamente por Maxwell, era compatível com o valor medido para a velocidade de propagação da luz. Diante dessa concordância entre a velocidade de propagação c, Maxwell concluiu que a luz era uma onda eletromagnética.

70 4 .10 / . T m Aµ π −=

12 20

0

1 8,85.10 / .4

C N mk

επ

−= =

As discussões feitas por Albert Einstein, em 1905, sobre a relatividade restrita trazem importantes reflexões acerca da velocidade da luz. O princípio da invariância da luz diz que a velocidade da luz no vácuo é a mesma para todos os referenciais.

INTERESSANTE

2.1 A RELAÇÃO ENTRE O CAMPO ELÉTRICO E MAGNÉTICO

A discussão que fizemos até agora se baseia na ideia de que a indução mútua entre os campos elétrico e magnético é responsável pelo fenômeno da luz. Agora, vemos a relação matemática que impõe essa condição, isto é:

M

M

E cB

=

Inicialmente, observe a figura a seguir. Ela representa a passagem de uma onda eletromagnética em um pequeno trecho retangular segmentado para o nosso estudo.


118

FIGURA 4 – ESTUDO DA VARIAÇÃO DOS CAMPOS ELÉTRICO E MAGNÉTICO DE UMA ONDA ELETROMAGNÉTICA


Veja que o retângulo indicado possui dimensões infinitesimais que chamamos de dx e uma altura h. O segmento tracejado pertence ao plano xy e está parado. Agora, vamos analisar o fluxo magnético que atravessa o retângulo.

Para isso, vamos aplicar a lei de Indução de Faraday sob a região geométrica indicada na Figura 4 no sentido anti-horário:

. BdE dsdtφ

=−

∮

Por se tratar de uma integral em torno da superfície, analisamos o caminho percorrido no retângulo, portanto, os lados paralelos ao eixo x é nula, uma vez que nesses trechos, e são perpendiculares. Logo: E ds

( ). E ds E dE h Eh hdE= + − =

∮

Já o fluxo que atravessa o retângulo é:

( )( ) B B hdxφ =

Para encontrar a igualdade entre o campo e o fluxo, precisamos derivar o fluxo magnético:

( ) ( ) B d Bd hdxdt dtφ

=

Desse modo, obtemos:


119

( ) ( ). B d BdE ds hdE hdxdt dt

dE dBdx dt

φ=− → = −

= −

∫

�

Essa equação possui duas funções de duas variáveis, isto é, E e B em função de x e t. Isso significa que a forma matemática mais adequada para a expressão é escrita em termos de uma derivada parcial:

E Bx t

∂ ∂= −

∂ ∂

O sinal negativo fisicamente é interpretado pela diminuição do campo elétrico com o tempo t.

Agora, vamos derivar parcialmente as equações que descrevem os campos elétrico e magnético através das funções senoidais propostas no início deste tópico:

( ) ( )

( ) ( )

M M

M M

EE E sen kx t kE cos kx tx

BB B sen kx t B cos kx tt

ω ω

ω ω ω

∂= − → = −

∂

∂= − → = − −

∂

Para encontrar a razão que procuramos, fazemos:

( ) ( ) M M

M

M

E Bx t

kE cos kx t B cos kx t

EB k

ω ω ω

ω

∂ ∂= −

∂ ∂

− = −

=

De acordo com as proposições feitas anteriormente, a velocidade de propagação da onda é w/k, e para ondas eletromagnéticas essa velocidade se resume a c:


120

M

M

E cB

=

Essa relação permitiu a Maxwell concluir que a velocidade de propagação das ondas eletromagnéticas deveria ser sempre a mesma, comprovando a natureza eletromagnética da luz. Alguns anos mais tarde, Heinrich Hertz comprovou experimentalmente as conclusões de Maxwell.

3 TRANSPORTE DE ENERGIA E VETOR DE POYNTINGA definição básica de uma onda é o transporte de energia, nunca de

matéria. A taxa de transporte de energia de uma onda eletromagnética é conhecida por um vetor chamado de vetor de Poynting, em homenagem a John Henry Poynting (1852-1914), que relaciona a rapidez com que a energia é transportada por unidade de área. Matematicamente:

0

1S E Bµ

= ×

A direção do vetor indica a direção de propagação da onda e de energia da onda eletromagnética. O módulo do vetor de Poynting corresponde à potência instantânea, isto é, à quantidade de energia que é transportada por unidade de tempo e que atravessa uma determinada área. Portanto, a unidade de medida do vetor de Poynting é equivalente a W/m². Matematicamente, escrevemos:

0

1S EBµ

=

Agora, vamos determinar uma expressão para a intensidade da onda, isto é, a taxa média de transporte de energia. Para isso, vamos encontrar a intensidade média de I que é igual ao fluxo médio de energia, portanto:

médI S=

Como vimos no item anterior:

M MM

M

E Ec BB c

= → =


121

Logo:

0

1 ² médS Ecµ

=

Como:

( )

( )

( )

0

0

1 ( )²

1 ² ²

M

méd M

méd M

E E sen kx t

S E sen kx tc

S E sen kx tc

ω

ωµ

ωµ

= −

= −

= −

Em um ciclo completo, o valor médio de , e ainda vamos considerar que o valor médio quadrático do campo elétrico é . Portanto, a intensidade média é finalmente escrita com:

2 12

sen θ =

. 2m

rmsEE =

0

1 ²rmsI Ecµ

=

Embora nessa equação a energia elétrica esteja evidenciada, isso não significa que a energia magnética não é associada, as duas energias são exatamente iguais.

Como já estudamos no livro de “Ondas e óptica”, não nos aprofundaremos novamente nos fenômenos ondulatórios da luz, uma vez que nosso foco, neste tópico, é definir uma onda eletromagnética em termos da variação dos campos elétrico e magnético. Acompanhe no próximo tópico a discussão acerca das equações de Maxwell, fundamentais para o estudo do Eletromagnetismo e da Física Clássica.


122


LUZ PARA O PROGRESSO DO CONHECIMENTO E SUPORTE DA VIDA

Vanderlei S. BagnatoSebastião Pratavieira

Natureza da luz e sua produção

Por milênios a luz tem sido associada com divindades, tal sua importância. Para os antigos egípcios, a luz teria sido a razão para a vida e o Sol associado com um “Deus” (Rá é o deus do Sol do Antigo Egito, de onde se origina a palavra radiação). Nas escolas gregas, muitos se dedicaram ao entendimento da luz como elemento essencial da natureza. Os mesmos sugeriram ou realizaram demonstrações sobre a manipulação da luz.

A manipulação da luz para melhoria da qualidade de vida do homem também é milenar. Há relatos de antigos romanos, usando cristais com formas especiais para melhoria da visão ou ampliação da capacidade visual. Na idade média, era das trevas para a parte ocidental da civilização, a luz foi estudada no mundo árabe. Esta foi uma época iluminada para a ciência árabe, que fez grandes descobertas na matemática, medicina e em especial na óptica. Há exatamente 1000 anos (1015 DC) o primeiro compêndio de óptica foi publicado pelo árabe Ibn al-Haytham, conhecido no ocidente como Alhazen. Na sua coleção de óptica, contendo vários volumes, os primeiros fenômenos envolvendo luz foram descritos com clareza. Suas observações e ideias geraram as bases de toda a óptica moderna, incluindo a concepção das lentes e das câmeras escuras (Fig. 1); bem como ampliação de imagens através de espelhos curvos.

Figura 1. Princípio básico da câmara escura estudado por Ibn al-Haytham

Todas essas ideias acabaram por gerar as condições para o grande florescimento do tópico durante a Renascença. Neste período grandes personalidades como Descartes, Newton, Huygens e outros tornaram a área


123

uma das mais importantes em toda a ciência. De qualquer forma, é importante salientar que os pilares deste sucesso foram estabelecidos pelo mundo árabe ao longo de vários séculos.

O florescimento da Óptica com a Renascença tem uma importante característica, pois permitiu o aparecimento de diversas aplicações como os telescópios, microscópios, óculos pessoais, dentre outros. Este período também despertou o interesse para a luz propriamente dita. Qual é a natureza da luz? Este questionamento passou a ser uma preocupação na mente de diversos pensadores.

Os primeiros avanços consistiram em verificar que a velocidade da luz é finita. As tentativas de Galileu para a medida da velocidade da luz não foram bem-sucedidas por limitações técnicas. As técnicas que foram mais bem-sucedidas devem-se a Louis Fizeau e a Leon Foucault. A roda dentada girando de Louis Fizeau, representou um grande avanço técnico para a medida da velocidade da luz. Valores originalmente medidos revelaram valores da ordem de 300 mil km/s. A finitude da velocidade da luz a tornou mais palpável do ponto de vista científico. Sua natureza, no entanto, continuava uma incógnita. Newton, como bom “mecanicista” procurava explicar a natureza da luz como composta de partículas carregando velocidade, mas não massa.

Leis básicas sobre o comportamento da luz como reflexão e refração podiam ser explicadas. Alternativa a interpretação da luz como constituída de partículas, nascia a interpretação ondulatória para a luz. Baseado em efeitos que ocorrem com ondas como interferência e difração, facilmente observadas em ondas mecânicas como na água ou em cordas, e também presente na luz, surgiu a proposta que a luz deveria ser um fenômeno ondulatório. Este foi tema de grandes debates até que experimentos e teorias de Francesco Maria Grimaldi, Christiaan Huygens, Thomas Young foram capazes de convencer todos que a luz corresponde de fato a um fenômeno ondulatório.

Apenas considerando a luz como ondas, houve um elevado avanço no seu entendimento e suas aplicações. O modelo proposto por Huygens permitiu formular um modelo para propagação das frentes de onda e a ocorrência de diversos efeitos relacionados com reflexão, refração e difração. Para Huygens, uma frente de luz que se propaga é constituída de inúmeras ondas parciais e expandido dos diversos pontos formam a frente de onda caminhante ao encontrar uma interface há um desvio de direção (refração) ou se o meio não permite a penetração da onda, ocorre a reflexão. Quando a frente de onda encontra obstáculos as ondas parciais localizadas na borda do objeto não mais têm o restante para compor a frente de onda original, promovendo a propagação da onda na região geometricamente proibida. Isto permite, de alguma forma que a onda contorne o objeto num fenômeno chamado difração. Finalmente quando temos duas fendas no caminho da frente de onda, ocorre uma difração em cada uma, havendo uma soma que dependendo da posição produz máximos e mínimos gerando o chamado padrão de interferência.


124

A ocorrência e explicação de todos estes fenômenos foram totalmente convincentes para demostrar a característica ondulatória da luz. Restava agora explicar: que tipo de onda era esta? Muitas décadas se passaram até que fosse possível entender a natureza das ondas que constituem a luz.

Foi James Clark Maxwell que conseguiu vencer esse mistério. Combinando praticamente todo conhecimento existente na época, sobre eletricidade e magnetismo, Maxwell pode verificar que havia a possibilidade de se ter uma onda composta tanto de eletricidade como de magnetismo caminhando livremente no espaço, mesmo na ausência completa de cargas elétricas ou correntes elétricas. O mais impressionante de tudo é que esta onda, chamada de onda eletromagnética pela sua composição tinha velocidade de propagação que coincidia com a velocidade da luz. Maxwell imediatamente associou a luz com uma onda eletromagnética. Na Fig. 2 ilustramos a propagação de uma onda eletromagnética.

Figura 2. Ilustração da propagação de uma onda eletromagnética

Tudo parecia fantástico e a luz parecia ser composta de eletricidade e magnetismo. E isto foi verificado através de experimentos diversos, incluindo o efeito fotoelétrico. Que mostra que quando a luz incide sobre um metal, a natureza elétrica da luz parecia ser capaz de trabalhar sobre as cargas livres do metal ejetando elétrons. A natureza eletromagnética da luz é um dos grandes marcos da ciência. Com este entendimento, saímos literalmente da escuridão e passamos a entender melhor todos os fenômenos envolvendo luz bem como adquirimos domínio sobre ela para dar início a uma nova era de aplicações da luz.

Obviamente, com esta descoberta, a luz passou a ser entendida cientificamente. A natureza eletromagnética da luz não é o fim da história, sua natureza corpuscular reabre todas as questões e dá origem à chamada natureza quântica da luz, onde o fóton é o principal protagonista. Mesmo com mais

Ondas eletromagnéticastransportam energiaatravés da propagação dos campos elétricos emagnéticos.

A variação do campoelétrico é perpendicularao campo magnético

comprimento da onda

variação docampo elétrico

variação do campomagnético


125

este avanço, ainda não se conclui a história. O fóton ainda não é totalmente entendido. Quanto mais o compreendemos através de experimentos e teorias, mais descobrimos que ainda há muito a ser entendido. Esta é realmente uma história sem fim.

A interação da luz com a matéria

Com a concepção eletromagnética para a luz, o entendimento de sua interação com a matéria torna-se mais fácil e compreensível. Vamos fazer aqui um modelo simplificado a fim de podermos explicar o que ocorre nesta interação. Comecemos lembrando que toda matéria ao nosso redor é constituída de cargas. A natureza atômica da matéria, amplamente discutida e entendida, nos faz olhar a interação da luz ao nível atômico e molecular. Do fato que a matéria é feita de cargas e que a luz é composta de campos, combinam todos os ingredientes para enxergarmos a intimidade desta interação. Os campos elétricos e magnéticos que constituem a luz interagem com as cargas e trabalham sobre elas para que ali seja depositado energia é o fundamental desta interação.

Numa visão mais simples, a matéria é vista como elétrons em órbitas ao redor dos núcleos. Esta visão orbital para a composição de cargas da matéria deve ser livremente corrigida no espírito da mecânica quântica, e ao invés de imaginar o elétron ao redor do núcleo em órbitas bem determinadas, preferimos olhar o elétron como uma nuvem de carga negativa ao redor do núcleo. Esta nuvem de carga define as chamadas órbitas atômicas. Uma das grandes consequências da natureza quântica da matéria é que apenas determinadas distribuições para essa nuvem atômica é que são permitidas. Quando dois átomos se aproximarem, essa nuvem eletrônica ao redor de cada um adquire uma nova configuração de compartilhamento, dando origem às chamadas ligações químicas. Toda química que ocorre ao nosso redor bem como toda forma estrutural das coisas é consequência direta destes arranjos de carga. Como toda matéria tem estas configurações de carga, dando a ela suas características específicas, toda radiação eletromagnética interage com a matéria de uma forma mais ou menos pronunciada. Quando os campos oscilantes da luz atingem a matéria, o campo elétrico age diretamente deslocando a nuvem de carga. A força que o campo é capaz de transferir as cargas, nem sempre é suficiente para vencer as forças com que os núcleos (positivo) seguram estas cargas. Nesta situação, a famosa força elétrica (F = q.E) apenas promove uma oscilação ou chacoalhamento destas cargas. Este chacoalhamento das cargas também produz campos oscilatórios, exatamente como a luz e, portanto, as cargas oscilantes tiram energia da luz incidente e colocam em todo espaço num processo chamado de “espalhamento”. Este processo, de forma simplificada, está representado na Fig. 3, onde ao passar pelos átomos o campo eletromagnético perturba as nuvens eletrônicas.


126

Figura 3. Ilustração da perturbação da nuvem eletrônica pelo campo eletromagnético

Em alguns casos, a energia que a luz é capaz de transferir à nuvem eletrônica é tão intensa, que é suficiente para mudar por completo a distribuição da nuvem eletrônica, levando de uma configuração estável (orbital atômico inicial) para outro estável (orbital atômico final). Nesta situação, ocorre uma mudança de distribuição de carga, entre as várias permitidas pela mecânica quântica. Temos neste ponto a ocorrência do chamado “espalhamento ressonante” ou transição eletrônica de estado. Com a ocorrência da transição, a energia do campo eletromagnético não foi apenas espalhada para as outras direções, ela realmente ficou acumulada na nova distribuição de cargas eletrônicas na matéria. Ela fica lá como energia potencial eletrônica armazenada. Nesta situação dizemos que a matéria (através de seus átomos e moléculas) está excitada. Ocorre que esta nova distribuição de cargas, não é tão estável quanto a primeira e, por qualquer perturbação infinitésima, retorna à situação original. Porém, voltando à distribuição original, toda a diferença de energia entre as duas distribuições é devolvida novamente ao espaço na forma de radiação eletromagnética exatamente pelo processo inverso.

Este processo que acabamos de descrever é chamado de “emissão espontânea” de radiação pela matéria e só pode ocorrer quando a matéria estiver eletronicamente excitada. Este processo todo está esquematicamente representado na Fig. 4. A luz que podemos enxergar nesta “dexcitação”, caracteriza muito a matéria e normalmente é chamada de processo de fluorescência. Para a maioria da matéria, os átomos não estão isolados, mas ligados uns aos outros, formando as moléculas, cadeias moleculares mais complexas, ou mesmo sólidos.

Tudo ao nosso redor tem essa constituição. Quando a luz interage com a matéria através da transferência de energia pela interação com as cargas, como vimos, chacoalhando as cargas que formam as ligações químicas também transferimos movimento para os núcleos dos átomos. O núcleo é a parte massiva da matéria e com a excitação da parte eletrônica eles também adquirem movimento, passando a ter agora movimentos oscilatórios. Estes movimentos das massas nucleares são chamados de vibração molecular e, no caso de corpos sólidos, constituem os chamados fônons vibracionais. Este movimento mecânico das massas é o que chamamos de “energia térmica”, e a quantidade acumulada na matéria é medido pela temperatura.

Luz

átomo


127

Figura 4. Ilustração da transferência de energia da radiação para um átomo

O mecanismo que acabamos de descrever é a visualização de como radiação eletromagnética (luz) se converte em calor aquecendo a matéria. É desta forma que a luz do Sol é capaz de aquecer o planeta. Calor é energia mecânica, e o Sol não manda calor direto à Terra, o Sol manda luz a Terra, que interagindo com a matéria vira calor. Este é um mecanismo fundamental para toda a vida do planeta. Ao colocarmos um objeto escuro na luz (do Sol, por exemplo), ele aquece acumulando energia térmica através dos mecanismos que discutimos. A conversão da energia eletromagnética da luz em calor está mostrada no esquema da Fig. 5.

Figura 5. Ilustração da conversão da energia eletromagnética da luz em calor

Quando a luz interage com a matéria promovendo alteração na distribuição de cargas eletrônicas, seja em átomos ou moléculas isoladas, diversos fenômenos podem ocorrer. A luz pode ser espalhada, absorvida, pode virar calor nesta absorção, pode emitir novamente luz, pode transferir esta energia para outra molécula, (que agora fica com nova distribuição de carga), pode promover a variação estrutural das moléculas, dentre outros muitos fenômenos. Há uma situação onde transferimos tanta energia para a nuvem eletrônica, que a força dos campos de radiação sobre as cargas vence a força que quer manter as cargas na matéria.

Nesta situação, elétrons são removidos no processo que chamamos de ionização, ou mais precisamente, fotoionização. Se isto ocorrer numa molécula, a remoção de carga torna o balanço estrutural da molécula comprometido. Se por acaso forem moléculas responsáveis pela reprodução da vida, a mudança de estrutura pode promover a chamada mutação. É por esta razão que temos que evitar a exposição de seres vivos a radiações ionizantes.

Luz de excitação

Luz emitida

orbital s

orbital p

orbital snovamente

núcleos começam a vibrar

núcleos (massa)ligados pela nuvem eletrônica

luz desloca a nuvemexcitando parteeletrônica


128

Quando a matéria interage com a luz, a reatividade das moléculas pode variar. A luz pode ser o elemento que falta para viabilizar certas reações como na fotossíntese e em muitas outras. São exatamente os mecanismos de interação da luz que criam o mundo que vemos e mais um grande número de aplicações.

Como enxergamos o mundo?

Vamos usar tudo que aprendemos até aqui para discutir a visão e as sensações. Claro que para enxergarmos os objetos é necessário detectar a luz que eles são capazes de enviar para nossos olhos. Ao chegar aos nossos olhos, a luz passa por uma estrutura capaz de manipular a direção da luz (óptica geométrica) até chegar ao fundo do olho onde estão moléculas que interagem com a luz como descrito (cargas excitadas), promovendo reações e geração de sinais que chegam ao nosso cérebro para a devida interpretação.

Temos dois tipos de células no fundo do olho, os chamados bastonetes e os cones, que têm composição bioquímica diferente. Há três tipos de cones, cada um detecta primordialmente uma cor, através dos processos de interação com a luz, descritos anteriormente. Enquanto que os bastonetes são responsáveis pela detecção de luminosidade. A Fig. 6 mostra a curva de sensibilidade de cada dessas células que temos em nosso olho.

Figura 6. Curvas de sensibilidade dos cones e bastonetes do olho humano em função do comprimento de onda (cor)

Devido a essa característica do olho humano, estas três cores são chamadas de primárias e constituem a base de nossa sensação de cor. O interessante ocorre quando dois cones são simultaneamente excitados. Se de um único lugar do espaço estiver sendo mandado ao olho duas cores primárias, a sensação que temos é completamente diferente, dando origem às cores secundárias. Assim verde + vermelho forma a sensação de amarelo, verde + azul o ciano e vermelho + azul a magenta. Esta combinação de cores é famosa quando misturamos as cores primárias como mostrado na Fig. 7.

cones vermelhos

cones azuis bastonetes cones verdes

sens

ibili

dade

comprimento de onda (m)


129

Figura 7. Combinação das cores primárias

Se tomarmos a região onde as três cores primárias se sobrepõem formamos a sensação de branco. Se você tomar um objeto branco e iluminar com luz verde e vermelha simultaneamente ele torna-se amarelo. Não devemos confundir os fatos. A cor amarela existe, basta você olhar para os postes de rua com lâmpadas a vapor de sódio para ver o amarelo.

No espectro da radiação eletromagnética, a cor amarela tem uma frequência (ou comprimento de onda) bem característica. No entanto, para que nós humanos tenhamos a sensação de amarelo não necessariamente aquela frequência da radiação precisa estar presente. Esta é a distinção entre cores e sensação de cores. Assim, quando nós humanos vemos um objeto de certa cor, ele não necessariamente está nos enviando aquela frequência, pode ser uma combinação de frequência que termina com aquela sensação.

A biofotônica

Que a luz é importante para a vida, não precisamos mais convencê-lo. A questão é: além de tudo isto ainda há mais? A resposta é sim, e o número de aplicações das ciências da vida envolvendo luz é praticamente inesgotável. O tópico é tão importante, que recebe um nome para si: biofotônica. Trata-se da interação da luz com células a fim de podermos diagnosticar doenças ou mesmo tratá-las.

Todo o fundamento disto já foi fornecido anteriormente ao explicarmos como a luz interage com a matéria, a excitação eletrônica permite depositar calor no tecido biológico, ou mesmo tornar as moléculas mais reativas, alterando o metabolismo natural, ou ainda podemos coletar a luz reemitida pelo tecido biológico e utilizá-lo como uma impressão digital das biomoléculas ali presentes, fato que pode diagnosticar uma doença, como câncer ou outra.

De fato, tudo isto é utilizado em muitas situações, a luz interagindo com o sistema biológico muda a reatividade das moléculas alterando o metabolismo. Se esta alteração for feita com sabedoria podemos acelerar ou retardar reações biológicas que demorariam muito a ocorrer. Desta forma, a chamada fototerapia tem permitido acelerar a cicatrização, aliviar a dor, estimular a regeneração


130

óssea durante fraturas e muitas outras aplicações. Pesquisadores desenvolvem equipamentos específicos para promover, de forma eficiente estas fototerapias, cuja base é uma complexa fotoquímica. Mais recentemente, descobriu-se, inclusive, que uma fototerapia pode contribuir para a otimização da perda de peso durante o exercício físico, redirecionando o metabolismo celular. Esta parte chama-se moto-fototerapia, e deverá ser um grande sucesso num futuro próximo.

A luz emitida pelas moléculas também constitui uma excelente forma de saber as características dos tecidos biológicos. Este princípio constituem as bases do chamado fotodiagnóstico. O corpo humano é um organismo vivo formado por diversos sistemas, tais como sistema respiratório, digestivo, entre outros. Cada sistema é então formado por um conjunto de órgãos específicos, sendo que cada órgão é composto por um ou mais tecidos.

Os tecidos biológicos por sua vez são formados por agregados de células de mesmo ou de diferentes tipos e pela matriz extracelular, composta por proteínas e açúcares, que mantêm as células coesas, constituindo o arcabouço tecidual. Dentro de cada célula temos várias organelas que são formadas por moléculas e átomos, dividindo-a em compartimentos com diferentes morfologias e funções.

Quando alguma doença começa a se desenvolver ocorrem mudanças nas condições do tecido biológico, incluindo alterações bioquímicas e estruturais. Essas mudanças alteram a forma como a luz interage com o tecido, alterando suas propriedades ópticas (absorção, espalhamento, fluorescência etc.). Assim, avaliando os fenômenos dessa interação podemos avaliar se alterações biológicas que estão ocorrendo em nosso organismo. Na Fig. 8, uma imagem tradicional de uma lesão e uma imagem de fluorescência ilustra o processo de fotodiagnóstico. A imagem de fluorescência revela mais detalhes sobre as características da lesão.

Figura 8. Imagem de luz branca (esquerda) e de fluorescência (direita) de um carcinoma basocelular

Há também a possibilidade da adição de certas substâncias, que permite criar uma modalidade terapêutica fascinante, que é a chamada terapia fotodinâmica. Nesta técnica, adiciona-se ao tecido biológico uma molécula extra (seja por injeção, aplicação tópica ou oral). Quando esta molécula é iluminada por uma luz de cor específica, ela acumula energia, mudando os orbitais, criando uma distribuição de cargas que pode facilmente transferir esta energia para as moléculas de oxigênio (O2), criando uma espécie de oxigênio muito reativa, chamada de oxigênio singleto.


131

Esta molécula reativa também tem uma distribuição de carga instável para seus elétrons, oxidando praticamente qualquer biomolécula como proteínas, dentre outras. O resultado disto é que quando esta espécie reativa é produzida, ela destrói tudo ao seu redor, levando aquela parte do tecido à morte. Por matar eficientemente as células aonde o mecanismo ocorreu, a técnica é muito boa para matar tumores ou microrganismos (bactérias, fungos e vírus). A ilustração da Fig. 9 mostra um esquema do princípio da técnica fotodinâmica e a Fig. 10 ilustra um caso tratado com essa técnica.

Figura 9. Um tecido sadio (a) devido a diversos fatores, pode evoluir e apresentar uma lesão (b)

Essa lesão pode ser tratada através da Terapia Fotodinâmica, onde incialmente se aplica o fotossensibilizador (c), logo após se ilumina a lesão (d) e a interação da luz com a molécula fotossensível causa oxidação de várias moléculas da lesão, resultando em um tecido necrosado (e). Após um tempo o organismo elimina as células mortas e as células saudáveis se reproduzem e o tecido volta ao normal (f).

Figura 10. Foto de um paciente com carcinoma basocelular na região do rosto (a)


132

Nesta região procedimentos cirúrgicos são difíceis de serem realizados. Neste caso, foi aplicado o fotossensibilizador e iluminado com luz laser (b), após 15 dias somente as células do carcinoma está com mortas (c), a após um ano o tecido voltou ao normal (d).

Outro uso interessante de fotossensibilizadores é no controle de vetores de doenças, tais como o mosquito Aedes aegypti, transmissor do vírus da dengue. A ideia dessa técnica é colocar essa molécula em condições para que as larvas do mosquito as ingiram. Após essa ingestão, começa a ocorrer dentro da larva a interação da luz com o fotossensibilizador, resultando na morte da larva. Para a eliminação da larva é necessário apenas uma pequena quantidade da molécula, assim a técnica é totalmente segura para animais domésticos, bem como para o homem. A molécula também é fotodegradada pela luz, assim após um período ela desaparece do ambiente sem deixar impactos. Na Fig. 11, ilustramos esse procedimento.

Figura 11. Ilustração do procedimento para controle de vetores. Nos recipientes com água onde existem larvas podemos aplicar a molécula de fotossensibilizador (pontos vermelhos), essa

molécula é então ingerida pelas larvas (larvas em vermelho). Com a ativação pela luz (Sol ou outra) iniciam-se reações fotoquímicas que induzem à morte da larva.

FONTE: BAGNATO, Vanderlei S.; PRATAVIEIRA, Sebastião. Luz para o progresso do conhecimento e suporte da vida. Rev. Bras. Ensino Fís. [on-line]. 2015, v. 37, n. 4, p.4206-1-4206-8, 2019.

133

RESUMO DO TÓPICO 1


• Uma onda eletromagnética é formada por campos elétricos e magnéticos variáveis, tal que as frequências das ondas eletromagnéticas constituem o espectro eletromagnético.

• Uma onda eletromagnética possui um campo elétrico e magnético cujos módulos variam senoidalmente:

( )( )

M

M

E E sen kx t

B B sen kx t

ω

ω

= −

= −

• A velocidade de qualquer onda eletromagnética no vácuo é igual a:

• O vetor de Poynting é a rapidez com que a energia é transportada por uma onda através de uma área em um instante de tempo, tal que seu valor é resultado da expressão:

• A intensidade da onda é:

8

0 0

1 3.10 /M

M

Ec m sB µ ε

= = ≅

0

1S E Bµ

= ×

0

1 ²rmsI Ecµ

=

134

AUTOATIVIDADE

1 A teoria desenvolvida por Maxwell levou à conclusão da existência das ondas eletromagnéticas, além de explicar a natureza ondulatória da luz. Explique o que é e como podemos entender o comportamento de uma onda eletromagnética.

2 (Adaptado de HALLIDAY; RESNICK; WALKER, 2009). A partir da figura do espectro eletromagnético, determine:

a) O menor e maior comprimento de onda para o qual a sensibilidade do olho humano é igual à metade da sensibilidade máxima.

b) O comprimento de onda, a frequência e o período da luz à qual o olho humano é mais sensível.

3 Para uma onda eletromagnética se propagando no vácuo com um campo elétrico de 100 N/C, calcule:

a) O campo magnético.b) O módulo do vetor de Poynting. Considere .7

0 4 .10 . /T m Aµ π −=

135

TÓPICO 2

EQUAÇÕES DE MAXWELL

UNIDADE 3

1 INTRODUÇÃOO físico escocês, James Clerk Maxwell, formulou a teoria do

Eletromagnetismo, tendo como base os estudos experimentais de Michael Faraday, sendo que essa teoria condensa um conjunto de equações conhecidas como Equações de Maxwell.

Mas foi por volta de 1820, quando Hans Christian Oersted entendeu a relação entre eletricidade e magnetismo e desenvolveu geradores capazes de manter correntes elétricas estáveis por longos períodos, que serviu como base fundamental para a descrição e compreensão desse fenômeno.

Após Oersted, Faraday conduziu experimentos utilizando a variação do fluxo magnético para produzir correntes elétricas, com o uso de bobinas com um núcleo de ferro para tais estudos. Ele percebeu que a variação de fluxo magnético gerava corrente elétrica, essa relação perpetuou-se pela Lei de Faraday.

A teoria do eletromagnetismo de Maxwell tornou-se um dos pilares da física clássica ao lado das leis da Termodinâmica e da Mecânica Newtoniana, pois revolucionou a Física quando demonstrou que os campos elétricos e magnéticos viajam à velocidade da luz, demonstrando então que a luz se propaga como uma onda eletromagnética.

Maxwell era um visionário e podemos dizer que estava à frente de seu tempo, pois seu trabalho foi uma das bases para a Relatividade Restrita de Albert Einstein e seu trabalho com a Teoria Cinética dos Gases foi de extrema importância para o desenvolvimento da Mecânica Quântica.

Entretanto, sabemos que a ciência é uma construção demorada e que necessita de inúmeras mentes brilhantes para pensá-la, experimentá-la e comprová-la, e somente cerca de 20 anos após a teoria do Eletromagnetismo de Maxwell ela foi compreendida e aceita, isso graças ao físico alemão Heinrich Hertz, que mostrou a dedução da teoria do Eletromagnetismo por um novo método e de certa forma reescreveu as equações de Maxwell na forma como a conhecemos. Vamos apresentá-las e entender o significado de cada uma neste tópico.

136


2 LEI DE GAUSS PARA CAMPOS MAGNÉTICOSAo espalharmos limalha de ferro sobre um ímã, esta se alinha revelando a

presença do campo magnético no entorno do ímã. O campo magnético se origina num dos polos e converge para o outro polo. O polo de origem é conhecido como fonte e a outra é o dreno e são popularmente chamados de polo norte e polo sul, respectivamente.

FIGURA 5 – LIMALHA DE FERRO SOBRE UM ÍMÃ DE BARRA ORIENTANDO-SE DE ACORDO COM O CAMPO MAGNÉTICO DO ÍMÃ


Se um ímã de barra for partido em pedaços, ao contrário do que pode se pensar, não haverá dois novos ímãs, um com cada polo, ou seja, monopolos magnéticos, e sim dois novos ímãs, com dois polos cada, um norte e outro sul.

FIGURA 6 – ÍMÃ PARTIDO EM PEDAÇOS ORIGINANDO NOVOS ÍMÃS COM DOIS POLOS, UM NORTE E OUTRO SUL


TÓPICO 2 | EQUAÇÕES DE MAXWELL

137

Portanto, podemos afirmar que não existem monopolos magnéticos, pois a estrutura magnética mais simples a existir é um dipolo magnético. Matematicamente, essa afirmação é provada pela Lei de Gauss para o magnetismo, que afirma que o fluxo magnético através de uma superfície gaussiana fechada é zero:

0

B B dA

B dA

= ⋅

⋅ =

Φ ∫

∫

�

�

3 CAMPOS MAGNÉTICOS INDUZIDOSNa Unidade 2 vimos que a variação de fluxo magnético induz um campo

elétrico que pode ser expresso pela Lei de Indução de Faraday:

A Física tem por princípio a simetria, portanto, o contrário também é verdadeiro, ou seja, um fluxo elétrico variável induz um campo magnético! E podemos expressar tal afirmação por meio da Lei de Indução de Maxwell:

Em que é o campo magnético induzido ao longo de uma curva fechada pela variação do fluxo elétrico ΦE.

Repare que o lado esquerdo da equação aparece na Lei de Ampère:

Em que ienv é a corrente elétrica envolvida pela curva. Podemos combiná-las na forma da Lei de Ampère-Maxwell:

Quando a corrente elétrica é constante não há fluxo elétrico e temos:

BdE dsdtΦ

⋅ = −∫

�

0 0EdB ds

dtµ ε Φ

⋅ =∫

�

B

0 envB ds iµ⋅ =∫

�

0 0 0E

envdB ds i

dtµ ε µΦ

⋅ = +∫

�

138


Ou seja, voltamos à Lei de Ampère. Quando o campo elétrico varia e a corrente elétrica é nula, temos apenas a Lei de Maxwell novamente.

0 0 0Eddt

µ ε Φ=

4 CORRENTE DE DESLOCAMENTO

O termo

é tratado como a corrente elétrica fictícia conhecida como corrente de deslocamento (id):

0Ed

dtε Φ

0E

ddi

dtε Φ

=

Então, reescrevendo a equação para a Lei de Ampère-Maxwell, temos:

0 0denv envB ds i iµ µ⋅ = +∫

�

Em que idenv é a corrente elétrica envolvida pela amperiana.

FIGURA 7 – CORRENTE DE DESLOCAMENTO id ENTRE DUAS PLACAS DE UM CAPACITOR


A carga q dos capacitores dependerá do campo elétrico (E), da área (A) dos capacitores e do meio ao qual estão imersos, nesse caso vamos considerar o vácuo (ε0), portanto:

0q AEε= (1)

Campo devido à corrente i

Campo devido à corrente i

Campo devido à

corrente id

B B B

+ –+ –

i i

id i i


139

Variando no tempo, devemos derivar essa equação e obteremos a corrente elétrica (i):

0

0

dq dEAdt dt

dEi Adt

ε

ε

=

= (3)

(2)

Supondo o campo elétrico E uniforme e lembrando que o fluxo do campo elétrico quando é:

E EAΦ =

Entre as placas, o fluxo de carga elétrica dq/dt é a corrente de deslocamento id, portanto:

( )0

0

d

Ed

d AEdqidt dt

didt

ε

ε

= =

Φ=

Comparando as equações (3) e (6), temos:

di i=

(4)

(5)

(6)

Então, podemos afirmar que a corrente de deslocamento em um capacitor pode ser considerada a corrente real na região das placas paralelas.

5 AS EQUAÇÕESO conhecimento muitas vezes surge de ideias e teorias de pessoas que

estavam muito certas de uma forma ou de outra, ou certas em sua época devido à incapacidade de testá-las devido às limitações tecnológicas da época, mas sabemos que alguns cientistas marcaram época. Nesse sentido, temos cinco cientistas que estão fortemente ligados a certas áreas da Física, como Johannes Kepler e Galileu Galilei com a Astronomia; Isaac Newton com a Mecânica Clássica; Albert Einstein com a Física Moderna e James Clerk Maxwell com o Eletromagnetismo.

140


São quatro as equações que regem o eletromagnetismo, ou melhor, que explicam os fenômenos relacionados ao eletromagnetismo. Separadamente, essas equações explicam fenômenos elétricos e magnéticos. Tais equações são conhecidas como Equações de Maxwell e já vimos todas no decorrer das três unidades deste livro didático.

0

0 0 0

0

-

env

B

Eenv

qLei de Gauss Para a Eletricidade E dA

Lei de Gauss Para o Magnetismo B dA

dLei de Faraday E dsdt

dLei de Ampère Maxwell B ds idt

ε

µ ε µ

→ ⋅ =

→ ⋅ =

Φ→ ⋅ = −

Φ→ ⋅ = +

∫

∫

∫

∫

�

�

�

�

Não existe uma ordem em termos de importância, pois com cada uma é possível abordar um problema específico. Essas quatro equações podem ser apresentadas em sua forma diferencial:

Agora, vamos mostrar como podemos passar do formalismo integral para o formalismo diferencial e explicar resumidamente o significado de cada uma das equações, mas para isso utilizaremos o Teorema do Divergente e o Teorema de Stokes:

0

0 0 0

0

-

Lei de Gauss Para a Eletricidade E

Lei de Gauss Para o Magnetismo B

BLei de Faraday Et

ELei de Ampère Maxwell E Jt

ρε

µ µ ε

→ ∇ ⋅ =

→ ∇ ⋅ =

∂→ ∇× = −

∂

∂→ ∇× = +

∂


141

( )

( )

volume

superfície

Teorema do Divergente F dA F dV

Teorema de Stokes F ds F dA

→ ⋅ = ∇ ⋅

→ ⋅ = ∇× ⋅

∫ ∫

∫ ∫

�

�

6 EQUAÇÕES DE MAXWELL NO FORMALISMO DIFERENCIALa) LEI DE GAUSS DA ELETROSTÁTICA

Na forma integral, temos:

(1)

( )

( )

( )

0

0

0

0

env

v

envv

env v

v v

qE dA

E dA E dV

qE dV

q dV

E dV dV

E

ε

ε

ρ

ρε

ρε

⋅ =

⋅ = ∇ ⋅

∇ ⋅ =

=

∇ ⋅ =

∇ ⋅ =

∫

∫ ∫

∫

∫

∫ ∫

�

�Adaptando o Teorema do Divergente, temos:

( )

( )

( )

0

0

0

0

env

v

envv

env v

v v

qE dA

E dA E dV

qE dV

q dV

E dV dV

E

ε

ε

ρ

ρε

ρε

⋅ =

⋅ = ∇ ⋅

∇ ⋅ =

=

∇ ⋅ =

∇ ⋅ =

∫

∫ ∫

∫

∫

∫ ∫

�

� (2)

Portanto:

Mas a carga envolvida é tridimensional, ou seja, deve ser calculada pela integral de volume da densidade de carga (ρ) envolvida:

( )

( )

( )

0

0

0

0

env

v

envv

env v

v v

qE dA

E dA E dV

qE dV

q dV

E dV dV

E

ε

ε

ρ

ρε

ρε

⋅ =

⋅ = ∇ ⋅

∇ ⋅ =

=

∇ ⋅ =

∇ ⋅ =

∫

∫ ∫

∫

∫

∫ ∫

�

�

( )

( )

( )

0

0

0

0

env

v

envv

env v

v v

qE dA

E dA E dV

qE dV

q dV

E dV dV

E

ε

ε

ρ

ρε

ρε

⋅ =

⋅ = ∇ ⋅

∇ ⋅ =

=

∇ ⋅ =

∇ ⋅ =

∫

∫ ∫

∫

∫

∫ ∫

�

� (3)

(4)

Substituindo (4) em (3):

( )

( )

( )

0

0

0

0

env

v

envv

env v

v v

qE dA

E dA E dV

qE dV

q dV

E dV dV

E

ε

ε

ρ

ρε

ρε

⋅ =

⋅ = ∇ ⋅

∇ ⋅ =

=

∇ ⋅ =

∇ ⋅ =

∫

∫ ∫

∫

∫

∫ ∫

�

�

(5)

Comparando os dois lados da equação, teremos a forma diferencial da equação para a Lei de Gauss para a Eletrostática:

142


( )

( )

( )

0

0

0

0

env

v

envv

env v

v v

qE dA

E dA E dV

qE dV

q dV

E dV dV

E

ε

ε

ρ

ρε

ρε

⋅ =

⋅ = ∇ ⋅

∇ ⋅ =

=

∇ ⋅ =

∇ ⋅ =

∫

∫ ∫

∫

∫

∫ ∫

�

�

(6)

Essa equação relaciona carga elétrica ao campo elétrico, para ser mais claro, a partir dessa equação podemos afirmar que carga elétrica (ou uma densidade de cargas) gera campo elétrico.

b) LEI DE GAUSS PARA O MAGNETISMO

Na forma integral, sabemos que a Lei de Gauss para o Magnetismo é:

Mais uma vez, aplicando o Teorema do Divergente:

Portanto, para esse caso, teremos:

Na forma diferencial:

Essa equação garante a inexistência de monopolos magnéticos.

c) LEI DE FARADAY

Na forma integral:

Adaptando o Teorema de Stokes:

( )

( )

0

0

0

v

v

B dA

B dA B dV

B dV

B

⋅ =

⋅ = ∇ ⋅

∇ ⋅ =

∇ ⋅ =

∫

∫ ∫

∫

�

�

( )

( )

0

0

0

v

v

B dA

B dA B dV

B dV

B

⋅ =

⋅ = ∇ ⋅

∇ ⋅ =

∇ ⋅ =

∫

∫ ∫

∫

�

�

( )

( )

0

0

0

v

v

B dA

B dA B dV

B dV

B

⋅ =

⋅ = ∇ ⋅

∇ ⋅ =

∇ ⋅ =

∫

∫ ∫

∫

�

�

( )

( )

0

0

0

v

v

B dA

B dA B dV

B dV

B

⋅ =

⋅ = ∇ ⋅

∇ ⋅ =

∇ ⋅ =

∫

∫ ∫

∫

�

�

(7)

(8)

(9)

(10)

( )

( )

( )

B

s

B s

B

s s

s s

dE dsdt

E ds E dA

B dA

dE dsdt

E dA B dAt

BE dA dAt

BEt

Φ⋅ = −

⋅ = ∇× ⋅

Φ = ⋅

Φ⋅ = −

∂∇× ⋅ = − ⋅

∂

∂∇× ⋅ = − ⋅

∂

∂∇× = −

∂

∫

∫ ∫

∫

∫

∫ ∫

∫ ∫

�

�

�

( )

( )

( )

B

s

B s

B

s s

s s

dE dsdt

E ds E dA

B dA

dE dsdt

E dA B dAt

BE dA dAt

BEt

Φ⋅ = −

⋅ = ∇× ⋅

Φ = ⋅

Φ⋅ = −

∂∇× ⋅ = − ⋅

∂

∂∇× ⋅ = − ⋅

∂

∂∇× = −

∂

∫

∫ ∫

∫

∫

∫ ∫

∫ ∫

�

�

�

(11)

(12)


143

Lembrando que o fluxo magnético é:

Substituindo (12) e (13) em (11):

Comparando, temos a Lei de Faraday na forma diferencial:

( )

( )

( )

B

s

B s

B

s s

s s

dE dsdt

E ds E dA

B dA

dE dsdt

E dA B dAt

BE dA dAt

BEt

Φ⋅ = −

⋅ = ∇× ⋅

Φ = ⋅

Φ⋅ = −

∂∇× ⋅ = − ⋅

∂

∂∇× ⋅ = − ⋅

∂

∂∇× = −

∂

∫

∫ ∫

∫

∫

∫ ∫

∫ ∫

�

�

�

( )

( )

( )

B

s

B s

B

s s

s s

dE dsdt

E ds E dA

B dA

dE dsdt

E dA B dAt

BE dA dAt

BEt

Φ⋅ = −

⋅ = ∇× ⋅

Φ = ⋅

Φ⋅ = −

∂∇× ⋅ = − ⋅

∂

∂∇× ⋅ = − ⋅

∂

∂∇× = −

∂

∫

∫ ∫

∫

∫

∫ ∫

∫ ∫

�

�

�

( )

( )

( )

B

s

B s

B

s s

s s

dE dsdt

E ds E dA

B dA

dE dsdt

E dA B dAt

BE dA dAt

BEt

Φ⋅ = −

⋅ = ∇× ⋅

Φ = ⋅

Φ⋅ = −

∂∇× ⋅ = − ⋅

∂

∂∇× ⋅ = − ⋅

∂

∂∇× = −

∂

∫

∫ ∫

∫

∫

∫ ∫

∫ ∫

�

�

�

(13)

(14)

(15)

(16)

Essa expressão nos diz que o campo magnético variável no tempo gera campo elétrico e o plano formado pelo campo magnético é perpendicular ao plano formado pelo campo elétrico . Lembrando que e são ondas eletromagnéticas transversais.

d) LEI DE AMPÈRE-MAXWELL

A Lei de Ampère com a contribuição de Maxwell na forma integral é:

B

E

B

E

B

E

B

E

( )

( )

( )

0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0

Eenv

env

E

S

Eenv

S S S

S S S

dB ds idt

i J dA

E dA

B ds B dA

dB ds idt

B dA E dA J dAt

EB dA dA J dAt

EB Jt

µ ε µ

µ ε µ

µ ε µ

µ ε µ

µ ε µ

Φ⋅ = +

= ⋅

= ⋅

⋅ = ∇× ⋅

Φ⋅ = +

∂∇× ⋅ = ⋅ + ⋅

∂

∂

Φ

∂∇× ⋅ = ⋅ + ⋅

∂

∂∇× = +

∫ ∫

∫

∫

∫

∫ ∫

∫

∫ ∫ ∫

∫

�

�

�

�

�

Mas sabemos que a corrente elétrica ienv depende da densidade de corrente que atravessa uma dada área A, numa integral, um elemento de área dA:J

( )

( )

( )

0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0

Eenv

env

E

S

Eenv

S S S

S S S

dB ds idt

i J dA

E dA

B ds B dA

dB ds idt

B dA E dA J dAt

EB dA dA J dAt

EB Jt

µ ε µ

µ ε µ

µ ε µ

µ ε µ

µ ε µ

Φ⋅ = +

= ⋅

= ⋅

⋅ = ∇× ⋅

Φ⋅ = +

∂∇× ⋅ = ⋅ + ⋅

∂

∂

Φ

∂∇× ⋅ = ⋅ + ⋅

∂

∂∇× = +

∫ ∫

∫

∫

∫

∫ ∫

∫

∫ ∫ ∫

∫

�

�

�

�

�

Lembrando que o fluxo elétrico ΦB depende do campo elétrico que atravessa uma certa área A:

B

E

(17)

(18)

144


Aplicando o Teorema de Stokes:

Agora, com cuidado, vamos substituir as equações (18), (19) e (20) em (17):

Portanto, a Lei de Ampère-Maxwell no formalismo diferencial é escrita como:

Em que o termo refere-se à Lei de Ampère no formalismo diferencial. O termo acrescentado por Maxwell à Lei de Ampère, também conhecido como corrente de deslocamento, é devido ao fato de o campo elétrico variável no tempo também produzir campo magnético, ou seja, o campo magnético pode ser gerado por:

• Corrente elétrica (Lei de Ampère).• Variação do fluxo do elétrico (contribuição de Maxwell).

( )

( )

( )

0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0

Eenv

env

E

S

Eenv

S S S

S S S

dB ds idt

i J dA

E dA

B ds B dA

dB ds idt

B dA E dA J dAt

EB dA dA J dAt

EB Jt

µ ε µ

µ ε µ

µ ε µ

µ ε µ

µ ε µ

Φ⋅ = +

= ⋅

= ⋅

⋅ = ∇× ⋅

Φ⋅ = +

∂∇× ⋅ = ⋅ + ⋅

∂

∂

Φ

∂∇× ⋅ = ⋅ + ⋅

∂

∂∇× = +

∫ ∫

∫

∫

∫

∫ ∫

∫

∫ ∫ ∫

∫

�

�

�

�

�

(19)

(20)

(21)

(22)

(23)

( )

( )

( )

0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0

Eenv

env

E

S

Eenv

S S S

S S S

dB ds idt

i J dA

E dA

B ds B dA

dB ds idt

B dA E dA J dAt

EB dA dA J dAt

EB Jt

µ ε µ

µ ε µ

µ ε µ

µ ε µ

µ ε µ

Φ⋅ = +

= ⋅

= ⋅

⋅ = ∇× ⋅

Φ⋅ = +

∂∇× ⋅ = ⋅ + ⋅

∂

∂

Φ

∂∇× ⋅ = ⋅ + ⋅

∂

∂∇× = +

∫ ∫

∫

∫

∫

∫ ∫

∫

∫ ∫ ∫

∫

�

�

�

�

�( )

( )

( )

0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0

Eenv

env

E

S

Eenv

S S S

S S S

dB ds idt

i J dA

E dA

B ds B dA

dB ds idt

B dA E dA J dAt

EB dA dA J dAt

EB Jt

µ ε µ

µ ε µ

µ ε µ

µ ε µ

µ ε µ

Φ⋅ = +

= ⋅

= ⋅

⋅ = ∇× ⋅

Φ⋅ = +

∂∇× ⋅ = ⋅ + ⋅

∂

∂

Φ

∂∇× ⋅ = ⋅ + ⋅

∂

∂∇× = +

∫ ∫

∫

∫

∫

∫ ∫

∫

∫ ∫ ∫

∫

�

�

�

�

�( )

( )

( )

0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0

Eenv

env

E

S

Eenv

S S S

S S S

dB ds idt

i J dA

E dA

B ds B dA

dB ds idt

B dA E dA J dAt

EB dA dA J dAt

EB Jt

µ ε µ

µ ε µ

µ ε µ

µ ε µ

µ ε µ

Φ⋅ = +

= ⋅

= ⋅

⋅ = ∇× ⋅

Φ⋅ = +

∂∇× ⋅ = ⋅ + ⋅

∂

∂

Φ

∂∇× ⋅ = ⋅ + ⋅

∂

∂∇× = +

∫ ∫

∫

∫

∫

∫ ∫

∫

∫ ∫ ∫

∫

�

�

�

�

�

0B Jµ∇× =

145

RESUMO DO TÓPICO 2


• O processo de construção da Teoria do Eletromagnetismo iniciou antes de James Clerk Maxwell e prosseguiu, sendo comprovada 20 anos após sua formulação.

• A Lei de Gauss para o Magnetismo estabelece que não existem monopolos magnéticos, mesmo partindo um ímã em dois, surgirão dois polos em cada pedaço.

• Um campo magnético pode ser induzido por uma corrente elétrica ou pela variação do campo elétrico.

• Campo magnético variável gera campo elétrico, sendo estes, perpendiculares entre si.

• A contribuição de Maxwell para a Lei de Ampère é conhecida como corrente de deslocamento.

• O campo elétrico pode ser gerado por cargas elétricas.

• As equações de Maxwell podem ser escritas na forma integral e na forma diferencial:

LeiFormalismo

Integral Diferencial

Gauss Para a Eletricidade

Lei de Gauss Para o Magnetismo

Lei de Faraday

Lei de Ampère-Maxwell

( )

( )

( )

0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0

Eenv

env

E

S

Eenv

S S S

S S S

dB ds idt

i J dA

E dA

B ds B dA

dB ds idt

B dA E dA J dAt

EB dA dA J dAt

EB Jt

µ ε µ

µ ε µ

µ ε µ

µ ε µ

µ ε µ

Φ⋅ = +

= ⋅

= ⋅

⋅ = ∇× ⋅

Φ⋅ = +

∂∇× ⋅ = ⋅ + ⋅

∂

∂

Φ

∂∇× ⋅ = ⋅ + ⋅

∂

∂∇× = +

∫ ∫

∫

∫

∫

∫ ∫

∫

∫ ∫ ∫

∫

�

�

�

�

�

( )

( )

( )

B

s

B s

B

s s

s s

dE dsdt

E ds E dA

B dA

dE dsdt

E dA B dAt

BE dA dAt

BEt

Φ⋅ = −

⋅ = ∇× ⋅

Φ = ⋅

Φ⋅ = −

∂∇× ⋅ = − ⋅

∂

∂∇× ⋅ = − ⋅

∂

∂∇× = −

∂

∫

∫ ∫

∫

∫

∫ ∫

∫ ∫

�

�

�

( )

( )

0

0

0

v

v

B dA

B dA B dV

B dV

B

⋅ =

⋅ = ∇ ⋅

∇ ⋅ =

∇ ⋅ =

∫

∫ ∫

∫

�

�

( )

( )

( )

0

0

0

0

env

v

envv

env v

v v

qE dA

E dA E dV

qE dV

q dV

E dV dV

E

ε

ε

ρ

ρε

ρε

⋅ =

⋅ = ∇ ⋅

∇ ⋅ =

=

∇ ⋅ =

∇ ⋅ =

∫

∫ ∫

∫

∫

∫ ∫

�

�

0

0 0 0

0

-



BLei de Faraday Et


ρε

µ µ ε

→ ∇ ⋅ =

→ ∇ ⋅ =

∂→ ∇× = −

∂

∂→ ∇× = +

∂

0

0 0 0

0

-



BLei de Faraday Et


ρε

µ µ ε

→ ∇ ⋅ =

→ ∇ ⋅ =

∂→ ∇× = −

∂

∂→ ∇× = +

∂

0

0 0 0

0

-



BLei de Faraday Et


ρε

µ µ ε

→ ∇ ⋅ =

→ ∇ ⋅ =

∂→ ∇× = −

∂

∂→ ∇× = +

∂

0

0 0 0

0

-



BLei de Faraday Et


ρε

µ µ ε

→ ∇ ⋅ =

→ ∇ ⋅ =

∂→ ∇× = −

∂

∂→ ∇× = +

∂

146

AUTOATIVIDADE

1 Explique a integral fechada e por que ela é igual a zero na Lei de Gauss para o Magnetismo.

2 Explique o campo magnético terrestre pela Lei de Gauss do Magnetismo.

3 É possível a existência de monopolos magnéticos?

4 Suponha que sejam detectados monopolos magnéticos em laboratório. Descreva como ficariam as equações de Maxwell de forma que elas levem em conta essa descoberta.

147

TÓPICO 3

MAGNETISMO DA MATÉRIA

UNIDADE 3

1 INTRODUÇÃODurante este curso, discutimos o que acontece com o campo elétrico

e magnético e quais as implicações físicas previstas com a teoria, como os ímãs, o campo magnético terrestre, a formação das auroras boreais, indução eletromagnética, as ondas eletromagnéticas e as famosas e importantes equações de Maxwell. Mas como acontece a interação dos campos dentro da matéria? O que faz um material ser atraído por ímã? O ímã pode perder a imantação? Neste tópico, vamos discutir os efeitos para campos magnéticos no interior da matéria para tentar responder a perguntas como estas.

2 ÍMÃS PERMANENTESO magnetismo observado por alguns materiais deriva de propriedades

em nível microscópico, por exemplo, os compostos de ferro possuem regiões em que os átomos apresentam certa organização magnética, embora ímãs são indissociáveis, isto é, já falamos e provamos algebricamente que não existem monopolos magnéticos.

Mas será que um ímã dura para sempre? Quanto tempo dura a orientação dos domínios magnéticos? Essa propriedade dos ímãs é chamada de imantação e depende do material com que é feito e das condições a que são submetidos.

Um ímã é permanente se, após termos removido o campo magnético responsável pela imantação, ele continua magnetizado. Os ímãs permanentes são feitos a partir de metais com temperaturas baixas, adquirindo dureza e resistência mecânica e imantação permanente. Já os ímãs temporários são aqueles que, ao afastar o campo magnético externo, perdem o magnetismo (ou a imantação) e não exercem o poder de um ímã.

Outra definição importante é o domínio magnético, que corresponde a uma região com propriedades de manter uma organização magnética, ou seja, em que seus dipolos magnéticos são dotados de mesma orientação magnética.

Os domínios magnéticos também explicam porque alguns materiais são atraídos ou não por ímãs. Nos materiais que são atraídos, os domínios são orientados na mesma direção que o ímã, enquanto nos demais a orientação é aleatória.


148

Os primeiros ímãs permanentes de que se têm registros eram feitos de magnetita, como vimos na Unidade 1. É um mineral que possui propriedades de magnetização naturalmente. Algumas civilizações, como a grega, utilizam a magnetita para orientar bússolas. Na época das Grandes Navegações, as ligas metálicas usadas não ficavam magnetizadas por um período de tempo muito longo, por isso elas precisavam ser remagnetizadas por um ímã. Poucos tripulantes de um navio tinham acesso à bússola e quem a danificasse poderia sofrer uma punição.

FIGURA 8 – ILUSTRAÇÃO DO CASTIGO IMPOSTO A QUEM DANIFICASSE A BÚSSOLA EM UM NAVIO

FONTE: Pietrocola et al. (2016, p. 69)

Atualmente, diversos materiais e ímãs são encontrados no nosso cotidiano. As propriedades magnéticas são causadas por átomos e elétrons. Um dos ímãs permanentes mais comuns e o maior da nossa vizinhança é a própria Terra. Também não entraremos em detalhes sobre o campo magnético terrestre nesse momento, pois a abordagem já foi feita na Unidade 1.

De modo geral, podemos caracterizar que a desmagnetização dos ímãs pode ser concebida por meio da desordenação magnética, ação mecânica e temperatura.

• A desordenação magnética é a ação de um ímã de desmagnetizar um objeto. Isso acontece quando há uma interferência magnética externa capaz de alterar os domínios magnéticos de um ímã e, desse modo, a magnetização resultante é nula.

• A ação mecânica corresponde às batidas bruscas em ímãs que podem desalinhar os dipolos magnéticos. Essa ação é visualizada quando os ímãs perdem a magnetização ao sofrerem quedas, por exemplo.

• E, por fim, uma das variáveis de estado termodinâmico possui grande influência na magnetização dos materiais. Ao aumentar a temperatura, a magnetização diminui, enquanto que ao diminuir a temperatura, o ímã tende a permanecer mais tempo magnetizado.

TÓPICO 3 | MAGNETISMO DA MATÉRIA

149

3 MAGNETISMO E ELÉTRONSComo vimos, os materiais magnéticos são encontrados rotineiramente,

desde o ímã que prendemos na geladeira a sofisticados equipamentos tecnológicos, porém, a atração proveniente dos ímãs também se deve a efeitos da mecânica quântica que ocorrem no interior dos átomos do material. Portanto, ao estudar a relação do magnetismo e elétrons seria necessário usar conceitos de física quântica. Mas como não é o objetivo desta disciplina, vamos apresentar somente os resultados físicos relacionados ao magnetismo.

O momento dipolar magnético de spin está associado ao momento angular de spin, e matematicamente é escrito em termos dos vetores spin e momento dipolar magnético (propriedades básicas do elétron) e possuem sentidos opostos:

s

S

µ

s

S

µ

19

31

,

,

,

24

,

1,6.10

9,11.10

1 2 2

4

4

9,27 10 /

s

x s s

s x x

s x

s x B

B

B

s ext

s x ext

e Sm

e C

m kg

hS m para m

e Sm

ehm

ehm

x J T

U B

U B

µ

π

µ

µπ

µ µ

µπ

µ

µ

µ

−

−

−

= −

=

=

= = ±

= −

= ±

= ±

=

=

= − ⋅

= −

Em que e é a carga elementar e m a massa do elétron:

19

31

,

,

,

24

,

1,6.10

9,11.10

1 2 2

4

4

9,27 10 /

s

x s s

s x x

s x

s x B

B

B

s ext

s x ext

e Sm

e C

m kg

hS m para m

e Sm

ehm

ehm

x J T

U B

U B

µ

π

µ

µπ

µ µ

µπ

µ

µ

µ

−

−

−

= −

=

=

= = ±

= −

= ±

= ±

=

=

= − ⋅

= −

O spin não pode ser medido, entretanto a componente medida do Spin é quantizada, podendo assumir certos valores. Supondo que a componente medida seja a componente x, essa componente pode assumir apenas os valores dados por:

S 19

31

,

,

,

24

,

1,6.10

9,11.10

1 2 2

4

4

9,27 10 /

s

x s s

s x x

s x

s x B

B

B

s ext

s x ext

e Sm

e C

m kg

hS m para m

e Sm

ehm

ehm

x J T

U B

U B

µ

π

µ

µπ

µ µ

µπ

µ

µ

µ

−

−

−

= −

=

=

= = ±

= −

= ±

= ±

=

=

= − ⋅

= −

Em que h é a constante de Planck, cujo valor é igual a 6,63x10-34 J.s. Portanto, a componente x do momento dipolar magnético do spin pode ser medida assim:

19

31

,

,

,

24

,

1,6.10

9,11.10

1 2 2

4

4

9,27 10 /

s

x s s

s x x

s x

s x B

B

B

s ext

s x ext

e Sm

e C

m kg

hS m para m

e Sm

ehm

ehm

x J T

U B

U B

µ

π

µ

µπ

µ µ

µπ

µ

µ

µ

−

−

−

= −

=

=

= = ±

= −

= ±

= ±

=

=

= − ⋅

= −


150

Em que µB é o magneton de Bohr, definido por:

19

31

,

,

,

24

,

1,6.10

9,11.10

1 2 2

4

4

9,27 10 /

s

x s s

s x x

s x

s x B

B

B

s ext

s x ext

e Sm

e C

m kg

hS m para m

e Sm

ehm

ehm

x J T

U B

U B

µ

π

µ

µπ

µ µ

µπ

µ

µ

µ

−

−

−

= −

=

=

= = ±

= −

= ±

= ±

=

=

= − ⋅

= −

Quando um elétron é submetido a um campo elétrico externo , uma energia potencial U pode ser associada ao momento dipolar de spin do elétron, da seguinte forma:

ext

s

B

µ

ext

s

B

µ

19

31

,

,

,

24

,

1,6.10

9,11.10

1 2 2

4

4

9,27 10 /

s

x s s

s x x

s x

s x B

B

B

s ext

s x ext

e Sm

e C

m kg

hS m para m

e Sm

ehm

ehm

x J T

U B

U B

µ

π

µ

µπ

µ µ

µπ

µ

µ

µ

−

−

−

= −

=

=

= = ±

= −

= ±

= ±

=

=

= − ⋅

= −

19

31

,

,

,

24

,

1,6.10

9,11.10

1 2 2

4

4

9,27 10 /

s

x s s

s x x

s x

s x B

B

B

s ext

s x ext

e Sm

e C

m kg

hS m para m

e Sm

ehm

ehm

x J T

U B

U B

µ

π

µ

µπ

µ µ

µπ

µ

µ

µ

−

−

−

= −

=

=

= = ±

= −

= ±

= ±

=

=

= − ⋅

= −

Ou:

Sendo que o eixo x é tomado como sendo a direção do campo magnético externo.

3.1 MOMENTO DIPOLAR MAGNÉTICO ORBITAL

Um elétron em um átomo possui outro tipo de momento angular, este é denominado momento angular orbital ( ), que é associado ao momento dipolar magnético orbital ( ), matematicamente, como:

orb

orb

L

µ

orb

orb

L

µ

Sendo que o momento angular é quantizado e pode assumir os valores:

Dessa forma, o módulo do momento angular orbital, considerando o eixo x é:,

,

,

2

0, 1, 2, 3,2

4

orb orb

orb l l

orb x l

orb x l B

orb ext

orb x ext

e Lm

hL m para m

ehmm

m

U B

U B

µ

π

µπ

µ µ

µ

µ

= −

= = ± ± ± ±…

= −

= −

= − ⋅

= −

,

,

,

2

0, 1, 2, 3,2

4

orb orb

orb l l

orb x l

orb x l B

orb ext

orb x ext

e Lm

hL m para m

ehmm

m

U B

U B

µ

π

µπ

µ µ

µ

µ

= −

= = ± ± ± ±…

= −

= −

= − ⋅

= −

,

,

,

2

0, 1, 2, 3,2

4

orb orb

orb l l

orb x l

orb x l B

orb ext

orb x ext

e Lm

hL m para m

ehmm

m

U B

U B

µ

π

µπ

µ µ

µ

µ

= −

= = ± ± ± ±…

= −

= −

= − ⋅

= −

TÓPICO 3 | MAGNETISMO DA MATÉRIA

151

Já a energia potencial associada à orientação do momento dipolar magnético orbital devido à presença do campo magnético externo é:

Ou:

4 PROPRIEDADES MAGNÉTICAS DOS MATERIAISAs propriedades magnéticas dos materiais se originam na estrutura

eletrônica dos átomos e são resultado da combinação vetorial entre os momentos dipolares (orbital e magnético de spin) e são classificadas em diamagnetismo, paramagnetismo e ferromagnetismo.

O diamagnetismo é uma propriedade magnética existente em todos os materiais, embora não seja tão facilmente observado se o material possui outras propriedades. O paramagnetismo é a propriedade magnética observada nos materiais da família dos metais de transição, das terras raras e dos actinídeos (metais de transição interna). Já o ferromagnetismo é observado no ferro, níquel cobalto e alguns outros elementos. A seguir, vamos caracterizar com mais detalhes cada propriedade magnética.

4.1 DIAMAGNETISMO

As propriedades magnéticas de um material determinam como esse material se comporta na presença de um campo magnético externo. Essas propriedades podem depender simplesmente pela maneira com que os átomos estão agrupados, mas o fator mais importante é o tipo do átomo.

Os elétrons se comportam de tal forma com seu spin que cada átomo se comporta como um ímã (bem pequeno). Mas, em geral, os materiais diamagnéticos são constituídos por átomos que possuem suas camadas eletrônicas fechadas, o que significa que os spins não contribuem para o campo magnético, pois dizer que as camadas eletrônicas são fechadas significada que os elétrons aparecem em pares com spins opostos. Portanto, não há momento magnético resultante, já que os pares de spins são opostos, se anulando.

Todos os materiais ou substâncias são sensíveis à presença de um campo magnético. Entretanto, o diamagnetismo é uma resposta fraca a esse campo magnético externo, pois seus efeitos são pouco sensíveis, podendo apenas ser perceptíveis e observados com equipamentos sensíveis.

,

,

,

2

0, 1, 2, 3,2

4

orb orb

orb l l

orb x l

orb x l B

orb ext

orb x ext

e Lm

hL m para m

ehmm

m

U B

U B

µ

π

µπ

µ µ

µ

µ

= −

= = ± ± ± ±…

= −

= −

= − ⋅

= −

,

,

,

2

0, 1, 2, 3,2

4

orb orb

orb l l

orb x l

orb x l B

orb ext

orb x ext

e Lm

hL m para m

ehmm

m

U B

U B

µ

π

µπ

µ µ

µ

µ

= −

= = ± ± ± ±…

= −

= −

= − ⋅

= −


152

Quando submetidos a campos magnéticos externos, os materiais diamagnéticos se magnetizam de forma a criar um campo magnético oposto ao campo magnético externo. Isso ocorre porque a aplicação de um campo magnético modifica o movimento orbital dos elétrons, originando um momento dipolar magnético que aponta no sentido oposto ao do campo magnético externo.

Esse comportamento é análogo à resposta magnética de uma espira submetida a um campo magnético descrita pelas leis de Faraday e Lenz, em que a corrente induzida na espira gera um campo magnético induzido, que é oposto ao campo magnético original.

Nessa analogia, os orbitais eletrônicos em torno dos ímãs desempenham o papel da corrente que circunda a espira e os materiais diamagnéticos tendem a ser repelidos pelo campo magnético externo, porém esse efeito é fraco e não observável.

4.2 PARAMAGNETISMO

Nos materiais paramagnéticos, os momentos dipolares orbitais e de spin dos elétrons dos átomos não se cancelam, portanto há momento dipolar magnético em cada átomo de forma que esses momentos dipolares atômicos são orientados aleatoriamente de modo que o momento dipolar total é igual a zero sem a presença de um campo magnético externo.

Na presença de um campo magnético externo, os momentos dipolares atômicos se alinham com o campo externo e o material paramagnético adquire um momento dipolar diferente de zero, sendo que o momento dipolar magnético resultante possui a mesma orientação do campo magnético externo.

4.3 FERROMAGNETISMO

A palavra magnetismo, geralmente, implica imaginarmos ímãs de geladeira, de barra ou em formato de ferradura, ou seja, pensamos em objetos ferromagnéticos, caracterizados pelo magnetismo intenso e permanente.

O ferromagnetismo é explicado pelo efeito quântico no qual os spins dos elétrons de um átomo interagem com os spins dos elétrons de um átomo vizinho. Nesse caso, ocorre um alinhamento dos momentos de dipolo magnético magnéticos dos átomos e é essa característica que os tornam materiais com magnetismo permanente.

Quando o material ferromagnético é aquecido, ultrapassando a temperatura de Curie, ele passa a se comportar como um material paramagnético. Isso ocorre porque a agitação, devido à energia recebida em forma de calor, se sobressai em relação ao alinhamento característico dos materiais ferromagnéticos, pois os dipolos magnéticos se orientam apenas parcialmente com o campo aplicado.

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RESUMO DO TÓPICO 3


• A desordenação magnética é a ação de um ímã de desmagnetizar um objeto.

• A ação mecânica corresponde às batidas bruscas em ímãs que podem desalinhar os dipolos magnéticos.

• Ao aumentar a temperatura, a magnetização diminui, enquanto que ao diminuir a temperatura, o ímã tende a permanecer mais tempo magnetizado.

• As propriedades magnéticas dos materiais se originam na estrutura eletrônica dos átomos e são resultado da combinação vetorial entre os momentos dipolares (orbital e magnético de spin) e são classificadas em diamagnetismo, paramagnetismo e ferromagnetismo.

• Todo material diamagnético, quando submetido a um campo magnético externo, apresenta um momento de dipolo magnético orientado no sentido oposto ao sentido do campo magnético externo.

• Todo material paramagnético, quando submetido a um campo magnético externo, apresenta um momento de dipolo magnético no mesmo sentido do campo magnético externo.

• Todo material ferromagnético é um ímã permanente, mas quando submetido a uma temperatura suficientemente grande, além da temperatura de Curie, ele passa a se comportar como um material paramagnético, pois a agitação molecular devido ao calor prevalece sobre o comportamento dos spins dos elétrons dos átomos, passando a ter alinhamento parcial em relação a um ímã permanente.


CHAMADA

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AUTOATIVIDADE

1 Que fatores podem influenciar a desmagnetização de um ímã?

2 Onde se originam as propriedades magnéticas dos materiais?

3 Os materiais magnéticos são classificados em diamagnéticos, paramagnéticos e ferromagnéticos. Descreva cada uma das três classificações.

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REFERÊNCIAS

BONJORNO, J. R. et al. Física: eletromagnetismo. Física Moderna. 3º ano. 3. ed. São Paulo: FTD, 2016.

BONJORNO, J. R. et al. Física: eletromagnetismo e física moderna. 3. v. São Paulo: FTD, 2003.

EINSTEIN, Albert. Notasautobiográficas. Trad. Aulyde S. Rodrigues. 4. ed. Rio de Janeiro: Nova Fronteira, 1982.

FEYNMAN, R. P.; LEIGHTON, R. B.; SANDS, M. The Feynman Lectures on Physics – Mainly Electromagnetism and Matter. Menlo Park: Addison-Wesley Publishing Company, 1977.

HALLIDAY, D.; RESNICK, R.; WALKER, J. Fundamentos de física: eletromagnetismo. Rio de Janeiro: LTC, 2009.

PIETROCOLA, M. et al. Física em contextos: 3. 1. ed. São Paulo: Editora do Brasil, 2016.

YOUNG, H. D.; FREEDMAN, R. A. Física 3: eletromagnetismo. Rio de Janeiro: Addison-Wesley, 2003.

magnetismo eletromagnetismo

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