•

CAPITULO V

VECTORES CONTRAVARIANTES y VECTORES COVARIANTES

En el capítulo anterior vimos como se transforman los diferencia les d 'j i en los diferenciales d U al cambiar de las coordenadas ( /j, J ~l.J :! ~ al siste.n:a ( :::L, Xt X, ); esta transformación es : 4-4): Jx,. =-: iJ1L J "t'

I I J d rL' ct

) , ,

aquí cone ya sabemos se suma, para cada j f sobre i desde uno hasta tres; lo que tenemos en 4-4 son tres ecuaciones; podemos ver los d~f como las com-ponentes del vector J:Y-;' =d ~I L? + cLjz it + d.j, L3 y los d'XJ las componentes de ese mismo vector referido al nuevo sistema curvilíneo I -v \ d. ----. \ --:-'" ,-;"," \ --;? .-l"""'X"X,) osea "( == d.:l-, LI 4-~:(Zl2 + q.:i.) [3 aSl

pues 4-4 nos dice e omo se transforman la s componentes del vector cl.. Y al cambiar del sistema tt' al -:::4'. Por deÍinición vamos a decir que las compo­nentes de d7 se transforman contravariantemente porque se -transforman se­gún 4-4; podemos generalizar y decir que si las componentes A~ de un cier­to vector A expresadas en co~denadas ( 'J, :11- J"3 ) se transforman en Al componentes del mismo vect0.r A pero referidas a un nuevo sistema ( :L1.xl.~) de modo que 5-1): 1. a -:::f-J ~ Al ,A'"

A.!;:: -G) jL' entonces el vector es un vec-

tor contravariante; notemos en primer lugar que el vector como tal no ha cambia-, , do, las A t Y Al se refieren al mismo vector, lo que ha cambiado es el valor

de sus componentes porque cambiamos de sistema de coordenadas de ( '11 '1z ~3) a (Xl I -.L 1., :x. 3 ) ; notemos también la similitud de 5-1) con 4-4); ambas e-

cuaciones nos dicen que un vector es contravariante si las nuevas componentes ( ó sea componentes en ::te:) se obtienen a partir de las viejas componentes (ó sea componentes en ~l') multiplicando estas por la derivada, par?ial de las nue­vas coordenadas con respecto a las viejas coordenadas (s;?,..:t.J_) y tomando en

2)jL'

este producto sumatoria con respecto al índice i (índice mudo). De ahora en ade­lante identificaremos con superíndices las componentes de un vector contrava­riante ; por lo tanto como el vector d. "("es contravariante la ecuación 4-4) se debe escribir con superíndices así:

Estos superíndices no significan elevación a potencia sino que se usan para i­dentificar los vectores contravariantes.

Ahora, vimos anteriormente que las componentes del vector gradiente de una función escalar cb (~, ':17... 'f"3' se transforman al pasar al sistema ( :tI :X2..A3)

21

según la fórmula:

a(j; 5-2) ---

-7 Decimos entonces, por definición, que las componentes del vector \l éP se transforman covariantemente porque se transforman según 5-2; nuevamente hay que cecir que el vector como tal permanece inalterado, cambian solo sus componen~es; podemos generalizar y decir que si las componentes· AL' de un

-:> t

vector A se transforman en Al según la ley:

I '-< L'

5-3) Al = .~~. A ¿ entonces el vector es un vector cova-

riante.

~~

Notemos que 5-2) es un caso particular de 5-3) el caso en el cual el vector A es ~ ; para los vectores covariantes utilizaremos. subíndices; la ecuación

5-3) que define un vector covariante nos dice qu~ las nuevas componentes se obtienen a partir de las viejas multiplicando estas últimas por la derivada par­cial de las viejas coordenadas con respecto a las nuevas y tomando en este pro­ducto sumatoria con respecto al índice { (índice vacío).

Podemos apreciar que 5-1) y 5-3) forman, cada una, un sistema de tres ecuacio­nes ; para captar mas intuitivamente lo que expresan esas ecuaciones vamos a

• expandirlas, es decir dar a l) L los valores que pueden adoptar ( t~J :'/J <-, 3)

I •

De la ecuación 5-1 : A S ;:

t ;;J::f} A1 Al. j 1 - r • - d 'jI

• ¡:J::L ~ A'" A2 j= 2 -- OJ I

--j= 3

+

• a :ti • AL resulta: --a '1~'

d .xl AZ 4- q ::x? A 3 -- dJJ dj2

a:t.'- Z a.:;:¿ L .3 -aj3 A - ;;A

dj'"

ª:t: AZ -r

dj3

(

22

En forma matricial queda

r ~ 1

a .xl d .:::L ~ a..:x' Al --- -d~2. .a 'j' dj3

I Al. - a :Lz. dX~ a.:r.2._ Al. I -5-4 · . .. .

-a:J3 a'jl d '11-,

I Á3 a..:t.3 a.xJ <> .::iJ A3

L -• • -a'.fl -djl é) ':J~

Ya podernos apreciar la simplificación que introduce en la presentación el uso • •

de la convención de Einstein de índices libres (J ) y vacíos ( c. ); la ecuación matricial está representada por la breve fórmula 5-1. Análogamente I la ex­

presión 5-3) se puede expresar matricialmente así:

d 1(3 -ax'

• ~ /4. 1 a:L' ~ .a....::t::. 1

, A~ - ójl - - ,

• 2>.:t. "1-

~ d.::t3

A3 C) ::1 \ á:i3

-

Estudiaremos ahora la definición de vectores covariantes y contravariantes en su relación con las bases recíprocas · ru-= sf? y V~(· (C-::.1 1 2¡3) .

a.1 l

En primer lugar vamos a suponer que en un cierto . espacio hay dos sistemas de c~ordenadas ( Xl y'l.::i.1 ) Y ( )" 'J'I. '.1 3 ) curvilíneas en general defini­dos uno en función del otro por las ecuaciones .

• 5- 5) a) X. t :::

b)

En el entorno de todo punto P se puede expresar el radio vector que U!le a P con un punto Gt infinitamente próximo a él así:

•

23

ó también:

S-6, b)

-si9!1do los vectores

ay a~'

en el sistema coorde-. '. nado:(l y b 7, b:) b; los vectores e n e 1 s is tema <:f L'

Notemos que hemos colocado subíndice a los vectores base Ql y lo mismo a los otros vectores base b7; así mismo hemos colocado superíndice a los di­ferenciales correspondientes d.:t tl

y d J/.'; esta colocación d e índice s debemos ~

justificarla es decir vamos a demostrar que los vectores base a.c (,'::: 1,2,.3 ') Y

LZ (t":: 1) :z., 3 ) se transforman covariantemente al pasar de las coordenadas ::t.(' a las 'J t-' y viceversa y además que los correspondientes diferenciales se

transfonnan contravariantemente bajo esas mismas transformaciones de coordena­das.

Demostremos primero la transformación contravariante de d.t.~: J j': De S-S a) se deduce por diferenciación directa:

dx(::. d.~/ j,,/ a J I .J Y de S-S b análogamente:

S-S c)

Vemos entonces que travariantemente.

-!;> -:>

d L' X) se transforman según S-l e s decir, con-

Ahora: Q{ ;::. :9Y. a.:x(

y de S-6 b)

27 ~ .¿. -;r-:¿ ~ ~? G>:fl

..:-.'/ .t-- • "8j3 -o.xi - .. aj" a:::L l d J' • a.:x.c.

• ay b~ aY' 3jJ - ~ pero - -- ~. J - • - ~ - • dJ'! a:).J a:tL-

•

24

5-6 d) ; por lo tan to ---"77 -7 al' J b e se transfor-

man según 5-3 es decir covariantemente.

Lo que hic:mos fué coger el vector eL 1 en el punto P y descomponerlo según las dos beses (llamémoslas directas por oposición a sus recíprocas que consi-deraremos a continuación) ll~ ~ 9~. bc =- Civ,"'. (i -::. (J <., 3»', las

é);tL a'l" componentes fueron d:L L' (C=-I) 2. I 3) para la base a} y d j' ( (t"= ),2;3) para la base t?evidentemente también podemos expresar d-:7 en función de cual­quier otra base localizada en P; expresemos Jyr'J en función de las bases re­cíprocas de 0.( y b1 ó sea (como se demostró en el capítu lo III) Vi,.. y {¡ Jc

-"7 respectivamente; por simplificación e!1 la escritura llamaremos

-'? -";¡

V:Le: ~. -:::. a t y

'íJ ji..-=- be. . Si expresamos al vector J l en las coordenadas resulta:

5-7 a) d. y::. Q) d1., -+- 2- d.:t."L +- (J} d-:L:J -:: (le ¿.xc aquí los

, 1 1 d:i... 1 d ..x'Jcl.:i.:zo

, d...::L.) no son en genera os mismos ) d .x:. ~

J

--'7 -7 d 1.3 vistos anteriormente ya que como las bases a f

) t1,; son díferentes en general (como vimos en el ca1(. II sólo coinciden las dos bases si los CIT· son vectores unitarios triplemente ortogonales) entonce s las componentes también se­rán diferentes; d7 ta.mbién se puede expresar en el punto P en términos de los b~ así:

~ ~ -~ 7' 5-7b) JV::.b/dJ.+-h dj"l.+b dJ'3::' n'-djt.·

\ e diferentes, en general, de los d j considerados en

siendo los

5-6 b ) .

c: Notemos que he mos colocado superíndice a los vectores base a ( c,'=. J) 2,3 ) ..,..., . y h L ( e=- ') 4, '3 ) así mismo hemos colocado subíndice a los diferenciales correspondientes d..:t(, d j L; esto tenemos que Justificarlo es decir, vamos a demostrar que los vectores base recíprocos aL. ( (::;.), 1,3) (re cíproco de los ~. ')} 'b¡; l L' ::'1) '-) "?> ) (re cíproco de los "17) s e tran sforman c ontra-

variantemente y los correspondie ntes diferenciale s ( d x. /.' para a( y el Ji para h?: ) s e transforman en forma covariante.

, ~'7 Como el vector CL Y e s 5-7 b) resulta:

5-8 ) al e l mismo ye s ea que s e exprese por 5-7 a )

, o por

el '-{ . -JJ (ca mbiamo s e l índ ice

25

• • vacío (.. en la ecuación 5-7 b) por el índice vacío J ).

Ahora¡ ya se demostró lo siguiente (5-6 -d )

;multiplicando escalarrnente a lado y la-

a.~ ( ~ -;?',: ) do por el vector uno de los recIprocas v- resulta: •

d Y~ -éJ je.' notemos que en la expre-

• sión de la derecha J es un índice repetido cf sea de suma sobre él I pe ro

- (por ser bases recíprocas) nos queda entonces: -b -7K

•

~~ a :::é a XK L'. O- - - , - • -J -dj( a:s f

• K ) es decir S-lJ) j=k e igual a cero para j:f=. •

•

.,.-y

Multiplicando 5-8) escalarrnente por bk resulta:

•

(ya que ~~/= 1

-?~ a ..:(( 1('.0. ~ -- = a je

f?J .xL' d:í l:=:' ~~ d jj :::. d. J t( dj"

• hemos demostrado pues: ,

5-10 ).

•

::: ?:t. L

.dil' aJI<

•

para

Similarmente: en 5-6-c): "'"\ 1I J --?

- o JI. - - -. DJ multiplicando ambos lados escalar-

mente por -?{ 1 ¡ n resulta:

•

81 ~ - e (71

--'? I . oJ •

8:11.

- .., •

blA. al1

~/ aJI{ -- ~ - -:.. , .....,.

a:r t • r3.:X- L •

26

-Por lo tanto si multiplicamos 5-8) por QI( resulta:

-.0:., --,

a. l , al(

'8 'jJ~ -o.x" d x. l.' :::. pero:

~ ~ el::t l.' :;:: el. x K -=---'9 s-u: ax'"

Vemos de 5-10 Y 5-11 que los diferenciales d.Xl.'} d j (' se transforman cova­riantemente, por lo tanto está justificado que los describamos con subíndices. Hay que anotar que las variables ,::;c) '1) tienen superíndices en todas las deriva­das parciales porque se refieren a derivación directa obtenida de ecuaciones

~l' = 'lt' ( X,) x .. , X3 ) y Xt..' = x.L ( 'j,) J2.)~:J ).

Demostremos finalmente que los vectores recíprocos de los -al' y los sea los a L' y los 1"t..' se transforman contravariantemente.

o

-? El vector d -r se puede escribir en cualquiera de las formas 5-6 a, 5-6b, S-7a,

-=" 5-7b: es el mismo vector referido en el caso 5-6 a a la base de los Ql' , en ,...,. -i> , 'T"'> '

5-6 b a la base J:lL', en 5-7a a la base a L yen 5-7 b a la base~t. (siendo a( recíproca de al' y re recíproca de '1~ , siendo a:· =. :O'

ax{' y

-9 --:-? ~

.ht.':;:::' 'f( XL' ), Igualemos la expresión de J Y'" según 5-7a y 5-7b, re sulta:

¡--? -. -J' \ 5-12) d ...,. :: aLclxl.';:: .b ti 'j j ;hemos cambiado el índice vacío i por j en

•

5-7b; de 5-11 tenemos: d;(L :::>o ~ d .1J' oX(

( j índice vacío) entonces en 5-12

5-13 )

nos des

( j= 1,2, 3 ) --? , aL ~ ~,

, J. a ;t..t'

•

. C) j~ d 'Jj := é)~1

; ->

Ci ( @~': el ~J -d;l.'

- , .b J el:t' ::: o ;;-3;:>

; esta ecuación contiene tres térmi-

cada uno de ellos con un paréntesis que contiene tres cantida-( i= 1 ,2 I 3 ) I C o m o los d '5 J s o n in de pe n -

•

\

• dientes entre si ( j :=. ¡, z) 3 ben anular para que se cumpla

5-14)

27

) entonces los términos entre paréntesis 5-12 , por lo tanto:

se de-

Similarmente: si en 5-12) reemplazamos el lJ' 5-10 ( es decir el. 1J ~ q::t~ d. X ('

por su valor que se obtiene de ) tendremos:

-? ' r 'a L

_­;,J -111-0..)

I

d;;!" ': - . a 'jJ

;;;~J

--•

8X':- d XI.: ";: 7p

él 'Ji d.1l.' ;:: f.::) -=---'='?

5-14 Y 5-14a.nosdicen que los vectores se transforman contravariantemente.

:::: O :::!:::¡

Queda por lo tanto justificado expresar eL Y' de cualquiera de las siguientes cua­tro :fOrma s: .

j:j • -'7

5-15 - el :t L aL' -d:v -- djL b L'

d7 ::: d -->'>. :tL' eL L

d:7 ~ dJl bL

En esas expresiones se debe sumar sobre i.

--;> En el caso de que en el punto P se tenga un vector A diferente del vector

J~ . ~,~

y' ¿como lo podemos expresar en las bases recíprocas Q lJ al' del sistema

t" T7, coordenado ( :t.1:t 1. X'3 ) Y en las bases recíprocas () "') .(J L del sistema J ,

coordenado ( ji, 1"t. 'i -; )? I

-"'7 En primer lugar debemos ver al vector A como un vector fijo en el punto ' P

por lo tanto lo que vamos a encontrar es la expresión de sus componentes según cuatro bases diferentes; ahora este vector -¡;;' es igual a K cf7 siendo K

,

•

28

J-4\:I ~ un escalar y V un vector infinitesimal en la dirección de A: entonces como -::-7 A es invariante (es fijol su magnitud y orientación en el espacio no cam-, ,

bian) K tampoco cambiará al cambiar de coordenadas ::t.'" a J" o viceversa; por lo tanto si cada una de las ecuaciones 5-15 las multiplicamos por la cons­tante 1<. resulta:

--':1 L' ~ K J.y =- )<. cl.. '1 Ql -

• "? A y pero -

• KJ:i (. es la componente de A? según a~ y como J..::iYse transforma cont-ra-

variantemente entonces ~d..x l' también ya que: J..X ~ é):fJ el Ji ~ KJ.X¿~d.:il~l<di c'jJ · dJ J

entonces: -:;> \-::=7 A .:: A L al' ; análogamente:

K dY':::: ~ d..,t' P ..1 pero

llamémosla 8 (.' I por lo tanto :

5-1Sa) A = B l.: -¡;;. A~ =- Ac 71t'

/( -:::. "B L' bt' -:-")

componentes de A

; similarmente:

) .. segun

Al

'" J jt 'e s la componente de A/ según

d A ,;:)lL' y '1:> componentes e segun U\- !J ('

-? Como se ve I dado un vector A sus componentes según los vectores bas9s covariantes ( ya sea a~' ó Et ) se transforman contravariante~e.nte y s1!s componentes según los vectores bases contravariantes ( ya sea aL 6 bL ) se transforman covariantemente; por lo tanto si en un punto P tenernos un sistema coordenado ~'=- XL' ( ~.) J ,-.1,,) ) L::.. ',"l. ) si los vectores base .,. directos son tri = a.:i. y los vectores base recíprocos son al' = 'l:Lt:. entonces

;:)::t. " cualquier vector A" se puede expresar de cualquiera de las dos maneras si-

guientes: -A=?' AL --"7"7 A ~l . ' = al::' L U

--:-"? A modo de ejemplo: si en un plano tenemos un vector 'A este se puede descom-poner según las tl~ o según at como se muestra en el dibujo siguiente:

-'1 \ Aa. a "

" " " ,

-al

\ \ ,

\ \

\ \ ,

, " , --------).,.

29

x'

OPERACIONES CON VECTORES EN COORDENADAS CURVILINEAS -:;.

Dadas las coordenadas :i.l'= Xl' ( 1, '11. ~3) un vector A cualquiera en un punto P del espacio puede ser repres~nt~do ~egún la base de vectores directos (l~ ó según la base recíproca aL' ; en general 11"7 puede ser escrito así:

5-16)/\ = Al. eL' = Al' a~ -;-'? f -:-'? -')

Si tomamos A = ti !J..,. y multiplicamos escalarmente a. ambos lados por (j.'f resulta: A, al = A t' el(. Zif = AL' ~l = AJ'.::::';)5.J6CL) AJ=A. 211 tenemos así

que las componentes contravariantes de un vector se obtienen multiplicando es ­calarmente él este vector por los correspo%!ientes vectores bases recíprocos; similarmente se obtiene : 5-16 b) AL' = A, lfl ó sea: las componentes co­variantes de un vector se obtienen multiplicando a este e sCéllarmente por los co·· rrespondientes vectores base directos .

_-JI> -:-':? el producto escalar A, --B se obtiene

- 7:' '( j L' e eL', uJ ) =- A' .8J o L' :. A 13 l'

•

30

-:? -? I 11. oh A):B es decir: 5-17) A,.a ==- ¡.. ~I + 11 .01 +- J ; en el caso de que las coordenada3 sean cartesianas entonces las bases 11/ y a1· ( t':. J, '1.)"3 )

están formadas por vectores unitarios e igualesCa l '= á~por lo tanto no hay di­ferencia entre componentes contravariantes y covariantes de un vector pudién­dose escy:.bir 5-17 así: X.E = A l' lit' = Al 8, + A&.lh + A~ B) que es la expresión para el producto escalar cuando las coordenadas son cartesianas (es decir vectores base unitarios y triplemente ortogonales).

Otra forma de escribir el producto -¡;:. Bes la siguiente: --? -? ( • -"') -";) • A.S :: '-.A l (JL'), (BJ' GJ ) == Al 13j

' ( m . aj') llamemos

11 ---='7 7f' A"""'" -::? A ['8/ q d lJ':: aL'. uj' resulta pues . .b == <t<r similarrnen te:

A. Ir ::=. (Al' al') . (Bi aJ ).= Al'Bi 8<.1' con

Relación entre las componentes covariantes y contravariantes:

• _ ~ -":> j' -:::? ~ i Tenemos~n5-16b) ,?:-17a) Al'~A.tlt'.::: A dJ,ai.::=.A g,.{ similar-mente Al = AJ' ~ IJ : 5-17b).

-.?A M~a:::Lg~n~it':..:"",u~d!.-. ~d;::e.--!.~_: De lo visto anteriormente tenernos:

5-17 el

Coseno del ángulo entre dos vectores -7 -::.") Ay-.B: -- ....,. A.a_ ~

• -lt\.la\ -Tenemos:

Al' &' gÚ' cos 0.(--

~A ~ Producto vectorial x 1J

~ <") ( A',) / 'R ~ l \ A t 1:".4.J' 'Q/ )( ~'. 5-18) Al! es ':. Á/ul' X. \. vi U: ) =: ..u

, . ~.~. ~

Encontremos el valor de alx a:.J en función de los vectores UK.

,

;:,. '1, Sabemos que el vector ~

31

--'?;¡ -:b es normal al plano de a y Q;.

y a7, i=l,2,3, son bases entonces

recíprocas como se definieron en el (ya que artículo

5-1 Q) L.= \

• • (de 2-4 )

similarmente:

. Introduzcamos ahora un símbolo e..~'t< llamado símbolo de permutación que pue­de valer + 1, - l. ó cero según la siguiente regla:

a) Si hay índices repetidos et:j'K vale cero, por ejemplo:

- ___ --- ""':::.. O -

b) Si los índices son todos distintos y se presentan en orden cíclico su valor es + 1, así:

e¡,3 -~ c) Si los índices son todos distintos y se presentan en orden no cíclico su va­

lor es -1, así:

é:. f 3 1.. =- é! 3 2.. I = e 2..\"3> .= - 1

La misma regla define los valores para el símbolo con superíndices, c:: ('./J(

Utilizando este símbolo de permutación las 3 ecuaciones 5-19 se pueden escri­bir en una sola, así:

5-20 por ejemplo para

~ J 21 a} + e J2.l- «1..

al =- c. el! x ¿}

Volviendo a 5-18 tendremos:

-;-Al) 4> ---';> L' -¿ .l A- )( 8 :::. A t" 13J a >1 u )

pero de 5-2 o:

) por lo tanto:

\

32

--

Corno vimos en el artículo 2)

por lo tanw:

suma sobre i, j, k)

I - -....

Terminamos este capítulo con un ejemplo sobre componentes covariantes y con­travariantes de un vector en coordenadas curvilíneas.

Determinemos las componentes covariantes y contravariantes del vector veloci­dad de una partícula P moviéndose en el espacio en términos de coordenadas cilíndricas

---------

I I

-------

Sean ( ~ I :f"l..,j'}) las coordenadas cartesianas y llndricas; b relación entre las coordenadas es la

y:

~I -=- y ~-e- -=- x, ~ xt..

:1 z...;:. -y A Jl/Y)-B :.:X I .-6.(m X 7..

:J ?> :=. ::í 3 ::z 1:: ~r=j-,-"l..-+--J-l2·

-L :1"2. .:t."L': Q.Pfccan, 'j ~'

./ ,/

,/

/

'< e 1-( :x. I X'1. X-J) , , siguiente:

coordenadas ci-

I

,

33

Corno el sistema .Jt' es cartesiano no hay diferencia ~tr..e la base directa y su , .. .-?

reCIproca por lo tanto solo considerarnos una base l, J I j<. Y no hay que ha-cer diferencia entre componentes covariantes y contravariantes en este siste-ma '-{ t' llamemos V 1./ V 1,/ V" esas componentes y son:

J ) ..1 1 , Jll J~

5-21 V ~ t'::' d 'J t • :- V~' d-t

Las componentes contravariantes ( la transformación:

•

Xl' V ) en el sistema se obtienen de

v;t 1.'-;:. (ecuación 5-1) por lo tanto:

utilizando 5-21 '-~ o:t I~

• • d ::L L' .. =7 --

a1J

es decir las componentes coruravariantes del vector velocidad son las deriva-• das de las coordenadas ::t l con respecto al tiempo:

v;t, - d. XI - dv - d+ .~ - -dt

VXl. _ d.x"2... - d.~ , . •

d-t: - d-t::

V x.::, - d.:t3 cl.7=;; - • - , - d-t.-de

Las componentes covariantes ( V:.ü ·) en el sis tema:4' seobtienen de la transfor-. ~ maCIon:

(de 5-21)

pero

5-23) V::t;(

(de 5-22)

Encontremos primero V:tl

; expandiendo 5-23 para

34

~ al' VX3

81' ~3

?'j1.. 91,1.. V:t.1. ..,. a~1 (3.:t

1 ;;>:{2. a '1"1.. y::t.3 e>x' ax3

Para i= <- =='9

Q '-1 1 ª-1!. V x\ . VXL= ~~ oX' +

+ 9j2. aJ-l. V~' -t--2)11.. ox'

+ ~ .CJ:f3 V~I a.:t."2- .e 1:'

-t qJ J -: fJ:i ¿ V XI

cLX3 a..:t. \ ,

?~: ~ V~l 31.3 8~ '

+

V cL :2:. :C?I =- el -C.-

::)~ 1 iL$.../ V Ü. ~ a:J..' V:t.3

~i-L ex?. +- dJ:'l. .8x3

52:'f: zf \fx%- .a12. CLi.2. VX) a 1. L ax-z.. .r éUlo éJ 1. "3

?j~ _C)J? V~t ª\(~ 0' V~) é)X'- a~1.. ax1.. ax'

+- ,:3 'j ~ .C) 'j 'L. \Í :t.2.-t d 1. 3 é7::L (..

-+ ~~~ d ~ v;:(-.. ~ a J~..3 d;L '1-

as. z. ~.J~ V:t.) ax; 01 3

d j' d:fJ Vx~ a.:t 3 ( 1 )

Esta s tres componente s covariantes también las hubieramos podido obtener u ti­lizando la e cuación 5-17 a} que nos da las componentes covariantes en función

35

de las contravariantes; en este caso 5-17 a) queda:

5-24 )

Encontrel"!10S los ~I'J' ; en e 1 ejemplo hecho al final del capítulo 3 encontramos: a......, ~ -:-?>

I = Cos e l. + sen ~ h -- - ~ th = -Y5en -e- i... + yt.o5-& il. -='? --> a3 ~ ¿~

~ _ a.. a, :.. Cos?-9 + Ah'r't1t; :. I ~ 11- ?

- -? a -='" Q gIl. =- ~ .~~ ~'C3; = ~\ = o 91:' = al. U3:::' Q3' ClJ '" q-~I ;: o ;¡ 2. ') =- ~ 2 • C13 :::: Cb, tL;::. g 3'l. ;::: o f/u. = a.l. . Zlz. :::. y:L

~33 = a3' ~.: á Por lo tanto en 5-24 \ y

V \ lX' Q V..:tl. V~3 4 \f XI OJ • :t.. -;::. V <j ,1 +- g Ii.. ~ (1/3 :. I = al'e

\1 VXt z¿ ¡X) z V:tz ('2. cl-t1 v.tl.. :: f!.2/ + V ~:u + \ 81.3 .:: y == d-c

V V.:l· a VX2.a I/;J..) q ,1 3 ~ d.E )::,3 -=- c1 ~I + (j ~l. + d 3) :::.. V.:lo - d t::

Notemos que V~ ..... V.:l l y V.t..3 =- V:t) esto e s así ya que como para coordena-

~ - ,....., --:>_-das cilíndricas UI, ~,Cb son mutuamente ortogonales ,entonces Di aL 6 3 tie-

7"C> -..,. ,.....". ..,.-') ~

nen las mismas direcciones de lÁl D.:2. tl..3 y como D., y CL3 son unitarios, entonces a' ya:J también lo son por tanto a = al y Zi3 -:: a 3 y normales a 1 vector 11l y se debe cumplir V x, -:: VJLI , V;(. ') = y:t.') • no se cumple

tI VX'L -';> J ~ que V Xl. = ya que aunque aa. tenga la misma dirección de a.. no son vectores unitarios sino que 0.;' es yl veces mas grande que ZJ). (compa-~ ~ ~ ~

rar Cl:l. y al. al final del cap. In) por lo tanto la componente de V según tl.i e .s ,a. mas pequeña que la componente según O-?, esto es: ~ == \.

V::t.l yt