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$: Espaços Vectoriais · 2002-11-20 · por espaços vectoriais complexos. Exemplos • Espaço vectorial \n sobre o corpo dos reais, onde os vectores são representados por n-uplos$
APONTAMENTOS DE ÁLGEBRA

Espaços Vectoriais

Sérgio Reis Cunha

Outubro de 2002

Faculdade de Engenharia da Universidade do Porto Licenciatura em Engenharia Electrotécnica e de Computadores

Espaços Vectoriais Definição de Espaço Vectorial 2/22

Definição de Espaço Vectorial

Definição Um espaço vectorial V sobre um corpo de escalares C é um conjunto não vazio de elementos, aos quais se chamam vectores, que possui as seguintes propriedades:

• Está definida uma operação binária de soma de dois vectores de V , da qual resulta um vector de V , tal que o conjunto V relativamente a esta operação é um conjunto abeliano:

o ,u v V u v V∈∀ + ∈ ,

o ,u v V u v v u∈∀ + = + ,

o , , ( ) ( )u v w V u v w u v w∈∀ + + = + + ,

o 10

: 0 0 ( 0)u VVu u u z∈∈

∃ ∀ + = + = = ,

o 1 : 0 ( )u V u V u u u u u u∈ ′∈′ ′ ′∀ ∃ + = + = − .

• Está definida uma operação de multiplicação de um vector de V por um escalar do corpo, da qual resulta um vector de V , com as seguinte propriedades:

o C v V v Vα α∈ ∈∀ ∀ ⋅ ∈ ,

o , ( ) ( )C v V v vα β α β αβ∈ ∈∀ ∀ ⋅ ⋅ = ⋅ ,

o , ( )C v V v v vα β α β α β∈ ∈∀ ∀ + ⋅ = ⋅ + ⋅ ,

o ( )C u v V u v u vα α α α∈ + ∈∀ ∀ ⋅ + = ⋅ + ⋅ .

• 1v V v v∈∀ ⋅ = , onde 1 é o elemento neutro multiplicativo do corpo C .

Doravante apenas se consideram os espaços vectoriais sobre o corpo dos reais (C = ), designados por espaços vectoriais reais, e sobre o corpo dos complexos (C = ), designados por espaços vectoriais complexos.

Exemplos • Espaço vectorial n sobre o corpo dos reais, onde os vectores são representados por

n-uplos ordenados:

1

2

n

xx

v

x

=

A soma de vectores é dada por:

1

2

n

xx

v

x

=

1

2

n

uu

u

u

=

1 1

2 2

n n

x yx y

v u

x y

+ + + = +

A multiplicação de um escalar por um vector é dada por:


1

2

n

xx

v

x

=

1

2

n

xx

v

x

αα

α

α

⋅ =

A figura abaixo mostra os seguintes vectores em 3 :

1

1

0

0

v

=

2

0

2

0

v

=

3

0

0

3

v

=

4 1 2

1

2

0

v v v

= + =

5 2 3

01 2 12 3

3

v v v

= + =

• Espaço vectorial dos polinómios de grau menor ou igual a n e de coeficientes reais: 1

01 1( ) n nn np x a x a x a x a−

−= + + + +

onde cada vector é descrito pelos seus coeficientes:

1

1

0

n

n

aa

paa

−

=

.

A soma de vectores corresponde à soma de polinómios: 1

01 1( ) n na n np x a x a x a x a−

−= + + + +

101 1( ) n n

n nbp x b x b x b x b−−= + + + +

10 01 1 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )n n

a n n n nbp x p x a b x a b x a b x a b−− −+ = + + + + + + + +

z

y

x

1v 2v

3v

4v

5v


1

1

0

n

n

a

aa

paa

−

=

1

1

0

n

n

b

b

b

pb

b

−

=

1 1

1 1

0 0

n n

n n

a b

a b

a b

p pa b

a b

− −

+ + + = + +

A operação de multiplicação por um escalar é definida através de: 1

01 1( ) n nn np x a x a x a x a−

−= + + + +

101 1( ) ( ) ( ) ( ) ( )n n

n np x a x a x a x aα α α α α−−⋅ = + + + +

1

1

0

n

n

aa

paa

−

=

1

1

0

n

n

a

aa

paa

αα

ααα

−

⋅ =

Teorema

Em qualquer espaço vectorial verifica-se que 0 0 v Vv ∈⋅ = ∀ , onde 0 é o elemento neutro

aditivo do corpo e 0 é o vector nulo (elemento neutro aditivo do grupo constituído pelo espaço vectorial relativamente à operação de soma de vectores).

Demonstração 0 0 ( (0 )) 0 ( (0 ))v v v v v⋅ + ⋅ + − ⋅ = ⋅ + − ⋅ , onde (0 )v− ⋅ é o inverso (oposto) de 0 v⋅ relativamente à operação de adição de vectores. Visto que 0 ( (0 )) 0v v⋅ + − ⋅ = (senão não seriam inversos um do outro), obtém-se 0 0 0v⋅ + = , de onde se conclui finalmente que 0 0v⋅ = .

Teorema Em qualquer espaço vectorial, o inverso aditivo do elemento neutro multiplicativo do corpo sobre o qual está definido o espaço vectorial, quando multiplicado por qualquer vector v do espaço, resulta no inverso do vector v relativamente à operação de adição de vectores: ( 1) v Vv v ∈− ⋅ = − ∀ .

Demonstração

( 1) 1 ( 1) (1 ( 1)) 0 0v v v v v v+ − ⋅ = ⋅ + − ⋅ = + − ⋅ = ⋅ = . Como num grupo o inverso é único e ( ) 0v v+ − = , então ( 1) v v− ⋅ = − .

Espaços Vectoriais Subespaços Vectoriais 5/22

Definição de Subespaço Vectorial

Definição Seja V um espaço vectorial e seja V ′ um subconjunto de V tal que V ′ seja também um espaço vectorial relativamente às operações de adição de vectores e multiplicação por um escalar que definem V como espaço vectorial. Então diz-se que V ′ é um subespaço vectorial de V .

Teorema Seja V um espaço vectorial e seja V ′ um subconjunto de V . Relativamente às operações de adição de vectores e multiplicação por um escalar que definem V como espaço vectorial, V ′ é um supespaço vectorial de V se e só se:

• V ′ é não vazio;

• V ′ é fechado relativamente à operação de adição de vectores:

,u v V u v V′∈′∀ + ∈ .

• V ′ é fechado relativamente à operação de multiplicação por um escalar:

C v V v Vα α∈ ′∈′∀ ∀ ⋅ ∈ .

Demonstração Visto que um subespaço é, ele próprio, um espaço vectorial e que as três condições pertencem à axiomática dos espaços vectoriais, terão necessariamente que ser cumpridas. Resta apenas verificar a suficiência das mesmas para que V ′ seja um espaço vectorial. Assim, verifica-se de seguida que estas condições implicam os restantes axiomas dos espaços vectoriais:

• A comutatividade e a associatividade da soma de vectores são propriedades da operação que, verificando-se no conjunto V , automaticamente se verificam em qualquer subconjunto de V , como seja V ′ ;

• Sendo o conjunto V ′ não vazio, v V ′∈∃ . Sendo fechado relativamente à operação de

multiplicação por um escalar, o elemento neutro da adição de vectores pertence a V ′ , pois 0 0v V ′⋅ = ∈ porque Cv V αα ∈′⋅ ∈ ∀ .

• O inverso de qualquer vector de V ′ também pertence a V ′ porque, como referido num teorema anterior, ( 1) v v− ⋅ = − e ( 1) v V ′− ⋅ ∈ se v V ′∈ .

• As propriedades da operação de multiplicação de um escalar por um vector, verificando-se para o conjunto V , também se verificam para um subconjunto de V , como seja V ′ .

• Verificando-se que 1v V v v∈∀ ⋅ = , também é verdade que 1v V v v′∈∀ ⋅ = , visto que

V V′ ∈ .

Espaços Vectoriais Subespaços Vectoriais 6/22

Exemplo de um subespaço vectorial Dado o espaço vectorial 3 de vectores na forma:

xv y

z

=

,

as soluções da equação: 0x y z+ + =

geram um subespaço V ′ de 3 :

• V ′ ≠ ∅ , pois 0 V ′∈ (0 0 0 0+ + = );

• 1 2

1 2,v v V v v V′∈′∀ + ∈ :

1

1 1

1

xv y

z

=

2

2 2

2

xv y

z

=

1 2

1 2 1 2

1 2

x xv v y y

z z

+ + = + +

1 2 1 2 1 2 1 1 1 2 2 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0x x y y z z x y z x y z+ + + + + = + + + + + = + = .

Logo 1 2v v V ′+ ∈ se 1v V ′∈ e 2v V ′∈ ;

• v V v Vα α∈ ′∈′∀ ∀ ⋅ ∈ :

xv y

z

=

x

v yz

αα α

α

⋅ =

( ) 0 0x y z x y zα α α α α+ + = + + = = .

Logo v V v Vα′ ′∈ ⇒ ⋅ ∈ .

z

y

x

V ′

Espaços Vectoriais Dependência e Independência Linear 7/22

Dependência e Independência Linear

Definição Sendo V um espaço vectorial e { }1 2, , , nS v v v= … um conjunto de vectores de V , uma combinação linear dos vectores de S é qualquer vector representável na forma

1 1 2 2 n nu v v vα α α= + + + onde 1 2, , , nα α α… são quaisquer escalares do corpo sobre o qual está definido V . Pela axiomática dos espaços vectoriais, u V∈ .

Definição Um vector u de um espaço vectorial V diz-se linearmente dependente do conjunto de n vectores também de V , { }1 2, , , nS v v v= … , se e só se existirem n escalares 1 2, , , nα α α… tais que 1 1 2 2 n nu v v vα α α= + + + . Se não existirem escalares que satisfaçam esta igualdade, então diz-se que u é linearmente independente de S .

Uma forma alternativa de definir independência linear é:

Definição Um conjunto { }1 2, , , nS v v v= … de um espaço vectorial V diz-se linearmente independente (ou que os seus vectores são linearmente independentes) se e só se a igualdade

1 1 2 2 0n nv v vα α α+ + + = implicar necessariamente que 1 2 0nα α α= = = = .

Teorema Seja { }1 2, , , nS v v v= … um conjunto de vectores do espaço vectorial V . O conjunto de vectores da forma:

{ }1 11 1 2 2 , , ,: ,

nn n CU u u v v v α α αα α α ∈= = + + + ∀ …

é um subespaço vectorial de V .

Demonstração De acordo com um teorema anterior, basta provar que U é não vazio e que é fechado relativamente às operações de adição de vectores e multiplicação por um escalar:

• U é não vazio, porque, por exemplo, 1v U∈ (este vector é obtido seleccionando

1 1α = e 2 0nα α= = = ).

• Sejam ,u w U∈ quaisquer. Então:

1 2 1 1 2 2, , , :

n n nC u v v vα α α α α α∈∃ = + + +…

e 1 2 1 1 2 2, , , :

n n nC w v v vβ β β β β β∈∃ = + + +…

( ) ( )( ) ( ) ( )

1 1 2 2 1 1 2 2

1 1 1 2 2 2 .

n n n n

n n n

u w v v v v v v

v v v

α α α β β β

α β α β α β

+ = + + + + + + + =

= + + + + + +

Espaços Vectoriais Dependência e Independência Linear 8/22

Conclui-se que u w U+ ∈ porque 1 1 2 2, , , n n Cα β α β α β+ + + ∈… .

• Sejam u U∈ e Cβ ∈ quaisquer. Então:

1 2 1 1 2 2, , , :

n n nC u v v vα α α α α α∈∃ = + + +… e

( )( ) ( ) ( )

1 1 2 2

1 1 2 2 .

n n

n n

u v v v

v v v

β β α α α

βα βα βα

= + + + =

= + + +

Conclui-se que u Uβ ∈ porque 1 2, , , n Cβα βα βα ∈… .

Definição Ao conjunto de vectores na forma { }1 1 2 2: n nU u u v v vα α α= = + + + de um espaço vectorial ao qual pertencem os vectores do conjunto { }1 2, , , nS v v v= … chama-se espaço (subespaço) gerado pelo conjunto S (ou pelos vectores 1 2, , , nv v v… ). Diz-se ainda que S é um conjunto gerador do espaço U .

Espaços Vectoriais Bases de Espaços Vectoriais 9/22

Bases, Dimensões e Coordenadas

Teorema Sejam 1 2, ,..., nv v v vectores que geram V . Se iv for linearmente dependente dos restantes, então 1 1 1,..., , ,..., ni iv v v v− + também gera V .

Demonstração Seja v V∈ .

Então 1 2, ,...,

1:

n

n

j jj

v vα α α α∈=

∃ =∑ ( )∗

No entanto iv é dependente dos restantes. Então:

1 1 1,...., , ,...,1

:ni i

n

i j jjj i

v vβ β β β β− + ∈

=≠

∃ =∑

Substituindo iv em ( )∗ obtém-se:

1 1

1( )

n n

j j i j jj jj i j i

n

j i j jjj i

v v v

v

α α β

α α β

= =≠ ≠

=≠

= +

= +

∑ ∑

∑

Logo v é combinação linear de 1 1 1,..., , ,..., ni iv v v v− + . Sendo v V∈ qualquer, então

1 1 1,..., , ,..., ni iv v v v− + gera V .

Definição Base de um espaço vectorial é qualquer conjunto de vectores linearmente independentes que gera o espaço vectorial.

Exemplo:

Base de 3 : 1 2 3

1 01

1 0 1

0 0 1

v v v

= = =

Base de 2 : 1 2

1 1

01v v

= =

1

1

1

xy

z

3v

1v

2v


Teorema A representação de qualquer vector de V numa sua base é única.

Seja 1

n

j jj

v vα=

=∑ e 1

n

j jj

v vβ=

=∑

então { }1,....,j j j nα β ∈= ∀

Demonstração

( )

( )

1 1

1 1

1

( ) ( 1) 0

( 1) 0

0

0

n n

j j j jj jn n

j j j jj jn

j j jj

v v v v v v

v v

v v

v

α β

α β

α β

= =

= =

=

− = + − = + − =

+ − =

+ − =

− =

∑ ∑

∑ ∑

∑

Como 1,..., nv v é uma base, então são linearmente independentes. Então verifica-se que

{ }1,...,0j j j nα β ∈− = ∀

Logo { }1,...,j j j nα β ∈= ∀

Teorema Seja { }1 2, ,..., nv v v uma base de V . Sejam 1 2, ,..., mu u u vectores de V linearmente independentes. Então m n≤ .

Demonstração Suponhamos que m n> .

Sendo { }1 2, , , nv v v… uma base de V e porque 1u V∈ , 1u é uma combinação linear de

1 2, ,..., nv v v : 11

n

j jj

u vα=

=∑ .

Como 1 0u ≠ (senão o conjunto 1 2, ,..., mu u u seria linearmente dependente), então 0jα ≠ para algum { }1,...,j n∈ .

Suponhamos 0iα ≠ .

Então pode-se dizer que 11

1 nj

i ji ij

j i

v u vα

α α=≠

= + − ∑ .

O conjunto { }1 1 1 1, ,..., , ,..., ni iu v v v v− + gera V , porque tem ,j j iv ≠ e também gera iv .

1u é linearmente independente de ,j j iv ≠ , senão iv seria linearmente dependente de ,j j iv ≠

Logo { }1 1 1 1, ,..., , ,..., ni iu v v v v− + é uma base de V .


O procedimento pode ser repetido com 2u , e assim sucessivamente. Em cada iteração acrescenta-se um dos vectores iu e retira-se um dos vectores iv . Os vectores que saem da base podem não ser os 1 2, ,...u u e sim os iv , porque os iu são linearmente independentes dos que entram. Por outras palavras, a representação de iu como combinação dos vectores

1 1, , iu u −… e dos iv ainda no conjunto tem garantidamente um dos coeficientes de um dos vectores iv não nulo.

Consegue-se por este processo construir uma base constituída por { }1 2, ,..., nu u u , o que é o mesmo que dizer que os n primeiros vectores do conjunto 1 2, ,..., mu u u constituem uma base de V .

Ainda sobram m n− vectores u .

Como os n primeiros são uma base, então os que sobram são dependentes dos primeiros. Logo, se 1 2, ,..., mu u u são linearmente independentes, não é possível que m n> , verificando-se antes que m n≤ .

Corolário Duas bases de V têm o mesmo número de elementos.

Demonstração Se são bases, são conjuntos linearmente independentes. Pelo teorema anterior, se o conjunto com menor número de elementos é uma base, o de maior não poderá ser linearmente independente, não podendo então ser uma base. Assim, ou o primeiro não é base, ou o segundo não é base.

Definição Ao número de elementos de qualquer base de um espaço vectorial chama-se dimensão do espaço vectorial.

Definição

Seja 1

n

i ii

v vα=

=∑ a única representação de v V∈ na base 1,..., nv v de V, de dimensão n .

Aos coeficientes 1 2, ,..., nα α α chamam-se coordenadas de v nessa base.

Exemplo Provar que as soluções da equação 0x y z+ + = formam um subespaço de 3 . Dar exemplos de soluções. Construir uma base para as soluções.

Espaços Vectoriais Norma e Produto Interno 12/22

Norma e Produto Interno

Definição A norma de vectores num espaço vectorial V é uma função que associa a cada vector v V∈ um número real não negativo. É representada por v (ou ainda

Vv ) e satisfaz os

seguintes axiomas:

• 0

0v

v≠

> ∀ e 0 0= ;

• / ,v Vv v αα α ∈ ∈⋅ = ∀ ;

• 1 21 2 1 2 ,v v Vv v v v ∈+ ≤ + ∀ (desigualdade triangular).

Normais usuais As três normas mais usuais em n e n :

• Norma 1: 1 21... nv x x x= + + + onde

1

2

...

n

xx

v

x

=

• Norma 2 ou euclidiana: ( )½2 2 21 22

... nv x x x= + + +

• Norma ∞ : { }1 2max , ,..., nv x x x∞=

Generalização: norma [ [1,p ∈ ∞

1/

1

pnp

ip iv x

=

= ∑

Exemplo

31

2

3

1

v

= − ∈

32

1

1 2

i

v i

i

+ = − ∈ −

1 1

1 2

1

6

14

3

v

v

v ∞

=

=

=

2 1

2 2

2

2 1 5

2 2

5

v

v

v ∞

= + +

=

=

Verifica-se que limpp

v v∞→+∞

=

{ }( ) { }( )1 1

1/ //max max 1

p ppp p

i ipi i pv x v n x n v v v

∞ ∞ ∞ ∞→∞= ≤ ≤ ⋅ = ⋅ → × =


Definição Seja ⋅ uma norma em V . Uma sucessão de vectores { }iv em V diz-se convergir para v V∈ se e só se a sucessão de números reais iv v− converge para 0 .

Teorema da equivalência de normas Se uma sucessão converge para v numa determinada norma de um espaço vectorial, converge para todas as normas desse espaço vectorial (e sempre para o mesmo valor v ).

Definição de produto interno Seja V um espaço vectorial real. Um produto interno em V é uma função que associa a cada par ordenado de vectores de V um número real, representa-se por ,u v e satisfaz os seguintes axiomas:

• ,, , u v Vu v v u ∈= ∀

• , , ,u v w u w v wα β α β+ = + e

, , ,w u v w u w vα β α β+ = + , , , ,u v w V α β∈ ∈∀

• 0

, 0u

u u≠

> ∀ e , 0u u = se e só se 0u = .

Seja V um espaço vectorial complexo. Um produto interno em V é uma função que associa a cada par ordenado de vectores ,u v V∈ um número complexo, representado por ,u v , e satisfaz:

• , ,u v v u=

• , , ,u v w u w v wα β α β+ = + e

, , ,w u v w u w vα β α β+ = + , , , ,u v w V α β∈ ∈∀

• 0

, e , 0u

u u u u≠

∈ > ∀ e , 0u u = se e só se 0u = .

Exemplos 1) Produto interno usual em n :

1

2

...

n

xx

u

x

=

1

2

...

n

yy

v

y

=

1 1 2 2, ... n nu v x y x y x y= + + +

2

1

3

u

=

0

2

1

v

= −

, 2 0 1 ( 2) 3 1 1u v = × + × − + × =

2) Produto interno entre polinómios:

Considerando o espaço de polinómios ( )p x de grau inferior ou igual a 2 no intervalo [ ]0,1 , um produto interno pode ser definido por:


1

1 2 1 20( ), ( ) ( ) ( )p x p x p x p x dx= ∫

Teorema Para qualquer produto interno ,u v em V (real ou complexo) verifica-se que

½ ½,, , , u v Vu v u u v v ∈≤ ∀

Demonstração Se , 0u v = , então a desigualdade é trivialmente satisfeita, porque , 0u u ≥ e , 0v v ≥

Se , 0u v ≠ :

0 ,u v u vα α≤ + + , ,u v u u v vα α α= + + +

( ), , , ,u u v u u v v v αα α αα ∈= + + + ∀

Escolhendo ,,

u uu v

α = − (note-se que , 0u v ≠ ):

2

2

2

2

, , ,0 , , , ,, , , ,

,0 , ,,

, ,0 1,

u u u u u uu u v u u v v vv u u v u v u v

u uu u v vu v

u u v vu v

≤ − − +

≤ − +

≤ − +

Logo 1 1

2 2/ /, , ,u v u u v v≤ c.q.d.

Notas:

• , ,,,

u u u uv uu v

α = − = −

• ,u u é real

• 2

, , ,u v u v u v=

Teorema Seja ,⋅ ⋅ um produto interno definido em V . A função que a cada vector v V∈ associa um valor real não negativo através de ½,v v v= é uma norma em V . Designa-se por norma induzida pelo produto interno.

Demonstração • ½, 0v v v= > se 0v ≠ e

12/, 0v v v= = se 0v = (trivialmente satisfeito

pela axiomática do produto interno)

• vα ( ) ( )½ ½ ½, , ,v v v v v vα α α α αα= = =


( )1

2/2, ,v v v v vα α α= = = ⋅

• 1 2v v+ ½1 2 1 2,v v v v= + +

( )½1 1 2 1 1 2 2 2, , , ,v v v v v v v v= + + + ≤

( )½1 1 2 1 1 2 2 2, , , ,v v v v v v v v≤ + + + ≤

( )½½ ½ ½ ½1 1 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2, , , , , ,v v v v v v v v v v v v≤ + + + =

( )½½ ½1 1 1 1 2 2 2 2, 2 , , ,v v v v v v v v= + + =

( )½2½ ½

1 1 2 2, ,v v v v = + =

½ ½1 1 2 2, ,v v v v= +

1 2v v= +

Logo 1 2 1 2v v v v+ ≤ + c.q.d.

O produto interno usual em n induz a norma euclidiana em n .

1

2

...

n

xx

u

x

=

½

2½21

,n

ii

u u x u=

= = ∑

Exemplo de outro produto interno, não usual:

1

2

xu x

=

1

2

yv y

=

1 1 2 2, 3 2u v x y x y= +

Norma induzida por este produto:

( )½½ 2 21 2, 3 2u u u x x= = +


θ

v

u

Ângulo entre vectores em n relativamente ao produto interno usual

2 2 2

2 2 2 2 22 cos( )u v u v u v θ− = + −

Substituindo pela norma induizda pelo produto interno obtém-se:

½ ½, , , 2 , , cos( )u v u v u u v v u u v v θ− − = + −

1 1

2 2/ /, , , , , , 2 , , cos( )u u v u u v v v u u v v u u v v θ− − + = + −

( )2 2

1 , , cos( )2

u v v u u v θ+ =

½ ½

2 2

, ,cos( ), ,

u v u vu u v vu v

θ = =

Espaços Vectoriais Ortogonalidade e Projecções 17/22

Ortogonalidade e Projecções

Definição: ortogonalidade • Dois vectores dizem-se ortogonais num espaço vectorial com norma definida por um

produto interno se e só se , 0u v = .

• Um conjunto de vectores no mesmo espaço diz-se ortogonal se e só se quaisquer dois vectores distintos do conjunto forem ortogonais entre si.

Definição: versor • O vector v V∈ , onde V é um espaço vectorial normado, obtido a partir de outro vector

u V∈ tal que 0u ≠ através de uvu

= tem norma 1 e designa-se por “versor” da direcção e sentido definidos por u .

Definição: conjunto ortonormado • Um conjunto de vectores ortogonais num espaço vectorial com produto interno definido e

norma induzida pelo produto interno em que todos têm norma unitária (são versores) diz--se um conjunto ortonormado.

Teorema Um conjunto de vectores não nulos e ortogonal é necessariamente linearmente independente.

Demonstração Suponhamos que { }1,..., nv v é ortogonal, mas que iv é combinação linear dos restantes:

1:

j

n

i j jjj i

v vα α=≠

∃ =∑

Como 0iv ≠ , então pelo menos um dos jα é necessariamente não nulo.

Suponhamos 0kα ≠ , { }1,..., 1, 1,...,k i i n∈ − +

Então 1 1 1

,

, , , , ,n n n

j j ki j j j jk k k k k kj j jj i j i j i k

v v v v v v v v v vα α α α= = =≠ ≠ ≠

= = = +∑ ∑ ∑

Como os vectores são ortogonais, , 0j kv v = se j k≠

No entanto, como 0kv ≠ , , 0k kv v >

Então , , 0ki k k kv v v vα= ≠ , o que contraria a hipótese de iv e kv serem ortogonais.

Logo { }1,..., nv v tem que ser um conjunto linearmente independente.


Corolário Um conjunto de vectores { }1,..., nv v não nulos e ortogonais num espaço vectorial com produto interno definido é uma base do subespaço vectorial gerado por eles.

Teorema Seja { }1 2, ,..., nB v v v= uma base ortogonal de um espaço vectorial V com produto interno e seja u V∈ qualquer. As coordenadas de u nessa base são dadas pelo produto interno de cada elemento da base com u , dividido pelo produto interno do elemento da base por ele próprio:

1

n

i ii

u vα=

=∑ , onde ,,i

ii i

v uv v

α =

Demonstração

1 1

, , ,N n

i i j j j i jj j

v u v v v vα α= =

= = =∑ ∑

1

, , ,n

j i j i i i i i ijj i

v v v v v vα α α=≠

= + =∑

Logo ,,i

ii i

v uv v

α =

Corolário Seja { }1,..., nB v v= uma base ortonormada de um espaço V normado e cuja norma é induzida por um produto interno. Seja u V∈ qualquer. Então as coordenadas de u nessa base são dadas pelo produto interno de cada elemento da base com u :

1

n

i ii

u vα=

=∑ , onde ,i iv uα =

Demonstração Decorre imediatamente do teorema anterior, notando-se que , 1i iv v = .

Definição: Projecção em subespaço definido por base ortogonal Seja V um espaço vectorial com produto interno. Seja 'V um subespaço gerado pelo conjunto ortogonal { }1,..., nB v v= . À função que a cada vector u V∈ associa um vector de

'V através de:

'1

' ( )m

i iVi

u P u vα=

= =∑ onde ,,i

ii i

v uv v

α =

chama-se projecção sobre o subespaço 'V : '' ( )Vu P u= .


Propriedades • Se 'u V∈ então ( )

'VP u u=

Demonstração: Verifique-se que, se 'u V∈ , então u é combinação linear dos vectores

de B , sendo as coordenadas definidas da mesma forma: ,,i

ii i

v uv v

α =

• ( )'Vu P u− é ortogonal a qualquer vector de 'V .

Demonstração: ( )

'Vu P u− é ortogonal a cada um dos vectores de B:

( )',i Vv u P u− ( )

', ,i i Vv u v P u= − =

1

, ,m

i j i jj

v u v vα=

= −∑

, ,i i i iv u v vα= −

,

, , , , 0,i

i i i i ii i

v uv u v v v u v u

v v= − = − =

Uma vez que qualquer vector ' 'v V∈ é combinação linear dos vectores de B:

1

'm

j jj

v vβ=

=∑ , obtém-se:

( ) ( )' '

1', , 0

m

j jV Vj

v u P u v u P uβ=

− = − =∑

Logo, diz-se que ( )'Vu P u− é ortogonal ao subespaço 'V .

• A função ( )'VP u é linear:

( ) ( ) ( )1 2 1 2' ' 'V V VP u u P u P u+ = +

( ) ( )' 'V VP u P uα α=

Demonstração:

u ′ v2

v1

V’

u


Notando que a expressão ,,i

ii i

v uv v

α = é linear relativamente ao produto interno

,iv u e que o produto interno é linear relativamente a u , então ( )'VP u também é

linear relativamente a u .

Teorema Sendo V um espaço normado com norma definida pelo produto interno e 'V o subespaço gerado pelo conjunto ortogonal { }1,..., mB v v= , então para qualquer u V∈ , a projecção ( )

'VP u resulta no vector de 'V que é mais próximo de u no sentido em que:

( )' ' ''v V Vu v u P u∈∀ − ≥ −

Demonstração 2'u v− ', 'u v u v= − −

( ) ( ) ( ) ( )' ' ' '', 'V V V Vu P u P u v u P u P u v= − + − − + −

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )' ' ' '' , 'V V V Vu P u P u v u P u P u v= − + − − + −

( ) ( ) ( ) ( )' ' ' ', , 'V V V Vu P u u P u u P u P u v= − − + − − +

( ) ( ) ( ) ( )' ' ' '', ', 'V V V VP u v u P u P u v P u v+ − − + − −

( ) ( ) ( ) ( )' ' ' ', ', 'V V V Vu P u u P u P u v P u v= − − + − −

Esta última igualdade decorre do facto de ( )' 'VP u v V ′− ∈ , o que, pela segunda propriedade

apresentada, implica que ( ) ( ) ( ) ( )' ' ' ', ' ', 0V V V Vu P u P u v P u v u P u− − = − − = .

Sendo também um facto que ( ) ( )' '', ' 0V V v V

P u v P u v ′ ′∈− − ≥ ∀ , obtém-se finalmente:

2

'u v− ( ) ( )2

' ' ', ( )V V Vu P u u P u u P u≥ − − = −

( )'' Vu v u P u− ≥ − c.q.d.

Teorema de Gram-Schmidt “Obtenção de uma base ortogonal (ortonormada)”.

Seja V um espaço vectorial com produto interno (e norma por ele induzida) gerado pelo conjunto de vectores { }1,..., nA v v= .

Pode-se construir uma base ortogonal (ortonormada) de V pelo procedimento seguinte:

• Escolha-se o primeiro vector de A , 1v , e coloque-se na base { }1 1B v= . (Para uma base

ortonormada usa-se 1 11

1B vv

= ).

• Para cada um dos restantes vectores iv , 2,...,i n= , calcula-se ( )ii i iVu v P v= − onde

iV é o subespaço gerado pela base até então construída, iB .


Se iu for nulo, então iv é dependente dos vectores anteriores e é descartado.

Se iu é não nulo, acrescenta-se iu a base pretendida:

{ }1i iiB B u−= ∪

(Para uma base ortonormada, acrescenta-se i

i

uu

:

1i

i ii

uB B

u−

= ∪ )

Exemplo / Exercício Construir uma base ortogonal para o (sub)espaço gerado por 1 2 3

11 2

0 , 0 , 1

01 2

v v v

− = = = −

• 1 1

1

0

1

u v

= = −

• 1

1

0

1

B

= −

, que gera 1V

• ( )1

1 22 2 2 1

1 1

2 1 2 1 0, 40 0 0 2 0 0

2,02 1 2 1

V

u vv P v v u

u u

− − − − = − = − = + = − −

Logo, 2v é descartado.

• { }2 1

1

0

1

B u

= = −

, que gera ( )2 1V V=

• ( )2

1 33 3 3 1

1 1

1 ½1, 11 0 1 0

2,0 1 ½

V

u vu v P v u

u u

= − = − = − = ≠ −

• { }3 1 3

½1

, 0 , 1

1 ½

B u u

= = −

• Esgotados todos os vectores, obtém-se 3

½1

0 , 1

1 ½

B B

= = −

.

Verifica-se que são ortogonais:


½11 10 , 1 02 2

1 ½

= − = −

Obtenção de uma base ortonormada:

B 1 3

1 3

½11 1, 0 , 12 ½ 6

1 ½

u uu u

= = −

62 4260 , 2

2 62 4

= −

.

espaços vectoriais · 2002-11-20 · por espaços vectoriais complexos. exemplos • espaço...

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