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EletromagnetismoIProf.DanielOrquizadeCarvalhoEl

etromag

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Prof.Dan

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rquiza

SJBV

•  Cálculo da distribuição de potencial de um dipolo elétrico.

•  Cálculo da distribuição de campo elétrico de um dipolo elétrico.

Eletromagnetismo I - Eletrostática

EletromagnetismoI Prof.DanielOrquiza2

Dipolo Elétrico (Capítulo 4 – Páginas 96 a 100)

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•  Um dipolo elétrico é um para de cargas pontuais de sinais opostos, separadas

por uma distância finita ‘d’ em uma dada posição do espaço.

•  O dipolo é útil para entender a interação entre o campo eletrostático e meios

materiais (e também vai ser usado no caso de radiação eletromagnética).

•  Um dado material é descrito como um conjunto de dipolos elétricos.



Dipolo Elétrico

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•  Cada átomo do material corresponde a um dipolo, onde:

Ø  Carga positiva = núcleo

Ø  Carga negativa = nuvem de elétrons em órbita ao redor do núcleo.



Dipolo Elétrico

Materiais apolares

Sem campo externo Com campo externo

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Dipolo Elétrico

•  O dipolo elétrico considerado consiste de uma carga positiva em (0, 0, d//2)m e

uma carga negativa em (0, 0, - d/2).

!R1!rQ

x

y

z

!R2

θ

−Q

d

P

!r = vetor posição do ponto de observação!R1 = vetor distância partindo da carga positiva!R2 = vetor distância partindo da carga negativa

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Dipolo Elétrico

•  Campo distante: se o ponto de observação estiver distante (r >> d), R1 é paralelo

a R2.

!R1!r

Q

x

y

z

!R2

θ

−Q

d

P "no infinito"

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§  Sabemos que potencial em r devido à carga pontual Q é:

§  O potencial em r devido à carga – Q é:

§  O potencial ‘V’ no ponto P é a superposição do potencial das devido às duas cargas:

Dipolo Elétrico

V1 =Q4πε0

1R1

V2 = −Q4πε0

1R2

V =Q4πε0

1R1−1R2

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ =

Q4πε0

R2 − R1R1R2

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

SJBV


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Dipolo Elétrico

•  A diferença entre as distâncias R1 e R2 das cargas até P é d.cosθ.

!R1!r

Q

x

y

z

!R2

θ

−Q

d

P "no infinito"

R2 - R1 = d cosθ

R1 =!R1

SJBV



§  O potencial no ponto P fica:

§  No denominador podemos aproximar:

§  A expressão para o potencial fica:

Dipolo Elétrico

V =Q4πε0

d cosθR1R2

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

R1R2 ≈ r2

V ≈Q4πε0

d cosθr2

Note que V está expresso em coordenadas esféricas!

SJBV



§  Já temos uma expressão para o potencial elétrico do dipolo:

§  Como calculamos o campo elétrico?

§  O gradiente do campo escalar V em coordenadas esféricas é:

Dipolo Elétrico

V ≈Q4πε0

d cosθr2

!E = −∇V

∇V =∂V∂r

ar +1r∂V∂θ

aθ +1

rsenθ∂V∂φ

aφ

SJBV



§  A distribuição de campo elétrico em coordenadas esféricas, para um dipolo com comprimento ‘d’, orientado na direção ‘z’ e situado na origem:

§  Podemos reescrever a expressão acima:

Dipolo Elétrico

!E = − Q

4πε0−2d cosθr3

ar −dsenθr3

aθ + 0aφ⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

!E = Qd

4πε0r3 2cosθ ar + senθ aθ( )

SJBV



§  Voltando ao potencial elétrico do dipolo:

§  É útil definir o momento de dipolo, igual a Q multiplicado pelo vetor distância entre a carga negativa e a positiva.

Dipolo Elétrico

V ≈Q4πε0

d cosθr2

!p =Q !d [C.m]

!R1!r

Q

x

y

z

!R2

θ

−Q

!d

!d = d az

§  No caso do dipolo que definimos anteriormente:

(omomentodedipolopodeterqualquerorientaçãonoespaço)

SJBV



§  O potencial V pode ser reescrito usando o momento de dipolo.

§  A expressão acima pode ser generalizada para um dipolo em qualquer posição r’.

Dipolo Elétrico

!R1!r

Q

x

y

z

!R2

θ

−Q

!d

ar

V =Q d cosθ4πε0r

2 =!p ⋅ ar4πε0r

2

V =!p ⋅ aR

4πε0!r − !r ' 2

(Onde ) aR =!r − !r '!r − !r '

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Note que:

§  O potencial decai com .

Dipolo Elétrico

1r2 V =

!p ⋅ aR4πε0

!r − !r ' 2

§  O campo elétrico decai com . 1r3

!E = Qd

4πε0r3 2cosθ ar + senθ aθ( )

§  Tanto E quanto V decaem mais rapidamente do que no caso de uma carga pontual, pois conforme nos afastamos do dipolo, o campo de uma carga cancela o da outra (sinais opostos).

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Dipolo Elétrico •  As distribuições espaciais do campo elétrico e potencial elétrico são ilustradas abaixo.

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Um dipolo elétrico posicionado no espaço livre está na origem do sistema de

coordenadas e tem um momento de dipolo:

(a) Calcule V em PA(2, 3, 4).

(b) Calcule V em r = 2,5m, θ = 30º, φ = 40º.



!p = 3ax − 2ay + az [nC. m],

Exemplo

SJBV

Dois dipolos elétricos com momentos de dipolo -5az nC.m e 9az nC.m estão

localizados nos pontos (0, 0, -2) e (0, 0, 3), respectivamente. Determine o

potencial na origem.



Exemplo

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