departamento de matemática - homotecia y...

Departamento de MatemáticaDepartamento de MatemáticaDepartamento de MatemáticaDepartamento de MatemáticaDepartamento de MatemáticaDepartamento de MatemáticaDepartamento de MatemáticaDepartamento de Matemática

Isometría, Isometría, Isometría, Isometría, Isometría, Isometría, Isometría, Isometría, origen griego origen griego origen griego origen griego origen griego origen griego origen griego origen griego �� ““““““““Igual MedidaIgual MedidaIgual MedidaIgual MedidaIgual MedidaIgual MedidaIgual MedidaIgual Medida””””””””(ISO = misma METR(ISO = misma METR(ISO = misma METR(ISO = misma METR(ISO = misma METR(ISO = misma METR(ISO = misma METR(ISO = misma METRÍÍÍÍÍÍÍÍA = medir)A = medir)A = medir)A = medir)A = medir)A = medir)A = medir)A = medir)

Una trasformación Isométrica produce cambios en Una trasformación Isométrica produce cambios en Una trasformación Isométrica produce cambios en Una trasformación Isométrica produce cambios en Una trasformación Isométrica produce cambios en Una trasformación Isométrica produce cambios en Una trasformación Isométrica produce cambios en Una trasformación Isométrica produce cambios en una figura que no alteran su tamañouna figura que no alteran su tamañouna figura que no alteran su tamañouna figura que no alteran su tamañouna figura que no alteran su tamañouna figura que no alteran su tamañouna figura que no alteran su tamañouna figura que no alteran su tamaño

TraslaciónTraslaciónTraslaciónTraslaciónTraslaciónTraslaciónTraslaciónTraslación RotaciónRotaciónRotaciónRotaciónRotaciónRotaciónRotaciónRotación

SimetríaSimetríaSimetríaSimetríaSimetríaSimetríaSimetríaSimetría

raslacionesraslacionesraslacionesraslaciones

VisualizacionesVisualizacionesVisualizacionesVisualizacionesVisualizacionesVisualizacionesVisualizacionesVisualizaciones

•• Una persona subiendo (o bajando) por una escala mecUna persona subiendo (o bajando) por una escala mecUna persona subiendo (o bajando) por una escala mecUna persona subiendo (o bajando) por una escala mecUna persona subiendo (o bajando) por una escala mecUna persona subiendo (o bajando) por una escala mecUna persona subiendo (o bajando) por una escala mecUna persona subiendo (o bajando) por una escala mecáááááááánica.nica.nica.nica.nica.nica.nica.nica.

•• Un ascensor panorUn ascensor panorUn ascensor panorUn ascensor panorUn ascensor panorUn ascensor panorUn ascensor panorUn ascensor panoráááááááámico.mico.mico.mico.mico.mico.mico.mico.

•• Un automUn automUn automUn automUn automUn automUn automUn automóóóóóóóóvil desplazvil desplazvil desplazvil desplazvil desplazvil desplazvil desplazvil desplazáááááááándose por un camino recto.ndose por un camino recto.ndose por un camino recto.ndose por un camino recto.ndose por un camino recto.ndose por un camino recto.ndose por un camino recto.ndose por un camino recto.

•• Un aviUn aviUn aviUn aviUn aviUn aviUn aviUn avióóóóóóóón al despegar hasta adquirir velocidad de crucero.n al despegar hasta adquirir velocidad de crucero.n al despegar hasta adquirir velocidad de crucero.n al despegar hasta adquirir velocidad de crucero.n al despegar hasta adquirir velocidad de crucero.n al despegar hasta adquirir velocidad de crucero.n al despegar hasta adquirir velocidad de crucero.n al despegar hasta adquirir velocidad de crucero.

raslacionesraslacionesraslacionesraslaciones

Las traslaciones, son aquellas isometrías que permiten desplazarLas traslaciones, son aquellas isometrías que permiten desplazarLas traslaciones, son aquellas isometrías que permiten desplazarLas traslaciones, son aquellas isometrías que permiten desplazarLas traslaciones, son aquellas isometrías que permiten desplazarLas traslaciones, son aquellas isometrías que permiten desplazarLas traslaciones, son aquellas isometrías que permiten desplazarLas traslaciones, son aquellas isometrías que permiten desplazar

en línea recta todos los puntos del plano. Este desplazamiento sen línea recta todos los puntos del plano. Este desplazamiento sen línea recta todos los puntos del plano. Este desplazamiento sen línea recta todos los puntos del plano. Este desplazamiento sen línea recta todos los puntos del plano. Este desplazamiento sen línea recta todos los puntos del plano. Este desplazamiento sen línea recta todos los puntos del plano. Este desplazamiento sen línea recta todos los puntos del plano. Este desplazamiento se e e e e e e e

realiza siguiendo una determinada dirección, sentido y direcciónrealiza siguiendo una determinada dirección, sentido y direcciónrealiza siguiendo una determinada dirección, sentido y direcciónrealiza siguiendo una determinada dirección, sentido y direcciónrealiza siguiendo una determinada dirección, sentido y direcciónrealiza siguiendo una determinada dirección, sentido y direcciónrealiza siguiendo una determinada dirección, sentido y direcciónrealiza siguiendo una determinada dirección, sentido y dirección, , , , , , , ,

por lo que toda la traslación queda definida por lo que se llamapor lo que toda la traslación queda definida por lo que se llamapor lo que toda la traslación queda definida por lo que se llamapor lo que toda la traslación queda definida por lo que se llamapor lo que toda la traslación queda definida por lo que se llamapor lo que toda la traslación queda definida por lo que se llamapor lo que toda la traslación queda definida por lo que se llamapor lo que toda la traslación queda definida por lo que se llama

su su su su su su su su “vector de traslación”“vector de traslación”“vector de traslación”“vector de traslación”“vector de traslación”“vector de traslación”“vector de traslación”“vector de traslación”

Traslaciones en el planoTraslaciones en el planoTraslaciones en el planoTraslaciones en el planoTraslaciones en el planoTraslaciones en el planoTraslaciones en el planoTraslaciones en el plano


•• Una figura conserva todas sus dimensiones, tanto lineales Una figura conserva todas sus dimensiones, tanto lineales Una figura conserva todas sus dimensiones, tanto lineales Una figura conserva todas sus dimensiones, tanto lineales Una figura conserva todas sus dimensiones, tanto lineales Una figura conserva todas sus dimensiones, tanto lineales Una figura conserva todas sus dimensiones, tanto lineales Una figura conserva todas sus dimensiones, tanto lineales

como angularescomo angularescomo angularescomo angularescomo angularescomo angularescomo angularescomo angulares

•• Una figura jamUna figura jamUna figura jamUna figura jamUna figura jamUna figura jamUna figura jamUna figura jamáááááááás rota; es decir, el s rota; es decir, el s rota; es decir, el s rota; es decir, el s rota; es decir, el s rota; es decir, el s rota; es decir, el s rota; es decir, el áááááááángulo que forma con la ngulo que forma con la ngulo que forma con la ngulo que forma con la ngulo que forma con la ngulo que forma con la ngulo que forma con la ngulo que forma con la

horizontal no varhorizontal no varhorizontal no varhorizontal no varhorizontal no varhorizontal no varhorizontal no varhorizontal no varííííííííaaaaaaaa

•• No importa el nNo importa el nNo importa el nNo importa el nNo importa el nNo importa el nNo importa el nNo importa el núúúúúúúúmero de traslaciones que se realicen, mero de traslaciones que se realicen, mero de traslaciones que se realicen, mero de traslaciones que se realicen, mero de traslaciones que se realicen, mero de traslaciones que se realicen, mero de traslaciones que se realicen, mero de traslaciones que se realicen,

siempre es posible resumirlas en una siempre es posible resumirlas en una siempre es posible resumirlas en una siempre es posible resumirlas en una siempre es posible resumirlas en una siempre es posible resumirlas en una siempre es posible resumirlas en una siempre es posible resumirlas en una úúúúúúúúnica.nica.nica.nica.nica.nica.nica.nica.


C'

D'

E'

F'

B'A'

C

D

E

F

BA

Fig. a

Fig. b

¿Cómo podemos verificar si son la “misma” figura?¿Cómo podemos verificar si son la “misma” figura?¿Cómo podemos verificar si son la “misma” figura?¿Cómo podemos verificar si son la “misma” figura?¿Cómo podemos verificar si son la “misma” figura?¿Cómo podemos verificar si son la “misma” figura?¿Cómo podemos verificar si son la “misma” figura?¿Cómo podemos verificar si son la “misma” figura?

La forma más simple será mover la figura a en línea recta, en diLa forma más simple será mover la figura a en línea recta, en dirección rección adecuada para hacerla coincidir, con la figura b, este movimientadecuada para hacerla coincidir, con la figura b, este movimiento se o se llama traslación.llama traslación.

traslación.exe

Fig. bFig. a


La figura se trasladó 11 unidades hacía la derecha y 3 unidades hacía arriba

E(-6,1) E’(5,4)

5 - -6 = 114 - 1 = 3

Para trasladar la fig.a a la fig.b el vector de traslación es (11,3)

Traslaciones en el planoTraslaciones en el planoTraslaciones en el planoTraslaciones en el planoTraslaciones en el planoTraslaciones en el planoTraslaciones en el planoTraslaciones en el planoFig. bFig. a

Traslaciones en el planoTraslaciones en el planoTraslaciones en el planoTraslaciones en el planoTraslaciones en el planoTraslaciones en el planoTraslaciones en el planoTraslaciones en el planoGeneralizando tenemos:Generalizando tenemos:Generalizando tenemos:Generalizando tenemos:Generalizando tenemos:Generalizando tenemos:Generalizando tenemos:Generalizando tenemos:

Si al punto (Si al punto (x,yx,y) se le aplica la traslación ) se le aplica la traslación TT(a,b(a,b)) resulta (resulta (x+a,y+bx+a,y+b))Nota: Nota:

Si a > 0; se traslada a unidades hacia la derechaSi a > 0; se traslada a unidades hacia la derechaSi a < 0; se traslada Si a < 0; se traslada ––a unidades a la izquierdaa unidades a la izquierdaSi b > 0; se traslada b unidades hacia arriba Si b > 0; se traslada b unidades hacia arriba Si b < 0; se traslada Si b < 0; se traslada ––b unidades hacia abajob unidades hacia abajo

AgrandarAgrandar


Revisar ConstrucciónRevisar Construcción

Consideraciones en la traslaciónConsideraciones en la traslaciónConsideraciones en la traslaciónConsideraciones en la traslaciónConsideraciones en la traslaciónConsideraciones en la traslaciónConsideraciones en la traslaciónConsideraciones en la traslación

•• La traslación es un movimiento directo y el polígono obtenido esLa traslación es un movimiento directo y el polígono obtenido esLa traslación es un movimiento directo y el polígono obtenido esLa traslación es un movimiento directo y el polígono obtenido esLa traslación es un movimiento directo y el polígono obtenido esLa traslación es un movimiento directo y el polígono obtenido esLa traslación es un movimiento directo y el polígono obtenido esLa traslación es un movimiento directo y el polígono obtenido es igual al igual al igual al igual al igual al igual al igual al igual al originaloriginaloriginaloriginaloriginaloriginaloriginaloriginal

•• Los vectores son paralelos y tienen la misma magnitudLos vectores son paralelos y tienen la misma magnitudLos vectores son paralelos y tienen la misma magnitudLos vectores son paralelos y tienen la misma magnitudLos vectores son paralelos y tienen la misma magnitudLos vectores son paralelos y tienen la misma magnitudLos vectores son paralelos y tienen la misma magnitudLos vectores son paralelos y tienen la misma magnitud

Trasladar un polígono en un vector dadoTrasladar un polígono en un vector dadoTrasladar un polígono en un vector dadoTrasladar un polígono en un vector dadoTrasladar un polígono en un vector dadoTrasladar un polígono en un vector dadoTrasladar un polígono en un vector dadoTrasladar un polígono en un vector dado

Realizar ActividadRealizar Actividad

•• Resolver Guía Nº 1 de Transformaciones IsométricasResolver Guía Nº 1 de Transformaciones IsométricasResolver Guía Nº 1 de Transformaciones IsométricasResolver Guía Nº 1 de Transformaciones IsométricasResolver Guía Nº 1 de Transformaciones IsométricasResolver Guía Nº 1 de Transformaciones IsométricasResolver Guía Nº 1 de Transformaciones IsométricasResolver Guía Nº 1 de Transformaciones Isométricas

•• Realizar guía interactiva con el programa Realizar guía interactiva con el programa Realizar guía interactiva con el programa Realizar guía interactiva con el programa Realizar guía interactiva con el programa Realizar guía interactiva con el programa Realizar guía interactiva con el programa Realizar guía interactiva con el programa GeoGebraGeoGebraGeoGebraGeoGebraGeoGebraGeoGebraGeoGebraGeoGebra

Actividades a RealizarActividades a RealizarActividades a RealizarActividades a RealizarActividades a RealizarActividades a RealizarActividades a RealizarActividades a Realizar

VisualizacionesVisualizacionesVisualizacionesVisualizacionesVisualizacionesVisualizacionesVisualizacionesVisualizaciones

•• Un carrusel de niUn carrusel de niññosos•• Las aspas de un ventiladorLas aspas de un ventilador•• Las ruedas de una bicicletaLas ruedas de una bicicleta•• Los punteros de un reloj anLos punteros de un reloj anáálogologo•• HHéélices de un avilices de un avióón o un helicn o un helicóópteroptero

•• Una rotaciUna rotacióón es el giro de una figura en torno a un punto n es el giro de una figura en torno a un punto llamado centro de rotacillamado centro de rotacióón (O) y un n (O) y un áángulo llamado ngulo llamado áángulo de ngulo de giro (giro (αα). ).

OOOOOOOO

αα

AAA’A’

RotacionesRotacionesRotacionesRotacionesRotacionesRotacionesRotacionesRotaciones

Observaciones:Observaciones:Observaciones:Observaciones:Observaciones:Observaciones:Observaciones:Observaciones:

•• En una rotaciEn una rotacióón siempre se conservarn siempre se conservaráá las longitudes de los las longitudes de los segmentossegmentos

•• Si el Si el áángulo de rotacingulo de rotacióón n αα > 0> 0°° la rotacila rotacióón es positiva y contra las n es positiva y contra las manecillas del relojmanecillas del reloj

•• Si el Si el áángulo de rotacingulo de rotacióón n αα < 0< 0°° la rotacila rotacióón es negativa en el n es negativa en el sentido del movimiento de las manecillas del relojsentido del movimiento de las manecillas del reloj


α < 0α > 0

RotaciRotaciRotaciRotaciRotaciRotaciRotaciRotacióóóóóóóón de un segmenton de un segmenton de un segmenton de un segmenton de un segmenton de un segmenton de un segmenton de un segmento

Con centro de rotaciCon centro de rotaciCon centro de rotaciCon centro de rotaciCon centro de rotaciCon centro de rotaciCon centro de rotaciCon centro de rotacióóóóóóóón perteneciente a la figuran perteneciente a la figuran perteneciente a la figuran perteneciente a la figuran perteneciente a la figuran perteneciente a la figuran perteneciente a la figuran perteneciente a la figura

A

B RotRot(A(A,45°),45°)

Centro de rotaciónCentro de rotaciónÁngulo de giroÁngulo de giro

EjemploEjemplo

Con centro de rotaciCon centro de rotaciCon centro de rotaciCon centro de rotaciCon centro de rotaciCon centro de rotaciCon centro de rotaciCon centro de rotacióóóóóóóón exterior a la figuran exterior a la figuran exterior a la figuran exterior a la figuran exterior a la figuran exterior a la figuran exterior a la figuran exterior a la figura

A

B

P

Rotar el segmento AB de la forma Rotar el segmento AB de la forma RotRot(P(P,,--90)90)

Pasos a realizarPasos a realizar


VerificarVerificar

¿existe rotación?¿existe rotación?

¿¿¿¿¿¿¿¿CCCCCCCCóóóóóóóómo verificar si dos figuras corresponden a una rotacimo verificar si dos figuras corresponden a una rotacimo verificar si dos figuras corresponden a una rotacimo verificar si dos figuras corresponden a una rotacimo verificar si dos figuras corresponden a una rotacimo verificar si dos figuras corresponden a una rotacimo verificar si dos figuras corresponden a una rotacimo verificar si dos figuras corresponden a una rotacióóóóóóóón?n?n?n?n?n?n?n?

Realizar ComprobaciónRealizar Comprobación

¡Otra forma!¡Otra forma!

UbicaciUbicaciUbicaciUbicaciUbicaciUbicaciUbicaciUbicacióóóóóóóón del Centro de rotacin del Centro de rotacin del Centro de rotacin del Centro de rotacin del Centro de rotacin del Centro de rotacin del Centro de rotacin del Centro de rotacióóóóóóóón, dada la figura y su imagenn, dada la figura y su imagenn, dada la figura y su imagenn, dada la figura y su imagenn, dada la figura y su imagenn, dada la figura y su imagenn, dada la figura y su imagenn, dada la figura y su imagen

La soluciónLa solución

¿Cómo se realizó esta Rotación?¿Cómo se realizó esta Rotación?¿Cómo se realizó esta Rotación?¿Cómo se realizó esta Rotación?¿Cómo se realizó esta Rotación?¿Cómo se realizó esta Rotación?¿Cómo se realizó esta Rotación?¿Cómo se realizó esta Rotación?

Rotar polígono ABCD de la forma Rotar polígono ABCD de la forma Rotar polígono ABCD de la forma Rotar polígono ABCD de la forma Rotar polígono ABCD de la forma Rotar polígono ABCD de la forma Rotar polígono ABCD de la forma Rotar polígono ABCD de la forma R(OR(OR(OR(OR(OR(OR(OR(O , 50°), 50°), 50°), 50°), 50°), 50°), 50°), 50°)


•• Realizar guía “dibujando y detectando rotaciones”Realizar guía “dibujando y detectando rotaciones”Realizar guía “dibujando y detectando rotaciones”Realizar guía “dibujando y detectando rotaciones”Realizar guía “dibujando y detectando rotaciones”Realizar guía “dibujando y detectando rotaciones”Realizar guía “dibujando y detectando rotaciones”Realizar guía “dibujando y detectando rotaciones”


SimetríasSimetríasSimetríasSimetríasSimetríasSimetríasSimetríasSimetrías

Las simetrías nos llevan a otro concepto como Las simetrías nos llevan a otro concepto como belleza y perfección.belleza y perfección.

Cuando observamos nuestro entorno podemos Cuando observamos nuestro entorno podemos maravillarnos con figuras simétricasmaravillarnos con figuras simétricas

Simetría en la arquitecturaSimetría en la arquitecturaSimetría en la arquitecturaSimetría en la arquitecturaSimetría en la arquitecturaSimetría en la arquitecturaSimetría en la arquitecturaSimetría en la arquitectura

Simetría en la naturalezaSimetría en la naturalezaSimetría en la naturalezaSimetría en la naturalezaSimetría en la naturalezaSimetría en la naturalezaSimetría en la naturalezaSimetría en la naturaleza

Simetría en el cuerpo humanoSimetría en el cuerpo humanoSimetría en el cuerpo humanoSimetría en el cuerpo humanoSimetría en el cuerpo humanoSimetría en el cuerpo humanoSimetría en el cuerpo humanoSimetría en el cuerpo humano

En cada uno de los casos anteriores se ve claramente que al trazEn cada uno de los casos anteriores se ve claramente que al trazar ar

una recta en el centro de la figura, las partes formadas son una recta en el centro de la figura, las partes formadas son

indistinguibles en forma y tamaño, excepto por la posición que indistinguibles en forma y tamaño, excepto por la posición que

ocupan.ocupan.

Hay una transformación que lleva la parte izquierda de la figuraHay una transformación que lleva la parte izquierda de la figura a a

la parte derecha sin cambiar su forma ni sus dimensiones.la parte derecha sin cambiar su forma ni sus dimensiones.

SimetríaSimetríaSimetríaSimetríaSimetríaSimetríaSimetríaSimetría

Tipos de SimetríaTipos de SimetríaTipos de SimetríaTipos de SimetríaTipos de SimetríaTipos de SimetríaTipos de SimetríaTipos de Simetría

•• Simetría Axial con respecto a un ejeSimetría Axial con respecto a un eje

•• Simetría Central con respecto a un puntoSimetría Central con respecto a un punto

•• Simetría rotacional con respecto a un punto y Simetría rotacional con respecto a un punto y a un ángulo de giroa un ángulo de giro

SimetríaSimetríaSimetríaSimetríaSimetríaSimetríaSimetríaSimetría Axial o ReflexiónAxial o ReflexiónAxial o ReflexiónAxial o ReflexiónAxial o ReflexiónAxial o ReflexiónAxial o ReflexiónAxial o Reflexión

OOOO

B

C

A A’

B’

C’

L

O’O’O’O’

O’’O’’O’’O’’

•• La recta L es el eje de simetríaLa recta L es el eje de simetría•• d(AOd(AO) = ) = d(OAd(OA’)’)•• d(BOd(BO’) = d(O’B’)’) = d(O’B’)•• d(COd(CO’’) = d(O’’C’)’’) = d(O’’C’)•• AA’ LAA’ L•• BB’ LBB’ L•• CC’ LCC’ L

•• La recta L es el eje de simetríaLa recta L es el eje de simetría•• d(AOd(AO) = ) = d(OAd(OA’)’)•• d(BOd(BO’) = d(O’B’)’) = d(O’B’)•• d(COd(CO’’) = d(O’’C’)’’) = d(O’’C’)•• AA’ LAA’ L•• BB’ LBB’ L•• CC’ LCC’ L

•• AA’//BB’//CC’AA’//BB’//CC’

SimetríaSimetríaSimetríaSimetríaSimetríaSimetríaSimetríaSimetría CentralCentralCentralCentralCentralCentralCentralCentral

El simétrico del punto A con respecto a un punto O es un punto El simétrico del punto A con respecto a un punto O es un punto A’ que cumple que OA = OA’ y donde los tres puntos A’ que cumple que OA = OA’ y donde los tres puntos pertenecen a una misma rectapertenecen a una misma recta

A OOOO A’

A B

C

C ’

A‘B‘ O

SimetríaSimetríaSimetríaSimetríaSimetríaSimetríaSimetríaSimetría CentralCentralCentralCentralCentralCentralCentralCentral

•• El punto y su imagen están a igual distancia de un punto llamadoEl punto y su imagen están a igual distancia de un punto llamadocentro de simetríacentro de simetría

•• El punto, su imagen y el centro de simetría pertenecen a una misEl punto, su imagen y el centro de simetría pertenecen a una misma ma rectarecta

Es una transformación en la que a cada punto del plano se le asoEs una transformación en la que a cada punto del plano se le asocia cia otro punto, llamado imagen, que cumple las siguientes condicioneotro punto, llamado imagen, que cumple las siguientes condiciones:s:

Ver ConstrucciónVer ConstrucciónVer ConstrucciónVer ConstrucciónVer ConstrucciónVer ConstrucciónVer ConstrucciónVer Construcción

∆ABC y su simétrico respecto al eje y ABC y su simétrico respecto al eje y ABC y su simétrico respecto al eje y ABC y su simétrico respecto al eje y ABC y su simétrico respecto al eje y ABC y su simétrico respecto al eje y ABC y su simétrico respecto al eje y ABC y su simétrico respecto al eje y

Dibujar el eje de SimetríaDibujar el eje de SimetríaDibujar el eje de SimetríaDibujar el eje de SimetríaDibujar el eje de SimetríaDibujar el eje de SimetríaDibujar el eje de SimetríaDibujar el eje de Simetría

Ver ConstrucciónVer ConstrucciónVer ConstrucciónVer ConstrucciónVer ConstrucciónVer ConstrucciónVer ConstrucciónVer Construcción

SimetríaSimetríaSimetríaSimetríaSimetríaSimetríaSimetríaSimetría RotacionalRotacionalRotacionalRotacionalRotacionalRotacionalRotacionalRotacional

Una figura tiene simetría rotacional si se puede rotar alrededorUna figura tiene simetría rotacional si se puede rotar alrededor de de su punto central y hacer que ocupe exactamente el mismo espacio su punto central y hacer que ocupe exactamente el mismo espacio más de una vez.más de una vez.

Centro de rotaciónCentro de rotaciónCentro de rotaciónCentro de rotación

Ejemplos de Simetrías RotacionalesEjemplos de Simetrías RotacionalesEjemplos de Simetrías RotacionalesEjemplos de Simetrías RotacionalesEjemplos de Simetrías RotacionalesEjemplos de Simetrías RotacionalesEjemplos de Simetrías RotacionalesEjemplos de Simetrías Rotacionales

Giro en 120°Giro en 120°Orden 3Orden 3




Una figura tiene orden n si tiene n ángulos Una figura tiene orden n si tiene n ángulos distintos que generan simetría rotacionaldistintos que generan simetría rotacional


•• Realizar guía “Usando regla y compás”Realizar guía “Usando regla y compás”Realizar guía “Usando regla y compás”Realizar guía “Usando regla y compás”Realizar guía “Usando regla y compás”Realizar guía “Usando regla y compás”Realizar guía “Usando regla y compás”Realizar guía “Usando regla y compás”


Pronto Pronto TeselacionesTeselaciones

departamento de matemática - homotecia y...

Documents